KR100937476B1 - 향상된 흡음 성능을 갖는 흡음재 - Google Patents

Abstract

본 발명은 흡음 효과를 최대로 하는 흡음재의 최적 형상에 관한 것이다. 본 발명의 일 실시예에 따른 흡음재는 다공성 물질로 된 흡음재에 있어서, 상기 흡음재는 일방향으로 갈수록 단면적이 작아지는 웨지 형상의 웨지부 및 상기 웨지부의 단면적이 작은 일단에 형성되어 사발 형상의 바울부를 포함하며, 상기 웨지부의 단면적이 큰 일단은 벽과 이격되어 공기층을 형성하는 것을 특징으로 한다.

흡음재, 위상 최적화, 유한 요소법, Biot 방정식

Description

향상된 흡음 성능을 갖는 흡음재{Poroelastic acoustical foam having enhanced sound absorbing performance}

본 발명은 흡음재에 관한 것으로, 보다 상세하게는 저주파수 영역과 중간 주파수 영역의 흡음 효과를 향상시킨 흡음재의 최적 형상에 관한 것이다.

일반적으로, 흡음재는 소음 및 진동 저감을 목적으로 하며, 자동차, 비행기와 같은 기계 분야나 건축 분야에서 널리 사용되고 있다. 일반적으로 흡음재는 공기와 고체의 두 상(two phases)을 가진 다공성 물질(porous material)이다.

다공성 물질을 확대한 형상을 보여주는 도 1을 참조하면, 고체상이 다공성 물질의 골격(frame)을 형성하고 있고, 그 사이의 공극(pore)을 공기가 채우고 있음을 알 수 있다. 물리적으로 두 상 사이에서는 서로간의 역학적 영향을 끼치는 연성작용(coupling)이 일어나고, 그 결과, 음향적 운동(acoustic movement)이 열로서 소산된다. 따라서, 이러한 열 에너지의 소산 작용으로 인하여, 흡음재를 투과하거나 흡음재에서 반사되는 음파의 에너지는 감소됨으로써 소음저감의 효과를 나타내는 것이다.

이러한 흡음재의 개발 및 그 물성치의 해석 등에 관한 다양한 연구가 1930년 대부터 진행되고 있다. 특히, 1950년 대에 Maurice A. Biot는 다공성 물질을 진행하는 탄성파에 대한 이론 연구를 수행하여, 다공성 물질 해석의 기틀을 마련하였다. 다공성 물질에 관한 Biot의 연구는 토목공학, 석유시추공학, 토질공학 및 해양공학 등 다양한 분야에 직간접적인 영향을 끼쳤으며, 추후에는 흡음재에 대한 해석에까지 응용되기에 이르렀다.

Biot의 이론을 이용한 흡음재의 흡음 성능에 대한 다양한 연구가 기존에도 있어 왔는데, 그 대부분은 실험에 의존하였다. 이러한 연구를 통하여, 흡음재의 형상이 웨지(wedge) 또는 삼각뿔 형상을 가질 때 흡음 성능이 향상된다는 사실이 널리 알려져 있다. 이러한 웨지 형상의 흡음재는 현재까지도 널리 사용되고 있으며, 효과적인 흡음을 원하는 무향실 등에 주로 사용되고 있다.

도 2a와 도 2b는 단순한 사각형 형상의 다공성 물질과, 웨지 형상을 갖는 다공성 물질의 흡음 계수를 주파수 별로 도시한 그래프이다. 도 2a를 참조하면, 두 형상은 길이와 폭은 같으나, 흡음재의 사용량은 다르다. 도면에서 웨지 형상은 사각형 형상에 비해 65%의 흡음재를 사용한다. 이때, 흡음 계수를 주파수 별로 도시한 도 2b를 살펴보면 사각형 형상은 웨지 형상에 비하여, 저주파 대역의 일부 구간에서 상대적으로 성능이 우수한 것으로 나타나지만 대부분의 구간에서는 웨지 형상의 성능이 월등하다는 것을 확인할 수 있다. 즉, 웨지 형상이 사용되는 흡음재의 양이 적음에도 불구하고 높은 흡음 성능을 발휘하는 것을 보면, 흡음재의 물성치가 동일한 경우 흡음재의 흡음 성능은 형상에 의해서 크게 좌우됨을 알 수 있다.

그럼에도 불구하고, 대부분의 연구가 기존에 알려진 다공성 물질 형상을 바 탕으로 한 해석과 실험에 의해서 이루어졌을 뿐, 초기 형상 없이 다공성 물질의 최적 형상을 얻기 위한 연구는 수행된 바 없었다. 즉, 기존의 연구는 주로 다공성 물질의 특성 파악, 주어진 형상에 대한 성능의 해석, 그리고 이를 바탕으로 한 성능 개선이 대부분이었으며, 주어진 초기 형상을 바탕으로 반복적인 해석과 실험을 수행하는 방식으로 결과를 얻는 데 주력하였으며, 웨지 형상과 같은 초기 형상에 관한 최적 스케일을 구하는 정도에 그쳤을 뿐이다.

본 발명이 이루고자 하는 기술적 과제는, 초기 형상이 주어지지 않은 상태에서 주어진 제한 조건에서 소정의 목적 함수를 달성하기 위하여 최적화된 흡음재의 형상을 설계하고 그를 위한 장치 및 방법을 제공하고자 하는 것이다.

본 발명의 기술적 과제들은 이상에서 언급한 기술적 과제로 제한되지 않으며, 언급되지 않은 또 다른 기술적 과제들은 아래의 기재로부터 당업자에게 명확하게 이해될 수 있을 것이다.

상기한 기술적 과제를 달성하기 위한 본 발명의 일 실시예에 따른 흡음재는, 다공성 물질로 된 흡음재에 있어서, 상기 흡음재는 일방향으로 갈수록 단면적이 작아지는 웨지 형상의 웨지부; 및 상기 웨지부의 단면적이 작은 일단에 형성되어 사발 형상의 바울부를 포함하며, 상기 웨지부의 단면적이 큰 일단은 벽과 이격되어 공기층을 형성하는 것을 특징으로 한다.

본 발명에서는 위상 최적화 최적설계를 이용하여 광범위한 가청 주파수 대역에서 최대의 흡음능력을 갖는 다공성 물질의 형상에 관한 위상 최적화 설계 기법을 제안하였다. 본 발명은, 위상 최적화 최적 설계의 물성치 보간 기법의 도입을 통한 공기층을 특정한 물성치를 가진 다공성 물질로 표현하는 기법에 바탕을 두며, 결국 어떠한 기본적인 배치 내지 초기형상 없이도 원하는 성능을 갖는 다공성 물질의 형 상 설계를 가능케 한다. 본 발명에서 제안한 위상 최적화 최적 설계를 이용한 다공성 물질의 형상 설계 기법에 따르면, 다공성 물질을 갖는 기존의 형상에 비해서 흡음 성능을 상당히 개선할 수 있다는 장점이 있다. 특히, 저주파수 영역과 중간 주파수 영역에서 흡음 성능이 상당히 향상된 결과를 보여준다.

이하 첨부된 도면들을 참조하여 본 발명의 일 실시예를 상세히 설명한다.

본 발명의 이점 및 특징, 그리고 그것들을 달성하는 방법은 첨부되는 도면과 함께 상세하게 후술되어 있는 실시예들을 참조하면 명확해질 것이다. 그러나 본 발명은 이하에서 개시되는 실시예들에 한정되는 것이 아니라 서로 다른 다양한 형태로 구현될 것이며, 단지 본 실시예들은 본 발명의 개시가 완전하도록 하며, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자에게 발명의 범주를 완전하게 알려주기 위해 제공되는 것이며, 본 발명은 청구항의 범주에 의해 정의될 뿐이다. 명세서 전체에 걸쳐 동일 참조 부호는 동일 구성 요소를 지칭한다.

본 발명에서는 다공성 물질의 형상 설계를 위상 최적화 최적설계 문제로 공식화(formulation)하여 주어진 초기 형상 없이 설계해 낼 수 있는 새로운 방법론을 제시하고자 한다.

다공성 물질의 형상 설계를 위해서는, 우선 다공성 물질을 포함하는 음향 시스템에 대한 새로운 해석 방법이 필요하다. 기존의 해석방법은 다공성 물질로 이루어진 영역(domain)과 음파가 전달되는 공기층을 서로 다른 지배 방정식을 이용하여 해석하기 때문에, 두 영역 간의 경계에서 일일이 경계 조건(interface condition) 을 맞추는 복잡한 작업이 필요했다. 상기 경계 조건에는 변위의 연속성, 압력의 연속성 등이 포함된다. 뿐만 아니라, 해석을 진행함에 따라 경계의 위치가 변경되면 경계 조건을 맞추는 작업을 재차 반복하여야 한다. 따라서, 이러한 기존의 해석방법으로는 다공성 물질의 최적 형상을 설계하기에 무리가 있다.

도 3은 다공성 물질의 형상 최적화를 위해 설정된 전체 시스템의 예를 보여준다. 전체 시스템은 음향적 공기(acoustic air)가 존재하는 공기층 영역(31)과, 다공성 물질(poroelastic material)이 존재하는 다공성 물질 영역(32)으로 이루어진다. 다공성 물질 영역(32)은 형상 최적화를 위한 설계 영역에 해당한다. 공기층 영역(31)과 다공성 물질 영역(32)은 견고한 지지대(34)에 의하여 둘러싸여 있으며, 공기층 영역 중 일측은 개방되어 있다. 상기 개방된 일측으로 평면 음파를 입사한 후, 이에 따른 반사파를 측정함으로써 반사 계수를 계산할 수 있다. 일반적으로 반사 계수는 반사파의 진폭을 입사파의 진폭으로 나눔으로써 간단히 계산될 수 있다. 예를 들어, 반사파의 진폭이 0이면 반사 계수는 0이고, 반사파의 진폭이 입사파의 진폭과 같으면 반사 계수는 1이 된다. 반사 계수가 0이라는 것은 흡음재가 모든 입사파를 흡수했음을 의미하고, 반사 계수가 1이라는 것은 흡음 효과가 전혀 없었음을 의미하는 것이다. 이때 반사계수는 입사되는 음파의 주파수에 따라 달라진다. 이러한 반사 계수를 어떻게 감소시킬 것인가가 문제의 핵심이라고 볼 수 있다.

기존의 해석방법은 공기층 영역(31)에 대한 지배 방정식으로 Helmholtz 방정식을, 다공성 물질 영역(32)에 대한 지배 방정식으로는 Biot 방정식을 각각 이용하였다. 따라서, 전체 시스템에 대하여 두 개의 서로 다른 지배 방정식을 사용하기 때문에, 공기층 영역(31)과 다공성 물질 영역(32)의 경계(33)에서는 경계 조건을 맞추어 주어야 한다. 그리고, 상기 해석방법의 진행에 따라, 도 4와 같이 설계 영역인 다공성 물질 영역이 다양한 형태(41, 42, 43)로 변경되는 경우마다 각각의 경계(44, 45, 46)에서 일일이 다시 경계 조건을 맞추어 주어야 한다. 이와 같이, 기존의 해석방법은 다공성 물질이 특정한 초기 형상을 가지고 그 중 일부 스케일이 변화되는 정도의 케이스에서나 사용될 수 있을 뿐이고, 무수한 반복 해석이 요구되는 임의의 형상 최적화에 적용하기는 거의 불가능하다.

따라서, 다공성 물질의 형상 최적화를 위해서는 전체 시스템을 하나의 지배 방정식에 의하여 해석할 수 있도록 하는 것이 필요하다. 이에, 본 발명에서 다공성 물질을 해석하는데 널리 이용되어 온 Biot 방정식을 이용하되, 위상 최적화 최적 설계에서 사용되는 물성치 보간(material property interpolation)개념을 적용하여 다공성 물질과 공기층을 동일한 지배 방정식으로 해석하는 방법을 제안하고자 한다.

이를 위해서 설계 영역을 구성하는 복수의 요소(element) 내지 메시(mesh)마다 독립적인 설계 변수를 부여하고, 다공성 물질의 물성치를 설계 변수의 함수로 설정할 필요가 있다. 이를 통해 설계 영역의 각 요소들은 설계 변수의 값에 따라 다공성 물질과 공기층을 모두 표현할 수 있게 된다. 이와 같이 하면, 다공성 물질 영역과 공기층 영역을 서로 다른 지배 방정식이 아닌 동일한 Biot 방정식으로 해석 할 수 있으므로, 그 경계에서의 복잡한 경계조건도 필요 없게 된다. 그러므로, 초기 형상의 고려 없이도 다공성 물질의 최적 형상을 구해낼 수 있게 된다.

도 5와 같이, 본 발명에서는, 공기층 영역(31)의 설계 변수(χ_e)가 0으로, 다공성 물질 영역(32)의 설계 변수(χ_e)는 1로 설정된다. 여기서, 첨자 e는 요소의 식별 번호를 의미한다. 상기 설계 변수(χ_e)는 해당 요소가 공기층인지 다공성 물질인지를 나타낼 수 있을 뿐만 아니라, 실제로는 존재하지 않는 중간 물질도 나타낼 수 있다. 설계 변수(χ_e)는 0과 1 사이의 임의의 값을 가질 수 있으므로, 그 값에 따라 다양한 중간 물질을 표현할 수 있다. 물론, 이때 중간 물질의 물성치는 상기 설계 변수(χ_e)의 함수 형태로 보간될 수 있다.

정리하면, 본 발명은 전체 시스템에 하나의 지배 방정식(Biot 방정식)을 적용하여 유한 요소법, 유한 차분법 등의 수치 해석을 수행하되, 이때 설계 영역을 구성하는 각각의 요소의 물성치는 설계 변수(χ_e)에 의하여 보간된다. 또한, 설계 변수를 변경하면서 수치 해석을 반복하여, 제한 조건 및 목적 함수를 만족하는 최적의 설계 변수(수렴된 값: 0 또는 1)를 찾아내는 과정으로 위상 최적화를 수행한다. 따라서, 이하에서는 Biot 방정식, 물성치 보간 및 위상 최적화에 관하여 자세히 살펴볼 것이다.

Biot 방정식

다공성 물질에서는 외부로부터의 압력에 의해서 고체상의 변위가 발생을 하고 그에 따른 변형률(strain)과 응력(stress)이 발생한다. 또한, 외부로부터의 압력은 유체상에도 작용하는데 유체상의 용량의 변화(volume change)와 내부압력의 변화(pressure)를 야기시킨다. 무엇보다 중요한 점은 고체상에서의 변화가 유체상의 변화를 초래하기도 한다는 점이다. 물론, 반대로 유체상에서의 변화도 고체상의 변화를 초래한다. 따라서, 두 상은 서로 간에 연성작용(coupling) 을 일으킨다.

이러한 현상을 설명하기 위해서, Biot는 공극이 점성 유체로 채워진 다공성 물질에서의 탄성파 전달에 대해서 다음의 수학식 1과 같은 방정식을 제시하였다. 공기로 채워진 다공성 물질에서의 음파의 전달도 이 Biot 방정식에 의하여 설명될 수 있다. 수학식 1의 첫 번째 식은 고체상(solid-phase)에 작용하는 힘의 평형을 바탕으로 한 운동방정식을 의미하고, 두 번째 식은 유체상(fluid-phase)에 작용하는 힘의 평형을 바탕으로 한 운동방정식을 나타낸다. 두 식에 공통된 마지막 항은 고체 내의 공극에 의한 열 소산(heat dissipation)을 고려하여 부가된 항이다.

수학식 1에서 사용된 파라미터들은 다음의 표 1과 같이 정의된다. (∇는 그래디언트(gradient)를 표시함).

기호	의미
u	고체상의 변위 벡터 (solid-phase displacement vector)
U	유체상의 변위 벡터 (fluid-phase displacement vector)
e	∇·u
ε	∇·U
N	탄성 전단율 (elastic shear modulus)
A	라메 상수 (Lame' constant)
Q, R	연성 계수 (coupling coefficients)
ρ 11	고체상의 밀도 (density of solid-phase)
ρ 22	유체상의 밀도 (density of fluid-phase)
ρ 12	고체 사이의 공극을 흐르는 유체에 의한 질량 효과
b	점성 연성 계수 (viscous coupling coefficient) 또는 Darcy 계수

수학식 1과 같은 지배 방정식을 수치 해석에 의하여 풀기 위해서, 상기 지배 방정식에 갤러킨 방법(Galerkin method)을 적용하여 유한요소법(finite element method)으로 나타낼 수 있다. 상기 갤러킨 방법은 특정 지배 방정식을 기초로 유한 요소 모형을 생성하는, 당업계에 주지된 기술 중 하나이다.

물성치 보간

위상 최적화를 적용하기 위해서는, 설계 변수가 0과 1사이의 값을 갖는 중간 물질에 대한 고려가 필요하다. 상기 중간 물질은 실제로는 존재하지 않으며, 최종적으로는 제거되어야 하겠지만, 위상 최적화의 반복(iteration) 과정 중의 수치 해석 과정에서는 존재하는 물질과 마찬가지로 취급된다.

따라서, 중간 물질에 대한 물성치(표 1의 N 내지 b 등)를 어떻게 표현할 것인가가 문제인데, 본 발명에서, 중간 물질의 물성치는 설계 변수의 연속 함수로서 표현된다. 이와 같이, 요소 내의 물질의 상태를 연속적인 함수로 표현하는 것을 물성치 보간(Material property interpolation)이라고 정의할 수 있다.

본 발명의 일 실시예에 따르면, 중간 물질의 어떤 물성치(M_e)는 다음의 수학식 2와 같이 설계 변수(χ_e)의 함수로 표현될 수 있다. 상기 물성치(M_e)는 N, A, Q, R, ρ ₁₁, ρ ₂₂, ρ ₁₂, b 중 어느 하나를 의미한다.

M_e = χ_e ^r · (M_foam - M_air) + M_air

수학식 2에서, foam은 다공성 물질을, air는 공기를 표시하는 첨자이고, r은 함수의 곡률과 관계되는 차수이며, 각각의 물성치에 따라 서로 다른 값으로 선택될 수도 있다. M_foam 이 M_air 보다 작을 때에는 M_e는 도 6의 그래프 패턴 A을 따르게 되고, M_foam 이 M_air 보다 클 때에는 M_e는 도 6의 그래프 패턴 B를 따르게 된다.

위상 최적화

최적화(Optimization)는 많은 분야에서 여러 가지 의미로 정의될 수 있지만, 공학(工學)적인 관점에서는 주어진 상황 하에서 최적의 성능을 발휘할 수 있는 해(solution)을 찾아가는 과정 및 그 방법론을 의미한다. 특히, 구조물(structure)에 대한 관점에서 이러한 최적화에는 형상 최적화(Shape Optimization), 치수최적화 (Size Optimization) 및 위상 최적화(Topology Optimization)가 있다.

형상 최적화는 구조물의 전체 혹은 부분의 형상에 따른 성능의 차이를 이용하여 목적에 부합하는 최적의 구조물을 설계하는 방법이고, 치수 최적화는 주어진 구조물의 각 부분의 치수에 대해서 어떤 부분의 치수를 얼마만큼 변화시키면 더 나은 성능을 발휘할 수 있는가를 주안점으로 삼는 방법이다. 즉, 형상최적화와 치수 최적화의 공통점은 설계의 시작 시점에 있어서 기본적인 배치(layout)가 필요하다는 것이다. 형상최적화를 위해서는 기본적인 형상이 필요하고, 그것을 바탕으로 형상을 변화시켜가면서 설계를 진행해야 한다. 마찬가지로 치수최적화는 기본적인 치수가 주어져야 한다. 따라서 두 방법 모두 설계를 대상으로 하는 설계 영역이 제한적이어서 최적화의 폭이 좁아진다.

반면에, 위상 최적화는 어떠한 기본적인 배치 내지 초기 가정 없이도, 블랙박스(black-box)와 같은 상태에서 설계를 시작하여 목적에 최적으로 부합하는 구조물을 설계한다. 위상 최적화는 전체적인 형상 및 세부적인 치수를 한꺼번에 설계해 낸다. 즉, 설계자의 경험이나 숙련, 편견 여부에 상관없이 물리적으로나 수학적으로 합당한 최적의 구조물을 설계해 낼 수 있다는 장점을 갖는다.

위상 최적화는

와 Kikuchi에 의해서 처음으로 제안되었다. 초기의 연구는 주로 정적 하중을 받는 구조물에서의 최적설계에 적용되었으나, 최근에는 다양한 분야에서의 위상 최적화 적용 사례가 보고되고 있다.

위상 최적화를 이용한 설계 기법, 즉 위상 최적화최적설계를 위해서는 가장 중요한 개념인 "물질의 유/무"의 이해가 필요하다. 물질의 유/무는 곧 구조물의 경우 구조물을 이루는 재료가 있다/없다를 의미하고, 흡음재 최적설계의 경우에 있어서는 흡음재의 유무를 의미한다. 이러한 기본 개념에 의해 위상 최적화는 "설계영역 내에서 주어진 제한 조건하에서 목적에 최적으로 부합하는 물질의 분포를 얻어내는 과정"이라고 정의될 수 있다.

상기 재료의 유/무는 곧 물질의 분포를 나타낸다. 설계 영역 내의 물질의 분포를 다양하게 표현하기 위해서는 설계영역을 작은 단위들로 나눌 필요가 있다. 유한요소법 등에서는 상기 단위들을 요소 또는 메시라고 정의한다.

위상 최적화는 단순히 요소의 유무 만에 의하여 최적화를 수행하지는 않으며, 보다 물리적으로 합당하고(physically reasonable), 수학적으로 안정적이며(mathematically stable), 효과적(cost-effectively)으로 최적의 해를 얻어낸다. 가장 널리 이용되는 위상 최적화를 위한 알고리즘으로는 민감도 해석(Sensitivity analysis) 방법이 있다. 민감도란, 복수의 요소들 중 하나의 요소의 성질이 약간 변화했을 때 전체 구조의 성능의 변화량(목적 함수 값의 변화량)을 나타낸다. 이 민감도는 수학적으로는 미분 값을 의미하며, 어떤 함수를 미분하기 위해서는 함수가 정의된 정의 역에 대해서 연속하여야 한다.

이를 위해서는, 앞서 말한 요소의 두 가지 상태, 물질의 유/무를 표현함에 있어서 중간 단계의 요소(설계 변수가 0보다 크고 1보다 작은 요소)를 고려한다. 도 7을 참조하면, 물질이 꽉 찬 상태(χ_e=1)에서 출발하여 점점 요소 내의 물질이 줄어들다가(중간 물질 상태), 결국은 물질이 없는 상태(χ_e=0)가 되는 모습을 보여준다. 즉, 설계 영역을 구성하는 각 요소들은 다공성 물질과 공기 사이에서 연속적으로 변화하는 물질 즉, 중간 물질을 표현할 수 있는 것이다.

이때, 중간 물질에 대한 물성치들은 전술한 바와 같이, 해당 설계 변수에 의하여 연속함수로서 표현이 된다. 이산화된 설계 영역 내의 요소들이 모두 동일한 설계 변수를 가진 상태에서 최적 설계를 시작한다고 하면, 그때의 목적 함수 및 제한 조건을 이용하여 민감도 해석을 적용하면 보다 업그레이드된 설계 변수를 얻을 수 있다. 물론, 설계 변수가 업그레이드 되더라도, 전체 설계 영역에서의 제한 조건은 그대로 유지된다.

이러한 업그레이드 과정을 수차례 반복(iteration)하면, 더 이상 목적 함수의 값이 변경되지 않는 수렴 상태에 도달하게 되는데, 그 수렴 상태에서의 설계 변수가 바로 최적의 해라고 볼 수 있다.

이상의 기술 내용을 기반으로 하여, 이하에서는 본 발명의 일 실시예에 따른 흡음재 위상 최적화 장치의 구성에 대하여 설명한다. 도 8은 본 발명의 일 실시예에 따른 흡음재 위상 최적화 장치(100)의 구성을 도시하는 블록도이다. 흡음재 위상 최적화 장치(100)는 지배 방정식 결정부(110), 수치 해석부(120), 물성치 보간부(130), 설계 영역 설정부(140), 목적 함수 설정부(150) 및 위상 최적화부(160)를 포함하여 구성될 수 있다.

설계 영역 설정부(140)는 도 3과 같은 전체 시스템을 설정하고, 그 중에서 다공성 물질이 채워진 것으로 가정하는 설계 영역을 설정한다. 여기서, 설계영역의 오른쪽 측면은 고정되어 있고, 상하면은 견고한 지지대에 의하여 수직 방향 변위가 제한되어 있다. 따라서, 설계 영역 설정부(140)는 L₁, L₂ 및 H의 선택에 의하여 설계 영역을 설정할 수 있다.

지배 방정식 결정부(110)는 다공성 물질의 에너지 특성을 잘 표현할 수 있는 지배 방정식을 결정하고, 상기 지배 방정식을 기초로 하는 유한 요소 모형을 생성한다. 상기 유한 요소 모형에서 상기 설정된 설계 영역은 복수의 요소 내지 메시로 분할된다. 상기 지배 방정식으로는 Biot 방정식이 사용될 수 있으며, 상기 유한 요소 모형을 생성하는 데에는, 갤러킨 방법 등이 적용될 수 있다.

목적 함수 설정부(150)는 위상 최적화를 수행하는 기초가 되는 목적 함수를 설정한다. 흡음재 위상 최적화의 목적은 소정의 주파수 영역에 대해 최대의 흡음 계수 또는 최소의 반사 계수를 갖는 다공성 물질의 형상을 설계하는 것이다. 흡음 계수(α_n)와 반사 계수(R) 간에는 일반적으로 다음의 수학식 3과 같은 관계가 있다.

α_n = 1- |R|²

본 발명의 일 실시예에 따른 목적 함수(L)는 다음의 수학식 4와 같이 표시할 수 있다. 상기 목적 함수는 제한 조건을 포함하여야 하는데, 상기 제한 조건으로서는 질량 제한 조건을 사용한다. 즉, 설계 영역 내에서의 모든 요소들에 대한 설계 변수들의 합(Σχ_e)이 일정 값(V₀) 이하가 되도록 하는 조건이다.

수학식 4에서, w₁ 및 w₂는 가중치이며, 흡음 계수 α_n은 특정 주파수(f _i ) 및 설계 변수(χ_e)의 함수로 나타난다. 목적 함수에는

라는 벌칙함수(explicit penalty function)가 추가되어 있는데, 이는 위상 최적화 과정에서 수렴성을 증가시켜 최적 설계 결과의 안정성을 보장하기 위함이다.

위상 최적화부(160)는 민감도 기반의 위상 최적화 알고리즘을 적용하여 설계 변수를 업그레이드하고, 이러한 업그레이드 과정을 반복함으로써 다공성 물질의 최적화된 위상 최적화을 구한다. 보다 구체적으로 살펴 보면, 초기에 위상 최적화부(160)는 제한 조건을 만족하는 범위 내에서 설계 변수를 동일한 값으로 설정한다. 예를 들어, V₀가 0.6이라고 하면, 모든 요소들에 대한 설계 변수(χ_e)의 초기값은 0.6 이내로 설정된다.

그 다음, 위상 최적화부(160)는 각각의 요소에 대한 민감도를 계산한다. 이러한 민감도 계산 과정은, 위상 최적화부(160)가 설계 변수를 다소간 변경하는 과정과, 물성치 보간부(130)가 변경된 설계 변수로부터 수학식 2와 같이 물성치를 보간하는 과정과, 수치 해석부(120)가 상기 지배 방정식에 따른 해석 모델(예: 유한 요소 모델, 유한 차분 모델 등)에 상기 보간된 물성치를 적용하여 수치 해석을 수행하여 목적 함수의 출력 값(이하, 목적 함수 값이라고 함)을 계산하는 과정을 포함한다. 그런데, 상기 목적 함수 값을 구하기 위해서는 흡음 계수 α_n가 수치적으로 계산되어야 한다. 상기 수치 해석을 통하여, 흡음 계수 α_n은 반사되는 음파의 진폭과 입사되는 음파의 진폭의 비, 즉 R로부터 간단히 계산될 수 있다(수학식 3 참조).

이러한 과정을 거쳐서 설계 영역에 포함된 모든 요소들에 대하여 민감도 계산이 완료되면, 위상 최적화부(160)는 민감도의 크기에 따라서 각 요소들의 설계 변수를 조정한다. 이때에도, 모든 요소들에 대한 설계 변수들의 합은 0.6 이내로 제한된다.

이와 같이, 민감도에 따라 설계 변수를 조정함으로써 설계 영역 내의 설계 변수들(설계 변수 세트)은 1차 업그레이드 된 것이다.

그 다음부터는, 상기 업그레이드된 설계 변수들을 기초로, 수치 해석부(120)에서 흡음계수가 계산되어 목적함수 값이 새롭게 계산되고, 그에 대해서 위상 최적화부(160)는 다시 민감도를 계산하여, 설계 변수들을 다시 업그레이드 한다(2차 업그레이드).

상기와 같은 업그레이드 과정은 목적함수의 변화량이 소정 범위 내로 수렴될 때까지 반복하여 진행된다.

지금까지 도 8의 각 구성요소들은 메모리 상의 소정 영역에서 수행되는 태스크, 클래스, 서브 루틴, 프로세스, 오브젝트, 실행 쓰레드, 프로그램과 같은 소프트웨어(software)나, FPGA(field-programmable gate array)나 ASIC(application-specific integrated circuit)과 같은 하드웨어(hardware)로 구현될 수 있으며, 또 한 상기 소프트웨어 및 하드웨어의 조합으로 이루어질 수도 있다. 상기 구성요소들은 컴퓨터로 판독 가능한 저장 매체에 포함되어 있을 수도 있고, 복수의 컴퓨터에 그 일부가 분산되어 분포될 수도 있다.

도 9는 상기 같은 복수의 업그레이드 과정들을 순차적으로 나타낸 예를 보여준다. 최초 설계 영역(91)은 동일한 설계 변수들로 채워져 있다가, 업그레이드 과정들이 반복되면서, 최종적으로 수렴된 설계 변수들이 구해진다. 설계 영역(96)은 최종 수렴된 형상이고, 그에 포함된 설계 변수들은 최적화된 설계 변수들이 되는 것이다. 주목할 것은, 초기 업그레이드 단계에서는 중간 물질을 나타내는 회색 요소가 상당히 분포되어 있지만, 최종 수렴된 설계 영역(96)에서는 회색 요소가 존재하지 않는다는 것이다. 즉, 최종 수렴된 결과에서 각각의 요소는 다공성 물질(흑색 요소)과 공기(백색 요소) 중 하나로만 선택된다.

도 10은 전술한 위상 최적화 최적설계기법을 이용해서 최적 성능을 발휘할 수 있는 흡음재의 형상을 보여준다. 도 10에서 각각의 CASE는 도 3과 같은 설계영역 내에서 설계 영역을 채울 수 있는 흡음재의 양을 제한하여 최적화를 수행한 결과이다. CASE 1은 흡음재가 설계 영역의 50%, CASE 2는 흡음재가 설계 영역의 55%, CASE 3은 흡음재가 설계 영역의 60%, CASE 4는 흡음재가 설계 영역의 65%를 차지하도록 각각 제한하여 얻은 결과이다.

일반적으로 고주파수에서는 웨지 형상의 흡음재의 성능은 매우 좋은데, 고주파수에서는 흡음 계수의 값이 1에 가까운 값을 가진다. 따라서, 도 10에서는 일반적으로 웨지 형상에서 흡음재의 흡음 성능이 떨어지는 저주파수 및 중간 주파수를 포함하는 100Hz~1500Hz로 목적 주파수를 선정하여 최적화를 수행하였다. 이는 저주파에서 낮은 흡음 성능을 가지는 웨지 형상과는 다른 새로운 최적화된 흡음재 형상을 설계하기 위해서이다.

본 발명에 따른 개선된 웨지는 2차원 설계를 통하여 얻은 것이다. 따라서, 상기 3차원 공간상의 웨지는 도 10의 단면에 수직인 방향으로 균일한 형상을 갖는 것으로 해석될 있다. 또는, 상기 3차원 공간상의 웨지는 도 10의 단면이 길이 방향 축을 중심으로 회전한 형상을 갖는 것으로도 설계될 수 있다.

본 발명에서 제안하는 저주파수와 중간 주파수 영역에서 흡음 성능을 향상시킨 새로운 형태의 흡음재를 도 10을 참조로 설명하기로 한다.

먼저, 일방향으로 갈수록 단면적이 작아지는 웨지 형상의 웨지부(210)를 가진다. 도 10의 CASE 1에서 웨지부(210)는 최적화의 수행에 따라 그 경계가 직선의 형태는 아니지만 전체적으로 일방향으로 갈수록(도면에서 좌측으로 갈수록) 단면적이 작아지는 웨지 형상이다.

그리고, 웨지부(210)의 단면적이 작아지는 일단에는 사발 형상의 바울부(220)가 형성된다.

또한, 웨지부의 반대쪽 일단은 흡음재가 위치하는 벽과 이격되어 공기층(230)을 형성한다.

CASE 1의 형상적 특징은 흡음재의 양을 점차로 증가시킨 CASE 2, CASE 3, CASE 4에서도 대체로 일치한다. 단, CASE 4에서는 전술한 흡음재의 형상적 특징이 많이 사라지는 것을 알 수 있는데, 이는 흡음재의 양이 많아 짐에 따라서 흡음재의 형상적 특징보다는 흡음재의 양이 흡음 성능에 기여하는 정도가 커지기 때문이다.

다음의 도 11a 내지 도 11d는 도 10의 4가지 case와 종래의 웨지 형상에서의 흡음 계수를 비교하는 그래프들이다. 각 도면에서 본 발명에 따른 최적화된 형상과 종래의 웨지 형상은 같은 양의 흡음재를 사용한다. 즉, 도 11a, 11b, 11c, 11d에서 비교하는 종래의 웨지 형상에서 흡음재는 각각 전체 설계 영역의 50%, 55%, 60%, 65%를 차지한다. 도 11a 내지 도 11d에 나타난 바와 같이, 위상 최적화된 형상(case 1 내지 4)의 흡음 성능은 종래의 형상들과 비교할 때 전반적으로 향상되었음을 알 수 있다. 특히, 저주파수와 중간 주파수 영역에서 흡음 성능이 크게 향상되었음을 알 수 있다.

도 11a에서 주파수에 따른 흡음 계수를 보여주는 그래프를 살펴보면, 본 발명에 따른 최적화된 형상의 그래프에서 첫번째 피크점이 350Hz 근처에서 형성됨을 알 수 있다. 도 10을 참조로 전술한 공기층은 도 11a에서 피크점이 반복적으로 생기면서 진동하는 형상의 그래프를 생성한다. 또한 공기층은 첫번째 피크점의 위치를 저주파수 위치로 앞당기는 역할을 한다. 따라서 첫번째 피크점의 위치가 저주파수 위치로 앞당겨짐에 따라서 저주파수에서 흡음 성능이 향상된다.

그리고, 웨지부의 일단에 형성된 바울부는 중간 주파수 영역에서 흡음 성능을 향상시킨다. 공기층에 의해 진동하는 형상의 그래프가 형성되는데, 바울부는 중간 주파수 영역에서 진동에 따른 흔들림의 폭을 줄여주는 역할을 한다. 또한, 중간 주파수 영역에서 흡음 계수의 값을 전체적으로 높이는 역할을 한다. 이는 최적화된 형상에서 바울부를 제거하여 얻은 결과와 비교하여 알 수 있다.

이상 첨부된 도면을 참조하여 본 발명의 실시예를 설명하였지만, 본 발명이 속하는 기술분야에서 통상의 지식을 가진 자는 본 발명이 그 기술적 사상이나 필수적인 특징을 변경하지 않고서 다른 구체적인 형태로 실시될 수 있다는 것을 이해할 수 있을 것이다. 그러므로 이상에서 기술한 실시예들은 모든 면에서 예시적인 것이며 한정적이 아닌 것으로 이해해야 한다.

도 1은 다공성 물질을 확대한 형상을 보여주는 도면.

도 2는 단순한 사각형 형상의 다공성 물질과, 웨지 형상을 갖는 다공성 물질의 흡음 계수를 주파수 별로 도시한 그래프.

도 2a 단순한 사각형 형상의 다공성 물질과, 웨지 형상을 갖는 다공성 물질을 보여주는 도면.

도 2b는 도 2a의 두 형상에 대해서 흡음 계수를 주파수 별로 도시한 그래프.

도 3은 다공성 물질의 형상 최적화를 위해 설정된 전체 시스템의 예를 보여주는 도면.

도 4는 공기층 영역과 다공성 물질 영역의 다양한 경계의 예를 보여주는 도면.

도 5는 본 발명에서 제안한 방법을 이용하여 설계변수의 값에 따라 공기층 영역과 다공성 물질 영역을 나타낸 도면.

도 6은 수학식 2에 따른 물성치 보간의 과정을 보여주는 도면.

도 7은 공기 및 다공성 물질 이외의 중간 물질의 개념을 보여주는 도면.

도 8은 본 발명의 일 실시예에 따른 흡음재 위상 최적화 장치의 구성을 도시하는 블록도.

도 9는 상기 같은 복수의 업그레이드 과정들을 순차적으로 나타낸 예를 보여주는 도면.

도 10은 본 발명의 일 실시예에 따른 흡음재의 사용량의 변화에 따라 최적화 형상을 보여주는 도면.

도 11a 내지 도 11d는 도 10의 4가지 case와 종래의 웨지 형상에서의 흡음 계수를 비교하는 그래프들.

(도면의 주요부분에 대한 부호 설명)

100 : 흡음재 위상 최적화 장치 110 : 지배 방정식 결정부

120 : 수치 해석부 130 : 물성치 보간부

140 : 설계 영역 설정부 150 : 목적 함수 설정부

Claims (4)

1. 다공성 물질로 된 흡음재에 있어서, 상기 흡음재는

   일방향으로 갈수록 단면적이 작아지는 웨지 형상의 웨지부; 및

   상기 웨지부의 단면적이 작아지는 일단에 형성되어 사발 형상의 바울부를 포함하며,

   상기 웨지부의 단면적이 큰 일단은 벽과 이격되어 공기층을 형성하는 것을 특징으로 하는 흡음재.
2. 제 1 항에 있어서,

   상기 흡음재의 형상은

   상기 다공성 물질이 채워지는 설계 영역을 설정하고, 상기 설계 영역에 대하여 상기 다공성 물질의 에너지 특성을 나타내는 지배 방정식으로 Biot 방정식을 설정하고, 상기 다공성 물질이 소정의 주파수 영역에 대하여 최대의 흡음 계수 또는 최소의 반사 계수를 갖도록 하는 목적 함수를 설정하여 위상 최적화 기법에 의하여 도출되는 것을 특징으로 하는 흡음재.
3. 제 2 항에 있어서,

   상기 Biot 방정식에 사용되는 탄성 전단율, 라메 상수, 연성 계수, 고체상의 밀도, 유체상의 밀도, 및 점성 연성 계수를 포함하는 물성치는 0 내지 1사이의 값을 갖는 설계 변수에 의하여 다항식의 형태로 보간되는 것을 특징으로 하는 흡음재.
4. 제 3 항에 있어서, 상기 설계 변수는

   0이면 공기를, 1이면 다공성 물질을, 0과 1사이의 값이면 상기 공기와 상기 다공성 물질 사이의 중간 물질을 나타내는 것을 특징으로 하는 흡음재.

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