JPH0934875A - 準最適割当決定方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 （修正有） 【課題】 多重目標追跡、最大流整合、要素の第１の集
合と第２の集合の結合が最小の費用になるような要素の
整合におけるデータ結合などを含む、２部グラフ整合問
題に対する整合度順の解の集合をコンピュータを用いて
決定する方法。 【解決手段】 本発明による方法の特徴は、ほとんどの
可能解がより小さな部分問題に含まれるように部分問題
に分割し、最適解を探すために、最も小さい部分問題を
解く計算から始めることである。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】発明の属する技術分野本発明は第１の集合
の要素と第２の集合の要素とを費用が最小になるよう
に、最適に連結する場合において、多重目標の追跡、最
大流整合、或いはデータ結合に含まれる２部グラフ整合
問題の解の集合の順位づけをコンピュータを用いて決定
する方法に関する。

【０００２】実際に用いる最終的に選択される解に最小
の費用または最大の効率以外の因子が存在する場合、割
当問題の第ｋ最適解を順序づけることが重要である。例
えば、２部グラフでは表現できないようなより好ましい
制約が他にあるために、より費用が高い、あるいはより
効率が悪い解を採用しようとする者もいるかもしれな
い。そうした場合に準最適解の知識が有用である。本発
明はまた、上記の方法をプログラムとして格納したコン
ピュータを作動させる製品にも関する。

【０００３】従来の技術２部グラフにおけるデータ結合
問題は、動作一致問題、最大流問題とも呼ばれ、広く研
究されている。

【０００４】こうした問題の１つの例としては、一連の
映像の中の異なる時刻の２場面における特定の動作の特
徴を最適に整合させるような問題である。別の例として
は、従業員と機械の最適な割当を求める問題があり、こ
の問題では、従業員それぞれの技術に差があるので、丁
度よい割当を与えることが重要になる。

【０００５】動作一致では、２つのアルゴリズムがよく
用いられている。ひとつは多重仮説フィルタを用いたも
のであり、他方は確率連結データ結合フィルタを用いた
ものである。２つのアルゴリズムは概念が全く異なる
が、どちらもあいまい性行列の合理的な割当をすべて列
挙する必要がある。あいまい性行列は現在の状況のあい
まい性を簡明に表現する。あいまい性行列の列はトラッ
クが存在することを意味し、行は特定の反復のメジャー
メントを意味する。ｉ行ｊ列が０ではないということ
は、メジャーメントｚ_i がトラックｙ_j を有効にするこ
とを示している。目標に対するメジャーメントの合理的
な割当は、 （１）メジャーメントは単一の目標源からしか生じない
（しばしば単一性の制約と呼ばれる）。 （２）ひとつの目標は１サイクル当たり１つのメジャー
メントしか生じない。という制約を満たさなければなら
ない。これらの制約は合理的な割当を要求し、あいまい
性行列として表現されるが、どの行及び列のいずれか一
方または両方にも１つしか０以外は入らない。

【０００６】それぞれの割当は仮説とも呼ばれ、費用と
関係があり、後の計算に用いられる。合理的な仮説の集
合の列挙は直進的であり、ＮＰ困難でもある。それゆえ
にすべての合理的な仮説の完全な列挙は計算不可能であ
ることがはっきりしている。しかし、そうした仮説の多
くは可能性が非常に小さい。こうしたことが経験的に分
かっているので、何人かの研究者は可能性が高く、比較
的少ない仮説が検証されるアルゴリズムである、多重目
標の追跡のアルゴリズムに近いものを研究している。

【０００７】航空宇宙電子システムに関するＩＥＥＥの
報告書３２（１）４８６−４８９（１９９５年）で発表
された早期の論文で、コックスとミラーは、オペレーシ
ョンズリサーチ １６：６８２−６８７（１９６８年）
にケー・ジー・マーティが発表した「増加する費用の順
に全ての割当を順序づけるためのアルゴリズム」という
題の本文中で参照している論文で述べられたアルゴリズ
ムを用い、多重仮説追跡アルゴリズムの第ｋ最適仮説は
最悪の場合の時間でＯ（Ｎ⁴ ）以内に効率的に生成でき
ることを示した。図１は線形割当問題Ｐ₀ の第ｋ最適解
をマーティの方法で求めるための疑似コードを示してい
る。問題は２部グラフで表され、３つの数の組＜ｙ，
ｚ，ｌ＞で表現される。多重目標の追跡を適用すると、
ｙはそれぞれ仮定された目標を表し、ｚはそれぞれメジ
ャーメントを表し、ｌはｚがｙのメジャーメントとなる
負のログ状である。こうした割当問題の解Ｓはそれぞれ
のｙとそれぞれのｚが正確に一度現れる３つの数の並び
である。解の費用は３つの数の組の中のｌの合計値であ
る。第ｋ最適解は第ｋ最小費用である解である。

【０００８】後述のように、Ｐ₀ に対するひとつの最適
解は割当問題の古典的な解法を使って求めることができ
る。Ｐ₀ に対して続く解は、分割というプロセスを経て
Ｐ₀から作られる一連の割当問題を解くことで求めるこ
とができる。このプロセスは上記のケー・ジー・マーテ
ィの論文で初めて述べられており、要約すると以下のよ
うになる。

【０００９】最適解Ｓ、大きさｎの問題Ｐが部分問題Ｐ
₀ ´，Ｐ₁ ´，Ｐ₂ ´，・・・Ｐ_n´に分割され、次の
ようになる。 １． Ｐ₀ ´からＰ_n ´の可能解の集合の和は正確にＰ
の可能解の集合から最適解Ｓを除いたものである。 ２． Ｐ₀ ´からＰ_n ´の可能解の集合は互いに素であ
る。

【００１０】部分問題Ｐ_i ´を作るには、Ｐをコピーし
てＳのｍ番目の３つの数の組＜ｙ_i，ｚ_m ，ｌ＞をＰか
ら除く。するとＰ_t ´の解は＜ｙ_i ，ｚ_m ，ｌ＞を含ま
なくなり、ＳはＰ_i ´の解ではなくなる。次に、部分問
題Ｐ_i+1 からＰ_n ´を作る前に、＜ｙ_i ，ｚ_m ，ｌ＞が
それらの部分問題の解になるようにする。そうするため
に、＜ｙ_j ，ｚ_h ，ｌ＞，ｈ≠ｍと＜ｙ_h ，ｚ_m ，ｌ
＞，ｈ≠ｊであるすべての３つの数の組をＰから除く。
この変形したすべての可能解は＜ｙ_j ，ｚ_m ，ｌ＞を含
んでいなければならないので、ｈ＞ｌであるすべての部
分問題Ｐ_h ´の可能解の集合はＰ_i ´の可能解の集合と
互いに素である。

【００１１】Ｐ₀ を最適解Ｓ₀ に従って分割し、部分問
題とその最適解を問題と解の対である優先待ち行列に置
換する。そうして最適解を有する待ち行列の中に問題Ｐ
を見つける。この問題Ｐの解はＰ₀ の２番目に最適な解
である。そうして待ち行列からＰを除き、分割で置換す
る。２番目に最適な解の待ち行列を求める行為の中で求
められた最適解はＰ₀ の３番目に最適な解であり、以下
同様に続く。

【００１２】マーティのアルゴリズムで鍵となる計算は
最小費用割当の決定である。本発明の方法が提供する最
適化のほとんどは最小費用割当アルゴリズムの中で用い
られる数値に依存する。そのため、そうした割当に有利
なアルゴリズムの重要な様相について検討することが必
要である。このアルゴリズム（ＪＶ）はアール・ジョン
カーとエー・ボルゲノートがコンピューティングｖｏｌ
３８，３２５−３４０ページ（１９８７年）に「稠密な
線形割当問題と分散的な線形割当問題の最短絡経路アル
ゴリズム」と題して発表した論文に完全に述べられてお
り、この論文は本文でも引用されている。

【００１３】ほとんどの割当問題アルゴリズムと同様に
ＪＶアルゴリズムは線形計画法を基礎としている。この
特徴が最もよく表われるのは、問題が費用の配列ｃで表
現されるような場合であり、ｃ［ｉ，ｊ］はｙ_j に対す
るｚ_i を割り当てたときの費用である。この表現による
解はｚ_i とｙ_j が割り当てられているときｘ［ｉ，ｊ］
は１であり、互いが割り当てられていないときｘ［ｉ，
ｊ］は０であるようなｘ［ｉ，ｊ］による行列ｘであ
る。線形計画問題は、

【００１４】

【数１】 双対問題は

【００１５】

【数２】 ここでｕとｖはｚとｙそれぞれの２変数である。差ｃ
［ｉ，ｊ］−ｕ［ｉ］−ｖ［ｊ］はｚ_i とｙ_j のスラッ
クと呼ばれる。

【００１６】ＪＶアルゴリズムの基本的な概要は次の通
りである。 １． 問題の部分的な解をつくり、２変数を初期化する
ための計算が簡単な処理を用いる。 ２． 現在の部分的な解が不完全であるとき（全てのｚ
がｙに割り当てられていないとき） ２．１ 「追加」と呼ばれる処理で解に新しい割当を１
つ加える。 ２．２ ２変数を調節する。

【００１７】様々なアルゴリズムがこれと同じか非常に
近い基本的な概要をもつアルゴリズムとして分類され、
「最短増加経路」アルゴリズムと呼ばれる。これらのア
ルゴリズムは１，２．１，２．２のステップをどのよう
に用いているかによって相互に区別されるが、幸いに
も、マーティの方法の最適化ではこれらのステップは重
要ではない。目的のために重要なＪＶアルゴリズムと他
の最短増加経路アルゴリズムの特性は２つしかない。

【００１８】第１の特性は、初期化ステップ（ステップ
１）が下記の２つの基準、即ち、 １． ｘ［ｉ，ｊ］＝１であるようなすべてのｉ，ｊに
対して、ｃ［ｉ，ｊ］＝ｕ［ｉ］＋ｖ［ｊ］が成立す
る。 ２． ｘ［ｉ，ｊ］＝０であるようなすべてのｉ，ｊに
対して、ｃ［ｉ，ｊ］≧ｕ［ｉ］＋ｖ［ｊ］が成立す
る。を満たすような部分割当ｘ、２変数ｕ，ｖの初期値
に与える限り、ステップ２のループは最適解を見つけら
れることが保証されていることである。ここで部分解と
これらの基準を満たす２変数の値の集合を増加ループ
（ステップ２）の「有効初期設定」と呼ぶ。

【００１９】第２の重要な特性は、ｚとｙを互いに割り
当てたときの最適解の費用を予測する際に、どのｚとｙ
の間のスラックも有用であるということである。割り当
てられていないｚ_i とｙ_j の部分解の費用の現在の下限
値をＣとすると、ｙ_j にｚ_iを割り当てた最適解の費用
は少なくともＣ＋ｃ［ｉ，ｊ］−ｕ［ｉ］−ｖ［ｊ］に
なるだろう。ｃ［ｉ，ｊ］−ｕ［ｉ］−ｖ［ｊ］の大き
さはｚ_i とｙ_j の間のスラックなので、新しい下限値は
部分解の最小のスラックを見つける事で計算できる。

【００２０】ＪＶアルゴリズムはｙとｚの数が等しい問
題にのみ働き、常に完全な割当を与える。しかし、典型
的な多重仮説追跡アルゴリズムの全体的な適用を考慮す
ると、一般にｙとｚの数が異なる割当問題があり、ｙま
たはｚを割り当てずに残す場合に関係した費用がある。
それぞれの目標ｙには、与えられた走査で見失われる有
限の可能性があり、それぞれのメジャーメントｚには、
誤った警告である有限の可能性がある。ｙとｚの数が異
なる問題は簡単な方法で完全な割当問題に変換できる。
ｙ_j を割り当てずに残した場合の費用を表現するために
用いられるダミーノードｚ_-jが各ｙ_j に対して導入され
る。問題が３つの数の組＜ｙ_j ，ｚ_-j，ｌ＞を含むと
き、割り当てられていないｙ_j を除いた費用はｌであ
る。同様に、各ｚ_i に対してダミーノードｙ_-iを導入す
る。こうすると、ｙとｚの数が等しい場合の問題を得る
ことができる。

【００２１】しかし、この新しい問題の唯一の解は、す
べてのｙとｚを割り当てないままにしている。正確にい
えば、各ｙ_j をｚ_-jに、各ｚ_i をｙ_-iに割り当ててい
る。他のすべての解は完全ではないので、もしｙ_j がｚ
_i に割り当てられたのならば、ｙ_-jとｚ_-iは割り当てら
れることはできない。このためＪＶアルゴリズムはダミ
ーノードであるか否かを問わず全てのノードに対する割
当を探索する。これを避けるため、問題中に表われるそ
れぞれの３つの数の組＜ｙ_j ，ｚ_i ，ｌ＞に対して、費
用がゼロの３つの数の組＜ｙ_-j，ｚ_-i，ｌ＞を導入す
る。こうすればｙ_jをｚ_i に割り当てるとき、解の費用
に影響を与えないでｙ_-jをｚ_-iに割り当てることができ
る。

【００２２】すべての解のダミーノードとマーティのア
ルゴリズムで分割する前に、問題に対する全ての解から
ダミーノード間のゼロ費用の割当を除くことは重要なこ
とであり、注意しなければならない。そうしないと、多
くの「次善の」解は、費用がゼロの割当とダミーノード
の間の順序が単に異なるだけということになってしま
う。

【００２３】図１に示したように、マーティの方法は割
当問題を解くために選ばれるアルゴリズムと独立してい
る。実際にマーティのアルゴリズムは、最適な割当を見
つけるルーチンを、別の問題を解くルーチンと単に置き
換えることによって、全体的に異なるグラフ問題の大き
なクラスの第ｋ最適解を見つけるために用いることがで
きる。マーティの方法を用いたとき、本文で述べた最適
化によれば平均的な場合と最悪の場合のどちらの実行時
間も劇的に改善される。

【００２４】発明の簡単な説明 本発明は、一般的には前述したＪＶアルゴリズムのよう
な最短経路アルゴリズムによって問題に対する最適解Ｓ
₀ が最初に求められた後、第ｋ最適解を見つけるマーテ
ィの方法を改善する。

【００２５】さらに、マーティの方法に従って問題を分
割したとき、部分問題に対する最適解の費用の下限値を
簡単に定めることができる。これらの下限値を用いれ
ば、望ましい次善の結果が得られる見込みのない部分問
題を解かずに済ませることができる。与えられた問題Ｐ
を分割した部分問題がＰ自身の解より適した解を持たな
いことは明解である。それゆえに、Ｐの解の費用Ｃはそ
れぞれの部分問題に対する最適解の費用の初期の下限値
であり、問題のより正確な下限値は、適当な３つの数の
組の移動の後のすべての２者択一の割当の最小スラック
によって導かれる。

【００２６】問題の継続的な解を計算するとき、解を求
めて分割する部分問題の平均の規模は小さくなる。問題
の規模が小さくなると、継続的な解を求めるために必要
な時間は短くなる。分割を実行する命令を上手く選ぶ
と、計算時間は劇的に短くなる。

【００２７】特に、＜ｙ，ｚ，ｌ＞の３つの数の組が分
割するときに使う命令を変えると、通常ならば大きな問
題の方が最適解を含みやすい、という確率分布をとると
ころを、小さな問題の方が最適解を含みやすい、という
確率分布に劇的に変化させ得ることが分かる。本発明は
この発見に基づく。それぞれの反復の初期においては、
Ｓの３つの数の組でまだ使われていないものの集合を試
験する。３つの数の組それぞれにおいて、問題を分割し
て部分問題とし、その最適解の費用の下限値を計算す
る。この下限値は従来の最適化と同じ方法で計算でき
る。そのため、下限値が最大の３つの数の組を次の部分
問題をつくるために用いるものとして選ぶ。この方法を
用いると、最大の問題が最悪の解をことが確実になる結
果になる。最大の問題は最大の数の割り当てられていな
いアークを持つが、最大の問題は最大の下限値を持つの
で、完全に解かなくても放棄することができる。

【００２８】次に大きい部分問題が作られ、この部分問
題は次に悪い解を持つ結果となる、といったことを最小
の問題まで行うが、最小の問題は妥当な可能性で最適解
を持つ。それゆえに、最適解を求める最小の問題を元に
計算を始める。

【００２９】このアルゴリズムは例えば、磁気ディス
ク、読みだし専用の半導体チップなどの記憶装置に磁気
的あるいは電気的な印加のパターンとして格納され、求
めようとするデータ結合や、与えられた入力集合の割当
の順位づけを計算する適当なコンピュータに命令すると
きに用いる。

【００３０】特に、本発明はコンピュータ画像で映像の
場面間で特徴となる動作をする２つの画像を整合させる
ときに用いる。この例では、あいまい性行列は第１の場
面からのメジャーメントの集合を表す列と第２の場面か
らのメジャーメントの集合を表す列を含み、行列への入
力は入力の行と列によって表される２つの点集合の間の
距離を表す。

【００３１】代わりになるものとして、行列の行と列は
作業者と作業を表し、入力は該当する作業者と該当する
作業の結合の費用を表す。

【００３２】発明の詳細な説明 図１は発明の属する技術分野に関連して既に説明されて
いるのでこれ以上の説明は要しない。さらに付随的に、
最適解の最小費用割当を見い出だすためのＪＶアルゴリ
ズムについても述べている。

【００３３】前述したように、問題がマーティの方法に
より分割されたとき、最適解を求めるために既に相当の
作業が行われている。この計算は、分割による部分問題
の最適解を見つけるとき活用される。

【００３４】費用行列ｃ、解行列ｘ、２変数ｕとｖによ
り表現された分割問題を考えてみる。図１のステップ
４．３のループを繰り返し行っている間、新しい部分問
題Ｐ´が費用行列ｃ´によって関連づけられている。コ
ピーした問題からアーク＜ｙ_j，ｚ_i ，ｌ＞を除くこと
（ステップ４．３．２）はｃ´［ｉ，ｊ］を無限大にす
ることに等しいので、行列の無限大の費用の項目は決し
て最適解の一部にはならない。いまｘ´＝ｘ，ｕ´＝
ｕ，ｖ´＝ｖとし、ｘ´［ｉ，ｊ］＝０とすれば、ｘ
´，ｕ´，ｖ´はＰ´を解くための有効初期設定を形成
する。そのため、ＪＶアルゴリズムの初期化ステップを
省略することができ、問題において割り当てるために残
された只ひとつのアークをもつ増加ループに直接進むこ
とができる。

【００３５】この最適化の真価は、元となる割当問題の
第１の解を発見した後、各新しい部分問題に対して、一
回以上増加ステップを実行しなくてもよいことである。
最悪の場合、ＪＶアルゴリズムの増加ステップはＯ（Ｎ
² ）の時間を要し、マーティのアルゴリズムによる最悪
ケース時間はＯ（ｋＮ³ ）に減らすことができる。

【００３６】さらに、問題を分割したとき、部分問題の
最適解の費用の下限値を簡単に定めることができる。こ
れらの下限値を用いると、次善の結果を導かないような
部分問題は解かずに済ませることができる。与えられた
問題Ｐを分割した部分問題はＰ自身の解よりもよい最適
解を持たない。それゆえに、Ｐの解の費用Ｃは部分問題
に対する費用の最適解の初期下限値である。

【００３７】より役に立つのは、Ｐのコピーから３つの
数の組＜ｙ_j ，ｚ_i ，ｌ＞を除いて独立した問題Ｐ´を
つくるとき、ｚ_i に対する全ての２者択一の割当の最小
スラックを求め、Ｃにスラックを加えることでより正確
な下限値を計算できることである。疑似コードにする
と、次のようになる。

【００３８】

【数３】 Ｐ´に対する最適解の費用はＣ´より小さくならない。

【００３９】これらの費用限界を用いるマーティの方法
の性能を改善するために、優先待ち行列を問題と解の組
の待ち行列から＜問題、部分解、費用下限値＞の３つの
数の組の待ち行列に変える。問題が分割によって生成さ
れたとき、最適解を見つける前に待ち行列の中に定めら
れる。待ち行列は下限値でソートされて、待ち行列の先
頭の問題は最適解を持つ可能性が最も高い。

【００４０】待ち行列に関して完全な最適解を持つ問題
を見つけるために、待ち行列の先頭の問題Ｐの除去から
開始される。もし、Ｐがまだ解かれていないならば、最
適解Ｓに加えて最適解の費用Ｃを求め、待ち行列上の＜
Ｐ，Ｓ，Ｃ＞を代入する。そうすると、もし費用の下限
値がＰに対する最適解の実際の費用よりもよいならば、
他の問題が待ち行列の前に移動する機会を得るような点
で待ち行列は再びソートされる。時間内のどの点におい
ても、待ち行列は完全な第ｋ最適解と、まだ解かれてお
らず、第ｋ最適解よりよい下限値のすべての部分問題を
含む。先頭からｋ個の問題が解けるまで、部分問題に展
開する過程を繰り返す。これらは第ｋ最適解である。一
般に、このアルゴリズムは下限値を調べて問題を除去す
るので、待ち行列に定められた全ての問題に対して完全
な解を与えられるわけではない。

【００４１】この最適化は、最悪の場合におけるアルゴ
リズムのパフォーマンスに影響しないので、最適解を見
つける前に待ち行列の全ての問題を解いてしまうかもし
れない。しかし、平均的な場合においては、解かなけれ
ばならない多くの問題が実質的に減少することが分か
る。

【００４２】問題に対して継続的に解を計算しているの
で、解かれ、かつ、分解される部分問題の平均的な大き
さは小さくなる。問題の大きさが小さくなると、継続的
な解を見つけるために要する時間が短くなる。分割を実
行する順序を注意深く選べば、計算時間を劇的に短くす
ることができる。

【００４３】問題の大きさが小さくなる理由を理解する
ためには、図１のステップ４のループの最初の２回の繰
り返しをよく考えるとよい。Ｐ₀ が分割されると、つく
られたそれぞれの部分問題は継続的なより数の少ないノ
ードを含む。第１の問題は元の問題Ｐ₀ と同じ数の割り
当てられていないアークをもち、第２の問題はｙが１つ
少なくなり、ｚが１つ少なくなる。そのため、ループの
１回目の繰り返しの後、優先待ち行列は大きさが２×２
からＰ₀ の元の大きさまで変化する問題を含む。

【００４４】そうして、ループの２回目の繰り返しの始
めに、待ち行列の先頭の問題はどのような大きさにもな
り得る。与えられた部分問題が最適解を含む確率がどの
部分問題も同じとすると、ループの２回目の繰り返しの
とき、先頭の問題はＰ₀ のノードの半分のたくさんのノ
ードをもつことになる。しかし、確率は均等に分布しな
い。大きな問題は小さな問題よりも多くの可能解を持
ち、大きな問題は最適解を含む可能性が高い。

【００４５】大きさの異なる部分問題が最適解を持つ可
能性を解析的に決定することは困難なので、経験的に問
題を研究した。図２は部分問題の大きさで分けた最適解
を持つ頻度のヒストグラムである。１００×１００の大
きさの稠密な割当問題１０，０００個を分割し、得たす
べての部分問題の最小費用解を求めた実験の結果を表し
ている。そうして１００×１００の大きさの部分問題が
最適解を持つ回数、９９×９９の大きさの部分問題が最
適解を持つ回数、という具合に数え上げた。得たヒスト
グラムによると、大きな問題の方が最適解を持つ可能性
が高く、ループの２回目の繰り返しで先頭にある問題の
大きさは、主題となる問題Ｐ₀ の大きさではないことが
明示されている。

【００４６】しかし、３つの数の組＜ｙ，ｚ，ｌ＞を用
いた分割の順序を変更すると、この確率分布は劇的に変
化するので、小さい問題の方が最適解を含みやすくな
る。ループ４．３の繰り返しの始めにおいて、まだ用い
られていないＳの３つの数の組＜ｙ，ｚ，ｌ＞の集合を
考察する。それぞれの３つの数の組に対して、分割して
得た部分問題の最適解の費用の下限値を計算する。この
下限値は前述した最適化と同様の方法で計算できる。そ
うして、次の部分問題を導くため、最も高い下限値を得
る３つ組の数を選ぶ。この変更を加えたヒストグラムを
図３に示す。図４から図７は本発明により第ｋ最適解を
求める方法のフローチャートである。これらのフローチ
ャートはマーティのアルゴリズムに前述の様々な最適化
を加えたものを表している。特に、ステップ１０からス
テップ１２０はマーティのアルゴリズムに先行技術によ
る２つの最適化のうち第１の最適化を加えたものとそれ
に続くステップを表しており、最適化した順序による分
割を含み、本発明の新規な特徴を表す。最初に、このア
ルゴリズムは初期割当問題Ｐ０を生成し、解Ｓ０、費用
Ｃ０、２変数Ｕ０とＶ０を得る。２変数によって続く問
題を効率よく求めることができる。また、２変数は実際
の解について下限値を与えている。このため、第ｋ最適
解の解を求める部分問題の計算を集中的に行うために使
用できる。結果として、２変数を用いることにより、新
たに生成された部分問題の解を見つける労力を大きく低
減することができる。

【００４７】ステップ１０において、このアルゴリズム
によって＜Ｐ０，Ｓ０，Ｕ０，Ｖ０＞で表される最初の
問題を解き、ステップ２０において優先待ち行列の単一
の要素としてその解が蓄積される。次の項目が待ち行列
内に配置されると、部分問題の予測された費用に基づく
優先度に従って配列される。解を待つ部分問題に対し
て、予測された費用Ｃ´は費用の下限値であり、その費
用は後述するようにして得られる。完全に解かれた部分
問題では、予測された費用Ｃは部分問題の実際の費用で
ある。

【００４８】吟味のために、項目が待ち行列から除かれ
ると、最低予測費用から始まる優先順位に従って、即
ち、予測費用の順位で、項目が除去される。第ｋ最適解
を見つけるため、待ち行列から１回につき１つの項目を
除く。もし最初に除いたときに問題が完全に解けなけれ
ば、問題を解いて実際の費用から決められる待ち行列上
の位置に戻される。

【００４９】待ち行列から除いた項目が完全に解かれた
問題のとき、アルゴリズムは次善の解になるものを示
し、特定の値のｋに対する第ｋ最適解が見い出された時
に停止する。

【００５０】次善の解として待ち行列より除かれた完全
に解かれた問題から、アルゴリズムは第ｋ最適解の間に
含まれる解かれていない部分問題を新しく数個生成す
る。これら解がれていない部分問題は、予測された費用
の順序の待ち行列上に配置される。本発明の特徴はこれ
らの部分問題をどうやって生成するかとこれらの部分問
題は何かということにある。

【００５１】得られる次の完全な解の数はフローチャー
トの変数ｉで示される。ステップ３０において、このル
ープの最初の繰り返しの間、変数ｉはアルゴリズムが最
初の完全な解を探していることを示す値１に初期化され
る。

【００５２】ステップ４０の状態はまだ作業が残ってい
るときトルーであり、作業が残っていないときフォール
スである。判断ボックスからフォールスが出力されると
アルゴリズムは終了する。

【００５３】より多くの作業が残っている場合、次に行
う動作は待ち行列の最小費用の項目が完全に解決してい
るか否かで決まる。待ち行列の先頭の構造が完全な解を
含んでおらず、先頭の構造（残ったなかで最も小さい、
予測された費用をもつ部分問題）が下限値のみを含むよ
うな部分問題を示しているのであれば、ステップ５０の
テストはトルーである。もし、トルーならば、ステップ
６０において、アルゴリズムは待ち行列からこの部分問
題を除く。ステップ７０において、実際の費用を得るた
めに問題を解き、ステップ８０において、優先順位によ
り待ち行列で求めた解を定める。ステップ８０以降にお
いて、アルゴリズムはステップ５０に戻り、現在待ち行
列の先頭にある項目を検証する。このループは待ち行列
から、完全に解かれた部分問題が除かれるまで続く。完
全に解いた問題が見つかると、フローチャートの点Ａに
処理を移行する。

【００５４】点Ａにおいて、待ち行列の先頭におかれた
解は第ｉ最適解である。ステップ１００において、この
解を待ち行列から除き、ステップ１１０において解答の
リストに付け加える。この解から、アルゴリズムは多数
の未解決の候補問題を生成し、その問題の解には第ｋ最
適解を含んでいてもよい。一般的に、各解はその解中に
存在するアークを含む場合と、あえてアークが存在しな
い場合とがある。後者のアークは「分割できる」アーク
である。部分問題中の分割できるアークを分けることに
よって、それぞれの部分問題に分割され、アルゴリズム
は第ｉ最適解中の分割できるアークに対する新しい部分
問題を生成する。

【００５５】ステップ１２０の処理において、分割でき
るアークに接続されたノードｚを数えて分割できるアー
クの数を数える。この値を変数Ｎに保存する。以下のル
ープにおいて、アルゴリズムはＮ個の部分問題を生成す
る。各部分問題において、Ｎ個の分割できるアークのひ
とつが問題文から除かれ、問題の解の中のアークではな
くなる。各部分問題の費用は部分問題に分けられるアー
クを使用できる問題の費用よりも低くなる。最適化のた
めに、この点で作られたＮ個の部分問題は小さくそして
複雑になる。もしアーク（ｙ，ｚ）が部分問題ｒに分割
されたとすると、アークは部分問題ｒ＋１，ｒ＋
２，．．．，Ｎの解に含まれることになる。アークが特
定の部分問題の解に含まれると、部分問題が定めるアー
クは少なくなり、特定の部分問題の解に含まれるアーク
をもたない部分問題よりも少ない時間で解けるようにな
る。

【００５６】部分問題を生成する準備をするために、ス
テップ１３０において、ｍｉｎＹ［ｎ］の値を−１とす
る。ベクトルｍｉｎＹ［ｎ］は、ｚ_n で終わるすべての
アークのなかで最も小さいスラックであるノードｙから
ノードｚ_n のスラックのアーク（ｙ，ｚ_n ）のノードｙ
の因子を含む。初期値−１はスラックの計算をまだして
いない事を示す。ステップ１５０において、部分問題は
一時的に現在の問題と同じにされる。そしてアルゴリズ
ムはＮ個の部分問題を生成するループに入る準備をす
る。その目的は各連続した部分問題中において、付加的
なアークを分割する事である。本発明の趣旨は、どのア
ークを分けるかを選択することである。本発明は先行技
術によって作られた手順よりも、劇的に容易に問題を解
く部分問題の手順を作る方法により、アークを選択す
る。

【００５７】ステップ１６０において、ループのはじめ
に現在の部分問題に対し、分割できるアークが残ってい
るか否かを見るためのテストを行う。もし残っていなけ
れば、部分問題の生成を終了し、点３に向かう。

【００５８】ステップ２００の処理において、本発明で
求める条件を満たす、分割できるアークを見つけること
から始まる。解決すべき次の部分問題を生成するために
このアークを分割する（部分問題から除く）。ステップ
２００において、ｈｉｇｈＳｌａｃｋの値が初期値とし
て−∞に設定され、より高い値が見つかる度に変更され
る。

【００５９】ステップ２１０において、ｎの値を１に設
定する。以下に続くループにおいて、ノードｚ_n に接続
されたアークを選ぶため、ｎの値は１からＮまで変化す
る。ステップ２２０において、全てのノードｚ_n を調べ
てから、ｎがＮを越えると、アルゴリズムを終了する。
ステップ２３０において、アルゴリズムは求める最小の
スラックをもつノードｙが不要なノードＹになるかどう
かを調べる。ステップ１３０及び１４０で初期化される
ので、第１回目のループの通過では、このテストを通過
する。次回以降のループでは、ノードｙが分割されて部
分問題から除かれるアーク（ｙ，ｚ）の最初のノードで
あるときに、このテストを通過する。テストを通過する
と、ステップ２４０を実行する。このステップは、ノー
ドｙから始まり、ノードｚで終わる全てのアークのスラ
ックを計算する。最小のスラックを持つノードｙの因子
はｍｉｎＹ［ｎ］に定められ、スラックの値はｍｉｎＳ
ｌａｃｋ［ｎ］に定められる。

【００６０】ステップ２５０において、ノードｚ_n の最
小のスラックがｈｉｇｈＳｌａｃｋの値を越えたかどう
かを調べる。もし越えていれば、ステップ２６０におい
て、ｍｉｎＳｌａｃｋ［ｎ］の値はｈｉｇｈＳｌａｃｋ
に置き換えられ、ｈｉｇｈＺのｎの値は、どのｚ_n が最
も大きい最小スラックを生成したかを記憶するために保
存される。ここが本発明の本質的な部分である。

【００６１】ステップ２６０の処理において、次のｚノ
ードｚ_n 上で終端するアークを試験するためにｎを１増
やす。

【００６２】点Ｃにはループがある。この点において、
ｚ_n で終わる全てのアークの中で最小のスラックを持つ
分割できるアーク（ｙ，ｚ_n ）と、アークの全最小値の
中で最も大きい最小のスラックを持つ分割できるアーク
（ｙ，ｚ_n ）を認識する処理が行われる。

【００６３】ステップ３００において、ｍをｈｉｇｈＺ
に設定する処理が行われる。これは、部分問題から除か
れるであろうノードｚ_n の因子である。ステップ３１０
の処理では、ｚ_m に接続された、分割可能なアークが位
置付けられる。このアークは次の部分問題で分割するア
ークである。

【００６４】ステップ３２０の処理では、次の部分問題
が生成される。最初に、問題文から分割できるアーク
（ｙ_i ，ｚ_m ）を除き、問題の解からアークを除く。ノ
ードｙｉからのスラックの値はステップ２４０で再計算
しなければならないので、計算を再起動するために、不
要になったＹをｊの値に設定する処理が行われる。

【００６５】次に、部分問題に対する新しい下限値を生
成する処理が行われる。アークを分割する前の費用をＣ
とすると、この下限値はｃ´＝Ｃ＋ｈｉｇｈＳｌａｃｋ
である。そうして待ち行列上に部分問題を新しく生成
し、定める。付加的な部分問題を生成するために、アー
ク（ｙ_i ，ｚ_m ）が次の全ての部分問題に含まれるよう
に処理する。この処理はｈ≠ｍに対するアーク（ｙ_j ，
ｚ_h ）とｈ≠ｊに対するアーク（ｙ_h ，ｚ_m ）を除くこ
とにより、ステップ３２０で行われる。これによりアー
ク（ｙ_i ，ｚ_m ）はノードｙｉとｚｍに接続する唯一の
アークとなり、このアークは解の中に必ず含まれる。

【００６６】ステップ３３０において、新しい部分問題
を生成するため、ステップ１６０に戻る。

【００６７】部分問題の生成が完了すると、処理はステ
ップ３４０に移行し、ステップ３４０では、最後のｉの
値に対する第ｉ最適解を見出だし、第ｉ＋１最適解を見
出だそうとしていることを示すｉを１増加させる。ｉを
増加した後、処理はステップ４０に戻り、待ち行列から
部分問題を除くループを再開する。

【００６８】この帰納的な過程は最大の問題が最悪の解
を含むであろうことを立証する傾向を持っている。最も
大きい問題は割り当てられない多数のアークを持つが、
最も高い下限値を持つので、完全に解く前に待ち行列か
ら除きやすい。次に大きい部分問題は次に悪い解を持ち
やすく、以下同様に、最適解を持つ十分な可能性のあ
る、最小の問題まで続く。帰納が完全でない間は、分割
される問題の大きさは一般に大きく異なる。

【００６９】図３は、この帰納を用いた後、図２と同じ
実験をした結果である。実験はＣに記した全てのアルゴ
リズムを１５０ＭＨｚ Ｒ４４００マイクロプロセッサ
で実行して行った。

【００７０】解くことと分割することの両方の手順はＯ
（Ｎ² ）なので、確率分布の大きさがより小さい値のＮ
に傾いたとき、計算時間が大きく減少する。しかも、分
割後、Ｎ×Ｎの問題はＮ個の部分問題を作るので、この
傾きにより解かなければならない問題全体の数が減る。

【００７１】ここで述べた本発明による最適化の技術に
よれば、アルゴリズムの性質において顕著で量的な違い
があることが分かる。実際に、完全に最適化された手順
の能力はＮに関してほとんど線形である。この最適化を
施したコードの能力は最悪のケースでもＯ（Ｎ３）であ
り、これは全く驚くべき効果である。

【００７２】ここで述べたアルゴリズムは様々に応用で
きる。もともとこのアルゴリズムは空港での多重目標の
追跡に用いるために考案されたものであり、レーダー画
面の輝点は行列の行に一致し、追跡中の飛行機は知られ
ている項に行を形成し、そして、ＩＥＥＥの自動制御に
関する報告書ＡＣ−２４（６）８４３−８５４、１９７
９年１２月にディー・ビー・レイドが発表した「多重目
標を追跡するアルゴリズム」という題の論文に記されて
いるように、特定の輝点は特定の飛行機に対応するよう
にしようとしている。

【００７３】他には、衛星通信システムの衛星に対する
周波数割当の最適化に応用可能であり、最大の干渉が小
さくなるだろう。

【図面の簡単な説明】

図１は先行技術であるマーティのアルゴリズムの疑似コ
ードである。図２と図３は本発明による修正の前後にお
ける、１０，０００の無作為な１００×１００の問題の
最適な部分問題の大きさの分布を示す。図４、５、６、
７は本発明による方法のフローチャートである。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 ハロルド ストーン アメリカ合衆国，ニュージャージー 08540，プリンストン，マウント ルーカ ス ロード 516

Claims (12)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 整合を取られるべき２つの集合の特定要
   素を行及び列によって表したＮ×Ｎの費用行列が与えら
   れており、当該行列中の項目は行及び列に示された２つ
   の要素の整合費用を表しているような割当問題に対し
   て、最適解を順位づけるコンピュータを用いた処理方法
   において、 費用行列を一つだけ順次小さくなるような次元の費用行
   列を含む一連のＮ最小費用割当問題に分割し、当該分割
   は、一連の部分問題が単一割当を除くことによって、先
   行する割当問題とは異なる全部分問題のうちの最も高い
   下限値を有する最大部分問題となるような形式で行わ
   れ、 問題の下限値は全ての二者択一的な割当の最小スラック
   を見出だすことによって導かれることを特徴とする、コ
   ンピュータを用いて割当問題に対する最適解を順位づけ
   る方法。
2. 【請求項２】 整合を取られるべき２つの集合の特定要
   素を行及び列によって表したＮ×Ｎの費用行列が与えら
   れており、当該行列中の項目は行及び列に示された２つ
   の要素の整合費用を表しているような割当問題に対し
   て、最適解を順位づけるコンピュータを用いた処理方法
   において、 最短増加経路法を用いて行列から最小費用割当を導き、
   最小費用割当の増加した変数を決定する段階と、 １ずつ順次小さくなる次元を有し、且つ、一連の各部分
   問題が最大の部分問題になるような形式の費用行列を含
   む一連の最小費用割当部分問題に費用行列を分割し、 前記最大の部分問題は全ての部分問題で最も高い下限値
   を持ち、 前記全ての部分問題は先行する割当問題から割当を一つ
   除いたものである点で異なり各下限値はすべての２者択
   一的な割当の最小のスラックを見つけることによって生
   成される段階と、 各部分問題を、元になる解から２変数を用いて、終端状
   態に近い状態にする段階と、 求める望ましい第ｋ最適解中の解を生成できない部分問
   題を決定し、除去する段階と、 優先順位で解決及び未解決問題を並べ、これによって、
   順位の最初に最小の下限値若しくは費用または実際の費
   用が分かっているときには最小の実際の費用を有する問
   題が含まれる最初の要求のような、優先要求の中で解い
   た部分問題と、解いていない部分問題を要求する段階
   と、 待ち行列から先頭部分を除く段階と、 各解が次善の解と認識されるように、各第ｋ最適解を保
   存する段階とからなることを特徴とする、コンピュータ
   を用いて割当問題に対する最適解を順位づける方法。
3. 【請求項３】 画面中の異なる特徴をあらわす各点から
   なる第１の点の集合と、請求項１の処理に従って得られ
   た画面中の特徴のひとつをあらわす各点からなる第２の
   点の集合を順位づける方法において、第１および第２の
   点の集合は、整合の順位を付けるべき第１および第２の
   集合の前記要素として役立つことを特徴とする、最適な
   整合を順位づける方法。
4. 【請求項４】 請求項１において、整合させる第１の集
   合の構成要素を従業員とし、第２の集合の要素を作業と
   する、それぞれの従業員と特定の作業の整合によって費
   用が異なる可能性がある場合における、従業員の集合と
   作業の集合の間の最適費用効率整合を順位づける方法。
5. 【請求項５】 請求項１において、整合させる第１の集
   合の構成要素を従業員とし、第２の集合の要素を機械と
   する、それぞれの従業員と特定の機械の整合によって費
   用が異なる可能性がある場合における、従業員の集合と
   機械の集合の間の最適費用効率整合を順位づける方法。
6. 【請求項６】 請求項１において、順位づける第１の集
   合を輝点とし、第２の集合を追跡する飛行機とする、レ
   ーダー画面の輝点と追跡する既知の飛行機の間における
   空港での多重目標追跡の方法。
7. 【請求項７】 請求項１記載の方法が記憶された格納媒
   体を含むコンピュータを用いるための製品。
8. 【請求項８】 請求項２において、各点が画面中の異な
   る特徴をあらわす第１の点の集合と、各点が画面中の特
   徴のひとつをあらわす第２の点の集合について最適な整
   合を順位づける方法。
9. 【請求項９】 請求項２において、整合させる第１の集
   合の構成要素を従業員とし、第２の集合の要素を作業と
   する、それぞれの従業員と特定の作業の整合によって費
   用が異なる可能性がある場合における、従業員の集合と
   作業の集合の間の最適費用効率整合を順位づける方法。
10. 【請求項１０】 請求項１において、整合させる第１の
    集合の構成要素を従業員とし、第２の集合の要素を機械
    とする、それぞれの従業員と特定の機械の整合によって
    費用が異なる可能性がある場合における、従業員の集合
    と機械の集合の間の最適費用効率整合を順位づける方
    法。
11. 【請求項１１】 請求項２において、順位づける第１の
    集合を輝点とし、第２の集合を追跡する飛行機とする、
    レーダー画面の輝点と追跡する既知の飛行機の間におけ
    る空港での多重目標追跡の方法。
12. 【請求項１２】 請求項２記載の方法が記憶された格納
    媒体を含むコンピュータを用いるための製品。