JP7488457B2 - 最適化装置、最適化装置の制御方法及び最適化装置の制御プログラム - Google Patents
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Description
また、1つの実施態様では、最適化装置の制御プログラムが提供される。
(第1の実施の形態)
図1は、第1の実施の形態の最適化装置の一例を示す図である。
イジング型のエネルギー関数(H({x}))は、たとえば、以下の式(1)で定義される。
M-H法では、詳細つり合いの原理(式(5))を満たす遷移確率として、以下の式(6)が用いられる。
磁性体などの物理系についての問題を扱う場合、ボルツマン分布を使わざるを得ない。なぜならば、熱平衡状態がexp(-βE)の統計分布にしたがうからである。物理法則を満たさない系の動的挙動のシミュレーションに意味はないからである。また、ヘルムホルツ自由エネルギーやギブス自由エネルギーなど、系の熱力学的挙動にエントロピー効果が重要な役割を果たす場合は、エントロピーの効果を適切に取り入れるため、使用可能な遷移確率分布にも制約がかかる。
このとき確率行列は、以下の式(11)のように定義される。
なお、上記式(9)~式(13)までの定式化は、イジング型の評価関数のように状態変数が0か1の値である場合(エネルギーが離散的となる場合)について行ったが、状態変数が連続変数である場合(エネルギーが連続関数となる場合)に対しても適用できる。以下にその理由を簡単に示す。連続変数が用いられる場合、エネルギーの区間[E0,E1]に対して、微小区間[Ei,Ei+ΔE]における遷移確率は変わらないとして、Eiにおける遷移確率が用いられる。そして、[Ei,Ei+ΔE]の状態から[Ej,Ej+ΔE]への遷移確率をf(ΔE)=f(Ej-Ei)とすれば、離散モデルであるイジング型の評価関数を用いた場合と、全く同じ計算となる。なお、証明の本質部分は同じであるため、状態変数が連続変数である場合についての証明を省略する。
なお、用いられる遷移確率分布は、エネルギー差が大きいほど、ボルツマン分布よりも遷移確率が大きくなる分布であればよいが、用途によって遷移確率分布を使い分けることが望ましい。たとえば、計算量の観点で言えば、式(14)、及び式(15)において、ΔE≫1の領域では近似的に、f(ΔE)≒(βΔE)-mのように、mで定義されるべき関数になる。m=1+δの場合、δを十分小さくとることで漸近的に以下の式(17)のようになる。
M-H法ではΔE<0となる状態遷移は受諾され、エネルギーが上がる状態遷移についても確率的に受諾される。M-H法の性質上、ΔE≒0の領域の状態遷移が受諾されすぎるとエネルギーが上がる方向と下がる方向が均等化してしまう。その結果としてエネルギー探索能力が下がってしまう。
処理部12は、問題情報を取得する(ステップS1)。問題情報は、たとえば、式(1)に示したエネルギー関数の重み係数(Wij)、バイアス係数(bi)、定数(C)などを含む。問題情報は、使用する遷移確率分布の情報(前述の式(14)~式(16)のm1~m3の値などを含む)や、温度情報(たとえば、逆温度(β))、エネルギー関数に含まれる状態変数の値、MCMC計算の終了条件となる計算回数などを含んでいてもよい。問題情報は、外部から供給されてもよいし、記憶部11に予め記憶されていてもよい。
(第2の実施の形態)
図3は、第2の実施の形態の最適化装置のハードウェアの一例を示す図である。
図4は、第2の実施の形態の最適化装置の機能例を示すブロック図である。
最適化装置20は、記憶部30、処理部31を有する。処理部31は、制御部31a、設定読込部31b、問題設定部31c、ハミルトニアン計算部31d、エネルギー差計算部31e、乱数発生部31f、遷移確率計算部31g、MCMC計算実行部31h、SA実行部31i、レプリカ交換実行部31jを有する。さらに、処理部31は、エネルギー更新部31k、結果出力部31l、λアニール部31m、パラメータ最適化部31nを有する。
エネルギー情報は、計算されたエネルギーの初期値や、これまで計算されたエネルギーを最小値から小さい順にNrank個含む。また、エネルギー情報は、Nrank個のエネルギーに対応した各状態変数の値のNrank個の組合せを含んでいてもよい。スピン情報は、各状態変数の値を含む。レプリカ情報は、レプリカ交換法を実行するために用いられる情報であり、レプリカ数などを含む。温度情報は、温度パラメータの値(以下、単に温度という)または逆温度を含む。問題設定情報は、たとえば、使用する最適化方法(SA法、レプリカ交換法など)、レプリカ交換やアニーリングの頻度、サンプリング頻度、温度変更スケジュール、使用する遷移確率分布の情報、計算終了条件となるMCMC計算の計算回数などを含む。ハミルトニアン情報は、たとえば、式(1)に示したエネルギー関数の重み係数(Wij)、バイアス係数(bi)、定数(C)などを含む。
設定読込部31bは、記憶部30から上記の各種情報を、制御部31aが理解可能な形式で読み込む。
ハミルトニアン計算部31dは、エネルギーを計算する。
エネルギー差計算部31eは、状態変数の値が反転されることによるエネルギー差を計算する。
MCMC計算実行部31hは、計算された遷移確率分布の値にしたがって、選択された状態変数の値を更新するか否かを判定するなどのMCMC計算を行う。
レプリカ交換実行部31jは、レプリカ交換法を実行するため、後述の交換確率に基づいて、レプリカ間で温度を交換する。
結果出力部31lは、MCMC計算の現在の計算回数が、計算終了条件となる所定の回数(以下、NEとする)に達した場合に、エネルギー情報を計算結果として出力する。なお、結果出力部31lは、NEよりも少ない計算回数(以下NIとする)のたびに、その時点で計算されたエネルギーと、そのエネルギーに対応する各状態変数の値を出力してもよい。その場合、最適化装置20は、サンプリング装置として機能し、NIはサンプリング頻度となる。
パラメータ最適化部31nは、後述の方法により、各種パラメータを最適化する処理を行う。
処理が開始すると、まず、設定読込部31bが、記憶部30から上記の各種情報を、制御部31aが理解可能な形式で読み込む(ステップS10)。読み込まれる情報の例については後述する。その後、問題設定部31cは、状態変数の初期化とエネルギーの初期値の計算を含む初期化処理を行う(ステップS11)。そして、制御部31aは、たとえば、記憶部30から読み込まれた問題設定情報にパラメータ最適化処理を行うことを指示する情報が含まれているか否かを判定する(ステップS12)。制御部31aが、パラメータ最適化処理を行うことを指示する情報が含まれていると判定した場合、ステップS24の処理が行われる。
(情報読込処理の例)
図6は、情報読込処理の一例の処理の流れを示すフローチャートである。
(初期化処理の例)
イジングモデルにおいて、スピン(状態変数)の初期化は重要である。以下に示す初期化処理の例では、問題設定部31cは、4通りのスピン初期化法(“External”、“Random”、“One”、“Zero”)の何れかを行うものとしている。
たとえば、まず問題設定部31cは、スピン初期化法が“External”であるか否かを判定する(ステップS50)。問題設定部31cは、スピン初期化法が“External”であると判定した場合、最適化装置20の外部から取得した状態変数をスピン情報の初期値として設定する(ステップS51)。
(M-H計算処理の例)
図8は、M-H計算処理の一例の処理の流れを示すフローチャートである。
そして、エネルギー差計算部31eは、反転候補の状態変数の値を反転させる場合のエネルギー差(ΔE)を計算する(ステップS61)。反転候補の状態変数の識別番号がkである場合、エネルギー差は、ΔEk=-(1-2xk)hkである。hkは、式(2)により表されるローカルフィールドである。
MCMC計算実行部31hは、ステップS64の処理で、f(ΔE)<Rであると判定した場合、またはステップS66の処理後、1回のM-H計算処理を終える。
(エネルギー更新処理の一例)
図9は、エネルギー更新処理の一例の処理の流れを示すフローチャートである。
(アニーリング処理の一例)
図10は、アニーリング処理の一例の処理の流れを示すフローチャートである。
図11は、SA処理の一例の処理の流れを示すフローチャートである。
SA実行部31iは、MOD(NC,NA)=0であるか否かを判定する(ステップS100)。NCは現在の計算回数(ステップ数)であり、NAは、アニーリングの頻度を示すステップ数である。ステップS100の処理では、NCがNAの倍数であるか否かが判定される。SA実行部31iは、MOD(NC,NA)=0でないと判定した場合、SA処理を終了する。
図11の例では、4つの温度変更スケジュールの例が示されている。“inv”は、温度(T)を、NCに反比例させて減少させる温度変更スケジュールである。“invroot”は、Tの値を、NCの平方根に反比例させて減少させる温度変更スケジュールである。“exp”は、Tの値を、指数型スケジュールで減少させる温度変更スケジュールである。“list”は、Tの値を、リスト(任意に与えられたステップ数とTの値との組)にしたがって変化(減少)させる温度変更スケジュールである。
(λアニール処理の一例)
λアニール法では、エネルギー関数として、H(λ)=(1-λ)HA+λHBが用いられる。
λアニール部31mは、MOD(NC,NA)=0であるか否かを判定する(ステップS110)。NCは現在の計算回数(ステップ数)であり、NAは、アニーリングの頻度を示すステップ数である。ステップS110の処理では、NCがNAの倍数であるか否かが判定されている。λアニール部31mは、MOD(NC,NA)=0でないと判定した場合、λアニール処理を終了する。
(レプリカ交換処理の一例)
図13は、レプリカ交換処理の一例の処理の流れを示すフローチャートである。
図14は、レプリカ交換を行うペアのレプリカ番号の決定方法の一例を示す図である。
ステップS126の処理では、レプリカ交換実行部31jは、id=jのペアに対して、式(19)の交換確率にしたがって、レプリカ交換を実行するか否かを判定する。たとえば、レプリカ交換実行部31jは、式(19)のf(βiΔE)と、0≦R≦1の一様乱数Rとの比較結果に基づいて、f(βiΔE)≧Rであるならば、レプリカ交換実行部31jは、レプリカ交換を実行すると判定する。f(βiΔE)≧Rでないならば、レプリカ交換実行部31jは、レプリカ交換を実行しないと判定する。
図15は、サンプル出力処理の一例の処理の流れを示すフローチャートである。図15では、レプリカ交換処理が行われる場合の、サンプル出力処理の例が示されている。
その後、結果出力部31lは、r=Nrであるか否かを判定する(ステップS135)。Nrはレプリカ数である。結果出力部31lは、r=Nrであると判定した場合、サンプリング出力処理を終了し、r=Nrではないと判定した場合、r=r+1とし(ステップS136)、ステップS132からの処理を繰り返す。
エネルギーの最小値をヒューリスティックに求める場合、計算者は最適な計算結果を最小計算回数または最小時間で知りたい。しかし、用いる遷移確率分布によっては解が極小値にトラップされ、簡単には脱出できない場合もある。その場合、結果としてエネルギー空間上を広くサンプリングできず(サンプリング効率が悪化し)、最小値または次善の解の求解精度と速度が悪化する。このため、最小値求解問題を計算する際には、遷移確率分布の選択が重要である。
図16の例では、サンプリング結果の分散が大きく(サンプリング範囲が広く)、よりエネルギーが低い領域を探索できるのは、Tempered Gaussian型の遷移確率分布を用いた場合である。
図17は、温度を変更したときの2種類の遷移確率分布を用いた場合のサンプリング結果の比較例を示す図である。図17では、温度を1.0と変えた以外は、図16と同じ条件のTempered Gaussian型の遷移確率分布と、Power law型の遷移確率分布を用いた場合のサンプリング結果が示されている。
一方で、最適な遷移確率分布の選択や、最適なパラメータの推定を行うための手続きは煩雑である。最小値求解問題の本計算をする前に、使用する遷移確率分布やパラメータを変えながら多数回の計算を行うことになるためである。
パラメータ最適化部31nは、最適化対象の遷移確率分布の関数名を、記憶部30から読み込む(ステップS140)。たとえば、式(14)で表される遷移確率分布の関数名は“Power law”、式(15)で表される遷移確率分布の関数名は“Hyperbolic”、式(16)で表される遷移確率分布の関数名は“Tempered-Gaussian”などと指定される。また、ユーザが指定する遷移確率分布が読み込まれる場合、“User-Defined”などと関数名が指定される。パラメータ最適化部31nは、“User-Defined”を読み込む場合、(ΔEi,f(ΔEi))の組合せも読み込み、0≦f(ΔEi)≦1を満たすように、各組合せによる各点を滑らかに繋いでいく。このときパラメータ最適化部31nは、たとえば、キュービックスプラインなどを用いることができる。なお、パラメータ最適化部31nは、ΔEiの最大値が与えられていて、読み込まれたΔEiがその最大値より大きい場合は、f(ΔEi)=0とする。
図19は、評価値の出力例を示す図である。
以上のような第2の実施の形態の最適化装置20によれば、第1の実施の形態の最適化装置10と同様に以下の効果が得られる。
以下、上記効果を示すために、最適化装置20による巡回セールスマン問題の計算例を示す。
計算対象の問題として、上記のような巡回セールスマン問題を採用したのは以下の理由による。巡回セールスマン問題は、物理の問題ではないため、ボルツマン分布に縛られる必要がないという点が1つ目の理由である。また、巡回セールスマン問題は、イジングモデルに変換できるという点が2つ目の理由である。また、式(23)において2次の項の相互作用の強さがバラバラであり、遠く離れたスピン間(状態変数間)の相互作用も強いという点が3つ目の理由である。さらに、拘束条件がペナルティ項として式(23)に含まれるため、ペナルティ付のイジングモデル(外場ありのイジングモデル)として理想的であるという点が4つ目の理由である。
図24は、Power law型の遷移確率分布を用いた場合の各レプリカにおける温度の遷移の計算結果の一例を示す図である。図24には、レプリカ番号=1~8までの8つのレプリカのそれぞれにおける、温度(T)の遷移の計算結果が示されている。横軸はステップ数を表し、縦軸はTであり、正の実数を表す。
図26は、ボルツマン分布とPower law型の遷移確率分布を用いた場合のレプリカ交換法の計算結果の一例を示す図である。また、図27は、図26の計算結果において、エネルギーが小さい領域を拡大した図である。図26、図27において、横軸はステップ数を表し、縦軸はエネルギー(E)を表す。
計算結果40は、たとえば、非特許文献1に示されているようなデジタル回路を用いて並列試行を行う装置を用いた場合の計算結果である(SA法とダイナミックオフセット法を適用している)。試行数(前述のNEに対応)は、2億回である。
使用したエネルギー関数は、非特許文献3に記載されている以下の式(24)で表される。
図30から明らかなように、ボルツマン分布を遷移確率分布とした場合、一度、解が極小値に陥った場合、解が極小値から抜け出すことはない。一方、Power law型の遷移確率分布を用いた場合、極小値から抜け出すことができることが図30から明らかである。また、Power law型の遷移確率分布を用いた場合、図30から明らかなように、一定回数同じ状態に留まるような状態を、少ない計算回数で多数求めることができる。すなわち、多数の極小値が求まるため、最小値以外にも極小値が重要な意味を持つ系では、効率的な解候補を求めることができる。そのような系の代表例として、有機化合物や生体分子などがある。
上記の説明では、図4に示した処理部31は、CPU21が実行するプログラムモジュールを用いて実装できるものとして説明したが、処理部31の各部を、ASICやFPGAなどの特定用途の電子回路により実現するようにしてもよい。
なお、前述のように、上記の処理内容は、最適化装置20にプログラムを実行させることで実現できる。
11 記憶部
12 処理部
Claims (12)
- 問題を変換した評価関数に含まれる状態変数の値を記憶する記憶部と、
現在の前記状態変数の値により表される現在の状態から複数の異なる状態のそれぞれに遷移する確率の和を1に規格化できる関数で表されるとともに、前記状態変数の値が変化することによる前記評価関数の値の変化が正に大きいほど、ボルツマン分布よりも遷移確率が大きくなる遷移確率分布に基づいて、マルコフ連鎖モンテカルロ法により前記状態変数の値を更新する処理を繰り返すことで、前記評価関数の最小値の探索を行う処理部と、
を有する最適化装置。 - 前記遷移確率分布は、前記評価関数の値の変化と逆温度との積に1を加えた値のm(m>1)乗の逆数で表される、請求項1に記載の最適化装置。
- 前記遷移確率分布は、前記評価関数の値の変化と逆温度との積の2乗に1を加えた値のm/2(m>1)乗の逆数で表される、請求項1に記載の最適化装置。
- 前記遷移確率分布は、前記評価関数の値の変化と逆温度との積のm(m>0、ただしm≠1)乗にマイナスを掛けた値の指数関数で表される、請求項1に記載の最適化装置。
- 前記処理部は、前記状態変数の値を更新するたびに前記評価関数の値を計算し、計算した前記評価関数の値のうち、小さい順に複数個の値を前記記憶部に記憶させる、請求項1乃至4の何れか一項に記載の最適化装置。
- 前記処理部は、所定のサンプリング頻度で前記評価関数の値を出力する、請求項1乃至5の何れか一項に記載の最適化装置。
- 前記処理部は、前記状態変数の値を更新する処理の回数の増加に伴って所定のスケジュールにより0から1まで増加するアニーリング変数を用い、1から前記アニーリング変数の値を引いた値と既知の第1のハミルトニアンとの積と、前記アニーリング変数と前記評価関数の値との積との和で表される第2のハミルトニアンを、前記アニーリング変数の各値について計算して計算結果を出力する、請求項1乃至6の何れか一項に記載の最適化装置。
- 前記処理部は、前記アニーリング変数を0から1まで増加させる複数のスケジュールの中から、前記所定のスケジュールを選択する、請求項7に記載の最適化装置。
- 前記処理部は、複数のレプリカのそれぞれに互いに異なる温度パラメータの値を設定し、設定された前記温度パラメータの値と前記遷移確率分布に基づいた交換確率にしたがって前記複数のレプリカ間で前記温度パラメータの値を交換するレプリカ交換法により前記最小値の探索を行う、請求項1乃至8の何れか一項に記載の最適化装置。
- 前記処理部は、前記遷移確率分布に含まれるパラメータの値を変え、各パラメータの値における前記評価関数の値についての評価値を、前記評価関数の前記最小値の探索を行う際の計算時間よりも短い計算時間で計算し、計算結果を出力する、請求項1乃至9の何れか一項に記載の最適化装置。
- 最適化装置の処理部が、
記憶部に記憶されている問題を変換した評価関数に含まれる状態変数の値を取得し、
現在の前記状態変数の値により表される現在の状態から複数の異なる状態のそれぞれに遷移する確率の和を1に規格化できる関数で表されるとともに、前記状態変数の値が変化することによる前記評価関数の値の変化が正に大きいほど、ボルツマン分布よりも遷移確率が大きくなる遷移確率分布に基づいて、マルコフ連鎖モンテカルロ法により前記状態変数の値を更新する処理を繰り返すことで、前記評価関数の最小値の探索を行う、
最適化装置の制御方法。 - 記憶部に記憶されている問題を変換した評価関数に含まれる状態変数の値を取得し、
現在の前記状態変数の値により表される現在の状態から複数の異なる状態のそれぞれに遷移する確率の和を1に規格化できる関数で表されるとともに、前記状態変数の値が変化することによる前記評価関数の値の変化が正に大きいほど、ボルツマン分布よりも遷移確率が大きくなる遷移確率分布に基づいて、マルコフ連鎖モンテカルロ法により前記状態変数の値を更新する処理を繰り返すことで、前記評価関数の最小値の探索を行う、
処理をコンピュータに実行させる最適化装置の制御プログラム。
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