JPH1152854A - 有限体上の四則演算装置及び楕円曲線上の群演算装置 - Google Patents
有限体上の四則演算装置及び楕円曲線上の群演算装置Info
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- JPH1152854A JPH1152854A JP9206995A JP20699597A JPH1152854A JP H1152854 A JPH1152854 A JP H1152854A JP 9206995 A JP9206995 A JP 9206995A JP 20699597 A JP20699597 A JP 20699597A JP H1152854 A JPH1152854 A JP H1152854A
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- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
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- G06F7/60—Methods or arrangements for performing computations using a digital non-denominational number representation, i.e. number representation without radix; Computing devices using combinations of denominational and non-denominational quantity representations, e.g. using difunction pulse trains, STEELE computers, phase computers
- G06F7/72—Methods or arrangements for performing computations using a digital non-denominational number representation, i.e. number representation without radix; Computing devices using combinations of denominational and non-denominational quantity representations, e.g. using difunction pulse trains, STEELE computers, phase computers using residue arithmetic
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Abstract
(57)【要約】
【課題】 有限体の逐次２次拡大を利用して高速化を計
る青木の方法における正規基底を用いて有限体上の演算
を行なっていた部分を、別の基底を取ることより高速化
することが可能な有限体上の四則演算装置及び有限体上
の群演算装置を提供する。 【解決手段】 本発明は、有限体ＧＦ（２2n）上の演算
を標準基底を用いる。つまり、有限体ＧＦ（２e2t ）
は、部分体としてＧＦ（２e2t-1 ）を持ち、またＧＦ
（２e2t-1 ）のベクトル空間とみなすことができる。こ
のことからＧＦ（２e2 t ）上の演算をＧＦ（２e2t-1 ）
上の演算に帰着できることを利用して、加算、乗算、２
乗、逆元等の四則演算を行う。
る青木の方法における正規基底を用いて有限体上の演算
を行なっていた部分を、別の基底を取ることより高速化
することが可能な有限体上の四則演算装置及び有限体上
の群演算装置を提供する。 【解決手段】 本発明は、有限体ＧＦ（２2n）上の演算
を標準基底を用いる。つまり、有限体ＧＦ（２e2t ）
は、部分体としてＧＦ（２e2t-1 ）を持ち、またＧＦ
（２e2t-1 ）のベクトル空間とみなすことができる。こ
のことからＧＦ（２e2 t ）上の演算をＧＦ（２e2t-1 ）
上の演算に帰着できることを利用して、加算、乗算、２
乗、逆元等の四則演算を行う。
Description
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、有限体上の四則演
算装置及び楕円曲線上の群演算装置に係り、特に誤り訂
正符号（代数幾何符号など）や、楕円曲線上の群演算を
用いて構成される鍵配送や認証に代表される情報セキュ
リティ技術（楕円暗号など）を実現するための有限体上
の四則演算装置及び楕円曲線上の群演算装置に関する。
算装置及び楕円曲線上の群演算装置に係り、特に誤り訂
正符号（代数幾何符号など）や、楕円曲線上の群演算を
用いて構成される鍵配送や認証に代表される情報セキュ
リティ技術（楕円暗号など）を実現するための有限体上
の四則演算装置及び楕円曲線上の群演算装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】標数２の有限体（以下、特に断らない場
合「有限体」といえば標数２の有限体を指す）はデータ
構造を計算機に合わせ易く、また誤り訂正符号や暗号理
論で用いることができるので重要である。有限体ＧＦ
（２n ）の個々の元は、ＧＦ（２）上ｎ次の既約多項式
ｆ（Ｘ）を用いて、
合「有限体」といえば標数２の有限体を指す）はデータ
構造を計算機に合わせ易く、また誤り訂正符号や暗号理
論で用いることができるので重要である。有限体ＧＦ
（２n ）の個々の元は、ＧＦ（２）上ｎ次の既約多項式
ｆ（Ｘ）を用いて、
【０００３】
【数６】
【０００４】と表すことができるのでｎ−１次以下の多
項式で表すことができる。つまり、多項式の係数ＧＦ
（２）をビットとみなすことにより、ｎビットの数でＧ
Ｆ（２n）を表せる。このように表現した場合、加算
（減算は標数２の体の場合は加算と同じであることに注
意）はｎビットの排他的論理和で表すことができるので
容易かつ効率的に実装可能であるが、乗算や除算の実装
は素直にｎ−１次多項式の積を計算し、ｆ（Ｘ）の剰余
を計算するより効率的な方法が考えられている。
項式で表すことができる。つまり、多項式の係数ＧＦ
（２）をビットとみなすことにより、ｎビットの数でＧ
Ｆ（２n）を表せる。このように表現した場合、加算
（減算は標数２の体の場合は加算と同じであることに注
意）はｎビットの排他的論理和で表すことができるので
容易かつ効率的に実装可能であるが、乗算や除算の実装
は素直にｎ−１次多項式の積を計算し、ｆ（Ｘ）の剰余
を計算するより効率的な方法が考えられている。
【０００５】例えば、ｎが２で多く（例えば１６回以
上）割れる場合に青木の方法（文献「K. Aoki and K. O
hta: "Operations in Ｆ2 n y Software Implementati
on, "Proceedings of 1997 Symposium on Cryptography
and Inforamtion Security, SCIS'97'14A」）という効
率的な方法が示されている。この方法は、有限体ＧＦ
（２2n）が、
上）割れる場合に青木の方法（文献「K. Aoki and K. O
hta: "Operations in Ｆ2 n y Software Implementati
on, "Proceedings of 1997 Symposium on Cryptography
and Inforamtion Security, SCIS'97'14A」）という効
率的な方法が示されている。この方法は、有限体ＧＦ
（２2n）が、
【０００６】
【数７】
【０００７】で表されているときに、αをｘ2 ＋ｘ＋ａ
＝０の根としてＧＦ（２2n）をＧＦ（２n ）上の２次元
のベクトル空間とみなしたときの基底を正規基底［αα
＋１］と取ったときに、式 （ｘ1 α＋ｙ1 （α＋１））×（ｘ2 α＋ｙ2 （α＋
１））＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａ（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2 ＋
ｙ2 ））α＋（ｙ1 ｙ2 ＋ａ（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ
2 ））（α＋１） より、ＧＦ（２2n）上の乗算をＧＦ（２n ）上の四則演
算を用いて計算できることに基づいている。また特に２
乗の場合は、式 （ｘα＋ｙ（α＋１））2＝（ｘ2 ＋ａ（ｘ2 ＋
ｙ2 ））α＋（ｙ2 ＋ａ（ｘ2 ＋ｙ2 ））（α＋１） 逆元演算については、式 （ｘα＋ｙ（α＋１））-1＝（ａ（ｘ＋ｙ）2 ＋ｘｙ）
-1（ｙα＋ｘ（α＋１）） を用いて乗算と同様にして、ＧＦ（２2n）上の演算をＧ
Ｆ（２n ）上の四則演算を用いて計算できることに基づ
いている。
＝０の根としてＧＦ（２2n）をＧＦ（２n ）上の２次元
のベクトル空間とみなしたときの基底を正規基底［αα
＋１］と取ったときに、式 （ｘ1 α＋ｙ1 （α＋１））×（ｘ2 α＋ｙ2 （α＋
１））＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａ（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2 ＋
ｙ2 ））α＋（ｙ1 ｙ2 ＋ａ（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ
2 ））（α＋１） より、ＧＦ（２2n）上の乗算をＧＦ（２n ）上の四則演
算を用いて計算できることに基づいている。また特に２
乗の場合は、式 （ｘα＋ｙ（α＋１））2＝（ｘ2 ＋ａ（ｘ2 ＋
ｙ2 ））α＋（ｙ2 ＋ａ（ｘ2 ＋ｙ2 ））（α＋１） 逆元演算については、式 （ｘα＋ｙ（α＋１））-1＝（ａ（ｘ＋ｙ）2 ＋ｘｙ）
-1（ｙα＋ｘ（α＋１）） を用いて乗算と同様にして、ＧＦ（２2n）上の演算をＧ
Ｆ（２n ）上の四則演算を用いて計算できることに基づ
いている。
【０００８】
【発明が解決しようとする課題】青木の方法は、有限体
の逐次２次拡大を利用して高速化を計っている。しか
し、２次拡大を行なう場合の基底の取り方については最
適なものが使われているとの根拠はない。本発明では、
青木の方法では正規基底を用いて有限体上の演算を行な
っていた部分を別の基底を取ることより高速化すること
が可能な有限体上の四則演算装置及び有限体上の群演算
装置を提供することを目的とする。
の逐次２次拡大を利用して高速化を計っている。しか
し、２次拡大を行なう場合の基底の取り方については最
適なものが使われているとの根拠はない。本発明では、
青木の方法では正規基底を用いて有限体上の演算を行な
っていた部分を別の基底を取ることより高速化すること
が可能な有限体上の四則演算装置及び有限体上の群演算
装置を提供することを目的とする。
【０００９】
【課題を解決するための手段】第１の発明は、有限体Ｇ
Ｆ（２2n）上で、ＧＦ（２2n）＝ＧＦ（２n ）（α）と
なる
Ｆ（２2n）上で、ＧＦ（２2n）＝ＧＦ（２n ）（α）と
なる
【００１０】
【数８】
【００１１】を満たすαを用いて四則演算を行う有限体
上の四則演算装置であって、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ
2 ＋ｙ2 α）＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ1 ｙ2 ）＋（（ｘ 1 ＋
ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ
1 ，ｙ2 ∈ＧＦ（２ n ））に基づき乗算を計算する乗算
手段を有する。第２の発明は、有限体ＧＦ（２2n）上
で、ＧＦ（２2n）＝ＧＦ（２n ）（α）となる
上の四則演算装置であって、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ
2 ＋ｙ2 α）＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ1 ｙ2 ）＋（（ｘ 1 ＋
ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ
1 ，ｙ2 ∈ＧＦ（２ n ））に基づき乗算を計算する乗算
手段を有する。第２の発明は、有限体ＧＦ（２2n）上
で、ＧＦ（２2n）＝ＧＦ（２n ）（α）となる
【００１２】
【数９】
【００１３】を満たすαを用いて四則演算を行う有限体
上の四則演算装置であって、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）2 ＝
（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2 α（ｘ1 ，ｘ2 ∈ＧＦ
（２n ））に基づき２乗を計算する２乗計算手段を有す
る。第３の発明は、有限体ＧＦ（２2n）上で、ＧＦ（２
2n）＝ＧＦ（２n ）（α）となる
上の四則演算装置であって、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）2 ＝
（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2 α（ｘ1 ，ｘ2 ∈ＧＦ
（２n ））に基づき２乗を計算する２乗計算手段を有す
る。第３の発明は、有限体ＧＦ（２2n）上で、ＧＦ（２
2n）＝ＧＦ（２n ）（α）となる
【００１４】
【数１０】
【００１５】を満たすαを用いて四則演算を行う有限体
上の四則演算装置であって、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝
（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ａｙ1 2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ1）
＋ｙ1 α）（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき逆元
を計算する逆元計算手段を有する。第４の発明は、多項
式ｐ，ｑ∈ＧＦ（２2n）［Ｘ1 ，Ｘ2 ，・・・，Ｘr ］
の計算中現れるＧＦ（２2n）上の乗算を乗算手段と２乗
計算手段を用いることにより計算し、ｑのＧＦ（２2n）
上の逆元ｑ-1を逆元計算手段を用いて計算し、ｐ，ｑを
計算したときと同じ方法によりｐ×ｑ-1を計算すること
により有理式
上の四則演算装置であって、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝
（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ａｙ1 2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ1）
＋ｙ1 α）（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき逆元
を計算する逆元計算手段を有する。第４の発明は、多項
式ｐ，ｑ∈ＧＦ（２2n）［Ｘ1 ，Ｘ2 ，・・・，Ｘr ］
の計算中現れるＧＦ（２2n）上の乗算を乗算手段と２乗
計算手段を用いることにより計算し、ｑのＧＦ（２2n）
上の逆元ｑ-1を逆元計算手段を用いて計算し、ｐ，ｑを
計算したときと同じ方法によりｐ×ｑ-1を計算すること
により有理式
【００１６】
【数１１】
【００１７】を計算する有理式計算手段を有する。第５
の発明は、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ2 ＋ｙ2 α）＝
（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ1ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2 ＋
ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ∈ＧＦ
（２n ））に基づき乗算を計算する乗算手段と、式（ｘ
1 ＋ｙ1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2 α（ｘ
1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき２乗を計算する２乗
計算手段と、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ
1 ）＋ａｙ1 2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ 1 ）＋ｙ1 α）
（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき逆元を計算する
逆元計算手段と、多項式ｐ，ｑ∈ＧＦ（２2n）［Ｘ1 ，
Ｘ2 ，・・・，Ｘr ］の計算中現れるＧＦ（２2n）上の
乗算を乗算手段と２乗計算手段を用いることにより計算
し、ｑのＧＦ（２2n）上の逆元ｑ-1を逆元計算手段を用
いて計算し、ｐ，ｑを計算したときと同じ方法によりｐ
×ｑ-1を計算することにより有理式
の発明は、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ2 ＋ｙ2 α）＝
（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ1ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2 ＋
ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ∈ＧＦ
（２n ））に基づき乗算を計算する乗算手段と、式（ｘ
1 ＋ｙ1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2 α（ｘ
1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき２乗を計算する２乗
計算手段と、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ
1 ）＋ａｙ1 2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ 1 ）＋ｙ1 α）
（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき逆元を計算する
逆元計算手段と、多項式ｐ，ｑ∈ＧＦ（２2n）［Ｘ1 ，
Ｘ2 ，・・・，Ｘr ］の計算中現れるＧＦ（２2n）上の
乗算を乗算手段と２乗計算手段を用いることにより計算
し、ｑのＧＦ（２2n）上の逆元ｑ-1を逆元計算手段を用
いて計算し、ｐ，ｑを計算したときと同じ方法によりｐ
×ｑ-1を計算することにより有理式
【００１８】
【数１２】
【００１９】を計算する有理式計算手段と、有限体ＧＦ
（２2n）上の楕円曲線Ｅ（ＧＦ（２2n））上の群の無限
遠点Οでない元をアフィン座標（ｘ，ｙ）で表したと
き、群の逆元（ｉ，ｊ）のｉ，ｊはｘ，ｙの有理式で表
せることから、有理式計算手段を用いて使い楕円曲線上
の群の元の逆元を求める楕円曲線上の元の逆元計算手段
を有する。
（２2n）上の楕円曲線Ｅ（ＧＦ（２2n））上の群の無限
遠点Οでない元をアフィン座標（ｘ，ｙ）で表したと
き、群の逆元（ｉ，ｊ）のｉ，ｊはｘ，ｙの有理式で表
せることから、有理式計算手段を用いて使い楕円曲線上
の群の元の逆元を求める楕円曲線上の元の逆元計算手段
を有する。
【００２０】第６の発明は、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ
2 ＋ｙ2 α）＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ1ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋
ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ
1 ，ｙ2 ∈ＧＦ（２n ））に基づき乗算を計算する乗算
手段と、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）
＋ｙ1 2 α（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき２乗
を計算する２乗計算手段と、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝
（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ａｙ1 2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ 1 ）
＋ｙ1 α）（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき逆元
を計算する逆元計算手段と、有限体ＧＦ（２2n）上の楕
円曲線Ｅ（ＧＦ（２2n））上の群の無限遠点Οでない２
つの元をアフィン座標（ｘ1 ，ｙ1 ），（ｘ2 ，ｙ2 ）
で表したとき、和（ｘ3 ，ｙ3 ）＝（ｘ1 ，ｙ1 ）＋
（ｘ2 ，ｙ2 ）のｘ3 ，ｙ3 は（ｘ1 ，ｙ1 ）≠
（ｘ2 ，ｙ2 ）かつ（ｘ1 ，ｙ1 ）≠−（ｘ2 ，ｙ2 ）
であるときｘ1 ，ｙ1，ｘ2 ，ｙ2 の有理式で表せるこ
とから、逆元計算手段を用いて楕円曲線上の群の元の和
を求める加算手段を有する。
2 ＋ｙ2 α）＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ1ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋
ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ
1 ，ｙ2 ∈ＧＦ（２n ））に基づき乗算を計算する乗算
手段と、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）
＋ｙ1 2 α（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき２乗
を計算する２乗計算手段と、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝
（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ａｙ1 2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ 1 ）
＋ｙ1 α）（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき逆元
を計算する逆元計算手段と、有限体ＧＦ（２2n）上の楕
円曲線Ｅ（ＧＦ（２2n））上の群の無限遠点Οでない２
つの元をアフィン座標（ｘ1 ，ｙ1 ），（ｘ2 ，ｙ2 ）
で表したとき、和（ｘ3 ，ｙ3 ）＝（ｘ1 ，ｙ1 ）＋
（ｘ2 ，ｙ2 ）のｘ3 ，ｙ3 は（ｘ1 ，ｙ1 ）≠
（ｘ2 ，ｙ2 ）かつ（ｘ1 ，ｙ1 ）≠−（ｘ2 ，ｙ2 ）
であるときｘ1 ，ｙ1，ｘ2 ，ｙ2 の有理式で表せるこ
とから、逆元計算手段を用いて楕円曲線上の群の元の和
を求める加算手段を有する。
【００２１】第７の発明は、式 （ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ2 ＋ｙ2 α）＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａ
ｙ1 ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ
2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ∈ＧＦ（２n ）） に基づき乗算を計算する乗算手段と、式（ｘ1 ＋ｙ
1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2 α（ｘ1 ，ｙ
1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき２乗を計算する２乗計算手
段と、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋
ａｙ1 2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ1）＋ｙ1 α）（ｘ1 ，ｙ1
∈ＧＦ（２n ））に基づき逆元を計算する逆元計算手段
と、有限体ＧＦ（２2n）上の楕円曲線Ｅ（ＧＦ
（２2n））上の群の無限遠点Οでない元をアフィン座標
（ｘ，ｙ）で表したとき、２倍（ｘ3 ，ｙ3 ）＝２
（ｘ，ｙ）のｘ3 ，ｙ3 は（ｘ1 ，ｙ）≠−（ｘ，ｙ）
であるときｘ，ｙの有理式で表せることから、逆元計算
手段を用いて楕円曲線上の群の元の２倍を求める２倍算
手段を有する。
ｙ1 ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ
2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ∈ＧＦ（２n ）） に基づき乗算を計算する乗算手段と、式（ｘ1 ＋ｙ
1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2 α（ｘ1 ，ｙ
1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき２乗を計算する２乗計算手
段と、式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋
ａｙ1 2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ1）＋ｙ1 α）（ｘ1 ，ｙ1
∈ＧＦ（２n ））に基づき逆元を計算する逆元計算手段
と、有限体ＧＦ（２2n）上の楕円曲線Ｅ（ＧＦ
（２2n））上の群の無限遠点Οでない元をアフィン座標
（ｘ，ｙ）で表したとき、２倍（ｘ3 ，ｙ3 ）＝２
（ｘ，ｙ）のｘ3 ，ｙ3 は（ｘ1 ，ｙ）≠−（ｘ，ｙ）
であるときｘ，ｙの有理式で表せることから、逆元計算
手段を用いて楕円曲線上の群の元の２倍を求める２倍算
手段を有する。
【００２２】第８の発明は、有限体ＧＦ（２2n）上の楕
円曲線Ｅ（ＧＦ（２2n））上の群の無限遠点Οでない元
をアフィン座標（ｘ，ｙ）で表したとき、自然数ｎ倍
（ｘ3，ｙ3 ）＝ｎ（ｘ，ｙ）のｘ3 ，ｙ3 は、逆元、
加算、２倍算を組み合わせることにより計算可能である
ことを利用して、楕円曲線上の元の逆元計算手段、加算
手段、２倍算手段を用いて楕円曲線上の群の元の自然数
倍を求める自然数倍計算手段を有する。
円曲線Ｅ（ＧＦ（２2n））上の群の無限遠点Οでない元
をアフィン座標（ｘ，ｙ）で表したとき、自然数ｎ倍
（ｘ3，ｙ3 ）＝ｎ（ｘ，ｙ）のｘ3 ，ｙ3 は、逆元、
加算、２倍算を組み合わせることにより計算可能である
ことを利用して、楕円曲線上の元の逆元計算手段、加算
手段、２倍算手段を用いて楕円曲線上の群の元の自然数
倍を求める自然数倍計算手段を有する。
【００２３】前述の青木の方法では逐次２次拡大を行な
う際に正規基底を用いている。本発明では標準基底を用
いることにより高速化を計っている。具体的には、有限
体ＧＦ（２2n）が、
う際に正規基底を用いている。本発明では標準基底を用
いることにより高速化を計っている。具体的には、有限
体ＧＦ（２2n）が、
【００２４】
【数１３】
【００２５】で表されているときに、αをｘ2 ＋ｘ＋ａ
＝０の根として、ＧＦ（２2n）をＧＦ（２n ）上の２次
元のベクトル空間とみなしたときの基底を［１α］と取
ったときに、以下のように計算される。 加算： （ｘ1 ＋ｙ1 α）＋（ｘ2 ＋ｙ2 α）＝（ｘ1 ＋ｘ2 ）＋（ｙ1 ＋ｙ2 ）α （１） 乗算： （ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ2 ＋ｙ2 α）＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ1 ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋ ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α （２） ２乗： （ｘ1 ＋ｙ1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2 α （３） 逆元： （ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ａｙ1 2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ ｙ1 α） （４）
＝０の根として、ＧＦ（２2n）をＧＦ（２n ）上の２次
元のベクトル空間とみなしたときの基底を［１α］と取
ったときに、以下のように計算される。 加算： （ｘ1 ＋ｙ1 α）＋（ｘ2 ＋ｙ2 α）＝（ｘ1 ＋ｘ2 ）＋（ｙ1 ＋ｙ2 ）α （１） 乗算： （ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ2 ＋ｙ2 α）＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ1 ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋ ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α （２） ２乗： （ｘ1 ＋ｙ1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2 α （３） 逆元： （ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ａｙ1 2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ ｙ1 α） （４）
【００２６】
有限体
【００２７】
【数１４】
【００２８】は、部分体として
【００２９】
【数１５】
【００３０】を持ち、また
【００３１】
【数１６】
【００３２】のベクトル空間とみなすことができる。こ
のことから
のことから
【００３３】
【数１７】
【００３４】上の演算を
【００３５】
【数１８】
【００３６】上の演算に帰着でき、以下同様にして
【００３７】
【数１９】
【００３８】上、・・・、ＧＦ（２e ）上の演算に帰着
できる。それぞれの演算について帰着の方法は「課題を
解決するための手段」で述べた通りである。また、本発
明は有限体上の楕円曲線の演算の実施には効果がある。
適当な体Ｋを定めると楕円曲線上の群Ｅ（Ｋ）は Ｅ（Ｋ）＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｋ2 ｜ｆ（ｘ，ｙ）＝０｝∪
｛Ο｝ と書ける。ここでｆ（ｘ，ｙ）∈Ｋ［ｘ，ｙ］である
（但しｆ（ｘ，ｙ）は任意に選べるわけではなく、いく
つかの制約がある）。Ｐi ∈Ｅ（Ｋ）（ｉ＝１，２，
３）とおいたとき、楕円曲線上の群の演算はＰi ≠Ο
（ｉ＝１，２，３）の場合にＰ3 ＝Ｐ1 ＋Ｐ2 が成り立
っているとすると適当な多項式 ｐ（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ），ｑ（ｘ1 ，ｘ2 ，
ｙ1 ，ｙ2 ），ｒ（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ），ｓ（ｘ
1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ）∈Ｋ［ｘ1 ，ｘ 2 ，ｙ1 ，
ｙ2 ］ を用いて、
できる。それぞれの演算について帰着の方法は「課題を
解決するための手段」で述べた通りである。また、本発
明は有限体上の楕円曲線の演算の実施には効果がある。
適当な体Ｋを定めると楕円曲線上の群Ｅ（Ｋ）は Ｅ（Ｋ）＝｛（ｘ，ｙ）∈Ｋ2 ｜ｆ（ｘ，ｙ）＝０｝∪
｛Ο｝ と書ける。ここでｆ（ｘ，ｙ）∈Ｋ［ｘ，ｙ］である
（但しｆ（ｘ，ｙ）は任意に選べるわけではなく、いく
つかの制約がある）。Ｐi ∈Ｅ（Ｋ）（ｉ＝１，２，
３）とおいたとき、楕円曲線上の群の演算はＰi ≠Ο
（ｉ＝１，２，３）の場合にＰ3 ＝Ｐ1 ＋Ｐ2 が成り立
っているとすると適当な多項式 ｐ（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ），ｑ（ｘ1 ，ｘ2 ，
ｙ1 ，ｙ2 ），ｒ（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ），ｓ（ｘ
1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ）∈Ｋ［ｘ1 ，ｘ 2 ，ｙ1 ，
ｙ2 ］ を用いて、
【００３９】
【数２０】
【００４０】と書ける。ここで楕円曲線Ｅ（Ｋ）を固定
したときにｐ，ｑ，ｒ，ｓは一定であるが、Ｐ1 ＝Ｐ2
の場合と、Ｐ1 ≠Ｐ2 の場合では多項式ｐ，ｑ，ｒ，ｓ
が異なることに注意。上記のことから楕円曲線上の群の
演算は体Ｋの四則演算から構成できることがわかる。
したときにｐ，ｑ，ｒ，ｓは一定であるが、Ｐ1 ＝Ｐ2
の場合と、Ｐ1 ≠Ｐ2 の場合では多項式ｐ，ｑ，ｒ，ｓ
が異なることに注意。上記のことから楕円曲線上の群の
演算は体Ｋの四則演算から構成できることがわかる。
【００４１】第１の発明はＧＦ（２2n）上の演算を式
（２）に基づいてＧＦ（２n ）上の演算で計算する乗算
装置である。第２の発明はＧＦ（２2n）上の演算を式
（３）に基づいてＧＦ（２n ）上の演算で計算する２乗
装置である。第３の発明はＧＦ（２2n）上の演算を式
（４）に基づいてＧＦ（２n ）上の演算で計算する逆元
装置である。
（２）に基づいてＧＦ（２n ）上の演算で計算する乗算
装置である。第２の発明はＧＦ（２2n）上の演算を式
（３）に基づいてＧＦ（２n ）上の演算で計算する２乗
装置である。第３の発明はＧＦ（２2n）上の演算を式
（４）に基づいてＧＦ（２n ）上の演算で計算する逆元
装置である。
【００４２】第４の発明は
【００４３】
【数２１】
【００４４】という有理式を、ｐ，ｑの計算を第１，第
２の発明の原理に基づく計算で、ｑ-1の計算を第３の発
明の原理に基づく計算で求める装置である。第５の発明
は第４の発明の原理を用いて楕円曲線上の群の元の逆元
を求める装置である。第６の発明は第４の発明の原理を
用いて楕円曲線上の群の元の和を求める装置である。
２の発明の原理に基づく計算で、ｑ-1の計算を第３の発
明の原理に基づく計算で求める装置である。第５の発明
は第４の発明の原理を用いて楕円曲線上の群の元の逆元
を求める装置である。第６の発明は第４の発明の原理を
用いて楕円曲線上の群の元の和を求める装置である。
【００４５】第７の発明は第４の発明の原理を用いて楕
円曲線上の群の元の２倍を求める装置である。第８の発
明は第５，第６，第７の発明の原理を用いて楕円曲線上
の群の元の自然数倍を求める装置である。
円曲線上の群の元の２倍を求める装置である。第８の発
明は第５，第６，第７の発明の原理を用いて楕円曲線上
の群の元の自然数倍を求める装置である。
【００４６】
【実施例】以下に本発明の実施例を図面と共に説明す
る。最初に有限体上の演算について説明する。 ［有限体上の演算］本発明は、
る。最初に有限体上の演算について説明する。 ［有限体上の演算］本発明は、
【００４７】
【数２２】
【００４８】上の演算を
【００４９】
【数２３】
【００５０】上の演算、
【００５１】
【数２４】
【００５２】上の演算を
【００５３】
【数２５】
【００５４】上の演算、と順次繰り返していき最終的に
ＧＦ（２e ）上の演算で実現する。 〈ＧＦ（２e ）上の加算装置〉最初に有限体上の演算に
おけるＧＦ（２e ）上の加算装置について説明する。図
１は、本発明の一実施例の有限体上の演算におけるＧＦ
（２e ）上の加算装置に構成を示す。以下、同図に従っ
て説明する。
ＧＦ（２e ）上の演算で実現する。 〈ＧＦ（２e ）上の加算装置〉最初に有限体上の演算に
おけるＧＦ（２e ）上の加算装置について説明する。図
１は、本発明の一実施例の有限体上の演算におけるＧＦ
（２e ）上の加算装置に構成を示す。以下、同図に従っ
て説明する。
【００５５】ステップ１０１） ｅビット排他的論理和
装置２０ａを用いて入力ｘとｙの排他的論理和値ｘ＋
（ＸＯＲ）ｙを計算する。 ステップ１０２） ｅビット排他的論理和装置２０ａの
出力ｘ＋（ＸＯＲ）ｙをｘ＋ｙとして出力する。 〈ＧＦ（２e ）上の乗算装置〉次に、有限体上の演算に
おけるＧＦ（２e ）上の乗算装置について説明する。
装置２０ａを用いて入力ｘとｙの排他的論理和値ｘ＋
（ＸＯＲ）ｙを計算する。 ステップ１０２） ｅビット排他的論理和装置２０ａの
出力ｘ＋（ＸＯＲ）ｙをｘ＋ｙとして出力する。 〈ＧＦ（２e ）上の乗算装置〉次に、有限体上の演算に
おけるＧＦ（２e ）上の乗算装置について説明する。
【００５６】図２は、本発明の一実施例の有限体上の演
算におけるＧＦ（２e ）上の乗算装置の構成を示す。以
下、同図に従って説明する。ステップ２０１） 問い合
わせ装置２１ａは入力ｘとｙを検索鍵として、乗算テー
ブル２１ｂからｘとｙの積ｘ×ｙを引き出す。 ステップ２０２） 問い合わせ装置２１ａは乗算テー
ブル２１ｂから得たｘ×ｙを出力する。
算におけるＧＦ（２e ）上の乗算装置の構成を示す。以
下、同図に従って説明する。ステップ２０１） 問い合
わせ装置２１ａは入力ｘとｙを検索鍵として、乗算テー
ブル２１ｂからｘとｙの積ｘ×ｙを引き出す。 ステップ２０２） 問い合わせ装置２１ａは乗算テー
ブル２１ｂから得たｘ×ｙを出力する。
【００５７】〈ＧＦ（２e ）上の２乗装置〉次に、ＧＦ
（２e ）上の２乗装置について説明する。ＧＦ（２e ）
上の２乗装置は、図２のＧＦ（２e ）上の乗算装置の２
入力に同じ値を入れることにより実現する。 〈ＧＦ（２e ）上の逆元装置〉図３は、本発明の一実施
例のＧＦ（２e ）上の逆元装置に構成を示す。
（２e ）上の２乗装置について説明する。ＧＦ（２e ）
上の２乗装置は、図２のＧＦ（２e ）上の乗算装置の２
入力に同じ値を入れることにより実現する。 〈ＧＦ（２e ）上の逆元装置〉図３は、本発明の一実施
例のＧＦ（２e ）上の逆元装置に構成を示す。
【００５８】以下、同図に従って説明する。 ステップ３０１） 問い合わせ装置２２ａは入力ｘ検索
鍵として、逆元テーブル２２ｂからｘの逆元ｘ-1を引き
出す。 ステップ３０２） 問い合わせ装置２２ａは逆元テーブ
ル２２ｂから得たｘ-1を出力する。
鍵として、逆元テーブル２２ｂからｘの逆元ｘ-1を引き
出す。 ステップ３０２） 問い合わせ装置２２ａは逆元テーブ
ル２２ｂから得たｘ-1を出力する。
【００５９】〈ＧＦ（２2n）上の加算装置〉次に、ＧＦ
（２2n）上の加算装置について説明する。図４は、本発
明の一実施例のＧＦ（２2n）上の加算装置の構成を示
す。以下、同図に従って説明する。同図に示すＧＦ（２
2n）上の加算装置２３は、前述の式（１）を実現した装
置である。
（２2n）上の加算装置について説明する。図４は、本発
明の一実施例のＧＦ（２2n）上の加算装置の構成を示
す。以下、同図に従って説明する。同図に示すＧＦ（２
2n）上の加算装置２３は、前述の式（１）を実現した装
置である。
【００６０】ステップ４０１） ＧＦ（２n ）上の加算
装置２３ａは入力ｍ1 ＝ｘ1 ＋ｙ1αのｘ1 と、ｍ2 ＝
ｘ2 ＋ｙ2 αのｘ2 の和ｘ3 を計算する。 ステップ４０２） ＧＦ（２n ）上の加算装置２３ｂは
入力ｍ1 ＝ｘ1 ＋ｙ1αのｙ1 と、ｍ2 ＝ｘ2 ＋ｙ2 α
のｙ2 の和ｙ3 を計算する。 ステップ４０３） ｍ3 ＝ｍ1 ＋ｍ2 を出力する。
装置２３ａは入力ｍ1 ＝ｘ1 ＋ｙ1αのｘ1 と、ｍ2 ＝
ｘ2 ＋ｙ2 αのｘ2 の和ｘ3 を計算する。 ステップ４０２） ＧＦ（２n ）上の加算装置２３ｂは
入力ｍ1 ＝ｘ1 ＋ｙ1αのｙ1 と、ｍ2 ＝ｘ2 ＋ｙ2 α
のｙ2 の和ｙ3 を計算する。 ステップ４０３） ｍ3 ＝ｍ1 ＋ｍ2 を出力する。
【００６１】〈ＧＦ（２2n）上の乗算装置〉次に、ＧＦ
（２2n）上の乗算装置について説明する。図５は、本発
明の一実施例のＧＦ（２2n）上の乗算装置の構成を示
す。以下、同図に従って説明する。同図に示す構成は、
前述の式（２）を実現するための装置である。
（２2n）上の乗算装置について説明する。図５は、本発
明の一実施例のＧＦ（２2n）上の乗算装置の構成を示
す。以下、同図に従って説明する。同図に示す構成は、
前述の式（２）を実現するための装置である。
【００６２】同図中、ａｄｄ装置（２４ａ，２４ｃ，２
４ｆ，２４ｈ）はＧＦ（２n ）上の加算装置であり、ｍ
ｕｌ装置（２４ｂ，２４ｄ，２４ｅ，２４ｇ）はＧＦ
（２n）上の乗算装置である。 ステップ５０１） ａｄｄ装置２４ａは入力ｘ1 とｙ1
の和ｔ1 を計算しｍｕｌ装置２４ｅに出力する。
４ｆ，２４ｈ）はＧＦ（２n ）上の加算装置であり、ｍ
ｕｌ装置（２４ｂ，２４ｄ，２４ｅ，２４ｇ）はＧＦ
（２n）上の乗算装置である。 ステップ５０１） ａｄｄ装置２４ａは入力ｘ1 とｙ1
の和ｔ1 を計算しｍｕｌ装置２４ｅに出力する。
【００６３】ステップ５０２） ｍｕｌ装置２４ｂは入
力ｘ1 とｙ1 の積ｔ2 を計算しａｄｄ装置２４ｆに出力
する。 ステップ５０３） ａｄｄ装置２４ｃは入力ｘ2 とｙ2
の和ｔ3 を計算しｍｕｌ装置２４ｅに出力する。 ステップ５０４） ｍｕｌ装置２４ｄは入力ｘ2 とｙ2
の積ｔ4 を計算しａｄｄ装置２４ｈに出力する。
力ｘ1 とｙ1 の積ｔ2 を計算しａｄｄ装置２４ｆに出力
する。 ステップ５０３） ａｄｄ装置２４ｃは入力ｘ2 とｙ2
の和ｔ3 を計算しｍｕｌ装置２４ｅに出力する。 ステップ５０４） ｍｕｌ装置２４ｄは入力ｘ2 とｙ2
の積ｔ4 を計算しａｄｄ装置２４ｈに出力する。
【００６４】ステップ５０５） ｍｕｌ装置２４ｅは入
力ｔ1 とｔ3 の積ｔ5 を計算しａｄｄ装置２４ｆとｍｕ
ｌ装置２４ｇに出力する。 ステップ５０６） ａｄｄ装置２４ｆは入力ｔ2 とｔ5
の和ｙ3 を計算し装置２４の出力する。 ステップ５０７） ｍｕｌ装置２４ｇは入力ｔ5 と定数
ａの積ｔ7 を計算しａｄｄ装置２４ｈに出力する。
力ｔ1 とｔ3 の積ｔ5 を計算しａｄｄ装置２４ｆとｍｕ
ｌ装置２４ｇに出力する。 ステップ５０６） ａｄｄ装置２４ｆは入力ｔ2 とｔ5
の和ｙ3 を計算し装置２４の出力する。 ステップ５０７） ｍｕｌ装置２４ｇは入力ｔ5 と定数
ａの積ｔ7 を計算しａｄｄ装置２４ｈに出力する。
【００６５】ステップ５０８） ａｄｄ装置２４ｈは入
力ｔ4 とｔ7 の和ｘ3 を計算し装置２４の出力する。 〈ＧＦ（２2n）上の２乗装置〉次に、ＧＦ（２2n）上の
２乗装置について説明する。図６は、本発明の一実施例
のＧＦ（２2n）上の２乗装置の構成を示す。
力ｔ4 とｔ7 の和ｘ3 を計算し装置２４の出力する。 〈ＧＦ（２2n）上の２乗装置〉次に、ＧＦ（２2n）上の
２乗装置について説明する。図６は、本発明の一実施例
のＧＦ（２2n）上の２乗装置の構成を示す。
【００６６】以下、同図にに従って説明する。同図に示
す装置は、前述の式（３）を実現するための装置であ
る。同図中、ａｄｄ装置（２５ｄ）はＧＦ（２n ）上の
加算装置であり、ｍｕｌ装置（２５ｃ）はＧＦ（２n ）
上の乗算装置であり、ｓｑｒ装置（２５ａ，２５ｂ）は
ＧＦ（２n ）上の２乗装置である。
す装置は、前述の式（３）を実現するための装置であ
る。同図中、ａｄｄ装置（２５ｄ）はＧＦ（２n ）上の
加算装置であり、ｍｕｌ装置（２５ｃ）はＧＦ（２n ）
上の乗算装置であり、ｓｑｒ装置（２５ａ，２５ｂ）は
ＧＦ（２n ）上の２乗装置である。
【００６７】ステップ６０１） ｓｑｒ装置２５ａは入
力ｘ1 の２乗ｔ1 を計算しａｄｄ装置２５ｄに出力す
る。 ステップ６０２） ｓｑｒ装置２５ｂは入力ｙ1 の２
乗ｔ2 を計算しｍｕｌ装置２５ｃに出力する。 ステップ６０３） ｍｕｌ装置２５ｃは入力ｔ2 と定数
ａの積ｙ3 を計算しａｄｄ装置２５ｄに出力し、また装
置２５の出力ともする。
力ｘ1 の２乗ｔ1 を計算しａｄｄ装置２５ｄに出力す
る。 ステップ６０２） ｓｑｒ装置２５ｂは入力ｙ1 の２
乗ｔ2 を計算しｍｕｌ装置２５ｃに出力する。 ステップ６０３） ｍｕｌ装置２５ｃは入力ｔ2 と定数
ａの積ｙ3 を計算しａｄｄ装置２５ｄに出力し、また装
置２５の出力ともする。
【００６８】ステップ６０４） ａｄｄ装置２５ｄは入
力ｔ1 とｙ3 の和ｘ3 を計算し装置２５の出力とする。 〈ＧＦ（２2n）上の逆元装置〉次に、ＧＦ（２2n）上の
逆元装置について説明する。図７は、本発明の一実施例
のＧＦ（２2n）上の逆元装置の構成を示す。同図に示す
装置は、前述の式（４）を実現するための装置である。
力ｔ1 とｙ3 の和ｘ3 を計算し装置２５の出力とする。 〈ＧＦ（２2n）上の逆元装置〉次に、ＧＦ（２2n）上の
逆元装置について説明する。図７は、本発明の一実施例
のＧＦ（２2n）上の逆元装置の構成を示す。同図に示す
装置は、前述の式（４）を実現するための装置である。
【００６９】同図中、ａｄｄ装置（２６ａ，２６ｅ）は
ＧＦ（２n ）上の加算装置であり、ｍｕｌ装置（２６
ｂ，２６ｄ，２６ｇ，２６ｈ）はＧＦ（２n ）上の乗算
装置であり、ｓｑｒ装置（２６ｃ）はＧＦ（２n ）上の
２乗装置であり、ｉｎｖ装置（２６ｆ）はＧＦ（２n ）
上の逆元装置である。 ステップ７０１） ａｄｄ装置２６ａは入力ｘ1 とｙ1
の和ｔ1 を計算しｍｕｌ装置２６ｂとｍｕｌ装置２６ｇ
に出力する。
ＧＦ（２n ）上の加算装置であり、ｍｕｌ装置（２６
ｂ，２６ｄ，２６ｇ，２６ｈ）はＧＦ（２n ）上の乗算
装置であり、ｓｑｒ装置（２６ｃ）はＧＦ（２n ）上の
２乗装置であり、ｉｎｖ装置（２６ｆ）はＧＦ（２n ）
上の逆元装置である。 ステップ７０１） ａｄｄ装置２６ａは入力ｘ1 とｙ1
の和ｔ1 を計算しｍｕｌ装置２６ｂとｍｕｌ装置２６ｇ
に出力する。
【００７０】ステップ７０２） ｍｕｌ装置２６ｂは
入力ｘ1 とｔ1 の積ｔ2 を計算しａｄｄ装置２６ｅに出
力する。 ステップ７０３） ｓｑｒ装置２６ｃは入力ｙ1 の２
乗ｔ3 を計算しｍｕｌ装置２６ｄに出力する。 ステップ７０４） ｍｕｌ装置２６ｄは入力ｔ3 と定
数ａの積ｔ4 を計算しａｄｄ装置２６ｅに出力する。
入力ｘ1 とｔ1 の積ｔ2 を計算しａｄｄ装置２６ｅに出
力する。 ステップ７０３） ｓｑｒ装置２６ｃは入力ｙ1 の２
乗ｔ3 を計算しｍｕｌ装置２６ｄに出力する。 ステップ７０４） ｍｕｌ装置２６ｄは入力ｔ3 と定
数ａの積ｔ4 を計算しａｄｄ装置２６ｅに出力する。
【００７１】ステップ７０５） ａｄｄ装置２６ｅは入
力ｔ2 とｔ4 の和ｔ5 を計算しｉｎｖ装置２６ｆに出力
する。 ステップ７０６） ｉｎｖ装置２６ｆは入力ｔ5 の逆元
ｔ6 を計算しｍｕｌ装置２６ｇとｍｕｌ装置２６ｈに出
力する。 ステップ７０７） ｍｕｌ装置２６ｇは入力ｔ1 とｔ6
の積ｘ3 を計算し装置２６に出力する。
力ｔ2 とｔ4 の和ｔ5 を計算しｉｎｖ装置２６ｆに出力
する。 ステップ７０６） ｉｎｖ装置２６ｆは入力ｔ5 の逆元
ｔ6 を計算しｍｕｌ装置２６ｇとｍｕｌ装置２６ｈに出
力する。 ステップ７０７） ｍｕｌ装置２６ｇは入力ｔ1 とｔ6
の積ｘ3 を計算し装置２６に出力する。
【００７２】ステップ７０８） ｍｕｌ装置２６ｈは入
力ｙ1 とｔ6 の積ｙ3 を計算し装置２６に出力する。次
に、前述の各装置を楕円曲線に応用した例を説明する。
力ｙ1 とｔ6 の積ｙ3 を計算し装置２６に出力する。次
に、前述の各装置を楕円曲線に応用した例を説明する。
【００７３】
【数２６】
【００７４】上の非超特異な楕円曲線は、媒介変数
【００７５】
【数２７】
【００７６】を用いて、アフィン座標で書いた場合以下
のように定義される。
のように定義される。
【００７７】
【数２８】
【００７８】このときの楕円曲線上の加法は
【００７９】
【数２９】
【００８０】とおいたときに、−Ｐ1 ≠Ｐ2 の場合に、
（ｘ3 ，ｙ3 ）＝Ｐ1 ＋Ｐ2 は
（ｘ3 ，ｙ3 ）＝Ｐ1 ＋Ｐ2 は
【００８１】
【数３０】
【００８２】と書ける。また、楕円曲線上の逆元は −（ｘ1 ，ｙ1 ）＝（ｘ1 ，ｘ1 ＋ｙ1 ） （７） で表すことができる（標数２の体上の楕円曲線上の群の
演算についての詳細は例えば、文献「A. J. Menezes: "
ELLIPTIC CURVE PUBLIC KEY CRYPTOSYSTEMS," KLUWER A
CADEMIC PUBLISHERS, pp.21-23, 1993」を参照）。
演算についての詳細は例えば、文献「A. J. Menezes: "
ELLIPTIC CURVE PUBLIC KEY CRYPTOSYSTEMS," KLUWER A
CADEMIC PUBLISHERS, pp.21-23, 1993」を参照）。
【００８３】有限体ＧＦ
【００８４】
【数３１】
【００８５】上の元はｅ２t 桁のビット列で表され、楕
円曲線上の点は有限体上の元２つで表すことができるの
で、結局楕円曲線上の点は２ｅ２t 桁のビット列で表す
ことができる。以下、楕円曲線上の点Ｐi などは、この
ように表されているとする。但し、
円曲線上の点は有限体上の元２つで表すことができるの
で、結局楕円曲線上の点は２ｅ２t 桁のビット列で表す
ことができる。以下、楕円曲線上の点Ｐi などは、この
ように表されているとする。但し、
【００８６】
【数３２】
【００８７】に関しては、
【００８８】
【数３３】
【００８９】であるので、Ο＝（０，０）で表すことと
する。次に、楕円曲線上の群の元の逆元の例を説明す
る。図８は、本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の
逆元計算装置の構成を示す。同図に示す装置は、楕円曲
線上の群の元の逆元は前述の式（７）で計算できること
に基づいている。
する。次に、楕円曲線上の群の元の逆元の例を説明す
る。図８は、本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の
逆元計算装置の構成を示す。同図に示す装置は、楕円曲
線上の群の元の逆元は前述の式（７）で計算できること
に基づいている。
【００９０】ステップ８０１） 問い合わせ装置１ａを
用いて、入力の（ｘ，ｙ）を有限体の元の加算装置１ｂ
に渡す。ステップ８０２） 有限体の元加算装置１ｂは
入力ｘ，ｙの
用いて、入力の（ｘ，ｙ）を有限体の元の加算装置１ｂ
に渡す。ステップ８０２） 有限体の元加算装置１ｂは
入力ｘ，ｙの
【００９１】
【数３４】
【００９２】上の和ｘ＋ｙを計算し、それを返す。 ステップ８０３） 問い合わせ装置１ａは有限体の元加
算装置１ｂを用いて得られたｘ＋ｙを用いて、楕円曲線
上の群の元の逆元（ｘ，ｘ＋ｙ）を出力する。楕円曲線
上の群の元の逆元計算装置中で用いられている有限体の
元の加算装置１ｂは、前述の図４の様に構成される。
算装置１ｂを用いて得られたｘ＋ｙを用いて、楕円曲線
上の群の元の逆元（ｘ，ｘ＋ｙ）を出力する。楕円曲線
上の群の元の逆元計算装置中で用いられている有限体の
元の加算装置１ｂは、前述の図４の様に構成される。
【００９３】次に、楕円曲線上の群の元の加算の例を説
明する。図９は、本発明の一実施例の楕円曲線上の群の
元の加算計算装置の構成を示す。同図に示す加算計算装
置は、楕円曲線上の加算が前述の式（５）により計算で
きることに基づいている。
明する。図９は、本発明の一実施例の楕円曲線上の群の
元の加算計算装置の構成を示す。同図に示す加算計算装
置は、楕円曲線上の加算が前述の式（５）により計算で
きることに基づいている。
【００９４】ステップ９０１） 問い合わせ装置３ａは
楕円曲線上の群の元の比較装置３ｃを用いＰ1 ＝Οを調
べ、真の場合Ｑ＝Ｐ2 とし、ステップ９０８に進む。 ステップ９０２） 問い合わせ装置３ａは楕円曲線上の
群の元の比較装置３ｃを用いＰ2 ＝Οを調べ、真の場合
Ｑ＝Ｐ1 とし、ステップ９０８に進む。 ステップ９０３） 問い合わせ装置３ａは、楕円曲線上
の群の元の逆元計算装置３ｂに入力Ｐ1 を渡す。
楕円曲線上の群の元の比較装置３ｃを用いＰ1 ＝Οを調
べ、真の場合Ｑ＝Ｐ2 とし、ステップ９０８に進む。 ステップ９０２） 問い合わせ装置３ａは楕円曲線上の
群の元の比較装置３ｃを用いＰ2 ＝Οを調べ、真の場合
Ｑ＝Ｐ1 とし、ステップ９０８に進む。 ステップ９０３） 問い合わせ装置３ａは、楕円曲線上
の群の元の逆元計算装置３ｂに入力Ｐ1 を渡す。
【００９５】ステップ９０４） 楕円曲線上の群の元の
逆元計算装置３ｂは入力Ｐ1 の逆元−Ｐ1 を計算しそれ
を返す。 ステップ９０５） 問い合わせ装置３ａは、楕円曲線上
の群の元の逆元計算装置３ｂの出力−Ｐ1 と自分自身の
入力Ｐ2 を楕円曲線上の群の元の比較装置３ｃに渡す。
逆元計算装置３ｂは入力Ｐ1 の逆元−Ｐ1 を計算しそれ
を返す。 ステップ９０５） 問い合わせ装置３ａは、楕円曲線上
の群の元の逆元計算装置３ｂの出力−Ｐ1 と自分自身の
入力Ｐ2 を楕円曲線上の群の元の比較装置３ｃに渡す。
【００９６】ステップ９０６） 楕円曲線上の群の元の
比較装置３ｃは入力−Ｐ1 ，Ｐ2 を比較し、一致したと
きＴ（真）を返し、そうでない場合Ｆ（偽）を返す。 ステップ９０７） 問い合わせ装置３ａは、楕円曲線上
の群の元の比較装置３ｃの出力が真の場合Ｑ＝Οとし、
そうでない場合は楕円曲線上の群の元の特殊加算計算装
置３ｄにＰ1 ，Ｐ2 を渡し、結果Ｑ＝Ｐ1 ＋Ｐ2 を得
る。
比較装置３ｃは入力−Ｐ1 ，Ｐ2 を比較し、一致したと
きＴ（真）を返し、そうでない場合Ｆ（偽）を返す。 ステップ９０７） 問い合わせ装置３ａは、楕円曲線上
の群の元の比較装置３ｃの出力が真の場合Ｑ＝Οとし、
そうでない場合は楕円曲線上の群の元の特殊加算計算装
置３ｄにＰ1 ，Ｐ2 を渡し、結果Ｑ＝Ｐ1 ＋Ｐ2 を得
る。
【００９７】ステップ９０８） 問い合わせ装置３ａは
Ｑ（＝Ｐ1 ＋Ｐ2 ）を出力する。図１０は、本発明の一
実施例の楕円曲線上の群の元の比較装置の構成を示す。
同図に示す装置は、楕円曲線上の群の元の加算計算装置
中で用いられている楕円曲線上の群の元の比較装置３ｃ
の構成である。以下、図１０に示す比較装置４の動作を
説明する。
Ｑ（＝Ｐ1 ＋Ｐ2 ）を出力する。図１０は、本発明の一
実施例の楕円曲線上の群の元の比較装置の構成を示す。
同図に示す装置は、楕円曲線上の群の元の加算計算装置
中で用いられている楕円曲線上の群の元の比較装置３ｃ
の構成である。以下、図１０に示す比較装置４の動作を
説明する。
【００９８】ステップ１００１） 問い合わせ装置４ａ
はそれぞれ入力Ｐ1 ＝（ｘ1 ，ｙ1），Ｐ2 ＝（ｘ2 ，
ｙ2 ）のビット列ｘ1 ，ｙ1 ，ｘ2 ，ｙ2 を結合したビ
ット列ｘ1 ‖ｙ1 ，ｘ2 ‖ｙ2 を
はそれぞれ入力Ｐ1 ＝（ｘ1 ，ｙ1），Ｐ2 ＝（ｘ2 ，
ｙ2 ）のビット列ｘ1 ，ｙ1 ，ｘ2 ，ｙ2 を結合したビ
ット列ｘ1 ‖ｙ1 ，ｘ2 ‖ｙ2 を
【００９９】
【数３５】
【０１００】ビット列比較装置４ｂに渡す。 ステップ１００２）
【０１０１】
【数３６】
【０１０２】ビット列比較装置４ｂは入力ｘ1 ‖ｙ1 ，
ｘ2 ‖ｙ2 を比較し、一致した場合Ｔ（真）、そうでな
い場合Ｆ（偽）を返す。 ステップ１００３） 問い合わせ装置４ａは、
ｘ2 ‖ｙ2 を比較し、一致した場合Ｔ（真）、そうでな
い場合Ｆ（偽）を返す。 ステップ１００３） 問い合わせ装置４ａは、
【０１０３】
【数３７】
【０１０４】ビット列比較装置４ｂから得られた、真偽
値を出力する。楕円曲線上の群の元の加算計算装置中で
用いられている楕円曲線上の群の元の特殊加算計算装置
３ｄは、図１１の様に構成される。図１１中、ａｄｄで
略される装置５ａ，５ｃ，５ｆ，５ｇ，５ｈ，５ｉ，５
ｋ，５ｌは有限体の元の加算計算装置であり、ｉｎｖで
略される装置５ｂは有限体の元の逆元計算装置であり、
ｍｕｌで略される装置５ｄ，５ｊは有限体の元の乗算計
算装置であり、ｓｑｒで略される装置５ｅは有限体の元
の２乗計算装置である。以下図１１の特殊加算計算装置
５の動作を説明する。
値を出力する。楕円曲線上の群の元の加算計算装置中で
用いられている楕円曲線上の群の元の特殊加算計算装置
３ｄは、図１１の様に構成される。図１１中、ａｄｄで
略される装置５ａ，５ｃ，５ｆ，５ｇ，５ｈ，５ｉ，５
ｋ，５ｌは有限体の元の加算計算装置であり、ｉｎｖで
略される装置５ｂは有限体の元の逆元計算装置であり、
ｍｕｌで略される装置５ｄ，５ｊは有限体の元の乗算計
算装置であり、ｓｑｒで略される装置５ｅは有限体の元
の２乗計算装置である。以下図１１の特殊加算計算装置
５の動作を説明する。
【０１０５】ステップ１１０１） ａｄｄ装置５ａは入
力ｘ1 ，ｘ2 の和ｔ1 （＝ｘ1 ＋ｘ 2 ）を計算し、ｉｎ
ｖ装置５ｂに出力する。 ステップ１１０２） ｉｎｖ装置５ｂとａｄｄ装置５ｇ
は入力ｔ1 の逆元ｔ2（＝（ｘ1 ＋ｘ2 ）-1）を計算
し、ｍｕｌ装置５ｄとに出力する。 ステップ１１０３） ａｄｄ装置５ｃは入力ｙ1 ，ｙ2
の和ｔ3 （＝ｙ1 ＋ｙ 2 ）を計算し、ｍｕｌ装置５ｄに
出力する。
力ｘ1 ，ｘ2 の和ｔ1 （＝ｘ1 ＋ｘ 2 ）を計算し、ｉｎ
ｖ装置５ｂに出力する。 ステップ１１０２） ｉｎｖ装置５ｂとａｄｄ装置５ｇ
は入力ｔ1 の逆元ｔ2（＝（ｘ1 ＋ｘ2 ）-1）を計算
し、ｍｕｌ装置５ｄとに出力する。 ステップ１１０３） ａｄｄ装置５ｃは入力ｙ1 ，ｙ2
の和ｔ3 （＝ｙ1 ＋ｙ 2 ）を計算し、ｍｕｌ装置５ｄに
出力する。
【０１０６】ステップ１００４） ｍｕｌ装置５ｄは入
力ｔ2 ，ｔ3 の積
力ｔ2 ，ｔ3 の積
【０１０７】
【数３８】
【０１０８】を計算し、ｓｑｒ装置５ｅ、ａｄｄ装置５
ｆ、ｍｕｌ装置５ｊに出力する。 ステップ１１０５） ｓｑｒ装置５ｅは、入力λの２乗
ｔ4 （＝λ2 ）を計算し、ａｄｄ装置５ｆに出力する。 ステップ１１０６） ａｄｄ装置５ｆは、入力λ，ｔ4
の和ｔ5 （＝λ2 ＋λ）を計算し、ａｄｄ装置５ｇに出
力する。
ｆ、ｍｕｌ装置５ｊに出力する。 ステップ１１０５） ｓｑｒ装置５ｅは、入力λの２乗
ｔ4 （＝λ2 ）を計算し、ａｄｄ装置５ｆに出力する。 ステップ１１０６） ａｄｄ装置５ｆは、入力λ，ｔ4
の和ｔ5 （＝λ2 ＋λ）を計算し、ａｄｄ装置５ｇに出
力する。
【０１０９】ステップ１１０７） ａｄｄ装置５ｇは、
入力ｔ1 ，ｔ5 の和ｔ6 （＝λ2 ＋λ＋ｘ1 ＋ｘ2 ）を
計算し、ａｄｄ装置５ｈに出力する。 ステップ１１０８） ａｄｄ装置５ｈは、入力ｔ6 と定
数ａ2 の和ｘ3 （＝λ 2 ＋λ＋ｘ1 ＋ｘ2 ＋ａ2 ）を計
算し、ａｄｄ装置５ｉ、ａｄｄ装置５ｋに出力し、また
特殊加算計算装置５の出力にもする。
入力ｔ1 ，ｔ5 の和ｔ6 （＝λ2 ＋λ＋ｘ1 ＋ｘ2 ）を
計算し、ａｄｄ装置５ｈに出力する。 ステップ１１０８） ａｄｄ装置５ｈは、入力ｔ6 と定
数ａ2 の和ｘ3 （＝λ 2 ＋λ＋ｘ1 ＋ｘ2 ＋ａ2 ）を計
算し、ａｄｄ装置５ｉ、ａｄｄ装置５ｋに出力し、また
特殊加算計算装置５の出力にもする。
【０１１０】ステップ１１０９） ａｄｄ装置５ｉは、
入力ｘ1 ，ｘ3 の和ｔ7 （＝ｘ1 ＋ｘ3 ）を計算し、ｍ
ｕｌ装置５ｊに出力する。 ステップ１１１０） ｍｕｌ装置５ｊは、入力λ，ｔ7
の積ｔ8 （＝λ（ｘ1＋ｘ3 ））を計算し、ａｄｄ装置
５ｋに出力する。 ステップ１１１１） ａｄｄ装置５ｋは、入力ｔ8 ，ｘ
3 の和ｔ9 （＝λ（ｘ 1 ＋3 ）＋ｘ3 ）を計算し、ａｄ
ｄ装置５１に出力する。
入力ｘ1 ，ｘ3 の和ｔ7 （＝ｘ1 ＋ｘ3 ）を計算し、ｍ
ｕｌ装置５ｊに出力する。 ステップ１１１０） ｍｕｌ装置５ｊは、入力λ，ｔ7
の積ｔ8 （＝λ（ｘ1＋ｘ3 ））を計算し、ａｄｄ装置
５ｋに出力する。 ステップ１１１１） ａｄｄ装置５ｋは、入力ｔ8 ，ｘ
3 の和ｔ9 （＝λ（ｘ 1 ＋3 ）＋ｘ3 ）を計算し、ａｄ
ｄ装置５１に出力する。
【０１１１】ステップ１１１２） ａｄｄ装置５１は、
入力ｙ1 ，ｔ9 の和ｙ3 （＝λ（ｘ 1 ＋ｘ3 ）＋ｘ3 ＋
ｙ1 ）を計算し、装置５の出力とする。楕円曲線上の群
の元の特殊加算計算装置中で用いられているｍｕｌで記
されている有限体の元の乗算計算装置は図５の様に構成
される。楕円曲線上の群の元の特殊加算計算装置中で用
いられているｓｑｒで記されている有限体の元の２乗計
算装置は有限体の元の乗算装置（図５）を用いても実現
できるが、２乗用の特別な装置を用いた方が高速に実装
できる。図６はその特別な装置の構成である。
入力ｙ1 ，ｔ9 の和ｙ3 （＝λ（ｘ 1 ＋ｘ3 ）＋ｘ3 ＋
ｙ1 ）を計算し、装置５の出力とする。楕円曲線上の群
の元の特殊加算計算装置中で用いられているｍｕｌで記
されている有限体の元の乗算計算装置は図５の様に構成
される。楕円曲線上の群の元の特殊加算計算装置中で用
いられているｓｑｒで記されている有限体の元の２乗計
算装置は有限体の元の乗算装置（図５）を用いても実現
できるが、２乗用の特別な装置を用いた方が高速に実装
できる。図６はその特別な装置の構成である。
【０１１２】楕円曲線上の群の元の特殊加算計算装置中
で用いられているｉｎｖで記されている有限体の元の乗
算計算装置は図７の様に構成される。次に、楕円曲線上
の群の元の２倍算の例を説明する。図１２は、本発明の
一実施例の楕円曲線上の群の元の２倍算計算装置の構成
を示す。以下、同図に従って説明する。
で用いられているｉｎｖで記されている有限体の元の乗
算計算装置は図７の様に構成される。次に、楕円曲線上
の群の元の２倍算の例を説明する。図１２は、本発明の
一実施例の楕円曲線上の群の元の２倍算計算装置の構成
を示す。以下、同図に従って説明する。
【０１１３】同図に示す２倍算計算装置１０は、前述の
式（６）により計算できることに基づいている。 ステップ１２０１） 問い合わせ装置１０ａは、入力Ｐ
＝（ｘ，ｙ）のｘ＝０の場合Ｑ＝Οとし、そうでない場
合は楕円曲線上の群の元の特殊２倍算計算装置１０ｂに
Ｐを渡し、結果Ｑ＝２Ｐを得る。
式（６）により計算できることに基づいている。 ステップ１２０１） 問い合わせ装置１０ａは、入力Ｐ
＝（ｘ，ｙ）のｘ＝０の場合Ｑ＝Οとし、そうでない場
合は楕円曲線上の群の元の特殊２倍算計算装置１０ｂに
Ｐを渡し、結果Ｑ＝２Ｐを得る。
【０１１４】ステップ１２０２） 問い合わせ装置１０
ａは、Ｑ（＝２Ｐ）を出力する。楕円曲線上の群の元の
２倍算計算装置中で用いられるている楕円曲線上の群の
元の特殊２倍算計算装置１０ｂについて説明する。図１
３は、本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の特殊２
倍算計算装置の構成を示す。同図中、ａｄｄで略される
装置１１ｄ，１１ｆ，１１ｇ，１１ｈ，１１ｊは有限体
の元の加算計算装置であり、ｉｎｖで略される装置１１
ｂは有限体の元の逆元計算装置であり、ｍｕｌで略され
る装置１１ｃ，１１ｉは有限体の元の乗算計算装置であ
り、ｓｑｒで略される装置１１ａ，１１ｅは有限体の元
の２乗計算装置である。以下図１３に示す装置の動作を
説明する。
ａは、Ｑ（＝２Ｐ）を出力する。楕円曲線上の群の元の
２倍算計算装置中で用いられるている楕円曲線上の群の
元の特殊２倍算計算装置１０ｂについて説明する。図１
３は、本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の特殊２
倍算計算装置の構成を示す。同図中、ａｄｄで略される
装置１１ｄ，１１ｆ，１１ｇ，１１ｈ，１１ｊは有限体
の元の加算計算装置であり、ｉｎｖで略される装置１１
ｂは有限体の元の逆元計算装置であり、ｍｕｌで略され
る装置１１ｃ，１１ｉは有限体の元の乗算計算装置であ
り、ｓｑｒで略される装置１１ａ，１１ｅは有限体の元
の２乗計算装置である。以下図１３に示す装置の動作を
説明する。
【０１１５】ステップ１３０１） ｓｑｒ装置１１ａは
入力ｘの２乗ｔ1 （＝ｘ2 ）を計算し、ａｄｄ装置１１
ｊに出力する。 ステップ１３０２） ｉｎｖ装置１１ｂは入力ｘの逆元
ｔ2 （＝ｘ-1）を計算し、ｍｕｌ装置１１ｃに出力す
る。 ステップ１３０３） ｍｕｌ装置１１ｃは入力ｙ，ｔ2
の積ｔ3 （＝ｘ-1×ｙ）を計算し、ａｄｄ装置１１ｄに
出力する。
入力ｘの２乗ｔ1 （＝ｘ2 ）を計算し、ａｄｄ装置１１
ｊに出力する。 ステップ１３０２） ｉｎｖ装置１１ｂは入力ｘの逆元
ｔ2 （＝ｘ-1）を計算し、ｍｕｌ装置１１ｃに出力す
る。 ステップ１３０３） ｍｕｌ装置１１ｃは入力ｙ，ｔ2
の積ｔ3 （＝ｘ-1×ｙ）を計算し、ａｄｄ装置１１ｄに
出力する。
【０１１６】ステップ１３０４） ａｄｄ装置１１ｄは
入力ｘ，ｔ3 の和
入力ｘ，ｔ3 の和
【０１１７】
【数３９】
【０１１８】を計算し、ｓｑｒ装置１１ｅ，ａｄｄ装置
１１ｆ，１１ｈに出力する。 ステップ１３０５） ｓｑｒ装置１１ｅは入力λの２乗
ｔ4 （＝λ2 ）を計算し、ａｄｄ装置１１ｆに出力す
る。 ステップ１３０６） ａｄｄ装置１１ｆは入力λ，ｔ4
の和ｔ5 （＝λ2 ＋λ）を計算し、ａｄｄ装置１１ｇに
出力する。
１１ｆ，１１ｈに出力する。 ステップ１３０５） ｓｑｒ装置１１ｅは入力λの２乗
ｔ4 （＝λ2 ）を計算し、ａｄｄ装置１１ｆに出力す
る。 ステップ１３０６） ａｄｄ装置１１ｆは入力λ，ｔ4
の和ｔ5 （＝λ2 ＋λ）を計算し、ａｄｄ装置１１ｇに
出力する。
【０１１９】ステップ１３０７） ａｄｄ装置１１ｇは
入力ｔ5 と定数ａ2 との和ｘ3 （＝λ2 ＋λ＋ａ2 ）を
計算し、特殊２倍計算装置１１の出力する。 ステップ１３０８） ａｄｄ装置１１ｈは入力λと定数
１との和ｔ6 （＝λ＋１）を計算し、ｍｕｌ装置１１ｉ
に出力する。 ステップ１３０９） ｍｕｌ装置１１ｉは入力ｘ3 ，ｔ
6 の積ｔ7 （＝（λ＋１）ｘ3 ）を計算し、ａｄｄ装置
１１ｊに出力する。
入力ｔ5 と定数ａ2 との和ｘ3 （＝λ2 ＋λ＋ａ2 ）を
計算し、特殊２倍計算装置１１の出力する。 ステップ１３０８） ａｄｄ装置１１ｈは入力λと定数
１との和ｔ6 （＝λ＋１）を計算し、ｍｕｌ装置１１ｉ
に出力する。 ステップ１３０９） ｍｕｌ装置１１ｉは入力ｘ3 ，ｔ
6 の積ｔ7 （＝（λ＋１）ｘ3 ）を計算し、ａｄｄ装置
１１ｊに出力する。
【０１２０】ステップ１３１０） ａｄｄ装置１１ｊは
入力ｔ1 ，ｔ7 の和ｙ3 （＝（λ＋１）ｘ3 ＋ｘ1 2 ）
を計算し、装置１１の出力とする。次に、楕円曲線上の
群の元の自然数倍算について説明する。楕円曲線上の元
の自然数倍は色々な方法で実現できるが、ここでは２進
計算法（例えば文献「D. E. Knuth （中川桂介訳）：
“準数値算法／算術演算（THE ART OF COMPUTER PROGRA
MMING 第４分冊），”pp．２８９−２９０、算法Ａ、サ
イエンス社、１９８６」を参照）を用いた実装を図１４
を用いて示す。
入力ｔ1 ，ｔ7 の和ｙ3 （＝（λ＋１）ｘ3 ＋ｘ1 2 ）
を計算し、装置１１の出力とする。次に、楕円曲線上の
群の元の自然数倍算について説明する。楕円曲線上の元
の自然数倍は色々な方法で実現できるが、ここでは２進
計算法（例えば文献「D. E. Knuth （中川桂介訳）：
“準数値算法／算術演算（THE ART OF COMPUTER PROGRA
MMING 第４分冊），”pp．２８９−２９０、算法Ａ、サ
イエンス社、１９８６」を参照）を用いた実装を図１４
を用いて示す。
【０１２１】図１４は、本発明の一実施例の楕円曲線上
の群の元の自然数倍算計算装置の構成を示す。以下、同
図に基づいて楕円曲線上の群の元の自然数倍算計算装置
の動作を説明する。 ステップ１４０１） 制御装置１２ａは内部変数Ｑ，Ｒ
を Ｑ＝Ο Ｒ＝Ｐ と初期化する。
の群の元の自然数倍算計算装置の構成を示す。以下、同
図に基づいて楕円曲線上の群の元の自然数倍算計算装置
の動作を説明する。 ステップ１４０１） 制御装置１２ａは内部変数Ｑ，Ｒ
を Ｑ＝Ο Ｒ＝Ｐ と初期化する。
【０１２２】ステップ１４０２） 制御装置１２ａはｎ
の値を調べ、０に一致したなら装置１２の出力をＱと
し、停止する。 ステップ１４０３） 制御装置１ａは、ｎの値を調べ、
奇数の場合に ｎ←ｎ−１ とし、ＱとＲの値を楕円曲線上の群の元の比較装置１２
ｂを用いて比較し、一致した場合は楕円曲線上の群の元
の２倍算計算装置１２ｄを用い、一致しない場合は楕円
曲線上の群の元の加算装置１２ｃを用いて、 Ｑ←Ｑ＋Ｒ を計算する。
の値を調べ、０に一致したなら装置１２の出力をＱと
し、停止する。 ステップ１４０３） 制御装置１ａは、ｎの値を調べ、
奇数の場合に ｎ←ｎ−１ とし、ＱとＲの値を楕円曲線上の群の元の比較装置１２
ｂを用いて比較し、一致した場合は楕円曲線上の群の元
の２倍算計算装置１２ｄを用い、一致しない場合は楕円
曲線上の群の元の加算装置１２ｃを用いて、 Ｑ←Ｑ＋Ｒ を計算する。
【０１２３】ステップ１４０４） 制御装置１２ａは ｎ←ｎ／２ を計算する。 ステップ１４０５） 制御装置１２ａは、楕円曲線上の
群の元の２倍算計算装置１２ｄを用いて、 Ｒ←２Ｒ を計算する。
群の元の２倍算計算装置１２ｄを用いて、 Ｒ←２Ｒ を計算する。
【０１２４】ステップ１４０６） 制御装置１２ａは状
態をステップ１４０２の状態とする。最後に、上記に示
した各装置は、暗号通信や電子マネー等に適用が可能で
ある。このような暗号通信や電子マネー等に本発明を適
用する場合における鍵共有法や、暗号、及び署名につい
て説明する。
態をステップ１４０２の状態とする。最後に、上記に示
した各装置は、暗号通信や電子マネー等に適用が可能で
ある。このような暗号通信や電子マネー等に本発明を適
用する場合における鍵共有法や、暗号、及び署名につい
て説明する。
【０１２５】まず、楕円曲線を用いたDiffie-Hellmanの
鍵共有法について説明する。この例では、システムパラ
メータを楕円曲線Ｅ（ＧＦ（２n ））と、位数の大きな
元Ｐ∈Ｅ（ＧＦ（２n ））とする。このとき、鍵生成時
には、利用者Ｕは、正整数ｘU をランダムに生成し、 ＹU ＝ｘu Ｐ を計算する。なお、上記において、ｘU は秘密鍵を示
し、Ｙu は、公開鍵である。
鍵共有法について説明する。この例では、システムパラ
メータを楕円曲線Ｅ（ＧＦ（２n ））と、位数の大きな
元Ｐ∈Ｅ（ＧＦ（２n ））とする。このとき、鍵生成時
には、利用者Ｕは、正整数ｘU をランダムに生成し、 ＹU ＝ｘu Ｐ を計算する。なお、上記において、ｘU は秘密鍵を示
し、Ｙu は、公開鍵である。
【０１２６】次に、利用者ＡとＢとが鍵共有する状況を
考える。 ステップ１５０１） Ａは何らかの方法で、Ｂの公開鍵
ＹB を入手する。 ステップ１５０２） Ａは、 ＫA,B ＝ｘA ＹB を計算する。
考える。 ステップ１５０１） Ａは何らかの方法で、Ｂの公開鍵
ＹB を入手する。 ステップ１５０２） Ａは、 ＫA,B ＝ｘA ＹB を計算する。
【０１２７】ステップ１５０３） Ｂも同様に、 ＫB,A ＝ｘB ＹA を計算する。以上の結果、ＡとＢの間で、鍵ＫA,B ＝Ｋ
A , B が共有されている。この方法に本発明の演算法を
適用することにより、処理速度の高速化を図ることが可
能となる。
A , B が共有されている。この方法に本発明の演算法を
適用することにより、処理速度の高速化を図ることが可
能となる。
【０１２８】次に、楕円曲線を用いたElGamal 暗号につ
いて説明する。システムパラメータを楕円曲線Ｅ（ＧＦ
（２n ））と、位数の大きな元Ｐ∈Ｅ（ＧＦ（２n ））
とする。鍵生成時には、利用者Ｕは、正整数ｘU をラン
ダムに生成し、 ＹU ＝ｘU Ｐ を計算する。上記において、ｘU は秘密鍵であり、ＹU
は公開鍵である。
いて説明する。システムパラメータを楕円曲線Ｅ（ＧＦ
（２n ））と、位数の大きな元Ｐ∈Ｅ（ＧＦ（２n ））
とする。鍵生成時には、利用者Ｕは、正整数ｘU をラン
ダムに生成し、 ＹU ＝ｘU Ｐ を計算する。上記において、ｘU は秘密鍵であり、ＹU
は公開鍵である。
【０１２９】ここで、利用者Ａに平文Ｍを暗号化して送
信する状況を考える。 ステップ１６０１） 何等かの方法で公開鍵ＹA を入手
する。 ステップ１６０２） 正整数の乱数ｒを生成する。 ステップ１６０３） 暗号文（Ｃ1 ，Ｃ2 ）を以下の式
で計算する。 Ｃ1 ＝ｒＰ Ｃ2 ＝Ｍ＋ｒＹA ステップ１６０４） ここで、受信者Ａは、暗号文（Ｃ
1 ，Ｃ2 ）の復号を以下の式いより行い平文を得る。
信する状況を考える。 ステップ１６０１） 何等かの方法で公開鍵ＹA を入手
する。 ステップ１６０２） 正整数の乱数ｒを生成する。 ステップ１６０３） 暗号文（Ｃ1 ，Ｃ2 ）を以下の式
で計算する。 Ｃ1 ＝ｒＰ Ｃ2 ＝Ｍ＋ｒＹA ステップ１６０４） ここで、受信者Ａは、暗号文（Ｃ
1 ，Ｃ2 ）の復号を以下の式いより行い平文を得る。
【０１３０】Ｍ＝Ｃ2 −ｘA Ｃ1 次に、楕円曲線を用いたElGamal 署名について説明す
る。システムパラメータを楕円曲線Ｅ（ＧＦ（２n ））
と、位数の大きな元Ｐ∈Ｅ（ＧＦ（２n ））と、楕円曲
線の位数# Ｅ（ＧＦ（２n ））とし、一方向性ハッシュ
関数をｈとして説明する。
る。システムパラメータを楕円曲線Ｅ（ＧＦ（２n ））
と、位数の大きな元Ｐ∈Ｅ（ＧＦ（２n ））と、楕円曲
線の位数# Ｅ（ＧＦ（２n ））とし、一方向性ハッシュ
関数をｈとして説明する。
【０１３１】鍵生成時には、利用者Ｕは、正整数をｘu
をランダムに生成し、 ＹU ＝ｘU Ｐ を計算する。ここで、ｘU は秘密鍵であり、ＹU は公開
鍵である。次に、利用者Ａがデータｍに署名する状況を
考える。 ステップ１７０１） # Ｅ（ＧＦ（２n ））と互いに素
な正整数ｋをランダムに選択する。
をランダムに生成し、 ＹU ＝ｘU Ｐ を計算する。ここで、ｘU は秘密鍵であり、ＹU は公開
鍵である。次に、利用者Ａがデータｍに署名する状況を
考える。 ステップ１７０１） # Ｅ（ＧＦ（２n ））と互いに素
な正整数ｋをランダムに選択する。
【０１３２】ステップ１７０２） 以下の式により署名
（Ｒ，ｓ）を計算する。 Ｒ＝ｋＰ ｓ＝（ｍ−ｘA ｈ（ｒ））ｋ-1 mod #Ｅ（ＧＦ
（２n ）） 次に、以下の式により署名の正当性を検証する。 ｍＰ＝ｈ（Ｒ）ＹA ＋Ｒ なお、本発明は、上記の実施例に限定されることなく、
特許請求の範囲内で種々変更・応用が可能である。
（Ｒ，ｓ）を計算する。 Ｒ＝ｋＰ ｓ＝（ｍ−ｘA ｈ（ｒ））ｋ-1 mod #Ｅ（ＧＦ
（２n ）） 次に、以下の式により署名の正当性を検証する。 ｍＰ＝ｈ（Ｒ）ＹA ＋Ｒ なお、本発明は、上記の実施例に限定されることなく、
特許請求の範囲内で種々変更・応用が可能である。
【０１３３】
【発明の効果】以下の表で、青木の方法と本発明法の有
限体演算の性能を比較した。
限体演算の性能を比較した。
【０１３４】
【表１】
【０１３５】表からわかるように、深さについて加算以
外で全ての場合青木の方法より優れており、２乗では加
算数について青木の方法より優れている。従って、逆元
についても内部で２乗を使うので青木の方法より高速と
なる。
外で全ての場合青木の方法より優れており、２乗では加
算数について青木の方法より優れている。従って、逆元
についても内部で２乗を使うので青木の方法より高速と
なる。
【図１】本発明の一実施例の有限体上の演算におけるＧ
Ｆ（２e ）上の加算装置の構成図である。
Ｆ（２e ）上の加算装置の構成図である。
【図２】本発明の一実施例の有限体上の演算におけるＧ
Ｆ（２e ）上の乗算装置の構成図である。
Ｆ（２e ）上の乗算装置の構成図である。
【図３】本発明の一実施例のＧＦ（２e ）上の逆元装置
の構成図である。
の構成図である。
【図４】本発明の一実施例のＧＦ（２2n）上の加算装置
の構成図である。
の構成図である。
【図５】本発明の一実施例のＧＦ（２2n）上の乗算装置
の構成図である。
の構成図である。
【図６】本発明の一実施例のＧＦ（２2n）上の２乗装置
の構成図である。
の構成図である。
【図７】本発明の一実施例のＧＦ（２2n）上の逆元装置
の構成図である。
の構成図である。
【図８】本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の逆元
装置の構成図である。
装置の構成図である。
【図９】本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の加算
計算装置の構成図である。
計算装置の構成図である。
【図１０】本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の比
較装置の構成図である。
較装置の構成図である。
【図１１】本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の特
殊加算計算装置の構成図である。
殊加算計算装置の構成図である。
【図１２】本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の２
倍算計算装置の構成図である。
倍算計算装置の構成図である。
【図１３】本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の特
殊２倍算計算装置の構成図である。
殊２倍算計算装置の構成図である。
【図１４】本発明の一実施例の楕円曲線上の群の元の自
然数倍算計算装置の構成図である。
然数倍算計算装置の構成図である。
１ 楕円曲線上の群の元の逆元計算装置 １ａ 問い合わせ装置 １ｂ 有限体上の加算計算装置 ３ 楕円曲線上の群の元の加算計算装置 ３ａ 問い合わせ装置 ３ｂ 楕円曲線上の群の元の逆元計算装置 ３ｃ 楕円曲線上の群の元の比較装置 ３ｄ 楕円曲線上の群の元の特殊加算計算装置 ４ 楕円曲線上の群の元の比較装置 ４ａ 問い合わせ装置 ４ｂ ２e2t ビット列比較装置 ５ 楕円曲線上の群の元の特殊加算計算装置 ５ａ，５ｃ，５ｆ，５ｇ，５ｈ，５ｉ，５ｋ，５ｌ 有
限体の元の加算計算装置 ５ｂ 有限体の元の逆元計算装置 ５ｄ，５ｊ 有限体の元の乗算計算装置 ５ｅ 有限体の元の２乗計算装置 １０ 楕円曲線上の群の元の２倍算計算装置 １０ａ 問い合わせ装置 １０ｂ 楕円曲線上の群の元の特殊２倍算計算装置 １１ 楕円曲線上の群の元の特殊２倍算計算装置 １１ｄ，１１ｆ，１１ｈ，１１ｊ 有限体の元の加算計
算装置 １１ｂ 有限体の元の逆元計算装置 １１ｃ，１１ｉ 有限体の元の乗算計算装置 １１ａ，１１ｅ 有限体の元の２乗計算装置 １２ 楕円曲線上の群の元の自然数倍計算装置 １２ａ 制御装置 １２ｂ 楕円曲線上の群の元の比較装置 １２ｃ 楕円曲線上の群の元の加算計算装置 １２ｄ 楕円曲線上の群の元の２倍算計算装置 ２０ ＧＦ（２e ）上の加算装置 ２０ａ ｅビット排他的論理和装置 ２１ ＧＦ（２e ）上の乗算装置 ２１ａ 問い合わせ装置 ２１ｂ 乗算テーブル ２２ ＧＦ（２e ）上の逆元装置 ２２ａ 問い合わせ装置 ２２ｂ 逆元テーブル ２３ ＧＦ（２2n）上の加算装置 ２３ａ ＧＦ（２2n）上の加算装置 ２３ｂ ＧＦ（２2n）上の加算装置 ２４ ＧＦ（２2n）上の乗算装置 ２４ａ，２４ｃ，２４ｆ，２４ｈ ＧＦ（２n ）上の加
算装置 ２４ｂ，２４ｄ，２４ｅ，２４ｇ ＧＦ（２n ）上の乗
算装置 ２５ ＧＦ（２2n）上の乗算装置 ２５ｄ ＧＦ（２n ）上の加算装置 ２５ｃ ＧＦ（２n ）上の乗算装置 ２５ａ，２５ｂ ＧＦ（２n ）上の２乗装置 ２６ ＧＦ（２n ）上の逆元装置 ２６ａ，２６ｅ ＧＦ（２n ）上の加算装置 ２６ｂ，２６ｄ，２６ｇ，２６ｈ ＧＦ（２n ）上の乗
算装置 ２６ｃ ＧＦ（２n ）上の２乗装置 ２６ｆ ＧＦ（２n ）上の逆元装置
限体の元の加算計算装置 ５ｂ 有限体の元の逆元計算装置 ５ｄ，５ｊ 有限体の元の乗算計算装置 ５ｅ 有限体の元の２乗計算装置 １０ 楕円曲線上の群の元の２倍算計算装置 １０ａ 問い合わせ装置 １０ｂ 楕円曲線上の群の元の特殊２倍算計算装置 １１ 楕円曲線上の群の元の特殊２倍算計算装置 １１ｄ，１１ｆ，１１ｈ，１１ｊ 有限体の元の加算計
算装置 １１ｂ 有限体の元の逆元計算装置 １１ｃ，１１ｉ 有限体の元の乗算計算装置 １１ａ，１１ｅ 有限体の元の２乗計算装置 １２ 楕円曲線上の群の元の自然数倍計算装置 １２ａ 制御装置 １２ｂ 楕円曲線上の群の元の比較装置 １２ｃ 楕円曲線上の群の元の加算計算装置 １２ｄ 楕円曲線上の群の元の２倍算計算装置 ２０ ＧＦ（２e ）上の加算装置 ２０ａ ｅビット排他的論理和装置 ２１ ＧＦ（２e ）上の乗算装置 ２１ａ 問い合わせ装置 ２１ｂ 乗算テーブル ２２ ＧＦ（２e ）上の逆元装置 ２２ａ 問い合わせ装置 ２２ｂ 逆元テーブル ２３ ＧＦ（２2n）上の加算装置 ２３ａ ＧＦ（２2n）上の加算装置 ２３ｂ ＧＦ（２2n）上の加算装置 ２４ ＧＦ（２2n）上の乗算装置 ２４ａ，２４ｃ，２４ｆ，２４ｈ ＧＦ（２n ）上の加
算装置 ２４ｂ，２４ｄ，２４ｅ，２４ｇ ＧＦ（２n ）上の乗
算装置 ２５ ＧＦ（２2n）上の乗算装置 ２５ｄ ＧＦ（２n ）上の加算装置 ２５ｃ ＧＦ（２n ）上の乗算装置 ２５ａ，２５ｂ ＧＦ（２n ）上の２乗装置 ２６ ＧＦ（２n ）上の逆元装置 ２６ａ，２６ｅ ＧＦ（２n ）上の加算装置 ２６ｂ，２６ｄ，２６ｇ，２６ｈ ＧＦ（２n ）上の乗
算装置 ２６ｃ ＧＦ（２n ）上の２乗装置 ２６ｆ ＧＦ（２n ）上の逆元装置
Claims (8)
- 【請求項１】 有限体ＧＦ（２2n）上で、ＧＦ（２2n）
＝ＧＦ（２n ）（α）となる 【数１】 を満たすαを用いて四則演算を行う有限体上の四則演算
装置であって、 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ2 ＋ｙ2 α）＝（ｘ1 ｘ2 ＋
ａｙ1 ｙ2 ）＋（（ｘ 1 ＋ｙ1 ）（ｘ2 ＋ｙ2 ）＋ｘ1
ｘ2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1 ，ｙ2 ∈ＧＦ（２ n ））に
基づき乗算を計算する乗算手段を有することを特徴とす
る有限体上の四則演算装置。 - 【請求項２】 有限体ＧＦ（２2n）上で、ＧＦ（２2n）
＝ＧＦ（２n ）（α）となる 【数２】 を満たすαを用いて四則演算を行う有限体上の四則演算
装置であって、 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2
α（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき２乗を計算す
る２乗計算手段を有することを特徴とする有限体上の四
則演算装置。 - 【請求項３】 有限体ＧＦ（２2n）上で、ＧＦ（２2n）
＝ＧＦ（２n ）（α）となる 【数３】 を満たすαを用いて四則演算を行う有限体上の四則演算
装置であって、 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ａｙ1
2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ1）＋ｙ1 α）（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ
（２n ））に基づき逆元を計算する逆元計算手段を有す
ることを特徴とする有限体上の四則演算装置。 - 【請求項４】 多項式ｐ，ｑ∈ＧＦ（２2n）［Ｘ1 ，Ｘ
2 ，・・・，Ｘr ］の計算中現れるＧＦ（２2n）上の乗
算を前記乗算手段と前記２乗計算手段を用いることによ
り計算し、ｑのＧＦ（２2n）上の逆元ｑ-1を前記逆元計
算手段を用いて計算し、ｐ，ｑを計算したときと同じ方
法によりｐ×ｑ-1を計算することにより有理式 【数４】 を計算する有理式計算手段を有する請求項１、２及び３
記載の有限体上の四則演算装置。 - 【請求項５】 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ2 ＋ｙ2 α）
＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ 1 ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2
＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1，ｙ2 ∈Ｇ
Ｆ（２n ））に基づき乗算を計算する乗算手段と、 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2
α（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき２乗を計算す
る２乗計算手段と、 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ａｙ1
2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ 1 ）＋ｙ1 α）（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ
（２n ））に基づき逆元を計算する逆元計算手段と、 多項式ｐ，ｑ∈ＧＦ（２2n）［Ｘ1 ，Ｘ2 ，・・・，Ｘ
r ］の計算中現れるＧＦ（２2n）上の乗算を前記乗算手
段と前記２乗計算手段を用いることにより計算し、ｑの
ＧＦ（２2n）上の逆元ｑ-1を前記逆元計算手段を用いて
計算し、ｐ，ｑを計算したときと同じ方法によりｐ×ｑ
-1を計算することにより有理式 【数５】 を計算する有理式計算手段と、 有限体ＧＦ（２2n）上の楕円曲線Ｅ（ＧＦ（２2n））上
の群の無限遠点Οでない元をアフィン座標（ｘ，ｙ）で
表したとき、群の逆元（ｉ，ｊ）のｉ，ｊはｘ，ｙの有
理式で表せることから、前記有理式計算手段を用いて楕
円曲線上の群の元の逆元を求める楕円曲線上の元の逆元
計算手段を有することを特徴とする楕円曲線上の群演算
装置。 - 【請求項６】 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ2 ＋ｙ2 α）
＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ 1 ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2
＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1，ｙ2 ∈Ｇ
Ｆ（２n ））に基づき乗算を計算する乗算手段と、 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2
α（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき２乗を計算す
る２乗計算手段と、 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ａｙ1
2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ 1 ）＋ｙ1 α）（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ
（２n ））に基づき逆元を計算する逆元計算手段と、 有限体ＧＦ（２2n）上の楕円曲線Ｅ（ＧＦ（２2n））上
の群の無限遠点Οでない２つの元をアフィン座標
（ｘ1 ，ｙ1 ），（ｘ2 ，ｙ2 ）で表したとき、和（ｘ
3 ，ｙ3 ）＝（ｘ1 ，ｙ1 ）＋（ｘ2 ，ｙ2 ）のｘ3 ，
ｙ3 は（ｘ1 ，ｙ1 ）≠（ｘ2 ，ｙ2 ）かつ（ｘ1 ，ｙ
1 ）≠−（ｘ2 ，ｙ2 ）であるときｘ1 ，ｙ1，ｘ2 ，
ｙ2 の有理式で表せることから、前記逆元計算手段を用
いて楕円曲線上の群の元の和を求める加算手段を有する
ことを特徴とする楕円曲線上の群演算装置。 - 【請求項７】 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）×（ｘ2 ＋ｙ2 α）
＝（ｘ1 ｘ2 ＋ａｙ 1 ｙ2 ）＋（（ｘ1 ＋ｙ1 ）（ｘ2
＋ｙ2 ）＋ｘ1 ｘ2 ）α（ｘ1 ，ｘ2 ，ｙ1，ｙ2 ∈Ｇ
Ｆ（２n ））に基づき乗算を計算する乗算手段と、 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）2 ＝（ｘ1 2 ＋ａｙ1 2 ）＋ｙ1 2
α（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ（２n ））に基づき２乗を計算す
る２乗計算手段と、 式（ｘ1 ＋ｙ1 α）-1＝（ｘ1 （ｘ1 ＋ｙ1 ）＋ａｙ1
2 ）-1（（ｘ1 ＋ｙ 1 ）＋ｙ1 α）（ｘ1 ，ｙ1 ∈ＧＦ
（２n ））に基づき逆元を計算する逆元計算手段と、 有限体ＧＦ（２2n）上の楕円曲線Ｅ（ＧＦ（２2n））上
の群の無限遠点Οでない元をアフィン座標（ｘ，ｙ）で
表したとき、２倍（ｘ3 ，ｙ3 ）＝２（ｘ，ｙ）の
ｘ3 ，ｙ3 は（ｘ1 ，ｙ）≠−（ｘ，ｙ）であるとき
ｘ，ｙの有理式で表せることから、前記逆元計算手段を
用いて楕円曲線上の群の元の２倍を求める２倍算手段を
有することを特徴とする楕円曲線上の群演算装置。 - 【請求項８】 有限体ＧＦ（２2n）上の楕円曲線Ｅ（Ｇ
Ｆ（２2n））上の群の無限遠点Οでない元をアフィン座
標（ｘ，ｙ）で表したとき、自然数ｎ倍（ｘ 3 ，ｙ3 ）
＝ｎ（ｘ，ｙ）のｘ3 ，ｙ3 は、逆元、加算、２倍算を
組み合わせることにより計算可能であることを利用し
て、前記楕円曲線上の元の逆元計算手段、前記加算手
段、前記２倍算手段を用いて楕円曲線上の群の元の自然
数倍を求める自然数倍計算手段を有する請求項５、６、
及び７記載の楕円曲線上の群演算装置。
Priority Applications (4)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP9206995A JPH1152854A (ja) | 1997-07-31 | 1997-07-31 | 有限体上の四則演算装置及び楕円曲線上の群演算装置 |
| US09/014,891 US6038581A (en) | 1997-01-29 | 1998-01-28 | Scheme for arithmetic operations in finite field and group operations over elliptic curves realizing improved computational speed |
| US09/484,896 US6202076B1 (en) | 1997-01-29 | 2000-01-18 | Scheme for arithmetic operations in finite field and group operations over elliptic curves realizing improved computational speed |
| US09/638,322 US6266688B1 (en) | 1997-01-29 | 2000-08-14 | Scheme for arithmetic operations in finite field and group operations over elliptic curves realizing improved computational speed |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP9206995A JPH1152854A (ja) | 1997-07-31 | 1997-07-31 | 有限体上の四則演算装置及び楕円曲線上の群演算装置 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH1152854A true JPH1152854A (ja) | 1999-02-26 |
Family
ID=16532452
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP9206995A Pending JPH1152854A (ja) | 1997-01-29 | 1997-07-31 | 有限体上の四則演算装置及び楕円曲線上の群演算装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH1152854A (ja) |
Cited By (5)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| KR20020086005A (ko) * | 2001-05-10 | 2002-11-18 | 학교법인 정석학원 | 타원곡선 암호 시스템을 위한 역원 연산기 |
| JP2005141198A (ja) * | 2003-10-14 | 2005-06-02 | Matsushita Electric Ind Co Ltd | データ変換装置およびその方法 |
| JP2010186129A (ja) * | 2009-02-13 | 2010-08-26 | Mitsubishi Electric Corp | 符号化通信方法および符号化通信装置 |
| US8208626B2 (en) | 2006-08-04 | 2012-06-26 | Samsung Electronics Co., Ltd. | Apparatus for performing a fault detection operation and method thereof |
| CN102713921A (zh) * | 2010-01-13 | 2012-10-03 | 微软公司 | 使用聚集的求逆来确定曲线上的配对 |
-
1997
- 1997-07-31 JP JP9206995A patent/JPH1152854A/ja active Pending
Cited By (5)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| KR20020086005A (ko) * | 2001-05-10 | 2002-11-18 | 학교법인 정석학원 | 타원곡선 암호 시스템을 위한 역원 연산기 |
| JP2005141198A (ja) * | 2003-10-14 | 2005-06-02 | Matsushita Electric Ind Co Ltd | データ変換装置およびその方法 |
| US8208626B2 (en) | 2006-08-04 | 2012-06-26 | Samsung Electronics Co., Ltd. | Apparatus for performing a fault detection operation and method thereof |
| JP2010186129A (ja) * | 2009-02-13 | 2010-08-26 | Mitsubishi Electric Corp | 符号化通信方法および符号化通信装置 |
| CN102713921A (zh) * | 2010-01-13 | 2012-10-03 | 微软公司 | 使用聚集的求逆来确定曲线上的配对 |
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