MXPA02006562A

MXPA02006562A - Proceso de programacion de un corredor de trenes, que incluye una funcion de costo de horario factible equilibrado.

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Publication number: MXPA02006562A
Application number: MXPA02006562A
Authority: MX
Inventors: R Doner Joh
Original assignee: Ge Transp Systems Global Signa
Priority date: 1999-12-30
Filing date: 2001-01-02
Publication date: 2003-04-10
Also published as: WO2001049547A1; DE10194720T5; US6304801B1; CA2395065A1; WO2001049547A9; AU3085001A; AU781542B2

Abstract

Un proceso para programar el viaje de trenes en un corredor de rieles. El corredor de rieles incluye una pluralidad de vias de desviacion sobre las cuales se pueden desviar los trenes cuando ocurre un encuentro o paso con otro tren en el corredor. Se usa un proceso de busqueda de gradiente con una funcion de costo para determinar el horario optimo por medio de mover cada encuentro y paso a un desviadero. Los horarios de trenes individuales se cambian por medio de cambiar la velocidad del tren y/o la hora de salida del tren (es decir, la hora a la cual el tren entra en el corredor). Apendice A - Propiedades de las Funciones Sigmoidea y de Localizador. (Ver formula A1,A2) El siguiente resultado sigue de la derivacion de la funcion de localizador en el cuerpo de este documento, y de la aplicacion de la Premisa 2. Premisa 3: Digamos que (-(, w) , (a1,b1),... (aN, bN), (e,() representan intervalos mutuamente separados, con -( < a1 < b1 < a2... <aN < bN <(. Entonces L(x;a,() esta definido para ser inferior si y solo si x esta en, o cerca de uno de los intervalos (-(,w) , (a1,b1),... (aN, bN) , (e,() toma la forma (ver formula A3) Apendice B - Una Aproximacion de Tiempo de Detencion del Tren La formula basica para la aceleracion/desaceleracion de un cuerpo es F = M A (B1), en donde F = la fuerza de frenado aplicada, M = la masa del cuerpo A = la aceleracion del cuerpo. Un tren tiene frenos en cada carro, y cada carro tiene masa, por lo tanto presumiremos que la fuerza de frenado maxima total y la masa son proporcionales a la longitud del tren. Por lo tanto, la Ecuacion B1 se puede escribir como A = k, (B2), es decir, la aceleracion disponible al maximo frenado es (aproximadamente) independiente de la longitud o masa del tren. Para evaluar k, suponemos que un tren que se mueva a 50 mph se puede detener en 1 milla, por lo tanto su velocidad promedio durante la desaceleracion (lineal) seria de 25 mph, y el tiempo requerido para alcanzar un paro total seria (1 mi./25 mph) (60 min/hr) =2.4 minutos. Asi, la ecuacion que relaciona la velocidad del tren v con el tiempo de detencion f(v) toma la forma f (v) = v/A = v/k (B3). y 2.4 = 50/k por lo tanto k = 50/2.4 = 20.83 (mph/min.) Entonces la forma final es f (v) = v/20.83 (B4), en donde f (v) esta en minutos, y v en millas por hora. Apendice C - Glosario de las Variables Ai(t), -- la funcion de sancion por llegar tarde, evaluada para el tren Ti (Ecuacion 7-1) Aih -- la hora de llegada del fin del tren Ti en la orilla corriente arriba del desviadero sh A(s,d) - - el componente de funcion de costo que obliga las llegadas a tiempo ah -- la distancia desde el extremo oeste del corredor1 en el cual empieza el desviadero Sh Bih -- la la variable de decision en cuanto a si el tren Ti se desvia en el desviadero Sh bh -- la distancia desde el extremo oeste del corredor1 en el cual termina el desviadero Si ( ai < bi) C(s,d) -- la funcion de costo que obliga las intersecciones de trayectoria en los desviaderos. Ch --.

Description

PROCESO DE PROGRAMACIÓN DE UN CORREDOR DE TRENES, QUE INCLUYE UNA FUNCIÓN DE COSTO DE HORARIO FACTIBLE EQUILIBRADO CAMPO DE LA INVENCIÓN Esta invención se relaciona con un proceso para programar el movimiento de trenes sobre un corredor de rieles que tiene una pluralidad de desviaderos o vías paralelas con conmutadores de vía de traspaso.

ANTECEDENTES DE LA INVENCIÓN Un corredor de rieles es una colección de vías y desviaderos que conectan dos áreas de terminales de rieles. Se muestra un ejemplo de un corredor de rieles 8 en la Figura 1, que muestra una sola vía principal 10 y tres desviaderos 20. El extremo occidental del corredor de rieles está en el lado izquierdo de la Figura 1 y el extremo oriental en la derecha. La programación del transporte de rieles sobre un corredor de rieles es particularmente complejo en comparación con el transporte por autopistas, agua o aire. Los trenes que usan una sola vía que viaja en direcciones contrarias (es decir, un encuentro) o los trenes que viajan en la misma dirección (es decir, un paso) , deberán encontrarse en la vecindad de un desviadero de manera que un tren se pueda desviar para dejar que pase el otro. De manera alternativa, si existe una doble línea principal con conmutadores de vía de traspaso, un tren se puede conmutar a la segunda línea principal para permitir que pase el otro tren. También, cuando ocurren estos encuentros o pasos en un desviadero, el desviadero que se selecciona debe ser suficientemente largo para acomodar el tren que se va a desviar, y el tren que se va a desviar debe llegar al desviadero y tener suficiente tiempo para arrastrarse sobre el desviadero antes de que el tren que está pasando llegue al desviadero. El ferrocarril debe ganar ingresos de sus operaciones de transporte, y algunos de estos ingresos están en riesgo si los trenes no pueden entregar el flete a tiempo. El tiempo de llegada de los trenes se debe administrar hasta donde sea posible para evitar sanciones por llegar tarde en las que haya incurrido el ferrocarril. Por lo tanto, la programación de trenes a través de un corredor de rieles incluye configurar los encuentros y los pasos según se requiere para todos os trenes, y mientras cumplir también con el horario para cada tren de manera que todos lleguen, a tiempo, al final del corredor. Los procesos de programación que se aplican de manera comercial que se han intentado hasta la fecha se han basado en los paradigmas que incluyen la simulación con técnicas de ramificaciones y destinos para encontrar un horario libre de conflictos. Ya que un sistema de ramificaciones y destinos deberá seleccionar a través de muchas selecciones binarias a medida que procede hacia una solución, estas técnicas son lentas, y no aprovechan las relaciones cuantitativas que se pueden alegar a partir del contexto de programación de horarios . Adicionalmente, la técnica anterior busca procesos que en realidad se han hecho más complejos y toman más tiempo para llegar a una solución a medida que aumenta el número de desviaderos en el corredor de rieles. Esto se debe a los algoritmos de búsqueda que forman la base para estas técnicas de la técnica anterior. Más desviaderos requieren que el algoritmo de búsqueda busque a través, y considere más selecciones antes de llegar a una solución óptima. Como se mostrará más adelante, la técnica de la presente invención supera esta desventaja. Debido a que la presente invención calcula una función de costo en donde cada desviadero representa un costo inferior, el tener más desviaderos hará más fácil para el algoritmo identificar el costo óptimo (es decir, mínimo) . Una técnica de la técnica anterior usa información cuantitativa tal como la velocidad del tren, el destino, y la hora de salida como variables discretas en un sistema que se basa en inteligencia artificial. El proceso de la inteligencia artificial incluye las normas que se usan para buscar a través de los casos de prueba hasta que se encuentra el mejor caso. Además del considerable tiempo que le toma a un sistema de inteligencia artificial optimizar una solución, también se sabe que un ligero cambio en las condiciones iniciales pudiera producir un resultado significativamente diferente. En cualquier caso, un ligero cambio en las condiciones iniciales requeriría un cálculo nuevo y prolongado para encontrar la solución óptima. Un producto comercial al que se hace referencia como El Planeador de Movimiento, que ofrece la GE-Harris Railway Electronics L.L.C. de Melbourne, Florida, implementa esta solución de inteligencia artificial. Como se puede ver, el conjunto total de parámetros para programar un corredor puede ser grande, y de tipo tanto discreto como continuo. En general, se puede formular una función de costo que se base en estos parámetros, y después se ejecuta algún método de búsqueda que reducirá el costo y/o encontrará un horario factible para los trenes en cuestión. Pero, la presencia de variables discretas en el espacio de búsqueda evita o complica grandemente la aplicación de cualesquier procesos de búsqueda "cuesta arriba" que se basen en el uso de gradientes.

COMPENDIO DE LA INVENCIÓN Las funciones de costo que son diferenciables en todo lugar, tienen la ventaja sobre las soluciones de inteligencia artificial de la técnica anterior de ser receptivos a los algoritmos de minimización que se basan en gradientes, que no tienen que acomodar las dificultades que surgen en los espacios de búsqueda discretos o parcialmente discretos. La presente invención es un proceso mediante el cual un corredor de rieles y el horario del tren a lo largo de ese corredor se pueden caracterizar mediante una función de costo diferenciable (es decir, continua) , de manera que se pueda aplicar un proceso de búsqueda que se basa en la diferenciación para programar la actividad del tren en el corredor. La presente invención es un proceso analítico para programar trenes a través de un corredor que se impulsa medíante una función de costo que se va a minimizar, en done la función de costo es una función continua y diferenciable de las variables de programación. La presente invención es una mejora sobre las funciones de costo de la técnica anterior que incluyen variables discretas y, por lo tanto, no se pueden diferenciar en todo lugar. La presente invención permitirá el uso de procesos de búsqueda que se basan en gradientes, y como tales, convergerán en soluciones mucho más rápidas que los procesos de programación de la técnica anterior que incluían la simulación, o la búsqueda a través de opciones discretas. El proceso de programación del corredor de la presente invención incluye tres pasos para la identificación del horario óptimo. Después de que se deriva una función de costo diferenciable aceptable, el primer paso es el proceso de búsqueda de gradiente en donde se determina el gradiente de la función de costo diferenciable. La función de costo es una suma de funciones localizadoras individuales. Para cada par de trenes en el corredor que se pudieran intersecar, usando la función localizadora, el punto de intersección se identifica como teniendo un valor elevado si las trayectorias del tren no se intersectan cerca de un desviadero, y valores inferiores a medida que el punto de intersección se mueve hacia un desviadero. El proceso de gradiente pudiera no mover todos los puntos de intersección de manera precisa hacia el centro de los desviaderos dependiendo del valor de umbral seleccionado y los valores paramétricos de la función localizadora. En lugar de esto, el proceso de gradiente varía las horas de salida del tren de manera que el conjunto de todos los puntos de intersección de los trenes se mueven más cerca de los desviaderos. La segunda fase del proceso simplemente mueve los puntos precisamente hacia los centros de los desviaderos, selecciona cuáles trenes desviar, y calcula los tiempos de llegada y salida exactos para los trenes en el desviadero para asegurar la integridad física del encuentro. Con el propósito de centrar los puntos de intersección en los desviaderos y desviar trenes específicos, se deben modificar las velocidades de los trenes individuales. Esto se logra durante el segundo paso del proceso de programación. El tercer paso mantiene las relaciones de los desviaderos apropiados entre cualesquier trenes de encuentro, como se determina en el paso dos, pero permite que varíe el tiempo de encuentro en un esfuerzo para asegurar que ningún tren exceda un límite de velocidad superior. Esta fase final es nuevamente un proceso de búsqueda de gradiente que se aplica a todos los puntos de encuentro que se determinaron en el segundo paso.

BREVE DESCRIPCIÓN DE LOS DIBUJOS La presente invención se puede entender mejor, y por tanto las ventajas y usos adicionales ser más aparentes, cuando se considera en vista de la descripción de las modalidades preferidas y las siguientes figuras, Los caracteres de referencia idénticos en las figuras hacen referencia a componentes idénticos de la invención. La Figura 1 ilustra un corredor de rieles sencillo. La Figura 2 es un diagrama en línea que ilustra el problema de la programación de corredor- en términos de lineas de- intersección. La Figura 3 es un diagrama de flujo para el proceso de programación de corredor de la presente invención.

La Figura 4 ilustra la geometría básica de las trayectorias del tren. La Figura 5 es una gráfica de la función sigmoidea básica. La Figura 6 ilustra el uso de sumas sigmoideas para discriminar un intervalo. La Figura 7 ilustra la construcción de una función localizadora a partir de las funciones sigmoideas. La Figura 8 ilustra un ejemplo de una función localizadora para dos desviaderos. Las Figura 9A y 9B muestran la modificación de una función localizadora para dar cuenta por los puntos extremos del corredor. La Figura 10 ilustra la geometría necesaria para conseguir una función localizadora equilibrada. Las Figura HA, 11B, y 11C ilustran una técnica para aproximar la función de sanción económica. La Figura 12 muestra una función de término de sanción por la salida anticipada de un tren. La Figura 13 es un horario de gráfica de hileras infactible inicial para doce trenes. La Figura 14 es una gráfica de hileras para los trenes de la Figura 13 después de una búsqueda de gradiente de la presente invención. La Figura 15 muestra el proceso mediante el cual se mueven los puntos de intersección a un centro del desviadero.

La Figura 16 muestra el movimiento del primer punto de intersección hacia un centro del desviadero. La Figura 17 ilustra el proceso de ajustes de velocidad para centrar todos los encuentros . Las Figuras 18A y 18B a las Figuras 24A y 24B ilustran ciertas infactibilídades que se crean por medio de centrar los encuentros en los desviaderos y la resolución de las mismas. Las Figuras 19A y 19B ilustran los dos tipos de conflicto de los desviaderos. Las Figuras 20A y 20B ilustran la resolución ' de ciertos conflictos de los desviaderos. Las Figuras 21A y 21B ilustran el conflicto del desviadero "sin solución". Las Figuras 22A a 22D ilustran la resolución de los dos tipos de conflictos de los desviaderos. Las Figuras 23A a 23E muestran los casos para inclinar los conflictos de los desviaderos que se pueden resolver. Las Figuras 24A y 24B muestran la resolución de los conflictos de los desviaderos que se puede resolver de manera ascendente. La Figura 25 ilustra las trayectorias del tren que se representan como segmentos de líneas quebradas.

La Figura 26 es una evaluación del vector de trayectoria del tren. La Figura 27 muestra un ajuste de la trayectoria del tren para acomodar los retrasos del desviadero. La Figura 28 muestra los detalles del desviadero para un tren desviado con rumbo al oeste. La Figura 29 ilustra los detalles del desviadero para los trenes que pasan con rumbo al este. La figura 30 es una gráfica de hileras completa que se ajusta para los encuentros centrados y los desviaderos del tren; y Las Figuras 31 y 32 son gráficas de flujo que ilustran los algoritmos implementados mediante la presente invención.

DESCRIPCIÓN DETALLADA DE LAS MODALIDADES PREFERIDAS Se hace referencia al método tradicional de la descripción por gráfica de un horario de trenes para un corredor de rieles, como una gráfica de hileras como se muestra en la Figura 2. Esta gráfica de hileras representa una gráfica de distancia del movimiento del tren en el corredor que se describe en la Figura 1. El eje horizontal representa el tiempo (es decir, la ventana de tiempo fija) y el eje vertical representa la distancia, siendo el punto en el origen de la gráfica el extremo occidental del corredor, y siendo el punto en la parte superior el extremo oriental del corredor. La anchura de la gráfica representa el período de interés en el cual se programarán los trenes. Las líneas inclinadas en un sentido de la gráfica representan el tráfico en una dirección a través del corredor, mientras que las lineas inclinadas en la dirección opuesta representan el tráfico dirigido de manera contraria. Solamente se muestra la posición de la máquina. Las barras horizontales a través de la gráfica, que llevan la referencia al carácter 20, corresponden con las ubicaciones de los desviaderos. La invención, como se presenta en la presenta, se describe en conjunción con un corredor de un solo riel con desviaderos. Pero aquellos expertos en la técnica reconocerán que se puede extender fácilmente apara multiplicar las líneas principales de las vías con conmutadores de vía de traspaso entre las líneas principales. El criterio esencial para un horario aceptable, se expresa en términos de la gráfica de hileras de la Figura 2, es que cualesquiera de las trayectorias (líneas) de los dos trenes en la gráfica se deben intersecar en un desviadero 20. Si sus encuentros son en los desviaderos, entonces en adición, se debe hacer una selección en cuando a cuál tren desviar. Note que, a menos que todas las lineas de intersección se intersecten en realidad dentro de los desviaderos 20, el horario es infactible. Suponiendo, por el momento, que todas las velocidades de los trenes serán fijas, las horas de salida para los trenes se pueden ajustar a fin de mover las líneas de los trenes alrededor y tratar de colocar todos los puntos de intersección sobre los desviaderos 20. En otra modalidad de la presente invención, sería posible, también, variar las velocidades del tren, que cambiarían las inclinaciones de las líneas de trayectoria del tren, a fin de colocar los puntos de intersección sobre los desviaderos 20. En todavía otra modalidad, se pueden variar tanto las velocidades como las horas de salida de manera simultánea para encontrar un plan de encuentro/pase factible para los trenes . El proceso que se va a describir en la presente trata el problema de programación del corredor como un problema de geometría, más bien que directamente como un problema de programación, como lo sugiere la técnica anterior. Lo hace así por medio de proporcionar un mecanismo mediante el cual las líneas de trayectoria del tren se mueven bajo el control de un proceso de búsqueda de gradiente que se basa en una función de costo diferenciable, de una manera que mueve los puntos de intersección hacia, o se cierra para los desviaderos establecidos. El proceso de búsqueda de la presente invención permite la variación de las velocidades y las horas de salida, de manera separada o unida, y usará una función de costo diferenciable en todos lados que toma los valores inferiores como la factibilidad de planteamientos de horario. Debido a que la función de costo es diferencia en todos lados, se puede aplicar un método de búsqueda de gradiente, interactivo, que asegura que las horarios sucesivos que encuentre el proceso de búsqueda converjan de hecho en un resultado libre de conflictos. Además, es posible incluir, en otra modalidad de la presente invención, la restricción de que un desviadero deberá ser más largo que un tren que se va a desviar sobre él. También es posible incluir, en todavía otra modalidad, los costos económicos en que incurren las horarios de tren de ajuste. En otras modalidades, también se pueden considerar las restricciones sobre la velocidad máxima del tren la salida temprana de los trenes. Aquellos expertos en la técnica apreciarán que aunque la Figura 2 ilustra una situación con tres desviaderos y tres trenes que viajan en cada dirección, la técnica de la presente invención se puede extender fácilmente a cualquier número de trenes que operan en cada dirección y cualquier número de desviaderos en el corredor de rieles. Los conceptos de la presente invención también se pueden extender a un corredor de rieles con más de una línea principal y conmutadores de vía de traspaso entre las vías de la línea principal. La presente invención se puede aplicar a cualquier corredor de rieles en donde un tren se puede desviar a otra vía cuando ocurre un encuentro o pase con otro tren. La programación de los trenes debe ser primero factible, pero en adición, pudiera haber selecciones en cuanto a cuáles trenes desviar o la orden para hacer correr los trenes, lo cual ayuda a asegurar que no se incurrirá en sanciones económicas o, fallando eso, que cuando menos se aminoren. El proceso 30 para obtener tanto la factibilidad del horario y la aceptabilidad económica puede consistir de un número de pasos, como se muestra en la Figura 3. Primero, en el paso 31, se hace un arreglo previo inicial de los trenes, estableciendo su orden de entrada en el corredor. En este punto, el orden de los trenes se basa exclusivamente en los tiempos debidos, (que se representan como una entrada para el paso 31 del bloque 32) sin análisis en cuanto a la capacidad del corredor o las horas de salida específicos. En el paso 33, se determina un horario inicial para los trenes; existen diferentes técnicas de optimización numérica que se pueden aplicar aquí. Vea por ejemplo, Numerical Optimization, por Jorge Nacedad y Stephen J. Wright; Springer, Nueva York 1999; ISBN 0-387-98793-2. Este horario inicial se introduce al proceso de búsqueda de gradiente, paso 34, que se describirá más adelante, el cual minimiza la infactibilidad del horario. En otra modalidad, el proceso de búsqueda de gradiente puede minimizar también las sanciones económicas en las que incurrió el ferrocarril por la llegada tardía de los trenes y da la consideración debida a las velocidades máximas del tren, horas de salida tempranos y longitudes de los desviaderos. La búsqueda de gradiente ajusta las horas de salida del tren (es decir, la hora en la que el tren entra al corredor) y/o las velocidades de manera que los encuentros ocurran cerca de los desviaderos. El proceso 30 regresa de vuelta a través del paso de selección del desviadero 38 y el paso de decisión de conflicto 36 hasta que todas las intersecciones del tren se coloquen en o cerca de los desviaderos por medio de ajustar la velocidad y/o el hora de salida (es decir, la hora en la que el tren entra al corredor) de los trenes que atraviesas en corredor. Las decisiones que se hacen en el paso 38 en cuanto a cuál tren desviar para cada par de trenes que se encuentran en un desviadero que se pueden impulsar mediante las consideraciones del costo económico relativo debido a los retrasos que se crean por desviar un tren contra otro tren. Este proceso de decisión de desviación representa otra modalidad de la presente invención y se describirá adicionalmente más adelante. Una vez que se toman las decisiones de desviación, algunas de las trayectorias (aquellas para los trenes desviados) en la gráfica de hileras (Figura 2) se harán líneas quebradas, (que representan encuentros infactibles) las cuales pueden provocar infactibilidades de horario nuevas para algunas trayectorias del tren. En este punto, se puede aplicar nuevamente la búsqueda de gradiente, pero solamente para al subconjunto de subtrayectorias que se han impulso dentro de encuentros infactibles. Los múltiples pasos a través del paso de búsqueda de gradiente 34 y el paso de proceso de decisión de desviación 38 deberá traer el horario a una factibilidad completa. La Figura 4 caracteriza las trayectorias del tren como líneas que se basan en las horas de salida iniciales (momento de enfada dentro del corredor) y la velocidad del tren. En la Figura 4, la parte inferior del eje vertical representa el extremo occidental del corredor, y la dirección positiva a lo largo del eje corresponde con el viaje con rumbo al este. La ventana de tiempo de interés para el viaje en el corredor empieza en el tiempo d0 y la longitud del corredor se denota mediante L. La Figura 4 se enfoca en la caracterización de un tren con rumbo al este y un tren con rumbo al occidente, respectivamente T¿ y Tj, con las trayectorias correspondientes rotuladas L± y Lj, . si y Sj denotan las velocidades y d¿, dj denotan las horas de salida de los trenes T± y Tj, respectivamente. La hora de salida de un tren es la hora en la cual entra al corredor: para un tren con rumbo al este, que corresponde a un punto situado en el eje horizontal de la Figura 4 (es decir, t = 0) y para un tren con rumbo a occidente, que corresponde con un punto que se localiza en la línea horizontal y = L. Entonces para la trayectoria del tren L± (con rumbo al este) , podemos expresar la relación entre las coordenadas para cualquier punto en la línea en la forma. r t -d, S" y =s s¿ — s¡d¡ Para el tren Tj (con rumbo al oeste) , la forma de la trayectoria Lj se puede expresar de igual manera como t-d, J ' y = -Sjt+Sjdj +L Podemos escribir ecuaciones de forma idéntica tanto para los trenes con rumbo al oeste, como con rumbo al este por medio de escribir en donde la velocidad de los trenes con rumbo al oeste mediante convención, será el negativo de la velocidad real del tren, y { 0 si el tren T± es rumbo al este ? = 0 { 1 si el tren T± es rumbo al oeste (3-4) . Esta forma de una ecuación lineal (3-3) no es la forma usual directamente en términos de la inclinación y la intersección, pero en este análisis las velocidades del tren y las horas de salida se variarán y la forma de la Ecuación 3-3 tiene la ventaja de expresar las trayectorias del tren explícitamente en términos de las velocidades y las horas de salida. El objetivo de la presente invención es determinar las coordenadas de los puntos de intersección ( t j , y±j) para los pares de las trayectorias del tren, y mueve estos puntos de intersección a los desviaderos. Para los trenes Ti y Tj, la solución para el punto de intersección de la trayectoria es ( t±j , yij) , en donde s -Sjdj + j?j -?,)!, (3-5), St -Sj „ stsAd¡ -dj (si?j -sA)L (3-6). S, -Sj ( tij , y±j) se deriva por medio de igualar la ecuación (3-1) y (3-2) (después de marcar el cambio de anotación sugerido por la ecuación (3-3) ) . Esta caracterización del punto de intersección aplica a las intersecciones de trenes que se dirigen de manera similar o que se dirigen de manera contraria, de manera que el análisis que se va a desarrollar con respecto a los puntos de intersección ajustarán las trayectorias del tren que incluyen tanto los encuentros como los pases. Hasta este punto, el problema de programación del tren se ha resumido a un contexto de movimiento de las líneas de intersección alrededor, hasta que todos los puntos de intersección estén dentro de ciertos rangos (las barras de los desviaderos 20 en la Figura 2) . Cuando todos los puntos de intersección que están dentro del rectángulo (que representa el corredor 8) están también dentro de los desviaderos 20, hemos obtenido un horario factible. Es un objetivo obtener un horario factible usando un proceso de búsqueda que minimiza una función de costo, y en la modalidad preferida, la función de costo preferida tendrá un valor elevado si algún punto de intersección está fuera de una barra del desviadero, y un valor bajo si, y solamente si, todos los puntos de intersección están dentro de las barras del desviadero. No se consideran los puntos de intersección completamente afuera de la gráfica; el corredor y el período de programación se consideran extensivos conjuntamente con la gráfica. Dejemos que una función de una sola yij con esta propiedad de función de costo sea una función localizadora, y construyamos esta función localizadora usando la función sigmoidea como una base. La función preferida dependerá de la función sigmoidea básica, la cual tiene la ecuación y tiene una gráfica de la forma que se muestra en la Figura 5. - El parámetro ß de la función sigmoidea determina un asíntote horizontal para la curva, y el parámetro determina qué tan exactamente surge la función a medida que atraviesa el eje y. A medida que a se acerca al infinito, la curva sigmoidea se aproxima a una función de paso. En la modalidad preferida, ß = 1.0 y a = 0.5. Debido a que la función sigmoidea puede pasar exactamente de un valor bajo a uno elevado, es una buena aproximación continua de los procesos discretos. También se pueden usar las sumas de los sigmoides para determinar si una variable tiene o no un valor en un intervalo. De manera específica, para el intervalo [a , b] , define la función D(x;a,b) = s(x-a;a,ß)-s(x-b; ,ß) (4-2).

Basándose en la gráfica del sigmoides como se describe en la Figura 5, la gráfica de D (x; a , b) toma la forma que se muestra en la Figura 6, la cual muestra la función D (x; a , b) (carácter de referencia 60) que se deriva como una suma de las dos funciones sigmoideas 62 y 64. Debido a que se podría hacer que cada uno de los sigmoides 62 y 64 se aproximara a una función de paso tan cercanamente como se deseara, la función D (x; a , b) se puede definir para discriminar de manera muy exacta cuando x esté en el intervalo [a , b] , y se puede hacer que se aproxime a un impulso de anchura b - a tan cercanamente como se desee. También, ya que la función D (x; a, b) (carácter de referencia 60) se aproxima a cero a medida que x se hace más distante del intervalo [a , b] , es posible sumar estos discriminadores de intervalo (para intervalos que no se traslapan) y obtener mediante lo mismo una función que toma un valor elevado cuando x está en cualesquiera de los intervalos de interés, pero es bajo de otra manera. Esto se muestra en la Figura 7 para los dos intervalos [al r b±] y [a2, b?] , y es obvio para aquellos expertos en la técnica que la construcción se puede generalizar hasta cualquier número finito de intervalos.

La función localizadora 70 que se muestra en la Figura 7 (generada por medio de sumar las funciones sigmoideas 72, 74, 76 y 78) se puede extender a cualquier número finito de intervalos, de manera que ese localizador se pueda construir para cualquier corredor del tipo en la Figura 1 (una via principal, uno o más desviaderos) . Los desviaderos se representan a lo largo del eje x entre los puntos ai y bi.

La función localizadora 70 tiene la forma L'(x; tß,al,bl,a2,b2) = ß-?s(x-at; ,ß)+?ls(x-b¡; ,ß) ¡mi M La función de costo para el problema de programación de la Figura 2 se derivará más adelante usando el concepto de la función localizadora, y suponiendo ns desviaderos. En la modalidad preferida, la función de costo será baja si, y solamente si la coordenada y, y j para una intersección de trayectorias de tren cae dentro del rango de un desviadero, pero la función localizadora 70 de la Figura 7 de hecho despliega el efecto opuesto. De esta manera, primero definiremos la función localizadora (4-3), la cual tiene la propiedad deseada de tomar un valor bajo si, y solamente si x es uno de los intervalos [ai, bi] [a, bns] r y un valor elevado de otra manera. Esto es, la Ecuación 4-3 define una función localizadora que es la inversa de la función localizadora 70 en la Figura 7. Vea la función localizadora 80 en la Figura 8. Ahora se usará la función localizadora como se define anteriormente en la Ecuación 4-3 (y que toma la forma de la inversa de la función localizador 70 en la Figura 7), para definir una función de costo la cual toma los valores inferiores a medida que los puntos de intersección de las trayectorias del tren se mueven hacia los desviaderos. Más adelante se describen de manera separada las dos versiones de la función de costo.

Una Función de Costo de Horario Factible Simplificada Ahora, permitiendo que se ajuste el nt de todos los trenes que se van a correr en el corredor, y dejando que L± represente la trayectoria del tren para el tren T± (como en la Figura 2) . Definir un conjunto I de todas las posibles coordenadas y de los puntos de intersección entre las trayectorias del tren mediante € {l Tí,.}} (5-1).

Note que, con referencia a la Figura 2, este conjunto incluye todos los puntos de intersección posible entre las trayectorias del tren, aunque algunos de esos puntos pudieran no estar dentro del corredor 8 y/o la ventana de tiempo de interés. Es necesario considerar estos puntos de intersección fuera-del-corredor porque el proceso de búsqueda moverá las trayectorias del tren, y pueden traer dentro del corredor 8 un punto de intersección que inicialmente estaba fuera del corredor 8. Para crear una función de costo que toma un valor bajo si, y solamente si todos los puntos de intersección están dentro de uno de los desviaderos 20, sumamos los valores de la función localizadora que se derivan a partir de la Ecuación 4-3. Se define específicamente el vector que representa todos los puntos de intersección en la vecindad de ?=( ^eI ) (5-2), y definir la función de costo C'(DJ mediante (5-3). C'(y)= ^ ?«I.L'{?g'> >ß>a?>b? ß* O La función de costo es una función de múltiples dimensiones del vector y, en donde cada valor del vector produce una suma diferente que se basa en los valores de la función localizadora. Cada valor de la función localizadora que comprende la suma indica si un punto de intersección está en el rango factible (las barras del desviadero 20 de la Figura 2) o no. Ver la función de costo 80 de la Figura 8, en donde el eje x representa la distancia a lo largo del corredor. Si todos los puntos de intersección con relación a un desviadero específico son factibles, C' (0 ) deberá tomar un valor bajo en la vecindad - de los puntos que se representan mediante ese desviadero; de otra manera, toma un valor cerca del valor de ß. Cuando hay muchos puntos de intersección involucrados, ß se pudiera tener que seleccionar de manera que las sumas cerca de cero de un gran número de puntos de intersección factibles no resulta en un valor en el rango de ß, el cual enmascararía la factibilidad que se va a discriminar mediante la función. C (O ) es una función diferenciable del vector D (los puntos de intersección) y por lo tanto en cada una de las variables que determinan los diferentes puntos de intersección, es decir, las horas de salida y/o velocidades de los trenes. Por lo tanto, la función de costo se puede usar con la técnica de búsqueda de gradiente u otras técnicas que se basan en las derivadas parciales, para minimizar el valor de la función de costo en los desviaderos. Una de estas técnicas se describirá más adelante. Debido a que cada punto de intersección que ocurre como un componente de D es una función de las horas de salida del tren y las velocidades de los trenes correspondientes, podemos tratar la función de costo como una que se puede optimizar por medio de ajustar ya sea las velocidades o los tiempos de origen de los trenes o ambos .

Dando Cuenta por los Puntos Extremos del Corredor El hecho de que los puntos de intersección en I no siempre representan las intersecciones de las trayectorias dentro del corredor 8, presenta una dificultad para la función de costo, como se define en la Ecuación 5-3, que es que cualquier punto de intersección fuera del corredor es un punto "sin importancia" para el proceso de búsqueda (siempre que permanezca fuera del corredor) , pero la función de costo como se define en la Ecuación 5-3, asignará un valor elevado para ese punto. Recuerde que la función de costo de la Ecuación 5-3 se basa en la función localizadora de la Ecuación 4-3, la cual se ilustra mediante el carácter de referencia 90 en la Figura 9A. De esta manera a medida que se formula la Ecuación 5-3, se pudiera enmascarar otra solución factible de otra manera mediante ese punto "sin importancia". En otra modalidad de la presente invención, la solución incluye modificar la función localizadora 90. La Figura 9A describe la función localizadora 90, como se define mediante la Ecuación 4-3, y una función localizadora modificada 92, la cual se genera por medio de agregar dos funciones sigmoideas 94 y 96 más para dar cuenta de los puntos finales del corredor 8. Específicamente, definir e = coordenada-y del extremo este del corredor 8, w = coordenada-y del extremo oeste del corredor 8, después alterar la definición de la función localizadora por medio de incluir las funciones sigmoideas 74 y 96 como sigue. e; ,ß) (5-5).

El uso de la función localizadora de la Ecuación 5-5 también requiere que se vuelva a escribir la función de costo en la Ecuación 5-3, como sigue.

Esta función de costo deberá tomar entonces un valor elevado siempre que cualquier punto de intersección de la trayectoria principal dentro del corredor sea factible, pero tenga un valor bajo para todos los puntos de intersección factibles, así como los puntos de intersección que caen fuera del corredor.

Al igual que C (D ) , C (O ) es una función diferenciable en cada componente del vector (D ) . Se puede usar cualesquier técnicas de búsqueda de gradiente o el uso de otra información que se basa en las derivadas parciales, para minimizar el valor de C (O ) en las regiones de los desviaderos .

Una Función de costo de Horario Factible Equilibrada Como se puede ver a partir de las funciones localizadoras 70, 90, ó 92, los desviaderos (como se representan mediante los valores ai a b? del eje x) se muestran como siendo de diferentes longitudes. De hecho, los corredores de rieles típicamente tienen desviaderos de diferentes longitudes. La consecuencia de los desviaderos de diferentes longitudes, con respecto a la función de costo (ver Ecuación (5-6) ) es que la función de costo mínima que corresponde a los desviaderos, no tiene el mismo valor y. Ver la función de costo 80 de La Figura 8. Para el desviadero SI, el valor y de la función de costo se representa mediante el carácter de referencia 82 y el valor y para el desviadero S2 se representa mediante el carácter de referencia 84. Note que el mínimo en el carácter de referencia 82 tiene un valor más grande que el mínimo en el carácter de referencia 84. Debido a que los desviaderos tienen diferentes longitudes, la suma sigmoidea que se está creando, el mínimo usa una porción más angosta de la función sigmoidea para los desviaderos más angostos. Este efecto podría provocar que el proceso de optimización del gradiente de la función de costo favorezca un desviadero largo con un mínimo más profundo cuando se localiza muy cerca de un desviadero corto con un mínimo somero. En la modalidad que se describe más adelante, la función de costo se ajustará para conseguir el mínimo igual para todos los desviaderos. Si la derivada de la función localizadora 80 tiene un cero exactamente en el punto intermedio entre los desviaderos, entonces el proceso de búsqueda no tendrá tendencia para favorecer a un desviadero sobre el otro. Llamamos equilibrada a esta función localizadora. La situación que se describe en la Figura 8 no asegura que la derivada de la función de costo tendrá un cero situado de manera apropiada; aunque pudiera parecer que la derivada es cero entre los desviaderos, aquellos expertos en la técnica pueden mostrar, a través de la manipulación de la ecuación, que el cero usualmente está fuera del centro. La Figura 10 ilustra un elemento para conseguir una aproximación cercana a una función de costo equilibrada. En la Figura 10, los intervalos [ai , bi] , [a2, b2] , y [ a3, b3] representan las ubicaciones de los desviaderos a lo largo del corredor principal. Nos gustaría asegurar que la derivada de la función localizadora, como se define para este corredor, será cero en los puntos intermedios m± , y m23 entre los desviaderos. La función localizadora que genera la función de costo es una suma de sigmoides, cada uno de os cuales contribuye sustancialmente solamente dentro de la vecindad inmediata de los desviaderos para los cuales crea un mínimo en la función localizadora. Si suponemos que la función localizador en el punto m12 no depende significativamente de los términos sigmoideos que no sean aquellos que se usan para crear el mínimo para los dos desviaderos inmediatamente circundantes, entonces podemos escribir un localizador simplificado en la forma ?i ia^a^) -ß-s(x-d,;a,^)+ s(x- a^fi)- s(x -b2 iß)+s(x- a2; ,ß) - (5-7).

Note aquí que las funciones sigmoideas que se usan para generar la función localizadora son solamente aquellas funciones sigmoideas que representan los desviaderos hacia la izquierda y la derecha del unto de interés en la función localizadora. Se puede mostrar mediante cálculo que siempre que tn?2 ~ = a2 ~mVÍ & » - ?? = d2 - 7M?2 , como se muestra en la Figura 10. Este requerimiento forzará a los dos desviaderos para que sean de la misma longitud, desde luego, y adicionalmente, el siguiente desviadero que corresponde al intervalo [a3, b3] deberá tener entonces la misma longitud que el desviadero que corresponde al intervalo [a2, b2] . Sigue por inducción que todos los desviaderos a lo largo del corredor deben tener longitudes iguales para la función localizadora para el corredor que se va a equilibrar. El ejercer este artefacto tendrá dos efectos: (1) la búsqueda puede, cuando menos de manera ligera, ubicar mal los puntos de intersección, debido a que la posición exacta de los desviaderos no se reflejaría en el modelo; (2) las longitudes de los desviaderos no se representarían de manera exacta con relación a las longitudes de los trenes. De estos inconvenientes, el último no tiene de hecho ninguna consecuencia, debido a que la modificación a la función localizadora para dar cuenta de las longitudes de los desviaderos no afectará el paso subsecuente de la presente invención (que se describirá más adelante) , en donde las longitudes de los trenes se consideran con relación a las longitudes de los desviaderos. Este último efecto será de menor consecuencia, debido a que la obtención de los puntos de intersección del tren casi cerca de la vecindad de los desviaderos permitirá ajustes menores a la velocidad del tren para asegurar que las intersecciones ocurrirán en los desviaderos. Este paso de la presente invención también se describirá adicionalmente más adelante. En otra modalidad especialmente favorable si hay una gran discrepancia entre el desviadero más corto y el más largo, empezar con todos los desviaderos que se suponen iguales, evitando mediante lo mismo una desviación entre los desviaderos en la parte temprana de la búsqueda, y después ajustar el localizador lentamente de regreso hacia las longitudes de los desviaderos correctos a medida que interactúa el proceso de búsqueda. De manera específica, esto se puede implementar en ora modalidad de la presente invención como sigue. Antes de que empiece el proceso de búsqueda, (1) calcular la longitud de desviadero promedio savg como (2 ) volver a definir la posición de cada desviadero S± (que corresponde al intervalo del corredor [a±, b±] ) como correspondiendo al intervalo [a'i(0), b'± ( 0 ) ] , en donde ai +b¡ -s a, +b¡ + s 2í 3. (5-9); a = 2í 3. b¡ = (3) definir, para cualquier entero n > 0, at'(n)= a\e ^ +a,(l- é*) («)= b¡e^ +6,(l- e'**) (5-10), y en donde ? es un número real positivo. Note entonces que y Empezar el proceso por medio de dejar n = 0 y después a medida que procede la búsqueda, incrementar n de acuerdo a algún esquema. Por ejemplo, un esquema preferido sería notar cuándo los valores sucesivos de la función de costo (durante el proceso de búsqueda de gradiente que se describe más adelante) tienen una diferencia más pequeña que el umbral determinado previamente (ver, por ejemplo, el valor de umbral e al que se hace referencia en conjunción con la Ecuación 8-3 y el material textual que sigue inmediatamente después de eso) , después empezar a incrementar n (con relación a las diferencias en las longitudes de los desviaderos) y volver a calcular la función localizadora hasta que las longitudes de los desviaderos estén al 5 por ciento de ser exactas. Esto permitirá que el localizador inicial corresponda con el localizador equilibrado, de manera que los desviaderos no tenderán a ser favorecidos solamente por la longitud. El "empuje" inicial de las intersecciones hacia uno u otro desviadero será desequilibrado. A medida que se incrementa n, la función localizadora reflejará de manera más exacta la verdadera estructura del corredor, de manera que eventualmente se obtendrá un horario exacto.

Dando Cuenta por las Longitudes del Tren contra Longitudes de Desviaderos La función de costo como se describe anteriormente permite una búsqueda por un horario factible solamente si los trenes se encuentran en la vecindad de los desviaderos. No se ha hecho ninguna referencia a las longitudes de los trenes con relación a los desviaderos, y si dos trenes tienen un encuentro " factible" en un desviadero que no sostendrá a ninguno de los dos, entonces la situación no es en realidad factible. Existen otras razones por las que los trenes pudieran no usar un desviadero, con relación al grado, el transporte de materiales peligrosos, etcétera, de modo que el siguiente análisis para bloquear el uso de un desviadero por un tren dado, se refiere a más situaciones que solamente la longitud del tren contra la longitud del desviadero. La función de costo de la Ecuación 5-6 no evitará que ocurra una de esas factibilidades, pero en otra modalidad, una simple modificación de las funciones localizadoras (Ecuación 5-5) sobre las cuales se basa la función de costo, será suficiente para evitar esas infactibilidades. En particular, la función de costo contiene un término para cada punto de intersección de la trayectoria de tren posible. En la modalidad previa todos estos términos son de exactamente la misma forma. Ahora supongamos que definimos las funciones localizadoras para que sean específicas para cada punto de intersección posible de las trayectorias de los trenes, como sigue. En este caso, generalizamos a partir del contexto de la Figura 2, y suponemos un total de ns desviaderos S? , . . . , Sns a lo largo del corredor, y nt trenes , . . . , Tn. Necesitamos la siguiente anotación: Dejemos H± - la longitud de desviadero S± (i = 1 , . . . , ns) (6-1), y dejemos M± = la longitud del tren T± (i = 1 , . . . , nt) (6-2).

Para cualesquiera de los dos trenes T± y Tj , definir el siguiente conjunto de desviaderos de entre todos los desviaderos en el corredor: '13 {Sk /k e fl, ... , N} & ( (Mj D Hk) (M D H ) ) } (6-3) .

S±j es el subconjunto de desviaderos a lo largo del corredor sobre el cual se puede desviar cuando menos de los dos trenes T± y Tj . Ahora, si la función localizadora para el punto de intersección de las trayectorias del tren de T± y Tj no incluye los términos sigmoides (ver Ecuación 5-7) que corresponde a los desviaderos no en S±j , entonces permanecerá elevado aunque y±j esté dentro de un desviadero, pero el desviadero sea demasiado corto para cualesquiera de los trenes. De esta manera, el dar cuenta por el desviadero contra la longitud del tren reduce en realidad la complejidad computacional de la función de costo. Para volver a definir de manera específica la función de costo en esta forma, primero se vuelven a definir las funciones localizadoras para que sean específicas a los pares de trenes, es decir, h{y»>a>ß)= ß ~ S^G _ ak>'<x>ß)+ s a ~ .a>ß)- s(w-y?; ,ß)- s(y9 - e;a,ß) *«s» Ae5?, (6-4).

En donde el subíndice "h" identifica un desviadero. Finalmente volver a definir la función de costo como >t* el cual extiende la definición de factibilidad de manera que ahora el valor de C (O ) será bajo si, y solamente si (1) todas las intersecciones de la trayectoria del tren ocurren en las barras del desviadero, y (2) cuando menos uno de los dos trenes en esa intersección se puede desviar en el desviadero correspondiente. Note que esta técnica se puede extender más allá de la consideración de la longitud del tren contra la longitud del desviadero: si ninguno de los dos trenes T± y Tj se pueden desviar en el desviadero Sk por alguna razón, entonces el localizador para el punto de intersección y±j deberá omitir el término que corresponde a Sk . Por ejemplo, podemos tener un caso en donde un tren de carbón se podría desviar en Sk, pero fuera incapaz de reiniciar debido al grado, pero el tren de interferencia, un multimodal, no se deberá desviar en lo absoluto por un tren de carbón. En este caso, el desviadero deberá ser suficientemente largo para cualesquiera de los trenes, pero se imposibilitaría de consideración de cualquier manera. Claramente en otras modalidades, la definición de cada S±j se pueden contraer para excluir casos como este, agudizando mediante lo mismo la capacidad del proceso de búsqueda para evitar desviaderos inaceptables.

Costos Económicos, Salida Temprana, y Restricciones de Velocidad La función de costo como se describe mediante la Ecuación 5-6 o la 6-6, facilitará el hallazgo de horarios de trenes factibles, pero no incluye la comprensión de los otros efectos por alterar las" horarios de trenes individuales por conseguir la factibilidad. En otra modalidad, la función de costo se modifica de manera que considera juntamente la factibilidad del horario, y el costo económico de una llegada tardía.

Función de Costos Económicos (es decir, Llegada Tardia) El servicio de flete por ferrocarril -puede contraer diferentes tipos de incentivos para una entrega a tiempo de flete. Por el momento, considere solamente dos tipos de sanciones por retraso: (1) sanción por función de paso - si un tren Ti falla un tiempo de entrega establecido previamente tx, existe un costo de sanción fijo h±; (2) función de paso más incremento linear - si se falla el tiempo de entrega establecido previamente t , existe una sanción inmediata h± (posiblemente 0) el cual se incrementa de manera lineal después de lo mismo a un promedio de m± dólares por hora. La Figura HA describe una sola forma genérica para los dos casos, debido a que tanto h± como m± pudieran ser cero o positivo. De esta manera, la Figura HA ilustra una función de sanción combinada que incluye tanto una sanción de paso más una sanción lineal. La función de costo como se propone no es una función diferenciable debido a que carece de una inclinación definida en el tiempo t±. Este hecho imposibilita, o cuando menos complica, el uso de cualquier técnica de búsqueda de gradiente para minimizar el costo económico a menos que se hagan concesiones especiales en, o cerca del tiempo t± . Por esta razón, las Figuras 11B y 1C describen dos aproximaciones a la función de costo, un paso más sanción lineal, y una sanción lineal solamente, respectivamente. En las dos figuras, se injerta un segmento de línea sobre una función sigmoidea de tal manera que la función resultante permanece diferenciable en todos los puntos. Para el paso más sanción lineal, se usa un sigmoideo para representar el costo hasta un tiempo ligeramente más allá de t±, al cual se anexa entonces una línea de inclinación m±. Ver la Figura 11B. Siempre que el punto de vía de traspaso desde el sigmoideo hasta el segmento de línea se seleccione en el punto del sigmoideo en donde la inclinación es exactamente m±, (carácter de referencia 110) , la aproximación resultante es diferenciable en todos los puntos, y por lo tanto suavemente integrable dentro del proceso de búsqueda de gradiente. Si ( tc, yc) representa el punto de vía de traspaso, entonces la versión diferenciable de la función de sanción se pudiera definir mediante AtitAA'8t) (7-1) Todos los sigmoideos que se usan aquí tendrán valores ßi de 1, de manera que la anotación para el parámetro ßi en cada sigmoideo se suprimirá. Esta selección se hace de manera que se determina que la asíntota del sigmoideo es h±r en conjunción con el valor de sanción que se va a representar. El valor de cti es positivo, y se puede seleccionar para que se aproxime al costo de paso de manera tan exacta como se desee. En una modalidad se inicia la búsqueda con sigmoides "gentiles", después se incrementan los valores de las oCi/s a medida que progresa la búsqueda. Esto permite que la búsqueda temprana progrese hacia las decisiones económicas correctas de manera rápida, y después en las etapas posteriores de la búsqueda, la información con respecto al costo económico se agudiza para proporcionar resultados finales más exactos. Con el propósito de determinar el punto de vía de traspaso 110 ( ( tCr yc) en la Figura 11B) , es necesario resolver la ecuación -? fctf =m, (7-2) Para el valor de tCr con tc > t±. La técnica para resolver esta ecuación es bien conocida para aquellos expertos en la técnica. Se debe mencionar que la inclinación de s( t - t±;ax) es positiva en todos lados, y toma un máximo en el punto t = t± . Ese máximo se puede impulsar tan elevado como sea posible por medio de seleccionar un a± grande, de manera que siempre es posible resolver la Ecuación 7-2. Finalmente, para los propósitos de expresar la gradiente como se explicará más adelante, note que la variable independiente t en la Ecuación 7-1 es de hecho una función del hora de salida d± y la velocidad s± del tren T±, y por lo tanto podemos volver a escribir la ecuación como La Figura 10C también usa una transición desde el sigmoideo hasta el segmento de línea en el punto 112 en el sigmoideo en donde la inclinación es exactamente aquella de la línea; la diferencia es que en este caso el punto de vía de traspaso tc es menor que t± . Excepto por ese hecho, la función de aproximación tiene una descripción idéntica a aquella que se proporciona en las Ecuaciones 7-1 y 7-3.

Ahora, extendemos la función de costo de la Ecuación 5-6 o la Ecuación 6-6 como sigue. La función de costo extendida que da cuenta tanto por la factibilidad del horario, como del costo económico, se define mediante F^?CÍ )+0.-?) 1Ai^td-ttti tim (7-4), i-l en donde ?e [0,1] es un factor de peso entre 0 y 1 que se usa para ajustar la importancia relativa entre las consideraciones de factibilidad económica y de horario D = (d ,d , . . . , dnT) es el vector de las horas de salida del tren, s = (s , s2, . . . , snT) es el vector de las velocidades del tren. De hecho, los puntos de intersección y de las trayectorias del tren son funciones de las horas de salida y velocidades del tren, de manera que podemos volver -a escribir la Ecuación 7-4 en la forma y es a partir de esta última forma que el gradiente se puede calcular de manera directa como se describe más adelante. Se debe seleccionar el valor del factor de peso ?, y la selección es de alguna importancia. Note que la función de costo como se define en la Ecuación 7-5 se impulsará hacia arriba tanto mediante selecciones de programación infactibles, así como de selecciones que hacen que los trenes se retrasen, y viceversa. La dificultad surge cuando los cambios en las horas de salida o las velocidades provocan efectos contrarrestantes en las dos mitades de la función de costo de la Ecuación 7-5. Si el primer término, que representa la factibilidad, se impulsa hacia arriba por menos que el segundo término, que representa la puntualidad, se impulsa hacia abajo, entonces el proceso de búsqueda pudiera estar enfatizando el costo económico a tal grado que este converja sobre las horarios infactibles. En una modalidad, el factor de peso ? se puede variar durante la búsqueda. Por ejemplo, empezando con un valor bajo de ? tendería a tratar de forzar el costo económico bajo a costa de la factibilidad. Esto podría provocar que los trenes cambiaran lugares en la alineación, para mejorar a puntualidad general de las llegadas, antes de que el énfasis real empiece a seleccionar las velocidades y las horas de salida que crean un horario factible. En cualquier caso, la decisión en cuanto a cómo la variación de ? durante la búsqueda se beneficiará de la prueba real con los ejemplos, y el mecanismo final para modular ? necesariamente vendrá de la experiencia familiar para aquellos expertos en la técnica. Un proceso aproximado para calibrar el factor de peso ? es notar que los componentes de costo C (s,d) y / 1 s¡,d{ t{ih¡,mt comprenden números diferentes de sumandos, y por lo tanto tienen diferentes magnitudes aproximadamente en proporción al número de sumandos involucrados. Por ejemplo, si hay un total de veinte trenes, que dan como resultado sesenta intersecciones en la gráfica de hileras. entonces C (s,d) comprende sesenta sumandos y / f .s{> ?,'tf,hí,m{) comprende vein-te sumandos. Para ecualizar más o menos los efectos de estas dos contribuciones para las funciones de costo, uno ajustaría el peso ? al valor ? = 20/(60+20) = 0.25, ecualizando mediante lo mismo la contribución de cada mitad de la función de costo (es decir, los dos términos C (s, d) y j> Á(sl,d¡;t¡,h¡,ml) al costo total. A partir de este ejemplo, se puede ver que el establecimiento de un valor específico de ? es muy específico para la situación bajo estudio, y se reconoce generalmente por aquellos peritos en la técnica de optimización compleja.

Función de costo de Salida Temprana La última sanción evaluado por razones económicas tenderá a evitar que las salidas del tren sean arbitrariamente tardías. Sin embargo, las formulaciones de las funciones de costo que se han dado hasta ahora (Ecuaciones 5-6, 6-6, 7-5) no tienen términos que eviten que las trayectorias del tren sean arbitrariamente tempranas. Una función de costo para evitar las salidas tempranas se pueden formular en términos de la función sigmoidea ubicua por medio de definir un costo en donde e± es el hora de salida más temprana posible para el tren T±, Y a' ' ± se denota con un número primo para distinguirla de la a± de la Ecuación 7-3. La Figura 12 representa un término de esta función de costo para el tren T±; claramente, rápidamente se hace tan elevado a medida que el tren T± se empuja hacia un hora de salida que no se puede realizar, y rápidamente cae a medida que el hora de salida entra a la región realizable. No hay un costo económico real que se asocie con las salidas tempranas, solamente un asunto de factibilidad. Por lo tanto, a los términos de la Ecuación 7-6 que representa cada tren se les da arbitrariamente una altura de 1, (es decir, el valor asintótica sigmoideo de 1) y esta Ecuación 7-6 se puede combinar de igual manera con las funciones de costo para la factibilidad de horario y el costo económico. Específicamente, dejemos GÍ^,d}= ih j)* ?2A s,d)+ ?3E{d) (7-7), en donde ?i + ?2 + ?3 = i (7-8) En una modalidad, el peso especifico de los componentes de costo en la Ecuación 7-7 se pueden calcular como se describió anteriormente en el ejemplo con veinte trenes y sesenta puntos de intersección en el corredor. La factibilidad del horario y los términos de salida temprana tendrá cada uno sesenta sumandos y el término de la sanción económica tendrá veinte términos. Usando una ecuación similar a la que se estableció anteriormente para calcular ?, calculamos ?± = 1/7, ?2 - 3/7 y ?3 = 3/7. Se pueden establecer otros valores de peso basándose en las circunstancias específicas del usuario.

Función de Costo Máximo de Velocidad del Tren En la modalidad cuando se permite el proceso de búsqueda para variar las velocidades del tren a fin de conseguir la factibilidad y la minimización del costo, deberá haber un medio para evitar que las velocidades excedan los límites prácticos para los trenes y las vías involucradas. En esta modalidad crearemos un componente adicional de la función de costo que reforzará estas restricciones de velocidad. Esta restricción de velocidad se puede implementar de manera análoga a la restricción de salida temprana de la Ecuación 7-6. De manera específica, se define una función de costo de velocidad como en donde s¡ (max) = a velocidad máxima permisible para el tren T± . Al igual que las otras funciones de costo que se describen en la presente, debido a que la función de costo de velocidad máxima se deriva a partir de una suma de funciones sigmoideas, esta identifica una función diferenciable con respecto a los puntos de intersección de los trenes en el corredor, Por lo tanto, se puede usar un proceso de búsqueda de gradiente para encontrar el mínimo de los valores defunción de costo. La función de costo total, incluyendo la factibilidad de los encuentros y pases, las restricciones sobre las salidas tempranas y las llegadas tardías (es decir, sanción económica) , así como las restricciones sobre la velocidad máxima del tren, es entonces una generalización de la Ecuación 7-7, a saber en donde ?i + ?2 + ?3 + ?4 = 1 (7-11) Los valores específicos de los factores de peso para los componentes de la Ecuación 7-10 se pueden determinar mediante experimentos. En una modalidad, usando el mismo esquema que se estableció anteriormente en conjunción con la Ecuación (7-8), para veinte trenes y sesenta intersecciones, ?i = 0.1 y ?2 = ?3 = ?4 = 0.3.

El Proceso de Búsqueda de Gradiente El gradiente Vf (x) de cualquier función f (x) , es un vector en el mismo espacio que la variable independiente x la cual apunta en la dirección del cambio máximo de f (x) dentro de un área local pequeña en la superficie de la función, apuntando mediante lo mismo el camino hacia un mínimo o máximo local. Como tal, se ha proclamado mucho en las leyendas y las poesías de la teoría de la optimización. El cálculo del gradiente de las diferentes funciones de costo que se escribe más adelante permitirá la ubicación del mínimo local que identifica la factibilidad del horario. En el contexto actual de la programación de trenes, como apreciarán aquellos expertos en la técnica, existe un número de posible parámetros que describen una trayectoria de tren que se pueden variar para resolver conflictos dentro de un corredor de trenes, es decir, para impulsar la función de costo más abajo. Más adelante se describen las matemáticas para una búsqueda de gradiente que varía solamente las horas de salida o las velocidades de los trenes, y que después varía tanto las horas de salida como las velocidades de los trenes. Primero trataremos solamente con la función de costo que se asocia con la factibilidad del horario (Ecuación 5-6) pero después extenderemos la función de costo para que incluya las consideraciones de los costos económicos, salidas tempranas y velocidad máxima del tren como se describió anteriormente, y que se representa mediante la función de costo de la Ecuación 7-10.

Búsqueda de Gradiente para Optimizar la Factibilidad de Horario Mediante la Variación Solamente de las horas de salida del Tren Primero, supongamos que existen nt trenes y permitamos que el vector y (como se representa en la Ecuación (5-2)) contenga todos los puntos de intersección posibles. Pero cada punto de intersección y±j tiene la caracterización dada en la Ecuación 3-6, la cual se repite aquí por conveniencia . entonces y±j se expresa directamente en términos de horas de salida y velocidades para todos los trenes en el horario. También por conveniencia, recuerde la anotación para las velocidades y horas de salidas que se introdujeron originalmente anteriormente, los cuales se repiten más adelante. L = la longitud del corredor, Si = la velocidad del tren T± (tomada como un valor negativo para T± con rumbo al oeste) , d± = el hora de salida (hora de entrada dentro del corredor) del tren t±, y { 0 para T± rumbo al este ? = 0 { 1 para T± rumbo al oeste Después definir los vectores s = ( s? , . . . snT) y d = (d , . . . dnT) . Expresar la función de costo en los siguientes términos. Por conveniencia de anotación, suprimir la dependencia de las funciones localizadoras y de costo en y ß, El objetivo es variar el vector d (horas de salida del tren) a fin de impulsar la función de costo más abajo, y una técnica que pueda localizar cuando menos un mínimo local de la función de costo es el descendente dirigido por gradiente, que se define de manera interactiva como sigue. (1) Iniciar con un cálculo inicial para el hora de salida, do para cada tren nt, como criterio de detención, e > 0, y un tamaño de paso h . (2) Para el cálculo, dn, calcular el gradiente de la función de costo en dn, para variar solamente , y normalizarla de manera que tenga un valor absoluto de 1, es decir, definir En la anotación, la dependencia de la función de costo en s se suprime, debido a que para la ocasión particular, estamos variando solamente d. (3) Calcular el valor Cn = C (dn) , calcular dn+1 = dn - hg, y después calcular Cn+? = C (dn+ ) . (4) Si I Cn - < e, entonces se detiene la búsqueda, y se acepta dn+ como la respuesta final. De otra manera, reemplazar dn con dn+? y regresar al Paso (2) . En la modalidad preferida, la búsqueda se detiene cuando \ Cn - Cn+?\ = (.001) \ C0 - C¿ . El umbral de detención para estos problemas es muy dependiente de la situación, como se reconoce generalmente por los practicantes de la técnica de optimización. Permanece para representar de manera explícita el gradiente V (d) C (d)I d=dp el cual se usa en la interacción. La función de costo como se muestra en la Ecuación 5-6, es una función del vector de los puntos de intersección, y, y los componentes de y, son funciones de los componentes de los vectores s y d. Debido a que en este punto solamente d es variable, el gradiente V (d> C (d) de la función de costo, es un vector de la forma y podemos obtener cada componente de V( > C (d) por medio de aplicar la regla en cadena para la diferenciación: Usando la Ecuación 8-6 y Lema A3 en el apéndice A, podemos finalmente expresar el componente k-th del gradiente como Búsqueda de Gradiente para Optimizar la Factibilidad del Horario Mediante la Variación solamente de las Velocidades del Tren Mucho de lo que se desarrolló anteriormente se puede aplicar aquí también. La principal diferencia es que ahora enfatizamos que C (y) se puede considerar como una función del vector s, con d manteniéndose constante, y deseamos variar s para buscar un mínimo local de la función de costo, y suprimir la dependencia sobre d. Por tanto podemos representar C (y) como cGO-cO?) (8-8). Empezando con necesitamos calcular los componentes de la forma OT* usamos 1- ~vfl- fv h* ÍVQ- fv fIfv-VQ l- h!8? f Cpo VJ_V f1Q f note que y procedemos a obtener una expresión explícita para -—(y ) Ss,. como sigue. b fo - «?+ ( AJ:_ g^) - )+ fe - * kMdt - <**)- fl¿] fe- J El aprovechamiento de las Ecuaciones 8-10, 8-11, y Premisa A3 del Apéndice A proporciona una forma explícita final para el gradiente, como se muestra a continuación La regla de búsqueda que usa el gradiente como se calculó en la Ecuación 8-12, es un análogo exacto de la regla de búsqueda que se da en la Ecuación 8-7 con cualquier ocurrencia de los vectores d, do, dn, dn+? . . . reemplazados con los vectores s, so, sn, sn+? . . . , respectivamente.

Búsqueda de Gradiente para Optimizar la Factibilidad de Horario Mediante la Variación tanto de las horas de salida como de las Velocidades del Tren Teniendo en mente que las velocidades y las horas de salida de os trenes se pueden variar de manera independiente, también podemos aprovechar la expresión de la función de costo como una función tanto de s como de d, es decir, F)= 4 y se considera la variación ae unión de la velocidad y el hora de salida para buscar una función de costo local mínima. En este caso, el vector de gradiente toma la forma Debido a que s y d no dependen funcionalmente una de la otra, sigue que de manera que los componentes del gradiente de la Ecuación 8-13 ya se han determinado mediante las Ecuaciones 8-7, 8-11, y 8-12. La regla de búsqueda en este caso es de la misma forma que la Ecuación 8-7, excepto que consideramos el vector agregado v«(?,¿) (8-15), y reemplazamos todas las referencias a d, d0, dn, dn+? en esa regla con las referencias v, vo, vn, vn+1, respectivamente.

Inclusión de los Efectos de Salida Temprana en la Búsqueda de Gradiente Recordemos de la descripción anterior que una función de costo que provoca un costo elevado para las salidas tempranas del tren, y costos bajos de otra manera, se puede presentar e términos de la función sigmoidea. Repitiendo la Ecuación 7-6, en donde e± es el hora de salida más temprano posible para el tren T±, Y a' ± afecta la escarpadura del levantamiento de costo a medida que se aproxima a la salida temprana. El valor de ar se puede fijar mediante experimento, pero los resultados no deberán ser particularmente sensibles a su valor. Una buena primera conjetura, en una modalidad, para el valor de a' ± sería 0.8, aunque este parámetro se podría hacer más pequeño si existe alguna latitud en cuanto a las horas de salida más tempranos. Si deseamos combinar este costo de salida temprana con el costo de factibilidad de horario, lo hacemos en una suma pesada de términos, es decir, Este concepto se describió previamente anteriormente. Ver por ejemplo, la Ecuación 7-7 en donde la función de costo agregado incluye la factibilidad de horario, costo económico, y los efectos de la salida temprana. Debido a que la operación de gradiente es lineal en el espacio de funciones al cual aplica, podemos escribir (8-18).

Nos basaremos en los cálculos de gradientes previos para el primer término en el lado derecho de la Ecuación 8-17. Ver la Ecuación 8-7 con las sustituciones que se establecieron en la Ecuación 8-15 y el siguiente que seguía. Para tratar con el segundo término en el lado derecho de la Ecuación 8-17, u 8-18, suponemos que solamente se variará el vector de hora de salida d para un horario que es factible y evita las salidas tempranas. Después deseamos determinar el gradiente de E (d) con relación al vector d, el cual es de la forma y (ver Ecuaciones 8-6 y A-2) ;fl¿)) (8-20). Ahora podemos construir el gradiente V(d) (D (s, d) ) usando las Ecuaciones 8-7, 8-18, y 8-20. Las horas de salida son independientes de las velocidades del tren, de manera que el componente del costo E (d) no depende de las velocidades s. De esta manera la forma final del gradiente V^ (?,¿)= ^lt...,EHt1Ent,v...,E2nt ) (8-21) con las velocidades del tren y las horas de salida variables, se puede resumir como en donde la referencia se hace de manera implícita a las Ecuaciones 8-7, 8-12, y 8-15.

Inclusión de los Costos Económicos en la Búsqueda de Gradiente Anteriormente se describieron los tipos de costos en los que incurren los ferrocarriles por entregas tardías, y se proporcionó una aproximación diferenciable a la función de los costos por llegar tarde que se expresan como una función de tiempo. Mediante el uso de esa aproximación, la cual es diferenciable en todos lados, se puede incorporar la prevención de los costos por llegar tarde dentro del proceso de búsqueda de gradiente. Los tiempos de llegada son afectados tanto por las velocidades del tren como las horas de salida, aunque se puede variar ya sea la velocidad, el hora de salida, o ambas, durante la búsqueda. La forma de la función de aproximación de costo por llegar tarde se da mediante (ver Ecuación 7-3) (8-23), en donde u± = el tiempo de llegada real del tren, t± = el tiempo en el cual se empiezan a acumular las sanciones por llegar tarde h± = el tamaño de la sanción de paso (en k$) m± = el promedio de la porción lineal de la sanción (en k$/hora) , y tc = el punto de transición en donde la función de costo cambia de un sigmoideo a un segmento de línea. El acortamiento de esta función de costo a la forma A (u±) para el propósito particular, y definiendo u = (ui , . . . , unT) , podemos expresar una función de costo que da cuenta por los tiempos de llegada de todos los trenes en la forma Pero también tenemos la relación u, - d¡ + (8-25), s, de manera que podemos considerar una representación alternativa de la Ecuación 8-24 como Esta última forma del costo es apropiada para nuestro proceso de búsqueda, debido a que ese proceso se basa en la variación de los componentes del vector s y d. Ahora para incorpora los costos por llegadas tardías dentro de la búsqueda, extendemos la función de costo de la Ecuación 8-18 en la forma en donde el ?± son factores de peso que satisfacen Las selecciones para estos pesos se deberá determinar mediante experimento, y en una modalidad de la presente invención, es posible variarlas de manera interactiva a medida que la búsqueda progresa. Los usuarios individuales de la presente invención pueden asignar^ estos pesos como se determina mediante las características del corredor y los costos impuestos al ferrocarril para los diferentes efectos construidos dentro del algoritmo de búsqueda. En la modalidad preferida, estos pesos toman los valores como se determinaron en conjunción con la descripción de la Ecuación (7-8) anterior.

Búsqueda de Gradiente para Optimizar la Factibilidad de Horario, Salidas Tempranas, y Costos Económicos mediante la Variación Solamente de las horas de salida Una búsqueda que usa la función de costo de llegada tardía de la ecuación 8-27 puede incluir la variación de solamente las horas de salida d, en cuyo caso el gradiente mediante el cual se dirige la búsqueda es de una forma análoga a aquella que se muestra en la Ecuación 8-19, Podemos expresar entonces un componente del vector de gradiente en la forma d (8- dd, (°(?^))= * - ddk J n- -éd,- ¿)+v3A(?,d) 29).

Tomando prestado de las Ecuaciones 8-6 y 8-20, expandimos la Ecuación 8-29 a la forma + 7?3 du—k (A("*)) d.-(**) la cual, con la ayuda de la Ecuación 8-7, proporciona una representación explícita de los componentes del gradiente de D (s, d) cuando solamente se varían las horas de salida del tren.

Búsqueda de Gradiente para Optimizar la Factibilidad de Horario, Salidas Tempranas, y Costos Económicos mediante la Variación Solamente de las Velocidades de los Trenes Si las horas de salida de los trenes no se mantienen constantes, y las velocidades se varían, entonces el gradiente que se usa para alterar el vector de velocidad s = (s±, . . . , snT) durante la búsqueda es de la forma En donde E (d) es independiente de la velocidad del tren. Por lo tanto podemos obtener el componente k-th de este gradiente como sk -,3) dsk 4,3 dsk -,3)) d ß í? ds, (f,d)) + -£ du-k(A®) dsk-(uk) en donde el primer término en el lado derecho de la Ecuación 8-32 se puede expresar en una forma completamente explícita mediante la referencia de regreso a la Ecuación 8-12.

Búsqueda de Gradiente para Optimizar la Factibilidad de Horario, Salidas Tempranas, y Costos Económicos Mediante la Variación Tanto de las horas de salida del Tren y las Velocidades del Tren En este caso, tanto d como s son variables en la función de costo completa de la Ecuación 8-25, de manera que el gradiente toma la forma 8-33).

Nuevamente con respecto al gradiente en forma de vector, los componentes del primer término de la suma a la izquierda de la Ecuación 8-33 se pueden obtener fácilmente con la ayuda de las Ecuaciones 8-14, como se representa de manera explícita con la ayuda de las Ecuaciones 8-7, 8-11, y 8-12. Los componentes del segundo término se pueden obtener la Ecuación 8-20, y los componentes del tercer término se obtienen usando las Ecuaciones 8-30 y 8-32.

Inclusión de los Efectos de Limitación de Velocidad Máxima en la Búsqueda de Gradiente Anteriormente se desarrolló un componente de la función de costo que surgiría de manera exacta en el valor como la velocidad s± de un tren T± llegó a estar cerca de la velocidad máxima s± (max> especificada para el tren. Ese componente tenía la formulación (ver Ecuación 7-9) (?)= ;s(J/-^)) (8-34), y ocurrió como un término pesado de la función de costo, es decir, <?(?,«?)= ?f,d)+ AÍ^,d)+ ?3E(d)+ ?4V(s) (8-35) en donde la suma de los pesos se selecciona para que sea 1 en la modalidad preferida. Debido a que la variación de la velocidad es independiente de las horas de salida de los trenes, tenemos que v^H?). = 0 (8-36), de manera que la restricción de la búsqueda mediante las velocidades máximas del tren no afecta a los componentes del gradiente que se obtuvo como derivadas parciales con respecto a las horas de salida. Con relación a los términos del gradiente que se obtuvo como derivadas parciales con respecto a las velocidades del tren, tenemos V( (¿,?)=771V(?)c(¿,?)+772V<?) <í,s)+*74V(ry(?) y en donde la forma explícita de la derivada en la Ecuación 8-38 es de la Ecuación A-2 del Apéndice.

Expresión del Gradiente Completo Por consideración a la integridad, a continuación se proporcionan las expresiones completas de estos componentes de la Ecuación 8-38. Primero, asignar - y seleccionar los factores de ponderación 771, ?2, ? , ?¡,, que satisfagan Note que la indexación del vector D pone las derivadas parciales con respecto a sk primero, y después a las derivadas parciales con respecto a dk en segundo lugar, pero hay nT valores de cada índice. + s(w- yjß - s(w- y¡k))- s{y& -eß- s(y? - e))]— (ytt)} -74^(l -s(^ - jf-*;«.j fo -f fi) (8-4 en donde para k 6 {nt + 1, ... ,2nt} para u* > tc Ilustración del Proceso de Búsqueda de Gradiente A continuación se proporciona un ejemplo con doce trenes, seis en cada dirección, corriendo en un corredor de 150 millas, durante una ventana de tiempo de ocho horas. La Figura 13 muestra la gráfica de hileras para el horario inicial no procesado (es decir, las horas de salida de los trenes se eligieron sin tomar en consideración la viabilidad) , y la Tabla 1 a continuación muestra la información concerniente a cada tren. Hay doce trenes en el corredor, y el marco de tiempo de interés es de ocho horas (12:00 a 20:00). Las columnas de la tabla indican: (1) el número de identificación del tren (que se muestra en la gráfica de hileras como un entero en el centro de cada hilera asociada) (2) dirección de viaje (Dirección), (3) hora de salida aceptable más temprana (Salida Min.), (4) hora de salida real (Salida Real), (5) última hora de llegada antes de que se incurra en sanción (Llegada Máx. ) (6) velocidad inicial (Velocidad), (7) longitud del tren (Longitud), (8) sanción inicial incurrida por estar tarde (Paso de Sanción) , (9) sanción por hora por cada hora tarde (Sesgo de Sanción), (10) máxima velocidad permitida (Máx. Velocidad) . 10 15 La búsqueda de gradiente como se describió antes empezó cambiando las horas de salida y manteniendo las velocidades de los trenes constantes, y con la función de costos incluyendo sanciones por salida anticipada y sanciones económicas (es decir, llegada tarde) . En la Figura 14 se muestra la gráfica de hileras resultante. Comparando la Figura 14 con la Figura 13, se puede ver que de los 31 puntos iniciales de intersección de trayectorias de los trenes, en la Figura 13, nueve estaban cerca de ser factibles, en donde definiremos "cerca" arbitrariamente en términos de los puntos de intersección cuando menos tocando un desviadero 20. De esta manera, 23 puntos de intersección no estaban cerca de ser factibles. En la versión final de la Figura 14 han desaparecido algunos puntos de intersec-ción, principalmente porque los trenes cuatro y cinco se han unido en un convoy (identificado en la Figura 14 con el número 5 en hileras coincidentes) , y se han sacado algunos trenes de la gráfica de hileras. En la Figura 14, hay sólo dos puntos de intersección que no satisfacen la definición de cerca. La siguiente Tabla 2 muestra el horario final, que se asemeja al horario original, excepto por las horas de salida reales de los trenes. Note que todos los trenes requieren 7.5 horas desde la salida real hasta la llegada al destino, de modo que sólo el tren seis llega tarde, pero el tren seis llega de hecho sólo cuatro minutos tarde. 10 15 Mejorando el Resultado de la Búsqueda de Gradiente mediante Ajustes de Velocidad En esta modalidad el resultado de la búsqueda de gradiente se modifica mediante el ajuste de las velocidades de los trenes entre desviaderos, para conseguir mejores encuentros de desviaderos. El proceso de búsqueda de gradiente acercó las intersecciones de trenes, pero pudiera no llevarlas exactamente a los puntos centrales de los desviaderos. Esta modalidad incluye una técnica para tomar en cuenta los retardos de desviadero reales por medio de cambiar las velocidades de interdesviadero de los trenes, según sea necesario, para conservar las posiciones de los puntos de intersección en los desviaderos. Con el propósito de proporcionar una base estándar para ese proceso, en esta modalidad primeramente ajustaremos los resultados de la búsqueda de gradiente, de tal manera que los puntos de intersección de las trayectorias de los trenes tengan las coordenadas y precisamente en los puntos centrales de los desviaderos. Los puntos de intersección se deben mover con el propósito de incrementar la coordenada de tiempo, para asegurar que ya se hayan ajustado apropiadamente todos los puntos de intersección anteriores. Para centrar los puntos de intersección en los desviaderos y desviar trenes específicos, se deben modificar de alguna manera las velocidades de tren de los trenes 14 envueltos. Por supuesto, la modificación de la velocidad de un tren en cualquier punto puede afectar su trayectoria en línea descendente, lo que podría mover las posiciones de sus encuentros futuros con otros trenes. Esto se evita por medio de requerir que los puntos de intersección centrados permanezcan fijos, y que las velocidades de los trenes se cambien según sea necesario para satisfacer ese requerimiento. Más específicamente, se restringirá al tren que no se vaya a desviar en un punto de intersección dado para que no pase a través del punto de intersección centrado, y el tren que se desviará experimentará los ajustes de velocidad según sean necesarios para llegar y desviarse antes de que el tren opuesto esté dentro de una interferente (es decir, distancia de detención mínima) del tren desviado. Los puntos de intersección se procesan en orden de tiempo en incremento, de tal manera que todos los ajustes en línea descendente de las trayectorias pueda dar razón de modificaciones anteriores. A medida que se procesa cada punto de intersección, la decisión en cuanto a cuál tren desviar puede depender de diferentes criterios, los cuales se pueden establecer como reglas especiales auxiliares para el algoritmo completo. Por ejemplo, si únicamente uno de los dos trenes es demasiado largo para la desviación, entonces se debe desviar el otro tren. Otro caso especial se invocaría para un tren que no podría volverse a poner en marcha si se desvía en una pendiente ascendente del corredor (esto es, éste podría no generar suficiente esfuerzo de tracción para moverse cuesta arriba) . Si no hay ninguna circunstancia especial que obligue a que uno de los dos trenes se deba desviar, entonces el criterio para decidir el tren que se va a desviar es aquel de la velocidad de los trenes: en efecto, desviar a un tren requiere que éste llegue "temprano" al desviadero, con relación al punto de intersección centrado, de tal manera que éste pueda disminuir la velocidad y entrar al desviadero sin la interferencia del tren opuesto. Llegar temprano implica que el tren debe alcanzar una velocidad mayor que aquella que se asignó nominalmente por el proceso de búsqueda de gradiente de la presente invención y, por supuesto, hay algún límite superior práctico sobre la velocidad del tren, como se describirá posteriormente. La decisión de desviación se debe tomar en base a cuál de los dos trenes será conducido menos lejos hacia su límite superior, dado que éste se debe desviar. Una vez que se toma la decisión, se ajustan la velocidad y las horas de llegada de ambos trenes al requerimiento real de desviar el tren. La Figura 15 muestra una situación tal, en donde el punto de intersección (x±j, ij) de los trenes T± y Tj se va a mover al centro del desviadero S¿ (designado por el punto (x±j, (a-h + bh)/2)), dado que ya se hayan ajustado los puntos 16 de intersección inmediatamente anteriores que afectan a los trenes T± y Tj . Claramente las velocidades necesarias para los trenes T± (de Sh-± a Sh) y para Tj (de Sh+? a Sh) se dan por _C*-H-gA ** (10-3) en donde c =-a a- 2 para h = l , . . . , ns, y los trenes Tk, Tp son los trenes que representan los encuentros inmediatamente previos con los trenes T± y Tj, respectivamente . También existe el caso en donde no hay ningún punto de intersección anterior, es decir, en donde el punto de intersección (xXj, YXj) es el primer punto de intersección para cualquiera o ambos de T± o Tj, como se muestra en la Figura 16. En este caso, la velocidad necesaria para asegurar la intersección en el centro del desviadero se da mediante Si'h-l ~ ?H -d para T± con rumbo al este (10,4), = Xg ~dt para T± con rumbo al oeste (10,5), La Figura 17 ilustra el resultado de centrar todos los encuentros para los resultados de la búsqueda de gradiente que se muestran en la Figura 14, en los desviaderos 181 a 188, mediante el ajuste de las velocidades de los trenes entre desviaderos. En efecto, los ajustes de velocidad más bien menores usualmente son suficientes para centrar todos los encuentros.

Resolviendo Conflictos de Desviación Existe un posible efecto secundario indeseable que pudiera surgir cuando se centran los encuentros o pasos, como se ilustra en las Figuras 18A y 18B. Después de ejecutar el proceso de búsqueda de gradiente, en la Figura 18A se muestran los puntos de intersección iniciales. El tren T interseca al tren T3 en el punto 180, el tren Ti interseca al tren T4 en el punto 181, y el tren T2 interseca al tren T4 en el punto 182. En la Figura 18B se muestra el resultado de centrar todos los encuentros que se representan con los puntos 180, 181 y 182, por medio de ajustes de velocidad como se describió anteriormente. El tren T se desvía en el desviadero Sn+? en el punto 183, debido a que su encuentro con el tren T3 y el tren T4 se desvía en el desviadero Sn+? en el punto 184, debido a su encuentro con el tren T2. La dificultad que se crea es que ambos trenes Ti y T4 se deben desviar en el mismo desviadero Sn+?, aunque éstos estén viajando en direcciones opuestas, porque un tren está esperando en el desviadero que el otro tren debe ocupar antes de que el primer tren salga. Esto no se puede realizar, de tal manera que el resultado de centrar todos los encuentros, en un caso como éste, será un horario no factible. Denotaremos estos artefactos como conflictos de desviación. El proceso de centrado de encuentros puede producir dos tipos de conflictos de desviación, como se muestra en la Figura 19A y 19B. La Figura 19A repite el problema de desviación que se ilustra en la Figura 18B. La Figura 19B ilustra otra situación de conflicto de desviación, pero como en las Figuras 18B y 19A, el problema nuevamente es que dos trenes que viajan en direcciones opuestas se deben desviar en el mismo desviadero. Los trenes T2 y T3 se intersecan en el punto 194, con el anterior desviado, mientras que los trenes Ti y T4 se intersecan en el punto 196, con el anterior desviado. Ambos tipos de conflicto de desviación que se muestran en las Figuras 19A y 19B se pueden resolver por medio de mover el encuentro de los trenes en conflicto a un desviadero adyacente, como se muestra en las Figuras 20A y 20B. La Figura 20A representa un conflicto de desviación idéntico a la Figura 19A. el conflicto en el punto de encuentro 200 se resuelve por medio de moverlo hacia arriba al punto 201 en la Figura 20B. Esto se realiza por medio de acelerar o desacelerar los trenes necesarios entre desviaderos adyacentes. De manera similar, el conflicto de desviación de la Figura 19B se puede resolver _por medio de moverlo hacia abajo. Este proceso de resolución como se ilustra mediante la Figura 20B (esto es, el movimiento hacia arriba y hacia abajo de los encuentros para resolver los conflictos de desviación) funcionará si los trenes en conflicto tienen cuando mucho un encuentro en el desviadero al cual se mueve su encuentro, pero no funcionará si ambos trenes tienen encuentros en el desviadero al cual se mueve su encuentro, como se muestra en las Figuras 21A y 21B. En ese caso, la resolución del conflicto de desviación original en el punto 210 en la Figura 21A por medio de moverlo al punto 211 en la Figura 21B, simplemente crea todavía otro conflicto de desviación. Sin embargo, hay una manera inductiva para resolver todos los conflictos de desviación que pudieran ocurrir por el proceso de centrado de encuentros: si llamamos al conflicto de desviación de las Figuras 18B y 19A un conflicto do que se puede resolver hacia arriba, y al conflicto de desviación de la Figura 19B un conflicto que se puede resolver hacia abajo, sigue que cualquier conflicto de desviación que ocurra en el desviadero Si de hecho se puede resolver, porque el punto de conflicto se puede empujar al final del corredor, en donde se pueden evitar cualesquier encuentros con los dos trenes envueltos por medio de modificar ligeramente las horas de salida/llegada de los trenes envueltos, según sea necesario. Esto se ilustra en las Figuras 22A-D, en donde las ilustraciones a la derecha proporcionan las resoluciones de los conflictos de desviación a la izquierda. La intersección en el punto 220 en la Figura 22A se mueve al punto 221 en la Figura 22B, mediante la reducción de la velocidad del tren Ti . En la Figura 22C se remueve el conflicto de desviación en el punto 224 por medio de mover la intersección del punto de los trenes Ti a T2 al punto 225. Ahora pueden ocurrir desviaciones factibles en los puntos de intersección 225 y 226. Ahora podemos proceder mediante inducción para mostrar que todos los conflictos de desviación se pueden resolver, con la base siendo proporcionada por las técnicas que se demuestran en la Figura 22, y con la suposición inductiva siendo que todos los conflictos de desviación que ocurran en el desviadero Sn-?, para n = 2, se pueden resolver por medio de empujar el punto de conflicto al final del corredor. Las Figuras 23A a 23E ilustran un conflicto de desviación que se puede resolver hacia abajo en el desviadero Sn, y se muestra que para todas las posibles variaciones de ese conflicto, éste se puede resolver a una situación en donde, en la pero situación, da como resultado un nuevo conflicto de desviación que de como resultado el desviadero Sn-i - Mediante nuestra suposición inductiva, se puede resolver cualquiera de esos conflictos de desviación inducidos. La Figura 23A muestra la situación de encuentro original. La Figura 23B (caso 1) muestra la resolución si los trenes Ti y T no tienen encuentros en los puntos d y f. La Figura 23C (caso 2) muestra la resolución cuando el tren Ti tiene un encuentro en el punto d, el tren T2 no tiene ningún encuentro en el punto f, y el tren T5 no se desvía. La Figura 23D (caso 2b) muestra la resolución cuando el tren T tiene un encuentro en el punto d, el tren T2 no tiene ningún encuentro en el punto f, y el tren T5 se desvia. La resolución del caso 3 (no se muestra) en donde el tren Ti no tiene ningún encuentro en el punto d, el tren T2 tiene un encuentro en el punto f, es idéntica al caso 2a y 2b. Finalmente, el caso 4 se ilustra en la Figura 23E, en donde ambos trenes T y T2 tienen encuentros en el desviadero Sn-? . La Figura 24 muestra una demostración similar de un conflicto de desviación que se puede resolver hacia arriba en Sn, excepto que la ilustración está limitada a un caso peor, siendo evidente que los casos con menos encuentros restrictivos también se pueden resolver a, en el peor de los casos, conflictos de desviación en Sn-? . La Figura 24A ilustra la situación de encuentro original con la modificación realizada mediante el movimiento del encuentro en el punto c al punto g, como se ilustra en la Figura 24B. Concluimos, finalmente, que aunque el proceso de centrado de encuentros puede producir gráficas de hileras no factibles debido a los conflictos de desviación, todos esos conflictos de desviación se pueden resolver a situaciones factibles que no incluyan conflictos de desviación. Cuando se mueve un punto de encuentro de un desviadero al siguiente más bajo, usualmente habrá alguna latitud horizontal en cuanto a dónde colocarlo, y así hasta cierto grado, se pueden favorecer los límites de velocidad de los trenes. Note, sin embargo, que la resolución de estos conflictos puede dar como resultado algunas ocasiones en donde los trenes deben viajar a velocidades que no se pueden realizar. Se tratará con esto mediante la introducción de un nuevo proceso de optimización de gradiente, en otra modalidad de la presente invención a continuación .

Dando Cuenta del Tiempo de Desvio Como se describió hasta este punto, la invención permite un horario inicial de trenes en el corredor, configurado sin importar los encuentros y pasos, para que se muevan hacia un horario que minimice o elimine los encuentros o pasos que ocurran en ubicaciones no factibles, es decir, no en desviaderos. Después de que se hayan aplicado los procesos para mejorar los resultados de la búsqueda de gradiente por medio de los ajustes de velocidad y de resolver los conflictos de desviación, como se describió anteriormente, al resultado de búsqueda de gradiente original, se ha creado una gráfica de hileras en la cual cada trayectoria de tren se ilustra como una secuencia de segmentos de línea rectos, restringidos para encontrar otras trayectorias de trenes en los puntos centrales de los desviaderos. A la gráfica de hileras, ajustada después de la búsqueda de gradiente según sea necesario para mover todos los encuentros a los puntos centrales de los desviaderos, se le llamará la gráfica de hileras incompleta. La búsqueda de gradiente y los ajustes de velocidad producen un encuentro de dos trenes en un desviadero, pero en una modalidad esto de hecho no da razón para la necesidad de que un tren se desvíe, o por el hecho de que el tren tenga una longitud. Para desviar de hecho un tren, éste debe llegar al desviadero con suficiente antelación al otro tren para entrar completamente en el desviadero, y éste debe retardar su salida hasta que el otro tren despeje el desviadero. La Figura 25 ilustra este problema. Hasta este punto se ha aproximado una trayectoria de tren como un solo segmento de línea no quebrada (como en la Figura 2) , en la actualidad, éste tomará la forma de un segmento de línea quebrada si se debe desviar el tren correspondiente. En la Figura 25 se deben desviar los trenes T2 y T , de tal manera que las trayectorias correspondientes L2 y L3 reflejan el tiempo de desvío requerido con los segmentos de línea horizontales 250 y 252 insertados dentro de las .trayectorias. La longitud mínima del segmento horizontal se determina por la longitud y velocidad del tren opuesto. Por lo tanto, en esta modalidad se debe mejorar el nivel de resolución en la planeación de la trayectoria de trenes, para obtener , un horario de trenes que se pueda implementar, en base a los resultados de la búsqueda de gradiente. Es necesario desarrollar la matemática para desviar trenes, dado que se haya obtenido un horario inicial usando el proceso de búsqueda de gradiente anterior.

Definiendo el Vector de Trayectorias de Trenes Implícitas en el formato puramente geométrico descrito hasta este punto, están las cantidades necesarias para definir el vector de trayectorias de trenes de la Ecuación 10-1. Específicamente, para el tren T±, el valor de bio ( T± con rumbo al este) o de b±,ns+? ( T± con rumbo al oeste) debe ser igual a la hora de salida d± del tren, el cual se determinó mediante el proceso de búsqueda de gradiente, con posible modificación mediante la resolución de los conflictos de desviación. Ahora para un tren con rumbo al este, suponga que el primer encuentro con otro tren ocurre con el tren T en el desviadero S , h > 0, de esta manera conocemos específicamente que T± debe estar en el punto (x±j, ch) en la gráfica de hileras, como se muestra en la Figura 26. Entonces la velocidad s±h del tren T±, desde su origen, debe ser y sigue que b± , para k = 1,..., h, y e±k, para k 1, h-l, se puede determinar como sigue. a b«. - b,ri +-j , para k = 1 , . . . , h (10-7), aa y *ik ß ~~A/ no + *. para Jt = 1, ... , h - 1 (10-8).

Ahora podemos proceder en el siguiente segmento de línea (es decir, de encuentro a encuentro) que define la trayectoria de T± para obtener una velocidad, determinada por las intersecciones de T± con otros trenes, a partir de lo cual podemos determinar Las horas de llegada de T± en todas las orillas de desviadero intermedias, llenando mediante lo mismo todos los datos requeridos para el vector de trayectoria de tren de T±, excepto los valores de decisión de desviación B±h. Todavía no se han considerado las decisiones de desviación, por lo que estos valores se definirán posteriormente . Debe quedar claro que se puede definir un proceso análogo para los trenes con rumbo al oeste, por lo que hemos definido inductivamente todos los vectores de trayectorias de trenes usando la gráfica de hileras incompleta.

Extendiendo la Definición de la Trayectoria de Trenes La definición de las trayectorias de trenes como ecuaciones que relacionan la distancia a los largo del corredor con el tiempo, como se da por la Ecuación 3-3, no acomoda el tiempo de desviación y las decisiones de desviación que se requieren para algunos trenes. En su lugar, se proporciona una caracterización de las trayectorias como segmentos de línea recta, con el propósito de minimizar los cálculos necesarios para el proceso de búsqueda de gradiente.

Con el propósito de generalizar la trayectoria, en esta modalidad se modificará la simple definición de una trayectoria mediante la adición de parámetros que den razón de los retardos del tren en los desviaderos. En donde un corredor tiene ns desviaderos, empezamos por definir el vector de trayectoria del tren, y por conveniencia de notación, designaremos el extremo oeste del corredor como el desviadero So, y el extremo este del corredor como el desviadero Sns+?, con el reconocimiento de que estos "desviaderos" tienen una longitud de cero. Dado este acuerdo, definir el vector de trayectoria del tren para el tren T± como (10-1) ß, = (^í,¿/0»*rt»—»^,»_í+Pe«»ßß'*"»e*'í^/l -°?s / en donde ?± = la dirección del tren T± (ya definida en la Ecuación 3-4) , b±h = la hora a la que el tren T± llega al desviadero Sh (h = 0, ... , ns+?) , e± = la hora a la que el tren T± sale del desviadero Sh (h = 1, ... , ns) , jff - se desvia en Sh Ba -í: if_2J : no se desvia en S Las horas a las que un tren llega o sale de un desviadero será la hora a la cual la cabeza del tren llega al extremo corriente arriba o corriente bajo ("corriente abajo" o "corriente arriba" se define con relación a la dirección del tren) del desviadero, respectivamente. Además, por consistencia, puesto que el desviadero S± tiene los puntos extremos a± y b±, según se miden desde el extremo oeste del corredor, digamos que b0 denota el inicio del corredor, y aOS+? denota el extremo del corredor.

Detallando el Proceso de Desviación La Figura 14 demuestra el resultado del proceso de búsqueda de gradiente, y demuestra que el proceso de búsqueda tiene la capacidad para ajustar las horas de salida, de tal manera que las trayectorias de los trenes se intersecan en los desviaderos. El proceso de búsqueda de gradiente usualmente no puede alinear perfectamente todos los encuentros en los desviaderos, y por lo tanto el proceso de centrado de encuentros también se describió anteriormente. Una vez que tenemos de hecho colocados todos los encuentros en los desviaderos, podemos usar los ajustes de velocidad del tren para interpretar la gráfica de hileras resultante como mostrando que las máquinas de los trenes pasan exactamente en los puntos centrales de los desviaderos. Ahora el enfoque será en una técnica mediante la cual se puede modificar adicionalmente una gráfica de hileras tal como aquella en la Figura 14, con encuentros centrados en los desviaderos, como se describió anteriormente, para proporcionar un horario de gráfica de hileras factible con los trenes desviados según sea necesario. Supondremos que empezamos con todos los encuentros de trenes centrados en los desviaderos, y todos los conflictos de desviación posibles resueltos según sea necesario. El proceso será inductivo: empezaremos mediante el ordenamiento de la colección de todos los puntos de intersección en la gráfica de hileras incompleta, de conformidad con la hora de la intersección, y procederemos a modificarlos, en orden de tiempo, de tal manera que cada punto de intersección refleje una configuración de desviación factible. La Figura 27 ilustra la técnica que se va a aplicar, como se aplica ésta al punto de intersección y24. Se presume que ya se han modificado mediante este proceso todos los puntos de intersección de la gráfica de hileras antes en el tiempo a y24, de tal manera que los datos de tiempo y veloci-dad requeridos concernientes a los trenes T2 y T4, anteriores al punto y24, son de hecho válidos. De las dos trayectorias que pasan a través de y24, elegiremos desviar al tren T4, y la modificación de la trayectoria para T4 se indica por medio de la secuencia de guiones de los segmentos de línea. Efectivamente, requerimos que T4 opere a una velocidad más alta desde el último punto de intersección en la trayectoria (con relación a la gráfica de hileras incompleta) con el propósito de llegar al desviadero Sn, de tal manera que el último carro de T4 entre de hecho al desviadero antes de que la máquina del tren T llegue al extremo oeste del -desviadero Sn. Las Figuras 28 y 29 representan posibles situaciones de encuentro/paso entre trenes. Existen cuatro casos básicos, como sigue: (1) un tren con rumbo al este se desvía por un tren con rumbo al oeste, (2) un tren con rumbo al oeste se desvía por un tren con rumbo al este, (3) un tren con rumbo al este se desvía por un tren con rumbo al este que pasa, (4) un tren con rumbo al oeste se desvía por un tren con rumbo al oeste que pasa. También existen cuatro variantes en cada caso (para un total de 16 casos) , dependiendo de si alguno o ambos trenes envueltos se desviaron en el punto de intersección previo en sus trayectorias. Esto tiene significado porque un tren que deja un desviadero tendrá una velocidad inicial más baja (la velocidad de salida del desviadero) a través de un segmento interdesviadero que un tren que no se ha desviado. Los parámetros esenciales para el proceso se definirán en conjunción con las Figuras 28 y 29. Con relación a cualquier tren Ti, digamos que A±h = la hora de llegada del último carro de T± en el extremo corriente arriba del desviadero Sh, D±h = la hora a la cual llega la cabeza Ti a la orilla corriente abajo del desviadero Sh, t±h = la hora a la cual un tren T± no desviado en Sh pasa el punto medio del desviadero Sh, vh = la velocidad de entrada/salida de cualquier tren para el desviadero Sh, p (i ,h) = el desviadero en el cual T± tuvo el encuentro más reciente antes del encuentro presente en Sh, fi (v) = el minimo tiempo de detención para el tren T± a la velocidad v. La aproximación que se usó para esta función se explica en el Apéndice B. Aunque la siguiente notación no es nueva, la revisamos en la presente por conveniencia: digamos que ah = la coordenada del extremo oeste del desviadero Sh r bh = la coordenada del extremo este del desviadero Sh, M± = la longitud del tren T±, L = la longitud del corredor (con el extremo oeste siendo el origen) , y finalmente digamos que a. +b, l coordenada del punto medio del c* = desviadero S¿ (10-9) Con relación a los descriptores anteriores del vector de trayectoria del tren T± (Ecuación 10-1) , note que D±h = e±h (10-10) , y, para un tren no desviado que pasa el desviadero Sh, que se supone que mantiene una velocidad constante a través de la extensión del desviadero, el valor del cual se estableció por medio de centrar todos los encuentros en los desviaderos. En las siguientes derivaciones, los trenes que se encuentran en un desviadero Sh serán los trenes T± y Tj, y T± siempre será el tren que se va a desviar. Las restricciones aparentes que se deben satisfacer para que T± se desvíe (ver las Figuras 28 y 29) , son A±h = Djh (10-12) , D±h = Ajh (10-13) Estas dos restricciones se idealizan de alguna manera, y ambas necesitan modificaciones. Primeramente, sería inseguro aplicar la desigualdad 10-12 literalmente, debido a que si, por alguna razón, el tren T± se fuera a detener poco antes de ser completamente desviado, entonces el tren Tj pudiera estar de hecho demasiado cerca para detenerse a tiempo para evitar una colisión. Por lo tanto la condición 10-12 se debe reemplazar con A±h = Djh - fj ( vj) (10-14), en donde Vj es la velocidad de Tj a medida que éste se acerca al desviadero S¿. La condición 10-13 también requiere una modificación, porque pudiera ser el caso que Tj pudiera de hecho despejar el extremo corriente abajo del desviadero (con relación a T±) antes de que T± pueda llegar allí, aún si T± que entra al desviadero se continúa moviendo a la máxima velocidad de desviación, y llega al extremo corriente abajo del desviadero. En ese caso, D±h está limitado por la velocidad de T±, no la posición de Tj, y toma el valor mínimo * == A i k -ah -Mi (10-15), de tal manera que la versión corregida de la Condición 10-14 es (10-16).

Las restricciones 10-14 y 10-16 proporcionan entonces las restricciones prácticas por medio de las cuales se pueden planear los encuentros y pasos. Las cantidades en las desigualdades son funciones de las velocidades del tren en los segmentos interdesviadero previos, y de las horas de salida desde el último desviadero: inductivamente, presumimos que se conocen las horas de salida para ambos trenes desde sus encuentros previos, y debemos derivar las velocidades que necesitan ambos trenes para llegar al desviadero Sh de tal manera que se satisfagan las restricciones 10-14 y 10-16. Las cantidades conocidas para los trenes T± y Tj, al inicio del paso inductivo, son (1) t j, la hora a la cual Tj debe estar en el centro de Sh (Ecuación 10-11) , (2) Di,p (i,h) , para Ti r (3) Dj,p (j?h) , para Tj . Para satisfacer las restricciones 10-14 y 10-16 debemos determinar los valores para D±h, Djh, A±h, y Ajh, en términos de velocidades, y entonces resolver las desigualdades de las restricciones para las velocidades que se requieren para satisfacer las restricciones. Las velocidades así obtenidas son para T± y Tj desde sus últimos encuentros con su encuentro común, y cuando resolvemos las desigualdades de restricciones (sujetas a las elecciones de desviación hechas) para obtener estas velocidades de tren, también determinaremos los valores que corresponden a los asuntos (l)-(3) anteriores para los trenes T± y Tj en el desviadero Sh, terminando mediante lo mismo el proceso inductivo. La base de la inducción se tomará posteriormente .

El Paso Inductivo para el Tren No Desviado Primeramente determinamos las velocidades, a partir de los requerimientos de que el tren no desviado pase el centro del desviadero Sh en el tiempo tjh : Note que también hay dos casos especiales de las Ecuaciones 10-17, a saber TJO = dj para Tj con rumbo al este, (10-18) Tj,ns+? = d para Tj con rumbo al oeste, y para consistencia de notación, definimos co = 0, Y ;i0-19) . -ns+l = L Adicionalmente, la validez de la ecuación 10-17 requiere que la distancia entre los desviaderos Sh y Sp(jfh) exceda la longitud Mj del tren Tj. De las Ecuaciones 10-17, podemos resolver las velocidades requeridas: ck-b Pü,h) sM-? = , para j con rumbo al este y no fJh "^J. U,*) desviado en S fj,w (10-20) ; SJ,h-l para j con rumbo al este y desviado en Sp(jrh) (10-21) ; sJk para Tj con rumbo al oeste y no desviado en Sp(jf ) (10-22) ; Sjh para j con rumbo al oeste y desviado en SP(j,h) (10-23) ; Ahora que se determina la velocidad para el tren no desviado, podemos resolver para Djh y Ajh, como sigue: Para el tren no desviado, la determinación de Djh en la Ecuación 10-24 completa el paso inductivo del algoritmo de desviación. Note que si hay desviaderos entre Sh y SP(jrh) , entonces las horas de llegada y salida desde esos desviaderos está implícita en las velocidades calculadas en las Ecuaciones 10-20 a 10-23. Para k un índice de uno de esos desviaderos, tenemos los siguientes resultados: Podemos escribir entonces > k "~ ak para j con rumbo al este Jk S sk.k-l (10-27) «*- ¿, , 0 ~~ a para T* con rumbo al oeste skk El Paso Inductivo para el Tren Desviado i La mitad del paso inductivo para el tren desviado T ya está completa, en el sentido de gue podemos establecer el valor D±h para que sea cualquier valor que satisfaga la condición 10-16, aunque normalmente estableceríamos ese valor paira que sea tan pequeño como sea posible. Sin embargo, también debemos determinar la velocidad que requiere T±, desde el desviadero previo Sp (±rh) en donde T± tuvo un I encuentro a Sh, que satisfará la Condición 10-14. Existen cuatro casos, en base a si T± está con rumbo al este o con rumbo al oeste, y si se desvió o no en SP(±rh) . Expresamos Alh para cada uno de estos casos, y después usamos la Condición en Sp (i? w en SD J .

Puesto que en la sección previa se ha determinado el valor de Djh, la Ecuación 10-28 y la Condición 10-12 llevan a desigualdades para la velocidad s±h o s±,h-? de T±, como sigue. al este y no (10-29) , para T± con rumbo al este y desviado en SP( rh) (10-30) , *«= T7""» para Ti con rumbo al oeste y no vA desviado en SP(±rh) (10-31) , para T± con rumbo al oeste y desviado en Sp (i/h) (10-32) en donde -y/i-i para T-j con rumbo al este v, ß »;* *r:?> con rumbo al oeste (10-33) Se conocen todas las cantidades en los lados derechos de las desigualdades 10-29 a 10-32, por lo tanto se determina la velocidad s±h o s±,h-? para 61 tren T±, y el paso inductivo está completo. Si un desviadero Sk es intermedio a Sh y Sp (±rh) , entonces las ecuaciones 25 y 26 establecen los valores de e±k Y b±k. El establecimiento de una base inductiva para lo anterior depende únicamente de la observación de que el mismísimo primer encuentro para cualquier tren T± o Tj está precedido por la entrada dentro del corredor desde el extremo este u oeste. Todos los cálculos que se requieren entonces para llegar y encontrarse en el desviadero Sh, sujetos a las restricciones, se basan en la hora de salida original del tren relevante, para el cual se establece igual Dp (±/h) o DP(j,h) r según pudiera ser el caso. Finalmente, el proceso inductivo definido anteriormente determina las velocidades, y las horas de llegada y salida para cada tren en cada desviadero, en base a los encuentros en los desviaderos. Una vez que un tren se ha encontrado con su último encuentro, se ajusta la velocidad final para asegurar que éste llegue al final del corredor según lo programado. Si el tren T± tiene su último encuentro en el desviadero Sh, entonces las velocidades entre todos los desviaderos subsecuentes que se requieren para salir del corredor según lo programado, se dan por y no $ . (10-34) y ,. para ¡Ti con rumbo al oeste y no desviado en S¡ Sl,k-l — Si,k-2 •*M - ßp -Mi JW. para T± con rumbo al oeste y -'/o desviado en Sb (10-35) .

La Figura 30 despliega visualmente una gráfica de hileras final y completa, la cual se ha ajustado para encuentros centrados, y entonces para desviaderos de trenes. La Figura 31 es un diagrama de flujo que implementa uno de los algoritmos de la presente invención. El diagrama de flujo de la Figura 31 se puede procesar en cualquier computadora de propósito especial o de propósito general. Cualquiera que sea experto en la técnica para preparar códigos de software puede escribir el código de software necesario para implementar el diagrama de flujo de la Figura 31, dada la información en la Figura 31 y la descripción de la invención que se proporciona en la presente. El procesamiento empieza en un paso 310, en donde se establecen las condiciones iniciales. Esto es, allí se presume un vector inicial yH , el cual identifica ya sea la velocidad inicial del tren o las horas de salida iniciales de los trenes en el corredor, o ambos. El vector y se usa para calcular los puntos de intersección en un paso 312, y entonces, en un paso 314, se determina el valor de la función de localizador por cada punto de intersección calculado. En un paso 316, se presumen los valores de la función de localizador para crear una función de costo de viabilidad del horario con un argumente >? . Como se describió anteriormente, existen muchos tipos de funciones de costo diferentes asociados con diferentes modalidades de la presente invención. Por ejemplo, la Ecuación 8-17 identifica dos funciones de costo. La función de costo de viabilidad del horario (C) y una función de costo asociada con los efectos de salidas tempranas (E) . La función de costo económica se define en la Ecuación 8-26, y la función de costo de máxima velocidad se define en la Ecuación 7-9. Dependiendo de la modalidad de la presente invención, se usarán una o más de estas funciones de costo para crear la función de costo en el paso 316. En un paso 318, se calcula el gradiente de la función de costo'j', . En un paso 320, se crea un nuevo argumento para la función de costo. Se hace referencia a este argumento como , n+i Y se calcula usando el valor de gradiente del paso 318 y un tamaño de paso determinado previamente. Este tamaño de paso se basa en el valor de gradiente y se debe determinar en cada situación con el propósito de converger hacia la mínima función. Se hace referencia al proceso del paso cuatro que se delinea en la Ecuación 8-3. En un paso 322, se calcula la magnitud de la diferencia entre la función de costo en y y y . En un paso de decisión 324, se comparan los resultados J 'n+l del paso 322 con un umbral. Si no se excede el umbral, entonces se ha localizado la función de costo mínima, y se produce un horario para el corredor. Esto se ilustra en forma de diagrama en un paso 325. Si se excede el umbral, entonces se pueden realizar cálculos adicionales para encontrar la función de costo mínima. En este punto, el procesamiento se mueve a un paso 326, en donde ahora se establece el valor previo dev igual al valor de y y el procesamiento regresa al paso 312, en donde se vuelven a calcular los puntos de intersección. El procesamiento continúa entonces a través de los pasos 314, 316, 318, 320, y 322, seguidos por el paso de decisión 324, en donde se vuelve a comparar la magnitud con el valor de umbral. Como se describió anteriormente, existen refinamientos adicionales que se pueden hacer a partir del horario producido en el paso 325. Estos refinamientos representan modalidades adicionales de la invención y se describieron con detalle anteriormente. En forma de diagrama de flujo, éstos se presentan en la Figura 32. En lugar de que el procesamiento proceda al paso 325 en la Figura 31 cuando no se excede el valor de umbral, el procesamiento puede continuar más bien a un paso 340 que se ilustra en la Figura 32. Aquí, se hacen ajustes para interdesviar las velocidades de los trenes, de tal manera que las intersecciones ocurran precisamente en los desviaderos. Esta modalidad se describe en conjunción con las Figuras 15, 16 y 17. En otra modalidad, los conflictos de desviación se pueden resolver en un paso 342. Esta modalidad se describe en conjunción con las Figuras 18-24 anteriores. El asunto de dar razón por el tiempo que se desvían los trenes se representa por medio de un paso de procesamiento 344. Esta modalidad se describió anteriormente en conjunción con las Figuras 25-30. Finalmente, la incorporación de estas modalidades adicionales permite la generación de otro horario de trenes para el corredor de rieles, como se ilustra en un paso 346.

Claims

ÍEIVINDICACIONES 1. Un método para programar el movimiento de una pluralidad de trenes que operan en un corredor de rieles, en donde los trenes que viajan por el corredor de rieles se pueden intersecar en la misma vía, por medio del cual cada tren tiene cuando menos un parámetro de viaje que se puede cambiar, por medio del cual el corredor de rieles incluye cuando menos una línea principal y una pluralidad de vías secundarias sobre las cuales se puede mover un tren, para evitar una intersección con otro tren, el método comprendiendo los pasos de: (a) derivar una función de localizador para representar el corredor de rieles, en donde la función de localizador tiene un valor dentro de un primer rango entre vías secundarias, y tiene un valor dentro de un segundo rango en la vecindad de cada vía secundaria, en donde la función de localizador representa cada vía secundaria como teniendo la misma longitud; (b) seleccionar un valor para cuando menos un parámetro de viaje para cada uno de la pluralidad de trenes; (c) encontrar los puntos de intersección para la pluralidad de trenes; (d) determinar el valor de la función de localizador para cada punto de intersección; (e) sumar los valores de la función de localiza- dor para crear una suma de función de costo de viabilidad de horario, en donde la suma de la función de costo de viabilidad de horario representa la función de costo asociada con la intersección de los trenes en una vía secundaria; (f) cambiar uno o más de los valores seleccionados en el paso (b) para encontrar el mínimo de la función de costo de viabilidad de horario.
2. El método de la reivindicación 1, en donde el paso (a) incluye los pasos de: (al) calcular la longitud promedio de las vias secundarias en el corredor de rieles; y (a2) volver a definir los límites de cada vía secundaria, según se representa mediante la función de localizador, de tal manera que cada vía secundaria tenga una longitud igual a la longitud promedio.
3. El método de la reivindicación 1, en donde el paso (f) incluye los pasos de: (fl) incrementar de forma incrementaría la longitud de cada vía secundaria a partir del valor promedio hacia su valor real; y (f2) cambiar uno o más de los valores seleccionados en el paso (b) para encontrar el mínimo de la función de costo.
4. El método de la reivindicación 1, en donde el parámetro de viaje incluye la velocidad del tren.
5. El método de la reivindicación 4, que incluye un paso (g) de ajustar las velocidades de los trenes entre vías secundarias para asegurar que cada intersección ocurra en una vía secundaria.
6. El método de la reivindicación 4, que incluye un paso (g) de modificar la velocidad de interdesviación de cuando menos uno de la pluralidad de trenes, para tomar en cuenta el tiempo que pasa un tren en una vía secundaria.
7. El método de la reivindicación 1, en donde el parámetro de viaje incluye la hora de entrada del tren sobre el corredor de rieles.
8. El método de la reivindicación 1, en donde el parámetro de viaje incluye la velocidad del tren y la hora de entrada del tren sobre el corredor de rieles.
9. El método de la reivindicación 1, en donde la vía secundaria incluye un desviadero de paso.
10. El método de la reivindicación 1, en donde la vía secundaria incluye dos vías paralelas con interruptores de vía de traspaso entre los mismos.
11. El método de la reivindicación 1, en donde la función de localizador se deriva mediante la suma de una pluralidad de funciones sigmoideas, en donde dichas funciones sigmoideas están colocadas una con respecto a la otra y la localización de las vías secundarias, de tal manera que la función de localizador toma un valor dentro de un primer rango entre las vías secundarias, y tiene un valor en el segundo rango en la vecindad de cada vía secundaria.
12. Un aparato para programar el movimiento de una pluralidad de trenes que operan en un corredor de rieles, en donde los trenes que viajan por el corredor de rieles se pueden intersecar, por medio del cual cada tren tiene cuando menos un parámetro de viaje que se puede cambiar, por medio del cual el corredor de rieles incluye cuando menos una línea principal y una pluralidad de vías secundarias sobre las cuales se puede mover un tren, para evitar una intersección con otro tren, el método comprendiendo los pasos de: un elemento para derivar una función de localizador para representar el corredor de rieles, en donde dicha función de localizador tiene un valor dentro de un primer rango entre vías secundarias, y tiene un valor dentro de un segundo rango en la vecindad de cada vía secundaria, en donde la función de localizador representa cada vía secundaria como teniendo la misma longitud; un elemento para seleccionar un valor para cuando menos un parámetro de viaje para cada uno de la pluralidad de trenes; un elemento para encontrar los puntos de intersección para la pluralidad de trenes; un elemento para determinar el valor de la función de localizador para cada punto de intersección; un elemento para sumar los valores de función de localizador para crear una suma de función de costo de viabilidad de horario, en donde la suma de función de costo de viabilidad de horario representa la función de costo asociada con la intersección de los trenes en una vía secundaria; un elemento para cambiar uno o más de los valores seleccionados para encontrar el mínimo del valor de la función de costo.
13. El aparato de la reivindicación 12, en donde el elemento para derivar la función de localizador comprende: un elemento para calcular la longitud promedio de las vías secundarias en el corredor de rieles; y un elemento para definir los límites de cada vía secundaria, según se representa mediante la función de localizador, de tal manera que cada vía secundaria tenga una longitud igual a la longitud promedio.
14. El aparato de la reivindicación 12, que incluye un elemento para incrementar de forma incrementaría la longitud de cada vía secundaria a partir del valor promedio hacia su valor real.
15. El aparato de la reivindicación 12, en donde el parámetro de viaje incluye la velocidad del tren.
16. El aparato de la reivindicación 15, que incluye un elemento para ajustar las velocidades de los trenes entre vías secundarias para asegurar que cada intersección ocurra en una vía secundaria.
17. El aparato de la reivindicación 15, que incluye un elemento para modificar la velocidad de interdesviación de cuando menos uno de la pluralidad de trenes, para tomar en cuenta el tiempo que pasa un tren en una vía secundaria.
18. El aparato reivindicación 12, en donde el parámetro de viaje incluye la hora de entrada del tren sobre el corredor de rieles.
19. El aparato reivindicación 12, en donde el parámetro de viaje incluye la velocidad del tren y la hora de entrada del tren sobre el corredor de rieles.
20. El aparato de la reivindicación 12, en donde la vía secundaria incluye un desviadero de paso.
21. El aparato de la reivindicación 12, en donde la vía secundaria incluye dos vías paralelas con interruptores de vía de traspaso entre los mismos.
22. El aparato de la reivindicación 12, en donde la función de localizador se deriva por la suma de una pluralidad de funciones sigmoideas, en donde las funciones sigmoideas están colocadas una con respecto a la otra y la localización de las vías secundarias, de tal manera que la función de localizador toma un valor dentro del primer rango entre vías secundarias, y toma un valor dentro del segundo rango en la vecindad de cada vía secundaria. RESUMEN Un proceso para programar el viaje de trenes en un corredor de rieles . El corredor de rieles incluye una pluralidad de vías de desviación sobre las cuales se pueden desviar los trenes cuando ocurre un encuentro o paso con otro tren en el corredor. Se usa un proceso de búsqueda de gradiente con una función de costo para determinar el horario óptimo por medio de mover cada encuentro y paso a un desviadero. Los horarios de trenes individuales se cambian por medio de cambiar la velocidad del tren y/o la hora de salida del tren (es decir, la hora a la cual el tren entra en el corredor) . Apéndice A - Propiedades de las funciones Sigmoidea y de Localizador Premisa 1: s(x;cc,ß)= ß -s(-x;a,ß) (Al) Prueba: Q.E.D. Premisa 2: —(s(ax + b;a,ß))=-—s(ax+b;a,ß)(ß-s(ax+b;a,ß)) (A2) ax ß Prueba: ^-(s(ax+ b;a,ß))=^(l+ß-*"»))4)=/?(-lXl+ß-*<"+*>)r2(-«»>-««*> Q.E.D. El siguiente resultado sigue de la derivación de la función de localizador en el cuerpo de este documento, y de la aplicación de la Premisa 2. Premisa 3: Digamos que (-8, w) , (ai, bi) , ... (aN, bN),(e,8) representan intervalos mutuamente separados, con -oo < ai < bi < a2...<aN < bN < oo. Entonces L (x;a,ß) está definido para ser inferior si y sólo si x está en, o cerca de uno de los intervalos (-oo, w) , (a?,b?) , ... (aN, bN),(e,oo) toma la forma Y + s(w-x;a,ß)(ß -s(w-x'} ,ß))-s(x-e-, ,ß') ß-s(x-e; ,ß)^ (A3) Apéndice B - Una Aproximación de Tiempo de Detención del Tren La fórmula básica para la aceleración/desaceleración de un cuerpo es F = MA (Bl) , en donde F = la fuerza de frenado aplicada, M = la masa del cuerpo A = la aceleración del cuerpo. Un tren tiene frenos en cada carro, y cada carro tiene masa, por lo tanto presumiremos que la fuerza de frenado máxima total y la masa son proporcionales a la longitud del tren. Por lo tanto, la Ecuación Bl se puede escribir como A = k, (B2) , es decir, la aceleración disponible al máximo frenado es (a-proximadamente) independiente de la longitud o masa del tren. Para evaluar k, suponemos que un tren que se mueva a 50 mph se puede detener en 1 milla, por lo tanto su velocidad promedio durante la desaceleración (lineal) sería de 25 mph, y el tiempo requerido para alcanzar un paro total sería (1 mi./25 mph) (60 min/hr)=2.4 minutos. Así, la ecuación que relaciona la velocidad del tren v con el tiempo de detención f (v) toma la forma f (v) = v/A = v/k (B3) . y 2.4 = 50/A: por lo tanto k = 50/2.4 = 20.83 (mph/min.) Entonces la forma final es f (v) = v/20.83 (B4) , en donde f (v) está en minutos, y v en millas por hora. Apéndice C - Glosario de las Variables A± (t) — la función de sanción por llegar tarde, evaluada para el tren T± (Ecuación 7-1) A± — la hora de llegada del fin del tren T± en la orilla corriente arriba del desviadero S A?,dJ- — el componente de función de costo que obliga las llegadas a tiempo ah — la distancia desde el extremo oeste del corredor1 en el cual empieza el desviadero Sh B±h — la la variable de decisión en cuanto a si el tren T± se desvía en el desviadero Sh b — la distancia desde el extremo oeste del corredor1 en el cual termina el desviadero S± ( a± < b±) C?,d) — ?a función de costo que obliga las intersecciones de trayectoria en los desviaderos. Ch — el punto medio del desviadero Sh D±h — la hora de salida del tren T± desde la orilla corriente abajo del desviadero Sh d± — la hora de salida del tren T± d — el vector de la dimensión nt de las horas de salida para todos los trenes E — el nombre del punto en el extremo este del corredor E?) — el componente de función de costo que evita salidas tempranas de los trenes f± (v) — el tiempo de detención mínimo del tren T± desde la velocidad v G ,dj- — la función de costo de programación de horarios total (Ecuación 7-10) H± — la longitud del desviadero S± h± — el costo de sanción de paso incurrida cuando el tren T± llega tarde I — el conjunto de todas las intersecciones de las trayectorias de los trenes (aún si no está en la gráfica de hileras) L — la longitud del corredor L± -- la linea en la gráfica de hileras que representa la trayectoria del tren T± L (y) — la función de localizador, con la mínima correspondiendo a cada desviadero (Ecuación 5-5) • (y) — Ia función de localizador equilibrada (Ecuación 5-7) ±j (y±j) — el localizador modificado de modo que los trenes T± y Tj no se encuentren en donde ninguno se pueda desviar M± — la longitud del tren T± m± — la sanción por llegar tarde por unidad de tiempo cuando el tren T± llega tarde nt — el número de trenes envueltos en la optimización p (i ,h) — el desviadero antes de Sh en el cual el tren T± tuvo un encuentro S± — el designador para el desviadero i-ésimo, viajando hacia el este en el corredor s± — la velocidad del tren T± s± <max> — máxima velocidad permitida para el tren T± s±h — velocidad del tren T± entre las orillas corriente abajo de los desviaderos Sh y Sh+i s — el vector de la dimensión nt de las velocidad para todo el tren T± — el designador para el tren i-ésimo T±j — el conjunto de todos los desviaderos en donde cuando menos uno de los trenes Ti y Tj se puede desviar ti — la hora de llegada a la cual el tren T± empieza a incurrir en sanciones por llegar tarde tjh — la hora en la cual el tren Tj, si no se desvía en Sh, llega a ch t. la coordenada de tiempo asociada con el punto de intersección de la trayectoria y±j v(s) — el componente de función de costo que limita las velocidades de los trenes Vh — la velocidad de entrada/salida para los trenes en el desviadero S W — el nombre del punto en el extremo oeste del corredor (cero en el eje de distancia) Y± — la distancia desde el extremo oeste del corredor en el cual se intersecan los trenes T± y Tj y — el vector de todos los puntos de intersección de trayectorias y±j a — el parámetro de función sigmoidea que controla la inclinación de elevación (Ecuación 4-1) ß — la asíntota horizontal de la función sigmoidea (Ecuación 4-1) ?l — el peso aplicado al componente de viabilidad C?,d) ¿e la función de costo ?2 — el peso aplicado al componente de llegada de la función de costo ni — el peso aplicado al componente de salida anticipada E ) de la función de costo ?4 — el peso aplicado al componente de velocidad máxima V[s) de la función de costo ?± — una variable que denota la dirección del tren T±, 0 si es con rumbo al este, 1 si es con rumbo al oeste s(x) — la función sigmoidea (Ecuación 4-1)