KR20110067082A - 3차원 집적회로 도선에서의 전류 흐름에 대한 광대역 모델링 방법 및 장치 - Google Patents

3차원 집적회로 도선에서의 전류 흐름에 대한 광대역 모델링 방법 및 장치 Download PDF

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KR20110067082A
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Abstract

직사각형 단면을 갖는 손실있는 2차원(2D) 연결선에서의 추출되는 새로운 표면 임피던스 모델에 관한 발명. 이 표면 임피던스 모델은, 표면효과를 기술하는 지수인자와 도전체 외부 표면에서의 미지의 표면 전류밀도의 곱으로 이루어지는 미지의 체적 전류밀도의 근사화를 통해, 체적 전계 적분 방정식(EFIE)으로부터 직접적으로 유도된다. 도전체의 상면과 하면 표면상에 존재하는 경계 요소들과 좌우측면상에 존재하는 경계 요소들 사이의 결합에 대해서 적절하게 처리함으로써, 본 표면 임피던스 모델은 도전체의 두께-폭 비율이 크든 작든 그리고 직류에서부터 수 GHz 주파수에 이르기까지 그 정확성을 유지한다. 본 발명은 또한, 전체 외부 표면의 임피던스 모델을 3차원 전계 적분방정식으로 일반화하는 것도 개시하고 있다.

Description

3차원 집적회로 도선에서의 전류 흐름에 대한 광대역 모델링 방법 및 장치 {METHOD AND APPARATUS FOR BROADBAND MODELING OF CURRENT FLOW IN THREE-DIMENSIONAL WIRES OF INTEGRATED CIRCUITS}
본 발명은 전류가 흐르는 도체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법에 관한 것이다. 아울러 본 발명은 적절한 적률 이산화(moment discretization) 기법을 활용한 표면 임피던스 모델 및 그 구현에 관한 것이다. 표면 임피던스 모델은, 표면효과(skin-effect)를 기술하는 지수인자(exponential factor)와 도전체 외부 표면에서의 미지의 표면 전류밀도의 곱으로 이루어지는 미지의 체적 전류밀도의 근사화를 통해, 체적(volumetric) 전계 적분 방정식(electric field integral equation: 이하 "EFIE"라 함)으로부터 직접적으로 유도된다.
본 발명은 35U.S.C.119(e) 법령에 의거하여, 2008. 4. 1.에 출원한 미국 임시출원 제61/041,262호에 대한 우선권을 주장한다.
적절한 표면 임피던스 모델을 경계요소 이산화(boundary-element discretization) 기법(가령, MoM)에 접목함으로써, 연결선의 정확하고 효율적인 전기자기적 모델링을 수행할 수 있다. 이 모델이 유용하려면, 직류에서부터 수십 GHz에 이르기까지의 넓은 주파수 대역에서 이 모델이 정확해서, 도체 단면의 두께-폭 비율이 작든 크든 이 도체에 적용가능하며, 계산이 효율적이며, 또한 기존의 MoM 해법으로의 개장(改裝)이 용이해야 한다.
다양한 표면 임피던스 모델들에 대해서 과거에 제안된 것들은 다음과 같은 문헌에 기재되어 있다.
1. J.D. Morsey 외, "고속 적분 방정식 방법을 이용한 연결선의 전파 분석을 위한 유한 두께 도체 모델(Finite-Thickness Conductor Models for Full-Wave Analysis of Interconnects With a Fast Integral Equation Method)", 고등 패키징에 관한 IEEE 간행물(Trans. on Advanced Packaging), vol. 27, no. l, pp. 24-33, 2004년 2월
2. J. Rautio 외, "전자기 분석을 위한 마이크로스트립 도체 손실 모델 (Microstrip Conductor Loss Models for Electromagnetic Analysis)", 마이크로파 이론 기술에 관한 IEEE 간행물(Trans. on Microwave Theory Tech.), vol. 51 , no. 3, pp. 915-921, 2003년 3월
3. F. Ling 외, "3차원 RF 및 혼합신호 온칩 구조의 레이아웃 고속 검증을 위한 대규모 광역 기생신호 추출(Large-Scale Broad-Band Parasitic Extraction for Fast Layout Verification of 3-D RF and Mixed-Signal On-Chip Structures)", 마이크로파 이론 기술에 관한 IEEE 간행물(Trans. Microwave Theory Tech.), vol.53, no.1 , pp. 264-273, 2005년 1월
4. A.W. Glisson, "임피던스 경계 조건을 갖는 임의 형태의 표면에 의한 전자기 산란(Electromagnetic scattering by arbitrarily shaped surfaces with impedance boundary conditions)", 라디오사이언스(Radio Science), vol. 27, no. 6, pp. 935- 943, 1992년 11, 12월
앞에서 서술한 요건들은 상기 문헌에 의해서도 지금까지 충족되지 않고 있다. 따라서 보다 효율적이고 정확한 모델을 위한 탐구활동이 진행되고 있다.
본 발명에 관련된 다른 선행기술로는 다음과 같은 것들이 있다.
5. C.R. Paul, "다중도체 전송선 분석(Analysis of Multiconductor Transmission Lines), Ch. 3, John Wiley & Sons, Inc., Toronto, CA, 1994
6. D. DeZutter 외, "차등 표면 어드미턴스 연산자에 기초한 표면효과 모델링(Skin Effect Modeling Based on a Differential Surface Admittance Operator)", 마이크로파 이론 기술에 관한 IEEE 간행물(Trans. Microwave Theory Tech.), vol.53, no.8, pp. 2526-2538, 2005년 8월
7. S.M. Rao, D.R. Wilton, 및 A.W. Glisson, "임의 형태 표면에 의한 전자기 산란(Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shapes)", 안테나 전파에 관한 IEEE 간행물(Trans. Antennas Propag.), Vol. 30, pp. 409-418, 1982년 5월
8. K.A. Michalski 및 D. Zheng, "층구조 매체의 임의 형태 표면에 의한 전자기 산란(Electromagnetic scattering and radiation by surfaces of arbitrary shape in layered media), Part I: Theory", 안테나 전파에 관한 IEEE 간행물 (Trans. Antennas Propag.), Vol. 38, pp. 335-344, 1990년 3월
이하의 명세서에서 인용하는 모든 문헌들은 참고자료로서 여기에 포함된다.
본 발명에서, 표면 임피던스 모델은, 표면효과를 기술하는 지수 인자와, 도전체 외부 표면상의 표면 전류밀도의 곱으로서 미지의 단면 체적 전류를 근사함에 의해, 체적 전계 적분 방정식(EFIE)을 표면 EFIE로 단순화함으로써 도출된다.
따라서, 도출된 표면 EFIE는 도전체 표면의 전류 변화상의 유연성(이는 근접 효과의 적합한 포착에 필수적임) 및 도전체 내부 전류의 적절한 지수적 감소(이는 정확한 표면효과의 기술을 위해 중요함)의 두 가지를 가능케 한다. 수치적으로 추출된 단위길이당(per-unit-length, p.u.l.) 전기저항 및 인덕턴스 매트릭스가, 이 표면 임피던스 모델이, 넓은 주파수 대역에서 그리고 도전체 단면의 두께-폭 비율 (aspect ratio)이 크든 작든, 정확한 것임을 보여준다.
본 발명의 제1 실시형태에 따르면, 도전체에 흐르는 전류의 미지의 체적 전류밀도에 관하여 체적 전계 적분 방정식을 공식화하는 단계(formulating)와,
도전체 외부 표면의 전류 밀도와, 표면 효과에 따른 도전체 단면에서의 전류 분포를 기술하는 지수 인자의 곱으로서 체적 전계 적분 방정식에서의 미지의 체적 전류밀도를 나타내는 단계(representing)와,
도전체의 단면에 걸쳐서 그린 함수 근사화를 적용하는 단계(adopting) 및,
그린 함수 근사화를 이용하여, 미지의 체적 전류밀도를 포함하는 체적 전계 적분 방정식을 표면 전계 적분 방정식으로 단순화하는 단계(reducing)를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법이 제공된다.
본 방법은, 도전체의 단면에 걸쳐서 그린 함수를 취함으로써 그린 함수 근사화를 적용하는 단계를 포함하는 것이 바람직하다.
본 방법은 직사각형 단면 또는 다각형의 비직사각형 단면을 갖는 도전체에 적합하다.
체적 전계 적분 방정식은, 여자(excitation) 벡터
Figure pct00001
에 의한, 도전체 단면에서의 미지의 체적 전류밀도
Figure pct00002
에 관한 체적 전계 적분 방정식을, 도전체
Figure pct00003
내부에서 옴의 법칙
Figure pct00004
을 작용시킴으로써, 아래 수식
Figure pct00005
와 같이 공식화하는 것이 바람직하다.
직사각형 단면을 갖고 z 방향으로 뻗어있는 도전체에 대해서, 본 방법에서는, 무한하게 뻗어있는 도전 평면 상에 작용하는 표면파에 관한 표면효과에 따라, 도전체에서 발생하는 미지의 체적 전류밀도
Figure pct00006
을 아래 수식
Figure pct00007
(위 식에서
Figure pct00008
는 도전체의 상, 하, 좌, 우측면으로 투영되는 반지름벡터
Figure pct00009
에서의 미지의 표면 전류밀도를 의미함)과 같이 근사화하는 것이 바람직하다.
도전체의 외부 표면의 전류 밀도에 관하여 체적 전계 적분 방정식을 표면 전계 적분 방정식으로 단순화하는 단계는, 아래 수식
Figure pct00010
와 같이, 관찰점
Figure pct00011
를 도전체 외부 표면에 한정시킴으써 이루어지는 것이 바람직하다.
본 방법은 아래 식
Figure pct00012
과 같이, 도전체 두께 T와 폭 W의 상, 하, 좌우측면에 걸쳐서 미지의 표면 전류밀도를 결합하고 이에 대한 적분을 평가하는 단계를 추가로 포함하는 것이 바람직하다.
체적 전계 적분 방정식은 하나보다 많은 축으로의 전류 흐름에 대해서, 또는 3차원적인 전류 흐름에 대해서, 도전체에 흐르는 전류의 미지의 체적 전류밀도에 관하여 공식화될 수 있다.
미지의 체적 전류밀도는, 도전체의 각 표면에서의 각각의 미지의 표면 전류밀도가 다차원 벡터로서 표시되는 도전체의 각 표면에 대해서, 미지의 표면 전류밀도에 관련지어질 수 있다.
본 방법은, 체적 전계 적분 방정식을, 도전체 표면상의 임의의 점에서의 전계의 탄젠트 성분이 도전체 단면에서의 외부 표면의 모든 세그먼트 상의 대응점에서의 표면 전류밀도 및/또는 자계의 탄젠트 성분에 관련지어 있는 표면 전계 적분 방정식으로 단순화하는 단계를 추가로 포함할 수 있다.
본 발명의 제2 실시형태에 따르면, 표면효과에 따른 전류의 단면상 분포를 기술하는 지수 인자, 및 도전체의 외부 표면상의 전류밀도의 곱으로서 체적 전계 적분 방정식의 미지의 단면 체적 전류가 단순화되는, 체적 전계 적분 방정식의 단순화에 의해 얻어진 표면 전계 적분 방정식을 포함하는, 전류가 흐르는 도전체에서의 표면 임피던스 모델이 제공된다.
본 발명의 또 다른 실시형태에 따르면, 표면효과에 따른 전류의 단면상 분포를 기술하는 지수 인자, 및 도전체의 외부 표면상의 전류밀도의 곱으로서 체적 전계 적분 방정식의 미지의 단면 체적 전류가 단순화되는, 체적 전계 적분 방정식의 단순화에 의해 얻어진 표면 임피던스 항과 적분 항을 갖는 표면 전계 적분 방정식을 포함하는 표면 임피던스 모델을 구현하는 방법이 제공된다. 이 방법은,
도전체 외부 표면의 표면 전계 적분 방정식을, 표면 전계 적분 방정식의 표면 임피던스 항에 해당하는 성긴 매트릭스와 표면 전계 적분 방정식의 적분 항에 해당하는 조밀한 매트릭스의 합으로 이루어지는 이산 형식으로 이산화하는 단계, 및
이산 형식의 각 이산 요소들에 대하여, 표면 임피던스 모델을 통해 관련되어 있는 다른 이산 요소들을 식별해내는 단계를 포함한다.
본 방법은 적률 이산화 방법과 더불어 표면 임피던스 모델을 사용하는 단계를 포함하는 것이 바람직하다.
조밀한 매트릭스는 아래 식과 같이 표시될 수 있다.
Figure pct00013
.
명세서에 기재된 본 방법에 따르면, 직사각형 단면을 갖는 2차원 연결선의 두께-폭 비율이 크든 작든 RL 추출에 적합한 단순하고 효율적인 표면 임피던스 모델이 개시된다. 이 표면 임피던스 모델은, 도전체의 단면 외부 표면에서 적절하게 포착해낸(capture) 표면효과 전류의 감쇠에 의해서 직류에서 수 GHz 주파수에까지 그 정확성을 유지할 수 있다. 또한 본 발명은, 이 표면 임피던스 모델이 EFIE의 3차원 라오-윌튼-글리슨(Rao-Wilton-Glisson) MoM 이산화로 확장되는 것을 개시한다.
본 발명에 의해 도출된 표면 EFIE는 도전체 표면의 전류 변화상의 유연성(이는 근접 효과의 적합한 포착에 필수적임) 및 도전체 내부 전류의 적절한 지수적 감소(이는 정확한 표면효과의 기술을 위해 중요함)의 두 가지를 가능케 한다. 또한, 본 발명의 표면 임피던스 모델은, 넓은 주파수 대역에서 그리고 도전체 단면의 두께-폭 비율(aspect ratio)이 크든 작든, 정확하다.
본 발명의 실시예예 대해서 아래와 같은 첨부 도면과 함께 상세하게 설명하도록 한다.
도 1의 (a)는 표면효과에 따라서 근사화된 도전체에서의 체적 전류밀도 분포에 관계된 연결선의 기하학적 개념도를 나타낸다.
도 1의 (b)는 N=14의 부분별(piece-wise) 함수로 이산화된, 도 1(a)의 연결선을 나타내는 개념도이다.
도 1의 (c)는 본 발명에 따른 전체 표면 Zs 모델을 적용함에 의한 추가적인 매트릭스 채움의 개념도이다.
도 2는 σ=57.2 MS/m인 사각형 절연 신호선에서의 주파수에 대해 계산되는 인덕턴스 및 전기저항을 나타내는 그래프이다.
도 3은 σ=56MS/m인 도전체의 차분선쌍(differential line pair)에서의 주파수에 대해 계산되는 인덕턴스 및 전기저항을 나타내는 그래프이다.
도 4는 이산화된 표면 임피던스 연산자에 있어서 상면 상의 관찰 삼각형과의 경사 함수 작용에 대한 영(0)이 아닌 경사 함수를 산출하는, 좌측면, 상면, 하면 상의 쏘스 삼각형의 예를 나타내는 개념도이다.
도 5는 이산화된 표면 임피던스 연산자에 있어서 경사 함수 작용에 대한 영 (0)이 아닌 경사 함수를 산출하는, 우측면 상의 m번째 쏘스 삼각형과 상면 상의 m번째 관찰 삼각형의 예를 나타내는 개념도이다.
상기 도면들에서, 서로 다른 도면 상에 있는 동일한 참조번호는 동일한 구성요소를 나타낸다.
본 발명에 따른 표면 임피던스 모델의 공식화(formulation)를 위해서 우선, 복소수 상대 유전율
Figure pct00014
(여기서
Figure pct00015
는 각주파수이고,
Figure pct00016
임)를 갖는 순수 비자기성 매체에 형성된, 단면적
Figure pct00017
도전율 σ인 통상의 2차원 연결선 구조를 고려한다. 이 연결선은 도전성이 매우 우수한 도전재료(즉,
Figure pct00018
)로 만들어진다. 전류가 z축 방향으로 흐른다고 가정할 때, 전계
Figure pct00019
를 아래와 같은 벡터 전위를 통해서 체적 전류밀도
Figure pct00020
에 연관시킬 수 있다.
Figure pct00021
(1)
여기서,
Figure pct00022
는 스칼라 전위를,
Figure pct00023
는 도 1(a)에 나타낸 것과 같은 좌표계
Figure pct00024
및
Figure pct00025
로 표현되는 2차원 위치 벡터를, 그리고
Figure pct00026
는 아래 식을 의미한다.
Figure pct00027
(2)
수식 (2)에서, G는 2차원 자유공간의 준정적(freequasi-static) 조건에서의 그린함수(Green function)로서 아래 식과 같다.
Figure pct00028
(3)
여기서 그린함수의 대수적인 특성은 주된 통전 전류 를 고려하고 무시가능한 변위 전류
Figure pct00030
를 제외시킴으로써 얻어진다. 단위 길이당의 전압 인가 (excitation)에 의해 발생하는, 도전체 단면에서의 미지의 전류
Figure pct00031
에 관한 체적 EFIE(전계 적분 방정식)는, 도전체
Figure pct00032
내부에서 작용하는 옴의 법칙
Figure pct00033
으로부터 아래 식과 같이 도출된다.
Figure pct00034
(4)
MoM과 같은 경계요소 방법은 표면 EFIE로의 단순화(정리)를 통하여 체적 EFIE (4)에서의 수치 해법의 계산상 복잡도의 감소를 탐지하는데, 여기서 미지의 함수는 도전체 표면(
Figure pct00035
) 상의 전류 분포
Figure pct00036
이다. 상기 단순화를 실행하기 위하여, 도 1(a)에 나타낸 로컬 좌표계와 함께, 직사각형 단면의 도선을 고려해보기로 하자. 찾아진, 도전체에 걸쳐서의 체적 전류 밀도
Figure pct00037
분포는 아래와 같이 표면효과에 따라서 근사화할 수 있다.
Figure pct00038
(5)
여기서
Figure pct00039
는 도전체의 상, 하, 좌, 우측면(도 1(a) 참조)으로 투영되는 반지름벡터
Figure pct00040
에서의 미지의 표면 전류밀도를 의미한다. 공식 (5)에서,
Figure pct00041
는 도전재료의 복소수 파수 (wavenumber)인데, X와 Y는 각각 단면의 두께와 폭을 나타낸다. 수식 (5)를 체적 EFIE (4)에 대입하고, 도전체의 외부 표면에 수직인 좌표에 따른 그린 함수의 변화를 무시하면, 아래 수식이 얻어진다.
Figure pct00042
(6)
도전체 표면에 수직인 좌표에 따른 그린 함수의 변화를 무시하는 것은 선택 사항이다. 이 대신에, 이 좌표에 따라 수치적으로 적분을 함으로써, 주어진 정밀도 에 그린 함수 변화의 효과를 포함시키는 것을 선택할 수도 있다.
수식 (6)에서의 근사화와 함께, 수식 (4)에서의 도전체 외부 표면
Figure pct00043
에 관찰점
Figure pct00044
를 한정함으로써, 미지의 표면 전류밀도
Figure pct00045
에 관하여 체적 EFIE (4)를 아래 식과 같이 표면 EFIE로 단순화할 수 있다.
Figure pct00046
(7)
여기서, 반지름벡터
Figure pct00047
와
Figure pct00048
는 도전체 표면
Figure pct00049
(여기서
Figure pct00050
는 도전체의 상면 하면 좌측면 우측면(
Figure pct00051
)의 합집합이다)에 존재한다.
EFlE (7)에서,
Figure pct00052
는, 옴의 법칙과 수식 (5)에서의 근사화를 이용하여, 도전체 표면에서의 z방향 전계
Figure pct00053
를 도전체의 상·하·좌·우측면(도 1(a) 참조)의 상응하는 지점에서의 표면 전류밀도
Figure pct00054
에 연계시키는 표면 임피던스 연산자를 의미한다.
Figure pct00055
(8)
직류에서의 상기 연산자의 행동에 대해서 수식 (8)을 영(0)으로 접근하는 리미트를 취하여 검토한다. 매우 작은 지수 인수(즉,
Figure pct00056
)에 대하여 테일러 근사화를 이용하면 아래 식과 같이 된다.
Figure pct00057
(9)
이 식은 도전체 표면의 네 가지 표면 전류밀도에 의해서 알 수 있는 직류 저항을 나타낸다. 높은 주파수에서, 연산자의 지수항은 무시가능해지기 때문에, 연산자의 비대각선(off-diagonal) 요소는 영(0)으로 변하고, 반면, 대각선 항(요소)은
Figure pct00058
(이는 도전율
Figure pct00059
인 반공간(half space)의 국부적 표면 임피던스에 해당함)로 되는 경향이 생긴다. 수식 (8)을 보면 또한,
Figure pct00060
이 관찰된다. 이는 수식 (7)이 완벽한 도전성을 갖는 연결선에 대한 EFIE가 되는 것임을 암시한다.
적률 방법의 구현
본 발명의 표면 임피던스 모델은 적절한 MoM 이산화 기법과 연계하여 사용하는 것으로 의도되었다. 이하, 도 1(b)에 나타낸 것과 같이 도전체 표면에 분포된 N=14의 부분별로(piece-wise) 함수를 갖는 MoM의 구현에 대해서 설명할 것이다. 전술한 이산화에 의해서, 표면 EFIE (7)은 다음과 같이 선형 대수 방정식으로 정리된다.
Figure pct00061
(10)
여기서
Figure pct00062
은 벡터 전위 상호작용의 조밀한 (dense) 매트릭스를,
Figure pct00063
은 인가 전압(excitation) 벡터를,
Figure pct00064
은 도전체 외부 표면상의 미지의 전류밀도 벡터를,
Figure pct00065
은 수식 (8)의 표면 임피던스 연산자에 해당하는 성긴(sparse) 매트릭스를 나타낸다. 상기 매트릭스들에 있는 지수 m과 n 은 1에서 N까지이다. 이러한 특정 이산화에 대한 성긴 매트릭스
Figure pct00066
에 있는 영(0)이 아닌 요소들을 도 1(c)에 사각형 패턴으로써 도시하였다. 도 1(c)에 있는 검정색 사각형은, 도전체의 상면 세그먼트
Figure pct00067
에 있는 제3 요소의 중간에 있는 관찰점
Figure pct00068
에서 시험한 전계 Ez 에 상응하는
Figure pct00069
에 있는 영(0)이 아닌 항목들을 나타낸다. 수식 (8)에 따르면, 이 전계는 다음과 같이 상면, 하면, 좌우측면 상의 표면 전류밀도에 관계된다.
Figure pct00070
(11)
여기서 매트릭스
Figure pct00071
항목은 아래 식과 같다.
Figure pct00072
(12)
표면 임피던스 매트릭스
Figure pct00073
에 있는 나머지 영(0) 아닌 요소도 유사한 방법으로 채워져 있다.
수치적 결과
본 발명에 따른 전체 주위 표면 임피던스 모델은 크고 작은 두께/폭 비율을 갖는 다수의 연결선에 대해서 시험하였는바, 신뢰성있는 성능을 보여주었다.
Figure pct00074
도전 시스템에 대한 p.u.l.(단위길이당) 전기저항 및 인덕턴스 매트릭스에 대한 상세한 설명은 [C.R. Paul, "다중도체 전송선 분석(Analysis of multiconductor Transmission Lines), Ch. 3, John Wiley & Sons, Inc., Toronto, CA, 1994]에서 찾을 수 있다.
최초의 수치적 실험에 있어서, 표면 임피던스 방정식 (8)을 갖는 EFIE (7)의 해법을 통하여, 도 2에 나타낸 4.62mm 폭을 갖는 사각형 단면의 구리선으로 단위길이당 전기저항 및 인덕턴스를 추출한다. 추출된 변수들을 정확한 체적 EFIE 해법 방정식 (4) 및 추출한 단위길이당 전기저항 [D. DeZutter 외, "차등 표면 어드미턴스 연산자에 기초한 표면효과 모델링(Skin Effect Modeling Based on a Differential Surface Admittance Operator)", 마이크로파 이론 기술에 관한 IEEE 간행물(Trans. Microwave Theory Tech.), vol.53, no.8, pp. 2526-2538(2005년 8월) 참조]과 비교한다. 모든 주파수에서의 MoM 이산화는 도전체의 각 면당 20개의 등거리 세그먼트로 구성되었다. 2.5차원 연결선 모델[참조: J.D. Morsey 외, "고속 적분 방정식을 이용한 연결선의 전파 분석을 위한 유한 두께 도체 모델(Finite-Thickness Conductor Models for Full-Wave Analysis of Interconnects With a Fast Integral Equation Method)", 고등 패키징에 관한 IEEE 간행물(Trans. on Advanced Packaging), vol. 27, no. l, pp. 24-33, 2004년 2월]에서 활용된 2평면 표면 임피던스 모델로부터의 결과를 또한 도 2에 나타내었다.
후자 경우에 있어서의 오류는 높은 주파수에서 증가하는데, 그 이유는 도전체 외부 표면의 상면 및 하면 세그먼트들만이 전류의 흐름을 지원하기 때문이다. 이러한 모델은 도전체의 두께가 그 폭과 비슷해질수록 부정확해진다. EM 분석에 의하면 0.8191 mΩ/m의 직류 저항이 측정되었고, 높은 주파수에서의 전기저항 의존도
Figure pct00075
가 도 2에서 볼 때 명확해진다. 단위길이당 인덕턴스는 이러한 시나리오 하에서는 정의되지 않는다.
도 3의 예에서는, 근접효과(proximity effect)가 있는 곳에서의 새로운 모델의 정확성을 설명하고 있다. 2mm 사각형 단면을 갖는 두 개의 구리선을 가변 거리 d 만큼 이격되어 있는 차분선쌍(differential line pair)으로서 단위길이당 전기저항과 인덕턴스를 추출한다. 도 3은 주파수의 함수 특성을 갖는, 추출된 전기저항과 인덕턴스를 나타낸다.
본 발명의 모델을 이용하여 얻어진 결과를 [C.R. Paul, "다중도체 전송선 분석(Analysis of multiconductor Transmission Lines), Ch. 3, John Wiley & Sons, Inc., Toronto, CA, 1994] 및 [D. DeZutter 외, "차등 표면 어드미턴스 연산자에 기초한 표면효과 모델링(Skin Effect Modeling Based on a Differential Surface Admittance Operator)", 마이크로파 이론 기술에 관한 IEEE 간행물(Trans. Microwave Theory Tech.), vol.53, no.8, pp. 2526-2538, 2005년 8월]에 개시된 것들과 비교한다.
전체 외부 표면 EFIE 해법의 결과로 8.929 mΩ/m의 직류 저항(예상대로 d와 무관함)이 측정되었는데, 이는 상기 [C.R. Paul, "다중도체 전송선 분석(Analysis of multiconductor Transmission Lines)"]에서의 직류 저항과 일치한다.
직류 인덕턴스는 d=2mm일 때에는 600.6 nH/m로 계산되었고(상기 [C.R. Paul, "다중도체 전송선 분석(Analysis of multiconductor Transmission Lines)"]에서는 599.5 nH/m), d=0.5mm일 때에는 412.6 nH/m로 계산되었다(상기 [D. DeZutter 외, "차등 표면 어드미턴스 연산자에 기초한 표면효과 모델링(Skin Effect Modeling Based on a Differential Surface Admittance Operator)"]에서는 413 nH/m).
이제, 3차원 전계 적분 방정식에서의 표면효과 근사화에 대한 전체 외부 표면에 대해 설명한다.
표면 전계 적분 방정식 및 도전체 손실 모델
도 4에 나타낸, 체적이 V이며 L개의 균등(homogeneous) 유전층으로 된 매체로서 xy 평면으로 무한히 연장되고 z축을 따라서는 불균등성(inhomogeneity)을 보여주고 있는 통상의 평판형 연결선 구조에 대해서 고려해보자. 이 연결선은, 전도 전류(conduction current)가 주도적이며 변위 전류(displacement current)는 무시가능한, 매우 우수한 도전 재료로 제작된다.
유전층들은 (
Figure pct00077
,
Figure pct00078
)의 구간 내에서 복소수 유전율
Figure pct00079
와 투자율
Figure pct00080
에 의해 특징지어진다. 이상에서 그리고 이하의 모든 수식 도출에 있어서, 타임-하모닉 필드(time-harmonic field)의 변화가 있음을 가정하고 단순화를 위해 이를 억제한다. 다층 구조 매체에서의 전계는 아래 수식 (13)과 같이 벡터 전위
Figure pct00081
를 통해서 체적 전류밀도
Figure pct00082
에 관련된다.
Figure pct00083
(13)
여기서
Figure pct00084
(14)
위 수식 (14)에서
Figure pct00085
는 층구조를 갖는 매체의 그린 함수로서, 그 표준 형태는 아래 식과 같다.
Figure pct00086
(15)
소정의 인가전압
Figure pct00087
에 의해서 도전체에 흐르는 전류
Figure pct00088
에 관한 전계 적분 방정식(EFIE)은 도전체 내에 작용하는 옴의 법칙
Figure pct00089
을 따른다.
Figure pct00090
(16)
체적 적분 방정식 (14)을 수치적으로 풀려면 시간이 많이 걸리기 때문에, 체적 EFIE를 표면 EFIE로 단순화하는 표면 임피던스 근사화를 하기로 한다. 도 4에서 나타낸 것과 같은 로컬 좌표계를 갖는 도전체의 직사각형 단면을 고려하면, 표면효과에 의해서 도전체의 두께에 대한 체적 전류밀도
Figure pct00091
의 의존성을 근사화한다.
Figure pct00092
(17)
여기서
Figure pct00093
는 각각 도전체의 상, 하, 좌, 우측면으로 투영되는 반지름벡터 'r'에서의 표면 전류밀도를 나타내고,
Figure pct00094
는 도전체의 파수(wavenumber)를 나타낸다. 수식 (17)에서, 위치 'r'에서의 도전체의 두께와 그 폭은 각각 T와 W로 나타내었다. 공식 (17)을 적분 방정식에 대입하면 아래의 식이 얻어진다.
Figure pct00095
(18)
여기서, 쏘스의 반지름벡터
Figure pct00096
은 도전체 표면
Figure pct00097
상에 존재한다(즉,
Figure pct00098
). 여기서
Figure pct00099
는 도전체의 상, 하, 좌, 우측면(
Figure pct00100
)의 합집합이다. 도전체의 두께가 얇다고 가정하면, 도전체 단면에 작용하는 그린 함수의 변화(수식 (18)에서
Figure pct00101
및
Figure pct00102
)를 무시할 수 있다. 이렇게 근사화함으로써 수식 (18)에서 도전체 두께 T와 폭 W에 대한 적분을 분석적으로 수행할 수 있게 되며, 상, 하, 좌, 우측 표면에 대한 네 개의 적분 항들을 결합할 수 있게 된다. 이 결과 아래 수식을 얻게 된다.
Figure pct00103
(19)
따라서 체적 적분방정식 (16) 대신에, 미지의 표면 전류 밀도에 관한 표면 적분방정식을 얻을 수 있다.
Figure pct00104
(20)
수식 (20)에서,
Figure pct00105
는,
Figure pct00106
에 따라 그리고 체적 전류밀도 및 표면 전류 밀도 사이의 수식 (17)에서의 관계에 따라, 도전체 표면 상의 탄젠트성분 전계를, 도전체의 상, 하, 좌, 우측면 상의 해당 지점에서의 표면 전류밀도값
Figure pct00107
에 연계시키는 표면 임피던스 연산자를 나타낸다.
Figure pct00108
(21)
공식 (21)에서 첨자
Figure pct00109
는 치환(transposition)을 나타낸다.
표면 임피던스 연산자의 적률 이산화 방법
라오-윌튼-글리슨(RWG)(참고: [S.M. Rao, D.R. Wilton, 및 A.W. Glisson, "임의 형태 표면에 의한 전자기 산란(Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shapes)", 안테나 전파에 관한 IEEE 간행물(Trans. Antennas Propag.), Vol. 30, pp. 409-418, 1982년 5월] 및 [K.A. Michalski 및 D. Zheng, "층구조 매체의 임의 형태 표면에 의한 전자기 산란(Electromagnetic scattering and radiation by surfaces of arbitrary shape in layered media), Part I: Theory", 안테나 전파에 관한 IEEE 간행물(Trans. Antennas Propag.), Vol. 38, pp. 335-344, 1990년 3월])에 따르는 표면 EFIE (8)을 만들기 위하여 연결선의 표면을, 해당 두께쪽으로 밀려있는 삼각형 분할 평면으로 모델링한다 (도 4 참조). 전체 외부 표면 임피던스 연산자의 RWG 이산화에 대해 이하에서 설명한다. 한 개의 도체에 대해서 살펴볼 때, 수식 (20)의 미지 전류
Figure pct00110
를 N개의 기초 함수
Figure pct00111
에 대하여 전통적으로 RWG 이산화하는 것은, 아래 식과 같이, 도전체의 상, 하, 좌, 우측면에 놓여있는 경사(ramp) 함수(half-RWG 함수)에 대한 이산화로써 등가 공식화 (formulate)할 수 있다.
Figure pct00112
(22)
여기서 지수
Figure pct00113
는 도 4에 있어서 m번째의 삼각형지지 경사
Figure pct00114
이 어느 면에 놓여있는지, 그리고 지수 j가 도 4에서와 같이 각 삼각형 상의 세 개의 경사에 걸쳐서 진행되고 있는 면이 어느 면인지를 나타낸다.
수식 (20)의 표면 임피던스 연산자
Figure pct00115
하에서의 미지의 전류
Figure pct00116
의 경사 함수 이산화 방정식 (22) 다음에 이루어지는, 상면 삼각형
Figure pct00117
의 경사 함수
Figure pct00118
을 이용한 최종 전계
Figure pct00119
의 테스트를 통하여 아래 식이 얻어진다.
Figure pct00120
(23)
여기서
Figure pct00121
은 대응점들
Figure pct00122
(도 4와 도 5에서와 같이 삼각형
Figure pct00123
와 중첩되어 있는, 상 하 좌 우측면에 있는 쏘스 삼각형
Figure pct00124
)에서의 전류값을 나타낸다. 각 쏘스 삼각형에서의 전류값은 세 개의 경사 함수의 중첩으로 정의된다. 즉,
Figure pct00125
(24)
그리고 표면 임피던스 연산자의 대응값들은 아래 식과 같다.
Figure pct00126
(25)
수식 (24)에서
Figure pct00127
은 적률 방법에서 구해진 미지의 계수를 나타낸다. 수식 (23) 내지 (25)로부터, n번째 상면(관찰 삼각형
Figure pct00128
)상의 각 i번째 경사
Figure pct00129
은 영(0)이 아닌 내적
Figure pct00130
(겹쳐진 삼각형들
Figure pct00131
(
Figure pct00132
) 상에 있는 세 개의 경사
Figure pct00133
(
Figure pct00134
) 각각을 가짐)을 갖게 되며, 이에 따라, 이산화된 표면 임피던스 연산자의 각 줄당 아래와 같은 12개의 영이 아닌 항들이 도출됨을 알 수 있다.
Figure pct00135
(26)
Figure pct00136
(27)
Figure pct00137
(28)
Figure pct00138
(29)
수식 (26) 내지 (29)를 적분하면 임의의 정밀도로 수치적 평가를 할 수 있다.
지금까지 설명한 것과 같이 본 발명에 대해서는 다양한 변형이 이루어질 수 있고 특허청구범위의 사상과 범위를 벗어나지 않는 범위 내에서 아주 다양한 실시예들이 나올 수 있으므로, 본 명세서에 포함된 모든 내용들은 설명을 위한 것일 뿐 본 발명을 제한하는 것으로 해석되어서는 안 될 것이다.

Claims (33)

  1. 도전체에 흐르는 전류의 미지의 체적 전류밀도에 관하여 체적 전계 적분 방정식을 공식화하는 단계와,
    도전체 외부 표면의 전류 밀도와, 표면 효과에 따른 도전체 단면에서의 전류 분포를 기술하는 지수 인자의 곱으로서 체적 전계 적분 방정식에서의 미지의 체적 전류밀도를 나타내는 단계와,
    도전체의 단면에 걸쳐서 그린 함수 근사화를 적용하는 단계 및,
    그린 함수 근사화를 이용하여, 미지의 체적 전류밀도를 포함하는 체적 전계 적분 방정식을 표면 전계 적분 방정식으로 단순화하는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  2. 제1항에 있어서, 도전체의 단면에 걸쳐서 그린함수를 취함으로써 그린 함수 근사화를 적용하는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  3. 제1항 또는 제2항 중 어느 한 항에 있어서, 도전체는 직사각형 단면을 갖는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  4. 제1항 내지 제3항 중 어느 한 항에 있어서, 인가 전압(excitation) 벡터
    Figure pct00139
    에 의한, 도전체 단면에서의 미지의 체적 전류밀도
    Figure pct00140
    에 관한 체적 전계 적분 방정식을, 도전체
    Figure pct00141
    내부에서 옴의 법칙
    Figure pct00142
    을 작용시킴으로써, 아래 수식
    Figure pct00143

    와 같이 공식화하는 단계가 포함되는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  5. 제4항에 있어서, 도전체는 직사각형 단면을 갖고 z 방향으로 뻗어있으며, 상기 방법은, 무한하게 뻗어있는 도전체 표면 상에 작용하는 표면파에 관한 표면효과에 따라, 도전체에서 발생하는 미지의 체적 전류밀도
    Figure pct00144
    을 아래 수식
    Figure pct00145

    (위 식에서
    Figure pct00146
    는 도전체의 상, 하, 좌, 우측면으로 투영되는 반지름벡터
    Figure pct00147
    에서의 미지의 표면 전류밀도를 의미함)
    와 같이 근사화하는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  6. 제5항에 있어서, 아래 수식

    와 같이, 관찰점
    Figure pct00149
    를 도전체 외부 표면에 한정시킴으로써, 도전체의 외부 표면의 전류 밀도에 관하여, 체적 전계 적분 방정식을 표면 전계 적분 방정식으로 단순화하는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  7. 제1항에 있어서, 아래 식
    Figure pct00150

    과 같이, 도전체 두께 T와 폭 W의 상, 하, 좌우측면에 걸쳐서 미지의 표면 전류밀도를 결합하고 이에 대한 적분을 평가하는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  8. 제1항에 있어서, 도전체는 직사각형이 아닌 다각형의 단면을 갖는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  9. 제1항 내지 제8항 중 어느 한 항에 있어서, 하나보다 많은 축으로의 전류 흐름에 대해서, 도전체에 흐르는 전류의 미지의 체적 전류밀도에 관하여 체적 전계 적분 방정식을 공식화하는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  10. 제1항 내지 제9항 중 어느 한 항에 있어서, 3차원적인 전류 흐름에 대해서, 도전체에 흐르는 전류의 미지의 체적 전류밀도에 관하여 체적 전계 적분 방정식을 공식화하는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  11. 제1항 내지 제10항 중 어느 한 항에 있어서, 도전체의 각 표면에서의 각각의 미지의 표면 전류밀도가 다차원 벡터로서 표시되는 도전체의 각 표면에 대해서, 미지의 체적 전류밀도를 미지의 표면 전류밀도에 관련시키는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  12. 제1항 내지 제11항 중 어느 한 항에 있어서, 체적 전계 적분 방정식을, 도전체 표면상의 임의의 점에서의 전계의 탄젠트 성분이 도전체 단면에서의 외부 표면의 모든 세그먼트 상의 대응점에서의 표면 전류밀도에 관련지어 있는 표면 전계 적분 방정식으로 단순화하는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  13. 제1항 내지 제12항 중 어느 한 항에 있어서, 체적 전계 적분 방정식을, 도전체 표면상의 임의의 점에서의 전계의 탄젠트 성분이 도전체 단면에서의 외부 표면의 모든 세그먼트 상의 대응점에서의 자계의 탄젠트 성분에 관련지어 있는 표면 전계 적분 방정식으로 단순화하는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체의 표면 임피던스를 모델링하는 방법.
  14. 표면효과에 따른 전류의 단면상 분포를 기술하는 지수 인자, 및 도전체의 외부 표면상의 전류밀도의 곱으로서 체적 전계 적분 방정식의 미지의 단면 체적 전류가 단순화되는, 체적 전계 적분 방정식의 단순화에 의해 얻어진 표면 전계 적분 방정식을 포함하는, 전류가 흐르는 도전체에서의 표면 임피던스 모델.
  15. 제14항에 있어서, 도전체의 단면에 걸쳐서 그린 함수가 취해지는, 전류가 흐르는 도전체에서의 표면 임피던스 모델.
  16. 제14항 또는 제15항 중 어느 한 항에 있어서, 도전체는 직사각형 단면을 갖는, 전류가 흐르는 도전체에서의 표면 임피던스 모델.
  17. 제14항 내지 제16항 중 어느 한 항에 있어서, 도전체는 직사각형이 아닌 다각형 단면을 갖는, 전류가 흐르는 도전체에서의 표면 임피던스 모델.
  18. 제14항 내지 제17항 중 어느 한 항에 있어서, 하나보다 많은 축으로의 전류 흐름에 대해서, 체적 전계 적분 방정식의 미지의 단면 체적 전류가 근사화되는, 전류가 흐르는 도전체에서의 표면 임피던스 모델.
  19. 제14항 내지 제18항 중 어느 한 항에 있어서, 3차원적인 전류 흐름에 대해서, 체적 전계 적분 방정식의 미지의 단면 체적 전류가 근사화되는, 전류가 흐르는 도전체에서의 표면 임피던스 모델.
  20. 제14항 내지 제19항 중 어느 한 항에 있어서, 도전체의 각 표면에서의 각각의 미지의 표면 전류밀도가 다차원 벡터로서 표시되는 도전체의 각 표면에 대해서, 미지의 체적 전류밀도를 미지의 표면 전류밀도에 관련시키는 단계를 포함하는, 전류가 흐르는 도전체에서의 표면 임피던스 모델.
  21. 제14항 내지 제20항 중 어느 한 항에 있어서, 도전체 표면상의 임의의 점에서의 전계의 탄젠트 성분이 도전체 단면에서의 외부 표면의 모든 세그먼트 상의 대응점에서의 표면 전류밀도에 관련지어 있는, 전류가 흐르는 도전체에서의 표면 임피던스 모델.
  22. 제14항 내지 제21항 중 어느 한 항에 있어서, 도전체 표면상의 임의의 점에서의 전계의 탄젠트 성분이 도전체 단면에서의 외부 표면의 모든 세그먼트 상의 대응점에서의 자계의 탄젠트 성분에 관련지어 있는, 전류가 흐르는 도전체에서의 표면 임피던스 모델.
  23. 표면효과에 따른 전류의 단면상 분포를 기술하는 지수 인자 및 도전체의 외부 표면상의 전류밀도의 곱으로서 체적 전계 적분 방정식의 미지의 단면 체적 전류가 단순화되는, 체적 전계 적분 방정식의 단순화에 의해 얻어진 표면 임피던스 항과 적분 항을 갖는 표면 전계 적분 방정식을 포함하는 표면 임피던스 모델을 구현하는 방법으로서,
    도전체 외부 표면의 표면 전계 적분 방정식을, 표면 전계 적분 방정식의 표면 임피던스 항에 해당하는 성긴 매트릭스와 표면 전계 적분 방정식의 적분 항에 해당하는 조밀한 매트릭스의 합으로 이루어지는 이산 형식으로 이산화하는 단계, 및
    이산 형식의 각 이산 요소들에 대하여, 표면 임피던스 모델을 통해 관련되어 있는 다른 이산 요소들을 식별해내는 단계를 포함하는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
  24. 제23항에 있어서, 적률 이산화 방법과 함께 표면 임피던스 모델을 사용하는 단계를 포함하는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
  25. 제23항 또는 제24항에 있어서, 표면 임피던스 모델은 도전체의 단면에 걸쳐서 취해지는 그린 함수를 포함하는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
  26. 제23항 내지 제25항 중 어느 한 항에 있어서, 도전체는 직사각형 단면을 갖는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
  27. 제23항 내지 제25항 중 어느 한 항에 있어서, 도전체는 직사각형이 아닌 다각형 단면을 갖는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
  28. 제23항 내지 제27항 중 어느 한 항에 있어서, 표면 임피던스 모델은, 하나보다 많은 축으로의 전류 흐름에 대해서 근사화되는, 체적 전계 적분 방정식의 미지의 단면 체적 전류를 포함하는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
  29. 제23항 내지 제28항 중 어느 한 항에 있어서, 표면 임피던스 모델은, 3차원적인 전류 흐름에 대해서 근사화되는, 체적 전계 적분 방정식을 포함하는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
  30. 제23항 내지 제29항 중 어느 한 항에 있어서, 표면 임피던스 모델은, 도전체의 각 표면에 대해서 다차원 벡터로서 표시되는 미지의 표면 전류밀도에 대해서 관련지어지는 미지의 체적 전류밀도를 포함하는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
  31. 제23항 내지 제30항 중 어느 한 항에 있어서, 표면 임피던스 모델은, 도전체 단면에서의 외부 표면의 모든 세그먼트 상의 대응점에서의 표면 전류밀도에 관련지어지는, 도전체 표면상의 임의의 점에서의 전계의 탄젠트 성분을 포함하는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
  32. 제23항 내지 제31항 중 어느 한 항에 있어서, 표면 임피던스 모델은, 도전체 단면에서의 외부 표면의 모든 세그먼트 상의 대응점에서의 자계의 탄젠트 성분에 관련지어지는, 도전체 표면상의 임의의 점에서의 전계의 탄젠트 성분을 포함하는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
  33. 제23항 내지 제32항 중 어느 한 항에 있어서, 조밀한 매트릭스는 아래 식
    Figure pct00151

    과 같이 표시되는, 표면 임피던스 모델 구현 방법.
KR1020107024262A 2008-04-01 2009-04-01 3차원 집적회로 도선에서의 전류 흐름에 대한 광대역 모델링 방법 및 장치 KR20110067082A (ko)

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