KR101030732B1 - Method for fluid flow simulation - Google Patents
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Abstract
유체 유동 시뮬레이션 방법은, 계산 시간 간격을 하나 이상의 프레임으로 분할하고, 상기 각 프레임을 복수 개의 서브-프레임으로 분할하는 단계; 유체의 속도에 대한 유동 방정식의 선형항에 기초하여 상기 프레임에서의 유체의 유동을 산출하는 단계; 및 유체의 속도에 대한 유동 방정식의 비선형항에 기초하여 상기 프레임의 복수 개의 서브-프레임 각각에서의 유체의 유동을 순차적으로 산출하는 단계를 포함할 수 있다. 상기 유체 유동 시뮬레이션 방법에 의하여, 유체 유동 시뮬레이션의 계산량 및 계산 시간을 감소시킬 수 있으며 폭발과 같은 압축성 유동을 산출해낼 수 있다.A fluid flow simulation method comprises: dividing a calculation time interval into one or more frames and dividing each frame into a plurality of sub-frames; Calculating a flow of the fluid in the frame based on a linear term of the flow equation for the velocity of the fluid; And sequentially calculating the flow of the fluid in each of the plurality of sub-frames of the frame based on the nonlinear term of the flow equation for the velocity of the fluid. By the fluid flow simulation method, the calculation amount and the calculation time of the fluid flow simulation can be reduced and a compressive flow such as an explosion can be calculated.
유체, 유동, 폭발, 나비어-스톡스, 분할 단계 방법 Fluid, Flow, Explosion, Butterfly-Stocks, Split-Step Method
Description
본 발명의 실시예들은 유체 유동 시뮬레이션 방법에 관한 것이다. Embodiments of the present invention relate to a fluid flow simulation method.
컴퓨터 그래픽스(Computer Graphics; CG) 분야, 특히 시각 효과(Visual Effects; VFX) 분야에 있어서 유체 시뮬레이션은 상당히 많은 계산량을 요구하기 때문에, 컴퓨터의 성능이 향상된 최근에 있어서도 쉽게 해결되지 않는 문제이며 아직 많은 연구 및 개발을 요한다. In the field of computer graphics (CG), especially visual effects (VFX), fluid simulations require a lot of computation, which has not been easily solved in recent years with improved computer performance. And development.
CG 분야가 태동하기 이전부터 유체의 유동을 수치적으로 풀어내려는 연구는 전산 유체 역학(Computational Fluid Dynamics; CFD) 분야를 중심으로 논의되어 왔다. 일상에서 접할 수 있는 유체의 움직임은 대부분 비압축성 유체 유동(incompressible fluid flow)으로 볼 수 있으며, CG 및 CFD 분야 등에서는 비압축성 유체 유동을 해석하기 위해 나비어-스톡스(Navier-Stokes) 방정식을 지배 방정식으로 사용하고 있다. Before the birth of the CG field, research on numerically releasing fluid flow has been discussed in the field of Computational Fluid Dynamics (CFD). Most of the fluid movements encountered in everyday life can be regarded as incompressible fluid flow, and in the fields of CG and CFD, the Navier-Stokes equation is used as the governing equation to interpret incompressible fluid flow. I use it.
나비어-스톡스 방정식은 여러 가지 형태의 편미분 방정식이 하나의 식으로 결합되어 있으므로 해석적인 해(analytic solution)가 존재하지 않으며, 1970년대에 들어서야 비로소 컴퓨터를 이용한 수치적인 해를 구할 수 있게 되었다. CG 분야 에서는, "Stable Fluids"의 제목을 가지며 1999년 발행된 Jos Stam의 논문을 시작으로 유체 유동 시뮬레이션이 도입되기 시작하였다. Navier-Stokes equations do not have an analytical solution because many different partial differential equations are combined into one equation, and it is not until the 1970s that numerical solutions have been available using computers. In the CG field, fluid flow simulations have been introduced, starting with Jos Stam's paper, entitled “Stable Fluids”.
Jos Stam의 논문에 기재되어 있는 유체 유동 시뮬레이션 방법에서는, 각 시간 단계(time step) 마다 나비어-스톡스 방정식의 각 항을 분리하여 계산한 다음 각 항의 계산 결과를 합산하여 최종 결과를 산출하는 분할 단계 방법(fractional step method)에 의하여 유체의 유동을 산출한다. 또한, 상기 유체 시뮬레이션 방법에서는 나비어-스톡스 방정식의 각 항들 중 비선형성이 상대적으로 큰 이류항(advection term)을 반-라그랑지안(semi-Lagrangian) 방법에 의하여 계산할 수 있다. In the fluid flow simulation method described in Jos Stam's paper, a division step in which each term of the Navier-Stokes equation is calculated separately for each time step, and then the result of each term is summed to yield the final result. The flow of the fluid is calculated by the fractional step method. In the fluid simulation method, an advection term having a relatively large nonlinearity among the terms of the Navier-Stokes equation may be calculated by a semi-Lagrangian method.
시간 적분이 포함된 수치 방법들을 사용할 때에는 시간 간격에 대한 제약 조건이 존재하며, 이를 CFL(Courant-Friedrichs-Lewy) 조건이라고 지칭한다. CFL 조건은 유체 유동 시뮬레이션에 있어서 계산 시간 간격을 무한하게 늘릴 수 없다는 의미로 이해될 수 있다. 시간 간격을 증가시킨 결과 CFL 값이 1보다 크게 되면 유체 유동 시뮬레이션의 정확성 및 안정성이 감소하게 되기 때문이다. 그러나 전술한 반-라그랑지안 방법을 이용하면 1보다 다소 큰 CFL 값을 사용하더라도 정확도는 다소 감소하지만 안정적으로 유체의 유동을 산출할 수도 있다. When using numerical methods with time integration, there is a constraint on the time interval, which is called the CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) condition. CFL condition can be understood as meaning that the calculation time interval cannot be infinitely increased in the fluid flow simulation. Increasing the time interval results in a decrease in the accuracy and stability of the fluid flow simulation if the CFL value is greater than one. However, using the anti-lagragian method described above, even when using a CFL value slightly larger than 1, the accuracy may be reduced, but the fluid flow may be stably calculated.
한편, 폭발 등과 같이 유체의 격렬하고 빠른 압축성 유동을 계산하는 방법으로는, "Animating Suspended Particle Explosion"의 제목을 가지며 2003년 발행된 Bryan E. Feldman 외 2인 공저의 논문에 기재된 방법이 있다. 이 방법에 의하면 폭발 시뮬레이션을 비압축성 모델을 사용하여 근사함으로써, 종래의 비압축성 유체 유동 시뮬레이션의 방법을 폭발 시뮬레이션에 적용할 수 있다. 그러나 이러한 방법을 이용하는 경우에도 폭발 초기의 유체의 빠른 속도장을 계산하기 위해서는 많은 수의 시간 단계를 거쳐야 한다. On the other hand, as a method for calculating the violent and fast compressible flow of the fluid, such as the explosion, there is a method described in a paper by Bryan E. Feldman et al., Published in 2003, entitled "Animating Suspended Particle Explosion". According to this method, a conventional incompressible fluid flow simulation method can be applied to an explosion simulation by approximating an explosion simulation using an incompressible model. However, even with this method, a large number of time steps must be taken to calculate the fast velocity field of the fluid at the beginning of the explosion.
본 발명의 실시예들은, 분할 단계 방법(fractional step method)에 기초한 나비어-스톡스(Navier-Stokes) 방정식의 계산 방법을 개선함으로써 유체 유동 시뮬레이션의 계산량 및 계산 시간을 단축할 수 있으며, 폭발과 같은 압축성 유체 유동을 효율적으로 계산할 수 있는 유체 유동 시뮬레이션 방법을 제공할 수 있다. Embodiments of the present invention can improve the calculation method of the Navier-Stokes equation based on the fractional step method, thereby reducing the computational time and computation time of the fluid flow simulation, A fluid flow simulation method capable of efficiently calculating compressible fluid flow can be provided.
본 발명의 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법은, 계산 시간 간격을 하나 이상의 프레임으로 분할하고, 상기 각 프레임을 복수 개의 서브-프레임으로 분할하는 단계; 유체의 속도에 대한 유동 방정식의 선형항에 기초하여 상기 프레임에서의 유체의 유동을 산출하는 단계; 및 유체의 속도에 대한 유동 방정식의 비선형항에 기초하여 상기 프레임의 복수 개의 서브-프레임 각각에서의 유체의 유동을 순차적으로 산출하는 단계를 포함할 수 있다.A fluid flow simulation method according to an embodiment of the present invention comprises: dividing a calculation time interval into one or more frames, and dividing each frame into a plurality of sub-frames; Calculating a flow of the fluid in the frame based on a linear term of the flow equation for the velocity of the fluid; And sequentially calculating the flow of the fluid in each of the plurality of sub-frames of the frame based on the nonlinear term of the flow equation for the velocity of the fluid.
본 발명의 다른 실시예에 따른 컴퓨터로 판독 가능한 저장 매체에는 전술한 유체 유동 시뮬레이션 방법을 수행하는 컴퓨터 프로그램이 기록되어 있을 수 있다. A computer program for performing the above-described fluid flow simulation method may be recorded in a computer-readable storage medium according to another embodiment of the present invention.
본 발명의 실시예들에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법을 이용하면, 유체 유동 시뮬레이션의 각 시간 단계(time step)에서의 계산량 및 계산 시간을 감소시킬 수 있다. 또한 계산량 및 계산 시간이 감소됨에 따라 계산 시간 영역을 더 많은 개수의 시간 단계로 분할할 수 있으므로, 결과적으로 유체 유동 시뮬레이션의 정확도 를 향상시킬 수 있다. 나아가 상기 유체 유동 시뮬레이션 방법은 격렬하고 빠른 압축성 유동의 특징을 갖는 유체의 폭발 유동 시뮬레이션의 계산에 적용될 수 있다. Using the fluid flow simulation method according to embodiments of the present invention, it is possible to reduce the amount of calculation and the calculation time at each time step of the fluid flow simulation. In addition, as computational time and computational time are reduced, the computational time domain can be partitioned into a larger number of time steps, which in turn improves the accuracy of the fluid flow simulation. Furthermore, the fluid flow simulation method can be applied to the calculation of the explosive flow simulation of a fluid which is characterized by violent and fast compressible flow.
이하에서는, 도면을 참조하여 본 발명의 실시예를 구체적으로 설명한다. 그러나, 본 발명이 하기 실시예에 의하여 제한되는 것은 아니다. 본 발명의 실시예들을 설명하는 데에 있어, 본 발명의 요지를 명확하게 하기 위하여 공지 기술로부터 당업자에게 용이하게 이해될 수 있는 것에 대해서는 자세한 설명을 생략한다. Hereinafter, embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the drawings. However, the present invention is not limited by the following examples. In describing the embodiments of the present invention, a detailed description of what can be easily understood by those skilled in the art from the known art in order to clarify the gist of the present invention will be omitted.
도 1은 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법의 각 단계를 도시한 순서도이다. 1 is a flow chart showing each step of the fluid flow simulation method according to an embodiment.
도 1을 참조하면, 시뮬레이션의 대상이 되는 유체의 계산 영역을 격자 형태의 유한요소로 분할할 수 있다(S1). 도 2 a 및 2b는 유체의 계산 영역을 격자 형태의 유한요소로 분할한 형태를 도시한 개략도로서, 각각 2차원 및 3차원의 격자 형태를 도시한다. 도 2a 및 2b에 도시된 격자의 각 셀의 개수는 예시적인 것으로서, 다른 실시예에서는 도시된 것보다 적거나 또는 더 많은 개수의 셀로 이루어진 격자를 이용할 수도 있다.Referring to FIG. 1, a calculation region of a fluid to be simulated may be divided into a lattice-like finite element (S1). 2A and 2B are schematic diagrams showing the division of a calculation region of a fluid into a finite element in the form of a lattice, and show two-dimensional and three-dimensional lattice forms, respectively. The number of each cell of the grating shown in FIGS. 2A and 2B is exemplary, and in other embodiments, a grating composed of fewer or more cells than shown may be used.
일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법에서는 유체의 유동을 기술하는 지배 방정식으로서 유체의 속도에 대한 나비어-스톡스(Navier-Stokes) 방정식에 기초하여 계산을 수행할 수 있다. 이때 나비어-스톡스 방정식에서 유체의 속도 및 압력 등은 도 2a 및 2b에 도시된 각 격자의 중심(200)에 대하여 정의될 수 있다. 또는 다른 실시예에서 유체의 속도 및 압력 등은 격자의 각 노드(node)에 대하여 정 의될 수도 있다. In the fluid flow simulation method according to an exemplary embodiment, the calculation may be performed based on a Navier-Stokes equation for the velocity of the fluid as a governing equation describing the flow of the fluid. At this time, the velocity and pressure of the fluid in the Navier-Stokes equation may be defined with respect to the
유체 유동을 산출하는 계산 시간은 하나 이상의 프레임(frame)으로 분할될 수 있다(S2). 본 명세서에서 프레임이란, 유체 유동 시뮬레이션의 결과로서 생성되는 최종물인 영상에 1초 마다 포함되는 이미지의 개수에 대응된다. 예를 들어, 초당 24 프레임의 영상을 최종적으로 출력하고자 하는 경우, 각 프레임 사이의 시간 간격은 1/24초가 된다. 각 프레임 사이의 시간 간격은 유체 유동 시뮬레이션의 정확도, 안정성 및 최종 생성되는 영상의 품질 등에 기초하여 적절하게 결정될 수 있다. The calculation time for calculating the fluid flow may be divided into one or more frames (S2). In the present specification, the frame corresponds to the number of images included in the image that is the final product generated as a result of the fluid flow simulation every second. For example, in the case of finally outputting an image of 24 frames per second, the time interval between each frame is 1/24 seconds. The time interval between each frame may be appropriately determined based on the accuracy, stability and quality of the final generated image, etc. of the fluid flow simulation.
각 프레임은 복수 개의 서브-프레임(sub-frame)으로 분할될 수 있다(S3). 본 명세서에서 서브-프레임이란 CFL(Courant-Friedrichs-Lewy) 조건에 기초하여 결정되는 유체 유동 시뮬레이션의 한 시간 단계(time step)를 의미할 수 있다. CFL 조건에 대해서는 당업자에게 널리 알려져 있으므로, 본 명세서에서는 이하에서 CFL 조건에 대하여 간략하게 설명한다.Each frame may be divided into a plurality of sub-frames (S3). In the present specification, a sub-frame may mean a time step of a fluid flow simulation determined based on a CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) condition. Since the CFL conditions are well known to those skilled in the art, the following description will briefly describe the CFL conditions.
일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법은, 각 프레임에서 유체의 속도에 대한 나비어-스톡스 방정식을 연산함으로써 유체의 속도를 시간에 따라 갱신하는 것에 의하여 유체의 유동을 산출할 수 있다. 예를 들어, 위치 x 및 시간 t에서의 유체의 초기 속도를 u(x, t), 한 프레임의 시간 간격을 △t라 할 경우, u(x, t)를 초기값으로 사용하여 나비어-스톡스 방정식을 연산함으로써 첫 번째 프레임에서의 유체의 속도인 u(x, t+△t)를 산출할 수 있다. The fluid flow simulation method according to an embodiment may calculate the flow of the fluid by updating the velocity of the fluid over time by calculating a Navier-Stokes equation for the velocity of the fluid in each frame. For example, if the initial velocity of the fluid at position x and time t is u (x, t) and the time interval of one frame is Δt, then u (x, t) is used as the initial value. By computing the Stokes equation, we can calculate u (x, t + Δt), the velocity of the fluid in the first frame.
다음 프레임에서는 이전 프레임에서 산출된 유체의 속도를 초기값으로 하여 다시 나비어-스톡스 방정식을 연산함으로써 각 프레임 별로 시간에 따른 유체의 속도를 갱신해나갈 수 있다. 전술한 과정을 첫 번째 프레임부터 마지막 프레임까지 순차적으로 반복 수행함으로써 전체 계산 시간에 걸쳐 유체의 유동을 산출할 수 있다. In the next frame, it is possible to update the velocity of the fluid over time for each frame by calculating the Navier-Stocks equation again by using the velocity of the fluid calculated in the previous frame as an initial value. By sequentially repeating the above process from the first frame to the last frame, it is possible to calculate the flow of the fluid over the entire calculation time.
이때 대상 유체의 최대 속도를 max(u), 대상 유체를 분할한 격자 형태의 유한요소에서 각 격자가 차지하는 공간상의 크기를 △x라고 할 경우, 안정적인 수치 계산을 위해서는 한 프레임의 시간 간격 △t가 하기 수학식 1로 표현되는 CFL 조건을 만족하여야 한다.In this case, when the maximum velocity of the target fluid is max ( u ) and the spatial size occupied by each grid in the lattice-shaped finite element that divides the target fluid is Δx, the time interval Δt of one frame is calculated for stable numerical calculation. The CFL condition expressed by Equation 1 below must be satisfied.
상기 수학식 1의 우변은 CFL 값으로서, 안정적인 수치 적분의 결과를 얻기 위해서 CFL 값은 원칙적으로는 1 이하이어야 한다. 즉, 이는 한 프레임의 시간 간격 △t의 크기를 무한하게 증가시킬 수 없다는 것을 의미한다. 반-라그랑지안 방법에 의하여 나비어-스톡스 방정식을 계산하는 경우에는 CFL 값을 다소 증가시키더라도 어느 정도의 안정성을 가지고 유체의 유동을 산출할 수도 있으나, 이 경우에도 CFL 값을 무한히 증가시킬 수는 없다. 예컨대, 일 실시예에서 반-라그랑지안 방법을 이용하는 경우 CFL 값은 약 2 내지 약 3일 수도 있다. The right side of Equation 1 is a CFL value, and in order to obtain stable numerical integration, the CFL value should be 1 or less in principle. In other words, this means that the size of the time interval Δt of one frame cannot be increased indefinitely. In the case of calculating the Navier-Stokes equation by the anti-Lagrangian method, even if the CFL value is slightly increased, the fluid flow can be calculated with a certain degree of stability, but in this case, the CFL value cannot be infinitely increased. . For example, in one embodiment the CFL value may be from about 2 to about 3 when using the anti-lagrangian method.
따라서, CFL 조건에 의하여 결정되는 시간 간격이 한 프레임의 시간 간격 보다 작은 경우에는, 하나의 프레임을 CFL 조건을 만족하는 복수 개의 서브-프레임으로 분할할 수 있다. 결과적으로 각 서브-프레임을 하나의 시간 단계로 하여 각 서브-프레임에 대해 순차적으로 나비어-스톡스 방정식에 기초한 유체의 유동을 산출할 수 있다. Therefore, when the time interval determined by the CFL condition is smaller than the time interval of one frame, one frame may be divided into a plurality of sub-frames satisfying the CFL condition. As a result, it is possible to calculate the flow of the fluid based on the Navier-Stocks equation sequentially for each sub-frame, with each sub-frame as one time step.
이하에서는, 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법에서 나비어-스톡스 방정식에 기초하여 각 프레임 및 각 서브-프레임에서의 유체의 유동을 산출하는 구체적인 과정에 대하여 설명한다. Hereinafter, a detailed process of calculating the flow of the fluid in each frame and each sub-frame based on the Navier-Stocks equation in the fluid flow simulation method according to an embodiment will be described.
나비어-스톡스 방정식은 연속체의 유동을 기술하기 위한 유동 방정식으로서, 전산 유체 역학(Computational Fluid Dynamics; CFD) 분야의 당업자에게는 잘 알려져 있다. 대상 유체의 속도장(velocity field)을 u, 유체의 점성(viscosity)을 υ, 유체의 압력장(pressure field)을 p, 유체에 인가되는 외력장(external force field)을 f라고 할 경우, 유체의 속도에 대한 나비어-스톡스 방정식은 하기 수학식 2 및 수학식 3에 의하여 기술될 수 있다.Navier-Stokes equations are flow equations for describing the flow of a continuum and are well known to those skilled in the field of Computational Fluid Dynamics (CFD). If the velocity field of the target fluid is u , the viscosity of the fluid is υ, the pressure field of the fluid is p, and the external force field applied to the fluid is f , The Navier-Stokes equation for the velocity of can be described by the following equations (2) and (3).
상기 수학식 2는 질량 보존의 법칙을 기술하는 것이며, 상기 수학식 3은 운동량 보존의 법칙을 기술하는 것이다. Equation 2 describes the law of conservation of mass, and Equation 3 describes the law of conservation of momentum.
또한 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법은, 나비어-스톡스 방정식을 각 항별로 분리하여 해를 연산한 후, 각 항의 해를 합산하여 최종 해를 산출하는 분할 단계 방법(fractional step method)을 기초로 수행될 수 있다. 즉, 상기 수학식 3의 방정식은 우변에 기재된 복수 개의 항에 따라 다음의 수학식 4 내지 7로 분할하여 계산될 수 있다. In addition, the fluid flow simulation method according to an embodiment may be based on a fractional step method in which a Navarre-Stokes equation is calculated for each term to calculate a solution, and then the solutions of each term are added to calculate a final solution. It can be carried out as. That is, the equation of Equation 3 may be calculated by dividing into the following Equations 4 to 7 according to the plurality of terms described on the right side.
본 명세서에서 상기 수학식 4는 이류항(advection term)이라고 지칭하며, 이류항은 유체 유동에 있어서 관성에 의하여 유체의 속도를 유지하고자 하는 특성에 대응된다.In the present specification, Equation 4 is referred to as an advection term, which corresponds to a characteristic of maintaining the velocity of the fluid by inertia in the fluid flow.
본 명세서에서 상기 수학식 5는 확산항이라고 지칭하며, 확산항은 유체 자체의 분자 운동으로 인하여 유체가 시간이 지남에 따라 주변으로 확산되는 특성에 대응된다.In the present specification, Equation 5 is referred to as a diffusion term, and the diffusion term corresponds to a characteristic in which the fluid diffuses to the surroundings due to molecular motion of the fluid itself.
본 명세서에서 상기 수학식 6은 외력항이라고 지칭하며, 외력항은 중력 등과 같이 유체 외적 요인으로 인하여 유체 유동이 변화하는 특성에 대응된다. In the present specification, Equation 6 is referred to as an external force term, and the external force term corresponds to a characteristic in which fluid flow changes due to external factors such as gravity.
본 명세서에서 상기 수학식 7은 제약항이라고 지칭하며, 제약항은 유체 유동이 비압축성이 되도록 하는 제약 조건에 대응된다. 제약항은 다른 항들의 계산에 의한 수치적인 오차 등으로 인하여 비압축성 유동의 특성이 감소되는 것을 보정하기 위하여 사용될 수 있다. Equation 7 is referred to herein as a constraint term, which corresponds to a constraint that makes the fluid flow incompressible. The constraint term can be used to compensate for the reduction of the characteristics of incompressible flow due to numerical error due to the calculation of other terms.
상기 수학식 7은 유체의 압력 p와 유체 속도의 발산(divergence) 사이의 관계를 기술한다. 수학식 2에서 전술한 질량 보존의 법칙에 따르면 유체 속도의 발산 값은 0 이지만, 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법에서는 유체 속도의 발산값을 하기 수학식 8에 의하여 정의할 수 있으며 나비어-스톡스 방정식에 수학식 8을 대입한 결과로서 얻어지는 것이 상기 수학식 7이다. Equation 7 describes the relationship between the pressure p of the fluid and the divergence of the fluid velocity. According to the law of mass conservation described above in Equation 2, the divergence value of the fluid velocity is 0, but in the fluid flow simulation method according to an embodiment, the divergence value of the fluid velocity may be defined by Equation 8 below. Equation 7 is obtained as a result of substituting Equation 8 into the Stokes equation.
상기 수학식 7 및 수학식 8에서 φ는 0 이 아닌 임의의 값일 수 있다. 즉, 나비어-스톡스 방정식은 비압축성 유체의 유동을 기술하는 편미분 방정식이나, 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법에서는 유체의 속도의 발산값을 0 이 아닌 값으로 설정함으로써 압축성 유동을 비압축성 유동 모델을 이용하여 계산할 수 있다. 따라서, 폭발과 같은 유체의 압축성 유동을 나비어-스톡스 방정식에 의하여 계산하는 것이 가능하다.In Equations 7 and 8, φ may be any value other than 0. In other words, the Navier-Stokes equation is a partial differential equation describing the flow of incompressible fluid, but in the fluid flow simulation method according to an embodiment, the compressible flow is set to a non-compressible flow model by setting the divergence value of the fluid to a nonzero value. Can be calculated using Thus, it is possible to calculate the compressible flow of a fluid, such as an explosion, by the Navier-Stokes equation.
다음으로 계산 시간을 분할한 하나 이상의 프레임 중 첫 번째 프레임에서 나비어-스톡스 방정식의 선형항에 기초하여 유체의 유동을 산출할 수 있다(S4). 수학식 4 내지 수학식 7로 표현된 나비어-스톡스 방정식의 각 항들 중에서 확산항, 외력항 및 제약항은 상대적으로 선형적인 항들이며, 이류항은 상대적으로 비선형적인 항이다. Next, the flow of the fluid may be calculated based on the linear term of the Navier-Stocks equation in the first frame of the one or more frames obtained by dividing the calculation time (S4). Among the terms of the Navier-Stokes equation represented by Equations 4 to 7, the diffusion term, the external force term, and the constraint term are relatively linear terms, and the advection term is a relatively nonlinear term.
확산항 및 제약항의 방정식은 타원형(elliptic) 편미분 방정식으로서, 확산항 및 제약항의 계산에는 시간이 진행됨에 따라 변화하는 결과가 반영되지 않으므 로 상대적으로 선형적이다. 확산항은 수식상으로 보면 포물선형(parabolic) 편미분 방정식이지만, 임의의 프레임(또는, 서브-프레임)에 대한 수치해석시 제약항과 같은 타원형 편미분 방정식으로 간주되어 해석될 수 있다. 또한 일 실시예에서는, 확산항을 생략한 형태인 오일러 방정식을 비압축성 유동에 대한 지배 방정식으로 사용할 수도 있다. 또한 각 프레임 사이의 시간 간격 내에서 유체에 인가되는 외력(f)의 변화량이 무시될 수 있을 만큼 작을 경우, 외력항 역시 선형적인 항이 된다. The equations of the diffusion and constraint terms are elliptic partial differential equations, and the calculations of the diffusion and constraint terms are relatively linear because they do not reflect the change over time. The diffusion term is a parabolic partial differential equation mathematically, but can be interpreted as an elliptic partial differential equation such as a constraint term in the numerical analysis for any frame (or sub-frame). In addition, in one embodiment, the Euler equation in the form of a diffusion term may be used as the governing equation for incompressible flow. In addition, when the amount of change of the external force f applied to the fluid within the time interval between each frame is small enough to be ignored, the external force term also becomes a linear term.
상기 단계(S4)에서는 나비어-스톡스 방정식의 선형항인 확산항, 제약항 및 외력항을 계산함으로써 해당 프레임에서의 유체의 속도를 산출할 수 있다. 또한 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법은 분할 단계 방법에 기초하므로, 각 선형항에 기초하여 산출된 속도를 합산함으로써 해당 프레임에서의 유체의 속도를 구할 수 있다. In the step S4, the velocity of the fluid in the corresponding frame can be calculated by calculating the diffusion term, the constraint term and the external force term, which are linear terms of the Naïr-Stokes equation. In addition, since the fluid flow simulation method according to the exemplary embodiment is based on the dividing step method, the velocity of the fluid in the corresponding frame may be obtained by summing the velocities calculated based on the linear terms.
예를 들어, 유체의 초기 속도를 u 0 (x, t)라 하고, 각 프레임 사이의 시간 간격을 △t라 할 경우, 상기 단계(S4)에서는 u 0 (x, t)를 초기값으로 하여 나비어-스톡스 방정식의 외력항, 제약항 및 확산항에 기초하여 연산된 결과를 순차적으로 합산하여 첫 번째 프레임에서의 유체의 속도 u 1 (x, t+△t)를 산출할 수 있다. 나비어-스톡스 방정식의 구체적인 계산 방법에 대해서는 당업자들에게 잘 알려져 있으므로 자세한 설명을 생략한다. For example, when the initial velocity of the fluid is u 0 (x, t) and the time interval between each frame is Δt, in step S4, u 0 (x, t) is set as the initial value. The results calculated based on the external force, constraint and diffusion terms of the Navier-Stokes equation can be summed sequentially to yield the velocity u 1 (x, t + Δt) of the fluid in the first frame. The detailed calculation method of the Navier-Stokes equation is well known to those skilled in the art, and thus a detailed description thereof will be omitted.
일 실시예에서 나비어-스톡스 방정식의 선형항은 외력항, 제약항 및 확산항 의 순서로 계산될 수 있으나, 다른 실시예에서 선형항들의 계산 순서는 상이할 수도 있다.In one embodiment, the linear terms of the Navier-Stokes equation may be calculated in the order of the external force term, the constraint term, and the diffusion term. In other embodiments, the order of calculating the linear terms may be different.
다음으로, 첫 번째 프레임의 복수 개의 서브-프레임에서 나비어-스톡스 방정식 중 비선형항에 기초하여 유체의 유동을 산출할 수 있다(S5). 즉, 각 서브-프레임에 대하여 나비어-스톡스 방정식의 이류항을 계산하여 유체의 속도를 산출할 수 있다. 또한 복수 개의 서브-프레임에서의 유체 유동은 시간순으로 순차적으로 계산될 수 있다. Next, the flow of the fluid may be calculated based on the nonlinear term of the Navier-Stocks equation in the plurality of sub-frames of the first frame (S5). That is, the velocity of the fluid can be calculated by calculating the advection term of the Navier-Stokes equation for each sub-frame. Fluid flow in the plurality of sub-frames can also be calculated sequentially in chronological order.
예를 들어, 유체의 초기 속도를 u 0 (x, t)라 하고, 각 서브-프레임 사이의 시간 간격을 △τ 라 할 경우, u 0 (x, t)를 초기값으로 하여 나비어-스톡스 방정식의 이류항을 연산함으로써 첫 번째 서브-프레임에서의 유체의 속도 u 21 (x, t+△τ)를 산출할 수 있다. 다음 서브-프레임에서는 u 21 (x, t+△τ)를 초기값으로 하여 다시 이류향을 연산함으로써 두 번째 서브-프레임에서의 유체의 속도 u 22 (x, t+2△τ)를 산출할 수 있다. 이상의 과정을 첫 번째 프레임의 모든 서브-프레임에 대하여 순차적으로 반복함으로써, 첫 번째 프레임에서의 유체의 속도 u 2 (x, t+△t)를 산출할 수 있다. For example, if the initial velocity of the fluid is u 0 (x, t) and the time interval between each sub-frame is Δτ, then Navier-Stocks is set to u 0 (x, t) as the initial value. By computing the advection term of the equation, one can calculate the velocity u 21 (x, t + Δτ) of the fluid in the first sub-frame. In the next sub-frame, the velocity u 22 (x, t + 2Δτ) of the fluid in the second sub-frame can be calculated by calculating the advection direction again with u 21 (x, t + Δτ) as the initial value. have. By sequentially repeating the above process for all sub-frames of the first frame, the velocity u 2 (x, t + Δt) of the fluid in the first frame can be calculated.
일 실시예에서는, 나비어-스톡스 방정식의 이류항을 계산하기 위하여 반-라그랑지안 방법을 이용할 수도 있다. 나비어-스톡스 방정식의 이류향의 계산 방법 및 반-라그랑지안 방법에 의한 계산 방법에 대해서는 당업자에게 잘 알려져 있으므 로 자세한 설명을 생략한다. In one embodiment, the anti-Lagrangian method may be used to calculate the advection term of the Navier-Stokes equation. Since the method of calculating the advection of the Navier-Stokes equation and the method of anti-lagrangian method are well known to those skilled in the art, a detailed description thereof will be omitted.
일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법은 분할 단계 방법에 기초한다. 그러므로, 나비어-스톡스 방정식의 선형항들에 기초하여 산출된 첫 번째 프레임의 유체의 속도 u 1 (x, t+△t) 및 비선형항에 기초하여 산출된 첫 번째 프레임의 유체의 속도 u 2 (x, t+△t)를 합산함으로써, 첫 번째 프레임에서의 유체의 속도의 최종값을 산출할 수 있다(S6). The fluid flow simulation method according to one embodiment is based on the segmentation step method. Therefore, the velocity u 1 (x, t + Δt) of the fluid of the first frame calculated based on the linear terms of the Navier-Stokes equation and the velocity u 2 of the fluid of the first frame calculated based on the nonlinear term ( By summing x, t + Δt), the final value of the velocity of the fluid in the first frame can be calculated (S6).
이상에서는 계산 시간의 첫 번째 프레임에 대하여 유체 유동을 산출하는 과정을 예를 들어 설명하였다. 계산 시간이 하나 이상의 프레임으로 이루어지는 경우, 단계(S4 내지 S6)에서 전술한 계산 과정을 첫 번째 프레임으로부터 마지막 프레임까지 순차적으로 반복 수행함으로써 전체 계산 시간에 걸쳐 유체의 유동을 산출할 수 있으며, 이는 당업자에게 용이하게 이해될 것이다.In the above, the process of calculating the fluid flow for the first frame of the calculation time has been described as an example. When the calculation time is made up of one or more frames, the flow of the fluid can be calculated over the entire calculation time by sequentially repeating the above-described calculation process from the first frame to the last frame in steps S4 to S6, which is a person skilled in the art It will be easy to understand.
이상에서 설명한 실시예들에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법을 이용하면, 나비어-스톡스 방정식에서 선형항인 확산항, 외력항 및 제약항의 계산은 각 프레임에 대해 한 번만 수행하게 되며, 각 프레임의 서브-프레임들에 대해서는 비선형항인 이류항만을 계산할 수 있다. 따라서, 서브-프레임에서의 계산량 및 계산 시간이 감소될 수 있다. Using the fluid flow simulation method according to the embodiments described above, the calculation of the linear terms, the diffusion term, the external force term and the constraint term in the Navier-Stokes equation is performed only once for each frame and the sub- Only the advection terms that are nonlinear terms can be calculated for the frames. Thus, the amount of calculation and the calculation time in the sub-frame can be reduced.
또한, 계산량 및 계산 시간이 감소되는 만큼 계산 시간 영역을 더 많은 개수의 시간 단계로 분할할 수 있으므로, 유체 유동 시뮬레이션의 정확도를 향상시킬 수 있다. 나아가 상기 유체 유동 시뮬레이션 방법은 격렬하고 빠른 압축성 유동의 특징을 갖는 유체의 폭발 유동의 시뮬레이션에 적용될 수 있다.In addition, since the calculation time domain can be divided into a larger number of time steps as the calculation amount and calculation time are reduced, the accuracy of the fluid flow simulation can be improved. Furthermore, the fluid flow simulation method can be applied to the simulation of explosive flows of fluids which are characterized by violent and fast compressible flows.
한편, 이상에서 설명한 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법을 수행하기 위한 컴퓨터 프로그램은 컴퓨터로 판독 가능한 기록 매체에 기록될 수도 있다. On the other hand, the computer program for performing the fluid flow simulation method according to the embodiment described above may be recorded in a computer-readable recording medium.
이상에서 살펴본 본 발명은 도면에 도시된 실시예들을 참고로 하여 설명하였으나 이는 예시적인 것에 불과하며 당해 분야에서 통상의 지식을 가진 자라면 이로부터 다양한 변형 및 실시예의 변형이 가능하다는 점을 이해할 것이다. 그러나, 이와 같은 변형은 본 발명의 기술적 보호범위 내에 있다고 보아야 한다. 따라서, 본 발명의 진정한 기술적 보호범위는 첨부된 특허청구범위의 기술적 사상에 의해서 정해져야 할 것이다.Although the present invention described above has been described with reference to the embodiments illustrated in the drawings, this is merely exemplary, and it will be understood by those skilled in the art that various modifications and variations may be made therefrom. However, such modifications should be considered to be within the technical protection scope of the present invention. Therefore, the true technical protection scope of the present invention will be defined by the technical spirit of the appended claims.
도 1은 일 실시예에 따른 유체 유동 시뮬레이션 방법의 순서도이다. 1 is a flow chart of a fluid flow simulation method according to one embodiment.
도 2a 및 2b는 유체의 계산 영역에 설정될 수 있는 격자 형태의 유한요소를 도시한 예시적인 개략도이다. 2A and 2B are exemplary schematic diagrams illustrating a finite element in the form of a lattice that can be set in the computational region of the fluid.
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| 한국컴퓨터그래픽스학회 논문지 Vol. 14, No. 2 |
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