KR101172321B1 - Apparatus and method for determining price of asian option based on hestons stochastic volatility model - Google Patents
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Abstract
헤스톤 확률 변동성 모형에 기반한 아시안 옵션 가격 결정 장치는, 기대 가격을 산출하고자 하는 아시안 옵션의 종류를 포함하는 가격 결정 변수 및 상기 헤스톤 확률 변동성 모형에 기반하여 정의되는 가격 결정 함수에 상응하는 파라미터들을 수집하는 데이터 수집부; 상기 아시안 옵션의 종류에 따라 구분되는 가격 결정 함수 중 선택된 아시안 옵션 종류에 상응하는 가격 결정 함수에 상기 가격 결정 변수 및 파라미터들을 대입하여 상기 기대 가격을 결정하는 옵션 가격 결정부; 및 상기 결정된 기대 가격 및 상기 선택된 아시안 옵션 종류를 포함하는 결과를 출력하는 출력부를 포함한다.The Asian option pricing apparatus based on the Heston probability variability model collects parameters corresponding to a pricing variable including the type of Asian option for which the expected price is to be calculated and a pricing function defined based on the heston probability variability model. A data collection unit; An option price determination unit which determines the expected price by substituting the pricing variables and parameters into a pricing function corresponding to a selected Asian option type among pricing functions classified according to the type of Asian option; And an output unit configured to output a result including the determined expected price and the selected Asian option type.
Description
본 발명은 아시안 옵션 가격 결정 장치 및 방법에 관한 것으로서, 더욱 상세하게는 헤스톤 확률 변동성 모형을 기반으로 한 폐쇄 해(closed form solution)를 통해 이산 시간 기하 평균 아시안 옵션의 적정 가격을 산출하는 아시안 옵션 가격 결정 장치 및 방법에 관한 것이다.The present invention relates to an Asian option pricing apparatus and method, and more particularly, to an Asian option price for calculating an appropriate price of a discrete-time geometric mean Asian option through a closed form solution based on the Heston probability variability model. A determination device and method.
주식 및 채권 등의 전통적인 금융 상품을 기초자산으로 하여 새로운 현금을 생성하는 증권을 파생상품이라 한다. 이러한, 파생상품은 기초자산의 가격 변동으로 인한 위험을 회피할 수 있으며, 새로운 금융 상품을 만들어낼 수 있다는 장점이 있다.Securities that generate new cash based on traditional financial instruments, such as stocks and bonds, are called derivatives. Such derivatives have the advantage of being able to avoid risks caused by price changes in underlying assets and to create new financial instruments.
대표적인 파생상품으로는 선도, 선문, 옵션, 스왑 등이 있다. 상기 파생상품 중에서 옵션(option)이란 일정한 자산을 미래 약정된 기간이나 그 이전에 약정된 가격으로 사거나 팔 수 있는 권리를 일정한 수수료를 대가로 사거나 파는 계약을 말한다. 상기 일정한 자산을 기초자산(underlying asset), 상기 약정된 기간을 만기(maturity or expiration date), 상기 약정된 가격을 행사가격 혹은 집행가격(exercise price or strike price), 그리고 상기 일정한 수수료를 프리미엄(premium) 이라고 한다.Representative derivatives include forward, forward, options and swaps. Among the derivatives, an option is a contract that purchases or sells the right to buy or sell certain assets at a contracted price at or before the future contracted period for a certain fee. The fixed asset is an underlying asset, the contracted maturity or expiration date, the contracted price is an exercise price or strike price, and the constant fee is premium. ) Is called.
옵션의 종류는 분류 방식에 따라 크게 5가지 정도로 분류 될 수 있다. 첫째, 권리의 내용에 따라 특정자산을 살 수 있는 권리를 콜 옵션(call option), 특정 자산을 팔 수 있는 권리를 풋 옵션(put option)이라 한다. 둘째, 권리의 행사 시기에 따라 행사 시기를 옵션의 만기일로 제한하는 옵션을 유럽식 옵션(European option), 만기일 전이라도 권리를 행사할 수 있는 옵션을 미국식 옵션(American option)이라 한다. 셋째, 현물 옵션(physical option)과 선물 옵션(futures option)으로 나눌 수 있다. 넷째, 거래 장소에 따라 정규 거래소에 상장되어 거래되는 경우 장내 옵션 또는 거래소 옵션(exchange-traded option), 그 밖의 은행이나 증권사 등의 전문 딜러들이 발행하는 경우 장외 옵션(over-the-counter option)이라 한다. 다섯째, 내재 가치에 따라 권리를 행사 할 경우 매수자에게 이익이 발생하는 옵션을 내가격 옵션(In-The-Money; ITM), 대상자산 가격과 권리행사 가격이 같은 옵션을 등가격 옵션(At-The-Money; ATM), 그리고 권리를 행사할 경우 매수자에게 손실이 발생하는 옵션을 외가격 옵션(Out-The-Money; OTM)이라 한다.The types of options can be classified into five categories according to the classification method. First, the right to buy a specific asset is called a call option, and the right to sell a specific asset is called a put option. Second, according to the exercise of rights, the option to limit the exercise to the expiration date of the option is called the European option, and the option to exercise the right even before the expiration date is called the American option. Third, it can be divided into physical options and futures options. Fourth, when it is listed and traded on a regular exchange according to the place of exchange, it is called an over-the-counter option when it is issued by an on-site option or an exchange-traded option or by other specialized dealers such as banks or securities firms. do. Fifth, the option that generates profits to the buyer when exercising the rights according to the intrinsic value is an in-the-money (ITM) option, and an option with the same asset price and exercise price. -Money (ATM), and the option that results in loss to the buyer when exercising the right is called Out-The-Money (OTM).
이때, 옵션의 가치는 내재 가치(intrinsic value)와 시간 가치(time value)라는 두 요소로 형성된다. 내재 가치는 기초자산 가격과 행사가격의 차이로 결정된 다. 콜 옵션의 경우 현재 기초자산 가격이 행사가격보다 높으면 내가격(ITM) 상태이고, 풋 옵션의 경우 현재 기초자산 가격이 행사가격보다 낮으면 내가격 상태이다. 반대의 경우 외가격 상태이며, 현재 기초자산 가격과 행사 가격이 동등하면 등가격 상태이다. 시간 가치는 미래의 기초자산 가격 변화에 대한 기대 값을 의미하며, 현재 기초자산 가격과 옵션의 행사가격이 같은 경우에 상대적으로 가장 크다. 따라서, 옵션의 가격은 현재의 기초자산 가격, 옵션의 행사 가격, 대상 자산 가격의 변동성(volatility), 옵션 만기 시점까지의 기간, 및 이자율 등에 의해 결정된다.At this time, the value of the option is formed of two elements, an intrinsic value and a time value. Intrinsic value is determined by the difference between the underlying asset price and the exercise price. In the case of a call option, it is in-the-money when the underlying asset price is higher than the exercise price. In the case of a put option, it is in-the-money when the underlying asset price is lower than the exercise price. On the contrary, it is out-of-the-money, and is equal if the underlying asset price and the exercise price are equal. The time value represents the expected value of future changes in the underlying asset price and is relatively large when the current underlying asset price and the exercise price of the option are the same. Thus, the price of an option is determined by the current underlying asset price, the exercise price of the option, the volatility of the target asset price, the period until the option expires, and the interest rate.
대표적인 옵션 가격 결정 모형으로는 1973년 블랙과 숄즈(Black and Sholes)가 발표한 이른바 Black-Sholes 모형을 들 수 있다. Black-Sholes 모형은 가격 형성이 연속적으로 이루어지는 연속 모형으로서 이론 가격의 산출을 가능하게 한다. 이와 같은, Black-Sholes 모형은 객관적인 투입변수를 사용함으로써 실제 시장에서 이용될 수 있는 매우 유용한 결과를 제시하기 때문에 옵션 가격을 산출하는데 일반적으로 사용되고 있다.A typical option pricing model is the so-called Black-Sholes model, published by Black and Sholes in 1973. The Black-Sholes model is a continuous model in which price formation is continuous, which enables the calculation of theoretical prices. As such, the Black-Sholes model is commonly used to calculate option prices because it provides very useful results that can be used in real markets by using objective inputs.
이때, Black-Sholes 모형에 입력되는 기초자산의 변동성은 어느 한 시점에 단 1개가 입력되는 것이 바람직하다. 그런데, 변동성 스마일 이론에 따르면 실제 시장에서는 옵션의 내재 변동성에 따라 어느 한 시점에 기초자산의 변동성이 행사가격 별로 상이하게 나타나게 되며, 옵션의 가격을 산출하는데 있어서 기초자산의 변동성이 행사가격 별로 따로 입력되어야 한다. 이에 따라, Black-Sholes 모형은 변동성 스마일(volatility smile) 등에 따른 가격산출에 약점이 있다.In this case, it is preferable that only one volatility of the underlying asset input to the Black-Sholes model be input at any one time. However, according to the volatility smile theory, the volatility of the underlying asset appears at different times depending on the volatility of the option, depending on the option's intrinsic volatility, and the volatility of the underlying asset is calculated separately by the exercise price. Should be. As a result, the Black-Sholes model has a weakness in price calculation due to volatility smiles.
이러한 Black-Sholes 모형의 약점을 극복하고자 헤스톤(Heston) 모형이 개발되었다. 헤스톤 모형에 따르면 변동성이 상수가 아니라 확률적인 과정(stochastic process)을 갖는다. 또한, 변동성과 주가의 공분산이 음수이며, 이는 변동성의 방향과 주가의 방향이 반대라는 것을 의미한다. 이 두 가지 점에서 헤스톤 모형은 좀 더 현실을 잘 반영한 옵션 가격 결정 모형이다.To overcome the weaknesses of the Black-Sholes model, the Heston model was developed. According to the Heston model, variability is not a constant but a stochastic process. In addition, volatility and covariance of stock prices are negative, which means that the direction of volatility and the direction of stock prices are reversed. In both cases, the Heston model is a more realistic option pricing model.
한편, 장외 옵션 중 고객의 다양한 욕구를 만족시키기 위하여 금융 기관들에 의해 변형된 옵션을 이색 옵션(Exotic Option)이라 하며, 그 중 옵션의 이득이 기초자산의 만기 가격 대신 옵션 기간 동안의 평균 가격에 의해서 결정되는 옵션을 아시안 옵션(Asian Option)이라 한다. 이와 같은 아시안 옵션에서는 평균가격을 행사가격으로 하여 만기 시점의 기초자산 가격과 행사가격의 차액으로 옵션의 이득을 결정한다.On the other hand, the options modified by financial institutions to meet the various needs of customers among the over-the-counter options are called exotic options, in which the benefits of the options are based on the average price over the option period instead of the maturity price of the underlying asset. The option determined by this is called an Asian Option. In such Asian options, the average price is the exercise price, and the gain of the option is determined by the difference between the underlying asset price and the exercise price at maturity.
현재까지 헤스톤 모형의 경우 바닐라 유럽식 옵션(Vanilla European option)의 적정한 가격 결정 공식이 개발되었으나, 이산시간 기하평균 아시안 옵션에 대한 가격 결정 공식은 지금까지 알려져 있지 않다.To date, a reasonable pricing formula for the Vanilla European option has been developed for the Heston model, but the pricing formula for discrete-time geometric mean Asian options is not known.
또한, 종래에는 이산시간 기하평균 아시안 옵션의 가격 결정과 관련하여서는 몬테카를로 시뮬레이션(Monte Carlo Simulation) 등 수치적 근사값을 구하는 방법만이 존재하는 실정이다.In addition, in the related art, only a method of calculating a numerical approximation, such as Monte Carlo simulation, exists in relation to the pricing of the discrete time geometric mean Asian option.
이처럼, 이산시간 기하평균 아시안 옵션의 적정한 가격의 근사치를 구하기 위해서는 시뮬레이션에 의존할 수밖에 없기 때문에 시뮬레이션을 통한 가격 근사치를 추정하는데 많은 시간이 소비되고 그에 따른 컴퓨팅 파워가 소비된다는 문제가 있다.As such, in order to obtain an approximation of the appropriate price of the discrete-time geometric mean Asian option, it is necessary to rely on the simulation, which causes a lot of time to estimate the approximation of the price through the simulation, and thus the computing power.
본 발명의 실시예는 적은 연산 시간 및 컴퓨팅 파워로 시장 가격에 근접한 아시안 옵션 가격을 결정하는 헤스톤 확률 변동성 모형에 기반한 아시안 옵션 가격 결정 장치 및 방법을 제공한다.Embodiments of the present invention provide an Asian option pricing apparatus and method based on the Heston probability volatility model that determines Asian option prices close to market prices with low computation time and computing power.
그리고, 본 발명의 실시예는 아시안 옵션의 종류 별로 정의된 가격 결정 함수를 제공하는 헤스톤 확률 변동성 모형에 기반한 아시안 옵션 가격 결정 장치 및 방법을 제공한다.An embodiment of the present invention provides an Asian option pricing apparatus and method based on a Heston probability variability model that provides a pricing function defined for each type of Asian option.
상술한 기술적 과제를 달성하기 위한 기술적 수단으로서, 본 발명의 제 1 측면에 따른 헤스톤 확률 변동성 모형에 기반한 아시안 옵션 가격 결정 장치는, 기대 가격을 산출하고자 하는 아시안 옵션의 종류를 포함하는 가격 결정 변수 및 상기 헤스톤 확률 변동성 모형에 기반하여 정의되는 가격 결정 함수에 상응하는 파라미터들을 수집하는 데이터 수집부; 상기 아시안 옵션의 종류에 따라 구분되는 가격 결정 함수 중 선택된 아시안 옵션 종류에 상응하는 가격 결정 함수에 상기 가격 결정 변수 및 파라미터들을 대입하여 상기 기대 가격을 결정하는 옵션 가격 결정부; 및 상기 결정된 기대 가격 및 상기 선택된 아시안 옵션 종류를 포함하는 결과를 출 력하는 출력부를 포함한다.As a technical means for achieving the above-described technical problem, the Asian option pricing apparatus based on the Heston probability variability model according to the first aspect of the present invention includes a pricing variable including a type of Asian option to calculate the expected price; A data collector configured to collect parameters corresponding to a pricing function defined based on the heston probability variability model; An option price determination unit which determines the expected price by substituting the pricing variables and parameters into a pricing function corresponding to a selected Asian option type among pricing functions classified according to the type of Asian option; And an output unit for outputting a result including the determined expected price and the selected Asian option type.
그리고, 본 발명의 제 2 측면에 따른 헤스톤 확률 변동성 모형에 기반한 아시안 옵션 가격 결정 방법은, 사용자에 의하여 선택된 아시안 옵션의 종류를 포함하는 가격 결정 변수를 수신하는 단계; 상기 아시안 옵션의 기초자산의 가격을 상기 헤스톤 확률 변동성 모형에 기초하여 정의된 가격 결정 함수들 중 상기 선택된 아시안 옵션의 종류에 해당하는 가격 결정 함수를 선택하는 단계; 상기 선택된 가격 결정 함수에 상응하는 상기 기초자산의 가격의 변동성 변수, 상기 변동성 변수의 장기 평균 상수, 평균 회귀율 상수, 변동성 변화 상수 및 상기 기초자산 가격과 상기 변동성 변수의 상관 계수와 같은 파라미터와, 상기 선택된 아시안 옵션의 만기 시점, 기초자산의 가격, 행사가격, 관측시점 및 이자율과 같은 가격 결정 변수를 적용하여 상기 선택된 아시안 옵션에 대한 기대 가격을 산출하는 단계; 및 상기 산출된 기대 가격을 상기 사용자에게 제공하는 단계를 포함한다.The Asian option pricing method based on the Heston probability variability model according to the second aspect of the present invention includes: receiving a pricing variable including a type of Asian option selected by a user; Selecting a pricing function corresponding to the type of the selected Asian option among pricing functions defined based on the heston probability volatility model based on the price of the underlying option of the Asian option; Parameters such as a volatility variable of the price of the underlying asset corresponding to the selected pricing function, a long-term average constant of the volatility variable, an average regression rate constant, a volatility change constant and a correlation coefficient of the underlying asset price and the volatility variable; Calculating an expected price for the selected Asian option by applying pricing variables such as an expiration time of the selected Asian option, a price of an underlying asset, an exercise price, an observation point, and an interest rate; And providing the calculated expected price to the user.
전술한 본 발명의 과제 해결 수단에 의하면, 헤스톤 확률 변동성 모형에 기반을 둔 아시안 옵션 가격 결정 장치 및 방법은 이산시간 기하평균 아시안 옵션 가격을 결정하는데 필요한 시간 및 컴퓨팅 파워를 감소시키고, 적정한 아시안 옵션 가격을 제공한다는 장점이 있다.According to the above-described problem solving means of the present invention, the Asian option pricing apparatus and method based on the Heston probability variability model reduces the time and computing power required to determine the discrete time geometric mean Asian option price, the appropriate Asian option price It has the advantage of providing
또한, 이와 같은 구성을 옵션 거래를 중개하는 각종 전산 시스템에 적용함으로써, 시장 참여자의 신속한 의사 결정에 도움을 줄 수 있다.In addition, by applying such a configuration to various computer systems for mediating option trading, it is possible to help the market participants to make quick decisions.
아래에서는 첨부한 도면을 참조하여 본 발명이 속하는 기술 분야에서 통상의 지식을 가진 자가 용이하게 실시할 수 있도록 본 발명의 실시예를 상세히 설명한다. 그러나 본 발명은 여러 가지 상이한 형태로 구현될 수 있으며 여기에서 설명하는 실시예에 한정되지 않는다. 그리고 도면에서 본 발명을 명확하게 설명하기 위해서 설명과 관계없는 부분은 생략하였으며, 명세서 전체를 통하여 유사한 부분에 대해서는 유사한 도면 부호를 붙였다.DETAILED DESCRIPTION Hereinafter, exemplary embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the accompanying drawings so that those skilled in the art may easily implement the present invention. The present invention may, however, be embodied in many different forms and should not be construed as limited to the embodiments set forth herein. In the drawings, parts irrelevant to the description are omitted in order to clearly describe the present invention, and like reference numerals designate like parts throughout the specification.
도 1은 본 발명의 실시예에 따른 아시안 옵션 가격 결정 장치의 구성도이다.1 is a block diagram of an Asian option pricing apparatus according to an embodiment of the present invention.
도 1에서와 같이, 본 발명의 실시예에 따른 아시안 옵션 가격 결정 장치(100)는 데이터 수집부(110), 파라미터 추정부(120), 옵션 가격 결정부(130) 및 출력부(140) 등을 포함한다.As shown in FIG. 1, the Asian
이때, 데이터 수집부(110)는 옵션 거래를 하고자 하는 사용자 또는 옵션 거래를 중개하는 증권 거래소 등으로부터 입력되는 아시안 옵션의 가격 결정을 위한 가격 결정 변수와 헤스톤 확률 변동성 모형(Heston’s stochastic volatility model)에 기반하여 생성되는 가격 결정 함수들에 필요한 파라미터들을 수집한다. In this case, the
이때, 상기 가격 결정 변수는 사용자 또는 증권 거래소 시스템 등으로부터 기대 가격이 요청된 아시안 옵션의 종류 정보, 관측시점 t에서의 기초자산 가격(St), 이자율(r), 행사가격(K) 및 만기시점(T) 등에 대한 변수 등을 포함한다.In this case, the pricing variables include information on the type of Asian option for which the expected price is requested from the user or the stock exchange system, the basic asset price (St), the interest rate (r), the exercise price (K), and the expiration date at the observation time t. Variable for (T) and the like.
그리고, 상기 파라미터들은 상기 기초자산 가격의 변동성 변수(volatility process variance; vt), 상기 변동성 변수의 장기 평균 상수(constant long-run average; θ), 평균 회귀율 상수(constant rate of mean reversion; κ), 변동성 변화 상수(constant volatility of volatility; σ) 및 상기 기초자산 가격과 상기 변동성 변수의 상관 계수(correlation coefficient; ρ) 등이 포함된다.The parameters may include a volatility process variance (vt) of the underlying asset price, a constant long-run average (θ) of the variability variable, and a constant rate of mean reversion (κ). , A constant volatility of volatility (σ), and a correlation coefficient (ρ) of the underlying asset price and the volatility variable.
파라미터 추정부(120)는 데이터 수집부(110)를 통해 수집된 파라미터들을 획득하여 상기 파라미터들의 값을 추정한다. 이때, 상기 파라미터들의 값은 정확히 계산할 수 없으므로 통계치를 기반으로 추정된 값이 사용된다.The
그리고, 파라미터 추정부(120)는 추정된 파라미터들의 값을 데이터 수집부(110)에 제공한다.In addition, the
옵션 가격 결정부(130)는 아시안 옵션 가격을 결정하기 위해 정의된 가격 결정 함수들에 상기 가격 결정 변수 및 파라미터 값들을 대입하여 해당 아시안 옵션에 대한 가격을 연산한다.The
구체적으로, 옵션 가격 결정부(130)는 가격 결정 함수 관리모듈(131), 적률 생성 함수 적용모듈(132) 및 옵션 가격 연산모듈(133)을 포함한다.Specifically, the
이때, 가격 결정 함수 관리모듈(131)은 헤스톤 확률 변동성 모형에 기초하여 정의된 미분 방정식에 기초한 가격 결정 기초 함수를 관리하고, 적률 생성 함수 적용모듈(132)은 상기 가격 결정 기초 함수에 조건부 적률 생성 함수를 적분하여 정의되는 가격 결정 함수를 관리한다.At this time, the pricing
본 발명의 실시예에서는 가격 결정 함수 관리모듈(131) 및 적률 생성 함수 적용모듈(132)이 상기 가격 결정 기초 함수 또는 가격 결정 함수들을 유도하는 각 종 연산을 수행하고, 상기 연산의 결과들을 데이터베이스(미도시)에 저장하는 것을 나타내었다. 그런데, 이와 같은 가격 결정 함수 관리모듈(131) 및 적률 생성 함수 적용 모듈(132)은 상기 가격 결정 기초 함수 또는 가격 결정 함수들이 기연산된 결과 상태로서 각각의 모듈에 기저장 또는 입력될 수 있으며, 옵션 가격 연산모듈(133)의 요청에 따라 기저장 또는 입력된 가격 결정 함수를 제공하는 것도 가능하다.In an embodiment of the present invention, the pricing
한편, 본 발명의 실시예에 따른 가격 결정 함수 관리모듈(131) 및 적률 생성함수 적용모듈(132)을 통해 아시안 옵션의 종류 별로 해당 가격 결정 함수를 정의하는 과정을 설명하기에 앞서, 이해의 편의를 위해 본 발명에 적용될 수 있는 아시안 옵션 가격 결정 함수를 유도하는 과정을 설명하도록 한다.On the other hand, prior to explaining the process of defining the corresponding pricing function for each type of Asian option through the pricing
이하에서, 언급되는 변수들을 간단히 설명하면, {St}t≥0는 관측시점 t에서의 기초자산 가격, r은 이자율, vt는 관측시점 t에서의 변동성 변수, Wt는 기초자산의 가격과 관계한 브라운 운동(Brownian motion), Zt는 변동성 변수와 관계한 브라운 운동을 나타낸다.In the following, the variables mentioned are briefly described, where {St} t≥0 is the underlying asset price at observation point t, r is the interest rate, vt is the volatility variable at observation point t, and Wt is related to the price of the underlying asset. Brownian motion, Zt, represents the Brownian motion relative to the variability variable.
그리고, θ는 변동성 변수 vt의 장기 평균 상수(constant long-run average)이고, σ는 변동성 변화 상수(constant volatility of volatility)를 나타낸다. κ는 평균 회귀율(rate of mean reversion)이고, ρ 는 상기 기초자산 가격과 상기 변동성 변수의 상관 계수(correlation coefficient)를 나타낸다.Θ is a constant long-run average of the variability variable vt, and σ is a constant volatility of volatility. κ is the rate of mean reversion, ρ represents the correlation coefficient of the underlying asset price and the volatility variable.
헤스톤 확률 변동성 모형은 만기 시점의 기초자산의 가격 St에 대해 하기 수학식 1과 같은 확률 미분 방정식을 가정한 모델이다.The Heston probability volatility model is a model that assumes a probability differential equation as shown in
[수학식 1][Equation 1]
이때, 수학식 1에서 상기 두 개의 브라운 운동 Wt 및 Zt가 연관(correlation)을 갖는다고 가정한다. 즉, dWtdZt=ρdt를 가정한다.In this case, it is assumed in
한편, 이자율을 대상으로 하는 옵션가격을 산출할 경우 실제 상태(real world)가 아닌 위험 중립적(risk-neutral) 상태를 가정해야 한다. 따라서, 위험의 시장 가격을 설정하여 새로운 확률측도(probability measure)를 정의할 필요가 있다. 일반적으로, 실제 상태의 확률측도를 위험 중립적 확률측도 Q로 변환함으로써 확률분포의 다른 성질들은 변화시키지 않고 평균만 이동시킬 수 있는데, 여기서 확률측도 Q를 실제 상태의 확률측도의 동등 마팅게일 측도(equivalent martingale measure)라고 한다. 이러한 확률측도 변환은 변동성의 구조를 변화시키지 않으면서 기초자산의 위험 프리미엄을 손쉽게 제거할 수 있기 때문에 파생상품의 가격결정에 유용하다.On the other hand, when calculating option prices for interest rates, risk-neutral conditions should be assumed, not the real world. Thus, there is a need to define a new probability measure by setting the market price of risk. In general, by converting a probability measure of a real state into a risk-neutral probability measure Q, it is possible to shift only the mean without changing other properties of the probability distribution, where the probability measure Q is equivalent to that of the real state probability measure. This is called a martingale measure. These probability measure transformations are useful for pricing derivatives because they can easily eliminate the risk premium of the underlying asset without changing the structure of volatility.
이러한, 위험 중립성 마팅게일 측도(risk-neutralized martingale measure) 하에서 기초자산 가격인 St은 하기 수학식 2와 같은 확률 방정식을 만족한다고 가정한다. Under this risk-neutralized martingale measure, it is assumed that the underlying asset price St satisfies a probability equation as shown in
[수학식 2][Equation 2]
이때, 본 발명의 실시예에 따른 가격 결정 함수 관리모듈(131)은 임의의 시간 집합 I가 ({t1, t2, t3,…,tn}, 0 ≤ t1 < t2 <…< tn≤ T) 일 때 하기 수학식 3과 같이 표현되는 기초자산 가격 St의 기하평균 함수를 정의한다.At this time, the pricing
[수학식 3]&Quot; (3) "
상기 수학식 3과 같이 기초자산 가격의 기하평균이 정의될 때, 고정형 행사 아시안 콜 옵션(fixed strike Asian call option)의 이득 함수는 이고, 고정형 행사 아시안 풋 옵션(fixed strike Asian put option)의 이득 함수는 이고, 부동형 행사 아시안 콜 옵션(floating strike Asian call option)의 이득 함수는 이며, 부동형 행사 아시안 콜 옵션(floating strike Asian put option)의 이득 함수는 이다.When the geometric mean of the underlying asset price is defined as in
그리고, 가격 결정 함수 관리모듈(131)은 상기 수학식 3 및 아시안 옵션의 종류 별 이득 함수들을 이용하여 아시안 옵션의 가격을 결정하기 위한 가격 결정 기초 함수들을 정의한다.In addition, the pricing
이때, 가격 결정 함수 관리모듈(131)은 하기 수학식 4와 같이 표현되는 고정형 행사 아시안 콜 옵션의 가격을 결정하기 위한 가격 결정 기초 함수가 저장되어 있다. At this time, the pricing
하기 수학식 4에 대해 만기시점 T에서 이득 함수 가 적용된다.Gain function at expiration time T for Equation 4 Is applied.
[수학식 4] &Quot; (4) "
또한, 가격 결정 함수 관리모듈(131)은 하기 수학식 5와 같이 표현되는 부동형 행사 아시안 콜 옵션의 가격을 결정하기 위한 가격 결정 기초 함수를 정의한다. In addition, the pricing
하기 수학식 5에 대해 만기시점 T에서 이득 함수 가 적용된다.Gain function at expiration time T for Equation 5 Is applied.
[수학식 5][Equation 5]
적률 생성 함수 적용모듈(132)은 상기 수학식 4 및 수학식 5 에서와 같이 정의된 가격 결정 기초 함수를 조건부 적률 생성 함수(conditional moment generating function)와 적분하여 이산시간 기하평균 아시안 옵션의 종류 별 가격 결정 함수를 정의한다.The moment generation
이때, 확률측도(probability measure) Q하에서 에 대한 조건부 적률 생성 함수 는 아래 수학식 6과 같이 정의된다.At this time, under probability measure Q Conditional moment generation function for Is defined as in Equation 6 below.
[수학식 6] &Quot; (6) "
이와 같은, 조건부 적률 생성 함수 의 정의역은 모든 에 대해서 일 때 수학식 7과 같이 성공적으로 정의된다.Conditional moment generation functions, such as The domain of all about Is successfully defined as in Equation (7).
[수학식 7] [Equation 7]
한편, 조건부 적률 생성 함수 를 도출하기 위한 , 및 Tk(t)은 각각 아래 수학식 8과 같이 정의할 수 있다.Meanwhile, conditional moment generation function To derive , And Tk (t) may be defined as Equation 8 below.
[수학식 8][Equation 8]
수학식 8을 적용하면 는 아래 수학식 9과 같이 나타낼 수 있다.Applying Equation 8 May be expressed as in Equation 9 below.
[수학식 9][Equation 9]
Where,Where,
이때, 적률 생성 함수 적용모듈(132)은 이상에서 도출된 결합 생성 함수 를 가격 결정 함수 관리모듈(131)로부터 생성된 가격 결정 기초 함수와 적분하여 하기 수학식 10 내지 13과 같은 가격 결정 함수를 정의한다.At this time, the moment generation
먼저, 고정형 행사 아시안 콜 옵션의 가격 결정 함수는 하기 수학식 10와 같다.First, the pricing function of the fixed event Asian call option is shown in
[수학식 10] &Quot; (10) "
그리고, 고정형 행사 아시안 풋 옵션의 가격 결정 함수는 하기 수학식 11과 같다.And, the pricing function of the fixed exercise Asian put option is shown in Equation 11 below.
[수학식 11]&Quot; (11) "
또한, 부동형 행사 아시안 콜 옵션의 가격 결정 함수는 하기 수학식 12과 같다.In addition, the pricing function of the floating event Asian call option is shown in Equation 12 below.
[수학식 12][Equation 12]
그리고, 부동형 행사 아시안 풋 옵션의 가격 결정 함수는 아래 수학식 13와 같다.In addition, the pricing function of the floating exercise Asian put option is shown in Equation 13 below.
[수학식 13]&Quot; (13) "
옵션 가격 연산모듈(133)은 가격 결정 함수 관리모듈(131) 및 적률 생성 함수 적용모듈(132)을 통해 정의된(또는 저장된) 아시안 옵션 종류 별 가격 결정 함수 중 사용자가 선택한 옵션의 종류에 상응하는 가격 결정 함수를 선택한다.The option
그리고, 옵션 가격 연산모듈(133)은 선택된 가격 결정 함수에 데이터 수집부(110)에서 수집된 가격 결정 변수 및 각 파라미터 값을 대입하여 가격 결정 함수의 폐쇄 해(closed form solution) 즉, 옵션 가격을 산출한다.In addition, the option
출력부(140)는 옵션 가격 결정부(130)로부터 결정된 옵션 가격 및 종류 등의 정보를 화면 및 프린터 등의 출력 장치에 디스플레이하거나 프린팅하여 사용자가 확인할 수 있도록 출력한다.The
도 2는 본 발명의 실시예에 따른 아시안 옵션 가격 결정 방법을 설명하기 위한 순서도이다.2 is a flowchart illustrating an Asian option pricing method according to an embodiment of the present invention.
그리고, 도 3은 본 발명의 실시예에 따른 아시안 옵션 가격 결정 방법과 종래의 아시안 옵션 가격 추정 방법을 비교한 도면이다.3 is a view comparing the Asian option pricing method and the conventional Asian option price estimation method according to an embodiment of the present invention.
먼저, 헤스톤 확률 변동성 모형에 기초하여 아시안 옵션 종류 별 가격 결정 함수를 정의한다(S210).First, a pricing function for each Asian option type is defined based on the Heston probability variability model (S210).
이때, 아시안 옵션 종류 별 가격 결정 함수는 고정형 행사 아시안 콜 옵션, 고정형 행사 아시안 풋 옵션, 부동형 행사 아시안 콜 옵션 및 부동형 행사 아시안 풋 옵션 등을 포함한다.In this case, the pricing function for each Asian option type includes a fixed exercise Asian call option, a fixed exercise Asian put option, a floating exercise Asian call option, and a floating exercise Asian put option.
구체적으로, 아시안 옵션 종류 별 가격 결정 함수는 상기 수학식 10 내지 13과 같이 정의되며, 기초자산의 가격을 위험 중립 측도하에서 헤스톤 확률 변동성 모형에 기초하여 이산시간 기하평균시킨 가격 결정 기초 함수를 조건부 적률 생성 함수와 적분한 결과이다.Specifically, the pricing function for each Asian option type is defined as in
그런 후, 아시안 옵션의 종류 중 어느 하나에 대한 기대 가격 요청을 입력 받아, 상기 정의된 가격 결정 함수 중 해당 종류에 상응하는 가격 결정 함수를 선택한다(S220).Then, the expected price request for any one of the types of Asian options is input, and a pricing function corresponding to the corresponding type is selected from the above-described pricing functions (S220).
이때, 기대 가격 요청은 기대 가격을 얻고자 하는 아시안 옵션의 종류, 기초자산 가격, 이자율, 행사가격 및 만기 시점 등의 가격 결정 변수에 대한 데이터를 포함한다.In this case, the expected price request includes data on pricing variables such as the type of Asian option, the underlying asset price, the interest rate, the exercise price, and the expiration date.
또한, 상기 기대 가격 요청은 증권 거래소 등의 금융 시스템(미도시)으로부터 입력될 수 있으며, 옵션에 대한 정보를 얻고자 하는 사용자가 사용자 인터페이스를 통해 직접 입력할 수도 있다.In addition, the expected price request may be input from a financial system (not shown) such as a stock exchange, or may be input directly by a user who wants to obtain information about an option through a user interface.
다음으로, 상기 선택된 가격 결정 함수에 대입할 파라미터들을 확인한다(S230).Next, the parameters to be substituted into the selected pricing function are checked (S230).
이때, 상기 파라미터들은 헤스턴 확률 변동성 모형에 기초한 미분 방정식에 대한 파라미터들로서, 금융 기관 및 증권 거래 시스템 등에 기저장되어 있는 통계치에 기초하여 추정될 수 있다.In this case, the parameters are parameters for differential equations based on the Heston probability variability model, and may be estimated based on statistics previously stored in financial institutions, securities trading systems, and the like.
구체적으로, 상기 파라미터들은 기초자산 가격의 변동성 변수(volatility process variance; vt), 상기 변동성 변수의 장기 평균 상수(constant long-run average; θ), 평균 회귀율 상수(constant rate of mean reversion; κ), 변동성 변화 상수(constant volatility of volatility; σ) 및 상기 기초자산 가격과 상기 변동성 변수의 상관 계수(correlation coefficient; ρ) 등이 포함된다.Specifically, the parameters include a volatility process variance (vt) of the underlying asset price, a constant long-run average (θ) of the variability variable, and a constant rate of mean reversion (κ). , A constant volatility of volatility (σ), and a correlation coefficient (ρ) of the underlying asset price and the volatility variable.
그런 후, 선택된 가격 결정 함수에 단계 S220 및 S230에서 수집된 데이터 및 추정된 파라미터들을 대입하여 해당 아시안 옵션에 대한 기대 가격을 연산한다(S240).Thereafter, the data collected in steps S220 and S230 and the estimated parameters are substituted into the selected pricing function to calculate an expected price for the corresponding Asian option (S240).
다음으로, 상기 연산된 아시안 옵션의 가격 및 옵션의 종류 정보 등을 사용자가 판독 가능하도록 화면 또는 프린팅 출력한다(S250).Next, a screen or printing is output such that the calculated Asian option price and option type information are readable by the user (S250).
이처럼, 헤스톤 확률 변동성 모형을 이용하여 아시안 옵션 가격을 결정하는 함수를 생성하고, 상기 가격 결정 함수를 이용하여 가격을 결정함으로써 종래의 가격 추정 방식에 비해 필요한 연산 시간 및 컴퓨팅 파워의 소모가 줄어든다.As such, by using the Heston probability variability model to generate a function for determining the Asian option price, and using the pricing function to determine the price, the required computation time and computing power consumption are reduced compared to the conventional price estimation method.
구체적으로, 도 3에서는 동일 조건 하에서 종래의 시뮬레이션을 통한 가격 추정 방식에 따른 아시안 옵션에 대한 추정 가격을 산출한 결과와 본 발명에 따라 정의된 가격 결정 함수를 이용하여 결정된 아시안 옵션의 가격을 비교하는 리스트를 나타내었다.In detail, FIG. 3 compares a result of calculating an estimated price for an Asian option according to a price estimation method through a conventional simulation under the same condition and a price of an Asian option determined using a pricing function defined according to the present invention. A list is shown.
도 3을 통해 고정형 행사 아시안 콜 옵션에 대해 종래의 가격 추정 방식에 따라 추정된 가격 및 추정 시간과 본 발명에 따른 가격 결정 함수를 이용하여 산출한 가격 및 산출 시간을 비교할 수 있다. 이때, T는 만기 시점을 의미하고, CPU는 컴퓨팅 연산 시간을 의미한다.3, a price and an estimated time calculated using a pricing function according to the present invention may be compared with an estimated price and estimated time according to a conventional price estimating method for a fixed event Asian call option. In this case, T means an expiration time, and CPU means a computing operation time.
또한, 도 3에서는 동일 조건으로 적용되는 행사가격 K는 90, 기초자산 S는 100, 기초자산 가격의 변동성 변수 v는 0.09, 관측시점 t는 0, 이자율은 0.05, 평균 회귀율 상수 κ는 1.15, 변동성 변수의 장기 평균 상수 θ는 0.348, 기초자산 가격과 변동성 변수의 상관 계수 ρ는 -0.64, 변동성 변화 상수 σ는 0.39 값을 갖는 것을 예로서 나타내었다.In addition, in Fig. 3, the exercise price K is 90, the underlying asset S is 100, the volatility variable v of the underlying asset price is 0.09, the observation time t is 0, the interest rate is 0.05, the average regression rate constant κ is 1.15, As an example, the long-term average constant θ of the variability variable is 0.348, the correlation coefficient ρ of the underlying asset price and the variability variable is −0.64, and the variability change constant σ is 0.39.
예를 들어, 도 3에서는 만기 시점 T가 0.2이고, n이 100일 때 본 발명에 따라 정의된 가격 결정 함수를 통해 결정된 옵션의 가격은 10.6731 값을 가지며, 연산 처리 시간 즉, CPU는 2.516 값을 갖는 것을 확인할 수 있다. 이때, 동일 조건에서 종래의 시뮬레이션을 통한 가격 추정 방식을 통해 추정된 옵션의 가격은 10.6670 값으로 추정되며, 신뢰 구간(Confidence Interval)으로서 10.6207 및 10.7134의 값을 갖는 것을 확인할 수 있다. 또한, 종래의 가격 추정 방식에서 시뮬레이션 컴퓨팅 시간은 100.375가 소모되는 것을 확인할 수 있다.For example, in FIG. 3, when the expiration time T is 0.2 and n is 100, the price of the option determined through the pricing function defined in accordance with the present invention has a value of 10.6731, and the computation processing time, that is, the CPU has a value of 2.516. I can confirm that I have. At this time, under the same conditions, the price of the option estimated through the conventional price estimation method is estimated to be 10.6670, and it can be seen that the values have the values of 10.6207 and 10.7134 as confidence intervals. In addition, it can be seen that the simulation computing time is 100.375 consumed in the conventional price estimation method.
이상에서는, 동일 만기 시점 및 n 값을 기준으로 종래 가격 추정 방식 및 본 발명의 가격 결정 방법에 따른 가격 결정을 비교하였다. 이때, 도 3에서와 같이 나 머지 조건들에서도 본 발명에 따른 가격 결정 방법을 이용하여 옵션 가격을 산출할 때의 처리 속도가 종래의 가격 추정 방식에 비해 현격하게 빠른 것을 확인할 수 있다.In the above, the pricing according to the conventional price estimating method and the pricing method of the present invention was compared on the basis of the same expiration time and the n value. In this case, as shown in FIG. 3, the processing speed when calculating the option price using the pricing method according to the present invention may be remarkably faster than the conventional price estimation method.
또한, 옵션 가격을 결정하는데 있어서도 종래의 가격 추정 방식에서는 옵션 가격의 추정치 및 신뢰 구간 값들이 산출되지만 본 발명에 따른 가격 결정 방법에서는 가장 적합한 하나의 기대 가격이 산출되므로 효율적으로 옵션 가격을 결정할 수 있음을 확인할 수 있다.In addition, in determining the option price, in the conventional price estimating method, the estimate of the option price and the confidence interval values are calculated, but in the pricing method according to the present invention, the most suitable expected price is calculated so that the option price can be efficiently determined. can confirm.
이상에서, 본 발명의 장치 및 방법은 특정 실시예와 관련하여 설명되었지만, 그것들의 구성 요소 또는 동작의 일부 또는 전부는 범용 하드웨어 아키텍처를 갖는 컴퓨터 시스템을 사용하여 구현될 수 있다.While the apparatus and method of the present invention have been described in connection with specific embodiments, some or all of their components or operations may be implemented using a computer system having a general hardware architecture.
본 발명에 따른 헤스톤 확률 변동성 모형에 기반한 아시안 옵션 가격 결정 장치가 수행하는 옵션 가격 결정 방법은 또한 데이터 처리 및 연산을 수행할 수 있는 컴퓨터상에서 구현될 수 있다. 즉, 상기 컴퓨터가 판독할 수 있는 기록매체에 상기 컴퓨터가 읽어드릴 수 있는 프로그램 코드로서 구현하는 것이 가능하다. 상기 컴퓨터가 판독할 수 있는 기록매체에는 컴퓨터 시스템에 의하여 읽혀질 수 있는 데이터가 저장되는 모든 종류의 기록장치를 포함한다. 상기 컴퓨터가 판독할 수 있는 기록매체의 예로는 ROM, RAM, CD-ROM, 자기 테이프, 플로피디스크, 광데이터 저장장치 등이 있으며, 또한 캐리어 웨이브(예를 들어 인터넷을 통한 전송)의 형태로 구현되는 것도 포함한다. 또한 상기 컴퓨터가 읽을 수 있는 기록매체에는 네트워크로 연결된 컴퓨터 시스템에 분산되어 분산방식으로 컴퓨터가 읽어드릴 수 있는 코 드가 저장되고 실행될 수 있다.The option pricing method performed by the Asian option pricing apparatus based on the Heston probability variability model according to the present invention may also be implemented on a computer capable of performing data processing and operations. That is, the computer-readable recording medium may be embodied as program code that can be read by the computer. The computer-readable recording medium includes all kinds of recording devices for storing data that can be read by a computer system. Examples of the computer-readable recording medium include ROM, RAM, CD-ROM, magnetic tape, floppy disk, optical data storage device, and the like, and are implemented in the form of a carrier wave (for example, transmission through the Internet). It includes being. In addition, the computer-readable recording medium may be stored in a computer-readable code distributed in a networked computer system and executed in a distributed manner.
또한, 본 발명에 따른 헤스톤 확률 변동성 모형에 기반한 아시안 옵션 가격 결정 장치가 수행하는 옵션 가격 결정 방법은 네트워크 인터페이스, 입출력 인터페이스, 및 저장 장치 등을 포함하는 일반적 컴퓨터 시스템에서 상기 컴퓨터를 제어하는 마이크로프로세서를 통해 수행되도록 할 수 있다. 예컨대, 본 발명에 따른 헤스톤 확률 변동성 모형에 기반한 아시안 옵션 결정 장치가 상기 마이크로프로세서에 시스템 온 칩(system-on-chip) 형태로 구현될 수 있다.In addition, the option pricing method performed by the Asian option pricing apparatus based on the Heston probability variability model according to the present invention includes a microprocessor for controlling the computer in a general computer system including a network interface, an input / output interface, and a storage device. Can be done through For example, an Asian option determining apparatus based on the Heston probability variability model according to the present invention may be implemented in a system-on-chip form in the microprocessor.
전술한 본 발명의 설명은 예시를 위한 것이며, 본 발명이 속하는 기술분야의 통상의 지식을 가진 자는 본 발명의 기술적 사상이나 필수적인 특징을 변경하지 않고서 다른 구체적인 형태로 쉽게 변형이 가능하다는 것을 이해할 수 있을 것이다. 그러므로 이상에서 기술한 실시예들은 모든 면에서 예시적인 것이며 한정적이 아닌 것으로 이해해야만 한다. 예를 들어, 단일형으로 설명되어 있는 각 구성 요소는 분산되어 실시될 수도 있으며, 마찬가지로 분산된 것으로 설명되어 있는 구성 요소들도 결합된 형태로 실시될 수 있다.The foregoing description of the present invention is intended for illustration, and it will be understood by those skilled in the art that the present invention may be easily modified in other specific forms without changing the technical spirit or essential features of the present invention. will be. It is therefore to be understood that the above-described embodiments are illustrative in all aspects and not restrictive. For example, each component described as a single entity may be distributed and implemented, and components described as being distributed may also be implemented in a combined form.
본 발명의 범위는 상기 상세한 설명보다는 후술하는 특허청구범위에 의하여 나타내어지며, 특허청구범위의 의미 및 범위 그리고 그 균등 개념으로부터 도출되는 모든 변경 또는 변형된 형태가 본 발명의 범위에 포함되는 것으로 해석되어야 한다.The scope of the present invention is shown by the following claims rather than the above description, and all changes or modifications derived from the meaning and scope of the claims and their equivalents should be construed as being included in the scope of the present invention. do.
도 1은 본 발명의 실시예에 따른 아시안 옵션 가격 결정 장치의 구성도이다.1 is a block diagram of an Asian option pricing apparatus according to an embodiment of the present invention.
도 2는 본 발명의 실시예에 따른 아시안 옵션 가격 결정 방법을 설명하기 위한 순서도이다.2 is a flowchart illustrating an Asian option pricing method according to an embodiment of the present invention.
도 3은 본 발명의 실시예에 따른 아시안 옵션 가격 결정 방법과 종래의 아시안 옵션 가격 추정 방법을 비교한 도면이다.3 is a view comparing Asian option pricing method and conventional Asian option price estimation method according to an embodiment of the present invention.
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