JPH0934951A

JPH0934951A - 組合せ最適化方法

Info

Publication number: JPH0934951A
Application number: JP18387195A
Authority: JP
Inventors: Yoichiro Nakakuki; 洋一郎中莖
Original assignee: NEC Corp
Current assignee: NEC Corp
Priority date: 1995-07-20
Filing date: 1995-07-20
Publication date: 1997-02-07

Abstract

(57)【要約】【目的】組合せ最適化問題をシミュレーテッドアニー
リング法によって解決する方法に関して、より良い解を
得ることを目的とする。【構成】記憶装置上に設けられた評価項目別重み係数
記憶部に、各評価項目に対する重み計数が記憶される。
さらにこの値は、探索の進み具合いに応じて次々に値が
更新されるため、探索の初期段階から最終段階まで、動
的に重み係数を変化させていくことが可能であり、探索
範囲の広さを重視する探索から、徐々に解の良さを重視
する探索に変化させていくことが可能となり、より適切
な解を得ることが可能となる。また、隣接解の選択確率
を一様ではなく、任意の確率分布を与えることを可能と
することで、より効率よく探索を行うことが可能とな
る。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、生産計画の最適化問題
やＬＳＩ内部の配置配線問題、経路の最小化問題など、
多くの組合せ最適化問題解決方法に関する。

【０００２】

【従来の技術】通常のシミュレーテッドアニーリング法
は、Ｋｉｒｋｐａｔｒｉｃｋ，Ｇｅｌａｔｔ，Ｖｅｃｈ
ｉらの文献（“ＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｂｙＳｉ
ｍｕｌａｔｅｄＡｎｎｅａｌｉｎｇ”，Ｓｃｉｅｎｃ
ｅ，Ｖｏｌ．２２０（１９８３），ｐｐ．６７１−６８
０）にあるように、与えられた集合Ｓの要素の中で、目
的関数ｆ（ｘ）を最小にする要素ｘを求めるために、温
度と呼ばれる変数Ｔの値を徐々に下げながら集合Ｓの中
を確率的に探索する方法である。

【０００３】探索は、Ｓの中の適当な要素ｘに注目し、
その近傍の要素ｘ′（隣接解）を無作為に選び、ｘ及び
ｘ′の目的関数を比較し、ｘ′の方が良ければ（小さけ
れば）注目要素をｘ′に変更する。また、ｘ′の方が悪
い場合には、ある確率で注目関数をｘ′に変更する。こ
の確率は、ｘ及びｘ′の目的関数値の差及び温度によっ
て決定される。ｘ及びｘ′の目的関数値の差が大きい程
その確率は小さくなる。同様に、温度が低い程その確率
は小さくなる。探索処理は、十分高い温度から始めら
れ、徐々に低い温度へと下げられる。

【０００４】一般に、各評価項目の中には、一方の評価
値を上げようとすると他方の評価値が下がるような競合
関係を示すものが多いため、各評価項目の重要度に合わ
せて重み付けを行うことにより所望の解を得る方法が一
般的に用いられている。その場合、目的関数ｆ（ｘ）
は、次のような形式になる。各評価項目の評価値をｃ₁
（ｘ），ｃ₂（ｘ），…ｃ_n（ｘ）とすると、各項目に
対する適切な重み係数ｗ₁，ｗ₂，…ｗ_nを用いて重み
付けを行い、目的関数ｆ（ｘ）は、ｗ₁ｃ₁（ｘ）＋ｗ
₂ｃ₂（ｘ）＋…＋ｗ_nｃ_n（ｘ）と表現される。

【０００５】従来の方法では、この重み係数は、試行錯
誤的に適当な値を決定し、探索開始から終了までこの値
が変更されることはなかった。例えば、特開平２−２１
４９７１号に示された方式では、評価項目の数が２個の
場合を対象として、２つの重み係数の値としてさまざま
な値を与えた場合の探索結果を分析することによって、
どのような係数の組が適切であるか決定する方式を採用
している。このようにして決まった係数の値が、探索の
最初から最後まで定数として使用される。

【０００６】

【発明が解決しようとする課題】従来の方法のように、
重み係数を定数として固定してしまうと、以下のような
問題が発生する。

【０００７】探索の初期段階から、重要な項目の重み係
数を大きく設定してしまうと、その項目の評価値が悪く
なる方向への探索が妨げられる。つまり、一旦その評価
値を改悪する方向へ探索を進めてみて、その先まで探索
を進めることによって、より評価値の良い解にたどり着
くといった探索処理が行われる確率が極めて低くなる。
このように、探索は非常に局所的なものとなり、大局的
な良い解を見逃してしまうという問題点があった。

【０００８】逆に、重要な項目の重み係数を低く押さえ
てしまうと、大局的な探索は実現されても、例えば、最
後の局所的な探索の段階で、重要な評価項目Ａとあまり
重要でない評価項目Ｂがあった場合に、どんなに項目Ａ
の評価値が高くても項目Ｂの評価値が低い解よりは、Ａ
Ｂともに中程度に良い解の方が選ばれてしまう可能性が
高いという問題点があった。

【０００９】また、従来の方法では、隣接解を選択する
際、無作為に選択が行われる。つまり、隣接解の候補が
ｎ個ある場合には、等確率（１／ｎ）で選択が行われ
る。しかしながら、多くの最適化問題では、隣接解の中
でも、現在の解よりも良い評価値を持つ可能性が高いも
のと低いものをある程度見分けられる手段が存在する場
合がある。従来の方式では、そのような情報を用いない
ために、良い評価値を持つ可能性の高い隣接解も低い隣
接解も等確率で選択されるため、効率の良い探索ができ
ないという問題点があった。

【００１０】

【課題を解決するための手段】上記のような課題を解決
するため、第一の本発明は、複数の評価項目を持つ組合
せ最適化問題をシミュレーテッドアニーリング法を用い
て解決する際に、各評価項目の重み係数を保持する評価
項目別重み係数記憶部を用意し、前記重み係数を温度パ
ラメタ記憶部に記憶されている値の関数として温度パラ
メタの変化とともに動的に変化させることを特徴とす
る。

【００１１】また、第二の本発明は、上記第一の発明で
温度パラメタの関数として重み係数の値を計算するかわ
りに、探索開始時からの探索回数を保持する探索回数記
憶部に記憶されている値の関数として重み係数の値を計
算することを特徴とする。

【００１２】さらに、第三の本発明は、絶対に満足すべ
き条件項目の満足度を評価する評価項目と、できるだけ
良い評価値をとることが要求される評価項目とが混在す
る形のスケジューリング問題等の最適化問題を対象とし
て、絶対に満足すべき評価項目の重み係数に関しては探
索が進むにつれて大きくする一方、できるだけ良い評価
値が得られれば良いという程度の評価項目に関しては、
探索の進み具合によらず一定の重み係数を与えることを
特徴とする。

【００１３】第四の発明は、組合せ最適化問題をシミュ
レーテッドアニーリング法を用いて解決する過程で、探
索の各時点で注目している解に対する隣接解を選択する
際に、多数の隣接解の候補の中から無作為に選択するの
ではなく、任意の確率分布に基づいて選択を行うことを
特徴とする。

【００１４】

【作用】シミュレーテッドアニーリング法による探索で
は、次々に解の変形と評価を繰り返しながら探索を進め
ていく。解の評価、つまり目的関数の値の計算を行う際
には、まず、目的関数を構成する個別の評価項目の評価
値を計算し、さらに、評価項目別重み係数記憶部に記憶
された各々の評価項目の重みを用いた重み付きの加算を
行い、目的関数の値とする。

【００１５】第一の本発明においては、温度パラメタの
値が更新される度に温度パラメタ記憶部に格納される温
度パラメタ値を更新し、さらに、その温度の関数として
評価項目別重み係数を計算し、評価項目別重み係数記憶
部に格納する。そして、実際に目的関数の計算が必要と
なる時には、評価項目別重み係数記憶部を参照して各評
価項目の重み係数を取りだし、その値を用いて、目的関
数の計算を行う。

【００１６】また、第二の本発明においては、現在、何
回目の探索処理が行われているかという探索開始時から
の探索回数を探索回数記憶部に保持し、さらに、その回
数の関数として評価項目別重み係数を計算し、評価項目
別重み係数記憶部に格納する。そして、実際に目的関数
の計算が必要となる時には、評価項目別重み係数記憶部
を参照して各評価項目の重み係数を取りだし、その値を
用いて、目的関数の計算を行う。

【００１７】さらに、第三の本発明においては、まず、
評価項目を大きく２種類に分類する。ひとつは、絶対に
満足しなければならない制約条件に対応する評価項目で
ある。この条件が満足されない場合には、その評価値は
非常に悪い値をとることになる。もうひとつは、できる
だけ良い評価値をとることが要求される評価項目であ
る。前者に対する重み係数は、上記第一及び第二の本発
明によって、探索が進むにつれて大きな値と変化させる
一方、後者に関しては、探索中に変化しない一定の値と
し、それらの重み係数を用いて目的関数の計算を行う。

【００１８】第四の本発明においては、シミュレーテッ
ドアニーリング法による探索時に行う隣接解の選択を次
のように行う。隣接解の候補について、それぞれを選択
する確率を任意の方法で与え、その確率分布に基づいて
隣接解の選択を行う。従来法では、隣接解の候補すべて
が等確率で生成される可能性があったのに対して、この
方法では、その確率に重み付けが行われることになる。

【００１９】

【実施例】以下、本発明の一実施例について図面を用い
て説明する。本発明においては、記憶装置上に図１に示
すような評価項目別重み係数記憶部を置き、探索処理中
に動的にその値が更新される。

【００２０】探索処理は、温度パラメタＴの値を徐々に
下げながら、探索実行部を何回も繰り返し実行する。そ
の探索回数ｍは、探索回数記憶部に記録される。従っ
て、探索が進むにつれて温度パラメタ記憶部及び探索回
数記憶部に記憶される値は変化する。本発明では、その
ような値の変化に応じて、評価関数内の各項の重み係数
の値を動的に変化させる。つまり、最適解の探索処理部
の内部状態、すなわち温度パラメタ値や探索回数値など
の関数として、評価項目別重み係数記憶部の書き替えを
行う。

【００２１】一方、探索実行部では、毎回の探索処理に
おいて、目的関数計算部を用いて目的関数値の計算を行
うが、この目的関数計算部で計算を行う際には、評価項
目別重み係数記憶部に記憶されている各重み係数を参照
する。

【００２２】したがって、探索が進むにつれて温度パラ
メタ値や探索回数が変化し、それに対応して目的関数が
変化することとなる。

【００２３】これに対して、従来のＳＡ法による探索処
理の概要を図２に示す。この場合には、探索処理を行う
前に予め各重み係数の値を適当な方法で決定し、探索処
理中にはその値は変更されることがない。従って、探索
処理が始まってから終わるまで一貫して唯一の目的関数
が用いられる。

【００２４】このように、本発明では、従来探索中に不
変であった目的関数を探索処理の進み具合に応じて変化
させることを特徴としている。以下、実際に探索処理の
進み具合によって目的関数の重み係数を変化させる方法
の例を示す。

【００２５】第一の本発明においては、図３に示すよう
に、探索処理中の温度パラメタの値を格納する温度パラ
メタ記憶部の値が変更されるたびに、その値の関数とし
て、評価項目別の重み係数を計算し、評価項目別重み係
数記憶部に格納する。

【００２６】従って、例えば全部でｎ個の評価項目があ
る場合、各評価項目ｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）の重みｗ
_iは、温度パラメタの値Ｔに応じて、関数ｆ_i（Ｔ）
（ｉ＝１，２，…，ｎ）によって計算され、評価項目別
重み係数記憶部に格納される。つまり、温度パラメタＴ
の値が変化するたびに、ｗ_i＝ｆ_i（Ｔ）という計算に
よって重み係数ｗ_iの値が更新される。

【００２７】ここで、ｎ＝３，ｆ₁（Ｔ）＝０．１＊
Ｔ，ｆ₂（Ｔ）＝１００，ｆ₃＝（１０００−Ｔ）／１
００の場合の評価項目別重み係数の値の計算例を図４，
図５，図６に示す。これらの図は、それぞれ温度パラメ
タＴの値が４００の場合、２００の場合、１００の場合
の例に対応する。

【００２８】例えば図４では、温度パラメタの値４００
をもとにして、ｗ₁＝ｆ₁（４００）＝４０，ｗ₂＝ｆ
₂（４００）＝１００，ｗ₃＝ｆ₃（４００）＝６とい
うように各重み係数の値が計算され、評価項目別重み係
数記憶部に格納される。この重み係数を用いて目的関数
の計算が実行される。

【００２９】また、温度値が２００となった時の図５で
は、温度パラメタの値２００をもとにして、ｗ₁＝ｆ₁
（２００）＝２０，ｗ₂＝ｆ₂（２００）＝１００，ｗ
₃＝ｆ₃（２００）＝８というように各重み係数の値が
計算され、評価項目別重み係数記憶部に格納される。こ
の重み係数を用いて目的関数の計算が実行される。

【００３０】さらに、温度値が１００となった時の図６
では、温度パラメタの値１００をもとにして、ｗ₁＝ｆ
₁（１００）＝１０，ｗ₂＝ｆ₂（１００）＝１００，
ｗ₃ ＝ｆ₃（１００）＝９というように各重み係数の値
が計算され、評価項目別重み係数記憶部に格納される。
この重み係数を用いて目的関数の計算が実行される。

【００３１】このように、探索中に温度パラメタの値が
変化するに従って、評価項目別重み係数の値が更新され
るため、目的関数の計算方法を動的に制御することが可
能となる。

【００３２】一方、第二の本発明においては、図７に示
すように、探索処理中の探索処理の繰り返し回数を示す
探索回数記憶部に格納されている数値をもとに、評価項
目別の重み係数が計算され、評価項目別重み係数記憶部
に格納される。この重み係数を用いて目的関数の計算が
実行される。

【００３３】たとえば、探索回数ｍの時の評価項目ｉの
重み係数ｗ_iをｗ_i＝１０＊ｍと指定した場合、探索回
数１回の時にはｗ_i＝１０、探索回数２回の時にはｗ_i
＝２０など、探索回数が増えるに従って、重みの値が変
化する。

【００３４】次に第三の本発明の実施例を示す。この例
では、ジョブショップスケジューリング問題と呼ばれる
問題の最適化を行う。ジョブショップスケジュールリン
グ問題は、複雑な組合せ最適化問題の代表的なものであ
る。ここでは、文献（“ＭｉｃｒｏＯｐｐｏｔｕｎｉ
ｓｔｉｃＳｃｈｅｄｕｌｉｎｇ：ＴｈｅＭＩＣＲＯ
−ＢＯＳＳＦａｃｔｏｒｙＳｃｈｅｄｕｌｅｒ”，
ＭｏｒｇａｎＫａｕｆｍａｎｎＰｕｂｌｉｓｈｅｒ
ｓ，１９９３）で用いられたスケジューリング問題に適
用した例を示す。

【００３５】この問題においては、まず、処理すべきジ
ョブの集合Ｊ＝｛ｊ₁，ｊ₂，…，ｊ_n｝と、それらの
処理に必要なリソースの集合ＲＥＳ＝｛Ｒ₁，Ｒ₂，
…，Ｒ_m｝が与えられる。各ジョブｊ_lは、いくつかの
オペレーション、Ｏ^l＝｛Ｏ^l ₁，Ｏ^l ₂，…，
Ｏ^l _m｝で構成される。ここで、各オペレーションは処
理の順序が規定されており、オペレーションＯ^l _iは、
必ずオペレーションＯ^l _i+1よりも前に処理されなけれ
ばならない（ｉ＝１，２，…，ｎ_l−１）。

【００３６】各ジョブｊ_lには、処理開始可能となる日
付ｅｒｄ_l、納期ｄｄ_l、許容され得る最終処理部ｌｃ
ｄ_lが与えられる（ｅｒｄ₁≦ｄｄ_l≦ｌｃｄ_l）。各
ジョブｊ_lは、ｅｒｄ_lとｌｃｄ_lの間に処理されなけ
ればならない。

【００３７】一方、各オペレーションＯ^l _iには、その
処理にかかる日数ｄｕ^l _iと、処理に必要なリソース

【００３８】

【外１】

【００３９】が与えられる。あるリソースを２つのオペ
レーションが同時に使用することは許されない。

【００４０】問題は、このような制約の下で、以下に示
すようなコストを最小とするようなスケジュール（各オ
ペレーションＯ^l _iの開始時間ｓｔ^l _iの集合）を探す
ことである。

【００４１】各ジョブｊ_lの遅れに対するコストは、次
のように定義される。

【００４２】ＴＡＲＤ^l＝ｔａｒｄ_l・ＭＡＸ（０，Ｃ_l−ｄｄ_l）ここで、Ｃ_lは、ジョブｊ_lの完了日、つまりＣ_l＝ｓ
ｔ^l _nl＋ｄｕ^l _nlである（Ｏ^l _nlはこのジョブの最終オ
ペレーション）。正数ｔａｒｄ_lは各ジョブに対して与
えられる定数である。

【００４３】ＴＡＲＤ^l _iは、次のように書き換えるこ
とが可能である。

【００４４】

【数１】

【００４５】ここで、ｔｃｏｓｔ^l _iは次のように定義
される。

【００４６】

【数２】

【００４７】一方、あるスケジュールの各オペレーショ
ンＯ^l _iの棚卸しコストに関しては、次のように定義さ
れる。

【００４８】ＩＮＶ^l _i＝ｉｎ^l _i（ＭＡＸ（Ｃ_l，ｄ
ｄ_l）−ｓｔ^l _i）ここで、ｉｎ^l _iは、正定数である。ＩＮＶ^l _iは、Ｃ
_lを用いずに次のように書き換えられる。

【００４９】

【数３】

【００５０】ここで、

【００５１】

【数４】

【００５２】である。従って、あるスケジュールのコス
トは、次のように表現することができる。

【００５３】

【数５】

【００５４】前記のジョブショップスケジューリング問
題について、シミュレーテッドアニーリング法を適用す
る際の「隣接解」を得るための方法として、「右シフ
ト」、「左シフト」及び「交換」の３種類のものを用い
る。隣接解を生成する際には、まず、乱数を用いてこれ
らの内のひとつが方法を選択し、その方法によって隣接
解を生成する。以下、各々の詳細について記す。

【００５５】「右シフト」では、ひとつのオペレーショ
ンＯ^l _iがランダムに選択され、その開始時刻が１だけ
遅く遅延される。ただし、右にシフトすることで別のオ
ペレーションと重なりを生じる場合や、最終処理日（ｌ
ｃｄ_l）より遅くなるような場合には、この操作は適用
されない。従って、右シフト可能なオペレーションのみ
が対象となり、その中からひとつをランダムに選び、そ
の開始時刻を変更することになる。

【００５６】次に「左シフト」では、右シフトと同様、
ひとつのオペレーションを選んで、その開始時刻を１減
じるものである。この場合も左にシフトできないオペレ
ーションに関しては、選択の対象から外れることにな
る。

【００５７】最後に「交換」は、同一のリソースを利用
する２つの隣あうオペレーションの組を選び、その処理
順序を逆にするものである。

【００５８】この問題をシミュレーテッドアニーリング
法で解決する場合、次のような目的関数を用いる方法が
考えられる。

【００５９】

【数６】

【００６０】ここで、ｆｃｏｓｔ^l _iは、処理順序に関
する制約違反に対するコストであり、制約を満足する場
合、その値は０となるように設定されている。つまり、
あるオペレーションが終わるまで処理を開始できないオ
ペレーションがあった場合に、その制約が満足されてい
ない場合に付与されるコストがｆｃｏｓｔ^l _iである。
この項が０にならない場合、遵守すべき制約が満足され
ないことになり、解となり得ない。したがって、この項
は非常に重要な制約項となる。一方、他の２項は、でき
るだけ小さい値にすることが望ましいという程度の項目
であるため、第一項よりも重要度は低い。そこで、ｋ₁
＞＞ｋ₂，ｋ₃となる必要がある。

【００６１】そこで、従来の手法では、ｋ₁＝１００
０，ｋ₂＝１，ｋ₃＝１などと、固定値を用いるのに対
し、本手法では、初期温度が１００、終了温度が１の場
合に、各係数の値を温度Ｔの関数として、ｋ₁＝１００
／Ｔ、ｋ₂＝１（温度Ｔによらず一定）、ｋ₃＝１（温
度Ｔによらず一定）とすることにより、処理が進むにし
たがって、ｋ₁の値を増加させる方式となる。

【００６２】最後に第四の本発明の実施例を示す。前記
のジョブショップスケジューリング問題の例で、図８に
示すような状況における隣接解の生成を考える。この例
は、リソースの数が３（Ｒ₁，Ｒ₂，Ｒ₃）で、ジョブ
数も３（ｊ₁，ｊ₂，ｊ₃）の例である。

【００６３】ここで、前記の「交換」によって現在の解
の隣接解を生成することを考えると、隣接解の候補は６
通りとなる。これは図に示すように、「交換」可能なオ
ペレーションの対が６通りあるためである。例えば、図
中の１番目の対を選択した場合、図９に示すような隣接
解が得られる。

【００６４】従来のシミュレーテッドアニーリング法で
は、上記６個の隣接解に対して、それぞれ１／６の確率
で選択が行われるのに対して、例えばリソースＲ₂を重
視して、６０％の確率でリソースＲ₂上の「交換」を行
い、リソースＲ₁，Ｒ₃上の「交換」はそれぞれ２０％
の確率で行うといった重み付けを行うことで、図中の
１，２，５，６の「交換」操作は各１０％、３，４の
「交換」操作は各３０％の確率で選択されることにな
る。

【００６５】

【発明の効果】以上説明したように本発明によれば、探
索の進み具合いに応じて、複数の評価項目に対する重み
付けを変更することが可能となる。この機能により、探
索の初期段階では特定の評価項目に極端に大きな重みを
与えないようにすることで、幅広く探索を行うことが可
能となる。また、探索が進むに従って、重要な評価項目
に大きな重みを与えることで、その項目をより重視した
解を探索することが可能となる。さらに、隣接解の選択
確率を一様ではなく、任意の確率分布を与えることを可
能とすることで、解の改善が期待できる隣接解の選択確
率を高く、あまり期待できない隣接解の選択確率を低く
抑えることが可能となり、より効率よく探索を行うこと
が可能となる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明において記憶装置上に設けられる評価項
目別重み係数記憶部の説明図。

【図２】従来方式の説明図。

【図３】本発明の一実施例の構成図。

【図４】本発明の一実施例の内部状態例を示す図。

【図５】本発明の一実施例の内部状態例を示す図。

【図６】本発明の一実施例の内部状態例を示す図。

【図７】本発明の一実施例の構成図。

【図８】本発明の一実施例の説明図。

【図９】本発明の一実施例の説明図。

【符号の説明】

なし

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】複数の評価項目を持つ組合せ最適化問題を
シミュレーテッドアニーリング法を用いて解決する際
に、各評価項目の重み係数を保持する評価項目別重み係
数記憶部を用意し、前記重み係数を温度パラメタ記憶部
に記憶されている値の関数として温度パラメタの変化と
ともに動的に変化させることを特徴とする組合せ最適化
方法。
【請求項２】複数の評価項目を持つ組合せ最適化問題を
シミュレーテッドアニーリング法を用いて解決する際
に、各評価項目の重み係数を保持する評価項目別重み係
数記憶部を用意し、前記係数を探索開始時からの探索回
数を保持する探索回数記憶部に記憶されている値の関数
として前記探索回数の変化とともに動的に変化させるこ
とを特徴とする組合せ最適化方法。
【請求項３】前記評価項目として絶対に満足すべき条件
項目の満足度を評価する評価項目と、できるだけ良い評
価値をとることが要求される評価項目とが混在する形の
スケジューリング問題等の最適化問題を対象とし、前記
絶対に満足すべき評価項目の重み係数に関しては探索が
進むにつれて大きくする一方、前記できるだけ良い評価
値が得られれば良いという程度の評価項目に関しては、
探索の進み具合によらず一定の重み係数を与えることを
特徴とする請求項１又は２に記載の組合せ最適化方法。
【請求項４】組合せ最適化問題をシミュレーテッドアニ
ーリング法を用いて解決する過程で、探索の各時点で注
目している解に対する隣接解を選択する際に、多数の隣
接解の候補の中から無作為に選択するのではなく、任意
の確率分布に基づいて選択を行うことを特徴とする組合
せ最適化方法。