JPH0473941A - 半導体デバイスの動作解析法およびそのために使用する装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ［発明の目的］ （産業上の利用分野） 本発明は、半導体デバイスモデリングに関する。

（従来の技術） 半導体デバイスモデリングにおいて用いられる基本方程
式は、通常次の形で表わされる。以下の式において、τ
は物理時間を表わす。

ａ　ｐ／ａ　ｒ−（−１／ｑ）　　（ｄｉｖ　Ｊ、　）
＋Ｇ−Ｕ　　　　　　　・・・（１） ａ　ｎ／ａ　ｒ　−（１／Ｑ）　　（ｄｉｖ　Ｊａ）　
＋Ｇ−Ｕ・・・（２） Ｊｐ　−−ｑＩ）ｐ（ｇｒａｄｐ）　−ｑμｐ　ｐ　（
ｇｒａｄψ）・・・（３） Ｊａ　ｍｑＩ）ｌｌ（ｇｒａｄｎ）　−ｃ４ｕｎ　ｎ　
（ｇｒａｄψ）・・・（４） ｄｔｖ（ｇｒａｄψ）−（ｑ／　ε）　　（Ｎｎ　　　
Ｎ、＋　ｐ−ｎ）　　　　　　　　　　・・・　（５）
これらの方程式は、従来法においても、本発明の方法に
おいても共通に用いられるものである。

式（１）および（２）は各々正孔、電子の連続方程式を
表わす。Ｇ、Ｕは各々キャリアの発生、消滅を表わす。

式（３）、（４）は各々正孔電流密度、電子電流密度を
具体的に記述したものであり、正孔電流密度Ｊ、および
電子電流密度Ｊｎが、それぞれキャリア密度の傾斜ｇｒ
ａｄｐ　、　ｇｒａｄｎに比例する拡散電流成分（第１
項）と、電位傾斜ｇｒａｄψと各キャリア密度に比例す
るドリフト成分（第２項）の代数和からなることを表わ
す。式（５）は、電位ψと空間電荷密度の関係を表わす
ポアソン方程式である。

以下、従来の解法について具体的に説明する。

方程式（１）〜（５）の数値解を求めるための第１のス
テップは、これらの式を連続形（微分方程式）から離散
系（差分方程式）に書き換えることである。この際、解
析の対象となるデバイス空間を長方形のメツシュに分割
する必要がある。二次元空間モデルについてのメツシュ
分割を概念的に第７図に示す。縦、横の分割点間隔り、
、ｈ、を第７図のように定義し、かつ、各々の中間点の
距ｓｈ、’、ｈ、　　を次式で定義する。

ｈ、　　　（Ｍ）−（１／２）［ｈ、（Ｍ’　−１）＋
ｈ、（Ｍ’）］ ・・・　（６−１） ｈ、’　　（Ｎ）−（１／２）　　［ｈ、　　（Ｎ’　
　−１）＋ｈ、（Ｎ’）コ ・・・　（６−２） 式（３）、（６−１）、（６−２）より、離散系では、
正孔電流の発散ｄｌｙＪｐは次の近似式で表わせる。

ｄｉｖ　Ｊｐ　−ｆ９　Ｊｅ、／ａ　ｘ＋ａ　Ｊａｙ／
９　ｙ＝［Ｊ□０１°）−Ｊ□（Ｍ’−１）］／ｈ、　
　（Ｍ） ＋　　［Ｊ　　、、（Ｎ’）−Ｊ　　、、（Ｎ’−１）
コ／ｈ、　　（Ｎ） ・・・　（７） 電子電流についても同様の書き替えが可能であるが、自
明であるので省略する。

以上により、式（１）、（２）全体を書き替えた結果は
次の通りである。

（１／ｑ）（［Ｊ、、（Ｍ’）−Ｊ、、（Ｍ’−１）コ
／ｈ、　　　（Ｍ） ＋［Ｊ　ＩＦ　（Ｎ’　）　　Ｊ　ＩＦ　（Ｎ’　　　
１）コ／ｈ、’　　（Ｎ）ｌ　　−−Ｕ　（Ｍ、Ｎ）・
・・（８−１） （１／ｑ）（［Ｊ、、（Ｍ’）−Ｊ、、（Ｍ’−１）コ
／ｈ、’　　（Ｍ） ＋　　［Ｊ、Ｙ（Ｎ’　　）　　−Ｊ、Ｆ（Ｎ’　　　
−１）　　］／ｈ、　　　（Ｎ））−Ｕ　（Ｍ、Ｎ）・
・・（８−２） ただし、（８−１）、（８−２）式において、キャリア
発生項Ｇは通常のデバイス解析では必要とされないので
、簡単化のため省略した。また、同じく簡単化のため、
以下においては直流定常解の計算を行う場合を考えるも
のとし、物理的時間微分項９　ｐ／ａτおよびａ　ｎ　
／　ａτはゼロとおいた。

しかし、これらの物理的時間微分項がゼロでない非定常
問題の場合についても、本質的な差異を生じることなく
計算を実行できることを指摘しておく。

同様にしてポアソン方程式（５）は、次のように表わさ
れる。

［１／ｈ、　　　　　（Ｍ）　　コ　　（［ψ　（Ｎ＋
１．　　Ｎ）ψ　（Ｍ、　　　Ｎ）　　コ　／ｈ、　　
　（Ｍ’　　）　　−［ψ　（Ｍ、　　　Ｎ）−ψ　（
Ｍ−１，Ｎ）］　　／ｈ、　　（Ｍ’−１）１＋［１／
ｈ、’　　（Ｎ）］　　＋［ψ（Ｍ、Ｎ＋１）ψ　（Ｍ
、Ｎ）］　　／ｈ、　　（Ｎ’　　）−［ψ　（Ｍ、Ｎ
）−ψ　（Ｍ、Ｎ−１）］　　／ｈ、　　（Ｎ’−１）
１−−（ｑ／ε）　　［ｒ”　　（Ｍ、Ｎ）＋ｐ　　（
Ｍ、Ｎ）−ｎ　（Ｍ、Ｎ）］ ・・・（９） ただし、簡単化のため、ドナー、アクセプタ不純物濃度
の差をｒ−Ｎ、−Ｎ、とおいた。

ここで、以下の展開のために、キャリア再結合項Ｕ　（
Ｍ、Ｎ）を具体的に５ｈｏｃｋｌｅｙ−Ｒｅａｄ−Ｈａ
ｌ　ｌの形で与える。即ち、 Ｕ　　（Ｍ、　　Ｎ）＝　　［ｐ　（Ｍ、　　Ｎ）　　
・　ｎ　　（Ｍ、　　Ｎ）−ｎ　ｌ　２　（Ｍ、　　Ｎ
）］　　／　　（ｒ。　［ｐ　　（Ｍ、　　Ｎ）　　＋
ｎｌ　　　（Ｍ、　　　Ｎ）　　コ　　＋　τ　ｐ　　
　［ｎ　　　（Ｍ、　　　Ｎ）　　＋ｎ　＋　　（Ｍ、
Ｎ）］　　）　　　　　　　　　　　　・・・　（１０
）次に、電流方程式（３）、（４）を離散化する。

この際、従来から知られているように、数値計算上の安
定性を確保するために、５ｃｈａｒｆｅｔｔｅｒ−Ｇｕ
ｌｌｅｌの近似形を採用する。その結果、正孔、電子の
電流密度のｘ、ｙ成分は各々次のように与えられる。

Ｊ　　、、（Ｍ’）−［ｑ　　／　　ｈ　　、　　（Ｍ
’）コ×　［λ　ｐ−＋　　（Ｍ’）ｐ　　（Ｍ　　Ｎ
）　　＋　λ　Ｐ１□　（Ｍ’）　ｐ　（Ｎ＋１．Ｎ）
　　コ・・・　（１１−１） Ｊ　　ｐｙ（Ｎ’）−［ｑ　　／　　ｈ　　ｙ　　（Ｎ
’）コ×　［λｐｙｌ　　（Ｎ’）ｐ　（Ｍ　Ｎ）　　
＋λＰＦ２　　（Ｎ’）　ｐ（Ｍ、Ｎ＋１）　　］・・
・　（１１−２） Ｊ　、、０１）＝　　［ｑ　／　ｈ　、　　（Ｍ’）］
Ｘ［λ、、−１（Ｍ’）ｎ　（Ｍ　Ｎ）十λ−２（Ｍ’
）ｎ　（Ｎ＋１．Ｎ）　］・・・　（１１−３） Ｊ、、（Ｎ′）＝　　［ｑ／ｈ、　　（Ｎ’）コ×　［
λ−７＋　　（Ｎ’）ｎ　（Ｍ　　Ｎ）　　＋λ−Ｆ２
　　（Ｎ’）　ｎ　（Ｍ、Ｎ＋１）　　］・・・　（１
１−４） ただし、上式のλは次式で与えられる。

λ　ＩＩＸＩ　　　（Ｍ’）−［μ　、　　　（Ｍ’）
／　　θ　（Ｍ　°）コ　×［β（Ｍ　’）／　（１−
ｅ　−””’）　］λ□２　　（Ｍ’）−［μｐ　　（
Ｍ’）／θ（Ｍ’）］ｘＥβ（、Ｍ　’）／　（１−ｅ
　””’　）　］λ　、、、　　　（Ｎ’）−［μ　ｐ
　　（Ｎ’）／　　θ　（Ｎ　°）コ　×［β（Ｎ　’
）／　（１−ｅ−””’）コλ　Ｐｙ２　　　（Ｎ’）
−［μ　、　　　（Ｎ’）／　　θ　（Ｎ　゛）コ　Ｘ
［β（Ｎ　’）／　（１−ｅ　”Ｎ＝　）　］λ。ｍｌ
　　（Ｍ’）−Ｃμ、（Ｍ’）／μｐ　　（Ｍ’）］Ｘ
λｐ里２（Ｍ’） λａ、２　　（Ｍ’）−［μ、（Ｍ’）／μ、（Ｍ’）
］×λ、、、（Ｍ’） λ　。−ｒ　　　（Ｎ’）−［μ　、　　　（Ｎ’）／
　　μ　ｐ　　（Ｎ’）コ×λ、、２　（Ｎ’） λ、２□　（Ｎ”）−［μ、（Ｎ’）／μ、（Ｎ’）］
×λｐｙｔ　　（Ｎ・） ・・・・・・（１２） 以上により、原方程式（１）〜（５）の離散系への書き
替えが終了した。即ち、我々が解くべき方程式は、（８
−１）、（８−２）式に電流の式（１１−１）ないしく
１ｌ−４）、補助関係式（１２）と再結合の式（１０）
とを代入したものと、式（９）であり、これらは３個の
未知量ｐ、ｎ、ψを有する３個の方程式からなる。とこ
ろが、（８−１）、　　（８−２）式を見ると、これら
は未知量につき非線形な関係式を含むから、このままで
は解を求めることが困難である。そこで、次に、これら
の式を未知量につきティラー展開し、２次以上の項を無
視することにより、未知量の変化分δｐ、δｎ、δψに
ついての線形方程式を導出する。

まず、各未知量を次のように、試行値（上付きのゼロで
表わす）と、変化分の和からなるものとする。

ｐ　（Ｍ、Ｎ）　＝　ｐ　’　（Ｍ、Ｎ）＋δｐ　（Ｍ
、Ｎ）ｎ　（Ｍ、Ｎ）　＝　ｎ　０（Ｍ、Ｎ）十δｎ　
（Ｍ、Ｎ）ψ（Ｍ、Ｎ）　−ψ０（Ｍ、Ｎ）＋δψ（Ｍ
、Ｎ）・・・　（１３） そこで電流の式（１１−１）〜（１１−４）をＴａｙｌ
ｏｒ展開し、２次以上の項を無視すると、つぎの結果を
得る。

Ｊ、、（Ｍ’）たＪ、、’　　（Ｍ’　）＋　［ａＪ、
、　　（Ｍ’　）／ａｐ　（Ｍ、Ｎ）］×δｐ　（Ｍ、
Ｎ） ＋　［ａ　Ｊ、、　　（Ｍ’　）／ａ　ｐ　（Ｎ＋１．
Ｎ）］×６ｐ　（Ｎ＋１．Ｎ） 十　　［ｉ９　　Ｊ、、　　　　（Ｍ’　　）　　／ａ
　　ψ　　（Ｍ、　　　Ｎ）　　］×δψ（Ｍ、Ｎ） ＋　［ａ　Ｊ、、’　　（Ｍ’　）／ａ　ψ（Ｎ＋１．
Ｎ）］Ｘδψ（Ｎ＋１．Ｎ）　　　　　　・・・（１４
−１）Ｊ、、（Ｎ’）たＪ□　（Ｎ′） ＋　［ａ　Ｊｐｙ’　　（Ｎ’　）　／　ａ　ｐ　（Ｍ
、　　Ｎ）　］Ｘ６ｐ　（Ｍ、Ｎ） ＋Ｃａ　Ｊ＃Ｆ’　　（Ｎ’　）／ａ　ｐ（Ｍ、Ｎ＋１
）コ×δｐ　（Ｍ、Ｎ＋　１） ＋［ａＪ□。（Ｎ’）／１３ψ（Ｍ、Ｎ）］Ｘδψ（Ｍ
、Ｎ） ＋［１３Ｊ、、　　（Ｎ’）／９ψＣＭ、Ｎ＋１）コ×
δψ　（Ｍ、　　Ｎ＋１）　　　　　　　　・・・　（
１４−２）Ｊ、、（Ｍ’）　　夕Ｊ、、　　　（Ｍ’）
＋　　［ａ　　Ｊ　、、’　　（Ｍ’　　）／９ｎ　　
（Ｍ、Ｎ）］×　δ　ｎ（Ｍ、Ｎ） ＋［ａＪ、、　　　（Ｍ’）／ａｎ（Ｎ＋１．Ｎ）］×
　δｎ（Ｎ＋１．Ｎ） ＋　　［９Ｊ、、’　　（Ｍ’　　）／９　ψ　（Ｍ、
Ｎ）］×　δ　ψ　（Ｍ、　　Ｎ） ＋　　［８Ｊ−（Ｍ’　　）／９　ψ　（Ｎ＋１．Ｎ）
］×δψ　（Ｎ＋１．　　Ｎ）　　　　　　　　・・・
　（１４−３）Ｊ、、（Ｎ’）　　夕Ｊ、、’　　（Ｎ
’　　）＋　　［ａ　　Ｊ　、、ｏ　　（Ｎ’　　）　
　／ａ　ｎ　　（Ｍ、　　Ｎ）　　］×　δ　ｎ（Ｍ、
Ｎ） ＋　　［ａ　Ｊ　、、ｏ　　（Ｎ’　　）　　／ａ　ｎ
　　（Ｍ、　　Ｎ＋１）　　］×δ　ｎ（Ｍ、Ｎ＋１） ＋［ａＪ。、ｏ　　（Ｎ’　　）／ａ　ψ　（Ｍ、Ｎ）
］×　δψ　（Ｍ、　　Ｎ） ＋　　［ａ　　Ｊ、、’　　（Ｎ’　　）／ａ　ψ　（
Ｍ、Ｎ＋１）］×δψ　（Ｍ、　　Ｎ＋１）　　　　　
　　・・・　（１４−４）ただし上つきゼロをもつ多量
は未知量の試行値ｐＯｒ　　ｎ０＊　　ψ０に対応する
ものとする。

電流のほか再結合項Ｕ　（Ｍ、Ｎ）も非線形なので、こ
れも同様の計算を行うと、つぎの結果を得る。

Ｕ（Ｍ、Ｎ）　−Ｕ’　（Ｍ、Ｎ）　十〇、　’　（Ｍ
、Ｎ）　Ｘδｐ（Ｍ、Ｎ）　十Ｕ　、　Ｏ（Ｍ、Ｎ）δ
ｎ　（Ｍ、Ｎ）ただし Ｕ　、　　（Ｍ、Ｎ）　　−ａ　Ｕ　（Ｍ、Ｎ）　　／
　ｉｌｌ　ｐ　（Ｍ、Ｎ）＝　　［ｎ（Ｍ、Ｎ）　　−
ｒ、　　Ｕ（Ｍ、Ｎ）　　］　　／　　（ｒ。

Ｘ　　［ｐ　（Ｍ、Ｎ）　　＋　ｎ　＋　　（Ｍ、Ｎ）
］＋　ｒ　＊　　［ｎ　（Ｍ、Ｎ）＋　ｎ　、　（Ｍ、
Ｎ）］） Ｕ　、　（Ｍ、Ｎ）　−９０（Ｍ、Ｎ）　／　ａ　ｎ　
（Ｍ、Ｎ）”［ｐ　（Ｍ、Ｎ）　　−τ　、Ｕ（Ｍ、Ｎ
）　　コ　／　（τ　。

ＸＥｐ（Ｍ、Ｎ）　　＋　ｎ　＋　　（Ｍ、Ｎ）］＋　
ｒｐ　　［ｎ　（Ｍ、Ｎ）＋　　ｎ　　＋　　（Ｍ、Ｎ
）コ） ・・・（１５） ここで、（１３）、（１４−１）、（１４−２）。

（１４−３）、（１４−４）、（１５）を（８−１）、
（８−２）および（９）に代入し、項を整理すると、つ
ぎの行列・ベクトル方程式が得られる。

ＡＴ　　（Ｍ、　　Ｎ）ｅｔ　　（Ｍ、　　Ｎ　　　１
）＋ＢＴ　　（Ｍ、　　Ｎ）８Ｔ　　（Ｍ、　　Ｎ）十
ＣＴ　　（Ｍ、Ｎ）ｅＴ　（Ｍ、Ｎ＋１）＋ＤＴ　　（
Ｍ、　　Ｎ）ｅｔ　　（Ｍ　　　１．　　Ｎ）＋ＥＴ　
　（Ｍ、　　Ｎ）ｅｔ　　（Ｍ＋１．　　Ｎ）″ＦＴ　
（Ｍ・　Ｎ）、　　　　　　　　・・・　（１６）ただ
し ・・・　（１７） なお、各行列、ベクトル要素を具体的に書き下すと、つ
ぎのようになる。

ａ、４−　［１／ｑ　ｈ、’　（Ｎ）］Ｘ　９　Ｊ　ｐ
ｙ　　（Ｎ　−１）／　９　ｐ（Ｍ、Ｎ−１）ａ１□−
Ｏ ａ＋３−−　［１／ｑｈｙ　’　（Ｎ）コｘ　ａ　Ｊ　
ｐｙ。（Ｎ　−１）／　９ψ（Ｍ、Ｎ−１）ａ２□−０ ａｚ２−−　　［１／ｑｈｙ　　’　　　（Ｎ）　　］
ｘ　ａ　Ｊ　ｎｙ　　（Ｎ　−１）／　ａ　ｎ　（Ｍ、
Ｎ−１）ｉ２．ｍ　　［１／　ｑ　ｈｙ　　（Ｎ）コｘ
　ａ　　Ｊ　、、ｏ　　（Ｎ　　−１）／　９　ψ（Ｍ
、Ｎ−１）ａｉ＋＝Ｏ Ｊｉ　ｓ　２−Ｑ ！　３Ｎ−７Ｉ　０１Ｎ） 一１／［ｈ、　　　（Ｎ）ｈ、（Ｎ−１）］ｂｌ＋−［
１／ｈ、　　　（Ｍ）］ ×［９Ｊ　ｐ−０（Ｍ　　）／　９　ｐ　（Ｍ、Ｎ）ｉ
３Ｊ　ｅ−０（Ｍ　−１）／　ａ　ｐ　（Ｍ、Ｎ）　　
］＋　　［１／　ｈｖ　　　（Ｎ）　　］ｘ　　［９Ｊ
　ｅｙ。（Ｎ　　）／　ｅ　　ｐ　（Ｍ、Ｎ）−Ｅｌ　
Ｊ　、、’　（Ｎ　−１）／　ａ　ｐ　（Ｍ、Ｎ）コ＋
　ａ　Ｕ　’　　（Ｍ、Ｎ）　　／　９　　ｐ　（Ｍ、
Ｎ）ｂ　、□−ａ　Ｕ　’　　（Ｍ、Ｎ）　　／　９　
　ｎ　（Ｍ、Ｎ）ｂ＋３−［１／Ｑｈヨ　　００　］ ｘ　　［ａＪｐ−（Ｍ）／ａ　ψ０１Ｎ）−ａ　　Ｊ　
□ｏ　　（Ｍ　−ｔ）／　ａ　ψ（Ｍ、Ｎ）　　］＋　
　［１／ｑｈ、　　　（Ｍ）］ Ｘ　　［Ｊ　、、’　　（Ｎ　　＞／９　　ψ（Ｍ、Ｎ
）−ｆ３　　Ｊ　、、’　　（Ｎ　−ｔ）／　９　ψ（
Ｍ、Ｎ）　　］ｂ　２．−−　ａ　　Ｕ　０　（Ｍ、Ｎ
）／　９　　ｐ　（Ｍ、Ｎ）ｂ２□−［１／ｑｈ、’（
Ｍ）コ Ｘ　　［９Ｊ　、。（Ｍ　　）／　９　　ｎ　（Ｍ、Ｎ
）−ａ　　Ｊ　、、　　（Ｍ　−１）／　ａ　ｎ　（Ｍ
、Ｎ）　　］＋　　［１／　ｑ　ｈｙ　　’　　（Ｎ）
　　］Ｘ　　［ａＪ　ｆｌＦ（Ｍ　　）／　ａ　　ｎ　
（Ｍ、Ｎ）ａ　　Ｊ　＋ｔｙ’　　（Ｎ　　−１）／　
ａ　　ｎ　（Ｍ、Ｎ）　　］−’ａ　Ｕ　’　　（Ｍ、
Ｎ）／　２　　ｎ　（Ｍ、Ｎ）ｂ２３−［１／ｑｈエ　
　（Ｍ）］ ｘ　　［ａＪ、、　　　（Ｎ　　）／ａ　　ψ（Ｍ、Ｎ
）−ａＪ　、、。（Ｍ　　−１）／　９　　ψ（Ｍ、Ｎ
）　　］＋　［１／ｑｈ、’　（Ｎ）コ Ｘ　　［９Ｊ、、　　　（Ｎ　　＞／ａ　　ψ（Ｍ、Ｎ
）−９Ｊ　ａｙ　　　（Ｎ　　−１）／ａ　　ψ（Ｍ、
Ｎ）　　］ｔ）ｉ＋−Ｑ／ε　　　　　、ｂ３２−Ｑ／
εｂｉｉ−［１／　　ｈ、　　’　　　（Ｍ）　　コ　
　［１／ｈ、（Ｍ）＋１／ｈ、（Ｍ　　−１）］ ［１／ｈ、　　　（Ｎ）＋１／ｈ、（Ｎ−１）］ｃ　＋
＋＝　　［１／　Ｑ　ｈｙ　　　（Ｎ）　　］×　［ａ
　Ｊ□。（Ｎ　）／ａ　ｐ（Ｍ、Ｎ＋１）］Ｃｌ２−Ｏ ｃｚ−［１／ｑｈｙ　　（Ｎ）コ ｘ　　［ａ　Ｊ　ｐｙ　　（Ｎ　）／ａ　ψ（Ｍ、Ｎ＋
１）　　］Ｃ２，＋ｗ　　Ｑ Ｃ２□−［１／ｑｈ、　　　（Ｎ）］ ｘ［ａ　Ｊ、ｙ。（Ｎ　）／　９　ｎ　（Ｍ、Ｎ＋１）
　　］Ｃ２３−［１／ｑｈ、’　　（Ｎ）］ ×　［ａ　Ｊ、。（Ｎ　）／　９　ψ（Ｍ、Ｎ＋１）　
　］Ｃ３１−０，Ｃ３２−Ｏ Ｃ３３−１／　ｈ−’　　（Ｎ）ｈｙ　　（Ｎ　　）ｄ
ｌｌ−［１／ｑｈ、　　　（Ｍ）］ Ｘ　Ｃａ　Ｊ　ｐｌｏ　（Ｍ　−１）／　ｆ３　ｐ　（
Ｍ−１，Ｎ）　］］ｄ、□− 〇＋ｉ＝−［１／　ｑ　ｈ−’　　（Ｍ）］Ｘ　［ａＪ
　、、ｏ　（Ｍ　−１）／　９　ψ（Ｍ−１，Ｎ）ｄ２
＋”０ ｄ２２−−［１／ｑｈ、’　　（Ｍ）　　］Ｘ　［ａ　
Ｊ　−−’　（Ｍ　−１）／　ａ　ｎ　（Ｍ−Ｌ、Ｎ）
ｄ２＊−−［１／ｑｈ、　　　（Ｍ）Ｅｘ　［９Ｊ　、
、。（Ｍ　−Ｄ／　１１１　ψ（Ｍ−ｔ、Ｎ）ｄ　３ｒ
−０，ｄｉ２〜０ ｄｉｉ−１／ｈ、　　　（Ｍ）ｈ、（Ｍ　　ｌ）ｅ　ｚ
−［１／　ｑ　ｈ−’　　（Ｍ）　　］Ｘ　　［ａ　Ｊ
　、、ｏ　　（Ｍ　）／　Ｆ３　ｐ　（Ｍ＋ｌ、Ｎ）　
　］ｅ　１□−〇 ｅ　１３−　　［１／　ｑ　ｈ−（Ｍ）］Ｘ［ａＪ□　
（Ｍ）／ａψ（Ｍ−１，Ｎ）コｅ　　２＋−０ ｅ２ｚ−［１／　ｑ　ｈ、’　　（Ｍ）］Ｘ　［ａ　Ｊ
　、、−（Ｍ　）／　ａ　ｎ　（Ｍ＋ｌ、Ｎ）コｅ２３
−　　［１／　ｑ　ｈ−’　　（Ｍ）］Ｘ　［ａＪ、、
　　（Ｍ）／ａψ０１＋ｌ、Ｎ）コｅ３１諺０＋ｅ３２
冒Ｏ ｅ　３３−１　／　ｈ、　　（Ｍ）　　ｈ、　　（Ｍ　
）ｆ　、−−Ｕｏ（Ｍ、Ｎ）　　＋Ｕｐ。（Ｍ、Ｎ）　
　ｐ’　　（Ｍ、Ｎ）＋Ｕ、　　’　　（Ｍ、Ｎ）　　
ｎｏ（Ｍ、Ｎ）［１／ｑｈ、　　　（Ｍ）］ ｘ　［９Ｊ　、　。（Ｍ　−１）／　ａ　ψ（Ｍ−１，
Ｎ）　３Ｘ［ψ’　（Ｍ−１，Ｎ）−ψ’　（Ｍ、Ｎ）
　］＋　　［１／ｑ　ｈ、　　　（Ｍ）　　］Ｘ　［Ｊ
　、　。（Ｍ　）／ａ、１Ｍ、Ｎ）　］×　［ψ０　（
Ｍ、Ｎ）　　−ψ０（１４＋ｌ、Ｎ）　　］［１／ｑｈ
、　　　（Ｎ）］ ｘｃａ　Ｊ、　　　（Ｎ−ｔ）／ａ　ψ（Ｍ、５−ｔ）
：＋Ｘ　　［ψ０（Ｍ、Ｎ−１）　　−ψ０（Ｍ、Ｎ）
　　］＋［１／ｑｈ、　　　（Ｎ）］ Ｘ　　［ｆ３　　Ｊ、　　’　　（Ｎ　　）／ａ　ψ（
Ｍ、Ｎ）　　］×　〔ψ’　　（Ｍ、Ｎ）　　−ψ’　
　（Ｍ、Ｎ＋１）　　］ｆ　２−００　（Ｍ、Ｎ）−Ｕ
、　　　（Ｍ、Ｎ）ｐｏ　（Ｍ、Ｎ）Ｕ、　　。（Ｍ、
Ｎ）ｎ’　　（Ｍ、Ｎ）［１／ｑｈ、　　　（Ｍ）］ ｘ　［ａ　Ｊ、　。（Ｍ−ｔ）／９ψ（ｇ−ｔ、Ｎ）　
］×［ψ’　（Ｍ−１，Ｎ）−ψ０（Ｍ、Ｎ）　］＋［
１／ｑｈ、　　　（Ｍ）］ ｘ　　［ａ　　Ｊ、　　。（Ｍ　　）／９　ψＣＭ、Ｎ
）　　］×［ψ０（Ｍ、Ｎ）−ψ’　（Ｍ＋ｌ、Ｎ）　
］［１／ｑｈ、　　　（Ｎ）］ Ｘ　　［ａ　　Ｊ　、　　’　　（Ｎ　−１）／　９　
＜ｌ）　（Ｍ、Ｎ−１）×　［ψ’　　（Ｍ、Ｎ−１）
　　−ψ０　（Ｍ、Ｎ）］＋　　［１／ｑ　ｈｙ　　’
　　（Ｎ）　　］Ｘ　　［９Ｊ、　　。（Ｎ　　）／ａ
　　ψ（Ｍ、Ｎ）　　］Ｘ　［ψ’　　（Ｍ、Ｎ）　　
−ψ０　（Ｍ、Ｎ＋１）］ｆ　　３−−（ｑ／ε）　　
ｒ’　　（Ｍ、　　Ｎ）・・・　（１８） 以上により、離散化した非線形方程式（８−１＞。

（８−２）、（９）を線形化した結果、行列・ベクトル
方程式（１６）が導かれることがわかった。

式（１６）は、２次元配列された多数の分割点の１個分
に相当するものであるから、デバイス平面全体について
解を得るためには式（１６）を全分割点につき連立した
ものを解かねばならない。

いま仮にデバイス全体に対応する分割点番号が、１≦Ｍ
≦に、１≦Ｎ≦Ｌの範囲にあるものとすれば、式（１６
）を全体につき書き下した結果は第８図に示すようにな
る。但しここで簡単のため、ＡＴ　（Ｍ、Ｎ）をＡＭＮ
、　ｅｔ　　（Ｍ、　Ｎ）を６’ＭＮ。

ＦＴ　（Ｍ、Ｎ）をＦＭＮなどと書きかえた。

第８図において、Ｂｌｌなど個々の行列は（３Ｘ　３）
のディメンションをもつから、全体の行列のディメンシ
ョンは（３ＫＬ）Ｘ　（３ＫＬ）となる。いま標準的な
デバイスモデルとしてに−３０，Ｌ−４０を与えるもの
とすれば、全体の行列のディメンションは３．６００ｘ
　　３，６００−１２．９６０，０００−　１．２９６
Ｘ　１０７ノ大きさとなる。

第８図の行列・ベクトル方程式を実際に解く方法は色々
あり、最も普通に用いられる方法はＧａｕｓｓの消去法
である。今日計算機の発達により大容量メモリの高速計
算が可能となったため、上記の数値例の程度の大きさの
問題は消去法を用いて解くことができる。別な方法とし
ては各種の反復法があり、これは行列サイズが非常に大
きい場合、有効な手段となる。

行列解法はデバイスモデリングに限らず、他の物理的、
工学的問題に広く応用されており、既によく知られた計
算プロセスであるので、以下その解は所定の計算時間を
もって求まったものとする。

すなわち式（１６）の解が、与えられたデバイスの空間
全体につき求まったものとする。このことは、非線形方
程式（８−１）、（８−２）および（９）を線形近似し
たものの解が求まったことに他ならないわけであるが、
この解を非線形方程式に代入してみると、非線形効果が
あるため、一般にその両辺は等しくない。そこで既に求
まった［ｐ　（Ｍ、Ｎ）　、　　ｎ　（Ｍ、Ｎ）　、　
　ψ（Ｍ、Ｎ）　、　　１≦Ｍ≦Ｋ。

１≦Ｎ≦Ｌコを改めて［ｐ　０（Ｍ、Ｎ）　、　　ｎ　
’　（Ｍ、Ｎ）　。

ψ０（Ｍ、Ｎ）　、　　１≦Ｍ≦に、１≦Ｎ≦Ｌ］と置
き換え、再度上述したのと同一の計算プロセスを実行す
る。以下同様にして、必要回数だけ反復計算を実行すれ
ば、遂には非線形方程式（８−１）。

（８−２）、（９）を完全に満足する解が求まる。

（発明が解決しようとする課題） 上述した行列解法は、今日の計算機の性能向上により、
メモリの大容量化と高速計算が可能となったため、かな
り大規模な問題に対してもこれを適用することができる
。しかし計算機の性能向上に伴って対象となる問題がさ
らに大形化するため、行列解法の高速化はモデリングの
実行上、依然として最大問題のひとつである。

この問題の解法のため、本発明は、従来法から離れて、
行列解法を適用することなしに所定の方程式の解を求め
、半導体デバイスの動作解析を行う方法及び装置を提供
するものである。

［発明の構成］ （課題を解決するための手段） 本発明の第１の半導体デバイスの動作解析法は、半導体
デバイスモデリングにおける、電子、正孔の輸送方程式
およびポアソン方程式からなる連立方程式系をコンピュ
ータにより解析する方法において、前記連立方程式系ｆ
、−０，ｆ、−０゜ｆ、−〇を、人工的時間微分項ｄｐ
／ｄｔ、、ｄｎ／ｄｔ、ｄψ／ｄｔと感度係数λ２．λ
。、λ。

とを含む下記（ａ−１）、　　（ａ−２）、　　（ａ−
３）式に置き換える。

ｄ　ｐ／ｄ　ｔ　−−λｐｆｐ　　　　−”（ａ−１）
ｄ　ｎ　／　ｄ　をλｐｆｐ　　　　−Ｃａ−２）ｄφ
／ｄｔ−λ＃　ｆａ　　　　　−（ａ−３）ただし、 ｆ、−（１／ｑ）ｄｉｖ　Ｊ、−（Ｇ−Ｕ）・・・（ｂ
−１） ｆ、、＝　　（１／ｑ）ｄｆｖ　　Ｊ、＋　　（Ｇ−Ｕ
）・・・（ｂ−２） ｆ　＃　　−ｄｉｖｇｒａｄ　　ψ＋　（Ｑ　／　ε）
　　（ｒ’　＋　ｐ　−ｎ　）・・・（ｂ−３） ｎ−ｒｚｅｘｐ［θ　（ψ−φｐ）］　　　　　−（ｂ
−４）ｐ−ｎ＋ｅｘｐ［θ　（φ２−ψ）　　］　　　
　　−（ｂ−５）θ−ｑ／　　（ｋＴ）　　　　　　　
　　　　　　　　・・・（ｂ−８）である。そして、定
常状態に至るまで（ａ−１）、（ａ−２）　、　（ａ−
３）の時間積分を実行することにより、定常方程式 ％式％（１） の解を求めるが、この際、 半導体デバイスの分割点配置（Ｍ、Ｎ）を決定すると共
に、感度係数λｐ、λｎ、λφにも前記半導体デバイス
の物理的特性に合致した適正な空間位置依存性を与える
。そして、上記（ａ−１）。

（ａ−２）、　　（ａ−３）式を下記の（ｄ−１）。

（ｄ−２）、（ｄ−３）式に変換し、 ｄｐ　　（Ｍ、Ｎ）／ｄ　ｔ−−λ、　　（Ｍ、Ｎ）Ｘ
ｆ、　　（Ｍ、Ｎ）　　　・・・　（ｄ−１）ｄｎ　（
Ｍ、　Ｎ）　／ｄ　ｔ−λ、　　（Ｍ、　Ｎ）　Ｘｆ、
　　（Ｍ、Ｎ）　　　・・・　（ｄ−２）ｄψ　（Ｍ、
　　Ｎ）　／ｄ　ｔ−λａ　　（Ｍ、　　Ｎ）　　ｘｆ
ｔ　　（Ｍ、Ｎ）　　　・・・　（ｄ−３）且つ、感度
係数λ２．λ、、λ、を次式により与える。

λ、　　（Ｍ、Ｎ）　　δ　ｔ ・・・（ｅ−１） λ、（Ｍ、Ｎ）　　δ　ｔ ・・・（ｅ−２） λ４　　（Ｍ、Ｎ）　　δ　ｔ ・・・（ｅ−３） たたし上式（ｅ−１）、　（ｅ−２）　、（ｅ−３）に
おいて、δｔは離散化した時間軸上の時間間隔を表わし
、また（Ｍ、Ｎ）は離散化した空間格子点の番号を表わ
し、さらに（Ｋ、Ｌ）は点（Ｍ、Ｎ）を中心点とする隣
接点の番号を表わす。

その後、上記（ｄ−１）、（ｄ−２）、（ｄ−３）式を
定常状態に至まで時間積分することにより、前記連立方
程式系の解を求める。

ただし各式の右辺のｆｐ、ｆｆｉ、ｆ、は次式のとおり
定義される。

ｔ　、　（Ｍ、Ｎ）　＝　（１／ｑ）　　（［Ｊ　Ｐ、
（Ｍ　）−Ｊ、、（Ｍ−１）］／ｈ、　　（Ｍａ１＋　
（１／ｑ）ｆ　［Ｊ、、（Ｎ　） −Ｊ　　ａｙ（Ｎ　　−１）コ　／ｈ、　　　　（Ｍ）
１十Ｕ　（Ｍ、Ｎ）　　　・・・（１９−１）ｆ　、　
（Ｍ、Ｎ）　−（１／ｑ）　　（［Ｊ　、、（Ｍ　）−
Ｊ　　、、（Ｍ　　−１）コ　／　ｈ、　　　　（Ｍ）
＋　（１／ｑ）（［Ｊ−ｙ（Ｎ　） −Ｊ　、、（Ｎ　−１）］　／ｈ　、　’　（Ｍ）　）
−Ｕ　（Ｍ、Ｎ）　　　・・・（１９−２）ｆ、。、Ｎ
）　　−［１／ｈ、　　　（Ｍ）　　］Ｘ（［ψ　（Ｍ
＋１．Ｎ）　　−ψ　（Ｍ、Ｎ）　　］　　／ｈ、　　
０１　　）［ψ（Ｍ、Ｎ）　　−ψ（Ｍ−１，Ｎ）　　
］　　／　ｈ　、　　（Ｍ　　−１））＋［１／ｈ、　
　（Ｎ）コ Ｘ（［ψ　（Ｍ、Ｎ十１）　　−ψ　（Ｍ、Ｎ）　　］
　　／ｈ、　　（Ｎ　　）［ψ（Ｍ、Ｎ）　　−ψ（Ｍ
、Ｎ−１）　　］　　／　ｈ　、　　（Ｎ　　−１）１
＋　（ｑ／ε）　　［ｒ（Ｍ、Ｎ）　　＋ｐ（Ｍ、Ｎ）
−ｎ　（Ｍ、Ｎ）　　］ ・・・　（１９−３） ただし、上記の説明においては、簡単のため、原関数ｆ
、、ｆ、が物理的時間τに関する微分を含まない直流定
常問題を取り上げたが、これらを含む場合については、
式（８−１）、（８−２）において、ａ　ｐ／ａτおよ
びａ　ｎ　／　９τを夫々差分式　ＣＴ）　（Ｍ、Ｎ）
−ｐｏ　（Ｍ、Ｎ）］／δτ［ｎ　　（Ｍ、Ｎ）−ｎ　
　ｏ　　（Ｍ、Ｎ）コ／　δ　τの形に置き換えたもの
から出発すれば、本計算法の原理に本質的な差異を生じ
ることなく、前記連立方程式系の解を求めることができ
ることを指摘しておく。

本発明の第２の半導体デバイスの動作解析法は、半導体
デバイスモデリングにおける、電子、正孔の輸送方程式
およびポアソン方程式からなる連立方程式系をコンピュ
ータにより解析する方法において、前記連立方程式系を
、時間微分項ｄ　ｐ　／　ｄ　ｔ　、　　ｄ　ｎ　／　
ｄ　ｔ　、　　ｄψ／ｄｔと感度係数λ２．λ７．λ、
とを含む下記（ａ−１）、（ａ−２）、（ａ−３）式に
置き換え、 ｄｐ／ｄｔ−−λｐｆｐ　　　　−（ａ−ｘ）ｄｎ／ｄ
ｔ−λ、、ｆｆｉ　　　　−（ａ−２）ｄψ／ｄｔ−λ
ｅｆｔ　　　　−（ａ−３）ただし、 ｆ　ｐ　＝　（１／ｑ）　ｄｉｖ　Ｊ　ｅ　−（Ｇ−Ｕ
）・・・（ｂ−１） ｆ　、　＝　（１／　Ｑ）　ｄｉｖ　Ｊ　、　＋　（Ｇ
−Ｕ）・・・（ｂ−２） ｆ　ａ　＝ｄｉｖｇｒａｄψ＋（ｑ／ε）（ｒ＋ｐ−ｎ
）・・・（ｂ−３） ｎ−ｎ＋ｅｘｐ［θ　（ψ−φｐ　　）　　］　　　　
−（ｂ−４）ｐ−ｎ＋ｅｘｐ［θ　（φｐ−ψ）　　］
　　　　−（ｂ−５）θ−ｑ／　　（ｋＴ）　　　　　
　　　　　　　　　・・・（ｂ−６）定常状態に至るま
で（ａ−１）、　（ａ−２）　、　（ａ−３）の時間積
分を実行することにより、定常方程式 １式％） の解を求めんとする際、 式（ｂ−４＞　、　（ｂ−５）を用いて式（ａ−ｉ）、
　（ａ−２）の左辺にあるｐ、ｎを消去して、 におきかえ、 かつ半導体デバイスの分割点配置（Ｍ、Ｎ）を決定する
と共に、感度係数λｐ、λｎ、λφにも前記半導体デバ
イスの物理的特性に合致した適正な空間位置依存性を与
え前記連立方程式系の解を求めることを特徴とする。

本発明の第３の半導体デバイスの動作解析法は、半導体
デバイスモデリングにおける、電子、正孔の輸送方程式
およびポアソン方程式からなる連立方程式系をコンピュ
ータにより解析する方法において、前記連立方程式系を
、時間微分項ｄ　ｐ　／　ｄ　ｔ　、　　ｄ　ｎ　／　
ｄ　ｔ　、　　ｄψ／ｄｔと感度係数λｐ、λｎ、λφ
とを含む下記（ａ−１）、（ａ−２）、（ａ−３）式に
置き換え、 ｄｐ／ｄｔ−一λ、ｆ、　　　　−（ａ−１）ｄ　ｎ　
／　ｄ　ｔ　＝　　λ、、ｆｆｉ　　　−（ａ−２）ｄ
ψ／ｄｔ−λ＊ｆ＊　　　　−（ａ　　３）たたし、 ｆ　、　＝　（１／　ｑ）　ｄｉｖ　Ｊ　、　−（Ｇ−
Ｕ）・・・（ｂ−１） ｆ　　ｆｉ　＝　　　（１／　　ｑ）　　ｄｉｖ　　　
Ｊ　　、　　　十　　（Ｇ−Ｕ）・・・（ｂ−２） ｆ　、−ｄｉｖｇｒａｄψ＋（ｑ　／　ε）　　（ｒ”
　＋　ｐ　−ｎ　）・・・（ｂ−３） ｎ−ｒｚｅｘｐ［θ　　（ψ　−φ　。　）　コ　　　
　　　　−（ｂ−４）ｐ−ｒｚｅｘｐ［θ　（φｐ−ψ
）　　］　　　　　−（ｂ−５）θ−ｑ／　　（ｋＴ）
　　　　　　　　　　　　　　　・・・（ｂ−６）定常
状態に至るまで（ａ−１）　、　（ａ−２）　、　（ａ
−３）の時間積分を実行することにより、定常方程式 １式％（１ の解を求めんとする際、 式（ｂ−４）　、　（ｂ−５）を用いて式（ａ−１）　
、　（ａ−２）の左辺にあるｐ、ｎを消去して、 を得、更に式（ｆ−１）　、　（ｆ−２）の各第２項を
除去して 記事導体デバイスの物理的特性に合致した適正な空間位
置依存性を与え前記連立方程式系の解を求めることを特
徴とする。

本発明の第４の半導体デバイスの動作解析法は、時間積
分を実行する際、ある第１の期間には上記第２の動作解
析法と上記第３の動作解析法のうち一方を使用し、ある
第２の期間には上記第２の動作解析法と上記第３の動作
解析法のうち他方を使用して前記連立方程式系の解を求
めることを特徴とする。

本発明の第５の半導体デバイスの動作解析法は、上記第
２、第３、第４の動作解析法において、感度係数λ。、
λ２．λφを次式により与える半導体デバイスの動作解
析法である。

におきかえ、 かつ半導体デバイスの分割点配置（Ｍ、Ｎ）を決定する
と共に、感度係数λ２．λ。、λφにも前置 ■ 本発明の第１の半導体デバイスの動作解析装置は、半導
体デバイスモデリングにおける、電子、正孔の輸送方程
式およびポアソン方程式からなる連立方程式系を時間微
分項と感度係数とを含む下記微分方程式ｄ　ｐ／ｄ　ｔ
−−λｐｆ、、ｄｎ／ｄｔ−λ。ｆ、、ｄψ／ｄｔλｐ
ｆｐに置き換えて解析する本発明の第１の動作解析法を
実行する装置において、前記装置は、メツシュ分割され
た半導体装置のメツシュポイントのアドレスを指定する
手段と、前記指定されたアドレスに対応するポイントの
ｐ、ｎ、　　ψ、λｐ、λｎ、λφに基づいて上記積分
を実行し、そのポイントにおけるｐ、ｎ、　　ψを導出
する手段と、前記導出されたｐ。

ｎ、ψを記憶する手段と、前記導出されたｐ、　　ｎψ
が誤差限界にあるか否かを判断し、誤差限界にない場合
には前記導出手段に帰還して再度上記積分を実行させ、
誤差限界内にある場合には積分結果を出力する手段とか
らなることを特徴とする。

本発明の第２の半導体デバイスの動作解析装置は、半導
体デバイスモデリングにおける、電子、正孔の輸送方程
式およびポアソン方程式からなる連立方程式系を時間微
分項と感度係数とを含む下記微分方程式ｄφｐ／ｄｔ−
一λ、ｆ、／θｐ＋λ、ｆ、、ｄφｐｌ／ｄｔ−一λ、
ｆ、／θｎ十λゆｆ、、ｄψ／ｄｔλｐｆｐに置き換え
て解析する本発明の第２の動作解析法を実行する装置に
おいて、前記装置は、メツシュ分割された半導体装置の
メツシュポイントのアドレスを指定する手段と、前記指
定されたアドレスに対応するポイントのφｐ、φｎ、ψ
、λ２．λ６．λ、に基づいて上記積分を実行し、その
ポイントにおけるφｐ、φｎ、ψを導出する手段と、前
記導出されたφｐ、φｎ、ψを記憶する手段と、前記導
出されたφｐ、φｎ、ψが誤差限界にあるか否かを判断
し、誤差限界にない場合には前記導出手段に帰還して再
度上記積分を実行させ、誤差限界内にある場合には積分
結果を出力する手段とからなることを特徴とする。

本発明の第３の半導体デバイスの動作解析装置は、半導
体デバイスモデリングにおける、電子、正孔の輸送方程
式およびポアソン方程式からなる連立方程式系を時間微
分項と感度係数とを含む下記微分方程式ｄφｐ／ｄｔ−
λｐｆｐ／θｐ。

ｄφｐｌ／ｄｔ−−λｌ１ｆｌｌ／θｎ、ｄψ／ｄｔ−
λｅｔｅに置き換えて解析する本発明の第３の動作解析
法を実行する装置において、前記装置は、メツシュ分割
された半導体装置のメツシュポイントのアドレスを指定
する手段と、前記指定されたアドレスに対応するポイン
トのφｐ、φｎ、ψ。

λｐ、λｎ、λφに基づいて上記積分を実行し、そのポ
イントにおけるφ９．φ４．ψを導出する手段と、前記
導出されたφ２．φ１．ψを記憶する手段と、前記導出
されたφｐ、φｎ、ψが誤差限界にあるか否かを判断し
、誤差限界にない場合には前記導出手段に帰還して再度
上記積分を実行させ、誤差限界内にある場合には積分結
果を出力する手段とからなることを特徴とする。

本発明の第４の半導体デバイスの動作解析装置は、半導
体デバイスモデリングにおける、電子、正孔の輸送方程
式およびポアソン方程式からなる連立方程式系を時間微
分項と感度係数とを含む下記微分方程式ｄφｐ／ｄｔ−
λｐｆｐ／θｐ＋λ、ｆ、、ｄφｐ／ｄｔ−−λ。ｆ、
／θｎ＋λ、ｆ、、ｄψ／ｄｔ−λｌｆｄ及びｄφＰ／
ｄｔ−λｐｆｐ／θｐ、ｄφｐ／ｄｔ−−λ７ｆ、、／
θｎ、ｄψ／ｄｔ−λｄｆｄなる二つの方程式系のいず
れか一方に置き換えて解析する本発明の第４の動作解析
法を実行する装置において、前記装置は、メツシュ分割
された半導体装置のメツシュポイントのアドレスを指定
する手段と、前記指定されたアドレスに対応するポイン
トのφｐ。

φ７．ψ、λ２．λ１．λ、に基づいて上記積分を実行
する際、ある第１の期間には上記請求項（２）の計算法
と上記請求項（３）の計算法のうち一方を使用し、ある
第２の期間には上記請求項（２）の計算法と上記請求項
（３）の計算法のうち他方を使用して前記連立方程式系
の解を求め、そのポイントにおけるφｐ、φｎ、ψを導
出する手段と、前記導出されたφｐ、φｎ、ψを記憶す
る手段と、前記導出されたφ２．φゎ、ψが誤差限界に
あるか否かを判断し、誤差限界にない場合には前記導出
手段に帰還して再度上記積分を実行させ、誤差限界内に
ある場合には積分結果を出力する手段とからなることを
特徴とする解析装置。

本発明の第５の半導体デバイスの動作解析装置は、半導
体デバイスモデリングにおける、電子、正孔の輸送方程
式およびポアソン方程式からなる連立方程式系を時間微
分項と感度係数とを含む下記微分方程式ｄφｐ／ｄｔ−
λｐｆｐ／θｐ＋λ、ｆ、、ｄφｐｌ／ｄｔ−一λ、、
ｆ、、／θｎ＋λ、ｆφｐｄψ／ｄｔ−λａ　ｔａ及び
ｄφｐ／ｄｔ−−ス、ｆ、／θｐ、ｄφｐ／ｄｔ厳−λ
。

ｆ、／θｎ、ｄψ／ｄｔ−λａｔｅなる二つの方程式系
のいずれか一方または両方に置き換えて解析する本発明
の第５の動作解析法を実行する装置において、前記装置
は、メツシュ分割された半導体装置のメツシュポイント
のアドレスを指定する手段と、前記指定されたアドレス
に対応するポイントのｐ、ｎ、　ψ、λ２．λ７．λゆ
に基づいて上記積分を実行し、そのポイントにおけるｐ
＋ｎ。

ψを導出する手段と、前記導出されたｐ　＊　　ｎｒ　
　ψを記憶する手段と、前記導出されたｐ＋　　ｎｒ　
　ψが誤差限界にあるか否かを判断し、誤差限界にない
場合には前記導出手段に帰還して再度上記積分を実行さ
せ、誤差限界内にある場合には積分結果を出力する手段
とからなることを特徴とする。

（作　用） 本発明の方法では、半導体デバイスモデリングにおける
電子、正孔の輸送方程式およびポアソン方程式からなる
連立方程式系の解法において、上記各式を、時間微分項
と感度係数λとを有する微分方程式に置き換え、感度係
数λの値を上記各式（ｅ−１）、　（ｅ−２）　、　（
ｅ−３）或いは（ｈ−１）　、　（ｈ−２）　、　（ｈ
−３）に基づいて設定するので、対象となる方程式がさ
らに大形化しても、行列解法を高速に実行できる。

本発明の装置は、上記解法のフローに基づき回路網を構
成し、定常状態に至るまで回路網により計算を実行して
解を得る。そして、感度係数λが所定の式により一意的
に定まるので、高速に解を得ることができる。

（実施例） 以下、本発明の主要なポイントである感度係数λ、　（
Ｍ、Ｎ）　、　　λ、　（Ｌｌｌｌ）　、　　λａ　（
Ｍ、Ｎ）の具体的な表現式について説明する。すなわち
、本発明の計算方法を成功させるためには、これらの係
数を適切にきめることが極めて重要である。

この係数決定の根拠として以下に示すｒ　Ｇｅｒｓｃｈ
ｇｏｒｌｎの円定理」を用いる。

定理（Ｇｅｒｓｅｈｇｏｒｉｎ　ｃｉｒｃｌｅ　ｔｈｅ
ｏｒｅｍ）ｎ次元行列Ａ−（ａｚ）の任意の固有値μは
、Ａ＝Ｇ＋Ｆ、Ｆ−（ｆ　＋＋）、Ｇ＝ｄｉａｇ（ａ＋
＋。

ａｚ２．・・・、ａ−）とすると、次のような閉円板の
集合Ｇ１に含まれる。すなわち ただし Ｃｚ　　−（ｚｅ　　Ｃｌ　　　ｌ　　ｚ−ａｚｌ　　
≦ｒｔ）ｒ＋　　−Σ　　ｌｆｚ この定理は、複素平面上での行列の固有値の分布を規定
するものである（第６図参照のこと）。

以下、本発明の基本式（ａ−１）　、（ａ−２）　、　
（ａ−３）から出発して、本発明の第１の動作解析法を
規定する条件式（ｅ−１）　、　（ｅ−２）　、　（ｅ
−３）を導出する。この際上記の円定理を用いることと
なる。

定義される。

具体的に式（２４）の第２項を書下すと次のようになる
。

δｐ（Ｍ、Ｎ）　−−λ、　（Ｍ、Ｎ）　　δｔＸけば
、 になる。これを時間δｔの間に、変数ＸがδＸ１、変化
するとして δｘ、−λδｔ　ｆ　（ｘｏ　）　　　　　　　−（２
１）次の時間δｔの間にδｘ２が生じるとすると、δＸ
２■λδｔｆ（ｘＯ＋δＸ＋） ・・・（２２） δｎ　（Ｍ、Ｎ）−λ、　（Ｎ、Ｎ）δｔｘ・・・（２
３−１） ・・・（２３−２） δψ（Ｍ、Ｎ）　　−λ＃　　（Ｍ、Ｎ）　　δ　ｔ　
×・・・（２３，−３） 今、変数Ｐに注目して（２３−１）を考える。変数Ｐに
ついて考える時はδｎ（、）とδψ（）はすべてＯであ
るとすれば、 δｐ　（Ｍ、Ｎ） になる。ここに、Σ　を に、Ｌ ・・・（２４） 非対角項の絶対値の和： ・・・（２５） と定義する。

式（２１）に対応する式（２４）から式（２２）に対応
する式を導出すると、誤差伝播式（２６）が求まる。

δｐ　２（Ｍ、Ｎ）−δｐ’　（Ｍ、Ｎ）−λ、　（Ｍ
、Ｎ）δｔ・・・（２８） になる。

ここで、前述したＧｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ　ｃｉｒｃｌ
ｅ　ｔｈｅｏｒｅｍを利用する。この解法の誤差伝播行
列の固有値が、複数平面上の単位円内に存在するために
は、誤差伝播行列の成分が実数であることを利用すると
、固有値の存在する円Ｇ１の中心は実軸上に分布する。

よって、次の２つの不等式が成立すればよい。

・・・（２９） これを行列の形で書くと ・・・（２Ｇ） ・・・（３０） （２９）を書換えると、 λ、（Ｍ、Ｎ）　　δ　ｔ ≧λ　、（Ｍ、Ｎ）　　δ　ｔ この時、（３０）は、 ・・・（３１） となるか、ここから決まるのは括弧内の正、負に従って
、λ、　（Ｍ、Ｎ）δｔが負、正になることである。と
ころがλ、　（Ｍ、Ｎ）δｔは物理的要請から正である
とするので、（３２）は、λ、　（Ｍ、Ｎ）δｔの値を
決定するためには利用せず、（３１）のみを利用するこ
ととする。

実際的には、パラメータω、（０≦ω、≦１）を利用し
て、 ・・　（３３） とする。

同様に、変数ｎ、ψに対して考えると、λ。（ＭＮ）δ
ｔ、λｄ　（Ｍ、Ｎ）δｔの決定法が導ける。

以下、図面を参照して本発明の動作解析の流れを説明す
る。

第１図は、本発明の第１実施例に係る半導体デバイスの
動作解析法を説明するためのフローチャートである。

本発明では、方程式（８−１）、　（８−２）　、　（
９）の解を求めるにあたり、これらを時間微分項を含む
、つぎの形におきかえる。

ｄ　ｐ（Ｍ、Ｎ）　／ｄ　を−〜λ、　（Ｍ、Ｎ）　　
ｆ　ｐ（Ｍ、Ｎ）・・・（ｄ−１） ｄ　ｎ　（Ｍ、Ｎ）　／　ｄ　を−λ、、（Ｍ、Ｎ）　
　ｆ　、、ＣＭ、Ｎ＞・・・（ｄ−２） ｄψ（Ｍ＝Ｎ）　　／　ｄ　ｔ　＝λａ　　（Ｍ、Ｎ）
　　ｆ　ｍ　　（Ｍ、Ｎ）・・・（ｄ−３） ただし各式の右辺のｆ、、ｆ、、ｆ、は次式のとおり定
義するものとする。

ｆ、（Ｍ、Ｎ）−（１／ｑ）（［Ｊ、、（Ｍ）−Ｊ　　
、、（Ｍ−１）　　コ　　／ｈ。

＋　（１／ｑ）　　（［Ｊ、、（Ｎ） −Ｊ　　、、（Ｎ−１）　　コ　／ｈ。

＋　Ｕ　（Ｍ、Ｎ） （Ｍ） （Ｍ） ・・・（１９−１） ｆ、（Ｍ、Ｎ） −（１／Ｑ）　　（［Ｊ、、（Ｍ） −Ｊ　、、（Ｍ−１）　　］／　ｈ　。

＋　　（１／ｑ）　　ｉ　　［Ｊ、、（Ｎ）−Ｊ。、（
Ｎ〜ｔ）］／ｈ。

＋　Ｕ　（Ｍ、Ｎ） （Ｍ） （Ｍ） ・・・（１９−２） ｆ＊　　Ｏｌ、Ｎ）、−［１／ｈ、　　　（Ｍ）　　］
×（［ψ（Ｍ＋１．Ｎ）−ψ（Ｍ、Ｎ）　］　／　ｈ　
、　（Ｍ）［ψ（Ｍ、Ｎ）−ψ（Ｍ−１，Ｎ）　］　／
　ｈ　、　（Ｍ−１）　１＋　　［１／ｈ、　　　（Ｎ
）］ Ｘ（Ｃψ　（トイｌ＋１）　　−ψ　（トイ、Ｎ）　　
コ　／ｈ、（Ｎ）［ψ　（Ｍ、Ｎ）　　−ψ　（Ｍ、Ｎ
−１）　　コ　／　　ｈ　　、　　（Ｎ−１）　　１＋
　　（ｑ／ε）　　［ｒ’（Ｍ、Ｎ）＋Ｐ（Ｍ、Ｎ）−
ｎ　（Ｍ、Ｎ）］ ・・・（１９−３） 再び式（ｄ−１）〜（ｄ−３）にもどり、各式の左辺の
時間微分項を差分近似する。この際、時間軸上に有限個
の分割点を設け、旧時刻の値は上つきの数字０、新時刻
の値上つきの数字１で表わすことにする。その結果つぎ
の各式か得られる。

ｐ　’　（Ｍ、Ｎ）　−ｐ　０（Ｍ、Ｎ）−δｔλ、　
ＣＭ、Ｎ）　　ｆ　、　　（Ｍ、Ｎ）・・・（３４−１
） ｎ　　’　　（Ｍ、Ｎ）　　＝　ｎ　０　（Ｍ、Ｎ）−
δ　ｔ　λ、　　（Ｍ、Ｎ）　　ｆ　、　　。（Ｍ、Ｎ
）・・・（３４−２） ψ’　　（Ｍ、Ｎ）　　−ψ０　（Ｍ、Ｎ）−δ　ｔ　
　ｌ　ａ　　（Ｍ、Ｎ）　　ｔ　ｍ　　’　　（Ｍ、Ｎ
）・・・（３４−３） ただし、１≦ＭＳＫ、１≦Ｎ≦Ｌとする。

以下、第１図のフローチャートを参照して説明する。本
方法においては、まず計算をスタートするにあたって、
ステップａ１において、半導体デバイスの構造、不純物
データをコンピュータのメモリに入力する。次にステッ
プｂ１において、半導体デバイスの分割点配置を決定す
ると共に、ステップＣ１でバイアス電圧■を入力する。

次に基本変量ｐ（Ｍ、Ｎ）　、　　ｎ　（Ｍ、Ｎ）　、
　　ψ（Ｍ、Ｎ）の初期試行値ｐ０（Ｍ、Ｎ）　、　　
ｎ　０（Ｍ、Ｎ）　、　　ψ’　（Ｍ、Ｎ）をステップ
ｄ１で与え、ステップｅ１において時間積分開始のため
の初期時間ｔ１を定める。

つぎにステップｆ１において、式（ｅ−１）〜（ｅ−３
）に従って感度係数λ、　（Ｍ、Ｎ）　、　　λ。（Ｍ
、Ｎ）　、　　λ。

（Ｍ、Ｎ）をすべての格子点につき計算する。

次にステップｇ１において、式（３４−１）〜（３４−
３）に従って各式の右辺の値をすべての点１≦Ｍ≦Ｋ。

１≦Ｎ≦Ｌについて求め、これらをｐ　’　（Ｍ、Ｎ）
　。

ｎ　’　（Ｍ、Ｎ）　、　　ψ’　（Ｍ、Ｎ）；　１≦
Ｍ≦に、１≦Ｎ≦Ｌに等しいとおく。これによって時間
軸上の積分が１ステップ進行したことになる。

次にステップｈ１において、各変量の変化分の絶対値ｌ
　ｐ’　（Ｍ、Ｎ）　−ｐｏ（Ｍ、Ｎ）　　ｌ　、　　
Ｉ　ｎ’　（Ｍ、Ｎ）−ｎｏ（Ｍ、Ｎ）　１．　ｌψ’
　（Ｍ、Ｎ）−ψ’　（Ｍ、Ｎ）　ｌを全点について求
め、これらのすべてが所定の誤差限界により小さいか否
かをチエツクする。

もしデバイス空間の中に１点でも誤差限界より大きな変
化を生じた点であれば、ステップ１１において、先に求
めた修正値ｐ　’　（Ｍ、Ｎ）ｎ　’　（Ｍ、Ｎ）　、
　　ψ’　（Ｍ、Ｎ）を新な試行値とみなし、これらを
ｐ’　（Ｍ、Ｎ）　＋　ｎｏ（Ｍ、Ｎ）　＋　ψ０（Ｍ
、Ｎ）に等しいとおき、更に時刻ｔ１をｔｏとして、前
述と同じ要領で更に時間軸上の積分計算を行う。

もしすべての点で各変量変化の絶対値が誤差限界を下ま
わったならば、定常解が得られたものとみなして計算を
終了する。その結果得られた解ハ、式（ｄ−１）〜（ｄ
−３）において、各式の左辺の時間微分項がゼロになる
ようなものであるから、ｆ　、　（Ｍ、Ｎ）　−０，ｆ
　、　（Ｍ、Ｎ）　−０，ｆゆ（Ｍ、Ｎ）　−〇；１≦
Ｍ≦に、１≦Ｎ≦Ｌが成り立つ。このことは即ち、方程
式（８−１）　、　（８−２）および（９）の解が求ま
ったことに他ならない。

以上が本実施例の概略である。従来法とくらべた場合の
特徴は、■本実施例には非線形方程式の線形化プロセス
が含まれないこと、■従来法の説明の項で示した式（１
８）及びこれから派生した第８図のような大形サイズの
行列・ベクトル方程式の解の計算を必要とせず、従って
大形メモリ容量を用いた複雑な計算を実行することがな
く、単に式（３４−１）〜（３４−１）により各式の右
辺の値を求めて、基本変量の修正値を決めるだけでよい
こと、■調整因子としての係数λ、　（Ｍ、Ｎ）　、　
　λ、　０４．ｌＪ）およびλ＃　（Ｍ、Ｎ）　−一以
下これらを単に感度係数と呼ぶｍ−が、デバイス空間の
各点につき異なりた値をとり得るため、これらに物理的
特性に合致した適正値を与えることにより、解の収束が
効率よく実現できること、■本実施例の式（ｄ−１）〜
（ｄ−３）の解を計算するプロセスは時間軸上の数値積
分計算に他ならない。この計算を通常の如く大形計算機
を用いたディジタル計算により実行することは勿論可能
であるが、他に、電子回路を応用することにより、その
回路の時間応答（過渡現象）が定常状態に達したならば
、その状態がすなわち所定の方程式の解に相当するよう
な装置を構築することが可能である。この点については
以下に本発明の装置として説明する。

以上、第１実施例の方法は、行列解法に基づ〈従来法と
は全く異なり、デバイスモデリングに新な分野を開拓す
る可能性をもつものである。

つぎに本発明の第１の計算装置につき説明する。

これは、半導体デバイスモデリングにおける電子、正孔
の輸送方程式およびポアソン方程式からなる連立方程式
系を、時間微分項と感度係数とを含む微分方程式（ａ−
１）　、（ａ−２）　、（ａ−３）におきかえて解析す
る装置である。以下、その構成を第２図と第３図に基づ
き説明する。

第２図は装置全体の概念的構成を示す。右上は解析の対
象となるデバイス１０を表わす。左端はｍｅｓｈｐｏｉ
ｎｔ　ｕｎｌｔ　（格子点ユニット）１２であり、その
入力端子には所定の格子点の基本変量であるｐ　（Ｍ、
Ｎ）　、　　ｎ　（Ｍ、Ｎ）　、　　ψ（Ｍ、Ｎ）の旧
値が入力され、出力端子からは、これら３変量の更新値
が出力される。この格子点ユニットの内部については後
述する。格子点ユニットの個数ｍは、装置全体につき最
小１個から最大は格子点の総数の個数まで、いずれでも
よい。このｍは並列計算の並列数を表わすことになるが
、以下簡単のため１個とする。

中央部に示したのはアドレスユニット１４であり、これ
は上記の格子点ユニット１２の出力量を、その右下にあ
るメモリーユニット１６の、所定の格子点位置に対応す
るアドレスに収納する。

さらにその右にある判定ユニット１８は、時間の進行に
ともなって各変量の旧値と更新値の差が格子点全体につ
き十分に小さくなったか否かを判定する。まだ両者の差
が十分小さくないような格子点が全体のうち１個でも存
在する場合は、更新値をつぎの時刻の旧値とみなして格
子点ユニットの入力へ送りこむ。

また、すべての格子点につき両者の差が十分小さい場合
は、定常解が得られたものとみなして計算を終了する。

つぎに、第３図に従い本装置全体の主要部分とみなされ
る格子点ユニット１２の内部につき説明する。３個の入
力端子２０．２２．２４には所定の格子点（Ｍ、Ｎ）に
おける基本変量ｐ　（Ｍ、Ｎ）　、　　ｎ　（Ｍ。

Ｎ）、ψ（Ｍ、Ｎ）の旧値が与えられる。旧値であるこ
とを明示するため、各々に上つき添字ゼロをつけ、ｐ’
　（Ｍ、Ｎ）　、　　ｎ　’　（Ｍ、Ｎ）　、　　ψ’
　（Ｍ、Ｎ）と記すことにする。これら３個の変量は、
各々対応する関数ｆ、、ｆ、、ｆゆと感度係数−λ２．
λ。、λ。

の計算ブロック２６．２８，３０．３２．３４゜３６に
送られる。すなわち正孔の連続方程式についてはｆ　、
　（Ｍ、Ｎ）と−λ、　（Ｍ、Ｎ）の各計算ブロック２
６．３２の入力端子にｐ　’　（Ｍ、Ｎ）が送りこまれ
る。この際、格子点（Ｍ、Ｎ）の隣接点（一般に複数個
）の正孔密度ｐ０（Ｋ、Ｌ）も必要とされるので、これ
らもまたさきの第２図に示したアドレスユニット１４を
用いて提供されるようにしておくものとする。

さらに、正孔の連続方程式は正孔密度の計算に用いるも
のではあるが、上記のｆ　、　（Ｍ、Ｎ）とλ。

（Ｍ、Ｎ）を計算する際、他の２変量ｎ　（Ｍ、Ｎ）お
よびψ（Ｍ、Ｎ）　、さらにはこれらの量の隣接点での
値が必要とされるので、これらもまた前回のアドレスユ
ニット１４を用いて提供されるようにする。

３変量のすべてにつき関数と感度係数の計算が終ったら
、続いてこれらをそれぞれ乗算器３８゜４０．４２にか
け、さらに続いて乗算器３８゜４０．４２の出力と、対
応する変量の旧値とをそれぞれたし算器４４，４６．４
８に入力し、両者の和をとる。その結果、各変量の更新
値が求まり、これらはそれぞれ格子点ユニット１２の出
力端子５０．５２．５４に出される。

以上が格子点ユニット１２の内部の演算機能であるが、
その演算内容はディジタル方式により実行してもよいし
、あるいはアナログ方式により実行してもよい。さらに
は、両者を混合したハイブリッド方式により実行しても
よい。

次に、本発明の′Ｍ２の動作解析法について説明する。

ボルツマン統計に従つて記述される正孔、電子各密度ｐ
＋　　ｎと、正孔、電子各疑似フェルミ電位φ２．φ１
の間の関係式 ％式％（） を用い、これらを式（ａ−１）　、　（ａ−２）に代入
する。その結果、つぎの二式が得られる。

ｄφｐ　（Ｍ、Ｎ）　／　ｄ　を 一−λ、　（Ｍ、Ｎ）　　ｆ　、　（Ｍ、Ｎ）　／　［
θｐ　（Ｍ、Ｎ）　］＋λ、　（Ｍ、Ｎ）　ｆφ（Ｍ、
Ｎ） ・・・（３６−１） ｄφｐ　　（ＬＮ）　　／　ｄ　　を −−λ。（Ｍ、Ｎ）　　ｆ　、　　（Ｍ、Ｎ）　　／　
　［θｎ　（Ｍ、Ｎ）　　］＋λゆ　（Ｍ、Ｎ）　　ｆ
　ａ　　（Ｍ、Ｎ）・・・（３Ｂ−２） これら二式を前出の式（ａ−１）　、　（ａ−２）のか
わりに用いることが、この第２の解析法の特徴である。

換言すれば、基本変量としてｐ　（Ｍ、Ｎ）、ｎ　（Ｍ
、Ｎ）、ψ（Ｍ。

Ｎ）の３個にかわり、φｐ（月、Ｎ）、φｐ　（Ｍ、Ｎ
）、φ（Ｍ、Ｎ）の３個を用いることに他ならない。な
お第３番目の方程式として、式（ａ−３）を用いる点は
第１の解析法と同一である。これを前掲すれば、ｄψ（
Ｍ、Ｎ）　／　ｄ　を−λ＃　（Ｍ、Ｎ）　　ｆ　＃　
（Ｍ、Ｎ）・・・（３Ｂ−３） である。

変数変換の結果、第１の解析法と異なり、物理的ディメ
ンションの同一な３つのポテンシャルφ３．φｎ、ψを
基本変量とみなすことになるため、数値計算の際、数値
の大きさがそろうため、その実行が容易になるという利
点が生じる。

つぎに本発明の第３の動作解析法につき説明する。

いまかりに、３方程式（３Ｂ−１）、　（３Ｂ−２）　
、　（３１３〜３）からなる連立方程式系につき、時間
積分を実行した結果、定常解が求まったと仮定すれば、
時間微分項は消失するから、ｆ　、　（Ｍ、Ｎ）　−０
，ｆ　、　（Ｍ、Ｎ）＝Ｏ，ｆｓ（靭、Ｎ）−０となる
。これら３式は通常の半導体デバイスの定常状態の方程
式に他ならない。

逆に、定常状態の方程式がなりたつものとすれば、式（
３６−１）、　（３６−２）のかわりに、これらの右辺
第２項を除外したもの、すなわち ｄφｐ　（Ｍ、Ｎ）　／　ｄ　を 一−λ、　（Ｍ、Ｎ）　　ｆ　、　（Ｍ、Ｎ）　／　［
θｐ　（Ｍ、Ｎ）コ・・（３７−１） ｄ　φｐ、（Ｍ、Ｎ）　　／　ｄ　　を−一λ。（Ｍ、
Ｎ）　　ｆ　、　　（Ｍ、Ｎ）　　／　　［θｎ　（Ｍ
、Ｎ）　　］・・・（］３７−２ （３６−３）とを組合せたものから出発し、時間積分を
実行した結果、定常解か求まったとすれば、やはり上記
式（３Ｇ−１）、　（３Ｇ−２）、　（３６−３）から
出発した場合と同様ｆ、　０１．Ｎ）　−０，ｆヶ（Ｍ
、Ｎ）　−０，ｆ　、　（ＭＮ）−〇かなりたつことが
わかる。第３の動作解析法は上記の式（３７−１）、　
（３７−２）　、　（３６−３）から出発する方法であ
る。

つぎに本発明の第４の動作解析法につき説明する。上述
のごとく、もしも時間積分を実行した結果、定常解が得
られるならば、［方程式系（３Ｂ−１）。

（３８−２）　、　　（３Ｂ−３）］を用いても［方程
式計（３７−１）。

（３７−２＞、（３Ｂ−３）　］を用いても同じ解が得
られることになる。そこで、この点に注目し、数値計算
実行の際、二つの方程式系を併用することにより、定常
解への収束が速やかに起るようにするのが本方法の特徴
である。

つぎに本発明の第５の動作解析法につき説明する。これ
は第２ないし第４の動作解析法において、選定すべき感
度係数λ２．λ１．λ、の具体的な式の一例を与えるも
のである。その方法は、すでに基本食ｊｌｐ、ｎ、　　
ψを用いた第１の解析法の説明において詳細に述べた。

これらの係数の導出法を、基本変量φ２．φｐ、ψを用
いて書きかえればよい。その途中経過は省略して結果だ
けを示せば、つぎの各式が得られる。

λ、の式は先と同様であるが、ここに前掲すればつぎの
とおりである。

λ、　（Ｍ、Ｎ）　δｔ ・・・（３８−３） なお上記三式において、ω９．ω。、ω、はいずれも０
と１の間にある定数なることは第１の解析法の場合と同
一である。

次に、上記本発明の第２ないし第４の動作解析法に対応
した装置について説明する。第２ないし第５の解析装置
については関数ブロックと感度係数ブロックとをそれぞ
れの場合に適した形におきかえれば、第１の解析装置の
場合と同一の原則を適用して、所定の解析装置を実現す
ることが可能である。即ち、第２ないし第５の解析法の
フロに対応した演算ブロックを設け、演算を実行すれば
よい。

以下、第２ないし第５の動作解析法の具体的計算例につ
き説明する。この際、既述したとおり、基本変量として
はφ１．φｎ、ψを採用する。また感度係数λｐ、λｎ
、λφの決定には式（３８−１）（３８−２）および（
３８−３）を用いるものとする。

まず最初、本計算法の入力データとして必要なデバイス
の断面構造（＾）と不純物分布（Ｂ）を与える。これら
は第４図（ａ）　、　（ｂ）に示すとおりである。

断面構造（Ａ）はシリコンバイポーラ・トランジスタを
表わす。以下の計算は、２次元空間モデルにつき行うも
のとする。図には格子点を定義する縦横の分割線の位置
と番号が示しである。本分割モデルは横２６点、縦３１
点従って二次元平面全体では８０６点の格子点か存在す
る。

不純物分布（Ｂ）の不純物につき、つぎの数値例を与え
る。　Ｎ　−Ｅ−１０２°、ＮＰＢ−１０”、　　Ｎ　
＋＋９＝１０”　　Ｎ、ｃ−１０２０（各（！ＩＩ＋−
’）、また外部ベース拡散層の表面濃度Ｎｐｘ、ｅ、　
は１０”ｃ１１１’ときめる。

第１表に実行した一連の計算結果をまとめて示す。ここ
ではベース・コレクタ間電圧：ＶＢ（−〇■一定とし、
ベース・エミッタ間電圧＋ＶＢＩ！のみＯＶから１ｖま
で変化させである。このＶＢＢの値は最左端の第１コラ
ムに示す。つぎの第２コラムωは、式（３Ｂ−１）、　
（３８−２）　、　（３８−３）において、ω。

−ω。−ωゆとおいたもので、このωは既に詳述したと
おり０と１の間の値をとるべきことが知られている。第
３コラム１δＩ□８は、φｎ、φｐ。

ψの変化分の絶対値のうち最大のものを表わす。

これが所定の値、たとえば１Ｏ−９（表中ではこれを１
．Ｅ−９と記す）を下まわれば定常解が求まったものと
みなす。

第４コラム■、。、は、０または１をとるものとし、工
、。１−０は式（３７−１）　、　（３７−２）の形、
すなわちλａｔｅを除外した形を用いることに対応し、
また１、。＋−１は式（３Ｂ−１）の形すなわちλ、ｆ
。

を含めた形を用いることに対応するものときめる。

第５コラムＮ　Ｉｔは反復回数あるいは時間軸上のステ
ップ数を表わす。第６．第７コラムは各々コレクタ電流
、およびエミッタ電流とベース電流の差を表わし、両者
が完全に等しいことは電流保存則が完全になりたつこと
を意味する。従ってこれら２つがどの程度等しいかをチ
エツクすれば、数値解の質のよさが判定できるわけであ
る。第８コラムの誤差はｌ　ＩＣ／　（ＩＥ　　　ＩＢ
）−１ｌをパーセント表示したものである。最後の第９
コラムは当該ラインの計算を実行する際の初期設定値に
対応するＶＢＨの値を示す。たとえば、第６行のＶ　Ｂ
Ｅ−０，７Ｖに注目すれば、この計算をスタートする際
Ｖ　ＢＥｓｗ　Ｏ，８５Ｖの計算の最終結果を用いたこ
とを表わす。

以上が第１表の各コラムのデータの意味である。

つぎに計算結果そのものに注目する。まずＶＢＥが低く
、０〜０，６■の範囲にある場合、■、。、−０にて計
算を実行することにより、実用上妥当な反復回数にて正
解が得られる。ちなみに、本計算をスーパーコンピュー
タを用いて実行した際の計算所要時間は、反復１回あた
り約８秒であった。

従ッテ、たとえばＶ　Ｂ！＝　０．４　Ｖ　Ｏ’）解ハ
３５５７回で求まるから、その所要時間は約２９秒であ
り、極めて実用的な値である。以上により低いＶＩｇの
計算にはＩ、。、−〇すなわち第３の動作解析法が有効
なことが分った。

つぎにＶ　ＢＥ−０，７Ｖの計算に注目する。これにつ
いては第１表のほかとくに第５図を参照する。

図において黒丸・で示した曲線はＩ、。３．−〇すなわ
ち第３の動作解析法で計算した結果を表わす。また白丸
Ｏで示した曲線は１．。１．−１すなわち第２の動作解
析法で計算した結果を表わす。両者を比較すると、Ｉ　
ｐｏ、、ｓｍＯは最初急速に下降し収束傾向を示すもの
の、３Ｘ１０−’程度からはδ１６．１の減少率が低下
し、収束傾向が鈍くなる。

これに対してＩ、。、−１は、初期の減少率はｌ、。

−〇にくらべて劣るものの、１δＩ１．８が小さくなっ
ても減少率はあまり鈍化しない。そこで、両者を組合せ
てまず最初１．。、−〇にてスタートし、１δｌ　、、
、　−１０−６に達したら■、。１．−１に切換える。

その結果三角印△で示す結果が得られ、最も速やかな収
束が実現できる。このＩ、。、−０と！、。１−１を併
用することを特徴とするのが第４の動作解析法である。

［発明の効果］ 以上に説明した計算方法および計算装置により、従来大
型計算機の上で行列解法を含む複雑な計算アルゴリズム
にもとづくプログラムを必要としてきた半導体デバイス
モデリングの実行を、記憶容量の小さいパーソナルコン
ピュータ程度の計算機または専用計算装置を用いて実行
することが可能となる。とくに本発明の第１ないし第５
の専用計算装置については、これらを１個ないし数個の
半導体チップにより実現することが可能であるから、こ
れをたとえば、パーソナルコンピュータにプラグインユ
ニットの形で挿入し、デイスプレィ画面の上でデータ入
力と計算結果の出力を行うことなどが可能となる。この
ように本発明は、半導体デバイスモデリングを世に普及
させるのに大きな寄与をなす可能性をもつものである。

【図面の簡単な説明】

第１図は、本発明の第１の動作解析法のフロチャート、 第２図は、本発明の第１の動作解析装置のブロツク図、 第３図は、上記解析装置のメツシュポイントユニットの
ブロック図、 第４図（ａ）　、　（ｂ）は、本発明の第２ないし第５
の動作解析法を適用した半導体デバイスモデルの断面構
造と不純物分布を示す図、 第５図は、本発明の第２ないし第５の動作解析法を適用
した結果を示す図、 第６図は、Ｇｅｒｓｃｈｇｏｒｉｎ　ｃｉｒｃｌｅ　ｔ
ｈｅｏｒｅｍを説明する図、 第７図は、従来の半導体デバイスの解析に使用された半
導体デバイス空間のメツシュ分割を示す図、 第８図は、従来の行列解法による半導体デバイスの解析
を示す行列式である。 １０・・・デバイス、１２・・・メツシュポイントユニ
ット、１４・・・アドレスユニット、１６・・・メモリ
ユニット、１８・・・判定ユニット 出願人代理人　弁理士　鈴江武彦 子°゛ハ”イス 第 図 羞景ツとし数 第 図 ｍａｇ 第 図

Claims (10)

【特許請求の範囲】
1. （１）半導体デバイスモデリングにおける、電子正孔の
   輸送方程式およびポアソン方程式からなる連立方程式系
   をコンピュータにより解析する方法において、前記連立
   方程式系を、時間微分項ｄｐ／ｄｔ、ｄｎ／ｄｔ、ｄψ
   ／ｄｔと感度係数λ＿ｐ、λ＿ｎ、λ＿φとを含む下記
   （ａ−１）、（ａ−２）、（ａ−３）式に置き換え、 ｄｐ／ｄｔ＝−λ＿ｐｆ＿ｐ・・・（ａ−１）ｄｎ／ｄ
   ｔ＝λ＿ｎｆ＿ｎ・・・（ａ−２）ｄψ／ｄｔ＝λ＿φ
   ｆ＿φ・・・（ａ−３）ただし、 ｆ＿ｐ＝（１／ｑ）ｄｉｖＪ＿ｐ−（Ｇ−Ｕ）・・・（
   ｂ−１） ｆ＿ｎ＝（１／ｑ）ｄｉｖＪ＿ｎ＋（Ｇ−Ｕ）・・・（
   ｂ−２） ｆ＿φ＝ｄｉｖｇｒａｄψ＋（ｑ／ε）（Γ＋ｐ−ｎ）
   ・・・（ｂ−３） ｎ＝ｎ＿ｉｅｘｐ［θ（ψ−φ＿ｎ）］・・・（ｂ−４
   ）ｐ＝ｎ＿ｉｅｘｐ［θ（φ＿ｐ−ψ）］・・・（ｂ−
   ５）θ＝ｑ／（ｋＴ）・・・（ｂ−６） 定常状態に至るまで（ａ−１）、（ａ−２）、（ａ−３
   ）の時間積分を実行することにより、定常方程式 ｆ＿ｐ＝０・・・（ｃ−１） ｆ＿ｎ＝０・・・（ｃ−２） ｆ＿φ＝０・・・（ｃ−３） の解を求めんとする際、 半導体デバイスの分割点配置（Ｍ、Ｎ）を決定すると共
   に、感度係数λ＿ｐ、λ＿ｎ、λ＿φにも前記半導体デ
   バイスの物理的特性に合致した適正な空間位置依存性を
   与えて、上記（ａ−１）、（ａ−２）、（ａ−３）式を
   下記の（ｄ−１）、（ｄ−２）、（ｄ−３）式に変換し
   、 ｄｐ（Ｍ、Ｎ）／ｄｔ＝−λ＿ｐ（Ｍ、Ｎ）×ｆ＿ｐ（
   Ｍ、Ｎ）・・・（ｄ−１） ｄｎ（Ｍ、Ｎ）／　ｄｔ＝λ＿ｎ（Ｍ、Ｎ）×ｆ＿ｎ（
   Ｍ、Ｎ）・・・（ｄ−２） ｄψ（Ｍ、Ｎ）／ｄｔ＝λ＿φ（Ｍ、Ｎ）×ｆ＿φ（Ｍ
   、Ｎ）・・・（ｄ−３） 且つ、感度係数λ＿ｐ、λ＿ｎ　、λ＿φを次式により
   与えて、 λ＿ｐ（Ｍ、Ｎ）δｔ ＝▲数式、化学式、表等があります▼・・・（ｅ−１） λ＿ｎ（Ｍ、Ｎ）δｔ ＝▲数式、化学式、表等があります▼・・・（ｅ−２） λ＿φ（Ｍ、Ｎ） ＝▲数式、化学式、表等があります▼・・・（ｅ−３） ただし上式（ｅ−１）、（ｅ−２）、（ｅ−３）におい
   て、δｔは離散化した時間軸上の時間間隔を表わし、ま
   た（Ｍ、Ｎ）は離散化した空間格子点の番号を表わし、
   さらに（Ｘ、Ｌ）は点（Ｍ、Ｎ）を中心点とする隣接点
   の番号を表わして、 上記（ｄ−１）、（ｄ−２）、（ｄ−３）式を定常状態
   に至まで時間積分することにより、前記連立方程式系の
   解を求めることを特徴とする半導体デバイスの動作解析
   法。
2. （２）半導体デバイスモデリングにおける、電子、正孔
   の輸送方程式およびポアソン方程式からなる連立方程式
   系をコンピュータにより解析する方法において、前記連
   立方程式系を、時間微分項ｄｐ／ｄｔ、ｄｎ／ｄｔ、ｄ
   ψ／ｄｔと感度係数λ＿ｐ、λ＿ｎ　、λ＿φとを含む
   下記（ａ−１）、（ａ−２）、（ａ−３）式に置き換え
   、 ｄｐ／ｄｔ＝−λ＿ｐｆ＿ｐ・・・（ａ−１）ｄｎ／ｄ
   ｔ＝λ＿ｎｆ＿ｎ・・・（ａ−２）ｄψ／ｄｔ＝λ＿φ
   ｆ＿φ・・・（ａ−３）ただし、 ｆ＿ｐ＝（１／ｑ）ｄｉｖＪ＿ｐ−（Ｇ−Ｕ）・・・（
   ｂ−１） ｆ＿ｎ＝（１／ｑ）ｄｉｖＪ＿ｎ＋（Ｇ−Ｕ）・・・（
   ｂ−２） ｆ＿φ＝ｄｉｖｇｒａｄψ＋（ｑ／ε）（Γ＋ｐ−ｎ）
   ・・・（ｂ−３） ｎ＝ｎ＿ｉｅｘｐ［θ（ψ−φ＿ｎ）］・・・（ｂ−４
   ）ｐ＝ｎ＿ｉｅｘｐ〔θ（φ＿ｐ−ψ）］・・・（ｂ−
   ５）θ＝ｑ／（ｋＴ）・・・（ｂ−６） 定常状態に至るまで（ａ−１）、（ａ−２）、（ａ−３
   ）の時間積分を実行することにより、定常方程式 ｆ＿ｐ＝０・・・（ｃ−１） ｆ＿ｎ＝０・・・（ｃ−２） ｆ＿φ＝０・・・（ｃ−３） の解を求めんとする際、 式（ｂ−４）、（ｂ−５）を用いて式（ａ−１）、（ａ
   −２）の左辺にあるｐ、ｎを消去し、 ｄφ＿ｐ／ｄｔ＝λ＿ｐｆ＿ｐ／θｐ＋λ＿φｆ＿φ・
   ・・（ｆ−１）ｄφ＿ｎ／ｄｔ＝−λ＿ｎｆ＿ｎ／θｎ
   ＋λ＿φｆ＿φ・・・（ｆ−２）におきかえ、 かつ半導体デバイスの分割点配置（Ｍ、Ｎ）を決定する
   と共に、感度係数λ＿ｐ、λ＿ｎ　、λ＿φにも前記半
   導体デバイスの物理的特性に合致した適正な空間位置依
   存性を与え前記連立方程式系の解を求めることを特徴と
   する半導体デバイスの動作解析法。
3. （３）半導体デバイスモデリングにおける、電子、正孔
   の輸送方程式およびポアソン方程式からなる連立方程式
   系をコンピュータにより解析する方法において、前記連
   立方程式系を、時間微分項ｄｐ／ｄｔ、ｄｎ／ｄｔ、ｄ
   ψ／ｄｔと感度係数λ＿ｐ、λ＿ｎ、λ＿φとを含む下
   記（ａ−１）、（ａ−２）、（ａ−３）式に置き換え、 ｄｐ／ｄｔ＝−λ＿ｐｆ＿ｐ・・・（ａ−１）ｄｎ／ｄ
   ｔ＝λ＿ｎｆ＿ｎ・・・（ａ−２）ｄψ／ｄｔ＝λ＿φ
   ｆ＿φ・・・（ａ−３）ただし、 ｆ＿ｐ＝（１／ｑ）ｄｉｖＪ＿ｐ−（Ｇ−Ｕ）・・・（
   ｂ−１） ｆ＿ｎ＝（１／ｑ）ｄｉｖＪ＿ｎ＋（Ｇ−Ｕ）・・・（
   ｂ−２） ／ｆ＿φ＝ｄｉｖｇｒａｄψ＋（ｑ／ε）（Γ＋ｐ−ｎ
   ）・・・（ｂ−３） ｎ＝ｎ＿ｉｅｘｐ［θ（ψ−φ＿ｎ）］・・・（ｂ−４
   ）ｐ＝ｎ＿ｉｅｘｐ［θ（φ＿ｐ−ψ）］・・・（ｂ−
   ５）θ＝ｑ／（ｋＴ）・・・（ｂ−６） 定常状態に至るまで（ａ−１）、（ａ−２）、（ａ−３
   ）の時間積分を実行することにより、定常方程式 ｆ＿ｐ＝０・・・（ｃ−１） ｆ＿ｎ＝０・・・（ｃ−２） ｆ＿φ＝０・・・（ｃ−３） の解を求めんとする際、 式（ｂ−４）、（ｂ−５）を用いて式（ａ−１）、（ａ
   −２）の左辺にあるｐ、ｎを消去して、 ｄφ＿ｐ／ｄｔ＝−λ＿ｐｆ＿ｐ／θｐ＋λ＿φｆ＿φ
   ・・・（ｆ−１）ｄφ＿ｎ／ｄｔ＝λ＿ｎｆ＿ｎ／θｎ
   ＋λ＿φｆ＿φ・・・（ｆ−２）を得、さらに上記（ｆ
   −１）、（ｆ−２）の各第２項を除去して ｄφ＿ｐ／ｄｔ＝−λ＿ｐｆ＿ｐ／θｐ・・・（ｇ−１
   ）ｄφ＿ｎ／ｄｔ＝−λ＿ｎｆ＿ｎ／θｎ・・・（ｇ−
   ２）におきかえ、 かつ半導体デバイスの分割点配置（Ｍ、Ｎ）を決定する
   と共に、感度係数λ＿ｐ、λ＿ｎ　、λ＿φにも前記半
   導体デバイスの物理的特性に合致した適正な空間位置依
   存性を与え前記連立方程式系の解を求めることを特徴と
   する半導体デバイスの動作解析法。
4. （４）時間積分を実行する際、ある第１の期間には上記
   請求項（２）の計算法と上記請求項（３）の計算法のう
   ち一方を使用し、ある第２の期間には上記請求項（２）
   の計算法と上記請求項（３）の計算法のうち他方を使用
   して前記連立方程式系の解を求めることを特徴とする半
   導体デバイスの動作解析法。
5. （５）請求項（２）、（３）、（４）に記載の方法にお
   いて、感度係数λ＿ｎ、λ＿ｐ、λ＿φを次式により与
   える半導体デバイスの動作解析法。 ▲数式、化学式、表等があります▼・・・（ｈ−１） ▲数式、化学式、表等があります▼・・・（ｈ−２） ▲数式、化学式、表等があります▼・・・（ｈ−３）
6. （６）半導体デバイスモデリングにおける、電子、正孔
   の輸送方程式およびポアソン方程式からなる連立方程式
   系を時間微分項と感度係数とを含む下記微分方程式ｄｐ
   ／ｄｔ＝−λ＿ｐｆ＿ｐ、ｄｎ／ｄｔ＝λ＿ｎｆ＿ｎ、
   ｄψ／ｄｔ＝λ＿φｆ＿φに置き換えて解析する請求項
   （１）の方法を実行する装置において、前記装置は、メ
   ッシュ分割された半導体装置のメッシュポイントのアド
   レスを指定する手段と、前記指定されたアドレスに対応
   するポイントのｐ、ｎ、ψ、λ＿ｐ、λ＿ｎ、λ＿φに
   基づいて上記積分を実行し、そのポイントにおけるｐ、
   ｎ、ψを導出する手段と、前記導出されたｐ、ｎ、ψを
   記憶する手段と、前記導出されたｐ、ｎ、φが誤差限界
   にあるか否かを判断し、誤差限界にない場合には前記導
   出手段に帰還して再度上記積分を実行させ、誤差限界内
   にある場合には積分結果を出力する手段とからなること
   を特徴とする解析装置。
7. （７）半導体デバイスモデリングにおける、電子、正孔
   の輸送方程式およびポアソン方程式からなる連立方程式
   系を時間微分項と感度係数とを含む下記微分方程式ｄφ
   ＿ｐ／ｄｔ＝−λ＿ｐｆ＿ｐ／θｐ＋λ＿φｆ＿φ、ｄ
   φ＿ｎ／ｄｔ＝λ＿ｎｆ＿ｎ／θｎ＋λ＿φｆ＿φ、ｄ
   ψ／ｄｔ＝λ＿φｆ＿φに置き換えて解析する請求項（
   ２）の方法を実行する装置において、前記装置は、メッ
   シュ分割された半導体装置のメッシュポイントのアドレ
   スを指定する手段と、前記指定されたアドレスに対応す
   るポイントのφ＿ｐ、φ＿ｎ、ψ、λ＿ｐ、λ＿ｎ、λ
   ＿φに基づいて上記積分を実行し、そのポイントにおけ
   るφ＿ｐ、φ＿ｎ、ψを導出する手段と、前記導出され
   たφ＿ｐ、φ＿ｎ、ψを記憶する手段と、前記導出され
   たφ＿ｐ、φ＿ｎ、ψが誤差限界にあるか否かを判断し
   、誤差限界にない場合には前記導出手段に帰還して再度
   上記積分を実行させ、誤差限界内にある場合には積分結
   果を出力する手段とからなることを特徴とする解析装置
   。
8. （８）半導体デバイスモデリングにおける、電子、正孔
   の輸送方程式およびポアソン方程式からなる連立方程式
   系を時間微分項と感度係数とを含む下記微分方程式ｄφ
   ＿ｎ／ｄｔ＝−λ＿ｐｆ＿ｐ／θｐ、ｄφ＿ｎ／ｄｔ＝
   −λ＿ｎｆ＿ｎ／θｎ、ｄψ／ｄｔ＝λ＿φｆ＿φに置
   き換えて解析する請求項（３）の方法を実行する装置に
   おいて、前記装置は、メッシュ分割された半導体装置の
   メッシュポイントのアドレスを指定する手段と、前記指
   定されたアドレスに対応するポイントのφ＿ｐ、φ＿ｎ
   、ψ、λ＿ｐ、λ＿ｎ、λ＿φに基づいて上記積分を実
   行し、そのポイントにおけるφ＿ｐ、φ＿ｎ、ψを導出
   する手段と、前記導出されたφ＿ｐ、φ＿ｎ、ψを記憶
   する手段と、前記導出されたφ＿ｐ、φ＿ｎ、ψが誤差
   限界にあるか否かを判断し、誤差限界にない場合には前
   記導出手段に帰還して再度上記積分を実行させ、誤差限
   界内にある場合には積分結果を出力する手段とからなる
   ことを特徴とする解析装置。
9. （９）半導体デバイスモデリングにおける、電子、正孔
   の輸送方程式およびポアソン方程式からなる連立方程式
   系を時間微分項と感度係数とを含む下記微分方程式ｄφ
   ＿ｐ／ｄｔ＝−λ＿ｐｆ＿ｐ／θｐ＋λ＿φｆ＿φ、ｄ
   φ＿ｎ／ｄｔ＝−λ＿ｎｆ＿ｎ／θｎ＋λ＿φｆ＿φ、
   ｄψ／ｄｔ＝λ＿φｆ＿φ及びｄφ＿ｐ／ｄｔ＝−λ＿
   ｐｆ＿ｐ／θｐ、ｄφ＿ｎ／ｄｔ＝−λ＿ｎｆ＿ｎ／θ
   ｎ、ｄψ／ｄｔ＝λ＿φｆ＿φなる二つの方程式系のい
   ずれか一方に置き換えて解析する請求項（４）の方法を
   実行する装置において、前記装置は、メッシュ分割され
   た半導体装置のメッシュポイントのアドレスを指定する
   手段と、前記指定されたアドレスに対応するポイントの
   φ＿ｐ、φ＿ｎ、ψ、λ＿ｐ、λ＿ｎ、λ＿φに基づい
   て上記積分を実行する際、ある第１の期間には上記請求
   項（２）の計算法と上記請求項（３）の計算法のうち一
   方を使用し、ある第２の期間には上記請求項（２）の計
   算法と上記請求項（３）の計算法のうち他方を使用して
   前記連立方程式系の解を求め、そのポイントにおけるφ
   ＿ｐ、φ＿ｎ、ψを導出する手段と、前記導出されたφ
   ＿ｐ、φ＿ｎ、ψを記憶する手段と、前記導出されたφ
   ＿ｐ、φ＿ｎ、ψが誤差限界にあるか否かを判断し、誤
   差限界にない場合には前記導出手段に帰還して再度上記
   積分を実行させ、誤差限界内にある場合には積分結果を
   出力する手段とからなることを特徴とする解析装置。
10. （１０）半導体デバイスモデリングにおける、電子、正
    孔の輸送方程式およびポアソン方程式からなる連立方程
    式系を時間微分項と感度係数とを含む下記微分方程式ｄ
    φ＿ｐ／ｄｔ＝−λ＿ｐｆ＿ｐ／θｐ＋λ＿φｆ＿φ、
    ｄφ＿ｎ／ｄｔ＝−λ＿ｎｆ＿ｎ／θｎ＋λ＿φｆ＿φ
    、ｄψ／ｄｔ＝λ＿φｆ＿φ及びｄφ＿ｐ／ｄｔ＝−λ
    ＿ｐｆ＿ｐ／θｐ、ｄφ＿ｎ／ｄｔ＝−λ＿ｎｆ＿ｎ／
    θｎ、ｄψ／ｄｔ＝λ＿φｆ＿φなる二つの方程式系の
    いずれか一方または両方に置き換えて解析する請求項（
    ５）の方法を実行する装置において、前記装置は、メッ
    シュ分割された半導体装置のメッシュポイントのアドレ
    スを指定する手段と、前記指定されたアドレスに対応す
    るポイントのφ＿ｐ、φ＿ｎ、ψ、λ＿ｐ、λ＿ｎ、λ
    ＿φに基づいて上記積分を実行し、そのポイントにおけ
    るφ＿ｐ、φ＿ｎ　、ψを導出する手段と、前記導出さ
    れたφ＿ｐ、φ＿ｎ、ψを記憶する手段と、前記導出さ
    れたφ＿ｐ、φ＿ｎ、ψが誤差限界にあるか否かを判断
    し、誤差限界にない場合には前記導出手段に帰還して再
    度上記積分を実行させ、誤差限界内にある場合には積分
    結果を出力する手段とからなることを特徴とする解析装
    置。