KR101502972B1 - Polar Quantum Channel Coding Method and Device for Symmetric Capacity Achieving - Google Patents

Abstract

We propose a method of combining and separating quantum channels, called polar quantum channel coding, to produce a qubit (quantum bit) that can achieve a symmetric capacity even if any binary input discrete quantum channel is given . The current capacity is determined according to any qubit input with equal probability. The polarization of the quantum channel is well suited for quantum error correction coding, which transmits quantum data partially through a channel that transmits at rate 1, or at rate 0 if the symmetric channel is close to 1.

Description

TECHNICAL FIELD [0001] The present invention relates to a polar quantum channel coding method for achieving symmetric capacity,

BACKGROUND OF THE INVENTION 1. Field of the Invention The present invention relates to a communication method and apparatus, and more particularly, to a channel coding method and a communication apparatus using the same.

Shannon's channel coding theory is fascinating because it allows random coding to show that the capacity of the sequence is present without indicating a specific sequence.

The result of existing information theory, such as noise channel coding theory or source coding theory, is obtained under the assumption that both the information source and the communication channel are memoryless. In the case of an unmemory quantum source, only signals that are independent of each other are forwarded.

Likewise, if the quantum noise added to the input applied successively to the channel does not correlate with one another, then the quantum channel can be said to be non-memory. Such quantum functions may be represented as independent and identically distributed random variable sequences.

However, in practice this assumption is not generally justified, especially in quantum cryptography and quantum computing networks. Recently, the main purpose of quantum coding was to design a coding scheme that approximates the capacity of the quantum channel, which sets the maximum transmission rate when the quantum data is transmitted to the noisy quantum channel.

It is still not known how to efficiently calculate the values for the quantum channels of actual significance for a particular channel, such as a quantum erasure channel and a binary symmetric quantum channel, as opposed to the prior art.

Even though random coding is used to prove that there is a quantum code that is close to the channel capacity, it does not achieve an optimal data rate in a discrete random memory quantum channel. The optimal transmission rate for such a quantum channel is fortunately achievable by design using linear quantum codes. However, the decoding process of such codes is somewhat difficult to apply in practice. Thus, not only is it possible to construct a qubit sequence with a low coding complexity, but how to create a provable and explicit capacity structure is somewhat difficult to achieve, but it has to be achieved.

SUMMARY OF THE INVENTION The present invention has been made in order to solve the above problems, and it is an object of the present invention to provide a method and apparatus for generating a qubit capable of achieving a symmetric capacity even when any binary input discrete quantum channel is given, To provide a method of combining and separating quantum channels.

According to an aspect of the present invention, there is provided a channel coding method including: a first conversion step of combining a part of independent first channel signals into second channel signals; A second conversion step of replacing a part of the second channel signals and converting the second channel signals into third channel signals; And a third conversion step of combining some of the third channel signals and converting the combined signals into fourth channel signals.

The first channel signals include an eleventh channel signal, a twelfth channel signal, a thirteenth channel signal, and a fourteenth channel signal, and the first conversion step may include the eleventh channel signal, the twelfth channel signal, Signal into a twenty-first channel signal, and the thirteenth channel signal and the fourteenth channel signal may be combined and converted into a twenty-third channel signal.

The second channel signals include a twenty-first channel signal, a twenty-second channel signal, a twenty-third channel signal, and a twenty-fourth channel signal, The signal can be replaced.

The third channel signals include a 31st channel signal, a 32nd channel signal, a 33rd channel signal, and a 34th channel signal, and the third conversion step may include the 31st channel signal, the 32nd channel signal, Signal to a 41st channel signal, and the 43rd channel signal and the 44th channel signal are combined and converted into a 43rd channel signal.

Meanwhile, according to another embodiment of the present invention, the communication system may combine some of the independent first channel signals into second channel signals, replace a part of the second channel signals, A channel encoder for combining some of the third channel signals into fourth channel signals; And a transmitter for transmitting channel-coded channel signals in the channel encoder.

The first channel signals include an eleventh channel signal, a twelfth channel signal, a thirteenth channel signal, and a fourteenth channel signal, and the channel encoder transmits the eleventh channel signal and the twelfth channel signal, And convert the combined signal into a twenty-first channel signal, and combine the thirteenth channel signal and the fourteenth channel signal into a twenty-third channel signal.

The second channel signals include a twenty-first channel signal, a twenty-second channel signal, a twenty-third channel signal, and a twenty-fourth channel signal, and the channel encoder includes the twenty- Can be substituted.

The third channel signals include a 31st channel signal, a 32nd channel signal, a 33rd channel signal, and a 34th channel signal, and the channel encoder includes the 31st channel signal and the 32nd channel signal, To the 41st channel signal, and the 43rd channel signal and the 44th channel signal are combined and converted into the 43rd channel signal.

As described above, according to the present invention, an extreme quantum code is configured in an environment in which the current capacity is determined according to an arbitrary qubit input having an equal probability, and the polarization of the quantum channel is rate 1 , Or it is possible to partially transmit quantum data over a channel that transmits at rate 0, and thus is well suited for quantum error correction coding.

를 기본으로 하여 4개의 각 광양자 쌍으로부터 생성된 BSM(Bell state measurement)에 따라 만들어진 광양자

에서의 복원연산,
도 4는 퀀텀채널 결합 단계의 퀀텀 분극 연산 실현을 위한 실험적 셋업(setup)을 도식적으로 나타낸 도면,
도 5는 2개의 독립된 하위결합채널

을 기반으로 퀀텀채널의 분극과정에서 결합 퀀텀 채널

의 반복 구조, 그리고,
도 6은 퀀텀채널 분리단계에서 반복적인 퀀텀채널에 대한 트리과정을 도시한 도면이다.BRIEF DESCRIPTION OF THE DRAWINGS FIG. 1 is a diagram provided in the description of the processing of a multi-level quantum channel processed by combining two lower levels and a quantum channel;
Figure 2 shows a quantum circuit of a 4-qubit input using three gates,
3,

Based on the BSM (Bell state measurement) generated from each of the four photon pairs,

The restoration operation in
4 is a diagrammatic illustration of an experimental setup for realizing a quantum polarization operation in a quantum channel combining step,
Figure 5 shows two separate sub-combining channels

In the quantum channel polarization process based on the coupled quantum channel

And
6 is a diagram illustrating a tree process for an iterative quantum channel in a quantum channel separation step.

Hereinafter, the present invention will be described in detail with reference to the drawings.

The embodiment of the present invention proposes a method of combining and separating quantum channels called polar quantum channel coding to generate a qubit capable of achieving a symmetric capacity even if any binary input discrete quantum channel is given.

The current capacity is determined according to any qubit input with equal probability. The channel coding method according to the present embodiment configures an extreme quantum code and the polarization of the quantum channel is a quantum error that partially transmits quantum data through a channel transmitting at a rate 1 or a rate 0 when a symmetric channel approaches 1, It is shown that it is very suitable for correction coding.

1. Discrete Of the Quantum Channel (Discrete Quantum Channel)  parameter

은 2차원 Hilbert 공간

이다. 여기서

와

은

의 조건을 만족한다. 2ⁿ차원 공간

에서 다중 qubit 상태

의 전송에 대해 생각해 보자. Hilbert 공간 H의 베이시스(basis)는 고정(

)한다. 퀀텀 오류 연산의 베이시스는

로 표시하며, 여기서

이고

이다. 이산 퀀텀채널

은

형태의 임의의 연산집합으로 정의 되며, 여기서 복소수벡터

는

에서 확률분포로 정의된다. 이를 확인하기 위하여

의 합 연산을 행하는

연산 집합이 다음과 같이 표현될 수 있다고 가정한다.Single qubit

The two-dimensional Hilbert space

to be. here

Wow

silver

Lt; / RTI > 2 ^n- dimensional space

In multiple qubit states

Consider the transmission of. The basis of Hilbert space H is fixed (

)do. The basis for quantum error operations is

Lt; / RTI >

ego

to be. Discrete quantum channel

silver

Lt; / RTI > is defined as a set of arbitrary operations of the form < RTI ID =

The

Is defined as a probability distribution. To confirm this,

And

It is assumed that the operation set can be expressed as:

(1)

(One)

는 Pauli 행렬이다. 연산

즉,

는 완전조건

을 만족한다.here

Is the Pauli procession. calculate

In other words,

Is a perfect condition

.

은 입력이

, 출력이

인 이산 퀀텀채널을 나타내며, 이는

와

인 채널천이확률(channel transition probability)

을 의미한다. 입력 qubit

는 항상

내에 있으나, 출력 qubit

와 전환확률

은 특정한 제한이 없으며, 여기서

과

은 서로 직교상태 즉,

이다. 따라서 이 천이 확률은 기호

을 사용하여

개의 동등 독립 채널의 조합을 나타내며, 전환확률은 다음과 같이 나타낸다.

Is input

, Output

Denoted < RTI ID = 0.0 >

Wow

Channel transition probability < RTI ID = 0.0 >

. Input qubit

Always

Output qubit

And conversion probability

There is no particular limitation, and here

and

Are orthogonal to each other, that is,

to be. Therefore,

Using

Represents a combination of equal independent channels, and the conversion probability is expressed as follows.

(2)

(2)

에 대해 전송률과 신뢰도를 측정하기 위해 두 개의 파라미터를 정의하게 된다. 즉 식 (3)과 같은 대칭용량과Single qubit channel

Two parameters are defined in order to measure the transmission rate and reliability. That is, the symmetric capacity as shown in equation (3)

(3)

(3)

This is the Bhattacharyya parameter as in equation (4).

(4)

(4)

는 동등 확률을 갖는 입력

가 주어진 퀀텀채널

에서 신뢰할만한 통신이 가능할 때의 전송률을 나타내고, 파라미터

은 최대우도(maximum-likelihood) 결정 퀀텀 오류 확률의 최상위 한계를 의미한다.parameter

Is an input having an equal probability

Given the Quantum channel

Indicates a transmission rate when reliable communication is possible, and the parameter

Means the highest limit of the maximum-likelihood decision quantum error probability.

qubit 상태

을 간략히

으로 나타낸다.

표현은

인 그의 sub-state

을 의미한다.

가 주어지면 일반적인 sub-state

를

로 간략히 나타낸다.

는 홀수 인덱스

을 갖는 sub-state를 나타내고,

는 짝수 인덱스

을 갖는 sub-state를 나타낸다.
For a better understanding,

qubit state

Briefly

Respectively.

Expression

His sub-state

.

Given a general sub-state

To

.

The odd index

State, < / RTI >

Is an even index

State. ≪ / RTI >

2. Multiple Quantum  Of the channel Polarization

개의 독립된 퀀텀채널

을 기반으로

개의 연속되는 퀀텀채널

과 관계된 또 다른 집합을 만들어내는 작용이라 할 수 있다.

이 증가함에 따라 대칭용량

은 인덱스

가 거의 0 에 가까워질 만큼 작아지면 1로 향하거나 0으로 향한다는 의미에서 분극이 되는 효과를 보여준다. 이러한 연산은 퀀텀채널의 결합과 분리라는 두 가지 단계를 통해 수행된다.
Quantum channel polarization

Independent Quantum Channels

Based on

Consecutive quantum channels

It is a function of creating another set related to.

As a result,

Index

Is near to zero, it has a polarization effect in the sense that it is directed toward 1 or toward zero. These operations are performed through two steps: combining and separating the quantum channels.

2.1. Quantum channel  Coupling step ( Quantum Channel Combining Phase )

개의 동일한 독립 채널

들이 반복적인 방법으로 결합되며,

인 다중레벨 결합 퀀텀채널

이 결합되고, 이때

은 양의 정수이다. 즉, 첫 번째 레벨(기본 레벨)채널

부터 결합이 시작된다. At this stage

Identical independent channels

Are combined in an iterative manner,

Multilevel Coupled Quantum Channels

Are combined,

Is a positive integer. That is, the first level (basic level) channel

The coupling starts.

에서는 두 개의

복사본이 다음과 같이 주어지는 전환확률을 가지고 서로 결합한다.Second level channel

Two

Combine the copies with the transition probabilities given by

(5)

(5)

FIG. 1 is a diagram provided for explaining a processing procedure of a multi-level quantum channel in which two lower levels and a quantum channel are combined and processed.

의 입력으로부터

의 입력으로의 변환 연산

은 게이트

에 의해

와 같이 나타낼 수 있고, 여기서

은 target qubit이고

는 제어 qubit이다.1,

From the input of

≪ / RTI >

The gate

By

Can be expressed as

Is the target qubit

Is a control qubit.

는 식 (6)과 같은 전환확률로, 반복적인 방법을 통해 2개의 독립적인 채널

과 결합될 수 있다.Similarly, the next level channel

Is the probability of a transition, as in Eq. (6), through two independent channels

Lt; / RTI >

(6)

(6)

는

에서

로 매핑 시키는 치환 연산이다.

의 입력으로 부터

입력 으로의 변환 연산

은 다음과 같이 주어질 수 있다. In Figure 1,

The

in

. ≪ / RTI >

From the input of

Conversion to Input

Can be given as follows.

(7)

(7)

는 식 (8)과 같은 2차 분극 행렬이고 here

Is a quadratic polarization matrix as shown in equation (8)

(8)

(8)

는 Keronecker 곱을 의미한다.

Means the Keronecker product.

,

으로 구성되는 입력 qubit와 2개의 제어 qubit

,

은 임의로 선택이 가능하다. 8개의 광양자가 혼재된 클러스터 state

는 4 Bell state

,

로부터 생성되며, 여기서

은 광양자

에서 실행될 것이고,

은 생성된 광양자

에서 실행 되게 된다. 다시 말해서,

이 얻어져 퀀텀채널의 분극을 실현시키는데 이용된다. 그 다음 BSM(Bell state measurement)들이 4쌍의 광양자

에서 각각 실행된다. 도 3에 보인 BSM의 결과에 따라 Pauli 연산 은

의 남아있는 qubit

에 각각 적용되며, 결국 퀀텀 분극 과정에서 결합채널

의 출력을 얻어내게 된다.Figure 2 shows a quantum circuit of a 4-qubit input using three gates. Two target qubit

,

Input qubit and two control qubit

,

Can be arbitrarily selected. Cluster state in which eight photons are mixed

4 Bell state

,

≪ / RTI >

Silver photon

Lt; / RTI >

Lt; RTI ID = 0.0 >

. ≪ / RTI > In other words,

And is used to realize the polarization of the quantum channel. Bell state measurements (BSM) are then applied to four pairs of photons

Respectively. According to the result of the BSM shown in FIG. 3,

Remaining qubit

Respectively, so that in the quantum polarization process,

Is obtained.

(2 target qubit)과

(2 control qubit)에서 2쌍의 광양자를 발생시킨다. 그런 다음 두 번째 크리스탈에 다시 초점을 맞추어 mode

와

에서 2개의 뒤섞인 광양자 쌍을 발생시키고, 세 번째 크리스탈의 mode

와

에서 또 다른 2개의 뒤섞인 광양자 쌍을 발생시킨다. 광양자

과

은 두 개의 PBS (polarizing beam splitter)에서 겹쳐지며 이때 발생하는 광양자들을 각각

과

이라 한다. 따라서 광양자

는 3번째 PBS에서 오버랩 되어 entanglement 클러스터 state

을 만들어 낸다. 마지막으로 4개의 독립적인 BSM들이 오버랩된 4쌍의 들어오는 광양자

,

에 의해 이용된다. 프리즘을 이용하여 PBS에서 간섭문제를 해결하기 위해 지연된 시간을 보상해준다. 출력 qubit을 분석하기 위해 해당 광양자를 명확한 분극에 1/2에서 1/4파형 플레이트(plate)(HWP 나 QWP)로 투사해준다.FIG. 4 shows a schematic diagram of an experimental setup for realizing the quantum polarization operation of the quantum channel combining step. A pulsed laser beam of high intensity is used as the photon source. This beam passes through three β-barium borate (BBO) crystals to produce three pairs of photons. And another three pairs of photons after reflection. In the first crystal mode

(2 target qubit) and

(2 control qubits). Then focus again on the second crystal mode

Wow

To generate two scrambled photon pairs, and the third crystal mode

Wow

To generate another two scrambled photon pairs. Photon

and

Are superimposed on two polarizing beam splitter (PBS)

and

Quot; Therefore,

Is overlapped in the third PBS and the entanglement cluster state

. Finally, four independent BSMs are combined with four pairs of overlapping incoming photons

,

Lt; / RTI > The prism is used to compensate for the delayed time to resolve the interference problem in the PBS. To analyze the output qubit, project the photon to a 1/4-wavy plate (HWP or QWP) at a definite polarization.

를 기본으로 하여 4개의 각 광양자 쌍으로부터 생성된 BSM에 따라 만들어진 광양자

에서의 복원연산을 보여주고 있으며, 여기서

과

이다.

과

,

은

에서 수행된 Pauli 연산을 나타낸다.3,

Based on the BSM generated from each of the four photon pairs,

Lt; RTI ID = 0.0 >

and

to be.

and

,

silver

≪ / RTI >

을 기본으로 하여 결합 퀀텀채널

이 생성된다. 생성된 채널

에 대한 입력

은 도 5에 보인 바와 같이

과

,

이 되도록 먼저

으로 변환된다. Generally, two independent low-level coupled channels

A combined quantum channel

Is generated. Generated channel

Input for

As shown in Fig. 5

and

,

First,

.

은 식 (9)와 같이 주어질 수 있으며 2개의 해당 채널

의 입력이 된다. Such a conversion operation

Can be given as Eq. (9)

.

(9)

(9)

2.2. Quantum channel  Separation step ( Quantum Channel Splitting Phase )

에 대해 앞에서 결합했던 n-qubit 퀀텀채널

을

개의 연속되는 채널

의 set로 분리한다. 즉, 분리 연산은 다음과 같이 설정할 수 있다.At this stage

Lt; RTI ID = 0.0 > n-qubit < / RTI &

of

Consecutive channels

. That is, the separation operation can be set as follows.

(10)

(10)

At this time, the conversion probability is given as follows,

(11)

(11)

은 입력조건

에 대한 출력

을 나타낸다.here,

Input condition

Output to

.

에 대해 2-레벨 결합 퀀텀 채널

은

인 경우 두 개의 연속되는 채널

,

로 분리된다. 식 (5)의 결합채널에 의해 다음과 같은 2개의 분리채널

과

을 각각 얻을 수 있다.As an example,

Two-level coupled quantum channel

silver

, Two consecutive channels

,

. By the coupling channel of Eq. (5), the following two separation channels

and

Respectively.

(12)

(12)

(13)

(13)

에 대해 식 (14),(15)와 같이 주어지는 연속적인 방법으로 하위레벨 분리 채널

,

에 근거해 두 개의 분리채널

과

이 얻어진다.Generally any number

Level separating channels 14 and 15 in a continuous manner given by equations (14) and (15)

,

Based on the two separation channels

and

.

(14)

(14)

(15)

(15)

과 이전의

을 관찰한 후

-번째 결정 요소가

-번째 입력

을 평가하는 연속적인 제거 디코더에 대해, 분리채널

은

-번째 결정입력

에 의해 결정된 효율적인 퀀텀채널이라는 것을 알 필요가 있다. 분리채널

의 분극 효과에 대해 말하자면 다음과 같은 대칭용량에 대한 흥미 있는 결과를 얻을 수 있다.

And previous

After observing

- The second determinant is

- the second input

For a succession of cancellation decoders that evaluate the channel,

silver

-Th decision input

Lt; RTI ID = 0.0 > quantum < / RTI > Separation channel

Concerning the polarization effect, we can obtain interesting results for the following symmetric capacities.

과 모든 고정된

에 대해,

이

를 향해 감에 따라

,

인

의 인덱스가 일부 있고,

,

인

의 또 다른 인덱스가 있다. 즉,

이

를 향해 감에 따라 대칭용량

과

은 각각

과

을 향해 가도록 하는

,

인덱스들이 있음을 의미한다.Theorem 1: All channels

And all fixed

About,

this

Toward

,

sign

Some of the indexes are,

,

sign

There is another index of. In other words,

this

As a result,

and

Respectively

and

Toward

,

Indicates that there are indices.

의 값이

의 중간영역에서 엉뚱한 행위를 한다는 것을 발견하게 된다. 이와 같은 행위를 하는 것은 다음과 같은 의미를 가지고 있다. 즉,

인 어떠한 이산 채널이든 집합

의 시퀀스가 있어서

이

를 향해 감에 따라 모든

의 최대우도 결정 퀀텀 오류 확률

의 최상위 한계가 0을 향한다는 의미이다.
According to the theorem 1

The value of

In the middle of the region. This behavior has the following meaning. In other words,

Any set of discrete channels that are

There is a sequence of

this

As you turn toward

Maximum likelihood decision Quantum error probability

Means that the highest limit of 0 is directed to zero.

3. Polar Quantum  Composition of code

이

를 향해 감에 따라

값이 0 에 접근하는 채널을 통해 데이터를 전송하는 부호화 시스템을 만들려는 것이다.Hereinafter, a polar quantum code constructing method capable of achieving a symmetric capacity using the polarization effect of a discrete quantum channel is presented. The motivation for constructing the extensional quantum code is to obtain each coordinate channel separately,

this

Toward

It is intended to create a coding system that transmits data over a channel whose value approaches zero.

값이 주어지면 입력은 다음과 같은 방법으로 부호화될 수 있다.

Given a value, the input can be encoded in the following manner.

(16)

(16)

은

차 생성행렬이다.

의 임의의 subset에 대해 식 (16)은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.here

silver

Is the difference matrix.

For any subset of Eq. (16), we can rewrite Eq.

(17)

(17)

은

의 인덱스 행에 의해 형성된

의 sub-matrix를 나타내고, 반면

는

와

이 되는

의 subset이다.here

silver

Formed by the index rows of

Matrix, while

The

Wow

Become

Lt; / RTI >

와

는 고정 되나

는 자유변수로 남게 되고, state

로부터 state

로 매핑이 되고나면, 이것은 실제로 coset 퀀텀코드가 된다. 즉, 고정된 퀀텀 state

에 의해 결정된 생성행렬이

인 선형 퀀텀 블록 코드의 coset이다. 이러한 부류의 퀀텀 코드는 집단인

-coset 퀀텀코드로 간주되게 된다. 개별적인

-coset 퀀텀코드는

와 같이 표시되며, 여기서

는

의 사이즈에 의해 정해지는 코딩 dimension이다. 집합

는 데이터 qubit 로

는 frozen qubit로 간주된다.To generate the extreme quantum code,

Wow

Is fixed

Is left as a free variable, and state

From state

, This is actually the coset quantum code. That is, a fixed quantum state

Lt; RTI ID = 0.0 >

Is the coset of the linear quantum block code. This class of quantum codes

-coset is considered a quantum code. Individual

-coset The quantum code is

Lt; RTI ID = 0.0 >

The

Is the coding dimension determined by the size of the frame. set

Data as qubit

Is regarded as a frozen qubit.

-coset 퀀텀코드

을 고려해볼 수 있다.

-qubit state

가 출력이

인

으로 전송될

로 코딩되는 것을 가정하면,

과

및

에 대한 정보에 따라

에서 훌륭한 추정 state

을 만들어내는 것이 디코더의 할 일이다.To remove a quantum decoder continuously

-coset Quantum code

Can be considered.

-qubit state

Output

sign

To be transmitted

/ RTI >

and

And

According to information about

A good estimation state

Is the task of the decoder.

의 경우 퀀텀 디코더를 이용해 식 (18)과 같이 주어지는 그의 결정상태

가 만들어진다. The coding result is given for successive elimination quantum decoders.

(18), using the quantum decoder,

Is created.

(18)

(18)

는 다음과 같이 계산되는 결정 qubit이다.here

Is a decision qubit that is computed as

(19)

(19)

,

이라는 것이다.This is a necessary and sufficient condition for quantum error

,

.

의 성능을 분석하기 위해 그 다음에 해야 할 일은 블록 퀀텀 에러의 확률

를 정의하는 것이다. 만약에 각 state

가

의 확률로 전송되고 앞에서 언급한 디코더를 통해 디코딩된다면,

의 확률은 다음과 같이 계산될 수 있다.code

The next thing to do is to analyze the performance of the block quantum error probability

. If each state

end

And decoded by the decoder mentioned above,

Can be calculated as follows.

(20)

(20)

의 모든 선택에 대해 확률

의 평균값은 식 (21)과 같이 주어질 수 있다.

Probability for all choices of

Can be given by Equation (21).

(21)

(21)

Thus, the upper bound of this probability is achieved.

과

의 선택에 대해 다음과 같은 frozen qubit

가 있다.Theorem 2: Quantum Channels

and

For the selection of frozen qubit

.

(22)

(22)

을 최소화 시키기 위해

의 모든

subset 중에서

의 선택을 의미한다. 이에 기인하여 극 퀀텀 코드의 정의를 내리게 된다.This theorem

To minimize

All of

subset

≪ / RTI > This leads to the definition of the extreme quantum code.

에 대해 파라미터가

인

-coset 코드를, 만약 set

와 관련된

-qubit 퀀텀 데이터 state가

와

에 대해 각각

이 될 수 있도록

의

-element set으로 선택될 수 있다면, 극 퀀텀 코드라 부른다.Definition 1 (Polar Quantum Code): A given channel

The parameter

sign

-coset code, if set

Related to

-qubit Quantum data state is

Wow

Respectively

To be

of

If it can be selected with -element set, it is called polar quantum code.

과 그의 해당 분리 채널

을 이용하여 채널을 특별하게 설계하는 것이다. 한 이산 퀀텀 채널을 위한 극 퀀텀 코드는 다른 이산 채널에 대해서는 polar case가 아닐 수도 있으며, 여기서 현재의 polar 퀀텀 코드는 주어진 채널

에 대해 대칭용량

을 달성하게 된다. 이것은 polar 퀀텀 코드가 잡음이 없는 채널이나 순수 잡음채널로 접근함을 의미하며, 즉, 무 잡음이 되는 일련의 채널은

이 무한대로 접근함에 따라

에 수렴 한다는 뜻이다. Indeed, the generation of the extreme quantum code is accomplished by a multilevel coupled channel

And its corresponding separation channel

To design the channel specifically. The polar quantum code for one discrete quantum channel may not be a polar case for the other discrete channels, where the current polar quantum code is a given channel

Symmetric capacity for

. This means that the polar quantum code approaches the noiseless channel or the pure noise channel, that is, a series of noise-free channels

As it approaches infinity

.

로서 최고의 평가를 받을 수 있는 성질을 갖춘 것으로 볼 수 있다. 안정화기

는

를 만족하는 생성행렬

와 연계되어 있다. 퀀텀 에러 정정 코드가 만족해야 할 안정화기의 그 다음 단계 성질은

을 만족하는 것이다. 기존 코드 쌍을 이용하여 부호화 하면 다음과 같은 생성 행렬이 얻어진다.To show the relationship between the polar quantum code and the quantum error correcting code, the structure of the quantum error correcting code is presented through the quantum channel polarization. Once qualified as a quantum error correction code,

As well as being able to receive the best evaluation. Stabilizer

The

≪ / RTI >

. The next step nature of the stabilizer that the quantum error correction code must satisfy is

. If we code using existing code pairs, the following generation matrix is obtained.

(23)

(23)

과

는 각각 두 개의 기존 코드를 생성시킬 수 있다.

는 행렬

의 행을 rotation시키는 역할을 한다. 에러 정정 코드를 만들기 위해 생성행렬을

와 같이 취하면, 행렬

(예:

의 sub-matrix)은 distance가

인 코드를 만들어 낸다. 결합행렬

은 distance가

인 코드를 만들어 낸다.

을 취하면 이 코드는 최소거리(minimum distance)가

이 된다. 사실, 제안된 퀀텀코드가

의 최소거리를 갖도록 적당한 rotation 연산

를 설계할 수 있다.here

and

Can generate two existing codes, respectively.

The matrix

To rotate the rows of the image. To generate the error correction code,

, The matrix

(Yes:

Sub-matrix) is the distance

Generate encode. Join matrix

Distance is

Generate encode.

, This code will have a minimum distance of

. In fact, the proposed quantum code

Rotation appropriate to have the minimum distance of

Can be designed.

인

의 경우,

으로 시작한

에 대해 반복적인 방법으로 벡터

의 퀀텀 채널 분극에 따라 신뢰도를 계산할 수 있다.We now propose a quantum error correction code using the quantum channel polarization technique. E.g,

sign

In the case of,

Started with

Lt; RTI ID = 0.0 >

The reliability can be calculated according to the quantum channel polarization of the quantum channel.

(24)

(24)

에 대해 inequality

가 실현될 수 있도록 set

의 치환

을 실행한다.So all

About inequality

Set to be realized

Substitution of

.

polar 퀀텀 코드의 생성행렬

는 인덱스가

인 행으로 이루어진 sub-matirx로부터 구성된다. 이 구성의 계산상의 복잡도를 계산해보면

와 같다.

generation matrix of polar quantum codes

The index

Lt; RTI ID = 0.0 > sub-matrx. ≪ / RTI > Calculating the computational complexity of this configuration

.

에 대해 식 (25)를 얻는다.That is,

(25) is obtained.

(25)

(25)

을 얻을 수 있다. 따라서 퀀텀 polar 코드 ((8,7))은 다음과 같은 생성 행렬을 얻을 수 있다. From this equation

Can be obtained. Thus, the quantum polar code ((8,7)) yields the following generation matrix.

(26)

(26)

Depending on the structure of the quantum stabilizer code, the quantum code can be rewritten as a concatenated matrix such as Eq. (27).

(27)

(27)

This code has a minimum distance of 5. FIG. 6 shows a tree process for an iterative quantum channel in the quantum channel separation step.

4. Proof

4.1. Proof of the theorem 1

과

,

의 반복적 퀀텀 분리 관계에 근거 하여 분석이 이루어졌다. 이 분석은 도 6에 보인 것처럼 이진 코딩 트리(tree)로 설명될 수 있다. 코딩 트리의 루트노드(root node)는 인덱스가 null 시퀀스인 채널

과 접해있다. 이 채널은 첫 번째 레벨에서 각각 인덱스 레벨 0과 1로 주어진 두 개의 노드와 연결된 우측 채널

와 왼쪽 채널

를 생성한다. 분리 채널

,

, 는

에 대해 교대로 인덱스 레벨이

와

인 채널

와

을 생성한다. 일반적으로

에 대해 퀀텀 분리 채널

은 인덱스가

인

번째 레벨에 위치하며, 이때 우측으로 발산하는 노드의 레벨은

이고 좌측으로 발산하는 노드의 레벨은

, 그리고

이다. 보다 간소하게 표현하기 위해 노드

에 위치한 퀀텀 분리채널

을

으로 나타내기로 한다.(14), (15)

and

,

Based on the recursive quantum separation relationship. This analysis can be described by a binary coding tree as shown in Fig. The root node of the coding tree is a channel whose index is a null sequence

Respectively. This channel is connected to the two nodes given as index levels 0 and 1 at the first level,

And the left channel

. Separation channel

,

, Is

The index levels are alternately

Wow

In channel

Wow

. Generally

Quantum isolation channel for

The index

sign

Th level, and the level of the node that diverges to the right is

And the level of the node diverging to the left is

, And

to be. For simplicity,

Quantum isolation channel located in

of

.

로 나타낸다. 이 랜덤트리 과정은

인 루트노드에서 시작된다.

인 모든

에 대해 확률이 1/2인

로 놓는다. 따라서 퀀텀 분리 채널트리를 통해

에 의해 취해진 통로(path)는 독립적이고 일정하게 분포된 Bernoulli 랜덤변수

에 의해 도출된 것으로 간주될 수 있다.

이 샘플값

을 취할 경우 랜덤 퀀텀 채널과정은

값을 갖게 된다.According to the above-mentioned binary code tree, the corresponding random tree process

Respectively. This random tree process

In the root node.

All

Is 1/2 the probability for

. Therefore, through the quantum separation channel tree

The path taken by the independent and constantly distributed Bernoulli random variable < RTI ID = 0.0 >

Lt; / RTI >

This sample value

, The random quantum channel process

Value.

의 랜덤시퀀스 rate과 신뢰변수(reliability parameter)를 분석하기 위하여 두 랜덤과정

과

을 각각 정의한다. 따라서

로 표시되는 확률공간을 얻을 수 있으며, 여기서

는 모든 이진시퀀스

의 공간을 나타내며,

는 식 (28)에 의해 생성된 Borel 필드를 나타내고,

는

를 만족하는

의 확률이다.channel

The random sequence rate and the reliability parameter of the random sequence

and

Respectively. therefore

Can be obtained, where < RTI ID = 0.0 >

All binary sequences

Lt; / RTI >

Represents the Borel field generated by equation (28)

The

Satisfy

.

(28)

(28)

에 대해

,

로부터 생성되는

을 정의한다.

는 null set과

만으로 구성된 trivial field라 놓는다. 그러면

임이 쉽게 증명된다. 따라서 랜덤과정은 다음과 같이 설명될 수 있다. 모든

와

에 대해

,

,

그리고

이라 놓는다.

인 경우에는

,

그리고

이라 가정한다. 고정된

에 대해 네 개의 랜덤변수

은 필드

에서 측정가능하다는 것을 분명하게 알 수 있다.bracket

About

,

Produced from

.

Is a null set

The trivial field consists of only. then

. Therefore, the random process can be explained as follows. all

Wow

About

,

,

And

.

If

,

And

. Fixed

Lt; RTI ID = 0.0 >

A field

It is clear that this is measurable in

의 시퀀스는 martingale하다는 것을 알 수 있다. 즉,

이고,

이며, 이때

은 기대함수를 의미한다. 더욱이 시퀀스

는 어떠한 경우에도

이 되도록 랜덤변수

에 수렴한다. 실제로

인 경우 퀀텀 채널분리라는 측면에서 보면

으로의 변환은 식 (29)의 관점에서 rate이 보존됨을 쉽게 알 수 있다.On the other hand,

Of the sequence is martingale. In other words,

ego,

Lt; / RTI >

Is the expected function. Moreover,

In any case

So that the random variable

. in reality

In terms of quantum channel separation,

It can be easily seen that the rate is preserved from the viewpoint of equation (29).

(29)

(29)

From another point of view of equation (30), it can be easily seen that the rate goes away from the center.

(30)

(30)

에 대해 다음 식 (31)이 성립한다.Given set

The following equation (31) holds.

(31)

(31)

은

상의

값이기 때문에

이 달성된다.

silver

top

Value

.

이 일정하게 누적적 martingale의 성질을 갖기 때문에 당연히

에 대한 조건이 따르게 된다.

Of course because of the constant cumulative martingale nature

The condition for

가

간의 거의 모든 값을 갖는다는 것을 보여주기 위해, 간접적인 방법을 취하고 랜덤변수와 필드

의 시퀀스가 super-martingale하다는 것을 증명한다. 즉

와

이다. 또한 시퀀스

은 랜덤변수

까지 모든 곳에 수렴하여

사이의 거의 모든 값을 취할 수 있다. 실제 퀀텀채널 분리측면에서 보면

의 변환은 식 (32)의 지점까지 신뢰도를 향상시킨다.On the other hand,

end

In order to show that it has almost all values between the random variables and the fields,

Of the sequence is super-martingale. In other words

Wow

to be. Also,

Is a random variable

Converge to everywhere

Can take almost any value between. In terms of actual quantum channel separation,

Is improved to the point of Eq. (32).

(32)

(32)

Quantum channel separation is also far from the center in terms of Eq. (33).

(33)

(33)

에 대해 다음 식 (34)를 얻을 수 있다.

The following equation (34) can be obtained.

(34)

(34)

이

상의

값이기 때문에

이 달성된다. 이 결과에 의해

이 super-martingale이라는 증명이 완성된다. 따라서

이 일정하게 누적될 수 있기 때문에 랜덤변수

에까지 거의 모든 곳에 수렴함으로서

이 영(zero)으로 간다. 그러나 1/2의 확률을 갖는

때문에

을 얻을 수 있다. 따라서

은 zero를 향해 가고, 또 이 의미는

즉

이라는 뜻을 가지고 있다.

this

top

Value

. By this result

This proof of super-martingale is completed. therefore

Can be accumulated constantly, the random variable

By converging almost anywhere

This goes to zero. However, with a probability of 1/2

Because of

Can be obtained. therefore

Goes toward zero, and this means

In other words

.

가 거의 모든 곳에서 0 또는 1이라는 사실은 거의 어느 곳에서건

이라는 의미이다. 그런데.

에 의해 거의 모든 곳에서

와

을 얻을 수 있다. 결국,

이 무한대를 향해 감에 따라

의 용량은 극미량이 사라지는 것을 제외하곤 0 과 1 에 수렴하게 된다. 따라서 정리 1의 증명이 완성되었다.
therefore.

Almost everywhere 0 or 1 is almost anywhere

. By the way.

Almost everywhere by

Wow

Can be obtained. finally,

As we move toward this infinity,

The capacity converges to 0 and 1 except for the trace disappears. Therefore, proof of the theorem 1 was completed.

4.2. The proof of the theorem 2

-coset 퀀텀 코드의 종류에 대한 분석을 수행하기 전에 퀀텀채널 분극과정을 위해 확률적 세팅(setting)을 소개하기로 한다.

이 식 (35)와 같이 주어지는 할당확률을 갖는 확률공간이라고 놓는다.

-coset Before performing an analysis of the type of quantum code, we will introduce a stochastic setting for the quantum channel polarization process.

Is given as a probability space with an allocation probability given by Equation (35).

(35)

(35)

이다. 이 공간에서 합성채널

에 대한 입력과, 곱 형식의 채널

에 대한 입력,

및

의 출력, 연속제거 디코더의 결정을 각각 나타내는 랜덤벡터의 앙상블(ensemble)

을 정의한다. 또 각

에 대해 변수 쌍

을 정의한다. 이 변수 쌍으로부터 해당 벡터 값은

과

,

을 갖는다. 반면에 디코더의 출력은

을 갖고 이 출력의 좌표 값

,

은 식 (36)에 의해 반복적으로 계산된다.here

to be. In this space,

, And a multiplication type channel

For input,

And

An ensemble of a random vector indicating the determination of the output of the continuous elimination decoder,

. Also,

Variable pairs for

. From this pair of variables, the corresponding vector value

and

,

Respectively. The output of the decoder, on the other hand,

And the coordinate value of this output

,

Is repeatedly calculated by equation (36).

(36)

(36)

는 식 (19)에 나타낸 결정 qubit이다.here

Is the decision qubit shown in equation (19).

을 실현하는 것, 즉

은 frozen qubit

과 함께 데이터 qubit

을 전송하는 것이라고 할 수 있다. 랜덤변수 벡터처럼 데이터 파트

와 frozen 파트

은 둘 다 그들 각각의 범위에 걸쳐 일정하게 분포되어 있고 통계적으로도 독립되어 있다.Input random state

That is,

Frozen qubit

With data qubit

Quot; is transmitted. Like a random variable vector,

And frozen parts

Are both uniformly distributed over their respective ranges and statistically independent.

Equation (37) is defined for a quantum block error event.

(37)

(37)

로 나타내질 수 있다.This expression

Lt; / RTI >

(38)

(38)

는 연속제거 디코더의 첫 번째 결정 퀀텀 오류가

단계에서 발생한 퀀텀 오류 이벤트이다. 디코더가

의 frozen 파트에서는 어떠한 오류도 발생시키지 않기 때문에, 즉

이어서, frozen 파트는 퀀텀 블록 오류 이벤트를 정의하는데 있어서 완전히 배제될 수 있다. 따라서 퀀텀오류 항

와

의 확률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.here

Lt; RTI ID = 0.0 > decode < / RTI >

This is a quantum error event that occurred in the step. The decoder

Since the frozen part of the file does not cause any errors,

The frozen part can then be completely excluded from defining the quantum block error event. Therefore,

Wow

The probability of a

,

,

(39)

(39)

는 퀀텀 이벤트

을 나타낸다.here

Quantum Events

.

의 정의에 의하면 다음과 같이 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.As shown in equation (38)

, The following can be rewritten as follows.

(40)

(40)

에 대해서 퀀텀 이벤트

는 다음과 같이 주어진다.All here

About Quantum Events

Is given as follows.

(41)

(41)

However, it can be seen that the following relationship exists.

(42)

(42)

에

대해 의 상위한계(upper bound)는 식 (43)과 같이 달성할 수 있다.random

on

The upper bound on () can be achieved as in (43).

(43)

(43)

의 상위한계를 식 (44)와 같이 얻을 수 있다.By combining equations (42) and (43)

Can be obtained as shown in equation (44).

(44)

(44)

의 상위한계를 식 (45)처럼 얻을 수 있다. According to equation (39)

Can be obtained as Eq. (45).

(45)

(45)

에 대해 식 (46)과 같은 frozen qubit

가 존재한다.Therefore,

(46) for the frozen qubit

Lt; / RTI >

(46)

(46)

Thus, theorem 2 proved perfectly.

5. Applicable Communication Systems

7 is a diagram illustrating a communication system according to an embodiment of the present invention. The communication system according to the present embodiment includes a transmission system 100 and a reception system 200 as shown in FIG.

The transmission system 100 includes a source encoder 110, a channel encoder 120 and a transmitter 130. The source encoder 110 sources-codes the data, the channel encoder 120 channel-codes the source-coded signals as described above, and the transmitter 130 transmits the channel-coded signals.

The receiving system 200 includes a receiving unit 210, a channel decoder 220, and a source decoder 230. The receiving unit 210 receives the signal transmitted from the transmitting unit 130 and the channel decoder 220 performs channel decoding by performing inverse conversion of the conversion performed by the channel encoder 120, And performs source decoding corresponding to the source coding performed by the encoder 110. [

In this embodiment, a coding method called quantum channel polarization is proposed to achieve a symmetric capacity for all given binary input discrete quantum channels given through the coupling and separation steps of the quantum channels.

This method provides a quantum coding scheme to construct a quantum polar code that can transmit quantum data very efficiently. This technique can achieve a symmetric capacity for all binary input discrete quantum channels. Although this coding method has been proposed for binary input discrete channels, some modifications can be easily applied to various fields such as non-binary input discrete quantum channels.

While the present invention has been particularly shown and described with reference to exemplary embodiments thereof, it is to be understood that the invention is not limited to the disclosed exemplary embodiments, but, on the contrary, It will be understood by those skilled in the art that various changes in form and details may be made therein without departing from the spirit and scope of the present invention.

100: transmission system 110: source encoder
120: channel encoder 130:
200: receiving system 210: receiving unit
220: channel decoder 230: source decoder

Claims (8)

A first conversion step of combining some of the independent first channel signals and converting the combined first channel signals into second channel signals;
A second conversion step of replacing a part of the second channel signals and converting the second channel signals into third channel signals;
A third conversion step of combining a part of the third channel signals and converting the third channel signals into fourth channel signals; And
And combining the fourth channel signals with a quantum channel,
Wherein the first channel signals include an eleventh channel signal, a twelfth channel signal, a thirteenth channel signal, and a fourteenth channel signal,
Wherein the first conversion step comprises:
And combines the eleventh and twelfth channel signals into a twenty-first channel signal,
And combines the 13th channel signal and the 14th channel signal into a 23rd channel signal,
The third channel signals include a 31st channel signal, a 32nd channel signal, a 33rd channel signal, and a 34th channel signal,
Wherein the third conversion step comprises:
And combines the 31st channel signal and the 32nd channel signal into a 41st channel signal,
And combines the 33rd channel signal and the 34th channel signal into a 43rd channel signal,
Wherein the combining step comprises:
Applying R ₄ G ₄ to the fourth channel signals,
R ₄ is a substitution operation for mapping from [S ₁ , S ₂ , S ₃ , S ₄ ] to [S ₁ , S ₃ , S ₂ , S ₄ ]

Lt;

Is the Kronecker product,
Wherein the first conversion step, the second conversion step and the third conversion step comprise:
And applying the following matrix to the first channel signals to generate the fourth channel signals.

Where G1 and G2 are the first generator matrix and the second generator matrix, D is the channel matrix, E (D) is the rotation matrix of D,
delete The method according to claim 1,
The second channel signals include a 21st channel signal, a 22nd channel signal, a 23rd channel signal, and a 24th channel signal,
Wherein the second conversion step comprises:
And replacing the twenty-second channel signal with the twenty-third channel signal.
delete And converts some of the independent first channel signals into second channel signals and substitutes a part of the second channel signals into third channel signals, A channel encoder for converting the fourth channel signals into fourth channel signals and coupling the fourth channel signals to the fourth channel signals; And
And a transmitter for transmitting channel-coded channel signals in the channel encoder,
Wherein the first channel signals include an eleventh channel signal, a twelfth channel signal, a thirteenth channel signal, and a fourteenth channel signal,
The channel encoder comprises:
A seventeenth channel signal and a twelfth channel signal, and converts the twelfth channel signal and the twelfth channel signal into a twenty-first channel signal,
The third channel signals include a 31st channel signal, a 32nd channel signal, a 33rd channel signal, and a 34th channel signal,
The channel encoder comprises:
And combines the 31st channel signal and the 32nd channel signal into a 41st channel signal, and combines the 33rd channel signal and the 34th channel signal into a 43st channel signal,
The channel encoder comprises:
Applying R ₄ G ₄ to the fourth channel signals,
R ₄ is a substitution operation for mapping from [S ₁ , S ₂ , S ₃ , S ₄ ] to [S ₁ , S ₃ , S ₂ , S ₄ ]

ego,

Is the Kronecker product,
The channel encoder comprises:
And applies the following matrix to the first channel signals to generate the fourth channel signals.

Where G1 and G2 are the first generator matrix and the second generator matrix, D is the channel matrix, E (D) is the rotation matrix of D,
delete 6. The method of claim 5,
The second channel signals include a 21st channel signal, a 22nd channel signal, a 23rd channel signal, and a 24th channel signal,
The channel encoder comprises:
And replaces the twenty-second channel signal with the twenty-third channel signal.
delete

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