KR102651604B1 - 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법, 및 그 장치 - Google Patents

비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법, 및 그 장치 Download PDF

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KR102651604B1 KR1020230030017A KR20230030017A KR102651604B1 KR 102651604 B1 KR102651604 B1 KR 102651604B1 KR 1020230030017 A KR1020230030017 A KR 1020230030017A KR 20230030017 A KR20230030017 A KR 20230030017A KR 102651604 B1 KR102651604 B1 KR 102651604B1
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polytop
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한정현
김승욱
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고려대학교 산학협력단
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Abstract

비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법, 및 그 장치가 개시된다. 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법은 (a) 복수의 폴리톱을 연결하여 다양체를 구성하되, 상기 복수의 폴리톱에 탄성력(spring force)적용하여 상기 복수의 폴리톱들이 상호 침투 없이 연결되도록 다양체를 구성하여 비유클리드 공간을 모델링하는 단계; (b) 상기 모델링된 비유클리드 공간에서 상기 다양체의 법선 벡터를 따라 압출하여 렌더링 프리미티브에 대한 무한 프리즘을 생성하는 단계; 및 (c) 렌더링 광선이 상기 무한 프리즘과 충돌시, 상기 렌더링 프리미티브에 상기 렌더링 광선을 투영하여 렌더링하는 단계를 포함한다.

Description

비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법, 및 그 장치{Non-Euclidean spaces modeling and rendering method, and apparatus thereof}
본 발명은 연쇄 폴리톱으로 근사된 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법, 및 그 장치에 관한 것이다.
컴퓨터 그래픽스 분야에서 비유클리드 3차원 공간을 시각화하기 위해 다양한 연구가 진행되고 있다. 비유클리드 공간은 물리적 세계에서 구현할 수 없기 때문에 가상 세계의 사용자에게 이상하지만 매력적인 경험을 제공할 수 있다. 따라서, 점점 더 많은 비유클리드 게임이 주목을 받고 있다.
대표적인 예가 Portal(Valve 2007)과 Antichamber(Demruth 2013)가 있다. 그러나, 이들은 실제로 비유클리드 어플리케이션이 아니다. 포탈을 사용하여 연결된 가상 세계를 모방하고 주로 세계간 순간 이동을 지원하고 있을 뿐이다.
즉, 종래에 채택된 비유클리드 공간을 위한 모델링과 렌더링은 대체로 임시방편일 뿐이며, 수학적 배경과 방법론이 부족하다.
본 발명은 연쇄 폴리톱으로 근사된 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법, 및 그 장치를 제공하기 위한 것이다.
또한, 본 발명은 유클리드 공간에서 제공할 수 없는 사용자에게 특이한 경험을 제공할 수 있는 연쇄 폴리톱으로 근사된 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법, 및 그 장치를 제공하기 위한 것이다.
본 발명의 일 측면에 따르면 연쇄 폴리톱으로 근사된 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법이 제공된다.
본 발명의 일 실시예에 따르면, (a) 복수의 폴리톱을 연결하여 다양체를 구성하되, 상기 복수의 폴리톱에 탄성력(spring force)적용하여 상기 복수의 폴리톱들이 상호 침투 없이 연결되도록 다양체를 구성하여 비유클리드 공간을 모델링하는 단계; (b) 상기 모델링된 비유클리드 공간에서 상기 다양체의 법선 벡터를 따라 압출하여 렌더링 프리미티브에 대한 무한 프리즘을 생성하는 단계; 및 (c) 렌더링 광선이 상기 무한 프리즘과 충돌시, 상기 렌더링 프리미티브에 상기 렌더링 광선을 투영하여 렌더링하는 단계를 포함하는 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법이 제공될 수 있다.
상기 (a) 단계에서, 상기 복수의 폴리톱들이 상기 탄성력 적용에 의해 상호 침투시, 충돌처리(collision resolution)를 수행하여 상기 폴리톱들을 분리한 후 상기 탄성력을 다시 적용하되, 상기 복수의 폴리톱들이 상호 침투 없이 연결될때까지 상기 충돌 처리 및 상기 탄성력 적용이 반복 수행될 수 있다.
상기 (a) 단계에서, 상기 각 폴리톱의 연결면(mating facet)을 선택하고, 상기 폴리톱들의 연결 면의 정점 연결 링크를 지정하여 폴리톱간의 연결 관계를 정의하여 상기 다양체를 구성할 수 있다.
상기 (a) 단계에서, 사전 정의된 횟수내에서 상기 복수의 폴리톱들이 연결되지 않는 경우, 적어도 하나의 관절 폴리톱을 추가 생성한 후 상기 복수의 폴리톱들을 연결하여 상기 다양체를 구성하되, 상기 관절 폴리톱은 다른 폴리톱을 관통하도록 지정될 수 있다.
상기 렌더링 광선이 상기 무한 프리즘에 충돌하지 않으면 다음 폴리톱으로 진행하는 단계를 더 포함할 수 있다.
본 발명의 다른 측면에 따르면, 연쇄 폴리톱으로 근사된 비유클리드 공간 모델링과 렌더링을 위한 장치가 제공된다.
본 발명의 일 실시예에 따르면, 복수의 폴리톱을 연결하여 다양체를 구성하되, 상기 복수의 폴리톱에 탄성력(spring force)적용하여 상기 복수의 폴리톱들이 상호 침투 없이 연결되도록 다양체를 구성하여 비유클리드 공간을 모델링하는 모델링부; 및 상기 모델링된 비유클리드 공간에서 상기 다양체의 법선 벡터를 따라 압출하여 렌더링 프리미티브에 대한 무한 프리즘을 생성하고, 렌더링 광선이 상기 무한 프리즘과 충돌시, 상기 렌더링 프리미티브에 상기 렌더링 광선을 투영하여 렌더링하는 렌더링부를 포함하는 컴퓨팅 장치가 제공될 수 있다.
본 발명의 일 실시예에 따른 연쇄 폴리톱으로 근사된 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법, 및 그 장치를 제공함으로써, 유클리드 공간에서 제공할 수 없는 사용자에게 특이한 경험을 제공할 수 있다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법을 나타낸 순서도.
도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른 3개의 폴리톱으로 구성된 다양체를 예시한 도면.
도 3은 본 발명의 일 실시예에 따른 폴리톱간의 상호 침투를 설명하기 위해 도시한 도면.
도 4는 본 발명의 일 실시예에 따른 탄성력과 충돌 처리를 설명하기 위해 도시한 도면.
도 5는 본 발명의 일 실시예에 따른 관절 폴리톱을 설명하기 위해 도시한 도면.
도 6은 본 발명의 일 실시예에 따른 연쇄된 폴리톱을 이용하여 3개의 방이 있는 집을 모델링한 일 예를 도시한 도면.
도 7은 본 발명의 일 실시예에 따른 3D 유클리드 공간에 임베딩된 2-다양체를 설명하기 위해 도시한 도면.
도 8은 본 발명의 일 실시예에 따른 카메라-공간 기저 갱신을 설명하기 위해 도시한 도면.
도 9는 본 발명의 일 실시예에 따른 3-다양체에서 삼각형 렌더링을 설명하기 위해 도시한 도면.
도 10은 본 발명의 일 실시예에 따른 광선 진행을 설명하기 위해 도시한 도면.
도 11은 본 발명의 일 실시예에 따른 교차된 폴리톱상에서의 카메라 및 광선 이동 방향을 설명하기 위해 도시한 도면.
도 12는 본 발명의 일 실시예에 따른 비유클리드 공간에서의 조명을 설명하기 위해 도시한 도면.
도 13 내지 도 16은 본 발명의 일 실시예에 따른 연쇄된 폴리톱을 이용한 비유클리드 공간을 렌더링한 일 예를 도시한 도면.
도 17은 본 발명의 일 실시예에 따른 컴퓨팅 장치의 내부 구성을 개략적으로 도시한 블록도.
본 명세서에서 사용되는 단수의 표현은 문맥상 명백하게 다르게 뜻하지 않는 한, 복수의 표현을 포함한다. 본 명세서에서, "구성된다" 또는 "포함한다" 등의 용어는 명세서상에 기재된 여러 구성 요소들, 또는 여러 단계들을 반드시 모두 포함하는 것으로 해석되지 않아야 하며, 그 중 일부 구성 요소들 또는 일부 단계들은 포함되지 않을 수도 있고, 또는 추가적인 구성 요소 또는 단계들을 더 포함할 수 있는 것으로 해석되어야 한다. 또한, 명세서에 기재된 "...부", "모듈" 등의 용어는 적어도 하나의 기능이나 동작을 처리하는 단위를 의미하며, 이는 하드웨어 또는 소프트웨어로 구현되거나 하드웨어와 소프트웨어의 결합으로 구현될 수 있다.
이하, 첨부된 도면들을 참조하여 본 발명의 실시예를 상세히 설명한다.
도 1은 본 발명의 일 실시예에 따른 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법을 나타낸 순서도이고, 도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른 3개의 폴리톱으로 구성된 다양체를 예시한 도면이고, 도 3은 본 발명의 일 실시예에 따른 폴리톱간의 상호 침투를 설명하기 위해 도시한 도면이고, 도 4는 본 발명의 일 실시예에 따른 탄성력과 충돌 처리를 설명하기 위해 도시한 도면이고, 도 5는 본 발명의 일 실시예에 따른 관절 폴리톱을 설명하기 위해 도시한 도면이며, 도 6은 본 발명의 일 실시예에 따른 연쇄된 폴리톱을 이용하여 3개의 방이 있는 집을 모델링한 일 예를 도시한 도면이고, 도 7은 본 발명의 일 실시예에 따른 3D 유클리드 공간에 임베딩된 2-다양체를 설명하기 위해 도시한 도면이고, 도 8은 본 발명의 일 실시예에 따른 카메라-공간 기저 갱신을 설명하기 위해 도시한 도면이며, 도 9는 본 발명의 일 실시예에 따른 3-다양체에서 삼각형 렌더링을 설명하기 위해 도시한 도면이고, 도 10은 본 발명의 일 실시예에 따른 광선 진행을 설명하기 위해 도시한 도면이며, 도 11은 본 발명의 일 실시예에 따른 교차된 폴리톱상에서의 카메라 및 광선 이동 방향을 설명하기 위해 도시한 도면이고, 도 12는 본 발명의 일 실시예에 따른 비유클리드 공간에서의 조명을 설명하기 위해 도시한 도면이며, 도 13 내지 도 16은 본 발명의 일 실시예에 따른 연쇄된 폴리톱을 이용한 비유클리드 공간을 렌더링한 일 예를 도시한 도면이다.
단계 110에서 컴퓨팅 장치(100)는 복수의 폴리톱을 연결하여 다양체를 구성한다.
본 발명의 일 실시예에 따르면, 차원 비유클리드 공간은 "유클리드 공리를 위반하는 특정 구조를 가진 차원 다양체(manifold)"로 정의하기로 한다.
다양체 자체를 렌더링하는 것은 매우 많은 연산량을 필요로 하기 때문에, 본 발명의 일 실시예에서는 연쇄된 폴리톱들로 다양체를 근사화하여 모델링하고 렌더링할 수 있다. 이에 대해 보다 상세히 설명하기로 한다.
컴퓨팅 장치(100)는 n개의 폴리톱(polytopes)을 구성한다. 여기서, n개의 폴리톱은 2D인 것을 가정하기로 한다. 폴리톱의 형상은 제한이 없는 것을 가정하기로 한다.
도 2를 참조하여 3개의 폴리톱으로 구성된 다양체에 대해 설명하기로 한다. 이해와 설명의 편의를 도모하기 위해, 도 2에서는 각 폴리톱이 2D 정사각형 방인 것을 가정하여 설명하기로 한다.
도 2의 (a)에서 보여지는 1, 2, 3으로 표기된 3개의 폴리톱은 각각 방으로 구성될 수 있다. 따라서, 도 2의 (a)는 방이 3개 있는 다양체일 수 있다.
컴퓨팅 장치(100)는 이러한 복수의 폴리톱을 연결하기 위해, 폴리톱간의 연결 면(mating facet)을 선택하고, 각 연결 면에 대한 정점 연결 링크를 지정하여 폴리톱간의 연결 관계를 정의하여 다양체를 구성할 수 있다.
도 2의 (a)에서 보여지는 바와 같이, 방 1과 방2는 A로 표시된 문을 통해 연결되며, 방 2와 방 3은 B로 표시된 문으로 연결되며, 방 3과 방 1은 C로 표시된 문으로 연결될 수 있다.
예를 들어, 사용자는 방 1에서 걷기 시작하여 A, B, C를 차례로 통과하여 방 1로 다시 돌아오는 것을 가정하기로 한다. 이때, 사용자는 도 2의 (b)에서 오른쪽 아래 사분면에 위치될 것으로 예상되는 추가적인 방을 거치지 않고 방 1로 돌아올 수 있다. 이와 같이, 비유클리드 공간은 사용자에게 새로운 경험을 제공할 수 있다.
도 2의 (c)는 도 2의 (b)와 유사한 경험을 제공하나 반대 경로를 나타낸 것이다. 3개의 방으로 구성된 집은 삼각형 경로의 내각의 합이 180도가 아닌 타원 기하학의 일 예이다.
도 2의 (d)는 폴리톱들의 분해 예시도이다. 이를 참조하여 폴리톱간의 연결 관계에 대해 설명하기로 한다. 두개의 폴리톱을 연결할 때, 컴퓨팅 장치(100)는 각 폴리톱마다 연결 면(mating facet)을 선택할 수 있다. 이때, 두 폴리톱의 연결면은 합동이여야 두 세계를 연결하는 문으로 변환될 수 있다. 예를 들어, 도 2의 (d)를 참조하여 분리된 3개의 폴리톱에서 3 쌍의 연결면을 구성하면 도 2의 (d)와 같이 구성될 수 있다.
즉, 컴퓨팅 장치(100)는 복수의 폴리톱들의 연결 관계를 구성하고, 짝을 이루는 면(facet)의 정점 사이의 대응 관계(정점 연결 링크)를 지정함으로써, 다양체를 구성할 수 있다. 도 2의 (e)에 점선 링크로 연결 면에 대한 정점 연결 링크가 표시되어 있다.
단계 115에서 컴퓨팅 장치(100)는 무작위로 배치된 폴리톱에 질량-탄성 모델(mass-spring model)을 적용하여 폴리톱들을 상호 침투 없이 연결하여 다양체를 구성하여 비유클리드 공간을 모델링한다.
이에 대해 보다 상세히 설명하기로 한다.
폴리톱간의 연결을 위한 정점 연결 링크는 스프링으로 간주되어 탄성력(spring force)를 적용하는 경우 폴리톱들이 탄성력에 의해 변형될 수 있다. 예를 들어, 폴리톱을 강체라고 가정하면, 탄성력은 단순한 후크(Hooke)의 법칙을 따른다.
즉, 도 2의(e)와 같이 폴리톱간에 연결면에 대한 정점 연결 링크를 구성한 후 질량-탄성 모델을 사용하여 폴리톱들에 탄성력을 적용하는 경우 도 2의 (a)에 도시된 바와 같이 방이 3개인 집이 모델링될 수 있다.
다양체가 복잡해짐에 따라 탄성력으로 인해 폴리톱들이 상호 침투할 수 있다. 예를 들어, 도 3을 참조하여 이에 대해 설명하기로 한다.
도 3의 (a)는 녹색 앞마당이 있는 방 3개를 가진 집을 연쇄된 폴리톱으로 구성한 다양체를 모델링하는 것을 가정하기로 한다.
이를 위해, 컴퓨팅 장치(100)는 4개의 폴리톱을 구성하고, 각각의 폴리톱들간의 연결 면을 선택한 후 정점 연결 링크를 지정할 수 있다. 이후, 컴퓨팅 장치(100)는 폴리톱들에 탄성력을 적용하여 다양체를 모델링할 수 있다.
이때, 탄성력에 의해 도 3의 (c)에 도시된 바와 같이, 3개의 방들은 모두 이어지나 집이 앞마당을 관통할 수 있다.
이와 같이, 폴리톱간에 상호 침투가 발생하면, 컴퓨팅 장치(100)는 폴리톱들을 충돌 처리하여 다양체를 모델링할 수 있다.
도 3의 (d)는 충돌 처리에 의해 폴리톱들간에 상호 침투가 없는 다양체가 모델링된 일 예를 도시한 도면이다. 도 3의 (a)와 (d)의 다양체는 3D 임베딩 공간의 관점에서 서로 다른 형상을 가지나 동일한 토폴로지를 가지므로 다양체를 탐색하는 카메라는 둘 사이의 차이점을 인식할 수 없다.
충돌 처리로 인해 폴리톱들이 분리될 수 있다. 이와 같은 경우, 컴퓨팅 장치(100)는 정점 연결 링크에 탄성력을 다시 가한 후 충돌 처리를 수행할 수 있다. 컴퓨팅 장치(100)는 폴리톱들이 상호 침투 없이 연결되거나 미리 정의된 반복 횟수에 도달할때까지 탄성력과 충돌 처리를 반복 수행할 수 있다.
도 4를 참조하여 이에 대해 설명하기로 한다.
도 4의 (a)는 8개의 폴리톱으로 구성된 다양체를 도시한 도면이다. 도 4의 (b)에서 보여지는 바와 같이, 복수의 폴리톱들 각각에 대한 연결면(mating facet)을 선택한 후 각 쌍의 폴리톱의 연결면에 대한 정점 연결 링크를 구성할 수 있다.
이어, 컴퓨팅 장치(100)는 복수의 폴리톱의 연결면에 탄성력을 가하여 폴리톱들을 상호 침투 없이 연결하여 다양체를 모델링할 수 있다. 도 4의 (c)는 탄성력을 가한 후 폴리톱들이 상호 침투 없이 연결되어 충돌 처리가 불필요한 일 예가 도시되어 있다.
도 4의 (d)에 보여지는 바와 같이, 폴리톱들간의 연결면에 탄성력을 가한 후 적어도 일부 폴리톱간에 상호 침투가 발생할 수도 있다. 이와 같은 경우, 충돌 처리를 수행한 후 다시 탄성력을 가하여 상호 침투 없이 폴리톱이 연결될 수 있다.
도 3의 (a)와 (d)에서 이미 전술한 바와 같이, 도 4의 (d)의 결과는 비유클리드 관점에서 도 4의 (c)의 결과와 동일하다.
이와 같이, 복수의 폴리톱들을 이용하여 다양체를 모델링함에 있어, 상호 침투 없이 폴리톱들을 연결하는 과정은 미리 정의된 횟수 이내에서 획득되지 못할 수도 있다.
도 5를 참조하여 이에 대해 설명하기로 한다. 도 5의 (a)는 두 개의 폴리톱으로 구성한 후 폴리톱간의 연결면에 대한 정점 연결 링크가 지정되어 있다.
이때, 도 5의 (a)에서 보여지는 바와 같이, 빨간색 폴리톱과 파란색 폴리톱을 각각 방이라고 가정하기로 한다. 빨간색 방과 파란색 방을 연결하여 빨간색 방에 있는 사용자가 파란색 방을 통해 곧바로 빨간색 방으로 돌아가도록 구현하는 것을 가정하기로 한다.
전술한 바와 같이, 탄성력은 폴리톱을 겹치게 만들고, 충돌 처리를 폴리톱을 분리할 수 있으며, 이 과정은 무한 반복될 수 있다. 따라서, 컴퓨팅 장치(100)는 한 쌍의 폴리톱이 사전 정의된 반복 횟수 내에서 연결되지 않으면, 한 쌍의 폴리톱을 연결하는 두 연결면의 해당 정점이 연결되어 새로운 폴리톱(이하, 관절 폴리톱이라 칭하기로 한다)을 생성한다. 도 5의 (b)는 관절 폴리톱이 예시되어 있다.
이러한 관절 폴리톱은 다른 폴리톱과는 달리 다른 폴리톱을 관통할 수 있다. 따라서, 컴퓨팅 장치(100)는 n-D 임베딩 공간을 버리고 관절 폴리톱을 포함하여 (n+1)-D 유클리드 공간에 다양체를 임베딩할 수 있다. 이와 같이, 차원을 추가함으로써 폴리톱간의 상호 침투 가능성을 크게 줄일 수 있는 이점이 있다.
다시 정리하면, 컴퓨팅 장치(100)는 (n+1)-D 유클리드 공간에 복수의 폴리톱으로 구성된 다양체가 임베딩되지 않으면 차원을 추가하여 (n+2)-D 유클리드 공간으로 이동하여 폴리톱들간의 연결 절차를 다시 수행할 수 있다.
컴퓨팅 장치(100)는 폴리톱들간의 상호 침투 없이 연결될 때까지 해당 과정을 반복 수행할 수 있다.
도 6은 복수의 3-폴리톱을 이용하여 3개의 방이 있는 집을 다양체로 모델링하는 일 예를 도시하고 있다.
도 6의 (a)는 각각 방을 나타내는 3-폴리톱을 도시하고 있다. 이러한 폴리톱간의 연결면을 선택한 후 해당 연결면에 대한 정점 대응(즉, 정점 연결 링크)을 통한 연결 절차는 4D 유클리드 공간에 포함된 3개의 방을 가진 집을 나타내는 다양체를 생성할 수 있다. 탄성력으로 인한 강체 운동은 유클리드 임베딩 공간에서 만들어진다. 도 6에서 강체 운동은 4D이며, 도 3의 경우는 3D이다.
그러나, 만일 임베딩 공간을 4D로 변경하면 강체 운동 또한 4D가 된다. 3D 폴리톱을 다루기 위해서는 4D 이상의 유클리드 공간에서 탄성력 및 충돌 처리를 수행해야 한다. 본 발명의 일 실시예에서는 ACM transactions on graphics에 게재된 "N-dimensional rigid body dynamics"에서 공지된 다차원 강체 시뮬레이션 방법을 활용하기로 한다.
단계 120에서 컴퓨팅 장치(100)는 모델링된 비유클리드 공간에서 다양체의 법선을 따라 렌더링 프리미티브에 대한 무한 프리즘을 압출한다.
단계 125에서 컴퓨팅 장치(100)는 렌더링 광선이 무한 프리즘과 충돌 여부를 판단한다.
만일 렌더링 광선이 무선 프리즘에 충돌하지 않은 경우, 단계 130에서 컴퓨팅 장치(100)는 렌더링 광선의 진행 방향을 결정하여 진행시킨다. 그리고, 단계 125로 진행한다.
그러나, 만일 렌더링 관선이 무선 프리즘에 충돌하는 경우, 단계 135에서 컴퓨팅 장치(100)는 렌더링 프리미티브에 렌더링 광선을 투영하여 렌더링한다.
이하에서는 다양체를 렌더링하는 방법에 대해 보다 상세히 설명하기로 한다.
n-D 강체 시뮬레이터에 의해 m-폴리톱을 움직이기 위해서는 그 차원이 n-D로 확장되어야 한다. m-폴리톱의 법선의 수는 n-m이므로, m-폴리톱은 n-m 법선을 따라 약간 돌출되어 n-D가 된다.
본 발명의 일 실시예에서는 n-D 유클리드 공간에 포함된 m-D 비유클리드 공간을 지원한다. 여기서, m<n 이다. m-D 비유클리드 공간은 m-D 유클리드 공간과 로컬로 유사한 위상 공간으로 정의되는 m-다양체다.
이해와 설명의 편의를 도모하기 위해, 도 7을 참조하여 우선 3D 유클리드 공간에 임베딩된 다양체에 대해 설명하기로 한다. 도 7의 (a)는 3D 유클리드 공간에 임베딩된 다양체를 도시한 도면이다. 여기서, 파란색 화살표는 다양체의 법선을 나타낸다.
도 7의 (b)와 같이 카메라가 "o" 지점에 있다고 가정하기로 한다. 라인 세그먼트를 렌더링하기 위해 원점이 o인 카메라 공간을 정의할 수 있다. 도 7의 (b)를 참조하면, 원점을 기준으로 빨간색 화살표는 뷰 방향에 따른 단위 벡터를 나타낸다. 또한, 법선 벡터(파란색)와 뷰 벡터의 교차 곱은 왼쪽 벡터(검은색 화살표)로 정의하기로 한다. 뷰 벡터와 함께 왼쪽 벡터는 2D 카메라 공간의 직교 기저(orthonormal basis)를 구성할 수 있다.
카메라가 다양체를 탐색할 때, 이동 방향은 뷰 방향과 다를 수 있으며, 이는 속도로 나타낼 수 잇다. 각 프레임에 대해 카메라는 속도만큼 진행한다. 도 7의 (c)는 다양체의 단면도이며, 빨간색 화살표는 속도를 나타낸다. 빨간색 화살표의 끝이 반드시 다양체에 있는 것은 아니므로 다양체에 투영된다.
도 7을 참조하여, 카메라 공간 광선이 o에서 다양체 장면(scene)을 향해 발사될 수 있다. 도 7의 (d)에 도시된 바와 같이, 각 광선은 진행한다. 광선이 진행하는 각각의 단계에서 광선이 렌더링 프리미티브에 닿는지를 테스트한다. 아무것도 닿지 않으면 광선은 다양체에 투영될 수 있다. 투영된 점을 다시 원점으로 삼아 탄젠트 공간을 계산하고, 그 다음 진행을 위해 법선에서 광선의 방향이 재정의된다.
진행 단계의 크기가 충분히 작지 않으면 광선이 선분을 지나 이동할 수 있다. 따라서, 도 7의 (d)와 같이 법선 n과 그 반대 방향을 따라 선분을 무한대로 밀어낸다. 진행하는 단계의 광선이 3D 유클리드 공간에서 무한 직사각형(무한 프리즘)에 부딪히면 다양체에서 선분에 부딪힌 것으로 판단할 수 있다.
도 7의 (e)에서 p0와 p1은 선분의 끝점을 나타낸다. p0와 p1은 법선 n을 재정의하기 위해 보간된다. 도 7의 (e)에서 s는 광선의 시작 위치를 나타내고, r은 광선의 단위 벡터를 나타낸다.
이와 같은 정점들과 벡터들을 이용하여 수학식 1의 방정식을 도출할 수 있다.
여기서, 와 인 경우, 광선은 선분에 부딪힌 것으로 결정된다. 수학식 1의 방정식을 항상 풀 수 있는 것은 아니다. 예를 들어, r과 n이 평행한 경우, 방정식은 특이해(singular)가 되며, 이와 같은 경우 최소제곱법을 사용하여 근사 솔루션을 획득할 수 있다.
이해와 설명의 편의를 도모하기 위해 2-다양체에 대해 설명하였다. 상술한 2-다양체는 이해하기 쉽지만 의미 있는 콘텐츠를 생성할 여지가 거의 없다.
이하에서는 3-다양체에 대해 설명하기로 한다.
이해와 설명의 편의를 도모하기 위해, 유클리드 공간에서 카메라 포즈의 갱신에 대해 설명하기로 한다.
카메라 공간 기반은 3개의 정규 직교 벡터로 구성되며, 도 8의 (a)를 참조하여 "left", "up", "view" 라고 한다.
예를 들어, 사용자가 약간 왼쪽 위를 보는 경우, 도 8의 (b)와 같이 "left" 와 "up"의 작은 부분이 "view" 에 추가되어 갱신되며, 갱신된 벡터는 "view'"로 정의하기로 한다.
"up" 벡터와 갱신된 벡터 "view'"의 교차 곱을 "left'"로 정의하기로 한다. 또한 도 8의 (c)에서 보여지는 바와 같이, "view'" 벡터와 "left'" 벡터의 교차 곱은 "up'" 벡터로 취하여 "left'", "up'"벡터 및 "view'"벡터가 새로운 기저를 이룬다. 반면에 사용자가 제공하는 카메라의 이동 방향은 카메라가 전진하는 속도 벡터에 매핑될 수 있다.
4D 유클리드 공간에 내장된 3-다양체에서 카메라 포즈 업데이터 및 렌더링에 대해 설명하기로 한다.
3-다양체에 대한 모든 작업은 4D 유클리드 공간에서 이루어진다.
"left", "up" 및 "view"는 유클리드 공간에서 초기화되며, 4D 유클리드 공간에 포함된 3-다양체에서 마찬가지이며, "left", "up" 및 "view"는 이제 4D 벡터인 것을 가정하기로 한다.
사용자가 만일 약간 왼쪽 위를 바라보는 경우, "left"와 "up"의 작은 일부가 "view"에 추가되며 "view'"가 새로 정의된다. 이어, 전술한 바와 같이, "left'"와 "up'"가 계산될 수 있다. 이를 위해 Blinn's[2003]에서와 같이 4D 벡터에 대한 교차 곱 연산을 사용한다. 3개의 4D 벡터(a, b, c)의 교차 곱은 수학식 2와 같이 정의될 수 있다.
여기서,
법선은 현재 위치에서 3-다양체의 법선으로 나타내기로 한다. 따라서, 는 "left'"로 정의하기로 한다. 또한, 는 "up'"로 정의하기로 한다. 새로운 카메라 공간 기반은 "left'", "up'", "view'"로 구성될 수 있다.
일반적인 유클리드 공간과 마찬가지로 사용자가 제공하는 이동 방향은 속도 벡터에 매핑될 수 있다. 기저 벡터가 모두 4D이므로 속도 또한 4D이며, 카메라는 4D 선형 속도로 진행한 다음 3-다양체에 투영될 수 있다.
3-다양체의 기본 렌더링 프리미티브는 다각형 또는 삼각형이다. 카메라 광선이 3-다양체 장면을 향해 발사된다. 각 광선은 진행하고 렌더링 프리미티브에 도달하면, 광선이 다양체에 투영되고, 그렇지 않으면 다시 진행한다.
도 9는 3-다양체를 상자로 시각화한 일 예가 도시되어 있다. 세개의 정점 p0, p1, p3로 이루어진 삼각형을 렌더링하기 위해, 이 삼각형은 다양체의 법선 벡터인 n을 따라 압출되어 무한한 프리즘을 생성한다.
렌더링을 위한 광선이 s에서 r 방향으로 발사되는 것을 가정하기로 한다. 4차원 정점과 벡터들을 이용하여 수학식 1에서 확장된 수학식 3과 같은 방정식을 도출할 수 있다.
만일 , , 이고, 이면, 광선이 프리즘과 충돌한 것으로 결정하여 이 경우 광선이 삼각형과 충돌한 것으로 간주한다.
임베딩 공간은 4D로 제한되지 않는다. m-다양체가 n-D 유클리드 공간에 내장되면, n-m 법선은 n-D 공간에서 정의될 수 있다. 반면, 3-다양체의 렌더링 프리미티브는 삼각형에 국한되지 않으며, 점, 선분 및 삼각형에 해당하는 0-, 1-, 2 단체(simplices)를 포함한다. m-다양체의 렌더링 프리미티브는 일반적으로 -단체(simplex)이며, 은 0, 1, ??, 또는 m-1일 수 있다.
광선 충돌 판정법의 경우, -단체(simplex)는 n-m 법선(및 그 반대 방향)을 따라 돌출되어 n-m 차원의 더 높은 개체를 만든다.
수학식 3으로 표현되는 광선 충돌 판정법은 수학식 4와 같이 확장될 수 있다.
여기서, 는 -단체(simplex)의 정점을 나타내고, 는 n-m 법선을 나타낸다. 만일 이고, 이면 광선은 -단체(simplex)와 충돌한 것으로 결정된다.
각 진행 단계에 대해 모든 렌더링 프리미티브에 대해 방정식 4를 풀고 아무것도 닿지 않으면 광선을 다양체에 투영한다. 계산 비용을 줄이기 위해 m-D 폴리톱을 연결하여 m-다양체를 근사화한다. 도 10의 (a)는 4개의 연결된 2-폴리톱으로 근사화된 2-다양체를 도시한 도면이다. 폴리톱이 주어지면, 도 10의 (b)에 표시된 것처럼 폴리톱당 단일 단계의 광선 매칭이 만들어진다.
도 11의 (a)는 연결된 폴리톱에서 카메라의 경로를 도시한 도면이다. 현재 s에 위치한 카메라는 속도 r로 오른쪽 폴리톱으로 이동하는 것을 가정하기로 한다. R과 왼쪽 폴리톱의 가장자리 사이의 교차점은 수학식 1를 이용하여 계산될 수 있다. 여기서, p0와 p1은 가장자리의 끝점이고, n은 현재 폴리톱의 법선을 나타낸다. 수학식 1을 풀어서 도출된 중 는 비록 제로(0)이 아닐지라도 제로(0)에 근접해야 한다. 교차점이 계산되면, 카메라의 새로운 위치(도 11의 (b)에서 s'로 표시됨)로 간주되고, 오른쪽 폴리톱에서 카메라 탐색이 재개된다. 이때, 인접한 폴리톱이 평행하지 않은 경우 속도를 다시 계산해야 하며, 도 11의 (b)에서 r'로 표시된다.
도 11의 (c)는 와 의 두 폴리톱의 직교 기저를 나타낸다. 두 폴리톱은 , p0와 p1을 연결하는 벡터를 정규화하여 얻은 u를 공유한다. 도 11의 (d)에서 기본 벡터와 r은 재배치되며, 2D 공간은 v1과 v2에 걸쳐 있다. 라고 가정하기로 한다. 이는 2D 공간에서 3D 임베딩 공간으로 기저 변환 행렬이다.
도 11의 (d)에서 점선 원은 r이 에 의해 으로 투영된 것을 보여준다. 투영된 은 수학식 5에 제시된 R에 의해 회전되어 에 정렬된다.
회전된 은 V에 의해 3D 표현이 제공된다. 즉, 은 에 정렬된 3D 벡터를 나타낸다. 이를 라 칭하기로 한다.
반면, 은 r이 에 투영된 3D 표현이다. 이것과 원래의 r을 연결하는 벡터는 와 같이 나타내며, 는 항등행렬이다. 이에 를 추가함으로써, 수학식 6과 같이 를 획득할 수 있다.
여기서, 는 오른쪽 폴리톱에서 카메라 이동 방향을 위한 속도를 나타낸다. m-폴리톱의 경계는 (m-1)-폴리톱으로 구성된다. 이를 연결면이라 칭하기로 한다. 전술한 바와 같이, 두개의 m-폴리톱은 (m-1)-D 면(facet)에서 연결되며, (m-1)-단체(simplices)로 분해된다. R과 각 단체(simplex)사이의 교집합은 수학식 4를 이용하여 계산되며, 이를 통해 n-D 위치 s'가 정의될 수 있다.
두개의 m-폴리톱이 (m-1)-D면에서 연결될 때 각 m-폴리톱의 기저는 "면의 기저"와 추가 벡터로 구성될 수 있다. 추가 벡터를 v1(현재 폴리톱) 및 v2(다음 폴리톱)이라 칭하기로 한다.
그런 다음 수학식 5 및 수학식 6을 사용하여 를 계산할 수 있으며, 이는 n-D 벡터이다.
도 10의 (b)와 같이 폴리톱별 단일 진행의 광선 행진이 수행된다. 카메라 광선이 폴리톱을 통과하면 해당 카메라의 이동 방향과 동일한 방식으로 방향이 결정된다(도 11 참조).
카메라 광선이 렌더링 프리미티브에 닿는다고 가정한다. 도 12의 (a)에서 q는 광선이 닿는 지점을 나타낸다. q를 비추기 위해 그림자 광선이 q에서 로 표시되는 광원으로 발사되어야 한다. 그러나 비유클리드 공간에서는 측지선이 일반적으로 직선이 아니므로, 그림자 광선을 정의하는 것이 어렵다.
이를 해결하기 위해, 본 발명의 일 실시예에서는 장면의 광원을 사전 처리한다. 모두 정적이라고 가정하며 균일하게 샘플링된 전방향 광선이 각 광원에서 발사된다. 도 12의 (b)는 에서 두 개의 광선을 나타낸다. 폴리톱을 넘어갈 때 카메라의 이동 방향과 동일하게 광선의 방향이 바뀐다.
의 광선이 폴리톱에 이르면, "를 사용하여 조명 가능"으로 분류되고, 이전 방문한 폴리톱은 조명 가능한 폴리톱에 대한 광선 경로 리스트에 저장된다. 도 12의 (b)에서 p3는 를 사용하여 조명 가능하며 광선 경로 리스트는 p1, p2 및 p3를 포함한다. 카메라 광선 q에 닿는 지점이 을 사용하여 조명 가능한 폴리톱에 있는 경우에만 그림자 광선이 q와 사이에 정의된다.
모든 폴리톱은 가우스 곡률이 0이므로, 전술한 회전 방법을 사용하여 광선 경로에 포함된 폴리톱을 평평하게 만들수 있다. 도 12의 (c)는 광원 이 연속적인 회전을 통해 로 변환되어 그림자 광선을 직선으로 만드는 일 예를 도시하고 있으며, 이는 이다.
로 가는 길에 그림자 광선은 평평한 폴리톱을 하나씩 방문한다. 이때, 폴리톱의 어떤 물체와 교차하는 경우, q가 에 의해 비춰지지 않는다고 판단하여 그림자 광선을 멈추고 그렇지 않은 경우 다음 연결된 폴리톱으로 진행한다.
연결된 폴리톱이 없는 경우, 그림자 광선을 중단한다. 도 12의 (d)의 오른쪽 폴리톱이 을 사용하여 조명 가능하지만 폴리톱을 떠나는 그림자 광선이 빈 공간으로 들어가는 일 예가 도시되어 있다. 연결된 폴리톱이 존재하더라도 도 12의 (e)와 같이 q에 대한 광선 경로에 속하지 않을 수 있다. 그런 다음 폴리톱이 유효하지 않는 경우 그림자 광선을 중단한다.
도 12의 (f)에 도시된 바와 같이, 단일 광선에서 단일 지점까지 여러 개의 광선 경로가 있을 수 있다. 이때, 각 경로는 개별적으로 처리되어 독립적인 그림자 광선으로 이어진다. 이를 통해 여러 개의 그림자 광선이 단일 광원 로 q를 비추는데 기여할 수 있다.
도 13 내지 도 16은 본 발명의 일 실시예에 따른 연쇄된 폴리톱을 이용한 다양한 비유클리드 공간을 렌더링한 일 예가 도시되어 있다. 도 13 내지 도 16에서 보여지는 바와 같이, 연쇄된 폴리톱을 모델링하고 렌더링함으로써 가상 세계 사용자에게 독특하고 매혹적인 경험을 제공할 수 있다.
도 17은 본 발명의 일 실시예에 따른 컴퓨팅 장치의 내부 구성을 개략적으로 도시한 블록도이다.
도 17을 참조하면, 본 발명의 일 실시예에 따른 컴퓨팅 장치(100)는 모델링부(1710), 렌더링부(1720), 메모리(1730) 및 프로세서(1740)를 포함하여 구성된다.
모델링부(1710)는 연쇄된 폴리톱을 모델링하여 다양체를 구성하기 위한 수단이다.
예를 들어, 모델링부(1710)는 복수의 폴리톱을 연결하여 다양체를 구성하되, 복수의 폴리톱에 탄성력(spring force)적용하여 상기 복수의 폴리톱들이 상호 침투 없이 연결되도록 다양체를 구성하여 비유클리드 공간을 모델링할 수 있다.
렌더링부(1720)는 모델링된 비유클리드 공간에서 다양체의 법선 벡터를 따라 렌더링 프리미티브를 압출하여 무한 프리즘을 생성하고, 렌더링 광선이 무한 프리즘과 충돌시, 렌더링 프리미티브에 렌더링 광선을 투영하여 렌더링하기 위한 수단이다.
비유클리드 공간 모델링과 렌더링하는 방법 자체는 도 1 내지 도 16을 참조하여 설명한 바와 동일하므로 중복되는 설명은 생략하기로 한다.
메모리(1730)는 본 발명의 일 실시예에 따른 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 방법을 수행하기 위한 명령어를 저장한다.
프로세서(1740)는 본 발명의 일 실시예에 따른 컴퓨팅 장치의 내부 구성 요소들(예를 들어, 모델링부(1710), 렌더링부(1720), 메모리(1730) 등)을 제어하기 위한 수단이다.
본 발명의 실시 예에 따른 장치 및 방법은 다양한 컴퓨터 수단을 통하여 수행될 수 있는 프로그램 명령 형태로 구현되어 컴퓨터 판독 가능 매체에 기록될 수 있다. 컴퓨터 판독 가능 매체는 프로그램 명령, 데이터 파일, 데이터 구조 등을 단독으로 또는 조합하여 포함할 수 있다. 컴퓨터 판독 가능 매체에 기록되는 프로그램 명령은 본 발명을 위하여 특별히 설계되고 구성된 것들이거나 컴퓨터 소프트웨어 분야 통상의 기술자에게 공지되어 사용 가능한 것일 수도 있다. 컴퓨터 판독 가능 기록 매체의 예에는 하드 디스크, 플로피 디스크 및 자기 테이프와 같은 자기매체(magnetic media), CD-ROM, DVD와 같은 광기록 매체(optical media), 플롭티컬 디스크(floptical disk)와 같은 자기-광 매체(magneto-optical media) 및 롬(ROM), 램(RAM), 플래시 메모리 등과 같은 프로그램 명령을 저장하고 수행하도록 특별히 구성된 하드웨어 장치가 포함된다. 프로그램 명령의 예에는 컴파일러에 의해 만들어지는 것과 같은 기계어 코드뿐만 아니라 인터프리터 등을 사용해서 컴퓨터에 의해서 실행될 수 있는 고급 언어 코드를 포함한다.
상술한 하드웨어 장치는 본 발명의 동작을 수행하기 위해 하나 이상의 소프트웨어 모듈로서 작동하도록 구성될 수 있으며, 그 역도 마찬가지이다.
이제까지 본 발명에 대하여 그 실시 예들을 중심으로 살펴보았다. 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자는 본 발명이 본 발명의 본질적인 특성에서 벗어나지 않는 범위에서 변형된 형태로 구현될 수 있음을 이해할 수 있을 것이다. 그러므로 개시된 실시 예들은 한정적인 관점이 아니라 설명적인 관점에서 고려되어야 한다. 본 발명의 범위는 전술한 설명이 아니라 특허청구범위에 나타나 있으며, 그와 동등한 범위 내에 있는 모든 차이점은 본 발명에 포함된 것으로 해석되어야 할 것이다.

Claims (7)

  1. 컴퓨팅 장치에서 수행되는 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 하는 방법에 있어서,
    (a) 복수의 폴리톱을 연결하여 다양체를 구성하되, 상기 복수의 폴리톱에 탄성력(spring force)적용하여 상기 복수의 폴리톱들이 상호 침투 없이 연결되도록 다양체를 구성하여 비유클리드 공간을 모델링하는 단계;
    (b) 상기 모델링된 비유클리드 공간에서 상기 다양체의 법선 벡터를 따라 압출하여 렌더링 프리미티브에 대한 무한 프리즘을 생성하는 단계; 및
    (c) 렌더링 광선이 상기 무한 프리즘과 충돌시, 상기 렌더링 프리미티브에 상기 렌더링 광선을 투영하여 렌더링하는 단계를 포함하되,
    상기 (a) 단계에서,
    사전 정의된 횟수내에서 상기 복수의 폴리톱들이 연결되지 않는 경우, 적어도 하나의 관절 폴리톱을 추가 생성한 후 상기 복수의 폴리톱들을 연결하여 상기 다양체를 구성하되, 상기 관절 폴리톱은 다른 폴리톱을 관통하도록 지정되는 것을 특징으로 하는 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 하는 방법.
  2. 제1 항에 있어서,
    상기 (a) 단계에서,
    상기 복수의 폴리톱들이 상기 탄성력 적용에 의해 상호 침투시, 충돌처리(collision resolution)를 수행하여 상기 폴리톱들을 분리한 후 상기 탄성력을 다시 적용하되, 상기 복수의 폴리톱들이 상호 침투 없이 연결될때까지 상기 충돌 처리 및 상기 탄성력 적용이 반복 수행되는 것을 특징으로 하는 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 하는 방법.
  3. 제1 항에 있어서,
    상기 (a) 단계에서,
    상기 각 폴리톱의 연결면(mating facet)을 선택하고, 상기 폴리톱들의 연결 면의 정점 연결 링크를 지정하여 폴리톱간의 연결 관계를 정의하여 상기 다양체를 구성하는 것을 특징으로 하는 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 하는 방법.
  4. 삭제
  5. 제1 항에 있어서,
    상기 렌더링 광선이 상기 무한 프리즘에 충돌하지 않으면 다음 폴리톱으로 진행하는 단계를 더 포함하는 비유클리드 공간 모델링과 렌더링 하는 방법.
  6. 제1 항 내지 제3항, 제5 항 중 어느 하나의 항에 따른 방법을 수행하기 위한 프로그램 코드를 기록한 컴퓨터로 판독 가능한 기록매체.
  7. 복수의 폴리톱을 연결하여 다양체를 구성하되, 상기 복수의 폴리톱에 탄성력(spring force)적용하여 상기 복수의 폴리톱들이 상호 침투 없이 연결되도록 다양체를 구성하여 비유클리드 공간을 모델링하는 모델링부; 및
    상기 모델링된 비유클리드 공간에서 상기 다양체의 법선 벡터를 따라 압출하여 렌더링 프리미티브에 대한 무한 프리즘을 생성하고, 렌더링 광선이 상기 무한 프리즘과 충돌시, 상기 렌더링 프리미티브에 상기 렌더링 광선을 투영하여 렌더링하는 렌더링부를 포함하되,
    상기 모델링부는,
    사전 정의된 횟수내에서 상기 복수의 폴리톱들이 연결되지 않는 경우, 적어도 하나의 관절 폴리톱을 추가 생성한 후 상기 복수의 폴리톱들을 연결하여 상기 다양체를 구성하되, 상기 관절 폴리톱은 다른 폴리톱을 관통하도록 지정되는 것을 특징으로 하는 컴퓨팅 장치.


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