이상의 본 발명의 목적들, 다른 목적들, 특징들 및 이점들은 첨부된 도면과 관련된 이하의 바람직한 실시예들을 통해서 쉽게 이해될 것이다. 그러나 본 발명은 여기서 설명되는 실시예들에 한정되지 않고 다른 형태로 구체화될 수도 있다. 오히려, 여기서 소개되는 실시예들은 개시된 내용이 철저하고 완전해질 수 있도록 그리고 당업자에게 본 발명의 사상이 충분히 전달될 수 있도록 하기 위해 제공되는 것이다. 본 명세서에서, 어떤 구성요소가 다른 구성요소 상에 있다고 언급되는 경우에 그것은 다른 구성요소 상에 직접 형성될 수 있거나 또는 그들 사이에 제 3의 구성요소가 게재될 수도 있다는 것을 의미한다.The above objects, other objects, features and advantages of the present invention will be easily understood through the following preferred embodiments in conjunction with the accompanying drawings. However, the present invention is not limited to the embodiments described herein and may be embodied in other forms. Rather, the embodiments introduced herein are provided so that the disclosed subject matter may be thorough and complete, and that the spirit of the present invention may be sufficiently conveyed to those skilled in the art. In this specification, when a component is referred to as being on another component, it means that it may be directly formed on the other component or a third component may be interposed therebetween.
어떤 엘리먼트, 구성요소, 장치, 또는 시스템이 프로그램 또는 소프트웨어로 이루어진 구성요소를 포함한다고 언급되는 경우, 명시적인 언급이 없더라도, 그 엘리먼트, 구성요소, 장치, 또는 시스템은 그 프로그램 또는 소프트웨어가 실행 또는 동작하는데 필요한 하드웨어(예를 들면, 메모리, CPU 등)나 다른 프로그램 또는 소프트웨어(예를 들면 운영체제나 하드웨어를 구동하는데 필요한 드라이버 등)를 포함하는 것으로 이해되어야 할 것이다.When it is stated that any element, component, device, or system includes a component consisting of a program or software, even if not explicitly stated, that element, component, device, or system means that the program or software executes or operates It should be understood to include hardware (eg, memory, CPU, etc.) or other programs or software (eg, drivers necessary to run an operating system or hardware) necessary for the operation.
또한 어떤 엘리먼트(또는 구성요소)가 구현됨에 있어서 특별한 언급이 없다면, 그 엘리먼트(또는 구성요소)는 소프트웨어, 하드웨어, 또는 소프트웨어 및 하드웨어 어떤 형태로도 구현될 수 있는 것으로 이해되어야 할 것이다.In addition, it should be understood that an element (or component) may be implemented in software, hardware, or any form of software and hardware, unless otherwise specified in the implementation of the element (or component).
본 명세서에서 사용된 용어는 실시예들을 설명하기 위한 것이며 본 발명을 제한하고자 하는 것은 아니다. 본 명세서에서, 단수형은 문구에서 특별히 언급하지 않는 한 복수형도 포함한다. 명세서에서 사용되는 '포함한다(comprises)' 및/또는 '포함하는(comprising)'은 언급된 구성요소는 하나 이상의 다른 구성요소의 존재 또는 추가를 배제하지 않는다.The terminology used herein is for the purpose of describing the embodiments and is not intended to limit the present invention. In this specification, the singular also includes the plural unless otherwise specified in the phrase. As used herein, the terms 'comprises' and/or 'comprising' do not exclude the presence or addition of one or more other components.
이하, 도면을 참조하여 본 발명을 상세히 설명하도록 한다. 아래의 특정 실시예들을 기술하는데 있어서, 여러 가지의 특정적인 내용들은 발명을 더 구체적으로 설명하고 이해를 돕기 위해 작성되었다. 하지만 본 발명을 이해할 수 있을 정도로 이 분야의 지식을 갖고 있는 독자는 이러한 여러 가지의 특정적인 내용들이 없어도 사용될 수 있다는 것을 인지할 수 있다. 어떤 경우에는, 발명을 기술하는 데 있어서 흔히 알려졌으면서 발명과 크게 관련 없는 부분들은 본 발명을 설명하는 데 있어 별 이유 없이 혼돈이 오는 것을 막기 위해 기술하지 않음을 미리 언급해 둔다. Hereinafter, the present invention will be described in detail with reference to the drawings. In describing the specific embodiments below, various specific contents have been prepared to more specifically describe the invention and help understanding. However, a reader having enough knowledge in this field to understand the present invention may recognize that the present invention may be used without these various specific details. In some cases, it is mentioned in advance that in describing the invention, parts that are commonly known but not largely related to the invention are not described in order to avoid confusion without any reason in explaining the invention.
도 1을 참조하면, 본 발명에 따른 -진 정수환 위의 최소 다항식을 이용한 의사난수 생성 방법은 의사난수를 생성하는 방법에 있어서, 최소 다항식 생성 단계(S100)과 의사난수 생성 단계(S200)을 포함한다.1, according to the present invention - The method of generating a pseudo-random number using the minimum polynomial above the true integer ring is a method of generating a pseudo-random number, and includes a minimum polynomial generating step (S100) and a pseudo-random number generating step (S200).
S100 단계는 다항식 에 대해 임의의 소수 (2, 3 또는 5 이상의 소수)에 대한 최소 다항식을 생성한다. S200 단계는 S100 단계에서 생성된 최소 다항식에 기반하여 의사난수를 생성한다.S100 step is polynomial for any prime number Create a minimum polynomial for (a prime number greater than or equal to 2, 3, or 5). In step S200, a pseudorandom number is generated based on the minimum polynomial generated in step S100.
본 발명은 에서 3보다 큰 어떤 소수 에 대하여 최소 다항식을 그들의 계수 관점에서 특성화하는 것을 보여준다. 이를 위해 최소 다항식은 두가지 사전 요구 사항을 만족한다는 것을 확인한다. 전체 길이 사이클을 유도하는 축소된(reduced) 다항식 모듈로 는 전이적이다. 그리고, 그것의 0, ..., - 1에서 도함수의 곱은 1 모듈로 이다. 규정된 조건에 따라 이러한 두 가정을 만족하는 계수의 선택은 정확히 가지 선택이 존재한다.the present invention any prime number greater than 3 in shows to characterize the least polynomials in terms of their coefficients. To this end, we confirm that the minimum polynomial satisfies two prerequisites. Reduced polynomial modulo leading to full-length cycles is transitive. And, its 0, ..., - the product of derivatives from 1 is modulo 1 to be. The choice of a coefficient that satisfies these two assumptions according to the prescribed conditions is precisely There are several choices.
본 발명의 실시예에 따라 제안된 방법은 모든 규정된 조건들이 완전히 발견되면 에서의 모든 가능한 최소 다항식을 그들의 계수 관점에서 분류하는 것을 가능하게 한다. 그러므로 에서 최소 다항식을 찾는 것이나 주어진 다항식 맵이 최소인지 결정하는 것은 완전히 답변될 수 있다.The method proposed according to an embodiment of the present invention is performed when all prescribed conditions are fully found. It makes it possible to classify all possible smallest polynomials in in terms of their coefficients. therefore Finding the least polynomial in , or determining if a given polynomial map is a minimum can be fully answered.
를 소수 에 대한 -진 정수 환이라고 한다. 를 -진수 환이라고 한다. |·|를 에서 (정규화된) 절대 값이라고 하고 || = 와 같은 에서 ord 덧셈 부치와 관련된다. 에서 1-립시츠 함수는 다음과 같이 정의된다. to decimal for - It is called a true integer ring. cast - It's called a hexahedron ring. |·| is called the (normalized) absolute value in | | = Such as in ord It is related to addition but notation. The 1-Lipschitz function is defined as
함수 는 모든 에 대해 || ||이면 1-립시츠 함수라고 한다. 전형적인 에서 1-립시츠 함수의 예는 에서 계수를 가지는 다항식과 -함수의 클래스를 포함한다. 1-립시츠 함수는 다음과 같은 몇가지 동등한 진술문을 가진다.function is all About | | | If |, it is called a 1-Lipschitz function. Typical An example of the 1-Lipschitz function in A polynomial with coefficients in -Includes the class of the function. The 1-Lipschitz function has several equivalent statements:
(L1) (mod ) 일 때는 어떤 정수 에 대해 언제나 (mod ) 이다.(L1) (mod ) when any integer always about (mod ) to be.
(L2) 모든 그리고 어떤 정수 에 대해 (L2) all and some integer About
이다. to be.
(L3) 모든 에 대해 || || 이다.(L3) all About | | | | to be.
여기에서 (L1)은 1-립시츠 함수 가 아래와 같은 몫의 환에 의해 정의 되는 축소된 함수의 시퀀스 를 유도한다는 것을 나타낸다.where (L1) is the 1-Lipschitz function A sequence of reduced functions defined by the ring of quotients indicates that it induces
에서 p진 동역학 시스템은 트리플 (, , )로서 이해된다. 가 측도가능 함수이고, 는 에서 자연 확률 측도이고, 로 정규화된다. At p, the system of binary dynamics is triple ( , , ) is understood as is a measureable function, Is is a measure of natural probability in is normalized to
단원소의 -측도가능 집합들은 반지름의 p진 구들이다. 이들은 이고 정수 에 대해 , 형태의 집합이다. 이러한 구의 측도는 그것의 반지름으로서 정의된다(i.e, ).monoelement - Measurable sets are They are p-spheres of radius. these are and integer About , is a set of forms. The measure of such a sphere is defined as its radius (ie, ).
정의 2.2.Definition 2.2.
(, , )를 에 p진 동역학 시스템이라고 하자. 함수 는 만약 각 가측 부분집합 에 대해 이면 측도보존 된다고 한다.( , , )cast Let p be a system of fundamental dynamics. function is each possible subset if About This is said to be side-conserved.
측도 보존 함수 는 그것이 적절한 불변 부분집합(i.e. 또는 둘 다 과 같은 어떠한 가측 부분집합 을 보류한다)을 가지지 않는 경우 에르고딕하다고 한다.Measure Preservation Function is the appropriate immutable subset (ie or both Any hypothetical subset such as ) is said to be ergodic if it does not have
정의 2.3Definition 2.3
연속함수 는 모든 에 대해 에서 f의 전방궤도가 에서 밀집하는 경우에 최소라고 한다.continuous function is all About The forward orbit of f in It is said to be minimal if it is concentrated in .
를 원소의 유한 집합이라고 하고 f를 에서의 셀프-사상이라고 하고, 을 가 에서 항등 사상이라고 할 때 f의 -th 반복 이라고 정의한다. cast Let it be a finite set of elements and let f be It is called self-thought in second go When the identity event in f is -th Defines iteration.
정의 2.4.Definition 2.4.
함수 는 S가 f의 단일 사이클을 형성한다면 에서 전이적이거나 최소이다. 즉, 어떤 고정된 초점, 에 대해 {···, } = 이다.function is if S forms a single cycle of f is transitive or minimal in i.e. any fixed focus, About { ..., } = to be.
에서 1-립시츠 함수는 측도 보존에 대해 몇 가지 동등한 진술문을 가진다. The 1-Lipschitz function in , has several equivalent statements for measure conservation.
명제 2.5Proposition 2.5
를 1-립시츠 함수라고 할 때, 다음 진술문은 동등하다. If is a 1-Lipschitz function, then the following statements are equivalent:
(1) f는 전사함수이다.(1) f is the transcription function.
(2) f는 등거리 사상이다.(2) f is an equidistant map.
(3) 은 모든 정수 에 대해 전단사 함수이다.(3) is any integer is a predicate function for .
(4) f는 측도 보존이다.(4) f is the measure conservation.
의 다항식에 대한 더 단순한 측도 보존 특징이 알려져 있다. A simpler measure-preserving feature for the polynomial of is known.
명제 2.6Proposition 2.6
(1) 은 모든 정수 에 대해 전단사 함수이다.(One) is any integer is a predicate function for .
(2) 는 전단사 함수이다.(2) is a predicate function.
(3) 은 전단사 함수이고, (mod )는 에서 해를 가지지 않는다.(3) is the predicate function, (mod )Is no harm from
에르고딕성 또는 최소성에 관해서 우리는 다음 동등한 진술문을 얻을 수 있다.Regarding ergodicity or minimality we can get the following equivalent statements:
명제 2.7Proposition 2.7
를 측도 보존 1-립시츠 함수라고 할 때, 다음 진술문은 동등하다. If is a measure-preserving 1-Lipschitz function, then the following statements are equivalent:
(1) f는 최소이다.(1) f is minimum.
(2) f는 에르고딕이다.(2) f is ergodic.
(3) 은 모든 정수에 대해 에서 전이함수이다.(3) is all about integers is the transfer function in
(4) f는 에서 t(x) = x + 1 함수와 켤레이다.(4) f is At t(x) = x + 1 is conjugate with the function.
(5) f는 특이하게 에르고딕이다. (i.e., 오직 하나의 에르고딕 측도가 있다)(5) f is unusually ergodic. (i.e., there is only one ergodic measure)
명제 2.8.Proposition 2.8.
를 에서 ()가 에 대해 최소임을 만족하는 다항식이라고 한다. 그러면 다음이 동등하다. cast at ( )go It is said to be a polynomial that satisfies the minimum for . Then the following is equivalent
(1) () 는 최소이다.(One) ( ) is the minimum.
(2) 모든 에 대해 와 를 가진다. 그리고,(2) all About Wow have and,
(3) 와 과 같은 가 존재한다.(3) Wow And such exists
명제 2.9.Proposition 2.9.
한 다항식, 는 오직 가 2 또는 3이면 = 3 이고, 이면 = 2에서 가 최소일 때 최소이다. one polynomial, is only is 2 or 3 = 3 and back side = from 2 is minimum when is minimum.
소수 에 대해 다음과 같이 설정한다.decimal Set as follows for
그리고 다음과 같이 설정한다.And set it like this:
(1) (One)
위 다항식에 대한 다른 최소성 기준의 주요 결과를 진술하기 위하여, 에서의 계수와 함께 차수가 보다 작은 모든 비동등 최소 다항식의 집합 를 정의한다. 평소처럼, 의 모든 원소는 에서의 정수 계수를 가지는 다항식이 될 수 있는 것으로 이해된다. To state the main result of the other leastness criterion for the above polynomial, with the coefficient at set of all non-equal least polynomials less than to define As usual, all elements of It is understood that it can be a polynomial having integer coefficients in .
정리 3.1.Theorem 3.1.
를 양의 차수의 다항식이라고 하면, If is a polynomial of positive degree, then
(1) 는 오직 모듈로 의 축소가 에서 최소일 때 최소이다.(One) is only modulo reduction of It is minimum when it is minimum in
(2) 의 원소 수는 다음에 따라 정해진다.(2) The number of elements in is determined by
# = # =
이에 대한 증명은 다음과 같다.The proof for this is as follows.
(1) 가 를 로 나눈 나머지라고 한다. 그러면,(One) go cast is the remainder divided by . then,
= + 이고, 이 때, 이고, 의 차수가 보다 작다. = + and at this time, ego, the degree of smaller than
명제 2.9.에 의해 합동이 성립한다는 전제에서 그 결과는 다음과 같다.On the premise that congruence is established by Proposition 2.9., the result is as follows.
(mod ) (mod )
의 모든 계수는 에 의해 나누어지는 것을 보이고 이로 인해 주장된 결과를 보이게 된다. 뉴턴 보간법 공식에 의하거나 말러의 p진 변수의 연속 함수에 대한 보간 순열에 의하면, 어떤 다항식, 는 이항 계수 다항식 측면에서 형태의 유한 합으로 고유하게 표현된다. All coefficients of is divided by , and this leads to the claimed result. According to the Newtonian interpolation formula, or according to Mahler's interpolation permutation of a continuous function of the base p-variable, any polynomial, is uniquely expressed as a finite sum of forms in terms of a binomial coefficient polynomial.
= =
= , (2) = , (2)
이 때, 모든 이고, 는 에 관해 더 크거나 같은 것으로 가정된다. 왜냐하면 에서의 모든 다항식은 명제 3.58로부터 해석적 함수이고, 모든 는 p진 정수에 포함되고 있다. 이리하여, 인 모든 , = 에 대해 모든 계수가 로 나누어지는지 확인된다. 실제로, 모든 소수 에 대해 다음과 같이 통합된 방식으로 이를 수행한다.At this time, all ego, Is is assumed to be greater than or equal to because Every polynomial in is an analytic function from Proposition 3.58, and every is included in the p-base integer. Thus, being all , = all coefficients for It is confirmed that it is divided into In fact, every prime This is done in an integrated manner as follows:
에 대해 About
=!를 얻는다. = ! to get
!이 에 의해 나누어지기 때문에, (2)의 우변의 두 번째 합에 있는 모든 항에서 공통 인자 를 인수 분해하면 (2)의 두 번째 합이 !this Since it is divided by , the common factor in all terms in the second sum of the right-hand sides of (2) is Factoring the second sum of (2) gives
형식의 곱으로 축소되고, 의 모든 계수는 로 나눌 수 있고, (2)의 첫 번째 합은 로 나눈 의 나머지 이다. 이로서 증명이 완성된다. reduced to the product of the form, All coefficients of is divisible by , and the first sum of (2) is divided by rest of to be. This completes the proof.
정리 3.1.의 (2)부분은 이미 알려져 있다. Part (2) of Theorem 3.1. is already known.
우리는 의 다항식은 어떤 에 대해 이면 양의 정수 m에 대해 항등 모듈로 m이라고 한다. 정리 3.1의 증명으로부터 다항식 q는 항등 모듈로 인 것을 관찰 할 수 있다.we are What is the polynomial of About Then, for a positive integer m, we call it the identity modulo m. From the proof of Theorem 3.1, the polynomial q is the identity modulo It can be observed that
따름 정리 3.3.Theorem according to 3.3.
다항식, 는 오직 가 다음의 형식으로 표현가능할 때에만 최소이다.polynomial, is only is minimal only if it can be expressed in the form
= + = +
이 때, 이고, 는 항등 모듈로 이다.At this time, ego, is the identity module to be.
p=2에 대해 에서의 다항식의 최소성 기준은 그것의 계수 측면에서 잘 알려져 있다. 종래 각각 에서 보편 다항식의 최소 기준이 제시된 바 있다. 본 발명의 실시예는 종래 최소 기준 결과의 대안적인 증명을 제시한다. 이를 위해 먼저 최대 3차의 다항식에 대한 최소 조건을 되새긴다.for p=2 The minimum criterion for a polynomial in α is well known in terms of its coefficients. conventionally each The minimum criterion for universal polynomials has been suggested in An embodiment of the present invention presents an alternative demonstration of the conventional minimum reference result. To do this, we first recall the minimum condition for polynomials of the order of 3 at most.
따름정리 4.1.Theorem 4.1.
다항식 =는 오직 다음 관계식이 만족되는 시스템일 때에만 최소이다.polynomial = is minimal only if the following relation is satisfied.
; ;
; ;
; and ; and
이에 관한 원 증명은 M. V. Larin, Transitive polynomial transformations of residue class rings, Discrete Math. and Applications(2002)에서 주어지고 있다. 완전성을 위해 우리는 대안적인 증명을 제시하기 위한 다음의 몇가지 인자를 따른다 F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math.Soc. 41 (2), (2009)에 따르면 는 오직 다음 조건을 만족시킬 때 최소이다.The original proof for this is MV Larin, Transitive polynomial transformations of residue class rings, Discrete Math. and Applications (2002). For completeness we follow several factors to present an alternative proof: F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math. Soc. According to 41 (2), (2009) is minimal only if the following conditions are satisfied.
(M1) ;(M1) ;
(M2) ;(M2) ;
(M3) ; and(M3) ; and
(M4) .(M4) .
간단한 계산을 통해, (M1)과 (M2)가 다음 관계식과 동등하다는 것을 쉽게 보일 수 있다.Through simple calculations, it can be easily shown that (M1) and (M2) are equivalent to the following relation.
둘째로 (mod 4)이기 때문에 (M3)는 (mod 4)와 동등하다. 최종적으로 F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math.Soc. 41 (2), (2009)의 증명으로부터 (M4)는 (mod 4)와 동등하고, 또한 (mod 4)와도 동등하다. 모든 관계를 종합하면 원하는 최종결과를 얻을 수 있다. 이제 다음과 같이 #=16 임을 보여줌으로써 p=2일 때 케이스에 대한 정리 3.1. (2)부분의 증명을 마친다.secondly Since (mod 4), (M3) is Equivalent to (mod 4). Finally, F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math. Soc. 41 (2), from the proof of (2009), (M4) is Equivalent to (mod 4), and also It is also equivalent to (mod 4). Putting all the relationships together will give you the end result you want. Now like this # Theorem for the case when p=2 by showing that =16 3.1. (2) Complete the proof of part.
따름정리 4.2.Theorem 4.2.
다항식 =는 오직 링 에서 다음 16개의 다항식 중 하나에 의해 유도된 맵, , {} 과 일치할 때 최소이다.polynomial = is only the ring A map derived by one of the following 16 polynomials in , { } is minimal when matching with .
증명. 에서 모든 구별되는 최소 다항식을 나열하기 위하여 따름정리 4.1을 이용한다. 따름정리 4.1에 따라 먼저 2 미만 차수의 인 최소 다항식 을 다룬다. 이고 , , 라고 한다. 이리하여 조건에서 최소 다항식 을 얻을 수 있다.proof. Use the following theorem 4.1 to list all distinct least polynomials in According to colloquial theorem 4.1, first Least polynomial deals with ego , , It is said in this way Least polynomial in condition can get
만약 집합 S={}을 넣는다면 S는 32개 원소를 가지고, S의 각 원소는 최소 다항식을 유도한다. 그들 중 일부는 모듈로 8과 동등할 수 있다. 따라서, 이러한 다항식을 유도하는 S의 원소를 세어 동등하지 않은 최소 다항식을 찾아볼 수 있다. 모듈로 8 최소 다항식과 동등한 것을 유도하는 S에서 두 원소, 와 를 가정한다. 의 표현으로부터 우리는 다음과 같은 관계식을 파생할 수 있다.If the set S={ }, then S has 32 elements, and each element of S derives a least polynomial. Some of them may be equivalent to modulo 8. Thus, one can find the least unequal polynomial by counting the elements of S that derive this polynomial. Two elements in S deriving an equivalent to the modulo 8 minimum polynomial, Wow assume From the expression of , we can derive the following relation.
(mod 4) (mod 4)
이는 다음 관계식과 동등하다.This is equivalent to the following relation.
(mod 2); and (mod 2) (mod 2); and (mod 2)
따라서, S에서 오직 8개 원소가 이러한 관계식들을 위반한다. 따라서, 진술문에서 행렬 배열의 첫 번째 및 세 번째 열을 구성하는 정확히 8개의 동등하지 않은 최소 다항식이 존재한다. 두 번째, 우리는 3차의 최소 다항식 으로 전환할 수 있고, 이는 (mod 8)과 동등하다.Therefore, only 8 elements in S violate these relations. Thus, there are exactly eight unequal least polynomials that make up the first and third columns of the matrix array in the statement. Second, we have the least polynomial of the third degree can be converted to Equivalent to (mod 8).
왜냐하면 (mod 8)이기 때문이다.because (mod 8).
따라서, 는 이 에 의해 대체된 첫 번째 경우로 축소된다. 동등하게 은 에 의해 대체된다. 이러한 변화에서 에 대한 최소 조건과 S의 등가 관계는 첫 번째 경우와 마찬가지로 불변이다. 따라서 진술문에서 행렬 배열의 두 번째 및 네 번재 열을 구성하는 정확히 8개의 동등하지 않은 최소 다항식이 있다. 두 케이스를 결합하면 16개의 결과가 나온다.therefore, Is this reduced to the first case replaced by equally silver is replaced by in these changes The minimum condition for and the equivalence of S are invariant, as in the first case. Thus, in the statement, there are exactly eight unequal least polynomials that make up the second and fourth columns of the matrix array. Combining the two cases yields 16 results.
다항식에 상수 항이 1이라는 가정을 제거하기 위해 종래의 최소 기준을 다시 검토한다. 이를 마치기 위해 에서 차수의 다항식에 대해 다음과 같이 정한다.To remove the assumption that the constant term in the polynomial is 1, we review the conventional minimum criterion again. to finish this at degree polynomial is determined as follows.
정리 4.3.Theorem 4.3.
한 다항식, 는 오직 다음 관계식을 만족하는 시스템일 때 최소이다.one polynomial, is a minimum only for systems that satisfy the following relation:
1 (mod 2); 1 (mod 2);
1 (mod 2); 1 (mod 2);
1 (mod 2); 1 (mod 2);
1 (mod 4); and 1 (mod 4); and
2 + 1 (mod 4)2 + 1 (mod 4)
증명. ==1이라는 가정을 제외하고 F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math.Soc. 41 (2), (2009)의 증명과 동일하다.proof. = =1 F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math. Soc. 41 (2) and (2009).
위와 같이 증명이 동일하기 때문에 모듈로 4를 계산하여 를 포함하는 네 번째 조건도 에 대한 제한없이 변경되지 않는 점을 지적한다. 테일러 정리를 이용하여 1 (mod 2)이기 때문에 다음을 얻을 수 있다.Since the proof is the same as above By calculating modulo 4 A fourth condition containing Point out that it does not change without restrictions on using Taylor's theorem 1 (mod 2), we get:
== +2 2 -1++ (mod 4) = = +2 2 -1+ + (mod 4)
따라서, (M3)에 의해서, 2 (mod 4)는 + 1 (mod 4)와 같은 1 (mod 2)와 동등하다는 것을 쉽게 알 수 있다. 완전성을 위해 따름정리 4.1에서 따르는 결과를 간단한 축소 절차를 통해 설명한다.So, by (M3), 2 (mod 4) is + like 1 (mod 4) It is easy to see that it is equivalent to 1 (mod 2). For the sake of completeness, the results that follow Theorem 4.1 are described with a simple reduction procedure.
따름정리 4.4.Theorem 4.4.
한 다항식 는 오직 다음 관계식을 만족하는 시스템일 때에만 최소이다.a polynomial is a minimum only if the system satisfies the following relation.
1 (mod 2); 1 (mod 2);
1 (mod 2); 1 (mod 2);
- 2 (mod 4); and - 2 (mod 4); and
+2-1 (mod 4). +2 -1 (mod 4).
증명. 정리 4.3의 관계식은 위 진술문의 관계식과 동등하다. M. V. Larin, Transitive polynomial transformations of residue class rings, Discrete Math. and Applications(2002)의 명제 21에서 원 증명을 확인할 수 있다.proof. The relational expression in Theorem 4.3 is equivalent to the relational expression in the above statement. M. V. Larin, Transitive polynomial transformations of residue class rings, Discrete Math. The original proof can be confirmed in Proposition 21 of and Applications (2002).
=3 케이스에 대해 F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math.Soc. 41 (2), (2009)는 다항식 에 대한 완전한 최소성 기준을 그 계수의 측면에서 =1이라는 가정 아래 제시하고 있다. 그들의 주요 특성은 다음에 기초한다. = 3 cases F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math. Soc. 41 (2), (2009) is a polynomial The perfect minimum criterion for It is presented under the assumption that =1. Their main characteristics are based on:
명제 5.1. Proposition 5.1.
을 양의 차수의 다항식이라고 한다. 그러면 는 오직 다음 조건을 만족할 때 최소이다. is called a polynomial of positive degree. then is a minimum only if the following conditions are satisfied.
(M1) 은 이행적이다. 즉, 는 이행적인 모듈로 3이다.(M1) is transitive in other words, is the transitive modulo 3.
(M2) ()(0)1 (mod 3) 즉, ()() () (0)1 (mod 3);(M2) ( ) (0) 1 (mod 3) i.e. ( ) ( ) ( ) (0) 1 (mod 3);
(M3) 3 9; and(M3) 3 9 ; and
(M4) 3() (0)-2 0 (mod 9)(M4) 3( ) (0)-2 0 (mod 9)
일반 다항식은 상수 항의 더 높은 거듭 제곱을 포함하는 다항식의 최소 기준을 제공하기 위해 켤레 동형을 이용한다. 본 발명은 다른 관점에서 F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math.Soc. 41 (2), (2009)의 기준을 다시 검토하고, 상수 항에 대한 제한없이 계수 측면에서 다항식 의 완전한 최소 기준을 제공한다.General polynomials use conjugate isoforms to provide a minimum criterion for polynomials involving higher powers of constant terms. In another aspect, the present invention relates to F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2), (2009) review the criteria again, and polynomials in terms of coefficients without restrictions on constant terms provides a complete minimum standard for
이를 적절하게 설명하기 위해, 차수 인 다항식 의 계수와 관련된 다음 상수를 설정한다.To adequately explain this, the order polynomial Set the following constants related to the coefficient of .
= ; ; ; = ; ; ;
; ; and . (3) ; ; and . (3)
정리 5.2.Theorem 5.2.
차수 인 다항식, 은 오직 가 (i)-(viii) 조건 중의 하나를 만족할 때 최소이다.degree polynomial, is only is minimum when one of the conditions (i)-(viii) is satisfied.
다음 세팅에서 [] mod 3 = [·,·,···,·],In the next setting [ ] mod 3 = [·,·,····,·],
정리 5.2를 증명하기 위해 명제 5.1.을 이용한다.Proposition 5.1. is used to prove Theorem 5.2.
증명. 이 증명에 대한 핵심 아이디어는 주어진 상수 열 벡터 mod 3에 대해 변수 ···의 선형 시스템 모듈로 3의 방정식을 보는 것이 필요하다. 여기서 t는 행렬의 전치를 나타낸다.proof. The key idea for this proof is that given a constant column vector variable for mod 3 ... It is necessary to look at the equation of 3 as a modulo of a linear system. where t denotes the transpose of the matrix.
그 다음 규정된 벡터 [] mod 3을 갖는 다항식 의 최소성에 대해 필요 충분 조건을 찾는다. Then the prescribed vector [ ] polynomial with mod 3 Find the necessary and sufficient conditions for the minimum of .
(M1)과 (M2)가 모두 충족되는지 확인하기 위해 다음 Type Ⅰ, Type Ⅱ를 구성하는 가능한 8개의 행 벡터 [] mod 3의 집합을 모두 나열한다.To check that both (M1) and (M2) are satisfied, 8 possible row vectors [ ] List all sets of mod 3.
모듈로 3의 전이성은 Type Ⅰ, Type Ⅱ를 유도하고, 전자는 1 (mod3)이고, 후자는 2 (mod 3)이다. 각 유형에 대해 (M2)의 1 (mod 3)을 충족하는 [,,] mod 3에 대해 정확히 4개의 경우가 있다. 전체적으로 상수 벡터 [,,,,,] mod 3에 대한 8가지 선택사항이 있다. 따라서 Type 1, 2 순서로 나타나는 8개의 모든 상수 벡터 [,,,,,] mod 3에 대해 선형 시스템에 대한 모든 솔루션 [, ···, ] mod 3를 동시에 결정할 수 있다. 단순화를 위해, 선형 시스템 모듈로 3의 계수 행렬에는 6-11번째 열 벡터가 주기적으로 나타나는 주기적 부분 행렬이 있기 때문에 의 차수가 6라고 가정할 수 있다. The transitivity of modulo 3 induces Type I and Type II, and the former 1 (mod3), the latter being 2 (mod 3). (M2) for each type [ which satisfies 1 (mod 3) , , ] There are exactly 4 cases for mod 3. as a whole a constant vector [ , , , , , ] There are 8 options for mod 3. So, all 8 constant vectors appearing in the order Type 1, 2 [ , , , , , ] all solutions for linear systems for mod 3 [ , ..., ] mod 3 can be determined simultaneously. For simplicity, since the coefficient matrix of the linear system modulo 3 has periodic submatrices in which the 6th - 11th column vectors appear periodically, of degree 6 It can be assumed that
위 선형 시스템의 증강 계수 행렬의 감소된 행 사다리꼴 형태는 동시에 다음과 같이 주어진다.The reduced row trapezoidal form of the enhancement coefficient matrix of the above linear system is simultaneously given as
(4) (4)
축소된 형태 (4)는 점선 부분 행렬에 이 순서로 나타나는 , ···, 로 표시되는 7번째에서 12번째 열의 열 벡터와 관련하여 특정 패턴을 갖는 것을 관찰할 수 있다. 가 6 차수이기 때문에 벡터는 번 나타나고, 나머지 5열 벡터는 -1번 나타난다. 축약형은 로 끝이 난다. 선택한 선형 시스템의 파라메트릭 표현은 다음 관계식으로 제공된다 :The reduced form (4) appears in this order in the dashed submatrix , ..., It can be observed that it has a specific pattern with respect to the column vectors in the 7th to 12th columns, denoted by . go 6 because it is the order the vector appears once, and the remaining 5-column vectors are -1 appears. the abbreviation ends with The parametric representation of the selected linear system is given by the relation:
(5) (5)
여기서 [,···,]는 (4)에서 축소된 형태의 8개 상수 열 벡터 중 하나이다. 각 열의 항목에서 다항식 를 형성하고, 이러한 모든 다항식은 다음 순서로 나열된다.here [ ,···, ] is one of eight constant column vectors in the reduced form in (4). Polynomial in each column's entry , and all these polynomials are listed in the following order:
이러한 관계식 (5)를 로 대체하면 다음과 같이 산출된다.This relation (5) Substituted by , it yields:
=+, , (6) = + , , (6)
=, 1 , (7) = , One , (7)
다항식 는 모듈로 3의 항등이며 모듈로 9인 (2)를 (mod 9)로 계산하기 쉽다. 따라서 (7)에서 의 다음과 같은 중요한 속성을 쉽게 확인할 수 있으며 이후 계산에서 암시적으로 많이 사용된다.polynomial is the identity of modulo 3 and modulo 9 (2) It is easy to compute with (mod 9). So in (7) The following important properties of
· 와 는 모듈로 3의 항등이다.· Wow is the identity of modulo 3.
· 가 모듈로 3의 항등인 경우 (mod 9)이다.· If is an identity of modulo 3 (mod 9).
모듈로 9의 값은 각 =0,1,2에 대해 다음과 같이 얻어진다. The value of modulo 9 is each For =0,1,2, it is obtained as
, 이 때 이다., At this time to be.
다음을 계산하는 것은 유용하다.It is useful to calculate
(M3)의 경우 이제 계수 의 관점에서 모듈로 9를 계산한다. 테일러 정리는 (6)의 다항식에 대해 다음을 산출한다.For (M3), now the coefficient from the point of view of Calculate modulo 9. The Taylor theorem yields the following for the polynomial in (6).
(9) (9)
유사하게, 를 한번 더 계산하면 다음을 산출한다.Similarly, Calculating once more yields:
따라서, 이다.therefore, to be.
각 에 대해서 모듈로 9를 계산하면 다음과 같다.each about Calculating modulo 9 gives:
(11) (11)
(8)의 값을 사용하여 (11)의 표현식을 로 다시 쓸 수 있다.Using the value of (8), the expression in (11) is can be rewritten as
이제 () (0) (mod 3) 값을 다음과 같이 계산하여 (M4)로 바꾼다.now ( ) Calculate the (0) (mod 3) value as follows and change it to (M4).
왜냐하면 임의의 0 (mod 3)에 대해 (mod 3)이기 때문이다.because random about 0 (mod 3) Because it is (mod 3).
(13)으로부터 (mod 3)과 (mod 3)이기 때문에, 다음을 가진다.from (13) (mod 3) and (mod 3), so we have
위 (10)과 (14)의 관련 계수 사이에는 완벽한 일치가 있다. (14)의 공식을 이용하여 다음을 얻는다.(10) and (14) above There is a perfect agreement between the relevant coefficients. Using the formula in (14), we get:
이에 대한 직접적인 계산은 다음을 산출한다.A direct calculation of this yields:
이들의 항등을 (15)에 적용하면 다음을 산출한다.Applying these identities to (15) yields the following.
따라서, (M3)의 등가 조건은 정리 5.2.의 설명에 표시된 것처럼 각 경우에 대해 (12)에 의해 제공된다. (M4)와 관련하여, (12) 및 (16)에서 2 3() (0) (mod 9)를 계산하면 정리 5.2.의 설명에 표시된 것처럼 각 경우에 대해 동등한 조건이 생성된다. 정리 5.2.에서 =1에 주목하여 F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math.Soc. 41 (2), (2009)의 결과를 산출한다.Therefore, the equivalent condition of (M3) is given by (12) for each case as indicated in the explanation of theorem 5.2. With respect to (M4), 2 in (12) and (16) 3( ) Computing (0) (mod 9) produces equivalent conditions for each case, as indicated in the description of theorem 5.2. From theorem 5.2. Noting =1, F. Durand and F. Paccaut, Minimal polynomial dynamics on the set of 3-adic intergers, Bull.Lond. Math. Soc. 41 (2) and (2009) yield the results.
따름정리 5.3.Theorem 5.3.
차수 의 다항식 은 오직 가 (i)-(iv) 조건 중 하나를 이행할 때에만 최소이다([,,,,,] mod 3 = [·,·,···,·]로 설정한다).degree polynomial of is only is minimal only if one of the conditions (i)-(iv) is satisfied ([ , , , , , ] mod 3 = [·,·,····,·]).
정리 3.1.에 비추어 볼 때, 정리 5.2.에서 최대 8차 다항식의 완전한 최소 기준을 추론하는 것이 중요하다.In light of theorem 3.1., it is important to infer the perfect minimum criterion for a maximum eighth-order polynomial from theorem 5.2.
따름정리 5.4.Theorem 5.4.
다항식 = 는 오직 다음 조건(i)-(viii) 중 하나를 이행할 때 최소이다([,,,,,] mod 3 = [·,·,···,·]로 설정한다). 다음은 정리 5.2.으로부터 자명하다.polynomial = is minimal only if one of the following conditions (i)-(viii) is satisfied ([ , , , , , ] mod 3 = [·,·,····,·]). The following is self-evident from Theorem 5.2.
다음 부명제는 =3 케이스에 대한 정리 3.1.의 part(2)의 증명을 완료하는 것으로 입증된다.The next title is =3 It is proven to complete the proof of part(2) of 3.1.
부명제 5.5. Subtitle 5.5.
증명. 우리는 따름정리 5.4.를 사용하여 모든 가능한 비동등 최소 다항식 모듈로 의 수는 8가지 경우 각각에 대해 4·이라고 단언한다. 우리는 나머지는 비슷한 방식으로 수행할 수 있기 때문에 케이스 1에 대해서만 이 작업을 수행한다. = 가 최대 8차의 최소 다항식이라고 하면 (5)로부터 따름정리 5.5.의 Case (i)에서 의 파라메트릭 표현은 다음 관계식으로 주어진다.proof. We use the theorem 5.4. to get all possible non-equivalent least polynomial modulo The number of is 4· for each of the 8 cases assert that We only do this for case 1 because the rest can be done in a similar way. = If is a minimum polynomial of the 8th order, from (5), in Case (i) of 5.5. The parametric expression of is given by the following relation.
이 때, 그리고 이다. 이러한 관계식은 다음 형식의 에 대한 분해를 산출한다.At this time, and to be. These relations are of the form Calculate the decomposition for
이 때, At this time,
Case 1에 대한 따름정리 5.4.로부터 의 최소 조건들은 다음과 같이 주어진다.From the theorem 5.4. for Case 1 The minimum conditions for is given as
(17)을 통해 그들은 각각 다음과 같다.Through (17), they are respectively:
S를 (19)의 두 상태를 만족하는 다음과 같은 모든 계수 벡터의 집합이라고 한다.Let S be the set of all coefficient vectors satisfying the two states of (19).
z
z
S의 집합크기가 4·임을 보여주는 것은 간단하다. 실제로 보수집합으로 인해 S의 모든 벡터의 수는 다음과 같으며,The set size of S is 4· It is simple to show that In fact, due to the complement set, the number of all vectors in S is
이는 다음과 같다.This is as follows.
S에 동일한 다항식 모듈로 27을 유도하는 최소 다항식이 있을 수 있기 때문에 이제 S에 대한 등가 관계를 고려하여 S에서 동일하지 않은 최소 다항식의 하위 집합을 계산한다. S의 두 벡터 z와 z 에 대해, 두 다항식 z와 z‘가 연관된 두 개의 다항식이 동일한 최소 다항식을 유도하면 z ~ z 이라고 한다. 여기서 z() = 1 + + z()와 z‘ () = 1 + + z‘()는 (19)와 같다. 그러면 ~가 S에 대한 등가 관계인지 확인하여야 함이 명백하다. 벡터 z의 등가 클래스를 계산하기 위해 다음과 같은 합동에서 시작한다.Since S may have a least polynomial deriving 27 with the same polynomial modulus, we now compute the subset of unequal least polynomials in S taking into account the equivalence relation to S. Two vectors z and z of S For, the two polynomials z and If the two polynomials with which z' is related lead to the same minimum polynomial, then z to z It is said here z ( ) = 1 + + z ( )Wow z' ( ) = 1 + + z' ( ) is the same as (19). It is then clear that we must check whether t is an equivalence relation to S. To compute the equivalence class of the vector z, we start with the congruence
이로부터 즉시 다음을 얻는다.From this we immediately get:
z - z 를 설정하면, =0,···,8을 (20)의 합동 방정식으로 대체하여 s와 s 관점에서 모듈로 9의 선형 방정식 시스템을 얻는다. 링 에 대해 작업하기 때문에 결고 계수 행렬의 행 사다리꼴 형식은 다음 행렬로 제공된다. z - z If you set By substituting =0,...,8 into the congruence equation of (20), s and We get a system of linear equations modulo 9 in terms of s. ring Since we are working on , the row trapezoidal form of the coherent coefficient matrix is given by
이고, 이기 때문에 (21)의 사다리꼴 형식에서 다음과 같은 자명한 관계를 산출한다. ego, Therefore, in the trapezoidal form of (21), the following self-evident relationship is calculated.
이러한 관계와 함께 다음과 같은 일부 비자명한 관계도 제공된다.Along with these relationships, some non-obvious ones are also provided:
이러한 관계에서 S의 에 대한 최소 조건이 불변하다는 것을 알 수 있다.In this relationship, the It can be seen that the minimum condition for
에 대해 인 이고, 에 대해 인 라고 쓰는 것은, 위와 같은 관계에서 다음을 얻을 수 있다. About sign ego, About sign To write , the following can be obtained from the above relationship.
모든 가 에 걸쳐 있기 때문에 벡터에 대해 정확히 개의 선택 항목이 있으며 (22)의 관계를 충족한다. 따라서 벡터 의 수가 이므로, S의 계수 벡터 z의 등가 클래스는 ·/=·의 카디널리티를 갖는다. 따라서 S에서 동일하지 않은 최소 다항식의 수는 ·이다. 이로써 증명이 완성된다.every go because it spans exactly for vectors There are two choices, and the relation of (22) is satisfied. So vector number of So, the equivalent class of the coefficient vector z of S is · / = · has a cardinality of So the number of least unequal polynomials in S is · to be. This completes the proof.
본 발명은 임의의 소수 를 포함하여 최소 다항식에 대한 완전한 설명을 제공한다. 중국인의 나머지 정리를 사용하여, 이 작업은 고정 소수 의 모든 거듭 제곱에 대한 모듈로 전이(최소) 다항식을 분류하는 것으로 축소된다. 이전 내용에서 에 대하여 설명을 마쳤고, 이제 위에서 임의의 소수 에 대해 설명한다.The present invention relates to any prime It provides a complete description of the least polynomial, including Using the Chinese remainder theorem, this task is It is reduced to classifying the transition (minimum) polynomial modulo for all powers of . from the previous I have finished explaining about any prime number from above explain about
에서 다항식의 최소 기준은 다음과 같은 명제에 의하여 찾을 수 있으며, 이는 명제 2.8. 및 2.9.의 형식을 따른다. The minimum criterion of polynomial in , can be found by the following proposition, which is in Proposition 2.8. and 2.9.
명제 6.1.Proposition 6.1.
다항식 는 오직 다음 조건을 충족할 때에만 최소이다.polynomial is minimal only if the following conditions are met:
(i) 는 전이 모듈로 이다.(i) is the transition module to be.
(ii) (ii)
(iii) .(iii) .
정리 3.1.에서 로 축소하여, 링에서 정수 계수를 가지는 에서의 다항식에서 먼저 이하 차수의 다항식으로 제한하고, 이어서 최대 차수의 모든 최소 다항식에 대한 완전한 설명을 제시한다. 다음 주요 결과는 집합 의 최소 다항식의 구조를 보여준다.From theorem 3.1. reduced to, having an integer coefficient in the ring First in the polynomial in Constrain to polynomials of order less than or equal to Gives a complete explanation of all least polynomials of degree. The following main results are set shows the structure of the least polynomial of
정리 6.2. Theorem 6.2.
다항식 는 에서 오직 =일 때 최소이다.polynomial Is only in = is the minimum when
이 때, (i) = 는 최대 2p-1 차수의 전이 다항식 모듈로 이고, 그것의 계수 열 벡터 의 유일한 해는 다음과 같은 선형 시스템의 형태를 가진다.In this case, (i) = is a transition polynomial modulus of order 2p-1 up to , and its coefficient column vector The unique solution of is of the form of a linear system
x b (mod ), x b (mod ),
이 때, 계수 매트릭스 은 (28)에 의해 주어지고, (25)에서 b=[ ] 는 명제 6.1.의 조건 (i)과 (ii)를 충족하는 선택 중에 선택되어 주어진 상수 벡터이다.In this case, the coefficient matrix is given by (28), and in (25) b=[ ] which satisfies the conditions (i) and (ii) of proposition 6.1. A constant vector given during selection.
(ii) 계수 행 벡터, = 의 는 다음과 같은 선형 다항식 의 0이 되지 않는 모듈로 를 충족한다.(ii) coefficient row vector; = of is a linear polynomial non-zero modulo of meet the
이 때, 은 다음 공식에 의해 명백히 주어진다.At this time, is explicitly given by the formula
이 때, 에 대해 다음과 같다.At this time, about it as follows:
2. # 이다.2. # to be.
증명. = 에 대해, 최대 차수의 다항식의 상수 은 다음과 같다.proof. = about, up to Constants in polynomials of degree Is as follows.
(mod p)이기 때문에 다항식 는 다음과 같은 모듈로 로 축소된다. polynomial because (mod p) is the following module is reduced to
나아가, 각 에 대해 이다.Further, each About to be.
다음으로 (25)를 주어진 상수 열 벡터, b= 모듈로 에 대해 명제 6.1.의 조건 (i)과 (ii)를 만족하는 변수 x=인 선형 시스템으로 고려한다.Then we give (25) a constant column vector, b = modulo A variable that satisfies the conditions (i) and (ii) of Proposition 6.1. x = is considered a linear system.
이 때, 은 다음과 같은 형태로 명백하게 주어지는 계수 행렬이다.At this time, is given explicitly in the form It is a coefficient matrix.
행렬 모듈로 가 가역적임을 확인하는 것은 흥미로운 연습이다. 실제로 행 연산과 페르마의 소 정리를 사용하여 의 축소된 행-사다리꼴이 Vandermonde 부분 행렬을 도출함으로써 단위 행렬임을 보여줄 수 있다. 모듈로 의 가역성은 상수 열 벡터 b= 모듈로 가 절절하게 선택될 때마다 (27)의 선형 시스템에 대한 해가 고유함을 의미한다. 주어진 다항식 이 최소가 되도록 명제 6의 (i) 및 (ii) 조건을 만족하는 상수 열 벡터 b를 선택해야 한다. 따라서 계수 벡터 mod 를 선택하여 (26)에서 의 축소된 함수가 전이 다항식 모듈로 가 되도록 한다. 동시에 아래와 같이 조건 (ii)를 만족하는 벡터 mod 를 선택해야 한다.procession modulo It is an interesting exercise to verify that is reversible. In fact, using row operations and Fermat's prime theorem, We can show that the reduced row-trapezoid of is an identity matrix by deriving a Vandermonde submatrix. modulo The reversibility of is a constant column vector b = modulo It means that the solution to the linear system of (27) is unique whenever is selected properly. given polynomial A constant column vector b that satisfies the conditions (i) and (ii) of Proposition 6 must be selected so that this is minimized. So the coefficient vector mod from (26) by selecting The reduced function of is a transition polynomial modulo make it become At the same time, a vector that satisfies condition (ii) as follows: mod should choose
위와 같은 합동으로부터, 상수 벡터 mod 에 대한 정확히 개 선택이 존재한다. 함께 취하면, 조건 (i) 및 (ii)가 동시에 충족되도록 상수 벡터 b= 모듈로 에 대해 정확히 개의 선택이 존재한다.From the above congruence, constant vector mod for exactly Dog choices exist. Taken together, the constant vector b = so that conditions (i) and (ii) are simultaneously satisfied modulo exactly about There are dog choices.
mod 가 가지 선택 중에서 선택된 상수 벡터 b에 대한 (27) 선형 시스템에 대한 유일한 해라고 한다. 해 벡터 에 대해 아래와 같은 다항식을 연결한다. mod go It is said to be the only solution to a linear system (27) for a constant vector b chosen among branch choices. sun vector Connect the following polynomial to
그러면, (mod ) 그리고 (mod )이다.then, (mod ) and (mod )to be.
다음으로 을 이용하여 명제 6.1.의 조건 (iii)에 해당하는 더 간단한 조건을 찾는 것이 남아있다. 이를 위해, 먼저 과 다음과 같은 합동을 유도한다.to the next It remains to find a simpler condition corresponding to condition (iii) of proposition 6.1. For this, first and the following congruences are induced.
실제로, 테일러 정리는 다음을 산출한다.In practice, the Taylor theorem yields:
유사하게,Similarly,
이러한 식으로 계속하면 다음을 얻는다.Continuing in this way, we get:
1 (mod ) 이므로 (mod )는 전이 모듈로 이고, 는 조건 (ii)를 만족하므로 다음과 같은 합동을 제공한다. 따라서, 로 나누는 것은 (29)에서 원하는 합동을 생성한다. 1 (mod ) Because of (mod ) is the transition module ego, satisfies condition (ii) and gives the following congruence. therefore, Division by (29) produces the desired congruence in (29).
에 대한 더 간단한 공식을 찾기 위해 한 단계 더 나아가 모듈로 에 해당하는 공식을 도출한다. 이를 마치기 위해, 를 두 다항식의 합으로 분해하기 위해 이라고 쓴다. Going one step further to find a simpler formula for modulo Derive a formula corresponding to To finish this, to decompose into the sum of two polynomials write it
이 때, At this time,
이 작업은 의 모듈로 , 즉 모듈로 에서 조건을 찾는 것이므로 는 전이 다항식 모듈로 이다. 따라서, 는 최소이다. 이는 다항식 을 처음부터 알고 있기 때문에 가능하다. 따라서 의 분해를 사용하여 모듈로 을 계산할 수 있다. this work module of , In other words modulo Since we are looking for the condition in is the transition polynomial modulo to be. therefore, is the minimum This is a polynomial It is possible because we know it from the beginning. therefore using the decomposition of modulo can be calculated.
먼저, 테일러 정리는 다음을 준다.First, the Taylor theorem gives
한번더,Once more,
이 절차를 반복하면 모듈로 을 얻는다.By repeating this procedure, the module to get
와 =1에 대해 라고 설정하는 것은 다음과 동등하다. Wow for =1 is equivalent to the following.
(29)와 (30)으로부터 명제 6.1.의 조건 (iii)에서 에 대한 공식은 와 의 측면에서 다음과 같이 명백하게 표현된다.From (29) and (30), in condition (iii) of proposition 6.1. the formula for Wow It is clearly expressed in terms of
이후 (31)의 오른쪽은 로 표시된다. 다항식 에서 은 변수 에서 다항식이며 최대 차수 1인 에서 계수를 가진다. 마지막으로, 아래 보조정리 6.3.에 의해 조건 (iii)은 다음과 같은 선형 다항식 의 0이 아닌 모듈로 에 의해 결정된다.After that, the right side of (31) is is displayed as polynomial at is a variable is a polynomial in has a coefficient in Finally, by the following lemma 6.3., condition (iii) is the following linear polynomial as a non-zero modulo of is determined by
이로써, 정리 6.2.의 첫 번째 부분의 증명이 완성된다.This completes the proof of the first part of theorem 6.2.
보조정리 6.3.Theorem 6.3.
은 선형 다항식이다. is a linear polynomial.
증명. 먼저, 에서 의 계수를 수집한다. 의 계수는 에 의해 주어진다. 이 값이 모듈로 로 사라지지 않으면 원하는 결과가 명확하게 나타난다. 그러면, 은 변수 의 다항식이다. 우리는 여기서 이 나머지 변수에서 선형이라는 단언한다. 에서 변수 의 모든 계수가 0 모듈로 라고 가정한다. 그런 다음 계수행렬이 -1개의 구별되는 값 모듈로 와 관련된 방데르몽드 행렬인 변수 에서 동종 선형 시스템을 얻는다. 방데르몬드 행렬의 가역성은 해 벡터[]이 자명하다는 것을 의미한다. 이는 가 모두 0이 아닌 모듈로 라는 명제 2.6.과 모순된다.proof. first, at collect the coefficients of the coefficient of is given by This value is modulo If it does not disappear, the desired result appears clearly. then, is a variable is the polynomial of we are here Assert that these remaining variables are linear. variable in all coefficients of 0 modulo Assume that Then the coefficient matrix is -1 distinct value modulo A variable that is a Vandermonde matrix with respect to obtain a homogeneous linear system from The reversibility of the Vandermond matrix is the solution vector[ ] means self-explanatory. this is are all non-zero modulo It contradicts proposition 2.6.
이제 보조정리 6.3.을 이용해 정리 6.2의 파트 (2)를 증명한다. 가지 선택을 벗어나는 고정 상수 열 벡터 b에 대해 조건 을 만족하는 모든 계수 벡터 [] mod 에 해당하는 에서 동일하지 않은 최소 다항식 집합을 계산할 필요가 있다. 이를 위해 다음과 같은 집합을 고려한다.We now prove part (2) of theorem 6.2 using lemma 6.3. Condition for fixed constant column vector b outside branch selection Any coefficient vector that satisfies [ ] mod corresponding to It is necessary to compute the set of least unequal polynomials in For this, consider the following set.
그 다음, 보조정리 6.3.으로 인해 S는 여집합을 계산하여 집합의 크기가 이다. S의 z=[]과 z =[]에 대해 만약 이들이 다음과 같이 분해가능한 동일한 최소 다항식 를 유도하면 집합 S에 대해 관계 z~z 을 정의한다.Then, due to lemma 6.3., S calculates the complement, so that the size of the set is to be. z of S =[ ] and z =[ For ], if they are the same least polynomial decomposable as Deriving the relation z to z for the set S to define
이 때, ,z =와 ,z = 이다. ~가 S 위에서의 동치 관계인지 확인하는 것은 쉽다. 1,z 와 1,z 들이 (26)의 형식 로 축소되기 때문에 (32)의 합동은 다음과 동일하다.At this time, , z = Wow , z = to be. It is easy to check if ~ is an equivalence relation on S. 1, z Wow 1, z Types of 26 Since it is reduced to , the congruence of (32) is equal to
이 때, 는 를 정의하는 원소를 벡터 v의 항목으로 대체하여 얻은 계수를 나타낸다. 합동(33)은 z-z 이 행렬 T의 널 공간에 있다고 하는 것과 동일하다는 것을 쉽게 알 수 있다. 이 때, T는 (28)에서 M의 상위 부분 행렬이다. T는 랭크 를 갖고, T의 퇴화차수는 이기 때문에 S의 동치류 클래스 집합의 크기는 이다. 따라서 각 b에 대해 정확히 개의 비동등 최소 다항식이 있다는 결론을 내릴 수 있다. 따라서 이다. 정리 6.2.의 파트 (2)에 대한 증명이 완료되고 이에 의하여 정리 3.1.의 파트 (2)의 증명도 마친다.At this time, Is Represents the coefficients obtained by replacing the elements defining joint (33) is zz It is easy to see that this matrix is equivalent to being in the null space of T. In this case, T is higher than M in (28) is a partial matrix. T is rank , and the degeneracy order of T is Since , the size of the set of equivalence classes of S is to be. So for each b exactly It can be concluded that there is an inequivalent least polynomial of therefore to be. The proof of part (2) of theorem 6.2. is completed, thereby completing the proof of part (2) of theorem 3.1.
정리 6.2.에 기술된 방법은 V. Anashin, and A. Khrennikov, Applied algebraic dynamics, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2009.와 본 발명자의 S. Jeong, Ergodic functions over Zp; preprint.에서 제안된 방법과 비교할 수 있다. V. Anashin,의 작업에서는 보간 다항식 와 를 계산하고 이들이 전이 모듈로 인지 테스트를 해야했다. 또한 S. Jeong, Ergodic functions over Zp; preprint의 방법에서는 이항 계수 다항식으로 표현되는 다항식의 최소 조건을 사용했다. 본 발명에서 제안된 방법은 기존 방법에 비하여 더 자연스럽고 효율적이며 모든 차수의 다항식에 적용이 가능하다.The method described in Theorem 6.2. is described by V. Anashin, and A. Khrennikov, Applied algebraic dynamics, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2009. and S. Jeong, Ergodic functions over Zp of the present inventor; It can be compared with the method proposed in preprint. In the work of V. Anashin, interpolating polynomials Wow Calculate , and these are the transition modulus I had to do a cognitive test. See also S. Jeong, Ergodic functions over Zp; In the method of preprint, the minimum condition of a polynomial expressed as a binomial coefficient polynomial was used. The method proposed in the present invention is more natural and efficient than the existing method, and can be applied to polynomials of any order.
이제 MATLAB 계산으로 구성된 예제로 정리 6.2의 절차를 설명한다.We now illustrate the procedure in Theorem 6.2 with an example consisting of MATLAB calculations.
예제 1. 이 단일 사이클 순열 F 이라고 한다. (41) 또는 R. Lidl and H. Niederreiter, Finite Fields, Cambridge University Press, 1997.의 Equation 7.1의 라그랑쥬 보간공식에 의해 보간 다항식, 이 결정된다. 따라서 벡터 [] mod 7 = [1,6,5,3,6,3,0]이 발견된다. 잘 선택된 벡터 [] mod 7 = [1,6,5,3,6,3,0,1,1,1,1,1,6,6]에 대해 (27)의 선형 시스템에 대한 모듈로 7, [1,1,6,0,6,5,1,2,6,3,0,5,6,3]의 유일한 해를 찾고, 이로써 다음을 얻을 수 있다.Example 1. This single cycle permutation F It is said (41) or R. Lidl and H. Niederreiter, Finite Fields, Cambridge University Press, 1997. polynomial interpolation by the Lagrange interpolation formula of Equation 7.1, this is decided So the vector [ ] mod 7 = [1,6,5,3,6,3,0] is found. well-chosen vector [ ] modulo 7 for a linear system of (27) for mod 7 = [1,6,5,3,6,3,0,1,1,1,1,1,6,6], 1,6,0,6,5,1,2,6,3,0,5,6,3] find the unique solution, which gives
으로부터 과 을 얻는다. 따라서, 그 계수가 다음과 같이 (23)의 최소 조건을 충족하는 을 얻는다. from class to get Therefore, the coefficient satisfies the minimum condition of (23) as to get
따라서, 이 조건을 만족하는 벡터, 를 취하여 다음과 같은 최소 다항식을 얻는다.Therefore, a vector that satisfies this condition, Taking , we get the following minimal polynomial:
위 최소 다항식의 단일 사이클 궤도 모듈로 은 다음과 같이 주어진다.Single cycle orbital modulo of the above least polynomial is given as
다른 최소 다항식에 대해, 벡터 를 취하면 같은 최소 조건을 충족하고 다음과 같은 최소 다항식을 얻을 수 있다.For any other least polynomial, vector By taking , the same minimum condition is satisfied and the following minimum polynomial can be obtained.
위 최소 다항식의 단일 사이클 궤도 모듈로 은 다음과 같이 주어진다.Single cycle orbital modulo of the above least polynomial is given as
이제 =3의 경우와 같이 계수 측면에서 모든 차수의 다항식 의 최소 조건을 찾는 방법을 설명한다. 다른 최소 다항식에 대해, 벡터 를 취하면 같은 최소 조건을 충족하고 다음과 같은 최소 다항식을 얻을 수 있다.now A polynomial of any degree in terms of coefficients as in the case of =3 How to find the minimum condition of For any other least polynomial, vector By taking , the same minimum condition is satisfied and the following minimum polynomial can be obtained.
위 최소 다항식의 단일 사이클 궤도 모듈로 은 다음과 같이 주어진다.Single cycle orbital modulo of the above least polynomial is given as
이제 =3의 경우와 같이 계수 측면에서 모든 차수의 다항식 의 최소 조건을 찾는 방법을 설명한다. 차수 다항식 에 대해 상수 을 다음과 같이 설정한다.now A polynomial of any degree in terms of coefficients as in the case of =3 How to find the minimum condition of degree polynomial constant about is set as follows.
최대 -1 차수의 다항식의 경우와 같이 (34)의 방정식은 주어진 상수 열 벡터 b= 모듈로 에 대해 변수 x=[]의 아래와 같은 선형 시스템으로 간주된다.maximum As in the case of polynomials of degree -1, the equation in (34) is given by a constant column vector b = modulo for variable x =[ ] is considered a linear system as follows.
이 때, 은 형태의 계수 행렬이고, 은 (28)의 행렬 이고, 은 나머지 부분 행렬이다. 우리는 M 모듈로 가 특정 패턴을 가지고 있음을 관찰한다. 실제로 에 해당하는 부분 행렬의 첫 번째 열을 제외한 모든 열은 주기 길이가 (-1)인 에 해당하는 부분 행렬이 주기적 길이 -1로 주기적으로 나타난다. 왜냐하면 이면 에 대해 이기 때문이다. 이러한 이유로, 필요한 경우 계수가 0인 항을 더하여 의 차수가 이라고 가정할 수 있다. 상술한 바와 같이 명제 6. 1.의 조건 (i) 및 (ii)를 충족하는 상수 열 벡터 b에 대해 정확히 개의 선택 항목이 있다. 잘 선택된 b에 대해, 증가된 계수 행렬의 축소된 행 사다리꼴은 형태의 행렬로 주어진다. 이 때, 는 항등 행렬이고, 과 는 각각 과 b의 축소된 부분이다. , = 의 패턴으로 인해 첫 번째 열 벡터가 열 순서에서 정확히 번 나타나는 특정 패턴이 있다. 따라서 관련 선형 시스템에 대한 매개변수 표현은 다음 형식의 방정식으로 제공된다.At this time, silver form of is the coefficient matrix, of silver 28 is a matrix, is the rest is a partial matrix. We have the M module observe that it has a specific pattern. in reality All columns except the first column of the submatrix corresponding to ( -1) person The submatrix corresponding to is the periodic length -1 appears periodically. because back side About because it wins For this reason, if necessary, by adding a term with a coefficient of 0 the degree of It can be assumed that As described above, exactly for a constant column vector b satisfying conditions (i) and (ii) of Proposition 6. 1. There are two choices. For a well-chosen b , the reduced row trapezoid of the increased coefficient matrix is given as a matrix of the form At this time, Is is the identity matrix, class is each and a reduced portion of b . , = Due to the pattern of the first column vector is exactly in column order There are certain patterns that appear several times. Therefore, the parametric expression for the relevant linear system is given as an equation of the form
이 때, =E와 각 에 대해 인덱스 집합 는 { 0 (mod p)}로 정의된다. 는 에 대한 공집합이다. At this time, =E and angle set of indices on Is { 0 (mod p)}. Is is the empty set for
(36)에서 이러한 관계를 로 대체하면 다음과 같다.(36) this relationship Substituted with:
이 때, , At this time, ,
이다.to be.
이 때, 는 계수가 인 0이 아닌 항을 수집하여 얻은 다항식이다. 다항식 은 전이 모듈로 이므로 은 다음 속성을 만족한다. At this time, is the coefficient is a polynomial obtained by collecting nonzero terms. polynomial is a transition modulo Because of satisfies the following properties.
따라서, (31)에서와 같이 가 최소가 되려면 그 것의 최소 조건이 다음의 0이 아닌 모듈로 을 만족하여야 한다. 이 때, (24)와 같이 과 에 대해 이다. (36)의 를 (39)로 대체하면 에 대한 최소 조건이 제공되며, 이는 계수로 표현된다. (23)에서와 같이 (39)에서 의 최소 조건은 다음 선형 다항식의 0이 아닌 모듈로 에 의해 주어진다.Therefore, as in (31) For is to be a minimum, its minimum condition is the non-zero modulus of should be satisfied. In this case, as in (24) class About to be. (36) Substituting (39) for A minimum condition is given for , which is expressed as a coefficient. In (39) as in (23) The minimum condition for is the nonzero modulo of the linear polynomial is given by
이 때, 는 위와 같이 주어진다. 위와 같은 논의는 다음과 같은 결과로 요약된다.At this time, is given as above. The above discussion can be summarized as follows.
정리 6.5. Theorem 6.5.
다항식 는 오직 다음과 같을 때 최소이다.polynomial is minimal only if
이 때, At this time,
(i) 는 정리 6.2.의 (i)과 같이 결정되고,(i) is determined as in Theorem 6.2. (i),
(ii) (38)의 다항식 는 (40)의 선형 다항식의 0이 아닌 모듈로 를 충족한다.(ii) the polynomial in (38) is (40) of Nonzero modulo of a linear polynomial meet the
모든 최소 다항식 는 전체 길이의 순열 의 를 유도하므로 임의의 차수의 최소 다항식을 찾는 작업은 먼저 다음과 같은 라그랑주 보간 공식으로 얻은 축소 함수 모듈로 의 계수 벡터 (mod p)를 찾는 것이다.all least polynomials is a permutation of the full length of Therefore, the task of finding the least polynomial of any degree is first with the reduced function module obtained by the Lagrange interpolation formula as follows. coefficient vector of to find (mod p).
실제로, 이 공식을 사용하여 각 에 대해, 는 다음과 같이 주어진다.In fact, using this formula, each About, is given as
다음으로, 명제 6.1.의 조건 (ii)를 만족하고 이들 이 0이 아닌 요소를 무작위로 선택한 후 곱 의 역 모듈로 를 찾음으로써 쉽게 수행될 수 있는 벡터 (mop p)를 선택한다. 명제 6.1의 조건 (i) 및 (ii)를 만족하는 모든 의 상수 벡터 b=의 목록이 완전히 발견되면 계수와 관련하여 다항식 에 대한 가능한 모든 최소 조건의 전체 목록을 찾을 수 있다. 주어진 다항식 가 최소인지 결정하는 것이 중요하다. 이를 위해 로 축소를 통해 에 대한 의 나머지를 찾기 위한 정리 3.1.을 사용한다.Next, condition (ii) of proposition 6.1. is satisfied and these Randomly select these nonzero elements and multiply inverse modulo of A vector that can be easily done by finding Choose (mop p). All conditions (i) and (ii) of Proposition 6.1 are satisfied constant vector of b = If the list of is completely found, the polynomial with respect to the coefficients You can find a full list of all possible minimum conditions for . given polynomial It is important to determine if is a minimum. for teeth through reduction to for Use theorem 3.1. to find the remainder of .
R. Lidl and H. Niederreiter, Finite Fields, Cambridge University Press, 1997.의 정리 7.4. 또는 본 명세서의 정리 6.9의 기준을 사용하여 가 전단사 모듈로 인지 아닌지를 결정하고, 그것이 전체주기인지 여부를 결정한다. 만약 그렇다면 에서 그것의 파생물을 찾아 가 명제 6.1.의 조건 (ii)를 충족하는지 여부를 확인해야 한다. 가 이 과정을 통과하면 얻은 벡터 b에 대해 (27)의 선형 시스템을 풀면 을 찾을 수 있다. 을 사용하여 을 찾은 후 가 (23)의 최소 조건을 충족하는지 확인할 수 있다. 그렇다면 (따라서 )는 최소로 선언된다. 이제 유한 소수 체 위의 순열 다항식 에 대한 헤르마이트 기준을 진술한다.Summary of R. Lidl and H. Niederreiter, Finite Fields, Cambridge University Press, 1997. 7.4. or using the criteria in Theorem 6.9 herein to the bijective module Determine whether or not it is, and whether it is a full cycle. if so find its derivatives in It should be checked whether the condition (ii) of proposition 6.1. is satisfied. If is passed through this process, then we solve the linear system of (27) for the obtained vector b can be found using after finding It can be checked whether the minimum condition of (23) is satisfied. then (therefore ) is declared as a minimum. Now the permutation polynomial over the finite prime State the Hermite criterion for
정리 6.9.(Hermite`s Criterion) Theorem 6.9. (Hermite's Criterion)
를 소수 필드라고 하면 는 다음 두 조건을 유지할 때 위의 순열 다항식이라고 한다. If is a decimal field holds the following two conditions The above is called a permutation polynomial.
(i) 는 정확히 에서 하나의 루트를 가진다. 그리고,(i) is exactly has one route in and,
(ii) 인 각 정수에 대해, 의 축소는 이하의 차수를 가진다.(ii) For each integer that is, the reduction of It has the following order.
따름정리 6.10.Theorem 6.10.
만약, 이 -1의 제수이면 에서 차수 에 대한 최소 다항식이 존재하지 않는다.what if, this If it is a divisor of -1 order from There is no least polynomial for
증명. 그러한 최소 다항식이 존재한다고 가정한다. 그러면 그것은 풀 사이클의 순열 다항식 모듈로 이다. 그러나 이러한 순열 다항식은 R. Lidl and H. Niederreiter, Finite Fields, Cambridge University Press, 1997.의 따름 정리 7. 5.의 헤르마이트의 기준에서 존재하지 않는다. 따라서 증명이 되었다.proof. Assume that such a minimal polynomial exists. Then it is a permutation polynomial modulus of full cycle to be. However, such a permutation polynomial does not exist in Hermite's criterion of theorem 7.5. according to R. Lidl and H. Niederreiter, Finite Fields, Cambridge University Press, 1997. So it was proven.
예제 2. 29차 다항식 = 의 최소 조건을 찾기 위해 위에서 기술한 조건 b= modulo 5 = [2 1 0 0 0 1 4 4 1 1]에 대해 위에서 설명한 방법을 사용한다. (35)의 확대 계수 행렬의 축소된 행 사다리꼴 형식에서 매개변수 표현은 다음 방정식으로 제공된다. Example 2. 29th degree polynomial = The condition described above to find the minimum condition of b = Use the method described above for modulo 5 = [2 1 0 0 1 4 4 1 1]. The parameter expression in the reduced row trapezoidal form of the enlargement coefficient matrix of (35) is given by the following equation.
따라서, 이 때, therefore, At this time,
이고, ego,
이며, 이 때, 에 대해, and at this time, About,
이고, 에 대해, 이다. 의 궤도 mod 5는 (0 2 4 1 3)에 의해 주어지고, ego, About, to be. The orbit of mod 5 is given by (0 2 4 1 3),
이기 때문에 을 얻는다. 따라서, (39)에 의해 다음을 얻는다. because it is to get So, by (39) we get
와 에 대하여 모듈로 은 다음과 같이 계산하기 쉽다. Wow about modulo is easy to calculate as
(42)의 를 위의 방정식으로 대체하면 다음과 같은 의 최소 조건이 생성된다.42's Substituting for the above equation, we get A minimum condition of
(42)와 (43)의 조건을 만족하는 (42) and (43) are satisfied
을 취하면, 29차수의 최소 다항식 는 다음과 같이 주어지고, Taking , the least polynomial of degree 29 is given as
그것의 단일 사이클 궤도 모듈로 은 다음과 같이 결정된다.With its single cycle orbital module is determined as follows.
주어진 다항식 가 최소인지 결정하는 것이 중요하다. 이를 위해 로 축소를 통해 에 대한 의 나머지를 찾기 위한 정리 3.1.을 사용함에 따라 (44)의 다항식이 최소임을 다시 보여주도록 한다. 위 다항식을 으로 나누면 그것의 나머지는 다음과 같은 축소된 모듈로 25가 된다.given polynomial It is important to determine if is a minimum. for teeth through reduction to for Let us show again that the polynomial in (44) is a minimum by using theorem 3.1. to find the remainder of . the above polynomial Dividing by , its remainder is the reduced modulo 25 as
정리 6.2.으로부터 는 다음과 같은 합으로 분해되고 , 이 때,From theorem 6.2. is decomposed into the sum of , At this time,
이고, ego,
이다. to be.
이 분해를 사용하여 (23)에 의해 의 최소 조건은 의 0이 되지 않는 모듈로 5에 의해 결정된다. 의 계수가 이 조건을 충족하기 때문에 는 최소이므로 (44)의 다항식도 마찬가지이다.by (23) using this decomposition The minimum condition for is determined by modulo 5, which is not zero. Since the coefficient of satisfies this condition is a minimum, so the polynomial in (44) is the same.
전술한 본 발명의 설명은 예시를 위한 것이며, 본 발명이 속하는 기술분야의 통상의 지식을 가진 자는 본 발명의 기술적 사상이나 필수적인 특징을 변경하지 않고서 다른 구체적인 형태로 쉽게 변형이 가능하다는 것을 이해할 수 있을 것이다. 그러므로 이상에서 기술한 실시 예들은 모든 면에서 예시적인 것이며 한정적이 아닌 것으로 이해해야만 한다. 예를 들어, 단일형으로 설명되어 있는 각 구성 요소는 분산되어 실시될 수도 있으며, 마찬가지로 분산된 것으로 설명되어 있는 구성 요소들도 결합된 형태로 실시될 수 있다.The description of the present invention described above is for illustration, and those of ordinary skill in the art to which the present invention pertains can understand that it can be easily modified into other specific forms without changing the technical spirit or essential features of the present invention. will be. Therefore, it should be understood that the embodiments described above are illustrative in all respects and not restrictive. For example, each component described as a single type may be implemented in a dispersed form, and likewise components described as distributed may also be implemented in a combined form.
본 발명의 범위는 상기 상세한 설명보다는 후술하는 특허청구범위에 의하여 나타내어지며, 특허청구범위의 의미 및 범위 그리고 그 균등 개념으로부터 도출되는 모든 변경 또는 변형된 형태가 본 발명의 범위에 포함되는 것으로 해석되어야 한다.The scope of the present invention is indicated by the following claims rather than the above detailed description, and all changes or modifications derived from the meaning and scope of the claims and their equivalent concepts should be interpreted as being included in the scope of the present invention. do.
