NO332638B1 - Fremgangsmate for rekonstuksjon av en stokastisk modell som representerer et porost, heterogent medium med henblikk pa a forbedre modellens kalibrering med produksjonsdata - Google Patents

Abstract

Fremgangsmåte for rekonstruksjon av en stokastisk realisering, kontinuerlig eller diskret, som er et resultat av en tilfeldig funksjon som representerer en numerisk modell, som kan beskrive et porøst, heterogent medium så som et undergrunnsreservoar. Fremgangsmåten er basert på bestemmelse, for en gitt realisering, av en tilfeldig funksjon og av et sett av tilfeldige tall som gjør det mulig, basert på en gitt geostatistisk simulator, å rekonstruere referanserealiseringen De foreslåtte rekonstruksjonsmetodene er enten generelle eller spesifikke for en type geostatistisk simulator. Metodene er knyttet til optimering, relaksasjon, filtrering og sekvensielle tilnærminger. Rekonstruksjonsmetoden gjør det mulig å estimere et sett av tilfeldige tall for å gjenskape referanserealiseringen, og denne referanserealiseringen kan deretter modifiseres lokalt eller globalt, ved gradvis deformasjon, til bedre å reprodusere nyervervede dynamiske data (for eksempel produksjonsdata). Anvendelse: for eksempel utvikling av oljereservoarer.

Description

Foreliggende oppfinnelse vedrører en fremgangsmåte for rekonstruksjon av en numerisk, stokastisk modell som er et resultat av realisering av en tilfeldig funksjon og som representerer fordelingen av en fysisk størrelse i et porøst, heterogent medium.

Spesielt er fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen anvendelig for rekonstruksjon av en numerisk, stokastisk modell som anvendes for å representere den romlige fordelingen, i en undergrunnssone, av kontinuerlige eller diskrete fysiske egenskaper så som permeabilitet, litologitype eller porøsitet. Den har som et mål å gi ingeniører mulighet til å gjenbruke en tidligere utviklet, numerisk stokastisk modell og forbedre modellbeskrivelsen ved for eksempel å integrere nyervervede produksjonsdata. Dette forbedringstrinnet krever for eksempel en datakalibrering eller optimeringsprosess. Fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen gjør det således mulig å rekonstruere en eksisterende numerisk, stokastisk modell for å forbedre den, for eksempel ved å deformere den lokalt eller globalt.

Undersøkelse av en undergrunnssone krever opprettelse av numeriske reservoarmodeller. En numerisk modell består av et gitter med N dimensjoner (N > 0, og i alminnelighet lik to eller tre), i hvilket hver celle er tildelt verdien til en egenskap som beskriver den undersøkte sonen. Denne egenskapen kan for eksempel være porøsitets- eller permeabilitetsfordelingen i et reservoar. En slik verdi kalles for en regionalisert variabel. Den er en kontinuerlig variabel med en romlig fordeling, og representerer et fysisk fenomen. Fra et matematisk syns-punkt er den en funksjon z(u) som tar en verdi i hvert punkt u (gittercellen) innenfor et undersøkt område D (gitteret som representerer reservoaret). Variasjonen til den regionaliserte variabelen i dette rommet er imidlertid for irregulær til å kunne formaliseres med en matematisk likning. Den regionaliserte variabelen representert av z(u) har både et globalt aspekt knyttet til den romlige strukturen til det undersøkte fenomenet, og et lokalt, tilfeldig aspekt.

Dette tilfeldige, lokale aspektet kan modelleres med en tilfeldig variabel. En tilfeldig variabel er en variabel som kan anta et gitt antall realiseringer eller utfallsverdier z i henhold til en sannsynlighetsfordeling. Kontinuerlige variabler, så som seismiske attributter (akustisk impedans) eller petrofysiske egenskaper

(metning, porøsitet, permeabilitet), kan modelleres med tilfeldige variabler. I et punkt u kan derfor den regionaliserte variabelen z(u) betraktes som realiseringen av en tilfeldig variabel Z.

For å representere den romlige variasjonen til den regionaliserte variabelen på en god måte må det imidlertid være mulig å ta hensyn til begge aspekter, både det tilfeldige og det strukturerte. Én mulig tilnærming, basert på sannsyn-lighetsberegning, omfatter en tilfeldig funksjon. En tilfeldig funksjon er et sett av tilfeldige variabler definert i et undersøkt felt D (gitteret som representerer reservoaret), dvs. {Z(u), u e D}, også betegnet Z(u). En hvilken som helst sekvens av utfallsverdier {z(ui) z(un)} kan betraktes som en realisering av en tilfeldig funksjon Z(u) = {Z(ui) Z(un)}. Den tilfeldige funksjonen Z(u) gjør det mulig å ta hensyn til både det lokale, tilfeldige aspektet (ved ua, der den regionaliserte variabelen z(ua) er en tilfeldig variabel) og det strukturerte aspektet (gjennom den romlige sannsynlighetsfordelingen forbundet med den tilfeldige funksjonen Z(u)).

Realiseringene av en tilfeldig funksjon gir stokastiske reservoarmodeller. Ut fra slike modeller er det mulig å forstå hvordan den undersøkte undergrunnssonen virker. For eksempel gjør simulering av strømningen i et porøst medium representert av numeriske, stokastiske modeller det blant annet mulig å forutsi produksjonen fra reservoaret og således å optimere reservoarets utvikling ved å teste forskjellige scenarier.

Konstruksjon av en stokastisk reservoarmodell kan beskrives som følger: - Først måles på den ene side statiske feltdata (ved logging, testing av prøver tatt i brønner, seismiske undersøkelser, etc), og på den annen side dynamiske data (produksjonsdata, brønntester, gjennombruddstid, etc), hvis karakteris-tiske trekk er at de varierer med tiden avhengig av fluidstrømningen i reservoaret. - Deretter, basert på de statiske dataene, defineres en tilfeldig funksjon kjennetegnet ved sin kovariansfunksjon (eller tilsvarende ved sitt variogram), sin varians og sin forventning eller middelverdi. - Videre defineres et sett av tilfeldige tall trukket uavhengig av hverandre; dette kan for eksempel være en gaussisk hvit støy eller tall trukket fra en uniform fordeling. Vi har således et uavhengig tilfeldig tall for hver celle og for hver realisering. - Til slutt, fra en valgt geostatistisk simulator og fra settet av tilfeldige tall, foretas en tilfeldig uttrekning fra den tilfeldige funksjonen, hvilket gir en (kontinuerlig eller diskret) realisering som representerer et mulig bilde av reservoaret. I alminnelighet overensstemmer ikke denne realiseringen med de punktvise målingene. Et ytterligere trinn basert på krigingsmetoder gjør det mulig å modifisere realiseringen til å overensstemme med disse målingene. Denne teknikken er beskrevet for eksempel i følgende dokument: - Chilés, J.P., og Delfiner, P., 1999, Geostatistics - Modeling spatial uncertainty, Wiley series in probability og statistics, New York, USA. - Foreløpig er ikke de dynamiske dataene tatt hensyn til. De blir integrert i reser-voarmodellene gjennom en optimering eller en kalibrering. En målfunksjon defineres som måler forskjellen mellom de dynamiske dataene målt i felten og de motsvarende responsene simulert for den betraktede modellen. Målet med opti-meringsprosessen er å gradvis modifisere denne modellen for å redusere målfunksjonen.

Etter prosessen over er de modifiserte modellene koherente med de statiske dataene og de dynamiske dataene. Dette trinnet i konstruksjonen av reservoarmodellen er tidkrevende å utføre og krever betydelig beregningstid.

Siden metodene for å kalibrere reservoarmodeller ved anvendelse av dynamiske data har blitt betydelig bedre i løpet av de senere årene som følge

av økning av datamaskinenes kapasitet og utvikling av nye parametriseringstek-nikker, og siden hydrokarbonutvinningsmetodene også har blitt betydelig bedre, er reservoaringeniører ofte nødt til å gjøre om tidligere utviklede reservoarmodeller. Målet er å tilpasse disse modellene og å oppdatere dem basert på data fremskaffet siden utviklingen av modellen.

En betydelig vanskelighet gjenstår imidlertid fortsatt i forbindelse med omgjøring av tidligere utviklede, numeriske modeller. For å anvende en fremgangsmåte som gjør det mulig å kalibrere en eksisterende realisering, må antallet tilfeldige tall som, når de mates til den geostatistiske simulatoren, gir den aktuelle numeriske modellen (realiseringen) være kjent. I alminnelighet er imidlertid ikke lenger denne informasjonen tilgjengelig. Likeledes er ikke lenger den variogram-baserte (eller kovarians-baserte) modellen som beskriver den repre-senterte attributtens romlige variasjon i undergrunnssonen og som er nødven-dig for å karakterisere den tilfeldige funksjonen kjent. Det siste punktet er mindre viktig ettersom undersøkelse av den eksisterende numeriske modellen kan gjøre det mulig å gjenskape dette variogrammet. Ikke desto mindre finnes det foreløpig ingen fremgangsmåte for å bestemme settet av tilfeldige tall som lig-ger til grunn for den numeriske modellen.

Fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen gjør det mulig å rekonstruere numeriske, stokastiske modeller, dvs. for en tidligere bestemt tilfeldig funksjon, for å identifisere et sett av tilfeldige tall som, matet inn til en geostatistisk simulator, gir en realisering tilsvarende den betraktede numeriske modellen. Den omfatter flere algoritmer, iterative eller ikke, som avhengig av omstendighetene gjør det mulig å rekonstruere kontinuerlige eller diskrete realiseringer.

Videre er de tilveiebrakte rekonstruksjonsmetodene kompatible med metoden med trinnvis deformasjon, en geostatistisk parametriseringsmetode som dekker ingeniørers behov og som er beskrevet i følgende artikkel: - Hu, L.-Y., 2000, Gradual deformation and iterative calibration of Gaussian-related stochastic models, Math. Geol., 32(1), 87-108.

Den gjør det mulig å ta opp igjen en undersøkelse av et reservoar og å modifisere modellen delvis i de soner som nye data er tilgjengelig for, som beskrevet i følgende dokument: - Le Ravalec-Dupin, M., Noetinger, B., Hu, L.-Y., og Blanc, G., 2001, Conditioning to dynamic data : an improved zonation approach, Petroleum Geosciences, 7, S9-S16.

FR 2 795 841 beskriver en fremgangsmåte for gradvis deformering av sekvensielle simuleringer av et heterogent miljø slik som for eksempel en undergrunns sone.

Oppfinnelsen vedrører en fremgangsmåte for å rekonstruere en numerisk, stokastisk modell, definert ved et minst én-dimensjonalt gitter i hvilket hver celle er tildelt en verdi for minst én fysisk størrelse som beskriver et porøst, heterogent medium,

kjennetegnet ved at fremgangsmåten omfatter de trinn å:

- bestemme en tilfeldig funksjon ved statistisk analyse av nevnte verdier i cellene som definerer nevnte numeriske, stokastiske modell,

- velge en geostatistisk simulator,

- identifisere et sett av tilfeldige tall som, når de mates til den valgte geostatistiske simulatoren, gir en representasjon som er nær nevnte numeriske, stokastiske modell.

Ifølge oppfinnelsen kan bestemmelse av den tilfeldige funksjonen omfatte det å dekomponere nevnte fysiske størrelse i to ledd, et ikke-stasjonært middel og en perturbasjon, for å finne en ikke-stasjonær tendens.

Identifisering av de tilfeldige tallene kan omfatte bruk av én av følgende metoder: optimering, relaksasjon, filtrering, sekvensiell tilnærming og en kombinasjon av disse metodene.

Metoden med rekonstruksjon ved optimering kan omfatte det å minimere en målfunksjon som måler forskjellen mellom nevnte numeriske, stokastiske modell ( yæf) og en simulert modell (y), og det er mulig å anvende målfunksjonens gradient med hensyn til de tilfeldige tallene for å rekonstruere modellen ved optimering.

Metoden med rekonstruksjon ved filtrering kan anvendes på referanserealiseringen med en bærer som er utvidet for å gjøre det mulig å gjenskape referanserealiseringens render.

Rekonstruksjonsmetoden som anvender sekvensiell tilnærming kan omfatte det å fastholde rekkefølgen som cellene gjennomløpes i.

Endelig, ifølge oppfinnelsen, gjør identifisering av de tilfeldige tallene det mulig å modifisere, ved gradvis deformasjon, den rekonstruerte modellen på en global eller lokal måte.

Andre trekk og fordeler ved fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen vil være klare etter lesning av den følgende beskrivelsen av ikke-begrensende utførel-seseksempler, med henvisning til de vedlagte figurene, der: - Figur 1 viser et eksempel med en referanserealisering (tynn linje), den teoretiske, ikke-stasjonære middelverdien eller forventningen anvendt for å generere referanserealiseringen (stiplet linje), og den estimerte, ikke-stasjonære middelverdien (tykk linje), - Figur 2 viser øverst et eksempel på realisering med 2 facies og nederst de estimerte andelene for facies 2 (tykk linje) sammenliknet med de teoretiske andelene (stiplet linje), - Figur 3A viser et eksempel på en eksisterende stokastisk modell som skal rekonstrueres, - Figur 3B viser modellen rekonstruert ved hjelp av fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen ved anvendelse av optimeringsalgoritmen, - Figur 3C viser den gaussiske hvite støyen bestemt for å konstruere modellen i figur 3B, - Figur 3D viser en analyse av fordelingen av den gaussiske hvite støyen bestemt for å konstruere modellen i figur 3B, - Figur 4 viser et eksempel på referanserealisering (RR) og modellen (A) rekonstruert fra en Wiener-filtrering anvendt på en større bærer enn den til referanse-bildet, - Figur 5A viser et eksempel på referanserealisering (RR) og modellen (A) rekonstruert fra en Wiener-filtrering, - Figur 5B viser egenskapene til den gaussiske hvite støyen bestemt for å konstruere modellen i figur 5A, - Figur 6 viser et eksempel på korreksjon, i fem iterasjoner, av randeffektene ved relaksasjon (fra venstre mot høyre og vertikalt),

- Figur 7A viser et eksempel på reservoarmodell,

- Figur 7B viser et eksempel på referanserealisering rekonstruert fra en sekvensiell tilnærming med "multipoinf-statistikk, - Figur 8 viser et eksempel på global gradvis deformasjon anvendt på den rekonstruerte realiseringen i figur 3, og - Figur 9 viser et eksempel på lokal gradvis deformasjon anvendt på den rekonstruerte realiseringen i figur 3.

Fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen gjør det mulig å rekonstruere numeriske stokastiske modeller, dvs. å bestemme en tilfeldig funksjon, og deretter å identifisere et sett av tilfeldige tall som, matet inn til en geostatistisk simulator, gir en realisering tilsvarer den betraktede numeriske modellen. Identifisering av de tilfeldige tallene gjøres med bruk av forskjellige algoritmer, iterative eller ikke, som er egnet for tilfeller med kontinuerlige eller diskrete realiseringer. Fremgangsmåten for rekonstruksjon av en gitt stokastisk modell kan da deles opp i 3 trinn: 1- Bestemmelse av en tilfeldig funksjon ved statistisk analyse 2- Valg av en geostatistisk simulator

3- Identifisering av settet av tilfeldige tall, i henhold til den valgte typen simulator og til typen realisering (diskret eller kontinuerlig). Avhengig av det konkrete tilfellet kan 4 teknikker anvendes hver for seg eller i kombinasjon:

- rekonstruksjon ved optimering,

- rekonstruksjon ved relaksasjon,

- rekonstruksjon ved filtrering (Wiener),

- rekonstruksjon ved sekvensielle metoder.

Disse utviklede rekonstruksjonsmetodene er kompatible med metoden med trinnvis deformasjon. Denne metoden er en geostatistisk parametriserings-teknikk som dekker ingeniørers behov. Den gjør det mulig å ta opp igjen en undersøkelse av et reservoar og å modifisere modellen delvis i soner som nye data er tilgjengelig for.

Problemet som skal løses er som følger. Gitt en realisering yKf(av en numerisk, stokastisk modell), referert til som referanserealiseringen, kan vi bestemme et sett av tilfeldige tall, eller mer spesifikt en gaussisk hvit støy z, slik at den geostatistiske simulatoren S ut fra z genererer en realisering y som er så nær som mulig referanserealiseringen ? De geostatistiske simuleringsmetodene genererer, fra en gaussisk hvit støy, to typer realiseringer: kontinuerlige realiseringer og diskrete realiseringer. Typisk kan en kontinuerlig realisering beskrive den romlige fordelingen av en attributt, for eksempel permeabiliteten. Permeabi-litetsverdiene varierer kontinuerlig fra ett punkt i rommet til et annet. Parallelt kan en diskret realisering beskrive den romlige fordelingen av facies. De forskjellige typer facies identifiseres av en indikator; for eksempel 1 for reservoar-facies og 2 for andre facies. Ved skifte fra reservoar-facies til andre facies har vi en diskontinuitet; vi hopper fra 1 til 2. Det er også mulig å utvide oppfinnelsens ramme til en avansert modell som omfatter facies med en kontinuerlig varierende attributt.

Det første trinnet i fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen omfatter det å, ved statistisk analyse, bestemme en tilfeldig funksjon som beskriver referanserealiseringen. Denne analysen omfatter for eksempel en analyse av den tilfeldige funksjonens forventning, varians og kovariansfunksjon C. Innenfor rammen til en konkret utførelsesform av fremgangsmåten velger vi å bestemme en tilfeldig funksjon som beskriver referanserealiseringen uten den ikke-stasjonære effekten. Vi identifiserer derfor først en ikke-stasjonær tendens dersom en slik eksisterer. For en kontinuerlig realisering antas ikke-stasjonæritet uttykt ved en romlig varierende middelverdi. I en facies-realisering innebærer den en romlig variasjon av facies-andelene.

Betrakt først en kontinuerlig referanserealisering. Vi antar at den tilsvarer summen av to ledd: en middelverdi, ikke-stasjonær og således med en romlig variasjon, med lav frekvens og en stasjonær perturbasjon, som kan beskrives med en tilfeldig funksjon. De to leddene skilles med en filtreringsmetode. Middelverdien bestemmes ved å beregne konvolusjonsproduktet mellom referanserealiseringen og en gate-funksjon. Figur 1 viser et eksempel med en referanserealisering (tynn linje), den teoretiske, ikke-stasjonære middelverdien anvendt for å generere referanserealiseringen (stiplet linje), og den estimerte, ikke-stasjonære middelverdien (tykk linje). Abscisseaksen angir cellenummeret og ordinataksen angir verdien til en fysisk størrelse assosiert med den aktuelle cellen. Vi kan da kontrollere at denne middelverdien er nær middelverdien anvendt for å generere referanserealiseringen.

I tilfellet med facies-realiseringer uttrykkes ikke-stasjonæritet ved andelene: andelene (eller sannsynligheten for forekomst av de forskjellige facies) avhenger av posisjonen. Målet er nå å bestemme den romlige utviklingen av andelene av de forskjellige facies. Prosedyren som følges er tilsvarende den anvendt for å finne en ikke-stasjonær middelverdi. Betrakt for eksempel en referanserealisering med to facies generert ved å integrere en lineær tendens for andelene. Andelen av facies 1 er 1 ved x=0 og 0 ved x=1000, der x er posisjonen. Andelen av facies 2 er komplementær. Anta at det eksisterer en funksjon f som beskriver, for denne referanserealiseringen, andelen av facies 2 i ethvert punkt x. I sonene hvor facies 2 befinner seg er f lik 1. Andre steder er f lik null. Konvolusjonen av f med en overføringsfunksjon gjør det mulig å bestemme middelverdien for andelen av facies 2 som funksjon av posisjonen.

Figur 2 illustrerer øverst et eksempel på realisering med 2 facies, og nederst de estimerte andelene av facies 2 (tykk linje) sammenliknet med de teoretiske andelene (stiplet linje). Abscisseaksen angir cellenummeret og ordinataksen angir verdien til facies assosiert med denne cellen (øverst) og verdien til de estimerte og teoretiske andelene (nederst). Denne figuren viser at den funnede tendensen er nær den betraktet for å skape referanserealiseringen.

Vi antar i det følgende at de ikke-stasjonære tendensene, dersom slike eksisterer, er identifisert.

Vi kan da, ved statistisk analyse, bestemme en stasjonær, tilfeldig funksjon av minst andre orden som beskriver referanserealiseringen uten den ikke-stasjonære effekten. En statistisk analyse gjør det mulig å karakterisere den tilfeldige funksjonen ved å bestemme dens kovariansfunksjon C.

Det andre trinnet i fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen omfatter det å velge en geostatistisk simulator. De geostatistiske simuleringsmetodene genererer, basert på en gaussisk hvit støy, realiseringer av tilfeldige funksjoner. Det finnes mange forskjellige geostatistiske metoder, deriblant FFTMA-metoden, de sekvensielle simuleringsmetodene og den trunkerte gaussiske metode.

FFTMA- metoden

FFTMA-metoden er beskrevet i følgende dokument:

- Le Ravalec, M., Noetinger, B., og Hu, L.-Y., 2000, The FFT- Moving Average ( FFT- MA) generator: An efficient tool for generating and conditioning Gaussian simulations, Math. Geol., 32(6), 701-723.

Denne metoden tilveiebringer kontinuerlige, multigaussiske og stasjonære realiseringer i henhold til en gitt kovariansfunksjon. Disse realiseringene diskretiseres i kartesiske og regulære gitter med et meget stort antall celler. Kjernen i FFTMA-metoden er basert på et bevegelig middel, dvs. et konvolusjonsprodukt. Anvendelse av hurtige fouriertransformasjoner gjør beregningene raskere.

Anta at en realisering y med middelverdi m og kovariansfunksjon C skal genereres. Simuleringsprinsippet er som følger:

z er en gaussisk hvit støy og fer et resultat av dekomponeringen av kovariansfunksjonen i et konvolusjonsprodukt C = /* /, der/(*)=/(-*). Funksjonen f avhenger bare av geostatistiske parametere så som kovariansmodellen, prinsipalaksene, korrelasjonslengdene, etc.

Sekvensielle simuleringsmetoder

En annen familie av mye brukte simuleringsalgoritmer er kjent som sekvensielle simuleringsalgoritmer. Det er tre klasser av sekvensielle simuleringsalgoritmer: gaussiske sekvensielle simuleringsalgoritmer, indikatriks-baserte sekvensielle simuleringsalgoritmer og sekvensielle simuleringsalgoritmer som anvender multipoint-statistikk. Den første klassen gir kontinuerlige realiseringer mens de to andre brukes til å generere facies-realiseringer.

De gaussiske og indikatriks-baserte sekvensielle simuleringsalgoritmene er beskrevet i: -Goovaerts, P., 1997, Geostatistics for natural resources evaluation, Oxford Univ. Press, New York, USA.

De sekvensielle simuleringsalgoritmene som anvender multipoint-statistikk er beskrevet i: - Strebelle, S., 2002, Conditional simulation ofcomplex geological structures using multiple- point statistics, Math. Geol., 34(1), 1-21.

Trunkert gaussisk metode

Den trunkerte gaussiske metode omfatter bruk av terskelverdier på en standard multigaussisk realisering y (med forventning null og varians én) generert på forhånd med en hvilken som helst metode. Anta at det skal genereres realiseringer som ved diskrete verdier 1, 2 eller 3 angir forekomst av tre facies, betegnet Fi, F2eller F3. Facies F, - er definert ved:

Tallene s, er terskelverdier avledet fra andelene p av de N tilstedevær-ende facies. Metoden pluriGaussian er en utvidelse av den trunkerte gaussiske metode beskrevet i følgende dokument: - Le Loc'h, G., og Galli, A., 1997, Truncated pluriGaussian method: Theoretical and practical points ofview, i Geostatistics Wollongong'96, 1, 211-222.

Det siste trinnet i fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen omfatter det å rekonstruere settet av tilfeldige tall. Avhengig av typen data (kontinuerlige eller diskrete) og av den valgte typen simulator foreslås fire utførelser, som omfatter fire forskjellige algoritmer. I hvert tilfelle antas middelverdien m å være kjent. Disse fire algoritmene er forklart og anvendt i det følgende.

Rekonstruksjon ved optimering

Den første algoritmen er den enkleste og mest generelle metoden for å rekonstruere en realisering. Den er basert på en optimeringsmetode som består av å minimere en målfunksjon som måler forskjellen mellom den stokastiske referansemodellen yæfsom skal rekonstrueres og den simulerte modellen y. Den er en meget generell iterativ prosess som er egnet for rekonstruksjon av kontinuerlige så vel som facies-baserte modeller.

Anta at det finnes en kontinuerlig realisering yæfkjent som referanserealiseringen, med forventning m og kovariansfunksjon C. Vi forsøker nå å estimere en gaussisk hvit støy z som, når den mates inn til en geostatistisk simulator, gjør det mulig å konstruere en realisering y som er så lik ymfsom mulig. Dette problemet løses gjennom en optimering. En målfunksjon Jsom måler forskjellen mellom referansemodellen yTOfog den simulerte modellen y defineres basert på en gaussisk hvit støy z:

Forskjellige minimeringsteknikker gjør det mulig å minimere denne funksjonen. Denne tilnærmingen kan anvendes med en hvilken som helst geostatis tisk metode, forutsatt at simuleringsprosessen gjentas på identisk måte. Forde sekvensielle simuleringsalgoritmene må for eksempel den tilfeldige banen hol-des fast; rekkefølgen som cellene gjennomløpes i må ikke endres fra én simulering til neste.

For at en slik tilnærming skal kunne anvendes i praksis, er det en fordel å kjenne målfunksjonens deriverte med hensyn til komponentene av den gaussiske hvite støyen. Betrakt mer spesifikt FFTMA-metoden. I dette tilfellet må den gaussiske hvite støyen z bestemmes slik at: der f som nevnt ovenfor er et resultat av dekomponeringen av kovariansfunksjonen C. Vi viser at:

For facies-realiseringene gjør bruk av overgangs-facies det mulig å estimere gradientene. Metoden med overgangs-facies er beskrevet i: - Schaaf, T. Mezghani, M. Chavent, G., 2002, Direct Conditioning of Fine Scale Facies Models to Dynamic Data by Combining Gradual Deformation and Numerical Upscaling Techniques, i Proceedings European Conference on the Mathematics of Oil Recovery, Freiberg, Tyskland, 3-6 september.

Når gradientene er kjent, kan for eksempel en L-BFGS type algoritme anvendes for å minimere målfunksjonen. Fordelen med denne typen algoritme er at den muliggjør betraktning av et meget stort antall parametere.

Denne første rekonstruksjonsmetoden kan anvendes for rekonstruksjon av kontinuerlige og diskrete realiseringer. Den kan anvendes alene, men da oppstår problemet med definisjon av den initielle gaussiske hvite støyen. Et nyttig alternativ består i å bruke et Wiener-filter for hurtig å konstruere en initiell gaussisk hvit støy som deretter kan forbedres gjennom optimering. Dette punktet vil bli behandlet senere.

Figurene 3A, 3B, 3C og 3D illustrerer en anvendelse av metoden med rekonstruksjon ved optimering. Vi antar at bildet i figur 3A er en realisering av en tilfeldig funksjon (referanserealisering). Som kan ses her er det to facies: konti-nentene, med en andel på 34%, og havet, med en andel på 66%. Vi antar at det kan oppnås med den trunkerte gaussiske metode. Simuleringsprosessen vi refererer til er som følger. En kontinuerlig realisering genereres ved hjelp av FFTMA-simulatoren. Den betraktede tilfeldige funksjonen er kjennetegnet ved at den har forventning null, varians én og en stabil og isotrop kovariansmodell: eksponenten i kovariansmodellen er 1,4 og korrelasjonslengden er 40 celler. Denne realiseringen blir da gitt terskelverdier i henhold til andelene av de forskjellige facies. Gitteret som realiseringen diskretiseres i omfatter 360 x 151 celler. Med en optimeringsbasert tilnærming estimerer vi en gaussisk hvit støy z som gjør det mulig å rekonstruere dette bildet på en tilfredsstillende måte (figur 3B). Det kan ses i figurene 3C og 3D at den hvite støyen z bestemt for å rekonstruere bildet ikke egentlig er en gaussisk hvit støy: Figur 3C viser en ikke-tilfeldig, koherent karakter og figur 3D viser en ikke-gaussisk støyfordeling. Esti-matet for den gaussiske hvite støyen er imidlertid godt nok til å anvende en modellkalibreringsteknikk, så som metoden med global trinnvis deformasjon illustrert i figur 8 eller metoden med lokal trinnvis deformasjon illustrert i figur 9.

Rekonstruksjon ved relaksasjon

Den andre algoritmen er basert på en metode med iterativ løsning ved relaksasjon. Den ble utviklet mer spesifikt for de geostatistiske metodene som omfatter et konvolusjonprodukt, og den muliggjør rekonstruksjon av kontinuerlige modeller.

Disse relaksasjonsteknikkene ble utviklet for å løse lineære systemer av typen Ax=B, der x er vektoren som representerer de ukjente. Disse metodene tar utgangspunkt i en tilnærmet løsning for x og forsøker å forbedre denne tilnærmingen gjennom suksessive iterasjoner. Sekvensen konvergerer (ideelt sett) mot løsningen til det lineære likningssystemet.

La oss nå gå tilbake til problemet beskrevet i den forrige seksjonen. Vi forsøker å estimere en gaussisk hvit støy som, når den mates inn til en geostatistisk simulator, gjør det mulig å konstruere en realisering y som er så lik yæfsom mulig. Vi fokuserer her på geostatistiske metoder som omfatter et konvolusjonsprodukt. Ta eksempelet med FFTMA-metoden og anta, for å forenkle for-malismen, at middelverdien m er null i ethvert punkt i rommet. Den gaussiske hvite støyen z må bestemmes slik at:

En dekonvolusjonsoperasjon er nødvendig for å bestemme z. Siden konvolusjonsproduktet i frekvensdomenet blir til et enkelt produkt, kunne vi vurdert å beregne den fouriertransformerte av y^og fog deretter ved divisjon avlede den fouriertransformerte av z. Denne direkte tilnærmingen kan imidlertid ikke anvendes fordi den fouriertransforme av f omfatter nullkomponenter. Vi foreslår en algoritme som er inspirert av relaksasjonsteknikkene for å utføre dekonvolusjonen.

Anta at yref= f * zref. Den realiseringen vi ønsker å rekonstruere er yæf,

ogZrefer den gaussiske hvite støyen som gir yTOf. Funksjonen fer kjent. Vi for-søker å finne en tilnærming til zmf. Anta at det eksisterer en initiell gaussisk hvit støy z og den resulterende realiseringen y slik at y = f * z. Vi setter da:

Ay er kjent, og vi ønsker å estimere Az. Likningen som forbinder disse re-sidualene kan uttrykkes som følger:

Vi foreslår å dekomponere funksjonen f som summen av en Dirac-delta sentrert om 0 og en komplementær funksjon: der 5(o) = a og a er en konstant som er stor nok til å sikre konvergens. Funksjonen g er lik f '\ hele definisjonsområdet bortsett fra i 0: g(o) = f( 6)- a. Utvidelse til flere dimensjoner er rett frem. Ved innsetting av denne relasjonen i residual-likningen får vi:

I frekvensdomenet blir denne likningen: der AYer den fouriertransformerte av Ay, AZ den fouriertransformerte av Az, G den fouriertransformerte av g og d er en konstant lik 5(0). Ved å integrere denne likningen i en iterativ relaksasjonsprosess får vi:

Invers transformasjon av 4Z/+i gir korreksjonen som skal anvendes på den gaussiske hvite støyen z,.

Det siste uttrykket er kjernen i algoritmen utviklet for å rekonstruere en realisering. Prosessen er som følger: 1. Estimering av kovariansfunksjonen og beregning av G og d. 2. Initialisering: tilfeldig trekking av en initiell gaussisk hvit støy z0, og

Azo= 0.

3. I trinn/'(/'= 0, 1,2, 3 ...)

4. Simulering av realisering yi= f * z?.

5. Beregning av Ay,- = yref- ytog av dens fouriertransform AY,.

6. Beregning av AZ,-, den fouriertransformerte av Az,-.

7. Beregning av AZi+ 1 = ( AYf - GAZf ) ld.

8. Beregning av Azi+ 1, den inverst fouriertransformerte av AZi+ 1.

9. Oppdatere z/+1= zt+<Az>/+1.

10. /' = og retur til punkt 3 inntil Ay?er liten nok.

Denne rekonstruksjonsmetoden kan anvendes for rekonstruksjon av kontinuerlige realiseringer. Den kan anvendes alene, men da oppstår problemet med definisjon av den initielle gaussiske hvite støyen. Et nyttig alternativ består i å bruke et Wiener-filter for hurtig å konstruere en initiell gaussisk hvit støy som deretter kan forbedres gjennom relaksasjon. Dette punktet vil bli behandlet senere.

Figurene 5A, 5B og 6 illustrerer en anvendelse av metoden med rekonstruksjon ved relaksasjon. Vi betrakter en én-dimensjonal referanserealisering (RR) diskretisert med 10000 celler (abscisseaksen) og kjennetegnet ved et sfærisk variogram med en korrelasjonslengde på 3000 celler. Aller først finnes en første tilnærming til den initielle gaussiske hvite støyen ved anvendelse av Wiener-filteret; dette gjør det mulig å generere en realisering (A) som er identisk med referanserealiseringen, bortsett fra ved rendene (figur 5A, der ordinataksen angir verdien til den fysiske størrelsen assosiert med cellen). Denne hvite støyen er gaussisk, som kan ses av fordelingen i figur 5B. Denne støyen blir deretter korrigert iterativt ved relaksasjon. Referanserealiseringen blir da mye bedre reprodusert, som kan ses i figur 6, der abscisseaksen angir cellenummeret og ordinataksen angir verdien til den fysiske størrelsen assosiert med cellen.

Rekonstruksjon ved filtrering

Den tredje algoritmen anvender det optimale Wiener-filteret. Den er egnet for geostatistiske metoder som avhenger av et konvolusjonsprodukt. Denne tredje algoritmen gjør det i én enkelt iterasjon mulig å rekonstruere kontinuerlige modeller, og den kan utvides til rekonstruksjon av facies-baserte mod eller. La oss gå tilbake til dekonvolusjonsproblemet beskrevet i den forrige seksjonen. For å overvinne denne vanskeligheten foreslår vi bruk av et optimalt Wiener-filter.

I frekvensdomenet blir likningen yref = f * zrej- W\

der Yref, F og Z henholdsvis er de fouriertransformerte av yKf, fog z. Anvendel-sen av Wiener-filteret omfatter det å erstatte F<1>med f/^|F|2 + e jfor å beregne Z fra Yret. F er den komplekskonjugerte til F og e er en tilstrekkelig liten konstant. Vi estimerer da den gaussiske hvite støyen z fra:

der TF<1>betyr invers fouriertransformasjon.

Denne rekonstruksjonsmetoden er egnet for kontinuerlige realiseringer, og den kan utvides til facies-realiseringer. Facies-realiseringen blir derfor kon-vertert til en kontinuerlig realisering. Fremgangsmåten beskrevet i følgende dokument kan anvendes for dette formål: - Le Ravalec, M., og Roggero, F., 2003, Méthode pour élaborer plus rapidement un modéle stochastique représentatif d' un réservoir hétérogéne souterrain, con-traint par des données statiques et dynamiques incertaines, patentet 03/02 199.

Deretter bestemmes et sett av tilfeldige tall som gjør det mulig å gjenskape denne kontinuerlige funksjonen. Denne metoden er ekstremt rask fordi den bare krever beregning av tre fouriertransformer. På den annen side har den uønskede randeffekter. Den beregnede gaussiske hvite støyen gjør det ikke mulig å gjenskape referanserealiseringens render over en bredde lik korrelasjonslengden. Denne ulempen kan reduseres ved å utvide referanserealisering ens bærer. Referanserealiseringens symmetri med hensyn til hver rand kan for eksempel anvendes.

Figur 4 illustrerer en anvendelse av metoden med rekonstruksjon ved filtrering. Vi betrakter en én-dimensjonal referanserealisering (RR) diskretisert med 10000 celler (langs abscisseaksen; ordinataksen angir verdien til den fysiske størrelsen assosiert med cellen) og kjennetegnet ved et sfærisk variogram med en korrelasjonslengde på 3000 celler. Referanserealiseringens bærer utvides, for eksempel ved å anvende symmetribetingelser (S1 og S2 i figur 4). Når Wiener-filteret anvendes på denne utvidede referanserealiseringen, oppnås en gaussisk hvit støy som gjør det mulig å tilnærme referanserealiseringen nokså nøyaktig (realisering A i figur 4).

Sekvensiell rekonstruksjon

Den fjerde algoritmen er knyttet til sekvensielle geostatistiske simulato-rer. Den anvender den sekvensielle tilnærmingen som anvendes for gaussiske, indikatriks-baserte eller flerpunks sekvensielle simuleringsalgoritmer, og den gjør det mulig å rekonstruere kontinuerlige eller facies-baserte modeller. Som i tilfellet med optimering er rekkefølgen som cellene gjennomløpes i fast. Anta at den anvendte sekvensielle simuleringsalgoritmen gjennomløper cellene i rekke-følgen 1, 2, 3 N, der N er antallet celler. Denne rekkefølgen er den samme for simuleringsalgoritmen og rekonstruksjonsalgoritmen. Prosessen er som følger.

1. I trinn/', behandling av celle/'.

2. Estimering av den betingede fordelingsfunksjonen i dette punktet.

3. Konvertering av verdien til y^ t i den aktuelle cellen til et uniformt fordelt tall i henhold til den identifiserte fordelingsfunksjonen. 4. Konvertering av det uniformt fordelte tallet til et normalfordelt tall i henhold til standard normalfordeling.

5. i=i+ 1 og retur til punkt 1.

Denne prosessen er egnet for gaussisk sekvensiell simulering, indikatriks-basert sekvensiell simulering og sekvensiell simulering med multipoint-statistikk.

Figurene 7A og 7B illustrerer en anvendelse av denne sekvensielle rekonstruksjonsmetoden. Vi ønsker å rekonstruere reservoarbildet vist i figur 7A. Simuleringsmetoden vi refererer til er sekvensiell tilnærming med multipoint-statistikk. Figur 7B viser reservoarmodellen rekonstruert fra en hvit støy. En meget god overensstemmelse observeres mellom referansemodellen og den rekonstruerte modellen. Forskjeller kan kun ses ved modellens render, i et bånd med en bredde som avhenger av størrelsen til malen som gjør det mulig å anvende multipoint-statistikken.

Ved å tilveiebringe rekonstruksjonsalgoritmer gjør fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen det mulig å rekonstruere en allerede etablert reservoarmodell som man ikke kjenner den direkte konstruksjonsmetoden for; verken den tilfeldige funksjonen eller de tilfeldige tallene er kjent lenger, og heller ikke hvilken iterative prosess som ga kalibreringen av produksjonsdataene.

Videre er de tilveiebrakte rekonstruksjonsmetodene kompatible med metoden med trinnvis deformasjon. Siden de går tilbake til de tilfeldige tallene tilveiebringer de en reservoarmodell som kan modifiseres lokalt eller globalt for å forbedre kalibreringen med hensyn til de dynamiske dataene eller integrere nyervervede data.

Claims (8)

1. Fremgangsmåte for å rekonstruere en numerisk, stokastisk modell, definert ved et minst én-dimensjonalt gitter i hvilket hver celle er tildelt en verdi for minst én fysisk størrelse som beskriver et porøst, heterogent medium,karakterisert vedat fremgangsmåten omfatter de trinn å: - bestemme en tilfeldig funksjon ved statistisk analyse av nevnte verdier i cellene som definerer nevnte numeriske, stokastiske modell, - velge en geostatistisk simulator, - identifisere et sett av tilfeldige tall som, når de mates til den valgte geostatistiske simulatoren, gir en representasjon som er nær nevnte numeriske, stokastiske modell.

2. Fremgangsmåte ifølge krav 1, der det trinn å bestemme den tilfeldige funksjonen omfatter det å dekomponere nevnte fysiske størrelse i to ledd, en ikke-stasjonær middelverdi og en perturbasjon, for å finne en ikke-stasjonær tendens.

3. Fremgangsmåte ifølge et hvilket som helst av de tidligere krav, der det trinn å identifisere de tilfeldige tallene omfatter bruk av én av følgende metoder: optimering, relaksasjon, filtrering, sekvensiell tilnærming og en kombinasjon av disse metodene.

4. Fremgangsmåte ifølge krav 3, der metoden med rekonstruksjon ved optimering omfatter det å minimere en målfunksjon som måler forskjellen mellom nevnte numeriske, stokastiske modell (yref) og en simulert modell (y).

5. Fremgangsmåte ifølge et hvilket som helst av kravene 3 og 4, der målfunksjonens gradient med hensyn til de tilfeldige tallene anvendes for å rekonstruere modellen ved optimering.

6. Fremgangsmåte ifølge krav 3, der metoden med rekonstruksjon ved filtrering anvendes på referanserealiseringen med en bærer som er utvidet for å gjøre det mulig å gjenskape referanserealiseringens render.

7. Fremgangsmåte ifølge krav 3, der metoden med rekonstruksjon ved sekvensiell tilnærming omfatter det å fastholde rekkefølgen som cellene gjennom-løpes i.

8. Fremgangsmåte ifølge et hvilket som helst av de tidligere krav, der det trinn å identifisere de tilfeldige tallene gjør det mulig å modifisere, ved gradvis deformasjon, den rekonstruerte modellen på en global eller lokal måte.