KR100529119B1 - 3차원 의료용 이미지의 합성을 위한 이미지 정합 방법 - Google Patents

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Abstract

본 발명은 병원에서 환자의 진단을 위해 사용되는 여러 의학용 사진들(CT, MRI 등)을 합성하기 위한 기본단계로서 상이한 두 개의 3차원 볼륨 정보를 동일한 위치와 자세를 갖도록 하는 정합 방법에 대한 것으로, 기존의 Mutual Information을 이용한 방법이 물체의 자세를 기술하는데 오일러각과 같은 선형좌표계를 사용한 것과 달리 여기에서는 수학적으로 물체의 위치와 자세를 표현하기 위해 사용되는 SE(3)행렬을 사용함으로써 보다 빠르고 정확한 정합이 가능하도록 한다. 이는 최적화 방법으로 사용된 Nelder-Mead 알고리즘을 선형벡터 공간에서 SE(3)공간으로 확장함으로써 이루어진다. 제시된 방법은 최적화 도중 발생할 수 있는 특이점으로 인한 비정상적인 정합을 미연에 방지하고 최적화의 단계별 효율을 높임으로써 총 정합에 걸리는 시간을 줄일 수 있는 장점이 있다.

Description

3차원 의료용 이미지의 합성을 위한 이미지 정합 방법{ALIGNMENT METHOD FOR FUSIONING 3-D MEDICAL IMAGES}
본 발명은 3차원 의료용 이미지의 합성(fusion)을 위한 이미지 정합(alignment) 방법에 관한 것으로, 보다 상세하게는 병원에서 환자의 진단을 위해 사용되는 여러 의학용 사진들(CT, MRI 등)을 합성(fusion)하기 위한 기본단계로서 상이한 두 개의 3차원 볼륨 정보를 동일한 위치와 자세를 갖도록 하는 정합(align)시키는 방법에 대한 것이다.
의료 진료의 목적으로 사용되는 이미지에는 CT, MRI, PET 등 여러가지가 있다. 각각의 이미지는 서로 다른 원리로 생성되기 때문에 그 이미지로부터 얻을 수 있는 데이터 또한 서로 다르게 된다.
MRI의 경우 높은 해상도로 인하여 신체 구조를 자세히 살필 수 있는 장점이 있는 반면 뼈와 같이 자성을 띄지 않는 부분이 나타나지 않는 단점이 있으며, PET의 경우 정상적으로 활동하지 않는 신체조직이 잘 드러나지만 해상도가 낮기에 실제 신체상의 어느 부위인가를 정확히 판별하기 어렵다.
이와 같이 각각의 이미지는 장단점이 있기 때문에, 도 1에 도시된 바와 같이 서로 다른 특성을 가지는 의료용 이미지 데이터(A,B)를 통합하여 이 모든 정보를 포함하는 하나의 이미지(C)로 만드는 것은 효율적인 의료 진단에 꼭 필요한 것이다.
이러한 영상 합성의 기본적인 단계 중 한가지가 바로 영상 볼륨간의 자세를 정합시키는 것이다. 이 과정은 두 영상 볼륨간의 최적 강체 변환을 찾는 것으로 나타난다. 이 과정은 대단히 복잡한 계산을 필요로 하기 때문에 영상 합성을 하는데 큰 비중을 차지하고, 이 과정의 정확도 및 속도가 전체 정합의 성공을 판별하게 된다.
본 발명은 강체 운동 그룹이 갖는 좌표 불변의 기하학적 특성을 이용하여 보다 빠르고 정확한 정합 알고리즘을 제시하는 것을 목적으로 한다.
잘 알려져 있듯이 강체 운동 그룹(혹은 Special Euclidean Group SE(3))은 6차원 비선형 공간을 이룬다. 과거의 정합 알고리즘은 주로 6개의 지역 변수를 이용하여(회전에 대해 3개, 이동에 대해 3개) 벡터공간에서의 표준화된 최적화를 수행하였다. 이러한 접근법의 문제는 어떠한 지역 좌표계를 선택한다 하더라도 특이점을 포함한다는 것이다. 또 한가지 문제점은 좌표계의 선택이 수치적 성능과 최적화의 최종 결과 모두에게 영향을 끼친다는 것이다. 하지만 본 발명의 접근법은 좌표 불변의 특징을 갖는다.
본 발명은 SE(3) 행렬의 리(Lie) 그룹 구조를 고려하여 목적함수의 기울기를 이용하지 않는 직접 최적화를 수행하고 벡터공간에서 직선에 대응되는 SE(3)의 리만 다양체의 지오데식을 사용하였다. 본 발명의 방법은 본질적으로 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘을 SE(3)공간으로 확장한 것으로 볼 수 있다.
이를 위해, 본 발명은 두 개의 3차원 의료용 이미지 데이터(A,B)를 합성(fusion)하여 하나의 이미지 데이터로 만드는 과정의 전(前)단계로서,[식 1](여기서, MI는 3차원 의료용 이미지 데이터(A,B) 간의 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)임.)로부터 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)을 최대로 하는 선형변환 T를 구함으로써 행해지며, 상기 선형변환 T가[식 2](여기서, R은 (이 때, 은 일반 선형군(General Linear Group)으로 실수로 이루어진 (nxn) 크기의 비특이행렬(nonsingular matrix)임.)를 만족하며; p는 (nx1) 크기의 위치 벡터임.)로부터 정의되는 SE(3)(이 때, R은 3차원 회전행렬 SO(3)에 속하는 (3x3) 크기의 회전행렬이고, p는 (3x1) 크기의 위치 벡터임.)으로 표현되는 것을 특징으로 하는, 3차원 의료용 이미지의 합성을 위한 이미지 정합 방법을 제공한다.본 발명은 방사선 진단과에서 사용되는 의학용 영상 데이터를 합성하기 위한 전(前)단계로서 상이한 두 개의 3차원 볼륨 정보를 동일한 위치와 자세를 갖도록 하는 정합 방법에 대한 것이다. 제시된 방법은 기존의 영상 합성법에 대해 영상 접합 과정에서 두 볼륨 데이터의 자세를 표현하는데 있어 6차원 벡터가 아닌 SE(3)행렬을 이용하였다. 목적함수의 값만으로 최적화를 수행하는 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘을 SE(3)행렬에 대해 확장함으로써 기존의 방법이 갖는 특이점 현상을 없애고 보다 정확하고 빠른 영상정합 방법을 제시하였다.
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의학용 이미지 데이터를 합성하는 과정은 도 2에 도시된 바와 같이, 먼저 서로 다른 특성을 가지는 두개의 이미지 데이터(A,B)를 정규화하는 단계(S100), 정규화된 이미지 데이터(A,B)의 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)을 구하는 과정(S200), 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)을 최대화하는 선형변환 T를 구하는 최적화 과정(S300), 단계(S300)에서 구해진 선형변환 T를 이용하여 정규화된 이미지 데이터(A,B)를 합성하는 과정(S400)으로 이루어지며, 이하에서는 본 발명에 해당하는 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)을 최대화하는 선형변환 T를 구하는 과정(S300)에 대하여 설명하며, 단계(S100), 단계(S200) 및 단계(S400)는 잘 알려져 있는 과정들이므로 그 설명을 생략한다.
1. 정합과정
3차원 볼륨 정합에 정보이론의 개념인 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)을 이용한 것은 1995년 Viola에 의한 것이 처음이다. 이는 기존의 정합법에서 이용하였던 물체의 표면 정보를 사용하지 않았기에 빛에 의한 조명 등에 안정되었고, 볼륨 내부의 정보를 모두 이용하였기에 노이즈가 많은 일반적인 상황에서도 보다 안정되고 정확한 성능을 보여주었다.
특히 이 방법은 CT, MRI와 같은 의료 영상의 분석에 사용되어 서로 다른 특성을 갖는 볼륨 데이터를 서로 정합하게 함으로써, Functional Brain Mapping과 같은 의료 영상 합성 분야에서 많이 사용하게 되었다. 여기서는 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)을 이용한 일반적인 3차원 볼륨 정합과정에 대해 설명한다.
1.1 문제정의
서로 다른 특성을 갖는 두 개의 볼륨 세트(이미지 데이터)를 A, B라고 하면, 3차원 공간상에서 두 볼륨을 정합시키는 과정은 다음을 만족하는 최적의 T를 구하는 것이라 볼 수 있다.
여기서, 두 볼륨의 유사도를 나타내는 함수인 MI는 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)을 나타낸다. 즉 볼륨 A를 선형변환 T에 의해 변환한 후 두 볼륨간의 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)을 최대로 하는 T를 찾는 것이다.
1.2 최적화
뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)에 기반한 정합 방법의 경우 목적함수를 SE(3)행렬에 대해 해석적으로 미분하는 것이 어렵고, 또한 목적함수의 계산 시간이 오래 걸리기 때문에 일반적으로 최적화 문제에 사용되는 함수 기울기 기반의 방법이 아닌 목적함수의 절대값만으로 최적화를 수행하는 직접 최적화 방법이 사용된다. 그 중에서도 실제 응용분야에서 자주 사용되는 넬더-미드(Nelder-Mead) 방법을 사용하여 최적화를 수행하였다.
다만 기존의 연구에서 최적화를 공간에서 수행했던 것에 반해, 본 발명에서는 이러한 최적화가 3차원 공간상에서 강체 운동이 갖는 특성을 적절히 반영하지 못한 문제점을 지적하고, 그 해결방안으로서 넬더-미드(Nelder-Mead) 방법을 SE(3)공간으로 확장한 새로운 최적화 방법을 제시하였다.
1.2.1 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘
최소다면체(simplex)를 이용한 직접 최적화 방법 중에 가장 널리 쓰이는 방법은 1965년에 처음 발표된 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘이다. 이 방법은 최적화 변수로 정의되는 공간상에 최소다면체를 정의하고 각 꼭지점들의 함수값을 이용하여 그 값들이 최소화하는 점을 찾아내는 방법이다. 매 최적화 단계마다 각 꼭지점에서의 목적함수 값을 비교하여 그 값이 줄어드는 방향으로 다면체를 움직여 최소값에 수렴시키게 된다.
최적화 변수가 차원 벡터 공간상의 한 점이 되고, 최적화되어야 할 함수가 일 때, 알고리즘의 k번째 단계는 다음과 같다. 매 단계 전에 n+1개의 꼭지점으로 이루어진 Δk가 주어지며, 다면체의 움직임과 관련된 4개의 변수값 (reflection(), expansion(), contraction(), shrinkage())을 미리 설정해 놓아야 한다. 이 파라미터값들은 일반적으로 다음과 같이 사용된다.
다음은 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘을 구현하기 위한 한 iteration을 정리한 것이다.
가. Order n+1개의 꼭지점에 대해 의 순서로 정합되도록 순서를 정한다.
나. Reflect 다음식으로부터 반사점 을 계산한다.
여기서, 는 n+1번째 꼭지점을 제외한 나머지 점들의 중심이다. 즉, 이다. 를 계산하여 만약 이면 반사점 을 선택하고 iteration을 끝낸다.
다. Expand 만약 이면, 확장점 를 다음 식으로부터 구한다.
를 계산하여 이면 를 선택하고 iteration을 끝낸다. 그렇지 않고 만약 이면 을 선택하고 iteration을 끝낸다.
라. Contract 만약 이면 과 중 목적함수값이 낮은 점과 간에 다면체를 축소과정을 수행한다.
a. Outside 만약 이면 바깥쪽 수축과정을 실시한다.
를 계산하여 만약 이면 를 선택하고 iteration을 끝낸다. 아니면 5번과정으로 간다.
b. Inside 만약 이면 안쪽 수축과정을 실시한다.
를 계산하여 만약 이면 를 선택하고 iteration을 끝낸다. 아니면 5번과정으로 간다.
마. Shrinkage 새로운 n개의 꼭지점을 다음식을 통하여 정의한다.
1.2.2 SO(3), SE(3)의 기하학적 특성
앞 절의 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘은 을 최적화 공간으로 하였을 때 사용할 수 있다. 기존의 제시된 방법에서 볼륨 정합을 수행할 때에 강체 운동에 대한 변수를 공간상의 한 점으로 생각하였기에 위의 알고리즘을 그대로 사용할 수 있었다.
하지만 강체 운동을 6차원 벡터로 나타내는 것은 여러 가지 문제점이 있다. 우선 회전운동에 대해 오일러각과 같은 3개의 독립된 파라미터로 표현하는 경우 특이점이 생기게 된다. 즉 두 개 이상의 점이 같은 회전운동을 나타내기 때문에 최적화 과정에 변화가 생길 여지가 있다. 또한 그러한 표현 방식은 좌표계에 의존하기 때문에 기준 좌표계에 따라 물리적 특성이 달라지게 되어 동일한 문제에 대해 여러 가지 최적화 경로가 생기게 되고, 이것은 전체적인 알고리즘의 수렴성 및 정확도에 영향을 미치게 된다.
이러한 면을 고려할 때 최적화 변수를 SE(3)로 표현하는 것이 타당하다. 이 절에서는 강체의 움직임을 표현하는데 사용되어지는 SO(3), SE(3) 그룹의 기하학적 특성에 대해 살펴본다.
우선 특수 직교군(Special Orthogonal Group), 즉 SO(3)는 다음과 같이 정의된다.
여기서, 는 일반 선형군(General Linear Group)으로 실수로 이루어진 n×n 크기의 비특이 행렬(nonsingular matrix)을 의미한다. 특히 SO(3)행렬은 회전행렬이라고도 불리며, 3차원 공간상에서 좌표계간의 자세를 나타내는데 사용된다. 이로부터 SE(n)은 다음과 같다.
SE(3)는 균질 변환행렬(Homogeneous Transformation Matrix)이라고도 불리며, 물리적으로 강체의 위치와 자세를 기술하는데 사용된다. 도 3에 도시된 바와 같이 SE(3)에 있어서, (3×3) 회전행렬 R 즉, SO(3)의 물리적 개념은 두 좌표계간의 자세(orientation)를 나타내는 것이며, (3×1) 위치 벡터 p 즉, 후술하는 이동()의 물리적 개념은 두 좌표계간의 변위(translation) 즉, 이동의 정도를 나타낸다.
1.2.3 SO(3)의 평균
넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘을 SO(3)공간상에 적용시키기 위해서는 다면체 상에서 목적함수값이 가장 낮은 점을 제외한 나머지 점들의 평균 에 해당하는 SO(3)행렬들의 평균이 필요하다. SO(3)의 원소 R1,...,RN 이 있을 때, Moakher에 따르면 유클리드 거리(Euclidean distance)로 정의되는 평균회전행렬은 다음과 같이 정의할 수 있다.
그리고 이것은 을 SO(3)공간으로 투영한 것과 동일하다. 원하는 는 을 최대화하는 직교행렬이 된다. 행렬 M을 SVD(Singular value decomposition) 하였을 때,
이면, SO(3) 공간에 투영된 평균은 다음과 같다.
이러한 방법으로 회전행렬들의 평균을 구할 수가 있고, 이를 이용하면 최소다면체에 대해 목적함수가 감소하는 방향을 결정할 수 있게 된다.
1.2.4 최단선(geodesic)에 따른 검색
넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘에서 유클리드 공간에서의 최적화 경로는 목적함수값이 최소가 되는 과 나머지 점들의 평균점 를 잇는 직선상에 존재한다. 즉, 에서 의 값에 따라 반전과정, 확대과정 등이 결정되는 것이다. 리만공간과 같은 비유클리드공간에서는 이와 같은 최적화 경로를 최단선(minimal geodesic)상에서 정의할 수 있다. 최단선은 공간상의 2점을 잇는 다양체(manifold)상의 최단경로를 의미하며, 위에서 정의된 SO(3) 공간상의 리만 metric을 이용하면, 두 회전행렬 를 연결하는 최단 곡선은 다음과 같다.
따라서 최소다면체의 움직임에 관련된 파라미터를 라고 하면, 최단선에 따른 다음 꼭지점은 다음과 같다.
1.2.5 SE(3) 최적화
앞에서 정의된 SO(3)의 평균과 그 공간에서의 최단선을 이용하면, SE(3)공간에서의 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘을 이용한 최적화를 수행할 수 있다. 최적화는 SE(3)에 대한 최단선을 이용하는 대신 SO(3)와 에서의 좌표강하법(Cyclic Coordinate Descent Method)을 이용한다.
알려져 있듯이 SE(3)에서 정의된 메트릭(metric)은 길이 비율에 종속적이기 때문에 최적화를 수행하기에 적합하지 않다. 즉 회전과 이동에 대한 크기의 정의가 서로 독립적이기 때문에 두 크기의 비율을 어떻게 정의하느냐에 따라 최적화의 특성이 달라지게 된다. 극단적인 예로 만일 이동()에 대한 가중치를 아주 크게 하게 되면 최적화가 수행될 때 목적함수의 변화가 회전에 대해서보다 이동치에 대해 훨씬 민감하게 변화하게 될 것이다. 따라서 이러한 면을 고려할 때 좌표강하법을 이용하여 SO(3)와 를 번갈아 최적화하는 것이 타당하다.
공간에서의 최적화는 앞절에 소개한 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘을 이용하여 최적화를 수행하면 된다.
그리고 SO(3)공간에서의 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘을 이용한 최적화는 다음과 같이 이루어진다.
가. Order n+1개의 꼭지점에 대해 의 순서로 정합되도록 순서를 정한다.
나. Reflect 다음식으로부터 반사점 를 계산한다.
여기서, 은 를 제외한 나머지 점들의 중심으로 앞선 1.2.3절에서 설명한 방법으로 계산한다. 를 계산하여 만약 이면 반사점 을 선택하고 iteration을 끝낸다.
다. Expand 만약 이면, 확장점 를 다음 식으로부터 구한다.
를 계산하여 이면 를 선택하고 iteration을 끝낸다. 그렇지 않고 만약 이면 을 선택하고 iteration을 끝낸다.
라. Contract 만약 이면 과 중 목적함수값이 낮은 점과 간에 다면체를 축소과정을 수행한다.
a. Outside 만약 이면 바깥쪽 수축과정을 실시한다.
를 계산하여 만약 이면 를 선택하고 iteration을 끝낸다. 아니면 5번과정으로 간다.
b. Inside 만약 이면 안쪽 수축과정을 실시한다.
를 계산하여 만약 이면 를 선택하고 iteration을 끝낸다. 아니면 5번과정으로 간다.
5. Shrinkage 새로운 n개의 꼭지점을 다음식을 통하여 정의한다.
본 발명은 최적화 방법으로 사용된 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘을 선형벡터 공간에서 SE(3)공간으로 확장함으로써 이루어지며, 최적화 도중 발생할 수 있는 특이점으로 인한 비정상적인 정합을 미연에 방지하고 최적화의 단계별 효율을 높임으로써 총 정합에 걸리는 시간을 줄일 수 있는 장점이 있다.
도 1은 합성 전후의 의료용 영상을 나타내는 도면,
도 2는 의료용 이미지 데이터를 합성하는 과정을 설명하는 도면,
도 3은 SE(3)의 물리적 개념을 설명하는 도면.

Claims (6)

  1. 삭제
  2. 삭제
  3. 삭제
  4. 삭제
  5. 삭제
  6. 두 개의 3차원 의료용 이미지 데이터(A,B)를 합성(fusion)하여 하나의 이미지 데이터로 만드는 과정의 전(前)단계로서,
    [식 1]
    (여기서, MI는 3차원 의료용 이미지 데이터(A,B) 간의 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)임.)
    로부터 뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)을 최대로 하는 선형변환 T를 구함으로써 행해지며,
    상기 선형변환 T가
    [식 2]
    (여기서, R은 (이 때, 은 일반 선형군(General Linear Group)으로 실수로 이루어진 (nxn) 크기의 비특이행렬(nonsingular matrix)임.)를 만족하며;
    p는 (nx1) 크기의 위치 벡터임.)
    로부터 정의되는 SE(3)(이 때, R은 3차원 회전행렬 SO(3)에 속하는 (3x3) 크기의 회전행렬이고, p는 (3x1) 크기의 위치 벡터임.)으로 표현되고,
    뮤추얼 인포메이션(Mutual Information)을 최대로 하는 선형변환 T를 구하는 과정은 좌표강하법을 이용하여 3차원 회전행렬 SO(3)과 3차원 위치 벡터 p를 번갈아 최적화함으로써 이루어지며,
    3차원 회전행렬 SO(3)과 3차원 위치 벡터 p를 번갈아 최적화하는 과정은 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘을 이용하고,
    3차원 회전행렬 SO(3) 공간상의 최적화 과정은 선형공간에서의 넬더-미드(Nelder-Mead) 알고리즘을 SO(3)공간의 평균과 최단선(geodesic)을 이용하여 SO(3)공간으로 확장시킨 것으로, 최단선(geodesic) 상에서 최적화 경로가 정의되는 것을 특징으로 하는 3차원 의료용 이미지의 합성을 위한 이미지 정합방법.
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DE112008001642T5 (de) 2007-06-22 2010-12-09 Cybermed Inc. Verfahren zum Bestimmen der Position einer Elektrode zur tiefen Hirnstimulation
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WO2015175848A1 (en) * 2014-05-14 2015-11-19 The Johns Hopkins University System and method for automatic localization of structures in projection images

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