KR102424506B1 - 발자국 생성을 통한 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법 - Google Patents

발자국 생성을 통한 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법 Download PDF

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Abstract

본 발명은, 휴머노이드 로봇의 거동에 기반한 역진자 모델을 설정하는 단계; 상기 역진자 모델로부터 좌표 변환을 통해 하이브리드 모델을 설정하는 단계; 및 휴머노이드 로봇의 발자국의 변화에 근거한 입력을 통하여 상기 하이브리드 모델을 안정화시키는 안정화 단계를 포함하고, 상기 안정화 단계는, 휴머노이드 로봇의 발자국의 위치 및 시간을 제어하는 것을 특징으로 하는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법을 제공한다.

Description

발자국 생성을 통한 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법{Method for Recovering Balance of Humanoid Robot via Step Generation}
본 발명은 하이브리드 모델을 설정하고, 이를 안정화시키는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법에 관한 것이다.
이족 보행 로봇은 로봇 팔 구조 등과는 다르게 기저(basis)가 고정되어 있지 않기 때문에 예상치 못한 외력으로 인해 쉽게 균형을 잃을 수 있다.
균형 복원을 위해 사람의 경우 발목이나 골반을 움직이거나 새로운 발자국을 밟는 전략을 취하는데, 새로운 발자국을 밟는 전략의 경우 휴머노이드 로봇에 적용할 알고리즘 개발이 상대적으로 미비한 실정이다.
현재까지 연구되어 온 대부분의 관련 연구들은 비선형 최적화 문제로 치환하여 계산량이 많거나 발자국 시간 혹은 위치를 부분적으로 생성하는 등의 한계점이 존재하였다.
기존의 방법 중의 하나는 비선형 최적화를 적용하는 것이다. 비선형 최적화는, 균형 복원 문제를 발자국 위치 및 시간을 변수로 하는 최적화 문제로 치환할 수 있고, 주어진 목적 함수를 최소화하는 최적의 발자국 위치 및 시간의 계산이 가능하였다.
하지만, 비선형 최적화는, 최적화 문제가 비선형성을 가지기 때문에 계산량이 많고, 전역적 해를 구할 수 없을 수도 있는 문제가 있었다. 또한, 목적 함수를 최소화하는 것이 실제 균형 복원을 의미하는 것인지를 이론적으로 규명하기 어려운 문제가 있었다.
기존의 방법 중의 다른 하나는 부분적 해법을 적용하는 것이다. 부분적 해법의 적용은 발자국 위치 및 시간 중 하나를 미리 계산된 값으로 고정한 후, 남은 변수를 생성하는 방법으로, 선형성을 유지할 수 있기 때문에 비선형 최적화 방법론에 비해 계산량이 적었다.
하지만, 부분적 해법의 적용 방법은, 발자국을 결정하는 두 변수 중 하나만을 결정하기 때문에 다소 제한적인 결과를 얻고, 결과적으로, 큰 외력을 견디기 어려운 문제가 있었다.
따라서, 실시간 구동이 용이하고 이론적으로 엄밀히 규명할 수 있는 반응성 발자국 생성 알고리즘의 개발이 요구된다.
특허 공보 제10-1596477호(2016.2.24)
본 발명은 상기의 과제를 해결하기 위해 안출된 것으로서, 본 발명의 목적은 실시간 구동이 용이하고 이론적으로 엄밀히 규명할 수 있는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법을 제공하는 것이다.
상기의 과제를 해결하기 위해, 본 발명의 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법은 휴머노이드 로봇의 거동에 기반한 역진자 모델을 설정하는 단계; 상기 역진자 모델로부터 좌표 변환을 통해 하이브리드 모델을 설정하는 단계; 및 휴머노이드 로봇의 발자국의 변화에 근거한 입력을 통하여 상기 하이브리드 모델을 안정화시키는 안정화 단계를 포함하고, 상기 안정화 단계는, 휴머노이드 로봇의 발자국의 위치 및 시간을 제어한다.
상기 역진자 모델은 [수학식 1]에 의해 표현될 수 있다.
[수학식 1]
Figure 112020097870760-pat00001
[수학식 1]에서,
Figure 112020097870760-pat00002
은 휴머노이드 로봇의 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향 가속도를 나타내고, cx 및 cz는 각각 휴머노이드 로봇의 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향 및 z 방향의 좌표값을 나타내고, px는 수평 방향의 모멘트가 0이 되는 지면 위의 점으로, 일반적인 경우 압력 중심을 나타내며, m은 로봇의 전체 질량, g는 중력 가속도,
Figure 112020097870760-pat00003
은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량,
Figure 112020097870760-pat00004
는 무게 중심에 가해지는 외력을 각각 나타낸다.
상기 하이브리드 역진자 모델은 [수학식 2]을 이용하는 좌표 변환을 통해 도출될 수 있다.
[수학식 2]
Figure 112020097870760-pat00005
[수학식 2]에서, ξ는 ξ1 및 ξ2를 포함하는 벡터이고, ξ1는 cx - px 로 정의되고, ξ2는
Figure 112020097870760-pat00006
로 정의되고, cx 는 무게 중심의 x 방향의 좌표값이고, px는 수평 방향의 모멘트가 0이 되는 지면 위의 점이고,
Figure 112020097870760-pat00007
는 무게 중심의 x 방향의 속도값을 나타낸다.
상기 하이브리드 역진자 모델은 연속 모델을 포함하고, 상기 연속 모델은 [수학식 3]에 의해서 표현될 수 있다.
[수학식 3]
Figure 112020097870760-pat00008
[수학식 3]에서,
Figure 112020097870760-pat00009
는ξ의 속도값이고, ξ는 ξ1 및 ξ2를 포함하는 벡터이고, cz는 휴머노이드 로봇의 무게 중심의 z 방향의 좌표값을 나타내고, m은 휴머노이드 로봇의 전체 질량, g는 중력 가속도,
Figure 112020097870760-pat00010
은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량을 나타낸다.
상기 하이브리드 역진자 모델은 이산 모델을 더 포함하고, 상기 이산 모델은 [수학식 4]에 의해서 표현될 수 있다.
[수학식 4]
Figure 112020097870760-pat00011
[수학식 4]은 이산 동역학을 나타내고, [수학식 4]에서,
Figure 112020097870760-pat00012
는 ξ의 발을 딛은 직후의 값이고, ξ는 ξ1 및 ξ2를 포함하는 벡터이고,
Figure 112020097870760-pat00013
는 발걸음 수평 위치의 상대적 거리, 즉,
Figure 112020097870760-pat00014
를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00015
는 j 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00016
는 j+1 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타낸다.
상기 역진자 모델은 불안정 모드를 구비하고, 상기 불안정 모드에 해당하는 부분 상태 변수는 [수학식 5]에 의해 정의되고, 상기 부분 상태 변수의 제어를 통하여 상기 하이브리드 모델의 안정화를 가능하게 할 수 있다.
[수학식 5]
Figure 112020097870760-pat00017
[수학식 5]에서 ξ u 는 부분 상태 변수이고, ξ1는 cx - px 이고, ξ2는
Figure 112020097870760-pat00018
이고, cx 는 무게 중심의 x 방향의 좌표값이고, px는 수평 방향의 모멘트가 0이되는 지면 위의 점이고,
Figure 112020097870760-pat00019
는 휴머노이드 로봇의 무게 중심의 x 방향의 속도값, g는 중력 가속도, cz는 각각 휴머노이드 로봇의 무게 중심의 z 방향의 좌표값을 나타낸다.
상기 불안정 모드는 [수학식 6] 및 [수학식 7]로 표현되는 하이브리드 시스템에 의해 결정될 수 있다.
[수학식 6]
Figure 112020097870760-pat00020
[수학식 6]에서,
Figure 112020097870760-pat00021
는ξ u의 속도값이고, g는 중력 가속도, cz는 휴머노이드 로봇의 무게 중심의 z 방향의 좌표값을 나타내고, ξ u 는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수이고, m은 로봇의 전체 질량,
Figure 112020097870760-pat00022
은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량을 나타낸다.
[수학식 7]
Figure 112020097870760-pat00023
[수학식 7]에서,
Figure 112020097870760-pat00024
는ξ u의 발을 딛은 직후의 값이고, ξ u 는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수이고,
Figure 112020097870760-pat00025
는 발걸음 수평 위치의 상대적 거리, 즉,
Figure 112020097870760-pat00026
를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00027
는 j 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00028
는 j+1 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타낸다.
상기 하이브리드 시스템은 [수학식 8] 내지 [수학식 10]을 만족하는 연속 제어 입력을 통하여 안정화될 수 있다.
[수학식 8]
Figure 112020097870760-pat00029
[수학식 8]에서,
Figure 112020097870760-pat00030
은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량이고, κ는 설계 변수로, κ> mg이고, ξ u 는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수이고, [수학식 8]에서의 sat(x) 함수는, [수학식 9]에 의해 정의된다.
[수학식 9]
Figure 112020097870760-pat00031
[수학식 9]에서,
Figure 112020097870760-pat00032
는 무게 중심에서 각운동량의 변화량의 최대 크기이고, sat(x) 함수는, (i) x가,
Figure 112020097870760-pat00033
보다 작으면
Figure 112020097870760-pat00034
값, (ii) x가,
Figure 112020097870760-pat00035
보다 같거나 작고
Figure 112020097870760-pat00036
보다 같거나 크면 x 값, (iii) x가
Figure 112020097870760-pat00037
보다 크면,
Figure 112020097870760-pat00038
값을 도출하게 된다.
[수학식 10]
Figure 112020097870760-pat00039
[수학식 10]에서,
Figure 112020097870760-pat00040
는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수의 크기이고,
Figure 112020097870760-pat00041
는 무게 중심에서 각운동량의 변화량의 최대 크기이고, m은 휴머노이드 로봇의 전체 질량, g는 중력 가속도를 나타낸다.
상기 하이브리드 시스템은 [수학식 11] 및 [수학식 12]를 만족하는 이산 제어 입력을 통하여 안정화될 수 있다.
[수학식 11]
Figure 112020097870760-pat00042
[수학식 12]
Figure 112020097870760-pat00043
[수학식 11]에서,
Figure 112020097870760-pat00044
는 다음 스텝을 밟기 직전의 상황에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 의 크기이고,
Figure 112020097870760-pat00045
는 각운동량의 변화량의 최대 크기[kgㆍm2/s2]이며, m은 로봇의 전체 질량[kg]이고, g는 중력 가속도(약 9.81 m/s2)을 나타낸다.
[수학식 12]에서,
Figure 112020097870760-pat00046
는 다음 스텝을 밟은 직후의 상황에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이고,
Figure 112020097870760-pat00047
는 이전 스텝을 밟은 직후의 상황에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이며, γ은 설계 변수로,
Figure 112020097870760-pat00048
를 만족하며,
Figure 112020097870760-pat00049
는 각운동량의 변화량의 최대 크기[kgㆍm2/s2]이며, m은 로봇의 전체 질량[kg]이고, g는 중력 가속도(약 9.81 m/s2)을 나타내며,
Figure 112020097870760-pat00050
는 발자국 간의 최대 간격[m]이고, min(x,y)는 x 및 y 중 작은 값을 도출하는 함수를 나타내고, sign(x)는 x의 부호를 도출하는 함수를 나타낸다.
본 발명에서, 하이브리드 역진자 모델의 안정화 문제를 해결함으로써 휴머노이드 로봇의 균형 복원을 가능하게 한다.
또한, 하이브리드 역진자 모델의 안정화를 위해, 안정화 제어기가 설계되며, 안정화 제어기를 바탕으로 로봇의 반응성 생성 알고리즘이 제시되어 휴머노이드 로봇의 균형 복원을 가능하게 한다.
도 1a는 본 발명의 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법을 도시하는 순서도.
도 1b는 본 발명의 휴머노이드 로봇을 도시하는 개념도.
도 2는 본 발명에서 외력 인가 전(위), 외력 인가 직후(가운데) 및 균형 복원 후(아래)의 균형 복원 문제를 도시하는 개념도.
도 3은 무게 중심 동역학(위) 및 하이브리드 시스템(아래)으로 표현된 하이브리드 역진자 모델을 도시하는 개념도.
도 4는 하이브리드 시스템을 수학적으로 도시하는 그래프.
도 5는 하이브리드 역진자 모델의 위상 궤적을 도시하는 그래프.
도 6은 이산 제어 입력을 통한 불안정 동역학의 안정화를 도시하는 그래프.
도 7은 본 발명의 반응성 발자국을 생성하는 알고리즘을 도시하는 블록도.
도 8은 본 발명에서 사용된 로봇을 도시하는 사진.
도 9는 시간에 따른 무게 중심의 수평위치 및 발자국의 수평위치를 도시하는 그래프.
도 10은 하이브리드 역진자 모델의 위상궤적의 안정화를 도시하는 그래프.
도 11은 직전 발자국 시간 및 현재 시각의 차이를 도시하는 그래프.
이하, 첨부된 도면을 참조하여 본 명세서에 개시된 실시 예를 상세히 설명하되, 동일하거나 유사한 구성요소에는 동일, 유사한 도면 부호를 부여하고 이에 대한 중복되는 설명은 생략하기로 한다. 이하의 설명에서 사용되는 구성요소에 대한 접미사 "부"는 명세서 작성의 용이함만이 고려되어 부여되거나 혼용되는 것으로서, 그 자체로 서로 구별되는 의미 또는 역할을 갖는 것은 아니다. 또한, 본 명세서에 개시된 실시 예를 설명함에 있어서 관련된 공지 기술에 대한 구체적인 설명이 본 명세서에 개시된 실시 예의 요지를 흐릴 수 있다고 판단되는 경우 그 상세한 설명을 생략한다. 또한, 첨부된 도면은 본 명세서에 개시된 실시 예를 쉽게 이해할 수 있도록 하기 위한 것일 뿐, 첨부된 도면에 의해 본 명세서에 개시된 기술적 사상이 제한되지 않으며, 본 발명의 사상 및 기술 범위에 포함되는 모든 변경, 균등물 내지 대체물을 포함하는 것으로 이해되어야 한다.
제1, 제2 등과 같이 서수를 포함하는 용어는 다양한 구성요소들을 설명하는데 사용될 수 있지만, 상기 구성요소들은 상기 용어들에 의해 한정되지는 않는다. 상기 용어들은 하나의 구성요소를 다른 구성요소로부터 구별하는 목적으로만 사용된다.
어떤 구성요소가 다른 구성요소에 "연결되어" 있다고 언급된 때에는, 그 다른 구성요소에 직접적으로 연결되어 있을 수도 있지만, 중간에 다른 구성요소가 존재할 수도 있다고 이해되어야 할 것이다.
단수의 표현은 문맥상 명백하게 다르게 뜻하지 않는 한, 복수의 표현을 포함한다.
본 출원에서, "포함한다" 또는 "가지다" 등의 용어는 명세서상에 기재된 특징, 숫자, 단계, 동작, 구성요소, 부품 또는 이들을 조합한 것이 존재함을 지정하려는 것이지, 하나 또는 그 이상의 다른 특징들이나 숫자, 단계, 동작, 구성요소, 부품 또는 이들을 조합한 것들의 존재 또는 부가 가능성을 미리 배제하지 않는 것으로 이해되어야 한다.
도 1a를 참조하면, 본 발명의 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법(S100)은 휴머노이드 로봇의 거동에 기반한 역진자 모델을 설정하는 단계(S10), 상기 역진자 모델로부터 좌표 변환을 통해 하이브리드 모델을 설정하는 단계(S20), 및 휴머노이드 로봇의 발자국의 변화에 근거한 입력을 통하여 상기 하이브리드 모델을 안정화시키는 안정화 단계(S30)를 포함한다.
또한, 안정화 단계는, 휴머노이드 로봇의 발자국의 위치 및 시간을 제어한다.
휴머노이드 로봇의 거동은 [수학식 1]에 의해 역진자 모델이 표현된다.
[수학식 1]
Figure 112020097870760-pat00051
[수학식 1] 및 도 1b에서,
Figure 112020097870760-pat00052
은 휴머노이드 로봇의 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향 가속도를 나타내고, cx 및 cz는 각각 휴머노이드 로봇의 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향 및 z 방향의 좌표값[m]을 나타내고, px는 수평 방향의 모멘트가 0이 되는 지면 위의 점(zero-moment point, ZMP)[m]으로, 일반적인 경우 압력 중심(center of pressure)을 나타내며, m은 로봇의 전체 질량[kg], g는 중력 가속도(약 9.81 m/s2),
Figure 112020097870760-pat00053
은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량[kgㆍm2/s2],
Figure 112020097870760-pat00054
는 무게 중심에 가해지는 외력[N]을 각각 나타낸다.
또한, px는 고정된 압력 중심의 수평 위치로, 발자국 위치(point foot)로 이해될 수 있다.
휴머노이드 로봇의 거동을 표현하는 역진자 모델은 무게 중심을 나타내는 동역학을 표현한 것으로도 이해될 수 있다.
또한, 휴머노이드 로봇의 거동은 시상면(sagittal plane)에서의 거동일 수 있다.
도 2는 본 발명에서 외력 인가 전(위), 외력 인가 직후(가운데) 및 균형 복원 후(아래)의 균형 복원 문제를 도시하는 개념도가 도시된다.
이하, 도 2 및 보조식들을 참조하면, 로봇의 균형 복원을 위하여, 역진자 모델의 관점에서 3가지 조건이 만족되어야 한다.
로봇의 균형 복원을 만족시키기 위한 역진자 모델의 관점에서의 제1조건은 무게 중심이 수렴되어야 한다는 조건이다. 제1조건은 [보조식 1]를 만족하는 것에 의해 충족될 수 있다.
[보조식 1]
Figure 112020097870760-pat00055
[보조식 1]에서, cx(t)는 시간 t에서의 휴머노이드 로봇의 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향의 좌표값[m]이고,
Figure 112020097870760-pat00056
는 시간 t에서의 휴머노이드 로봇의 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향의 속도값[m/s]이고,
Figure 112020097870760-pat00057
는 각각 사용자에 의해 결정이 가능한, 균형 복원 여부를 결정하는 문턱 값(threshold value)이고, 양의 상수이다. TF는 균형 복원을 달성한 시간으로 알고리즘에 의해 자동으로 결정되고, 모든 시간 t는 TF 보다 같거나 크게 되고,
Figure 112020097870760-pat00058
는 균형 복원이 달성된 후 최종적인 발자국 수평 위치[m]이다.
로봇의 균형 복원을 만족시키기 위한 무게 중심 동역학의 관점에서의 제2조건은 발자국의 수평 위치가 수렴되어야 한다는 조건이다. 제2조건은 [보조식 2]을 만족하는 것에 의해 충족될 수 있다.
[보조식 2]
Figure 112020097870760-pat00059
[보조식 2]에서,
Figure 112020097870760-pat00060
는 j 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00061
는 균형 복원이 달성된 후 최종적인 발자국 수평 위치[m]를 나타내고, NF는 균형 복원을 위해 필요한 발자국 수를 나타내는데 알고리즘에 의해 자동으로 결정되고, 모든 발자국 순번 j는 NF 보다 같거나 크다.
로봇의 균형 복원을 만족시키기 위한 무게 중심 동역학의 관점에서의 제3조건은 원하는 주기로 보행되어야 한다는 조건이다. 제3조건은 [보조식 3]을 만족하는 것에 의해 충족될 수 있다.
[보조식 3]
Figure 112020097870760-pat00062
[보조식 3]에서,
Figure 112020097870760-pat00063
는 j번째 발자국을 밟은 때의 시각을 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00064
는 j+1번째 발자국을 밟은 때의 시각을 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00065
는 이상적인 상황에서의 보행 주기[s]를 나타내고, NF는 균형 복원을 위해 필요한 발자국 수를 나타내는데 알고리즘에 의해 자동으로 결정되고, 모든 발자국 순번 j는 NF 보다 같거나 크다.
전술한 [보조식 1] 내지 [보조식 3]을 통해 수행되는 제1 내지 제3조건에 의해 따라, 균형 복원 조건이 수식화될 수 있다.
또한, 제1 내지 제3조건 외에도, 추가적인 제약 조건이 [보조식 4]에 의해 부여될 수 있다.
[보조식 4]
Figure 112020097870760-pat00066
[보조식 4]에서,
Figure 112020097870760-pat00067
는 j 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00068
는 j+1 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00069
은 발자국 간의 최대 간격[m]을 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00070
는 필요한 각운동량의 변화량 궤적[kgㆍm2/s2]을 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00071
은 각운동량의 변화량의 최대 크기[kgㆍm2/s2]를 나타낸다.
또한, 도 3은 무게 중심 동역학(위) 및 하이브리드 시스템(아래)으로 표현된 하이브리드 역진자 모델을 도시하는 개념도이다.
하이브리드 역진자 모델은 [수학식 2]을 이용하는 좌표 변환을 통해 도출될 수 있다.
[수학식 2]
Figure 112020097870760-pat00072
[수학식 2]에서, ξ는 ξ1 및 ξ2를 포함하는 벡터이고, ξ1는 cx - px 이고, ξ2는
Figure 112020097870760-pat00073
이고, cx 는 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향의 좌표값[m]이고, px는 수평 방향의 모멘트가 0이 되는 지면 위의 점(zero-moment point, ZMP)[m]으로, 일반적인 경우 압력 중심(center of pressure)이고,
Figure 112020097870760-pat00074
는 는 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향의 속도값[m/s]이다.
전술한 바와 같이, 하이브리드 역진자 모델은 하이브리드 시스템(hybrid system)을 포함할 수 있는데, 하이브리드 시스템은 연속 및 이산 모델을 동시에 가지는 시스템으로 이해될 수 있다.
또한, 하이브리드 역진자 모델은 로봇이 새로운 발자국을 밟는 것을 로봇의 순간적인 상태 변화로 표현되는 것으로 이해될 수 있다.
하이브리드 역진자 모델은 연속 모델을 포함할 수 있는데, 연속 모델은 [수학식 3]에 의해서 표현될 수 있다.
[수학식 3]
Figure 112020097870760-pat00075
[수학식 3]은 연속 동역학을 나타내고, [수학식 3]에서,
Figure 112020097870760-pat00076
는ξ의 속도값이고, ξ는 ξ1 및 ξ2를 포함하는 벡터이고, cz는 휴머노이드 로봇의 무게 중심(center of mass, CoM)의 z 방향의 좌표값[m]을 나타내고, m은 로봇의 전체 질량[kg], g는 중력 가속도(약 9.81 m/s2),
Figure 112020097870760-pat00077
은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량[kgㆍm2/s2]을 나타낸다.
또한, 하이브리드 시스템은 도 4를 참조하면,
Figure 112020097870760-pat00078
이고,
Figure 112020097870760-pat00079
인데, 만약 x가 집합 C에 속한다면, 연속 모델에 따른 동적 특성을 보이고, 만약 x가 집합 D에 속한다면, 이산 모델에 따른 동적 특성을 보이게 된다.
또한, [수학식 3]에서, ξ및 η는 연속 집합 내(도 4의 C 영역)에 속하게 된다. η는 반응성 발자국 생성 알고리즘의 상태 변수이다.
하이브리드 역진자 모델은 이산 모델을 더 포함할 수 있다.
이산 모델은 [수학식 4]에 의해서 표현될 수 있다.
[수학식 4]
Figure 112020097870760-pat00080
[수학식 4]은 이산 동역학을 나타내고, [수학식 4]에서,
Figure 112020097870760-pat00081
는 ξ의 발을 딛은 직후의 값이고, ξ는 ξ1 및 ξ2를 포함하는 벡터이고,
Figure 112020097870760-pat00082
는 발걸음 수평 위치의 상대적 거리, 즉,
Figure 112020097870760-pat00083
를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00084
는 j 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00085
는 j+1 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타내고, 또한, [수학식 4]에서, ξ및 η는 이산 집합 내(도 4의 D 영역)에 속하게 된다. η는 반응성 발자국 생성 알고리즘의 상태 변수이다.
[수학식 2] 내지 [수학식 4]에서, ξ=0은 cx-px =0 및
Figure 112020097870760-pat00086
=0을 의미하고, 이는 하이브리드 역진자 모델의 안정화를 통해 로봇의 균형 복원이 가능해지는 것을 의미한다.
또한, [수학식 3]에서
Figure 112020097870760-pat00087
은 연속 제어 입력으로의 역할을 하고, [수학식 4]에서
Figure 112020097870760-pat00088
는 이산 제어 입력으로의 역할을 한다.
제어 공학의 관점에서 본다면, 연속 모델은 전체 상태 변수의 제어가 가능하나 입력의 최대 및 최소값에 제약이 있으며, 이산 모델은 부분 상태 변수만의 제어가 가능하고, 입력의 최대 및 최소값에 제약이 있다.
이처럼, 연속 모델 및 이산 모델의 전체 상태 변수를 한번에 ξ=0 으로 수렴시키는 것은 불가능하다.
역진자 모델의 불안정 모드에 해당하는 부분 상태 변수(DCM, Divergent Component of Motion)는 [수학식 5]로 정의된다.
[수학식 5]
Figure 112020097870760-pat00089
[수학식 5]에서 ξ u 는 부분 상태 변수이고, ξ1는 cx - px 이고, ξ2는
Figure 112020097870760-pat00090
이고, cx 는 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향의 좌표값[m]이고, px는 수평 방향의 모멘트가 0이되는 지면 위의 점(zero-moment point, ZMP)[m]으로, 일반적인 경우 압력 중심(center of pressure)이고,
Figure 112020097870760-pat00091
는 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향의 속도값[m/s]을 나타낸다.
본 발명에서는, 부분 상태 변수 ξ u 만을 제어하여 안정화 가능하게 할 수 있다.
불안정 모드는 [수학식 6] 및 [수학식 7]의 하이브리드 시스템으로 결정될 수 있다.
[수학식 6]
Figure 112020097870760-pat00092
[수학식 6]에서,
Figure 112020097870760-pat00093
는ξ u의 속도값이고, g는 중력 가속도(약 9.81 kg/s2), cz는 휴머노이드 로봇의 무게 중심(center of mass, CoM)의 z 방향의 좌표값[m]을 나타내고, ξ u 는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수이고, m은 로봇의 전체 질량[kg],
Figure 112020097870760-pat00094
은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량[kgㆍm2/s2]을 나타낸다.
[수학식 7]
Figure 112020097870760-pat00095
[수학식 7]에서,
Figure 112020097870760-pat00096
는ξ u의 발을 딛은 직후의 값이고, ξ u 는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수이고,
Figure 112020097870760-pat00097
는 발걸음 수평 위치의 상대적 거리, 즉,
Figure 112020097870760-pat00098
를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00099
는 j 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00100
는 j+1 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타낸다. 발걸음 수평 위치의 상대적 거리는 이전 딛는 발걸음과 다음 딛는 발걸음과의 상대적 거리, 즉 휴머노이드 로봇의 보행 시에 두 발 사이의 거리를 의미한다.
하이브리드 시스템 형태로 위와 같이 표현된 불안정 모드는 연속 제어 입력 및 이산 제어 입력을 통하여 안정화될 수 있다.
연속 제어 입력은 각운동량의 변화량으로서, [수학식 8]로 표현된다.
[수학식 8]
Figure 112020097870760-pat00101
[수학식 8]에서,
Figure 112020097870760-pat00102
은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량[kgㆍm2/s2]이고, κ는 설계 변수로, κ> mg이고, ξ u 는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수이고, [수학식 8]에서의 sat(x) 함수는, [수학식 9]에 의해 정의된다.
[수학식 9]
Figure 112020097870760-pat00103
[수학식 9]에서,
Figure 112020097870760-pat00104
는 무게 중심에서 각운동량의 변화량의 최대 크기[kgㆍm2/s2]이고, sat(x) 함수는, (i) x가
Figure 112020097870760-pat00105
보다 작으면,
Figure 112020097870760-pat00106
값, (ii) x가
Figure 112020097870760-pat00107
보다 같거나 작고,
Figure 112020097870760-pat00108
보다 같거나 크면 x 값, (iii) x가
Figure 112020097870760-pat00109
보다 크면,
Figure 112020097870760-pat00110
값을 도출하게 된다.
만일, 부분 상태 변수(DCM)의 크기가 [수학식 10]
Figure 112020097870760-pat00111
을 만족하게 되면, 불안정 모드가 안정화되게 된다.
도 5는 하이브리드 역진자 모델의 위상 궤적을 도시하는 그래프이다.
도 5를 참조하면, 부분 상태 변수(DCM)가 튜브(보라색 블록) 내에 위치하여 부분 상태 변수가 문턱 값 보도 작다면(Inside tube), 불안정 모드가 안정화되어 부분 상태 변수(DCM)은 원점으로 수렴하고, 부분 상태 변수(DCM)가 튜브 밖에 위치한다면(Outside tube), 불안정 모드가 안정화되지 않아서 발산하게 되고, 추가적인 발디딤 없이는 수렴이 불가능하게 된다. 도 5에서, 빨강 영역은 균형 복원을 이루는 영역, 보라 파선은 전체 동역학의 불안정 부분 상태 변수가 0인 영역(기울기 음수) 및 안정 부분 상태 변수가 0인 영역(기울기 양수)를 의미한다.
도 6은 이산 제어 입력을 통한 불안정 모드의 안정화를 도시하는 그래프인데, 이하, 도 6 및 [수학식 11] 내지 [수학식 16]을 참조하여, 이산 제어 입력을 통한 불안정 모드의 안정화에 대하여 서술한다.
이산 제어 입력은, [수학식 11] 및 [수학식 12]를 만족하도록 상기 휴머노이드 로봇의 발자국의 위치 및 시간을 제어할 수 있다.
[수학식 11]
Figure 112020097870760-pat00112
[수학식 12]
Figure 112020097870760-pat00113
[수학식 11]에서,
Figure 112020097870760-pat00114
는 다음 스텝을 밟기 직전의 상황에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 의 크기이고,
Figure 112020097870760-pat00115
는 각운동량의 변화량의 최대 크기[kgㆍm2/s2]이며, m은 로봇의 전체 질량[kg]이고, g는 중력 가속도(약 9.81 kg/s2)을 나타낸다.
[수학식 12]에서,
Figure 112020097870760-pat00116
는 다음 스텝을 밟은 직후의 상황에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이고,
Figure 112020097870760-pat00117
는 이전 스텝을 밟은 직후의 상황에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이며, γ은 설계 변수로,
Figure 112020097870760-pat00118
를 만족하며,
Figure 112020097870760-pat00119
는 각운동량의 변화량의 최대 크기[kgㆍm2/s2]이며, m은 로봇의 전체 질량[kg]이고, g는 중력 가속도(약 9.81 m/s2)을 나타내며,
Figure 112020097870760-pat00120
는 발자국 간의 최대 간격[m]이고, min(x,y)는 x 및 y 중 작은 값을 도출하는 함수를 나타내고, sign(x)는 x의 부호를 도출하는 함수를 나타낸다.
이산 제어 입력을 가능하게 하는 [수학식 11] 및 [수학식 12]의 조건을 부합하도록 휴머노이드 로봇의 발걸음 시간 및 위치를 선정할 수 있다.
이러한, 휴머노이드 로봇의 발걸음 시간 및 위치를 선정은 [수학식 13] 내지 [수학식 15]에 의해 가능하게 된다.
[수학식 13] 및 [수학식 14]은 휴머노이드 로봇의 발걸음 시간에 관한 것이고, [수학식 15]은 휴머노이드 로봇의 발걸음 위치에 관한 것이다.
보다 구체적으로 한쪽 다리딛기 구간 동안의 부분 상태 변수(DCM) 증가량이 발디딤 거리의 최대값 보다 크거가 같은 경우 [수학식 13]이 적용된다.
[수학식 13]
Figure 112020097870760-pat00121
[수학식 13]에서,
Figure 112020097870760-pat00122
은 다음 발자국을 밟기 직전에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이고,
Figure 112020097870760-pat00123
은 이전 발자국을 밟은 직후에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이며,
Figure 112020097870760-pat00124
는 발자국 간의 최대 간격[m]이다.
또한, 한쪽 다리딛기 구간을 이상적인 보행 주기만큼 진행한 경우 [수학식 14]이 적용된다.
[수학식 14]
Figure 112020097870760-pat00125
[수학식 14]에서, t는 임의의 시간,
Figure 112020097870760-pat00126
는 j번째 발자국을 밟은 때의 시각을 나타내고,
Figure 112020097870760-pat00127
는 이상적인 보행 주기[s]를 나타낸다.
또한, 부분 상태 변수의 변화량이 문턱값 보다 크도록 하는 발자국의 위치는 [수학식 15]에 의해 도출 가능하다.
[수학식 15]
Figure 112020097870760-pat00128
[수학식 15]에서,
Figure 112020097870760-pat00129
는 발을 딛는 직후에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이며,
Figure 112020097870760-pat00130
는 임의의 시간에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이며,
Figure 112020097870760-pat00131
는 j+1번째 발자국의 수평 위치[m]이고,
Figure 112020097870760-pat00132
는 j번째 발자국의 수평 위치[m]이고,
Figure 112020097870760-pat00133
는 발을 딛는 직후에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이며, γ은 설계 변수로,
Figure 112020097870760-pat00134
를 만족하며,
Figure 112020097870760-pat00135
는 각운동량의 변화량의 최대 크기[kgㆍm2/s2]이며, m은 로봇의 전체 질량[kg]이고, g는 중력 가속도(약 9.81 m/s2)을 나타내며,
Figure 112020097870760-pat00136
는 발자국 간의 최대 간격[m]이고, min(x,y)는 x 및 y 중 작은 값을 도출하는 함수를 나타내고, sign(x)는 x의 부호를 도출하는 함수를 나타낸다.
[수학식 11] 내지 [수학식 15]과, 도 6을 참조하면, (i) 문턱 값(보라색 파선)보다 큰 크기의 부분 상태 변수(DCM)는 한쪽 다리 딛기 구간 동안(파란 실선) 발산하고, (ii) 새로운 발디딤을 통해 직전 발디딤에서의 부분 상태 변수(DCM)와 비교하여 현재 부분 상태 변수(DCM)의 크기를 일정 값 이하로 감소하고, (iii) 일정 수의 발디딤 이후 부분 상태 변수(DCM) 크기가 문턱 값보다 작아져서, 추가 발디딤 없이 안정화를 가능하게 한다.
도 7에는 본 발명의 반응성 발자국을 생성하는 알고리즘을 도시하는 블록도가 도시된다.
도 7을 참조하면, 현재의 로봇 정보(무게 중심 및 발자국 위치(ZMP, zero-moment point))가 역진자 모델로 입력되는데 이는 초기화과정으로 이해될 수 있다.
그 후, 전술한 바와 같이 역진자 모델은 하이브리드 모델로 표현된다.
하이브리드 모델에 의해 이산 제어 입력 및 연속 제어 입력 값이 도출된다. 도출된 이산 제어 입력 및 연속 제어 입력 값은, 역진자 모델 및 하이브리드 모델 값에 반영되고, 미래의 추종 궤적(무게 중심, 발자국 위치(ZMP, zero-moment point) 및 각운동량 변화량)을 도출하게 된다.
본 발명의 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법(S100)은 전술한 개념을 바탕으로 하이브리드 제어기를 통해 하이브리드 모델을 안정화시킬 수 있다.
하이브리드 제어기를 통해 하이브리드 모델을 안정화시키는 과정은, 직전 발걸음으로부터 현재까지의 시간(
Figure 112020097870760-pat00137
) 및 한쪽 다리딛기 구간 동안의 부분 상태 변수(DCM)의 변화량(
Figure 112020097870760-pat00138
)을 상태 변수(η)로 한다.
전술한 [수학식 1] 내지 [수학식 15] 의 과정을 통해, 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량(
Figure 112020097870760-pat00139
) 및 발걸음 수평 위치의 상대적 거리(
Figure 112020097870760-pat00140
)값을 출력하게 된다.
휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량(
Figure 112020097870760-pat00141
) 및 발걸음 수평 위치의 상대적 거리(
Figure 112020097870760-pat00142
)값은 전술한 연속 제어 입력 및 이산 제어 입력으로의 역할을 하게 한다.
도 8은 본 발명에서 사용된 휴머노이드 로봇(MAHRU-R)을 도시하는 사진이다. 도 8의 휴머노이드 로봇에 적용된 스펙과 관련하여, 전체 높이는 1.35 m이고, 보행 시 무게 중심(center of mass, CoM)의 높이는 0.697 m이고, 전체 무게는 50 kg이며, 발 디딤 위치 변화량의 최대값
Figure 112020097870760-pat00143
은 0.4 m 이고, 각운동량 변화량의 최대값
Figure 112020097870760-pat00144
은 10 Nㆍm 이다.
또한, 30 Nㆍm 의 임펄스 값을 가지는 외력이 인가되었다고 가정하고, 설계변수는 κ= 2mg, 및
Figure 112020097870760-pat00145
이다.
도 9는 시간에 따른 무게 중심의 수평위치(파랑) 및 발자국의 수평위치(초록)를 도시하는 그래프이고, 도 10은 하이브리드 역진자 모델의 위상궤적의 안정화를 도시하는 그래프이며, 도 11은 직전 발자국 시간 및 현재 시각의 차이를 도시하는 그래프이다.
도 9에는, 외력 인가 이후의 다수의 발자국을 통해 균형이 복원된 결과, 도 10에는 하이브리드 역진자 모델이 안정화된 결과, 도 11에는 발자국이 예상 보다 빨리 밟게 되어 균형 복원이 성공적으로 이루어진 결과가 각각 도시된다.
이상에서 설명한 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법(S100)은 위에서 설명된 실시예들의 구성과 방법에 한정되는 것이 아니라, 실시예들은 다양한 변형이 이루어질 수 있도록 각 실시예들의 전부 또는 일부가 선택적으로 조합되어 구성될 수도 있다.
본 발명은 본 발명의 정신 및 필수적 특징을 벗어나지 않는 범위에서 다른 특정한 형태로 구체화될 수 있음은 당업자에게 자명하다. 따라서, 상기의 상세한 설명은 모든 면에서 제한적으로 해석되어서는 아니되고 예시적인 것으로 고려되어야 한다. 본 발명의 범위는 첨부된 청구항의 합리적 해석에 의해 결정되어야 하고, 본 발명의 등가적 범위 내에서의 모든 변경은 본 발명의 범위에 포함된다.
S100:휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법
S10:휴머노이드 로봇의 거동에 기반한 역진자 모델을 설정하는 단계
S20:상기 역진자 모델로부터 좌표 변환을 통해 하이브리드 모델을 설정하는 단계
S30:휴머노이드 로봇의 발자국의 변화에 근거한 입력을 통하여 상기 하이브리드 모델을 안정화시키는 안정화 단계

Claims (9)

  1. 휴머노이드 로봇의 거동에 기반한 역진자 모델을 설정하는 단계;
    상기 역진자 모델로부터 좌표 변환을 통해 하이브리드 모델을 설정하는 단계; 및
    휴머노이드 로봇의 발자국의 변화에 근거한 입력을 통하여 상기 하이브리드 모델을 안정화시키는 안정화 단계를 포함하고,
    상기 안정화 단계는, 휴머노이드 로봇의 발자국의 위치 및 시간을 제어하고,
    상기 역진자 모델은 [수학식 1]에 의해 표현되는 것을 특징으로 하는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법.
    [수학식 1]
    Figure 112021147287219-pat00206

    [수학식 1]에서,
    Figure 112021147287219-pat00207
    은 휴머노이드 로봇의 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향 가속도를 나타내고, cx 및 cz는 각각 휴머노이드 로봇의 무게 중심(center of mass, CoM)의 x 방향 및 z 방향의 좌표값을 나타내고, px는 수평 방향의 모멘트가 0이되는 지면 위의 점으로, 일반적인 경우 압력 중심을 나타내며, m은 로봇의 전체 질량, g는 중력 가속도,
    Figure 112021147287219-pat00208
    은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량,
    Figure 112021147287219-pat00209
    는 무게 중심에 가해지는 외력을 각각 나타낸다.
  2. 삭제
  3. 제1항에 있어서,
    상기 하이브리드 모델은 [수학식 2]을 이용하는 좌표 변환을 통해 도출되는 것을 특징으로 하는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법.
    [수학식 2]
    Figure 112021147287219-pat00150

    [수학식 2]에서, ξ는 ξ1 및 ξ2를 포함하는 벡터이고, ξ1는 cx - px 로 정의되고, ξ2는
    Figure 112021147287219-pat00151
    로 정의되고, cx 는 무게 중심의 x 방향의 좌표값이고, px는 수평 방향의 모멘트가 0이되는 지면 위의 점이고,
    Figure 112021147287219-pat00152
    는 무게 중심의 x 방향의 속도값을 나타낸다.
  4. 제3항에 있어서,
    상기 하이브리드 모델은 연속 모델을 포함하고, 상기 연속 모델은 [수학식 3]에 의해서 표현되는 것을 특징으로 하는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법.
    [수학식 3]
    Figure 112021147287219-pat00153

    [수학식 3]에서,
    Figure 112021147287219-pat00154
    는ξ의 속도값이고, ξ는 ξ1 및 ξ2를 포함하는 벡터이고, cz는 휴머노이드 로봇의 무게 중심의 z 방향의 좌표값을 나타내고, m은 휴머노이드 로봇의 전체 질량, g는 중력 가속도,
    Figure 112021147287219-pat00155
    은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량을 나타낸다.
  5. 제4항에 있어서,
    상기 하이브리드 모델은 이산 모델을 더 포함하고, 상기 이산 모델은 [수학식 4]에 의해서 표현되는 것을 특징으로 하는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법.
    [수학식 4]
    Figure 112021147287219-pat00156

    [수학식 4]은 이산 동역학을 나타내고, [수학식 4]에서,
    Figure 112021147287219-pat00157
    는 ξ의 발을 딛은 직후의 값이고, ξ는 ξ1 및 ξ2를 포함하는 벡터이고,
    Figure 112021147287219-pat00158
    는 발걸음 수평 위치의 상대적 거리, 즉,
    Figure 112021147287219-pat00159
    를 나타낸다.
  6. 제5항에 있어서,
    상기 역진자 모델은 불안정 모드를 구비하고, 상기 불안정 모드에 해당하는 부분 상태 변수는 [수학식 5]에 의해 정의되고, 상기 부분 상태 변수의 제어를 통하여 상기 하이브리드 모델의 안정화를 가능하게 하는 것을 특징으로 하는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법.
    [수학식 5]
    Figure 112020097870760-pat00160

    [수학식 5]에서 ξ u 는 부분 상태 변수이고, ξ1는 cx - px 이고, ξ2는
    Figure 112020097870760-pat00161
    이고, cx 는 무게 중심의 x 방향의 좌표값이고, px는 수평 방향의 모멘트가 0이되는 지면 위의 점이고,
    Figure 112020097870760-pat00162
    는 휴머노이드 로봇의 무게 중심의 x 방향의 속도값, g는 중력 가속도, cz는 각각 휴머노이드 로봇의 무게 중심의 z 방향의 좌표값을 나타낸다.
  7. 제6항에 있어서,
    상기 불안정 모드는 [수학식 6] 및 [수학식 7]로 표현되는 하이브리드 시스템에 의해 결정되는 것을 특징으로 하는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법.
    [수학식 6]
    Figure 112020097870760-pat00163

    [수학식 6]에서,
    Figure 112020097870760-pat00164
    는ξ u의 속도값이고, g는 중력 가속도, cz는 휴머노이드 로봇의 무게 중심의 z 방향의 좌표값을 나타내고, ξ u 는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수이고, m은 로봇의 전체 질량,
    Figure 112020097870760-pat00165
    은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량을 나타낸다.
    [수학식 7]
    Figure 112020097870760-pat00166

    [수학식 7]에서,
    Figure 112020097870760-pat00167
    는ξ u의 발을 딛은 직후의 값이고, ξ u 는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수이고,
    Figure 112020097870760-pat00168
    는 발걸음 수평 위치의 상대적 거리, 즉,
    Figure 112020097870760-pat00169
    를 나타내고,
    Figure 112020097870760-pat00170
    는 j 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타내고,
    Figure 112020097870760-pat00171
    는 j+1 번째 발자국의 수평 위치[m]를 나타낸다.
  8. 제7항에 있어서,
    상기 하이브리드 시스템은 [수학식 8] 내지 [수학식 10]을 만족하는 연속 제어 입력을 통하여 안정화되는 것을 특징으로 하는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법.
    [수학식 8]
    Figure 112020097870760-pat00172

    [수학식 8]에서,
    Figure 112020097870760-pat00173
    은 휴머노이드 로봇의 무게 중심에서의 각운동량의 변화량이고, κ는 설계 변수로, κ> mg이고, ξ u 는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수이고, [수학식 8]에서의 sat(x) 함수는, [수학식 9]에 의해 정의된다.
    [수학식 9]
    Figure 112020097870760-pat00174

    [수학식 9]에서,
    Figure 112020097870760-pat00175
    는 무게 중심에서 각운동량의 변화량의 최대 크기이고, sat(x) 함수는, x가,
    Figure 112020097870760-pat00176
    보다 작으면
    Figure 112020097870760-pat00177
    값을, x가,
    Figure 112020097870760-pat00178
    보다 같거나 작고
    Figure 112020097870760-pat00179
    보다 같거나 크면 x 값을, x가,
    Figure 112020097870760-pat00180
    보다 크면,
    Figure 112020097870760-pat00181
    값을 도출하게 된다.
    [수학식 10]
    Figure 112020097870760-pat00182

    [수학식 10]에서,
    Figure 112020097870760-pat00183
    는 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수의 크기이고,
    Figure 112020097870760-pat00184
    는 무게 중심에서 각운동량의 변화량의 최대 크기이고, m은 휴머노이드 로봇의 전체 질량, g는 중력 가속도를 나타낸다.
  9. 제8항에 있어서,
    상기 하이브리드 시스템은 [수학식 11] 및 [수학식 12]를 만족하는 이산 제어 입력을 통하여 안정화되는 것을 특징으로 하는 휴머노이드 로봇의 균형 복원 방법.
    [수학식 11]
    Figure 112020097870760-pat00185

    [수학식 12]
    Figure 112020097870760-pat00186

    [수학식 11]에서,
    Figure 112020097870760-pat00187
    는 다음 스텝을 밟기 직전의 상황에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 의 크기이고,
    Figure 112020097870760-pat00188
    는 각운동량의 변화량의 최대 크기이며, m은 로봇의 전체 질량이고, g는 중력 가속도를 나타낸다.
    [수학식 12]에서,
    Figure 112020097870760-pat00189
    는 다음 스텝을 밟은 직후의 상황에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이고,
    Figure 112020097870760-pat00190
    는 이전 스텝을 밟은 직후의 상황에서의 [수학식 5]에서 정의된 부분 상태 변수 ξ u 이며, γ은 설계 변수로,
    Figure 112020097870760-pat00191
    를 만족하며,
    Figure 112020097870760-pat00192
    는 각운동량의 변화량의 최대 크기이며, m은 로봇의 전체 질량이고, g는 중력 가속도을 나타내며,
    Figure 112020097870760-pat00193
    는 발자국 간의 최대 간격이고, min(x,y)는 x 및 y 중 작은 값을 도출하는 함수를 나타내고, sign(x)는 x의 부호를 도출하는 함수를 나타낸다.
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