JPH06295154A - 楕円曲線を用いた署名、認証及び秘密通信方式 - Google Patents
楕円曲線を用いた署名、認証及び秘密通信方式Info
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- JPH06295154A JPH06295154A JP8297893A JP8297893A JPH06295154A JP H06295154 A JPH06295154 A JP H06295154A JP 8297893 A JP8297893 A JP 8297893A JP 8297893 A JP8297893 A JP 8297893A JP H06295154 A JPH06295154 A JP H06295154A
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- G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
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- G06F7/60—Methods or arrangements for performing computations using a digital non-denominational number representation, i.e. number representation without radix; Computing devices using combinations of denominational and non-denominational quantity representations, e.g. using difunction pulse trains, STEELE computers, phase computers
- G06F7/72—Methods or arrangements for performing computations using a digital non-denominational number representation, i.e. number representation without radix; Computing devices using combinations of denominational and non-denominational quantity representations, e.g. using difunction pulse trains, STEELE computers, phase computers using residue arithmetic
- G06F7/724—Finite field arithmetic
- G06F7/725—Finite field arithmetic over elliptic curves
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Abstract
(57)【要約】
【目的】 安全性を保ちながら処理の高速化が定義体の
増加なしに実現でき、また既存の加法鎖による高速化と
の組み合わせも容易できる楕円曲線及びベースポイント
を構成し、この楕円曲線上の離散対数問題に安全性の根
拠をもつ署名、認証及び秘密通信方式を提供する。 【構成】 正整数ｔ及び小さい正整数αに対して、ｐを
２t±αとなる素数とし、有限体ＧＦ（ｐ）を定義体に
もつ楕円曲線ＥのＧＦ(ｐ)上の元で構成される群をＥ
(ＧＦ(ｐ))とし、前記Ｅ(ＧＦ(ｐ))上定義された離散対
数問題を安全性の根拠にもつ。
増加なしに実現でき、また既存の加法鎖による高速化と
の組み合わせも容易できる楕円曲線及びベースポイント
を構成し、この楕円曲線上の離散対数問題に安全性の根
拠をもつ署名、認証及び秘密通信方式を提供する。 【構成】 正整数ｔ及び小さい正整数αに対して、ｐを
２t±αとなる素数とし、有限体ＧＦ（ｐ）を定義体に
もつ楕円曲線ＥのＧＦ(ｐ)上の元で構成される群をＥ
(ＧＦ(ｐ))とし、前記Ｅ(ＧＦ(ｐ))上定義された離散対
数問題を安全性の根拠にもつ。
Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は情報セキュリテイ技術と
しての暗号技術に関するものであり、特に、楕円曲線を
用いて実現された暗号技術に関するものである。
しての暗号技術に関するものであり、特に、楕円曲線を
用いて実現された暗号技術に関するものである。
【０００２】
【従来の技術】秘密通信方式とは、特定の通信相手以外
に通信内容を漏らすことなく通信を行なう方式である。
また署名及び認証方式とは、通信相手に通信内容の正当
性を示したり、本人であることを証明する通信方式であ
る。この署名、認証及び秘密通信方式には公開鍵暗号と
よばれる通信方式がある。公開鍵暗号は通信相手が多数
の時、通信相手ごとに異なる暗号鍵を容易に管理するた
めの方式であり、不特定多数の通信相手と通信を行なう
のに不可欠な基盤技術である。簡単に説明すると、これ
は暗号化鍵と復号化鍵が異なり、復号化鍵は秘密にする
が、暗号化鍵を公開する方式である。この公開鍵暗号の
安全性の根拠に用いられるものに楕円曲線上の離散対数
問題がある。これはニイルコブリッツ著 ”ア コウス
イン ナンバア セオリイ アンド クリプトグラヒ
イ”(Neal koblitz , " A Course in Number Theory an
d Cryptography ",Springer-Verlag,1987)に詳しく述べ
られている。楕円曲線上の離散対数問題を以下に述べ
る。
に通信内容を漏らすことなく通信を行なう方式である。
また署名及び認証方式とは、通信相手に通信内容の正当
性を示したり、本人であることを証明する通信方式であ
る。この署名、認証及び秘密通信方式には公開鍵暗号と
よばれる通信方式がある。公開鍵暗号は通信相手が多数
の時、通信相手ごとに異なる暗号鍵を容易に管理するた
めの方式であり、不特定多数の通信相手と通信を行なう
のに不可欠な基盤技術である。簡単に説明すると、これ
は暗号化鍵と復号化鍵が異なり、復号化鍵は秘密にする
が、暗号化鍵を公開する方式である。この公開鍵暗号の
安全性の根拠に用いられるものに楕円曲線上の離散対数
問題がある。これはニイルコブリッツ著 ”ア コウス
イン ナンバア セオリイ アンド クリプトグラヒ
イ”(Neal koblitz , " A Course in Number Theory an
d Cryptography ",Springer-Verlag,1987)に詳しく述べ
られている。楕円曲線上の離散対数問題を以下に述べ
る。
【０００３】楕円曲線の離散対数問題 ｑを素数べきとし、ＧＦ(ｑ)を有限体とし、楕円曲線Ｅ
のＧＦ(ｑ)上の元で生成される群をＥ(ＧＦ(ｑ))とし、
Ｅ(ＧＦ(ｑ))の位数が大きな素数で割れる元Ｐをベース
ポイントとする。このとき、Ｅ(ＧＦ(ｑ))の与えられた
元Ｑに対して、 Ｑ＝ｘＰ となる整数ｘが存在するならばｘを求めよ。
のＧＦ(ｑ)上の元で生成される群をＥ(ＧＦ(ｑ))とし、
Ｅ(ＧＦ(ｑ))の位数が大きな素数で割れる元Ｐをベース
ポイントとする。このとき、Ｅ(ＧＦ(ｑ))の与えられた
元Ｑに対して、 Ｑ＝ｘＰ となる整数ｘが存在するならばｘを求めよ。
【０００４】上記の楕円曲線上の離散対数問題は、１９
９１年に考案された楕円曲線上の離散対数問題を有限体
上の離散対数問題に帰着させて解く解法をのぞくとサブ
イクスポーネンシャルな解法が存在しない。この解法
は、A. Menezes, S. Vanstoneand T. Okamoto, "Reduci
ng Elliptic Curve Logarithm to Logarithms in a Fin
ite Field", STOC 91に詳しく述べられている。ＭＯＶ
帰着法とは、ｑを素数べきとし、有限体ＧＦ(ｑ)上定義
された楕円曲線をＥとし、ＥのＧＦ(ｑ)上の元で構成さ
れる群をＥ(ＧＦ(ｑ))とする。このときＥ(ＧＦ(ｑ))∋
Ｐをベースとする楕円曲線上の離散対数問題は、Ｐの位
数とｑが互いに素なときには、有限体ＧＦ(ｑ)のある拡
大体ＧＦ(ｑr)上の離散対数問題に帰着して解くことが
できる。特にＥがスーパーシンギュラと呼ばれる楕円曲
線の場合には有限体ＧＦ(ｑ)の高々６次拡大体ＧＦ
(ｑ6)上の離散対数問題に帰着して解くことができる。
９１年に考案された楕円曲線上の離散対数問題を有限体
上の離散対数問題に帰着させて解く解法をのぞくとサブ
イクスポーネンシャルな解法が存在しない。この解法
は、A. Menezes, S. Vanstoneand T. Okamoto, "Reduci
ng Elliptic Curve Logarithm to Logarithms in a Fin
ite Field", STOC 91に詳しく述べられている。ＭＯＶ
帰着法とは、ｑを素数べきとし、有限体ＧＦ(ｑ)上定義
された楕円曲線をＥとし、ＥのＧＦ(ｑ)上の元で構成さ
れる群をＥ(ＧＦ(ｑ))とする。このときＥ(ＧＦ(ｑ))∋
Ｐをベースとする楕円曲線上の離散対数問題は、Ｐの位
数とｑが互いに素なときには、有限体ＧＦ(ｑ)のある拡
大体ＧＦ(ｑr)上の離散対数問題に帰着して解くことが
できる。特にＥがスーパーシンギュラと呼ばれる楕円曲
線の場合には有限体ＧＦ(ｑ)の高々６次拡大体ＧＦ
(ｑ6)上の離散対数問題に帰着して解くことができる。
【０００５】そこで、上記解法のＭＯＶ帰着法を避ける
ように楕円曲線を構成する研究が行われるようになっ
た。この方法は色々あるが、例えば、T. Beth, F. Scha
efer,"Non Supersingular Elliptic Curves for Public
Key Cryptosystems", Eurocrypt 91, 1991、または宮
地充子著"On ordinary elliptic curve cryptosystem
s", abstract of Asiacrypt'91、等に詳しくかかれてい
る。これらの方法を用いて構成すると、現時点ではサブ
イクスポーネンシャルアルゴリズムを与える解法がない
ため有限体上の離散対数問題と同程度の安全性ならばは
るかに小さな定義体で構成することができる。
ように楕円曲線を構成する研究が行われるようになっ
た。この方法は色々あるが、例えば、T. Beth, F. Scha
efer,"Non Supersingular Elliptic Curves for Public
Key Cryptosystems", Eurocrypt 91, 1991、または宮
地充子著"On ordinary elliptic curve cryptosystem
s", abstract of Asiacrypt'91、等に詳しくかかれてい
る。これらの方法を用いて構成すると、現時点ではサブ
イクスポーネンシャルアルゴリズムを与える解法がない
ため有限体上の離散対数問題と同程度の安全性ならばは
るかに小さな定義体で構成することができる。
【０００６】ところが楕円曲線の場合、一演算に１２、
３回の乗算を要求するので、定義体の大きさが小さくな
ってもあまり実行速度が速くならない。そこでＭＯＶ帰
着法を避けることができさらに実行速度を速くするため
の研究が行われるようになった。
３回の乗算を要求するので、定義体の大きさが小さくな
ってもあまり実行速度が速くならない。そこでＭＯＶ帰
着法を避けることができさらに実行速度を速くするため
の研究が行われるようになった。
【０００７】次に楕円曲線を用いた暗号の実行速度を速
くする従来の技術の一つについて述べる。これはコブリ
ッツ著"CM-curves with good cryptographic propertie
s",Crypto'91, 1991に詳しくかかれている。
くする従来の技術の一つについて述べる。これはコブリ
ッツ著"CM-curves with good cryptographic propertie
s",Crypto'91, 1991に詳しくかかれている。
【０００８】従来例 図２は従来例における署名、認証及び秘密通信方式の実
行速度を高速にする楕円曲線の構成を示すものである。
行速度を高速にする楕円曲線の構成を示すものである。
【０００９】以下同図を参照しながら従来例の手順を説
明する。 （１）楕円曲線の候補の決定 次の二つのＧＦ(２)を定義体にもつアノラマス楕円曲線
を考える。
明する。 （１）楕円曲線の候補の決定 次の二つのＧＦ(２)を定義体にもつアノラマス楕円曲線
を考える。
【００１０】Ｅ1：ｙ2＋ｘｙ＝ｘ3＋ｘ2＋１ Ｅ2：ｙ2＋ｘｙ＝ｘ3＋１ 楕円曲線ＥのＧＦ(２m)上の元で構成される群Ｅ(ＧＦ
(２m))とは次のような群である。
(２m))とは次のような群である。
【００１１】Ｅ1(ＧＦ(２m))＝｛ｘ，ｙ∈ＧＦ(２m)｜
ｙ2＋ｘｙ＝ｘ3＋ｘ2＋１｝∪｛∞｝ Ｅ2(ＧＦ(２m))＝｛ｘ，ｙ∈ＧＦ(２m)｜ｙ2＋ｘｙ＝ｘ
3＋１｝∪｛∞｝ ここで∞は無限遠点を表わす。 （２）適当な拡大次数ｍの決定 公開鍵暗号の安全性の根拠となる上述の楕円曲線の離散
対数問題はベースポイントである元Ｐの位数が大きな素
因数を持たなければ簡単に解けることが知られている。
ｙ2＋ｘｙ＝ｘ3＋ｘ2＋１｝∪｛∞｝ Ｅ2(ＧＦ(２m))＝｛ｘ，ｙ∈ＧＦ(２m)｜ｙ2＋ｘｙ＝ｘ
3＋１｝∪｛∞｝ ここで∞は無限遠点を表わす。 （２）適当な拡大次数ｍの決定 公開鍵暗号の安全性の根拠となる上述の楕円曲線の離散
対数問題はベースポイントである元Ｐの位数が大きな素
因数を持たなければ簡単に解けることが知られている。
【００１２】位数が大きな素因数を持つ元Ｐが存在する
ための必要十分条件はＥ(ＧＦ(ｑ))の元の個数が大きな
素因数を持つことである。
ための必要十分条件はＥ(ＧＦ(ｑ))の元の個数が大きな
素因数を持つことである。
【００１３】そこで、(1)に述べた楕円曲線Ｅiについて
その元の個数#Ｅi(ＧＦ(２m))が大きな素因数を持つよ
うにｍを求める。(ｉ＝１、２) （３）実際の楕円曲線の構成例 楕円曲線ＥiのＧＦ(２m)上の元で構成される群Ｅi(ＧＦ
(２m))の元の個数を求めその素因数分解を行なった結果 ｍ＝１０１のとき、#Ｅ1（ＧＦ（２ｎ））＝２×素数ｐ
1 ｍ＝１３１のとき、#Ｅ2(ＧＦ(２m))＝４×素数ｐ2 となることがわかった。また、ＭＯＶ帰着法により埋め
込まれる有限体が十分大きくなることも確かめられる。
その元の個数#Ｅi(ＧＦ(２m))が大きな素因数を持つよ
うにｍを求める。(ｉ＝１、２) （３）実際の楕円曲線の構成例 楕円曲線ＥiのＧＦ(２m)上の元で構成される群Ｅi(ＧＦ
(２m))の元の個数を求めその素因数分解を行なった結果 ｍ＝１０１のとき、#Ｅ1（ＧＦ（２ｎ））＝２×素数ｐ
1 ｍ＝１３１のとき、#Ｅ2(ＧＦ(２m))＝４×素数ｐ2 となることがわかった。また、ＭＯＶ帰着法により埋め
込まれる有限体が十分大きくなることも確かめられる。
【００１４】よってＥ2(ＧＦ(２131))上の位数が素数ｐ
2となる元をベースポイントＰとする楕円曲線上の離散
対数問題もしくはＥ1(ＧＦ(２101))上の位数が素数ｐ1
となる元をベースポイントＰとする楕円曲線上の離散対
数問題を安全性の根拠にした公開鍵暗号を構成すればよ
いことが結論づけられる。
2となる元をベースポイントＰとする楕円曲線上の離散
対数問題もしくはＥ1(ＧＦ(２101))上の位数が素数ｐ1
となる元をベースポイントＰとする楕円曲線上の離散対
数問題を安全性の根拠にした公開鍵暗号を構成すればよ
いことが結論づけられる。
【００１５】このように構成した楕円曲線は、２kＰ
（Ｐ＝（ｘ，ｙ）；ｋ＝１、２、３、４）の計算が次の
ように求められる。
（Ｐ＝（ｘ，ｙ）；ｋ＝１、２、３、４）の計算が次の
ように求められる。
【００１６】２Ｐ ＝Ｐ＋Ｐ ４Ｐ ＝−（ｘ2^3，ｙ2^3）−（ｘ2^2，ｙ2^2） ８Ｐ ＝−（ｘ2^3，ｙ2^3）＋（ｘ2^5，ｙ2^5） １６Ｐ＝（ｘ2^4，ｙ2^4）−（ｘ2^6，ｙ2^6） 一方ＧＦ（２）の拡大体上の演算は、基底として正規基
底を用いると２乗の計算が巡回シフトで実現されるので
ハードウエアで実現するときには、実行速度は無視でき
る。よって、２kＰ（ｋ＝１、２、３、４）の計算が２
回の楕円曲線の足し算で実行できることになり、高速化
が望める。また特にＥ2では定義体ＧＦ（２131）上の正
規基底は最適な正規基底となり、一回の乗算に必要とな
る論理積及び排他的論理和の回数が最小になるので、基
本演算（有限体の乗算）の高速化が望める。
底を用いると２乗の計算が巡回シフトで実現されるので
ハードウエアで実現するときには、実行速度は無視でき
る。よって、２kＰ（ｋ＝１、２、３、４）の計算が２
回の楕円曲線の足し算で実行できることになり、高速化
が望める。また特にＥ2では定義体ＧＦ（２131）上の正
規基底は最適な正規基底となり、一回の乗算に必要とな
る論理積及び排他的論理和の回数が最小になるので、基
本演算（有限体の乗算）の高速化が望める。
【００１７】しかし上記従来例においては、楕円曲線の
一回の加法が高速になるというわけではない。このた
め、より高速にするには、演算を高速にする条件（最適
な正規基底をもつ有限体ＧＦ（２m））と安全で２i倍点
（ｉ＝１、２、３、４）が簡単になる楕円曲線の条件
（アノラマス楕円曲線でかつ元の個数が大きな素数で割
れる）の両者の条件を満たす楕円曲線を見つける必要が
ある。しかし両者の条件は包含関係にあるわけではない
ので、両者を満たす楕円曲線の数は少なくなる。実際上
記の例の場合、Ｅ2（ＧＦ（２131））のほうが、最適な
正規基底を用いることができるが、最適な正規基底が存
在しないＥ1（ＧＦ（２101））のほうが小さい定義体で
実現できることになる。
一回の加法が高速になるというわけではない。このた
め、より高速にするには、演算を高速にする条件（最適
な正規基底をもつ有限体ＧＦ（２m））と安全で２i倍点
（ｉ＝１、２、３、４）が簡単になる楕円曲線の条件
（アノラマス楕円曲線でかつ元の個数が大きな素数で割
れる）の両者の条件を満たす楕円曲線を見つける必要が
ある。しかし両者の条件は包含関係にあるわけではない
ので、両者を満たす楕円曲線の数は少なくなる。実際上
記の例の場合、Ｅ2（ＧＦ（２131））のほうが、最適な
正規基底を用いることができるが、最適な正規基底が存
在しないＥ1（ＧＦ（２101））のほうが小さい定義体で
実現できることになる。
【００１８】また一般に楕円曲線のｋＰの計算を高速に
する方法の一つに加法鎖の研究がある。これは、有限体
のｇkの計算の加法鎖の研究と平行してなされる。これ
は、予備計算テーブルの持ち方及び計算の順序の工夫を
行う研究である。これについては、M. J. Coster, "Som
e algorithms on addition chains and their complexi
ty", Center for Mathematics and Computer Science R
eport CS-R9024に詳しい。この方法を用いたｋＰの計算
と、上述の２i倍点（ｉ＝１、２、３、４）が簡単にな
る方法を用いたｋＰの計算では、加法鎖を用いたほうが
高速に実現され、両方法の組み合わせによる高速化は困
難である。
する方法の一つに加法鎖の研究がある。これは、有限体
のｇkの計算の加法鎖の研究と平行してなされる。これ
は、予備計算テーブルの持ち方及び計算の順序の工夫を
行う研究である。これについては、M. J. Coster, "Som
e algorithms on addition chains and their complexi
ty", Center for Mathematics and Computer Science R
eport CS-R9024に詳しい。この方法を用いたｋＰの計算
と、上述の２i倍点（ｉ＝１、２、３、４）が簡単にな
る方法を用いたｋＰの計算では、加法鎖を用いたほうが
高速に実現され、両方法の組み合わせによる高速化は困
難である。
【００１９】
【発明が解決しようとする課題】楕円曲線上の離散対数
問題を安全性の根拠にした公開鍵暗号は、高速な処理が
求められる。従来例１のように特定のｃに対しｃＰが高
速になるという方法の場合、一般のｋに対しｋＰを高速
にする際、加法鎖の方法と組み合わせて高速にするのが
困難である。またｃＰが高速になる条件と基本演算が高
速になる条件の両方を満たす楕円曲線を構成すると定義
体が大きくなるという問題が起こる。
問題を安全性の根拠にした公開鍵暗号は、高速な処理が
求められる。従来例１のように特定のｃに対しｃＰが高
速になるという方法の場合、一般のｋに対しｋＰを高速
にする際、加法鎖の方法と組み合わせて高速にするのが
困難である。またｃＰが高速になる条件と基本演算が高
速になる条件の両方を満たす楕円曲線を構成すると定義
体が大きくなるという問題が起こる。
【００２０】本発明は、これらの従来例における問題点
を鑑みて行なわれたもので、安全性を保ちながら処理の
高速化が定義体の増加なしに実現でき、また既存の加法
鎖による高速化との組み合わせも容易できる楕円曲線及
びベースポイントを構成し、この楕円曲線上の離散対数
問題に安全性の根拠をもつ署名、認証及び秘密通信方式
を提供することを目的とする。
を鑑みて行なわれたもので、安全性を保ちながら処理の
高速化が定義体の増加なしに実現でき、また既存の加法
鎖による高速化との組み合わせも容易できる楕円曲線及
びベースポイントを構成し、この楕円曲線上の離散対数
問題に安全性の根拠をもつ署名、認証及び秘密通信方式
を提供することを目的とする。
【００２１】
【課題を解決するための手段】請求項１に係る署名、認
証及び秘密通信方式においては、正整数ｔ及び小さい正
整数αに対して、ｐを２t±αとなる素数とし、楕円曲
線Ｅを有限体ＧＦ（ｐ）上構成する。
証及び秘密通信方式においては、正整数ｔ及び小さい正
整数αに対して、ｐを２t±αとなる素数とし、楕円曲
線Ｅを有限体ＧＦ（ｐ）上構成する。
【００２２】請求項２に係る署名、認証及び秘密通信方
式においては、ｐを正整数ｔ及び小さい正整数αに対し
て、２t±αと表される素数とし、有限体ＧＦ(ｐ)を定
義体にもつ楕円曲線ＥのＧＦ(ｐ)上の元で構成される群
をＥ(ＧＦ(ｐ))とするとき、Ｅ（ＧＦ（ｐ））の元の個
数がｐになるように前記楕円曲線Ｅを構成する。
式においては、ｐを正整数ｔ及び小さい正整数αに対し
て、２t±αと表される素数とし、有限体ＧＦ(ｐ)を定
義体にもつ楕円曲線ＥのＧＦ(ｐ)上の元で構成される群
をＥ(ＧＦ(ｐ))とするとき、Ｅ（ＧＦ（ｐ））の元の個
数がｐになるように前記楕円曲線Ｅを構成する。
【００２３】請求項３に係る署名、認証及び秘密通信方
式においては、正整数ｄを、虚二次体Ｑ((−ｄ)1/2)の
類数が小さくなるようにとり、素数ｐを、４×ｐ−１の
素因数がｄ×平方数となりかつ、正整数ｔ及び小さい正
整数αに対して２t±αと表せる素数とし、楕円曲線Ｅ
を、有限体ＧＦ（ｐ）上でｄにより定まる類多項式Ｈ
d(ｘ)＝０のｐを法とした解をｊ不変数にもつように構
成する。
式においては、正整数ｄを、虚二次体Ｑ((−ｄ)1/2)の
類数が小さくなるようにとり、素数ｐを、４×ｐ−１の
素因数がｄ×平方数となりかつ、正整数ｔ及び小さい正
整数αに対して２t±αと表せる素数とし、楕円曲線Ｅ
を、有限体ＧＦ（ｐ）上でｄにより定まる類多項式Ｈ
d(ｘ)＝０のｐを法とした解をｊ不変数にもつように構
成する。
【００２４】請求項４に係る署名、認証及び秘密通信方
式においては、請求項３記載の方式において、上記正整
数αは、正整数ｔに対して、略々（２ｔ）／３ビットの
大きさとし、上記素数ｐは２t±αと表せる素数とす
る。
式においては、請求項３記載の方式において、上記正整
数αは、正整数ｔに対して、略々（２ｔ）／３ビットの
大きさとし、上記素数ｐは２t±αと表せる素数とす
る。
【００２５】
【作用】請求項１に係る発明によれば、正整数ｔ及び小
さい正整数αに対して、ｐを２ t±αとなる素数とし、
有限体ＧＦ（ｐ）を定義体にもつ楕円曲線ＥのＧＦ
（ｐ）上の元で構成される群をＥ(ＧＦ(ｐ))とし、前記
Ｅ(ＧＦ(ｐ))上定義された離散対数問題を安全性の根拠
にもつことを特徴とした楕円曲線を用いて暗号方式が構
成される。
さい正整数αに対して、ｐを２ t±αとなる素数とし、
有限体ＧＦ（ｐ）を定義体にもつ楕円曲線ＥのＧＦ
（ｐ）上の元で構成される群をＥ(ＧＦ(ｐ))とし、前記
Ｅ(ＧＦ(ｐ))上定義された離散対数問題を安全性の根拠
にもつことを特徴とした楕円曲線を用いて暗号方式が構
成される。
【００２６】請求項２に係る発明によれば、ｐを正整数
ｔ及び小さい正整数αに対して、２ t ±αと表される素
数とし、有限体ＧＦ（ｐ）を定義体にもつ楕円曲線Ｅの
ＧＦ（ｐ）上の元で構成される群をＥ（ＧＦ（ｐ））と
するとき、Ｅ（ＧＦ（ｐ））の元の個数がｐになるよう
に前記楕円曲線Ｅをとることを特徴とした楕円曲線を用
いて署名、認証及び秘密通信方式がなされる。
ｔ及び小さい正整数αに対して、２ t ±αと表される素
数とし、有限体ＧＦ（ｐ）を定義体にもつ楕円曲線Ｅの
ＧＦ（ｐ）上の元で構成される群をＥ（ＧＦ（ｐ））と
するとき、Ｅ（ＧＦ（ｐ））の元の個数がｐになるよう
に前記楕円曲線Ｅをとることを特徴とした楕円曲線を用
いて署名、認証及び秘密通信方式がなされる。
【００２７】請求項３に係る発明によれば、正整数ｄ
を、虚二次体Ｑ((−ｄ)1/2)の類数が小さくなるように
とり、素数ｐを、４×ｐ−１の素因数がｄ×平方数とな
りかつ、正整数ｔ及び小さい正整数αに対して２t±α
と表せる素数とし、ｄにより定まる類多項式Ｈd(ｘ)＝
０のｐを法とした解をｊ不変数にもつ有限体ＧＦ(ｐ)を
定義体にもつ楕円曲線ＥのＧＦ(ｐ)上の元で構成される
群をＥ(ＧＦ(ｐ))とし、前記Ｅ(ＧＦ(ｐ))上定義された
離散対数問題を安全性の根拠にもつことを特徴とした楕
円曲線を用いて暗号方式が構成される。
を、虚二次体Ｑ((−ｄ)1/2)の類数が小さくなるように
とり、素数ｐを、４×ｐ−１の素因数がｄ×平方数とな
りかつ、正整数ｔ及び小さい正整数αに対して２t±α
と表せる素数とし、ｄにより定まる類多項式Ｈd(ｘ)＝
０のｐを法とした解をｊ不変数にもつ有限体ＧＦ(ｐ)を
定義体にもつ楕円曲線ＥのＧＦ(ｐ)上の元で構成される
群をＥ(ＧＦ(ｐ))とし、前記Ｅ(ＧＦ(ｐ))上定義された
離散対数問題を安全性の根拠にもつことを特徴とした楕
円曲線を用いて暗号方式が構成される。
【００２８】請求項４に係る発明によれば、上記正整数
αは、正整数ｔに対して、（２ｔ）／３ビットぐらいの
大きさとし、上記素数ｐは２t±αと表せる素数であ
り、その上で安全で高速な署名、認証及び秘密通信方式
の構成がなされる。
αは、正整数ｔに対して、（２ｔ）／３ビットぐらいの
大きさとし、上記素数ｐは２t±αと表せる素数であ
り、その上で安全で高速な署名、認証及び秘密通信方式
の構成がなされる。
【００２９】
【実施例】図１は本発明の実施例における楕円曲線上の
署名、認証及び秘密通信方式の構成を示すものである。
以下同図を参照しながら実施例の手順を説明する。
署名、認証及び秘密通信方式の構成を示すものである。
以下同図を参照しながら実施例の手順を説明する。
【００３０】(1)正整数ｄの決定 正整数ｄを、虚二次体Ｑ((−ｄ)1/2)の類数が小さくな
るようにとる。ここではｄ＝１１とする。なお虚二次体
Ｑ((−ｄ)1/2)及び類数については、シルバーマン著”
ザ アリスメチック オブ エリプティック カーブ
ズ””(J. H.Silverman, " The arithmetic of ellipt
ic curves",Springer-Verlag,1986)に詳しく述べられて
いる。
るようにとる。ここではｄ＝１１とする。なお虚二次体
Ｑ((−ｄ)1/2)及び類数については、シルバーマン著”
ザ アリスメチック オブ エリプティック カーブ
ズ””(J. H.Silverman, " The arithmetic of ellipt
ic curves",Springer-Verlag,1986)に詳しく述べられて
いる。
【００３１】(2)素数ｐの生成 素数ｐを、４ｐ＝１１×平方数となり、かつ正整数ｔ及
び（２ｔ）／３ビットぐらいの大きさのαに対し２t−
αと表されるようにとる。
び（２ｔ）／３ビットぐらいの大きさのαに対し２t−
αと表されるようにとる。
【００３２】ここでは ｐ＝２t−α ｔ＝128 α＝89 25388 84800 47273 94087 ととる。
【００３３】(3)楕円曲線Ｅ及びベースポイントＰの決
定 有限体ＧＦ(ｐ)を定義体にもち、元の個数が丁度ｐ個に
なる楕円曲線Ｅは次で与えられる。
定 有限体ＧＦ(ｐ)を定義体にもち、元の個数が丁度ｐ個に
なる楕円曲線Ｅは次で与えられる。
【００３４】Ｅ：ｙ2＝ｘ3＋１２ａ3x+１６ａ4 a＝1887 65172 00252 43003 83780 59753 00282 08521 このとき、Ｅ（ＧＦ（ｐ））の元Ｐ＝（０，４ａ2）が
存在する。
存在する。
【００３５】上記のようにして構成された楕円曲線Ｅ及
びベースポイントＰを従来例２の楕円曲線上の署名、認
証及び秘密通信方式に用いると、ベースポイントＰの位
数が大きな素数で割れ、かつＭＯＶ帰着法を避けること
ができるので安全な方式が実現される。さらに方式の実
現に要求される基本演算はＧＦ（ｐ）上の乗法になるの
で、ｐ＝２t±αという形から一般の有限体上の乗法に
比較して高速に実現できる。また従来例のように特定の
ｃに対しｃＰの計算が速くなるというものではないの
で、一般のｋに対してｋＰの計算を高速にする手法であ
る加算鎖の方法と容易に組み合わせることにより高速化
が可能になる。またデータ量についても、定義体のデー
タとしてｐを覚える代わりにｔとαを覚えることができ
るので、データ量を約２／３ビットに削減できる。
びベースポイントＰを従来例２の楕円曲線上の署名、認
証及び秘密通信方式に用いると、ベースポイントＰの位
数が大きな素数で割れ、かつＭＯＶ帰着法を避けること
ができるので安全な方式が実現される。さらに方式の実
現に要求される基本演算はＧＦ（ｐ）上の乗法になるの
で、ｐ＝２t±αという形から一般の有限体上の乗法に
比較して高速に実現できる。また従来例のように特定の
ｃに対しｃＰの計算が速くなるというものではないの
で、一般のｋに対してｋＰの計算を高速にする手法であ
る加算鎖の方法と容易に組み合わせることにより高速化
が可能になる。またデータ量についても、定義体のデー
タとしてｐを覚える代わりにｔとαを覚えることができ
るので、データ量を約２／３ビットに削減できる。
【００３６】なお、上述の実施例は正整数ｄを１１とし
て行ったが、これは勿論他の虚二次体Ｑ((−ｄ)1/2)の
類数が小さくなるような正整数なら何でもよい。また、
ｄに対して条件を満たす素数ｐは上述の実施例だけに限
定されるのでなく（２）に示したｐに関する条件を満た
す素数なら何でもよい。
て行ったが、これは勿論他の虚二次体Ｑ((−ｄ)1/2)の
類数が小さくなるような正整数なら何でもよい。また、
ｄに対して条件を満たす素数ｐは上述の実施例だけに限
定されるのでなく（２）に示したｐに関する条件を満た
す素数なら何でもよい。
【００３７】
【発明の効果】本発明によれば、データ量の削減及び処
理の高速化が可能な楕円曲線を構成することができ、高
い安全性でより高速な署名、認証及び秘密通信方式の実
現が可能になる。
理の高速化が可能な楕円曲線を構成することができ、高
い安全性でより高速な署名、認証及び秘密通信方式の実
現が可能になる。
【図１】本発明の実施例における楕円曲線の構成図
【図２】従来例の楕円曲線の構成図
Claims (4)
- 【請求項１】正整数ｔ及び小さい正整数αに対して、ｐ
を２t±αとなる素数とし、有限体ＧＦ（ｐ）を定義体
にもつ楕円曲線ＥのＧＦ(ｐ)上の元で構成される群をＥ
(ＧＦ(ｐ))とし、前記Ｅ(ＧＦ(ｐ))上定義された離散対
数問題を安全性の根拠にもつことを特徴とする楕円曲線
を用いた署名、認証及び秘密通信方式。 - 【請求項２】ｐを正整数ｔ及び小さい正整数αに対し
て、２t±αと表される素数とし、有限体ＧＦ(ｐ)を定
義体にもつ楕円曲線ＥのＧＦ(ｐ)上の元で構成される群
をＥ(ＧＦ(ｐ))とするとき、Ｅ（ＧＦ（ｐ））の元の個
数がｐになるように前記楕円曲線Ｅをとることを特徴と
する請求項１記載の楕円曲線を用いた署名、認証及び秘
密通信方式。 - 【請求項３】正整数ｄを、虚二次体Ｑ((−ｄ)1/2)の類
数が小さくなるようにとり、素数ｐを、４×ｐ−１の素
因数がｄ×平方数となりかつ、正整数ｔ及び小さい正整
数αに対して２t±αと表せる素数とし、ｄにより定ま
る類多項式Ｈd(ｘ)＝０のｐを法とした解をｊ不変数に
もつ有限体ＧＦ(ｐ)を定義体にもつ楕円曲線Ｅをとるこ
とを特徴とする請求項２記載の楕円曲線を用いた署名、
認証及び秘密通信方式。 - 【請求項４】正整数ｔに対して、正整数αは略々（２
ｔ）／３ビットの大きさとし、素数ｐを２t±αと表せ
る素数とすることを特徴とする請求項３記載の楕円曲線
を用いた署名、認証及び秘密通信方式。
Priority Applications (2)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP8297893A JPH06295154A (ja) | 1993-04-09 | 1993-04-09 | 楕円曲線を用いた署名、認証及び秘密通信方式 |
| US08/127,253 US5442707A (en) | 1992-09-28 | 1993-09-27 | Method for generating and verifying electronic signatures and privacy communication using elliptic curves |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP8297893A JPH06295154A (ja) | 1993-04-09 | 1993-04-09 | 楕円曲線を用いた署名、認証及び秘密通信方式 |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH06295154A true JPH06295154A (ja) | 1994-10-21 |
Family
ID=13789309
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP8297893A Pending JPH06295154A (ja) | 1992-09-28 | 1993-04-09 | 楕円曲線を用いた署名、認証及び秘密通信方式 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JPH06295154A (ja) |
Cited By (2)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP2001509926A (ja) * | 1997-02-03 | 2001-07-24 | サーティカム コープ． | データカード検証装置 |
| US7142668B1 (en) | 1999-04-09 | 2006-11-28 | Fujitsu Limited | Apparatus and method for generating expression data for finite field operation |
-
1993
- 1993-04-09 JP JP8297893A patent/JPH06295154A/ja active Pending
Cited By (7)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP2001509926A (ja) * | 1997-02-03 | 2001-07-24 | サーティカム コープ． | データカード検証装置 |
| US7472276B2 (en) | 1997-02-03 | 2008-12-30 | Certicom Corp. | Data card verification system |
| US7822987B2 (en) | 1997-02-03 | 2010-10-26 | Certicom Corp. | Data card verification system |
| US8307211B2 (en) | 1997-02-03 | 2012-11-06 | Certicom Corp. | Data card verification system |
| US8966271B2 (en) | 1997-02-03 | 2015-02-24 | Certicom Corp. | Data card verification system |
| US9990796B2 (en) | 1997-02-03 | 2018-06-05 | Certicom Corp. | Data card verification system |
| US7142668B1 (en) | 1999-04-09 | 2006-11-28 | Fujitsu Limited | Apparatus and method for generating expression data for finite field operation |
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