JPH10261005A - 有限状態機械変換装置及び変換方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】有限状態機械を扱うプログラムにおいて、その
前処理として、有限状態機械の与えられる入力値の変化
に伴う過渡的状態への遷移を除去し、さらに、有限状態
機械に与えられる入力値の変化に伴う不安定な状態遷移
が存在するか否かを判定する。 【解決手段】与えられた有限状態機械を反復二乗法を用
いて定常化有限状態機械に変換する。そして、この変換
と同時、または変換したのち、この定常化有限状態機械
が不安定な状態遷移を含むか否かを判定する。与えられ
た有限状態機械に含まれる無意味な過渡的状態からの遷
移先を効率的に変更することにより、二つの論理回路の
等価性の形式検証のような、有限状態機械を扱うプログ
ラムにかかる負荷を小さくできる。また、論理回路が不
安定な状態を含むか否かを判定することにより、設計さ
れた回路に含まれる誤りを見い出すことができる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、有限状態機械変換
方法及びその装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】近年のコンピューター回路などの論理回
路の規模の増大にともない、回路の設計期間やテスト期
間を短縮するための技術、即ち、論理合成技術、シミュ
レーション技術、形式検証技術などが年々重要視されて
きている。これらの技術では、通常、順序回路を有限状
態機械を用いて数学的にモデル化し、この有限状態機械
に対して、状態の縮減、等価性の判定などの処理が行わ
れる。近年では、有限状態機械の要素となる遷移関数や
出力関数を二分決定ダイアグラムを用いてコンパクトに
表現する技術が発達したことにより、上記の処理を大規
模な有限状態機械に適用することが可能となった。

【０００３】上記技術の中で、形式検証技術は、等価性
判定技術とモデルチェッキング技術に分けられる。前者
は、二つの回路の論理的等価性を判定する技術であり、
後者は、対象となる回路がユーザーの指定した論理的性
質を満たすか否かを判定する技術である。順序回路を対
象としたこれらの形式検証技術では、与えられた回路か
ら、これをモデル化する有限状態機械を構成するため
に、通常、次のような処理が行われる。まず、与えられ
た回路の入力信号全てを入力とする有限状態機械を作
る。そして、この有限状態機械の入力のうち、クロック
信号に対応するものを自動的、または、ユーザーによる
情報を利用して検出する。更に、与えられた回路が、ク
ロックのどのようなタイミングで状態遷移するかという
情報をユーザーから得て、これを元に、クロックを入力
信号として含ませない有限状態機械（同期機械と呼ぶ）
に構成する。同期機械における状態遷移は、同期機械自
身が内部に暗に持っているクロックによって、処与のタ
イミングで起きると考える。

【０００４】一般に、複雑なフィードバッククループを
含んだネットリストの記述や、更に抽象度の低いトラン
ジスターレベルで記述された順序回路から構成した有限
状態機械は、クロックの変化などによって状態遷移する
とき、直ちに安定な状態に遷移しない場合がある。即
ち、いくつかの過渡的な状態を瞬時的に経由して、最終
的に安全な状態に遷移するような場合である。二つの順
序回路の等価性を検証する場合、この瞬時的に現れる過
渡的な状態遷移に伴う出力の違いのために、実際の回路
の働きは等価であるにもかかわらず、両者が非等価であ
ると判定してしまうことが起こり得る。そこで、与えら
れた有限状態機械から同期機械を構成するに先だって、
まず、有限状態機械を、クロック値が変化すると、過渡
的な状態遷移を行わず、直ちに安定な状態に遷移するよ
うな有限状態機械（定常化有限状態機械と呼ぶ）に変換
する方法が有効となる。そして、この変換の後、同期機
械を構成するなどの処理が行われる。

【０００５】例えば、図２７に示した（ａ）の回路と
（ｂ）の回路を考える。これらは、どちらもクロックの
立ち下がりエッジに反応するＤ型フリップクロップをＡ
ＮＤゲートや、ＯＲゲートを用いて構成したものであ
り、論理的に等価な回路である。今、図２７（ａ）の回
路と（ｂ）の回路をモデル化した有限状態機械が、それ
ぞれ、図２８（ａ）と（ｂ）であるとする。これらの有
限状態機械の、入力ｄ，ｃｌｋの変化に対応する出力ｑ
の振るまいは、それぞれ、図２９（ａ）と（ｂ）のよう
になる。この図からわかるように、単純に図２８（ａ）
と（ｂ）の有限状態機械の等価性を形式検証するだけで
は、クロック立ち下がり時に、図２８（ｂ）の過渡的状
態Ｄ′への遷移に伴う出力が図２８（ａ）のものと異な
るため、両者は非等価と判定される。しかし、実際の回
路図２７（ａ）と（ｂ）では、この過渡的遷移に必要な
時間δは非常に短く、従って、ここで述べた違いは観測
されない。そして、この問題を解決するために、過渡的
遷移を含む図２８（ｂ）のような有限状態機械から、過
渡的遷移を含まない図２８（ａ）のような有限状態機械
への変換を行うことが必要となる。

【０００６】図３０は、上に述べた有限状態機械変換方
法を用いて、二つの回路の等価性を形式検証する場合の
流れの一例を示したものである。まず、与えられた回路
１，２から有限状態機械を抽出して（ステップ３１）、
回路への入力信号のすべてを入力とする有限状態機械
１，２を作成する。この有限状態機械１，２には過渡的
遷移が含まれているので、過渡的遷移を排除する処理を
行うことで（ステップ３２）、定常化有限状態機械１，
２を得る。これらの定常化有限状態機械１，２をタイミ
ング情報を参照して変換し（ステップ３３）、クロック
を入力信号として含まない同期機械１，２を得る。この
同期機械１，２に対して等価性の形式検証を行い（ステ
ップ３４）、その結果を出力する（ステップ３５）。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】ところが、上記の有限
状態機械を定常化有限状態機械に変換する有限状態機械
変換方法のうち、現在知られているものには次のような
問題点がある。

【０００８】・安定状態の存在の仮定の問題。

【０００９】・繰り返しの回数の問題。

【００１０】・遷移関係の利用の問題。

【００１１】(1) 安定状態の存在の仮定の問題 安定状態の存在の仮定とは、変換元となる有限状態機械
の任意の状態から出発する任意の遷移は、たとえ過渡的
状態を経由しても、最終的には安定状態に到達するとい
う仮定である。しかし、時には、ある状態からの遷移先
が安定状態に行きつかず、入力が変化しない限り、いつ
までも状態遷移を続けるような不安定な場合があり得
る。通常、このような不安定性は、設計者の意図しない
誤りによって生じることが多い。このため、一般には、
安定状態の存在は仮定することができない。

【００１２】(2) 繰り返しの回数の問題。

【００１３】変換前の有限状態機械の状態数が多くなる
と、一般に、過渡的遷移の長さも長くなる。変換を行う
ための処理の繰り返し回数は、過渡的遷移の長さが長く
なっても、少なく抑制されることが望ましい。現在、処
理の繰り返しの回数のオーダーを、過渡的遷移の最大長
の対数で抑える方法が知られているが、この方法は、安
定状態の存在を仮定する必要がある。一方、安定状態の
存在を仮定する必要のない変換方法も知られているが、
その場合、処理の繰り返し回数は過渡的遷移の最大長に
比例する。

【００１４】(3) 遷移関係の利用の問題。

【００１５】変換を行うことのできる有限状態機械の規
模を大きくするために、二分決定ダイアグラムを利用す
る場合があるが、この場合、有限状態機械の状態遷移を
表現するには、遷移関係を用いる方法と、遷移関数を用
いる方法の二つが存在する。前者は、後者よりも多くの
情報を持ち、不完全有限状態機械の状態遷移まで記述す
ることが可能である。この半面、二分決定ダイアグラム
による前者の表現は、後者に比べて非常に多くのノード
数を必要とする。このため、決定的な有限状態機械のみ
を対象とするならば、状態遷移を遷移関数によって記述
して扱うことのできる方法が、処理時間と処理規模の面
で望まれる。しかし、現在知られている方法のうち、処
理の繰り返しのオーダーを過渡的遷移の最大長の対数で
抑えることのできるものは、状態遷移を遷移関係を用い
て表現する必要がある。

【００１６】

【課題を解決するための手段】上記の問題点を解決する
ために、請求項１の有限状態機械変換装置は、有限個の
要素よりなる入力記号の集合と、有限個の要素よりなる
出力記号の集合と、有限個の状態を持つ状態集合と、前
記入力記号の集合と状態集合から状態集合への遷移を特
徴付ける遷移関数と、前記入力記号の集合と状態集合か
ら出力記号の集合への関係を特徴付ける出力関数とによ
って有限状態機械を構成する有限状態機械設定手段と、
前記有限状態機械に含まれている過渡的状態への遷移を
消去して定常化有限状態機械に変換する定常化有限状態
機械生成手段とを備えていることを特徴とする。

【００１７】また、請求項６の有限状態機械変換方法
は、有限個の要素よりなる入力記号の集合と、有限個の
要素よりなる出力記号の集合と、有限個の状態を持つ状
態集合と、前記入力記号の集合と状態集合から状態集合
への遷移を特徴付ける遷移関数と、前記入力記号の集合
と状態集合から出力記号の集合への関係を特徴付ける出
力関数とによって有限状態機械を構成し、前記有限状態
機械に含まれている過渡的状態への遷移を消去して定常
化有限状態機械に変換することを特徴とする。

【００１８】このような構成を有する請求項１または請
求項６の発明によれば、該有限状態機械のある状態が、
一個又は複数個の入力値が変化したとき、過渡的な状態
を経て安定な状態に遷移するならば、変換後の有限状態
機械は、この入力値の変化に対して、過渡的な状態への
遷移を行うことなしに、安定な状態に遷移するようなも
のとなる。その結果、有限状態機械によってモデル化し
た回路の比較検証などを容易かつ確実に実施できる。

【００１９】請求項２の発明は、請求項１記載の有限状
態機械変換装置において、前記定常化有限状態機械生成
手段が、有限状態機械の遷移関数の各ビットに対する多
段遷移関数を反復二乗法を用いて求める反復二乗法処理
手段と、前記定常化有限状態機械の遷移関数及び出力関
数を決定する関数決定手段とを備えることを特徴とす
る。また、請求項７の発明は、請求項６記載の有限状態
機械変換方法において、前記定常化有限状態機械に変換
する処理は、有限状態機械の遷移関数の各ビットに対す
る多段遷移関数を反復二乗法を用いて求め、この多段遷
移関数に基づいて定常化有限状態機械の遷移関数及び出
力関数を決定することを特徴とする。

【００２０】このような請求項２または請求項７の発明
によれば、反復二乗法を用いて変換の処理を行うので、
有限状態機械に不安定な状態がなければ、有限状態機械
に含まれる過渡的遷移の最大長の対数のオーダーの繰り
返しをするのみで、変換を終了することができる。

【００２１】請求項３の発明は、前記請求項１に記載の
有限状態機械変換装置において、前記定常化有限状態機
械生成手段は、該有限状態機械の遷移関係の多段遷移関
係を反復二乗法を用いて求める反復二乗法処理手段と、
定常化有限状態機械の遷移関係及び出力関係を決定する
関係決定手段とを備えることを特徴とする。また、請求
項８の発明は、前記請求項６に記載の有限状態機械変換
方法において、前記定常化有限状態機械に変換する処理
は、該有限状態機械の遷移関係の多段遷移関係を反復二
乗法を用いて求め、この多段遷移関係に基づいて定常化
有限状態機械の遷移関係及び出力関係を決定することを
特徴とする。

【００２２】このような請求項３または請求項６に記載
の発明によれば、遷移関係によって該有限状態機械の状
態遷移を表現した場合でも、本発明を適用することが可
能である。

【００２３】請求項４の発明は、前記請求項１に記載の
有限状態機械変換装置において、前記有限状態機械に不
安定な状態遷移が存在するか否かの判定を行う不安定性
検出手段とを備えることを特徴とする。請求項９の発明
は、前記請求項６に記載の有限状態機械変換方法におい
て、前記有限状態機械に不安定な状態遷移が存在するか
否かの判定を行うことを特徴とする。請求項１０の発明
は、前記請求項９に記載の有限状態機械変換方法におい
て、前記不安定な状態遷移の検出は、前記過渡的状態へ
の遷移の消去の処理と同時に行われることを特徴とす
る。

【００２４】このような請求項４または請求項９の発明
によれば、有限状態機械のある状態が、複数個の入力値
が変化したとき、過渡的な状態遷移を経て周期的に遷移
を繰り返す不安定な状態に遷移する場合には、これを検
出してユーザーに報告することが可能になる。また、請
求項１０の発明によれば、前記不安定な状態遷移の検出
を、前記過渡的状態への遷移の消去の処理と同時に行う
ことで、変換作業のより早い時期に不安定性の検出を行
うことができる。

【００２５】請求項５の発明は、前記請求項１に記載の
有限状態機械変換装置において、前記定常化有限状態機
械を簡約化する有限状態機械簡約化手段とを備えること
を特徴とする。請求項１１の発明は、前記請求項６に記
載の有限状態機械変換方法において、前記定常化有限状
態機械の出力関数と遷移関数の簡約化を行って、前記定
常化有限状態機械をさらに簡約化することを特徴とす
る。

【００２６】このような請求項５または請求項１１の発
明によれば、変換して得られた定常化有限状態機械を、
その定常性を利用することによって、より簡約化された
遷移関数や出力関数で表された最終有限状態機械に変換
することが可能である。

【００２７】

【発明の実施の形態】以下、図面を参照しながら本発明
の一実施形態について説明する。なお、後述する実施形
態はコンピュータ上に実現され、実施形態の各機能は、
所定の手順（プログラム）がこのコンピュータを制御す
ることで実現される。例えば、入力部は、入力するプロ
グラムやデータの態様によって種々のものを採用するこ
とができ、キーボードやマウスなどの入出力装置、ネッ
トワーク接続装置、データ読み取り装置などを使用でき
る。また、各記憶部は、外部から入力したデータを蓄え
るためのものであり、磁気や光ディスク装置、半導体メ
モリ等の所望の装置を用いることができる。さらに、他
の部分は、コンピュータのソフトウェアによって構成さ
れることが典型的である。

【００２８】本明細書における各「部」は、実施形態の
各機能に対応する概念的なもので、必ずしも特定のハー
ドウェアやソフトウェア・ルーチンに１対１には対応し
ない。同一のハードウェア要素が、場合によって異なっ
た部を構成する。例えば、コンピュータは、ある命令を
実行するときにある部となり、別の命令を実行するとき
は別の部となりうる。また、一つの部が、わずか１命令
によって実現される場合もあれば、多数の命令によって
実現される場合もある。したがって、本明細書では、以
下、実施形態の各機能を有する仮想的回路ブロック
（部）を想定して実施形態を説明する。また、本実施形
態における各手順の各ステップは、その性質に反しない
限り、実行順序を変更し、複数同時に実行し、また、実
行ごとに異なった順序で実行してもよい。

【００２９】また、本発明をコンピュータのソフトウェ
アとして実現した場合には、そのソフトウェアを磁気あ
るいは光などの記録媒体に記録しておき、これを個々の
設計者が読み出して自己のコンピュータによって実行す
ることも、本発明の実施形態の一つである。

【００３０】［Ａ．第１実施形態］ ［１．概要］ ［１−１．有限状態機械変換装置］本発明の有限状態機
械変換装置の一実施形態の概要を、図１により説明す
る。図１に記載の有限状態機械変換装置は、コンピュー
タ上に実現される。このコンピュータは、中央演算装置
（ＣＰＵ）１、キーボードやマウスなどの入力装置２、
ＣＲＴディスプレイやプリンタなどの出力装置３、及び
メモリやハードディスクなどの記憶装置４を備えてい
る。これらの各装置は、バス５によって接続され、相互
に情報が交換される。

【００３１】本実施形態の変換装置は、このようなコン
ピュータ上において実行される次のような各部分を持つ
プログラムとして構成されている。

【００３２】(1) 入力装置からの入力やファイルとして
与えられた順序回路に関する情報を基に、前記順序回路
をモデル化した有限状態機械を生成する有限状態機械設
定部１０。

【００３３】(2) 前記有限状態機械設定部から与えられ
た有限状態機械を、定常化有限状態機械に変換する定常
化有限状態機械生成部１１。この定常化有限状態機械生
成部１１は、与えられた有限状態機械に含まれている過
渡的状態への遷移を消去するものであって、遷移関数を
決定するのに必要な演算を行うための反復二乗法処理部
１２と、前記反復二乗法処理部１２で得られた演算結果
を基に遷移関数及び出力関数を決定する関数決定部１３
とを有する。

【００３４】(3) 前記生成部１１によって得られた定常
化有限状態機械に不安定性があるか否かを検出する不安
定性検出部１４。

【００３５】(4) 前記不安定性検出部１４で得られた情
報を基に、前記生成部１１で得られた定常化有限状態機
械の遷移関数や出力関数をさらに簡約化する有限状態機
械簡約化部１５。

【００３６】［１−２．有限状態機械変換方法］図２
は、本発明に係る有限状態機械変換方法の全体のフロー
チャートである。この変換方法は、前記図１に示したよ
うな装置において、次のような手順で実行される。

【００３７】まず、本有限状態機械設定部１０は、その
入力として、任意の有限状態機械１００を受け取る。こ
の有限状態機械１００は、例えば、順序回路のクロック
とその他の入力に対する出力及び状態遷移の関係を数学
的にモデル化したものに対応する。

【００３８】定常化有限状態機械生成部１１は、遷移関
数に対する反復二乗法を用いることにより、有限状態機
械１００から定常化有限状態機械１０２を生成する（過
渡的状態への遷移の消去ステップ１０１）。即ち、反復
二乗法処理部１２によって、与えられた有限状態機械か
ら過渡的状態への遷移を消去するに当たって必要な多段
遷移関数を決定し、決定された多段遷移関数に基づいて
定常化有限状態機械の遷移関数及び出力関数が、関数決
定部１３によって新たに決定される。このようにして得
られた定常化有限状態機械１０２は、有限状態機械１０
０と同じ定常状態（安定状態か不安定状態）を持ち、か
つ、その中の安定状態においては有限状態機械１００と
同じ出力をする。一方、任意の過渡的状態からの過渡的
遷移に関しては有限状態機械１００と異なり、直ちに定
常化する。即ち、直ちに定常状態（安定状態か不安定状
態）に遷移するという性質を持つように構成される。こ
の性質により、定常化有限状態機械１０２は、順序回路
の瞬時的かつ本質的でない振舞いを除去したモデル化を
可能にする。

【００３９】定常化有限状態機械生成部１１の出力した
定常化有限状態機械１０２は不安定性検出部１４に渡さ
れ、不安定な定常状態の存在が検出される（不安定性検
出ステップ１０３）。続いて、有限状態機械簡約化部１
５において、定常化有限状態機械１０２の定常性や、不
安定性検出ステップ１０３で検出した情報を元にして、
出力関数の簡約化、遷移関数の簡約化等の処理を行い、
最終有限状態機械１０５を出力し、全体の処理を終了す
る（有限状態機械簡約化ステップ１０４）。

【００４０】［２．有限状態機械と定常化有限状態機
械］以下、本発明の入力となる有限状態機械、本発明で
考える安定性、定常化有限状態機械、定常化有限状態機
械生成部１１による過渡的状態への遷移の消去ステップ
の働き、不安定性検出部１４における不安定性検出ステ
ップの働き、有限状態機械簡約化部１５における有限状
態機械簡約化ステップの働きに付いて順に述べる。

【００４１】［２−１．有限状態機械］本発明の入力と
なる有限状態機械の定義を行う。

【００４２】有限状態機械Ｍとは、図３に示すとおり、
入力記号の集合（以下、入力アルファベットと呼ぶ）
Ｉ、出力記号の集合（以下、出力アルファベットと呼
ぶ）Ｏ、有限個の要素よりなる状態の集合Σ、遷移関数
δ、出力関数ω、初期状態Ｓ_initの６つの組を指定した
ものである。これを、Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω，Ｓ
_init）と表記する。ここで、遷移関数δは、Σ×Ｉから
Σへの関数であり、出力関数ωは、Σ×ＩからＯへの関
数であり、初期状態Ｓ_initは、Σのある一つの要素、即
ち、Ｓ_init∈Σである。入力ｉ∈Ｉが与えられたとき
の、状態δ∈Σの、遷移関数δによる遷移先をδ（ｓ，
ｉ）と表記し、出力関数ωによる出力をω（ｓ，ｉ）と
表記する。以下では、特に混乱を招かない限り、δ，ω
と、δ（ｓ，ｉ），ω（ｓ，ｉ）を区別しない。

【００４３】［２−１−１．有限状態機械の具体例］図
４（ａ）は、有限状態機械の一具体例であり、入力アル
ファベットをＩ＝｛０，１｝、出力アルファベットをＯ
＝｛０，１｝、そして、状態の集合をΣ＝｛Ａ，Ｂ｝と
している。状態は２００のように、状態名を丸で囲むこ
とによって表す。各状態から出る矢印２０１に添えられ
た数字の組２０２と２０３は、矢印２０１の始点となる
状態において、入力値２０２が与えられると、矢印の終
点となる状態に遷移し、この遷移に伴う出力値が２０３
となることを意味している。図４（ａ）の例では、状態
Ａにおいて入力０が与えられたとき、遷移先の状態はＡ
であり、これに伴い１を出力する。状態Ａにおいて入力
１が与えられたとき、遷移先の状態はＢであり、これに
伴い１を出力する。状態Ｂにおいて入力０が与えられた
とき、遷移先の状態はＢであり、これに伴い１を出力す
る。状態Ｂにおいて入力１が与えられたとき、遷移先の
状態はＡであり、これに伴い０を出力する。２０４は状
態名を二重丸で囲んだもので、これにより、Ｂが初期状
態であることを表現している。

【００４４】大部分の順序回路は、電源を入れた直後の
内部状態が一意的に定まらない。このため、その順序回
路を有限状態機械でモデル化するとき、初期状態が指定
できない場合がある。図４（ｂ）は、このような場合の
有限状態機械を表しており、初期状態を明示していな
い。初期状態を指定しない有限状態機械を以後Ｍ＝
（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω）と表記する。本発明では、この
ように初期状態が明示されない有限状態機械と、初期状
態が明示された有限状態機械とを、ほとんどの場合に全
く同様に扱うことが可能である。以下、主に、初期状態
が明示されない有限状態機械を対象にして説明を行う。

【００４５】［２−１−２．多段遷移関数］次に、状態
の安定性を定義する上で重要になる多段遷移関数を定義
する。

【００４６】有限状態機械Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω）
のある状態ｓにおいて、同じ入力ｉがｎ（≧１）回続け
て与えられたときの、遷移関数δによる遷移先を与える
関数を多段遷移関数と呼び、多段遷移関数による遷移先
をδ（ｎ，ｓ，ｉ）と表記する。多段遷移関数δ（ｎ，
ｓ，ｉ）は遷移関数δ（ｓ，ｉ）から、次の式により再
帰的に定義される。

【００４７】

【数１】 δ（１，ｓ，ｉ）= δ（ｓ，ｉ） δ（ｋ＋１，ｓ，ｉ）= δ（ｋ，δ（ｓ，ｉ），ｉ） ただし、ｋ≧１ ここで定義した多段遷移関数は、

【数２】δ（ｎ，δ（ｍ，ｓ，ｉ），ｉ）= δ（ｎ＋
ｍ，ｓ，ｉ） ただし、ｍ，ｎ≧１ という性質を持つ。図５には、遷移関数δ（ｓ，ｉ）か
ら作った多段遷移関数δ（ｎ，ｓ，ｉ）を示した。図５
では、簡単に説明するため、ある入力ｉに対する遷移の
特徴だけを示しており、状態名や、出力は省略してい
る。図５に見られるように、この有限状態機械では、入
力ｉに対し、δ（５，ｓ，ｉ）＝δ（２，ｓ，ｉ）とな
り、ｎ≧５では常にδ（ｎ，ｓ，ｉ）＝δ（ｎ−３，
ｓ，ｉ）が満たされる。

【００４８】本実施形態では、有限状態機械に対する処
理を効率化するために、順序づけされた二分決定ダイア
グラム（ＯＢＤＤ）を用いて、有限状態機械の（多段）
遷移関数δ及び出力関数ωを表現する。具体的には、有
限状態機械Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω）の状態ｓ∈Σが
ｒビットでｓ＝［ｓ₀ ，ｓ₁ ，…ｓ_r-1 ］とコーディン
グされるとき、遷移関数δ（ｓ，ｉ）は、Σ×Ｉから
｛０，１｝の上のブール関数のｒ個の組［δ₀ （ｓ，
ｉ），δ₁ （ｓ，ｉ），…δ_r-1 （ｓ，ｉ）］によって
表される。そして、これらｒ個のブール関数を、ＯＢＤ
Ｄを用いて表現する。また、Ｍの出力アルファベットＯ
の要素が、ｐビットでコーディングされるとき、出力関
数ω（ｓ，ｉ）は、Σ×Ｉから｛０，１｝の上へのブー
ル関数のｐ個の組［ω₀ （ｓ，ｉ），ω₁ （ｓ，ｉ），
…ω_p-1 （ｓ，ｉ）］によって表される。そして、これ
らｐ個のブール関数を、ＯＢＤＤを用いて表現する。

【００４９】例えば、図４（ｂ）に示した有限状態機械
の状態の集合Σ＝｛Ａ，Ｂ｝は、要素数｜Σ｜が２であ
るから、ｒ＝１ビットでコーディングできる。今、状態
Ａに［０］を、状態Ｂに［１］を対応づけることにする
と、遷移関数は、

【数３】 となる。同様に、出力もｑ＝１ビットでコーディングさ
れ、出力関数は、

【数４】 となる。

【００５０】［２−１−３．状態の安定性］図６は、過
渡的状態への遷移の消去ステップが入力として受け取る
有限状態機械の一例である。この有限状態機械は、入力
アルファベットをＩ＝｛０，１｝、出力アルファベット
をＯ＝｛０，１｝、そして、状態の集合をΣ＝｛Ａ，
Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ｝としており、初期状態を
指定していない。例えば、状態Ｅから出発して、入力１
が与えられ続けると、過渡的状態Ａを経由して、最終的
に状態Ｂに遷移し、これより後、入力１が与えられ続け
ても常に状態Ｂに留まっている。この性質を状態Ｂは
「入力１に対する安定状態」にあるという。また、例え
ば、状態Ａから出発して、入力０が与えられ続けると、
過渡的状態Ｅと過渡的状態Ｆを経由して、状態Ｇに遷移
し、これより先、入力０が与えられ続けると、状態Ｂ、
状態Ｃ、状態Ｇの順に、これら三つの状態を周期的に遷
移し続ける。この性質を状態の集合｛Ｂ，Ｃ，Ｇ｝は
「入力０に対する定常状態集合」にあるという。

【００５１】［２−１−４．定常状態集合、安定状態、
不安定状態］有限状態機械Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω）
において、ある入力ｉ∈Ｉが与えられ続けたとき、要素
数ｔ≧１個のΣの部分集合Ｓ＝｛ｓ₀ ，ｓ₁ ，…，ｓ
_t-1 ｝⊆Σに含まれる任意の状態が、常にＳに含まれる
状態にのみ遷移し、かつ、Ｓに含まれる全ての状態に遷
移しうるとき、ＳをＭの入力ｉ∈Ｉに対する定常状態集
合と呼ぶ。Ｍの入力ｉ∈Ｉに対する定常状態集合全体よ
りなる族をＳＴＡＴ（Ｍ，ｉ）と記述する。また、特
に、要素数が１の定常状態集合に含まれる状態を、Ｍの
入力ｉ∈Ｉに対する安定状態と呼ぶ。Ｍの入力ｉ∈Ｉに
対する安定状態全体よりなる集合をＳＴＤ（Ｍ，ｉ）と
書く。逆に、要素数が２以上の定常状態集合に含まれる
状態を、Ｍの入力ｉ∈Ｉに対する不安定状態と呼ぶ。

【００５２】［２−１−５．過渡的状態、過渡的遷移］
有限状態機械Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω）において、Ｍ
の入力ｉ∈Ｉに対する定常状態集合に含まれない状態
を、Ｍの入力ｉ∈Ｉに対する過渡的状態と呼ぶ。Ｍの入
力ｉ∈Ｉに対する過渡的状態全体よりなる集合をＴＲＡ
Ｎ（Ｍ，ｉ）と書く。また、過渡的状態からの遷移を過
渡的遷移と呼ぶ。これらの各集合の関係については、図
８に示すとおりである。

【００５３】［２−１−６．具体例］図６の有限状態機
械Ｍでは、入力０に対しては、安定状態はなく、定常状
態集合は、｛Ｂ，Ｃ，Ｇ｝と｛Ｄ，Ｈ｝であり、過渡的
状態は、ＡとＥとＦであり、不安定状態は、ＢとＣとＧ
とＤとＨである。入力１に対しては、安定状態はＢのみ
であり、定常状態集合は、｛Ｂ｝と｛Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｈ｝
であり、過渡的状態は、ＡとＤとＥであり、不安定状態
は、ＣとＦとＧとＨである。従って、

【数５】 ＳＴＤ（Ｍ，０）＝｛｝ ＳＴＡＴ（Ｍ，０）＝｛｛Ｂ，Ｃ，Ｇ｝，｛Ｄ，Ｈ｝｝ ＴＲＡＮ（Ｍ，０）＝｛Ａ，Ｅ，Ｆ｝ ＳＴＤ（Ｍ，１）＝｛Ｂ｝ ＳＴＡＴ（Ｍ，１）＝｛｛Ｂ｝，｛Ｃ，Ｆ，Ｇ，Ｈ｝｝ ＴＲＡＮ（Ｍ，１）＝｛Ａ，Ｄ，Ｅ｝ である。

【００５４】［２−２．定常化有限状態機械］以下に、
定常化有限状態機械の定義を行う。入力として与えられ
た有限状態機械から、対応する定常化有限状態機械を生
成することが、過渡的状態への遷移の消去ステップの目
的である。

【００５５】［２−２−１．定常化有限状態機械の定
義］有限状態機械Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω）に対応す
る定常化有限状態機械 newＭ＝（Ｉ，Ｏ，Σ， newδ，
newω）とは、Ｍと同じ入力アルファベット、出力アル
ファベット、及び同じ状態の集合を持つ。なお、初期状
態の指定された有限状態機械Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，
ω，ｓ_init）に対しては、 newＭも同じ初期状態を持
つ。

【００５６】［２−２−２．定常化有限状態機械の遷移
関数］定常化有限状態機械の遷移関数 newδは、以下の
性質を持つ。

【００５７】(1) Ｍの入力ｉ∈Ｉに対する定常状態集合
は、 newＭにおいても、同じ入力ｉに対する定常状態集
合となり、かつ、この集合に含まれる状態は、入力ｉに
よってＭの遷移先と同じ状態に遷移する。即ち、

【数６】 なお、この条件は、Ｍと newＭは、任意の入力ｉに対し
て同じ安定状態を持つことも意味している。

【００５８】(2) もしも、Ｍの入力ｉ∈Ｉに対する過渡
的状態ｓが、入力ｉを与えられ続けたとき、定常状態集
合Ｓ∈ＳＴＡＴ（Ｍ，ｉ）に含まれる状態に遷移するな
らば、newＭにおいて、この状態ｓは、入力ｉを与えら
れたとき、一回の遷移でＳに含まれる状態に遷移する。
即ち、

【数７】 そして、出力関数 newωは、以下の性質を持つ。

【００５９】(3) Ｍの入力ｉ∈Ｉに対する安定状態から
の、入力ｉによる遷移に伴う出力は newＭにおいても等
しい。即ち、

【数８】 (4) もしも、Ｍの入力ｉ∈Ｉに対する過渡的状態ｓが、
入力ｉを与えられ続けたとき、安定状態に遷移するなら
ば、 newＭにおいて、この状態ｓの入力ｉを与えられた
ときの遷移に伴う出力は、安定状態における出力に等し
い。即ち、

【数９】 なお、上の定義では、不安定状態からの遷移に伴う出力
や、不安定状態への過渡的遷移に伴う出力は、特に定め
ていない。

【００６０】このように定義された定常化有限状態機械
と、定常化されていない有限状態機械とを、ある状態に
おいて入力ｉが１回与えられた場合にどのような状態に
遷移するかを比較する。その結果は、図９に示すとおり
である。この図９から明らかなように、定常化有限状態
機械と定常化されていない有限状態機械との相違は、図
中（ｃ）のように、１回の入力ｉに対する過渡的状態へ
の遷移があるか否かによる。従って、本発明の目的は、
過渡状態への遷移（図中（ｃ）に示す遷移）がない有限
状態機械を得ることにある。

【００６１】［２−２−３．定常化有限状態機械の具体
例］図７に示した有限状態機械 newＭは、図６の有限状
態機械Ｍに対応する定常化有限状態機械であり、上記の
性質を全て満たしている。例えば、Ｍの入力０に対する
定常状態集合｛Ｄ，Ｈ｝は、 newＭにおいても、入力０
に対する定常状態集合となっている。更に、この定常状
態集合｛Ｄ，Ｈ｝に含まれる状態Ｄは、入力０が与えら
れたときＭにおいても、 newＭにおいても、状態Ｈに遷
移し、状態Ｈは、入力０が与えられたときＭにおいて
も、 newＭにおいても、状態Ｄに遷移する。また。Ｍの
入力０に対する過渡的状態Ａは、入力０が与えられ続け
たとき、過渡的状態Ｅ，Ｆを経由して、定常状態集合
｛Ｂ，Ｃ，Ｇ｝に含まれる状態Ｇに到達し、その後、
｛Ｂ，Ｃ，Ｇ｝の中をサイクリックに遷移し続けるのに
対し、newＭでは、入力０に対する過渡的状態Ａは、入
力０が一度与えられたとき、過渡的状態を経由すること
なく、直ちに、定常状態集合｛Ｂ，Ｃ，Ｇ｝に含まれる
状態Ｂに到達し、その後、入力０が与えられ続けたと
き、｛Ｂ，Ｃ，Ｇ｝の中をサイクリックに遷移し続け
る。また、Ｍの入力１に対する安定状態Ｂは、 newＭに
おいても、入力１に対する安定状態であり、この状態Ｂ
において、入力１が与えられ続ける限り。Ｍ、 newＭ共
に安定な出力値をを出力し続ける。そして、入力１でＢ
に遷移する過渡的状態ＡとＥは、どちらも、この遷移に
伴って、安定な出力値０を出力する。

【００６２】［３．定常化有限状態機械生成部］次に、
定常化有限状態機械生成部１１において実施される過渡
的状態への遷移の消去ステップ、即ち、過渡的状態への
遷移の消去し、入力として与えられた有限状態機械の遷
移関数を変更して、対応する定常化有限状態機械を生成
するアルゴリズムを、図面に従って説明する。

【００６３】［３−１．反復二乗法処理部］まず、定常
化有限状態機械生成部１１において、定常化有限状態機
械の遷移関数を決定するのに必要な演算を行うための反
復二乗法処理部１２の構成について、図１０により説明
する。

【００６４】反復二乗法処理部１２は、与えられた有限
状態機械の遷移関数δを基にして、多段遷移関数を導出
する多段遷移関数導出部２０を備えている。この導出部
２０は、入力ｉが２のｎ乗回連続した与えられた場合の
多段遷移関数を求めるものである。本実施の形態では、
２のｎ乗ごとの遷移関数を繰り返し求めて、定常化有限
状態機械の遷移関数を決定することから、反復二乗法処
理と呼ぶ。前記導出部２０は、導出しようとする多段遷
移関数のビット成分が既に求められたものであるか否か
を判定する計算必要性判定部２１と、既に求めた多段遷
移関数のビット成分から新たな多段遷移関数のビット成
分を求める置換計算部２２を備える。

【００６５】導出部２０は、さらに定常性判定部２３と
周期値代入部２４とを有する。定常性判定部２３は、前
記のようにして得られた複数の多段遷移関数のビット成
分を比較して、得られた多段遷移関数のビット成分が既
に求めていた多段遷移関数のビット成分いずれかと一致
するかを判定する。周期値代入部２４は、複数の多段遷
移関数のビット成分が一致する周期から、定常化有限状
態機械の遷移関数を決定するのに必要な変数を求める。

【００６６】反復二乗法処理部１２は、前記の導出部２
０に加え、すべてのビット成分についてｎの計算が終了
したか否かを判定する判定部２５、及びｎをインクリメ
ントする加算部２６を備える。

【００６７】本実施形態において、この過渡的状態への
遷移の消去ステップは、前記図１０の反復二乗法処理部
１２によって実行される。即ち、この消去ステップは、
図１１に示すように、反復二乗法処理ルーチン３０１、
多段遷移関数導出ステップ３０２、及び関数決定ステッ
プ３０４とから構成されている。さらに多段遷移関数導
出ステップ３０２は、図１２に示すように、置換計算ス
テップ４０２、定常性判定ステップ４０３、及び同期値
代入ステップ４０４から構成されている。

【００６８】［３−２．反復二乗法処理の基本的な考え
方］本実施の形態において、多段遷移関数導出ステップ
では、基本的にはδ（４，ｓ，ｉ）ならば、δ（４，
ｓ，ｉ）を構成するｒ個のビット全てを求める。そし
て、反復二乗法処理ルーチンが、多段遷移関数導出ステ
ップを呼び出すことによって、

【数１０】δ（１，ｓ，ｉ），δ（２，ｓ，ｉ），δ
（４，ｓ，ｉ）…… を順に求めていく。

【００６９】実際には、多段遷移関数のビット成分の中
には、多段遷移関数導出ステップで求めないで良い成分
もあるが、簡単のため全ての成分を求めると考える。以
下は、まず、混乱を避けるため、この簡単な場合におい
て説明を行なう。その場合のフローチャートを図１３及
び図１４に示す。なお、図１３及び図１４において、本
実施の形態の作用を表す図１１及び図１２と同一の作用
を果たすステップについては、同一の符号を付し、詳し
い説明は後述する。

【００７０】今、図１３の反復二乗法処理ルーチン１０
１において、ｎ＝３回目の繰り返し処理を行なう場合を
具体的に考える。この時、ｎ＝１，ｎ＝２の時の反復二
乗法処理ルーチンは既に終っているので、

【数１１】δ（１，ｓ，ｉ），δ（２，ｓ，ｉ），δ
（４，ｓ，ｉ） は既に求まっている。つまり、δ（１，ｓ，ｉ）を構成
するｒ個の成分、

【数１２】δ₀ （１，ｓ，ｉ），δ₁ （１，ｓ，ｉ），
…，δ_r-1 （１，ｓ，ｉ） δ（２，ｓ，ｉ）を構成するｒ個の成分、

【数１３】δ₀ （２，ｓ，ｉ），δ₁ （２，ｓ，ｉ），
…，δ_r-1 （２，ｓ，ｉ） δ（４，ｓ，ｉ）を構成するｒ個の成分、

【数１４】δ₀ （４，ｓ，ｉ），δ₁ （４，ｓ，ｉ），
…，δ_r-1 （４，ｓ，ｉ） は全て求まっていまる。

【００７１】ｎ＝３回目の繰り返しの際に、反復二乗法
処理ルーチン１０１が、多段遷移関数導出ステップ３０
２を呼び出す。すると、多段遷移関数導出ステップ３０
２では、図１４のステップ４０２に示すように、これら
の「反復二乗法処理ルーチン１０１で以前に求めた」成
分を利用することによって、ｎ＝３の多段遷移関数δ
（８，ｓ，ｉ）を構成する各ビット成分を

【数１５】δ₀ （８，ｓ，ｉ），δ₁ （８，ｓ，ｉ），
…，δ_r-1 （８，ｓ，ｉ） の順に求めて行く。例えば、ｋ＝１番目の成分δ
₁ （８，ｓ，ｉ）を求める時には、δ（４，ｓ，ｉ）の
各成分、

【数１６】δ₀ （４，ｓ，ｉ），δ₁ （４，ｓ，ｉ），
…，δ_r-1 （４，ｓ，ｉ） を、ステップ４０２の

【数１７】δ_k （２ⁿ ，ｓ，ｉ）= δ_k （２^n-1 ，δ
（２^n-1 ，ｓ，ｉ），ｉ） の式中のδ（２^n-1 ，ｓ，ｉ）の部分に用いる。

【００７２】このように多段遷移関数導出ステップ３０
２では、第ｎ回目に呼び出された多段遷移関数δ
（２ⁿ ，ｓ，ｉ）のｒビットの全てを求め、反復二乗法
処理ルーチン１０１では、必要な全てのｎに対する多段
遷移関数を求める。

【００７３】［３−３．本実施の形態における反復二乗
法処理］以上が、基本的な考え方である。しかし、実際
には、この方法では、計算する必要のない計算を余分に
行なってしまうことがあり得る。そこで、本実施の形態
では、この基本的な考え方を更に効率化させる方法を示
した。以下、この方法を図１１及び図１２により説明す
る。

【００７４】［３−３−１．変数初期化ステップ３０
０］過渡的状態への遷移の消去ステップ１０１の入力と
なる有限状態機械をＭ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω）とし、
状態Σはｒビットでコーディングされるとすると、遷移
関数は、

【数１８】 と表される。過渡的状態への遷移の消去ステップ１０１
の出力となる定常化有限状態機械１０２を、 newＭ＝
（Ｉ，Ｏ，Σ， newδ， newω）とする。この遷移関数
は、

【数１９】 と表される。変数初期化ステップ３００では、各種変数
の初期化を行う。ここで、変数ｎは、反復二乗法処理ル
ーチン３０１で次に求める多段遷移関数δ（２ⁿ，ｓ，
ｉ）における遷移回数の指数を保持し、変数ＤＯＮＥ
は、処理の済んだ遷移関数のビットよりなる集合を保持
する。

【００７５】［３−３−２．反復二乗法処理］変数初期
化ステップ３００で初期化を行った後、反復二乗法処理
部１２は、その処理ルーチン３０１において、多段遷移
関数δ（２ⁿ ，ｓ，ｉ）を終了条件判定ステップ３０３
が満たされるまで、ｎをインクリメントしつつ、多段遷
移関数導出ステップ３０２を用いて求め続ける。終了条
件判定ステップ３０３は、多段遷移関数導出ステップ３
０２で出力関数の全てのビットに対して処理が済んだと
きに真となる。反復二乗法処理ルーチン３０１の終了
後、関数決定ステップ３０４において、［ newδ₀ ， n
ewδ₁ ，…、 newδ_r-1 ］と、 newωを最終的に求め
る。

【００７６】［３−３−３．多段遷移関数導出部］次
に、多段遷移関数導出部２０において、多段遷移関数δ
（２ⁿ ，ｓ，ｉ）を求める方法を、図１２に示した多段
遷移関数導出ステップ３０２のフローチャートに従って
説明する。多段遷移関数導出部２０では、反復二乗法処
理部１２の処理ルーチン３０１で以前に求めた

【数２０】 を元にして、多段遷移関数δ（２ⁿ ，ｓ，ｉ）をビット
ごとに導出する。多段遷移関数δ（２ⁿ ，ｓ，ｉ）の第
ｋビット目δ_k （２ⁿ ，ｓ，ｉ）を求める場合、まず、
計算必要性判定部２１で、ｋが変数ＤＯＮＥの示す集合
に含まれているか否かを調べ、もし、含まれていれば、
δ_k （２ⁿ ，ｓ，ｉ）については計算を行わない（ステ
ップ４０１）。もし、含まれていなければ、置換計算部
２２において、δ_k （２ⁿ ，ｓ，ｉ）を次の式を用いて
計算する（４０２）。

【００７７】

【数２１】 この式で、

【数２２】Ｓｕｂｓｔ（ｆ：ｓ₀ →ｇ₀ ，ｓ₁ →ｇ₁ ） は置換演算であり、関数ｆの引数ｓ₀ ，ｓ₁ …を、それ
ぞれ、関数ｇ₀ ，ｇ₁ …で置き換える演算を表してい
る。また、この式の中には計算をしなかったδ₁ （２
^n-1 ，ｓ，ｉ）（０≦１＜ｒ）が含まれていることがあ
る。その場合には、ｌ∈ＤＯＮＥが満たされており、後
述する周期値代入部２４において、変数μ(l)とν(l)
の値が求められているので（周期値代入ステップ４０
４）、δ₁ （２^{n- 1} ，ｓ，ｉ）は、既に求めた、

【数２３】 の中の一つと等しい。より具体的には、

【数２４】 である。

【００７８】例えば、ｎ＝３回目の繰り返しの際に、反
復二乗法処理ルーチンから呼び出された、多段遷移関数
導出ステップで、前記の基本的な処理と同様にして、δ
₁ （８，ｓ，ｉ）の第１ビット目の成分δ₁ （８，ｓ，
ｉ）を求めたとする。続いて、定常性判定ステップ４０
３で、δ₁ （８，ｓ，ｉ）が、これまでに求めていた

【数２５】δ₁ （１，ｓ，ｉ），δ₁ （２，ｓ，ｉ），
δ₁ （４，ｓ，ｉ） のいずれかと一致するかどうかをチェックする。もし
も、一致することがないならば、処理は前記の基本的な
場合と同様に進むが、今は、例えば、

【数２６】δ₁ （８，ｓ，ｉ）＝δ₁ （２，ｓ，ｉ） となったとする。すると、今後ｎ＝４，ｎ＝５，ｎ＝６
…回目の反復二乗法処理ルーチンから呼び出された、多
段遷移関数導出ステップでは、δ₁ （２ⁿ ，ｓ，ｉ）は
求める必要がなくなる。この理由は

【数２７】 ｎ＝４では、δ₁ （１６，ｓ，ｉ）＝δ₁ （４，ｓ，ｉ） ｎ＝５では、δ₁ （３２，ｓ，ｉ）＝δ₁ （２，ｓ，ｉ） ｎ＝６では、δ₁ （６４，ｓ，ｉ）＝δ₁ （４，ｓ，ｉ） ． ． ． が必ず満たされるからである。このことを一般的に現し
たのが式（５）である。そこで、変数ＤＯＮＥに１を含
ませることによって、ｋ＝１に関しては、今後の多段遷
移関数導出ステップでは計算の必要がなくなったことを
明示する。そして、図１１の終了条件判定ステップ３０
３において、全てのｋに対して計算の必要がなくなった
時をもって、全体の繰り返し処理を終了する。

【００７９】［３−３−４．定常性判定部］置換計算ス
テップ４０２で、δ_k （２ⁿ ，ｓ，ｉ）を求めた後、定
常性判定部２３で、これが、既に求めていたδ
_k （２^m ，ｓ，ｉ）（０≦ｍ＜ｎ）の中のいずれか一つ
と一致するか否かを判定する（ステップ４０３）。一致
するδ_k （２^m ，ｓ，ｉ）が見い出された場合、周期値
代入部２４で、変数ν(k) と、変数μ(k) に、それぞ
れ、ｎ−ｍとｍを代入する（ステップ４０４）。そし
て、変数ＤＯＮＥの要素にｋを追加して、δ_k に関して
は、処理が済んだことを宣言する。整数μ(k) 、ν(k)
が任意の有限状態機械Ｍの任意の状態のコーディングに
対して存在し、ここで示したアルゴリズムが終了するこ
とは、Ｍの状態数が有限であることによって保証され
る。これらの変数は、ｔ≧０の任意の整数に対して、

【数２８】 という関係を満足させる。この関係により、式（５）が
正しいことが示される。以上の計算を、全ての出力関数
のビットｋ（０≦ｋ＜ｒ）に対して行って、多段遷移関
数導出部２０の計算を終了する。

【００８０】［３−４．関数決定部］次に、関数決定部
１３の構成及び作用を説明する。図１５に示すとおり、
関数決定部１３は、定常化有限状態機械の遷移関数を決
定するために必要な変数を定めるための大域的性質決定
部３０、遷移関数を決定する遷移関数決定部３１、及び
出力関数を決定する出力関数決定部３２とから構成され
ている。以下、この関数決定部１３の処理の流れを、図
１６に示したフローチャートの符号に従って説明する。

【００８１】［３−４−１．変数μ，ν，Ｎの決定］ま
ず、大域的性質決定部において、多段遷移関数導出ステ
ップ３０２で求めたμ(k) ，ν(k) （０≦ｋ＜ｒ）か
ら、変数μ，νの値を、以下の式によって定める（ステ
ップ５００）。

【００８２】

【数２９】 有限状態機械Ｍの任意の状態ｓから出発して、任意の入
力ｉが２のμ乗回続けて与えられれば、必ず、Ｍのｉに
対する定常状態集合に含まれる状態に遷移している。続
けて、さらに、同じ入力ｉが与えられ続けると、一度入
った定常状態集合の中を遷移し続け、入力ｉが２のμ＋
ν乗回続けて与えられたときには、入力ｉが２のμ乗回
続けて与えられたときと同じ状態に戻っている。

【００８３】例えば、図５に示した例では、

【数３０】 の関係が成り立っているので、もし、これがすべてのビ
ットの入力ｉについて成り立つならば、μ＝１，ν＝２
となる。 newδを正しく決定するためには、先ず、変数
μ，νを用いて、変数Ｎの値を以下の式によって定め
る。

【００８４】

【数３１】 このＮは、

【数３２】 という性質を有している。即ち、入力アルファベットＩ
の中のすべての入力ｉが与えられたときに、有限状態機
械Ｍのすべての入力ｉに対するすべての定常状態集合Ｓ
について、Ｎを状態数｜Ｓ｜で除した場合の余りが１に
なる。このことは、前記の式（６）と共に、どんな入力
ｉが与えられてもその入力ｉが続く限りすべての状態が
定常状態に遷移されていることが保証されている入力回
数と、その入力ｉがさらに続けて与えられたとき、すべ
ての状態が元にいた状態に戻っていることが保証されて
いる入力回数（２のμ＋ν乗回）との差に１を加えた入
力ｉの入力回数Ｎが、定常化有限状態機械 newＭの遷移
関数 newδを決定することを意味する。

【００８５】［３−４−２．遷移関数決定ステップ］前
記のＮの性質に基づき、遷移関数決定部３１で、 newδ
（ｓ，ｉ）を、

【数３３】 となるように求めれば（ステップ５０１）、 newδ
（ｓ，ｉ）は、定義５に示した定常化有限状態機械の遷
移関数の満たすべき性質（１）（２）を満たす。

【００８６】この式（７）を計算するためには、 newδ
の各ビットごとに、

【数３４】 と求める必要があるが、この式の右辺に現れる、δ
_k （Ｎ，ｓ，ｉ）は、多段遷移関数導出ステップで求め
ていないことがある。このときには、多段遷移関数導出
ステップで求めた

【数３５】 と、δ_k （１，ｓ，ｉ）とから、従来技術を利用してδ
_k （Ｎ，ｓ，ｉ）を計算する。例えば、μ＝４，ν＝３
ならば、Ｎ＝１１３＝２⁶ ＋２⁵ ＋２⁴ ＋１であるか
ら、

【数３６】 となるので、置換演算を用いてこれを求めれば良い。

【００８７】［３−４−３．出力関数決定ステップ］最
後に出力関数決定部３２で、出力関数ωから、新しい出
力関数 newωを生成する方法を図１７を用いて説明する
（ステップ５０２）。図１７（ａ）は、有限状態機械Ｍ
＝（Ｉ，Ｏ＝｛０，１｝，Σ，δ，ω）のある状態の入
力にｉ∈Σに対する遷移を抜き出して示したものであ
る。簡単のため、状態名は省略してある。この有限状態
機械の遷移関数δから、遷移関数決定ステップによって
決定された newδを用いて有限状態機械 newＭ′＝
（Ｉ，Ｏ＝｛０，１｝，Σ， newδ，ω）を作った場
合、図１７（ｂ）に示すように、ある入力に対して同じ
安定状態に向かう遷移に伴う出力が、始状態によってま
ちまちになることが起こり得る。このため、定常化有限
状態機械の出力に関する条件(4) は必ずしも満たされな
い。なお、遷移に関する条件(1) (2) 及び出力に関する
もう一つの条件(3) は満たされている。そこで、有限状
態機械Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω）において、入力アル
ファベットＩ中のある入力ｉが与えられ続けたとき、δ
によって最終的にｉに対する安定状態に遷移する状態
は、遷移関数決定部３１（ステップ５０１）で求めた n
ewδによって入力ｉが一度与えられるだけで同じ安定状
態に遷移することに着目して、出力関数決定部３２（ス
テップ５０２）では、 newω（ｓ，ｉ）を、

【数３７】 によって求める。

【００８８】これにより求めた newω（ｓ，ｉ）を用い
た有限状態機械は、図１７（ｃ）の例のように、定常化
有限状態機械の出力に関する条件(4) をも満たすように
なるので、以上で求めた newδ， newωを遷移関数、出
力関数とするような有限状態機械 newＭ＝（Ｉ，Ｏ，
Σ， newδ， newω）は、結局、定常化有限状態機械の
定義のすべての条件を満たす。過渡的状態への遷移の消
去ステップは最終的にこの newＭを出力する。

【００８９】本実施形態で述べた過渡的状態への遷移の
消去ステップ１０１を実現するアルゴリズムの特徴は、 １．安定でない定常状態を含む一般の有限状態機械を扱
うことができる。 ２．繰り返しの回数が、ｌｏｇ2 α＋βのオーダーで押
えられる。 ３．置換演算は、遷移関係ではなく、遷移関数に対して
行われる。 という点である。

【００９０】ここでαは、有限状態機械Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，
Σ，δ，ω）の過渡的遷移の最大長であり、βは最大要
素数を持つ定常状態集合の要素数である。また、遷移関
数rel とは、Σ×Ｉ×Σから、｛０，１｝への関数であ
り、

【数３８】 と定義される関数で、遷移関数δに比べて多くの情報を
含むため、不完全有限状態機械の状態遷移を表すことも
できる反面、ＯＢＤＤで表現すると、一般に遷移関数よ
り多くのノードが必要となることが知られている。この
ため、遷移関係を用いた計算は、遷移関数を用いた計算
に比べ、メモリーと時間を多く消費することが多い。本
実施形態の過渡的状態への遷移の消去ステップ１０１
は、遷移関数を用いるため、メモリーと処理速度の両面
で優れ、更に、処理の繰り返しの回数が少ないので、更
に処理速度が速くなる。

【００９１】なお、有限状態機械Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，
δ，ω）の状態の集合Σ中のある状態ｓをコーディング
するのに必要なビット数ｒが少なく、入力アルファベッ
トＩの要素をコーディングするのに必要なビット数が多
い場合には、本実施形態で述べた遷移関数を使用して過
渡的状態への遷移の消去ステップを実現するよりも、遷
移関係を使って過渡的状態への遷移の消去ステップを実
現した方が処理効率が良くなる場合が存在する。また、
不完全有限状態機械に対して本発明を適用する場合に
も、遷移関係を使って過渡的状態への遷移の消去ステッ
プを実現する必要がある。この手法については、第４実
施形態で述べる。なお、不完全有限状態機械とは、出力
関数や遷移関数が入力及び状態に対する全関数でないも
のを言う。つまり、ある入力に対するある状態の出力値
や遷移先の状態が定まっていないような有限状態機械を
意味する。

【００９２】［４．不安定性検出部］次に、不安定性検
出部１４の働きを説明する。

【００９３】不安定性検出部１４は、図２のフローチャ
ートのステップ１０３に示すように、定常化有限状態機
械が、ある入力に対する不安定状態を持つか否かを判定
する。定常化有限状態機械は、与えられた有限状態機械
と同じ安定性を持つように構成してるため、不安定性検
出ステップは与えられた有限状態機械の不安定性を検出
するということもできる。不安定性検出ステップに、定
常化有限状態機械 newＭ（Ｉ，Ｏ，Σ， newδ， new
ω）の不安定性を検出させるためには、まず、次に示す
特徴関数χ_U （ｓ，ｉ）を求める。

【００９４】

【数３９】 従って、上式の右辺は newδ_k （ｓ，ｉ）と newδ
_k （ newδ_k （ｓ，ｉ），ｉ）とがすべての０≦ｋ＜ｒ
に対して等しいときのみ０になり、そうでなければ１に
なる。定常化有限状態機械は、図９に示すように、任意
の状態において１回の任意の入力ｉが与えられた場合に
定常状態になる。この定常状態は、同じ入力ｉが続けて
入力されても各状態の遷移先が変わらない安定状態と、
遷移先が一定の複数の状態中で循環しながら変化する不
安定状態とがある。そのため、定常化有限状態機械に不
安定性がないということは、定常化有限状態機械の任意
の状態で、任意の入力が与えられた時の遷移先と、その
状態において、同じ入力が二度続けて与えられた時の遷
移先とが等しいことを意味する。式（１１）は、このこ
とを意味している。

【００９５】このため、今、ｓ＝ｓu ，ｉ＝ｉu のと
き、χ_U （ｓu ，ｉu ）＝１となるとすると、状態ｓu
は、new Ｍの入力ｉu に対する不安定状態か、または入
力ｉuによって不安定状態に遷移する過渡的状態のいず
れかである。従って、特徴関数χ_U （ｓ，ｉ）が恒等的
に０であれば、 newＭ及びＭには不安定性はなく、そう
でなければ、 newＭ及びＭに不安定性があることが検出
される。

【００９６】図７の例では、ｉ＝０に対して、ｓ＝Ａ，
Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈの全てでχ_U （ｓ，ｉ）＝
１となり、ｉ＝１に対して、ｓ＝Ｃ，Ｄ，Ｆ，Ｇ，Ｈの
全てでχ_U （ｓ，ｉ）＝１となるので、この有限状態機
械には不安定性があることが示される。

【００９７】もし、不安定性が検出された場合には、例
えば、ユーザーにどの入力が与えられ続けたときに、ど
の状態が不安定状態となるかを示すことができる。そし
て、不安定性を指摘されたユーザーは、もし、不安定性
が意図しないものであるならば、例えば、この時点で処
理を中断して、誤りを修正し、修正後の有限状態機械
を、再び本発明のシステムに与えることができる。ま
た、もし、不安定性がユーザーの意図したものであるな
らば、処理を続行し、次に示す有限状態機械簡約化ステ
ップ１０４を用いて、定常化有限状態機械１０２を簡約
化させることができる。

【００９８】［５．有限状態機械簡約化部］ ［５−１．有限状態機械簡約化部の構成］次に、前記の
ようにして得られた定常化有限状態機械をさらに簡約化
するための有限状態機械簡約化部１５について説明す
る。この簡約化部１５は、定常化有限状態機械の性質
や、不安定性検出ステップで求めたχ_U （ｓ，ｉ）を元
にして、出力関数簡約化、遷移関数簡約化等の処理を行
い、形式検証、論理合成、シミュレーションなどの処理
を、より効率良く行うことのできるような、最終有限状
態機械を生成することを目的とする。この簡約化部１５
における簡約化の処理は、図１８に示すフローチャート
に従って行われる。即ち、前記のようにして得られた定
常化有限状態機械が与えられると（ステップ８００）、
その出力関数をより簡約化する（ステップ８０１）と遷
移関数をより簡約化し（ステップ８０２）、最終的な有
限状態機械を出力する（ステップ８０３）。

【００９９】このような処理を行う簡約化部１５は、図
１９に示すように、出力関数の簡約化部４０と遷移関数
の簡約化部５０とから構成されている。出力関数の簡約
化部４０は、特徴関数を利用して不安定な遷移に対応す
る出力の検出部４１、特徴関数に基づいて出力関数の一
般化余因子を演算する生成部４２、及び得られた一般化
余因子に基づいて簡約化された出力関数を生成する出力
関数生成部４４とから成る。また、遷移関数の簡約化部
５０は、初期状態にならなければ他の状態から遷移され
ることがない状態を検出するための検出部５１、一般化
余因子を利用して関数の簡約化を行うための一般化余因
子生成部５２、及び得られた一般化余因子に基づいて簡
約化された遷移関数を生成する遷移関数生成部５３とか
ら成る。以下、これら各部の作用について説明する。

【０１００】［５−２．出力関数の簡約化］まず、出力
関数の簡約化部４０において、定常化有限状態機械 new
Ｍ＝（Ｉ，Ｏ，Σ， newδ， newω）の出力関数 newω
を簡約化して、より少ないノード数のＯＢＤＤで表現す
る方法の一例を説明する。ある入力ｉ∈Ｉが与えられた
とき、遷移関数 newδによって、入力ｉに対する任意の
不安定状態に遷移することのできる状態の集合は、式
（１１）で定義した特徴関数χ_U （ｓ，ｉ）の値を１に
する状態の集合である。これらの状態からの、入力ｉに
よる遷移は、有限状態機械がモデル化する順序回路の不
安定な遷移に対応するので、これに伴う出力は、実際の
順序回路では、大きな意味を持たないことが多い。その
場合に、この遷移に伴う出力を自由に変更することが可
能である。そこで、このような出力を検出部４１によっ
て検出し、一般化余因子生成部４２によって、出力関数
newωの特徴関数χ_U による一般化余因子を求める。例
えば、出力関数 newωの特徴関数χ_U による一般化余因
子をO.Coudert 達の論文( “Verification of sequenti
al machines using boolean functional vectors "O.Co
udert, C.Berthet, and J.C.Mmadre, in Proc. IFIP In
ternational Workshop on Applied Formal Methods for
Correct VLSI Design, pp.111-128) に紹介されている
constrain 演算子を用いて求める。そして、求めた一般
化余因子を簡約化された新しい出力関数ω′とすれば、
簡約化された新しい出力関数ω′は newωよりも少ない
ノード数のＯＢＤＤによって表現される。

【０１０１】［５−３．一般化余因子］ここで、簡約化
部１５において利用する一般化余因子についてその概略
を説明する。今、２つのブール関数ｆ（ｘ），χ（ｘ）
があるとする。ただし、（ｘ∈Ｓ）とする。この場合、
次式のとおり、ｆ（ｘ）が着目する関数であり、χ
（ｘ）が特徴関数になっている。

【０１０２】

【数４０】 また、図２０（ａ）に示すように、集合Ｓには、ａ，
ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｇの６つの要素が含まれ、各要素と着
目する関数ｆ（ｘ）との間には次の関係があるとする。

【０１０３】

【数４１】 Ｓ= ｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｇ｝ ｆ（ａ）= ｆ（ｂ）= ０ ｆ（ｃ）= ｆ（ｄ）= ｆ（ｅ）= ｆ（ｇ）= １ 一方、集合Ｓの要素のうち、図中点線で囲まれた要素
ｂ，ｃ，ｄは、χの値を１にする要素であり、それ以外
の要素ａ，ｅ，ｇはχの値を０にするものである。

【０１０４】即ち、次式のとおりである。

【０１０５】

【数４２】 χ（ｂ）= χ（ｃ）= χ（ｄ）= １ χ（ａ）= χ（ｅ）= χ（ｇ）= ０ ここで、着目する関数について特徴関数への簡約化を行
う場合、χによるｆの一般化余因子ｆχは、Ｓから
｛０，１｝の関数で、次のように表される。

【０１０６】

【数４３】 χ（ｘ）= １になるようなｘに対しては、 ｆχ（ｘ）= ｆ（ｘ） χ（ｘ）= ０になるようなｘに対しては、 ｆχ（ｘ）= ｇ（ｘ） ここで、ｇ（ｘ）はＳから｛０，１｝へのどのような関
数でも良くいろいろな定義の仕方がある。つまり、χ
（ｘ）= １を満たすｘ だけがｆ（ｘ）にとって重要で
あり、それ以外のｘに着目しなくて良いとき、ｆの値が
χ（ｘ）= １ を満たすｘに対してだけ保たれているよ
うな関数がｆχ（ｘ）である。この一般化余因子ｆχ
（ｘ）は、図２０（ａ）で示した着目する関数ｆ（ｘ）
に比較して、図２０（ｂ）に示すように簡約化されたも
のであり、より少ないノードのＯＢＤＤによって表現す
ることができる。

【０１０７】［５−４．O.Coudert 達による一般化余因
子の定義］次に、O.Coudert 達による一般化余因子の定
義を説明する。まず、Ｓの要素の間に「距離」を導入す
る。Ｓの要素を２進数で表して、

【数４４】 Ｓ∈ｘ＝［ｘ₀ ，ｘ₁ ，ｘ₂ ，………，ｘ_n-1 ］ Ｓ∈ｙ＝［ｙ₀ ，ｙ₁ ，ｙ₂ ，………，ｙ_n-1 ］ と書かれるとすると、ｘとｙＳの間の距離を、

【数４５】 と定義する。この場合、一つの要素から他の要素への距
離は、全て異なるように定義されている。

【０１０８】なお、先の一般化余因子の項で説明したＳ
＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｇ｝の例を当てはめると、各
要素間の距離は図２１のようになる。この距離を用い
て、一般化余因子ｆχ（ｘ）を次式のように定義する。
これを、O.Coudert の定義という。

【０１０９】

【数４６】 χ（ｘ）= １になるようなｘに対しては、 ｆχ（ｘ）= ｆ（ｘ） χ（ｘ）= ０になるようなｘに対しては、 ｆχ（ｘ）= ｇ（ｙ₀ ） 式（１２） ここで、ｙ₀ は、χ（ｘ）= １を満たすｙ中で、ｘに一
番近いものとする。この例を図２２に示す。

【０１１０】以上の定義を、次式のようにしてｐ次元ブ
ール関数ベクトルｆに拡張する。

【０１１１】

【数４７】 図２３（ａ）は、この式における集合Ｓとｐ次元ブール
関数ベクトルｆとの関係を示すものである。ここで、集
合χは、χ（ｘ）＝１を満たすＳの部分集合、Ｉｍ
（χ）は、ブール関数ベクトルｆによるχの要素の像(I
mage) である。この時、ブール関数ベクトルｆχは、次
式に示すように、その成分ごとに一般化余因子をとる。

【０１１２】

【数４８】 前記の式（１２）に示すように、O.Coudert の定義で
は、χ（ｘ）= ０になるようなｘに対しては、ｆχ
（ｘ）= ｇ（ｙ₀ ）とした。そして、このｙ₀ をχに属
する要素とχに属しない要素との間の距離と言う概念を
導入することにより、χ（ｘ）= １となるようなｆ
（ｘ）と関連づけて表現した。即ち、図２３（ｂ）に示
すように、ｐ次元ブール関数ベクトルｆによるχの要素
の像(Image) は、χ（ｘ）＝１を満たす要素が反映され
るのみならず、χ（ｘ）＝０となる集合Ｓの要素もχ
（ｘ）＝１となる要素と関連づけられて表現されること
になる。

【０１１３】この一般化余因子の考え方を定常化有限状
態機械の出力関数ωに当てはめると、すべての状態から
の出力関数ωが着目する関数に当たり、χＵ（ｓ，ｉ）
が特徴関数に相当する。そこで、特徴関数χ_U （ｓ，
ｉ）= １とする状態、即ち、入力ｉによって任意の不安
定な状態に遷移することのできる状態からの遷移に伴う
出力は順序回路で大きな意味を持たない。そこで、出力
関数ωについて、特徴関数χ_U （ｓ，ｉ）= ０とする状
態（安定状態）に対応する出力を表す一般化余因子を求
め、これを簡約化された新たな出力関数ω′とする。こ
れにより、簡約化前の出力関数 newＭより少ないノード
で表現される新たな出力関数ω′が得られる。

【０１１４】［５−５．遷移関数の簡約化］次に、遷移
関数の簡約化部５０において、定常化有限状態機械 new
Ｍの遷移関数 newδを簡約化して、より少ないノード数
のＯＢＤＤで表現する方法の一例を説明する。

【０１１５】一般の有限状態機械 newＭにおいて、定常
状態は、安定状態及び不安定状態のいずれかである。そ
して、定常状態は、入力ｉが与えられたときに過渡的状
態に遷移することがない。さらに、定常化有限状態機械
newＭにおいては、入力ｉが与えられた場合に、任意の
遷移後の状態ｓ′となり得る状態ｓの集合が、定常状態
の集合を表している。また、全ての状態Σの中で、この
定常状態以外の状態が過渡的状態に相当する。

【０１１６】このような定常化有限状態機械 newＭの入
力ｉに対する定常状態の集合は、次の特徴関数χＳ
（ｓ，ｉ）の値を１にする状態ｓの集合である。そこ
で、本実施の形態の過渡的状態検出部５１においては、
次のような特徴関数を利用して、過渡的状態を判定す
る。

【０１１７】

【数４９】 この特徴関数χＳから、新しく特徴関数χＭ（ｓ）を次
のように定義する。

【０１１８】

【数５０】 この特徴関数χＭの値を０にする状態は、任意の入力ｉ
に対して定常化有限状態機械 newＭの過渡的状態とな
る。図７の例では状態Ａ及びＥがこのような状態になっ
ている。これらの過渡的状態は、決して他の状態から遷
移されることはなく、初期状態にならない限り、到達不
可能な状態である。そこで、これらの到達不可能な状態
を取り除いてしまうか、または、遷移先を適当なχＭ
（ｓ）＝１を満たす状態に替えてしまうことができる。

【０１１９】例えば、出力関数を簡約化する方法と同様
に、一般化余因子生成部５２によって newδのχＭによ
る一般化余因子を求め、これを新たに遷移関数δ′とす
れば、δ′は newδより少ないノード数のＯＢＤＤによ
って表現される。一般化余因子として、先出のO.Couder
t 達の定義によるconstrain 演算子を用いるならば、簡
約化された遷移関数δ′による遷移によっても、χＭの
値を０にする状態は到達不可能な状態である性質を保っ
ている。そして、更に有限状態機械のリセット可能性な
どの性質も保存される。

【０１２０】なお、前記の過渡的状態が得られた場合、
もし、最初に与えられた有限状態機械が初期状態の指定
されたものＭ＝（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω、ｓinit）であ
り、かつ、χＭ（ｓ_init）＝０ならば、この処理に先だ
って適当なｉ∈Ｉを選び、ｓ′_init＝ newδ（ｓ_init，
ｉ）を初期状態と定義しなおす必要がある。

【０１２１】このようにO.Coudert の定義による一般化
余因子では、特徴関数が０となる要素であっても、簡略
化された一般化余因子によって表現することが可能にな
る。このO.Coudert の定義による一般化余因子によって
遷移関数 newδを簡略化した場合には、χＭの値を０に
する状態が到達不可能な状態である性質や、有限状態機
械のリセット可能性などの性質も保存される。

【０１２２】［６．得られた最終有限状態機械の出力］
図２に示す簡約化ステップ１０４において以上に述べた
出力関数や遷移関数の簡約化を行った後は、このステッ
プ１０４で得られた簡約化された有限状態機械Ｍ′＝
（Ｉ，Ｏ，Σ，δ′，ω′（，ｓ′_init））を、最終有
限状態機械として出力する（ステップ１０５）。

【０１２３】［７．第１実施形態の効果］以上のとお
り、第１実施形態によれば、有限状態機械を変換する際
に、該有限状態機械のある状態ｓが、一個又は複数個の
入力値が変化したとき過渡的な状態遷移を経て安定な状
態ｓ′に遷移するならば、変換後の有限状態機械は、こ
の入力値の変化に対して、状態ｓが過渡的な状態遷移を
経由することなしに安定な状態ｓ′に遷移するようなも
のとなる。一方、該有限状態機械のある状態ｓが、複数
個の入力値が変化したとき過渡的な状態遷移を経て周期
的に遷移を繰り返す不安定な状態に遷移する場合には、
これを検出し、ユーザーに報告するとともに、変換後の
有限状態機械は、この入力値の変化に対して、状態ｓ
が、過渡的な状態遷移を経由することなしに、周期的に
遷移を繰り返す不安定な状態に遷移するようなものとな
る。この変換の処理は、反復二乗法を用いるため、不安
定な状態がなければ、該有限状態機械に含まれる過渡的
遷移の最大長の対数のオーダーの繰り返しをするのみで
終了することが可能である。

【０１２４】［Ｂ．第２実施形態］第１実施形態では、
図２のフローチャートに示したように、不安定性検出ス
テップ１０３と過渡的状態への遷移の消去ステップ１０
１とを個別に処理したが、より効率的に処理を行うため
に、不安定性検出ステップ１０３を過渡的状態への遷移
の消去ステップ１０１の内部で処理することも可能であ
る。このためには、図１２に示した、過渡的状態への遷
移の消去ステップの周期値代入ステップ４０４を図２４
のように変更する。即ち、周期値代入ステップ４０４
で、ν(k) ＝ｎ−ｍとするときに（ステップ４０４
０）、ν(k) ≠１ならば（ステップ４０４１）、この時
点で不安定な状態遷移があると判定する（ステップ４０
４２）。また、ν(k) ＝１ ならばδ_k （２ⁿ⁺¹ ，ｓ，
ｉ）を計算し（ステップ４０４４）、これがδ
_k （２ⁿ ，ｓ，ｉ）と等しくないとき、不安定な状態遷
移があると判定する。

【０１２５】もし、処理に先だって、有限状態機械の不
安定性をユーザーが意図していないとわかっているなら
ば、不安定な状態遷移があると判断したとき、直ちに処
理を中断することができる（ステップ４０４３）。

【０１２６】［Ｃ．第３実施形態］第１実施形態では、
有限状態機械簡約化ステップの目的を、形式検証、論理
合成、シミュレーションなどの処理を、より効率良く行
うことのできるような簡約化された有限状態機械を生成
することとした。ここでは、有限状態機械の不安定性が
ユーザーの意図したものである場合に、有限状態機械簡
約化ステップによって、不安定な状態遷移に伴う出力を
不安定値に書き換える方法を説明する。ここで述べる手
法により、例えば、不安定な状態遷移を含む二つの有限
状態機械の等価性の形式検証などが可能となる。

【０１２７】不安定値‘Ｘ’を含む演算をＯＢＤＤを用
いて行うには、例えば、出力関数等のそれぞれのビット
ωi に対して二つのＯＢＤＤ：δH ，δL を割り当て
て、δH ＝１，δL ＝０の時 ωi ＝１、δH ＝０，δ
L ＝１の時ωi ＝０、δH ＝１，δL ＝１の時 ωi ＝
‘Ｘ’と定義する手法がある。しかし、この手法はＯＢ
ＤＤのノードを多く必要とするため、第３実施形態では
ＯＢＤＤを拡張したマルチターミナルＢＤＤ（ＭＴＢＤ
Ｄ）を導入する手法を述べる。

【０１２８】ＭＴＢＤＤは、非終端ノードは通常のＯＢ
ＤＤと同様に０，１の二つの枝を持ち、終端ノードは
０，１以外のいくつかの定数値をも持ち得ることを特徴
とする。ここでは、図２５に示すとおり、０，１以外の
定数値として、不安定値‘Ｘ’を取りうるＭＴＢＤＤを
導入する。そして、式（１１）で定義した特徴関数χ_U
（ｓ，ｉ）を用いて、この値を１にするような、入力ｉ
による状態ｓからの遷移に伴う出力を、不安定値‘Ｘ’
に置き換える。このためには、新しい出力関数ω′を次
のように構成すれば良い。

【０１２９】

【数５１】 なお、遷移関数δは、第１実施形態に示した方法と同様
にして簡約化することができ、これをδ′とする。そし
て、δ′、ω′を、それぞれ、遷移関数、出力関数とす
るような有限状態機械を、第３実施形態における有限状
態機械簡約化ステップの出力とする。

【０１３０】［Ｄ．第４実施形態］本実施形態では、遷
移関係を使って過渡的状態への遷移の消去ステップを実
現する。この方法を用いた場合、有限状態機械Ｍ＝
（Ｉ，Ｏ，Σ，δ，ω）の状態ｓ∈Σをコーディングす
るのに必要なビット数ｒが少なく、逆に、入力アルファ
ベットＩの要素をコーディングするのに必要なビット数
ｐが多いときに、第１実施形態で述べた方法よりも処理
効率がよくなることがある。また、ここで述べる方法
は、不完全有限状態機械にも適用することができる。

【０１３１】まず、図２６のフローチャートに示すよう
に、与えられた有限状態機械Ｍの遷移関数δ（ｓ，ｉ）
から、遷移関係 rel（ｓ，ｉ，ｆ）を、式（１０）を満
たすように構成する（ステップ９０１，９０２）。そし
て、多段遷移関係 rel（ｎ，ｓ，ｉ，ｆ）を、多段遷移
関数と同様に、

【数５２】 によって定義する。すると、任意のｎ≧１に対し、

【数５３】 が満たされるので、この式に従って、反復二乗法処理ル
ーチンにおいてｎ＝１から順にrel （２ⁿ ，ｓ，ｉ，
ｆ）を求める繰り返しを行う（ステップ９０３）。この
過程で、

【数５４】 を満たすｍが見つかれば、ここで繰り返しを終了し、ν
＝ｎ−ｍ，μ＝ｍとする（ステップ９０４）。これら二
つの変数の意味は、第１実施形態に現れたものと等し
い。そこで、更に変数Ｎを式（６）によって求める。こ
のＮを用いて、新しい遷移関係 newrel （ｓ，ｉ，ｆ）
を

【数５５】 なるように定め（ステップ９０５）、この遷移関係か
ら、遷移関数 newδを定める（ステップ９０６）。最後
に、第１実施形態同じく、出力関数 newωを式（９）に
よって定めて（ステップ９０７）、 newδ， newωをそ
れぞれ、遷移関数、出力関数とする有限状態機械を new
Ｍとして出力する。

【０１３２】

【発明の効果】本発明にかかる有限状態機械変換装置及
び変換方法によれば、定常化有限状態機械の定常性によ
って、与えられた有限状態機械を簡潔化された遷移関数
や出力関数で表された最終有限状態機械に変換する。そ
の結果、本発明を用いることにより、有限状態機械に含
まれる無意味な過渡的遷移による論理的な相違点に煩わ
されることなく、二つの回路の等価性の形式検証などの
処理を非常に効率良く行うことができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の有限状態機械変換装置の一実施形態の
構成を示すブロック図。

【図２】図１の有限状態機械変換装置の動作を示すフロ
ー図。

【図３】有限状態機械の定義を説明する図。

【図４】有限状態機械の一具体例を示す図。

【図５】多段遷移関数を説明する図。

【図６】本発明が扱う有限状態機械の一具体例を示す
図。

【図７】本発明の一実施形態によって変換された定常化
有限状態機械を示す図。

【図８】有限状態機械がとる各状態の関係を示す図。

【図９】定常化有限状態機械と定常化されていない有限
状態機械の特徴を比較する図。

【図１０】本発明の一実施形態の反復二乗処理部の構成
を示すブロック図。

【図１１】本発明の一実施形態の過渡的状態への遷移の
消去ステップの動作を示すフロー図。

【図１２】本発明の一実施形態の過渡的状態への遷移の
消去ステップにおける多段遷移関数導出ステップの動作
を示すフロー図。

【図１３】図１１の過渡的状態への遷移の消去ステップ
の基本的な動作を示すフロー図。

【図１４】図１２の過渡的状態への遷移の消去ステップ
における多段遷移関数導出ステップの基本的な動作を示
すフロー図。

【図１５】本発明の一実施形態における関数決定部の構
成を示すブロック図。

【図１６】本発明の一実施形態の過渡的状態への遷移の
消去ステップにおける関数決定ステップの動作を示すフ
ロー図。

【図１７】前記図１６の関数決定ステップにおける出力
関数を決定するアルゴリズムを示す図。

【図１８】本発明の一実施形態における関数の簡約化ス
テップを示すフロー図。

【図１９】本発明の一実施形態における有限状態機械簡
約部の構成を示すブロック図。

【図２０】一般化余因子を利用した出力関数の簡約化の
アルゴリズムを示す図。

【図２１】出力関数の簡約化で利用するO.Coudert によ
る一般化余因子の定義を説明するための図で、集合の各
要素の距離を説明する図。

【図２２】図２１の集合の各要素間の距離に基づく特徴
関数と要素との関係を示す図。

【図２３】O.Coudert の定義による一般化余因子をｐ次
元ブール関数ベクトルに拡張した場合において、出力関
数が簡約化される状態を示す図。

【図２４】本発明の第２の実施形態における周期値代入
ステップを説明するフロー図。

【図２５】本発明の第３実施形態で利用するマルチター
ミナルＯＢＤＤを説明する図。

【図２６】遷移関係を利用して有限状態機械を表現し
た、本発明の第４実施形態の動作を説明するフロー図。

【図２７】過渡的遷移による問題点の説明するための２
種類のＤ型フリップフロップ回路（ａ）（ｂ）を示す回
路図。

【図２８】図２７の回路をモデル化した有限状態機械
（ａ）（ｂ）を示す図。

【図２９】図２７の回路（ａ）（ｂ）の出力特性を示す
を示す図。

【図３０】等価性の形式検証に流れにおいて、有限状態
機械変換方法を適用する場合の一例を示す図。

【符号の説明】

１０…有限状態機械設定部 １１…定常化有限状態機械生成部 １２…反復二乗法処理部 １３…関数決定部 １４…不安定性検出部 １５…有限状態機械簡約化部 ２０…多段遷移関数導出部 ２１…計算必要性判定部 ２２…置換計算部 ２３…定常性判定部 ２４…周期値代入部 ２５…ｎの計算の終了条件判定部 ２６…ｎの加算部 ３０…大域的性質決定部 ３１…遷移関数決定部 ３２…出力関数決定部 ４０…出力関数の簡約化部 ４１…不安定な遷移に対応する出力の検出部 ４２…一般化余因子生成部 ５０…遷移関数の簡約化部 ５１…他の状態から遷移されることのない状態の検出部 ５２…一般化余因子生成部 １００…有限状態機械 １０１…過渡的状態への遷移の消去ステップ １０２…定常化有限状態機械 １０３…不安定性検出ステップ １０４…有限状態機械簡約化ステップ １０５…最終有限状態機械

Claims (11)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 有限個の要素よりなる入力記号の集合
   と、有限個の要素よりなる出力記号の集合と、有限個の
   状態を持つ状態集合と、前記入力記号の集合と状態集合
   から状態集合への遷移を特徴付ける遷移関数と、前記入
   力記号の集合と状態集合から出力記号の集合への関係を
   特徴付ける出力関数とによって有限状態機械を構成する
   有限状態機械設定手段と、 前記有限状態機械に含まれている過渡的状態への遷移を
   消去して定常化有限状態機械に変換する定常化有限状態
   機械生成手段とを備えていることを特徴とする有限状態
   機械変換装置。
2. 【請求項２】 前記定常化有限状態機械生成手段が、有
   限状態機械の遷移関数の各ビットに対する多段遷移関数
   を反復二乗法を用いて求める反復二乗法処理手段と、 前記定常化有限状態機械の遷移関数及び出力関数を決定
   する関数決定手段とを備えることを特徴とする請求項１
   記載の有限状態機械変換装置。
3. 【請求項３】 前記定常化有限状態機械生成手段は、該
   有限状態機械の遷移関係の多段遷移関係を反復二乗法を
   用いて求める反復二乗法処理手段と、定常化有限状態機
   械の遷移関係及び出力関係を決定する関係決定手段とを
   備えることを特徴とする請求項１に記載の有限状態機械
   変換装置。
4. 【請求項４】 前記有限状態機械に不安定な状態遷移が
   存在するか否かの判定を行う不安定性検出手段とを備え
   ることを特徴とする請求項１に記載の有限状態機械変換
   装置。
5. 【請求項５】 前記定常化有限状態機械を簡約化する有
   限状態機械簡約化手段とを備えることを特徴とする請求
   項１に記載の有限状態機械変換装置。
6. 【請求項６】 有限個の要素よりなる入力記号の集合
   と、有限個の要素よりなる出力記号の集合と、有限個の
   状態を持つ状態集合と、前記入力記号の集合と状態集合
   から状態集合への遷移を特徴付ける遷移関数と、前記入
   力記号の集合と状態集合から出力記号の集合への関係を
   特徴付ける出力関数とによって有限状態機械を構成し、 前記有限状態機械に含まれている過渡的状態への遷移を
   消去して定常化有限状態機械に変換することを特徴とす
   る有限状態機械変換方法。
7. 【請求項７】 前記定常化有限状態機械に変換する処理
   は、有限状態機械の遷移関数の各ビットに対する多段遷
   移関数を反復二乗法を用いて求め、 この多段遷移関数に基づいて定常化有限状態機械の遷移
   関数及び出力関数を決定することを特徴とする請求項６
   記載の有限状態機械変換方法。
8. 【請求項８】 前記定常化有限状態機械に変換する処理
   は、該有限状態機械の遷移関係の多段遷移関係を反復二
   乗法を用いて求め、この多段遷移関係に基づいて定常化
   有限状態機械の遷移関係及び出力関係を決定することを
   特徴とする請求項６に記載の有限状態機械変換方法。
9. 【請求項９】 前記有限状態機械に不安定な状態遷移が
   存在するか否かの判定を行うことを特徴とする請求項６
   に記載の有限状態機械変換方法。
10. 【請求項１０】 前記不安定な状態遷移の検出は、前記
    過渡的状態への遷移の消去の処理と同時に行われること
    を特徴とする請求項９に記載の有限状態機械変換方法。
11. 【請求項１１】 前記定常化有限状態機械の出力関数と
    遷移関数の簡約化を行って、前記定常化有限状態機械を
    さらに簡約化することを特徴とする請求項６に記載の有
    限状態機械変換方法。