NO316003B1 - Fremgangsmåte for karakterisering av bilder som er dannet av et komplekst miljö slik som undergrunnen - Google Patents

Description

Foreliggende oppfinnelse vedrører en multivariabel statistisk fremgangsmåte for karakterisering av bilder som er blitt dannet av et komplekst miljø, slik som f.eks. undergrunnen, for å frembringe de rommessige relasjoner mellom elementene i miljøets struktur.

Fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen kan anvendes på mange områder, spesielt til optimal karakterisering av seismiske bilder.

Fremgangsmåten benytter en beskrivende dataanalyseteknikk som kalles rommessig berørings- eller forbindelsesanalyse, som vedrører rommessige data eller data forbundet med en forbindelsesgraf, slik som seismiske data.

De analyserte data består av en bildefamilie slik som f.eks. amplitudene av horisontene til en tredimensjonal seismisk kube (fig. 1a til 1e). Disse bildene viser flertrinns rommessige strukturer i liten skala og stor skala (mikro- og makrostruktu-rer) som eventuelt er forbundet med geologiske fenomener slik som kanaldannel-ser, forkastningsnett, osv., eller med forplantningen av bølger med dannelse av multipler, f.eks., eller med innsamling eller behandling av artifakter. Tilfeldig støy kan være blandet med disse strukturene.

De data som skal analyseres, blir betraktet som rommessige fordi de opptrer som bilder sammensatt av bildeelementer fordelt i et plan, karakterisert ved et visst antall målinger slik som amplituder målt på seismiske trasepartier, reflek-sjonskoeffisienter på diskontinuiteter, osv., som blir ansett som statistiske variable. For å ta hensyn til alle de strukturer som ligger i disse data, er det da svært viktig å ta både de rommessige forbindelsesrelasjoner for datene og de (geo)

fysiske karakteristikkene til disse i betraktning.

Den kjente rommessige forbindelsesanalyse (SCA) har vært gjenstand for mange publikasjoner, spesielt av: - L. Lebart, 1969, Analyse statistique de la contiguité, Pub. Ins. Stat., Paris VIII, 81-112.

Under betegnelsen «rommessig nærhetsanalyse», er vedkommende teknikk blitt anvendt spesielt til seismisk datafiltrering som beskrevet av: - Royer, J.J., 1984, Proximity Analysis: a Method forGeodata Processing, in Sciences de la Terre, n° 20, Proe. of the Int. Coll.: Computers in Earth Sciences for Natural Resources Characterization, April 9-13, Nancy, France, eller av - Faraj, A., 1994, Application of Spatial Contiguity Analysis to Seismic Data Filtering. In SEG - 64th Annual International SEG Meeting, Los Angeles, Oet. 23-28 1994, Expanded abstracts, vol. 1, Paper SP5.7,15841587.

Den består hovedsakelig i beregning av en familie av lineære kombina-sjonskomponenter av de innledende variable som minimaliserer den forbindelses-koeffisienten som er kjent som Geary's koeffisient, som definerer forholdet mellom den rommessige variabilitet og variansen.

Komponentene (som kalles rommessige komponenter) svarer til matriksens egenvektorer C'<1>r(h), hvor C er varians/kovarians-matrisen for de innledende data og r(h) matrisen for de variogramkryssede variogrammer ved den rommessige avstand h. De rommessige komponentene er vanligvis ordnet i avtagende rekke-følge av matrisens egenverdier.

Vanligvis antas det at de første komponentene (tilknyttet de lave egenverdiene), kalt regionale komponenter, representerer de rommessige storskala-strukturer. De siste rommessige komponenter (tilknyttet de høye egenverdiene), kalt lokale komponenter, angår de rommessige småskala-strukturer.

Det antas også at den informasjon som «bæres» av disse forskjellige komponentene, blir målt ved hjelp av de tilknyttede egenverdier.

Den metodologi som følges i rommessig forbindelsesanalyse, blir direkte modellert på den mer velkjente hovedkomponent-analyse (PCA). Det er imidlertid blitt observert at egenverdiene til matrisen C'<1>r(h) er dårlige målinger av den lokale varians for karakterisering og ordning av de rommessige komponenter. Under visse analyser er faktisk de komponenter som er tilknyttet de høyeste egenverdier, fullstendig meningsløse (f.eks. tilfeldig støy), mens de som svarer til mellomliggende egenverdier synes å ta bedre hensyn til (i det minste visuelt) både den statistiske og den rommessige informasjon i de innledende variable.

Selv om egenverdiene i virkeligheten er beregnet fra matrisene C og r(h) som innbefatter både de statistiske og rommessige innbyrdes avhengigheter mellom dataene, og selv ved måling av forbindelsesrelasjonene for faktorkomponentene, representerer egenverdiene hver et isolert informasjonselement (forhold mellom den lokale varians og den globale varians) som er spesiell for den rommessige komponent. Egenverdien er et kriterium som er godt bare for måling av den rommessige variabiliteten av den rommessige komponent. I motsetning til f.eks. hovedkomponent-analysen (PCA), der egenverdiene (av C) representerer den del av dataenes totalvarians som forklares av komponenten, er summen av egenverdiene som oppnås ved SCA, som er tr[C'<1>r(h)], meningsløs. Derimot blir det foretrukket å finne tr[T(h)] fordi den representerer summen av de lokale va-riansene av de innledende variable. Det er derfor nødvendig å definere nye kriterier for å kvantifisere den statistiske og rommessige informasjonen som inneholdes i de rommessige komponentene i SCA.

Fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen er en multivariabel statistisk fremgangsmåte for å analysere data tilknyttet (direkte eller indirekte) bildeelementer som viser fysiske egenskaper i et komplekst miljø, slik som f.eks. undergrunnen, hvor disse bildene blir oppnådd ved undersøkelse av miljøet (ved hjelp av f.eks. seismiske bølger) for å belyse de rommessige relasjoner mellom disse elementene. Fremgangsmåten er karakterisert ved at den omfatter: - rommessig analyse av dataene for å vise de rommessige egenskapene til hendelsene i en eller flere retninger, - anvendelse av dataene i en rommessig forbindelsesanalyse-teknikk for å finne den beste oppdeling av disse i rommessige komponentstrukturer, og - filtrering av de oppnådde strukturer ved oppsplitting for å trekke ut de mest relevante.

Fremgangsmåten omfatter f.eks.:

- identifisering av dataenes rommessige strukturer,

- separasjon av disse rommessige strukturene med fjerning av mulige redundanser, - dannelse, fra de innledende bilder, av syntetiske bilder eller rommessige komponenter som viser dataenes rommessige strukturer, - opptegning av en typologi for de innledende bilder i henhold til de rommessige strukturer som vises ved hjelp av de rommessige komponenter, og - filtrering av de innledende bilder for å undertrykke støyen og for å velge én eller flere identifiserte rommessige strukturer.

Den rommessige strukturen for dataene er f.eks. karakterisert ved en monovariabel eller bivariabel analyse av forskjellige variogrammer av bildeelementene.

Valg av den rommessige komponentstruktur blir oppnådd ved f.eks. å bestemme disses respektive bidrag til den rommessige variabilitet av dataene og variansen til dataene, og dette valget kan oppnås grafisk.

Fremgangsmåten muliggjør identifikasjon av de rommessige strukturer såvel som kvantifisering av den filtrerte informasjon uttrykt ved varians og rommessig variabilitet.

Generelt kan fremgangsmåten anvendes til analyse av alle jevnt eller ujevnt fordelte rommessige data.

Andre trekk og egenskaper ved fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen vil

fremgår av den følgende beskrivelse som omfatter to deler, den første del vedrø-rer de brede aspekter ved fremgangsmåten, den annen de statistiske verktøy som brukes for å utføre de forskjellige analysetrinn, og under henvisning til de vedføy-de tegninger, hvor:

- Fig. 1a til 1 f viser bilder av seks horisonter Z1 til Z6 i en seismisk blokk,

- Fig. 2a til 2h viser variogramkurven for seks bilder Z1 til Z6 i blokken, valgt i åtte retninger, - Fig. 3a, 3b viser to diagrammer av de rommessige komponentenes CS bidrag til henholdsvis den rommessige variabilitet (VS) og til variansen (V) for dataene, - Fig. 4a til 4f viser henholdsvis de rommessige komponentene (F1-F6) for forskjellige strukturer, - Fig. 5a til 5e viser representasjoner av de innledende variable på korrela-sjonssirkler tilknyttet fem faktorplan (PF(1,2) til PF(5,6))f - Fig. 6a til 6e viser representasjoner av de innledende variable på bidragssirkler tilknyttet faktorplanet (PF(1,2) til PF (5,6)), - Fig. 7a til 7f viser på de innledende bilder Z1 til Z6, den komponentstruktur F5-F6 som svarer til den rommessige struktur øst-vest, og - Fig. 8a til 8f viser den tilfeldige støy på de innledende bilder Z1 til Z6.

Fremgangsmåten blir anvendt på de data som er tilknyttet de forskjellige bildeelementer som er oppnådd ved seismisk undersøkelse av f.eks. undergrunnen, som skal analyseres for å belyse de rommessige forbindelsesrelasjoner mellom dem. Disse bildene er f.eks. trukket ut fra horisontene eller de seismiske sek-sjoner av en tredimensjonal «seismisk kube». Den omfatter hovedsakelig tre suk-sessive trinn.

I -1 Rommessig analyse

Dette innledende trinn som kalles en variografisk undersøkelse, består i å utføre en rommessig analyse av dataene, enten monovariable (en variabel om gangen) eller bivariable (dvs. ved å ta de variable to og to). Det er under dette trinn at de rommessige egenskapene til de innledende variable i forskjellige retninger vises: deres rommessige arrangement på forskjellige skalaer, den respektive utstrekning av den tilfeldige støy i de forskjellige bilder, den mulige forekomst av periodiske strukturer, osv.

Monovariabel variografisk analyse av dataene, (eller innledende variable) består i å analysere kurvene til variogrammene og autokorrelasjonene, overflate-variogrammene og autokorrelogrammene som er tilknyttet hver innledende variabel, og ved sammenlikne dem med hverandre for å frembringe spesielle rommessige oppførselen

Bivariabel variografisk analyse av dataene består i å analysere kurvene til de kryssede variogrammer og krysskorrelasjonene, de overflatekryssede variogrammer og krysskorrelogrammene som er tilknyttet de innledende variable, tatt to og to for å frembringe de variables rommessige korrelasjoner med hverandre.

Denne (monovariable eller bivariable) variografiske undersøkelsen er et første beskrivende trinn hvis hovedpunkt er å klassifisere de innledende variable i homogene, rommessige oopførselsgrupper istedenfor å modulere variogramkur-vene. De forskjellige variografiske verktøy som brukes: variogrammer, kryssede variogrammer, retningsmessige eller overflate-autokorrelasjoner og krysskorrela-sjoner, blir beregnet og visualisert for hele familien til de analyserte variable. Denne variografiske undersøkelsen kan vise relevante rommessige avstander.

I - 2 Anvendelse av den rommessige forbindelsesanalyse ( SCA)

Når denne foreløpige forberedelse er utført, blir det så utført én eller flere rommessige forbindelsesanalyser på dataene for å finne den beste oppsplitting av disse i ortogonale rommessige strukturer. Det er under dette trinn at det er mulig for brukeren å benytte dataene og hjelpeverktøy for resultattolkning som han eller hun får til disposisjon.

En eller flere analyser blir benyttet på dataene. Brukeren blir for implementering av disse analysene ledet av de rommessige avstander som er oppnådd under den foregående variografiske analyse.

Diagrammer

Relevansen til de rommessige komponenter som er et resultat av en gitt

analyse, er vist ved hjelp av to diagrammer: diagrammet i forhold til de rommessige komponentenes bidrag til dataenes rommessige variabilitet og diagrammet for de rommessige komponentenes bidrag til dataenes varians. Disse to diagrammene viser bidraget til de to aktuelle kriterier (bidrag til den rommessige variabilitet

definert nedenfor (se relasjon (17) og bidragene til variansen: (se relasjon (19)) for alle de rommessige komponentene i en analyse. Disse diagrammene gjør det mulig å velge de mest signifikante komponenter med hensyn til rommessig variabilitet eller varians.

De rommessige komponenter er ordnet i de to følgende rekkefølger:

1) i avtagende rekkefølge med hensyn til deres bidrag til dataenes rommessige variabilitet (se relasjon (20)). Det som kalles lokale rommessige komponenter er de første komponentene i denne rekkefølgen fordi de tar hensyn til dataenes småskala-struktur, 2) i avtagende rekkefølge for deres bidrag til dataenes varians (se relasjon (21)). Det som kalles regionale rommessige komponenter er de første komponentene i denne rekkefølgen fordi de tar hensyn til dataenes storskala-struktur.

Grafer

For lå analysere de innledende variable i forbindelse med de rommessige komponenter, er to variable representasjoner mulige og komplementære: 1) De for de fortegnsmessige bidrag av de rommessige komponenter til den rommessige variabiliteten av de innledende variable (se relasjon (15)). Slike variable som ligger i området mellom -1, og +1, gir sirkler (kalt bidragssirkler til den rommessige variabilitet innenfor hvilke de innledende bidrag er representert med prikker. 2) De for fortegnsbidragene av de rommessige komponenter til variansen av de innledende variable (se relasjon (18)). Slike variable som ligger i området mellom -1 og +1 gir sirkler (kalt bidragssirkler til variansen) innenfor hvilke de innledende variable er representert ved prikker.

Disse to komplementære grafiske representasjonene muliggjør tolkning av de innledende variable i forbindelse med de rommessige strukturer som komponentene fremviser.

Disse grafiske representasjonene (korrelasjon og bidragssirkler) kan også brukes til å sidestille de aktive variable og ytterligere variable, dvs. variable som i motsetning til sistnevnte, ikke spiller noen rolle når det gjelder å identifisere de rommessige komponenter på grunn av deres fortegnsbidrag (relasjonene (15) og (18)). Det kan f.eks. være et seismisk attributt som brukeren ønsker å posisjonere under analysen i forhold til de seismiske attributter som er involvert i analysen.

I - 3 Filtrering av variable

Sluttrinnet er filtreringstrinnet av de innledende variable eller av de variable som ikke er tatt i betraktning for identifisering av de rommessige komponenter, hvor brukeren kan trekke ut den struktur eller de strukturer han anser å være relevante i lys av hjelpeverktøyene og sin ekspertise på området.

Dette trinnet består i å undertrykke støyen og i å eliminere eller beholde én eller flere identifiserte rommessige strukturer. Resultatet er et støvfritt innledende bilde eller et bilde som inneholder bare den (lokal eller regional) struktur som anses som geologisk relevant av brukeren. Andre filtreringer er mulig avhengig av de lokale eller regionale komponenter som anses som slike av brukeren.

Denne filtreringen kan anvendes på de innledende variable såvel som på variable som ikke inngår i beregningene. Brukeren kan posisjonere disse variable i relasjon til de rommessige strukturer som er vist, ved eliminering eller uttrekking av disse strukturene.

1-4 Kvantifiserin<g> av de filtrerte strukturer

Fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen tilbyr brukeren en kvantifisering av de rommessige strukturer som er eliminert eller trukket ut fra de (aktive og ytterligere) variable både uttrykt ved rommessig variabilitet og varians, fordi de målinger som oppnås ved relasjonene (22) eller (23), er prosentandeler.

II ANALYTISK BESKRIVELSE AV DE ANVENDTE STATISTISKE

ANALYSEANORDNINGER

Påminnelse: For å få en bedre forståelse av det følgende vil de begreper og notasjoner som er kjent for en fagkyndig på området, først bli repetert.

Betrakt n objekter (i=1 til n) anbrakt ved punkter x, på et posisjonsplan og beskrevet ved hjelp av J variable Z<J> (j = 1 til J) slik at Zf er målingen av variable Z<J> på objektet i. Z = [Z/ ] er datamatrisen.

Ved konvensjonell dataanalyse blir slike data ansett som variable (i statistisk betydning) definert på en samling individer. De n målingene Z{ er realiseringer som er uavhengig av den tilfeldige variable Z<J>. Denne representasjonen fra-tar dataene den rommessige karakter.

I geostatistikk blir slike data vanligvis representert av et sett med regionaliserte variable (V.R.) betraktet som realiseringer av en familie Z(x) - {Z'(x);j=1, ..., J} av tilfeldige funksjoner av punkt x. (dvs. Z(x) er en tilfeldig vektorfunksjon med verdier i R'). Dermed er Z' (x,), som betegnes ved hjelp av Z{, en realisering av den tilfeldige funksjon Z<J> (x) av punkt x. De n multidimensjonale målinger (Z<1> (xJ.Z<2> (x,) Z<J> (x,)) er således realiseringer av n forskjellige tilfeldige vektorer anbrakt ved punktet x, på posisjonsplatene.

Uttrykket «regionalisert» er blitt foreslått for å beskrive et fenomen som sprer seg i rommet og oppviser en viss struktur. En regionalisert variabel blir ansett som en irregulær funksjon av punkt x siden den viser to motstridende aspekter: - ett, som er strukturert, tilknyttet et mer eller mindre rommessig storskala-arrangement, - den annen, lokal, som oppviser irregulariteter i mindre skala, som ikke kan forutsies fra ett punkt til ett annet.

Mellom disse to ekstreme akseptene ved signalet er der andre strukturer som beskriver rommessige arrangementer av dataene på mellomliggende skalaer. Det er alle disse strukturene vi foreslår å beskrive først ved hjelp av de geosta-tistiske verktøy.

Disse strukturene kan på grunn av dataenes multidimensjonale aspekt, være redundante i den grad de ville være felles for de J innledende variable. Når de først er vist, kan de brukes til å oppnå en statistisk og rommessig typologi av disse variable.

11-1 Implementering av den rommessige analyse

En retning blir valgt på dataposisjonsplanet, og en avstand blir betraktet i denne retningen. Både denne avstanden (som er en skalar) og vektoren (av dimensjon 2) som defineres av retningen og lengden h, blir betegnet med h. Den multivariable økning av Z mellom punktene x og x+h som er adskilt med avstanden h i den forutbestemte retning, blir betegnet ved

Z antas å være stasjonær av orden 2, noe som betyr at økningen AZ(h) har et null-gjennomsnitt, dvs. E[AZ(h)]=0, og en konstant varians E[AZ(h)<2>] bare avhengig av h. Under slike forhold blir matrisen r^h) av variogrammene - de kryssede variogrammene definert som matrisen til variansen/kovariansen til økningen AZ(h):

hvor CAz(h)A2(h) er matrisen til variansen/kovariansen tilknyttet kolonnene til AZ(h).

TJh) er en matrise av dimensjon JxJ generelt uttrykt ved:

Når retningen på dataposisjonsplanet er fastsatt, betegner så diagonalut-trykket til TJh) det semivariogram av Z' hvis verdi måler den rommessige variabilitet av Z ved avstanden h. Det eksperimentelle variogram blir brukt som en kurve avhengig av avstanden h. Det kunne også vært skrevet på følgende form:

hvor m(h) er det antall par som består av individer som rommessig er atskilt med h.

Uttrykket y^h) betegner på en måte den lokale kovarians mellom variable j og j" hvis vi som tilknyttet forbindelsesgraf betrakter den graf som angår de par som består av punkter som har en avstand h og er ordnet i retning av vektor h.

Likeledes representerer y^h), det lokale variansuttrykk av den variable j, en restriksjon av variansen til denne variable bare beregnet for de par som har en avstand h. Det representerer de rommessige fluktuasjoner som er tilknyttet denne avstanden. Betraktet som en kurve avhengig av h, gir formen av y, (fig. 2) informasjon om den rommessige oppførselen til den variable Z<1> for de forskjellige verdier av h.

Formålet med en konvensjonell variografisk undersøkelse er å modellere

eksperimentelle variogrammer ved hjelp av sfæriske eller eksponensielle teoretis-ke grunnmodeller. Den har også den fordel, fra et praktisk synspunkt, at den viser de overlappende rommessige strukturene til en regionalisert variabel. Et eksempel på en slik variografisk undersøkelse er f.eks. beskrevet av: - Isaaks, E.H., Srivastava, R.M., 1989, Applied Geostatistics, Oxford University Press, Oxford.

Innenfor rammen av foreliggende fremgangsmåte er formålet heller å vise rommessige oppførselsgrupper ved å sammenligne variogrammene til de J variable med hverandre for å avdekke rommessige strukturfamilier og bestemme de egnede avstander eller den egnede avstand for implementering av SCA.

II - 2 Implementering av den rommessige forbindelsesanalyse ( SCA)

Den rommessige forbindelsesanalyse (SCA) gjør det også mulig å vise de rommessige strukturer, å tolke og eventuelt filtrere dem. I virkeligheten prøver man å «fange» slike strukturer ved hjelp av faktorkomponentene i SCA.

Når den rommessige avstand h mellom individer eller objekter er blitt fastsatt i en gitt retning, skal en variabel f som er avhengig av h, bestemmes

som er en lineær kombinasjon av de innledende variable Z<J> hvis rommessige forbindelsesforhold for intervall h har en maksimumsverdi. Denne variable er den som realiserer maksimumsverdien av uttrykket:

dvs., som har både en maksimal rommessig variabilitet og en minimal varians. I dette uttrykket betegner Cs matrisen av dataenes varianser/kovarianser.

Der er J variable f<1> f,.... f løsninger på dette problemet (kalt romkom-ponenter) som svarer til egen vektorene u1,u°\ .... u<J> til matrisen C~^ TB( h),

hvor ua = u°[, ua2 u*)' eR<J>, anordnet etter stigende egenverdier:

Xa måler Geary's forbindelsesforhold

(kjent for spesialister) for den a. fak-

torkomponent.

Det er i denne rekkefølge at komponentene i en konvensjonell faktorana-lyse vanligvis blir presentert, idet hovedinformasjonen i dataene skyves forover

(i betydningen av det optimaliserte kriterium). Mesteparten av informasjonen bæres således av de første komponentene. Dette trekker en parallell mellom komponentene i SCA (storskala-strukturer på de første komponenter og mikrostrukturer eller tilfeldig støy på de siste) og f.eks. de i hovedkomponent-analysen (større varians på de første komponenter og tilfeldig støy på de siste).

Statistiske og rommessige egenskaper ved de rommessige SCA- komponenter

Geary's koeffisient

kombinerer to kriterier: et rommessig kriterium

ved telleren og et algebraisk (eller statistisk) kriterium ved nevneren, og gjør det dermed mulig å beregne faktorkomponenter med maksimal varians og minimal rommessig variabilitet. Disse komponentene har den egenskap at de danner både en statistisk og rommessig ortogonal basis, men det synes som om sistnevnte egenskap ikke er blitt utnyttet av de mange forfattere som har bearbeidet emnet.

Det er nøyaktig denne egenskapen som gjør det mulig å konstruere resultat-tolkningsverktøy.

La F = [/<*>•] fiYn være den rektangulære tabell av målingene av de J

faktorkomponentene i SCA (i kolonner) på de n individer (i rader).

Når de innledende variable er blitt sentrert, er også faktorkomponentene det. Vi viser at matrisen CFF for variansene/kovariansene av F blir skrevet som føl-ger: hvor Ij er identitetsmatrisen JxJ. Matrisen av de lokale varianser/kovarianser (variogrammer/kryssede variogrammer) som er tilknyttet faktorkomponentene, blir skrevet på følgende måte:

hvor A er diagonalmatrisen av egenverdiene ( K) a, i r

Korrelasjonskoeffisienten for to komponenter f og f9 blir med andre ord skrevet på følgende måte: og deres kryssede variogram:

Romkomponenten er således ortonormale. Videre er deres lokale varianser, verdier av deres variogrammer for avstanden h, lik analysens egenverdier. Deres lokale kovarianser, verdier av deres kryssede variogrammer for avstanden h, er null to og to. De er således rommessig uavhengige. Interessante relasjoner kan således utledes fra dette vedrørende oppsplittingen av den lokale varians/ kovarians-matrise, variogrammer/kryssede variogrammer, for de innledende variable. Vi kan vise at dens generelle uttrykk kan skrives på følgende form:

og mer spesielt variogrammet til den variable 2: Og siden

blir den lokale varians (verdien av vario-

grammet for avstanden h) for en regionalisert variabel Z! skrevet som et gjennomsnitt veid ved hjelp av cor2 (Z<j>,P) av de lokale varianser (verdier av variogrammene for avstanden h) av romkomponentene f for SCA.

Betraktes relasjon (13), blir den lokale varians/kovarians-matrise, variogrammer/krysseded variogrammer, vanligvis skrevet på følgende form:

hvor A er diagonalmatrisen for egenverdiene av Cz^r2Z(A) og CFZ den for kovari-ansene mellom faktorkomponentene f° (i rader) og de innledende variable Z!

(i kolonner).

II - 3 Verktøy som hjelper til å tolke resultatene av en SCA

I den følgende beskrivelse blir det antatt at SCA-analysen er blitt anvendt for en forutbestemt vektor h på dataposisjonsplanet. Alle resultatene (egenverdier ka, faktorkomponenter f, osv.) av SCA avhenger således av denne vektoren h.

Definisjonen av y^h) i (13) viser at det uttrykket som vi definerer på følgen-de måte:

ligger i området -1 og 1. Det måler fortegnsbidraget av den a. faktorkomponent til den rommessige strukturen (eller variabiliteten) av de variable Z<j>. En slik definisjon gjør det mulig å ha både negative og positive verdier av bidraget for derved å til-dele det en rolle som er identisk med korrelasjonen. Det er derfor lønnsomt å representere de innledende verdier på sirkler kalt bidragssirkel (sirkel med radius 1, fig. 3) som blir brukt i likhet med korrelasjonssirklene (fig. 2) som brukes i hovedkomponent-analysen.

Det skal bemerkes at for enhver variabel Z!

Hvis I cntt^.f) I»1, kan vi faktisk si at komponenten f i stor grad bidrar til den lokale varians (eller den rommessige variabilitet) av den variable Z<1>.

Sirkelen for de rommessige bidrag gjør det mulig å tilveiebringe typologien av de innledende variable med en større nøyaktighet.

Videre definerer vi:

Dette uttrykket som ligger i området mellom 0 og 1, måler bidraget til den a. faktorkomponenten til den rommessige strukturen (eller variabilteten) i dataene.

Dette bidraget er alltid høyere enn cnt(f) «1.1 nevneren til det annet uttrykk i

relasjonen (17), representerer

den totale lokale varians i

dataene. Telleren i det tredje ledd i uttrykk (17) viser at bidraget til en rommessig komponent til den rommessige variabilitet av dataene, er en sum av de lokale varianser for de innledende variable veid ved hjelp av de absolutte bidrag I cnt(Z<J>,f) I for komponenten til den rommessige variabiliteten i de variable. Den rommessige strukturen til en variabel er således mer signifikant jo høyere verdien av cnt^.P) er i absolutt verdi.

Det første leddet cnt(Z',P) er på den ene side nyttig til tolkning av faktorkomponentene som en funksjon av de innledende variable, og for det annet når det gjelder typologien. En variabel C som fra et rommessig synspunkt har den største likhet med komponenten f, er den variable for hvilken verdien av

I cntfZ^P I er nær 1. Et slikt resultat blir visualisert, som vist ovenfor, ved hjelp av bidragssirkelen ved å representere de innledende variable på et faktorplan ( f1, f) ved hjelp av deres koordinater cnt(Z',f) og cnt(Z',f<p>).

Det annet ledd cnt(f) er et globalt mål av den rommessige variabilitet gitt av hver komponent. Det er en deskriptor av den rommessige informasjonen som bæres av de viste strukturer. Dette kriteriet er nyttig som vi skal se nedenfor, når det gjelder å velge de mest signifikante komponenter. Det er på grunnlag av dette kriteriet, og ikke lenger egenverdiene, at faktorkomponentene blir ordnet i avtagende rommessige bidrag. Disse leddene er imidlertid ikke tilstrekkelig til å beskrive dataene globalt. De tar ikke hensyn til dataenes varians som er avgjørende når det gjelder å måle den del av den statistiske informasjon som er gitt ved komponentene.

Det følgende uttrykk blir derfor tatt:

som ligger i området mellom -1 og 1, og måler fortegnsbidraget av den a. faktorkomponent til variansen av den variable Z<1>. Definisjonen av dette uttrykket er et resultat av det faktum at

fordi de innledende variable er sen-

trert og redusert.

Mer generelt måler uttrykket

som ligger mellom 0 og 1, bidraget av den a. faktorkomponent til dataenes varians. For hver komponent har vi derfor målingen av variansdelen av dataene som forklares ved dette. I relasjon (19) representerer nevneren

i det annet ledd dataenes totale varians.

I mangel av de egenverdier som er direkte tilgjengelige med PCA-analyse, gir verdiene av cntV(f) informasjon om variansdelen som bæres av de rommessige komponenter som fremkommer ved SCA. Jo større cntV(f) er, jo mer kan f

sammenlignes med en hovedkomponent i PCA (høy varians forklart). I praksis er det en sterk korrelasjon mellom den første komponenten g<1> i PCA og den kompo-

nent av SCA for hvilken cntV(g<1>) =crj. Dessuten er det vist at cnt(g<a>) =

en

andel av den treghet som forklares ved hjelp av den a. hovedkomponent ga i PCA.

Jo større cnt(fa) er, jo mer uttrykker komponenten en høy rommessig variabilitet for dataene. Følgelig er det nyttig å ordne komponentene f fra SCA i avtagende rekkefølge av cnt(f), dvs.: og på den annen side, i avtagende rekkefølge av cntV(f), dvs.:

Fig. 5 og 6 viser de respektive diagrammer for uttrykkene cnt(f) og cntV(f) for komponentene til dataenes rommessige variabilitet og til dataenes varians.

De q første komponentene i relasjon (20) refereres til som lokale komponenter fordi de tar hensyn til småskala-datastrukturen, mens de p første komponenter i relasjon (21) refereres til som regionale komponenter fordi de uttrykker storskala-datastrukturen.

Noen komponenter kan være både regionale og lokale. Komponentene f som er sist i begge relasjonene (20) og (21), dvs. for hvilke vi har både cnt(f)* 0 og cntV(P)* 0, er lite signifikante og betraktes som tilfeldig støy.

Den del av den rommessige variabilitet som kan forklares ved de q første lokale komponenter, er:

Den del av dataenes varians som forklares av de p første regionale komponenter, er:

Den nødvendige betingelse for beregning av bidragene (cntV(f) for en familie med faktorkomponenter, er at sistnevnte må være ortogonale.

Bidraget til den rommessige variabilitet cnt(g<a>) kan ikke resiprokt integreres som et hjelpeverktøy mot tolkning av komponentene i hovedkomponent-analysen PCA. For beregning av cnt(g<a>), må ga være rommessig ortonormal (dvs. at deres lokale kovarianser er null to og to). Dette er tilfellet med komponentene i SCA, men ikke i PCA.

Faktorkomponentene som både er statistisk ortogonale og rommessig uavhengige, som et resultat av fremgangsmåten ifølge oppfinnelsen, gjør det mulig å ta hensyn til de rommessige strukturer som finnes i dataene. Når de er kjent, kan disse strukturene brukes til finbeskrivelse av de seismiske bilder.

11-4 Filtrering av innledende variable

En eller flere regionale deler Z<n>Jgional ( h) som representerer rommessige storskala-fenomener og én eller flere lokale deler Z<l>Jokal ( h) som representerer rommessige småskala-fenomener kan henholdsvis trekkes ut fra enhver innledende variabel Z<J>. Disse nye variable blir skrevet på følgende måte:

De regionale og lokale komponenter som opptrer i ligningene (24) og (25) blir valgt av brukeren på grunnlag av diagrammene over de rommessige komponentenes bidrag til variansen og til dataenes rommessige variabilitet.

Eksempel på anvendelse av SCA på et datasett

De seks bildene Z1 Z6 på figurene 1a til 1 f representerer amplitudene til de seks horisontene i en seismisk blokk. Tre strukturer kan ses på disse bildene, av hvilke noen er sammenflettet: en struktur av øst/vest-orientering som er felles for bildene Z1, Z2 og Z3, en struktur av nord/syd-orientering som er felles for bildene Z4, Z5 og Z6, og tilfeldig støy blandet med de to nord-øst- og øst/vest-strukturene som hovedsakelig er på bildene Z2, Z4 og Z6. Øst/vest- og nord/syd-strukturene er rommessige storskala-arrangementer, mens den tilfeldige støy i stedet opptrer i mindre skala.

Selv om bildene Z1, Z2 og Z3 (henholdsvis Z4, Z5 og Z6) som dessuten er strukturmessig like, oppviser de svake korrelasjoner med hverandre på grunn av

den tilsynelatende forskyvning av de linser som utgjør hvert av bildene, som vist i korrelasjonstabellen nedenfor. Denne svake korrelasjonen gjør atskillelse av disse strukturene vanskelig eller helt umulig ved hjelp av en konvensjonell multivariabel metode (slik som PCA) basert bare på korrelasjonene mellom de variable.

Variogrammene til de seks bildene i åtte retninger (nord/syd, N220, N450,

N670, øst/vest, N67E, N45E og N22E) er vist på bildene 2a til 2h. Noen retninger (N450 og N45E) gjør det ikke mulig å skjelne de seks bildene fra hverandre, mens nord/øst- og øst/vest-retningene atskiller kurvene bedre og viser to homogene og godt atskilte rommessige oppførselsfamilier. Periodisitetene til de horisontale hendelser (bildene Z1, Z2 og Z3) og til de vertikale hendelsene (Z4, Z5 og Z6) synes på de tilsvarende variogrammer. Disse variogrammene gir et mål på denne perio-disiteten (« 35 meter).

Det kan også bemerkes at spranget i nærheten av origo (for alle variogrammene) er forskjellig fra ett bilde til et annet. Sistnevnte er ordnet i stigende rekkefølge av verdien ved origo på følgende måte: Z1, Z5, Z3, Z2, Z4 og Z6. Det er nøyaktig i denne rekkefølge som bildene er ordnet fra de som omfatter minst støy til de med mest støy.

Hvis SCA skal anvendes for å atskille den rommessige støyen for de to andre storskala-strukturene uten å skjelne mellom disse to strukturene, må avstanden nær origo velges.

Hvis disse to storskala-strukturene derimot skal atskilles, bør SCA anvendes i nord/syd- eller øst/vest-retningen over en avstand på 18 meter, som svarer til den avstand som er optimal for atskillelse mellom de to bildefamiliene. SCA vil bli anvendt for avstanden på 18 meter i nord/syd-retningen.

Det kan bemerkes, på fig. 3a, 3b som gir egenverdiene og bidragsdia-grammene for den rommessige variabilitet og variansen til de seks romkomponentene, at komponentene har tilnærmet ekvivalente verdier av variansbidraget. Det er da det rommessige variabilitetskriteriet som er viktig når det gjelder å skjelne de rommessige komponenter fra hverandre. Komponentene F4, F5 og F6 er således vist å være signifikante.

Komponentene F5 og F6 (fig. 4e og 4f) viser øst/vest-strukturene, mens F1 og F2 (fig. 4a, 4b) viser nord/syd-strukturene. Komponent F3 (fig. 4c) blander nord/syd-strukturen med den tilfeldige støy. Komponent F4 (fig. 4d) innfanger den tilfeldige støy og skiller den fullstendig fra de andre strukturene.

Graftypene på fig. 5a til 5e og fig. 6a til 6e (korrelasjoner og bidrag til

den rommessige variabiliteten til de variable) gjør det mulig å posisjonere de innledende bilder i forhold til de rommessige komponenter. Denne posisjoneringen har en funksjon for tolkning av dataene (innledende data og komponenter) i relasjon til hverandre. Faktorplanene (F5-F6) for korrelasjonene (fig. 5a-5e) og for bidragene (fig. 6a-6e) viser dermed at komponentene F5 og F6 er sterkt korrelert med (og sterkt bidrar til) bildene Z1, Z2 og Z3. Den høye rommessige variabiliteten til bildene Z2, Z4 og Z6 kan likeledes ses takket være romkomponenten F4.

Komponentstrukturen F5-F6 svarer til den rommessige øst/vest-struktur. Sistnevnte befinner seg hovedsakelig på bildene Z1, Z2 og Z3 (fig. 7a-7c). Bildene på figurene 7a til 7f svarer til uttrekkingen av denne strukturen fra de innledende bilder. Det kan bemerkes at de som inneholder den (Z1, Z2 og Z3) utgjør en stor del av denne, mens de andre (Z4, Z5 og Z6) bare gir en neglisjerbar mengde av den (fig. 7d til 7f).

Struktur F4 svarer til den tilfeldige støy. Bildene på fig. 8a til 8f viser denne støyen som befinner seg i hvert av de innledende bilder, hovedsakelig på bildene 72, Z4 og Z6 (henholdsvis fig. 8b, 8d og 8f).

Tabellen nedenfor gir prosentverdiene av den rommessige variabilitet (ent) og varians (cntV) til komponentstrukturene F5-F6 og F4 som inneholdes i de innledende bilder. Disse verdiene gjør det mulig å velge de innledende bilder i henhold til de viste komponentstrukturer.

Eksempler på anvendelse av fremgangsmåten til karakterisering av et volum av undergrunnen er blitt beskrevet. Det er imidlertid opplagt at fremgangsmåten også kan anvendes mer generelt til karakterisering av alle rommessige data hvor enheter forbundet med rommessige kontinuitetsgrafer skal behandles. Fremgangsmåten kan f.eks. finne anvendelse, og uten noen begrensninger, i alle geovitenskapene, spesielt geografi, agronomi, hydrogoli, landmåling, osv.

I de ovenfor beskrevne eksempler er objekter (bildeelementer) med en jevn rommessig fordeling blitt betraktet. Det er imidlertid opplagt at fremgangsmåten også kan anvendes på objekter som har enhver rommessig fordeling.

Claims (9)

1. Multivariabel statistisk fremgangsmåte for å analysere data tilknyttet bildeelementer som representerer hendelser i et komplekst miljø, slik som f.eks. undergrunnen, hvor disse data blir fremskaffet ved undersøkelse av miljøet for å avdekke rommessige relasjoner mellom disse elementene, karakterisert ved: - å utføre en rommessig analyse av dataene for å vise de rommessige egenskapene til nevnte hendelser i flere retninger, - å anvende en rommessig forbindelsesanalyse på dataene for å finne den beste oppdeling av disse i rommessige komponentstrukturer, og - å filtrere de strukturene som er frembrakt ved oppdeling, for å trekke ut de som er mest relevante.

2. Fremgangsmåte ifølge krav 1, karakterisert ved: - å identifisere dataenes rommessige strukturer, - å separere de rommessige strukturer ved eliminering av mulige redundanser, - å danne, fra de innledende bilder, syntetiske bilder eller rommessige komponenter som viser dataenes rommessige strukturer, - å tegne opp en typologi for de innledende bilder i henhold til de rommessige strukturene som vises ved hjelp av de rommessige komponentene, og - å filtrere de innledende bilder for å undertrykke støy og velge en eller flere identifiserte rommessige strukturer.

3. Fremgangsmåte ifølge noen av kravene 1 eller 2, karakterisert ved å identifisere dataenes rommessige struktur ved analyse av forskjellige variogrammer av bildeelementene.

4. Fremgangsmåte ifølge krav 3, karakterisert ved å utføre en monovariabel variografisk analyse av bildeelementene.

5. Fremgangsmåte ifølge krav 3, karakterisert ved å utføre en bivariabel variografisk analyse av bildeelementene.

6. Fremgangsmåte ifølge et av kravene 1 eller 2, karakterisert ved å velge rommessige komponentstrukturer ved å bestemme disses respektive bidrag til dataenes rommessige variabilitet og varians.

7. Fremgangsmåte ifølge krav 6, karakterisert ved å utføre utvelgelsen grafisk.

8. Fremgangsmåte ifølge krav 1 eller 2, karakterisert ved å kvantifisere de valgte rommessige strukturer både uttrykt ved rommessig variabilitet og varians.

9. Fremgangsmåte ifølge krav 1 eller 2, karakterisert ved å analysere jevnt eller ujevnt fordelte rommessige data.