KR101008443B1 - Measuring method for the coefficient of friction for work roll - Google Patents

Measuring method for the coefficient of friction for work roll Download PDF

Info

Publication number
KR101008443B1
KR101008443B1 KR1020080134144A KR20080134144A KR101008443B1 KR 101008443 B1 KR101008443 B1 KR 101008443B1 KR 1020080134144 A KR1020080134144 A KR 1020080134144A KR 20080134144 A KR20080134144 A KR 20080134144A KR 101008443 B1 KR101008443 B1 KR 101008443B1
Authority
KR
South Korea
Prior art keywords
work roll
friction coefficient
equation
friction
rolled material
Prior art date
Application number
KR1020080134144A
Other languages
Korean (ko)
Other versions
KR20100076196A (en
Inventor
강현석
홍완기
Original Assignee
주식회사 포스코
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by 주식회사 포스코 filed Critical 주식회사 포스코
Priority to KR1020080134144A priority Critical patent/KR101008443B1/en
Publication of KR20100076196A publication Critical patent/KR20100076196A/en
Application granted granted Critical
Publication of KR101008443B1 publication Critical patent/KR101008443B1/en

Links

Images

Classifications

    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01N—INVESTIGATING OR ANALYSING MATERIALS BY DETERMINING THEIR CHEMICAL OR PHYSICAL PROPERTIES
    • G01N19/00—Investigating materials by mechanical methods
    • G01N19/02—Measuring coefficient of friction between materials
    • B—PERFORMING OPERATIONS; TRANSPORTING
    • B21—MECHANICAL METAL-WORKING WITHOUT ESSENTIALLY REMOVING MATERIAL; PUNCHING METAL
    • B21B—ROLLING OF METAL
    • B21B37/00—Control devices or methods specially adapted for metal-rolling mills or the work produced thereby

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Automation & Control Theory (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • Health & Medical Sciences (AREA)
  • Life Sciences & Earth Sciences (AREA)
  • Chemical & Material Sciences (AREA)
  • Analytical Chemistry (AREA)
  • Biochemistry (AREA)
  • General Health & Medical Sciences (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Immunology (AREA)
  • Pathology (AREA)
  • Mechanical Engineering (AREA)
  • Control Of Metal Rolling (AREA)

Abstract

본 발명은 워크롤의 마찰계수 측정방법에 관한 것으로, 본 발명에 따른 워크롤의 마찰계수 측정방법은 상기 워크롤과 압연소재가 서로 이격되면 하기 식(1)에 따라 워크롤의 마찰계수를 측정하고, 상기 워크롤과 압연소재가 서로 접촉되면 하기 식(2)에 따라 워크롤의 마찰계수를 측정한다. The present invention relates to a friction coefficient measuring method of the work roll, the friction coefficient measuring method of the work roll according to the present invention is to measure the friction coefficient of the work roll according to the following equation (1) when the work roll and the rolled material is spaced apart from each other When the work roll and the rolled material are in contact with each other, the friction coefficient of the work roll is measured according to the following equation (2).

Figure 112008089119325-pat00001
······(1)
Figure 112008089119325-pat00001
······(One)

Figure 112008089119325-pat00002
······(2)
Figure 112008089119325-pat00002
······(2)

마찰계수, 워크롤, 압연롤 Coefficient of friction, work roll, rolling roll

Description

워크롤의 마찰계수 측정방법{MEASURING METHOD FOR THE COEFFICIENT OF FRICTION FOR WORK ROLL}Friction coefficient measurement method of work roll {MEASURING METHOD FOR THE COEFFICIENT OF FRICTION FOR WORK ROLL}

본 발명은 워크롤의 마찰계수 측정방법에 관한 것이다. The present invention relates to a method of measuring the friction coefficient of the work roll.

일반적으로 압연기는 모터에 의해서 구동되는 워크롤과, 상기 워크롤을 압하하는 백업롤로 이루어진다. Generally, a rolling mill consists of a work roll driven by a motor, and a backup roll for rolling down the work roll.

압연은 강괴 또는 강편과 같은 압연소재를 워크롤 사이로 통판시키고 워크롤 사이 간격을 점차 좁히면서 연속적인 힘을 가해 늘리거나 얇게 형성하는 것을 의미한다. Rolling means to roll a rolled material, such as a steel ingot or a steel sheet, between work rolls and to increase or thin it by applying continuous force, gradually narrowing the space | interval between work rolls.

한편, 압연공정에서는 워크롤의 압력 하중을 조절하여 압연소재의 두께를 조절하는데, 압연 하중의 정밀도는 워크롤의 마찰계수와 밀접한 관계가 있다. 이에 따라, 마찰계수의 측정은 압연공정에서 중요한 요소 중 하나로 대두되고 있다. On the other hand, in the rolling process, the thickness of the rolled material is adjusted by adjusting the pressure load of the work roll, and the precision of the rolling load is closely related to the friction coefficient of the work roll. Accordingly, the measurement of the friction coefficient has emerged as one of the important factors in the rolling process.

일반적으로 마찰계수 예측방법은 토크와 압연 하중을 이용한 방법을 이용하고 있다. [P.W. Whitton and H. Ford, Proc. Inst. Mech. Eng., 169, 1955, 123-140]에 기재된 마찰계수 예측방법은 토크와 압연 하중을 이용한 방법을 통해 마찰계수를 측정하고 있는데, 구체적으로 마찰계수는 토크에 압연 하중과 롤의 반 지름을 나눈 것으로 측정한다. 그러나 이와 같은 방법은 백업롤이 없는 경우에만 적용가능하다. In general, the friction coefficient prediction method uses a method using torque and rolling load. [P.W. Whitton and H. Ford, Proc. Inst. Mech. Eng., 169, 1955, 123-140], the friction coefficient prediction method measures the friction coefficient by using the torque and the rolling load, specifically, the friction coefficient is the torque divided by the rolling load and the half diameter of the roll Measure it. However, this method is only applicable when there is no backup roll.

공개번호 1996-0021206에 기재된 마찰계수의 예측방법은 마찰계수는 속도에 따라 달라진다고 가정하고, 압연 실적데이터를 이용하여 마찰계수를 역산한다. 또한, 공개번호 1997-0035158에 기재된 마찰계수 예측방법은 기존의 압연 실적 데이터를 이용해서 마찰계수가 맞아 떨어지는 압연하중이 되도록 루프를 돌리는 방법이 기재되어 있다. 공개번호 1996-0021206와 1997-0035158에 기재된 마찰계수 예측방법은 마찰계수를 간접적으로 구하는 것으로서 압연 하중을 구하는 식을 이용해서 압연 하중을 예측하는 과정이 들어간다. The method of predicting the friction coefficient described in the publication No. 1996-0021206 assumes that the friction coefficient depends on the speed, and uses the rolling performance data to invert the friction coefficient. In addition, the friction coefficient prediction method disclosed in the publication No. 1997-0035158 describes a method of rotating the loop so that the friction load is reduced by using the existing rolling performance data. Friction coefficient prediction methods described in the publications Nos. 1996-0021206 and 1997-0035158 indirectly obtain the friction coefficient, and include a process of predicting the rolling load by using the formula for calculating the rolling load.

그러나 압연 하중은 마찰계수뿐만 아니라 소재의 변형저항 함수로 이루어져 있기 때문에 정확하지 않은 변형 저항으로는 마찰계수의 정확히 측정할 수 없는 문제가 있다. However, since the rolling load is composed of not only the friction coefficient but also the deformation resistance function of the material, there is a problem that the friction coefficient cannot be accurately measured by the incorrect deformation resistance.

따라서, 본 발명은 상기한 문제점을 개선하기 위한 것으로, 본 발명은 마찰계수를 측정할 때 압연 하중 모델을 사용하지 않고 직접적으로 마찰계수를 측정하여 마찰계수의 정확도를 향상시킬 수 있는 워크롤의 마찰계수 측정방법을 제공하는데 그 목적이 있다. Accordingly, the present invention is to improve the above problems, the present invention is to measure the friction coefficient friction of the work roll that can improve the accuracy of the friction coefficient by directly measuring the friction coefficient without using a rolling load model Its purpose is to provide a coefficient measurement method.

상기 목적을 달성하기 위하여 본 발명의 실시예에 의한 워크롤의 마찰계수 측정방법은 상기 워크롤과 압연소재가 서로 이격되면 하기 식(1)에 따라 워크롤의 마찰계수를 측정하고, 상기 워크롤과 압연소재가 서로 접촉되면 하기 식(2)에 따라 워크롤의 마찰계수를 측정한다. Friction coefficient measuring method of the work roll according to an embodiment of the present invention to achieve the above object is to measure the friction coefficient of the work roll according to the following equation (1) when the work roll and the rolled material is spaced apart from each other, the work roll When and the rolled material is in contact with each other, the friction coefficient of the work roll is measured according to the following equation (2).

Figure 112008089119325-pat00003
······(1)
Figure 112008089119325-pat00003
······(One)

Figure 112008089119325-pat00004
······(2)
Figure 112008089119325-pat00004
······(2)

이때, 상기 워크롤과 압연소재가 서로 이격될 때 수학식(1)은 최소자승법을 이용하여 수학식(3)으로 도출하고, 마찰계수(

Figure 112008089119325-pat00005
)를 0 내지 0.3로 변동시켜 비용함수(f)가 최소가되는 점을 워크롤의 마찰계수로 측정할 수 있다. In this case, when the work roll and the rolled material are spaced apart from each other, Equation (1) is derived by Equation (3) using the least square method, and the friction coefficient (
Figure 112008089119325-pat00005
) Can be measured from 0 to 0.3 to determine the minimum cost function f as the friction coefficient of the work roll.

Figure 112008089119325-pat00006
······(3)
Figure 112008089119325-pat00006
(3)

이때, 상기 워크롤과 압연소재가 서로 접촉될 때 수학식(2)는 최소자승법을 이용하여 수학식(4)로 도출하고, 마찰계수(

Figure 112008089119325-pat00007
S) 및 수직항력(N1)을 0≤
Figure 112008089119325-pat00008
S≤0.3, 0<N1<2000로 변동시켜 비용함수(f)가 최소가되는 점을 워크롤의 마찰계수로 측정할 수 있다. At this time, when the work roll and the rolled material is in contact with each other, Equation (2) is derived by using the least-square method (4), and the friction coefficient (
Figure 112008089119325-pat00007
S ) and normal force (N 1 ) are 0≤
Figure 112008089119325-pat00008
The point where the cost function f is minimized by varying S ≦ 0.3 and 0 <N 1 <2000 can be measured by the friction coefficient of the work roll.

Figure 112008089119325-pat00009
······(4)
Figure 112008089119325-pat00009
······(4)

상술한 바와 같이, 본 발명에서 제공된 워크롤의 마찰계수 측정방법은 워크롤의 마찰계수를 수식으로 측정하여 워크롤의 마찰계수를 정확하게 측정할 수 있다. 이에 따라, 압연 공정시 압연 하중의 정밀도를 향상시킬 수 있다. 또한, 압연 하중의 정밀도가 향상되면, 압연 공정시 압연소재의 표면품질을 향상시킬 수 있다. As described above, the friction coefficient measuring method of the work roll provided in the present invention can accurately measure the friction coefficient of the work roll by measuring the friction coefficient of the work roll by a formula. Thereby, the precision of a rolling load can be improved at the time of a rolling process. In addition, if the accuracy of the rolling load is improved, it is possible to improve the surface quality of the rolled material during the rolling process.

이하에서는 본 발명의 실시예를 도시한 도면들을 참조하여 본 발명에 따른 워크롤의 마찰계수 측정방법을 구체적으로 설명한다. Hereinafter, a method of measuring a friction coefficient of a work roll according to the present invention will be described in detail with reference to the drawings showing an embodiment of the present invention.

도 1과 2는 본 발명에 따른 압연기를 구성도이다. 도 3과 도 4는 본 발명에 따른 워크롤의 측면도이다. 도 5는 본 발명에 의해 도출된 시간에 따른 워크롤 각속도를 나타내는 그래프이고, 도 6은 본 발명에 의해 도출된 시간에 따른 워크롤의 토크를 나타내는 그래프이다. 도 7은 본 발명에 의해 도출된 마찰계수에 따른 비 용함수를 나타내는 그래프이고, 도 8은 본 발명에 의해 도출된 마찰계수와 수직항력에 따른 비용함수를 나타내는 그래프이다. 1 and 2 is a block diagram of a rolling mill according to the present invention. 3 and 4 are side views of the work roll according to the present invention. 5 is a graph showing the work roll angular velocity over time derived by the present invention, Figure 6 is a graph showing the torque of the work roll over time derived by the present invention. 7 is a graph showing the cost function according to the friction coefficient derived by the present invention, Figure 8 is a graph showing the cost function according to the friction coefficient and the vertical drag derived by the present invention.

압연기는 도 1과 2에 나타난 바와 같이 구동수단(미도시)에 의해서 구동되는 한 쌍의 워크롤(110)과 워크롤(110)에 압하량을 부여하는 한 쌍의 백업롤(120)로 구성된다. 백업롤(120)은 워크롤(110)의 작업 반력을 지지하면서 회전하는 것으로, 백업롤(120)은 워크롤(110)과 접촉되어 워크롤(110)이 회전함에 따라 회전된다. As shown in FIGS. 1 and 2, the rolling mill includes a pair of work rolls 110 driven by a driving means (not shown) and a pair of backup rolls 120 for imparting a rolling reduction to the work rolls 110. do. The backup roll 120 rotates while supporting the work reaction force of the work roll 110, and the backup roll 120 comes into contact with the work roll 110 and rotates as the work roll 110 rotates.

상부 백업롤과 하부 백업롤(120)에는 상부 백업롤과 하부 백업롤(120)을 압연소재 방향으로 가압하는 실린더(130)가 설치된다. The upper backup roll and the lower backup roll 120 is provided with a cylinder 130 for pressing the upper backup roll and the lower backup roll 120 in the rolling material direction.

또한, 워크롤(110)의 축에는 워크롤(110)의 각속도와 토크를 측정하기 위한 각속도 측정부(140)와 토크 측정부(150)가 설치된다. 각속도는 워크롤의 축을 기준으로 워크롤이 회전하는 속도를 일컬으며, 토크는 워크롤을 회전시키는 힘을 일컫는다. In addition, the shaft of the work roll 110 is provided with an angular velocity measuring unit 140 and a torque measuring unit 150 for measuring the angular velocity and torque of the work roll 110. Angular speed refers to the speed at which the work roll rotates about the axis of the work roll, and torque refers to the force for rotating the work roll.

한편, 압연소재(100)를 압연하기 위해서는 워크롤(110)의 압연 하중을 조절하는데, 압연 하중의 정밀도는 워크롤(110)의 마찰계수와 밀접한 관계가 있다. 즉, 워크롤(110)과 백업롤(120)의 마찰계수가 크면 압연 하중을 크게 제어하고, 워크롤(110)과 백업롤(120)의 마찰계수가 작으면 압연 하중을 작게 제어한다. On the other hand, in order to roll the rolled material 100 to adjust the rolling load of the work roll 110, the precision of the rolling load is closely related to the friction coefficient of the work roll 110. That is, when the friction coefficient of the work roll 110 and the backup roll 120 is large, the rolling load is largely controlled. If the friction coefficient of the work roll 110 and the backup roll 120 is small, the rolling load is controlled small.

이하에서는 워크롤(110)과 백업롤(120)의 마찰계수, 워크롤(110)과 압연소재(100)의 마찰계수를 측정하는 방법을 살펴보도록 한다. Hereinafter, the method of measuring the friction coefficient of the work roll 110 and the backup roll 120 and the friction coefficient of the work roll 110 and the rolled material 100 will be described.

워크롤(110)의 마찰계수를 측정하는 방법은 3단계로 이루어질 수 있는데, 1 단계에서는 워크롤(110)의 감쇠에 의한 마찰손실을 구한다. 이론적으로 마찰이 없는 회전체를 등속도로 회전하면 토크가 0이 되지만, 실측정치의 토크값은 0이 되지 않는다. 따라서, 본 발명에서는 워크롤(110)을 백업롤(120) 및 압연소재(100)와 접촉하지 않은 상태 즉, 무부하 상태에서 워크롤(110)을 회전시켜 워크롤(110)의 마찰손실을 산출한다. The method of measuring the friction coefficient of the work roll 110 may be performed in three steps. In the first step, the friction loss due to the attenuation of the work roll 110 is obtained. Theoretically, when the rotating body without friction rotates at constant speed, the torque becomes zero, but the torque value of the actual measured value does not become zero. Accordingly, in the present invention, the friction of the work roll 110 is calculated by rotating the work roll 110 in a state in which the work roll 110 is not in contact with the backup roll 120 and the rolled material 100, that is, no load. do.

2단계에서는 워크롤(110)이 압연소재(100)와 접촉하지 않았을 때 워크롤(110)과 백업롤(120) 사이의 마찰계수를 구한다. 3단계에서는 워크롤(110)과 압연소재(100)가 접촉되었을 때 워크롤(110)과 압연소재(100) 사이의 마찰계수를 구한다. 2단계와 3단계에서 마찰계수의 도출은 최적화 기법 중 최소자승법을 이용할 수 있다. In the second step, the friction coefficient between the work roll 110 and the backup roll 120 is obtained when the work roll 110 is not in contact with the rolled material 100. In step 3, when the work roll 110 and the rolled material 100 are in contact with each other, the friction coefficient between the work roll 110 and the rolled material 100 is obtained. The derivation of friction coefficients in steps 2 and 3 can use the least-squares method of optimization.

이와 같은 3단계를 통해 워크롤(110)의 마찰계수가 측정되면 토크 및 압연 하중 값을 이용하여 압연공정의 최적화를 수행한다. When the friction coefficient of the work roll 110 is measured through the three steps as described above, the rolling process is optimized using torque and rolling load values.

[ 1 단계 ][ Stage 1 ]

1단계에 의한 워크롤(110)의 마찰계수 측정방법을 살펴보도록 한다. 1단계에서는 워크롤(110)과 압연소재(100)가 접촉되지 않은 상태, 즉, 워크롤(110)과 압연소재(100)가 이격된 상태에서의 워크롤(110)의 저항상수를 산출한다. Look at the friction coefficient measurement method of the work roll 110 by the first step. In the first step, the resistance constant of the work roll 110 is calculated in a state where the work roll 110 and the rolled material 100 are not in contact, that is, the work roll 110 and the rolled material 100 are separated from each other. .

도 3을 참조하여 워크롤(110)의 운동방정식을 세우면 수학식(1),(2)가 도출된다. 수학식(1)은 워크롤(110) 회전에 관한 운동방정식이고, 수학식(2)는 수직힘 방향에 관한 워크롤의 평형방정식이다. Referring to FIG. 3, equations (1) and (2) are derived when the motion equation of the work roll 110 is established. Equation (1) is a motion equation for the rotation of the work roll 110, Equation (2) is an equation of the work roll for the vertical force direction.

Figure 112008089119325-pat00010
Figure 112008089119325-pat00010

Figure 112008089119325-pat00011
Figure 112008089119325-pat00011

여기서, 수학식(1)의 J는 관성,

Figure 112008089119325-pat00012
는 워크롤의 가속도, B는 워크롤의 저항상수,
Figure 112008089119325-pat00013
는 워크롤의 회전 각속도,
Figure 112008089119325-pat00014
는 마찰계수, F는 워크롤과 백업롤의 접촉압력, R은 워크롤의 반지름, T는 워크롤의 입력 토크이다.Where J in equation (1) is inertia,
Figure 112008089119325-pat00012
Is acceleration of work roll, B is resistance of work roll,
Figure 112008089119325-pat00013
Is the rotational angular velocity of the work roll,
Figure 112008089119325-pat00014
Is the friction coefficient, F is the contact pressure between the work roll and the backup roll, R is the radius of the work roll, and T is the input torque of the work roll.

또한, 수학식(2)의 P는 실린더의 압력, A는 실린더의 표면적, WWR은 워크롤의 하중이다. In the equation (2), P is the pressure of the cylinder, A is the surface area of the cylinder, and W WR is the load of the work roll.

만일, 수학식(1)에서 워크롤(110)이 등속도로 회전하고 워크롤(110)과 백업롤(120)이 접촉하지 않는다고 가정하면, 수학식(1)은 수학식(3)이 된다. 이는 워크롤(110)이 등속도로 회전하면 가속도(

Figure 112008089119325-pat00015
)는 0이되어
Figure 112008089119325-pat00016
가 소거되고, 워크롤(110)과 백업롤(120)이 접촉되지 않으므로 마찰계수(
Figure 112008089119325-pat00017
)가 0이 되어
Figure 112008089119325-pat00018
가 소거되기 때문이다. If, in Equation (1), it is assumed that the work roll 110 rotates at a constant speed and the work roll 110 and the backup roll 120 do not contact, Equation (1) becomes Equation (3). This is because when the work roll 110 rotates at constant speed, the acceleration (
Figure 112008089119325-pat00015
) Becomes 0
Figure 112008089119325-pat00016
Is erased, and because the work roll 110 and the backup roll 120 does not contact the friction coefficient (
Figure 112008089119325-pat00017
) Becomes 0
Figure 112008089119325-pat00018
Is erased.

Figure 112008089119325-pat00019
Figure 112008089119325-pat00019

또한, 수학식(3)의 B값을 도출하기 위해 수학식(3)을 수학식(4)로 나타낸다. In addition, equation (3) is represented by equation (4) to derive the B value of equation (3).

Figure 112008089119325-pat00020
Figure 112008089119325-pat00020

이와 같이, 워크롤(110)의 저항상수인 B는 등속도일 경우 워크롤의 회전각 속도(

Figure 112008089119325-pat00021
)와 워크롤의 입력 토크(T)의 함수로 나타낼 수 있다. 즉, 워크롤(110)을 다양한 속도로 등속 회전시킨 후, 도 5,6에 나타난 각속도와 토크의 평균값을 수학식(4)에 대입하여 B값을 산출하거나, 도 5,6에 나타난 각속도와 토크의 측정값을 통해 선형 회기방법을 이용하여 B값을 산출할 수 있다. 본 실시예에서는 B값의 오차를 방지하기 위해 도 5,6에 나타난 측정값을 통한 선형 회기방법으로 B값을 산출한다. As such, the resistance constant B of the work roll 110 is the rotation angle speed of the work roll when the constant speed (
Figure 112008089119325-pat00021
) And the input torque T of the work roll. That is, after rotating the work roll 110 at various speeds, the B value is calculated by substituting the average value of the angular velocity and torque shown in FIGS. 5 and 6 into Equation (4), or the angular velocity and The B value can be calculated using the linear regression method based on the measured value of the torque. In this embodiment, the B value is calculated by a linear regression method using the measured values shown in FIGS. 5 and 6 in order to prevent an error of the B value.

[ 2 단계 ][Step 2]

2단계는 워크롤(110)이 압연소재(100)와 접촉되지 않은 상태에서 워크롤(110)과 백업롤(120) 사이의 마찰계수를 산출한다. 워크롤(110)과 압연소재(100)가 접촉되지 않은 상태에서 워크롤(110)과 백업롤(120)의 마찰계수를 산출하기 위해서는 수학식(1)을 수학식(5)와 같이 나타낸다. Step 2 calculates the coefficient of friction between the work roll 110 and the backup roll 120 in a state in which the work roll 110 is not in contact with the rolled material 100. In order to calculate the friction coefficient between the work roll 110 and the backup roll 120 in a state where the work roll 110 and the rolled material 100 are not in contact with each other, Equation (1) is expressed as Equation (5).

Figure 112008089119325-pat00022
Figure 112008089119325-pat00022

수학식(5)는 1단계에서 구한 워크롤의 관성(J), 워크롤의 저항상수(B), 워크 롤과 백업롤의 접촉압력(F), 워크롤의 반지름(R)의 함수로 이루어진다. Equation (5) is a function of the inertia of the work roll (J) obtained in step 1, the resistance constant of the work roll (B), the contact pressure (F) of the work roll and the backup roll, and the radius of the work roll (R). .

워크롤의 마찰계수(

Figure 112008089119325-pat00023
)를 산출하기 위해서는, 우선, 수학식(2)를 통해 워크롤과 백업롤의 접촉압력(F)을 도출한다. 접촉압력(F)은 수학식(2)를 통해 수학식(6)으로 나타날 수 있다. Friction coefficient of work roll
Figure 112008089119325-pat00023
), First, the contact pressure F of the work roll and the backup roll is derived through Equation (2). The contact pressure F may be represented by equation (6) through equation (2).

F = 4PA - WWR F = 4PA-W WR

수학식(6)을 수학식(5)에 대입하면, 워크롤(110)과 백업롤(120)이 마찰계수가 수학식(7)로 나타난다. Substituting Equation (6) into Equation (5), the work roll 110 and the backup roll 120 are represented by the coefficient of friction in Equation (7).

Figure 112008089119325-pat00024
Figure 112008089119325-pat00024

수학식(7)에서 워크롤(110)의 회전 각속도가 일정하다고 가정하면, 수학식(7)의 가속도를 나타내는

Figure 112008089119325-pat00025
는 소거되어 수학식(8)과 같이 나타난다. 워크롤(110)의 회전 각속도가 일정한 것은 압연과정(1주기,2주기,3주기,4주기)에서 제품이 나올 때 워크롤(110)이 도 5와 같이 등속도로 회전되기 때문이다. Assuming that the rotational angular velocity of the work roll 110 in the equation (7) is constant, it represents the acceleration of the equation (7)
Figure 112008089119325-pat00025
Is erased and is expressed as Equation (8). The rotational angular velocity of the work roll 110 is constant because the work roll 110 is rotated at a constant speed as shown in FIG. 5 when the product comes out in the rolling process (1 cycle, 2 cycles, 3 cycles, 4 cycles).

Figure 112008089119325-pat00026
Figure 112008089119325-pat00026

이와 같이 수학식(8)이 도출되면, 최적화 기법 중 하나인 최소자승법을 통해 마찰계수를 산출한다. 최소자승법은 오차를 제곱해서 f가 최소화되게 하는 값을 통해 마찰계수를 측정하는 것으로, 일반적으로 실험 데이터를 이용해서 어떤 공식의 상수값을 구할 때 널리 사용되는 방법이다. 마찰계수(

Figure 112008089119325-pat00027
)를 최소자승법을 이용하여 도출하는 이유는 측정값의 오차를 방지하기 위함이다. 즉, 마찰계수(
Figure 112008089119325-pat00028
)는 수학식(8)로부터도 산출될 수 있는데, 수학식(8)을 이용하면 각속도와 토크의 평균값을 통해 마찰계수를 산출하므로 오차가 발생될 수 있다. 다시 말해, 토크와 각속도는 도 5,6과 같이 평균값과 측정치가 서로 다르게 나타나는데, 토크와 각속도의 평균값을 이용하여 마찰계수를 측정하면 마찰계수는 실제 측정값에 대한 마찰계수를 반영하지 못한다. 따라서, 마찰계수(
Figure 112008089119325-pat00029
)는 최소자승법을 이용하여 오차를 방지한다. When Equation (8) is derived as described above, the coefficient of friction is calculated through the least-square method, which is one of optimization techniques. The least-squares method is to measure the coefficient of friction through a value that squares the error so that f is minimized. It is commonly used to find the constant value of a formula using experimental data. Coefficient of friction
Figure 112008089119325-pat00027
) Is derived using the least-squares method in order to prevent errors in the measured values. That is, the friction coefficient (
Figure 112008089119325-pat00028
) Can also be calculated from Equation (8). Using Equation (8), an error may occur because the friction coefficient is calculated through the average value of the angular velocity and the torque. In other words, the torque and the angular velocity are different from the average value and the measured value as shown in Figs. 5 and 6, and when the friction coefficient is measured using the average value of the torque and the angular velocity, the friction coefficient does not reflect the friction coefficient with respect to the actual measured value. Therefore, the friction coefficient (
Figure 112008089119325-pat00029
) Uses the least-squares method to prevent errors.

최소자승법을 이용하면, 수학식(8)을 수학식(9)로 나타낼 수 있다. Using the least square method, equation (8) can be represented by equation (9).

Figure 112008089119325-pat00030
Figure 112008089119325-pat00030

수학식(9)와 같이 수학식(8)을 비용함수인 f(cost function)로 설정한 후, 마찰계수(

Figure 112008089119325-pat00031
)를 0 내지 0.3으로 변동시켜 비용함수(f)가 최소가되는 점을 찾는다. 이때, 비용함수(f)가 최소가 되는 지점이 워크롤(110)과 백업롤(120)의 마찰계수가 된다. 여기서, 마찰계수(
Figure 112008089119325-pat00032
)의 범위인 0 내지 0.3은 일반적인 워크롤의 마찰계수를 나타내는 범위이다.After setting Eq. (8) as f (cost function) as Equation (9), the friction coefficient (
Figure 112008089119325-pat00031
) Is changed from 0 to 0.3 to find the point where the cost function f is minimum. At this time, the point where the cost function f is minimum becomes the friction coefficient between the work roll 110 and the backup roll 120. Where the coefficient of friction (
Figure 112008089119325-pat00032
0 to 0.3, which is a range of), represents a friction coefficient of a general work roll.

도 7은 1주기 압연공정에서 워크롤(110)과 백업롤(120)의 마찰계수를 변동시킴에 따라 나타나는 비용함수(f)를 나타낸 그래프로, X축은 마찰계수(

Figure 112008089119325-pat00033
)를 나타내며 Y축은 비용함수(f)를 나타낸다. 도 7을 살펴보면, Y축이 최소가 되는 지점을 워크롤(110)의 마찰계수로 볼 수 있다. FIG. 7 is a graph showing a cost function f as the friction coefficients of the work roll 110 and the backup roll 120 are changed in the one cycle rolling process, and the X axis represents the friction coefficient (
Figure 112008089119325-pat00033
The Y axis represents the cost function f. Referring to FIG. 7, the point where the Y axis is minimized may be viewed as the friction coefficient of the work roll 110.

[ 3 단계 ][Step 3]

3단계에서는 워크롤(110)과 압연소재(100)가 접촉되었을 때 워크롤(110)과 압연소재(100) 사이의 마찰계수를 구한다. 워크롤(110)의 마찰계수를 구하기 위해서는 도 4를 통해 운동방정식을 도출한다. 수학식(10)은 워크롤(110) 회전에 관한 운동방정식이고, 수학식(11)은 수직힘 방향에 관한 워크롤의 평형 방정식이다.In step 3, when the work roll 110 and the rolled material 100 are in contact with each other, the friction coefficient between the work roll 110 and the rolled material 100 is obtained. In order to obtain the friction coefficient of the work roll 110, the equation of motion is derived through FIG. Equation (10) is a motion equation for the rotation of the work roll 110, equation (11) is an equilibrium equation of the work roll with respect to the vertical force direction.

Figure 112008089119325-pat00034
Figure 112008089119325-pat00034

Figure 112008089119325-pat00035
Figure 112008089119325-pat00035

여기서, J는 워크롤의 관성,

Figure 112008089119325-pat00036
은 워크롤의 가속도, B는 워크롤의 저항상수,
Figure 112008089119325-pat00037
는 워크롤의 회전 각속도,
Figure 112008089119325-pat00038
는 마찰계수, F는 워크롤과 백업롤의 접촉압력, R은 워크롤의 반지름,
Figure 112008089119325-pat00039
S는 워크롤과 압연소재 사이의 마찰계수, N1은 중립점 에서 압연소재 출측까지의 수직항력, N2는 중립점에서 압연소재 입측까지의 수직항력, T는 워크롤의 입력 토크이다. 여기서, 중립점은 압연소재의 속도가 워크롤의 속도와 일치되는 지점을 일컫는다. 일반적으로, 압연공정 중 워크롤의 속도는 일정하다. 그러나, 롤바이트(압연소재가 롤에 맞물려 있는 상태) 내의 압연소재의 속도는 압연소재의 두께에 따라 달라진다. 상대적으로 두께가 두꺼운 쪽인 입측(101)에서 압연소재의 속도가 느려지고, 압연소재의 두께가 얇아지는 출측(102)에서 압연소재의 속도가 빨라진다. 이때, 압연소재의 속도와 워크롤의 속도가 일치되는 지점을 중립점이라 한다. Where J is the inertia of the work roll,
Figure 112008089119325-pat00036
Is the acceleration of the work roll, B is the resistance constant of the work roll,
Figure 112008089119325-pat00037
Is the rotational angular velocity of the work roll,
Figure 112008089119325-pat00038
Is the coefficient of friction, F is the contact pressure between the work roll and the backup roll, R is the radius of the work roll,
Figure 112008089119325-pat00039
S is the coefficient of friction between the work roll and the rolled material, N 1 is the normal drag from the neutral point to the exit of the rolled material, N 2 is the normal drag from the neutral point to the rolled material, and T is the input torque of the work roll. Here, the neutral point refers to a point where the speed of the rolled material matches the speed of the work roll. In general, the speed of the work roll is constant during the rolling process. However, the speed of the rolled material in the roll bite (when the rolled material is engaged with the roll) depends on the thickness of the rolled material. The speed of the rolled material is slowed at the entrance 101, which is relatively thicker, and the speed of the rolled material is increased at the exit 102, where the thickness of the rolled material is thinner. In this case, the point where the speed of the rolled material coincides with the speed of the work roll is called a neutral point.

또한, 수학식(11)의 N은 롤바이트 내의 전체 수직항력이고, WWR은 워크롤의 하중이다. In addition, N in Equation (11) is the total normal drag in the roll bite, and W WR is the load of the work roll.

워크롤(110)과 백업롤(120)의 마찰계수를 산출하기 위해서는 수학식(10)을 수학식(12)와 같이 나타낸다. In order to calculate the friction coefficient between the work roll 110 and the backup roll 120, Equation (10) is expressed as Equation (12).

Figure 112008089119325-pat00040
Figure 112008089119325-pat00040

이와 같이 수학식(12)가 도출되면, 최소자승법을 통해 마찰계수를 산출할 수 있다. 최소자승법을 이용하면, 수학식(12)는 수학식(13)으로 나타난다.When the equation (12) is derived as described above, the coefficient of friction can be calculated through the least square method. Using the least squares method, equation (12) is represented by equation (13).

Figure 112008089119325-pat00041
Figure 112008089119325-pat00041

수학식(13)에서 워크롤(110)이 등속도로 회전된다고 가정하면

Figure 112008089119325-pat00042
은 소거된다. 또한, 중립점에서 압연소재 입측까지의 수직항력(N2)를 소거하기 위해 수학식(11)을 수학식(14)와 같이 나타낸다. Assuming that the work roll 110 is rotated at constant speed in the equation (13)
Figure 112008089119325-pat00042
Is erased. In addition, in order to eliminate the vertical drag N 2 from the neutral point to the side of the rolled material, Equation (11) is expressed as Equation (14).

N2 = N - N1 N 2 = N-N 1

또한, 수학식(12)의 워크롤과 백업롤의 접촉압력(F)을 소거하기 위해 수학식(11)을 수학식(15)와 같이 나타낸다. In addition, in order to eliminate the contact pressure F of the work roll and the backup roll of Equation (12), Equation (11) is expressed as Equation (15).

F = N - WWR F = N-W WR

수학식(14)와 수학식(15)에 의해 N2와 F가 도출되면, N2와 F값을 수학식(13)에 대입한다. 이와 같이, 최소자승법을 이용하면 수학식(13)을 통해 비용함수(f)가 최소가되는 지점을 찾을 수 있는데, 비용함수(f)가 최소가 되는 지점이 워크롤(110)과 압연소재(100)의 마찰계수가 된다. 또한, 워크롤(110)과 압연소재(100)의 마찰계수를 산출하기 위해서는 미지수

Figure 112008089119325-pat00043
s와 N1의 범위를 0<
Figure 112008089119325-pat00044
s<0.3, 0<N1<2000로 설정한다.When N 2 and F are derived by the equations (14) and (15), the N 2 and F values are substituted into the equation (13). As such, using the least-square method, the point where the cost function f is minimized can be found through Equation (13), and the point at which the cost function f is the minimum is the work roll 110 and the rolled material ( Friction coefficient of 100). In addition, in order to calculate the coefficient of friction between the work roll 110 and the rolled material 100
Figure 112008089119325-pat00043
s and N 1 in the range 0 <
Figure 112008089119325-pat00044
Set s <0.3, 0 <N 1 <2000.

여기서,

Figure 112008089119325-pat00045
s의 범위는 일반적인 마찰계수 값의 기준범위이며, N1은 적어도 압하력(N1+N2)보다 작은 값으로 압하력(N1+N2)을 통해 도출한 기준범위이다. here,
Figure 112008089119325-pat00045
s range is a reference range of a general coefficient of friction value, N 1 is at least push-down force based on a range derived from the (N 1 + N 2) to a value less than the push-down force (N 1 + N 2).

도 8은 워크롤(110)과 압연소재(100)의 마찰계수를 변동시키고, 중립점에서 출측까지의 수직항력(N2)를 변동시킴에 따라 나타나는 비용함수(f)를 나타낸 그래프로, X축은 마찰계수(

Figure 112008089119325-pat00046
)를 나타내며 Y축은 수직항력(kgf)을 나타내며 Z축은 비용함수(f)를 나타낸다. 도 8을 살펴보면, Y축이 최소가 되는 지점을 워크롤(110)과 압연소재(100)의 마찰계수로 볼 수 있다. FIG. 8 is a graph showing a cost function f which appears as the friction coefficient between the work roll 110 and the rolled material 100 is changed and the vertical force N 2 from the neutral point to the exit side is changed. The axis is the coefficient of friction
Figure 112008089119325-pat00046
), The Y axis represents the vertical drag (kgf), and the Z axis represents the cost function (f). Referring to FIG. 8, the point where the Y axis is minimized may be viewed as a friction coefficient between the work roll 110 and the rolled material 100.

본 발명의 기술 사상은 상기 바람직한 실시예에 따라 구체적으로 기술되었으나, 상기한 실시예는 그 설명을 위한 것이며, 그 제한을 위한 것이 아님을 주지해야 한다. 또한, 본 발명의 기술분야에서 당업자는 본 발명의 기술 사상의 범위 내에서 다양한 실시예가 가능함을 이해할 수 있을 것이다. Although the technical spirit of the present invention has been described in detail according to the above-described preferred embodiment, it should be noted that the above-described embodiment is for the purpose of description and not of limitation. In addition, those skilled in the art will understand that various embodiments are possible within the scope of the technical idea of the present invention.

도 1 및 2는 본 발명에 따른 압연기를 구성도. 1 and 2 is a block diagram of a rolling mill according to the present invention.

도 3 및 도 4는 본 발명에 따른 워크롤의 측면도. 3 and 4 are side views of the work roll according to the present invention.

도 5는 본 발명에 의해 도출된 시간에 따른 워크롤 각속도를 나타내는 그래프.Figure 5 is a graph showing the work roll angular velocity over time derived by the present invention.

도 6은 본 발명에 의해 도출된 시간에 따른 워크롤의 토크를 나타내는 그래프. Figure 6 is a graph showing the torque of the work roll over time derived by the present invention.

도 7은 본 발명에 의해 도출된 마찰계수에 따른 비용함수를 나타내는 그래프.7 is a graph showing a cost function according to the coefficient of friction derived by the present invention.

도 8은 본 발명에 의해 도출된 마찰계수와 수직항력에 따른 비용함수를 나타내는 그래프. 8 is a graph showing the cost function according to the friction coefficient and the vertical drag derived by the present invention.

※ 도면의 주요 부분에 대한 부호의 설명 ※[Description of Reference Numerals]

100 : 압연소재 110 : 워크롤  100: rolled material 110: work roll

120 : 백업롤 130 : 실린더  120: backup roll 130: cylinder

140 : 각속도 측정부 150 : 토크 측정부 140: angular velocity measuring unit 150: torque measuring unit

Claims (3)

압연소재를 압연하는 워크롤의 마찰계수 측정하는 방법에 있어서, In the method of measuring the coefficient of friction of the work roll rolling the rolled material, 상기 워크롤과 압연소재가 서로 이격되면 하기 식(1)에 따라 워크롤의 마찰계수를 측정하고, 상기 워크롤과 압연소재가 서로 접촉되면 하기 식(2)에 따라 워크롤의 마찰계수를 측정하는 것을 특징으로 하는 워크롤의 마찰계수 측정방법. When the work roll and the rolled material are separated from each other, the friction coefficient of the work roll is measured according to the following equation (1), and when the work roll and the rolled material are in contact with each other, the friction coefficient of the work roll is measured according to the following equation (2). Friction coefficient measurement method of the work roll, characterized in that.
Figure 112008089119325-pat00047
······(1)
Figure 112008089119325-pat00047
······(One)
Figure 112008089119325-pat00048
······(2)
Figure 112008089119325-pat00048
······(2) (여기서,
Figure 112008089119325-pat00049
는 워크롤의 마찰계수, T는 워크롤의 입력 토크, B는 워크롤의 저항상수,
Figure 112008089119325-pat00050
는 워크롤의 회전 각속도, P는 실린더의 압력, A는 실린더의 표면적, WWR 워크롤의 하중, R은 워크롤의 반지름, J는 워크롤의 관성,
Figure 112008089119325-pat00051
은 워크롤의 가속도,
Figure 112008089119325-pat00052
S는 워크롤과 압연소재 사이의 마찰계수, N1은 중립점에서 압연소재 출측까지의 수직항력, N2는 중립점에서 압연소재 입측까지의 수직항력, F는 워크롤과 백업롤의 접촉압력이다.)(here,
Figure 112008089119325-pat00049
Is the friction coefficient of the work roll, T is the input torque of the work roll, B is the resistance constant of the work roll,
Figure 112008089119325-pat00050
Is the rotational angular velocity of the work roll, P is the cylinder pressure, A is the surface area of the cylinder, W WR work roll load, R is the radius of the work roll, J is the inertia of the work roll,
Figure 112008089119325-pat00051
Is the acceleration of the work roll,
Figure 112008089119325-pat00052
S is the coefficient of friction between the work roll and the rolled material, N 1 is the normal drag from the neutral point to the exit of the rolled material, N 2 is the normal drag from the neutral point to the rolled material, and F is the contact pressure between the work roll and the backup roll to be.) 제1 항에 있어서, 상기 워크롤과 압연소재가 서로 이격될 때 수학식(1)은 최 소자승법을 이용하여 수학식(3)으로 도출하고, 마찰계수(
Figure 112008089119325-pat00053
)를 0 내지 0.3로 변동시켜 비용함수(f)가 최소가되는 점을 워크롤의 마찰계수로 측정하는 것을 특징으로 하는 워크롤의 마찰계수 측정방법. The method according to claim 1, wherein when the work roll and the rolled material are spaced apart from each other, Equation (1) is derived by Equation (3) using the least squares method, and the friction coefficient (
Figure 112008089119325-pat00053
), The friction coefficient of the work roll is measured by measuring the point at which the cost function f is minimized by varying 0 to 0.3 with the friction coefficient of the work roll.
Figure 112008089119325-pat00054
······(3)
Figure 112008089119325-pat00054
(3) 제1 항에 있어서, 상기 워크롤과 압연소재가 서로 접촉될 때 수학식(2)는 최소자승법을 이용하여 수학식(4)로 도출하고, 마찰계수(
Figure 112008089119325-pat00055
S) 및 수직항력(N1)을 0≤
Figure 112008089119325-pat00056
S≤0.3, 0<N1<2000로 변동시켜 비용함수(f)가 최소가되는 점을 워크롤의 마찰계수로 측정하는 것을 특징으로 하는 워크롤의 마찰계수 측정방법.The method according to claim 1, wherein when the work roll and the rolled material are in contact with each other, Equation (2) is derived by Equation (4) using the least-square method, and the friction coefficient (
Figure 112008089119325-pat00055
S ) and normal force (N 1 ) are 0≤
Figure 112008089119325-pat00056
S ≤0.3, 0 <N 1 <2000 to fluctuations in the cost function (f) Method to measure the coefficient of friction of the work rolls, characterized in that for measuring point is minimum in the coefficient of friction of the work roll.
Figure 112008089119325-pat00057
······(4)
Figure 112008089119325-pat00057
······(4)
KR1020080134144A 2008-12-26 2008-12-26 Measuring method for the coefficient of friction for work roll KR101008443B1 (en)

Priority Applications (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
KR1020080134144A KR101008443B1 (en) 2008-12-26 2008-12-26 Measuring method for the coefficient of friction for work roll

Applications Claiming Priority (1)

Application Number Priority Date Filing Date Title
KR1020080134144A KR101008443B1 (en) 2008-12-26 2008-12-26 Measuring method for the coefficient of friction for work roll

Publications (2)

Publication Number Publication Date
KR20100076196A KR20100076196A (en) 2010-07-06
KR101008443B1 true KR101008443B1 (en) 2011-01-14

Family

ID=42637945

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
KR1020080134144A KR101008443B1 (en) 2008-12-26 2008-12-26 Measuring method for the coefficient of friction for work roll

Country Status (1)

Country Link
KR (1) KR101008443B1 (en)

Families Citing this family (3)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
KR101121474B1 (en) * 2010-12-01 2012-03-13 대성전기공업 주식회사 Method for determining moment of inertia and friction coefficient of dc servo motor system
CN106248279B (en) * 2016-07-28 2021-10-01 徐州工程学院 Rolling friction force and rolling friction coefficient measuring device
CN113441558B (en) * 2021-06-29 2022-07-12 杭州电子科技大学 Rolling mill rolling interface friction coefficient measuring device based on forward sliding method

Citations (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JPH03285719A (en) * 1990-04-02 1991-12-16 Sumitomo Metal Ind Ltd Measuring method for friction coefficient and deformation resistance of rolling mill
JPH07290126A (en) * 1994-04-27 1995-11-07 Hitachi Ltd Device for estimating friction coefficient
KR0135015B1 (en) * 1994-12-19 1998-06-15 김만제 Estimating method of friction factor
KR100349139B1 (en) 1995-12-30 2003-01-06 주식회사 포스코 Method for predicting coefficient of friction in cold rolling

Patent Citations (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JPH03285719A (en) * 1990-04-02 1991-12-16 Sumitomo Metal Ind Ltd Measuring method for friction coefficient and deformation resistance of rolling mill
JPH07290126A (en) * 1994-04-27 1995-11-07 Hitachi Ltd Device for estimating friction coefficient
KR0135015B1 (en) * 1994-12-19 1998-06-15 김만제 Estimating method of friction factor
KR100349139B1 (en) 1995-12-30 2003-01-06 주식회사 포스코 Method for predicting coefficient of friction in cold rolling

Also Published As

Publication number Publication date
KR20100076196A (en) 2010-07-06

Similar Documents

Publication Publication Date Title
EP2221121A1 (en) Strip rolling mill and its control method
KR20110137313A (en) Determining elastic modulus for continuous material web
JPWO2009037766A1 (en) Plate thickness controller
JP6212732B2 (en) Meander control method and meander control apparatus
JPWO2004082860A1 (en) Rolling method and rolling apparatus for metal sheet
KR101008443B1 (en) Measuring method for the coefficient of friction for work roll
US20130213103A1 (en) Control apparatus of rolling mill
KR100387016B1 (en) Strip thickness control apparatus for rolling mill
JP5790636B2 (en) Rolled material meander control method, rolled material meander control device, rolled material meander control program, and rolled material manufacturing method
JP6323384B2 (en) Steel plate meander control method, steel plate meander control device, and steel plate manufacturing method
CN111036686B (en) Estimation compensation method for eccentricity of supporting roller of cold rolling mill
JPH07164031A (en) Device for estimating and controlling warp caused by rolling
KR100780423B1 (en) Tension operation control system of hot strip mill and its control method
JP2016215241A (en) Rolling controller and rolling control method
KR100986849B1 (en) Measuring method of the limite angular acceleration for work roll and control method of slab using the work roll
JP2002210512A (en) Method for setting screw-down location in sheet rolling
JP2004050217A (en) Tension controller for tandem rolling mill
CN114570774B (en) Rolling force calculation method and device of rolling mill
JP2003275811A (en) Apparatus and method for controlling meandering of strip in tandem mill
JPH07246414A (en) Method for controlling wall thickness in tube end part with stretch reducer
JPH07132308A (en) Rolled camber predicting and controlling unit
JPS631124B2 (en)
JP2009113100A (en) Plate thickness controller of rolling mill, and plate thickness control method of rolling mill
JPS62192209A (en) Plate thickness control method for rolling mill
JP3369611B2 (en) Thickness control method in rolling

Legal Events

Date Code Title Description
A201 Request for examination
E701 Decision to grant or registration of patent right
GRNT Written decision to grant
FPAY Annual fee payment

Payment date: 20140106

Year of fee payment: 4

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20150102

Year of fee payment: 5

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20151218

Year of fee payment: 6

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20161223

Year of fee payment: 7

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20171207

Year of fee payment: 8

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20190108

Year of fee payment: 9

FPAY Annual fee payment

Payment date: 20200107

Year of fee payment: 10