KR20220146363A - 동형 암호문에 대해 정렬 장치 및 방법 - Google Patents

Abstract

동형 암호문 처리 방법이 개시된다. 본 동형 암호문 처리 방법은 복수의 동형 암호문을 복수의 그룹으로 구분하는 단계, 구분된 그룹별로 정렬을 수행하는 단계, 그룹별로 정렬된 복수의 동형 암호문 중 정렬 순번에 대응되는 후보 동형 암호문을 선별하는 단계, 및 선별된 후보 동형 암호문에 대한 동형 연산을 통하여 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계를 포함한다.

Description

동형 암호문에 대해 정렬 장치 및 방법{APPARATUS FOR SORTING OF HOMOMORPHIC ENCRYPTED DATA AND METHOD THEREOF}

본 개시는 동형 암호문에 대한 정렬 장치 및 방법에 관한 것으로, 구체적으로, 동형 암호문에 대한 정렬을 효율적으로 수행하기 위하여, 정렬될 순서에 대응되는 후보 동형 암호문에 대한 최대값 비교를 통하여 정렬을 수행하는 정렬 장치 및 방법에 관한 것이다.

통신 기술이 발달하고, 전자 장치의 보급이 활발해짐에 따라, 전자 장치 간의 통신 보안을 유지하기 위한 노력이 지속적으로 이루어지고 있다. 이에 따라, 대부분의 통신 환경에서는 암호화/복호화 기술이 사용되고 있다.

암호화 기술에 의해 암호화된 메시지가 상대방에게 전달되면, 상대방은 메시지를 이용하기 위해서는 복호화를 수행하여야 한다. 이 경우, 상대방은 암호화된 데이터를 복호화하는 과정에서 자원 및 시간 낭비가 발생하게 된다. 또한, 상대방이 연산을 위해 일시적으로 메시지를 복호화한 상태에서 제3자의 해킹이 이루어지는 경우, 그 메시지가 제3자에게 손쉽게 유출될 수 있다는 문제점도 있었다.

이러한 문제를 해결하기 위하여 동형 암호화 방법이 연구되고 있다. 동형 암호화 방식을 이용하면 암호화된 정보를 복호화하지 않고 암호문 자체에서 연산을 하더라도, 평문에 대해 연산한 후 암호화한 값과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 따라서, 암호문을 복호화하지 않은 상태에서 각종 연산을 수행할 수 있다.

K-평균 군집화(k-means clustering), 탑-K 데이터 연산(top-k data operations), 비닝(binning), 통계 분석 등과 같은 동작을 위하여 정렬이 필요하다는 점에서, 최근에는 동형 암호문에 정렬 처리가 요구되고 있다.

그러나 동형 암호문의 연산은 덧셈, 곱셈 등 제한된 기본 연산만을 지원하며, 종래 널리 사용되는 퀵 정렬(Quick sort), 병합 정렬(Merge Sort) 등은 이전 단계의 비교 결과와 비교할 다음 대상을 결정하는 과정을 반복하는 것으로 구성되기 때문에, 동형 암호문에 적합한 정렬 알고리즘이 요구되었다.

따라서 본 개시는 상술한 바와 같은 문제점을 해결하기 위한 고안된 것으로, 정렬될 순서에 대응되는 후보 동형 암호문에 대한 최대값 비교를 통하여 정렬을 수행하는 정렬 장치 및 방법을 제공하는데 있다.

본 개시는 이상과 같은 목적을 달성하기 위한 것으로, 본 개시의 일 실시 예에 따른 동형 암호문 처리 방법은, 복수의 동형 암호문을 복수의 그룹으로 구분하는 단계, 상기 구분된 그룹별로 정렬을 수행하는 단계, 상기 그룹별로 정렬된 복수의 동형 암호문 중 정렬 순번에 대응되는 후보 동형 암호문을 선별하는 단계, 및 상기 선별된 후보 동형 암호문에 대한 동형 연산을 통하여 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계를 포함한다.

이 경우, 상기 후보 동형 암호문을 선별하는 단계는, 상기 정렬 순번에 대응되는 제1 그룹에 대한 제1 순번, 제2 그룹에 대한 제2 순번을 산출하는 단계, 제1 그룹 내의 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문과 상기 제2 그룹 내의 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문을 비교하는 단계, 및 상기 비교 결과에 기초하여, 상기 정렬 순번이 가능한 후보 동형 암호문을 결정하는 단계를 포함할 수 있다.

이 경우, 상기 순번을 산출하는 단계는, 상기 정렬 순번을 2로 나눈 값의 내림 정수 값을 제1 순번으로, 상기 정렬 순번의 2로 나눈 값의 올린 정수 값을 제2 순번으로 산출할 수 있다.

이 경우, 상기 후보 동형 암호문을 결정하는 단계는, 상기 제1 동형 암호문이 제2 동형 암호문보다 크고, 내림 차순 정렬이면, 상기 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문보다 작은 크기를 갖는 제1 그룹 내의 동형 암호문, 상기 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문 및 상기 제2 동형 암호문보다 큰 크기를 갖는 제2 그룹 내의 동형 암호문을 후보 동형 암호문으로 결정할 수 있다.

한편, 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계는, 입력된 두 동형 암호문 중 큰 동형 암호문 또는 작은 동형 암호문을 선택적으로 출력하는 비교 함수를 이용하여, 상기 선별된 후보 동형 암호문 간의 비교 함수 출력을 통하여 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정할 수 있다.

한편, 본 동형 암호문 처리 방법은 상기 복수의 그룹 중 두 그룹에 포함된 동형 암호문의 개수만큼 상기 후보 동형 암호문을 선별하는 단계 및 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계를 반복하여, 상기 두 그룹 내의 복수의 동형 암호문을 정렬하는 단계를 더 포함할 수 있다.

한편, 상기 구분된 그룹별로 정렬을 수행하는 단계는, 세 개 이상의 동형 암호문을 한번의 스테이지에서 정렬 가능한 k-way 정렬기를 이용하여 그룹별 복수의 동형 암호문을 정렬할 수 있다.

이 경우, 상기 복수의 그룹으로 구분하는 단계는, 상기 k-way 정렬기의 정렬 단위에 대응하여 복수의 그룹으로 구분할 수 있다.

한편, 본 개시의 일 실시 예에 따른 전자 장치는 복수개의 동형 암호문을 저장하는 메모리, 및 상기 복수개의 동형 암호문을 정렬하는 프로세서를 포함하며, 상기 프로세서는, 복수의 동형 암호문을 복수의 그룹으로 구분하고, 상기 구분된 그룹별로 정렬을 수행하고, 상기 그룹별로 정렬된 복수의 동형 암호문 중 정렬 순번에 대응되는 후보 동형 암호문을 선별하고, 상기 선별된 후보 동형 암호문에 대한 동형 연산을 통하여 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정할 수 있다.

이 경우, 상기 프로세서는 상기 정렬 순번에 대응되는 제1 그룹에 대한 제1 순번, 제2 그룹에 대한 제2 순번을 산출하고, 제1 그룹 내의 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문과 상기 제2 그룹 내의 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문을 비교하고, 상기 비교 결과에 기초하여, 상기 정렬 순번이 가능한 후보 동형 암호문을 결정할 수 있다.

이 경우, 상기 프로세서는 상기 정렬 순번을 2로 나눈 값의 내림 정수 값을 제1 순번으로, 상기 정렬 순번의 2로 나눈 값의 올린 정수 값을 제2 순번으로 산출할 수 있다.

이 경우, 상기 프로세서는 상기 제1 동형 암호문이 제2 동형 암호문보다 크고 내림 차순 정렬이면, 상기 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문보다 작은 크기를 갖는 제1 그룹 내의 동형 암호문, 상기 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문 및 상기 제2 동형 암호문보다 큰 크기를 갖는 제2 그룹 내의 동형 암호문을 후보 동형 암호문으로 결정할 수 있다.

한편, 상기 프로세서는, 입력된 두 동형 암호문 중 큰 동형 암호문 또는 작은 동형 암호문을 선택적으로 출력하는 비교 함수를 이용하여, 상기 선별된 후보 동형 암호문 간의 비교 함수 출력을 통하여 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정할 수 있다.

한편, 상기 프로세서는, 상기 복수의 그룹 중 두 그룹에 포함된 동형 암호문의 개수만큼 상기 후보 동형 암호문을 선별하는 단계 및 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계를 반복하여, 상기 두 그룹 내의 복수의 동형 암호문을 정렬할 수 있다.

한편, 상기 프로세서는, 세 개 이상의 동형 암호문을 한번의 스테이지에서 정렬 가능한 k-way 정렬기를 이용하여 그룹별 복수의 동형 암호문을 정렬할 수 있다.

이 경우, 상기 프로세서는, 상기 k-way 정렬기의 정렬 단위에 대응하여 복수의 그룹으로 구분할 수 있다.

한편, 본 개시의 일 실시 예에 따른 동형 암호문의 처리 방법을 실행하기 위한 프로그램을 포함하는 컴퓨터 판독가능 기록 매체에 있어서, 상기 동형 암호문의 처리 방법은, 복수의 동형 암호문을 복수의 그룹으로 구분하는 단계, 상기 구분된 그룹별로 정렬을 수행하는 단계, 상기 그룹별로 정렬된 복수의 동형 암호문 중 정렬 순번에 대응되는 후보 동형 암호문을 선별하는 단계, 및 상기 선별된 후보 동형 암호문에 대한 동형 연산을 통하여 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계를 포함한다.

이상과 같은 본 개시의 다양한 실시 예들에 따르면, 대량의 동형 암호문에 대해서 정렬을 수행할 수 있으며, 덧셈 및 곱셈 등으로 구성되는 비교 함수를 이용하여 정렬을 수행할 수 있는바, 기존보다 낮은 연산 깊이로 정렬을 수행할 수 있는바, 보다 빠른 연산이 가능하다.

도 1은 본 개시의 일 실시 예에 따른 네트워크 시스템의 구조를 설명하기 위한 도면,
도 2는 본 개시의 일 실시 예에 따른 연산 장치의 구성을 나타낸 블럭도,
도 3은 본 개시의 연산 장치의 정렬 동작을 설명하기 위한 도면,
도 4는 부호 함수와 관련된 다양한 합성 함수의 형태를 도시한 도면,
도 5는 본 개시의 일 실시 예에 따른 특정 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 선별하는 알고리즘을 설명하기 위한 도면,
도 6은 본 개시의 일 실시 예에 따른 k-정렬기의 동작을 설명하기 위한 다이어그램,
도 7은 본 개시의 일 실시 예에 따른 정렬 알고리즘을 설명하기 위한 도면,
도 8은 3-way 정렬 네트워크를 이용한 경우의 동작을 설명하기 위한 도면,
도 9는 5-way 정렬 네트워크를 이용한 경우의 동작을 설명하기 위한 도면,
도 10은 25개의 동형 암호문에 대한 정렬 예를 설명하기 위한 도면,
도 11은 스테이지 타입을 설명하기 위한 도면,
도 12는 본 개시의 정렬 기의 병렬 처리 동작을 설명하기 위한 도면, 그리고,
도 13은 본 개시의 일 실시 예에 따른 암호문 연산 방법을 설명하기 위한 흐름도이다.

이하에서는 첨부 도면을 참조하여 본 개시에 대해서 자세하게 설명한다. 본 개시에서 수행되는 정보(데이터) 전송 과정은 필요에 따라서 암호화/복호화가 적용될 수 있으며, 본 개시 및 특허청구범위에서 정보(데이터) 전송 과정을 설명하는 표현은 별도로 언급되지 않더라도 모두 암호화/복호화하는 경우도 포함하는 것으로 해석되어야 한다. 본 개시에서 "A로부터 B로 전송(전달)" 또는 "A가 B로부터 수신"과 같은 형태의 표현은 중간에 다른 매개체가 포함되어 전송(전달) 또는 수신되는 것도 포함하며, 반드시 A로부터 B까지 직접 전송(전달) 또는 수신되는 것만을 표현하는 것은 아니다.

본 개시의 설명에 있어서 각 단계의 순서는 선행 단계가 논리적 및 시간적으로 반드시 후행 단계에 앞서서 수행되어야 하는 경우가 아니라면 각 단계의 순서는 비제한적으로 이해되어야 한다. 즉, 위와 같은 예외적인 경우를 제외하고는 후행 단계로 설명된 과정이 선행단계로 설명된 과정보다 앞서서 수행되더라도 개시의 본질에는 영향이 없으며 권리범위 역시 단계의 순서에 관계없이 정의되어야 한다. 그리고 본 명세서에서 "A 또는 B"라고 기재한 것은 A와 B 중 어느 하나를 선택적으로 가리키는 것뿐만 아니라 A와 B 모두를 포함하는 것도 의미하는 것으로 정의된다. 또한, 본 개시에서 "포함"이라는 용어는 포함하는 것으로 나열된 요소 이외에 추가로 다른 구성요소를 더 포함하는 것도 포괄하는 의미를 가진다.

본 개시에서는 본 개시의 설명에 필요한 필수적인 구성요소만을 설명하며, 본 개시의 본질과 관계가 없는 구성요소는 언급하지 아니한다. 그리고 언급되는 구성요소만을 포함하는 배타적인 의미로 해석되어서는 안 되며 다른 구성요소도 포함할 수 있는 비배타적인 의미로 해석되어야 한다.

그리고 본 개시에서 "값"이라 함은 스칼라값뿐만 아니라 벡터도 포함하는 개념으로 정의된다.

그리고 본 개시에서 정렬은 내림 차순으로 수행하는 것을 가정하여, 설명하나 구현시에는 올림 차순으로 수행할 수도 있다.

후술하는 본 개시의 각 단계의 수학적 연산 및 산출은 해당 연산 또는 산출을 하기 위해 공지되어 있는 코딩 방법 및/또는 본 개시에 적합하게 고안된 코딩에 의해서 컴퓨터 연산으로 구현될 수 있다.

이하에서 설명하는 구체적인 수학식은 가능한 여러 대안 중에서 예시적으로 설명되는 것이며, 본 개시의 권리 범위가 본 개시에 언급된 수학식에 제한되는 것으로 해석되어서는 아니된다.

설명의 편의를 위해서, 본 개시에서는 다음과 같이 표기를 정하기로 한다.

a ← D : 분포(D)에 따라서 원소(a)를 선택함

s1, s2 ∈ R : S1, S2 각각은 R 집합에 속하는 원소이다.

mod(q) : q 원소로 모듈(modular) 연산

: 내부 값을 반올림함

: 내부 값을 내림함

: 내부 값을 올림함

이하에서는 첨부된 도면을 이용하여 본 개시의 다양한 실시 예들에 대하여 구체적으로 설명한다.

도 1은 본 개시의 일 실시 예에 따른 네트워크 시스템의 구성을 나타내는 도면이다.

도 1을 참조하면, 네트워크 시스템은 복수의 전자 장치(100-1 ~ 100-n), 제1 서버 장치(200), 제2 서버 장치(300)를 포함할 수 있으며, 각 구성들은 네트워크(10)를 통해 서로 연결될 수 있다.

네트워크(10)는 다양한 형태의 유무선 통신 네트워크, 방송 통신 네트워크, 광통신 네트워크, 클라우드 네트워크 등으로 구현될 수 있으며, 각 장치들은 별도의 매개체 없이 와이파이, 블루투스, NFC(Near Field Communication) 등과 같은 방식으로 연결될 수도 있다.

도 1에서는 전자 장치가 복수 개(100-1 ~ 100-n)인 것으로 도시하였으나, 반드시 복수 개의 전자 장치가 사용되어야 하는 것은 아니며 하나의 장치가 사용될 수도 있다. 일 예로, 전자 장치(100-1 ~ 100-n)는 스마트폰, 태블릿, 게임 플레이어, PC, 랩톱 PC, 홈서버, 키오스크 등과 같은 다양한 형태의 장치로 구현될 수 있으며, 이밖에 IoT 기능이 적용된 가전 제품 형태로도 구현될 수 있다.

사용자는 자신이 사용하는 전자 장치(100-1 ~ 100-n)를 통해서 다양한 정보를 입력할 수 있다. 입력된 정보는 전자 장치(100-1 ~ 100-n) 자체에 저장될 수도 있지만, 저장 용량 및 보안 등을 이유로 외부 장치로 전송되어 저장될 수도 있다. 도 1에서 제1 서버 장치(200)는 이러한 정보들을 저장하는 역할을 수행하고, 제2 서버 장치(300)는 제1 서버 장치(200)에 저장된 정보의 일부 또는 전부를 이용하는 역할을 수행할 수 있다.

각 전자 장치(100-1 ~ 100-n)는 입력된 정보를 동형 암호화하여, 동형 암호문을 제1 서버 장치(200)로 전송할 수 있다.

각 전자 장치(100-1 ~ 100-n)는 동형 암호화를 수행하는 과정에서 산출되는 암호화 노이즈, 즉, 에러를 암호문에 포함시킬 수 있다. 구체적으로는, 각 전자 장치(100-1 ~ 100-n)에서 생성하는 동형 암호문은, 추후에 비밀키를 이용하여 복호화하였을 때 메시지 및 에러 값을 포함하는 결과 값이 복원되는 형태로 생성될 수 있다.

일 예로, 전자 장치(100-1 ~ 100-n)에서 생성하는 동형 암호문은 비밀키를 이용하여 복호화 하였을 때 다음과 같은 성질을 만족하는 형태로 생성될 수 있다.

[수학식 1]

Dec(ct, sk) = <ct, sk> = M+e(mod q)

여기서 < , >는 내적 연산(usual inner product), ct는 암호문, sk는 비밀키, M은 평문 메시지, e는 암호화 에러 값, mod q는 암호문의 모듈러스(Modulus)를 의미한다. q는 스케일링 팩터(scaling factor)(Δ)가 메시지에 곱해진 결과 값 M보다 크게 선택되어야 한다. 에러 값 e의 절대값이 M에 비해서 충분히 작다면, 암호문의 복호화 값 M+e 는 유효숫자연산에서 원래의 메시지를 동일한 정밀도로 대체할 수 있는 값이다. 복호화된 데이터 중에서 에러는 최하위 비트(LSB) 측에 배치되고, M은 차하위 비트 측에 배치될 수 있다.

메시지의 크기가 너무 작거나 너무 큰 경우, 스케일링 팩터를 이용하여 그 크기를 조절할 수도 있다. 스케일링 팩터를 사용하게 되면, 정수 형태의 메시지뿐만 아니라 실수 형태의 메시지까지도 암호화할 수 있게 되므로, 활용성이 크게 증대할 수 있다. 또한, 스케일링 팩터를 이용하여 메시지의 크기를 조절함으로써, 연산이 이루어지고 난 이후의 암호문에서 메시지들이 존재하는 영역, 즉, 유효 영역의 크기도 조절될 수 있다.

실시 예에 따라, 암호문 모듈러스 q는 다양한 형태로 설정되어 사용될 수 있다. 일 예로, 암호문의 모듈러스는 스케일링 팩터 Δ의 지수승 q=Δ^L 형태로 설정될 수 있다. Δ가 2라면, q=2¹⁰ 과 같은 값으로 설정될 수 있다.

한편, 메시지에 대한 저장 방식은 크게 두 가지로 구분할 수 있다. 하나는 비트(bit) 단위의 저장이고, 다른 하나는 워드(word) 단위의 저장이다. 비트 단위의 저장은 데이터를 비트 단위로 암호화하는 방식으로 논리 연산의 장점이 있다. 그러나 이 방식은 비트 단위 연산만 지원하기 때문에 다중 비트 숫자(또는 워드 크기 숫자) 간의 산술 연산에 비효율적이다. 즉, 비트 단위로 저장하였으면 다중 비트 숫자를 처리하는 경우, 많은 연산이 필요하고, 그에 따른 계산 비용은 워드 단위로 저장하는 경우와 유사하다.

이러한 점에서, 본 개시의 메시지 저장 방식은 워드 단위로 수행하는 것을 전제로 설명한다. 다만, 구현시에는 비트 단위의 저장도 논리 연산에 장점이 있다는 점에서, 즉, 논리 연산이 많이 필요한 환경에서는 비트 단위의 저장 방식을 이용할 수도 있다.

제1 서버 장치(200)는 수신된 동형 암호문을 복호화하지 않고, 암호문 상태로 저장할 수 있다.

제2 서버 장치(300)는 동형 암호문에 대한 특정 처리 결과를 제1 서버 장치(200)로 요청할 수 있다. 제1 서버 장치(200)는 제2 서버 장치(300)의 요청에 따라 특정 연산을 수행한 후, 그 결과를 제2 서버 장치(300)로 전송할 수 있다.

일 예로, 두 개의 전자 장치(100-1, 100-2)가 전송한 암호문 ct1, ct2가 제1 서버 장치(200)에 저장된 경우, 제2 서버 장치(300)는 두 전자 장치(100-1, 100-2)로부터 제공된 정보들을 합산한 값을 제1 서버 장치(200)로 요청할 수 있다. 제1 서버 장치(200)는 요청에 따라 두 암호문을 합산하는 연산을 수행한 후, 그 결과 값(ct1 + ct2)을 제2 서버 장치(300)로 전송할 수 있다.

동형 암호문의 성질상, 제1 서버 장치(200)는 복호화를 하지 않은 상태에서 연산을 수행할 수 있고, 그 결과 값도 암호문 형태가 된다. 본 개시에서는 연산에 의해 획득된 결과값을 연산 결과 암호문이라 지칭한다.

제1 서버 장치(200)는 연산 결과 암호문을 제2 서버 장치(300)로 전송할 수 있다. 제2 서버 장치(300)는 수신된 연산 결과 암호문을 복호화하여, 각 동형 암호문들에 포함된 데이터들의 연산 결과값을 획득할 수 있다.

이와 같은 동형 암호문에 대한 연산은 덧셈, 뺄셈 및 곱셈으로 구성되는 연산식뿐만 아니라, 최대값 산출, 최소값 산출 및 크기 비교와 같은 비교 연산일 수 있다. 또한, 비교 연산을 이용한 복수의 동형 암호문에 대한 정렬일 수도 있다. 이와 같이 제1 서버 장치(200)는 연산 동작을 수행할 수 있다는 점에서, 연산 장치라 지칭될 수도 있다. 구체적인 정렬 방법에 대해서는 도 3을 참조하여 후술한다.

그리고 제1 서버 장치(200)는 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하면, 재부팅(Bootstrapping) 동작을 수행할 수 있다. 재부팅 동작에 대해서는 도 3을 참조하여 후술한다.

한편, 도 1에서는 제1 전자 장치 및 제2 전자 장치에서 암호화를 수행하고, 제2 서버 장치가 복호화를 수행하는 경우를 도시하였으나, 이에 한정되는 것은 아니다.

도 2는 본 개시의 일 실시 예에 따른 연산 장치의 구성을 나타낸 블럭도이다.

구체적으로, 도 1의 시스템에서 제1 전자 장치, 제2 전자 장치 등과 같이 동형 암호화를 수행하는 장치, 제1 서버 장치 등과 같이 동형 암호문을 연산하는 장치, 제2 서버 장치 등과 같이 동형 암호문을 복호하는 장치 등을 연산 장치라고 지칭할 수 있다. 이러한 연산 장치는 PC(Personal computer), 노트북, 스마트폰, 태블릿, 서버 등 다양한 장치일 수 있다.

도 2를 참조하면, 연산 장치(400)는 통신 장치(410), 메모리(420), 디스플레이(430), 조작 입력 장치(440) 및 프로세서(450)를 포함할 수 있다.

통신 장치(410)는 연산 장치(400)를 외부 장치(미도시)와 연결하기 위해 형성되고, 근거리 통신망(LAN: Local Area Network) 및 인터넷망을 통해 외부 장치에 접속되는 형태뿐만 아니라, USB(Universal Serial Bus) 포트 또는 무선 통신(예를 들어, WiFi 802.11a/b/g/n, NFC, Bluetooth) 포트를 통하여 접속되는 형태도 가능하다. 이러한 통신 장치(410)는 송수신부(transceiver)로 지칭될 수도 있다.

통신 장치(410)는 공개키를 외부 장치로부터 수신할 수 있으며, 연산 장치(400) 자체적으로 생성한 공개키를 외부 장치로 전송할 수 있다.

그리고 통신 장치(410)는 외부 장치로부터 메시지를 수신할 수 있으며, 생성한 동형 암호문을 외부 장치로 송신할 수 있다. 또한, 통신 장치(410)는 외부 장치로부터 동형 암호문을 수신할 수도 있다.

또한, 통신 장치(410)는 암호문 생성에 필요한 각종 파라미터를 외부 장치로부터 수신할 수 있다. 한편, 구현시에 각종 파라미터는 후술하는 조작 입력 장치(440)를 통하여 사용자로부터 직접 입력받을 수 있다.

또한, 통신 장치(410)는 외부 장치로부터 동형 암호문에 대한 연산을 요청받을 수 있으며, 그에 따라 계산된 결과를 외부 장치에 전송할 수 있다. 여기서 요청받은 연산은 덧셈, 뺄셈, 곱셈과 같은 연산일 수 있으며, 비다항식 연산인 비교 연산이거나, 정렬 처리일 수도 있다.

메모리(420)에는 연산 장치(400)에 관한 적어도 하나의 인스트럭션(instruction)이 저장될 수 있다. 구체적으로, 메모리(420)에는 본 개시의 다양한 실시 예에 따라 연산 장치(400)가 동작하기 위한 각종 프로그램(또는 소프트웨어)이 저장될 수 있다.

이러한 메모리(420)는 RAM이나 ROM, 플래시 메모리, HDD, 외장 메모리, 메모리 카드 등과 같은 다양한 형태로 구현될 수 있으며, 어느 하나로 한정되는 것은 아니다.

메모리(420)는 암호화할 메시지를 저장할 수 있다. 여기서 메시지는 사용자가 각종 인용한 각종 신용 정보, 개인 정보 등일 수 있으며, 연산 장치(400)에서 사용되는 위치 정보, 인터넷 사용 시간 정보 등 사용 이력 등과 관련된 정보일 수도 있다.

그리고 메모리(420)는 공개키를 저장할 수 있으며, 연산 장치(400)가 직접 공개키를 생성한 장치인 경우, 비밀키뿐만 아니라, 공개키 및 비밀키 생성에 필요한 각종 파라미터를 저장할 수 있다.

그리고 메모리(420)는 후술한 과정에서 생성된 동형 암호문을 저장할 수 있다. 그리고 메모리(420)는 외부 장치에서 전송한 동형 암호문을 저장할 수도 있다. 또한, 메모리(420)는 후술하는 연산 과정에서의 결과물인 연산 결과 암호문을 저장할 수도 있다.

디스플레이(430)는 연산 장치(400)가 지원하는 기능을 선택받기 위한 사용자 인터페이스 창을 표시한다. 구체적으로, 디스플레이(430)는 연산 장치(400)가 제공하는 각종 기능을 선택받기 위한 사용자 인터페이스 창을 표시할 수 있다. 이러한 디스플레이(430)는 LCD(liquid crystal display), OLED(Organic Light Emitting Diodes) 등과 같은 모니터일 수 있으며, 후술할 조작 입력 장치(440)의 기능을 동시에 수행할 수 있는 터치 스크린으로 구현될 수도 있다.

디스플레이(430)는 비밀키 및 공개키 생성에 필요한 파라미터의 입력을 요청하는 메시지를 표시할 수 있다. 그리고 디스플레이(430)는 암호화 대상이 메시지를 선택하는 메시지를 표시할 수 있다. 한편, 구현시에 암호화 대상은 사용자가 직접 선택할 수도 있고, 자동으로 선택될 수 있다. 즉, 암호화가 필요한 개인 정보 등은 사용자가 직접 메시지를 선택하지 않더라도 자동으로 설정될 수 있다.

조작 입력 장치(440)는 사용자로부터 연산 장치(400)의 기능 선택 및 해당 기능에 대한 제어 명령을 입력받을 수 있다. 구체적으로, 조작 입력 장치(440)는 사용자로부터 비밀키 및 공개키 생성에 필요한 파라미터를 입력받을 수 있다. 또한, 조작 입력 장치(440)는 사용자로부터 암호화될 메시지를 설정받을 수 있다.

그리고 조작 입력 장치(440)는 정렬 명령을 입력받거나, 정렬 대상인 동형 암호문을 선택받을 수 있다. 또는 조작 입력 장치(440)는 전제 동형 암호문에서 몇 번째 순서의 동형 암호문을 선택하라는 명령을 입력받을 수도 있다. 예를 들어, 이러한 선택은 전체 동형 암호문 중 가장 큰 값을 찾으라는 명령, 가장 작은 값을 찾으라는 명령 또는 중간 값을 찾으라는 명령 등일 수 있다.

프로세서(450)는 연산 장치(400)의 전반적인 동작을 제어한다. 구체적으로, 프로세서(450)는 메모리(420)에 저장된 적어도 하나의 인스트럭션을 실행함으로써 연산 장치(400)의 동작을 전반적으로 제어할 수 있다. 이러한 프로세서(450)는 CPU(central processing unit), ASIC(application-specific integrated circuit)과 같은 단일 장치로 구성될 수 있으며, CPU, GPU(Graphics Processing Unit) 등의 복수의 장치로 구성될 수도 있다.

프로세서(450)는 전송하고자 하는 메시지가 입력되면 메모리(420)에 저장할 수 있다. 그리고 프로세서(450)는 메모리(420)에 저장된 각종 설정 값 및 프로그램을 이용하여, 메시지를 동형 암호화할 수 있다. 이 경우, 공개키가 사용될 수 있다.

프로세서(450)는 암호화를 수행하는데 필요한 공개키를 자체적으로 생성하여 사용할 수도 있고, 외부 장치로부터 수신하여 사용할 수도 있다. 일 예로, 복호화를 수행하는 제2 서버 장치(300)가 공개키를 다른 장치들에게 배포할 수 있다.

자체적으로 키를 생성하는 경우, 프로세서(450)는 Ring-LWE 기법을 이용하여 공개키를 생성할 수 있다. 구체적으로 설명하면, 프로세서(450)는 먼저 각종 파라미터 및 링을 설정하여, 메모리(420)에 저장할 수 있다. 파라미터의 예로는 평문 메시지 비트의 길이, 공개키 및 비밀키의 크기 등이 있을 수 있다.

링은 다음과 같은 수학식으로 표현될 수 있다.

[수학식 2]

여기서 R은 링, Zq는 계수, f(x)는 n차 다항식이다.

링(Ring)이란 기 설정된 계수를 가지는 다항식의 집합으로, 원소들 사이에 덧셈과 곱셈이 정의되어 있으며 덧셈과 곱셈에 대해서 닫혀 있는 집합을 의미한다. 이러한 링은 환으로 지칭될 수 있다.

일 예로, 링은 계수가 Zq인 n차 다항식의 집합을 의미한다. 구체적으로는, n이 Φ(N)일 때, N차 사이클로토믹 다항식 (N-th cyclotomic polynomial)을 의미한다. (f(x))란 f(x)로 생성되는 Zq[x]의 이데알(ideal)을 나타낸다. Euler totient 함수 Φ(N)이란 N과 서로소이고 N보다 작은 자연수의 개수를 의미한다. Φ_N(x)를 N차 사이클로토믹 다항식으로 정의하면, 링은 다음과 같은 수학식 3으로도 표현될 수 있다.

[수학식 3]

비밀키(sk)는 다음과 같이 표현될 수 있다.

한편, 상술한 수학식 3의 링은 평문 공간에서 복소수를 갖는다. 한편, 동형 암호문에 대한 연산 속도를 향상하기 위하여, 상술한 링의 집합 중 평문 공간이 실수인 집합만을 이용할 수도 있다.

이와 같은 링이 설정되면, 프로세서(450)는 링으로부터 비밀키(sk)를 산출할 수 있다.

[수학식 4]

여기서, s(x)는 작은 계수로 랜덤하게 생성한 다항식을 의미한다.

그리고 프로세서(450)는 링으로부터 제1 랜덤 다항식(a(x))을 산출한다. 제1 랜덤 다항식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

[수학식 5]

또한, 프로세서(450)는 에러를 산출할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 이산 가우시안 분포 또는 그와 통계적 거리가 가까운 분포로부터 에러를 추출할 수 있다. 이러한 에러는 다음과 같이 표현될 수 있다.

[수학식 6]

에러까지 산출되면, 프로세서(450)는 제1 랜덤 다항식 및 비밀키에 에러를 모듈러 연산하여 제2 랜덤 다항식을 산출할 수 있다. 제2 랜덤 다항식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

[수학식 7]

최종적으로 공개키(pk)는 제1 랜덤 다항식 및 제2 랜덤 다항식을 포함하는 형태로 다음과 같이 설정된다.

[수학식 8]

상술한 키 생성 방법은 일 예에 불과하므로, 반드시 이에 한정되는 것은 아니며, 이 밖에 다른 방법으로 공개키 및 비밀키를 생성할 수도 있음은 물론이다.

한편, 프로세서(450)는 공개키가 생성되면, 생성된 공개키가 다른 장치들에 전송되도록 통신 장치(410)를 제어할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 메시지에 대한 동형 암호문을 생성할 수 있다. 이때, 프로세서(450)는 선행적으로 메시지를 다항식으로 변환하는 인코딩 동작을 수행할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 메시지 형태로 변환된 메시지에 공개키

와, 다음과 같은 수학식 9를 이용하여 암호문을 생성할 수 있다.

[수학식 9]

이때, 프로세서(450)는 암호문의 길이를 스케일링 팩터의 크기에 대응되도록 생성할 수 있다.

암호화할 메시지는 외부 소스로부터 수신할 수도 있고, 연산 장치(400)에 직접 구비 또는 연결된 입력 장치로부터 입력될 수도 있다. 또한, 스케일링 팩터도 사용자가 직접 입력하거나, 다른 장치를 통해 제공받을 수도 있다. 예를 들어, 연산 장치(400)가 터치 스크린이나 키 패드를 포함하는 경우, 프로세서(450)는 사용자가 터치 스크린이나 키 패드를 통해 입력하는 데이터를 메모리(420)에 저장한 후, 암호화할 수 있다.

한편, 본 개시의 일 실시 예에 따르면, 패킹(packing)이 이루어질 수도 있다. 동형 암호화에서 패킹을 이용하게 되면, 다수의 메시지를 하나의 암호문으로 암호화하는 것이 가능해진다. 이 경우, 연산 장치(400)에서 각 암호문들 간의 연산을 수행하게 되면, 결과적으로 다수의 메시지에 대한 연산이 병렬적으로 처리되므로 연산 부담이 크게 줄어들게 된다.

구체적으로는, 프로세서(450)는 메시지가 복수의 메시지 벡터로 이루어지는 경우, 복수의 메시지 벡터를 병렬적으로 암호화할 수 있는 형태의 다항식으로 변환한 후, 그 다항식에 스케일링 팩터를 승산하고 공개키를 이용하여 동형 암호화할 수도 있다. 이에 따라, 프로세서(450)는 복수의 메시지 벡터를 패킹한 암호문을 생성할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 동형 암호문에 대한 복호가 필요한 경우, 동형 암호문에 비밀키를 적용하여 다항식 형태의 복호문을 생성하고, 다항식 형태의 복호문을 디코딩하여 근사 메시지를 생성할 수 있다. 이때 생성한 근사 메시지는 앞서 설명한 수학식 1에서 언급한 바와 같이 에러를 포함할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 암호문에 대한 연산을 수행할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 동형 암호문에 대해서 암호화된 상태를 유지한 상태에서 덧셈, 뺄셈, 또는 곱셈 등의 연산을 수행할 수 있다.

또한, 프로세서(450)는 암호문에 대해서도 덧셈, 뺄셈 또는 곱셈 이외의 연산을 갖는 다항식에 대한 연산을 수행할 수 있다. 구체적으로, 동형 암호문은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대해서는 닫혀있으나, 이외의 연산에 대해서는 닫혀있지 않다. 따라서, 덧셈, 뺄셈, 곱셈 이외의 연산에 대해서는 상술한 3개의 연산으로 표현되는 근사 연산식을 이용하여야 한다. 여기서 근사 연산식은 낮은 복잡도를 갖도록 잘 구조화된 잘 구조화된 다항식(well-structured polynomials), 즉 합성 함수를 이용할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 복수의 동형 암호문에 대해 정렬을 수행할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 k-way 정렬 시스템을 이용하여 복수의 동형 암호문에 대한 정렬을 수행할 수 있다. 이때, 프로세서(450)는 복수개의 k-way 정렬기를 이용하여 상술한 정렬 동작을 병렬적으로 수행할 수 있다. 여기서 k-way 정렬기는 같은 k 값을 갖는 정렬기일 수 있으며, 서로 다른 k 값을 갖는 정렬기가 이용될 수도 있다.

보다 상세하게, 프로세서(450)는 복수의 동형 암호문을 복수의 그룹으로 구분할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 복수의 그룹은 k-way 정렬기의 정렬 단위에 대응하여 구분될 수 있다. 예를 들어, 25개의 동형 암호문을 5-way 정렬기를 이용하는 경우, 5개의 그룹으로 구분할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 구분된 그룹별로 정렬을 수행할 수 있다. 구체적으로, 세 개 이상의 동형 암호문을 한번의 스테이지에서 정렬 가능한 k-way 정렬기를 이용하여 그룹별 복수의 동형 암호문을 정렬할 수 있다. k-way 정렬기의 구체적인 구성 및 동작에 대해서는 도 3을 참조항 후술한다.

그리고 프로세서(450)는 그룹별로 정렬된 복수의 동형 암호문 중 정렬 순번에 대응되는 후보 동형 암호문을 선별할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 정렬 순번에 대응되는 제1 그룹에 대한 제1 순번, 제2 그룹에 대한 제2 순번을 산출하고, 제1 그룹 내의 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문과 제2 그룹 내의 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문을 비교하고, 비교 결과에 기초하여, 정렬 순번이 가능한 후보 동형 암호문을 결정할 수 있다.

예를 들어, 프로세서(450)는 정렬 순번을 2로 나눈 값의 내림 정수 값을 제1 순번으로, 정렬 순번의 2로 나눈 값의 올린 정수 값을 제2 순번으로 산출할 수 있다. 그리고 프로세서(450)는 제1 동형 암호문이 제2 동형 암호문보다 크고, 내림 차순 정렬이면, 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문보다 작은 크기를 갖는 제1 그룹 내의 동형 암호문, 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문 및 제2 동형 암호문보다 큰 크기를 갖는 제2 그룹 내의 동형 암호문을 후보 동형 암호문으로 결정할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 선별된 후보 동형 암호문에 대한 동형 연산을 통하여 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 입력된 두 동형 암호문 중 큰 동형 암호문 또는 작은 동형 암호문을 선택적으로 출력하는 비교 함수를 이용하여, 선별된 후보 동형 암호문 간의 비교 함수 출력을 통하여 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 특정 정렬 순번을 결정하는 과정에서는 상술한 동작만으로 특정 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 것이 가능하다. 반면에 모든 동형 암호문에 대한 정렬을 수행하는 경우, 프로세서(450)는 복수의 그룹 중 두 그룹에 포함된 동형 암호문의 개수만큼 후보 동형 암호문을 선별하는 단계 및 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계를 반복하여, 두 그룹 내의 복수의 동형 암호문을 정렬할 수 있다.

예를 들어, 10개의 동형 암호문이 있는 경우, 5개씩 두 그룹으로 나눠, 각 그룹별 정렬을 우선적으로 수행하고, 정렬된 두 개의 그룹을 이용하여 1번째 순번의 동형 암호문을 결정하고, 순차적으로 2번째... 10번째 동형 암호문을 결정하는 동작을 수행하여 전제 동형 암호문을 정렬할 수 있다. 한편, 각 그룹별 정렬 과정에서 기존의 일반적인 정렬기를 이용하여 정렬을 수행하는 것도 가능하고, 본 개시에 따른 정렬 방식을 이용하는 것도 가능하다.

즉, 5개의 동형 암호문을 정렬하는 경우, 2개와 3개로 동형 암호문을 구분하고, 상술한 동작과 같이 1번째, ... 5번째 동형 암호문을 찾는 방식으로 그룹 내의 동형 암호문에 대한 정렬을 수행하는 것도 가능하다. 즉, 본 개시에 따른 정렬 방식만으로 전체 동형 암호문의 정렬 시스템을 구성하는 것도 가능하고, 구분된 그룹 내의 정렬은 일반 정렬기를 이용하고, 그룹 간의 비교 과정에서는 본 개시에 따른 정렬 방식을 이용하는 것도 가능하다.

또한, 프로세서(450)는 복수의 동형 암호문 중 특정 순서에 대응되는 동형 암호문을 검색할 수 있다. 예를 들어, 사용자로부터 가장 큰 동형 암호문을 찾으라는 명령 또는 가장 작은 동형 암호문을 찾으라는 명령을 입력받은 경우, 상술한 k-way 정렬 시스템을 이용하여 명령에 대응되는 동형 암호문을 검색할 수 있다.

그리고 프로세서(450)는 연산이 완료되면, 연산 결과 데이터로부터 유효 영역의 데이터를 검출할 수 있다. 구체적으로, 프로세서(450)는 연산 결과 암호문 내의 근사 메시지 비중이 임계치를 초과하면, 암호문에 대한 재부팅 동작을 수행할 수 있다.

이상과 같이 본 개시에 따른 연산 장치는 동형 암호문에 대한 각종 연산을 지원하며, 다량의 동형 암호문에 대해서 특정 순번의 동형 암호문을 검색하거나, 복수의 동형 암호문에 대한 정렬 작업을 수행할 수 있다. 또한, 상술한 검색 및 정렬 작업을 복잡도 깊이가 낮은 방식을 이용하여 수행하는바, 기존보다 낮은 횟수의 재부팅 동작을 통하여 상술한 연산을 수행할 수 있다. 그에 따라 기존보다 빠른 연산이 가능하다.

도 3은 본 개시의 연산 장치의 정렬 동작을 설명하기 위한 도면이다.

도 3을 참조하면, k-way 정렬기(500)가 개시된다. 이러한 k-way 정렬기(500)는 k 개수의 동형 암호문을 한 번의 스테이지에서 정렬할 수 있다. 여기서 k는 3 이상의 소수(예를 들어, 3, 5, 7..)일 수 있다.

이러한, k-way 정렬기(500)는 복수개의 동형 암호문도 한번의 스테이지를 이용하여 정렬 가능하며, 도시에서는 5개의 동형 암호문을 동시에 처리하는 것으로 설명하였지만, 2개 내지 4개 또는 7개 이상의 동형 암호문도 한 번의 스테이지를 이용하여 정렬 가능하다.

한편, 본 개시의 정렬 알고리즘의 주요한 목적은 비교 연산의 계산 깊이를 최소화한 상태에서, 근사 비교 알고리즘을 이용하여 쌍으로 비교된 모든 K개의 비교 결과를 이용하여 동형 암호문을 정렬하는 것이다.

한편, 정확한 비교는 덧셈과 곱셈을 이용한 비교 결과가 명백한 이진인데 반해, 근사 비교에서는 이진 값이 아니라 일정 범위 내의 값이다.

예를 들어, a, b, c 3개의 데이터에 대해서, a와 b의 비교 결과를 θ_ab이고, b와 c의 비교 결과를 θ_bc 라고 하자. a > b > c인지를 나타내는 θ_abc를 알기 위해서는 θ_ab· θ_bc 연산이 필요하다.

그러나 근사 비교에서의 비교 결과는 상술한 바와 같이 (0, 1) 사이의 값으로, θ_ab > 0.5 라면 a > b로 판단할 수 있다. 만약, a > b >c를 만족하지만, 각 숫자의 값이 가까워서, θ_ab =0.7, θ_bc =0.6 라고하면, θ_abc = θ_ab· θ_bc = 0.42로 0.5보다 작아 a > b > c가 성립하지 않는다는 결과가 나올 수 있다.

따라서, 근사 비교를 통한 정렬을 위해서는 단순히 논리 연산을 사용하기에는 어려움이 있다. 이러한 점에서, 본 개시에서는 최대 함수(max function)를 이용한다.

본 개시의 최대 함수는 다음과 같이 정의된다.

[수학식 10]

max(a, b) = (a > b)·a + (a < b)·b

이와 같은 함수는 입력된 두 값 중 큰 값을 출력한다. (a > b) +(a < b) = 1라는 함수는 항상 성립되기 때문에, a, b 사이가 매우 가까운 경우라도, 상술한 max(a, b)는 정확한 최대값을 출력하는 것이 가능하다. 이러한 방식을 적용한 함수 L를 정의한다.

[수학식 11]

L_a>b(F, G) = (a > b)·F + (a < b)·G

여기서, L은 최대 함수로, max(a, b) = L_a>b(a, b)이다. 예를 들어, a > b이면 F를 반환하고, a < b이면 G를 반환할 수 있다. 그리고 상술한 L 함수의 조합을 통하여 n개의 입력에 대한 m번째 최대값을 찾는 m-max function을 얻을 수 있다. 여기서, m≤n이다. 여기서 L은 다변수 함수(multivariate function)이기 때문에, 조합된 L을 L(L,L)로 정의할 수 있다.

한편, L_a>b(F, G)의 잠재적인 문제는 (a-b)가 매우 작은 경우에 비교 결과가 0.5를 출력하거나, 에러가 매우 커지는 것이다. m 번째 최대값을 찾을 때, a

b 일때 F

G를 만족하는 함수를 선택한다면, 상술한 문제점을 극복할 수 있다. 이에 따라, 본 개시에서는 이 조건을 만족하는 F, G를 선택하여 이용할 수 있다. 이에 대해서는 후술한다.

한편, 부호 함수는 덧셈, 뺄셈, 곱셈으로 표현할 수 없는 비다항식 연산이다. 따라서, 본 개시에서는 동형 암호문에 부호 함수를 적용하기 위하여, 근사 부호 함수를 이용한다.

예를 들어, 근사 부호 함수는 다양한 형태가 이용될 수 있는데, 본 개시에서는 낮은 복잡도를 갖도록 잘 구조화된 합성 함수를 이용한다. 여기서 이용하는 합성 함수는 0이 아닌 입력 값에서의 함수 출력 값이 수평 하도록 하는 합성 함수(f(x)) 즉, 0보다 큰 입력 값에 대해서는 출력 값이 1에 가까워지고, 0보다 작은 입력 값에 대해서는 출력 값이 -1에 가까워지도록 하는 합성 함수), 0이 아닌 입력 값에서 함수 출력 값이 수평 하도록 하는 합성 함수(g(x))일 수 있다.

상술한 두 합성 함수(f(x), g(x)의 예는 수학식 12와 같다.

[수학식 12]

f₃(x) = (35x - 35x³ + 21x⁵ - 5x⁷)/2⁴

g₃(x) = (4589x - 16577x³ + 25614x⁵ - 12860x⁷)/2¹⁰

구현시에는 상술한 f(x), g(x)를 복수회 반복 적용하여 근사 부호 함수를 구현할 수 있다. 본 개시에서 사용하는 근사 부호 함수의 형태에 대해서는 도 4를 참조하여 후술한다.

이와 같이, 본 개시의 k-way 정렬기(500)는 상술한 합성 함수로 구현된 근사 부호 함수를 이용할 수 있다.

한편, 동형 암호문에서의 주요한 쟁점은 정렬 과정에서의 오버헤드를 줄이는 것이다. 이러한 점에서, 정렬 알고리즘의 전체 동작을 설명하기에 앞서, 우선 분할 및 정복 알고리즘에 대해서 먼저 설명한다.

예를 들어, 어레이 A(A')을 B(B')와 C(C')로 나눌 수 있다고 가정하자. 여기서, B = {b₁,…, b_s }, C = {c₁,…, c_t}이고, B', C' 각각은 B, C 각각에 대한 정렬된 어레이이다.

그리고 근사 비교 결과({(B > C)}, {[B' > C']}, {[A > A']})가 주워진다면, 다음의 두가지 결과를 도출할 수 있다.

1) Z에 대한 정렬된 어레이. 여기서, 세트로서 Z = A (정확하게는 Z'는 Z'=A'일때, 정렬된 어레이이다.)

2) {(Z > Z')}, Z와 Z'를 병합하여, 정렬 시퀀스를 계산할 때 필요한 정보.

먼저, B, C, {(B > C)}가 주어진 경우, 최종 목적은 B∪C의 정렬된 어레이(Z = {z₁, … z_s+t})를 계산하는 것이다. i ∈[s], j∈[t]에 대해서, 핵심 아이디어는 B∪C 내의 z_s+t의 후보의 개수를 b_i 및 c_j 사이의 비교 결과를 이용하여 줄이는 것이다.

만약, b_i > c_j 이면, b_i보다 큰 후보는 B[:i-1] 및 C[:j-1] 내의 원소들이며, 이는 b_i보다 큰 원소가 많아 봐야 i+j-2개임을 의미한다. 그리고 zi_+j보다 큰 원소의 수는 정확하게 i+j-1이기 때문에, b_i는 z_i+j일 수 없다. 같은 이유로, b₁, ..., b_i-1 도 z_i+j일 수 없다. 유사하게 B[:i] 및 C[:j] 내의 모든 원소는 C_j+1보다 크다는 점에서, C_j+1보다 큰 원소의 수는 i+j이다. 그리고 cj₊₁은 Z_i+j가 될 수 없고, 같은 이유로, c_j+2, ..., c_t 역시 Z_i+j가 될 수 없다.

결과적으로, m번째 원소에 대한 후보는 B[i+1:] ∪C[j] 만 남게 된다. 한편, B[:i]는 z_i+j 보다 커야하고, z_i+j는 남아있는 후보들 중 j번째 최대 원소가 된다. 만약 b_i < c_j라면, z_i+j는 B[:i] ∪ C[j+1:]의 i 번째 최대 원소가 된다.

결과적으로,

를 1 ≤ m ≤

인 경우에서, 정렬된 B, C의 유니언(union) 내의 m 번째 최대 원소라고 하자. 이러한 머징 알고리즘은 다음과 같이 표현될 수 있다.

[수학식 13]

여기서,

이고, X, Y 각각은 다음과 같이 정의될 수 있다.

[수학식 14]

이러한 조건을 이용한다면, 특정 원소를 찾을 때, 비교 동작을 기존보다 절반으로 줄일 수 있다. 그리고 이러한 동작을 반복적으로 수행함으로써 모든 원소에 대한 순서를 결정할 수 있다. m 번째 원소를 찾는 구체적인 알고리즘은 도 5에 도시하였다.

두번째, A와 A' 각각을 Z, Z'로 분류하였다고 가정하자. 다음 목표는 정렬 결과 {(A > A')}를 이용하여 {(Z > Z')}를 계산하는 것이다. 이 단계의 결과는 두 개의 정렬된 어레이 Z 및 Z'를 병합할 때, 사용된다. 주된 아이디어는 X와 Y가 정렬된 어레이이었으면, {(X > r)}(또는 {(r > Y)}의 비교도 모든 원소에 대해서 정렬될 수 있다는 것이다. 따라서, 두 정렬된 어레이 {(B > a_j')}, {(C > a_j')}를 병합할 때, {(B>C)}를 사용할 수 있다.

결과적으로 (z_i >z'_j)를 계산하기 위하여, 상술한 병합 프로세스를 정확하게 두번 적용하여야 한다.

첫번째 스텝은 {B > a'_j)}, {(C > a'_j)의 정렬된 어레이를 정합하는 것이다. 그들 사이의 비교는 앞서 설명한 바와 같이 {B > C)로 제공된다.

첫번째 스템의 출력은 {Z > a'_j)}이고, 모든 a'_j에 대해서 반복적으로 수행하면, {(Z > A')}={(Z > B')}∪ {(Z > C')}를 얻을 수 있다.

다음 단계는, (C' > B')가 {(Z_i > B')} 및 {(z_i > C')}비교 결과를 이용하여, 두 개({(z_i > B')},{z_i > C'})를 병합하는 것이다. 이 단계는(z_i >b'_i)(z_i >c'_i) 내에서 b_i, c_i를 대체하여, z_i+j를 계산하는 것과 동일하다.

두번째 단계의 결과로서 {z_i > Z')} 를 얻을 수 있으며, 모든 z_i에 대해서 반복적으로 수행하여, {(Z > Z')}를 얻을 수 있다.

이러한 두 단계를 결합하여, 정렬을 수행하는 알고리즘은 도 7에 도시하였으며, k가 2^m인 경우의 동작 예를 도 6에 도시하였다.

도 4는 부호 함수와 관련된 다양한 합성 함수의 형태를 도시한 도면이다. 구체적으로, 도 4에는 f(x), g(x), 함성 함수의 예를 도시한다.

도 4를 참조하면, f(x)는 끝단의 오차는 작지만 작은 기울기를 가짐을 확인할 수 있다. 그리고 g(x)는 f(x)보다 큰 기울기를 갖지만, 양 끝단에서 오차가 발생함을 확인할 수 있다. 따라서, 초기에는 g(x) 합성 함수를 이용하고, 후기에는 f(x)의 합성 함수를 이용하는 경우, 하나의 합성 함수만을 이용하는 것보다 동일한 반복횟수 대비보다 이상적인 형태를 가질 수 있다.

한편, 상술한 g(x)와 f(x)의 차수는 n일 수 있다. 그러나 f4(= 35/128) 및 g4 (= 46623/1024)의 선행 계수가 양수이므로, 입력 x의 절대 값이 1보다 큰 경우 f4 및 g4 'S의 조성이 달라질 수 있다. 예를 들어, 입력 x가 1에 가까우면 첨부된 오류로 인해 비교 결과가 분기되어 잘못된 출력이 발생할 수 있다.

이와 같은 합성 함수를 사용함으로써, 즉 잘 구조화된 다항식을 이용함으로써,

정확도에 대응하여 비교적 낮은

또는

복잡도(complexity)로 부호 함수를 근사할 수 있게 된다.

도 5는 본 개시의 일 실시 예에 따른 특정 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 선별하는 알고리즘을 설명하기 위한 도면이다.

도 5를 참조하면, 맥스 알고리즘과 미니엄 알고리즘이 기재되어 있다. 두 알고리즘은 상보적으로 동작되는바, 맥스 알고리즘에 대해서만 간단히 설명한다.

맥스 알고리즘의 주된 원리는 앞서 설명한 바와 같이 특정 정렬 순번에 대응되는 후보가 될 수 없는 것에 대해서는 비교 동작을 수행하지 않음으로써 효율적으로 특정 정렬 순번에 대응되는 원소를 찾는 것이다.

이를 위하여, 찾을 정렬 순번, 복수의 동형 암호문을 입력받는다. 도시된 예에서는 두 그룹으로 나눠진 상태로 동형 암호문을 입력받는 것으로 도시하였지만, 구현시에는 하나의 그룹으로 동형 암호문을 입력받는 것도 가능하다. 이하에서는 2의 그룹으로 나눠진 상태로 입력받은 경우를 상정하여 설명한다.

이와 같은 입력을 받으며, 각 어레이 별로 정렬을 수행하고, 입력된 정렬 순번에 대응되는 각 그룹별 순번을 결정할 수 있다. 예를 들어, 첫번째 어레이에 대해서는 m을 2로 나눈 값에 대한 내림 값을 순번으로 결정하고, 두번째 어레이에 대해서는 m을 2로 나눈 값에 대한 올림 값을 순번으로 결정할 수 있다.

그리고 앞서 설명한 바와 같이, 해당 순번에 기초하여 후보가 될 수 없는 동형 암호문은 제외한 나머지 값들을 max 함수로 비교하여 최종적으로 m번째 동형 암호문을 결정할 수 있다.

예를 들어, B의 원소가 x1, x2, x3, x4이고, C의 원소가 y1, y2, y3, y4이고, 찾을 순번이 4인 경우, 상술한 그룹별 순번은 각각 2일 수 있다. 이 경우, x2와 y2 사이에 비교가 수행되고, 비교 결과 x2가 y2 보다 크다면, 논리적으로 x1, x2, x3는 4번째 원소가 될 수 없다. 또한, y3, y4도 앞서 설명한 바와 같이 4번째 원소가 될 수 없다. 즉, x3, x4, y1, y2 중 하나가 4번째 순번이 된다. 그리고 이들 중 2번째 순번이 전체 4번째 순번이 된다. 예를 들어, 4개의 원소들 간에 y1 > x3 > y2> x4 관계인 것으로 확인되면, y1의 전체 순번은 특정할 수 없지만, x3가 4번째 순번이 된다고 확인할 수 있다. 즉, x3보다 큰 원소들이 3개(x1, x2, y1)이고, x3보다 작은 원소가 4개임을 상술한 관계들로 확인할 수 있기 때문이다.

한편, 상술한 x3, x4, y1, y2 에서 두번째 순번을 찾는 것 역시, 위에 설명한 바와 같은 방식으로 x4와 y1을 비교하고, 그 두 사이에 순서에 기초하여 4 중 두번째가 될 수 있는 후보는 배제함으로써 연산 순서를 최소화할 수 있다.

만약, 이들 중에 y1이 가장 큰 값이라면, y1은 1, 2, 3의 가능성이 있지만, 4번째가

도 6은 본 개시의 일 실시 예에 따른 k-정렬기의 동작을 설명하기 위한 다이어그램이다. 구체적으로, 도 6은 k 정렬기의 전체 알고리즘과 각 단계에서 사용되는 곱셈 및 깊이를 나타낸다.

도 6을 참조하면, 전체 알고리즘은 머징 함수(MERGE function)로 구성된다. 이러한 머징 함수는 도 5에서 도시한 바와 같은 MAX/MIN 알고리즘을 반복하여 수행되기 때문에, 머징 함수의 복잡도 및 깊이는 MAX/MIN 알고리즘의 복잡도 및 깊이에 대응된다. 그리고 앞서 설명한 바와 같이 MAX/MIN 알고리즘은 L 함수를 계산하는 것으로 수행되며, L 함수는 하나의 곱셈으로 구성된다.

이를 통하여 계산하면, 본 개시에 따른 머징 함수의 복잡도는 O(n²)로, 기존의 정렬 방식이 O(n³)의 복잡도를 갖는데 비교하였을 때, 복잡도가 향상된 것을 확인할 수 있다.

도 7은 본 개시의 일 실시 예에 따른 정렬 알고리즘을 설명하기 위한 도면이다.

도 7을 참조하면, 본 개시에 따른 정렬 알고리즘은 크게 3개의 단계로 구분지어 설명할 수 있다.

첫번째는 정렬 대상을 2개의 그룹으로 구분하는 것이고, 그리고, 두번째는 각 그룹별 정렬을 수행하는 것이다. 그리고 그룹별 정렬 결과를 이용하여 최종적으로 머징 함수를 이용하여 정렬을 수행하는 것이다. 이러한 머징 함수는 도 5에서 설명한 바와 같이 특정 정렬 순번을 찾는 알고리즘을 반복적으로 수행함으로써, 최종적으로 입력된 전체 동형 암호문에 대한 정렬을 완료할 수 있다.

이하에서는 다양한 k-way 정렬 네트워크가, 해당 정렬 네트워크를 동형 암호문에 보다 최적화하여 적용하는 방법에 대해서 설명한다.

도 8은 3-way 정렬 네트워크를 이용한 경우의 동작을 설명하기 위한 도면이다.

도 8을 참조하면, 3² 개의 원소를 정렬하는 예를 도시한다.

해당 예에서는 먼저, 수평 단위로 3개의 원소를 정렬한다. 이때, 3개 단위로 순차적으로 정렬을 수행할 수도 있지만, 3개의 행을 동시에 병렬적으로 정렬을 수행할 수 있다. 동형 암호문에서의 동시 정렬 동작, 즉, 슬롯을 이용한 동작에 대해서는 도 12에서 후술한다.

수평 방향에 대한 정렬이 완료되면, 그 결과에 대해서 수직 방향으로의 정렬을 수행할 수 있다. 다음으로, 2-way 정렬기와, 3-way 정렬기를 이용하여, 대각선 방향의 정렬을 두 번 수행하여, 최종적으로 9개의 원소에 대한 정렬을 완료할 수 있다. 이와 같은 정렬 네트워크의 깊이는 4(=(log₃9)²)가 된다.

이상에서는 수평 방향, 수직 방향, 대각선 방향 등의 순서로 정렬을 수행하는 것으로 도시하고 설명하였지만, 구현시에는 다른 순서로 정렬이 수행될 수도 있다.

이하에서는 이와 같은 정렬 네트워크를 동형 암호문에 적용한 구체적인 방법을 설명한다.

동형 암호문은 덧셈 및 곱셈 등의 연산이 가능하지만, 평문과 비교하였을 때, 많은 처리 시간이 소요된다. 따라서, 동형 암호문에 대한 연산은 병렬적으로 수행하는 것이 바람직하며, 이를 위하여, 본 개시에서는 SIMD 연산과 메시지 회전을 이용한다. 다양한 k 값에 대해서 SIMD 적용이 가능하지만, 설명을 용이하게 하기 위하여, 이하에서는 k가 5인 경우를 가정하여 설명한다.

동형 암호문에서의 정렬은 크게, 병렬 비교, 슬롯 할당, 정렬 단계로 나눠질 수 있다. 한편, k가 5인 경우, 4개의 타입이 있을 수 있으며, 각 타입별로 다른 방식의 SIMD 알고리즘이 이용될 수 있다. 다만, 고정된 k가 아닌 다양한 k를 이용하는 경우, 상술한 타입과 무관한 적용이 가능하다. 따라서, 이하에서는 여러 개의 k 값을 갖는 정렬기를 이용한 경우를 가정하여 설명한다.

도 9의 동작을 설명하기 앞서, 우선 메시지 간의 거리는 동일하고, 중복된 값은 없음을 가정한다. 도 9를 참조하여, 5²개의 원소의 정렬 시에 5개의 스테이지가 수행될 수 있다. 도 9에서 첫번째 스테이지 및 두번째 스테이지에서는 5-way 정렬기만을 이용하여 정렬이 수행되고, 세번째 스테이지에서는 2-way 정렬기, 3-way 정렬기, 4-way 정렬기, 5-way 정렬기가 이용되고, 네번째 스테이지에서는 2-way 정렬기와 3-way 정렬기가 다섯 번째 스테이지에서는 4-way 정렬기가 이용됨을 확인할 수 있다. 이중 세번째 스테이지에서의 구체적인 정렬 동작은 도 10과 같다.

도 10을 참조하면, 3번째 스테이지에서는 2-way 정렬기, 3-way 정렬기, 4-way 정렬기, 5-way 정렬기가 이용될 수 있다. 2-정렬기는 (x₂, x₆), (x₂₀, x₂₄)를 입력받고, 3 정렬기는 (x₃, x₇, x₁₁)와 (x₁₅, x₁₉, x₂₃)을 입력받고, 4 정렬기는 (x₄, x₈, x₁₂, x₁₆), (x₁₀, x₁₄, x₁₈, x₁₂)를 입력받고, 5 정렬기는 (x₅, x₉, x₁₃, x₁₇, x₂₁)을 입력받아 정렬을 수행할 수 있다.

도 11은 스테이지 타입별 정렬기 구성을 도시한다.

도 11을 참조하면, 첫번째 타입(type 0)은 수평 방향으로 5-way 정렬기를 이용하여 정렬이 수행됨을 확인할 수 있다. 그리고 두번째 타입(type 1)은 대각선 방향에 대한 정렬이 수행되기 때문에, 2, 3, 4, 5-way 정렬기가 이용되며, 세번째 타입(type 2)과 네번째 타입에 대해서도 서로 다른 정렬기를 이용함을 확인할 수 있다. 이와 같이 다양한 타입이 필요한 이유는 도 8에서 도시한 바와 같이 수평 방향 및 수직 방향에 대한 정렬 이후에도 대각선 방향의 정렬이 요구되기 때문이다.

도 11에서는 25개의 원소에 대한 정렬만을 도시하고 설명하였지만, 구현시에는 앞서 설명한 3²의 경우, 7²의 형태에 대해서도 동일한 방식의 적용이 가능하다.

실질적으로 상술한 바와 같은 비교를 동형 암호문 상태에서 수행하기 위해서, 첫번째로는 비교 함수의 계산이 요구된다.

한편, 동형 암호문에서의 계산은 계산 대상이 동일한 슬롯에 위치하여야 하기 때문에, 계산 대상이 같은 슬롯에 위치하지 않은 경우에는 동일한 슬롯으로 위치시키는 회전 작업이 요구된다. 한편, 암호문에 회전 작업이 수행되면, 대상이 아닌 슬롯도 이동할 수 있는바, 먼저 마스킹 벡터라고 하는 스칼라 벡터를 곱하여, 대상 슬롯 만을 먼저 추출할 수 있다.

그리고 동형 암호문에서는 슬롯 단위에 대한 동시 연산이 가능하기 때문에, 병렬 연산이 가능하기 때문에, 이러한 병렬 연산을 위하여, 슬롯 할당이 요구된다. 도 10에 도시한 바와 같이, 병렬적 연산에 적합하도록, 비교 결과 및 암호문을 정렬에 적합한 형태의 슬롯 할당을 진행하고, 슬롯 할당이 수행된 결과들에 대한 동형 연산을 통하여 최종적인 정렬 동작을 완료할 수 있다. 이와 같은 슬롯 할당은 앞서 설명한 바와 같이 기설정된 마스킹 벡터를 이용하여 수행될 수 있다.

한편, 본원에서 이용하는 k 값은 동형 암호문 내의 슬롯 개수가 증가함에 따라 연산 속도 등에 향상을 유발한다. 예를 들어, 슬롯 개수가 s2¹⁵, s2¹⁶ 증가하는 경우, 3보다 5를 이용하는 것이 보다 유리하다. 따라서, 본 개시에 따른 정렬을 수행함에 있어서, 해당 동형 암호문의 슬롯의 크기를 확인하고, 확인된 슬롯의 크기에 대응되는 k 값을 이용하여 정렬 작업을 수행할 수도 있다. 다만, k 값의 증가에 따라 연산 과정에서 필요한 메모리의 크기도 커지게 된다는 점에서, 상술한 고려시에 메모리 리소스의 크기에 대한 확인이 필요하다.

도 13은 본 개시의 일 실시 예에 따른 암호문 연산 방법을 설명하기 위한 흐름도이다.

도 13을 참조하면, 복수의 동형 암호문에 대한 정렬 명령을 입력받는다(S1310). 예를 들어, 복수의 동형 암호문은 상술한 수학식 1을 만족하는 암호문일 수 있다.

그리고 복수의 동형 암호문을 정렬한다(S1320). 구체적으로, k-way 정렬기의 정렬 단위에 대응하여 복수의 그룹으로 구분하고, 세 개 이상의 동형 암호문을 한번의 스테이지에서 정렬 가능한 k-way 정렬기를 이용하여 그룹별 복수의 동형 암호문을 정렬할 수 있다.

그리고 그룹별로 정렬된 복수의 동형 암호문 중 정렬 순번에 대응되는 후보 동형 암호문을 선별할 수 있다. 예를 들어, 정렬 순번을 2로 나눈 값의 내림 정수 값을 제1 순번으로, 정렬 순번의 2로 나눈 값의 올린 정수 값을 제2 순번으로 산출하고, 제1 그룹 내의 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문과 제2 그룹 내의 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문을 비교하고, 비교 결과에 기초하여, 정렬 순번이 가능한 후보 동형 암호문을 결정할 수 있다.

그리고 상술한 동작을 모든 순번에 대응되는 횟수만큼 반복하여, 전체 동형 암호문에 대한 정렬을 수행할 수 있다.

그리고 정렬 결과를 출력한다(S1330). 예를 들어, 외부 장치로부터 복수의 동형 암호문을 수신한 경우, 정렬된 결과를 정렬 순서대로 외부 장치에 전송할 수 있다. 반대로, 기저장된 복수의 동형 암호문에 대한 정렬인 경우, 상술한 정렬 동작을 통하여 저장 순서가 정렬될 것인바 상술한 출력 동작은 생략될 수 있다.

이상과 같이 본 실시 예에 따른 동형 암호문 처리 방법은 대량의 동형 암호문에 대한 정렬 처리가 가능할 뿐만 아니라, 적은 스테이지로 복수의 동형 암호문에 대한 정렬을 수행하는바 보다 빠르게 정렬을 수행할 수 있다.

각 단계의 상세 동작에 대해서는 상술한 바 있으므로 자세한 설명은 생략하도록 한다.

한편, 상술한 본 개시의 다양한 실시 예들에 따른 방법들은, 기존 연산 장치(또는 전자 장치)에 설치 가능한 어플리케이션 형태로 구현될 수 있다.

또한, 상술한 본 개시의 다양한 실시 예들에 따른 방법들은, 기존 연산 장치(또는 전자 장치)에 대한 소프트웨어 업그레이드, 또는 하드웨어 업그레이드만으로도 구현될 수 있다.

또한, 상술한 본 개시의 다양한 실시 예들은 연산 장치에 구비된 임베디드 서버, 또는 연산 장치 중 적어도 하나의 외부 서버를 통해 수행되는 것도 가능하다.

한편, 본 개시의 일시 예에 따르면, 이상에서 설명된 다양한 실시 예들은 기기(machine)(예: 컴퓨터)로 읽을 수 있는 저장 매체(machine-readable storage media에 저장된 명령어를 포함하는 소프트웨어로 구현될 수 있다. 기기는, 저장 매체로부터 저장된 명령어를 호출하고, 호출된 명령어에 따라 동작할 수 있는 장치로서, 개시된 실시 예들에 따른 디스플레이 장치를 포함할 수 있다. 명령이 프로세서에 의해 실행될 경우, 프로세서가 직접, 또는 프로세서의 제어 하에 다른 구성요소들을 이용하여 명령에 해당하는 기능을 수행할 수 있다. 명령은 컴파일러 또는 인터프리터에 의해 생성 또는 실행되는 코드를 포함할 수 있다. 기기로 읽을 수 있는 저장 매체는, 비일시적(non-transitory) 저장매체의 형태로 제공될 수 있다. 여기서, '비일시적'은 저장매체가 신호(signal)를 포함하지 않으며 실재(tangible)한다는 것을 의미할 뿐 데이터가 저장매체에 반영구적 또는 임시적으로 저장됨을 구분하지 않는다.

또한, 본 개시의 일 실시 예에 따르면, 이상에서 설명된 다양한 실시 예들에 따른 방법은 컴퓨터 프로그램 제품(computer program product)에 포함되어 제공될 수 있다. 컴퓨터 프로그램 제품은 상품으로서 판매자 및 구매자 간에 거래될 수 있다. 컴퓨터 프로그램 제품은 기기로 읽을 수 있는 저장 매체(예: compact disc read only memory (CD-ROM))의 형태로, 또는 어플리케이션 스토어(예: 플레이 스토어TM)를 통해 온라인으로 배포될 수 있다. 온라인 배포의 경우에, 컴퓨터 프로그램 제품의 적어도 일부는 제조사의 서버, 어플리케이션 스토어의 서버, 또는 중계 서버의 메모리와 같은 저장 매체에 적어도 일시 저장되거나, 임시적으로 생성될 수 있다.

또한, 본 개시의 일 실시 예에 따르면, 이상에서 설명된 다양한 실시 예들은 소프트웨어(software), 하드웨어(hardware) 또는 이들의 조합을 이용하여 컴퓨터(computer) 또는 이와 유사한 장치로 읽을 수 있는 기록 매체 내에서 구현될 수 있다. 일부 경우에 있어 본 명세서에서 설명되는 실시 예들이 프로세서 자체로 구현될 수 있다. 소프트웨어적인 구현에 의하면, 본 명세서에서 설명되는 절차 및 기능과 같은 실시 예들은 별도의 소프트웨어 모듈들로 구현될 수 있다. 소프트웨어 모듈들 각각은 본 명세서에서 설명되는 하나 이상의 기능 및 동작을 수행할 수 있다.

한편, 상술한 다양한 실시 예들에 따른 기기의 프로세싱 동작을 수행하기 위한 컴퓨터 명령어(computer instructions)는 비일시적 컴퓨터 판독 가능 매체(non-transitory computer-readable medium) 에 저장될 수 있다. 이러한 비일시적 컴퓨터 판독 가능 매체에 저장된 컴퓨터 명령어는 특정 기기의 프로세서에 의해 실행되었을 때 상술한 다양한 실시 예에 따른 기기에서의 처리 동작을 특정 기기가 수행하도록 한다.

비일시적 컴퓨터 판독 가능 매체란 레지스터, 캐쉬, 메모리 등과 같이 짧은 순간 동안 데이터를 저장하는 매체가 아니라 반영구적으로 데이터를 저장하며, 기기에 의해 판독(reading)이 가능한 매체를 의미한다. 비일시적 컴퓨터 판독 가능 매체의 구체적인 예로는, CD, DVD, 하드 디스크, 블루레이 디스크, USB, 메모리카드, ROM 등이 있을 수 있다.

또한, 상술한 다양한 실시 예들에 따른 구성 요소(예: 모듈 또는 프로그램) 각각은 단수 또는 복수의 개체로 구성될 수 있으며, 전술한 해당 서브 구성 요소들 중 일부 서브 구성 요소가 생략되거나, 또는 다른 서브 구성 요소가 다양한 실시 예에 더 포함될 수 있다. 대체적으로 또는 추가적으로, 일부 구성 요소들(예: 모듈 또는 프로그램)은 하나의 개체로 통합되어, 통합되기 이전의 각각의 해당 구성 요소에 의해 수행되는 기능을 동일 또는 유사하게 수행할 수 있다. 다양한 실시 예들에 따른, 모듈, 프로그램 또는 다른 구성 요소에 의해 수행되는 동작들은 순차적, 병렬적, 반복적 또는 휴리스틱하게 실행되거나, 적어도 일부 동작이 다른 순서로 실행되거나, 생략되거나, 또는 다른 동작이 추가될 수 있다.

이상에서는 본 개시의 바람직한 실시 예에 대하여 도시하고 설명하였지만, 본 개시는 상술한 특정의 실시 예에 한정되지 아니하며, 청구범위에서 청구하는 본 개시의 요지를 벗어남이 없이 당해 개시에 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 다양한 변형실시가 가능한 것은 물론이고, 이러한 변형실시들은 본 개시의 기술적 사상이나 전망으로부터 개별적으로 이해되어져서는 안될 것이다.

100: 전자 장치 200: 제1 서버 장치
300: 제2 서버 장치 400: 연산 장치
410: 통신 장치 420: 메모리
430: 디스플레이 440: 조작 입력 장치
450: 프로세서

Claims (17)

1. 복수의 동형 암호문을 복수의 그룹으로 구분하는 단계;
   상기 구분된 그룹별로 정렬을 수행하는 단계;
   상기 그룹별로 정렬된 복수의 동형 암호문 중 정렬 순번에 대응되는 후보 동형 암호문을 선별하는 단계; 및
   상기 선별된 후보 동형 암호문에 대한 동형 연산을 통하여 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계;를 포함하는 동형 암호문 처리 방법.
2. 제1항에 있어서,
   상기 후보 동형 암호문을 선별하는 단계는,
   상기 정렬 순번에 대응되는 제1 그룹에 대한 제1 순번, 제2 그룹에 대한 제2 순번을 산출하는 단계;
   제1 그룹 내의 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문과 상기 제2 그룹 내의 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문을 비교하는 단계; 및
   상기 비교 결과에 기초하여, 상기 정렬 순번이 가능한 후보 동형 암호문을 결정하는 단계;를 포함하는 동형 암호문 처리 방법.
3. 제2항에 있어서,
   상기 순번을 산출하는 단계는,
   상기 정렬 순번을 2로 나눈 값의 내림 정수 값을 제1 순번으로, 상기 정렬 순번의 2로 나눈 값의 올린 정수 값을 제2 순번으로 산출하는 동형 암호문 처리 방법.
4. 제3항에 있어서,
   상기 후보 동형 암호문을 결정하는 단계는,
   상기 제1 동형 암호문이 제2 동형 암호문보다 크고, 내림 차순 정렬이면, 상기 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문보다 작은 크기를 갖는 제1 그룹 내의 동형 암호문, 상기 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문 및 상기 제2 동형 암호문보다 큰 크기를 갖는 제2 그룹 내의 동형 암호문을 후보 동형 암호문으로 결정하는 동형 암호문 처리 방법.
5. 제1항에 있어서,
   상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계는,
   입력된 두 동형 암호문 중 큰 동형 암호문 또는 작은 동형 암호문을 선택적으로 출력하는 비교 함수를 이용하여, 상기 선별된 후보 동형 암호문 간의 비교 함수 출력을 통하여 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 동형 암호문 처리 방법.
6. 제1항에 있어서,
   상기 복수의 그룹 중 두 그룹에 포함된 동형 암호문의 개수만큼 상기 후보 동형 암호문을 선별하는 단계 및 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계를 반복하여, 상기 두 그룹 내의 복수의 동형 암호문을 정렬하는 단계;를 더 포함하는 동형 암호문 처리 방법.
7. 제1항에 있어서,
   상기 구분된 그룹별로 정렬을 수행하는 단계는,
   세 개 이상의 동형 암호문을 한번의 스테이지에서 정렬 가능한 k-way 정렬기를 이용하여 그룹별 복수의 동형 암호문을 정렬 하는 암호문 처리 방법.
8. 제6항에 있어서,
   상기 복수의 그룹으로 구분하는 단계는,
   상기 k-way 정렬기의 정렬 단위에 대응하여 복수의 그룹으로 구분하는 암호문 처리 방법.
9. 복수개의 동형 암호문을 저장하는 메모리;
   상기 복수개의 동형 암호문을 정렬하는 프로세서;를 포함하며,
   상기 프로세서는,
   복수의 동형 암호문을 복수의 그룹으로 구분하고,
   상기 구분된 그룹별로 정렬을 수행하고,
   상기 그룹별로 정렬된 복수의 동형 암호문 중 정렬 순번에 대응되는 후보 동형 암호문을 선별하고,
   상기 선별된 후보 동형 암호문에 대한 동형 연산을 통하여 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 전자 장치.
10. 제9항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    상기 정렬 순번에 대응되는 제1 그룹에 대한 제1 순번, 제2 그룹에 대한 제2 순번을 산출하고,
    제1 그룹 내의 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문과 상기 제2 그룹 내의 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문을 비교하고,
    상기 비교 결과에 기초하여, 상기 정렬 순번이 가능한 후보 동형 암호문을 결정하는 전자 장치.
11. 제10항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    상기 정렬 순번을 2로 나눈 값의 내림 정수 값을 제1 순번으로, 상기 정렬 순번의 2로 나눈 값의 올린 정수 값을 제2 순번으로 산출하는 전자 장치.
12. 제11항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    상기 제1 동형 암호문이 제2 동형 암호문보다 크고 내림 차순 정렬이면, 상기 제1 순번에 대응되는 제1 동형 암호문보다 작은 크기를 갖는 제1 그룹 내의 동형 암호문, 상기 제2 순번에 대응되는 제2 동형 암호문 및 상기 제2 동형 암호문보다 큰 크기를 갖는 제2 그룹 내의 동형 암호문을 후보 동형 암호문으로 결정하는 전자 장치.
13. 제9항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    입력된 두 동형 암호문 중 큰 동형 암호문 또는 작은 동형 암호문을 선택적으로 출력하는 비교 함수를 이용하여, 상기 선별된 후보 동형 암호문 간의 비교 함수 출력을 통하여 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 전자 장치.
14. 제9항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    상기 복수의 그룹 중 두 그룹에 포함된 동형 암호문의 개수만큼 상기 후보 동형 암호문을 선별하는 단계 및 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계를 반복하여, 상기 두 그룹 내의 복수의 동형 암호문을 정렬하는 전자 장치.
15. 제9항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    세개 이상의 동형 암호문을 한번의 스테이지에서 정렬 가능한 k-way 정렬기를 이용하여 그룹별 복수의 동형 암호문을 정렬하는 전자 장치.
16. 제15항에 있어서,
    상기 프로세서는,
    상기 k-way 정렬기의 정렬 단위에 대응하여 복수의 그룹으로 구분하는 전자 장치.
17. 동형 암호문의 처리 방법을 실행하기 위한 프로그램을 포함하는 컴퓨터 판독가능 기록 매체에 있어서,
    상기 동형 암호문의 처리 방법은,
    복수의 동형 암호문을 복수의 그룹으로 구분하는 단계;
    상기 구분된 그룹별로 정렬을 수행하는 단계;
    상기 그룹별로 정렬된 복수의 동형 암호문 중 정렬 순번에 대응되는 후보 동형 암호문을 선별하는 단계; 및
    상기 선별된 후보 동형 암호문에 대한 동형 연산을 통하여 상기 정렬 순번에 대응되는 동형 암호문을 결정하는 단계;를 포함하는 컴퓨터 판독 가능 기록 매체.
    

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