JPH09204309A - 証明図表示装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 証明全体を視覚的に提示できるようにする。 【解決手段】 入力された証明１が有向グラフ生成手段
２によって有向グラフ２ａに変換される。すると、有向
グラフ表示手段３が、有向グラフ２ａから視覚的に認識
するための有向グラフ３ａを生成し画面表示する。さら
に、部分証明範囲指定手段４が、有向グラフ２ａ内の一
部分を指定すると、部分証明図生成手段５が部分証明５
ａを生成し、部分証明図表示手段６が、部分証明図６ａ
を画面表示するる。その結果、証明全体を１つの画面に
収めることが可能となり、証明全体を視覚的に把握する
ことが容易となるとともに、証明を作成したい部分の部
分証明図を表示させるとにより、プログラムの効率を考
えた証明の作成が容易になる。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は計算機による証明構
築を支援する証明図表示装置に関し、証明全体を理解し
易い形式で表示する証明図表示装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】近年、ソフトウェアの開発において、Ｚ
やＶＤＭなどの仕様記述言語による形式的開発技法が利
用されるようになってきた。これらの形式的開発技法
は、ソフトウェアの仕様を形式的に明確に記述して、仕
様やプログラムの誤りをなくすことを目指している。

【０００３】さらに、形式的仕様の正しさを形式的に証
明し、証明した結果からプログラムを自動的に作り出す
という研究が現在進められている。特開平６−３１４２
００号公報の「証明構築支援装置」では、人が証明を構
築する上で、計算機が候補となり得る原論理式を提示し
て支援する機構について述べられている。また人工知能
学会誌、Ｖｏｌ．１０ Ｎｏ．１ （１９９５年１
月）、萩谷昌己「証明チェッカとそのユーザインタフェ
ース」では、証明支援システムのユーザインタフェース
について、研究のサーベイが行なわれている。

【０００４】このように、形式的仕様に基づくソフトウ
ェアの開発では、プログラムを書くことは証明を作るこ
とと対応付けられる。従って、構築した証明を理解し易
くすれば、ソフトウェアの開発効率が向上する。

【０００５】そこで、従来は、論理式と推論規則を簡単
な記号で表して、証明を視覚的な証明図として表示する
ことが行われている。

【０００６】

【発明が解決しようとする課題】ところで、証明を構築
する際には、証明を行なおうとしている部分から数ステ
ップ分が理解できれば、多くの場合には証明を行なうこ
とが出来る。そこで、証明全体を把握して、証明内の個
々の部分を互いに比較することができれば、効率がよい
プログラムを構築したり、プログラムのモジュール化を
進めるための助けとなる。

【０００７】しかし、従来の証明図表示装置では証明図
を視覚的に表示した際の情報量が多いため、証明全体を
計算機の画面上に表示しようとすると、多くの場合は画
面上に証明図が収まらないという問題点があった。

【０００８】本発明はこのような点に鑑みてなされたも
のであり、証明構築支援系を用いて、形式的仕様から証
明を構築してプログラムを生成する過程において、証明
全体を視覚的に提示する証明図表示装置を提供すること
を目的とする。

【０００９】

【課題を解決するための手段】図１は本発明の証明図表
示装置の原理構成図である。本発明では上記課題を解決
するために、証明図を画面表示する証明図表示装置にお
いて、形式的に表現された証明１が入力されると、論理
式を節点とし、与えられた推論規則における、他の論理
式を導くための論理式と導かれる論理式とが接続関係を
有する有向グラフ２ａを生成する有向グラフ生成手段２
と、前記有向グラフを画面に表示する有向グラフ表示手
段３と、を有することを特徴とする証明図表示装置が提
供される。

【００１０】この構成によれば、形式的に表現された証
明１が入力されると、有向グラフ生成手段２により、論
理式を節点とし、与えられた推論規則における、他の論
理式を導くための論理式と導かれる論理式とが接続関係
を有する有向グラフ２ａが生成される。そして、有向グ
ラフ表示手段３により、有向グラフが画面に表示され
る。

【００１１】

【発明の実施の形態】以下、本発明の実施の形態を図面
に基づいて説明する。図１は本発明の証明図表示装置の
原理構成を示す図である。有向グラフ生成手段２は、証
明１が入力されると、個々の論理式を節点とし、与えら
れた推論規則における、他の論理式を導くための論理式
と導かれる論理式とが接続関係を有する有向グラフ２ａ
を生成する。この段階での有向グラフ２ａは、装置の内
部表現としての形態を取っている。有向グラフ表示手段
３は、内部表現の有向グラフ２ａから、視覚的に認識す
るためのイメージ形態の有向グラフ３ａを生成し、表示
装置の画面に表示する。

【００１２】部分証明範囲指定手段４は、有向グラフ２
ａの任意の論理式の位置と、その論理式からの表示レベ
ルを指定する。部分証明生成手段５は、指定された位置
の論理式を決定し、証明１から、指定された論理式から
指定された表示レベルだけ上位方向の論理式までの部分
証明を取り出す。そして、論理式と推論とを備える部分
証明５ａを生成する。部分証明図表示手段６は、部分証
明５ａを視覚的に認識するための部分証明図６ａを画面
に表示する。

【００１３】このような構成により、入力された証明１
が有向グラフ生成手段２によって有向グラフ２ａに変換
され、有向グラフ表示手段３により有向グラフ２ａから
イメージ形態の有向グラフ３ａが生成され画面表示され
る。その結果、従来の証明図で画面に表示しようとする
と完全に画面から飛び出してしまう場合であっても、証
明を有向グラフで表示することにより、証明全体を１つ
の画面に収めることが可能となり、証明全体を視覚的に
把握することが容易となる。

【００１４】また、部分証明範囲指定手段４が有向グラ
フ２ａ内の一部分を指定すると、部分証明生成手段５が
部分証明５ａを生成し、部分証明図表示手段６が部分証
明図６ａを画面表示するため、任意の部分の部分証明図
６ａを表示させることができ、証明の作成が容易にな
る。

【００１５】このような機能を有する証明図表示装置の
例を、以下に具体的に説明する。図２は本発明を実施す
るための証明図表示装置の構成を示すブロック図であ
る。この例では、入力された証明図１１ａは証明保持部
１１に保持される。有向グラフ生成部１２は、証明の論
理式を節点（以後、ノードと呼ぶ）とし、推論規則にお
ける、他の論理式を導く論理式とそれにより導かれる論
理式とを矢で接続した有向グラフ１２ａを生成して出力
する。この有向グラフ１２ａは、装置の内部表現で表さ
れている。有向グラフ表示部１３は、有向グラフ１２ａ
を視覚的に認識するためのイメージに変換し表示装置１
９の画面に表示する。

【００１６】位置指定部１６は、マウス１４やキーボー
ド１５の操作により有向グラフ内の一部分を指定する。
そして、指定した領域の最下位のノードの位置と、その
ノードから何階層分の証明図を表示するのかを示す表示
レベルを出力する。部分証明生成部１７は、指定位置と
表示レベルで特定された有向グラフの範囲に対応する証
明を抽出し、部分的な部分証明１７ａを生成する。この
部分証明１７ａは、装置の内部表現で生成されている。
部分証明図表示部１８は、部分証明生成部１７が生成し
た部分証明１７ａを、画像で表現するための部分証明図
に変換し、その部分証明図を表示装置１９の画面に表示
する。

【００１７】ここで、上記の構成の証明図表示装置が扱
う証明は通常の述語論理であり、論理記号として否定、
選言、連言、含意、同値、全称記号、存在記号を持つも
のとする。図３は画面上に表された論理記号を示す図で
ある。この図には、否定、選言、連言、含意、同値、全
称記号、及び存在記号の論理記号が示されている。但
し、この論理記号は画面表示用のものであり、装置内で
は異なる記号で取り扱われる。装置内部での各記号は以
下の通りである。

【００１８】否定は、（not Ａ）。選言は、（orＡ
Ｂ）。連言は、（and ＡＢ）。

【００１９】含意は、（imply ＡＢ）。同値は、（eqＡ
Ｂ）。全称記号は、（any ｘＡ）。

【００２０】存在記号は、（exist ｘＡ）。これらの記
号のそれぞれが論理式である。また、Ａ，Ｂも論理式で
あり、ｘは変数である。

【００２１】そして、証明は推論規則と論理式で構成さ
れている。図４は画面上に表示される推論規則を示す図
である。（Ａ）は、論理式Ａから直接に論理式Ｂが導き
出せるという推論規則である。この推論規則の内部表現
は、

【００２２】

【数１】(inferＢＡ) ・・・（１） である。

【００２３】また、（Ｂ）は、論理式Ａ、Ｂ、Ｃから論
理式Ｄが導かれるような推論規則である。この推論規則
の内部表現は、

【００２４】

【数２】(inferＤＡＢＣ) ・・・（２） となる。

【００２５】（Ｃ）は、論理式Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆから
論理式Ｈが導かれることを証明した証明図である。これ
は、内部表現で記述すると、

【００２６】

【数３】 となり、合計３回推論規則を用いて結論を得ることがで
きる。このとき、論理式Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆを仮定と呼
び、論理式Ｈを結論と言う。

【００２７】ここで、内部表現で記述された証明が図２
に示す証明図表示装置に読み込まれた場合の処理手順に
ついて説明する。図５は本発明の処理手順を示すフロー
チャートである。 〔Ｓ１〕有向グラフ生成部１２は、証明を前から読み込
む。 〔Ｓ２〕有向グラフ生成部１２は、「infer 」はそのま
まにして、同じレベルの「( 」と「) 」の間にinfer を
含まない式を「^* 」で置き換えた表現を作り出す。これ
が有向グラフの内部表現である。この「^* 」が、表示画
面上ではノードで表される。 〔Ｓ３〕有効グラフ表示部１３が、有向グラフの内部表
現(infer^** )などで同じレベルで一番左に現れる「^* 」
を表すノードを下に配置し、その上にそれ以外のものを
表すノードを左から順に配置する。この際、下にあるノ
ードから限られた範囲のところにほぼ均等に配置し、下
から上へ矢印を引く。この作業を式がなくなるまで繰り
返す。これにより、有向グラフの内部表現が視覚的なイ
メージに変換される。そして、その有向グラフを表示装
置１９の画面に表示する。 〔Ｓ４〕位置指定部１６は、表示された有向グラフの任
意のノードと、そのノードからどれだけ上の証明まで表
示するのかを示す表示レベルとを指示し、内部表現で記
述された証明と有向グラフを部分証明生成部１７に与え
る。 〔Ｓ５〕部分証明生成部１７は、指定されたノードが有
向グラフ上のどの位置に現れるかを検出する。 〔Ｓ６〕部分証明生成部１７は、生成された矢の列にし
たがって、内部表現で記述された証明から、部分証明を
取り出す。 〔Ｓ７〕部分証明図表示部１８は、取り出された内部表
現で記述されている証明を、根（取り出された証明の一
番下位の論理式）から順に推論規則を横線で表示して、
下から順に指定された表示レベルまで表示する。

【００２８】以上のようにして、読み込まれた証明を有
向グラフで画面に表示するこができるとともに、任意の
範囲を指定して、その部分のみの証明図を表示させるこ
とができる。

【００２９】ここで、

【００３０】

【数４】 という証明を読み込んだ場合を例にとり、上記フローチ
ャートの処理内容を説明する。

【００３１】図６は式（４）の証明図である。この図に
おいて、結論である論理式Ｃが最も下に配置されてい
る。その論理式Ｃの上には、左側に論理式Ｂ⊃Ｃが、右
側に論理式Ｂが配置されている。左側の論理式Ｂ⊃Ｃの
上には、左側に論理式Ａ⊃（Ｂ⊃Ｃ）が、右側に論理式
Ａが配置されている。

【００３２】一方、結論である論理式Ｃの上の右側に配
置された論理式Ｂの上には、論理式Ａ∧Ｂが配置されて
いる。この論理式Ａ∧Ｂの更に上には、左側に論理式Ａ
が、右側に論理式Ｂが配置されている。

【００３３】まず、式（４）の証明を読み込むと（ステ
ップＳ１）、

【００３４】

【数５】 という有向グラフの内部表現が作り出される（ステップ
Ｓ２）。この有向グラフの内部表現の「^* 」が、画面表
示される際にはノードとなる。そして、一定の規則に従
ってノードを配置するとともに、各ノード間を矢で接続
した画面表示用の有向グラフを作成し、表示装置に表示
する（ステップＳ３）。以下に、式（５）の内部表現の
有向グラフと、その有向グラフから生成され画面に表示
される有向グラフとの関係を示す。

【００３５】図７は画面に表示される有向グラフを示す
図である。この図を用いて、式（５）の有向グラフが、
画面に表示される有向グラフとどのように対応している
のかを説明する。

【００３６】式（５）の有向グラフでは、一番左側にあ
る「^* 」がベースノード２１となり、２つのノード２
２，２３へ矢３１，３２が結ばれることを意味してい
る。矢３１が結ばれた一つ目のノード２２は(infe
r^*** ) の一番左側の「^* 」を表すノードであり、もう
一つのノード２３は(infer^* (infer^*** ))の一番左側の
「^* 」を表すノードである。

【００３７】先の(infer^*** ) の一番左側の「^* 」を表
すノード２２からは、２本の矢３３，３４が出ていて、
中央の「^* 」を表すノード２４と、右側の「^* 」を表す
ノード２５に届く。一方、(infer^* (infer^*** ))の一番
左側の「^* 」を表すノード２３からは、矢３５が出てい
て、(infer^* (infer^*** ))の中の(infer^*** ) の一番左
側の「^* 」を表すノード２６に届く。そして、その(inf
er^*** ) の一番左側の「^* 」を表すノード２６からは２
本の矢３６，３７が出ていて、中央と一番右側の「^* 」
を表すそれぞれのノード２７，２８へ届く。

【００３８】さらに、部分証明図を表示させるために、
表示された有向グラフのあるノードと、そのノードから
どれだけ上まで証明を表示するかを示す表示レベルとを
指示する（ステップＳ４）。ここで、ノードと表示レベ
ルを指示する手段は、ウインドウシステム上での視覚的
な選択手段でも良いし、Ｅｍａｃｓなどのエディタ上で
行なわれるようなコマンドによる指定手段でも良い。

【００３９】指定されたノードが有向グラフ上のどの位
置に現れるかを検出する（ステップＳ５）。検出の方法
は、グラフ理論で通常行なうように、有向グラフのルー
ト（有向グラフのベースノード）から各ノードへ到達す
る矢の列を並べることで決定できる。ルートから指定ノ
ードまでの矢をたどる各段階で、左から何番目の矢を通
るのかを調べれば、有向グラフにおいて、現在検出レベ
ルの「infer 」の後の何番目の要素を採用すれば良いか
が決定される。これはＬｉｓｐ言語において、ｃｄｒを
その回数だけ繰り返し最後にｃａｒを取り出すことに等
しく、実際、有向グラフも内部表現で記述された証明も
Ｌｉｓｐと同じリスト構造をしている。左からｎ番目の
矢を通るときには、「infer 」のｎ＋１番目の要素を検
出すればよく、この繰り返しを行なって、選択した矢の
列の表を作る。

【００４０】生成された矢の列にしたがって、内部表現
で記述された証明から、部分証明を取り出す（ステップ
Ｓ６）。矢の列の最初から順に、左から何番目の矢が選
択されているかにしたがって、内部表現で記述された証
明から要素を取り出す。ｎ番目の矢が選択されたときに
は、今検出しているレベルの「infer 」のｎ＋１番目の
要素を取り出せば良い。「infer 」の要素は、再び内部
表現で記述された証明になっている。取り出した内部表
現で記述された証明にこの作業を繰り返す。矢の列がな
くなるまで再帰的に繰り返すと、指定されたノードを根
とする内部表現で記述された証明が取り出せる。

【００４１】取り出された内部表現で記述された証明
を、根から順に推論規則を横線で表示して、下から順に
指定された表示レベルまで表示する。表示レベルは、各
枝ごとに推論規則で１段階上がるごとに１を減じて表示
レベルが０になるまで繰り返す（ステップＳ７）。例え
ば、入力されている証明が式（４）である場合に、この
証明を全て表示すると、図６のようになるが、部分証明
の範囲をベースノードから２階層までとすると、ベース
となる論理式から２段階上までしか表示されない。図８
は表示レベルを２とした場合の部分証明図である。この
証明図では、図６で示した証明のベースとなる論理式Ｃ
の左上の枝の三段目以上の論理式が表示されていない。

【００４２】このようにして、証明の一部分を抜き出し
で画面表示させることができ、その証明に対応するプロ
グラムの効率の改善やモジュール化等の作業を効率よく
行うことができる。

【００４３】

【発明の効果】以上説明したように本発明では、証明を
有向グラフで表すようにしたことにより、通常の証明図
では画面から飛び出してしまうような場合であっても、
証明全体を視覚的に把握することができる。

【００４４】また、有向グラフ上で位置や表示レベルを
指定して、証明の一部分を証明図として表示できるよう
にしたことにより、効率のよいプログラムの作成や、適
正なプログラムのモジュール化を可能とする証明を容易
に構築することができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の証明図表示装置の原理構成図である。

【図２】本発明を実施するための証明図表示装置の構成
を示すブロック図である。

【図３】画面上に表された論理記号を示す図である。

【図４】画面上に表示される推論規則を示す図である。
（Ａ）は論理式Ａから直接に論理式Ｂが導き出せるとい
う推論規則であり、（Ｂ）は論理式Ａ、Ｂ、Ｃから論理
式Ｄが導かれるような推論規則であり、（Ｃ）は論理式
Ａ、Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｆから論理式Ｈが導かれることを証明
した証明図である。

【図５】本発明の処理手順を示すフローチャートであ
る。

【図６】式（４）の証明図である。

【図７】画面に表示される有向グラフを示す図である。

【図８】表示レベルを２とした場合の部分証明図であ
る。

【符号の説明】

１ 証明 ２ 有向グラフ生成手段 ３ 有向グラフ表示手段 ４ 部分証明範囲指定手段 ５ 部分証明生成手段 ６ 部分証明図表示手段 ６ａ 部分証明図

Claims (2)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 証明図を画面表示する証明図表示装置に
   おいて、 形式的に表現された証明が入力されると、論理式を節点
   とし、与えられた推論規則における、他の論理式を導く
   ための論理式と導かれる論理式とが接続関係を有する有
   向グラフを生成する有向グラフ生成手段と、 前記有向グラフを画面に表示する有向グラフ表示手段
   と、 を有することを特徴とする証明図表示装置。
2. 【請求項２】 前記有向グラフの任意の一部分を示す部
   分証明範囲を指定する部分証明範囲指定手段と、前記証
   明の中から、前記部分証明範囲に対応する部分証明を取
   り出す部分証明生成手段と、前記部分証明を視覚的に示
   した部分証明図を画面に表示する部分証明図表示手段
   と、をさらに有することを特徴とする請求項１記載の証
   明図表示装置。