KR20110050759A - Method for computation of hausdorff distance for polygonal models - Google Patents

Abstract

PURPOSE: A method for computing a Hausdorff distance for a polygonal model is provided to offer a computer readable recording medium in order to performing the method. CONSTITUTION: When polygonal models a and b are given, a Hausdorff distance from a to b is calculated(S100). Triangles which are not used for calculating the Hausdorff distance are selectively eliminated(S120). Among triangles in b which are not used for calculating the Hausdorff to b is selectively eliminated(S210). An upper bound or the lower bound of the Hausdorff are updated(S220).

Description

Method for computation of Hausdorff distance for polygonal models}

The present invention relates to computer graphics and more particularly to a method for calculating the Hausdorff distance between polygonal models.

Computing distance measurements between geometric models is an important issue in a variety of fields, including computer graphics, computer games, virtual environments, geometric modeling, and robotics. Over the last two decades, various types of distance measurement methods have been studied in depth and effective algorithms have been proposed. In particular, a fast and reliable algorithm for calculating Euclidean distance, also known as separation distance, because of its practical importance, has been proposed by many researchers, and it is a polygon model in three dimensions (R ³ ). It was considered as a solved problem for the models. On the other hand, distance measures suitable to quantify the similarity between two polygon models, such as the Hausdorff distance, have been studied relatively less. From these measures, such as shape matching, mesh simplification, geometric modeling, model rendering, image registration and recognition, and face detection There are many graphics and computer vision applications that benefit. However, due to the high computational complexity and difficult implementation of the proposed approach, there are very few algorithms for calculating the Hausdorff distances for polygonal models in three dimensions (R ³ ). Therefore, many applications circumvent this problem, for example by using a conservative approximation technique or employing a different measure.

Intuitively, the Hausdorff distance between the two models is the maximum deviation between them. With O (n) polygons for polygon models in three dimensions, the expected time to accurately calculate the Hausdorff distance by the best known algorithm is O (n ^{3 + ε} ). In addition, the algorithm requires the calculation of the lower envelope of a set of non-linear algebraic surfaces in three dimensions. This tends to result in degeneracies and arithmetic errors, which makes it very difficult to implement for high n values and is a very impractical algorithm.

SUMMARY OF THE INVENTION The present invention has been made in an effort to provide a fast and simple method for calculating the Hausdorff distance for calculating the Hausdorff distance between polygonal models and a computer-readable recording medium having recorded thereon a program for executing the method.

와

가 주어질 때, 상기

에서 상기

로의 하우스도르프 거리

를 계산하는 단계로서, (a1) 상기

내의 트라이앵글들

중 상기

에 기여하지 않는 트라이앵글들을 선별제거하는 단계; (a2) 상기

내의 트라이앵글들 중, 상기 (a1) 단계의 수행 결과 남은 트라이앵글

에서 상기

로의 하우스도르프 거리

에 기여하지 않는 트라이앵글들을 선별제거하고, 그 결과 남은 트라이앵글을 기초로 상기

의 상위 바운드 및 하위 바운드를 업데이트하는 단계; (a3) 상기 업데이트된

의 상위 바운드 및 하위 바운드를 기초로

의 상위 바운드 및 하위 바운드를 업데이트하는 단계; 및 (a4) 상기 (a1) 내지 (a3) 단계의 수행 결과 남은 트라이앵글

를 상기

의 상위 바운드와 하위 바운드의 차이가 소정 값 이하일 때까지 분할하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 한다.In order to solve the above technical problem, the Hausdorff distance calculation method for the polygon model according to the present invention, (a) a polygon model

Wow

When is given,

From above

Hausdorf Street

Computing the step (a1) above

Triangles in

Of the above

Screening triangles that do not contribute to; (a2) above

Of the triangles in the triangle remaining as a result of performing the step (a1)

From above

Hausdorf Street

Screen out triangles that do not contribute to the

Updating the upper bound and the lower bound of the; (a3) the updated

Based on the upper bound and lower bound of

Updating the upper bound and the lower bound of the; And (a4) triangles remaining as a result of performing steps (a1) to (a3).

Remind

And dividing until the difference between the upper bound and the lower bound is equal to or less than a predetermined value.

에서 상기 로의 하우스도르프 거리

를 계산하는 단계; 및 (c) 상기

와 상기

의 최대값을 양방향(two-sided) 하우스도르프 거리

로 취하는 단계를 더 포함할 수 있다.Here, the method of calculating the Hausdorff distance, (b) the

From above Hausdorf Street

Calculating; And (c) said

And above

The maximum value of two-sided Hausdorff distance

It may further include taking the step.

를 계산함에 있어서, 상기 (a) 단계에서 계산된

를

의 하위 바운드의 초기값으로 할 수 있다.In addition, the Hausdorff distance in step (b)

In calculating the step, calculated in step (a)

To

It can be set to the initial value of the lower bound of.

를 계산함에 있어 상기 정보를 재사용할 수 있다.In addition, cache the information of the triangle pairs remaining as a result of performing the steps (a1) and (a2), and the Hausdorff distance in the step (b)

The information may be reused in calculating.

의 상위 바운드가 상기

의 하위 바운드보다 작게 되는 트라이앵글

를 상기

에 기여하지 않는 트라이앵글들로서 선별하여 제거할 수 있다.In addition, the step (a1), the

The upper bound of the above

Triangles smaller than the lower bound of

Remind

Triangles that do not contribute to can be sorted out.

의 집합을 둘러싸는 바운딩 볼륨에서 상기

내의 어떤 포인트로의 하우스도르프 거리가 상기

의 하위 바운드보다 작게 되는 바운딩 볼륨에 포함되는 트라이앵글들

를 상기

에 기여하지 않는 트라이앵글들로서 선별하여 제거할 수 있다.In addition, the step (a1), triangles

In the bounding volume that surrounds the set of

Huisdorf distance to any point in the above

Triangles included in the bounding volume that is smaller than the lower bound of

Remind

Triangles that do not contribute to can be sorted out.

In addition, the bounding volume may be a SSV (swept sphere volume).

의 상위 바운드는 다음 수학식과 같이 정의될 수 있다.Further, in the step (a2)

The upper bound of may be defined as follows.

.

.

는 상기

내의 버텍스들을,

는 유클리디안 거리 연산자를 나타낸다. here,

Above

The vertices in

Represents the Euclidean distance operator.

내에서 상기

에 가장 가까운 트라이앵글

를 찾기 위하여 상기

내의 트라이앵글들을 파티션하여 클러스터하고 각 클러스터를 바운딩 볼륨으로 둘러싼 뒤,

와 클러스터된 바운딩 볼륨 간에 최단 거리 질의를 수행할 수 있다.In addition,

Within the above

Triangle closest to

Above to find

Partition and cluster triangles within it and surround each cluster with a bounding volume,

The shortest distance query can be performed between and the clustered bounding volume.

를 복수 개의 서브-트라이앵글로 분할하고, 상기 서브-트라이앵글에 대하여 상기 (a1) 내지 (a3) 단계를 반복하여 수행할 수 있다.In addition, the (a4) step, the triangle

May be divided into a plurality of sub-triangles, and the steps (a1) to (a3) may be repeated for the sub-triangles.

를 복수 개의 서브-트라이앵글로 분할함에 있어서, 상기 트라이앵글

의 에지를 따라 바깥쪽의 서브-트라이앵글들

및 안쪽의 서브-트라이앵글

로 분할할 수 있다.Also, the triangle

In dividing a into a plurality of sub-triangles, wherein

Sub-triangles along the edge of

And inner sub-triangle

Can be divided into

의 상위 바운드에 대하여,

-

≤

을 만족하는 상기

내의 트라이앵글들의 집합

을 찾는 단계; (a42) 상기 트라이앵글

를 상기 에지를 따라 상기 서브-트라이앵글들

및

로 분할하는 단계; (a43) 상기 집합

을 사용하여

에서 상기

로의 하우스도르프 거리의 상위 바운드 및 하위 바운드를 계산하는 단계; 및 (a44) 미리 정하여진 종료 조건을 만족할 때까지 상기 (a42) 단계 내지 (a43) 단계를 반복하는 단계를 포함할 수 있다.In addition, the step (a4), (a41) the

For the upper bound of:

-

≤

Said to satisfy

Set of triangles within

Finding; (a42) the triangle

The sub-triangles along the edge

And

Dividing into; (a43) the set

Using

From above

Calculating an upper bound and a lower bound of the Hausdorff distance to the furnace; And (a44) repeating the steps (a42) to (a43) until the predetermined termination condition is satisfied.

의 버텍스들이 사영되는 상기

내의 트라이앵글과 동일한 트라이앵글에 사영되는 새로운 버텍스를 추가하고 상기 추가된 버텍스를 기준으로 상기 트라이앵글

를 분할할 수 있다.In addition, the step (a42), the edge on the edge

Recall that vertices of

Add a new vertex projected to the same triangle as the triangle within and the triangle relative to the added vertex

Can be divided.

In order to solve the above another technical problem, a computer readable recording medium having recorded thereon a program for executing the method of calculating a Hausdorff distance for a polygon model according to the present invention is provided.

According to the present invention described above, there is provided a fast and simple method of calculating the Hausdorff distance for calculating the Hausdorff distance between polygonal models and a computer-readable recording medium having recorded thereon a program for executing the method.

Hereinafter, exemplary embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the accompanying drawings. In the following description and the accompanying drawings, the substantially identical components are represented by the same reference numerals, and thus redundant description will be omitted. In addition, in the following description of the present invention, if it is determined that a detailed description of a related known function or configuration may unnecessarily obscure the subject matter of the present invention, the detailed description thereof will be omitted.

1. Dictionary Definition and Overview

First, before describing in detail the embodiment of the method of calculating the Hausdorff distance according to the present invention, some general definitions and an overall overview of the embodiments will be described.

1.1. Dictionary definition

In an embodiment of the present invention, the problem of calculating the Hausdorff distance can be defined as follows.

<Definition 1>

및

가 주어질 때,

로부터

의 일방향(one-sided) 하우스도르프 거리는 다음과 같이 정의된다. 여기서,

및

는 컴팩트 셋(compact set)이다. Two polygon models in three dimensions (R ³ )

And

When is given,

from

The one-sided Hausdorff distance of is defined as here,

And

Is a compact set.

는 R³에서 유클리디안 거리(Euclidean distance) 연산자(operator)를 나타낸다. 그러면

와

간의 양방향(two-sided) 하우스도르프 거리는 다음과 같이 정의된다.here,

Denotes an Euclidean distance operator in R ³ . then

Wow

The two-sided Hausdorff distance between is defined as

와

간의 양방향 하우스도르프 거리는

와

의 최대값에 해당한다. 이하에서, "하우스도르프 거리"라 하면 일방향 하우스도로프 거리를 의미하는 것으로 설명하기로 한다.In other words,

Wow

Between the two way Hausdorf

Wow

Corresponds to the maximum value of. Hereinafter, the term "haushaus distance" will be described as meaning one-way Hausdorff distance.

From the above definition, the following theorem can be derived for the polygon models.

<Theorem 1>

와

가 폴리곤 모델들이고,

가 A 내의 트라이앵글을 나타낸다면, 다음 수학식이 성립한다.if

Wow

Are polygon models,

If represents a triangle in A, the following equation holds.

를 계산하는 것은

를 계산하는 것으로 요약될 수 있다. 다음에서, 하우스도르프 거리 메트릭의 바운드(bound)와 관련된 보조 정리를 제시한다. 이 보조 정리는 본 발명의 실시예에 따른 하우스도르프 거리 산출 방법의 내용 중 후술할 교차 선별(cross-culling) 과정에서 중요한 역할을 한다.From the above theorem 1,

To calculate

Can be summarized as In the following, we present an auxiliary theorem related to the bounds of the Hausdorff distance metric. This auxiliary theorem plays an important role in the cross-culling process which will be described later in the method of calculating the Hausdorff distance according to the embodiment of the present invention.

<Secondary Theorem 1>

,

,

,

이 주어질 때,

⊆

,

⊆

이면, 다음 부등식이 성립한다.Compact set

,

,

,

Given this,

⊆

,

⊆

, Then the following inequality holds:

Based on the auxiliary theorem 1, a simple method for calculating the upper bound and the lower bound of the one-way Hausdorff distance between two polygon models is as follows.

<Secondary Theorem 2>

를 트라이앵글

의 의 세 버텍스(vertex) 중 하나라고 하면,

에서

로의 하우스도로프 거리

의 상위 바운드 및 하위 바운드는 다음 수학식과 같이 얻어질 수 있다.

Triangle

If we say one of the three vertices of,

in

Houseroof Street

The upper bound and lower bound of can be obtained by the following equation.

(또는

)는, 그 계산이 점으로부터 오브젝트로의 유클리디안 거리만을 요구하므로, PQP(Proximity Query Package) 라이브러리와 같은 알려진 프록시미티 패키지로부터 약간의 변형을 통하여 쉽게 얻어질 수 있다. 게다가,

이기 때문에, 상위 바운드

역시 간단하게 얻어질 수 있다. 여기서,

는

의 버텍스이고,

는

내의 트라이앵글이다. In Equation 4, the lower bound

(or

) Can be easily obtained through some modifications from known proximity packages, such as the Proximity Query Package (PQP) library, since the calculation requires only Euclidean distance from the point to the object. Besides,

Because it's upper bound

It can also be obtained simply. here,

Is

Is the vertex of,

Is

It is a triangle within.

<Theorem 2>

의 상위 바운드

및 하위 바운드

는 다음 수학식과 같이 나타내어진다. And from theorem 1 and auxiliary theorem 2 above.

Bound of

And subbound

Is represented by the following equation.

1.2. summary

(여기서,

)에 대하여

를 계산하고, 그것을 최대화시키는 것이다. 그러나

를 정확히 계산하는 것은 비용이 많이 들고 따라서 본 발명의 실시예에서는 회피할 것이다. 따라서 본 실시예에서는 어떤 트라이앵글

가, 만일

인 다른 트라이앵글

가 존재한다면,

의 최종 값에 기여하지 않을 거라는 중요한 관찰 정보를 이용한다. 이를 보다 자세히 설명하면 다음과 같다. Based on the theorem 1, the main means of the method for calculating the Hausdorff distance according to the present embodiment are

(here,

)about

Calculate and maximize it. But

Accurately calculating s is expensive and therefore will be avoided in embodiments of the invention. Therefore, in this embodiment some triangle

If

Different triangles

If it exists,

Use important observations that will not contribute to the final value of. This will be described in more detail as follows.

내의 처음 i 트라이앵글들에 대한 하우스도르프 거리를 고려한 후에

의 현재의 하위 바운드를

라 나타내기로 한다. As in the following equation

After considering the Hausdorff distance for the first i triangles in

The current subbound of

Let it be represented.

에 대한 하우스도르프 거리를 고려할 때, 그것의 상위 바운드

을 계산하고, 그것을

와 비교한다. 만일

<

라면, 틀림없이

은

에 기여하지 않는 트라이앵글로서 제거할 수 있다. 그렇지 않다면, 하위 바운드

를 계산하고, 그 결과에 따라 현재의 하위 바운드를 업데이트하고, 또한,

을 더 정확하게 계산하기 위하여 트라이앵글

정보를 저장하여 둔다. 이하에서는 이러한 과정을 폴리곤 모델

상에서의 선별제거(culling)라 칭하기로 한다. 이에 관한 더욱 자세한 설명은 2.1절에서 후술할 것이다. Next, the (i + 1) th triangle

Considering Hausdorf distance for, its upper bound

Calculate it, and

Compare with if

<

Ramen, no doubt

silver

It can be removed as a triangle that does not contribute to. Otherwise, low bound

Calculate and update the current subbounds based on the result, and also,

To compute more precisely

Save the information. This process is referred to below as the polygon model.

This is referred to as culling in the phase. More details on this will be described later in Section 2.1.

를 계산할 때,

내의 모든 트라이앵글

에 대하여

을 고려할 필요가 없다. 왜냐하면, 하우스도르프 거리를 구함에 있어,

에 걸쳐서

의 최소값에만 오직 관심이 있기 때문이다. 이와 유사한 논리 하위 바운드 계산에도 적용될 수 있다. 이 과정을 폴리곤 모델

상에서의 선별제거(culling)라 칭하기로 하며, 더욱 자세한 설명은 2.2절에서 후술할 것이다. 그리고 폴리곤 모델

상에서의 선별제거 및 폴리곤 모델

상에서의 선별제거를 합하여 교차 선별제거(cross-culling)라 칭하기로 한다.Further, upper bound

When calculating

All triangles within

about

There is no need to consider. Because in finding the Hausdorfer street,

Across

Because we are only interested in the minimum value of. Similar logic applies to low bound calculations. The polygon model

This will be referred to as phase screening (culling), which will be described later in Section 2.2. And the polygon model

Screening and Polygon Models on the Desktop

The screening of the phases together is referred to as cross-culling.

와

에 대하여 이 교차 선별제거가 완료된 후에는, 선별제거로부터 살아남은 트라이앵글들

의 리스트와, 그들의 개별 상위 바운드 및 하위 바운드

,

를 가지고 있게 된다. 또한 상기된 정리 2에서 보인 바와 같이,

,

로부터

의 상위 바운드 및 하위 바운드

및

를 계산할 수 있다. 그러면, 만일

인 트라이앵글

가 존재한다면, 그 트라이앵글은

에 기여할 수 없고, 이러한 트라이앵글들을 더 선별하여 제거할 수 있다. 이제, 나머지 트라이앵글들

에 대하여 사용자 정의된 소정 에러 경계값 ε 의 범위 안에서 하우스도르프 거리를 계산할 필요가 있다. 본 실시예에서는,

를 정확히 산출하기 위하여 새로운 분할(subdivision) 기법을 사용한다. 보다 자세한 내용은 3절에서 설명할 것이다.

Wow

After this cross screening is completed, the triangles that survive the screening

With a list of them, their individual upper bound and lower bound

,

Will have As also shown in theorem 2 above,

,

from

Upper bound and lower bound

And

Can be calculated. Then, if

In triangle

Is present, the triangle is

Can not be contributed to, and these triangles can be further screened out. Now, the rest of the triangles

It is necessary to calculate the Hausdorff distance in the range of a user defined predetermined error boundary value ε. In this embodiment,

We use a new subdivision technique to accurately calculate. More details will be given in Section 3.

1 is a flowchart illustrating a method of calculating a Hausdorff distance according to an embodiment of the present invention, and the following table shows symbols used in the description of an embodiment of the present invention.

를 계산하는 본 발명의 실시예에 따른 하우스도르프 거리 산출 방법은, 도시된 바와 같이, 모델

상에서의 트라이앵글 선별 제거 단계(S100), 모델

상에서의 트라이앵글 선별제거 단계(S200), 트라이앵글 분할 단계(S300)로 이루어진다. 모델

상에서의 트라이앵글 선별제거 단계(S100)는 S220단계로부터 전달받은

및

를 기초로

를 업데이트하는 단계(S110),

내의 트라이앵글들

중

에 기여하지 않는 트라이앵글들을 선별제거하는 단계로서,

의 상위 바운드가

보다 작게 되는 트라이앵글 를 선별제거하는 단계(S120)로 이루어진다. 이를 통해 남은 트라이앵글

는 모델

상에서의 트라이앵글 선별제거 단계(S200)로 전달되고, S200 단계는,

내의 트라이앵글들 중, 남은 트라이앵글

에서

로의 하우스도르프 거리

에 기여하지 않는 트라이앵글들을 선별제거하는 단계로서,

인

를 선별제거하는 단계(S210), 그 결과 남은 트라이앵글을 기초로

및

를 업데이트하는 단계(S220)로 이루어진다. S100 단계 및 S200단계로부터 남은 트라이앵글

는

및

와 함께 트라이앵글 분할 단계(S300)로 전달된다. S300단계에서는,

일 때까지

를 분할하여

및

를 업데이트한다. 다시 말하면,

를 복수 개의 트라이앵글로 분할하고, 분할된 트라이앵글에 대하여 S100단계 및 S200단계를

일 때까지 반복한다. Referring to Figure 1,

Hausdorff distance calculation method according to an embodiment of the present invention to calculate the, as shown, the model

Triangle selection step on the phase (S100), model

Triangle selection step on the phase (S200), consisting of a triangle segmentation step (S300). Model

Triangle selection step on the phase (S100) received from step S220

And

Based on

Updating step (S110),

Triangles in

medium

Screening triangles that do not contribute to

The upper bound of the

Triangle becomes smaller Screening and removing the step (S120). This leaves the triangle

Model

Derived from the triangle screening step (S200), the S200 step,

Remaining triangles

in

Hausdorf Street

Screening triangles that do not contribute to

sign

Screening and removing the step (S210), the result based on the remaining triangle

And

Update is made to the step (S220). Triangle left from S100 and S200

Is

And

Along with the triangle division step S300. In step S300,

Until

By dividing

And

Update it. In other words,

Is divided into a plurality of triangles, and steps S100 and S200 are performed for the divided triangles.

Repeat until

2. Cross-culling

에 기여하지 않는,

내의 트라이앵글

의 집합과,

(여기서,

는

에 대한 컬링에서 살아남은 트라이앵글들)에 기여하지 않는,

내의 트라이앵글

의 집합을 보수적으로 찾기 위한 것이다.In the embodiment of the present invention the purpose of cross screening is

Does not contribute to,

Triangle within

With a set of,

(here,

Is

Not contributing to the surviving triangles)

Triangle within

To find a set of conservatives.

상에서의 선별제거2.1. Model

Screening on the bed

는, 만일

에 대한 상위 바운드

가 현재의 전체적인 하위 바운드

보다 작다면,

의 계산에서 고려될 필요가 없다. 본 실시예에서는 이러한 선별제거를 바운딩 볼륨(bounding volume)을 이용하여 트라이앵글들의 집합으로 확장한다.As described in section 1, some triangles

If

Bound to

Is the current overall low bound

If less than

Need not be considered in the calculation of. In this embodiment, this screening removal is extended to a set of triangles by using a bounding volume.

를 트라이앵글들

(즉,

)의 집합을 둘러싸하는 바운딩 볼륨이라고 하자. 상기 보조 정리 1을 이용하면, 다음과 같은 수학식을 얻을 수 있다.

Triangles

(In other words,

Let's say it's the bounding volume that surrounds the set. Using the auxiliary theorem 1, the following equation can be obtained.

는

내의 어떤 포인트이다. 따라서, 만일

가 현재 의 하위 바운드

보다 작다면, 바운딩 볼륨

에 포함된 모든 트라이앵글들

을 선별제거할 수 있다. 보다 더 효과적으로, 이 선별제거 과정은 swept sphere volume(SSV)와 같은 표준 바운딩 볼륨 계층(Bounding Volume Hierarchy, BVH)을 사용하여 계층적으로 수행될 수 있다. here,

Is

What point is it within? Thus, if

Is currently subbound

Less than, bounding volume

All triangles included in

Can be screened out. More effectively, this screening process can be performed hierarchically using a standard bounding volume hierarchy (BVH) such as swept sphere volume (SSV).

를

내의

에 가장 가까운 포인트로 정할 수 있고, 그러면

는

와, SSV를 구성하는 생성 버텍스(generator vertex)들 사이의 유클리디안 거리를 고려하여 간단하게 얻어질 수 있다. Rectangle Swept Sphere(RSS)를 예로 들면,

는 다음 수학식과 같이 얻어진다.Therefore, in the present embodiment, the selection of the bounding volume may be SSV. The SSV consists of a Point Swept Sphere (PSS), a Line Swept Sphere (LSS), and a Rectangle Swept Sphere (RSS), which are defined as Points, Lines, and Rectangular Minkowski sums, each with a sphere. . 2 shows an example of a rectal sphere sphere (RSS). There are two reasons for selecting SSV as the bounding volume in this embodiment. First, using SSV, it is possible to effectively calculate Euclidean distance between polygon-soup models, which operation is often required in the Hausdorff distance calculation according to this embodiment. Second, Equation 8 can be simply calculated. More precisely, points

To

undergarment

To the point closest to, and then

Is

And the Euclidean distance between the generator vertices constituting the SSV. For example, Rectangle Swept Sphere (RSS)

Is obtained as in the following equation.

(

)는 RSS의 생성 프리미티브 직사각형(generator primitive rectangle)의 네 버텍스이고, r 은 RSS를 구성하는 데 이용되는 swept sphere의 반지름이다Here, as shown in FIG.

(

) Is the four vertices of the RSS generator primitive rectangle, and r is the radius of the swept sphere used to construct the RSS.

상에서의 선별제거 과정을 위한 수도-코드(pseudo-code)는 다음과 같다.According to this embodiment

Pseudo-code for the screening process in the phase is as follows.

상에서의 선별제거 과정을 통해

에 기여할 기회를 가지지 않는 트라이앵글들을 걸러낸 후, 본 발명의 실시예에서는 상기 보조 정리 2를 이용하여, 나머지 트라이앵글들에 상에서 타이트한 상위 바운드 및 하위 바운드를 찾는다. 다음 절에서는 이러한 바운드를 어떻게 효율적으로 계산할 것인지 설명하기로 한다.

Through the screening process

After filtering out triangles that do not have the opportunity to contribute to the embodiment of the present invention, the auxiliary theorem 2 is used to find tight upper bounds and lower bounds on the remaining triangles. The next section describes how to calculate these bounds efficiently.

상에서의 선별제거2.2. Model

Screening on the bed

의 하위 바운드 및 상위 바운드는 다음과 같이 다시 공식화될 수 있다.In the auxiliary theorem 2,

The lower bound and upper bound of can be re-formulated as

내에서 처음

트라이앵글들을 고려한 후에

의 현재의 상위 바운드

를 다음 수학식과 같이 정의할 수 있다. Similar to what is described in section 1.2,

First time within

After considering the triangles

The current high bound of the

Can be defined as in the following equation.

를 얻기 위해서는

를 감소시킬 필요가 있다. 그러면 다음 부등식이

내의 트라이앵글들

의 집합 및 그것의 바운딩 볼륨

에 대하여 성립한다.As shown from Equation 10 above,

To get

Need to be reduced. Then the following inequality

Triangles in

Set of and its bounding volume

To be established.

라고 가정하면,

이다. 따라서,

도, 또는

내에 포함 된 어떤 트라이앵글도

를 실현할 수 없다. 그러므로

를 포함하는

내의 모든 트라이앵글들은 선별제거될 수 있다.

Let's say

to be. therefore,

Degrees, or

Any triangles contained within

Can not be realized. therefore

Containing

All triangles within can be screened out.

를 구하기 위해,

내의 i 번째 트라이앵글을 고려한 후의,

의 현재의 하위 바운드

를 다음 수학식과 같이 표현할 수 있다.Now, in Equation 11,

To save,

After considering the i-th triangle in

The current subbound of

Can be expressed as the following equation.

및 그것의 버텍스들

에 대하여

값을 감소시킬 필요가 있다.

>

라고 가정하면,

이다. 이는

이기 때문이다. 따라서

도, 또는

내에 포함된 어떤 트라이앵글도

에 기여할 수 없다. 따라서 이러한 트라이앵글들은 선별제거될 수 있다. Also, given triangle

And its vertices

about

It is necessary to decrease the value.

>

Let's say

to be. this is

Because it is. therefore

Degrees, or

Any triangle contained within

Cannot contribute to These triangles can thus be screened out.

에 대하여, 부등식

>

는

에도

에도 기여하지 않는 트라이앵글들의 집합을 찾기 위한, 모델

에 대한 선별제거 조건이다. In short, given

Against, inequality

>

Is

Edo

To find a set of triangles that do not contribute to

Screening conditions for.

2.2.1. Group Traversal

에 대하여

를 계산하기 위해, 상술한 선별제거 기법은

내의 모든 세 버텍스들

에 대하여

의 계산을 요구하고, 이것은 이번에는,

내에서

에 가장 가까운 트라이앵글을 찾는 것을 요구한다. 수학식 12에서 이 트라이앵글이

로 나타난다. 그러나,

내의 몇 버텍스들이

내의 가까운 트라이앵글들의 집합에 모두 가장 가까울 때, 같은 트라이앵글

의 다른 버텍스들에 대하여

의 반복적인 계산은 낭비적일 수 있다. 왜냐하면

를 찾는 것은 도 3-(a)에 도시된 바와 같이 개별적인 탑다운(top-down) BVH 순회(traversal)를 요구하기 때문이다. 따라서 본 발명의 실시예에서는, 이 계산의 속도를 빠르게 하기 위하여,

내의 트라이앵글들을 파티션(partition)하여 클러스터(cluster)하고, 각 클러스터를 바운딩 볼륨으로 둘러싼다. 일 실시예로서, 네 개 또는 그보다 적은 트라이앵글들을 하나의 리프-레벨(leaf-level) 바운딩 볼륨으로 넣을 수 있다. 그리고

와 클러스터된 바운딩 볼륨들 간에 최근접 거리 질의(closest-distance query)를 수행한다.

로부터 리프-레벨(leaf-level)의 바운딩 볼륨

으로의 최소 거리(minimal distance)를 발견하고, 또한 그것이

보다 작다면, 도 3-(b)에 도시된 바와 같이,

를 찾기 위하여

와

의 모든 가능한 이원 조합(pairwise combination)들을 테스트한다. 이러한 과정을 그룹 순회(Group Traversal)라 칭하기로 한다. 이러한 그룹 순회를 적용하여 모델

에 대한 선별제거를 수행하기 위한 수도-코드(pseudo-code)는 다음과 같다.Given triangle

about

In order to calculate the above, the screening technique described above

All three vertices in

about

Requires calculation, and this time,

Within

Ask to find the triangle closest to In Equation 12, this triangle

Appears. But,

Some of my vertices

The same triangle when they are all closest to the set of nearest triangles in

About other vertices of

Iterative calculations can be wasteful. because

Is because it requires a separate top-down BVH traversal as shown in Figure 3- (a). Therefore, in the embodiment of the present invention, in order to speed up the calculation,

Partition triangles within and cluster them, and surround each cluster with a bounding volume. As an example, four or fewer triangles can be put into one leaf-level bounding volume. And

Performs a closest-distance query between the clustered bounding volumes.

Leaf-level bounding volume from

Find the minimum distance to the

If smaller, as shown in Fig. 3- (b),

To find

Wow

Test all possible pairwise combinations of. This process will be referred to as group traversal. Apply these group traversals to model

The pseudo-code for performing the screening for P is as follows.

3. Subdivision

내에서 교차 선별제거로부터 살아남은 트라이앵글들

에 대한 하우스도르프 거리

를 계산할 필요가 있다. 다시 말하면, 만일 상기 수학식 6에서 트라이앵글

에 대하여

가 전체적인 하위 바운드

보다 크다면,

를 계산할 필요가 있다. 그러나, 이미 언급하였듯이,

의 정확한 계산은 비용이 많이 들기 때문에, 본 발명에서는 이를 사용자 정의된 소정 에러 경계값 ε 의 범위 안에서 근사한다. 이를 위하여 본 발명의 실시예에서는,

를

의 하우스도르프 거리의 상위 바운드와 하위 바운드 사이의 차이가 ε 보다 작을 때까지(즉,

) 또는 정확한 하우스도르프 거리가 얻어질 때까지 분할한다.Model now

Surviving Triangles from Cross Screening

Hausdorf Street for

We need to calculate In other words, if the triangle in Equation 6

about

Overall subbound

If greater than

We need to calculate However, as already mentioned

Since the exact calculation of is expensive, the present invention approximates it within the range of a user defined predetermined error boundary value ε. To this end, in the embodiment of the present invention,

To

Until the difference between the upper bound and lower bound of the Hausdorff distance of is less than ε (i.e.

Or divide until the correct Hausdorf distance is obtained.

3.1. algorithm

를 네 개의 서브-트라이앵글들(세 트라이앵글의 집합

및 하나의 트라이앵글

)로 분할할 때, 상술한 2.1절 및 2.2절에서 설명한 선별제거 및 바운드 계산 기법을 이 서브-트라이앵글들에 적용할 수 있다. 그리고 이 과정을

에 대한 바운드 계산 동안에 얻어진 프록시미티(proximity) 정보를 활용함으로써 더 최적화시킬 수 있다. 왜냐하면

와 트라이앵글들

및

의 바운드들 간에는 매우 높은 코히어런스(coherence)가 예상되기 때문이다. 본 실시예에 따른 분할 과정은 다음과 같이 수행될 수 있다.Triangle as shown in Figure 4- (a)

Is a set of four sub-triangles (a set of three triangles)

And one triangle

When dividing by), the descreening and bound calculation techniques described in Sections 2.1 and 2.2 above can be applied to these sub-triangles. And this process

It can be further optimized by utilizing the proximity information obtained during the bound computation for. because

And triangles

And

This is because very high coherence is expected between the bounds of. The division process according to the present embodiment may be performed as follows.

및 그것의 상위 바운드

가 주어질 때, 우선, 상기된 그룹 순회 기법을 이용하여

≤

인

내의 트라이앵글들의 집합

을 찾는다.

이기 때문에

의 사이즈는 매우 작다는 점을 알 수 있다. Step 1.

And its upper bound

Is given, first, using the group traversal technique described above

≤

sign

Set of triangles within

Find it.

Because

It can be seen that the size of is very small.

를 각 에지를 따라 네 개의 서브-트라이앵글들

및

로 분할한다. 이 과정은 다음 3.2절에서 더 자세히 설명할 것이다.Step 2. Triangle, as shown in Figure 6- (a)

Four sub-triangles along each edge

And

Split into This process will be described in more detail in Section 3.2 below.

에 대한 하우스도르프 거리의 상위 바운드 및 하위 바운드가 수학식 10 및 11을 이용하여 계산될 수 있다. 그러나 본 실시예에서는, 아래에 설명하는 것과 같이, 전체 집합

대신에 집합

만을 사용한다.

이기 때문에 이는 매우 효과적인 방법이다. 후술할 보조 정리 3으로부터 이 방법의 정당성을 확인할 수 있다. 단계 3은 구체적으로 다음과 같이 수행할 수 있다.Step 3.

The upper bound and lower bound of the Hausdorff distance for can be calculated using equations (10) and (11). However, in this embodiment, as described below, the entire set

Assembly instead

Use only

This is a very effective way. The justification of this method can be confirmed from Supplementary Theorem 3, which will be described later. Step 3 may be specifically performed as follows.

에 대한 하우스도르프 거리의 바운드들을 다음과 같이 계산한다.▷ First triangle in the center

Calculate the bounds of the Hausdorff distance for.

의 바운드들은 집합

로부터 상기된 바 와 유사한 방법으로 얻어질 수 있다. 이때, 트라이앵글

의 버텍스들

로부터 모델

로의 가장 가까운 거리

는 서브-트라이앵글

의 바운드를 계산하기 위해 다시 사용될 수 있다. 왜냐하면, 버텍스들

는

와

에 의해 공유되기 때문이다. ▷ other three sub-triangles

The bounds of the set

Can be obtained in a similar manner as described above. At this time, triangle

Vertices

Model

Nearest distance to

Is a sub-triangle

It can be used again to calculate the bound of. Because vertices

Is

Wow

Because it is shared by.

Step 4. Repeat Step 2 and Step 3 until one of the following conditions is met.

내의 모든 버텍스들에 가장 가까운 트라이앵글들이 동일하다면, 상위 바운드와 하위 바운드가 동일하기 때문에(즉,

=

),

에 대하여 분할 과정은 종료된다. 이 경우에서, 정확한 하우스도르프 거리

를 얻게 된다.▷ If

If the triangles closest to all the vertices within are the same, because the upper bound and the lower bound are the same (i.e.

=

),

The partitioning process is terminated for. In this case, the correct Hausdorf distance

You get

.The difference between the upper bound and the lower bound is smaller than the user defined predetermined error threshold value ε. In other words,

.

및

가 모두 닫혀 있다면(closed),

가 후술할 보조 정리 4 및 도 5에서 도시된 것처럼

에 의해 변환될 때

에 의해 둘러싸이는지 체크한다. 만일 그렇다면,

의 상위 바운드 및 하위 바운드의 차이는 사용자 정의된 에러 경계값 ε 의 범위 내에 들어오고, 따라서 더 이상의 분할은 요구되지 않는다. 본 조건은 선택적으로 채용될 수 있다. ▷ If model

And

If are all closed,

As shown in the auxiliary theorem 4 and FIG. 5 to be described later.

When converted by

Check if it is surrounded by. if so,

The difference between the upper bound and the lower bound of is within the range of the user defined error boundary value ε, so no further partitioning is required. This condition may optionally be employed.

Auxiliary theorem 3.

가 주어질 때, 만일 어떤

∈

에 대하여

=

이고,

라면,

이다. 여기서,

은 상기 단계 1에서 얻어지는 트라이앵글들의 집합이다.Partitioned triangle

When given, if any

∈

about

=

ego,

Ramen,

to be. here,

Is a set of triangles obtained in step 1 above.

Auxiliary Theorem 4.

및

를 각각

를 실현하는

내의 버텍스 및

내의 트라이앵글이라 하자. 즉,

. 나아가,

로부터

로의 가장 가까운 방향 벡터를

(즉,

)라고 하자. 그러면,

를

를 따라서

만큼 변환할 때, 만일

가 모델

에 의해 완전히 둘러싸여진다면, 다음 부등식이 성립한다.

And

Each

To realize

Vertices and

Let's say my triangle. In other words,

. Furthermore,

from

The closest direction vector to

(In other words,

Let's say then,

To

Along

When converting by

Model

If completely surrounded by, the following inequality holds:

이다.therefore,

to be.

3.2 Voronoi Subdivision

를 다시 나누는 하나의 간단한 방법은

의 각 에지를 종료 조건이 만족할 때까지 단순히 이등분하는 것이다. 그러나, 본 발명의 일 실시예에서, 분할 과정이 조기에 종료될 수 있도록 하기 위한 보다 효과적인 방법을 채용할 수 있다. 여기서의 주요한 관찰 정보는

의 모든 버텍스들이

내의 동일한 트라이앵글로 사영(projection)될 때, 더 이상의 분할은 불필요하다는 것이다. 따라서 에지 상에, 이전 버텍스들이 사영되는 트라이앵글과 동일한 트라이앵글로 사영되는 새로운 버텍스를 추가한다.In Step 2 of Section 3.1

One simple way to subdivide

Each edge of is simply bisected until the termination condition is met. However, in one embodiment of the present invention, a more effective method may be employed to allow the splitting process to terminate early. The main observations here

All the vertices

When projected to the same triangle in, no further splitting is necessary. Thus, on the edge, add a new vertex projected with the same triangle as the triangle from which the previous vertices are projected.

를, 양끝 버텍스

및

를 가지는, 분할될 필요가 있는 에지라 하자, 왜냐하면

및

는 각각 다른 트라이앵글, 즉

및

로 사영되기 때문이다. 그러면, 본 실시예에서

이

및

로부터 동일한 거리에 있도록 하는 새로운 버텍스

을 에지

상에 더하는 것이 요구된다. 즉,

=

. 다시 말하면,

및

의 이등분 평면

(즉, voronoi boundary)와 에지

사이의 교차 포인트를 찾는 것이 요구된다. 다만 트라이앵글에 대한 이등분 평면을 계산하는 것은 상대적으로 비용이 많이 들기 때문에, 본 발명의 일 실시예에서는,

과

를 함유하는 평면들로부터 동일 거리에 있는 버텍스

을, 간단한 선형 방정식을 풀음으로써 찾을 수 있다.More specifically described as follows. As shown in Fig. 4- (b),

Both vertices

And

Let be an edge that needs to be split, because

And

Are different triangles,

And

Because it is projected as. Then, in this embodiment

this

And

New vertices to stay at the same distance from

Edge

It is required to add to the phase. In other words,

=

. In other words,

And

Bisectoral plane of

(I.e. voronoi boundary) and edge

Finding the point of intersection between them is required. However, since calculating the bisector plane for a triangle is relatively expensive, in one embodiment of the present invention,

and

Vertices at equal distances from planes containing them

Can be found by solving a simple linear equation.

4. Two-sided Hausdorf Street

를 산출하는 효과적인 방법을 기술하였다. 양방향(two-sided) 하우스도르프 거리

를 산출하는 방법은

및

를 독립적으로 계산하고 그들의 최대값을 취하는 것이다. 그러나,

의 계산 및

의 계산 사이의 상호 의존성을 활용함으로써

를 보다 효과적으로 찾을 수 있다. 구체적으로 말하면, 2절 및 3절에서 설명된 기법을 사용해서

를 계산하고, 다음으로 아래와 같은 관 찰 정보를 사용해서

의 계산을 보다 빠르게 수행할 수 있다.Hausdorff street according to an embodiment of the present invention so far

An effective method of calculating Two-sided Hausdorf street

How to calculate

And

Are computed independently and take their maximums. But,

Calculation of and

By taking advantage of the interdependence between the calculations of

Can be found more effectively. Specifically, using the techniques described in verses 2 and 3

And then use the observation information

The calculation of can be done faster.

이기 때문에, 이미 계산된

값을

의 현재의 하위 바운드

로 초기화할 수 있다. 이러한 초기화는 2.1절의 첫 번째 선별제거 과정에서 하위 바운드

를 명백하게 0으로 하는 경우보다 훨씬 양호한 선별제거 결과를 제공한다.▷

Is already calculated

Value

The current subbound of

Can be initialized with This initialization is subbounded during the first screening process in Section 2.1.

Results in much better screening results than when explicitly set to zero.

를 계산할 때, 2.2절의 두 번째 선별제거 과정은

와

내에서 가장 가까운 트라이앵글들을 많이 찾는 것을 요구한다. 본 발명의 일 실시예에서는, 이렇게 찾아진 트라이앵글 쌍들의 정보를 캐쉬하고

를 계산함에 있어서의 두 번째 선별제거 과정에서 이들을 다시 사용할 수 있다.▷

, The second screening process in Section 2.2

Wow

It requires a lot of finding the nearest triangles within. In one embodiment of the invention, cache information of the triangle pairs found so

They can be used again in the second screening process in calculating.

In the above, the method of calculating the Hausdorff distance between complex polygonal models according to an embodiment of the present invention has been described. The Hausdorff distance calculation method according to this embodiment does not require any assumptions about the underlying topology and geometry. According to an embodiment of the present invention, the Hausdorff distance between polygonal models composed of tens of thousands of triangles can be approximated in real time with a small error boundary value, which is superior to conventional methods. The Hausdorff distance calculation method according to the present invention can be applied to various applications such as shape similarity measurement and penetration depth calculation.

Meanwhile, the above-described embodiments of the present invention can be written as a program that can be executed in a computer, and can be implemented in a general-purpose digital computer that operates the program using a computer-readable recording medium. The computer-readable recording medium may be a magnetic storage medium (for example, a ROM, a floppy disk, a hard disk, etc.), an optical reading medium (for example, a CD-ROM, DVD, etc.) and a carrier wave (for example, the Internet). Storage medium).

So far I looked at the center of the preferred embodiment for the present invention. Those skilled in the art will appreciate that the present invention can be implemented in a modified form without departing from the essential features of the present invention. Therefore, the disclosed embodiments should be considered in an illustrative rather than a restrictive sense. The scope of the present invention is shown in the claims rather than the foregoing description, and all differences within the scope will be construed as being included in the present invention.

1 is a flowchart illustrating a method of calculating a Hausdorff distance according to an embodiment of the present invention.

2 shows an example of a rectal sphere sphere (RSS).

에 대하여

를 계산하기 위하여, (a)는 개별적인 탑다운 BVH 순회를 수행하는 방법을, (b)는

및 바운딩 볼륨

에 대하여 단일한 탑다운 BVH 그룹 순회를 수행하는 방법을 나타낸다.3 is a conceptual diagram illustrating group traversal for BVH, with all

about

To calculate, (a) how to perform individual top-down BVH traversal, (b)

And bounding volume

For a single top-down BVH group traversal.

가 네 서브-트라이앵글??로 분할되는 모습을, (b)는 에지

상의 새로운 버텍스

이

,

의 이등분 평면

와

의 교차점인 모습을 나타낸다.4 is a conceptual diagram illustrating a Voronoi segmentation technique, in which (a) is a triangle

Is divided into four sub-triangles, (b)

Vertex on Pinterest

this

,

Bisectoral plane of

Wow

It represents the intersection of.

가

에 의해 변환될 때,

가

에 의해 둘러싸여 있는 모습을 나타낸다.5 is a conceptual diagram illustrating a termination condition for a closed model.

end

When converted by

end

It appears to be surrounded by.

Claims (14)

In the method of calculating the Hausdorff distance for the polygon model, (a) Polygon Model

Wow

When is given,

From above

Hausdorf Street

Computing the step, (a1) above

Triangles in

Of the above

Screening triangles that do not contribute to; (a2) above

Of the triangles in the triangle remaining as a result of performing the step (a1)

From above

Hausdorf Street

Screen out triangles that do not contribute to the

Updating the upper bound and the lower bound of the; (a3) the updated

Based on the upper bound and lower bound of

Updating the upper bound and the lower bound of the; And (a4) Triangle remaining as a result of performing steps (a1) to (a3)

Remind

And dividing until the difference between the upper bound and the lower bound is equal to or less than a predetermined value. The method of claim 1, (b) above

From above

Hausdorf Street

Calculating; And (c) above

And above

The maximum value of two-sided Hausdorff distance

Hausdorff distance calculation method further comprising the step of taking. The method of claim 2, Hausdorf distance in step (b)

In calculating Calculated in step (a)

To

Hausdorff distance calculation method characterized in that the initial value of the lower bound of. The method of claim 2, Cache information of the remaining pairs of triangles as a result of performing the steps (a1) and (a2), and in step (b), the Hausdorff distance

Hausdorff distance calculation method, characterized in that for reusing the information in calculating. According to claim 1, wherein the step (a1), remind

The upper bound of the above

Triangles less than the lower bound of

Remind

The method of calculating the Hausdorff distance, characterized in that by removing as a triangle that does not contribute to. According to claim 1, wherein the step (a1), Triangles

In the bounding volume that surrounds the set of

Huisdorf distance to any point in the above

Triangles included in the bounding volume that is smaller than the lower bound of

Remind

The method of calculating the Hausdorff distance, characterized in that by removing as a triangle that does not contribute to. The method of claim 6, The bounding volume is a Hausdorff distance calculation method characterized in that the SSV (swept sphere volume). The method of claim 1, In the step (a2)

The upper bound of the Hausdorff distance calculation method, characterized in that defined by the following equation.

. here, Above

The vertices in

Represents the Euclidean distance operator. The method of claim 8, remind

Within the above

Triangle closest to

Above to find

Partition and cluster triangles within it and surround each cluster with a bounding volume,

And a shortest distance query between the clustered bounding volumes and the Hausdorff distance calculation method. The method of claim 1, wherein step (a4) comprises: The triangle

And dividing into a plurality of sub-triangles, and repeating steps (a1) to (a3) for the sub-triangles. The method of claim 10, The triangle

In dividing a into a plurality of sub-triangles, wherein

Sub-triangles along the edge of

And inner sub-triangle

Hausdorff distance calculation method, characterized in that divided by. The method of claim 11, wherein step (a4), (a41) above

For the upper bound of:

-

≤

Said to satisfy

Set of triangles within

Finding; (a42) the triangle

The sub-triangles along the edge

And

Dividing into; (a43) the set

Using

From above

Calculating an upper bound and a lower bound of the Hausdorff distance to the furnace; And (a44) comprising the steps of repeating steps (a42) to (a43) until a predetermined termination condition is satisfied. The method of claim 12, Step (a42), On the edge

Recall that vertices of

Add a new vertex projected to the same triangle as the triangle within and the triangle relative to the added vertex

Hausdorff distance calculation method, characterized in that to divide.  A computer-readable recording medium having recorded thereon a program for executing a Hausdorff distance calculation method for a polygon model according to any one of claims 1 to 13.

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