KR102513601B1

KR102513601B1 - 3차원 영상 기반 유체 시뮬레이션 방법,　장치 및 프로그램

Info

Publication number: KR102513601B1
Application number: KR1020200148879A
Authority: KR
Inventors: 안형택; 고광수
Original assignee: 울산대학교 산학협력단
Priority date: 2020-11-09
Filing date: 2020-11-09
Publication date: 2023-03-22
Also published as: KR20220063031A

Abstract

3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법이 제공된다. 본 발명의 일 면에 따른 전자 장치가 수행하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법은, 상기 전자 장치가 3차원 영상을 0부터 1까지의 음영 값을 갖는 음영 함수 f를 이용하여 유체 영역 및 주변 영역으로 분할하는 단계; 및 상기 전자 장치가 하기 수학식 1 및 하기 수학식 2로 표현되는 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식을 이용하여 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계;를 포함할 수 있다.

Description

3차원 영상 기반 유체 시뮬레이션 방법,　장치 및 프로그램{SYSTEM, METHOD AND PROGRAM FOR FLUID SIMULATION BASED ON 3D IMAGE}

본 발명은 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법, 장치 및 프로그램에 관한 것으로, 보다 자세하게는 3차원 영상에 포함된 유체의 시뮬레이션 결과를 신속하고 손쉽게 획득하는 방법, 장치 및 프로그램에 관한 것이다.

기존의 유체 시뮬레이션(예: 혈류 시뮬레이션)은 3차원 영상(예: 환자의 3차원 의료영상)으로부터 유체가 흐르는 통로(예: 혈관)을 분할(segmentation)하고 궁극적으로 유체 통로(예: 혈관)을 표현하기 위하여 유한 요소 모델링 등을 통한 유체 통로 표면격자(surface triangulation)를 생성하고 이에 대한 유동 해석을 수행한다. 예를 들어, 도 1에 도시된 바와 같이, (a) 의료 영상 촬영, (b) 혈관 분리 및 격자생성, (c) CFD(전산유체역학) 시뮬레이션이 수행될 수 있다.

이러한 수행 과정이 자동화되지 못하는 가장 큰 문제는 바로 유체 통로의 분할과 표면 격자 단계이며, 이러한 단계들을 자동화하여 유체 시뮬레이션의 처리 속도를 높이는 기술의 필요성이 증대되고 있다.

KR 10-1373563 KR 10-1703564 US 2013-0243294

본 발명이 해결하고자 하는 과제는 3차원 영상의 픽셀이 유체 통로 내부 인지 아닌지의 여부를 0/1(혹은 음영 값)으로만 표시를 하면, 1 또는 임계 값 이상으로 표시된 픽셀에 대하여, 명시적인 형상 재구성 과정이 필요 없이, 자동적으로 Navier-Stokes 방정식의 해법을 통하여 유체 유동 해석을 수행할 수 있게 하는 방법을 제공하는 것이다.

본 발명이 해결하고자 하는 과제들은 이상에서 언급된 과제로 제한되지 않으며, 언급되지 않은 또 다른 과제들은 아래의 기재로부터 통상의 기술자에게 명확하게 이해될 수 있을 것이다.

상술한 과제를 해결하기 위한 본 발명의 일 면에 따른 전자 장치가 수행하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법은, 상기 전자 장치가 3차원 영상을 0부터 1까지의 음영 값을 갖는 음영 함수 f를 이용하여 유체 영역 및 주변 영역으로 분할하는 단계; 및 상기 전자 장치가 하기 수학식 1 및 하기 수학식 2로 표현되는 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식을 이용하여 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계를 포함할 수 있다.

[수학식　1]

[수학식　2]

여기서　ρ는　유체의 밀도,　μ는　유체의　점성계수, g는 중력가속도, u는 유체의 속도, p는 유체의 압력이다.

본 발명의 기타 구체적인 사항들은 상세한 설명 및 도면들에 포함되어 있다.

상기와 같은 본 발명에 따르면, 아래와 같은 다양한 효과들을 가진다.

본 발명에 따르면, 유체 시뮬레이션의 해석 처리 속도를 급격히 높일 수 있다.

또한, 본 발명에 따르면, 기존의 의료 영상 (CT,MRI) 등을 기반으로 수행 할 수 있는 특정 환자 맞춤형 뇌 및 심혈관 등 다양한 혈류 시뮬레이션을 획기적으로 개선 하여 가속화 할 수 있다.

또한, 본 발명에 따르면, MRI 찍자 마자, 별도의 혈관 형상 재구성 단계를 거치치 않고, 자동적인 혈류해석을 통하여 혈관벽에 미치는 혈압과 혈류 속도 등을 정량적으로 확인이 가능할 수 있다.

또한, 본 발명에 따르면, 혈관 질환(e.g. 뇌혈관)의 진단에 도움을 줄 수 있는 혈류 역학적 정보 (압력, 마찰력, 유속 등) 제공할 수 있다.

또한, 본 발명에 따르면, 혈관 질환의 치료 효과를 (e.g. 코일색전술), 실제 시술전에 Simulation 상으로 예측해 볼 수 있다.

또한, 본 발명에 따르면, 혈관을 통한 약물전달(Drug Delivery) 과정을 신속히 예측할 수 있다.

또한, 본 발명에 따르면, 특정 환자의 추적 관찰을 통한 혈류 역학적 변화 양상을 예측할 수 있다.

본 발명의 효과들은 이상에서 언급된 효과로 제한되지 않으며, 언급되지 않은 또 다른 효과들은 아래의 기재로부터 통상의 기술자에게 명확하게 이해될 수 있을 것이다.

도 1 은 기존 혈류 시뮬레이션 방법을 나타낸 예시도이다.
도 2는 본 발명의 일 실시 예에 따른 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법을 설명하기 위한 흐름도이다.
도 3 내지 도 20은 본 발명의 일 실시 예에 따른 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법을 설명하기 위한 예시도이다.

본 발명의 이점 및 특징, 그리고 그것들을 달성하는 방법은 첨부되는 도면과 함께 상세하게 후술되어 있는 실시예들을 참조하면 명확해질 것이다. 그러나, 본 발명은 이하에서 개시되는 실시예들에 제한되는 것이 아니라 서로 다른 다양한 형태로 구현될 수 있으며, 단지 본 실시예들은 본 발명의 개시가 완전하도록 하고, 본 발명이 속하는 기술 분야의 통상의 기술자에게 본 발명의 범주를 완전하게 알려주기 위해 제공되는 것이며, 본 발명은 청구항의 범주에 의해 정의될 뿐이다.

본 명세서에서 사용된 용어는 실시예들을 설명하기 위한 것이며 본 발명을 제한하고자 하는 것은 아니다. 본 명세서에서, 단수형은 문구에서 특별히 언급하지 않는 한 복수형도 포함한다. 명세서에서 사용되는 "포함한다(comprises)" 및/또는 "포함하는(comprising)"은 언급된 구성요소 외에 하나 이상의 다른 구성요소의 존재 또는 추가를 배제하지 않는다. 명세서 전체에 걸쳐 동일한 도면 부호는 동일한 구성 요소를 지칭하며, "및/또는"은 언급된 구성요소들의 각각 및 하나 이상의 모든 조합을 포함한다. 비록 "제1", "제2" 등이 다양한 구성요소들을 서술하기 위해서 사용되나, 이들 구성요소들은 이들 용어에 의해 제한되지 않음은 물론이다. 이들 용어들은 단지 하나의 구성요소를 다른 구성요소와 구별하기 위하여 사용하는 것이다. 따라서, 이하에서 언급되는 제1 구성요소는 본 발명의 기술적 사상 내에서 제2 구성요소일 수도 있음은 물론이다.

다른 정의가 없다면, 본 명세서에서 사용되는 모든 용어(기술 및 과학적 용어를 포함)는 본 발명이 속하는 기술분야의 통상의 기술자에게 공통적으로 이해될 수 있는 의미로 사용될 수 있을 것이다. 또한, 일반적으로 사용되는 사전에 정의되어 있는 용어들은 명백하게 특별히 정의되어 있지 않는 한 이상적으로 또는 과도하게 해석되지 않는다.

공간적으로 상대적인 용어인 "아래(below)", "아래(beneath)", "하부(lower)", "위(above)", "상부(upper)" 등은 도면에 도시되어 있는 바와 같이 하나의 구성요소와 다른 구성요소들과의 상관관계를 용이하게 기술하기 위해 사용될 수 있다. 공간적으로 상대적인 용어는 도면에 도시되어 있는 방향에 더하여 사용시 또는 동작시 구성요소들의 서로 다른 방향을 포함하는 용어로 이해되어야 한다. 예를 들어, 도면에 도시되어 있는 구성요소를 뒤집을 경우, 다른 구성요소의 "아래(below)"또는 "아래(beneath)"로 기술된 구성요소는 다른 구성요소의 "위(above)"에 놓여질 수 있다. 따라서, 예시적인 용어인 "아래"는 아래와 위의 방향을 모두 포함할 수 있다. 구성요소는 다른 방향으로도 배향될 수 있으며, 이에 따라 공간적으로 상대적인 용어들은 배향에 따라 해석될 수 있다.

이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 실시예를 상세하게 설명한다.

본 발명의 유체 해석의 내용은 부분적으로 논문 "A geometric multigrid accelerated incompressible ow simulation over complex geometries" Gwangsoo GO and Hyung Taek AHN[COMPUTERS & FLUIDS, Volume 197, 30 January 2020, Article number 104350]에 기재되어 있고, 상기 논문은 본원에 언급된 진술 및 도면 사이에서 상충이 존재하지 않는 범위에서 원용에 의해 본 명세서에 포함될 수 있다.

도 2는 본 발명의 일 실시 예에 따른 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법을 설명하기 위한 흐름도이다. 도 3 내지 도 20은 본 발명의 일 실시 예에 따른 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법을 설명하기 위한 예시도이다.

한편, 본 발명은 3차원 영상에 포함된 유체 영역을 해석하기 위한 방법이며, 3차원 영상 및 유체 영역은 특정 타입으로 한정되지 않는다. 단, 설명의 편의를 위해 하기에서 의료 영상의 혈관을 예로 들어 설명한다.

한편, 도면에는 도시되지 않았지만, 본 발명의 일 실시 예에 따른 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법을 실행하는 전자 장치는 유체 시뮬레이션 관련 동작들을 전반적으로 제어하는 제어부 및 3차원 영상, 유체 해석 결과 데이터 등을 저장하는 데이터베이스를 포함할 수 있다.

일 실시 예에서, 제어부(110)는 학습데이터(예: 불량품 이미지)를 생성하는 각종 동작을 전반적으로 제어할 수 있으며, 데이터베이스(120)는 양품 이미지, 이물 이미지, 불량품 이미지, 이물 이미지 정보 등을 저장할 수 있다.

도 2 내지 도 20을 참조하면, 일 실시 예에서, 전자 장치는 3차원 영상을 0부터 1까지의 음영 값을 갖는 음영 함수 f를 이용하여 유체 영역 및 주변 영역으로 분할할 수 있다. 즉, 3차원 영상의 픽셀마다 음영 값을 정의하고, 복수의 서브 픽셀로 세분화하고, 함수 f를 보간하여 영역을 분할할 수 있다.

더 구체적으로, 동작 S21 내지 도 S24에서, 0과 1사이의 경계 영역을 포함하는 Voxel에 대하여 선택적 격자 영역으로 세분화하고(S21), 세분화된 격자 영역의 음영 함수 값을 보간하고(S22), 설정된 임계 음영 함수값을 기준으로 비혈관과 혈관 영역을 0과 1로 구분하고(S23), 1로 구분된 혈관 영역에 대하여 Navier-Stokes 방정식을 이용하여 해석할 수 있다(S24). 구체적인 내용은 다음과 같다.

일 실시 예에서, 도 3에 도시된 바와 같이 전자 장치는 주어진 의료 영상에서 유체 영역의 유무를 파악하기 위해 픽셀마다 음영 값을 정의할 수 있다. 이에 따라 도 4에 도시된 바와 같이, 음영을 나타내는 scalar 함수(0과 1사이의 값을 가지는) f의 값으로 파악할 수 있다. 예컨대, 특정 위치 (x,y,z)에서 f=1이면 perfect black(100% 혈관) 이며, f=0이면 perfect white (0% 혈관)일 수 있다. 이러할 경우, f 함수는 음영을 나타낼 뿐만 아니라, 혈관 영역인지 아닌지의 여부를 확률적으로 나타내는 확률 밀도 함수로 이해할 수 있다.

일 실시 예에서, 전자 장치는 3차원 영상의 최초 음영 정보에 기초하여 3차원 영상에 포함된 각각의 픽셀을 복수의 서브 픽셀로 세분화함으로써 고해상도 유동 복셀(volxel)을 생성할 수 있다.

구체적으로, 보통의 의료 영상의 해상도는 유동 해석을 할 만큼의 고해상도를 제공하지 않을 수 있기 때문에, 최초의 음영 정보를 바탕으로 도 5에 도시된 바와 같이 하나의 픽셀 내부를 여러 개의 세부 픽셀로 세분화하여, 충분한 해상도의 혈류 유동 해석을 할 수 있을 만큼의 고해상도 유동 격자를 생성할 필요가 있다. 이때 고해상도 유동 복셀의 조밀 정도는 컴퓨터 성능 및 사용자의 선택에 따라 임의의 해상도로 세분화될 수 있다.(e.g. 1개 이미지 셀, 2 X 2 X 2….Nx X Ny X Nz 등 임의 해상도의 유동 복셀로 세분화될 수 있다. 여기서 Nx, Ny, Nz는 각 방향 별 세분화된 셀의 개수를 나타내며 필요 시 각 방향 별로 다른 개수의 셀을 사용할 수 있다.

일 실시 예에서, 전자 장치는 수치 보간(interpolation) 방법을 이용하여 음영함수 f를 보간할 수 있다. 예를 들어, 세분화된 유동 복셀 각각에 0~1 사이의 음영 값을 정의해 주어야 하는데, 여기서 수치 보간(interpolation) 방법이 사용될 수 있다. 비교적 단순한 linear함수 (2차원에서는 Bi-linear, 3차원에서는 Trilinear) 보간법이나, 보다 정확한 Cubic spline (2차원에서는 Bi-cubic, 3차원에서는 Tri-cubic) 함수로 세분화된 유동 복셀의 음영 함수 f 값을 정의할 수 있다. 예를 들어, Catmull-Rom Cubic Spline을 이용하여 음영함수 f를 보간하며, 이때의 경우 픽셀과 픽셀 사이를 부드러우며 연속적인(C¹ continuous) 음영 함수로 표현이 가능한 장점이 있고, 이는 결과적으로 세분화된 유동 복셀을 지나는 혈관이 부드러우면 연속적으로 표현됨을 의미할 수 있다.

일 실시 예에서, 전자 장치는 유체 영역과 주변 영역을 구분할 수 있는 경계를 나타내는 임계 값을 설정할 수 있고, 보간한 음영함수 f 및 임계 값을 이용하여 고해상도 유동 복셀의 음영 값을 정의할 수 있다. 예를 들어, 3차원 영상의 음영 정보로부터 혈관의 경계를 정의하는 것은 음영의 경계 값을 정의함에 따라 자동적으로 정의가 가능할 수 있다. 즉, 여기서 경계 값이 임계 값일 수 있으며, 예를 들어 임계 값을 f=0.5 라고 정의하면 f>0.5 인 영역은 모두 혈관 내부(유체 영역), 나머지는 혈관 외부(혹은 비유체 영역)으로 구분 지을 수 있다.

한편, 3차원 영상의 음영 이미지는 필요에 따라서는 필터링 혹은 image processing 작업이 보조적인 형태로 사용될 수 있다.

동작 21이 완료되면, 3차원 영상 공간 상의 모든 곳 (Voxcel 의 꼭지점, 면, 요소 중심 등)에서 0~1 값을 갖는 음영 함수가 정의되며, 이를 바탕으로 혈류 유동 해석을 위한 사전 작업(Preprocessing)이 완료될 수 있다.

일 실시 예에서, 전자 장치는 동작 S24에서, 전자 장치는 하기 수학식 1 및 하기 수학식 2로 표현되는 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식을 이용하여 유체 영역의 유체 유동을 해석할 수 있다.

구체적으로, 혈류 유동의 해석을 위해서는 기본적으로 점성을 가지는 유체의 거동을 기술하는 지배 방정식 즉 나비에-스토크스 방정식(Navier-Stokes equations)에 대한 수치해석을 수행하여야 한다. 혈류와 같이 밀도가 일정하여 유체의 압축성이 허용되지 않는 유동의 경우 나비에-스토크스 방정식은 하기 수학식 1 및 수학식 2로 표현되며, 여기서 수학식 1은 유체의 운동량 보존법칙으로부터 유도되며, 수학식 2는 유체의 질량보존으로부터 유도되는 두번째 구속조건식으로 표현된다.

위 수학식 1 및 수학식 2는 일반적인 형상에 대해서 그 해석적 풀이가 불가능하여, 컴퓨터를 이용한 수치 해법이 가능할 뿐이며 본 발명에서는 공간상에서 임의의 0~1로 표현되는 영역에 대한 적용 방법을 기술한다.

예를 들어, 방정식의 미지수인 속도와 압력은 모든 유동 복셀에서 도 6과 같이 설정될 수 있다. 수학식 1 및 수학식 2의 수치 해법은 기본적으로 현재의 시점에서 이미 알고 있는 과거의 속도장 및 압력장으로부터, 미래가 되는 다음 시점에서의 속도장과 압력장을 얻어내는 방법에 대한 것이다.

일 실시 예에서, 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계에서, 전자 장치는 수학식 1을 현재 시점과 과거 시점의 속도 및 압력으로부터 이산화하여 하기 수학식 3을 산출할 수 있고, 유체 영역과 주변 영역의 경계에서 속도 점착(Non-slip) 조건이 만족되도록 경계에서의 속도 경계조건을 설정할 수 있고, 속도 경계조건을 만족하도록 하기 수학식 3을 해석하여 임시 속도장 u*를 산출할 수 있다.

여기서

는 시간에 대하여 차분된 항이고,

은 현재와 과거의 속도장부터 정의되는 비선형 대류항이고,

는 현재의 압력장으로부터 정의되는 압력의 공간 변화율이고,

은 선형 점성항이다.

구체적으로, 수학식 3과 같이 이산화된 운동량 방정식은 0/1로 표현되는 임의의 3차원 공간상에 대하여 혈관 벽면에서의 속도 점착(Non-slip) 조건을 적용하여 임시 속도장이 산출될 수 있다. 공간 차분에 사용되는 수치 방법은 Finite difference method, finite volume method, 혹은 finite element method 등이 사용될 수 있는데, 예컨대, Finite difference 방법을 사용하였을 경우의 예를 들면, 혈관 벽면에서의 속도 경계조건은 도 7 및 도 8에 도시된 바와 같이 Cubic spline 함수로 보간된 음영함수 f의 값이 임계 값을(e.g. f=0.5) 가지는 지점에서 속도 점착조건이 만족되도록 설정할 수 있다.

일 실시 예에서, 수학식 3의 해석을 통하여 3차원 공간상에서 임시 속도장이 정의되면, 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계에서, 전자 장치는 하기 수학식 4로 표현되는 포아송(Poisson) 방정식 및 다중격자(multigrid) 방법을 이용하여 임시 압력장 φ를 산출할 수 있다.

여기서 ρ는 유체의 밀도, f는 음영함수, φ는 임시 압력장이고, u*는 임시 속도장이다.

구체적으로, 임의의 0/1로 표현되는 공간상에서 임시 압력장을 수학식 4를 통하여 구할 수 있다. 수학식 4는 미지수인 임시 압력장에 대한 Poisson방정식으로서 유체 시뮬레이션에서 99% 이상 대부분의 CPU time이 소요되는 단계이다. 수학식 4의 이산화에는 격자 세분화와 cubic spline으로 보간(interpolation)되어 표현되는 음영 함수인 f가 직접적으로 사용될 수 있다. 수학식 4의 신속한 해법을 위하여 본 발명에서는 0/1로 표현되는 임의의 공간 영역에 적용 가능한 다중격자(Multigrid) 방법을 사용하며, 이에 대해서는 다음과 같이 자세히 후술한다.

0/1로 표시된 영역에 대한 다중격자(Multigrid) 방법을 이용한 최적 수렴 가속화

일 실시 예에서, 유체 유동의 신속한 해법을 위해서는 수학식 4로 표현된 포와송 방정식의 효율적인 해법이 절대적이다. 일반적인 Multigrid 방법은 최상단의 조밀한 격자상의 수치해를 얻기 위하여, 일련의 성긴 격자상에서 오차를 추정하여 구하고(Restriction), 이를 다시 최상단의 조밀한 격자상의 해에 반영해 주는(Prolongation)작업을 반복적으로 수행함으로써 구동되며, 이러한 작업을 Multigrid V-cycle이라고 칭한다. 현재까지 개발한 방법 중에서 일반적인 경계조건을 가지는 문제에서 가장 속도가 빠른 방법은 multigrid 방법으로 알려져 있는데, 정사각형(정육면체)와 이상적인 영역에 대하여서는 그 방법이 정립되어 있지만, 임의의 불규칙한 3차원 영역에 대해서는 그 적용 방법이 알려져 있지 않았다.

이에 본 발명에서는 3차원 공간을 등간격의 직교격자(Uniform Cartesian Grid)를 바탕으로 0/1로 영역을 표시하면, 임의의 영역을 효율적으로 표시할 수 있으며, Top level의 조밀한 격자 상에서 0/1로 표시된 정보를 bottom level의 성긴 격자 상에서 반영하여(이 과정을 Restriction 이라고 함) 임의의 3차원 영역 대한 최적의 Multigrid 알고리즘을 구현할 수 있음을 발표한 논문 "A geometric multigrid accelerated incompressible ow simulation over complex geometries" Gwangsoo GO and Hyung Taek AHN [COMPUTERS & FLUIDS, Volume 197, 30 January 2020, Article number 104350]에 기재되어 있고, 상기 논문은 본원에 언급된 진술 및 도면 사이에서 상충이 존재하지 않는 범위에서 원용에 의해 본 명세서에 포함될 수 있다.

여기서 사용되는 0/1의 영역 표시 값은 앞서 기술한 음영 함수 f로 치환될 수 있으며, 선택적으로 세분화된 격자 상에서 multigrid 기법의 구현을 위해서 필요한 각 단계별 성긴 격자(Coarse grid)상에서 음영 함수 값은 별도로 계산이 필요 없이 이미 보간 되어 표현된 음영 함수 값으로부터 손쉽게 구할 수 있다.

본 특허에서는 상기 논문에 발표된 개념을 확장시킨 다중격자(Multigrid) 방법으로 3차원 공간상에서 선택적으로 세분화된(selectively refined grid) 격자상에서도 작동하는 임의 형상에 대한 Multigrid 방법이 도 9와 같이 도식적으로 설명될 수 있다.

본 발명의 다중격자 방법을 사용하면, 3차원 공간상에서 임의의 유체 유동이 필요한 부분을 선택적으로 세분화하고, 이 세분화된 영역의 정보(보간된 0/1 음영함수 f 정보)를 거꾸로 사용함으로써 효율적인 multigrid 해법이 구현될 수 있다. 뿐만 아니라, 추가적인 수렴 가속화가 필요할 경우, Bottom most level 즉 Uniform Cartesian grid 상에서 0과 1로 표현된 임의의 형상에 대한 또 한 번의 Multigrid Restriction이 수행될 수 있는데, 이때는 상기 논문에 발표된 알고리즘을 적용하면 된다.

이러한 일련의 과정에서, 일체의 명시적(Explicit)인 혈관 형상 표면은 필요하지 않으며, 오로지 0/1로 표현되는 음영함수 f 의 값에 의하여 모든 유체 영역이 표현되고 그 영역에 대하여 유체 유동이 해석되게 된다.

이어서, 전자 장치는 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계에서, 임시 속도장 u*, 임시 압력장 φ, 하기 수학식 5 및 하기 수학식 6을 이용하여 유체 영역에서의 다음 시점의 속도장 및 압력장을 산출할 수 있다.

여기서 uⁿ⁺¹은 다음 시점의 속도장이고, uⁿ은 현재 시점의 속도장이고,

는 임시 압력장으로부터 정의되는 압력의 공간 변화율이고, pⁿ⁺¹은 다음 시점의 압력장이고, pⁿ은 현재 시점의 압력장이다.

이에 따라, 본 발명은 3차원 영상에 포함된 유체 영역의 3D 형상을 획득할 필요 없이 이미지를 획득하자마자 음영 정보를 통해 손쉽게 유체 해석을 할 수 있다.

한편, 다중격자 방법에 대해 하기와 같이 간략히 설명한다. 하기 다중격자 방법 내용은 앞서 언급한 바와 같이 상기 논문 내용에 기재된 내용이다.

1. 다중격자 방법(Multigrid method)

edge/face-wise Heaviside function restriction을 사용하는 기하학적 멀티그리드(MG) 알고리즘은 구현이 간단하고 쉽게 병렬화 할 수 있으며 불규칙한 도메인 문제에 적용 할 수 있다.

1.1. Standard multigrid method

멀티그리드(이하 MG) 방법은 도 10에 도시된 바와 같이 반복 제한 연장 루프(V-cycle)를 사용하여 선형 시스템(Ax = b)을 해결할 수 있다.

MG 방법의 놀라운 특성은 수렴에 필요한 총 사이클 수가 그리드(grid) 해상도에 관계없이 거의 일정하며 O(N)의 최적 성능을 나타낼 수 있다는 점이다. 여기서 N은 총 셀 수이다.

Gauss-Seidel 반복 솔버(solver)는 현재 MG 방법에서 더 매끄럽게 사용될 수 있다. 제한에 대한 pre-smoothing의 수는 10이고, 연장을 위한 post-smoothing의 수는 2이다. 최고의 메쉬 해상도에 관계없이 제한에 대한 coarsest grid는 2×2 2D 사각 도메인(square domain) 및 2×2×2 3D 큐브 도메인(cube domain)에 설정될 수 있다.

세포 중심 방식은 현재 압력 포아송 방정식에서 사용되며, 여기서 미지수는 세포 중심에서 샘플링될 수 있다. 세포 중심 방식에 대한 2차원 제한 및 연장 절차는 도 11과 같이 간단하게 수행될 수 있다.

제한 프로세스에서 코스 그리드(coarse grid)의 소스 항 (b2h)은 미세 그리드(fine grid)의 레지듀얼스(residuals) (rh)를 평균하여 정의될 수 있다. 연장의 경우, 코스 그리드(coarse grid) (x2h)의 해법이 미세 그리드의 해법 (xh)에 동일하게 적용될 수 있다.

도 11에 도시된 바와 같이, 제한 및 연장 절차는 b2h = Rrh 및 xh = xh + Px2h로 표현될 수 있으며, 여기서 R 및 P는 각각 제한 및 연장 연산자를 나타낸다. 이 두 연산자는 변동 속성, 즉 P= cRT를 충족하며, 여기서 c는 상수 실수 값이다. 이것은 연장 연산자와 제한 연산자가 서로를 상수로 전치(transpose)한다는 것을 의미한다.

1.2. Multigrid method for an irregular domain

불규칙 도메인에 대한 현재 압력 포아송 방정식은 도메인 불규칙성이 자동으로 푸아송 방정식에 포함된 Heaviside 함수로 표현되기 때문에 정규 도메인의 경우와 같이 풀 수 있다. 이 사실을 바탕으로 Heaviside 함수가 연속적으로 코슨드 그리드(coarsened grid)에서 일관되게 정의되면 표준 MG 알고리즘을 현재 Poisson 방정식에 유사하게 적용할 수 있다.

압력 포아송 방정식의 공간적 이산화를 고려할 경우, 푸아송 방정식의 시스템 행렬(A)에는 Heaviside 함수가 포함될 수 있다. 따라서 제한 과정에서 A는 연속적으로 코슨드 그리드(coarsened grid)에서 재구성 되어야 한다. 여기서는 edge/face-wise 제한 알고리즘을 사용한다. 이 알고리즘을 기반으로 코스 그리드(coarse grid)의 모서리/면에 대한 Heaviside 함수는 미세한 그리드 모서리/면에 대한 Heaviside 함수를 평균하여 정의 할 수 있다. 2분할 차원에 대한 절차는 도 12에 도시되어 있다.

Heaviside 함수 제한 알고리즘은 유사한 방식으로 3D 케이스로 확장 할 수 있다. 2D에서 Heaviside 함수의 에지별 평균화(edgewise averaging) 대신 3D의 Heaviside 함수 제한에 페이스별 평균화(face-wise averaging)가 적용된다. 보다 구체적으로, 코스 그리드(coarse grid)의 셀 표면에 있는 Heaviside 함수는 해당 미세 그리드의 해당 4면에서 Heaviside 함수를 평균화하여 간단히 정의 할 수 있다.

Heaviside 함수에 대한 현재 edge/face-wise 제한 알고리즘은 다음과 같은 이유로 강력하게 권장된다. 첫 째로, 미리 계산된 Heaviside 함수를 사용하면 Heaviside 함수의 중복 계산을 제거 할 수 있으므로 계산 시간과 메모리를 절약 할 수 있다. 둘 째로, Heaviside 함수가 각 코스 그리드(coarse grid)에서 다시 계산되면 제한 절차 중에 기하학적 정보가 쉽게 손실 될 수 있다.

Heaviside 함수 제한 알고리즘을 사용할 경우, MG 알고리즘은 도 13에 도시된 Algorithm 1과 같이 재귀적으로 구현될 수 있다.

이 알고리즘에서는 재귀 함수 "multigrid_v_cycle"이 정의된다. "pre_smooth" 및 "post_smooth"로 표시된 하위 함수는 red-black Gauss-Seidel 알고리즘에 의해 구현된다. 하위 함수 "system_matrix"는 압력 포아송 방정식의 이산화를 따른다. 나머지 하위 기능, 즉 "restrict_cell_center", "prolongate" 및 "restrict_cell_edgeface"는 각각 도 11-(a), 도 11-(b) 및 도 12에 해당된다. Heaviside 함수 제한은 유사한 방식으로 3D 케이스로 확장 될 수 있다.

1.3. Verication study

Heaviside 함수 제한을 사용하는 현재 MG 알고리즘의 타당성과 성능을 입증하기 위해, 불규칙 도메인에 대한 분석적으로 정의된 Poisson 문제가 고려된다. 불규칙 도메인(도 13에 도시)은 {(x, y) | sin x sin y ≥ 0.2 및 0 ≤ x, y ≤ π}로 정의되며, 불규칙한 경계를 갖는 포아송 방정식은

으로 표현되며,

는 알 수 없으며

는 하기 수학식 7과 같이 정의된 소스 벡터이다.

상기 문제에서, 뉴먼 경계 조건(Neumann boundary condition, i.e.

)이 불규칙한 경계에 적용될 수 있고, 포아송 방정식의 분석적 해법은

로 표현될 수 있다.

Heaviside 함수 제한을 사용하는 현재 MG 방법의 결과는 표준 CG(conjugate gradient) 방법의 결과와 함께 제공된다. 첫 째로, 잔여 이력이 고려된다. 도 14는 잔차(residual)의 L2-norm 대 사이클 수 (MG) 또는 반복 (CG)를 도시한다. 현재의 MG 방법에서 각 그리드 시스템의 솔루션은 거의 고정 된 사이클 수 내에서 수렴된다. 반대로 수렴을 위한 CG 방법의 반복 횟수는 문제 크기가 커짐에 따라 증가한다. 이 결과는 현재의 MG 방법이 불규칙한 영역에서 최적으로 수행된다는 것을 의미하며, 이 동작은 MG 방법의 특징이다. 다음으로 실제 계산 시간은 도 16과 같이 선형 및 로그 스케일을 사용하여 표시된다.

여기서 각 그리드 시스템의 계산 시간은 가장 거친 시스템(coarsest system)(64 × 64)에서 MG 방법의 계산 시간을 나누어 정규화한다. 이 그림에서 MG 방법의 우월성은 명확하게 확인되었으며, 복잡성이 O(N)인 최적의 성능이 확실하게 입증되었다. 마지막으로, 도 17은 로그 스케일을 사용하여 오류의 수렴 이력을 도시한다.

푸아송 방정식의 수치 오차는 이산화 체계에 완전히 의존한다. 따라서 두 방법의 결과는 동일하며 원하는 2 차 비율을 동반하는 분석 솔루션으로 수렴된다. 엄격한 검증 연구를 통해 Heaviside 함수 제한 알고리즘을 사용하면 MG 방법이 불규칙 영역에서 푸아송 방정식에 대해 최적으로 올바르게 수행 할 수 있음이 확인되었다.

1.4. Parallel multigrid method

실제 계산에 있어서, 프로젝션 방법에서 가장 시간이 많이 걸리는 부분은 압력 푸아송 방정식을 푸는 것이다. 이러한 이유로 플로우(flow) 시뮬레이션의 병렬 확장성은 병렬 계산에서 MG 방법의 성능에 크게 좌우된다. 이 하위 섹션에서는 Heaviside 함수 제한을 사용하는 현재 MG 알고리즘에 대한 병렬화 전략이 제시된다.

현재의 MG 알고리즘에서는 제한 절차의 최종 그리드가 가능한 한 거칠기 때문에 수렴 속도를 향상시킬 수 있습니다. 이러한 이유로 제한에 대한 가장 거친 그리드(coarsest grid)는 2D 정사각형 도메인에서 2x2로 설정하고, 현재 연구에서 가장 정확한 메쉬 해상도에 관계없이 3D 큐브 도메인에서 2x2x2로 설정한다. MPI 병렬화가 적용된 경우를 고려할 경우, 계산 영역이 2D에서 np×np MPI 프로세스로 나뉘면 각 MPI 프로세스에서 2×2 격자가 있을 때까지 제한 절차가 수행되므로 전체 계산 영역의 가장 거친 격자는 2np×2np가 된다. 이러한 이유로 병렬 계산에서 MPI 프로세스 수가 증가하면 수렴 속도가 감소 할 수 있다.

병렬 계산에서 이러한 단점을 극복하기 위해 다단계 알고리즘을 적용해야 한다. 다중 레벨 알고리즘의 예가 도 18에 도시되어 있다. 도 18에서 4nx4n 그리드로 구성된 계산 영역은 4x4 MPI 프로세스로 나뉜다. 도 18을 기반으로 단일 V- 사이클에 대한 다중 레벨 알고리즘은 다음과 같이 요약 할 수 있다.

1. 제한 절차 (n×n → 2×2)는 각 MPI 프로세스에서 수행된다

2. 각 MPI 프로세스에서 가장 거친 그리드의 정보가 단일 프로세스로 수집된다

3. 직렬 V-사이클 절차(8x8 → 2x2 → 8x8)는 단일 프로세스에서 수행된다

4. 직렬 V-사이클의 결과는 해당 MPI 프로세스에 흩어져 있다

5. 연장 절차 (2x2 → nxn)는 각 MPI 프로세스에서 수행된다.

이 과정을 통해 병렬화로 인한 단점없이 병렬 연산에 MG 방식을 적용 할 수 있다. 이 알고리즘은 3D 문제에도 유사하게 적용될 수 있다. 다단계 알고리즘은 현재의 멀티 그리드 알고리즘에 쉽게 적용 할 수 있다. 일반 도메인에서 표준 MG 방법에 다단계 알고리즘을 적용하는 것과 비교할 때 유일한 차이점은 집계 프로세스에서 Heaviside 함수를 수집하는 것이다.

한편, 전자 장치는 세분화된 고해상도 유동 복셀의 음영 정보를 처리하는 그래픽 처리 유닛(graphic processing unit) 및 최초 음영 정보를 처리하는 프로세서(CPU)를 포함할 수 있다.

본 발명이 제안하는 방법은 병렬화에 매우 적합하다. 특히, 세분화가 이루어진 격자에 대해서는 그래픽 처리 유닛을 이용한 병렬화가 적합하며, 세분화 전의 최초 Level-0 격자(최초 의료 영상의 해상도와 동일한 조밀도의 격자)에 대해서는 프로세서를 이용한 병렬화를 실행하여 도 19 및 20과 같이 동시에 사용하는 병렬 연산을 효율적으로 구현 가능하다.

한편, 본 발명의 다른 실시 예에서, 전자 장치는 3차원 영상의 밝기 값에 기초하여 각각의 픽셀마다 0 또는 1을 정의함에 따라 3차원 영상을 유체 영역 및 주변 영역으로 분할할 수 있다. 즉, 상기 실시 예에서, 다른 방법들은 모두 동일하되 영역을 분할하는 방법만 다르게 적용될 수 있다. 예컨대, 음영 값을 통해 영역을 구분하는 것이 아니라 픽셀 당 밝기 값을 획득하고, 미리 저장된 유체 영역 및 주변 영역의 일반적인 밝기 값과 비교하여 유체 영역에 해당하는 밝기 값을 가진 픽셀에는 1을 부여하고, 주변 영역에 해당하는 밝기 값을 가진 픽셀에는 0을 부여하는 방식으로 영역을 분할할 수 있다.

본 발명의 일 면에 따른 전자 장치가 수행하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법은, 상기 전자 장치가 3차원 영상을 0부터 1까지의 음영 값을 갖는 음영 함수 f를 이용하여 유체 영역 및 주변 영역으로 분할하는 단계; 및 상기 전자 장치가 상술한 수학식 1 및 하기 수학식 2로 표현되는 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식을 이용하여 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계;를 포함할 수 있다.

다양한 실시 예에 따르면, 상기 유체 영역 및 주변 영역으로 분할하는 단계는, 상기 전자 장치가 상기 3차원 영상의 최초 음영 정보에 기초하여 상기 3차원 영상에 포함된 각각의 픽셀을 복수의 서브 픽셀로 세분화함으로써 고해상도 유동 복셀(volxel)을 생성하는 단계; 상기 전자 장치가 수치 보간(interpolation) 방법을 이용하여 상기 음영함수 f를 보간하는 단계; 상기 전자 장치가 상기 유체 영역과 상기 주변 영역을 구분할 수 있는 경계를 나타내는 임계 값을 설정하는 단계; 및 상기 보간한 음영함수 f 및 상기 임계 값을 이용하여 상기 고해상도 유동 복셀의 음영 값을 정의하는 단계;를 포함할 수 있다.

다양한 실시 예에 따르면, 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계는, 상기 전자 장치가 상기 수학식 1을 현재 시점과 과거 시점의 속도 및 압력으로부터 이산화하여 하기 수학식 3을 산출하는 단계; 상기 전자 장치가 상기 유체 영역과 상기 주변 영역의 경계에서 속도 점착(Non-slip) 조건이 만족되도록 상기 경계에서의 속도 경계조건을 설정하는 단계; 및 상기 전자 장치가 상기 설정한 속도 경계조건을 만족하도록 상술한 수학식 3을 해석하여 임시 속도장 u*를 산출하는 단계;를 포함할 수 있다.

다양한 실시 예에 따르면, 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계는, 상기 전자 장치가 상술한 수학식 4로 표현되는 포아송(Poisson) 방정식 및 다중격자(multigrid) 방법을 이용하여 임시 압력장 φ를 산출하는 단계;를 포함할 수 있다.

다양한 실시 예에 따르면, 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계는, 상기 전자 장치가 상기 임시 속도장 u*, 상기 임시 압력장 φ, 상술한 수학식 5 및 수학식 6을 이용하여 상기 유체 영역에서의 다음 시점의 속도장 및 압력장을 산출하는 단계;를 포함할 수 있다.

본 발명의 일면에 따른 전자 장치가 수행하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법은, 상기 전자 장치가 3차원 영상의 밝기 값에 기초하여 각각의 픽셀마다 0 또는 1을 정의함에 따라 상기 3차원 영상을 유체 영역 및 주변 영역으로 분할하는 단계; 및 상기 전자 장치가 상술한 수학식 1 및 수학식 2로 표현되는 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식을 이용하여 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계;를 포함할 수 있다.

본 발명의 일면에 따른 3차원 영상의 유체 시뮬레이션을 수행하는 전자 장치는, 3차원 영상을 0부터 1까지의 음영 값을 갖는 음영 함수 f를 이용하여 유체 영역 및 주변 영역으로 분할하고, 상술한 수학식 1 및 수학식 2로 표현되는 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식을 이용하여 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석할 수 있다.

다양한 실시 예에 따르면, 상기 전자 장치는, 상기 3차원 영상의 최초 음영 정보에 기초하여 상기 3차원 영상에 포함된 각각의 픽셀을 복수의 서브 픽셀로 세분화함으로써 고해상도 유동 복셀(volxel)을 생성하고, 수치 보간(interpolation) 방법을 이용하여 상기 음영함수 f를 보간하고, 상기 유체 영역과 상기 주변 영역을 구분할 수 있는 경계를 나타내는 임계 값을 설정하고, 상기 보간한 음영함수 f 및 상기 임계 값을 이용하여 상기 고해상도 유동 복셀의 음영 값을 정의하고, 상기 수학식 1을 현재 시점과 과거 시점의 속도 및 압력으로부터 이산화하여 하기 수학식 3을 산출하고, 상기 유체 영역과 상기 주변 영역의 경계에서 속도 점착(Non-slip) 조건이 만족되도록 상기 경계에서의 속도 경계조건을 설정하고, 상기 설정한 속도 경계조건을 만족하도록 상술한 수학식 3을 해석하여 임시 속도장 u*를 산출할 수 있다.

다양한 실시 예에 따르면, 상기 전자 장치는 상기 세분화된 고해상도 유동 복셀의 음영 정보를 처리하는 그래픽 처리 유닛(graphic processing unit) 및 상기 최초 음영 정보를 처리하는 프로세서를 포함 할 수 있다.

3차원 영상의 유체 시뮬레이션 프로그램은 하드웨어인 컴퓨터와 결합되어, 제1항 내지 제5항 중 어느 한 항의 방법을 실행시키기 위하여 매체에 저장될 수 있다.

본 발명의 실시예와 관련하여 설명된 방법 또는 알고리즘의 단계들은 하드웨어로 직접 구현되거나, 하드웨어에 의해 실행되는 소프트웨어 모듈로 구현되거나, 또는 이들의 결합에 의해 구현될 수 있다. 소프트웨어 모듈은 RAM(Random Access Memory), ROM(Read Only Memory), EPROM(Erasable Programmable ROM), EEPROM(Electrically Erasable Programmable ROM), 플래시 메모리(Flash Memory), 하드 디스크, 착탈형 디스크, CD-ROM, 또는 본 발명이 속하는 기술 분야에서 잘 알려진 임의의 형태의 컴퓨터 판독가능 기록매체에 상주할 수도 있다.

이상, 첨부된 도면을 참조로 하여 본 발명의 실시예를 설명하였지만, 본 발명이 속하는 기술분야의 통상의 기술자는 본 발명이 그 기술적 사상이나 필수적인 특징을 변경하지 않고서 다른 구체적인 형태로 실시될 수 있다는 것을 이해할 수 있을 것이다. 그러므로, 이상에서 기술한 실시예들은 모든 면에서 예시적인 것이며, 제한적이 아닌 것으로 이해해야만 한다.

Claims

전자 장치가 수행하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법에 있어서,
상기 전자 장치가 3차원 영상을 0부터 1까지의 음영 값을 갖는 음영 함수 f를 이용하여 유체 영역 및 주변 영역으로 분할하는 단계; 및
상기 전자 장치가 하기 수학식 1 및 하기 수학식 2로 표현되는 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식을 이용하여 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계;를 포함하고,
상기 유체 영역 및 주변 영역으로 분할하는 단계는,
상기 전자 장치가 상기 3차원 영상의 최초 음영 정보에 기초하여 상기 3차원 영상에 포함된 각각의 픽셀을 복수의 서브 픽셀로 세분화함으로써 고해상도 유동 복셀(volxel)을 생성하는 단계;
상기 전자 장치가 수치 보간(interpolation) 방법을 이용하여 상기 음영함수 f를 보간하는 단계;
상기 전자 장치가 상기 유체 영역과 상기 주변 영역을 구분할 수 있는 경계를 나타내는 임계 값을 설정하는 단계; 및
상기 보간한 음영함수 f 및 상기 임계 값을 이용하여 상기 고해상도 유동 복셀의 음영 값을 정의하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법.
[수학식 1]

[수학식　2]

여기서 ρ는 유체의 밀도, μ는 유체의 점성계수, g는 중력가속도, u는 유체의 속도, p는 유체의 압력이다.
삭제
제1 항에 있어서, 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계는,
상기 전자 장치가 상기 수학식 1을 현재 시점과 과거 시점의 속도 및 압력으로부터 이산화하여 하기 수학식 3을 산출하는 단계;
상기 전자 장치가 상기 유체 영역과 상기 주변 영역의 경계에서 속도 점착(Non-slip) 조건이 만족되도록 상기 경계에서의 속도 경계조건을 설정하는 단계; 및
상기 전자 장치가 상기 설정한 속도 경계조건을 만족하도록 하기 수학식 3을 해석하여 임시 속도장 u*를 산출하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법.
[수학식 3]

여기서
는 시간에 대하여 차분된 항이고,
은 현재와 과거의 속도장부터 정의되는 비선형 대류항이고,
는 현재의 압력장으로부터 정의되는 압력의 공간 변화율이고,
은 선형 점성항이다.
제3 항에 있어서, 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계는,
상기 전자 장치가 하기 수학식 4로 표현되는 포아송(Poisson) 방정식 및 다중격자(multigrid) 방법을 이용하여 임시 압력장 φ를 산출하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법.
[수학식 4]

여기서 ρ는 유체의 밀도, f는 음영함수, φ는 임시 압력장이고, u*는 임시 속도장이다.
제4 항에 있어서, 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계는,
상기 전자 장치가 상기 임시 속도장 u*, 상기 임시 압력장 φ, 하기 수학식 5 및 하기 수학식 6을 이용하여 상기 유체 영역에서의 다음 시점의 속도장 및 압력장을 산출하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법.
[수학식 5]

[수학식 6]

여기서 uⁿ⁺¹은 다음 시점의 속도장이고, uⁿ은 현재 시점의 속도장이고,
는 임시 압력장으로부터 정의되는 압력의 공간 변화율이고, pⁿ⁺¹은 다음 시점의 압력장이고, pⁿ은 현재 시점의 압력장이다.
전자 장치가 수행하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법에 있어서,
상기 전자 장치가 3차원 영상의 밝기 값에 기초하여 각각의 픽셀마다 0 또는 1을 정의함에 따라 상기 3차원 영상을 유체 영역 및 주변 영역으로 분할하는 단계; 및
상기 전자 장치가 하기 수학식 1 및 하기 수학식 2로 표현되는 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식을 이용하여 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계;를 포함하고,
상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하는 단계는,
상기 전자 장치가 하기 수학식 1을 현재 시점과 과거 시점의 속도 및 압력으로부터 이산화하여 하기 수학식 3을 산출하는 단계;
상기 전자 장치가 상기 유체 영역과 상기 주변 영역의 경계에서 속도 점착(Non-slip) 조건이 만족되도록 상기 경계에서의 속도 경계조건을 설정하는 단계; 및
상기 전자 장치가 상기 설정한 속도 경계조건을 만족하도록 하기 수학식 3을 해석하여 임시 속도장 u*를 산출하는 단계;를 포함하는 것을 특징으로 하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 방법.
[수학식 1]

[수학식　2]

여기서 ρ는 유체의 밀도, μ는 유체의 점성계수, g는 중력가속도, u는 유체의 속도, p는 유체의 압력이다.
[수학식 3]

여기서
는 시간에 대하여 차분된 항이고,
은 현재와 과거의 속도장부터 정의되는 비선형 대류항이고,
는 현재의 압력장으로부터 정의되는 압력의 공간 변화율이고,
은 선형 점성항이다.
3차원 영상의 유체 시뮬레이션을 수행하는 전자 장치에 있어서,
상기 전자 장치는,
3차원 영상을 0부터 1까지의 음영 값을 갖는 음영 함수 f를 이용하여 유체 영역 및 주변 영역으로 분할하고, 및
하기 수학식 1 및 하기 수학식 2로 표현되는 나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식을 이용하여 상기 유체 영역의 유체 유동을 해석하고,
상기 유체 영역 및 주변 영역으로 분할할 때,
상기 전자 장치가 상기 3차원 영상의 최초 음영 정보에 기초하여 상기 3차원 영상에 포함된 각각의 픽셀을 복수의 서브 픽셀로 세분화함으로써 고해상도 유동 복셀(volxel)을 생성하고,
수치 보간(interpolation) 방법을 이용하여 상기 음영함수 f를 보간하고,
상기 유체 영역과 상기 주변 영역을 구분할 수 있는 경계를 나타내는 임계 값을 설정하고, 및
상기 보간한 음영함수 f 및 상기 임계 값을 이용하여 상기 고해상도 유동 복셀의 음영 값을 정의하는 것을 특징으로 하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 전자 장치.
[수학식 1]

[수학식　2]

여기서 ρ는 유체의 밀도, μ는 유체의 점성계수, g는 중력가속도, u는 유체의 속도, p는 유체의 압력이다.
제7 항에 있어서, 상기 전자 장치는,
상기 수학식 1을 현재 시점과 과거 시점의 속도 및 압력으로부터 이산화하여 하기 수학식 3을 산출하고,
상기 유체 영역과 상기 주변 영역의 경계에서 속도 점착(Non-slip) 조건이 만족되도록 상기 경계에서의 속도 경계조건을 설정하고, 및
상기 설정한 속도 경계조건을 만족하도록 하기 수학식 3을 해석하여 임시 속도장 u*를 산출하는 것을 특징으로 하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 전자 장치.
[수학식 3]

여기서
는 시간에 대하여 차분된 항이고,
은 현재와 과거의 속도장부터 정의되는 비선형 대류항이고,
는 현재의 압력장으로부터 정의되는 압력의 공간 변화율이고,
은 선형 점성항이다.
제7 항에 있어서,
상기 전자 장치는 세분화된 상기 고해상도 유동 복셀의 음영 정보를 처리하는 그래픽 처리 유닛(graphic processing unit) 및 상기 최초 음영 정보를 처리하는 프로세서를 포함하는 것을 특징으로 하는 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 전자 장치.
하드웨어인 컴퓨터와 결합되어, 제1항, 제3항 내지 제5항 중 어느 한 항의 방법을 실행시키기 위하여 매체에 저장된, 3차원 영상의 유체 시뮬레이션 프로그램.