JPH0589160A - モンテカルロシミユレーシヨン方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【目的】モンテカルロ法において複雑な関数を含む場合
でもその精度を落とさずに高速化することである。 【構成】複雑な関数演算を含む散乱確率の計算１０６に
おいて、散乱確率テーブルと逐次計算を併用し各粒子各
散乱機構についてテーブル参照が可能かどうか判断し、
可能なものは散乱確率テーブル１０８を使用してテーブ
ル参照計算１０９を行ない、不可能なものは関数演算１
１０を行なう。 【効果】乱数的変数による複雑な関数演算を含むモンテ
カルロ法を高速化出来るので、それに伴い物理現象理解
の促進が期待される。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明はコンピュータを用いて確
率的現象を数値的に解析するシミュレーション方法に関
する。

【０００２】

【従来の技術】モンテカルロ法とは乱数を発生させて確
率的現象を解析する方法であり、粒子の挙動を計算する
プラズマ物理、流体力学、分子動力学、半導体特性解析
等の計算や統計的現象の最適化等広い分野で用いられて
いる。ところで従来のモンテカルロ法においては計算時
間が非常に大きいため、本来複雑な関数演算を単純化す
る場合が多かった。しかし物理現象を正確に計算するた
めには複雑な機構に基づいた確率分布を導出して用いる
必要がある。例えば半導体デバイス特性解析の場合、電
子の運動量とエネルギーの関係を近似式を用いずに正確
に考えた場合に、電子が散乱する確率は電子の散乱前の
運動量とその散乱後の散乱方向に依存しており、その依
存性は波動関数の解が含まれているため単純に関数形で
表記出来ない。このような解析の例はフィジカルレヴュ
ー ビー、３８（１９８８年）第９７２１頁から９７４
５頁（Physical ReviewB,３８,（１９８８）ｐｐ９７２
１ー９７４５）に記載されている。そこでは計算時間の
節約のため電子の散乱前の運動量とその散乱後の散乱方
向に依存した散乱確率はテーブルとして記憶しており、
乱数によってテーブルを参照して散乱後の散乱方向を確
率的に選択している。

【０００３】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら上記従来
技術では、運動量空間が３次元であり、散乱の方向もま
た３次元であるため、６次元のテーブルを作る必要があ
り、記憶容量が膨大になるという問題点がある。また膨
大なテーブルを作成する計算コストも大きい。しかしな
がらテーブルを作らずに逐次計算する場合、関数が複雑
であるため効率的ではない。ところで、粒子の取りうる
運動量の分布は解析する例題に依存する。そこでテーブ
ル化の工夫するにより、記憶容量と計算量の削減が望ま
れる。本発明の目的はモンテカルロ法において複雑な関
数を含む場合でも、その精度を落とさずに高速化するシ
ミュレーション方法を提供することである。

【０００４】

【課題を解決するための手段】上記目的を達成するため
に、入力データをもとに、関数演算を多数回繰り返す場
合に、頻繁に出現しうる変数範囲において、この方法
は、関数が特異点の近傍でなく、内挿または外挿により
精度良く近似出来る場合、特に有効である。システムに
より予め設定された判断基準に従って、テーブルを作成
する。テーブル作成後、乱数的に現われる具体的変数に
ついて関数値が必要になった時点において、テーブルの
参照が可能かどうかを判断し、可能である場合、テーブ
ルを参照して内挿または外挿計算を行なう。すなわちテ
ーブルを参照して計算する部分とテーブル化しないで逐
次計算する部分を組み合わせることによりモンテカルロ
法の計算の高速化及び効率化が実現される。

【０００５】ところで、モンテカルロ法で計算する特性
は、計算の初期におおよそその特性が予測される場合、
前記方法により計算の高速化及び効率化が実現される
が、初期の段階で予測がつかない場合、または過渡的に
大きな特性変化が予想されている場合には、必ずしも計
算の高速化及び効率化が最適ではない。そこで、初期の
テーブル構成だけでは変数の現われ方の傾向をシステム
自身が分析して、必要に応じてテーブルの再構成を行な
うことによりモンテカルロ法の計算の高速化及び効率化
の最適化が実現される。

【０００６】

【作用】上記のようにテーブル演算と逐次演算を組み合
わせることにより、全ての領域をテーブル化する従来法
に比べ記憶容量と計算時間の大幅な低減が可能である。

【０００７】

【実施例】ここでは、半導体のデバイスシミュレータを
例にとり説明する。図１には本発明の一実施例のフロー
チャートを示す。すなわち初期値読み込み設定部１０１
において解析に必要な構造や電子、正孔などの粒子分布
の初期値を読み込み設定する。次に１０２において時刻
を設定し、自由飛行時間の設定１０３をする。自由飛行
時間中粒子はシステム内の電場により移動するので座標
及び波数の更新１０４及び境界条件処理１０５を行な
う。次に１０６にて粒子が結晶場の振動やポテンシャル
場や粒子同士の相互作用によって散乱される確率の計算
をする。各粒子各散乱機構について散乱確率テーブル参
照が可能かどうか判断し、可能なものはテーブル１０８
を使用してテーブル参照計算１０９を行ない、不可能な
ものは関数演算１１０を行なう。ポテンシャルは自由飛
行時間より長いある時間間隔毎に更新する。１１１にお
いてポテンシャルを更新する時刻になることを判断し、
更新時刻において各粒子の電荷を実空間上のメッシュ点
に割り付け１１２を行ない、ポテンシャル計算１１３を
行なう。解の収束を確認１１４をして、結果を計算出力
１１５をする。解析時刻の終わり１１６まで行なう。

【０００８】本発明ではテーブルを参照して計算する部
分とテーブル化しないで逐次計算する部分を組み合わせ
ることにより、記憶容量の節減と計算の高速化を実現す
る。

【０００９】図２には図１に示した実施例の散乱確率テ
ーブル１０８の構造を示す。離散的変数値２１に対して
テーブル値２２を計算する。離散的変数とは図１の実施
例の散乱確率テーブルでは粒子の運動量またはエネルギ
ーと、散乱機構の選択及び散乱方向の選択のために発生
された乱数である。散乱確率テーブル値とは散乱機構及
び散乱方向である。散乱確率は結晶場の振動やポテンシ
ャル場や粒子同士の相互作用によって起こるもので、結
晶場の相互作用を量子力学的に解いた解として、運動量
またはエネルギー及び散乱方向の関数で表わされる。
今、散乱確率をF(X,Y)と置く。一般にF(X,Y)は単純な解
析式では表現出来ないので選ばれた乱数に対して散乱機
構の選択及び散乱方向の選択を散乱確率テーブルを参照
することにより決定する。散乱確率テーブルは運動量ま
たはエネルギー、散乱機構、散乱方向と３つに階層化さ
れている。

【００１０】ところで、散乱確率テーブルに必要とされ
る記憶容量について以下に論じる。半導体デバイス中の
ように粒子の挙動が結晶場のポテンシャルに束縛されて
いる場合の粒子の挙動をコンピュータシミュレーション
により解析する場合、その運動や散乱確率が本質的には
単純な解析式では表現出来ない。特に結晶場のバンド構
造を正しく取り入れた場合、粒子の散乱確率及びその方
向依存性の計算は非常に複雑になる。ところで、現実に
あるデバイスを２次元に近似した構造をポアソン方程式
と自己無撞着になるように解析しようとすると、必要と
なる粒子は１万程度、また、解が安定するまでに一般に
１粒子あたり１万程度の散乱の解析が必要である。すな
わち１回の解析において１億回程度の散乱の計算が必要
である。散乱確率及びその方向依存性は粒子の３次元的
な運動量の関数として与えられるもの、エネルギーの関
数として与えられるもの等がある。特に３次元的な運動
量の関数を考えた場合、散乱方向の依存性も考えると６
次元の精度の高いテーブルが必要になり、これを作成す
るためには、記憶容量が膨大になる。前記記載の従来例
においては運動量空間を約４万点に等分割して４億バイ
トの記憶容量を必要と記載されている。しかし４億（４
００メガ）バイトの記憶容量は最大級のコンピュターの
最大記憶容量に匹敵するため、この規模の散乱確率テー
ブルを使うシミュレータが多用されることは現状ではか
なり困難であろう。また、前記記載の従来例でも述べら
れているようにこの記憶容量でも計算精度は不十分であ
る。本発明においては単純に散乱確率テーブルを生成す
る従来の方法に対して出現頻度の多い運動量座標付近の
テーブル化が効率的になる散乱機構のみをテーブル化
し、テーブル化が効率的でない場合はその度ごとに計算
することに特徴がある。

【００１１】図３に図１に示した前記実施例を１次元の
場合についてグラフに示したものである。すなわち変数
値に対して離散的な散乱確率テーブル点で関数演算した
テーブル値３１があり、テーブル値から内挿出来る領域
３２で内挿を行ない、その他の領域（テーブル化しない
領域３３）は変数が現われて関数値が必要ならば具体的
に計算する。変数値としては運動量またはエネルギーを
とるならば、テーブル値として全散乱確率の値とする。
あるいは、変数値として散乱機構の選択のために発生さ
れた乱数をとるならば、変数値として各散乱機構の散乱
確率の値とする。あるいは、変数値として散乱方向の選
択のために発生された乱数をとるならば、テーブル値と
して散乱機構及び散乱方向の値とする。

【００１２】図４は本発明の実施例におけるテーブル参
照計算１０９のための散乱確率テーブル値間の補間法の
一例を示したものである。１０９での計算のための補間
関数を初期値設定部１０１の一部で設定しておく。単純
な補間法としては線形補間があるが、記憶容量の制限か
ら線形補間に十分な間隔でテーブルを作ることが出来な
い場合もある。そのために初期値設定部１０１の中で、
まず、４１で具体的変数からの関数演算の結果のテーブ
ル化と同時にテーブル変数値間の２次以上までの導関数
を計算する。次に４２でテーブル値間に適切な補間曲線
が設定出来るかどうか判断を行ない、可能なときは４３
で補間関数を設定する。テーブル値間が離れていると
き、またはテーブル化する領域としない領域との境い目
は、補間を行なわず、近傍のみをテーブル値での導関数
で表わした近似関数で表わせる場合は、４４にてその近
傍の領域（近傍及び外挿領域）と近似関数を設定する。
特に高次の導関数による近似計算を考えることによりテ
ーブルの密度が少なくて済み、記憶容量が大幅に削減出
来る。実際、散乱の問題では散乱前の運動量空間３次
元、散乱後の運動量空間３次元、合計６次元を考える必
要があるため、限られた記憶容量ではテーブルの密度は
小さくならざるを得ないため、近似計算は非常に効率的
である。

【００１３】図５は本発明の第２の実施例である。第２
の実施例では、テーブル化していない領域の変数である
かの判定５１を行ない、テーブル化されてなければ、関
数計算をした後、散乱確率テーブルに書き込み追加５２
をする。すなわち、テーブルが使える領域が計算の過程
で次第に増加する。散乱確率の計算では、３次元運動量
空間を考える必要があるが、運動量の大きい領域程、空
間を占める領域が大きくなるが、一般に粒子の存在確率
が非常に小さくなる。例えば衝突電離が起きるような領
域はシリコンの場合３次元運動量空間の過半数を占める
が、通常のMOSトランジスタ領域ではその領域に存在す
る粒子の確率は１万分の１以下である。そこで、このよ
うな例に対しては、低エネルギーの運動量でのみテーブ
ル化を行ない、解析の過程で高エネルギーの運動量を持
つ粒子が出現したときに、テーブルに書き込み追加すれ
ば、粒子の出現しない運動量空間領域のテーブルを作る
必要がないため、計算の無駄を省くことが出来る。テー
ブル化していない領域をテーブル化するのに制約条件を
付けることも可能である。例えば、変数すなわち運動量
空間領域をあらかじめ指定しておき、粒子が出現するこ
とはあっても再び出現する確率の少ない高エネルギー領
域でのテーブル化を除外し、部分領域に粒子の出現が一
定頻度以上であることを確認して初めてテーブル化をす
るようにすれば、更に計算量が低減出来、記憶容量も節
約出来る。

【００１４】図６は図５に示した実施例を変形した第３
の実施例である。本実施例では、第２の実施例に対し
て、更に散乱確率テーブルの再構成を行なうものであ
る。図５のようにテーブルを時間とともに追加していく
場合、必ずしも最適なテーブル構成となるとは限らな
い。そこで、予め設定していしたある時間間隔かまたは
記憶領域に余裕が無くなるなどの解析過程での要因によ
り、テーブルの再構成を行なう。テーブルの再構成の判
断基準としてテーブルの補間精度６２と変数の出現頻度
６３がある。内挿計算を行なうためにはテーブルはある
間隔以下である必要であるが、必要以上に間隔が狭けれ
ばテーブルを削減出来る。また、部分領域における変数
の出現頻度を見直し、一度テーブルを作ったが、その後
の領域での出現頻度が少ない場合、６４においてテーブ
ル値の一部を消去し、テーブルを再構成する。

【００１５】図７には本発明における散乱確率テーブル
の管理方法の一実施例を示す。ｎ次元変数空間をメッシ
ュ分割することによりメッシュ７１毎にテーブル点７２
を管理する。具体的変数値に対してテーブルを参照する
とき、具体的変数値が例えば３次元運動量空間であれば
参照すべきテーブルの探索の効率化は重要課題である。
メッシュ分割することにより探索を階層的に行なえるた
め、工数削減が出来る。特に本発明の第３の実施例の場
合メッシュ毎にメッシュ内の変数すなわち運動量を持つ
粒子の出現頻度を記録することにより、テーブルの再構
成のための部分領域として用いることが出来る。

【００１６】図８は図７に対応した散乱確率テーブルの
構造の一例を示す。メッシュ番号８１毎にサブ番号８２
を設けて管理を行なうことにより対応するテーブルの参
照が効率化出来る。

【００１７】また、図９は図７において散乱確率テーブ
ル化のために具体的に計算が必要になった新しい変数点
９１を関数演算する代わりに、あらかじめメッシュ９２
単位にテーブル化する９３のようなテーブル化するため
の離散化した点を設定しておき具体的に計算が必要にな
った変数値で関数演算をしてテーブルを作成するもので
ある。このようにするとテーブル化する点を決めること
によりテーブルの管理が容易になる。

【００１８】図１０には前記実施例と従来法の演算量を
比較したして前記実施例の効果を示す。従来法では毎回
演算する場合２０２のように変数参照回数に比例して累
積演算量が増加する。テーブル化をする場合、２０３の
ように始めにテーブル化のために多くの計算を必要とす
るが、その後は１次の増加を示す。その増加の傾きは毎
回演算する場合に比べ小さいものの出現頻度が少ない領
域にたいしても散乱確率テーブルを使っているため非効
率的であるため高速化は不十分である。一方前記実施例
では関数演算を繰り返しながら散乱確率テーブルを形成
するもので、２０１のように始めは関数演算を繰り返し
テーブルを形成するので変数参照回数当たりの計算量が
多いが次第にテーブルを参照するようになるので次第に
演算量が減る。

【００１９】

【発明の効果】本発明によれば乱数的変数による複雑な
関数演算を含むモンテカルロ法を高速化出来、それに伴
い物理現象理解の促進が期待される。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明に係わる一実施例のフローチャート

【図２】実施例のテーブルの構造

【図３】実施例を１次元の場合に適用したグラフ

【図４】実施例に於けるテーブル補間法の一例

【図５】本発明の第２の実施例のフローチャート

【図６】本発明の第３の実施例のフローチャート

【図７】本発明におけるテーブル管理方法の一実施例

【図８】図７に対応したテーブル構造の一例

【図９】図７において候補点を設定して散乱確率テーブ
ルを作成するもの

【図１０】前記実施例と従来法の演算量の比較である

【符号の説明】 １０６…散乱確率計算、１０７…各粒子各散乱機構につ
いて散乱確率テーブル参照が可能かどうかの判断、１０
８…テーブル、１０９…テーブル参照計算、１１０…関
数演算。

Claims (6)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】モンテカルロ法によって、事象ごとにラン
   ダムな変数により関数演算を多数回繰り返す必要がある
   シミュレータシステムにおいて、関数演算が複雑な場合
   に高速化を図るためのテーブル化を行う機能を備え、か
   つテーブル化をする部分としない部分を混在させて計算
   の効率化を図ることを特徴とするモンテカルロシミュレ
   ーション方法。
2. 【請求項２】請求項１記載の手法において、テーブル変
   数値での関数値及び１次あるいは多数次の導関数値をテ
   ーブル変数値から計算することにより、テーブル変数値
   の近傍の変数値での関数値を、テーブル値間の内挿及び
   テーブル値領域の外側の外挿により求めることを特徴と
   するモンテカルロシミュレーション方法。
3. 【請求項３】請求項１記載の手法において、変数領域の
   一部のみをテーブル化して、テーブル化されていない領
   域においては、具体的変数からの関数演算の結果を、計
   算が進み必要になった時点で計算して、テーブルに追加
   することを特徴とするモンテカルロシミュレーション方
   法。
4. 【請求項４】請求項１記載の手法において、変数の領域
   を空間メッシュ分割することにより各メッシュごとにテ
   ーブルを管理、参照をする機能を含むことを特徴とする
   モンテカルロシミュレーション方法。
5. 【請求項５】請求項４記載の手法において、テーブル化
   されていない領域にある特定の変数値に対する関数値を
   求めるときに、新たにその変数値を含む領域をテーブル
   化する場合、テーブル化するための離散化した点を設け
   て関数値を求めることにより、テーブル管理を容易にす
   るステップを含むことを特徴とするモンテカルロシミュ
   レーション方法。
6. 【請求項６】請求項４記載の手法において、変数の値の
   分布が一様でない場合変数の現われ方から判断して、自
   己組織的にテーブルの構造を再編成する機能を含むこと
   を特徴とするモンテカルロシミュレーション方法。