JP7494945B2 - 厳密被覆計算方法、厳密被覆計算装置及びプログラム - Google Patents

Description

本発明は、厳密被覆計算方法、厳密被覆計算装置及びプログラムに関する。

厳密被覆問題とは、ある集合Ｄと、その部分集合からなる集合族Ｓとが与えられたときに、Ｓの要素Ｘ∈Ｓをいくつか選択して、∪_Ｘ∈ＦＸ＝Ｄ、かつ、すべての異なるＸ，Ｘ'∈Ｆに対してＸ∩Ｘ'＝φを満たすようなＦを求める問題である。ここで、Ｘは、Ｘ⊆Ｄである。

例えば、ポリオミノパズルの解を求める問題や数独の解を求める問題等は厳密被覆問題に帰着して解くことができる。

集合ＤとＤの部分集合族Ｓとが与えられたときに、厳密被覆問題の可能な解Ｆをすべて求めるための効率的な解法として、ＤＬＸが知られている（例えば、非特許文献１参照）。

Donald E. Knuth, "Dancing Links", Millennial Perspectives in Computer Science, 2000, 187-214.

しかしながら、ＤＬＸには、厳密被覆問題の入力のサイズが大きなときは効率的な計算ができないという課題がある。すなわち、ＤＬＸでは解の探索に集合族Ｓの大きさに比例する時間を要するため、入力として与えられた集合族Ｓに含まれる集合の数が膨大になると、計算効率が低下する。

本発明の一実施形態は、上記の点に鑑みてなされたもので、厳密被覆問題の解を効率的に計算することを目的とする。

上記目的を達成するため、一実施形態に係る厳密被覆計算方法は、厳密被覆問題の解を計算する厳密被覆計算方法であって、前記厳密被覆問題の対象となる集合と、前記集合の部分集合で構成される集合族とのゼロサプレス型二分決定グラフ表現を入力する入力手順と、前記ゼロサプレス型二分決定グラフ表現に基づいて、所定のデータ構造のデータを作成する作成手順と、前記データを用いて、ＤＬＸに基づく探索アルゴリズムにより、前記厳密被覆問題の解を計算する計算手順と、をコンピュータが実行する。

厳密被覆問題の解を効率的に計算することができる。

二値行列で表現した厳密被覆問題の一例を示す図である。 ＤＬＸで用いるデータ構造の一例を示す図である。 ＤＬＸのアルゴリズムの一例を示す図である。 Ｃｏｖｅｒ及びＵｎｃｏｖｅｒのアルゴリズムの一例を示す図である。 Ｃｏｖｅｒ（ａ）実行後のデータ構造の一例を示す図である。 ＺＤＤの一例を示す図である。 本実施形態に係る厳密被覆計算装置のハードウェア構成の一例を示す図である。 本実施形態に係る厳密被覆計算装置の機能構成の一例を示す図である。 本実施形態に係る厳密被覆計算装置が実行する全体処理の流れの一例を示すフローチャートである。 厳密被覆問題の入力を表すＺＤＤの一例を示す図である。 厳密被覆問題の入力を表すＺＤＤから作成したデータ構造の一例を示す図である。 厳密被覆計算処理のアルゴリズムの一例を示す図である。 ＣｏｖｅｒＺＤＤ及びＵｎｃｏｖｅｒＺＤＤのアルゴリズムの一例を示す図である。 ＣｏｖｅｒＬｏｗｅｒ及びＵｎｃｏｖｅｒＬｏｗｅｒのアルゴリズムの一例を示す図である。 ＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ及びＵｎｃｏｖｅｒＵｐｐｅｒのアルゴリズムの一例を示す図である。

以下、本発明の一実施形態について説明する。本実施形態では、厳密被覆問題の解を効率的に計算することが可能な厳密被覆計算装置１０について説明する。

＜準備＞
まず、ＤＬＸとゼロサプレス型二分決定グラフ（ＺＤＤ：Zero-suppressed Binary Decision Diagrams）について説明する。

≪ＤＬＸ≫
厳密被覆問題の入力となる集合族Ｓは二値行列を用いて表現することができる。二値行列の各列が集合Ｄの各要素に対応し、各行ベクトルがＳに含まれる集合Ｘを表す。二値行列による厳密被覆問題の一例を図１に示す。図１に示す例では、集合ＤはＤ＝｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ｝であり、行列の各列に対応する要素の集合である。また、集合族ＳはＳ＝｛｛ａ，ｂ，ｃ，ｅ｝，｛ａ，ｂ｝，｛ｄ，ｆ｝，｛ｃ，ｄ，ｆ｝，｛ｃ，ｅ｝｝である。つまり、集合族Ｓに含まれる各要素は二値行列の行ベクトルに対応する。例えば、｛ａ，ｂ，ｃ，ｅ｝は二値行列の１行目の行ベクトルにおいて値が１の要素からなる集合である。

このとき、厳密被覆問題の解は、いくつかの行ベクトルを取り出したものとして表現される。例えば、Ｆ＝｛｛ａ，ｂ，ｃ，ｅ｝，｛ｄ，ｆ｝｝は厳密被覆問題の解であり、１行目と３行目を取り出したものである。また、例えば、Ｆ＝｛｛ａ，ｂ｝，｛ｄ，ｆ｝，｛ｃ，ｅ｝｝も厳密被覆問題の解であり、２行目と３行目と５行目を取り出したものである。以下では、集合族Ｓに含まれる各集合のことをｏｐｔｉｏｎ又はオプションともいい、集合Ｄの各要素のことをｉｔｅｍ又はアイテムともいう。

ＤＬＸは厳密被覆問題の解をすべて探索するためのアルゴリズムである。ＤＬＸは厳密被覆問題の入力Ｓを２種類のセル（構成単位）を用いたデータ構造で表現する。２種類のセルはそれぞれアイテムセル、ノードセルと呼ばれる。

アイテムセルは集合Ｄに含まれる１つの要素に対応し、ｌｅｆｔ，ｒｉｇｈｔ，ｕｐ，ｄｏｗｎの４つのポインタと、整数値ｌｅｎとを持つ。ｌｅｆｔ，ｒｉｇｈｔ，ｕｐ，ｄｏｗｎのそれぞれの値はアイテムセル又はノードセルのアドレスであり、アイテムセルｉが持つｌｅｆｔ，ｒｉｇｈｔ，ｕｐ，ｄｏｗｎをそれぞれｌｅｆｔ（ｉ），ｒｉｇｈｔ（ｉ），ｕｐ（ｉ），ｄｏｗｎ（ｉ）とする。ｌｅｆｔ（ｉ），ｒｉｇｈｔ（ｉ）には、アイテムセルのみからなる二重連結リストにおけるアイテムセルｉの１つ前のアイテムセルと１つ後のアイテムセルのアドレスがそれぞれ格納される。ｕｐ（ｉ），ｄｏｗｎ（ｉ）には、集合Ｄの要素のうち、アイテムセルｉと同じ要素に対応するノードセルのアドレスが格納される。ｌｅｎには、アイテムセルからｄｏｗｎの値を辿ることによって到達できるノードセルの個数が格納される。

ノードセルは、ｕｐ，ｄｏｗｎ，ｉｔｅｍの３つのポインタを持つ。あるノードセルｐのｉｔｅｍ（ｐ）には、集合Ｄの要素のうち、ノードセルｐが対応する要素に対応するアイテムセルのアドレスが格納される。ｕｐ（ｐ），ｄｏｗｎ（ｐ）には、ｉｔｅｍ（ｐ）に同じアイテムセルのアドレスが可能されているノードセルからなる連結リストにおける１つ前のセル（アイテムセル又はノードセル）と１つ後のセル（アイテムセル又はノードセル）のアドレスがそれぞれ格納される。

ＤＬＸで用いるデータ構造では、上記の２種類のセルを用いて集合Ｄと集合族Ｓとを表現する。

まず、集合Ｄに含まれる各要素に対応するアイテムセルを作成し、それらをｌｅｆｔ，ｒｉｇｈｔのポインタで連結した二重連結リストを作成する。ただし、この二重連結リストの先頭には、ＨＥＡＤと呼ばれる要素を追加する。ＨＥＡＤもｌｅｆｔ，ｒｉｇｈｔの２つポインタを持っており、二重連結リストの最後のアイテムセルとＨＥＡＤの１つ後のアイテムセルのアドレスがそれぞれ格納される。したがって、アイテムセルの二重連結リストは、ＨＥＡＤを先頭の要素とする二重連結リストで表現される。

次に、集合族Ｓの二値行列表現における各行ベクトルを、ノードセルの配列として表現する。配列の要素数は行ベクトルに含まれる非ゼロの値の個数と等しく、配列に含まれる各ノードセルは行ベクトルの非ゼロ要素にそれぞれ対応する。すなわち、ある行ベクトルに対応する配列に含まれるノードセルｐは、この行ベクトルの非ゼロ要素に対応するアイテムセルのアドレスが格納されているｉｔｅｍ（ｐ）を持ち、かつ、他の行ベクトルに対応する配列に含まれるノードセルであって、ｉｔｅｍ（ｐ）と同じアドレスが格納されているｉｔｅｍを持つノードセルのアドレスが格納されているｕｐ（ｐ）及びｄｏｗｎ（ｐ）を持つ。ただし、ｕｐ（ｐ），ｄｏｗｎ（ｐ）にはアイテムセルのアドレスが格納されることもある。

ＤＬＸで用いるデータ構造の一例を図２に示す。図２に示すデータ構造は、図１に示す二値行列を、ＤＬＸで用いるデータ構造で表現したものである。図２の上段にあるａ～ｆまでの文字が記載された長方形がアイテムセルを表しており、文字が記載されていない左上にある長方形がＨＥＡＤを表している。また、各アイテムセル及びＨＥＡＤから左右に伸びている矢印が、それぞれｌｅｆｔ，ｒｉｇｈｔの値を表している。例えば、文字ａが記載されたアイテムセルの左側の矢印はＨＥＡＤ、右側の矢印は文字ｂが記載されたアイテムセルを指しているが、これは、文字ａが記載されたアイテムセルが持つｌｅｆｔにはＨＥＡＤのアドレスが、ｒｉｇｈｔには文字ｂが記載されたアイテムセルのアドレスが格納されていることを表している。

また、アイテムセルから上向き、下向きに伸びている矢印はそれぞれｕｐ，ｄｏｗｎの値を表している。なお、アイテムセルのｌｅｎの値は図２中には明示的に表されていないが、下向きの矢印を辿ることによって到達できるノードセルの個数である。例えば、文字ａが記載されたアイテムセルが持つｌｅｎの値は２であり、文字ｃが記載されたアイテムセルが持つｌｅｎの値は３である。

水平の線分で繋がれたノードセル同士は、二値行列のある行ベクトルに対応する配列に含まれていることを表している。例えば、文字ａが記載されたノードセルと文字ｂが記載されたノードセルとが水平の線分で繋がれているが、これは、２行目の行ベクトルに対応する配列の要素であることを表している。

また、ノードセルに記載されている文字は、このノードセルが持つｉｔｅｍに格納されているアドレスが指すアイテムセルに対応する要素を表している。更に、ノードセルから上向き、下向きに伸びている矢印はそれぞれｕｐ，ｄｏｗｎの値を表している。

図２より、ＨＥＡＤからｌｅｆｔ又はｒｉｇｈｔを繰り返すことで到達できるアイテムセルは、集合Ｄを二重連結リストとして表現したものであることがわかる。また、各アイテムセルからｕｐ又はｄｏｗｎを繰り返すことで到達できるノードセルは、二値行列の列ベクトルに出現するアイテムの集合を表してる。

なお、以下では、簡単のため、セル（アイテムセル又はノードセル）とそのセルを指すアドレスとを同一視し、同一の記号で表すことがある。例えば、記号「Ｘ」でセル自体を表すこともあれば、セルのアドレスを表すこともある。

次に、ＤＬＸのアルゴリズムを図３に示す。図３に示すように、ＤＬＸは、二値行列Ｓを入力して、Ｓｅａｒｃｈ（Ｓ，φ）により厳密被覆問題の解を探索する（１６行目）。Ｓｅａｒｃｈ（Ａ，Ｒ）ではＡが空集合であればＲを出力し（２行目～３行目）、そうでなければＭＲＶ（Minimum Remaining Values）ヒューリスティックによりアイテムｉを選択し（４行目）、集合族Ａに含まれるオプションのうち、アイテムｉが含まれるオプションの集合をＯとする（５行目）。続いて、Ｃｏｖｅｒ（ｉ，Ａ）を呼び出し（６行目）、各Ｘ∈Ｏに対して８行目～１４行目の繰り返しを実行した後（７行目）、Ｕｎｃｏｖｅｒ（ｉ，Ａ）を呼び出す（１５行目）。８行目～１４行目の繰り返しでは、ＸをＲに追加し（８行目）、ｊ≠ｉなるｊ∈Ｘに対してＣｏｖｅｒ（ｊ，Ａ）を繰り返した後（９行目～１０行目）、Ｓｅａｒｃｈ（Ａ，Ｒ）を再帰的に呼び出し（１１行目）、その後、ｊ≠ｉなるｊ∈Ｘに対してＵｎｃｏｖｅｒ（ｊ，Ａ）を繰り返した後（１２行目～１３行目）、ＲからＸを削除する（１４行目）。

次に、Ｃｏｖｅｒ及びＵｎｃｏｖｅｒのアルゴリズムを図４に示す。ＤＬＸで用いるデータ構造は、アイテムセルとノードセルを使用した複数の二重連結リストにより二値行列Ｓを表現している。Ｃｏｖｅｒ及びＵｎｃｏｖｅｒでは、これらの二重連結リストを操作することで、二値行列からのオプションの削除や復元を実現する。例えば、Ｘを二重連結リストに含まれるあるセルとする。Ｘは２つの値ｌｅｆｔ（Ｘ），ｒｉｇｈｔ（Ｘ）を持ち、それぞれＸの１つ前のセル、１つ後のセルのアドレスが格納されているものとする。

このとき、二重連結リストからＸを削除する操作（以下、「削除操作」ともいう。）は、
ｒｉｇｈｔ（ｌｅｆｔ（Ｘ））←ｒｉｇｈｔ（Ｘ）
ｌｅｆｔ（ｒｉｇｈｔ（Ｘ））←ｌｅｆｔ（Ｘ）
となる。また、この操作によって削除されたＸを二重連結リストに復元する操作（以下、「復元操作」ともいう。）は、
ｒｉｇｈｔ（ｌｅｆｔ（Ｘ））←Ｘ
ｌｅｆｔ（ｒｉｇｈｔ（Ｘ））←Ｘ
となる。

Ｃｏｖｅｒは削除操作によりデータ構造からオプションを削除する手続きであり、Ｕｎｃｏｖｅｒは復元操作によりデータ構造にオプションを復元する手続きである。

図４に示すように、Ｃｏｖｅｒ（ｉ）では、上記の削除操作を行ってアイテムｉに対応するアイテムセルを、アイテムセルの二重連結リストから削除し（２行目～３行目）、ｐにｄｏｗｎ（ｉ）を代入した後（４行目）、ｐ≠ｉである間、６行目～１３行目の繰り返しを実行する（５行目）。

６行目～１３行目の繰り返しでは、ｐが含まれる配列でｐの１つ後のノードセルをｑとし（６行目）、ｑ≠ｐである間、８行目～１２行目の繰り返しを実行し（７行目）、その後、ｐ←ｄｏｗｎ（ｐ）とする（１３行目）。ただし、６行目では、ｐが配列の最後の要素である場合は、配列の先頭のノードセルをｑとする。

８行目～１２行目の繰り返しでは、ｘ←ｉｔｅｍ（ｑ）とした後（８行目）、アイテムセルｘのｌｅｎ（ｘ）の値を１つ減少させる（９行目）。また、ｄｏｗｎ（ｕｐ（ｑ））←ｄｏｗｎ（ｑ）及びｕｐ（ｄｏｗｎ（ｑ））←ｕｐ（ｑ）によって同じアイテムに対応するノードセルの二重連結リストからｑを削除する（１０行目～１１行目）。そして、ｑを、同じオプションに対応する配列中におけるｑの１つ後に要素に更新する（１２行目）。これにより、当該オプションに含まれるノードセルのうち、ｐと異なるすべてのノードセルｑが二重連結リストから削除される。

以上の手続きにより、Ｃｏｖｅｒ（ｉ）では、アイテムｉに対応するアイテムセルと、ｉを含むオプション中のすべてのノードセルとがデータ構造から削除される。

図４に示すように、Ｕｎｃｏｖｅｒ（ｉ）では、上記の復元操作を行ってアイテムセルｉを、アイテムセルの二重連結リストに復元し（１５行目～１６行目）、ｐにｕｐ（ｉ）を代入した後（１７行目）、ｐ≠ｉである間、１９行目～２６行目の繰り返しを実行する（１８行目）。

１９行目～２６行目の繰り返しでは、ｐが含まれる配列でｐの１つ前のノードセルをｑとし（１９行目）、ｑ≠ｐである間、２０行目～２５行目の繰り返しを実行し（２０行目）、ｐ←ｕｐ（ｐ）とする（２６行目）。

２０行目～２５行目の繰り返しでは、ｘ←ｉｔｅｍ（ｑ）とした後（２１行目）、アイテムセルｘのｌｅｎ（ｘ）の値を１つ増加させる（２２行目）。また、ｄｏｗｎ（ｕｐ（ｑ））←ｑ及びｕｐ（ｄｏｗｎ（ｑ））←ｑによって同じアイテムに対応するノードセルの二重連結リストにｑを追加する（２３行目～２４行目）。そして、ｑを、同じオプションに対応する配列中におけるｑの１つ前の要素に更新する（２５行目）。これにより、当該オプションに含まれるノードセルのうち、ｐと異なるすべてのノードセルｑが二重連結リストに復元される。

以上の手続きにより、Ｕｎｃｏｖｅｒ（ｉ）では、Ｃｏｖｅｒ（ｉ）で削除されたセルが復元され、Ｃｏｖｅｒ（ｉ）が実行される前の状態のデータ構造に戻る。

図２に示すデータ構造に対してＣｏｖｅｒ（ａ）を実行した後のデータ構造を図５に示す。図５に示すように、Ｃｏｖｅｒ（ａ）の実行により、アイテムセルａと、アイテムａを含むオプションに対応する配列中のすべてのノードセルとが二重連結リストから削除されていることがわかる。なお、図５に示すデータ構造に対してＵｎｃｏｖｅｒ（ａ）を実行すると、図２に示すデータ構造が得られる。

≪ＺＤＤ≫
ＺＤＤは、集合族を有向非巡回グラフとして表現するデータ構造である。ＺＤＤとして表現することで、集合族を効率よく圧縮することが可能となる。なお、ＺＤＤの詳細については、例えば、参考文献「Shin-ichi Minato, "Zero-suppressed BDDs for Set Manipulation in Combinatorial Problems", DAC'93:Proceedings of the 30th international conference on Design automation, 1993」等を参照されたい。

一例として、全体集合｛１，２，３｝の部分集合からなる集合族｛｛１，２｝，｛１，３｝，｛２，３｝｝を表現するＺＤＤを図６に示す。

ＺＤＤは終端ノードと分岐ノードの２種類のノードを持つ。終端ノードはそのノードを始点するエッジ（枝）を持たないノードであり、図６では四角で表現されている。終端ノードには⊥終端ノードと、

との２種類の終端ノードがあり、１つのＺＤＤは各終端ノードを高々１つずつ持つ。以下では、前者の終端ノードを「第１の終端ノード」、後者の終端ノードを「第２の終端ノード」ともいう。

分岐ノードは終端ノードではないノードのことであり、各分岐ノードには、全体集合の要素の中でそのノードが対応する要素を表すラベルが付与される。また、各分岐ノードにはそのノードを始点とするエッジ（枝）が必ず２つ存在し、それぞれｌｏ枝、ｈｉ枝と呼ばれる。図６では各分岐ノードは円で表現され、ｈｉ枝は実線、ｌｏ枝は破線で表現されている。例えば、ノードｎ１は分岐ノードであり、全体集合の要素「１」がラベルとして付与されており、ノードｎ１のｌｏ枝はノードｎ２を、ｈｉ枝はノードｎ３をそれぞれ指している。

また、ＺＤＤでは親を持たないノードが必ず１つのみ存在し、根ノードと呼ばれる。根ノードから第２の終端ノードまでの各経路が、ＺＤＤが表現する集合族に含まれる各部分集合に対応している。また、ｈｉ枝は始点するノードに付与されているラベルによって表される要素が部分集合に含まれることを表し、ｌｏ枝は当該要素が部分集合に含まれないことを表す。図６に示すＺＤＤでは根ノードから第２の終端ノードまで３種類の経路が存在し、それらの経路がそれぞれ部分集合｛１，２｝，｛１，３｝，｛２，３｝に対応している。

ＺＤＤ中の各ノードは、そのノードを根ノードとする部分ＺＤＤを表現している。例えば、図６では、ノードｎ２を根ノードとする部分ＺＤＤは全体集合｛２，３｝の部分集合からなる集合族｛｛２，３｝｝を表現している。また、例えば、ノードｎ３を根ノードとする部分ＺＤＤは全体集合｛２，３｝の部分集合からなる集合族｛｛２｝，｛３｝｝を表現している。

ＺＤＤでは、各ノードに関して（ノードのＩＤ，ラベル，ｈｉ枝の指すノードのＩＤ，ｌｏ枝の指すノードのＩＤ）の４つの組を用意することで表現できる。例えば、図６に示すＺＤＤは６つのノードを持つため、

というテーブルを用意することで表現できる。

＜厳密被覆計算装置１０のハードウェア構成＞
次に、本実施形態に係る厳密被覆計算装置１０のハードウェア構成を図７に示す。図７に示すように、本実施形態に係る厳密被覆計算装置１０は一般的なコンピュータ又はコンピュータシステムのハードウェア構成で実現され、入力装置１０１と、表示装置１０２と、外部Ｉ／Ｆ１０３と、通信Ｉ／Ｆ１０４と、プロセッサ１０５と、メモリ装置１０６とを有する。これらの各ハードウェアは、それぞれがバス１０７により通信可能に接続される。

入力装置１０１は、例えば、キーボードやマウス、タッチパネル等である。表示装置１０２は、例えば、ディスプレイ等である。なお、厳密被覆計算装置１０は、例えば、入力装置１０１及び表示装置１０２のうちの少なくとも一方を有していなくてもよい。

外部Ｉ／Ｆ１０３は、記録媒体１０３ａ等の外部装置とのインタフェースである。厳密被覆計算装置１０は、外部Ｉ／Ｆ１０３を介して、記録媒体１０３ａの読み取りや書き込み等を行うことができる。なお、記録媒体１０３ａとしては、例えば、ＣＤ（Compact Disc）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）、ＳＤメモリカード（Secure Digital memory card）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリカード等が挙げられる。

通信Ｉ／Ｆ１０４は、厳密被覆計算装置１０を通信ネットワークに接続するためのインタフェースである。プロセッサ１０５は、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）やＧＰＵ（Graphics Processing Unit）等の各種演算装置である。メモリ装置１０６は、例えば、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）やＳＳＤ（Solid State Drive）、ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＲＯＭ（Read Only Memory）、フラッシュメモリ等の各種記憶装置である。

本実施形態に係る厳密被覆計算装置１０は、図７に示すハードウェア構成を有することにより、後述する各種処理を実現することができる。なお、図７に示すハードウェア構成は一例であって、厳密被覆計算装置１０は、他のハードウェア構成を有していてもよい。例えば、厳密被覆計算装置１０は、複数のプロセッサ１０５を有していてもよいし、複数のメモリ装置１０６を有していてもよい。

＜厳密被覆計算装置１０の機能構成＞
次に、本実施形態に係る厳密被覆計算装置１０の機能構成を図８に示す。図８に示すように、本実施形態に係る厳密被覆計算装置１０は、問題入力部２０１と、入力形式作成部２０２と、厳密被覆計算部２０３と、計算結果出力部２０４とを有する。これら各部は、例えば、厳密被覆計算装置１０にインストールされた１以上のプログラムがプロセッサ１０５に実行させる処理により実現される。

問題入力部２０１は、厳密被覆計算装置１０に与えられた厳密被覆問題の入力を読み込む。厳密被覆問題の入力はアイテムの集合Ｄとオプションの集合Ｓである。ここで、オプションの集合ＳはＺＤＤで表現されているものとする。なお、オプションの集合ＳをＺＤＤとして表現する方法については後述する。

入力形式作成部２０２は、問題入力部２０１が読み込んだＳのＺＤＤ表現に基づいて、厳密被覆問題の解の探索アルゴリズムで用いるデータ構造を作成する。

厳密被覆計算部２０３は、入力形式作成部２０２で作成されたデータ構造を用いて厳密被覆問題のすべての解を探索する。

計算結果出力部２０４は、厳密被覆計算部２０３で計算された解を予め決められた任意の出力先にする。なお、解の出力先としては、例えば、表示装置１０２やメモリ装置１０６であってもよいし、通信Ｉ／Ｆ１０４を介して接続されるサーバや端末等であってもよい。

＜厳密被覆計算装置１０が実行する全体処理の流れ＞
次に、本実施形態に係る厳密被覆計算装置１０が実行する全体処理の流れを図９に示す。図９に示すように、本実施形態に係る厳密被覆計算装置１０は、ステップＳ１０１～ステップＳ１０４の各処理を実行する。

ステップＳ１０１：まず、問題入力部２０１は、与えられた厳密被覆問題の入力を読み込む。厳密被覆問題の入力はアイテムの集合Ｄとオプションの集合Ｓであり、上述したように、ＳはＺＤＤ表現で与えられる。厳密被覆問題の入力であるオプションの集合Ｓはアイテムの集合Ｄの部分集合を集めた集合族であり、これはＺＤＤで表現することが可能である。つまり、アイテムの集合Ｄとその部分集合（オプション）を集めた集合族ＳはＺＤＤとして表現することが可能である。

例えば、図１に示す二値行列で表現される厳密被覆問題の入力は、図１０に示すＺＤＤで表現される。図１に示す二値行列は集合族Ｓ＝｛｛ａ，ｂ，ｃ，ｅ｝，｛ａ，ｂ｝，｛ｄ，ｆ｝，｛ｃ，ｄ，ｆ｝，｛ｃ，ｅ｝｝を表しており、ＺＤＤは、この集合族を有向非巡回グラフの形で表現する。集合族を表現するＺＤＤを求める方法は多数存在するが、例えば、Ａｐｐｌｙ演算等のＺＤＤ演算により複数のＺＤＤの合成を繰り返すことでＺＤＤを求めてもよい。

ステップＳ１０２：次に、入力形式作成部２０２は、上記のステップＳ１０１で読み込んだＺＤＤに基づいて、厳密被覆問題の解の探索アルゴリズムで用いるデータ構造を作成する。言い換えれば、入力形式作成部２０２は、上記のステップＳ１０１で読み込んだＺＤＤを、当該データ構造のデータに変換する。このデータ構造は、ＤＬＸで用いられるデータ構造と同様に、アイテムセルとノードセルの２種類のセルで構成される。アイテムセルは、ＤＬＸで用いられるデータ構造と同様に、ｌｅｆｔ，ｒｉｇｈｔ，ｕｐ，ｄｏｗｎ，ｌｅｎの５つの値を持つ。ノードセルは、ＤＬＸで用いられるデータ構造と同様のｕｐ，ｄｏｗｎ，ｉｔｅｍの３つの値に加えて、ｌｏ，ｈｉ，ｐａｒｅｎｔｓ，ｐｌｅｎ，ｌｌｅｎ，ｈｌｅｎの６つの値を持つ。

ノードセルはＺＤＤの１つのノード（ＺＤＤノード）に対応付けられ、ｌｏ及びｈｉには、当該ノードセルに対応付けられているＺＤＤノードのｌｏ枝及びｈｉ枝がそれぞれ指すＺＤＤノードに対応するノードセルのアドレスが格納される。ｐａｒｅｎｔｓには、ノードセルに対応するＺＤＤノードの親ノードに対応するノードセルのアドレスと、親ノードからｌｏ枝又はｈｉ枝のいずれで指されているかを示す情報とが格納される。あるＺＤＤノードには複数の親ノードが存在し得るため、ｐａｒｅｎｔｓにも複数の親ノードのアドレスとｌｏ枝又はｈｉ枝のいずれで指されているかを示す情報とがリストとして格納される。ｐｌｅｎ，ｌｌｅｎ，ｈｌｅｎには、ＺＤＤにおける特定のノード間の経路の数が格納される。ｐｌｅｎには、ＺＤＤの根ノードからｌｏ枝又はｈｉ枝を辿って、当該ノードセルに対応するＺＤＤノードまで到達可能な経路の数が格納される。ｌｌｅｎには、当該ノードセルに対応するＺＤＤノードのｌｏ枝が指す子ノードから、第２の終端ノードまでの経路の数が格納される。ｈｌｅｎには、当該ノードセルに対応するＺＤＤノードのｈｉ枝が指す子ノードから、第２の終端ノードまでの経路の数が格納される。ｐｌｅｎ，ｌｌｅｎ，ｈｌｅｎは、アイテムセルのｌｅｎの値を更新するために用いられる。ｉｔｅｍには、当該ノードセルに対応するＺＤＤノードのラベルが表すアイテムに対応するアイテムノードのアドレスが格納されている。

本実施形態で用いるデータ構造は、上記のアイテムセル及びノードセルを用いて作成される。すなわち、本実施形態で用いるデータ構造では、ＤＬＸで用いられるデータ構造と同様に、ＨＥＡＤとアイテムセルとがｌｅｆｔ，ｒｉｇｈｔによって連結された二重連結リストでアイテムの集合Ｄが表現される。また、ノードセルはオプションの集合Ｓを表現するＺＤＤの各ノードに対応し、自身の親ノードのアドレスとｌｏ枝又はｈｉ枝のいずれで指されているかを示す情報とがｐａｒｅｎｔｓに格納されており、自身の子ノード（ｌｏ枝及びｈｉ枝でそれぞれ指すノード）のアドレスがｌｏ及びｈｉに格納されている。また、ラベルが表すアイテムに対応するアイテムセルのアドレスがｉｔｅｍに格納されている。同一のアイテムセルのアドレスがｉｔｅｍに格納されているノードセル同士は、ｕｐ，ｄｏｗｎによって連結された二重連結リストを構成する。

図１０に示すＺＤＤ（つまり、図１に示す二値行列で表現される厳密被覆問題）から作成したデータ構造の一例を図１１に示す。図１１の上段にあるａ～ｆまでの文字が記載された横長の長方形がアイテムセルを表しており、文字が記載されていない左上にある横長の長方形がＨＥＡＤを表している。一方で、縦長の長方形がノードセルを表している。

ＤＬＸで用いられるデータ構造と同様に、ＨＥＡＤからｌｅｆｔ又はｒｉｇｈｔを繰り返すことで到達できるアイテムセルは、アイテムの集合Ｄを二重連結リストとして表現したものであることがわかる。また、ノードセル中の文字は、そのノードセルのｉｔｅｍに格納されているアドレスが指すアイテムセルに対応するアイテムを表現している。

あるノードセルから右方向に伸びている、別のノードセルを指す実線及び破線の矢印はそれぞれ当該ノードセルのｈｉ枝及びｌｏ枝を表現している。また、同じ文字が記載されたノードセル間を繋ぐ矢印は、ｕｐ及びｄｏｗｎを表現している。更に、あるノードセルから左方向に伸びている、別のノードセルを指す矢印はｐａｒｅｎｔｓに格納されているアドレスが指す親ノードとその親ノードからｈｉ枝又はｌｏ枝のいずれで指されているかを表現しており、実線はｈｉ枝、破線はｌｏ枝で指されていることを表している。なお、ｈｉ枝又はｌｏ枝を表す矢印が存在すれば、その逆向きの矢印も存在する。

ノードセルと、そのｈｉ枝及びｌｏ枝をそれぞれ表す矢印とを取り出すと、図１０に示すＺＤＤと一致するグラフが得られることがわかる。

ｐｌｅｎ，ｌｌｅｎ，ｈｌｅｎは図１１中では省略されているが、例えば、文字ｃが記載されている２つのノードセルのうち、下段にあるノードセルのｐｌｅｎ，ｌｌｅｎ，ｈｌｅｎの値はそれぞれ１，１，２となる。

ステップＳ１０３：次に、厳密被覆計算部２０３は、上記のステップＳ１０２で作成されたデータ構造を用いて、厳密被覆計算処理によって厳密被覆問題のすべての解を探索する。この厳密被覆計算処理のアルゴリズムを図１２に示す。このアルゴリズムはＤＬＸのアルゴリズムといくつかの点で共通する。

図１２に示すように、まず、厳密被覆計算部２０３は、引数Ｒ＝φとして、再帰関数であるＳｅａｒｃｈＺＤＤ（φ）を呼び出す（１７行目）。Ｒは再帰的なＳｅａｒｃｈＺＤＤの呼び出し時点で選択されているオプションの集合を表し、初期状態では空集合である。

ＳｅａｒｃｈＺＤＤ（Ｒ）を呼び出すと、厳密被覆計算部２０３は、アイテムセルの二重連結リストが空であるかどうかを判定し、空であれば現在のＲを厳密被覆問題の解として出力する（２行目）。一方で、空でない場合、厳密被覆計算部２０３は、ＭＲＶヒューリスティックによりアイテムｉを選択し（３行目）、ＣｏｖｅｒＺＤＤ（ｉ）を呼び出し（４行目）、ｐ←ｄｏｗｎ（ｉ）によりポインタｐを初期化する（５行目）。その後、厳密被覆計算部２０３は、ｐ≠ｉである間、７行目～１５行目の繰り返しを実行した後（６行目）、ＵｎｃｏｖｅｒＺＤＤ（ｉ）を呼び出す（１６行目）。なお、ＣｏｖｅｒＺＤＤ及びＵｎｃｏｖｅｒＺＤＤの詳細については後述する。

７行目～１５行目の繰り返しでは、Ｘ←ＮｅｘｔＯｐｔｉｏｎ（ｐ）として、各Ｘに対して８行目～１４行目の繰り返しを実行した後（７行目）、ｐ←ｄｏｗｎ（ｐ）によりｐを更新する（１５行目）。ここで、ＮｅｘｔＯｐｔｉｏｎ（ｐ）は、ＺＤＤの根ノードからｈｉ枝又はｌｏ枝を辿って第２の終端ノードに到達するまでの経路のうち、ノードセルｐに対応するＺＤＤノードのｈｉ枝を通過する経路に対応するオプションを１つ取り出す関数又はサブルーチンである。なお、このような経路に対応するオプションが取り出せない場合（つまり、既に取り出し終わった場合や存在しない場合）、厳密被覆計算部２０３は、８行目～１４行目の繰り返しを抜ける。

８行目～１４行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、オプションＸをＲに追加し（８行目）、ｊ≠ｉなるｊ∈Ｘに対してＣｏｖｅｒＺＤＤ（ｊ）を繰り返した後（９行目～１０行目）、ＳｅａｒｃｈＺＤＤ（Ｒ）を再帰的に呼び出し（１１行目）、その後、ｊ≠ｉなるｊ∈Ｘに対してＵｎｃｏｖｅｒＺＤＤ（ｊ）を繰り返した後（１２行目～１３行目）、ＲからＸを削除する（１４行目）。

なお、９行目～１０行目はｉ以外のアイテムｊがオプションＸに含まれる場合、ＣｏｖｅｒＺＤＤ（ｊ）を実行することを意味し、その結果、オプションの集合を表すＺＤＤから、Ｘに含まれるいずれかのアイテムを含むオプションがすべて削除されることになる。また、１２行目～１３行目はＣｏｖｅｒＺＤＤ（ｊ）を実行したｊ∈Ｘに対してＵｎｃｏｖｅｒＺＤＤ（ｊ）を実行することを意味し、ＣｏｖｅｒＺＤＤ（ｊ）で削除されたオプションが復元されることになる。

次に、ＣｏｖｅｒＺＤＤ及びＵｎｃｏｖｅｒＺＤＤのアルゴリズムを図１３に示す。ＤＬＸのＣｏｖｅｒ及びＵｎｃｏｖｅｒと同様に、ＣｏｖｅｒＺＤＤ及びＵｎｃｏｖｅｒＺＤＤは、データ構造中の二重連結リストの操作によって、オプションの集合を表現するＺＤＤからオプションの削除及び復元を実現する。

ＣｏｖｅｒＺＤＤ（ｉ）について説明する。図１３に示すように、厳密被覆計算部２０３は、上述した削除操作を行ってアイテムｉに対応するアイテムセルを、アイテムセルの二重連結リストから削除し（２行目～３行目）、ｐにｄｏｗｎ（ｉ）を代入すると共にＲを空のリストに初期化する（４行目）。その後、厳密被覆計算部２０３は、ｐ≠ｉである間、Ｒ←Ｒ∪｛ｐ｝とｐ←ｄｏｗｎ（ｐ）とを繰り返す（５行目～７行目）。この５行目～７行目の繰り返しにより、Ｒは、アイテムセルｉからｄｏｗｎを繰り返し辿ることで到達可能なノードセルの集合となる。

次に、厳密被覆計算部２０３は、ＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）とＣｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）を実行した後（８行目～９行目）、各ｐ∈Ｒに対して１１行目～１６行目の繰り返しを実行する（１０行目）。ＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）及びＣｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）では、Ｒに含まれるノードセルのｈｉ枝がＺＤＤから削除されたものとみなして、各ノードセルのｐｌｅｎ，ｌｌｅｎ，ｈｌｅｎの値を更新する処理を行う。また、その結果としてｐｌｅｎ，ｈｌｅｎの値がゼロとなるノードセルがあれば、そのノードセルを二重結合リストから削除する操作を行う。なお、ＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）及びＣｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）の詳細については後述する。

１１行目～１６行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、各（ｑ，ｔ）∈Ｐａｒｅｎｔｓ（ｐ）に対して１２行目～１４行目の繰り返しを実行した後（１１行目）、Ｐａｒｅｎｔｓ（ｈｉ（ｐ））から（ｐ，ＨＩ）を削除すると共にＰａｒｅｎｔｓ（ｌｏ（ｐ））から（ｐ，ＬＯ）を削除する（１５行目～１６行目）。ここで、Ｐａｒｅｎｔｓ（ｐ）はノードセルｐが持つｐａｒｅｎｔｓを表し、（ｑ，ｔ）は親ノードに対応するノードセルｑ（のアドレス）と親ノードからｌｏ枝又はｈｉ枝のいずれで指されているかを示す情報ｔとの組である。また、ｌｏ（ｐ）及びｈｉ（ｐ）は、それぞれノードセルｐに対応するＺＤＤノードがｌｏ枝及びｈｉ枝で指すノード（子ノード）のノードセルを表す。また、ＨＩはｈｉ枝であることを示す定数、ＬＯはｌｏ枝であることを示す定数である。

１２行目～１４行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、（ｑ，ｔ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｌｏ（ｐ））に追加した後（１２行目）、ｔ＝ＬＯであればｌｏ（ｑ）←ｌｏ（ｐ）とし（１３行目）、そうでなければｈｉ（ｑ）←ｌｏ（ｐ）とする（１４行目）。

ＵｎｃｏｖｅｒＺＤＤ（ｉ）について説明する。図１３に示すように、厳密被覆計算部２０３は、上述した復元操作を行ってアイテムセルｉを、アイテムセルの二重連結リストに復元し（１８行目～１９行目）、ｐにｄｏｗｎ（ｉ）を代入すると共にＲを空のリストに初期化する（２０行目）。その後、厳密被覆計算部２０３は、ｐ≠ｉである間、Ｒ←Ｒ∪｛ｐ｝とｐ←ｄｏｗｎ（ｐ）とを繰り返す（２１行目～２３行目）。この２１行目～２３行目の繰り返しにより、Ｒは、アイテムセルｉからｄｏｗｎを繰り返し辿ることで到達可能なノードセルの集合となる。

次に、厳密被覆計算部２０３は、各ｐ∈Ｒに対して２５行目～３０行目の繰り返しを実行した後（２４行目）、ＵｎｃｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）とＵｎｃｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）を実行する（３１行目～３２行目）。ただし、２４行目では、厳密被覆計算部２０３は、ＣｏｖｅｒＺＤＤの１０行目でｐ∈Ｒにアクセスしたときの逆順でｐ∈Ｒにアクセスする。ＵｎｃｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）及びＵｎｃｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）はそれぞれＣｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）及びＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）で行った操作を取り消す処理を行う。なお、ＵｎｃｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）及びＵｎｃｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）の詳細については後述する。

２５行目～３０行目を繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、（ｐ，ＨＩ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｈｉ（ｐ））に追加すると共に（ｐ，ＬＯ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｌｏ（ｐ））に追加し（２５行目～２６行目）、各（ｑ，ｔ）∈Ｐａｒｅｎｔｓ（ｐ）に対して２８行目～３０行目を繰り返す（２７行目）。

２８行目～３０行目を繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、（ｑ，ｔ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｌｏ（ｐ））から削除した後（２８行目）、ｔ＝ＬＯであればｌｏ（ｑ）←ｐとし（２９行目）、そうでなければｈｉ（ｑ）←ｐとする（３０行目）。

次に、ＣｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）及びＵｎｃｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）のアルゴリズムを図１４に示す。ＣｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）は、Ｒに含まれるノードセルのｈｉ枝がＺＤＤから削除されたものとみなして、当該ノードセルからｌｏ枝又はｈｉ枝を辿って到達可能なノードセルのｐｌｅｎの値を更新する処理である。また、ｐｌｅｎの値の更新によってその値がゼロになった場合、そのノードセルに他のセルから到達不能とするための操作を行う。一方で、ＵｎｃｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）はＣｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）で行われた計算や操作を取り消す処理である。

ＣｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）について説明する。図１４に示すように、厳密被覆計算部２０３は、Ｒに含まれるノードセルに対応するＺＤＤノードの子孫ノード（つまり、子ノード以下のＺＤＤノード）をトポロジカル順序に従ってＶに格納し（２行目）、各ｐ∈Ｖに対して４行目～１２行目の繰り返しを実行する（３行目）。

４行目～１２行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、ｌ←ｐｌｅｎ（ｐ）とした後（４行目）、Ｒに含まれるすべてのｑでｈｉ枝が削除されたと仮定してｐｌｅｎ（ｐ）を更新する（５行目）。また、厳密被覆計算部２０３は、ｉ←ｉｔｅｍ（ｐ）とｌｅｎ（ｉ）←ｌｅｎ（ｉ）－（ｌ－ｐｌｅｎ（ｐ））・ｈｌｅｎ（ｐ）と更新する（６行目～７行目）。そして、厳密被覆計算部２０３は、５行目の更新によってｐｌｅｎ（ｐ）＝０となった場合、ｄｏｗｎ（ｕｐ（ｐ））←ｄｏｗｎ（ｐ）とｕｐ（ｄｏｗｎ（ｐ））←ｕｐ（ｐ）と更新し、（ｐ，ＨＩ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｈｉ（ｐ））から削除すると共に（ｐ，ＬＯ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｌｏ（ｐ））から削除する（８行目～１２行目）。９行目～１２行目の操作により、ノードセルｐが他のセルから到達不能となる。

ＵｎｃｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）について説明する。図１４に示すように、厳密被覆計算部２０３は、Ｒに含まれるノードセルに対応するＺＤＤノードの子孫ノードをトポロジカル順序に従ってＶに格納すると共にＨを空のリストとし（１４行目～１５行目）、各ｐ∈Ｖに対して１７行目～２１行目の繰り返しを実行した後（１６行目）、各ｐ∈Ｈに対して２３行目～２６行目の繰り返しを実行する（２２行目）。ただし、２２行目では、Ｈに対してｐを追加しときの逆順で２３行目～２６行目の繰り返しを実行する。

１７行目～２１行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、ｌ←ｐｌｅｎ（ｐ）とした後（１７行目）、Ｒに含まれるすべてのｑでｈｉ枝が復元されたと仮定してｐｌｅｎ（ｐ）を更新する（１８行目）。また、厳密被覆計算部２０３は、ｉ←ｉｔｅｍ（ｐ）とｌｅｎ（ｉ）←ｌｅｎ（ｉ）＋（ｐｌｅｎ（ｐ）－ｌ）・ｈｌｅｎ（ｐ）と更新し（１９行目～２０行目）、ｌ＝０かつｐｌｅｎ（ｐ）＞０である場合はｐをＨに追加する（２１行目）。

２３行目～２６行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、ｄｏｗｎ（ｕｐ（ｐ））←ｐとｕｐ（ｄｏｗｎ（ｐ））←ｐと更新し、（ｐ，ＨＩ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｈｉ（ｐ））に追加すると共に（ｐ，ＬＯ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｌｏ（ｐ））に追加する（２３行目～２６行目）。２３行目～２６行目の操作により、ｐｌｅｎの値がゼロから非ゼロに変化したノードセルｐが他のセルから到達可能となる。

次に、ＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）及びＵｎｃｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）のアルゴリズムを図１５に示す。ＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）は、ＣｏｖｅｒＬｏｗｅｒ（Ｒ）と同様に、Ｒに含まれるノードセルのｈｉ枝がＺＤＤから削除されたものとみなして、当該ノードセルからｌｏ枝又はｈｉ枝を辿って到達可能なノードセルのｌｌｅｎ及びｈｌｅｎの値を更新する処理である。また、ｈｌｅｎの値の更新によってその値がゼロになった場合、そのノードセルに他のセルから到達不能とするための操作を行う。一方で、ＵｎｃｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）はＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）で行われた計算や操作を取り消す処理である。

ＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）について説明する。図１５に示すように、厳密被覆計算部２０３は、Ｒに含まれるノードセルに対応するＺＤＤノードの祖先ノード（つまり、親ノード以上のＺＤＤノード）をトポロジカル順序の逆順に従ってＶに格納すると共にＨを空のリストし（２行目～３行目）、各ｐ∈Ｖに対して５行目～９行目の繰り返しを実行した後（４行目）、各ｐ∈Ｈに対して１１行目～１８行目の繰り返しを実行する（１０行目）。ただし、１０行目では、Ｈに対してｐを追加しときの逆順で１１行目～１８行目の繰り返しを実行する。

５行目～９行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、ｌ←ｈｌｅｎ（ｐ）とした後（５行目）、Ｒに含まれるすべてのｑでｈｉ枝が削除されたと仮定してｈｌｅｎ（ｐ）及びｌｌｅｎ（ｐ）を更新する（６行目。）また、厳密被覆計算部２０３は、ｉ←ｉｔｅｍ（ｐ）とｌｅｎ（ｉ）←ｌｅｎ（ｉ）－ｐｌｅｎ（ｐ）・（ｌ－ｈｌｅｎ（ｐ））と更新し（７行目～８行目）、ｌ＞０かつｈｌｅｎ（ｐ）＞０である場合はｐをＨに追加する（９行目）。

１１行目～１８行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、ｄｏｗｎ（ｕｐ（ｐ））←ｄｏｗｎ（ｐ）とｕｐ（ｄｏｗｎ（ｐ））←ｕｐ（ｐ）と更新し（１１行目～１２行目）、各（ｑ，ｔ）∈Ｐａｒｅｎｔｓ（ｐ）に対して１４行目～１６行目の繰り返しを実行し（１３行目）、（ｐ，ＨＩ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｈｉ（ｐ））から削除すると共に（ｐ，ＬＯ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｌｏ（ｐ））から削除する（１７行目～１８行目）。

１４行目～１６行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、（ｑ，ｔ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｌｏ（ｐ））に追加した後（１４行目）、ｔ＝ＬＯであればｌｏ（ｑ）←ｌｏ（ｐ）とし（１５行目）、そうでなければｈｉ（ｑ）←ｌｏ（ｐ）とする（１６行目）。

ＵｎｃｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）について説明する。図１５に示すように、厳密被覆計算部２０３は、現在実行しているＵｎｃｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）に対応するＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）で作成されたノードリスト（つまり、当該ＣｏｖｅｒＵｐｐｅｒ（Ｒ）で作成されたＨ）をＨとし（２０行目）、各ｐ∈Ｈに対して２２行目～２９行目の繰り返しを実行する（２１行目）。その後、厳密被覆計算部２０３は、Ｒに含まれるノードセルに対応するＺＤＤノードの祖先ノードをトポロジカル順序の逆順に従ってＶに格納し（３０行目）、各ｐ∈Ｖに対して３２行目～３５行目の繰り返しを実行する（３１行目）。

２２行目～２９行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、ｄｏｗｎ（ｕｐ（ｐ））←ｐとｕｐ（ｄｏｗｎ（ｐ））←ｐと更新し（２２行目～２３行目）、各（ｑ，ｔ）∈Ｐａｒｅｎｔｓ（ｐ）に対して２５行目～２７行目の繰り返しを実行した後（２４行目）、（ｐ，ＨＩ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｈｉ（ｐ））に追加すると共に（ｐ，ＬＯ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｌｏ（ｐ））に追加する（２８行目～２９行目）。

２５行目～２７行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、（ｑ，ｔ）をＰａｒｅｎｔｓ（ｌｏ（ｐ））から削除した後（２５行目）、ｔ＝ＬＯであればｌｏ（ｑ）←ｐとし（２６行目）、そうでなければｈｉ（ｑ）←ｐとする（２７行目）。

３２行目～３５行目の繰り返しでは、厳密被覆計算部２０３は、ｌ←ｈｌｅｎ（ｐ）とした後（３２行目）、Ｒに含まれるすべてのｑでｈｉ枝が復元されたと仮定してｈｌｅｎ（ｐ）及びｌｌｅｎ（ｐ）を更新する（３３行目。）また、厳密被覆計算部２０３は、ｉ←ｉｔｅｍ（ｐ）とｌｅｎ（ｉ）←ｌｅｎ（ｉ）＋ｐｌｅｎ（ｐ）・（ｈｌｅｎ（ｐ）－ｌ）と更新する（３４行目～３５行目）。

ステップＳ１０４：最後に、計算結果出力部２０４は、上記のステップＳ１０３で計算された解を予め決められた任意の出力先に出力する。

＜まとめ＞
以上のように、本実施形態に係る厳密被覆計算装置１０は、ＺＤＤで表現された厳密被覆問題を入力として、ＤＬＸに基づくアルゴリズムにより、その解を効率的に計算することができる。これは、ＤＬＸは集合族の大きさに比例する計算時間が必要である一方で、本実施形態に係る厳密被覆計算装置１０は、集合族を効率よく圧縮した表現であるＺＤＤを入力とするため、当該集合族に含まれる集合数が膨大であった場合でも高速に解を探索することが可能なためである。

本発明は、具体的に開示された上記の実施形態に限定されるものではなく、請求の範囲の記載から逸脱することなく、種々の変形や変更、既知の技術との組み合わせ等が可能である。

１０ 厳密被覆計算装置
１０１ 入力装置
１０２ 表示装置
１０３ 外部Ｉ／Ｆ
１０３ａ 記録媒体
１０４ 通信Ｉ／Ｆ
１０５ プロセッサ
１０６ メモリ装置
１０７ バス
２０１ 問題入力部
２０２ 入力形式作成部
２０３ 厳密被覆計算部
２０４ 計算結果出力部

Claims (6)

1. 厳密被覆問題の解を計算する厳密被覆計算方法であって、
   前記厳密被覆問題の対象となる集合と、前記集合の部分集合で構成される集合族とのゼロサプレス型二分決定グラフ表現を入力する入力手順と、
   前記ゼロサプレス型二分決定グラフ表現に基づいて、所定のデータ構造のデータを作成する作成手順と、
   前記データを用いて、ＤＬＸに基づく探索アルゴリズムにより、前記厳密被覆問題の解を計算する計算手順と、
   をコンピュータが実行する厳密被覆計算方法。
2. 前記作成手順は、
   前記集合に含まれるアイテムを表すアイテムセルの二重連結リストと、前記集合族を表現するゼロサプレス型二分決定グラフのノードを表すノードセルとで構成されるデータ構造のデータを作成する、請求項１に記載の厳密被覆計算方法。
3. 前記作成手順は、
   前記二重連結リストと、前記集合族を表現するゼロサプレス型二分決定グラフのノード間の関係を表すポインタと前記ゼロサプレス型二分決定グラフの特定のノード間の経路の数が格納される変数とを持つノードセルとで構成されるデータ構造のデータを作成する、請求項２に記載の厳密被覆計算方法。
4. 前記計算手順は、
   ＤＬＸのＣｏｖｅｒ手続きとＵｎｃｏｖｅｒ手続きをゼロサプレス型二分決定グラフにそれぞれ拡張したＣｏｖｅｒＺＤＤ手続きとＵｎｃｏｖｅｒＺＤＤを含む探索アルゴリズムにより、前記厳密被覆問題の解を計算する、請求項１乃至３の何れか一項に記載の厳密被覆計算方法。
5. 厳密被覆問題の解を計算する厳密被覆計算装置であって、
   前記厳密被覆問題の対象となる集合と、前記集合の部分集合で構成される集合族とのゼロサプレス型二分決定グラフ表現を入力する入力部と、
   前記ゼロサプレス型二分決定グラフ表現に基づいて、所定のデータ構造のデータを作成する作成部と、
   前記データを用いて、ＤＬＸに基づく探索アルゴリズムにより、前記厳密被覆問題の解を計算する計算部と、
   を有する厳密被覆計算装置。
6. コンピュータに、請求項１乃至４の何れか一項に記載の厳密被覆計算方法を実行させるプログラム。

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