JPH0421192A - 画像の特徴抽出方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ［産業上の利用分野］ この発明は、カメラ等の光学手段及び二次元のＣＣＤ撮
像素子を用いて取り込まれた二次元配列画素（ｉ、ｊ）
の画像データからコンピュータ等を用いて、二次元画像
の特徴抽出及び分類を行う方法に関するものである。

［従来の技術］ 二次元画像の特徴抽出はこれまでにも様々な方法が試み
られてきた。代表的な特徴抽８法としては、線や輪郭を
抽出する方法が挙げられる。

提案された線や輪郭を抽出する方法の多くは微分オペレ
ータと呼ばれる演算手続きで画像データを処理するもの
であり９代表的なオペレータとしては、　Ｒｏｂｅｒｔ
ｓの微分オペレータ、　５ｏｂｅｌのオペレータ、２次
微分オペレータなどがあげられる。

−例として、　Ｒｏｂｅｒｔｓの微分オペレータについ
て説明する。

二次元画像はマトリクス状に配列した画素から構成され
、その各々の画素がある濃淡をもち、それらの集合とし
て全体画像が得られるもの考えられる。画素のもつ濃淡
は数値化されて１例えばコンビエータのメモリ上に画像
データとして格納されている。Ｒｏｂｅｒｔｓの微分オ
ペレータはこれらの画素のうち、第９図に示される画素
（ｌａ）　、　（Ｈ，）。

（ｌｃ）　、及び（ｌｄｌの各画像データＡ、Ｂ、Ｃ，
及びＤに対して。

（Ａ−Ｄ）　２＋（Ｂ−Ｃ）　２ なる演算を施し、微分結果を得るものである。

この様な微分オペレータを用いて得られる情報は画像濃
淡の勾配である。

５ｏｂｅｌのオペレータもオペレータのサイズが３×３
画素と異なる以外は、はぼ目的は同じである。２次微分
オペレータは１例えば１０図に示されるように９画素（
２ａ）　、　（２ｂ）　、　（２ｃ）　、　（２ｄ）　
、　（２ｅ）　。

（２ｆ）　、　（２ｇ）　、　（２ｈ）　、及び（２１
）に各々重みｌ、−２゜１、−２．４．−２．１．−２
．ｌを定めておき、対応する画像データにそれらの重み
を掛け。

和をもとめるといった方法で２次微分を求めている。

線や輪郭を抽出する別な方法にテンプレート・マツチン
グ法と呼ばれるものがある。

一つの特徴をテンプレートと呼ばれるマスクと画像との
相関をとって抽出するもので１例えば。

Ｋｉｒｓｃｈのマスクがあげられる。

第１１図はＫｊｒｓｃｈのマスクで、枠はこれまでの説
明と同様に画素を表す。また枠内の数字は重みを表す。

その処理法は、まず重みを画像データに掛けて和を求め
、その結果をストアしておく。別のマスクに対しても順
次同様な処理を施して、８種類のマスク全てに対して実
施する。こうして得られた８つの結果の内、最大の値を
与える。つまり最大の相関を示すマスクを選び、その方
向から線あるいは輪郭な抽出するものでである。

［発明が解決しようとする課題］ Ｒｏｂｅｒｔｓの微分オペレータあるいは５ｏｂｅｌの
オペレータでは、ある−点の画像濃淡の勾配は判るが、
その輪郭線の近傍との１接続状況」、つまり位相空間的
な情報などは判らないという欠点がある。ただ９輪郭線
が滑らかに接続している。つまり折れ線ではないという
特殊な条件下であれば。

線の方向は決定できる。一方、テンプレート・マツチン
グ法の場合には２輪郭線の方向という「接続状況」はあ
る程度判るが、処理は大半が「捜し周り」であり、膨大
な計算量を必要とする欠点がある上９画像濃淡の勾配は
判らないといった欠点があった。しかも、この方法にお
いても、滑らかな線の方向は判っても、線のブレーク・
ポイントの判別ができない欠点があった。

ところが２人間の注視点を観察してみると９輪郭線が滑
らかに接続するところより、むしろ折れ曲がって、複雑
に交差する所に多く留まる傾向があることが知られてい
る。

つまり１人間の眼の特徴抽出機能においては。

輪郭線の滑らかなところよりも、むしろブレーク・ポイ
ントの方がより重要な意味を持つことは明白である。機
械に人間と同じ「画像認識機能」を備えさせるためには
、そうしたブレーク・ポイントを抽出できるか否かが重
要課題となる。

その点に着目して、ブレーク・ポイントを抽出する方法
もいくつか提案されている。

しかし、そうした方法では、まず細線化処理を施した後
ｋ、複雑な計算処理を行って、線画像の端点、屈曲点２
分岐点、交差点等を抽出する等。

何段階もの処理過程を経なければならず問題が多かった
。

この発明は、従来の特徴抽出法の抱える上記の如き欠点
を解決せんがためになされたものであって、この発明の
目的は、「捜し周り」を行わずに２画像に含まれる数種
の幾何学的特徴点を統一的な手順で抽出するオペレータ
処理方法を提供することにある。

［課題を解決するための手段］ この発明は画素座標に対し曲面を形成する画像データを
平滑化して、滑らかな曲面Ｓとし、任意の画素座標を中
心とした円周を四等分するような四つの画素座標におい
て、それぞれ曲面Ｓの法単ｆ立ベクトルを求め９次いで
、それらの法単位ベクトルを画素座標面上へ射影した時
、射影ベクトル先端の描（曲線が楕円であるとして、楕
円の軸方向θ８．各々の軸長ａ、ｂを求めるようにしだ
ものであり、こうして求められた楕円の軸方向θ。

は曲面Ｓの一つの主経線の軸方向を表し、軸長ａ、ｂは
各々の主経線の曲率を表している。

［作用１ この発明において、前記射影ベクトルの先端の描く曲線
を楕円とすることは２曲面Ｓの微小面を二次曲面で近似
することと等価であり、従って曲面Ｓのすべての点は楕
円点、双曲点、及び放物点の三つに分類される。これら
の特徴的な点を識別することによって２画像の特徴抽出
を行うことが出来る。例えば、放物点は画像のエツジ部
を表し、その点におけるＯａはエツジの方向を表し。

放物点であるので、ｂは既に０であるが、更にａがＯで
あれば、そのエツジは直線エツジとなる等である。

［実施例］ 第１図はこの発明によるオペレータの画素配置図を示し
ており、第１図に示されるような任意の画像座標（ｉ、
ｊ）を中心として、　（ｉ、　ｊ＋２）　、　ｆｉ−］
　。

ｊ＋１）、（ｉ＋１．ｊ＋１）、（ｉ−２，ｊｌ、　　
（ｉ＋２．ｊ）、（ｉ−１，、，１−１）。

（ｉ＋１．ｊ−１）　、及び（ｉ、ｊ−２）なる画素配
置をもったオペレータ処理手段を開示する。

オペレータ処理手段は、従来と同様な演算処理装置の中
で実現される。例えば、第４図に示されるように光学装
置（３）によって二次元のＣＣＤ撮像素子（４）上に像
を形成し、ＣＣＤ撮像素子（４）によって取り込まれた
画像データをＡ／Ｄ変換器（５）でディジタルデータに
変換させた後、グラフィック・メモリ（６）に格納する
。コンピュータ（７）のコード・メモリ（８）上に格納
されている処理手順を記録したプログラム・コードがＣ
ＰＵ（９）によって実行されると、グラフィック・メモ
リ（６）上の画像データが読みだされ、オペレータ処理
手順に従った処理が行われる。処理された結果は、適当
なグラフィック化処理を施された後。

初期データを格納したページとは別のページのグラフィ
ック・メモリ（ｌＯ）に格納される。そして。

表示装置（１１）にそれぞれ独立して表示されたり。

あるいは論理和をとったうえで表示される。

この発明のオペレータの場合、従来の微分オペレータと
は異なった処理手順を持っており、読みだされた画像デ
ータに対して、以下のような演算を実行してゆく。

各画素の平滑化後の平滑化画像データをＤ（ｉ、ｊ）で
表すものとすると。

但しＫは任意の自然数である。

上記演算は加減算及び２つの倍数演算であるため、コン
ピュータによる計算処理は高速度で行える。上式で定義
されたＰ−、ｑｙ　、ｑ−、及びｐｙを式。

ｌ　　　　　　　　　　ｑｙ　　　　Ｐｘに代入して曲
面Ｓの一つの主経線の軸方向θ６を求め、更に９式 ％式％（２） ［３） を用いて軸方向θ８に沿った曲率ａ、及び軸方向θ、に
垂直な方向に沿った曲率すを決定する。こうした演算を
全面素あるいはその一部に対し逐次実行する。

第２図はこの発明によるオペレータ処理手段を用いて１
輪郭部の抽出を行うためのプログラムフローの一実施例
である。この実施例はｍ　ｘ　ｎの二次元配列画素（ｉ
、ｊ）に対し、コンピュータによるソフトウェア処理で
平滑化を行い、この発明による特徴抽出処理を行った後
２画像の輪郭部を抽出する例である。

画像データの平滑化段階（１９）によって平滑化画像デ
ータＤ（ｉ、、ｊ）が得られる。特徴抽出段階（２０）
では、まずｐ！、ｑｙ、ｑｘ、及びｐｙを計算し、θ１
を算出する式の分母ｑｙ−ｐｘが零の時、θ、＝π／４
とし、零でない場合には、計算式にしたがって、θ、を
求める。

更ｋ、計算式にしたがってａおよびｂをもとめ、ｐｏお
よびｑｏも計算し１画素（ｉ、ｊ）に帰属する値として
、それぞれθ、　［ｉ、ｊ）　、　ａ　［ｉ、ｊ）ｂ　
（ｉ、ｊ）　、　ｐｏ（ｉ、ｊ）およびｑ。ｆｉ、ｊ）
にストアする。その後９輪郭部抽出段階（２１）におい
て、まずｐｏ、ｑｏ共に零とならない点を捜す。更ｋ、
その中から放物点を捜し、ｐ−ｑ座標図の線分の方向と
符号付きの長さをそれぞれθ（ｉ、ｊ）およびｃ　　（
ｊ、ｊ）にストアする。もし、ｃ（ｉ、ｊ）の値が負で
あったなら点線で、正にあったならば実線で表示装置に
表示する。以上の処理を施した結果は例えば第３図のご
とくなる。第３図では、ハックグランドは白レベルであ
って、物体は黒レベルの。

いわゆるシルエツト像を想定し、短い線分は描いていな
い。

急峻に曲がる輪郭部では輪郭部に接した長い線分が描か
れる。

ここで、この発明の数学的背景となっている微分幾何学
の理論について説明する。

微分幾何学の教えるところによれば、ｒ階微分可能であ
る曲面Ｓには必ず接平面が存在して、しかもその接平面
に平行でかつ近接した（ξ、η）平面で曲面Ｓを切断し
たとき、その切口の形状は「デュバンの標形」と称され
る二次曲線ＩＪ２＋２Ｍ１ｑ十Ｎη２＝ε を描（ことが知られている。ここでり、Ｍ、Ｎは曲面Ｓ
の第二基本量である。

そして９曲面Ｓの点Ｐでデュバンの標形が第５図（ａ）
のようｋ、楕円であるとき、Ｐを「楕円点」 第５図（ｂ）のようｋ、双曲線あるとき、Ｐを「双曲点
」 第５図（Ｃ１のようｋ、どちらでもないとき。

Ｐを「放物点」 と称している。

数学理論との対応を容易にするためｋ、二次元画像の画
素をｘ−ｙ座標に対応させ９画像データをＺ軸に対応さ
せるものとする。

これにより画像データは曲面を形成する。しかし、この
曲面は随所に不連続点を有する曲面であって、微分可能
性はなんら保証されない。この曲面をｒ階微分可能な曲
面Ｓとするためには、平滑化を行う必要がある。平滑化
は、従来、ソフトウェアによって達成するのが一般的で
あったが、カメラなどの光学手段のデフォーカスあるい
はソフトフォーカスによって達成することも可能である
。量子後前に平滑化する場合と、平滑化後に量子化する
場合とでは、厳密な意味では異なるが。

この発明ではどちらの方法によるものであっても差し支
えない。

こうして得られた曲面Ｓを式。

ｚ＝ｇ　（ｘ、ｙ） で表し、その任意の点での偏微分係数を。

とすると２曲面上の任意の点における法単位ベクの成分
は。

−ｐ　　　　　　　−ｑ　　　　　　　　１で表される
。更ｋ、それらの成分のＺ軸に対するタンジェント（正
接）を求めると。

−ｐ、　−（１，１ となる。

ここで、第６図に示すとおり１曲面Ｓ　（１２）の任意
の点Ｐを通ってＺ軸に垂直な平面上ｋ、　ｘ＝ｙ座 座標軸と平行で、原点をＰ点にとった座標軸Ｘ−ｙ′を
考え、δを微小変位としたとき、その座標上の４点、ｐ
、＝（δ、Ｏ）、Ｐ２＝（０，δ）。

Ｐ３＝（−５，Ｏ）、及びｐ、＝（０，−δ）　を通っ
てＺ軸に平行な直線１．．１２，１３．及び１４が曲面
Ｓと交わる各点における法単位ベクトルから、Ｚ軸に対
するタンジェントを求め、縦軸をｑ、横軸をｐとするデ
カルト座標系にプロットすると、４点（−ｐｎ　、−ｑ
ゎ）、但し、ｎ＝１．２゜３．４は略楕円曲線上の点と
なる。楕円上の４点の配列は楕円点、双曲点、放物点で
異なり、楕円点の場合は、Ｐｏの配列と同様に左回りに
配列され、双曲点の場合は、右回りに配列され、放物点
の場合には、線分か一点に縮退される。

画像濃淡の勾配があるためｋ、この略楕円曲線の中心は
一般には原点Ｐと一致しない。説明し易（するために。

−ｐｏ”−（ｐ＋　＋　ｐ３）／２、−ｑ。＝−（Ｑ２
＋Ｑ４）／２ｋ原点を移動し、移動後の各点を（−ｐｏ
−ｑｏ）としておく。

この時。

（ｐ・３．ｑ３）・（−ｐ８．−　ｑｌ）（ｐ４．　ｑ
４）：（−ｐ’　２、−　ｐ２）ｑ’＋　　＝　　ｐ’
２　　＝　　−Ｑ’３　　”　　−Ｆ４が成り立つ。

そこで、新たに。

ｌｙ− ｐｙ： を定義する。

Ｍに楕円曲線は長軸、短軸、及び軸方向が決まれば、一
意的に決定される。軸方向は長軸方向であっても、短軸
方向であってもよい。互いの軸は直交しているので、一
方が求まれば他方は容易にもとまるためである。

ここでは楕円点を例として、第７図に基づいて軸方向を
求めることとする。

長軸あるいは短軸の内、Ｘ軸となす角θが−π／４くθ
〈π／４を満足するような軸の方向を求めるものとする
と、座標軸の回転などを用いることによって。

ｙ−ｐ− なる関係式が得られ、それより０８かもとまる。

そして、その方向の軸の長さａは。

ａ”　ｐｘ”　ｑ！ｔａｎθ１ でもとまり、他方の軸の長さｂは。

ｂ　＝　７　ｐ　、ｊａｎθａ＋Ｑｙ で求められる。

以上によって２式（１）　、　（２１、及び（３）の意
味が明瞭となった。

さて、平滑化された二次元画像に含まれる楕円点、双曲
点、及び放物点が画像の如何なる特徴を示すか一例を挙
げて説明する。

画像データを平滑化することによって得られた曲面Ｓ：
　　ｚ＝ｇ　（ｘ、ｙ）において、ｘ−ｙ平面に平行な
接平面を持つ領域が定義域内に複数個の孤立領域として
存在する場合を考える。この様な状況は２例えばある信
号レベルをもったバックグラウンドに対して、異なる信
号レベルをもった物体が画像内に存在する場合などに相
当する。物体から遠く離れたバックグランドの点や物体
の内点が前記孤立領域を形成する。この様な場合、離隔
した二つの孤立領域の間には１輪郭部が存在する。第８
図のごとく、離隔した孤立領域（１３）及び（１４）を
含み、かつＺ軸に平行な平面（１５）で輪郭部を切断し
てやると、その切口には必ず変曲点が存在する。従って
、そこに勾配方向の曲率が零となる点が存在するため、
そこには必ず放物点（１６）が存在する。しかも、前記
切口の孤立領域近傍には楕円点（１７）及び双曲点（１
８）が存在する。

輪郭部における放物点のｐ−ｑ座標図は原点から離れた
所に線分を描き、その大きさによってブレーク・ポイン
トであるか否が判定か可能となる。その線分が一点にＨ
退している場合には９輪郭部は直線を形成している。

（−ｐＯ＋−Ｑｏ）は輪郭部を形成する斜面の法単位ベ
クトルのタンジェントを表すもので、この（’ｐｏ。

−ｑｏ）とｐ−（１座標図との組合せによっても様々な
特徴抽出が可能となる。

（−ｐ。、−ｑｏ）は平滑化画像データＤ（ｉ、ｊ）を
用いて。

４に ４に 但しＫは自然数である。

と表されるので。

例えば、ある放物点Ｐ　＝　（ｘ、ｙ）において。

（−ｐｏ＋　−ｑｏ）　＝　（０，ｏ）　、かつｐ−ｑ
座標図が一点の時は１画素−点分の大きさの物体か、ま
たは−様な強度の物体の内点を表し。

（−ｐ。、　−ｑｏ）　＝　（０，０）　、かつｐ−ｑ
座標図が線分の時は細い線の内点を表す。

既ｋ、説明したが。

（−ｐ。、−ｑ。）≠（０，０）　、かつｐ−ｑ座標図
が一点の時は、直線状の輪郭部を表し。

（−ｐｏ、−ｑ。）≠（０，０）　、かつｐ−ｑ座標図
が線分の時は１曲線状の輪郭部を表す。

更ｋ、離隔した孤立点近傍の楕円点及び双曲点の「距離
」を求めれば１輪郭部が急峻なエツジかそれともなだら
かなスロープかの判断も可能となる。

この発明によるオペレータ処理手段は９画素の選択を（
ｉ、　ｊ＋２ｋ４ｍ）　、　（ｉ−ｋ、　ｊ＋ｋ４ｍ）
　、　（ｉ＋ｋ、　ｊ＋ｋ４ｍ）　。

（ｉ、　ｊ＋ｍ）　、　（ｉ−に−ｍ、　ｊ＋ｋ）　、
　（ｉ＋ｋ＋ｍ、　ｊ＋ｋ）　、　（ｉ−２ｋ−ｍ、　
ｊ）　。

ｆｉ−ｍ、　ｊ）　、　（ｉ＋ｍ、　ｊ）　、　ｆｉ＋
２ｋ＋ｍ、　ｊ）　、　（ｉ−に−ｍ、ｊ−ｋ）　、　
（ｉ＋ｋ＋ｍ、　ｊ　−ｋ）　、　（ｉ、　ｊ−ｒｎ）
　、　（ｉ−ｋ、　ｊ−に−ｍ）　、　（ｉ＋ｋ、　ｊ
−に−ｍ）　、及び（ｉ　、　ｊ−２ｋ−ｍ）　、但し
、ｍ、には自然数であるとして。

ｐ。

ｑν ｘ 及びｐｙ を ｐ＝ Ｋ ｙ Ｋ ｘ ｐｙミ によって一般化して定義しても、成立することはこれま
での説明から明らかである。

特にｌｍ＝０の場合には、ｑ−＝Ｐｙが成立するため、
計算量を減らし処理速度を上げたい場合には、きわめて
有効である。

また、この発明によるオペレータ処理手段はプログラム
・コードによって実現される以外ｋ、従来においても変
形例として挙げられているようｋ、電気回路の構成によ
って実現されてもよく。

またオペレータ処理手段の中で用いられるアークタンジ
ェント及びタンジェントの処理はテーブル等による近似
処理であってもよい。

いずれの変形例もこの発明の範囲内にある。

［発明の効果コ この発明によれば平滑化された画像データに対して、こ
の発明に係るオペレータ処理手段を用いることにより。

第一の効果として、平滑化された後の画像データを使用
するため、ノイズの影響をほとんど受けずに処理が行え
ることがあげられる。

第二の効果としては１画像に含まれる数種ではあるが、
それで全ての幾何学的特徴点を一種類のオペレータで抽
出するため、「捜し周り」がないので、処理が単純で処
理量が膨大にならないことがあげられる。

第三の効果としては、従来のように滑らかな曲線の方向
の抽出だけではな（、ブレーク・ポイントまでをも抽出
できることがあげられる。

【図面の簡単な説明】

第１図はこの発明に係るオペレータの画素配置図、第２
図はこの発明に係るオペレータによる画像の特徴抽出の
一実施例を示す図、第３図はこの発明の実施例をシルエ
ット画像に適用した結果を示す図、第４図は従来の及び
この発明においても想定した演算処理装置のブロック図
、第５図はこの発明に用いられた微分幾何学を説明する
ための図、第６図、第７図、及び第８図はこの発明の特
徴抽出法を説明するための図、第９図及び第１Ｏ図は従
来のオペレータの画素配置並びにその原理を説明するた
めの図、第１１図はテンプレート・マツチング法のＫｉ
ｒｓｃｈのマスクについて説明するための図である。 図中（Ｉａ）　、　（ｌｂ）　、　（ｌｃ）　、　（ｌ
ｄ）　、　（２ａ）　、　（２ｂ）　、　（２ｃ）　。 ［２ｄ）　、　（２ｅ）　、　［２ｆ）　、　（２ｇ）
　、　（２ｈ）　、及び（２１）は画素。 （３）は光学装置、（４）はＣＣＤ撮像素子、（５）は
Ａ／Ｄ変換器、（６）及び（１０）はグラフィック・メ
モリ、（７）はコンピュータ、（９）はＣＰＵ、（１１
）は表示装置、　（１２）は曲面Ｓ、　（１３）及び（
１４）は孤立領域、　（１５）は平面、　（１６）は放
物点、　　（１７）は楕円点、　（１８）は双曲点、　
（１９）は平滑化段階、　（２０）は特徴抽出段階、　
　（２１１は輪郭部抽出段階を示す。 なお図中、同−又は相当部分は同一符号を示す。

Claims (4)

【特許請求の範囲】
1. （１）二次元配列画素座標（ｉ、ｊ）の画像データを平
   滑化し、その平滑化画像データをＤ（ｉ、ｊ）としたと
   き、任意の画像座標（ｉ、ｊ）を中心として、（ｉ、ｊ
   ＋２ｋ＋ｍ）、（ｉ−ｋ、ｊ＋ｋ＋ｍ）、（ｉ＋ｋ、ｊ
   ＋ｋ＋ｍ）、（ｉ、ｊ＋ｍ）、（ｉ−ｋ−ｍ、ｊ＋ｋ）
   、（ｉ＋ｋ＋ｍ、ｊ＋ｋ）、（ｉ−２ｋ−ｍ、ｊ）、（
   ｉ−ｍ、ｊ）、（ｉ＋ｍ、ｊ）、（ｉ＋２ｋ＋ｍ、ｊ）
   、（ｉ−ｋ−ｍ、ｊ−ｋ）、（ｉ＋ｋ＋ｍ、ｊ−ｋ）、
   （ｉ、ｊ−ｍ）、（ｉ−ｋ、ｊ−ｋ−ｍ）、（ｉ＋ｋ、
   ｊ−ｋ−ｍ）、及び（ｉ、ｊ−２ｋ−ｍ）なる画素座標
   の 前記平滑化画像データに対して、 ▲数式、化学式、表等があります▼ ▲数式、化学式、表等があります▼ ▲数式、化学式、表等があります▼ ▲数式、化学式、表等があります▼ で定義されたｐ＿ｘ、ｑ＿ｙ、ｑ＿ｘ及びｐ＿ｙを用い
   、▲数式、化学式、表等があります▼ ａ＝ｐ＿ｘ＋ｑ＿ｘｔａｎθ＿ａ ｂ＝−ｐ＿ｙｔａｎθ＿ａ＋ｑ＿ｙ なる演算を行うことによつて、曲面Ｓの一つの主経線の
   軸方向θ＿ａ、軸方向θ＿ａに沿つた曲率ａ、及び軸方
   向θ＿ａに垂直な方向に沿つた曲率をを求めることを特
   徴とする画像の特徴抽出方法。 但し、ｍ、ｋは任意の自然数である。
2. （２）平滑化画像データＤ（ｉ、ｊ）に対して、式▲数
   式、化学式、表等があります▼ ▲数式、化学式、表等があります▼ で定義されたｐ＿ｏおよびｑ＿ｏとの組合せにおいて特
   徴抽出を行う特許請求範囲第１項に記載の画像の特徴抽
   出方法。但し、ｍ、ｋは任意の自然数。
3. （３）二次元配列画素座標（ｉ、ｊ）の画像データを平
   滑化し、その平滑化画像データをＤ（ｉ、ｊ）としたと
   き、任意の画素座標（ｉ、ｊ）を中心として、（ｉ、ｊ
   ＋２ｋ）、（ｉ−ｋ、ｊ＋ｋ）、（ｉ＋ｋ、ｊ＋ｋ）、
   （ｉ−２ｋ、ｊ）、（ｉ＋２ｋ、ｊ）、（ｉ−ｋ、ｊ−
   ｋ）、（ｉ＋ｋ、ｊ−ｋ）、及び（ｉ、ｊ−２ｋ）なる
   画素の前記平滑化画像データに対して、 ▲数式、化学式、表等があります▼ ▲数式、化学式、表等があります▼ ▲数式、化学式、表等があります▼ ▲数式、化学式、表等があります▼ で定義されたｐ＿ｘ、ｑ＿ｙ、ｑ＿ｘ、及びｐ＿ｙを用
   い、 ▲数式、化学式、表等があります▼ ａ＝ｐ＿ｘ＋ｑ＿ｘｔａｎθ＿ａ ｂ＝−ｐ＿ｙｔａｎθ＿ａ＋ｑ＿ｙ なる演算を行うことによつて、曲面Ｓの一つの主経線の
   軸方向θ＿ａ、軸方向θ＿ａに沿つた曲率ａ、及び軸方
   向θ＿ａに垂直な方向に沿つた曲率をを求めることを特
   徴とする画像の特徴抽出方法。 但し、ｋは任意の自然数である。
4. （４）平滑化画像データＤ（ｉ、ｊ）に対して、式▲数
   式、化学式、表等があります▼ ▲数式、化学式、表等があります▼ で定義されたｐ＿ｏおよびｑ＿ｏとの組合せにおいて特
   徴抽出を行う特許請求範囲第１項に記載の画像の特徴抽
   出方法。但し、ｋは任意の自然数。