KR101453774B1 - 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법 - Google Patents

개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법 Download PDF

Info

Publication number
KR101453774B1
KR101453774B1 KR1020130067203A KR20130067203A KR101453774B1 KR 101453774 B1 KR101453774 B1 KR 101453774B1 KR 1020130067203 A KR1020130067203 A KR 1020130067203A KR 20130067203 A KR20130067203 A KR 20130067203A KR 101453774 B1 KR101453774 B1 KR 101453774B1
Authority
KR
South Korea
Prior art keywords
lagrangian
numerical
equation
total flow
quot
Prior art date
Application number
KR1020130067203A
Other languages
English (en)
Inventor
석희준
채병곤
최정해
Original Assignee
한국지질자원연구원
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by 한국지질자원연구원 filed Critical 한국지질자원연구원
Priority to KR1020130067203A priority Critical patent/KR101453774B1/ko
Priority to US13/971,260 priority patent/US20140372088A1/en
Application granted granted Critical
Publication of KR101453774B1 publication Critical patent/KR101453774B1/ko

Links

Images

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/11—Complex mathematical operations for solving equations, e.g. nonlinear equations, general mathematical optimization problems
    • G06F17/13—Differential equations
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F30/00—Computer-aided design [CAD]
    • G06F30/20—Design optimisation, verification or simulation
    • C—CHEMISTRY; METALLURGY
    • C02—TREATMENT OF WATER, WASTE WATER, SEWAGE, OR SLUDGE
    • C02F—TREATMENT OF WATER, WASTE WATER, SEWAGE, OR SLUDGE
    • C02F2103/00—Nature of the water, waste water, sewage or sludge to be treated
    • C02F2103/06—Contaminated groundwater or leachate
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F2111/00—Details relating to CAD techniques
    • G06F2111/10—Numerical modelling

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Mathematical Physics (AREA)
  • Mathematical Analysis (AREA)
  • Pure & Applied Mathematics (AREA)
  • Mathematical Optimization (AREA)
  • Computational Mathematics (AREA)
  • General Engineering & Computer Science (AREA)
  • Data Mining & Analysis (AREA)
  • Computer Hardware Design (AREA)
  • Geometry (AREA)
  • Evolutionary Computation (AREA)
  • Operations Research (AREA)
  • Algebra (AREA)
  • Databases & Information Systems (AREA)
  • Software Systems (AREA)
  • Management, Administration, Business Operations System, And Electronic Commerce (AREA)
  • Fluid Mechanics (AREA)

Abstract

본 발명은 지하수 내의 오염물 거동을 수치적으로 해석하기 위한 방법에 관한 것으로, 본 발명에 따르면, 높은 페클릿(Peclet) 숫자에 대하여만 해석이 가능했던 기존의 라그랑지안-율러리안 기법의 문제점을 해결하여, 총유량 경계조건에 인접한 요소의 경우는 율러리안 기법을 적용하고, 내부의 요소의 경우는 기존의 라그랑지안-율러리안 기법을 병합하여 새로운 수치 행렬을 재구성하여 행렬을 푸는 것에 의해, 총유량 경계조건하에서 높은 페클릿(Peclet) 숫자는 물론 특별히 낮은 페클릿(Peclet) 숫자와 같은 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동 문제에 대하여도 정확한 수치해석이 가능하도록 구성되는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법이 제공된다.

Description

개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법{Method for analyzing contaminant transport equation having total flow boundary conditions by using improved Lagrangian-Eulerian method}
본 발명은 지하수 내의 오염물 거동을 수치적으로 해석하기 위한 방법에 관한 것으로, 더 상세하게는, 높은 페클릿(Peclet) 숫자에 대하여만 해석이 가능했던 기존의 라그랑지안-율러리안 기법의 문제점을 개선하여, 총유량 경계조건하에서 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동 문제에 대하여 정확한 수치해석이 가능하도록 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용하여 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동을 분석하는 방법에 관한 것이다.
또한, 본 발명은, 총유량 경계조건에 인접한 요소의 경우는 율러리안 기법을 적용하고, 내부의 요소의 경우는 기존의 라그랑지안-율러리안 기법을 병합하여 새로운 수치 행렬을 재구성하여 행렬을 푸는 것에 의해, 총유량 경계조건하에서 높은 페클릿(Peclet) 숫자는 물론 특별히 낮은 페클릿(Peclet) 숫자와 같은 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동 문제에 대하여도 정확한 수치해석이 가능하도록 구성되는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법에 관한 것이다.
종래, 지하수의 흐름을 수치적으로 해석하기 위한 여러 가지 기법들이 제시된 바 있다.
그러나, 지하수 내의 오염물 거동은, 지하수 흐름보다 상대적으로 수치적인 접근을 통해서 문제를 푸는 것이 용이하지 못하다.
즉, 지하수 내 오염물 거동은, 이송과 확산의 상대적인 크기에 따라서 편미분방정식이 포물선 형태의 식으로부터 쌍곡선 편미분 형태로 변하기 때문이다(참고문헌 1 참조).
여기서, 이러한 오염물 거동을 해석하기 위한 종래의 수치적인 방법은, 율러리안 기법(Eulerian method) 또는 라그랑지안 기법(Lagrangian method)으로터 시작되었다.
더 상세하게는, 먼저, 율러리안 기법은, 유한차분방법 또는 유한요소방법에 의해 정해진 격자 내에서 오염물 거동식을 푸는 방법으로서, 1980년도 초기에 이미 이 방법은 낮은 페클릿(Peclet) 숫자에 해당하는 확산이 우세한 오염물 거동에 적합한 것으로 널리 보고되어 왔다(참고문헌 2 내지 4 참조).
반면, 높은 페클릿(Peclet) 숫자에 해당하는 이송이 우세한 오염물 거동인 경우에는, 수치진동 또는 수치확산으로부터 수치해를 구하는데 어려움이 있다는 것이 보고된 바 있으며(참고문헌 2 내지 4 참조), 그러한 수치적 어려움인 수치진동 및 수치확산을 극복하기 위해서 고차유한요소기술, 상향유한요소방법 또는 유한차분방법, 고차 갈러킨 근사방법등 다양한 방법이 제안되어 왔다(참고문헌 5 및 6 참조).
따라서 이러한 방법들에 의해서 수치진동은 제거될 수 있지만, 시간간격은 Courant-Friedrichs-Lewy 조건에 의해서 크게 제한을 받는다(참고문헌 7 및 8 참조).
이에, 이러한 문제를 해결하기 위해, 1980년대부터 율러리안-라그랑지안 기법이 등장하였으며, 이 방법은, 두 개의 성분인 이송과 확산으로 농도장을 분해해서 각각의 성분에 대해서 푸는 방법이다(참고문헌 7 내지 10 참조).
더 상세하게는, 상기한 방법은, 이송성분의 농도는 입자추적방법에 의해서 풀고, 확산성분의 농도는 유한요소 또는 유한차분방법들에 의해서 풀게 되나, 이 방법은, 입자추적방법과 농도내삽기법에 의해서 라그랑지안 농도의 정확성이 결정된다는 단점이 있었다(참고문헌 11 참조).
여기서, 후자의 문제는, 급격한 농도 변화를 겪는 영역에서 전향입자추적방법과 후향입자추적방법의 결합, 최고점 및 최소점의 추적 방법에 의해서 해결될 수 있다.
즉, 그러한 특징을 가지는 기법의 대표적인 예는, LEZOOM과 EPCOF 수치방법 및 다양한 다른 방법들이 있다(참고문헌 11 내지 13 참조).
그러나 상기한 모든 기술들은, 이송변수의 확산 미분항이 확산변수의 이송/확산 편미분항보다 훨씬 작다는 가정 하에서 이송 및 확산 항목들로 분리해서 분석을 수행하며, 이러한 가정은, 이송이 상대적으로 우세한 높은 페클릿(peclet) 숫자를 가지는 경우에 한하여만 가능하다는 한계가 있었다.
또한, 종래의 연구들은, 확산이 우세한 상황의 오염물 거동을 가지는 문제에도 종래의 라그랑지안-율러리안 기법을 적용하여 문제를 풀었으며, 이에 대한 수치오류에 대해서는 어떠한 언급도 하지 않았다.
따라서 상기한 바와 같이, 종래의 오염물 거동에 대한 해석방법들의 문제점을 해결하기 위하여는, 총 유량 경계 조건하에서 높은 페클릿(Peclet) 숫자는 물론 낮은 페클릿(Peclet) 숫자를 가지는 오염물 거동 문제에 대해서도 정확히 풀 수 있도록 개선된 분석방법을 제시하는 것이 바람직하나, 아직까지 그러한 요구를 모두 만족시키는 방법은 제시된 바 없었다.
[ 참고문헌 ]
1. Konikow, L.F., Reilly, T.E., Barlow, P.M., Voss, C.I., 2007. Chapter 23, Groundwater modeling. In: Delleur, J.(Eds.), The Handbook of Groundwater Engineering, CRC Press, Boca Raton, pp. 54.
2. Cooley, R.L., 1971. A finite difference method for unsteady flow in variably saturated porous media: application to a single pumping well. Water Resources Research 7, 1607- 1625.
3. Freeze, R.A., 1971a. Three dimensional transient, saturated unsaturated flow in a groundwater basin. Water Resources Research 7, 347-366.
4. Freeze, R.A., 1971b. Influence of the unsaturated flow domain on seepage through earth dams. Water Resources Research 7, 929-941.
5. Price, H.S., Cavendish, J.C., Varga, R.S., 1968. Numerical methods of higher-order accuracy for diffusion-convection equations. Society of Petroleum engineers Journal, 293-300.
6. Van Genuchten, M.T., 1977. On the accuracy and efficiency of several numerical schemes for solving the convective dispersive equation. In: Gray, G., Pinder, G.F., Brebbia, C.A.(Eds), Finite Elements in Water Resources, Pentech, London. pp. 1.71-1.90.
7. Neuman, S.P. 1981. A Eulerian-Lagrangian numerical scheme for the dispersion-convection equation using conjugate space-time grids, J. Comput. Phys., 41(2), 270-294.
8. Neuman, S. P., 1984. Adaptive Eulerian-Lagrangian finite element method for advection-dispersion. International Journal for Numerical Methods in Engineering 20, 321-337.
9. Sorek, S., 1985. Eulerian-Lagrangian formulation for flow in soil, Advances in Water Resources 8, 118?120.
10. Sorek, S., Borisov, V., Yakirevich, A., 2000. Numerical modeling of coupled hydrological phenomena using the modified Eulerian-Lagrangian method, theory, modeling and field investigation. In: Zhang, D., Winter, C.L. (Eds), Hydrogeology: a special volume in honor of Shlomo P. Neuman's 60th Birthday, Geological Society of America, Special Paper 348, pp. 151-160.
11. Yeh, G. T., Chang, J.R., 1992. An exact peak capturing and oscillation free Scheme to solve advection-dispersion transport equations, Water Resources Research 28, 2937-2951.
12. Yeh, G. T. 1990. A Lagrangian-Eulerian method with zoomable hidden fine-mesh approach to solving advection-dispersion equations, Water Resour. Res, 26(6), 1133-1144.
13. Sorek, S., Braester, C., 1988. Eulerian-Lagrangian Formulation of the Equations for groundwater denitrification using bacterial activity. Advances in water resources 11(4), 162-169.
14. Bear, J. 1979. Hydraulics of Groundwater, 569. New York: McGraw-Hill.
15. Bear, J., and A.H.-D. Cheng. 2010. Modeling Groundwater Flow and Contaminant Transport, 834. Dordrecht: Springer.
16. Domenico, P.A., and F.W. Schwartz. 1998. Physical and Chemical Hydrogeology, 2nd ed., 506. New York: John Wiley & Sons, Inc.
17. Bredehoeft, J.D., and G.F. Pinder. 1973. Mass transport in flowing groundwater. Water Resources Research 9, no. 1: 194-210.
본 발명은 상기한 바와 같은 종래기술의 문제점을 해결하고자 하는 것으로, 따라서 본 발명의 목적은, 지하수 내의 오염물 거동을 수치적으로 해석하기 위한 기존의 라그랑지안-율러리안 기법은 높은 페클릿(Peclet) 숫자에 대하여만 해석이 가능했던 문제점을 해결하여, 총유량 경계조건하에서 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동 문제에 대하여 정확한 수치해석이 가능하도록 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법을 제공하고자 하는 것이다.
또한, 본 발명의 다른 목적은, 총유량 경계조건에 인접한 요소의 경우는 율러리안 기법을 적용하고, 내부의 요소의 경우는 기존의 라그랑지안-율러리안 기법을 병합하여 새로운 수치 행렬을 재구성하여 행렬을 풀도록 구성됨으로써, 총유량 경계조건하에서 높은 페클릿(Peclet) 숫자는 물론 특별히 낮은 페클릿(Peclet) 숫자와 같은 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동 문제에 대하여도 정확한 수치해석이 가능하도록 구성되는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법을 제공하고자 하는 것이다.
상기한 바와 같은 목적을 달성하기 위해, 본 발명에 따르면, 지하수 내의 오염물 거동을 수치적으로 해석하기 위하여, 총유량 경계조건에 인접한 요소의 경우는 율러리안 방법을 적용하고, 내부의 요소의 경우는 기존의 라그랑지안-율러리안 기법을 병합하여 새로운 수치 행렬을 재구성하여 행렬을 풀도록 구성됨으로써, 높은 페클릿(Peclet) 숫자에 대하여만 해석이 가능했던 기존의 라그랑지안-율러리안 기법의 문제점을 해결하기 위한 일련의 처리를 컴퓨터에 실행시키도록 구성되는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법에 있어서, 상기 일련의 처리는, 질량 보존의 법칙으로부터 오염종의 확산과 이송을 나타내는 지배방정식을 유도하는 단계; 상기 지배방정식을 유도하는 단계에서 유도된 상기 지배방정식에 코시 경계(Cauchy boundary)를 적용하는 단계; 상기 코시 경계상에 존재하지 않는 요소(element)나 셀에 대하여 라그랑지안-율러리안(Lagrangian-Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계; 및 상기 코시 경계상에 존재하는 요소나 셀에 대하여 율러리안(Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계를 포함하여 구성됨으로써, 총유량 경계조건하에서 높은 페클릿(Peclet) 숫자는 물론 낮은 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동에 대하여도 정확한 수치 해석이 가능하도록 구성되는 것을 특징으로 하는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법이 제공된다.
여기서, 상기 분석방법은, 수치 전개를 수행한 후, 정확성을 검증하기 위하여 모의시험을 수행하는 검증단계를 더 포함하여 구성되는 것을 특징으로 한다.
또한, 상기 지배방정식을 유도하는 단계는, 지하수 흐름은 x축 방향으로만 흐르고 θ는 전영역에 대하여 일정하다고 가정하고, θ는 단위 부피당 물의 부피, C는 용질의 농도, V는 누출속도(seepage velocity), D는 확산계수이며, 농도에 대한 물질 유도식(material derivative)이 이하의 수학식으로 정의될 때,
Figure 112013052206508-pat00001

이하의 수학식에 의해 상기 지배방정식을 결정하도록 구성되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112013052206508-pat00002

(여기서, C는 일정한 지점에서의 시간에 따른 농도가 아닌 속도 V를 따라 이동하는 입자에서의 시간에 따른 농도임)
아울러, 상기 지배방정식을 유도하는 단계에서, 상기 지배방정식에 대한 초기조건 및 경계조건은 이하의 수학식으로 나타내지는 것을 특징으로 한다.
Figure 112013052206508-pat00003
Figure 112013052206508-pat00004
Figure 112013052206508-pat00005

(여기서, F(x)는 초기농도이고, f(t)는 코시 경계(Cauchy boundary)를 통해 유입되는 용질의 농도이며, L은 매질의 길이임)
더욱이, 상기 라그랑지안-율러리안(Lagrangian-Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계는, 이하의 수학식에 의해 상기 수치 전개를 수행하도록 구성되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112013052206508-pat00006

(여기서,
Figure 112013052206508-pat00007
는 x*과 관련된 입자추적시간, θ는 시간적분인수(factor), {Cn+1}은 현재 시간에서의 농도 벡터, {C*}는 라그랑지안 농도벡터, [M]은 시간 미분으로부터 계산되는 행렬, [S]는 확산항으로부터 계산되는 행렬, [V]는 속도항으로부터 계산되는 행렬, {B}는 율러리안-라그랑지안 식을 사용하는 경우 경계와 관련된 벡터임)
또한, 상기 라그랑지안-율러리안(Lagrangian-Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계에서, 상기 [M], 상기 [S], 상기 [V] 및 상기 {B}는 각각 이하의 수학식들에 의해 계산되도록 구성되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112013052206508-pat00008
Figure 112013052206508-pat00009
Figure 112013052206508-pat00010
Figure 112013052206508-pat00011

(여기서, Me는 노드 i-j와 일치하는 로컬(local) 노드 α-β를 가지는 요소들의 집합을 의미하며, Nse는 노드 i와 일치하는 로컬 노드 α를 가지고 있는 요소 경계면들의 집합을 의미하고,
Figure 112013052206508-pat00012
는 요소 e의 로컬 캘러킨 가중함수(local Galerkin weighting function)를 의미함)
아울러, 상기 코시 경계상에 존재하는 요소나 셀에 대하여 율러리안(Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계는, 이하의 수학식에 의해 상기 수치 전개를 수행하도록 구성되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112013052206508-pat00013

(여기서, △t는 시간간격을 나타내고, {Cn}은 과거 시간에서의 농도 벡터, [E]는 속도항으로부터 계산되는 행렬, {F}는 율러리안 식을 사용하는 경우와 관련된 벡터임)
더욱이, 상기 율러리안 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계에서, 상기 [E]와 상기 {F}는 각각 이하의 수학식들에 의해 계산되도록 구성되는 것을 특징으로 한다.
Figure 112013052206508-pat00014
Figure 112013052206508-pat00015

또한, 본 발명에 따르면, 상기에 기재된 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법을 이용하여, 총유량 경계조건하에서 높은 페클릿(Peclet) 숫자는 물론 낮은 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동에 대하여도 정확한 수치 해석이 가능하도록 하기 위한 일련의 처리를 컴퓨터에 실행시키도록 구성되는 프로그램이 기록된 컴퓨터에서 판독 가능한 기록매체가 제공된다.
아울러, 본 발명에 따르면, 상기에 기재된 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법을 수행하도록 구성됨으로써, 총유량 경계조건하에서 높은 페클릿(Peclet) 숫자는 물론 낮은 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동에 대하여도 정확한 수치 해석이 가능하도록 구성되는 것을 특징으로 하는 분석시스템이 제공된다.
상기한 바와 같이, 본 발명에 따르면, 총유량 경계조건하에서 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동 문제에 대하여 정확한 수치해석이 가능하도록 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법이 제공됨으로써, 지하수 내의 오염물 거동을 수치적으로 해석하기 위한 종래기술의 방법에 있어서 높은 페클릿(Peclet) 숫자에 대하여만 해석이 가능했던 기존의 라그랑지안-율러리안 기법의 문제점을 해결할 수 있다.
또한, 본 발명에 따르면, 총유량 경계조건에 인접한 요소의 경우는 율러리안 기법을 적용하고, 내부의 요소의 경우는 기존의 라그랑지안-율러리안 기법을 병합하여 새로운 수치 행렬을 재구성하여 행렬을 푸는 것에 의해, 총유량 경계조건하에서 높은 페클릿(Peclet) 숫자는 물론 특별히 낮은 페클릿(Peclet) 숫자와 같은 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동 문제에 대하여도 정확한 수치해석이 가능하도록 구성되는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법이 제공될 수 있다.
도 1은 질량 보존 법칙을 설명하기 위한 개념도이다.
도 2는 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법의 전체적인 개념을 설명하기 위한 개념도이다.
도 3은 본 발명의 실시예에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법의 전체적인 구성을 개략적으로 나타내는 플로차트이다.
도 4는 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법의 성능을 검증하기 위한 수치모의에 적용된 입력자료의 내용을 표로 나타내는 도면이다.
도 5는 도 4에 나타낸 바와 같은 입력자료에 근거하여 수치모의를 수행한 결과를 그래프로 각각 나타내는 도면이다.
이하, 첨부된 도면을 참조하여, 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법의 구체적인 실시예에 대하여 설명한다.
여기서, 이하에 설명하는 내용은 본 발명을 실시하기 위한 하나의 실시예일 뿐이며, 본 발명은 이하에 설명하는 실시예의 내용으로만 한정되는 것은 아니라는 사실에 유념해야 한다.
또한, 이하의 본 발명의 실시예에 대한 설명에 있어서, 종래기술의 내용과 동일 또는 유사하거나 당업자의 수준에서 용이하게 이해하고 실시할 수 있다고 판단되는 부분에 대하여는, 설명을 간략히 하기 위해 그 상세한 설명을 생략하였음에 유념해야 한다.
즉, 본 발명은, 후술하는 바와 같이, 지하수 내의 오염물 거동을 수치적으로 해석하기 위한 종래기술의 방법에 있어서, 높은 페클릿(Peclet) 숫자에 대하여만 해석이 가능했던 기존의 라그랑지안-율러리안 기법의 문제점을 해결하여, 총유량 경계조건하에서 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동 문제에 대하여 정확한 수치해석이 가능하도록 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법에 관한 것이다.
또한, 본 발명은, 총유량 경계조건에 인접한 요소의 경우는 율러리안 기법을 적용하고, 내부의 요소의 경우는 기존의 라그랑지안-율러리안 기법을 병합하여 새로운 수치 행렬을 재구성하여 행렬을 풀도록 구성됨으로써, 총유량 경계조건하에서 높은 페클릿(Peclet) 숫자는 물론 특별히 낮은 페클릿(Peclet) 숫자와 같은 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동 문제에 대하여도 정확한 수치해석이 가능하도록 구성되는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법에 관한 것이다.
계속해서, 첨부된 도면을 참조하여, 상기한 바와 같은 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법의 구체적인 실시예의 내용에 대하여 설명한다.
먼저, 도 1을 참조하여, 오염물 거동식의 해석을 위한 지배방정식에 대하여 설명한다.
즉, 도 1을 참조하면, 도 1은 질량 보존 법칙을 설명하기 위한 개념도이다.
더 상세하게는, 대수층 내 비반응 용해 오염종의 확산과 이송을 나타내는 방정식은 질량 보존의 법칙으로부터 유도된다(참고문헌 14 내지 17 참조).
즉, 질량 보존 법칙은, 도 1에 나타낸 바와 같이, 주어진 단위 시간 간격 동안 대수층의 단위 부피 내에서 들어오거나 나간 용질의 질량의 차는 그 시간간격 동안 단위 부피 내에 저장된 용질의 증가하거나 감소한 질량과 같다는 것을 의미하는 것이다.
아울러, 이러한 내용을 식으로 나타내면, 먼저, 단위 시간당 단위 부피당 질량 변화를 이하의 [수학식 1]과 같이 나타낼 때, 단위 시간당 단위 부피로 들어오거나 나간 질량의 차는 이하의 [수학식 2]와 같이 각각 나타낼 수 있다.
[수학식 1]
단위 시간당 단위 부피당 질량 변화 =
Figure 112013052206508-pat00016

[수학식 2]
단위 시간당 단위 부피로 들어오거나 나간 질량의 차
=
Figure 112013052206508-pat00017

따라서 질량보존 법칙은 이하의 [수학식 3]과 같이 나타낼 수 있다.
[수학식 3]
Figure 112013052206508-pat00018

여기서, θ는 단위 부피당 물의 부피, C는 용질의 농도, V는 누출속도(seepage velocity), D는 확산계수를 각각 나타낸다.
또한, 지하수 흐름은 x축 방향으로만 흐르고, θ는 전영역에 대하여 일정하다고 가정하면, 지배방정식은 이하의 [수학식 4]와 같이 나타낼 수 있다.
[수학식 4]
Figure 112013052206508-pat00019

아울러, 농도에 대한 물질 유도식(material derivative)는 이하의 [수학식 5]와 같이 정의될 수 있다.
[수학식 5]
Figure 112013052206508-pat00020

따라서 [수학식 5]를 [수학식 4]에 대입하면, 이하의 [수학식 6]과 같이 지배방정식이 정리된다.
[수학식 6]
Figure 112013052206508-pat00021

여기서, C는 일정한 지점에서의 시간에 따른 농도가 아니라, 속도 V를 따라 이동하는 입자에서의 시간에 따른 농도가 된다.
또한, [수학식 6]에 나타낸 지배방정식에 대한 초기조건 및 경계조건은 각각 이하의 [수학식 7] 내지 [수학식 9]와 같다.
[수학식 7]
Figure 112013052206508-pat00022

[수학식 8]
Figure 112013052206508-pat00023

[수학식 9]
Figure 112013052206508-pat00024

여기서 F(x)는 초기농도이고, f(t)는 코시 경계(Cauchy boundary)를 통해 유입되는 용질의 농도이며, L은 매질의 길이이다.
계속해서, 도 2를 참조하여, 상기한 바와 같은 지배방정식의 수치적 전개에 대하여 설명한다.
즉, 도 2를 참조하면, 도 2는 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법의 전체적인 개념을 설명하기 위한 개념도이다.
더 상세하게는, 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법은, 율러리안-라그랑지안 방법을 사용하여 코시 경계(Cauchy boundary) 적용시, 코시 경계상에 있는 요소(element)나 셀에 대해서는 율러리안 방식으로, 나머지 요소나 셀에 대해서는 율러리안-라그랑지안 방식으로 계산하도록 구성된 것을 특징으로 하는 것이다.
여기서, 도 2에 있어서는, FEM 방법(유한요소법) 적용시의 경우를 나타내고 있다.
즉, 이하의 설명에서는, 도 2를 참조하여 FEM 방법(유한요소법) 적용시의 수치전개에 대하여 설명하나, 본 발명에 따른 수치방법은 FDM 방법(유한차분법)을 사용하는 경우에도 개념적으로 동일하게 적용될 수 있다.
더 상세하게는, 율러리안-라그랑지안 방식 적용을 위해, 우선, 이하의 [수학식 10]을 이용하여, 도 2에 나타낸 노드 2-5 에 대해 입자추적을 실시한다.
[수학식 10]
Figure 112013052206508-pat00025

여기서,
Figure 112013052206508-pat00026
는 노드 i로부터 입자추적을 통해 계산된 입자의 농도,
Figure 112013052206508-pat00027
은 노드 j에서 이전 시간 단계(old time step)에서의 농도,
Figure 112013052206508-pat00028
는
Figure 112013052206508-pat00029
의 위치에서 노드 xj와 관련된 기본 함수(base function)이며,
Figure 112013052206508-pat00030
는 이하의 [수학식 11]에 의해 계산된다.
[수학식 11]
Figure 112013052206508-pat00031

여기서, tn +1은 현재 시간을, tn은 과거시간을,
Figure 112013052206508-pat00032
는 시간 tn +1에 입자추적을 통해 입자가 노드 xi에 도달하는 경우, 시간 tn에서의 입자의 위치를 의미한다.
또한, 이하의 [수학식 12]에 나타낸 바와 같이, 상기한 [수학식 6]에 나타낸 지배방정식에 대하여 적당한 가중 함수(weighting function)를 곱한 후 관심영역에 대해 적분을 실시하면, 잔차가 0이 될 수 있다.
[수학식 12]
Figure 112013052206508-pat00033

여기서, Ni는 갤러킨 가중함수(Galerkin weighting function) 이며,
Figure 112013052206508-pat00034
는 이하의 [수학식 13]과 같이 정의된다.
[수학식 13]
Figure 112013052206508-pat00035

여기서, 그린의 제 1 등식(Green's first identity)을 사용하면, [수학식 12]는 이하의 [수학식 14]와 같이 나타낼 수 있다.
[수학식 14]
Figure 112013052206508-pat00036

아울러, [수학식 14]에 [수학식 13]을 대입하면 이하의 [수학식 15]와 같다.
[수학식 15]
Figure 112013052206508-pat00037

여기서, 상기한 [수학식 15]를 행렬로 표현하면 이하의 [수학식 16]과 같다.
[수학식 16]
Figure 112013052206508-pat00038

여기서,
Figure 112013052206508-pat00039
는 x*과 관련된 입자추적시간, θ는 시간적분인수(factor), {Cn+1}은 현재 시간에서의 농도 벡터, {C*}는 라그랑지안 농도벡터, [M]은 시간 미분으로부터 계산되는 행렬, [S]는 확산항으로부터 계산되는 행렬, [V]는 속도항으로부터 계산되는 행렬, {B}는 율러리안-라그랑지안 식을 사용하는 경우 경계와 관련된 벡터이며, [M], [S], [V] 및 {B}는 각각 다음과 같이 정의된다.
[수학식 17]
Figure 112013052206508-pat00040

[수학식 18]
Figure 112013052206508-pat00041

[수학식 19]
Figure 112013052206508-pat00042

[수학식 20]
Figure 112013052206508-pat00043

여기서, Me는 노드 i-j와 일치하는 로컬(local) 노드 α-β를 가지는 요소들의 집합을 의미하며, Nse는 노드 i와 일치하는 로컬 노드 α를 가지고 있는 요소 경계면들의 집합을 의미하고,
Figure 112013052206508-pat00044
는 요소 e의 로컬 캘러킨 가중함수(local Galerkin weighting function) 이다.
즉, 도 2에 나타낸 바와 같은 1차원을 가정하고, 요소(element)의 길이가 모두 같으며, 속도가 일정하고, 럼프(lump)를 했다고 가정하면, [M], [S], [V]는 각각 다음과 같이 계산된다.
[수학식 21]
Figure 112013052206508-pat00045

[수학식 22]
Figure 112013052206508-pat00046

[수학식 23]
Figure 112013052206508-pat00047

여기서, 주의할 점은, 속도가 일정하다고 가정하였으므로 [V]는 영행렬이 된다.
즉, 도 2에 나타낸 바와 같이 코시 경계(Cauchy boundary)에 접하지 않은 모든 요소에 대해서는 율러리안-라그랑지안 방식이 적용되며, 율러리안-라그랑지안 방식이 적용되는 모든 요소들에 대하여 상기한 [수학식 21] 내지 [수학식 23]이 사용된다.
따라서 율러리안-라그랑지안 방식이 적용되는 요소에 해당하는 도 2의 요소 (2)-(4)까지를 나타내는 행렬식인 상기한 [수학식 16]을 간단히 표현하면 다음과 같다.
[수학식 24]
Figure 112013052206508-pat00048

여기서, [A] 및 {R}은 각각 다음과 같다.
[수학식 25]
Figure 112013052206508-pat00049

[수학식 26]
Figure 112013052206508-pat00050

다음으로, 율러리안 방식을 적용하는 경우에 대하여 설명한다.
도 2에 나타낸 바와 같이 코시 경계(Cauchy boundary)에 직접 접해 있는 요소 (1)에 대해서는 율러리안 방식이 적용되며, 율러리안 방식에 대한 지배방정식은 상기한 [수학식 4]와 같다.
따라서 율러리안 방식이 적용된 경우에 FEM을 적용하면, 다음과 같이 표현된다.
[수학식 27]
Figure 112013052206508-pat00051

아울러, 그린의 제 1 등식(Green's first identity)을 적용하면 상기한 [수학식 27]은 다음과 같게 된다.
[수학식 28]
Figure 112013052206508-pat00052

여기서, Wi는 상류 가중함수(upstream weighting function) 이다.
더욱이, [수학식 28]에 상기한 [수학식 13]을 대입하면 다음과 같다.
[수학식 29]
Figure 112013052206508-pat00053

또한, [수학식 29]를 행렬로 표현하면 다음과 같다.
[수학식 30]
Figure 112013052206508-pat00054

여기서, △t는 시간간격을 나타내고, {Cn}은 과거 시간에서의 농도 벡터, [E]는 속도항으로부터 계산되는 행렬, {F}는 율러리안 식을 사용하는 경우와 관련된 벡터이며, [E]와 {F}는 다음과 같이 정의된다.
[수학식 31]
Figure 112013052206508-pat00055

[수학식 32]
Figure 112013052206508-pat00056

또한, 상기한 바와 마찬가지로, 1차원을 가정하고, 요소(element)의 길이가 모두 같으며, 속도가 일정하면, [E]는 다음과 같이 계산된다.
[수학식 33]
Figure 112013052206508-pat00057

따라서 율러리안 방식이 적용되는 요소인 도 2의 노드 i=1을 나타내는 행렬식인 상기한 [수학식 30]은 다음과 같이 간단히 표현될 수 있다.
[수학식 34]
Figure 112013052206508-pat00058

여기서, 상기한 [D]와 {G}는 각각 다음과 같이 계산된다.
[수학식 35]
Figure 112013052206508-pat00059

[수학식 36]
Figure 112013052206508-pat00060

따라서 도 2에 나타낸 바와 같이 율러리안 방식이 적용되는 요소 (1)에 대한 행렬식과 율러리안-라그랑지안 방식이 적용되는 요소 (2) 내지 (4)에 대한 행렬식을 한꺼번에 나타내면 다음과 같다.
[수학식 37]
Figure 112013052206508-pat00061

여기서, 도 2에 나타낸 바와 같이 율러리안-라그랑지안 방식만 적용되는 내부노드 (i = 3, 4)는 상기한 [수학식 21] 내지 [수학식 23], [수학식 24] 및 [수학식 37]을 이용하고, θ = 1 이라고 가정하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.
[수학식 38]
Figure 112013052206508-pat00062

여기서,
[수학식 39]
Figure 112013052206508-pat00063

[수학식 40]
Figure 112013052206508-pat00064

[수학식 41]
Figure 112013052206508-pat00065

[수학식 42]
Figure 112013052206508-pat00066

이다.
또한, 코시 경계(Cauchy boundary)가 적용되어 율러리안 방식을 사용하는 첫 번째 노드 (i = 1)에 대한 식은, 상기한 [수학식 21], [수학식 22], [수학식 33], [수학식 34] 및 [수학식 37]을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
[수학식 43]
Figure 112013052206508-pat00067

여기서,
[수학식 44]
Figure 112013052206508-pat00068

[수학식 45]
Figure 112013052206508-pat00069

[수학식 46]
Figure 112013052206508-pat00070

이다.
반면, 도 2에 나타낸 바와 같이 율러리안 방식과 율러리안-라그랑지안 방식이 함께 적용되는 노드 2 (i = 2)는, 상기한 [수학식 21] 내지 [수학식 23], [수학식 24], [수학식 33], [수학식 34] 및 [수학식 37]을 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
[수학식 47]
Figure 112013052206508-pat00071

여기서,
[수학식 48]
Figure 112013052206508-pat00072

[수학식 49]
Figure 112013052206508-pat00073

[수학식 50]
Figure 112013052206508-pat00074

[수학식 51]
Figure 112013052206508-pat00075

이다.
여기서, [수학식 51]에 있어서,
Figure 112013052206508-pat00076
에서
Figure 112013052206508-pat00077
는 미리 알 수 있으나 C는 미리 알 수 없으므로, 따라서 [수학식 51]은 다음과 같이 바뀌어야 한다.
[수학식 52]
Figure 112013052206508-pat00078

여기서,
[수학식 53]
Figure 112013052206508-pat00079

[수학식 54]
Figure 112013052206508-pat00080

이다.
또한, [수학식 54]에 있어서, 노드 2에 위치한 입자가 △t가 되기 전 코시 경계(Cauchy boundary)에 도달한 경우,
Figure 112013052206508-pat00081
는 다음과 같다.
[수학식 55]
Figure 112013052206508-pat00082

여기서,
Figure 112013052206508-pat00083
이다.
따라서 [수학식 55]를 [수학식 54]에 대입하면 다음과 같다.
[수학식 56]
Figure 112013052206508-pat00084

그런데, [수학식 56]에 있어서,
Figure 112013052206508-pat00085
은 미지수이다. 따라서 [수학식 52]는 다음과 같이 바뀌어야 한다.
[수학식 57]
Figure 112013052206508-pat00086

여기서,
[수학식 58]
Figure 112013052206508-pat00087

[수학식 59]
Figure 112013052206508-pat00088

이다.
결과적으로, 도 2에 나타낸 바와 같은 상황에서 제안된 수치모델에 이용되는 수식들은, 상기한 [수학식 38], [수학식 43] 및 [수학식 52] 이다.
단, 노드 i(i ≥ 2)에 위치한 입자가 △t가 되기 전 코시 경계(Cauchy boundary)에 도달한 경우는, 상기한 [수학식 57] 내지 [수학식 59]를 이용하여 수치모델에 이용되는 수식을 변형해야 함에 유념해야 한다.
따라서 상기한 바와 같은 내용을 통하여, 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법을 구현할 수 있다.
더 상세하게는, 도 3을 참조하면, 도 3은 상기한 바와 같은 내용에 근거하여 구현되는 본 발명의 실시예에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법의 전체적인 구성을 개략적으로 나타내는 플로차트이다.
즉, 도 3에 나타낸 바와 같이, 본 발명의 실시예에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법은, 크게 나누어, 먼저, 상기한 [수학식 1] 내지 [수학식 9]를 참조하여 설명한 바와 같이 하여, 질량 보존의 법칙으로부터 대수층 내 비반응 용해 오염종의 확산과 이송을 나타내는 지배방정식을 유도한다(단계 S31).
다음으로, 상기 단계에서 유도된 지배방정식에 코시 경계(Cauchy boundary)를 적용하여(단계 S32), 경계 조건에 따라 각각 다르게 수치 전개를 수행한다.
더 상세하게는, 코시 경계상에 존재하는 요소(element)나 셀이 아닌 것들에 대하여는, 상기한 [수학식 10] 내지 [수학식 26]을 참조하여 설명한 바와 같이, 라그랑지안-율러리안(Lagrangian-Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행한다(단계 S33).
또한, 코시 경계상에 존재하는 요소(element)나 셀에 대하여는, 상기한 [수학식 27] 내지 [수학식 59]를 참조하여 설명한 바와 같이, 율러리안(Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행한다(단계 S34).
아울러, 상기한 분석방법은, 상기한 바와 같이 하여 수치 전개를 수행한 후, 예를 들면, 이하의 도 4 내지 도 5를 참조하여 후술하는 바와 같이 하여, 정확성을 검증하기 위한 모의시험을 수행하는 검증단계를 더 포함하여 구성될 수 있다.
따라서 본 발명은, 상기한 바와 같은 단계들을 포함하는 일련의 처리를 수행하도록 구성되는 전용의 하드웨어로 이루어진 분석시스템으로서 제공될 수 있다.
또는, 본 발명은, 바람직하게는, 상기한 바와 같은 단계들을 포함하는 일련의 처리를 컴퓨터를 통해 실행시키도록 구성되는 프로그램 또는 그러한 프로그램이 기록된 기록매체의 형태로 제공될 수 있다.
계속해서, 상기한 바와 같이 구성되는 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법의 성능을 검증하기 위한 모의실험 결과에 대하여 설명한다.
즉, 본 발명자들은, 상기한 바와 같은 본 발명의 실시예에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법이 기존의 율러리안-라그랑지안 방식(참고문헌 7 및 12 참조)의 문제점을 극복하였음을 검증하기 위해, 코시 경계를 포함한 수치모의에서 페클릿 숫자(Peclet number)가 1보다 작은 경우에 대한 수치모의를 실시하였다.
이때, 비교를 위해 사용된 기존의 율러리안-라그랑지안 방식 수치모델들은, 디리클레 경계(Dirichlet boundary) 적용시에는 쿠란 숫자(Courant number)와 페클릿 숫자(Peclet number)의 제한을 거의 받지 않는 모델들로, 지하수 분야에서 주로 페클릿 숫자가 큰 경우에 큰 시간간격과 공간간격을 사용해도 정확성을 유지하는 효율적이며, 범용화된 모델들이다(참고문헌 7 및 12 참조).
또한, 도 4를 참조하면, 도 4는 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법의 성능을 검증하기 위한 수치모의에 적용된 입력자료의 내용을 표로 나타내는 도면이다.
더 상세하게는, 본 발명자들은, 도 4에 나타낸 바와 같이, 코시 경계 하에서 페클릿 숫자는 '1'보다 작으며, 쿠란 숫자가 1보다 작은 경우(EXAM1A와 EXAM1B)와, 쿠란 숫자가 1보다 큰 경우(EXAM1C와 EXAM1D)에 대한 수치모의를 각각 수행하였다.
즉, 도 5를 참조하면, 도 5는 도 4에 나타낸 바와 같은 입력자료에 근거하여 수치모의를 수행한 결과를 그래프로 각각 나타내는 도면이다.
도 5에 있어서, 도 5(a)는 도 4의 EXAM1A의 경우이고, 도 5(b)는 도 4의 EXAM1B의 경우이며, 도 5(c)는 도 4의 EXAM1C의 경우이고, 도 5(d)는 도 4의 EXAM1D의 경우를 각각 나타내고 있다.
따라서 도 5에 나타낸 바와 같이, 코시 경계가 적용되는 경우 중 페클릿 숫자가 1보다 작은 경우, 기존에 존재하는 율러리안-라그랑지안 방식을 이용하는 수치모델들은 해석해와 차이가 있는 결과를 나타내었음을 알 수 있으며, 특히, 기존의 두 모델 모두 같은 쿠론 숫자하에서 페클릿 숫자가 줄어들수록 해석해와의 차이가 커지는 결과를 나타내었다.
그러나 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법에 의한 수치모델의 결과는, 페클릿 숫자가 '1'보다 작은 경우, 쿠론 숫자에 상관없이 모두 해석해와 잘 일치함을 확인할 수 있다.
따라서 상기한 바와 같은 과정을 통하여 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법을 구현할 수 있다.
여기서, 본 발명은, 상기한 바와 같은 일련의 처리가 수행되도록 구성되는 전용의 하드웨어로서 제공될 수 있으며, 또는, 본 발명은, 바람직하게는, 상기한 바와 같은 일련의 처리를 수행하도록 구성되어 컴퓨터에서 실행 가능하도록 구성되는 프로그램이나, 그러한 프로그램을 기록한 기록매체의 형태로 제공될 수도 있다.
또한, 상기한 바와 같이 하여 본 발명의 실시예에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법을 구현하는 것에 의해, 본 발명에 따르면, 총유량 경계조건에 인접한 요소의 경우는 율러리안 기법을 적용하고, 내부의 요소의 경우는 기존의 라그랑지안-율러리안 기법을 병합하여 새로운 수치 행렬을 재구성하여 행렬을 푸는 것에 의해, 총유량 경계조건하에서 특별히 낮은 페클릿(Peclet) 숫자와 같은 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동 문제에 대하여도 정확한 수치해석이 가능하도록 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법을 제공할 수 있다.
아울러, 본 발명에 따르면, 다양한 페클릿 숫자(Peclet number)와 쿠란 숫자(Courant number)를 가진 경우에 대하여 기존의 율러리안-라그랑지안 방식 수치모델들과의 비교를 수행한 비교결과를 통하여, 기존의 두 모델은 같은 쿠란 숫자 하에서 페클릿 숫자가 줄어들수록 해석해와의 차이가 커지나, 본 발명에 따른 수치모델의 결과는 페클릿 숫자와 쿠란 숫자에 상관없이 모두 해석해와 잘 일치하였음을 확인할 수 있으며, 그것에 의해, 기존의 율러리안-라그랑지안 방식의 문제점을 극복할 수 있다.
이상, 상기한 바와 같은 본 발명의 실시예를 통하여 본 발명에 따른 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법의 상세한 내용에 대하여 설명하였으나, 본 발명은 상기한 실시예에 기재된 내용으로만 한정되는 것은 아니며, 따라서 본 발명은, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에 의해 설계상의 필요 및 기타 다양한 요인에 따라 여러 가지 수정, 변경, 결합 및 대체 등이 가능한 것임은 당연한 일이라 하겠다.

Claims (10)

  1. 지하수 내의 오염물 거동을 수치적으로 해석하기 위하여, 총유량 경계조건에 인접한 요소의 경우는 율러리안 방법을 적용하고, 내부의 요소의 경우는 기존의 라그랑지안-율러리안 기법을 병합하여 새로운 수치 행렬을 재구성하여 행렬을 풀도록 구성됨으로써, 일련의 처리를 컴퓨터에 실행시키도록 구성되는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법에 있어서,
    상기 일련의 처리는,
    질량 보존의 법칙으로부터 오염종의 확산과 이송을 나타내는 지배방정식을 유도하는 단계;
    상기 지배방정식을 유도하는 단계에서 유도된 상기 지배방정식에 코시 경계(Cauchy boundary)를 적용하는 단계;
    상기 코시 경계상에 존재하지 않는 요소(element)나 셀에 대하여 라그랑지안-율러리안(Lagrangian-Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계; 및
    상기 코시 경계상에 존재하는 요소나 셀에 대하여 율러리안(Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계를 포함하여 구성됨으로써,
    총유량 경계조건하에서 다양한 페클릿(Peclet) 숫자에 대한 오염물 거동에 대하여 정확한 수치 해석이 가능하도록 구성되는 것을 특징으로 하는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법.
  2. 제 1항에 있어서,
    상기 분석방법은,
    수치 전개를 수행한 후, 정확성을 검증하기 위하여 모의시험을 수행하는 검증단계를 더 포함하여 구성되는 것을 특징으로 하는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법.
  3. 제 1항에 있어서,
    상기 지배방정식을 유도하는 단계는,
    지하수 흐름은 x축 방향으로만 흐르고 θ는 전영역에 대하여 일정하다고 가정하고, θ는 단위 부피당 물의 부피, C는 용질의 농도, V는 누출속도(seepage velocity), D는 확산계수이며, 농도에 대한 물질 유도식(material derivative)이 이하의 수학식으로 정의될 때,

    Figure 112013052206508-pat00089


    이하의 수학식에 의해 상기 지배방정식을 결정하도록 구성되는 것을 특징으로 하는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법.

    Figure 112013052206508-pat00090


    (여기서, C는 일정한 지점에서의 시간에 따른 농도가 아닌 속도 V를 따라 이동하는 입자에서의 시간에 따른 농도임)
  4. 제 3항에 있어서,
    상기 지배방정식을 유도하는 단계에서,
    상기 지배방정식에 대한 초기조건 및 경계조건은 이하의 수학식으로 나타내지는 것을 특징으로 하는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법.

    Figure 112013052206508-pat00091

    Figure 112013052206508-pat00092

    Figure 112013052206508-pat00093


    (여기서, F(x)는 초기농도이고, f(t)는 코시 경계(Cauchy boundary)를 통해 유입되는 용질의 농도이며, L은 매질의 길이임)
  5. 제 4항에 있어서,
    상기 라그랑지안-율러리안(Lagrangian-Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계는,
    이하의 수학식에 의해 상기 수치 전개를 수행하도록 구성되는 것을 특징으로 하는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법.

    Figure 112013052206508-pat00094


    (여기서,
    Figure 112013052206508-pat00095
    는 x*과 관련된 입자추적시간, θ는 시간적분인수(factor), {Cn+1}은 현재 시간에서의 농도 벡터, {C*}는 라그랑지안 농도벡터, [M]은 시간 미분으로부터 계산되는 행렬, [S]는 확산항으로부터 계산되는 행렬, [V]는 속도항으로부터 계산되는 행렬, {B}는 율러리안-라그랑지안 식을 사용하는 경우 경계와 관련된 벡터임)
  6. 제 5항에 있어서,
    상기 라그랑지안-율러리안(Lagrangian-Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계에서,
    상기 [M], 상기 [S], 상기 [V] 및 상기 {B}는 각각 이하의 수학식들에 의해 계산되도록 구성되는 것을 특징으로 하는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법.

    Figure 112013052206508-pat00096

    Figure 112013052206508-pat00097

    Figure 112013052206508-pat00098

    Figure 112013052206508-pat00099


    (여기서, Me는 노드 i-j와 일치하는 로컬(local) 노드 α-β를 가지는 요소들의 집합을 의미하며, Nse는 노드 i와 일치하는 로컬 노드 α를 가지고 있는 요소 경계면들의 집합을 의미하고,
    Figure 112013052206508-pat00100
    는 요소 e의 로컬 캘러킨 가중함수(local Galerkin weighting function)를 의미함)
  7. 제 6항에 있어서,
    상기 코시 경계상에 존재하는 요소나 셀에 대하여 율러리안(Eulerian) 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계는,
    이하의 수학식에 의해 상기 수치 전개를 수행하도록 구성되는 것을 특징으로 하는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법.

    Figure 112013052206508-pat00101


    (여기서, △t는 시간간격을 나타내고, {Cn}은 과거 시간에서의 농도 벡터, [E]는 속도항으로부터 계산되는 행렬, {F}는 율러리안 식을 사용하는 경우와 관련된 벡터임)
  8. 제 7항에 있어서,
    상기 율러리안 방법을 적용하여 수치 전개를 수행하는 단계에서,
    상기 [E]와 상기 {F}는 각각 이하의 수학식들에 의해 계산되도록 구성되는 것을 특징으로 하는 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법.

    Figure 112013052206508-pat00102

    Figure 112013052206508-pat00103

  9. 청구항 1항 내지 8항 중 어느 한 항에 기재된 각 단계들을 컴퓨터에 실행시키는 프로그램이 기록된 컴퓨터에서 판독 가능한 기록매체.
  10. 삭제
KR1020130067203A 2013-06-12 2013-06-12 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법 KR101453774B1 (ko)

Priority Applications (2)

Application Number Priority Date Filing Date Title
KR1020130067203A KR101453774B1 (ko) 2013-06-12 2013-06-12 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법
US13/971,260 US20140372088A1 (en) 2013-06-12 2013-08-20 Method of analyzing contaminant transport under cauchy boundary conditions using improved lagrangian-eulerian method

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
KR1020130067203A KR101453774B1 (ko) 2013-06-12 2013-06-12 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법

Publications (1)

Publication Number Publication Date
KR101453774B1 true KR101453774B1 (ko) 2014-10-22

Family

ID=51998513

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
KR1020130067203A KR101453774B1 (ko) 2013-06-12 2013-06-12 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법

Country Status (2)

Country Link
US (1) US20140372088A1 (ko)
KR (1) KR101453774B1 (ko)

Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111027243A (zh) * 2019-12-03 2020-04-17 广东工业大学 一种基于数值模拟的等温挤压能耗影响因素分析方法
CN116756985A (zh) * 2022-11-29 2023-09-15 华东师范大学 基于COMSOL Multiphysics的场地多介质环境有机污染物运移模拟方法

Families Citing this family (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US10120836B2 (en) * 2015-02-12 2018-11-06 The United States Of America, As Represented By The Secretary Of The Navy Gathering materials on the ocean surface based on forecasting area density
KR101658730B1 (ko) * 2015-05-22 2016-09-22 동아대학교 산학협력단 지하저수지 주입 양수 계통의 최적 설계 방법
KR101793216B1 (ko) * 2017-09-05 2017-11-03 한국지질자원연구원 해안지역의 조수변동에 의한 지하수내 오염물 농도 표시 방법
CN110287590B (zh) * 2019-06-24 2023-08-18 天津大学 基于算子分裂及改进半拉格朗日求解污染物传播的方法
CN117331361B (zh) * 2023-12-01 2024-03-08 江苏迈鼎科技(集团)有限公司 一种基于物联网技术的沥青生产管理系统

Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
KR101262260B1 (ko) 2012-11-13 2013-05-08 한국지질자원연구원 순차적 일차반응으로 결합된 다종 오염물 거동에 대한 준해석해 도출방법

Family Cites Families (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US5348982A (en) * 1990-04-04 1994-09-20 Exxon Research & Engineering Co. Slurry bubble column (C-2391)
CA2684221A1 (en) * 2007-04-12 2008-10-23 Regents Of The University Of Minnesota Systems and methods for analyzing a particulate

Patent Citations (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
KR101262260B1 (ko) 2012-11-13 2013-05-08 한국지질자원연구원 순차적 일차반응으로 결합된 다종 오염물 거동에 대한 준해석해 도출방법

Non-Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
EKKEHARD HOLZBECHER 외 1인, 'Numerical Models of Groundwater Flow and Transport', Encyclopedia of Hydrological Sciences, 2005. *
Shaul Sorek, 'Eulerian-Lagrangian formulation for flow in soils: Theory', Advances in Water Resources, 1985, pp.118-120 *

Cited By (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN111027243A (zh) * 2019-12-03 2020-04-17 广东工业大学 一种基于数值模拟的等温挤压能耗影响因素分析方法
CN111027243B (zh) * 2019-12-03 2023-04-25 广东工业大学 一种基于数值模拟的等温挤压能耗影响因素分析方法
CN116756985A (zh) * 2022-11-29 2023-09-15 华东师范大学 基于COMSOL Multiphysics的场地多介质环境有机污染物运移模拟方法
CN116756985B (zh) * 2022-11-29 2024-01-30 华东师范大学 基于COMSOL Multiphysics的场地多介质环境有机污染物运移模拟方法

Also Published As

Publication number Publication date
US20140372088A1 (en) 2014-12-18

Similar Documents

Publication Publication Date Title
KR101453774B1 (ko) 개선된 라그랑지안-율러리안 기법을 이용한 총유량 경계조건을 가지는 오염물 거동의 분석방법
Mostaghimi et al. Anisotropic mesh adaptivity and control volume finite element methods for numerical simulation of multiphase flow in porous media
Gutiérrez‐Jurado et al. What triggers streamflow for intermittent rivers and ephemeral streams in low‐gradient catchments in Mediterranean climates
Santoso et al. Optimization of energy recovery from geothermal reservoirs undergoing re-injection: conceptual application in Saudi Arabia
CN111175818B (zh) Co2气驱前缘位置的判断方法及其模型训练方法、装置
Rousset et al. Reduced-order modeling for thermal recovery processes
Tian et al. Gaussian process emulators for quantifying uncertainty in CO2 spreading predictions in heterogeneous media
Salehi et al. A comprehensive adaptive forecasting framework for optimum field development planning
Linga et al. An implicit local time-stepping method based on cell reordering for multiphase flow in porous media
Watanabe et al. Use of phase streamlines for covariance localization in ensemble Kalman filter for three-phase history matching
Chen et al. Improvement of generalized finite difference method for stochastic subsurface flow modeling
Coats et al. A consistent method for calculating transmissibilities in nine-point difference equations
Cao et al. An improved boundary element method for modeling fluid flow through fractured porous medium
Hergarten The influence of sediment transport on stationary and mobile knickpoints in river profiles
Ferreira et al. An integro‐differential model for non‐Fickian tracer transport in porous media: validation and numerical simulation
Hamzehloo et al. Modelling saline intrusion using dynamic mesh optimization with parallel processing
Di Cristo et al. A remark on finite volume methods for 2D shallow water equations over irregular bottom topography
Zhao et al. Stochastic modeling of the permeability of randomly generated porous media via the Lattice Boltzmann method and probabilistic collocation method
CN105319594B (zh) 一种基于最小二乘参数反演的傅里叶域地震数据重构方法
Grimstad et al. Scale splitting approach to reservoir characterization
Lashkariani et al. An improved node moving technique for adaptive analysis using collocated discrete least squares meshless method
Younis A sharp analytical bound on the spatiotemporal locality in general two-phase flow and transport phenomena
Farkas Linearization techniques of reservoir-simulation equations: fully implicit cases
Jiao et al. A new inverse method for contaminant source identification under unknown solute transport boundary conditions
Sheth et al. Asynchronous multirate newton-a class of nonlinear solver that adaptively localizes computation

Legal Events

Date Code Title Description
E701 Decision to grant or registration of patent right
GRNT Written decision to grant
FPAY Annual fee payment

Payment date: 20170918

Year of fee payment: 4

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20180927

Year of fee payment: 5

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20191001

Year of fee payment: 6