JPH09506991A

JPH09506991A - 経路定義曲線装置および方法

Info

Publication number: JPH09506991A
Application number: JP8529507A
Authority: JP
Inventors: ブレ−クヒュイセン，ジェローム，エイ
Original assignee: ノベル，インコーポレイテッド
Priority date: 1995-03-24
Filing date: 1996-03-22
Publication date: 1997-07-08
Also published as: WO1996030874A3; CA2190579C; CA2190579A1; DE69600392D1; AU5319296A; WO1996030874A2; EP0764313B1; EP0764313A2; DE69600392T2; US5694535A; US5731820A

Abstract

(57)【要約】経路定義曲線装置および方法が開示されている。出力デバイスから表示される曲線を作成する方法および装置は、ユーザによる制御に応答して入力デバイスによって生成された入力信号から曲線を対話でかつ直接的に指定するように動作する。装置は、ユーザによって直接に（近似的に曲線上に位置するようにした実際の入力点を使用して）指定された経路定義曲線上の点を入力するポインタをもつ入力デバイスを含むことが可能である。プロセッサは曲線のイメージをレンダリングするある種のレンダリング・データをリアルタイムで出力デバイスに出力してユーザにフィードバックする。ユーザはフィードバックされたイメージに基づいてポインタを動かし、曲線に入力点を追加することにより曲線を拡大（編集、延長）することができる。装置と方法は従属制御変数の非線形係数を線形的組合せで結合するように選択された「構築変数」にマッピングして、非線形係数を置換する。新しい入力が追加されると、構築変数は元の非線形加算項から再計算されるのではなく、新しい値に線形的に変換される。曲線は出力デバイス上でレンダリングされ、ユーザがポインタを動かして入力を追加することにより表示された曲線に適合させるとリアルタイムで即時にユーザにフィードバックされる。

Description

【発明の詳細な説明】経路定義曲線装置および方法技術分野本発明は曲線をドローイング（描画）する装置に関し、より具体的には、出力デバイスからフィードバックを受けるユーザによって制御される入力デバイスに応答して、経路定義曲線(path defined curves)をリアルタイムで出力デバイス上に生成する新規のシステムおよび方法に関する。背景技術多くのコンピュータは、アーチスト、ドラフトマン、エンジニア、建築家などによって専門的サービスに関係する図形をドローイングするために使用されている。構造をペーパーやその他のディスプレイ媒体上にグラフィカル・イメージで表現するには、いくつかの方法が可能である。ペーパーに鉛筆を使用する伝統的方法はまだ利用されている。また、ペーパーやリネン、プラスチック（例えば、 MYLAR（登録商標））にインクを使用する方法も、同じように利用されている。しかるに、これらの媒体でドローイングされた図形を変更することは困難であるか、不可能である。多くのプロフェッショナルは、ディジタル・コンピュータを使用して曲線をドローイングすることにより、グラフィック作品のセーブ、再現、スケーリング、および修正を可能にしている。しかるに、曲線をドローイングする場合、それが「曲線(curved line)」であるか、曲面であるかに関係なく、多くのトレードオフ（利害得失）を含んでいる。例えば、曲線は、実際には、非常に複雑な数学式の目に見える形で表されたものである場合がある。式は既知である場合もあれば、未知である場合もある。曲線は、アーチストがオブジェクトをページまたはディスプレイ上に表現したものの一部にすぎない場合がある。コンピュータを使用して曲線をドローイングし、セーブし、修正することは、スケッチパッド上でブラシまたは鉛筆で滑らかに流れる円弧を描く程には単純でない。コンピュータでは、動作するための離散的情報が必要である。コンピュータは処理能力と計算速度に限りがある。ユーザはそのような曲線上の点の実際の計算値をリアルタイムで常に得られるとは限らない（つまり、この用語はこの分野ではそのように理解されており、また、曲線はユーザによってドローイングまたは定義されるからである）。アーチストまたはドラフトマンがコンピュータ・スタイラス(computer stylus )を使用して曲線をドローイングするためには、ドローイングされる曲線を制御する必要がある。各ユーザは、曲線を描いているとき曲線が展開していく様子を見ることができると好都合である。ユーザはレンダリング(rendering)の結果に応じて手の動きを調節して、頭の中で描いている通りに表現できることを望んでいる。また、ユーザはコンピュータが間違ったジッタ(jitter)をフィルタにかけて除去してくれるものと期待している。ジッタは、例えば、手の動きが不安定で、誤った位置に置かれることや、ディジタル量子化、その他システムの物理的特性が原因で起こることがある。ユーザは曲線を定義する数学の知識なしで操作する場合がある。例えば、ユーザは曲線が特定のルールに従って描かれることに無頓着である場合でさえある。それよりもむしろ、ユーザは表現したもの(representation)を出力デバイスから表示することを望んでおり、曲線をスケッチし、直接に見ているものを変更することで曲線を直観的に修正できることを望んでいる。しかるに、曲線を生成するためにコンピュータによって使用される数学公式や表現は、ユーザに理解しやすい変数や直観的に分かりやすい変数を使用していないことがある。例えば、多くの人は、曲線がコンピュータ内部で数学的にどのように表現されるかをまったく知らなくても、曲線をスケッチできるはずである。滑らかな起伏をもつ曲線が完全関数(exact function)、スプライン関数、Ｂスプライン(B-spline)、対数曲線(logarithmic curve)、無限系列(infinite s eries)などとして、どのように表現されるかを実際に知っているユーザは、相対的に少数である。例えば、多くの人は、実際に放物線を定義している点と線のロケーション（位置）を知らなくても放物線をスケッチすることができる。ところが、放物線上には点もなければ、線もない。放物線の数学的定義に従って放物線を厳密に定義することは多くのユーザのスキル、関心、または時間的投資以上のものであることはもちろんである。ユーザは任意的な曲線を定義したい場合がある。例えば、ユーザは、円、楕円または放物線のように、共通公式で容易に定義されている特定の既知曲線を望まない場合がある。ユーザは、頭の中で描いている通りに表現できる柔軟性を必要とする場合がある。ユーザは単純な円弧や楕円の弧(segment)よりもはるかに込み入った曲線を必要とする場合がある。ユーザは不規則であるが、滑らかな起伏のある曲線をページ上に描きたい場合がある。任意の曲線を作成し、定義し、レンダリングするプロセスは、現存のコンピュータ化されたドローイング・ハードウェアおよびソフトウェアでは十分にサポートされていない。対話型(Interactive)の経路定義曲線(path defined curves）はまったく存在していない。この困難性の良い例として、ドローイングのために多くのソフトウェア・プログラムで使用されているベジェ曲線がある。「ソフトウェア」とも、「アプリケーション」とも、「プログラム」とも、「パッケージ」とも呼ばれている、多くの市販ドローイング・ソフトウェア・アプリケーションによって、ベジェ曲線はサポートされている。各パッケージ内には様々なフィーチャ（ツールとも呼ばれる）が存在し、各フィーチャは、イメージの一部のマーキング、ラインの消去、オブジェクトまたは点の移動、直線、長方形、円、曲線などのドローイングといった、単一の関数を実行することを目的としている。この種のパッケージを使用すると、多くのユーザはベジェ曲線のドローイング・ツールが使うことが難しいのを知るはずである。難しいことの主な原因はユーザ・インタフェースが間接的すなわち、非対話型であるためである。ここで言う「直接的(direct)」の用語は、曲線がユーザによって動かされるカーソルが通過するロケーションを通り抜けるか、あるいは密接に（つまり、最小２乗最良適合(least squares best fit)）近似していることを意味する。「対話型(inteactive)」という用語は、ユーザが曲線を定義しているとき、リアルタイムでフィードバックを受け取ることを意味する。「リアルタイム(realtime)」という表現は、この分野で普通に用いられているものと正確に同じ原理を意味することができる。これは、入力からフィードバックまでの時間的遅延がユーザ側から見たとき、瞬時と視覚的に区別できないほどに短時間であることを意味する。一般的には、このようなフィードバック遅延は、実用上は感知できない。例えば、ユーザは、ディスプレイ・モニタ上で曲線をアンレンダリング(unrendering )し、ユーザが曲線の終点(endpoint)に対応するカーソルを動かしながら再レンダリングしたい場合がある。ベジェをドローイング・ソウトウェア・パッケージでパラメトリック曲線タイプ(parametric curve type)として使用すると、通常用意されている楕円曲線と円曲線の集合を非常に柔軟に拡張することができる。もっと一般的なＢスプラインに比べると、ベジェの場合は、より直接的で、相対的に単純化された制御が必要である。ドローイングは、曲線を作成し、そのあとで編集が行われるのが典型的である。大部分の市販ソフトウェア・パッケージに用意されているベジェ曲線作成と編集ツールは、曲線の定義の基礎となっている数学公式の計算を反映している。ユーザ・インタフェースは直観的でない。曲線ツールは、元来、エンジニアや科学者のような技術的訓練を受けたユーザが使用するために開発されたものである。現在では、ユーザとしては、グラフィック・アーチスト、ビジネス・プロフェッショナル、および絵情報を表すことを望んでいる平均的パーソナルコンピュータ・ユーザなどがいる。ソフトウェア・パッケージに内在している概念モデルや数学的実装は、ユーザが曲線をイメージとして出力デバイス上で図形化するのを非常に妨げている。例えば、ベジェ曲線形状で図形化するためには、制御点(control point)Ｃ₀とＣ₁とを２つの終点Ａ₀とＡ₁の間に反直観的に置く必要がある（ベジェでは、「制御変数(control variables)」と総称されている）。Ｃ₀とＣ₁は通常、曲線上にない。これらは曲線から離れており、曲線と関係があるのは、基礎となる数学知識のない人には抽象的である数学的関係においてだけである。ベジェ曲線を作成する既存のツールは使うことが難しいため、コンピュータ・システムの支援を受けて生成された形状は大幅な修正が必要になることがよくある。従って、ベジェ作成用の市販ツールの使用が難しいことは、その直接的結果として、作成後の編集ツールに大きく依存することになる。残念ながら、既存のベジェ曲線編集ツールは作成ツールよりもっと使うのが難しい。本発明に従って実施される装置または方法によれば、編集ツールを余り使用しないで済むようになっている。他方、作成と編集のためのツールは本発明によると、大幅に単純化することができる。商用化されているベジェ作成ツールは、基本的に２通りの方法でタスクを実行している。最初の方法では「対話型(interactive)」曲線ツールを基礎に置き、第２の方法では「フリーハンド型(freehand)」または「直接的(direct)」曲線ツールに基礎を置いている。一方の対話型曲線ツールでは、ユーザが制御点を入れると、曲線の表現がリアルタイムで更新されるようになっている。このツールが対話型であるのは、ディスプレイ・モニタなどの出力デバイスから、すぐにフィードバックがユーザに返されるからである。このフィードバックは、ユーザがカーソルを動かすたびに変化するレンダリング曲線の形態になっている場合がある。しかし、従来のベジェ作成ツールが間接的でもあるのは、上述したように、制御点のすべてが曲線上に位置しているとは限らないからである。これに対して、フリーハンド型曲線ツールでは、ユーザが所望の曲線の経路を指定している間に、サンプリングされたカーソル・ロケーション（位置）の列が収集されるようになっている。このツールが直接的であるのは、結果として得られた曲線がサンプリングされたカーソル・ロケーションに近似または補間されるからである。このツールが対話型でないのは、レンダリングされた曲線表現を作成期間中にユーザは見ていないからである。経路を指定している間にユーザが見ているものは、サンプリングされたロケーションを表すドットの集合、またはこれらのロケーション間を結ぶ一連のライン・セグメント（線分）だけである。その結果の曲線が表示されるのは、経路の指定が完了したあとだけである。実際の曲線は指定された点のどれも通らないことも起こり得る。これらの２つのツール・タイプ、つまり、「対話型」と「直接的」または「フリーハンド型」とを比較すると分かるように、どちらも他方の長所を欠いている。対話型曲線ツールは対話型であるが、間接的である。フリーハンド型曲線ツールは直接的であるが、対話型でない。残念ながら、商用化されたドローイング・ソフトウェアの大部分のユーザは、ベジェ曲線をドローイングするツールが反直観的であり、使うのが難しいため効果的に使用できないことを経験している。これに代わるツールもあるが、それらはもっと扱いにくく、間接的であることが多い。他方、多数のソフトウェア・システムは、主にベジェと他のある種の曲線を使用して、既存のまたは「遺産的(legacy)」アートワークのファイルを無数に作成している。センサ（例えば、ユーザが動かすスタイラス、マウスなど）の動きを「直接的」に検知して、その動きの表現をユーザが感知できる曲線によってレンダリングするための装置と方法が要求されている。また、ユーザからの「直接的」入力に応答して「対話型」で曲線を継続し、あるいは変更するための装置と方法が要求されている。もっと具体的に説明すると、ドローイング中の曲線を直接的にかつ対話型で作成し、変更することが要求されている。ベジェ曲線は非常に遍在的であるので、ベジェ曲線を出力デバイス上で直接的にかつ対話型で作成する装置があると、非常に有用である。さらに、ベジェ曲線がリアルタイムで生成され、変更できるような装置があると、もっと有用である。上述した従来の問題を解決する方法と装置は遺産的アートワークをすべて受け入れるようにしておくと、ユーザはすでに存在する作品にアクセスして修正することが可能になる。直接的で、直観的で、対話型で、視覚的に瞬時と区別できず、遺産的アートワークと逆方向に互換性のある方法が要求されている。前述したように、「ツール」は、グラフィカル関数を実行し、あるいは形状、オブジェクト、曲線などをドローイングする独特のフィーチャまたは方法と考えることができる。もう１つの既存問題は、同一または異なるドローイング・パッケージにおける異なるツールは、異なるルールを用いて曲線をレンダリングするので、異なるパラメータまたは変数を使用し、格納していることである。そのために、ユーザがあるタイプの曲線を編集するために別のタイプの曲線に適用される対話型手法を使用しようとすると、混乱が起こることになる。残念ながら、グラフィック作品の作成では、数種類の対話型手法（ツール）が使用されている可能性がある。しかし、結果の曲線は、ツール・タイプに関して視覚的に区別できない場合がある。ツール・タイプを正しく選択しないと、曲線の編集は不可能である。その結果、曲線を編集しようとするときに、フラストレーションが起こることになる。その定義に関係なく任意の曲線をアクセスし、すべての曲線を簡単に、対話型で、直接的に編集するような方法があると、それは飛躍的な進歩である。また、対話型曲線ツールやフリーハンド型ツールで最初に作成された曲線、あるいは他の任意の曲線を、ユーザに透過的(transparent)な単一の方法で編集することができる方法があると非常に便利である。このような単一の方法は、遺産的アートワークに作成されたすべての曲線を、発生源、ツール、ルール、または定義に関係なく編集するために使用することが可能になる。もっと広い意味では、ドローイングやスケッチングとは無関係の他の多くのタスク（仕事）では、ユーザの動きを円滑化し、適合し、表現することが必要になる。例えば、油圧機器の動作は、人間の入力を正確にトラッキング（追従）するのではなく、その動きを滑らかで予測できるように制御すると改善される場合がある。別の例として、ロボットに、一連の動きを通してセンサを動かす熟練者の動きをトラッキングすることにより、「教え込む」ことができる。例えば、熟練の塗装者は、自動車のボディ全体にわたってスプレーワンド(spray wand)を動かし、人間の目に頼ってフィードバックを得ることができる。そのあと、ロボットは同じ経路上をスプレーワンドを動かすことになる。同様に、他の多くのデバイスは、スタイラス、レバー、コントロール・スティック、ワンド、動きセンサ、または"DataGlove"（登録商標）を使用して、ユーザが指示した動きをトラッキングしている。また、不規則な動きを滑らかにして滑らかな流れの動きを得るようにすると、好都合な場合がある。これらのプロセスは無数にあり、対話型デバイスの利点を利用して、ユーザの手や他の器官の動きをフィードバックするようにしている。しかし、人間の手の動きは完全には滑らかでないので、ユーザの手の動きを検知し、その動きを格納し、その得られたデータに基づいて動作して、ピクチャやイメージ、動き、その他の空間的表現をユーザにフィードバックすることに関して、完璧なトラッキング・システムは存在していない。曲線の当てはめ(curve-fit )といった方法で人間の指示者(human director)の入力を円滑化すると、他の方法では効率性に影響を与えるおそれのあるジッタが除去される。例えば、戦車や戦闘機上の銃またはミサイル制御は人間に頼って、センサや制御のシステムを追尾し、動かしている。人間の手は、車両の動きなどに影響されやすく、不安定になる。人間ユーザの複雑な動きを、その動きと同時にリアルタイムで（例えば、必要な時すぐに：実際にはまたは知覚的には、瞬時に）トラッキング（追尾）し、再現することは、典型的なデスクトップ・コンピュータでは困難であるか、不可能である。個人のコンピュータ・ユーザの場合、大きな遅延があるのが普通である。また、ユーザが検知デバイスを動かしてからマシンから応答があるまでにタイムラグがあるので、ユーザは余計な訂正を行う場合がある。従って、対話によるユーザの訂正は、トラッキング（追尾）とレンダリングに関連する大量の計算のあとでは、遅すぎることになる。ユーザの動きを検知し、その動きを曲線などの反復可能で、格納可能な表現に近似し、曲線の表現またはレンダリングをユーザに提示し、ユーザが曲線を対話でリアルタイムで（例えば、必要時に：知覚的には、ユーザが瞬時と区別できないフィードバックの形で、または、実用的には、ユーザが修正の入力を始める反応時間よりも早いフィードバックの形で）継続または変更できるようにする装置が要求されている。上述した機能を組み合わせたものは、この分野では知られていない。直接的で対話型の曲線ドローイングをリアルタイムで行うことは、平均的ユーザが利用できるコンピュータ化ドローイング・パッケージには用意されていない。もっと広い意味でのトラッキングとレンダリングの問題は、パーソナル・デスクトップコンピュータの平均的ユーザ用に用意されているパッケージでは解決されていない。発明の開示内容上記に鑑みて、本発明の主目的は、曲線を直接的に作成する装置を提供することである。本発明の別の目的は、曲線を対話により作成する装置を提供することである。本発明の目的は、曲線を直接的にかつ対話により、しかもリアルタイムで作成する装置を提供することである。本発明の目的は、経路定義曲線を、対話によりかつ直接的にリアルタイムで作成する方法と装置を提供することである。本発明の目的は、曲線を作成する場合よりも少ない時間で曲線を編集し、変更し、または延長できる曲線を表す方法と装置を提供することである。本発明の目的は、その発生源に関係なく、電子的に格納可能な元の曲線があるとき、本方法によって編集可能で、元の曲線と視覚的に区別できない対応する曲線を作成する方法と装置を提供することである。本発明の目的は、遺産的アートワークに存在するすべての曲線を、そのアートワークが最初に作成されたときのツール、ルール、または表現データに関係なく編集する方法と装置を提供することである。本発明の目的は、すべての曲線をベジェ曲線で表されたものに変換し、遺産的アートワークに存在するすべての曲線を、そのアートワークが最初に作成されたときのツール、ルール、または表現データに関係なくベジェ曲線として編集する方法と装置を提供することである。本発明の目的は、単純化されたパラメータ、つまり、曲線の数学的に定義された「制御変数(contral variables)」に置換可能である変数から曲線を作成することにより、曲線の変化を反映する出力の計算とレンダリング速度を高速化するようにした装置を提供することである。本発明の別の目的は、ユーザの動きから直接に検知された入力から曲線を作成する装置を提供することである。本発明の別の目的は、一般的には、入力を直接に検知し、出力デバイスを制御するようにその入力を処理し、ユーザに感知可能な信号を出力デバイスからユーザにフィードバックすることにより、ユーザが入力を対話で調整することを可能にし、具体的には、入力が曲線に対応する場合に上記のことを行い、特に、曲線がベジェ曲線である場合に上記のことを行う装置を提供することである。本発明の別の目的は、ユーザに感知可能であり、曲線の制御変数から変換された変数に対応する信号を、出力デバイスからユーザに提示することである。本発明の別の目的は、ユーザによる動きを検知し、その動きに対応する入力を与え、出力デバイスに渡すために、入力に関係する中間信号を作成するように入力を処理し、ユーザに感知可能であり、ユーザによる動きに対応する信号を出力デバイスからユーザにフィードバックし、もっと具体的には、リアルタイムで動作する装置を提供することである。本発明の別の目的は、ユーザが動かした入力デバイスの動きから検知された入力を使用して曲線を作成し、曲線を特徴づける中間パラメータを作成するように入力を処理し、その中間パラメータを出力デバイスへ送って、動きに対応しかつユーザに感知可能である信号を生成し、これらはすべてがリアルタイムで行われ、具体的には、出力デバイスを見ているユーザの目に滑らかに流れるアニメーションを提示するような高速で行われるようにした装置を提供することである。上記目的を達成するために、以下に実施例として広い意味で説明されている本発明によれば、装置と方法は曲線を作成する場合の本発明の一実施例として開示されている。対話型および直接的曲線ツールによると、ほぼ即時のフィードバックをリアルタイムでユーザに返すことができる。ここでリアルタイムとは、出力信号がユーザによる直接入力からの対話型フィードバックの流れに関して、瞬時と区別できないことを意味する。リアルタイムのフィードバックは曲線の作成と同時に返される。ユーザは、スタイラスまたは他のポインタ（マウスなど）を所望の経路上を動かすことができる。ツールはユーザが動かした上記入力デバイスを追尾する(track)ことができる。ディスプレイ、モニタ、ＣＲＴスクリーンなどの出力デバイス上のカーソルは、ユーザがポインタで経路をたどっていくとき、ポインタの動きを表すことができる。関連のコンピュータは、カーソルのロケーションをサンプリングすることができる。曲線は、出力デバイス上で作成し、レンダリングすることができ、その曲線は、サンプリングされたロケーションを正確にまたは近似的に通ることができる。以上のように、ツールは、リアルタイムで動作する対話型で、直接的で、フリーハンド型のツールにすることができる。多くの場合、リアルタイムとは、出力デバイスからのフィードバックが、例えば、視覚のような少なくとも１つの望ましい感覚系知覚により、瞬時と区別できないことを意味する場合がある。しかし、一般的には、リアルタイムとは「対話による流れ(interactive fluidity)」と定義するだけで十分である。この対話による流れは、ポインタ（例えば、マウス、スタイラスなど）の動きに応答して、出力デバイス（例えば、モニタ）からフィードバックがユーザに返される間存在しているので、ユーザは混乱しないで済み、また、入力に対応する曲線を出力デバイスがレンダリングするのを待つために入力を停止する必要もない。一実施例では、本発明による装置は曲線をリアルタイムでレンダリングすることができる。装置には、ユーザが指定した経路上のロケーションに直接に対応する入力信号を与える入力デバイスを含めることができる。また、装置には、入力信号を受信し、その入力信号に適合した曲線に対応する出力データを与えるプロセッサを含めることも可能である。メモリ・デバイスはプロセッサから受け取ったデータを格納することができる。出力デバイスは、ユーザに検知可能で、入力信号に当てはめられた曲線に対応する出力信号をリアルタイムで出力することができる。プロセッサは、指定されたロケーションに対応する点に適合した線形変換可能曲線(linearly transformable curve)に対応するディジタル信号からなるデータ上で動作するディジタル・プロセッサにすることができる。入力デバイスには、経路上をユーザによって動かされるように適応したポインタを含めることでき、この場合、入力デバイスはロケーションに対応する入力信号を生成する。出力デバイスは、イメージング・デバイス（画像表示デバイス）を含むことができ、イメージング・デバイスは、ポインタの位置に対応するイメージをユーザに提示するカーソルを含むことができる。出力デバイスは、入力信号に対応する曲線のイメージをレンダリングするレンダリング・デバイスを含むことができる。レンダリング・デバイスは、三次元(cubic)曲線から選択された曲線をレンダリングするために、プロセッサから出力データを受け取る信号受信器を含むこともできる。立方曲線はベジェ曲線、ハーミット多項式(Hermit polynomial)、スプライン、Ｂスプライン、または他の曲線にすることができる。レンダリング・デバイスは、ユーザに見えるイメージをレンダリングするスクリーンを含むことができる。本装置は、経路上をユーザが動かしたポインタから直接に入力信号を受信し、ユーザが指定したロケーションに適合した曲線に対応するイメージを、出力デバイスから対話でリアルタイムにフィードバックするようにプログラムされたプロセッサを含むことができる。入力デバイスは、イメージに応答してユーザがポインタをさらに動かしたことを反映する追加の入力信号を、リアルタイムで受信するように構成することができる。出力デバイスは、追加の入力信号を反映する別の曲線を、リアルタイムでレンダリングするように構成することが可能である。本装置は、離散点を表すディジタル信号からなる入力信号を基礎に置くことが可能である。入力信号は、経路に沿って一定インターバルでサンプリングされた点に対応させることも、連続曲線に対応させることも可能である。本発明による装置は、ユーザによって直接に制御される入力信号に応答して、平滑化された出力信号をユーザにフィードバックすることができる。入力デバイスは、ユーザによる動きを検出し、その動きに対応する入力信号を選択的に与えるように、ユーザによる操作可能にすることができる。入力デバイスに接続されたプロセッサは、入力信号を受信し、その入力信号に論理演算を行って、入力信号に適合した線形変換可能曲線に対応するプロセス信号を出力するようにすることができる。メモリ・デバイスは、プロセッサに操作可能に接続し、入力信号に対応する入力データを格納すると共に、プロセス信号に対応する出力データを格納することができる。出力デバイスは、プロセッサに接続して、出力データを受信し、ユーザに検知可能で、かつ出力データに対応する出力信号をユーザに与えるようにすることができる。本装置は、動きを検出し、かつその動きに対応する入力信号を選択的に与えるように入力デバイスを使用して、経路定義曲線を対話で作成するように構成することが可能である。入力デバイスに接続されたプロセッサは、入力信号を受信し、その入力信号に対応するプロセス信号を出力することができる。プロセッサに操作可能に接続されたメモリ・デバイスは、構築変数(building variable)に対応するプロセス信号を格納することができる。プロセッサに接続された出力デバイスは、出力データを受信し、その出力データに対応する出力信号をユーザに与えることができる。本発明に従って実施される方法は、経路定義曲線をリアルタイムで増分的に拡大(incrementally augment)し、延長し、編集することができる。この方法には、入力デバイスに関連するポインタを動かすことを含むことができる。ユーザは、経路上のロケーションに対応するデータを入力することができる。ユーザは、ポインタを制御することによって入力を指定することができる。そのあと、ユーザは、線形変換可能曲線に対応するプロセス・データを、入力デバイスに接続されたプロセッサで作成することができる。また、本方法は、プロセッサ・データに操作を加えて、線形変換可能曲線に対応する変数と係数の線形系を表す構築変数(building variable)データを作成することを含むことが可能である。構築変数データに操作を加えて、ロケーションに適合した曲線に対応する出力データを作成した後に、適合したロケーションに対応する曲線のイメージを、プロセッサに接続された出力デバイスからユーザにフィードバックすることが可能である。本方法には、イメージに応答してポインタを動かし、入力デバイスから追加の入力データを受け取ることを含めることができる。この追加入力データは、経路上の追加ロケーションに対応させることができる。本方法は、構築変数を線形変換(linearly transform)して構築変数データと置換する、新しい構築変数データを作成することができる。本方法には、以前のイメージと置換する新しいイメージを、出力デバイスからリアルタイムでユーザにフィードバックすることを含めることができる。本方法は、受信、線形変換、およびフィードバックを、入力デバイスを制御して方法の継続を指示するユーザから受け取った入力に従って、さらに繰り返すことが可能である。入力デバイスからの直接的な新入力、あるいは他の方法で、ユーザが入力した入力に従って、リアルタイムで対話型で拡大（更新）することは、ユーザが望んでいる間継続することが可能である。この拡大は、ユーザが指定した新しいロケーションの数に関係なく、継続することが可能である。開示された本発明に従って構築される装置、または本発明に従って実施される方法は、曲線ドローイング・ツールにおける２つのツール・タイプの各々の長所を結合して、従来のツールよりも使いやすく、直観的なものにしている。一般的には経路定義曲線(Path-Defined Curve‐ＰＤＣ)、具体的には経路定義ベジェ(Path-Defined Bezier‐ＰＤＢ)は、多項式の最小二乗適合(least square s fit of polymomial)に基礎を置くことが可能である。三次元(cubic)（三段級：third dogree）ベジェ曲線などの多項式は、サンプリングされたロケーションの列（シーケンス）に適合することができる。ロケーションは、代表例として、ポインタのようにユーザが制御する入力デバイスで指定することができる。ユーザは、ポインタの操作によって、モニタのスクリーン上のカーソルのロケーションを変えることができる。ロケーションは、経時的にサンプリングすることにより、ポインタでユーザが選択した点に対応する点の集合を得ることができる。基本的ドローイング装置と方法は、それぞれポインタとモニタ以上の、他の入力デバイスと出力デバイスで拡張することが可能である。例えば、ある次元数の点（値）を得るための入力デバイスは、信号を得るための多種類のデバイスから選択することができる。信号は、動きや他の活動から検出された入力に対応させることができる。同様に、出力デバイスは、これらの値のある種の表現をユーザにフィードバックすることができる。入力デバイスは、ユーザに検知可能な信号を出力する多種類のデバイスから選択することができる。例えば、出力は、ユーザが装着したDataGlove（登録商標）上のロケーションに加わる圧力またはそのロケーションからの圧力とすることができる。出力は、線上または面上の圧力分布とすることができる。出力は、ディスプレイまたはグラフィック・イメージにおける光の強さにすることも、モニタ上の白黒ピクセルにすることもできる。出力は、時間または空間における音の振幅または周波数分布などにすることができる。以上のように、多くの知覚可能な信号は、ユーザに対して曲線の出力を表すことができる。ある場合には、デバイスは、出力信号を受信するように設計できるが、非常に有用な例では、ユーザが与えた入力に対応する出力を人間のユーザが感知できるようになっている。本発明による装置と方法は、曲線の最小二乗適合を増分的に調整することを基礎にすることができる。最小二乗適合に基礎を置く従来の方法は、許容し得る計算時間を保つために短い曲線に限られている。つまり、最小二乗適合は計算に関しては厳しい(computationally intensive)。処理時間は、そのプロシージャで使用されるサンプリング点の数‘ｎ’と共に線形的に増加する。曲線は、追加の点がユーザによって入力されるたびに再計算され、再度レンダリングされなければならない。点の総数は、コンピュータが再計算して、ユーザ作成の曲線の更新された表現をレンダリングするときの速度に直接に影響する。このような方法からの遅延により、リアルタイムで出力をレンダリングすることは不可能になる。これに対して、本発明によって構築されたツールでレンダリングされる曲線は一定の時間で操作される。つまり、一定の更新回数で曲線をレンダリングすることができる。これは、曲線のベースとなるサンプリング・カーソル・ロケーションが少数であるか、数百であるか、数千であるかとは無関係である。新規のデータ構造は経路定義曲線（ＰＤＣ）に対応し、１つの具体例では、経路定義ベジェ（ＰＤＢ）に対応している。このデータ構造は、追加する入力毎に曲線を適当する最小二乗法に対して、増分的に「拡大」することをサポートしている。本発明の装置と方法によると、ユーザは、曲線を対話型でドローイングし、出力デバイス上で曲線をレンダリングし、ユーザに対するフィードバックをリアルタイムで得ることができる。例えば、ユーザは、曲線がドローイングされている途中で中間結果をアニメーションでモニタから見ることができる。本発明の装置によれば、マルチセグメント（複数の線分からなる）曲線をドローイングし、レンダリングすることが可能である。複数のセグメントは事後処理 (post-processing)で連続性をチェックするために結合することも、隣接する曲線のエンドを制約することによって結合して、曲線またはそのスロープ（接触(t anglncy)）の連続性を確かめることも可能である。この制約(constraint)をユーザ・インタフェースと一緒に使用すると、ユーザが最終的に制御して、結果の曲線がユーザの意図を反映していることを確かめることができる。図面の簡単な説明本発明の上記およびその他の目的と特徴は、以下に添付図面を参照して行っている説明と請求の範囲に示すとおりである。これらの図面は本発明の代表的な実施例だけを示したもので、従って、本発明を限定するものではないとの了解の上で、以下、添付図面を参照して具体的にかつ詳細に本発明について説明することにする。添付図面において、図１は、本発明に従って曲線を作成する装置の一実施例を示すブロック図である。図２は、ユーザが指定した経路上の点に適合した曲線のイメージを示す概略図である。図３は、本発明に従ってサンプリングなどによって、入力に適した曲線のイメージを示す概略図である。図４は、ユーザが入力した経路に適合し、そのあとユーザが追加の点で拡大した曲線を示す概略図である。図５は、本発明による概念化された方法を示すブロック図である。図６から図９までは、図５の方法からの詳細を示すブロック図である。図１０は、本発明に従ってレンダリング・データを管理する他の実施例を示すブロック図である。図１１は、本発明による線形変換方法の一実施例を示すブロック図である。図１２は、本発明による方法と装置の一実施例において曲線を表現する方法を説明するために示した一連の式である。図１３は、本発明に従って曲線を定義するための係数と変数の線形系(linear system)を作成する方法を説明するために示した一連の式である。図１４は、図１３の線形系における係数を定義し、評価する方法を説明するために示した一連の式である。図１５と図１６は、図１３の線形系の係数（加算項：summation term）を構築変数ｑとｒにマッピングする方法を説明するために示した一連の式である。図１７は、構築変数ｑとｒを新しい変数ｑ′とｒ′に線形変換する方法を説明するために示した一連の式である。図１８は、本発明に従ってユーザが追加の入力を行ったために、図１３の線形系の係数を更新して、出力デバイス上でレンダリングされる新しい曲線を表現する方法を説明するために示した一連の式である。図１９は、連続曲線の円弧長さを表す正確な数学式を、離散点間の弦(chord) による近似と対照させて示す式である。図２０から図２２までは、本発明に従って入力された連続曲線に関連するデータから構築変数ＱとＲ（その使い方は図１５〜図１６に示すシステムにおける構築変数ｑとｒと同じである）を合成する方法を説明するために示した一連の式である。図２３は、本発明に従って構築され、操作される装置の一実施例を示すブロック図である。図２４は、本発明による方法と装置で使用するのに適している曲線の他の実施例を示す概略図である。図２５と図２６は、図１３に示すものと異なる制御変数と式の代替システムによって表現可能な線形変換可能曲線の他の実施例を表現する方法を説明するために示した一連の式である。図２７と図２８は曲線を示す概略図および本発明による再帰的方法によって曲線の円弧長さに近似する方法を示す概略図である。好ましい実施例の詳細な説明以上の説明から容易に理解されるように、以下に添付図面を参照してその概要が説明されている本発明のコンポーネント（構成要素）は広範囲にわたる様々な構成に配置し、設計することが可能である。従って、図１ないし図２８に示されている本発明のシステムと方法の各種実施例に関する以下の詳細説明は、請求の範囲に記載されている本発明の範囲を限定するものではなく、本発明の好ましい実施例を例示したものにすぎない。本発明の好ましい実施例を理解しやすくするために、以下、添付図面を参照して説明するが、図面全体において、類似の部品は類似の参照符号を付けて示されている。次に、図１と図５を参照して説明すると、同図は、それぞれ本発明による装置と方法の好ましい実施例の概略図を示したものである。また、図６から図１１までは、図５のブロック図から派生した概略図を示したものである。この分野の精通者ならば当然に理解されるように、図６〜図１１の概略図は上記の図１と図５のブロック図を参照して説明されている本発明の基本的特徴から逸脱しない限り、種々態様に変更することが可能である。従って、図６〜図１１の詳細な概略図の以下の説明と図１２〜図２８の表現は単なる例示であり、図１と図５の以下の説明および請求の範囲に記載されている本発明と一貫性のある概略図のいくつかの好ましい実施例を示したものにすぎない。図５の種々機能ブロックは図６〜図１１に太線の破線で囲んで示し、類似番号が付けられている。上記説明から理解されるように、本発明によれば、経路定義曲線(path-define d curve)をユーザによって制御される入力デバイスで生成された入力から直接的にかつ対話型で作成し、レンダリングし、ユーザへのフィードバックを出力デバイスから出力することができる。また、本発明によれば、入力デバイスを制御するユーザによる追加入力に従って、曲線または曲線のイメージを出力デバイスからリアルタイムで拡大し、編集し、延長することができる。次に、図１を参照して説明すると、本発明の一つの好ましい実施例に従って構築・使用される装置２００には、プロセッサ２０２とメモリ・デバイス２０４を含めることが可能であり、これらは、ディジタル・データなどの信号を相互間で送信するためのバス２０６で相互接続されている。バス２０６は、汎用ディジタル・コンピュータのマザーボードに実装されているバスから１つを選択することも、本発明に従って構築された装置に固有のものにすることも可能である。入力デバイス２０８と出力デバイス２１０も、プロセッサ２０２と通信するためにバス２０６に接続することが可能である。記憶デバイス２１２もバス２０６上に含めておくと、プロセッサ２０２によって送信、受信または処理される信号などに対応するデータを永続的に格納しておくことができる。プロセッサ２０２は入力デバイス２０８から受信した信号を処理し、これらの信号を表すデータを格納し、出力データを出力デバイス２１０へ送るように構成することができる。プロセッサ２０２はバス上の任意のデバイスに対する命令( 指示：instrection)を作成し、受信し、送信することができる。適切なプロセッサ２０２には、多くのポピュラな汎用コンピュータの中央演算ユニット（ＣＰＵ）に見られるものを含むことが可能である。特に興味があり、応用性があるのは、マイクロコンピュータまたはミニコンピュータと呼ばれ、メインフレーム・コンピュータに比べると処理速度が限られているデスクトップ・コンピュータである。ＣＰＵは、MC68020、MC60830 およびMC68040を含む、Moto rola 68000シリーズなどの集積チップから選択することができる。同様に、適当なＣＰＵは80286、80386、80486 およびPentium CPU を含む、Intel 80000 シリーズから選択することができる。また、Power PC 601、602、603、604 および62 0 などのＲＩＳＣチップも完全に適している。メモリ・デバイス２０４はプロセッサ２０２に対する命令、その命令に従って演算されるデータ、およびプロセッサ２０２による値の中間計算を表すデータを一時的に格納するように構成することができる。また、メモリ・デバイスは入力デバイス２０８から受け取った入力を表すデータと出力デバイス２１０へ送られる出力データを格納することもできる。適切なメモリ・デバイス２０４は、市販されている大部分のタイプのランダムアクセス・メモリ（ＲＡＭ）を含むことが可能である。通常は、電源を切るとすべてのデータと信号が消失する揮発性メモリが適している。揮発性ほどには好ましくはないが、ある種の非揮発性メモリ・デバイス２０４を使用することも可能であるが、入力を受け取り、信号を処理し、出力を送出するとき装置２００のパフォーマンスを低下させるおそれがある。メモリ・デバイス２０４は、第１メモリ２０５Ａ、第２メモリ２０５Ｂ、および汎用動作メモリ２０５を含み、分割するなどアドレス可能に構成することが可能である。また、メモリ・デバイス２０４には、装置２００で起きて検出されたイベントを記録するためにイベント・キュー(event queue)２０５Ｄを含めることも可能である。検出されたイベントとしては、種々のデバイス２０２，２０４，２０６，２０８，２１０，２１２のいずれかで使用される、あるいはこれらのデバイスを制御するために使用される活動がある。入力デバイス２０８は、プロセッサ２０２によって処理される信号を生成するように構成することができる。しかし、入力デバイス２０８は、装置２００内部または外部の別のデバイスからのデータを読み取ることも可能である。例えば、入力デバイス２０８は、別のコンピュータからデータを受け取って処理するようにすることも、入力デバイス自身にプロセッサを含めることも、アナログ信号またはディジタル信号を送るセンサを含めることも、さもなければ、ユーザによって、あるいはユーザの制御の下で入力されたデータを送出するように構成することも可能である。入力デバイス２０８は、プラテンで支持された感知面(sensor surface)に押しつけたスタイラスの動きを検出するフリーハンド・パッド(freehand pad)を含む、多数のデバイスから選択することが可能である。この種のパッドの例としては、パッケージ受取人の署名を記録するために使用される特殊目的コンピュータで使用されているものがある。また、表面上のスタイラスの動きに感応するスケッチ・パッドも入力デバイス２０８として使用することができる。１次元、２次元または多次元空間の位置に対応する信号を表面上の動きと同時に生成する動き検出器である、マウスを入力デバイス２０８として使用することが可能である。別の入力デバイスとしては、DataGlove(登録商標)があるが、これは、ユーザのボディの指、手、その他の器官による動きや圧力を検出するセンサを備えたデバイスである。その他の入力デバイスには、単純なものとして、スイッチ、従来からあるものとして、ジョイスティック、トラックボール、タッチスクリーン・ディスプレイなど、高度なものとして、種々のイメージング・カメラなどのハードウェアがある。例えば、コンピュータ断層スキャナ(computed tomography s canner)、磁気共鳴画像マシン、または超音波画像デバイスはいずれも、人間が介入する量の変化に応じた入力を得ることができる。場合によっては、入力デバイス２０８は未知のものを使用することも可能である。これは、ソースから収集され、ディジタル電子信号としてメモリ・デバイス２０４または記憶デバイス２１２に格納された信号を表すデータのキューだけで表されたものである。出力デバイス２１０は信号をユーザに与えるように構成することができる。この信号はユーザの五感に感知可能にすることができる。例えば、音、動き、圧力、イメージ、光、音の強さまたは周波数、光の強さまたは周波数、あるいは電磁スペクトルからの他の信号は、出力デバイス２１０からの出力信号にすることができる。出力デバイスは信号を一方の表現から他方の表現へ変換するデバイスを含むことも、さもなければ、そのデバイスと関連づけることも可能である。本発明の一つの好ましい実施例では、プロセッサ２０２からの出力信号はコンピュータ・モニタのスクリーンから曲線として表示（レンダリング）可能になっている。それほど好ましいはない別の実施例では、出力信号は、電気機械式デバイスによって受信、認識、応答可能になっている。出力デバイス２１０は、陰極線管ＣＲＴ、フラットパネル・ディスプレイなどのモニタにすることができる。あるいはまた、ある種の入力デバイス２０８には、出力デバイス２１０の働きをするデバイスを含めることも可能である。例えば、タッチスクリーン・ディスプレイは、イメージをレンダリングし、ユーザから入力を受け取ることができる。同様に、超音波または磁気共鳴画像デバイスのような、医療画像デバイスには、そのデバイス自身だけが読み取ることができる、あるいはユーザに感知可能な出力デバイスを含めることができる。本発明のある種の実施例による装置２００では、人間のユーザに感知可能である出力、人間のユーザに感知不能な出力またはその両方の出力にすることができる。しかし、非常に興味のある一つの好ましい実施例では、出力デバイス２１０の出力はユーザに検知可能（感覚的に感知可能）にすることができる。記憶デバイス２１２は、装置２００に存在することも、存在しないことも可能である。記憶デバイス２１２は、ユーザがアクセスしてから次のアクセスするまでの間、受け取ったデータを長期間格納しておくように構成することが可能である。例えば、一つの好ましい実施例では、記憶デバイス２１２は、曲線３９８をドローイングの一部として表すデータの集合を格納することができる。あるいはまた、記憶デバイス２１２は、プロセッサ２０２によって実行可能な命令、およびプロセッサを制御するユーザが操作を加えた曲線を表すデータと、バス２０６に接続されたすべてのデバイスのオペレーションを制御するためにプロセッサによってアクセスされる命令とを一緒に含むソフトウェア・パッケージを格納しておくことができる。記憶デバイス２１２は、多くの市販タイプから、およびこれらのタイプに属する多数の特定製品から選択することができる。代表的な記憶デバイス２１２は、電子データを格納するハードディスク・ドライブ、フレキシブルディスク・ドライブ、電磁気テープ・ドライブ、光ディスク・ドライブ、PCMCIAメモリなどから選択することができる。適切な記憶デバイスは、電源が切られたときでもデータがそのまま残っているように、非揮発性にすることができる。しかし、ある種の実施例では、必要とされる電源と保守の面で劣るが、ＲＡＭタイプのメモリを記憶デバイス２１２として使用するように適切に構成することも可能である。次に、図２〜図４および図５〜図１１を参照して説明すると、本発明による装置２００と方法の一実施例では、プロセッサ２０２は図５に示すステップに従って動作するようにプログラムすることができる。図５のステップを詳しく展開して示したのが図６〜図１１である。装置２００は入力を受け取ることができる。入力が与えられるとき（２２０）、これらの入力は、入力デバイス２０８、汎用メモリ２０５Ｃまたはイベント・キュー２０５Ｄから受け取る（読み取る、送信される等）ことができる。入力は曲線３９８と関連づけることができる（例えば、図３を参照）。入力の例としては、曲線３９８（データに適合した、または定義された）またはユーザが指定した経路４２０上の点４１８に対応するデータがある。また、入力には、バス２０６に接続された、任意のまたはすべてのデバイス２０２，２０４，２０６，２０８，２１０，２１２を制御する命令を含めることもできる。曲線３９８または点４１８に対応するデータの受信を含めて、入力が与えられたとき（２２０）、曲線が連続(continuous)であるか離散(discrete)であるかを、テスト２２２で判断することができる。つまり、曲線３９８は、従属変数(dep endent variable)の値が、ある領域内の独立変数(independent variable)（パラメータ）のすべての値に対して、ある範囲にわたって存在するような連続関数であることが可能である。曲線が連続であれば、装置２００と方法２１９は経路２２４をたどり、連続過渡状態(continuous transient state)２２６で動作して、曲線３９８を表す曲線４００を作成する。曲線３９８は所望タイプの線形変換可能曲線(linearly transformable curve) である場合がある。そのような場合には、曲線３９８の表現に制御変数４０１を含めることが可能である。制御変数は例えば、図２に示すアンカー点(anchor po int)４０２，４０８と制御点(control point)４０４，４０６を含むことが可能である。制御点４０４，４０６は曲線４００を定義するために使用されるが、曲線３９８を定義するためにも使用できる。そのような場合には、曲線３９８は望ましい線形変換可能曲線４００とみなされる。これに対して、離散点(discrete point)４１８または４２６に関連するデータだけが与えられた場合には、方法２１９と装置２００は、経路２２８をたどって離散過渡(discrete transient)オペレーション２３０へ向かい、曲線３９８を曲線４００として表現することになる。つまり、曲線３９８は、指定された経路４２０からの離散点の列（図２）である場合もあれば、曲線４００に適合する曲線３９８を表す入力として与えられた点である場合もある。連続過渡ステップ２２６における連続曲線３９８の性質に応じて、装置は経路２３２をたどって行くことができる。つまり、プロセッサ２０２は連続曲線３９８からの離散サンプリング点４２６（図３参照）に対応するデータを与えることができる。そのあと、装置２００は離散過渡ステップ２３０に従って動作することができる。連続過渡ステップ２２６または離散過渡ステップ２３０が完了したあと、装置はそれぞれの経路２３４，２３６をたどって行き、定常状態(steady state)２４０に従って動作し、曲線３９８の表現を曲線４００とすることができる。不十分な数の離散点４１８に対応するデータだけが与えられた場合には、装置は経路２３８をたどって行き、入力データと出力データの処理を終了する（２４４）。連続過渡状態２２６、離散過渡状態２３０、および定常状態２４０を含むステップの各々において、プロセッサ２０２は入力デバイス２０８から直接に、あるいはメモリ・デバイス２０４から入力信号、例えば、データを取り出す。プロセッサ２０２はこれらの入力を処理して、レンダリング・データ、イメージの作成を制御するために出力デバイス２１０へ送られる信号、またはユーザに感知可能な他の出力信号を作成することができる。プロセッサ２０２が連続過渡２２６モードで動作するときは、入力データが処理されて連続曲線３９８の表現が作成される。プロセッサ２０２が離散過渡２３０モードで動作するときは、入力が操作されて、入力データからの点４１８に適合する曲線４００が作成される。定常状態２４０モードにあるプロセッサ２０２は、線形変換可能表現でキャスト(cast)されていた曲線４００が拡大（編集、拡張、変更）する。以上のように、離散過渡ステップ２３０または連続過渡ステップ２２６から得た曲線４００は線形的に変換することができる。線形変換は、典型例として、従属変数の累乗（非線形項）を含む項の一連の加算で表された曲線４００は、構築変数(building variable)４１４と呼ばれる項の単純な線形代数和にマッピングできるという事実に基づいている。（例えば、図１５と図１６、特に式１４と１８を参照）。線形変換から明らかなように、構築変数４１４の代数和で表された曲線は、各項に対する単純な乗算と加算によって変換することができ、非線形項に戻らなくても、あるいはこれらの非線形項を構築変数４１４の線形代数式にマッピングしなくても、新しい曲線の新しい解を作成することができる。曲線４００は、図１７の式２０，２２，２４に示すように代数的にスケーリングできる項によって表され、これらの項は、ユーザによる直接的入力に応答してリアルタイムで即時に更新されるようになっている。曲線４００のオリジナル表現の項は、変換されて新しい曲線を作成し、非線形項の一連の加算や他の一連の計算により新しい曲線４００全体を再計算または再生成するのではない。このように、曲線４００に含めるべき新しい点を表す入力の追加に応答して、リアルタイムで曲線４００を延長（編集、拡大、変更）することができる項に、曲線４４０をキャストすることができる。以上のように、線形変換可能曲線４００では、プロセッサ２０２は、曲線４００の計算に含めるべき点４１８を直接に指定している入力を読み取ることができる。そのあと、プロセッサ２０２は、入力を処理してレンダリング・データと命令を出力デバイスへ送り、出力デバイス２１０からユーザに表示されるイメージなどのフィードバックが返される。フィードバック（例えば、モニタ上のイメージ）により、訂正、拡大、編集などの追加入力を行って、フィードバックとして返された出力を調整することができる。例えば、ユーザは入力デバイス２０８に関連するポインタを動かして、出力デバイス２１０に関連するモニタのスクリーンから表示された曲線４００の終点を、４３０から４３２に変更することができる。プロセッサ２０２は、ポインタの動きに関連する、その入力データを処理し、出力デバイス２１０を制御するためのレンダリング・データを出力する。出力デバイス２１０は、編集された曲線４００を表す新しいビジュアル・イメージを、出力デバイス２１０の可視スクリーンから表示（レンダリング）する。本発明の方法によると、曲線４００を入力し、作成し、およびレンダリングするプロセス全体（２２６，２３０，２４０）は、ユーザが、曲線４００を指定している所望の経路４２０に沿って、入力デバイス２０８を操作するのに従って、リアルタイムで行うことができる。次に、図５を参照して説明すると、本発明の装置２００に実装されている方法２１９によれば、特に、曲線３９８を表すデータを表している入力を得ることができる（２２０）。曲線３９８を入力するために使用される信号は、連続関数または離散点によってディジタルに表すことができる（例えば、図２と３を参照）。２２０に与えられた入力からの連続曲線３９８に対するテスト２２２からの否定的な結果は、プロセス２１９または方法２１９を離散過渡状態２３０に向けることができる（経路２２８を参照）。そのあと、離散過渡状態２３０は、曲線３９８を表す入力である点４２６が曲線４００に適合する単なる入力であるかのように動作することができる。曲線３９８が連続であれば、テスト２２２からの肯定的な結果が経路２２４によって示され、そこでは、連続過渡２２６のオペレーションまたはステップは、入力曲線３９８を表している曲線４００を作成する。テスト２５０は、まず、連続曲線３９８が望ましい線形変換可能タイプであるかどうかを確かめる。例えば、ツールの方法２１９が三次元ベジェ曲線に基づいている場合は、曲線３９８を三次元ベジェ曲線にする必要がある。同様に、エルミート(Hermite)三次元曲線または他の曲線が、装置２００または方法２１９のプログラムされたルールに従って動作するためには望ましい場合がある。曲線３９８が望ましい線形変換可能タイプでなければ、テスト２５２は、曲線３９８が望ましい線形変換可能タイプにマッピング可能であるかどうかを確かめる。つまり、あるタイプの曲線を別のタイプにマッピングすることは、すでに確立されている種々の方法で行われるが、これらの方法をここで説明するには詳細すぎる。いくつかのマッピング方法では、式の項を置換するだけである。曲線３９８が望ましい線形変換可能タイプにマッピング不能であれば、方法は、例えば、曲線３９８上のいくつかの点４２６を計算することによってサンプリング２５４する。これらの離散点が与えられていると、方法は経路２５６を通って離散過渡状態２３０へ進むことができる。逆に、曲線３９８が望ましい線形変換可能タイプにマッピング可能であれば、マッピング２６０が行われる。以上のようにして、方法は、経路２６２を通って戻り、構築変数４１４の集合を合成２６４する。この合成プロセスを理解するには、以下の例１を参照のこと。特に、図１９〜図２２の式２８と３６を参照のこと。構築変数４１４を合成２６４するために、曲線３９８は最小二乗誤差適合として表されている。最小二乗法によると、累乗の加算である一連の項が得られる（例えば、図１９〜図２２、図示の順になっているすべての式および関連テキストを参照。図１９〜図２２と関連テキストと比較のこと）。これらの加算を評価する代わりに、定積分(defitite integral)が各加算と代替される。この積分は、曲線全体３９８に沿って定積分として積分することができる。以上のように、式の線形系（例えば、図１３の式７を参照）が必要とする加算から求められた係数は、構築変数４１４の代数和を用いて評価することができる（例えば、図１５，図１６の式１５，１６のｑ_aとｒ_aを参照）。他方、構築変数４１４の合成で使用される積分は、式の線形系（例えば、図１３の式７を参照）に等価で、代入可能である項（例えば、図２０，図２１の式７を参照）を作成する。そのあと、式の線形系は制御変数を定義することができ、これにより、適合する線形変可能曲線４００が正しく描かれる（一般的には、例えば、図２０〜図２２の式２７〜３４と式３７〜３９のそれぞれにおけるＱ_aとＲ_aの展開を参照）。構築変数４１４の合成２６４に続いて、方法２１９は、経路２３４をたどって定常状態２４０のオペレーションへ進む。次に、図８を参照して説明すると、離散過渡状態２３０は、曲線４００に適合する必要がある離散点４１８の数に等しくなるように、カウンタをセット２６６することから始める（例えば、図２を参照）。テスト２６８はカウンタを評価して、それが所望の角度の曲線に適合するために必要な点の数より大きいかどうかを確かめる。曲線４００が次数５(degee 5)であれば、退化ケース(degenerate c ase)を得るのではない限り、６個の点が必要になるのが普通である。エルミート三次元、三次元スプライン、または三次元ベジェなどの曲線の場合は、４個の点が必要である。三次元曲線４００の場合は、点４１８の数が４未満であると、曲線４００の退化表現が得られることになる（例えば、図８のステップ２７６，２８４，２８６を参照）。与えられた点４１８の数が十分であれば、つまり、テスト２６８の結果２６９が肯定的であれば、方法２１９は、曲線４００をリアルタイムで拡大するための構築変数４１４を生成することができる。構築変数４１４を生成２７０するために、方法は、曲線４００を描くための制御変数４０１（例えば、図２の制御点４０４，４０６とアンカ点４０２，４０８を参照）の係数（例えば、図１３の式７を参照）を線形代数式の系（例えば、図１５，図１６の式１４，１５と１８，１９を参照）にマッピングすることができる。構築変数４１４を生成したあと、方法２１９は経路２７２を通って定常状態２４０へ進むことができる。カウンタが必要とする点４１８の数以下であれば、方法２１９は、十分な点４１８が追加されて望ましい次数の曲線４００が作成されるまで、退化曲線４００の作成を続ける。例えば、テスト２７４が肯定的であれば、プロセッサ２０２は二次曲線(quadratic curve)を作成（２７６）し、曲線４００を出力デバイス２１０から最終的にレンダリングするためのデータを出力（２８０）する。テスト２７４が負であれば、次の退化ケースがテスト（２８２）される。同様に、カウンタが２だけならば、つまり、点４１８が２つのときは、テスト２８２は曲線４００の退化一次多項式(degenerate first degree polynonial)である、ラインを作成（２８４）を作成するように方法２１９に指示する。テスト２８２からの結果が否定的なときは、方法２１９は次の退化ケースへ進む。なお、退化ケースの数は、曲線４００の三次元適合では３つにすることができるが、別の次数の多項式では異なる数にすることができる。最終的には、すべてのテスト２６８，２７４，２８２の結果が否定的（デフォルト）であると、方法２１９は点曲線４００を作成２８６することになる。次に、すべての退化曲線が出力２８０され、レンダリングされる。プロセッサ２０２によるレンダリング・データの出力２８０は、データを出力デバイス２１０、メモリ・デバイス２０４、または記憶デバイス２１２に渡すことによって行うことができる。一実施例では、プロセッサ２０２は、信号を直接に新しいメモリ２０５Ａに渡し、出力デバイス２１０に読み取らせて、レンダリングさせることが可能になっている。次に、図９と図５を参照して説明すると、定常状態２４０には、連続過渡状態２２６と経路２３４または離散過渡状態２３０と経路２３６を経由して到達することができる。装置２００の定常状態２４０のオペレーションはプロセッサ２０２で集中して行うことができる。まず、構築変数４１４は式の線形系の加算係数にマッピング（３００）される（例えば、図１３，図１５，図１６のそれぞれの式７，１５，１９を参照）。次に、式の線形系は適当な方法によって解が求められる。式の系は、場合によっては非線形になることが許されるが、解の線形変換が効果的であることが図示の例によって判明している。次に、制御変数４０１はレンダリング・データにマッピング３０４される。この場合も、曲線４００を定義する制御変数４０１を表す信号を、出力デバイス２１０から曲線４００のレンダリングを制御するための信号に変換するために使用できる方法には、多数の方法がある。ディジタル・データでは、信号は、グラフィカル・データを表示するようにモニタをドライブするために、すでに確立されているソフトウェア・コードでマッピングすることが可能である。次に、レンダリング・データは出力デバイス２１０へ送られる（３０６）。出力デバイス２１０は、プロセッサ２０２で制御することも、プロセッサ２０２またはメモリ・デバイス２０４からデータを受け取るだけにすることも可能である。次に、装置２００は、プロセッサ２０２などの手段によって、入力デバイス２０８から入力を受け取る。入力には、曲線４００を編集または延長するための新しい点４１８（図２）または拡大点(augment point)４３２（図４）に対応するデータを含めることができる。また、入力には、入力デバイス２０８に関連するポインタの動きに対応するデータを含めることも可能である。例えば、ユーザは１つの点４１８または４３２を指示するだけではなく、点４１８，４３２が曲線４００に追加されることを指示するためにも、マウスまたはスタイラスを使用することができる。テスト３１０は、曲線４００を拡大させるかどうかを、受け取った３０８入力に基づいて判断することができる。肯定的な結果は、新しいデータ点４３２を受け取った３０８入力から抜き出す３１２ことで繰返しを開始する。新しいデータは構築変数４１４を線形変換３１４するために使用されるので、離散過渡状態２３０と連続過渡状態２２６で行っていたように、制御変数を「初めから」再生成しないで済む。本発明の一つの好ましい実施例での、構築変数４１４を線形変換する一実施例は図１７と図１８に示されている。一般的には、線形変換を行うには多数の方法がある。線形変換の特徴は、点４１８または曲線４００に対応するデータから構築変数４１４を再生成しないで済むことである。また、各構築変数４１４は直接に更新できるので、それが作成されたときの構成項のどれにも頼らないで済む。これとは別に、すべての構築変数は、単純な比率、積、加算、または例えば、図１７の式２２と２４で上述したものによって更新することも可能である。例では、αで示した円弧の長さ４１６は、βで示した新しい円弧の長さ４１６に更新され、旧と新の円弧長さの比率は、式１７，式２０に示すように構築変数４１４を更新するために使用されている。線形変換３１４は経路３１６をたどっていくことにより行われる。経路３１６はプロセス２１９を経路２３４に戻し、そこから定常状態に入る。プロセス２１９は繰り返されて、構築変数４１４を式の線形系の加算係数にマッピング３００する（図１３の式１７）。テスト３１０の結果が否定的な結果であるときは、曲線４００はこれ以上拡大または編集する必要はない。従って、制御変数４０１は代表例としてメモリ・デバイス２０４または記憶デバイス２１２に格納３１８される。しかし、別の実施例では、構築変数４１４をセーブすることが可能である。しかし、方法２１９では、曲線の作成とレンダリングの始まりで一度だけ、連続過渡状態２２６または離散過渡状態２３０のもっと広範な処理が必要である。そのために、制御変数４０１に必要な記憶量はそれだけ少なくなる。さらに、遺産的アートの非常に多くは制御変数４０１を格納するので、そのように格納すると、単純化され、必要記憶量を削減することができる。次に、図１０を参照して説明すると、レンダリング・データの出力２８０（図８も参照）には、データ・ファイルを更新３２０する種々の手段を含めることが可能である。同様に、定常状態２４０のオペレーション（図９参照）期間のレンダリング・データの送信３０６には、データ・ファイルの更新３２０を含めることが可能である。一つの好ましい実施例では、例えば、新メモリ２０５Ａ、旧メモリ２０５Ｂ、汎用メモリ２０５Ｃ、およびイベント・キュー２０５Ｄは分割するか、あるいは他の方法でメモリ・デバイス２０４に用意することが可能になっている。更新には、曲線４００のレンダリング・データを新メモリ２０４に格納３２２することを含めることができる。そうすれば、プロセッサ２０２または出力デバイス２１０の同等機能は、曲線４００の格納された旧データに関連するイメージを出力デバイス２１０からアンレンダリングする命令を、出力デバイスに対して作成３２６することができる。これに続いて、曲線４００の格納された新データに関連するイメージを、出力デバイス２１０にレンダリングする命令が作成３２６される。最後に、新メモリ２０５Ａの内容は旧メモリ２０５Ｂにコピー３２８される。旧メモリの内容は、例えば、出力デバイス２１０に関連するモニタ・スクリーン上の曲線４００のイメージをリフレッシュするために使用することができる。他の手段を使用することもできるが、更新３２０に関して説明してきたステップによると、旧データに関連するイメージをアンレンダリングしてから、曲線４００の新データに関連するイメージをレンダリングするまでの遅延が最小限になる。次に、図１１を参照して説明すると、構築変数４１４の線形変換（図９も参照）には、円弧長さ４１６の新しい値に近似３３０するステップを含めることが可能である（例えば、図１７の式２０を参照）。他の構築変数４１４の新しい値の評価３３２，３３４（例えば、図１７の式２２，２４を参照）は任意の順序で続けることができる。係数（例えば、図１８の式２５を参照）は、構築変数４１４が式の線形系の係数（例えば、式７を参照）に代入されると評価３３６，３３８される。そのあと、係数の値は出力３４０され、式のシステムを解いて制御変数４０１の新しい値を得ることができる。本発明に従っている一実施例では、円弧長さ４１６の近似３３０は弦(chord) ４２５を使用して行うことができる（例えば、図３、図１７の式２０を参照）。この例では、定数ｑ_aまたはＱ_aを与え３３２、前述したように、曲線が生成されたものか、合成されたものかに応じてｒ_aまたはＲ_aを評価３３４することができる。ｔとｕの項の和はＳＴＵ係数４３６と呼ぶことにし、ｐ_i，ｔおよびｕの項の加算はＳＰＴＵ係数４３８と呼ぶことにする。従って、ＳＴＵ係数４３６を評価３３６すると、新しいｑ_aまたはＱ_aを求めることができ、ＳＰＴＵ係数４３８を評価３３８すると、生成または合成された曲線４００の新しいｒ_aまたはＲ_aを求めることができる。新しいＳＴＵまたはＳＰＴＵ係数４３６，４３８のそれぞれの出力は、制御変数４０１を唯一の未知としてもつ新しいベクトル・マトリックス式（例えば、式７）を作成するために使用される。次に、図６を参照して説明すると、出力デバイス２１０は種々の市販デバイスから選択することができる。同様に、出力デバイス２１０を制御するには、多くの方法がある。一実施例では、出力デバイス２１０による曲線４００のレンダリングは、プロセッサ２０２の出力２８０または３０６に対する応答になっている。レンダリングには、レンダリング・データを受け取り３５４、レンダリング・データを出力信号に変換３５４し、出力信号を表示３５６することを含めることが可能である。例えば、レンダリング・データは、出力デバイスがバス２０６をポーリングすることによって受信することも、プロセッサ２０２からの直接の送信によって受信することも可能であり、あるいはプロセッサ２０２が出力デバイス２１０を直接に制御することも可能である。レンダリング・データの変換３５４には、数値データを陰極線管（ＣＲＴ）または他のディスプレイで信号に変換することを含めることができるが、圧力やイメージの可視光の強さを含む、どのタイプの検出可能信号を含めることも可能である。同様に、ディスプレイはフィードバックを目的に受信して、曲線４００を必要時にまたは要求時に拡大できるようにする信号ならば、どのタイプの信号にすることもできる。例１曲線の表現は種々タイプのものが存在するが、ベジェ曲線がポピュラな表現タイプの１つである。ベジェ曲線（単にベジェと呼ぶ場合もある）に関して説明していることは、多種多様なタイプの曲線にも適用可能である。しかし、本発明の一実施例では、ベジェ曲線が使用されている。従って、本明細書でベジェ曲線と言及されている場合は、概念化された方法と装置で曲線を作成するときの具体例として示したものである。同様に、曲線と言及されている場合は、具体例としてのベジェに適用されるものである。：ＰＤＢ）に基礎を置くことが可能である。本発明は適当な経路定義曲線(Path- Defind Curve：ＰＤＣ)を使用することも可能である。本発明の方法は、ＰＤＢが具体例として示されているが、多くのＰＤＣにも応用可能である。図２〜図４を参照して説明すると、本発明に従って実現される方法と装置は、２次元の非有理三次元ベジェ・セグメント(two dimensional，non-rational，ンカ点４０２，４０８（Ａ₀とＡ₁）はそれぞれ曲線４００の始点４１０と終点４１２に一致するように選択することができ、２つの制御点４０４，４０６（Ｃ₀ とＣ₁）は終点４１０，４１２間の形状を支配する。構築変数４１４の集合は、曲線４００の円弧長さα４１６およびｑ_aとｒ_aも含めて作成される（図１５の式１４と図１６の式１８を参照）。構築変数４１４は一連のＰ_i，ｔおよびｕのパワーに取って代わる代数和である（図１５の式１５と図１６の式１９を参照）。加算項は作成と編集のとき曲線４００を調整するために使用され、曲線４００を再計算する必要がないのでリアルタイムでの更新が容易化される。最小二乗誤差手法を用いる１つの目標は、曲線のイメージを作成し、それをユーザに提示し、ユーザ指定の経路４２０を円滑化し、近似化することである。例えば、図２の曲線４００は、点Ａ₀とＡ₁、つまり、アンカ点４０２，４０８およびＣ₀とＣ₁、つまり、制御点４０４，４０６を含む「制御変数(control variabl es)」４０１の関係を示したものである。ここでの太字は配列された数の集合（例えば、ペア、トリプル）をもち、各々の数がベクトルの１次元における変数の値に対応しているベクトル量を示している。本発明の方法と装置によれば、ユーザが指定した経路上の点４１８に基づいて制御変数４０１（それぞれＡ₀，Ｃ₀，Ｃ₁，Ａ₁，４０２，４０４，４０６，４０８）を定義することができる。図２と図１２に示すように、曲線４００はｔにおける３次元（立方）パラメトリック曲線(third degree（cubic）parameter curcve)、Bez(t)＝ｕ³Ａ₀＋３ｔｕ²Ｃ₀＋３ｔ²ｕＣ₁＋ｔ３Ａ₁で表すことができる。ただし、ｕ＝（１−ｔ）であり、パラメータｔはＡ₀でｔ＝０、Ａ₁でｔ＝１のように変化する（図１２の式１を参照）。曲線４００の円弧長さα４１６の区分線形近似(piecewise linear approximat ion)は、点Ｐ₁，Ｐ₂など４２６間の弦４２５の長さ４２２から得ることができる。従って、結果の曲線４００の円弧長さα４１６の線形近似は、各ペアの隣接点４２６間の距離の和である（図１２の式２参照）。この弦長４２２の和から、ノット・ベクトル(knot vector) kvは各部分弦長を正規化することにより作ることができる。各部分弦長は、最初のカーソル・ロケーションから問題のロケーションまでの点４２６（例えば、Ａ₀から問題の点４２６まで）間のすべての先行区分線形距離４２２の和である（例えば、Ａ₀から問題の点４２６まで。図１２の式３を参照）。各部分弦長は最後の部分弦長によって分割される。つまり、最後の部分弦長は最初のカーソル・ロケーションから最後のロケーションまで（例えば、Ａ₀からＡ₁まで）のすべての弦長４２２の合計である。部分弦長と最後の部分弦長とのこれらの比率はノット・ベクトルの各項 kv_iを定義している。三次元ベジェのアンカ点（Ａ₀，Ａ₁）４０２，４０８および制御点（Ｃ₀，Ｃ₁ ）４０４，４０６は、ユーザ指定の経路４２０における適合する曲線と入力点４１８の各々間の誤差から決定することができる。この誤差は、点４１８と曲線４００上の対応するロケーション間の距離４２８、特にユークリッド距離で表すことができる。ベクトルの場合は、ユークリッド距離は入力点Ｐ_iおよび計算されたベジェ曲線４００上のｔ_iにおける対応する点間の各次元における成分または構成ベクトルの長さ（図１３の式４を参照）に対応している。なお、ｔ_i＝kv_iである（図１３の式９参照）。近似曲線４００とユーザ入力で定義された点Ｐ_i４１８間の二乗誤差の和については、図１２の式４を参照のこと。次に、図１２〜図２２、特に図１２〜図１６を参照して説明すると、最小二乗法は最小二乗誤差を求めるために呼び出すことができる。部分微分(partial der inative)（図１３の式４の誤差表現の変化率）は変数の各々に対して行うことができ、最小誤差のロケーションはゼロにセットすることにより示すことができる（例えば、図１３の式５と６を参照）。その結果の式の系（図１３の式１７）の解を求めると、制御変数４０１（例えば、４０２，４０４，４０６，４０８）が得られる。従属変数は２つのアンカ点４０２，４０８（Ａ₀，Ａ₁）および２つの制御点４０４，４０６（Ｃ₀，Ｃ₁）になるように選択すると、４個の未知ベクトルをもつ４個の線形ベクトル式の系が得られる。しかし、本発明による方法は、点Ａ₀とＡ₁を定義するためにユーザによって指定された入力（例えば、点ｐ_i４１８）を使用することを目的としているので、自由度が２つのベクトルに減少されている。つまり、本発明の方法によれば、Ａ₀とＡ₁がユーザによってスケッチされた経路４２０上に実際に存在する点であることが必要があるので、適合する曲線４００のアンカ（エンド）４０２，４０８点Ａ₀とＡ₁がユーザ指定の経路４２０の開始ロケーションと終了ロケーションと一致するように、実効的に制約またはクランプしている。これらの２変数が既知であるときは、式システムは、図１３の式７にマトリックス形式で示しているように、２つの未知ベクトル（Ｃ₀とＣ₁）をもつ２つの線形ベクトル式に減少することができる。線形式システムの解を求めるいくつかの手法のどれを用いても、Ｃ₀とＣ₁の値を求めることができる。実用的には、クラマーの法則(Cramer's Rule)によると、十分に正確な結果が得られることが分かっている。従って、曲線Ａ₀，Ｃ₀，Ｃ₁ およびＡ₁を定義するために必要な４つの点４０２，４０６，４０８，４０４は、ユーザによって指定された経路４２０に沿ってサンプリングされた点Ｐ_i４１８から既知である。一般的には曲線４００、具体的にはベジェ曲線は、ある種の入力データの集合を通してユーザによって指定された経路４２０からサンプリングされた最初のｎ個の点４１８に適合することができる。本発明の方法と装置は、以前に定義された曲線４００を効率的に拡大（例えば、編集、延長など）するために使用できる。例えば、ユーザが図４に示すように、経路４２０内のｎ＋１番目の点４３２をもつ曲線４００を延長したいときは、１つの方法は、上述したプロセスをｎ＋１点４１８について繰り返すことである。しかし、意味のあるフィードバックをユーザに与えるためには、各点Ｐ_n-1４３２が追加されるたびに、ユーザに感知可能な曲線４００を出力デバイス２１０上で再レンダリングすることが必要である。更新された制御変数４０１Ａ₀，Ｃ₀ ，Ｃ₁，Ａ₁とその結果の曲線４００の再レンダリングされた表現を最も有用なものにするには、即時に計算する必要がある。ユーザへのフィードバックは「瞬時 (instant)」であることが必要である。ここで「瞬時」または「リアルタイム」とは、ユーザが別の点を指定するに必要な時間よりも短時間であることを意味する。あるいはまた、リアルタイムという用語は、ユーザの目や他の五感の知覚で曲線の変化を検出する時間よりも短時間であることを意味するために使用される場合もある。単純な再計算手法でも、各点が追加されるたびに長い時間を要する。曲線４００が長くなると、曲線を初期定義するために使用される手法はユーザが「対話型」と考えるには遅すぎることがある。この方法を実行するようにプログラムされたプロセッサ２０２は、応答をリアルタイムで返却できないことがある。この方法によると、例えば、曲線４００をスケッチしているユーザにタイムリにフィードバックするために必要とされる、対話による動きの流れが得られないことがある。しかるに、本発明による方法によれば、増分的曲線適合(incremental curve f itting)を一定時間で行うことができる。つまり、例えば、ｎ＋２２番目の点で曲線を拡大するとき必要になる時間は、ｎ＋２番目のまたはｎ＋１番目の点４３２の場合に必要になる時間よりも多くない。また、曲線４００がいったん作成されたあとでは、曲線４００はｎがどの値をとるかに関係なく、新しいｎ＋１番目の点を受け入れると同じ時間量で再作成し、再レンダリングすることができる。上述した適合法の計算負担の大部分は、加算ＳＴＵ４３６とＳＰＴＵ４３８係数の計算に起因している。ただしＳＴＵ４３６は図１４の式１２のｔとｕ項の加算であり、ＳＰＴＵ４３８は図１６の式１６のＰ，ｔおよびｕ項の加算である。ｎ＋１点の場合のこれらの加算４３６，４３８は、ｎ点４１８の曲線４００を求めるとき使用されるｎ点のそれとほぼ同一である。主な違いは、ｔとｕ値が異なる円弧長さα４１６でスケーリングされることである。前記加算４３６，４３８の値をスケーリングするだけであるので、最初の方法を再度用いてこれらを再計算する必要がない。その正味結果として、このように線形的に「スケーリング」できる曲線４００ならば、一定時間法を用いて増分的に曲線を更新することができる。具体的には、三次元ベジェ曲線の例はこのように操作される。ｎ＋１番目の点を追加すると、「構築変数」４１４と呼ばれる中間変数が計算されて、曲線が定義される。適当な構築変数４１４の集合に円弧長さ４１６（α，β）を含めることが可能であり、これは曲線に沿った離散点４１８Ｐ_i間に弦長を追加することにより十分な精度で計算される。また、構築変数４１４ｑ_a（図１５の式１４）とｒ_a（図１６の式１８）は、加算項４３６，４３８（図１５、式７のＡ₀，Ｃ₀，Ｃ₁，Ａ₁の係数）をｒ_aとｑ_aの線形式（図１５の式１５と図１６の式５を参照）にマッピングするように定義することができる。つまり、図１２のノット・ベクトル kv は円弧長さα４１６によって正規化される（図１４の式９を参照）。ただし、ｔとｕは、図１４の式８〜１０では点４１８間の正規化されたユークリッド距離ｓと定義されている。なお、式１３の展開は、式１２の加算項４３６，４３８がｑ_aにおける線形式１５としてどのように再キャストされるかの例である。そこでは、ｑ_aは式１４で定義されている。ｔ、ｕおよびＰが関係する加算項に同じように代入すると、ｒ_aにおける式１９が得られる（例えば、式１６〜１７参照。そこではｒ_aは式１８で定義されている）。以上のように、曲線４００の表現は構築変数４１４ｑ_aとｒ_aで線形になるように変換することができ、これは曲線を円弧長さαで正規化することにより直接に得られる。従って、ベジェなどの曲線４００が点４１８の集合に適合されるか、さもなければ、その制御変数４０１Ａ₀，Ｃ₀，Ｃ₁，Ａ₁（それぞれ４０２，４０４，４０６，４０８）によって定義されると、構築変数４１４ｑ_a，ｒ_aの集合を定義することができる。これらの構築変数４１４ｑ_a，ｒ_aに基づいて、新しい線形代数式１５，１９を非線形パラメトリック式（ｔとｕにおける図１４の式１２、図１６の式１６）に代入することができる。以上のように、マトリックス式７の係数はｑ_aとｒ_aにおける単純な線形代数式になっている。構築変数４１４ｑ_a，ｒ_a、αを更新すると、ｎ＋１番目の点４３２をｎ点４１８の集合に追加することによって生じた変化を反映するように曲線４００を変換することができる。更新された構築変数４１５を使用すると、式７の加算項４３６，４３８を再定義して、式１４，１８で定義されたｑ_aとｒ_aの式１５，１９で使用することができる。そのあと、マトリックス式７の解を求めると、ベジェ曲線などの新しい最小二乗誤差適合曲線が再計算される。つまり、図１７に示すように、構築変数４１５ｑ′_a（式２２）とｒ′_a（式２４）は実際には、それぞれｑ_a（図１４）とｒ_a（図１８）を線形変換したものであり、長時間を消費して再計算したものではない。式２２と２４に定義されている、新しい「更新」構築変数４１５ｑ′_aとｒ′_aはそれぞれｑ_aとｒ_aの式１５と１９に直接に代入して、式７の係数を定義することができる。なお、式２０のβはｎ＋１点のときの新しい円弧長さ（例えば、ｎ点のときの式２のαを参照）を表している。αをβに更新することは、図４のｎ番目の点４３０である旧Ａ₁からの弦セグメントの円弧長さαに、ｎ＋１番目の点４３２である新Ａ₁を加えることによって行われる。ｑ_aとｒ_aをｑ′_aとｒ′_aに線形変換することは、それぞれ式２１，２２と式２３，２４に示されている。ｑ′_aとｒ′_aを項とする式７の係数の線形代数式は式２５に示されている。なお、更新構築変数４１５ｑ′_aとｒ′_aにおける式２５は元の構築変数４１５ｑ_aとｒ_aにおける式１５と同じ形式になっている。一般的に、このような加算係数の線形変化の対象となる、どの適合した曲線の場合も、具体的には、ベジェ曲線の場合は、曲線は構築変数４１４を元の加算から再計算しなくても、増分的に延長、拡大、編集などを行うことができる。式２５の増分的に作られた加算項に基づいて、マトリックス式７の新しい解から得られた新曲線は、ｎ点４１８の元の適合に関して上述した方法に従ってすべてのｎ＋１点４１８を再適合すると得られるものと同じである。図１７と図１８の式２０〜２５に記載されている拡大の方法では、構築変数４１４ｑ_a，ｒ_aとαは経路指定（曲線ドローイング）プロセスの全期間保存されている。経路４２０、曲線４００、またはベジェ曲線が完全に指定されたあとでは、構築変数４１４をメモリ・デバイス２０４または記憶デバイス２１２に残しておく必要はない。ほとんどどの曲線も立方ベジェ曲線セグメントの列で表すことが可能である。いったん定義されたあとは、どのベジェ曲線も、従来のベジェ曲線とまったく同じように、格納された制御変数４０１Ａ₀，Ｃ₀，Ｃ₁，Ａ₁（それぞれ４０２，４０４，４０６，４０８）からいつでも再構築することが可能である。これは曲線４００のタイプとは無関係に行うことができる。しかし、ユーザがあとで、曲線４００（または、以前にドローイングした他の曲線）をさらに延長することを決めた場合は、構築変数４１４がなくても、リアルタイムで拡大（例えば、編集、延長）することの妨げとはならない。最小二乗誤差適合プロセスの加算項は有限列の離散ロケーション点Ｐ_i４１８に基づいている。基本ベジェ曲線だけが存在するときは、その曲線が作られたときの構築変数４１４も点Ｐ_i４１８の列も残っていない。構築変数４１４を再生成する１つの方法は曲線４００をサンプリングして、点Ｐ_i４１８の列を得ることである。構築変数４１４は上述した方法で作ることが可能である。しかるに、本発明による方法と装置は加算（係数）ＳＴＵ４３６とＳＰＴＵ４３８ではなく、積分を使用することを目的としている。積分を積分することは離散的にではなく、連続的にサンプリングするのと同じである。本発明の方法はｑ_a とｒ_a構築変数４１４の合成を目的としているので、本発明の利点を利用すると、本発明とは無関係のシステム、方法および装置で作成された曲線４００の操作、拡大、および編集が容易化される。図３に示すように、曲線４００の円弧長さ４１６を求める１つの方法は、曲線４００上の連続する点４２６間の無限小の長さ４２７の弦４２５の長さを積分することである（例えば、図１９の式２６を参照）。この積分に対する閉形式（cl osed form）の解は分かっていない。サンプリングした点４２６間の弦４２５の長さの加算を使用して円弧長さの近似を得るためには、十分な精度を得るために曲線４００を計算するためのロケーションがどこにあり、いくつであるかが分かっている必要がある。円弧長さα４１６に近似するために、本発明の方法と装置が意図している１つの解決手法では、凸体の開部分である、再帰的に細分割された殻の区分長さが使用されている。この凸殻の方法は図２７と２８に示されているが、以下で説明する。この方法では、曲線の周囲に包絡線が作成され、弦の中間点間の弦はその全体形状が曲線の形状に近似し、その結合長さが曲線の長さに近似している「殻(s hell)」を形成している。再帰的プロセスは殻を曲線の局所形状に自動的に適合させ、より大きな曲率の領域で自動的にさらに細分割する。この方法によると、所望の精度が指定でき、円弧長さの近似計算は所望の精度が得られた時点で中止することができる。実際には、ｑ_aは、式２７（式９を式１４に代入）に示すようにｔ^a項の加算である。ｎ個の離散ｔ値のパワーを含んでいる項を加算する問題は、ｔのパラメトリック変化のドメイン全体である、範囲［０，１］にわたるｔの累乗の各々の連続定積分として正確に表すことができる。つまり、ｔの値はこの範囲に正規化されるのに対し、ｓの値は曲線の実際の長さ４１６によってスケーリングされる。離散問題を定積分の連続積分に変換することの別の利点は、Ｑ_aの値が定数であるので、反復的計算を不要とすることである。図２０の式２９〜３４に示すように、各Ｑ_aは単純な分数になっている。同様に、図２１の式３５に示すように、式３５は式９を式１８に代入することによって、ｒ_aをＰｔ^aの加算に等しくしている。これらの離散的加算も、式３６に示すように範囲［０，１］にわたる関数に対して評価された連続定積分に変換することが可能である。Ｂez(t)は、曲線４００が図２において近似することができる経路４２０からの有限数の離散Ｐロケーションまたは点４１８ではなく、既存の連続曲線４００からの無限数の点４２６（図３）の値を表している。式３６からは、既存の曲線４００のアンカ点（Ａ₀，Ａ₁）４０２，４０８および制御点（Ｃ₀，Ｃ₁）４０４，４０６の関数である制御変数４１０の単純代数式が得られる（図２２の式３７〜３９を参照）。定数Ｑ_aと簡単に計算で求められるＲ_aの値は旧Ａ₀，Ｃ₀，Ｃ₁およびＡ₁（それぞれ４０２，４０４，４０６，４０８）を項として定義されている。Ｑ_aとｋ_aはそれぞれｑ_aとｒ_aの代わりに式１５，１９（図１５，図１６）の中で直接に使用して、加算項ＳＴＵ４３４とＳＰＴＵ４３６を計算して図１３のマトリックス式７の解を求めることができる。式７の解を求めると、Ｃ₀とＣ₁の新しい値を得ることができる。ただし、Ａ₀ は元のＡ₀であり、Ａ₁は曲線４００がそこまで延長されている新しい終点４３２である。例２図２４を参照して説明すると、曲線４００の定義には、例えば、制御点Ｃ₀４０４とＣ₁４０６を使用することができる。この定義はこれらの制御点４０４，４０６の配置に接線拘束(tangency constaint)を課すことができる。これらの制御点４０４，４０６の配置に接線拘束を課すと、セグメント接合点での連続性を保証することができる。これを図形で示したのが図２４である。ここでは、Ｃ₀は接線ベクトルＴＶ_r上に位置するように拘束されており、Ｃ₁ は接線ベクトルＴＶ_s上に位置するように拘束されている。ＴＶ_rとＴＶ_sはユニット・ベクトルにすることができる（例えば、図２５の式４０〜４１を参照）。図２５において、式４２は曲線を定義しており、そこでは式４０〜４１が図１２の式１に代入されている。図２６の式４６は２つの未知変数における線形スカラ式の系を表し、そこでは図２５の式４３は二乗誤差の合計を表している。つまり、式４２は図１３の式４に代入されている。しかし、この場合には、部分微分が式４４と４５のｒとｓに対してとられる。式４６はクラマーの規則(Cramer's Rule)に従ってｒとｓの解を求め、これはＣ₀とＣ₁を計算するために使用できる（図２５の式４０，４１を参照）。この場合も、Ａ₀とＡ₁は、ユーザが指定した経路４２０上の点の列４１８の最初の点４１０と最後の点４１２となるように選択することができる。従って、式システムで表すことができる多くの曲線４００は、式の系が線形的に変換可能であれば、本発明の方法と装置に従って出力デバイス２１０からリアルタイムでレンダリングするために直接的にかつ対話型で使用することができる。従って、他のタイプの曲線４００を使用することも可能であり、制御変数４０１は例のものとはまったく異なるものにすることができる。数学関数を適当に選択することにより、ユーザはある種の制御変数４０１と共に、あるタイプの曲線４００を選択することができる。また、ユーザは構築変数４１４を選択して線形式系を作成することもでき、その場合には、構築変数４１４は単純な線形変換によって更新することができる。例は、出力デバイス２１０での曲線４００のレンダリングを更新するために入力デバイス２０８、プロセッサ２０２、および出力デバイス２１０に必要な時間を減少する目的でそのように行う方法を示している。従って、本発明による方法と装置を使用すると、ユーザは曲線を直接的にかつ対話型でリアルタイムで作成し、編集することができる。例３図２７を参照して説明すると、円弧長さの高速近似化のための方法は本発明によって開発され、実現されたものである。この方法は凸包(convex shell)を分析的に表現する再帰的公式に基礎を置いて曲線６００に近似するようにしている。制御点６０２，６０４，６０６および６０８は、曲線４００について前述したように、曲線６００に対応する制御変数４０１に対応させることができる。殻(she ll)６０１は、制御点６０２，６０４，６０６および６０８間にわたっている辺( leg)６１０，６１２および６１４を含んでいる。曲線６００の円弧長さ（図２を参照）の第１近似は、それぞれ、辺６１０，６１２および６１４の長さ６１６，６１８および６２０を総和することによって殻６０１の区分長さを計算することにより求められる。ド・カーステルジオ法(de Casteljau method)を適用して、曲線６００およびその対応する殻６０１は細分割される。辺(leg)６１０，６１２，６１４の中間点６２２，６２４，６２６は、それぞれ、分析的に求められる。中間点６３２と６３４は、それぞれ、中間点６２２，６２４および６２４，６２６間に張られている織(web)６２８と６３０について求められる。中間点６３８は中間点６３２と６３４間に張られている織６３６について求められる。この細分割の結果として、図２８に別々に示すように、２つの新殻６３５Ａ，６３５Ｂが作られる。細分割の結果として得られた論理的左側殻６３５Ａは、制御点６０２，６２２，６３２および６３８間に延びている辺６５２，６５４，６５６を含んでいる。細分割の結果として得られた論理的右側殻６３５Ｂは制御点６３８，６３４，６２６および６０８間に延びている辺６５８，６６０，６６２を含んでいる。曲線６００の円弧長さの第２近似は細分割の結果得られた２つの殻６３５Ａ，６３５Ｂの各々の区分長さを加算することによって求められる。論理的左側殻６３５Ａの区分長さは、それぞれ、辺６５２，６５４，６５６の長さ６４０，６４２，６４４を加算することによって求められる。論理的右側殻６３５Ｂの区分長さは、それぞれ、辺６５８，６６０，６６２の長さ６４６，６４８，６５０を加算することによって求められる。論理的左側殻６３５Ａ，６３５Ｂの辺６４６，６４８，６５０，６５８，６６０，６６２の区分長さをそれぞれ加算すると、曲線６００の円弧長さの第２近似が得られる。以上のように、殻６０１について説明した方法は、必要時に殻６３５Ａと６３５Ｂについて繰り返される。論理的左側殻６３５Ｂについては、点６０２，６２２，６３２および６３８は点６０２，６０４，６０６および６０８に対応し、他方、点６６４，６６６および６６８はそれぞれ点６２２，６２４および６２６に対応している。点６８４と６８６は点６３２と６３４に対応している。点６９６は点６３８に対応している。同様に、辺６５２，６５４および６３６は辺６１０，６１２および６１４に対応し、そこでは、長さ７００，７０２，７０４，７０６，７０８および７１０はそれぞれ長さ６４０，６４２，６４４，６４６，６４８および６５０に対応している。織６７６，６７８および６９２はそれぞれ６２８，６３０および６３６に対応している。論理的右側殻６３５Ｂについても、殻６０１について上述した方法が繰り返される。従って、点６３８，６３４，６２６および６０８は点６０２，６０４，６０６および６０８に対応し、他方、点６７０，６７２および６７４はそれぞれ点６２２，６２４および６２６に対応している。点６８８と６９０は点６３２と６３４に対応している。点６９８は点６３８に対応している。同様に、辺６５８，６６０および６６２は辺６１０，６１２および６１４に対応しており、そこでは、長さ７１２，７１４，７１６，７１８，７２０および７２４は、それぞれ長さ６４０，６４２，６４４，６４６，６４８および６５０に対応している。織６８０，６８２および６９４は、それぞれ６２８，６３０および６３６に対応している。以上から明らかのように、曲線６００の円弧長さの第２近似は、一般に、曲線６００の円弧長さの第１近似よりも小さくなっている（大になることはない）。これらの２つの近似から、相対誤差項は第１近似と第２近似の差を第２近似で除することにより計算される。この相対誤差項の絶対値が、ある種のあらかじめ決められた基準に合うだけ十分に小さければ、第２近似は曲線６００の円弧長さに十分に近似しているものとみなすことができる。相対誤差項があらかじめ決められた基準を超えているときは、この方法は、２つの論理的曲線および以前のステップでド・カステルジオ細分割の結果得られた対応する殻６３５Ａ，６３５Ｂの各々について再帰的方法で繰り返される。点６０２，６２２，６３２および６３８は論理的左側殻６３５Ａの制御変数４０１となり、点６３８，６３４，６２６および６０８は論理的右側殻６３５Ｂの制御変数４０１となる。以上から明らかなように、曲線６００の円弧長さは殻６０１の辺の区分長さ、殻６３５Ａ，６３５Ｂの辺の区分長さの和、または以上のように定義された後続殻の和よりも常に小さくなっている。以上のように、再帰は精度基準に一致するまで続けられる。あらかじめ決められた基準は精度基準であり、これは、任意の殻６０１，６３５Ａ，６３５Ｂ、以下後続の殻に対する円弧長４１６の連続する近似間の正規化された差が前記精度基準以下か、等しいとき満足される。結論図２３を参照して説明すると、対話型曲線ドローイング・ツールは、以下で説明されているように、また例１で説明したように本発明に従って実現されたものである。一実施例における装置５００は、入力デバイス５０２、出力デバイス５０４、メモリ・デバイス５０６、記憶デバイス５０８、およびプロセッサ５１０を備えている。入出力デバイス５０２はマウス５１４をポインタとして含んでいる。出力デバイス５０４はイメージを表示するモニタ５１６を含み、そこにはマウス５１４の相対的位置を示すカーソル５１８が含まれている。プロセッサ５１０とメモリ・デバイス５０６はアップル・マッキントシュ・コンピュータに実装されている。プロセッサ５１０は、加算項の計算精度を保つために浮動小数点ユニット（ＦＰＵ）を備えた３３メガヘルツ(MHz)MC68040プロセッサを装備している。また、プロセッサ５１０は上述した方法の実行可能弦を'C'プログラミング言語で実行するようにプログラムされている。この実施例によれば、各曲線４００はアンレンダリングされ、連続する、拡大され増分的に計算された曲線４００をレンダリングする。新しいレンダリングはメモリ・デバイス５０６内のイベント・キュー５２２から読み取られた点の各新ロケーションＰ_n+1４３２に基づいている。イベント・キュー５２２には、システム・イベント・キュー５２２で受け取ったときのマウス５１４の位置に対応するデータ点Ｐ_i４１８が格納されている。この装置５００の応答はユーザが感知できる範囲においてほとんど瞬時になっている。ベジェ曲線を出力デバイスから実際にレンダリングするために出力デバイスとプロセッサに必要な時間は、パフォーマンスの制約要因となるものと判断されている。この方法の実施例は、25MHz MC68030 CPUをプロセッサ５１０として実装しているコンピュータで実行される。応答は認識できるほどに遅いが、それでも、大部分の実用目的上は、更新された曲線４００をリアルタイムでレンダリングするには十分に高速になっている。つまり、処理遅延は目でも分かるが、ユーザが入力デバイス５０２のマウス５１４を動かしたときの入力に応答して、出力デバイス５０４（モニタ５１６）からのフィードバックの対話の流れを妨げるほどには遅くない。ハードウェアの浮動小数点コプロセッサの依存性をテストするために、この方法は浮動小数点計算ルーチンのソフトウェア・ライブラリである、ＳＡＮＥ (Standard Apple Numerics Environment)を使用するようにコンパイルされた弦を採用して、プロセッサ５１０に実装されている。この実施例における方法は、 Motorola MC68020プロセッサをプロセッサ５１０として使用したときでも、非常に満足な応答が得られるようになっている。装置５００でプログラムされ、本発明に従って実現されているツールによると、広範囲にわたる市販プロセッサ５１０を使用して、編集とフィードバックを含むリアルタイム・パフォーマンスをリアルタイムで達成することができる。また、実行速度が低速であるクラスに属する、種々の現存プロセッサ５１０を使用しても、非常に有用な応答時間が得られる。本発明の方法と装置のプロトタイプを実現して実証されたことは、上記の機能性が中規模から平均規模までのデスクトップ・コンピュータで実現できることである。ポピュラなドローイング・プログラムに組み入れるのに適した曲線ドローイング・ツールは、シングル・セグメントおよびマルチ・セグメントの実施例にＰＤＣ、具体的には、ＰＤＢドローイング・ツールを組み入れると、大幅に機能が強化される。この方法の意図は、曲線４００の黙示的（自動）および明示的（ユーザ制御による）セグメンテーションに適用されることである。また、この方法は、既存曲線４００の内部部分を編集する編集ツールに適用することも可能である。例えば、曲線上の内部点Ｐ_i４２６は、それぞれ、点４２６の両側にある曲線４００の２部分の各々の新しい終点Ａ₀またはＡ₁となることができる。また、既存曲線の任意の内側部分を、本発明の方法と装置に従って再定義することも可能である。曲線４００は、幅広く変化する多数の現象、例えば、データの近似、表面のエッジ、誘導ミサイルの軌跡、義足の歩行性能、プレスや他の製造マシンの複雑な動きを表現するために使用することができ、また、空間の次元、温度、圧力、その他の物理的特性における多数のパラメータの経路を制御することができる。また曲線４００はドローイングでも使用できる。この例のＰＤＢは曲線の特殊例にすぎない。一般的にはＰＤＣ、具体的にはＰＤＢを使用すると、ユーザ・インタフェースが容易化される。容易化される理由の１つは、この方法によると、曲線４００をユーザがリアルタイムで、直接的にかつ対話型で指定できるからである。この方法によると、曲線４００をリアルタイムで増分的に変更（拡大または延長とも呼ばれる）することができる。フィードバックは、モニタのスクリーンからあるいは適切な感知可能媒体によって表示される曲線として、目に見える形で行われる。例えば、アーチストやドラフトマンに対するビジュアル・フィードバックに適用できるものは適当なフィードバック・プロセスにも応用可能である。例えば、フィードバックは感知可能（知覚可能）な刺激を通してユーザに感知させることができる。従って、曲線４００はあるプロセスを表すように作成すると、パラメータ（例えば、熱の流れ、温度、圧力、力、空間を通る動き、時間的または空間的応力を表す値）を曲線で変化させることができる。同様に、これらのパラメータの値のフィードバックは視覚、音、感触、または五感で知覚可能なモードでユーザに伝えることが可能である。以上のように、本発明の方法と装置を使用すると、曲線４００の作成、変更、または編集が効率化され、作成者の期待に添うように直接的に、対話型で、リアルタイムで行うことができる。ほとんどその発生源に関係なく、曲線は、例えば、ベジェ曲線で表すことができる。ベジェ曲線はユーザ制御のカーソルでマークした特定点４１８の「最小二乗」曲線適合を使用して生成することができる。本発明による方法と装置を使用すると、既存の曲線からの経路定義曲線を合成したり、既存のベジェ曲線からの経路定義ベジェ曲線を合成したりできる。本発明は、その精神または基本的特徴から逸脱しない限り他の種々態様で実現することが可能である。上述した実施例はすべての点で単なる例示であり、これらに限定されるものではない。従って、本発明の範囲は上述した説明によってではなく、請求の範囲の記載によって判断されるものである。請求の範囲の記載の意味と等価範囲に属するすべての変更はその範囲内に属するものである。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (81)指定国ＥＰ(ＡＴ，ＢＥ，ＣＨ，ＤＥ，ＤＫ，ＥＳ，ＦＩ，ＦＲ，ＧＢ，ＧＲ，ＩＥ，ＩＴ，ＬＵ，ＭＣ，ＮＬ，ＰＴ，ＳＥ)，ＯＡ(ＢＦ，ＢＪ，ＣＦ，ＣＧ，ＣＩ，ＣＭ，ＧＡ，ＧＮ，ＭＬ，ＭＲ，ＮＥ，ＳＮ，ＴＤ，ＴＧ)，ＡＰ(ＫＥ，ＬＳ，ＭＷ，ＳＤ，ＳＺ，ＵＧ)，ＵＡ(ＡＭ，ＡＺ，ＢＹ，ＫＧ，ＫＺ，ＭＤ，ＲＵ，ＴＪ，ＴＭ)，ＡＬ，ＡＭ，ＡＴ，ＡＵ，ＡＺ，ＢＢ，ＢＧ，ＢＲ，ＢＹ，ＣＡ，ＣＨ，ＣＮ，ＣＺ，ＤＥ，ＤＫ，ＥＥ，ＥＳ，ＦＩ，ＧＢ，ＧＥ，ＨＵ，ＩＳ，ＪＰ，ＫＥ，ＫＧ，ＫＰ，ＫＲ，ＫＺ，ＬＫ，ＬＲ，ＬＳ，ＬＴ，ＬＵ，ＬＶ，ＭＤ，ＭＧ，ＭＫ，ＭＮ，ＭＷ，ＭＸ，ＮＯ，ＮＺ，ＰＬ，ＰＴ，ＲＯ，ＲＵ，ＳＤ，ＳＥ，ＳＧ，ＳＩ，ＳＫ，ＴＪ，ＴＭ，ＴＲ，ＴＴ，ＵＡ，ＵＧ，ＵＺ，ＶＮ【要約の続き】れ、ユーザがポインタを動かして入力を追加することにより表示された曲線に適合させるとリアルタイムで即時にユーザにフィードバックされる。

Claims

【特許請求の範囲】１．曲線をリアルタイムでレンダリングする装置において、ユーザによって指定された経路上のロケーションに直接に対応する入力信号を与えるための入力デバイスと、入力信号を受け取って、該入力信号に適合する曲線に対応する出力データを与えるためのプロセッサと、プロセッサから受け取ったデータを格納するためのメモリと、ユーザに検知可能であり、曲線に対応する出力信号を対話で与えるための出力デバイスとを備えていることを特徴とする装置。２．請求項１に記載の装置において、前記プロセッサはデータに論理演算を行うディジタル・プロセッサを含み、データはロケーションに対応する点に適合する線形変換可能曲線に対応するディジタル信号を含んでいることを特徴とする装置。３．請求項１に記載の装置において、前記入力デバイスはユーザによって経路上を動かされるポインタをさらに含み、該入力デバイスは入力信号を生成することを特徴とする装置。４．請求項３に記載の装置において、前記出力デバイスはイメージング・デバイスをさらに含み、該イメージング・デバイスはポインタの位置に対応するイメージをユーザに提示するカーソルを含んでいることを特徴とする装置。５．請求項１に記載の装置において、前記出力デバイスは曲線のイメージをレンダリングするレンダリング・デバイスをさらに含んでいることを特徴とする装置。６．請求項５に記載の装置において、曲線は三次元曲線から選択されることを特徴とする装置。７．請求項５に記載の装置において、前記レンダリング・デバイスはユーザに見えるイメージをレンダリングするスクリーンをさらに含み、イメージは曲線に対応し、曲線は三次元ベジェ曲線から選択されることを特徴とする装置。８．請求項１に記載の装置において、前記プロセッサは、ユーザによって経路上を動かされるポインタを含んでいる入力デバイスから入力信号を直接に受け取るようにプログラムされたディジタル・プロセッサであり、該ディジタル・プロセッサは曲線に対応するイメージを出力デバイスからリアルタイムで対話でフィードバックし、前記入力デバイスは、前記イメージに応答してユーザがポインタをさらに動かしたことを反映する追加の入力信号をリアルタイムで受信するように構成され、前記出力デバイスは、さらに、前記追加の入力信号を反映する第２の曲線をリアルタイムでレンダリングするように構成されていることを特徴とする装置。９．請求項１に記載の装置において、入力信号はロケーションに対応するディジタル信号からなることを特徴とする装置。１０．請求項９に記載の装置において、入力信号はロケーションの空間座標に対応し、ロケーションは経路に沿って一定インターバルでサンプリングされた点に対応していることを特徴とする装置。１１．請求項１に記載の装置において、入力信号は連続曲線に対応する信号からなることを特徴とする装置。１２．ユーザによって直接に制御される入力信号に応答して平滑化された出力信号をリアルタイムで対話によりフィードバックする装置において、ユーザによって操作可能で、ユーザによる動きを検知し、経路上の動きに直接に対応する入力信号を選択的に与える入力デバイスと、入力信号を受信するために入力デバイスに接続されていて、該入力信号に論理的に演算を行って該入力信号に適合する線形変換可能曲線に対応するプロセス信号を出力するプロセッサと、前記プロセッサに動作可能に接続されていて、入力信号に対応する入力データを格納すると共に、プロセス信号に対応する出力データを格納するメモリと、該プロセッサに接続されていて、出力データを受信し、出力信号をリアルタイムでユーザに対話型でフィードバックする出力デバイスであって、前記出力信号はユーザに検出可能で、前記出力データに対応しているものとを備えていることを特徴とする装置。１３．請求項１２に記載の装置において、ユーザによって選択された空間内の経路上の空間で移動できるようにユーザによって制御可能である入力デバイスをさらに含むことを特徴とする装置。１４．経路定義曲線をリアルタイムで増分的に拡大する方法であって、入力デバイスに関連するポインタを動かし、経路上をポインタを動かすユーザによって指定された経路上のロケーションに対応する入力データを作成し、入力データに適合する線形変換可能曲線に対応するプロセス・データを、入力デバイスに接続されたプロセッサで作成し、プロセス・データを線形変換可能曲線に対応する線形系を表す構築変数データにマッピングし、構築変数を演算して曲線に対応する出力データを作成し、曲線の第１イメージをプロセッサに接続された出力デバイスからユーザにフィードバックし、イメージに応答してポインタを動かし、追加の入力データを入力デバイスから与え、この場合、該追加入力データはポインタの追加の動きからの追加のロケーションに対応しており、構築変数データを線形変換して構築変数データを置換する新しい構築変数を作成し、第１イメージを置換する第２イメージを出力デバイスからリアルタイムでユーザにフィードバックすることを含むことを特徴とする方法。１５．請求項１４に記載の方法において、ユーザによって制御される入力デバイスから継続入力を与え、前記継続入力に対応する命令データに従って受信、線形変換、およびフィードバックを繰り返すことをさらに含むことを特徴とする方法。１６．請求項１４に記載の方法において、該方法を複数の曲線の各曲線ごとに繰り返すことをさらに含み、各曲線は複数の曲線の別の曲線と共通する、少なくとも１つの点を含んでいることを特徴とする方法。１７．請求項１４に記載の方法において、プロセス・データを作成するステップは、入力データに適合する複数の線形変換可能曲線に対応するプロセス・データを作成し、前記複数の線形変換可能曲線の各曲線ごとにマッピングからフィードバックまでのステップを繰り返すことをさらに含むことを特徴とする方法。１８．複数の制御点によって定義された曲線の長さに近似する方法であって、曲線の総長さに近似するために許容精度に対応するテスト値を与え、各々の辺(leg)が複数の制御点の１つの制御点と該複数の制御点の隣接制御点の間にわたっている線分に対応している複数の辺を含んでいる殻(shell)を定義し、複数の辺に対応する複数の辺の長さを論理回路で計算し、辺の長さの和に対応する殻長さをメモリ・デバイスに格納し、殻を複数の副殻(sub shell)に分割し、この場合、該複数の副殻の各副殻は複数の制御点に対応する複数の副殻制御点をもつと共に、複数の副殻の辺をもち、各副殻の辺は複数の副殻制御点の１つの副殻制御点と該複数の副殻制御点の隣接副殻制御点の間にわたる線分に対応しており、複数の副殻のすべての副殻の副殻の辺に対応する複数の副殻長さの加算に対応する副殻長さを論理回路で計算し、副殻長さをメモリ・デバイスに格納し、殻長さと副殻長さを論理回路で比較し、複数の副殻の各副殻を新しい殻として論理回路で定義し、複数の新しい殻の各新しい副殻を複数の副殻に対応する複数の新しい副殻に分割することによって新しい殻を分割することを、新しい殻の新しい殻長さと新しい殻に対応する新しい副殻の新しい副殻長さとの差がテスト値以下になるまで継続することを含むことを特徴とする方法。１９．請求項１８に記載の方法において、継続するステップは再帰と繰返しから選択された方法によって行われることを特徴とする方法。