JPH0293386A - ３次元磁場解析装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】本公報は電子出願前の出願データであるた
め要約のデータは記録されません。

Description

【発明の詳細な説明】 ［産業上の利用分野コ この発明は、有限要素法を用いた３次元磁場解析装置に
関する。

［従来の技術と発明が解決しようとする課題］電子計算
機の発展とともに、有限要素法による磁界解析の研究が
さかんに行われており、二次元問題に対しては既に磁気
ベクトルポテンシャルを用いた手法が確立されている。

しかし、三次元の磁界解析問題に対しては種々の手法が
提案されているが、確たる手法がないのが現状である。

磁気ベクトルポテンシャル法は変分法によって定式化さ
れたが、ゲージ条件の取り扱いに問題があるｌ１ｌＭ３
１ （１）　Ｍ４．に、Ｃｈａｒｉ、　Ｐ、５ｉｌｖｅｓｔ
ｅｒ、　Ａ、Ｋｏｎｒａｄ、　Ｚ、ＪＣｓｅｎｄｅｓ　
　ａｎｄ　　Ｍ、Ａ、Ｐａ１ｎ＋ｏ、“Ｔｈｒｅｅ−Ｄ
ｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＭａｇｎｅｔｏｓｔａｔｉｃ　Ｆ
ｉｅｌｄ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ
ａｌｌＡａｃｈｉｎｅｒｙ　　ｂｙ　　ｔｈｅ　　Ｆｉ
ｎｉｔｅ−Ｅｌｅｍｅｎｔ　　Ｍｅｔｈｏｄ”。

ＩＥＥＥ　　Ｔｒａｎｓ、　　ｏｎ　　Ｐｏｗｅｒ　　
八ｐｐ、　　５ｙｓｔ、、　　　ｖｏｌ、　　　ＰＡＳ
＋００．　Ｉ）り、４００７−４０１９．Ａｕｇ、　（
１９８１）（２）　Ｎ、＾、　Ｄｅ＋＋＋ｅｒｄａｓｈ
、　Ｔ、　Ｗ、　Ｎｅｈｌ、　Ｆ、　Ａ、　Ｆｏｕａｄ
　ａｎｄＯ，Ａ、Ｍｏｈａｍ＋ｍｅｄ、　”Ｔｈｒｅｅ
　Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎ
ｔ　Ｖｅｃｔｏｒ　Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ＦｏｒＩＩｌ
ｕｌａｔｉｏｎ　ｏｒＭａｇｎｅｔｉｃ　Ｆｉｅｌｄｓ
　ｉｎ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ａｐｐａｒａｔｕｓ　
。

ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ、　　ｏｎ　Ｐｏｗｅｒ　Ａｐｐ
、　　５ｙｓＬ、　　ｖｏｌ。ＰＡＳＭｏｏ。

ｐｐ４１０４−４１１１．Ａｕｇ、　（１９８１）（３
）　Ｊ、Ｌ、Ｃｏｕｌｏｍｂ、　”Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌ
ｅ＋ａｅｎｔ　ＴｈｒｅｅＤｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　Ｍ
ａｇｎｅｔｉｃ　Ｆｉｅｌｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ
　。

ＩＥＥＥ　　Ｔｒａｎｓ、　　ｏｎ　　Ｍａｇｎ、、　
　ｖｏｌ、　　ＭＡＧＭ７，ｐｐ、３２４１３２４６、
Ｎｏｖ、　　（１９８１） また、１つの節点につき３個の未知数が存在するため、
多くの計算時間とメモリが必要となるなどの問題がある
。

そこで現在はスカラーポテンシャル法１４１″３５′あ
るいは、スカラー・ベクトルポテンシャル併用法１１に
ついての研究が中心となっている。

（４）　　Ｊ、５ｉｓｋｉｎ　　ａｎｄ　　Ｃ，１，Ｔ
ｒｏｗｂｒｉｄｇｅ、　　Ｔｈｒｅｅｄｉｍｅｎｓｉｏ
ｎａｌ　Ｎｏｎ１ｉｎｅａｒ　Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎ
ｅｔｉｃ　ＦｉｅｌｄＣｏｓ＋ｐｕｔａｔｉｏｎｓ、　
　ｕｓｉｎｇ　　５ｃａｌａｒ　　ＰｏｔｅｎＬｉａｌ
ｓ″、ＩＥＥＰｒｏｃ、、　ｖｏｌ、　１２７．　ＰＬ
、Ｂ、　ｐｐ、３６８−３７４．　Ｎｏｖ、（１９１１
Ｇ）（５）１．Ｄ、Ｍａｙｅｒｇｏｙｚ、　　　Ｍ、Ｖ
、に、Ｃｈａｒｉ　　ａｎｄ　　ｊ、Ｄ’Ａｎｇｅｌｏ
。

Ａ　　Ｎｅｗ　　５ｃａｌａｒ　　Ｐｏｔｅｎｔｉａｌ
　　Ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ　　ｆｏｒＴｈｒｅｅ−Ｄ
ｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　　Ｍａｇｎｅｔｏｓｔａｔｉｃ
　　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　　。

ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ、　ｏｎ　Ｍａｇｎ、、　ｖｏｌ
、　ＷＡＧ−２３，ｐｐ、３８８９〜３８９４、　Ｎｏ
ｖ、（１９１１１７）（６）Ｃ１，Ｃａｒｐｅｎｔｅｒ
、　”Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｒ　Ａｌｔｅｒｎａｔ
ｉｖｅＦｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｒ　３−Ｄｉｓｅｎ
ｓｉｏｎａｌ　Ｍａｇｎｅｔｉｃ−Ｆｉｅｌｄａｎｄ　
　Ｅｄｄｙ−Ｃｕｒｒｅｎｔ　　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　　
ａｔ　　ＰｏｗｅｒＦｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ　　、　　
Ｐｒｏｃ、　　ＩＥＥ、　　　ｖｏｌ、　　１２４．　
　ｐｐ、１０２６１０３４、　　Ｎｏｖ、　　（１９７
？）しかし、これらの手法は電流領域、あるいは磁性体
の取り扱いや異なる磁性体間の境界条件の与え方が不明
確である（７） （７）　八、Ｋｒａｗｃｚｙｋ　　ａｎｄ　　Ｊ、’ｒ
ｕｒｏｗｓｋｉ、　　”ＲｅｃｅｎｔＤｅｖｅｌｏｐｍ
ｅｎｔ　ｉｎ　Ｅｄｄｙ　Ｃｕｒｒｅｎｔ　Ａｎａｌｙ
ｓｉｓ”、　　ＩＥＥＥＴｒａｎｓ、　ｏｎ　鳩ａｇｎ
、、　ｐｐ、３０３２−３０３７．　ｖｏｌ、　ＭＡＧ
−２３゜Ｓｅｐ、　（１９ｇ？） これらのことから、多媒質を含む問題を統一的に扱うに
は磁気ベクトルポテンシャルを用いた手法が最も優れて
いるといえる。

この発明は、このような背景の下になされたもので、有
限要素法を使用して３次元磁場解析を容功に行うことの
できる３次元磁場解析装置を提供することを目的とする
。

［課題を解決するための手段］ 上記課題を解決するためにこの発明は、３次元静磁界の
ポアソンの方程式を基礎とし、有限要素法を用いて異な
る磁性体を含む３次元磁場の解析を行う３次元磁場解析
装置において、真空の透磁率μ。と磁界強度ＩＩとの積
に磁化ｒ’１を加算して磁束密度Ｂを求める第１の演算
手段と、磁気ベクトルポテンシャルＡの発散を零とする
クーロンのゲージ条件の下に、前記磁気ベクトルポテン
シャルＡを用いて３次元静磁界のポアソンの方程式を形
成する第２の演算手段と、前記異なる磁性体間の境界条
件からベクトルポテンシャルＡの境界条件を求める第３
の演算手段と、 前記ポアソンの方程式および補間関数を用いてガラ−キ
ン法によって離散化を行、い、前記ベクトルポテンシャ
ルＡの境界条件を用いて３次元の各成分毎に分離された
３つの有限要素式を求める第４の演算手段と、 前記有限要素式に基づいて、各有限要素につきベクトル
ポテンシャルＡの各成分の係数からなる係数マトリック
スを求める第５の演算手段と、前記係数マトリックスを
用いた行列式を解いてベクトルポテンシャルＡを求める
第６の演算手段と、 前３ＱベクトルポテンシヤルＡから前記磁束密度Ｂを求
めるとともに、磁化ｒ’ｌを修正する第７の演算手段と を具備することを特徴とする。

［作用コ 上記構成によれば、有限要素式を３次元の各成分ｔ４に
分離することができる。

すなわち、あとで詳しく説明するように、（１）Ｂ−μ
ＩＩに代えてＢ＝μ、ＩＩ＋、％ｌなる式を用いること
、（２）ベクトルポテンシャルＡの発散を零とする（ｄ
　ｉ　ｖＡ＝０という）クーロンのゲージ条件を課する
ことによって、有限要素式の表面積分項を消去すること
が可能となる。これによって、有限要素式を３次元の各
成分ごとに分離することが可能となる。

この結果、ベクトルポテンシャルＡの３成分を独立に解
析できるため、解析装置のメモリ容量および計算時間を
大幅に減らすことができる。

［実施例］ 以下、本発明の詳細な説明する。

第１図はこの発明の一実施例による３次元磁場解析装置
の構成を示す機能ブロック図である。この図を参照して
説明する。

［１］　　３次元静磁界におけるポアソンの方程式静磁
界における基本方程式は次式で与えられる。

ｒｏｔｌｌ＝Ｊｏ　　　　　　　　　（１）ｄｉｖＺ］
　＝　Ｏ（２） Ｂ＝μ。ＩＩ十声！（３） ただし、ｌｌ：磁界強度、Ｊｏ：励＠電ｉＡｔ密度、Ｂ
：磁束密度、μ。・真空の透磁率、 声！＝磁化である。

第１図に示す第１の演算手段１は、式（３）を演算する
ものである。

上記式（２）より、次式に示す磁気ベクトルポテンシャ
ルＡを定義できる。

Ｚ？　＝　ｒｏｔ　Ａ　　　　　　　（４）式（１）、
（３）、（４）より、 ｒｏｔ−（ｒｏｔＡ−ＰＩ＞＝　Ｊ　ｏ　　　　（５）
μＯ なるｒｏｔ−ｒｏｔ式を得るが、この形式では数学的に
境Ｉ／ｌ！条件が不明確である。

ところで、式（４）のＡにはｇｒａｄφなる不定性か許
されるか、次式に示すクーロン（（：□ｕｌｏｍｂ）の
ケージを課することによって、／Ｘの一意性を保証する
ことかできる。

ｄｉｖＡ＝ｏ　　　　　　　（６） 式（６）を式（５）に代入し、 なる３次元静磁界のポアソン（Ｐｏｉｓｓｏｎ）の方程
式を得る。第１図に示す第２の演算手段は、上述した演
算を実行して、ポアソンの方程式を出力するものである
。

式（７）は境界値問題として解く際に境界条（′トか明
確であり、また、クーロンのゲージ条件式（６）を含ん
でおり、Ａの一意性が保証されている。

［２コ　異なる磁性体間の境界条件 第２図に示すように、解析領域中に異なる磁性体間の境
界が存在する場合、境界条件を吟味する必要がある１Ｂ
＋ （８）長谷部、鹿野：　［三次元磁界解析における境界
条件の取り扱いについて］、日本シミュレーンヨン学会
　第７回電気・電子工学への有限要素法の応用シンポジ
ウム論文集、ｐｐ、１３３Ｍ３８　　（昭６１）式（１
）、（２）より異なる磁性体間の境界条件は次式のよう
になる。

ＩＩ　Ｘ　ｖ）：　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　　　　（８
）Ｂ　・ｎ　：　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　　　　（９）
いま、直角座標（ｘ、Ｙ＋　ｚ）を考え、境界面をＶ−
Ｚ平面にとり、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルをＪ、にとす
れば、式（８）、（９）は次式のように書ける。

ＩＩ　Ｘ　ｎ　＝　ｊ　Ｈｗ−ｋ　Ｈ、：　ｃｏｎｔｉ
ｎｕｏｕｓ　　（１０）１）　６ｎ　＝　Ｂ　ｘ　：　
ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　　　　　　　（１１）式（１０
）、（１１）は１１．１１に対する境界条件式であるが
、式（３）、（４）を用いてベクトルポテンシャルＡに
対する境界条件式に書き換えれば次のようになる。

まず、磁界強度１１のｙ成分Ｈ，および２成分ｌ］よが
連続なことから、 ここで、境界面における磁気ベクトルポテンシャルＡの
連続性を仮定し、クーロンのゲージ条件を用いれば、式
（１２）〜（１４）を成立させる十分条件として次式を
得る。

Ａ、１１）　　−八、＋＋＋＋　　　（＋６）が得られ
る。また、磁束密度ＢＯＸ成分が連続なことから、次式
が得られる。

ただし、右肩の添字（１）、（ＩＩ）はそれぞれ磁性体
（＋）側、及び（［）側を表す。

式（１５）〜（１７）は式（１２）〜（１４）の十分条
件であり、ポアソンの方程式（７）に対する境界条件と
して完備されている。

これらの境界条件式を求めるのが第１図に示す第３の演
算手段３である。

上記演算を、クーロンのゲージ条件を用い、ない従来の
方法と比較する。すなわち、境界面上における磁気ベク
トルボテンンヤルＡの連続性は仮定するが、クーロンの
ケージ条件式（６）を用いない場合には、式（１２）〜
（１４）を成立させる十分条件として次式を得る。

＾、（１）　−八ｘＩＩＩ） ら、ａ　Ａ、／δＸにχ・！する条件が不足している。

ところで、磁気ベクトルポテンシャルＡを用いたポアソ
ンの方程式（７）を解くためには、境界」二におけるＡ
の値とその微分値に対する境界条件とが必要である。し
たがって、式（１８）〜（２０）に示した境界条件では
不十分であり、式（７）は−意には解けないことが分か
る。

なお、ここでは境界面をｙ−ｚ平面に仮定したが、ｚ−
ｘ平面、ｘ−ｙ平面が境界面のときにも同様の議論が成
立する。

Ａ、１１）＝Ａｙ１１１１ これら３つの式（１８）〜（２０）が成立すれば、［３
］ガラ−キン法による離散化と境界積分項の検討 次に、第１図に示す演算手段４について説明する。この
演算手段４は、ポアソンの方程式（７）を要素ごとに離
散化するものである。以下の説明は、一つの要素に着目
して行う。すなわち、積分記号の下の符号■、Ｓは、そ
れぞれ一つの要素の体積積分、面積積分を示している。

式（１２）〜（１４）は十分に成立する。しかじなか（
ａ）　　ガラ−キン法による＠数比 ポアソンの方程式（７）と補間関数とのノルムをとりガ
ラ−キン法により１ｉｆｔ敗化を行なえば、次・式％式
％ ただし、式（２１）において、 Ｎ　＝　（Ｎ、、　Ｎ、、　Ｎ、）　：補間関数、ｎ：
境界面における単位法線ベクトル１、Ｊ　、ｋ　：　ｘ
、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルである。

（ｂ）　　境界積分項の検討 式（２１）における境界積分項を取り出せば次式のよう
になる。

’　　ＪＪＮｌｌ（ｇｒａｄＡ、）・ｎｄＳ　＋μＯ８ ’　　ＩｊＮ、（１，−＆Ｍ、）・１νｄＳμＯ８ 境界面をｙ−ｚ平面に選べば、式（２２）は次式となる
。

境界積分式（２３）の被積分項中にあるδＡ、／δＸ＜
ａ　Ａ、／　ａ　Ｘ　−Ｍ、）、　（δＡ、／　ａ　Ｘ
十Ｍ、）は、それぞれ式（１５）、（１６）、（１７）
に示すとおり、異なる磁性体が接する境界面の両側で連
続である。そして、補間関数Ｎは連続に選ばれるので、
上記境界積分式（２３）は、境界面の両側で逆符号とな
って打ら消され、全体を消去することができる。

なお、ディリクレ条件を与える境界上では補間関数Ｎが
零であり、ノイマン条件を与える境界上ではδ＾ｘ／ｘ
δ−〇であるという事実、および上述した式（１６）、
（１７）を用いることにより、式（２３）の彼積分項全
体を零とおくことができる。

したがって、式（２３）に示す境界積分項は、ディリク
レ、ノイマンの条件に対しても消去可能である。

一方、前述した式（１５）と式（１８）との比較から分
かるように、クーロンのゲージを課さない場合には、異
なる磁性体の要素間でδ＾Ｘ／δＸの連続性が保証され
ないから、式（２３）の被積分項中（こあるδ＾Ｘ／δ
Ｘをｌ自失できない。

以上、ここでは境界面をｙ−ｚ平面と仮定して議論を進
めてきたが、境界面がｚ−ｘ、ｙ−２平面の時にも全く
同様な議論が成り立つ。

このように、クーロンのゲージ条件式（６）を課するこ
とによって、ポアソンの方程式（７）の境界条件を完（
１ｉｉｉすることができるばかりでなく、ガラ−キン法
による渦形式化も可能である。

［４］有限要素式 上記 ［３］ 項で述べた議論から次式に示す有限 要素式が得られる。

ところで、式（２４）は境界条件を満たす任意の補間関
数Ｎ （Ｎｘ、　Ｎｙ Ｎｚ）に対して成立する必要か ある。つまり、 次式が成り立つ必要がある。

式（２５）〜（２７）を用いれば磁気ベクトルポテンシ
ャルの３成分を独立に取り扱うことができるため計算機
のメモリー、計算時間の節約が可能である。

［５］￥ｉ値計算のためのデータの作成３次元の磁場解
析を行うには、解析対象を含んだ３次元空間をたとえば
細かい直方体からなる要素に分け、その一つ一つに対し
て、磁気特性（この場合は、測定によって得られた磁化
７％ｌと磁束密度８の関係式）、励磁”ａ流密度Ｊ。（
大きさと方向）、磁化−Ｉの初期値、およびベクトルボ
テンシ。

ルＡの初期値を与える。

この際、材料が変わる境界面をまたいだ要素を作っては
ならない。また、３次元空間の外周にはベクトルポテン
シャルＡの境界条件を与える。なお、解析対象が対称性
を有する場合には、その対称性を利用して、全体領域の
１／２．ｌ／４．・・の領域を解析空間とし、対称面に
もベクトルポテンシャルＡの境界条件を与える。以上の
手順によって有限要素法のデータを作成する。

［６］　数値計算 上で作成したデータを入力し、ベクトルポテンシャルＡ
の係数マトリックスを求める（演算手段５）。なお、励
磁電流密度Ｊ。、磁化ｌへｌの効果は、列ベクトルとし
て求められ、全体系の行列式が得られる。この係数マト
リックスを解いてベクトルポテンシャルＡの各成分を算
出しく演算手段６）、算出したベクトルポテンシャルＡ
から磁束密度１１等を求める（演算手段７）。

以下、具体的な数値計算に入る。この数値計算は、測定
によってあらかじめ得た値を入力データとし、上記［５
］項の手法を適用して実施するもので、上記の式（２５
）〜（２７）を利用する点を除き、計算手順は従来と同
様である。

■　一つ一つの要素にス・！し、励磁電流密度Ｊ。と磁
化Ｍの数値を式（２５）に代入し、ガウス積分を行い、
各節点ｉ　　（ｉ＝ｌ〜未知節点総数ｎ）におけるベク
トルポテンシャルＡのｘ成分Ａｘｌノ係数を求める（演
算手段５）。

■　要素毎に求めた未知数Δ□の係数を加え合わせ、未
知数Ａ、□全体の係数マトリックスを作成する。これに
よって、ｎｘｎの係数マトリックスができあがる（演算
手段５）。なお、励磁電流密度ＪＯｓ磁化＾ｌの効果も
列ベクトルとして同時に求められ、全体系の行列式がで
きあがる。

■　未知数Δｘｌに対するｎｘｎのマトリックス計ＴＥ
　ヲ行い、各節点ｉにおけるベクトルポテンシャルＡの
値Ａ□を求める（演算手段６）。

■　式（２６）、（２７）を用い、ベクトルポテンシャ
ルＡのＹ　Ｉ’Ｘ　分Ａ　ｙ　ｌ、　ｚ成分Ａ□につい
ても同様にして、その値を求める（演算手段５，６）。

■　Ｂ＝ｒｏｔＡによって、要素中の磁束密度Ｂを求め
る（演算手段７）。

■　磁束密度Ｂと磁化ｐｔとの関係によって、要素中の
磁化ノ％Ｉを修正する。

■　Ａ、ｕ、ｐｔの収束の判定を行い、収束しているな
らば求めた値を出力し、収束が不十分ならば上記■〜■
の演算を繰り返す。

数値計算例１ 第３図に示すモデルを用いて静磁界解析を行ない旧ｖＡ
の値を調べた。８節点１次要素を用いて領域１０を均等
に分割し、中央にＭ、＝　ｌ［Ｔ］、し−Ｌ＝　０［Ｔ
］の永久磁石１１を配し、境界条件としてノイマン条件
を与えた。本モデルは異なる磁性体（永久磁石１１と真
空１２）間の境界を含んでねり、本実施例の理論及び定
式化を確認するのに適している。

第４図に磁束密度Ｂの分布を示す。矢印の向き、長さが
それぞれ磁束密度Ｂの向きと大きさを示しており、永久
磁石１１を配した位置において磁束密度Ｂの最大値がＢ
、−０，３７０９［Ｔ］、Ｂｙ＝　Ｂ、＝　Ｏ［Ｔコと
なっている。

上で述べたように、磁気ベクトルポテンシャルＡを用い
た三次元静磁界解析では、異なる磁性体間の境界条件が
満たされているかどうかが問題となる。これを調べるた
めに、永久磁石１１と真空１２の境界節点におけるｄｉ
ｖＡの値を求めた。この例では異なる磁性体間の境界節
点は８個の要素を共有するため、まず境界節点を共有す
る８個の要素中のがウス積分点でのｄｉｖＡの値を求め
、表１に示す。

表１ 論と定式化の妥当性を示している。ここでは境界条件が
ノイマン条件の場合を示したが、ディリクレ条件の場合
も同様に領域内の任意の節点においてｄｉｖＡミ０であ
った。

この表より、ｄｉｖＡの値を平均し、異なる磁性体間の
境界上の節点における値として求めれば、その値は零と
なる。池の境界節点及び領域内の任意の節点においても
その値は零であり、上述の理数値計算例２ 第５図、第６図は、電気学会モデルを用いた数値計算例
を示す図である。

このモデルは、１００Ｘ　ＬＯＯＸ　２００ｍｍの柱状
の鉄心２１（比透磁率μ、Ｍ０００）に励磁巻線２２を
巻回したものであり、「電気学会三次元電磁界計算技術
調査専門委員会」で制定された精度検証用標準モデルで
ある。上記鉄心２１の上面および横面の空間部分でｘ、
ｙ、ｚ各方向の磁束密度を測定し、検証用の標準データ
としている。この標準データに基づいて計算結果の評価
を行うことができる。

このモデルを用い、その重心の位置を原点とし、１／８
体積につき、上述した実施例装置によって３次元磁場解
析を行った結果を示すものが第５図である。各矢印は、
磁束密度の大きさと方向を示している。表２および第６
図は、Ｘ　”　Ｙ　＝６．２５ｍ＋ｓの位置で高さ方向
（２方向）に沿って得た実測値と計算値とを示している
。この表と図から分かるように良好な計算結果が得られ
ている。なお、このとき巻線２２に流した電流は３００
０ＡＴであった。

表　　２ 数値計算例３ 第７図〜第８図は、磁気ヘッドの磁場解析に上記実施例
装置を適用したものである。

磁気ヘッド３０のコア３１には、コイル３２が巻回され
、コア３１にはギャップ３３が形成されている。この磁
気ヘッド３０につき、その対称性を利用し、第７図に一
点鎖線の枠■で示すように、ギャップ３３近傍の１／４
領域を解析した。

第８図は、その結果を示すものであり、矢印は磁束密度
Ｂの大きさと方向とを示している。

本実施例と従来法との比較 従来、磁気ベクトルポテンシャルＡを用いた変分法によ
る３次元静磁界解析の定式化が示されている（上記文献
（１）〜（３））。これらは、ラグランジェ定数法によ
りゲージ条件を扱っている。しかしながら、この手法に
よるゲージ条件の導入は数値計算上極めて性質が悪く、
扱いにくいことが報告されている１１０１Ｍｌｌ） （ｌＯ）横井、荒谷、小貫：「三次元有限・境界要素併
用法による開領域静磁界検討用モデルの磁界解析」、日
本シミュレーション学会　第８回電気電子工学への有限
要素法の応用シンポジウム論文集、ｐｐ、　９９Ｍ０４
、（昭６２） （１１）長谷部、鹿野、「三次元磁界解析における境界
条件とゲージの関係−検証モデルによる−４、電学会静
止器・回転機会同研資、５Ａ−８７Ｍ，ＲＭ−８７１２
、ｐｐ、ｌ−９，（昭６２） そのため、ゲージ条件を無視した解析が行われてきた。

モハメノド（Ｍｏｈａｎｕｓｅｄ）らは、ｇｒａｄφな
る磁気ベクトルポテンンヤルの不定性は、７４９２１条
件によって抑えることができるため、ゲージ条件を課す
必要がないことを示した（目〉（１２）　０．＾、Ｍｏ
ｈａｍｍｅｄ、　Ｗ、Ａ、Ｄａｖｉｓ、　Ｂ、Ｄ、Ｐｏ
ｐｏｖｉｃ、　Ｔ１１、Ｎｅｈｌ　　ａｎｄ　　Ｎ、＾
　Ｄｅｎｅｒｄａｓｈ、　　”Ｏｎ　　ｔｈｅ　　Ｌｌ
ｎｉｑｕｅｎｅｓｓｏｆ　５ｏｌｕｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｍ
ａｇｎｅｔｏｓｔａｔｉｃ　ＶｅｃｔｏｒＰｏｔｅｎｔ
ｉａｌ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｂｙ　Ｔｈｒｅｅ−Ｄｉｌ
ＩｌｅｎｓｉｏｎａｌＦｉｎｉｔｅ−Ｅｌｅｍｅｎｔ　
Ｍｅｔｈｏｄｓ″、　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｒ　Ａｐｐｌ
ｉｅｄＰｈｙｓｉｃｓ、　ｖｏｌ、　５３（１１）、　
ｐｐ、８４０２−８４０４．　Ｎｏｖ。

その中で、節点でｇｒａｄφの値を抑えることが可能で
あるため要素間の境界でのｇｒａｄφの値が連続である
、として理論を展開している。同一の磁性体ならば、要
素間におけるｇｒａｄφの連続性は保証される。しかし
、異なる磁性体間の要素境界で各々の媒質から見た基礎
方程式の接合条件を課さないにもかかわらず、単一節点
であるからｇｒａｄφの値が連続であるとするのは誤り
である。従って、得られた計算結果における旧ｖＡの値
は零となっていない。

ぞの他、全く同じようにして議論をすすめている例もあ
る（Ｉ３１ （１３）池田：　「有限要素法による三次元磁界解析に
おけるげ一ジの問題」、電学会静＋Ｌ器・回転代合同研
資、５Ａ−８７−２０、Ｒ１１１４７−５７、ｐｐ、２
＋−２９（昭６２）これに対して、本実施例は、 （１）　　有限要素法による三次元静磁界解析において
は、異なる磁性体間の境界における境界条件を満たすた
めにゲージ条件の導入が必要であることを示し、 （２）ゲージ条件を含んだ新しい有限要素式を定式化し
、 （３）数値計算結果によりその理論と定式化が正しいこ
とを確認した。

本定式化によれば、磁気ベクトルポテンシャルＡの各成
分の独立に解析できるため計算機のメモリ、計算時間の
節約が可能である。

［発明の効果］ 以上説明したように、この発明は、ｎ＝μＩＩに代えて
Ｚ？　＝μｏｌＩ十１％！なる式を用いたこと、および
ベクトルポテンシャルＡの発散を零とするクーロンのゲ
ージ条件を課したことによって、有限要素式の表面積分
項を消去することが可能となる。

これによって、有限要素式を３次元の各成分ごとに分離
することが可能となる。

この結果、ベクトルポテンシャルＡの３成分を独立に解
析できるため、解析装置のメモリ容量および計算時間を
大幅に減らすことができる。

【図面の簡単な説明】

第１図はこの発明の一実施例による３次元磁場解析装置
の構成を示す機能ブロック図、第２図は異なる磁性体間
の境界条件を示す図、第３図、第４図は数値計算例を示
す斜視図、第５図、第６図は他の数値計算例を示す図、
第７図および第８図は磁気ヘッドの３次元磁場の数値計
算例を示す図であり、第７図は磁気ヘッドの構造および
磁場解析の対象となる位置■を示す図、第８図は磁場解
析の結果を示す図である。 １〜７・・・・・・第１〜第７の演算手段。

Claims (1)

1. 【特許請求の範囲】 ３次元静磁界のポアソンの方程式を基礎とし、有限要素
   法を用いて異なる磁性体を含む３次元磁場の解析を行う
   ３次元磁場解析装置において、真空の透磁率μ＿０と磁
   界強度Ｈとの積に磁化Ｍを加算して磁束密度Ｂを求める
   第１の演算手段と、磁気ベクトルポテンシャルＡの発散
   を零とするクーロンのゲージ条件の下に、前記磁気ベク
   トルポテンシャルＡを用いて３次元静磁界のポアソンの
   方程式を形成する第２の演算手段と、 前記異なる磁性体間の境界条件からベクトルポテンシャ
   ルＡの境界条件を求める第３の演算手段と、 前記ポアソンの方程式および補間関数を用いてガラーキ
   ン法によって離散化を行い、前記ベクトルポテンシャル
   Ａの境界条件を用いて３次元の各成分毎に分離された３
   つの有限要素式を求める第４の演算手段と、 前記有限要素式に基づいて、各有限要素につきベクトル
   ポテンシャルＡの各成分の係数からなる係数マトリック
   スを求める第５の演算手段と、前記係数マトリックスを
   用いた行列式を解いてベクトルポテンシャルＡを求める
   第６の演算手段と、 前記ベクトルポテンシャルＡから前記磁束密度Ｂを求め
   るとともに、磁化Ｍを修正する第７の演算手段と を具備することを特徴とする３次元磁場解析装置。