JP7459876B2 - 情報処理装置、情報処理方法、及びプログラム - Google Patents

Description

本発明は、情報処理装置、情報処理方法、及びプログラムに関する。

非特許文献１は、命題論理式（propositional formula）で記述された事象の確率を計算する手法を開示している。非特許文献１では、取り扱う命題変数の数は有限個であると仮定されている。この命題変数群から構成されるいくつかの命題論理式群について、その各命題論理式の表す事象の生起確率の値の上限及び下限が既知であるとき、指定された命題論理式の表す事象の生起確率がとりうる値の上限と下限を求めるという課題が解決される。

セオドア・ハイルペリン（Theodore Hailperin）著、「ベスト・ポッシブル・インイコーリティーズ・フォー・ザ・プロバビリティ・オブ・ア・ロジカル・ファンクション・オブ・イベンツ（Best Possible Inequalities for the Probability of a Logical Function of Events）」、「ジ・アメリカン・マセマティカル・マンスリ（The American Mathematical Monthly）」、７２巻、４号、テイラー・アンド・フランシス（Taylor & Francis）、１９６５年４月、ｐｐ．３４３－３５９ ジーン・ガリアー（Jean H. Gallier）著、「ロジック・フォー・コンピュータ・サイエンス・ファウンデイション・オブ・オートマティック・セオレム・プルーヴィング（Logic for Computer Science: Foundations of Automatic Theorem Proving）」、ドウヴァー出版（Dover Publications）、第２版再出版、２０１５年 カール・ポパー（Karls Popper）著、「ザ・ロジック・オブ・サイエンティフック・ディスカバリ（The Logic of Scientific Discovery）」、ラウトレッジ（Routledge）、第２版、２００２年、ｐｐ．３２９－３５５

しかしながら、非特許文献１にかかる方法は、条件付確率の取りうる値の範囲の計算を想定したものではない。したがって、非特許文献１にかかる方法では、指定された命題論理式が表す事象間の条件付確率群が取りうる値の範囲を計算することができないおそれがあった。

本開示は、上述した課題を鑑み、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方から、指定された条件付確率群の取りうる値の範囲を確実に計算することが可能な情報処理装置、情報処理方法及びプログラムを提供することを目的とする。

本開示にかかる情報処理装置は、取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群を、実数の変数群に変換する変換手段と、命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数を特徴づける第１の一階述語論理式群と、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表した第２の一階述語論理式群とが変換された実数の一階述語論理式群を制約条件として、前記実数の変数群が取り得る値の範囲を計算する計算手段と、を有する。

本開示にかかる情報処理方法は、取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群を、実数の変数群に変換し、命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数を特徴づける第１の一階述語論理式群と、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表した第２の一階述語論理式群とが変換された実数の一階述語論理式群を制約条件として、前記実数の変数群が取り得る値の範囲を計算する。

本開示にかかるプログラムは、取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群を、実数の変数群に変換する処理と、命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数を特徴づける第１の一階述語論理式群と、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表した第２の一階述語論理式群とが変換された実数の一階述語論理式群を制約条件として、前記実数の変数群が取り得る値の範囲を計算する処理と、をコンピュータに実行させる。

本開示によれば、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方から、指定された条件付確率群の取りうる値の範囲を確実に計算することが可能な情報処理装置、情報処理方法及びプログラムを提供できる。

第１の実施の形態にかかる情報処理システムを示すブロック図である。 第１の実施の形態にかかる情報処理システムの動作を示すフローチャートである。 第１の実施の形態にかかる情報処理システムの動作を示すフローチャートである。 第１の実施の形態の具体例にかかる情報処理システムを示すブロック図である。 第１の実施の形態の具体例にかかる情報処理システムの動作を示すフローチャートある。 第１の実施の形態の具体例にかかる情報処理システムの動作を示すフローチャートある。 第１の実施の形態の具体例にかかる出力装置によって表示される判定結果を例示する図である。 第２の実施の形態にかかる情報処理システムを示すブロック図である。 第２の実施の形態にかかる情報処理システムの動作を示すフローチャートある。 第３の実施の形態にかかる情報処理システムを示すブロック図である。 第３の実施の形態にかかる情報処理システムの動作を示すフローチャートある。 第３の実施の形態にかかる近似グラフを例示する図である。 第３の実施の形態かかる計算部の変形例を示す図である。 第４の実施の形態にかかる情報処理装置を示す図である。 第４の実施の形態にかかる情報処理装置によって実行される情報処理方法を示すフローチャートである。

［本開示にかかる実施の形態の概要］
本開示の実施の形態の説明に先立って、本開示にかかる実施の形態の概要について説明する。以下の説明で、「確率」及び「条件付確率」といえば、それぞれ、命題論理式を引数とする確率及び条件付確率であるとする。また、条件付きでない確率（以下、「非条件付確率」）は、条件付確率の特別な場合とみなせる（Ｐ（Ａ）＝Ｐ（Ａ｜Ｔｒｕｅ））。したがって、以下の説明では、条件付確率という概念は、非条件付確率の概念も含むものとする。

（仮定）
本開示では、取り扱う命題変数の数は有限個であると仮定する。この仮定は、本開示がより大きな効果を有するために、必要な仮定であり得る。

（背景技術についての説明）
非特許文献１にかかる方法で解決する問題は、以下のよう定式化される。
Ｘ１，・・・，Ｘｎをすべての命題変数とする。このとき、いくつかの論理式Ａｉ（ｉ＝１，…，Ｉ）に対してその論理式があらわす事象の生起確率Ｐ（Ａｉ）の上限ａｉ及び下限ｂｉ（すなわちａｉ≦Ｐ（Ａｉ）≦ｂｉ）が与えられているとする。このとき、任意に指定された命題論理式Ｂの表す事象の生起確率Ｐ（Ｂ）が取りうる値の最大値及び最小値を求めることを考える。

非特許文献１で提案されている解決方法を、例を用いて説明する。命題変数をＸ１＝Ｘ及びＸ２＝Ｙのみとし、Ａ１＝Ｘ、Ａ２＝Ｙ、ａ１≦Ｐ（Ｘ）≦ｂ１、ａ２≦Ｐ（Ｙ）≦ｂ２、Ｂ＝Ｘ∧Ｙの場合を考える。ここで、「∧」は連言を示す記号である。まず、論理式をＸ∧Ｙ、Ｘ∧￢Ｙ、￢Ｘ∧Ｙ及び￢Ｘ∧￢Ｙの選言（記号は「∨」）を用いて記述する。このとき、ＸおよびＹは、それぞれ（Ｘ∧Ｙ）∨（Ｘ∧￢Ｙ）および（Ｘ∧Ｙ）∨（￢Ｘ∧Ｙ）と記述される。さらにこれを用いて、Ｘ及びＹの生起確率を、それぞれ、Ｐ（Ｘ）＝Ｐ（Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（Ｘ∧￢Ｙ）、及び、Ｐ（Ｙ）＝Ｐ（Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（￢Ｘ∧Ｙ）のように細分化する。そして、Ｐ（Ｘ∧Ｙ）、Ｐ（Ｘ∧￢Ｙ）、Ｐ（Ｘ∧Ｙ）、Ｐ（￢Ｘ∧￢Ｙ）を変数とみなす。すると、解くべき問題は、以下に説明する線形計画問題に帰着される。

Ｐ（Ｂ）＝Ｐ（Ｘ∧Ｙ）の最大値及び最小値を、以下の制約条件のもとで求める。
ａ１≦Ｐ（Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（Ｘ∧￢Ｙ）≦ｂ１、かつ、ａ２≦Ｐ（Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（￢Ｘ∧Ｙ）≦ｂ２、かつ、Ｐ（Ｘ∧Ｙ）≧０、かつ、Ｐ（￢Ｘ∧Ｙ）≧０、かつ、Ｐ（Ｘ∧￢Ｙ）≧０、かつ、Ｐ（￢Ｘ∧￢Ｙ）≧０、かつ、Ｐ（Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（￢Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（Ｘ∧￢Ｙ）＋Ｐ（￢Ｘ∧￢Ｙ）＝１

そして、この線形計画問題を解くと、Ｐ（Ｂ）の取りうる値の最大値及び最小値が求まる。なお、「各変数の取りうる値が非負である」という制約条件、及び「総和が１である」という制約条件は、Ｐを、確率を与える関数とみなせるようにするための条件である。

（本開示が解決しようとする課題についての説明）
非特許文献１にかかる方法は、条件付確率の取りうる値の範囲の計算に拡張され得ない。反例を以下に述べる。

上述したように、命題変数をＸ１＝Ｘ及びＸ２＝Ｙとする。このとき、入力形式を条件付確率まで拡張し、Ｐ（Ｘ｜Ｙ）＝１／２（すなわち１／２≦Ｐ（Ｘ｜Ｙ）≦１／２）かつ１／２≦Ｐ（Ｙ）（すなわち１／２≦Ｐ（Ｙ）≦１）を入力とする。

ここで、求めたい確率として指定できる確率も条件付確率まで拡張し、条件付確率Ｐ（Ｘ｜Ｙ）を再計算して求めることを考える。まず、入力時に非条件付確率を用いてＰ（Ｘ∧Ｙ）＝１／２Ｐ（Ｙ）かつ１／２≦Ｐ（Ｙ）とおく。非特許文献１の開示事項そのものにおいては、Ｐ（Ｘ∧Ｙ）＝１／２Ｐ（Ｙ）のような条件は入力として許容されていない。しかしながら、線形計画問題の制約条件としてＰ（Ｘ∧Ｙ）＝１／２（Ｐ（Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（￢Ｘ∧Ｙ））を追加することで、この条件も満たす非条件付確率を求めることができる。

このとき、非条件付き確率であるＰ（Ｘ∧Ｙ）及びＰ（Ｙ）の確率の取りうる値の範囲は、それぞれ、１／４≦Ｐ（Ｘ∧Ｙ）≦１／２及び１／２≦Ｐ（Ｙ）≦１となる。したがって、Ｐ（Ｘ｜Ｙ）＝Ｐ（Ｘ∧Ｙ）／Ｐ（Ｙ）の上限は、ｍｉｎ｛（Ｐ（Ｘ∧Ｙ）の最大値）／（Ｐ（Ｙ）の最小値），１｝＝ｍｉｎ｛１，１｝＝１となる。同様に、Ｐ（Ｘ｜Ｙ）＝Ｐ（Ｘ∧Ｙ）／Ｐ（Ｙ）の下限は、ｍａｘ｛（Ｐ（Ｘ∧Ｙ）の最小値）／（Ｐ（Ｙ）の最大値），０｝＝１／４となる。しかしながら、これは、入力したＰ（Ｘ｜Ｙ）＝１／２（すなわち１／２≦Ｐ（Ｘ｜Ｙ）≦１／２）に一致しない。一方、本開示では、以下に説明するように、このような問題を解決できるように構成されている。

（定義）
以下、本開示の実施の形態における説明で使用される、いくつかの用語を定義する。
「命題論理式」は、命題変数と呼ばれる記号集合をもとにして、以下のように数学的帰納法を用いて定義される。すなわち、命題変数は命題論理式である。命題論理式Ａの否定￢Ａも命題論理式である。命題論理式ＡとＢに対してその連言Ａ∧Ｂも命題論理式である。以上から構成されるもののみが命題論理式である。なお、以下の説明では、選言Ａ∨Ｂと含意Ａ→Ｂは、それぞれ、￢（￢Ａ∧￢Ｂ）と￢（Ａ∧￢Ｂ）の省略記号とみなす。

また、上記の命題論理式全体を代数系と見たものが論理式代数である。「論理式代数（formula algebra）」とは（ＦＯＲＭ，ＮＯＴ，ＡＮＤ）の組である。ＦＯＲＭは、命題論理式全体から成る集合である。ＮＯＴは、ＦＯＲＭからＦＯＲＭへの関数であって、ＮＯＴ（Ａ）＝￢Ａで定義されるものである。ＡＮＤは、直積ＦＯＲＭ×ＦＯＲＭからＦＯＲＭへの関数であって、ＡＮＤ（Ａ，Ｂ）＝Ａ∧Ｂで定義されるものである。

さらに、論理式代数において、Ａと￢￢Ａのように論理的に同値な（logically equivalent）論理式を同一視した代数は、Ｌｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ（リンデンバウム・タルスキー）代数と呼ばれ、以下のように定義される。すなわち、「Ｌｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数」は、（ＦＯＲＭ／⇔，ＮＯＴ’，ＡＮＤ’）という組で定義される。ここで、「ＦＯＲＭ／⇔」は、論理式全体の論理同値（logical equivalence）の同値関係⇔に関する商集合、すなわち「＝｛［Ａ］｜Ａ∈ＦＯＲＭ｝」、である。ここで、［Ａ］は｛Ｂ｜Ａ⇔Ｂ｝を表す。たとえば、￢￢Ａ（＝Ｂ）はＡと論理的に同値（すなわちＡ⇔￢￢Ａ）であるので、￢￢Ａ（＝Ｂ）は［Ａ］の要素である。一方、￢Ａ（＝Ｂ）は、Ａと論理的に同値でないので、［Ａ］の要素でない。また、「ＮＯＴ’」及び「ＡＮＤ’」は、この商集合ＦＯＲＭ／⇔上の演算であり、それぞれ、ＮＯＴ’（［Ａ］）＝［￢Ａ］、及び、ＡＮＤ’（［Ａ］，［Ｂ］）＝［Ａ∧Ｂ］で定義されている。なお、上述したように、取り扱う命題変数の数は有限個であると仮定したので、Ｌｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数の元の数も有限であり、このことは、以下で述べる説明においても用いられる。

本実施の形態では、命題論理式を引数として持つ条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を、一階述語論理式（first-order formula）で記述する。したがって、本実施の形態において、一階述語論理式は、論理式に関する論理式という一種の２重構造になっている。例えば、任意の命題論理式ｘ及びｙについて、ｙで条件付けされたｘの確率とｙで条件付けされた￢ｘの確率との和は１であることは、「（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（ｙ：ｆｏｒｍ）（Ｐ（ｘ｜ｙ）＋Ｐ（￢ｘ｜ｙ）＝１）」と記述される。この記述形式は、より厳密には、多ソート一階述語論理の言語の具体例として以下のように定義される。なお、以下の定義は、多ソート論理の一般化された（抽象化された）定義を述べている非特許文献２のｐｐ．４３２－４３４をもとに、一部変更して、構成されている。

本実施の形態において、「一階述語論理式」は、命題論理式のソート「ｆｏｒｍ」及び実数のソート「ｒｅａｌ」をソートとする多ソート一階述語論理である。なお、「ソート（ｓｏｒｔ）」とは、種類という意味である。ｆｏｒｍの定数記号は命題論理式である。また、ｆｏｒｍのみに関する（定数記号以外の）関数記号は、命題論理の論理式代数の関数ＮＯＴとＡＮＤにそれぞれ合わせた、「ｎｏｔ」と「ａｎｄ」であり、述語記号は、等号「＝」のみである。ただし、以下の説明で、ｎｏｔ（Ａ）とａｎｄ（Ａ，Ｂ）は、それぞれ、「￢Ａ」および「Ａ∧Ｂ」と記載され得る。ｒｅａｌの定数記号は「０」と「１」である。また、ｒｅａｌのみに関する（定数記号以外の）関数記号は、和と積にそれぞれ対応した「＋」と「・」（積の記号は省略することがある）、述語記号は等号「＝」及び不等号「≦」である。

また、０，１以外の整数及びその逆数、及び有理数を含む論理式は、適切な論理式の省略記法とみなす。また、以降、ｒｅａｌの定数記号、関数記号および述語記号のみをもとに構成される一階述語論理式を、「実数の一階述語論理式」もしくは単に「実数の論理式」と呼ぶ。ｆｏｒｍとｒｅａｌの両方のソートにまたがる関数記号は、２つの命題論理式の組に対してその条件付確率を与える関数を表す記号ｐのみとし、この２つの命題論理式がＡ及びＢと記述されている場合、ｐ（Ａ｜Ｂ）と記述する。なお、両方のソートにまたがる述語記号は取り扱わないものとする。なお、Ｐ（Ａ｜Ｂ）は確率値を表すが、ｐ（Ａ｜Ｂ）は記号列を表すことに注意されたい。また、このように命題論理式ＡとＢを引数として持つｐ（Ａ｜Ｂ）を、「条件付確率を表す閉項」と呼ぶ。

また、論理結合子については、命題論理式の定義と同様に、「∧」および「￢」のみを考え、そのほかの論理結合子は省略記号とみなす。量化子については、ｆｏｒｍ及びｒｅａｌそれぞれについての存在量化子のみを考え、それぞれ「（∃ｆｏｒｍ：ｘ）」及び「（∃ｒｅａｌ：ｘ）」のようにソートをつけて記述する。なお、全称量化子「（∀ｆｏｒｍ：ｘ）」及び「（∀ｒｅａｌ：ｘ）」は、それぞれ「￢（∃ｆｏｒｍ：ｘ）￢」及び「￢（∃ｒｅａｌ：ｘ）￢」の省略記号とする。なお、文脈から明らかな場合は、量化子のソートを省略し、単に「∀」又は「∃」と書くことがある。また、括弧［，］および（，）を読みやすさのための補助記号として適宜使用する。
また、本実施の形態においては、上記で定義した一階述語論理式のうち、ｆｏｒｍの項がｐの引数としてしか現れない一階述語論理式を「条件付確率の論理式」と呼ぶ。したがって、（∃ｘ：ｆｏｒｍ）ｘ＝ｘは条件付確率の論理式ではない。一方、（∃ｘ：ｆｏｒｍ）ｐ（ｘ｜ｘ）＝１は条件付確率の論理式である。

以下の説明では、論理式の変換（写像）を「論理式の構成に関する数学的帰納法」で定義する。これは、論理式の変換先をその部分論理式の変換先で定義する方法である。例えば、以下のように命題論理式の構成ステップごとに条項を与えることで、命題論理式から実数への写像Φを定義する。
Φ（Ｘ）＝１（Ｘは命題変数）、
Φ（Ａ∧Ｂ）＝Φ（Ａ）×Φ（Ｂ）（ＡとＢは命題論理式）、
Φ（￢Ａ）＝１－Φ（Ａ）（Ａは命題論理式）。

また、論理式から論理式への写像を定義するときに「準同型的に変換される」と述べ、以下の条項を省略することがある。
変数記号ｘについては、Ψ（ｘ）＝ｘ、
定数記号を含む関数記号ｆに対して、Ψ（ｆ（ｔ１，・・・，ｔｎ））＝ｆ（Ψ（ｔ１），・・・，Ψ（ｔｎ））（ｔ１，・・・，ｔｎは項）、
述語記号Ｒに対して、Ψ（Ｒ（ｔ１，・・・，ｔｎ））＝Ｒ（Ψ（ｔ１），・・・，Ψ（ｔｎ））（ｔ１，・・・，ｔｎは項）、
論理結合子∧に対して、Ψ（φ∧ψ）＝Ψ（φ）∧Ψ（ψ）（φとψは論理式）、
論理結合子￢に対して、Ψ（￢φ）＝￢Ψ（φ）（φは論理式）、
量化子∃ｘ：ｓｏｒｔに対して、Ψ（（∃ｘ：ｓｏｒｔ）φ）＝（∃ｘ：ｓｏｒｔ）Ψ（φ）（ｓｏｒｔ∈｛ｆｏｒｍ，ｒｅａｌ｝）（φは論理式）。

なお、上記の「命題論理式」および「一階述語論理の論理式」の定義において、「どの記号を定義に組み込み、どの記号を省略記号と考えるか」という選択は、純粋に説明のために選択したものであり、本開示の適用範囲を限定するものではない。

［実施の形態の説明］
以下、本開示の実施の形態について、図面を参照して詳細に説明する。

[第１の実施の形態]
（構成の説明）
図１は、第１の実施の形態にかかる情報処理システム１００を示すブロック図である。図１に示されるように、第１の実施の形態にかかる情報処理システム１００は、条件付確率計算装置１と、入力装置１１と、出力装置１５とを有する。また、第１の実施の形態にかかる条件付確率計算装置１は、変換部１２と、計算部１３と、記憶装置１４とを有する。変換部１２は、入力装置１１と、計算部１３と、記憶装置１４とに接続されている。計算部１３は、変換部１２と、記憶装置１４と、出力装置１５とに接続されている。計算部１３は真偽判定部１３１を含んでいる。

条件付確率計算装置１は、情報処理装置として機能する。つまり、条件付確率計算装置１は、コンピュータで実現され得る。入力装置１１は、例えばキーボード、マウス、タッチパネル等の入力デバイスである。出力装置１５は、例えば、ディスプレイ又は印刷装置等の出力デバイスである。なお、入力装置１１及び出力装置１５は、入出力装置として物理的に一体に構成されてもよい。また、入力装置１１及び出力装置１５の少なくとも一方は、条件付確率計算装置１と物理的に一体に構成されてもよい。例えば、条件付確率計算装置１を実現するコンピュータ（情報処理装置）が、入力装置１１及び出力装置１５を有してもよい。同様に、情報処理システム１００は、１つ又は複数のコンピュータで実現され得る。

記憶装置１４に含まれる情報について以下に説明する。
記憶装置１４は、条件付確率関数を特徴づける条件付確率の論理式群（以下、「条件付確率の定義式群」という）を記憶している。「条件付確率の定義式群」は、命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数（条件付確率関数）を特徴づける条件付確率の論理式群である。「条件付確率の定義式」とは、例えば、（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（∀ｙ：ｆｏｒｍ）Ｐ（ｘ｜ｘ）＝Ｐ（ｙ｜ｙ）という論理式のようなものである。なお、この論理式は、「任意の命題論理式ｘとｙに対してｘのときにｘが起こる確率と、ｙのときにｙが起こる確率は等しい」ことを意味している（実際、これらの確率はともに１であり両者は等しいことが証明される）。

また、記憶装置１４は、適用する対象に関する確率情報（以下、単に「確率情報」という）を表す条件付確率の論理式群（以下、「確率情報を表す論理式群」という）を記憶している。「確率情報を表す論理式群」は、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表した条件付確率の論理式群である。たとえば、「がん診断」を本実施の形態の適用対象とする場合に、記憶装置１４は、「肺がんはがんである」という情報を表す「ｐ（がん｜肺がん）＝１」を記憶する。

また、記憶装置１４は、条件付確率の引数の命題論理式の構成要素として考慮するすべての命題変数（命題変数群）を記憶している。前述したように、この命題変数の数は有限個とする。さらに、記憶装置１４は、自然数（０は含まないものとする）Ｎを記憶している。このＮの逆数が、条件付き確率の評価精度となる。例えばＮ＝１００のときは、百分率を用いて評価結果が記述され得る。

第１の実施の形態にかかる情報処理システム１００の各構成要素は、それぞれ以下のように動作する。入力装置１１は、例えばユーザの操作によって、条件付確率を表す閉項群ｐ（Ａｉ｜Ｂｉ）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）を受け付ける。変換部１２は、条件付確率を表す閉項及び条件付確率の論理式を変換する。この変換は非特許文献１の考え方と関連するため、これに沿って説明する。

入力された条件付確率を表す閉項群ｐ（Ａｉ｜Ｂｉ）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）は、変数Ｖ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）に変換される。ここで、「（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］）」は、添え字の役割を果たしており、「Ｖ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］）」全体で１つの変数を表すものとする。また、［Ａ］は、Ａを含むＬｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数の元である。ただし、このＬｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数は、記憶装置１４に記憶された命題変数群から構成される命題論理式全体に対して、同値な論理式を同一視して得られるＬｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数である。非特許文献１では、同一視の処理は、任意の論理式をＸ∧Ｙ、Ｘ∧￢Ｙ、￢Ｘ∧Ｙ、及び￢Ｘ∧￢Ｙの選言に対応させる形で実現されている。また、変数化は、Ｐ（Ｘ∧Ｙ）、Ｐ（Ｘ∧￢Ｙ）、Ｐ（￢Ｘ∧Ｙ）、及びＰ（￢Ｘ∧￢Ｙ）を線形計画問題の変数とみなすことで実現されている。

非特許文献１では、条件付確率の定義式群は、変数への実数の割り当てを確率値（条件付確率）とみなすために各変数がみたすべき条件に相当する。つまり、条件付確率の定義式群は、取る値が非負であるという制約条件（Ｐ（Ｘ∧Ｙ）≧０など）、又は、総和が１という制約条件（Ｐ（Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（Ｘ∧￢Ｙ）＋Ｐ（￢Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（￢Ｘ∧￢Ｙ）＝１）、などに相当する。第１の実施の形態にかかる変換部１２は、条件付確率の定義式群の量化子を取り除くなどの処理を行うことで、条件付確率の定義式群を「変数への実数の割り当てを条件付確率とみなすための条件」になるように変換する。

例えば、（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（∀ｙ：ｆｏｒｍ）ｐ（ｘ｜ｘ）＝ｐ（ｙ｜ｙ）が、Ｌｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数Ｌの元を用いて、

に変換される。これにより、量化子が取り除かれるとともに、ｐ（ｘ｜ｘ）及びｐ（ｙ｜ｙ）が、それぞれＶ（［Ａ］｜［Ａ］）及びＶ（［Ｂ］｜［Ｂ））という実数の変数に置き換えられる。これにより、条件付確率の定義式群が、全体として実数の変数Ｖ（［Ａ］｜［Ａ］）及びＶ（［Ｂ］｜［Ｂ］）に関する条件式とみなせるようにする。変換部１２は、このような、条件付確率の定義式群から量化子を除去する変換を行う。

確率情報を表す論理式は、非特許文献１における上限と下限を表すａ１≦Ｐ（Ｘ）≦ｂ１又はａ２≦Ｐ（Ｙ）≦ｂ２に相当する。非特許文献１の手法では、上限と下限を、変数Ｐ（Ｘ∧Ｙ）、Ｐ（Ｘ∧￢Ｙ）、Ｐ（￢Ｘ∧Ｙ）、及びＰ（￢Ｘ∧￢Ｙ）に対する制約条件とみなすために、ａ１≦Ｐ（Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（Ｘ∧￢Ｙ）≦ｂ１又はａ２≦Ｐ（Ｘ∧Ｙ）＋Ｐ（￢Ｘ∧Ｙ）≦ｂ２と書き換える。これと同様に、変換部１２は、確率情報を表す論理式を、変数Ｖ（［Ａ］｜［Ｂ］）等の制約条件とみなせるように変換する。たとえば、ｐ（がん｜肺がん）＝１はＶ（［がん］｜［肺がん］）＝１と変換される。なお、非特許文献１の場合は、上限と下限のみ取り扱ったが、変換部１２は、高次方程式又は量化子を含む条件付確率の論理式も変換し得る。

計算部１３は、変換部１２が条件付確率の定義式群と確率情報を表す論理式群を変換して得た関係式を制約条件としたときの、入力された確率を表す閉項群を変換部１２が変換して得た変数群Ｖ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）がとりうる値の範囲を計算する。これは、非特許文献１においては、線形計画問題を解くことと対応する。

しかしながら、本実施の形態で取り扱う問題は、線形計画問題に限られない。後述するように、条件付確率の定義式の例として、（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（∀ｙ：ｆｏｒｍ）（∀ｚ：ｆｏｒｍ）（ｐ（ｘ∧ｙ｜ｚ）＝ｐ（ｘ｜ｙ∧ｚ）ｐ（ｙ｜ｚ））という式がある（非特許文献３のｐ．３３７参照）。この式は、右辺が２次の項となっている。なお、この式は、よく知られた非条件付確率に基づく条件付確率の定義の一般化に相当する。実際、共通の前提条件となっているｚを省略してみるとＰ（ｘ∧ｙ）＝Ｐ（ｘ｜ｙ）Ｐ（ｙ）となり、両辺をＰ（ｙ）で割るとｐ（ｘ∧ｙ）／ｐ（ｙ）＝ｐ（ｘ｜ｙ）が得られる。

さらに、この式を繰り返して計算すると、２次だけでなくさらに高次の項が現れうる。そこで、計算部１３は、以下に説明するように、Ｖ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）が取りうる値の範囲を「評価」する。まず、各ｉ＝１，・・・，Ｉに対してｐ（Ａｉ｜Ｂｉ）の表す条件付確率が取りうる値、すなわちＶ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］）がとりうる値は、実数直線上の閉区間［０，１］の範囲に収まる。これは条件付確率の定義式群から証明される。

ここで、複数のＶ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］）の間に依存関係がありうるので、この［０，１］のＩ個の直積において、（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が取りうる値を考える。まず、計算部１３は、［０，１］のＩ個の直積を、ＮのＩ乗個の幅１／Ｎの超立方体（以下「グリッド」という）に分割する（それぞれ境界を含むものとする）。そして、計算部１３（真偽判定部１３１）は、得られた幅１／Ｎの超立方体Ｈそれぞれについて、Ｈの全部が（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が取りうる値の範囲に含まれているか否かと、Ｈの一部または全部が（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が取りうる値の範囲に含まれているか否かと、を判定する。つまり、真偽判定部１３１は、Ｈの全部が（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が取りうる値の範囲に含まれている場合、グリッドＨが「内部」に対応すると判定する。真偽判定部１３１は、Ｈの全部ではなく一部のみが（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が取りうる値の範囲に含まれている場合、グリッドＨが「境界」に対応すると判定する。真偽判定部１３１は、Ｈが全く（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が取りうる値の範囲に含まれていない場合、グリッドＨが「外部」に対応すると判定する。

そして、真偽判定部１３１は、（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が取りうる値の範囲を、内部グリッド全体の合併集合を含む集合という意味で「内側」から、評価することができる。一方、真偽判定部１３１は、（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が取りうる値の範囲を、内部グリッド全体と境界グリッド全体の合併集合に含まれる集合であるという意味で「外側」から、評価することができる。真偽判定部１３１は、実数の閉論理式についてその真偽を判定する。言い換えると、真偽判定部１３１は、実閉体の真偽を判定する。ここで、実数の閉論理式は、後述するように、実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの実数の変数群が取りうる値の範囲に関する。

出力装置１５は、ユーザにとって知覚可能に、判定結果を出力する。詳しくは後述する。
以下、第１の実施の形態の動作の詳細について、図２を用いて説明する。

（動作の説明）
図２Ａ及び図２Ｂは、第１の実施の形態にかかる情報処理システム１００の動作を示すフローチャートである。なお、以下、図２Ａ及び図２Ｂを総称して、単に図２と称することがある。まず、入力装置１１は、値を得たい条件付確率群を表す閉項群ｐ（Ａｉ｜Ｂｉ）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）を受け付ける（ステップＡ１）。

次に、変換部１２は、以下で説明する変換Ｔを適用して、変換を行う（ステップＡ２）。具体的には、変換部１２は、変換Ｔを適用して、入力された閉項群ｐ（Ａｉ｜Ｂｉ）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）を実数の変数群Ｔ（ｐ（Ａｉ｜Ｂｉ））＝Ｖ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）に変換する。また、変換部１２は、変換Ｔを適用して、条件付確率の定義式群ＰＦｊ（ｊ＝１，・・・，Ｊ）を実数の一階述語論理式群Ｔ（ＰＦｊ）（ｊ＝１，・・・，Ｊ）に変換する。また、変換部１２は、変換Ｔを適用して、確率情報を表す論理式群Ｃｏｎｋ（ｋ＝１，・・・，Ｋ）を実数の一階述語論理式群Ｔ（Ｃｏｎｋ）（ｋ＝１，・・・，Ｋ）に変換する。

ここで、変換部１２で用いられる変換Ｔは、以下で説明する３つの写像Ｔ１，Ｔ２，Ｔ３をこの順で適用する合成写像である。それぞれの写像Ｔ１，Ｔ２，Ｔ３は、論理式の構成に基づく数学的帰納法を用いて、以下のように定義される。

Ｔ１は、命題論理式Ａを、対応するＬｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数Ｌの元［Ａ］に置き換える変換である。ただし、Ｌは、記憶装置１４に記憶されている命題変数群全体から構成されるＬｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数である。なお、その他の変数記号又は関数記号、述語記号、論理結合子、量化子は、準同型的に変換される。したがって、例えば、ｐ（Ａ｜Ｂ）は、Ｔ１によって、ｐ（［Ａ］｜［Ｂ］）に変換される。また、より複雑な論理式（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（ｐ（ｘ｜Ａ）＋ｐ（￢ｘ｜Ａ）＝１）は、Ｔ１によって、（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（ｐ（ｘ｜［Ａ］）＋ｐ（￢ｘ｜［Ａ］）＝１）に変換される。

Ｔ２は、以下の式２に示すように、ｆｏｒｍの存在量化子を、いわば「具体化」する変換である。

なお、その他の変数記号又は関数記号、述語記号、論理結合子、量化子は、準同型的に変換される。ここで、Ｔ２（φ）［ｚ／ｘ］は、論理式Ｔ２（φ）のすべてのｘの出現（occurrence）に対して、ｚを代入した結果を意味する。また、代入操作により新たにＬｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数Ｌの演算を行うことができる箇所が出現した場合は、その演算を行っておく。なお、上述したように、命題変数群が有限個であることから、Ｌｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数Ｌの元の個数も有限である。したがって、式２の右辺は有限個の論理式群の選言となることが保証されている。

なお、変換の例として、ｐ（［Ａ］｜［Ｂ］）はＴ２（ｐ（［Ａ］｜［Ｂ］））＝ｐ（Ｔ２（［Ａ］）｜Ｔ２（［Ｂ］））＝ｐ（［Ａ］｜［Ｂ］）と変換され、結果として同一のものが出力される。また、（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（ｐ（ｘ｜［Ａ］）＋ｐ（￢ｘ｜［Ａ］）＝１）は、（∀ｘ：ｆｏｒｍ）φが￢（∃ｘ：ｆｏｒｍ）￢φの省略記号であることから、

と変換される。

Ｔ３は、ｐ（［Ａ］｜［Ｂ］）をＶ（［Ａ］｜［Ｂ］）に変換し、その他の場合についても準同型的に変換する。たとえば、上記の式３をＴ３で変換する場合、Ｔ３の変換は以下の式４のように行う。

ここで、入力された条件付確率を表す閉項をｐ（Ａｉ｜Ｂｉ）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）と記載する。また、記憶装置１４に記憶されている条件付確率の定義式群を、ＰＦｊ（ｊ＝１，・・・，Ｊ）と記載する。同じく記憶装置１４に記憶されている確率情報を表す論理式群を、Ｃｏｎｋ（ｋ＝１，・・・，Ｋ）と記載する。変換部１２は、上記のＴ１、Ｔ２、Ｔ３をこの順に適用する合成写像Ｔを用いて、ｐ（Ａｉ｜Ｂｉ）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）を、Ｔ（ｐ（Ａｉ｜Ｂｉ））（＝Ｖ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］））（ｉ＝１，・・・，Ｉ）に変換する。また、変換部１２は、上記のＴ１、Ｔ２、Ｔ３をこの順に適用する合成写像Ｔを用いて、ＰＦｊ（ｊ＝１，・・・，Ｊ）を、Ｔ（ＰＦｊ）（ｊ＝１，・・・，Ｊ）に変換する。さらに、また、変換部１２は、上記のＴ１、Ｔ２、Ｔ３をこの順に適用する合成写像Ｔを用いて、Ｃｏｎｋ（ｋ＝１，・・・，Ｋ）を、Ｔ（Ｃｏｎｋ）（ｋ＝１，・・・，Ｋ）に変換する。

次に、計算部１３は、Ｔ（ＰＦｊ）（ｊ＝１，・・・，Ｊ）及びＴ（Ｃｏｎｋ）（ｋ＝１，・・・，Ｋ）を制約条件としたもとで、組（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が取りうる値の範囲を以下のように計算する（ステップＡ３～Ａ７）。まず、計算部１３は、ステップＡ３において、記憶装置１４に記憶されている評価精度のパラメータである自然数Ｎに対して、Ｉ次元単位超立方体をＮのＩ乗個の幅１／ＮのＩ次元超立方体群に分割したものを考え、この超立方体群全体上に全順序を定義する。そして、計算部１３は、変数Ｈにこの全順序で最小の超立方体を代入する。

具体的には、計算部１３は、まず、Ｉ次元単位超立方体［０，１］×・・・×［０，１］を、ＮのＩ乗個の超立方体［０，１／Ｎ］×・・・×［０，１／Ｎ］，・・・，［（（Ｍ１）－１）／Ｎ，Ｍ１／Ｎ］×・・・×［（（Ｍｉ）－１）／Ｎ，Ｍｉ／Ｎ］×・・・×［（（ＭＩ）－１）／Ｎ，ＭＩ／Ｎ］，・・・，［（Ｎ－１）／Ｎ，１］×・・・×［（Ｎ－１）／Ｎ，１］（Ｍｉ＝１，・・・，Ｎ、ｉ＝１・・・，Ｉ）に分割する。ここで、各超立方体［（（Ｍ１）－１）／Ｎ，Ｍ１／Ｎ］×・・・×［（（ＭＩ）－１）／Ｎ，ＭＩ／Ｎ］をグリッドと呼ぶことにする。計算部１３は、次に、各グリッド［（（Ｍ１）－１）／Ｎ，Ｍ１／Ｎ］×・・・×［（（ＭＩ）－１）／Ｎ，ＭＩ／Ｎ］を順に選択する。計算部１３は、後述の処理（ステップＡ４～Ａ６）を繰り返し行うために、選択したグリッドを代入する変数Ｈを用意し、最初のグリッドである［０，１／Ｎ］×・・・×［０，１／Ｎ］を代入する。つまり、変数Ｈは、グリッドを示すパラメータである。なお、選択する順序は任意であって、最初（最小）のグリッドが［０，１／Ｎ］×・・・×［０，１／Ｎ］である必要もない。

以下、繰り返しのステップ（ステップＡ４～Ａ６）について説明する。まず、真偽判定部１３１は、そのグリッドＨが内部、外部、及び境界のいずれに対応するかを判定する。このために、真偽判定部１３１は、２つの命題の真偽を判定する。なお、以下の説明で、ａ≦ｂ≦ｃという記法は、ａ≦ｂ∧ｂ≦ｃの省略記法である。

真偽判定部１３１は、第１の判定を行う（ステップＡ４）。つまり、真偽判定部１３１は、ステップＡ２で得られた実数の論理式群を制約条件としたときの変数の組（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））の取りうる値の範囲にＨの全部が含まれているか否かを、これを表す実数の閉論理式の真偽を判定することで、判定する。言い換えると、真偽判定部１３１は、ステップＡ２で得られた実数の論理式群Ｔ（ＰＦｊ）（ｊ＝１，・・・，Ｊ）及びＴ（Ｃｏｎｋ）（ｋ＝１，・・・，Ｋ）を制約条件としたときに変数の組（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が取りうる値の範囲に、Ｈ＝［（（Ｍ１）－１）／Ｎ，Ｍ１／Ｎ］×・・・×［（（ＭＩ）－１）／Ｎ，ＭＩ／Ｎ］が包含されているか否かを、これを表す実数の閉論理式の真偽を判定することで、判定する。

具体的には、真偽判定部１３１は、以下の式５で示される実数の閉論理式の真偽を判定する。

ここで、上記式５の「（（∃Ｖ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］））群以外）」は、「（∃Ｖ（ｘ｜ｙ））」を、（［Ａｉ］，［Ｂｉ］）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）を除くすべてのＬｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数の元の２つの組（ｘ，ｙ）について並べたものである。そして、この論理式の表す命題は、
「変数の組（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））がＨ＝［（（Ｍ１）－１）／Ｎ，Ｍ１／Ｎ］×・・・×［（（ＭＩ）－１）／Ｎ，ＭＩ／Ｎ］に含まれる値をとるならば、他の変数群Ｖ（ｘ｜ｙ）に割り当てる値を適当に取ることでＴ（ＰＦｊ）（ｊ＝１，・・・，Ｊ）及びＴ（Ｃｏｎｋ）（ｋ＝１，・・・，Ｋ）をすべて満たすことができる」
である。

真偽判定部１３１は、第２の判定を行う（ステップＡ５）。つまり、真偽判定部１３１は、ステップＡ２で得られた実数の論理式群を制約条件としたときの変数の組（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））の取りうる値の範囲にＨの少なくとも一部または全部が含まれているか否かを、これを表す実数の閉論理式の真偽を判定することで、判定する。言い換えると、真偽判定部１３１は、ステップＡ２で得られた実数の論理式群Ｔ（ＰＦｊ）（ｊ＝１，・・・，Ｊ）、及びＴ（Ｃｏｎｋ）（ｋ＝１，・・・，Ｋ）を制約条件としたときに変数の組（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））の取りうる値の範囲に、Ｈの少なくとも一部が含まれているか否かを、これを表す実数の閉論理式の真偽を判定することで、判定する。

具体的には、真偽判定部１３１は、以下の式６で示される実数の閉論理式の真偽を判定する。

この論理式が表す命題は、
「変数の組（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））に割り当てる値をＨ＝［（Ｍ１－１）／Ｎ，Ｍ１／Ｎ］×・・・×［（ＭＩ－１）／Ｎ，ＭＩ／Ｎ］から適当にとり、さらに他の変数に割り当てる値を適当に取ることでＴ（ＰＦｊ）（ｊ＝１，・・・，Ｊ）及びＴ（Ｃｏｎｋ）（ｋ＝１，・・・，Ｋ）をすべて満たすことができる」
である。

計算部１３は、上述した式５及び式６の真偽の判定結果を用いて、グリッドＨが内部、外部、及び境界のいずれに対応するかを判定する（ステップＡ６）。つまり、計算部１３は、その幅１／Ｎの超立方体に対して、ステップＡ４の判定結果が真ならば「内部」、Ａ４の判定結果が偽でＡ５の判定結果が真ならば「境界」、Ａ４とＡ５いずれの判定結果も偽ならば「外部」、と判定する。言い換えると、計算部１３は、式５が真であれば、グリッドＨ＝［（Ｍ１－１）／Ｎ，Ｍ１／Ｎ］×・・・×［（ＭＩ－１）／Ｎ，ＭＩ／Ｎ］を「内部」に対応すると判定する。計算部１３は、式５が偽で式６が真であれば、グリッドＨ＝［（Ｍ１－１）／Ｎ，Ｍ１／Ｎ］×・・・×［（ＭＩ－１）／Ｎ，ＭＩ／Ｎ］を「境界」に対応すると判定する。計算部１３は、式５及び式６がともに偽であれば、グリッドＨ＝［（Ｍ１－１）／Ｎ，Ｍ１／Ｎ］×・・・×［（ＭＩ－１）／Ｎ，ＭＩ／Ｎ］を「外部」に対応すると判定する。

その後、計算部１３は、ループを終了するか否かを判定する（ステップＡ７）。具体的には、計算部１３は、ＨがステップＡ３で定義した全順序で最大（すなわち最後のグリッド）であればループを終了する。一方、そうでなければ、計算部１３は、全順序で１つ大きな（すなわち次の）グリッド（超立方体）をＨに代入して、再度同じ処理（Ａ４～Ａ６）を行う。

出力装置１５は、ステップＡ６で得られたすべての判定結果を出力する（ステップＡ８）。つまり、出力装置１５は、各グリッドが「内部」、「境界」及び「外部」のいずれに対応するかを出力する。なお、Ｉ＝１，２，３の場合は、単位超立方体およびそれに含まれるグリッド群の次元がそれぞれ１次元、２次元、３次元であるので、位置関係を保つようにグラフィカルに表示することも可能である。このとき、「内部」、「境界」及び「外部」のグリッドを、それぞれ「黒」、「灰色」及び「白」などに着色してもよい（後述する図５参照）。

（効果の説明）
次に、第１の実施の形態の効果について説明する。第１の実施の形態にかかる条件付確率計算装置１は、変換部１２を備えている。これにより、条件付確率を表す閉項を実数の変数に変換でき、さらに条件付確率の定義式及び確率情報を表す論理式を、等価な実数の論理式に変換することができる。したがって、条件付確率を求めるという課題を、実数の論理式群を制約条件としたときの実数の変数群がとりうる値の範囲を求めるという問題に帰着させることができる。その結果、確率情報に基づいて条件付確率を計算することができる。そして、計算部１３を用いることで、指定された範囲内（グリッド）のすべての点で条件付確率が値を取りうるか（ステップＡ４）、指定された範囲内（グリッド）のある点で条件付確率が値を取りうるか（ステップＡ５）、を判定することができる。これにより、条件付確率がとりうる値の範囲を、内側と外側から評価できる。

ここで、第１の実施の形態では、確率情報が完全か否かは問われない。したがって、確率情報が不完全な場合でも、与えられている確率情報に基づいて、指定された条件付確率が取りうる値の範囲を計算することができるという効果が得られる。

さらに、確率情報の記述形式として条件付確率の論理式を用いるため、条件付確率の論理式で表現できる高次多項式間の不等式及び等式、∧や￢といったブール結合子（Boolean connectives）および量化子を用いて表される情報も確率情報として利用可能である。そして、本実施の形態にかかる条件付確率の定義式群及び確率情報を表す論理式群は、条件付確率の論理式で表現できる高次多項式間の不等式及び等式に対してブール結合子および量化子を用いて表現される内容が許容されている。つまり、本実施の形態にかかる条件付確率の定義式群及び確率情報を表す論理式群は、条件付確率の論理式で表現できる高次多項式間の不等式及び等式に対してブール結合子および量化子を用いた論理式が許容されている。これにより、例えば、独立性ｐ（Ａ∧Ｂ｜Ｔｒｕｅ）＝ｐ（Ａ｜Ｔｒｕｅ）ｐ（Ｂ｜Ｔｒｕｅ）、条件付独立性ｐ（Ａ∧Ｂ｜Ｃ）＝ｐ（Ａ｜Ｃ）ｐ（Ｂ｜Ｃ）、さらには任意の条件に対する条件付独立性（∀ｚ：ｆｏｒｍ）［ｐ（Ａ∧Ｂ｜ｚ）＝ｐ（Ａ｜ｚ）ｐ（Ｂ｜ｚ）］などを、確率的情報として考慮することができる。これは、非特許文献１での入力が特定の論理式の表す命題の生起確率の上限と下限だけであったことと比較して、本実施の形態の顕著な効果の１つである。

さらに、第１の実施の形態では、求める条件付確率Ｐ（Ａ｜Ｂ）に対して、条件部Ｂに成立していることがわかっている事象群を表す命題論理式群Ｃ１，・・・，ＣＮの連言を用いることができる。これにより、このときにＡが表す事象が生起している確率の取りうる値の範囲を、Ｐ（Ａ｜Ｃ１∧・・・∧ＣＮ）が取りうる値の範囲を計算することで、計算できるという効果もある。

なお、第１の実施の形態において、評価精度１／Ｎの設定を入力装置１１から随時行えるようにしてもよい。また、ステップＡ１で入力される条件付確率を表す閉項群Ｐ（Ａｉ｜Ｂｉ）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）の各ｉに対して、異なる評価精度１／Ｎｉを対応付けてもよい。さらに、評価精度のパラメータを自然数Ｎｉではなく非負の実数Ｒｉとしてもよい。この場合では、例えば、Ｒｉ以上の最小の自然数Ｎｉを取り、グリッドの幅を１／Ｎｉとする方法を採用してもよい。あるいは、基本的にはグリッドの幅を１／Ｒｉとし、端のグリッドの幅を１／Ｒｉ以下となることを許す方法を採用してもよい。また、評価精度パラメータは評価精度そのものでもよい。この場合、さらにその逆数を取って後の処理を行う。

また、命題変数群を記憶することは必須ではない。実際、考慮すべき全ての命題変数が記憶装置１４に記憶されている条件付確率の定義式群及び確率情報を表す論理式群に現れるのであれば、これらの現れている命題変数を（重複を除いて）取り出す処理を追加することで、同じ効果を得ることができる。しかしながら、条件付確率の定義式群及び確率情報を表す論理式群に考慮すべき命題変数が全ては現れない可能性もある。この場合は、記憶装置１４にこれらの命題変数群を記憶させておくことで、命題論理式の条件付確率の計算時、特に変換部１２におけるＴ２による変換時に、考慮すべきすべての命題変数群を考慮させることができる。

なお、本実施の形態は、コンピュータを命題論理式の条件付確率計算システムとして機能させる命題論理式の条件付確率計算プログラムとしても実現することができる（他の実施の形態においても同様）。コンピュータは、中央処理装置（ＣＰＵ（Central Processing Unit））、記憶装置（ハードディスク等）、キーボードなどの入力部、及び、ディスプレイなどの表示部を備える。中央処理装置は、命題論理式の条件付確率計算プログラムを読み込み実行する。記憶装置は、条件付確率の定義式群、確率情報を表す論理式群、命題変数群、及び評価精度パラメータなどを記憶する。また、記憶装置は、命題論理式の条件付確率計算プログラムを記憶してもよい。本実施の形態を例にとれば、ＣＰＵに読み込まれた命題論理式の条件付確率計算プログラムは、コンピュータを、本実施の形態において説明された変換部および計算部として機能させる。

［具体例］
次に、具体的な実施例を用いて第１の実施の形態の具体的な構成および動作を説明する。
（構成の説明）
図３は、第１の実施の形態の具体例にかかる情報処理システム２００を示すブロック図である。図３に示されるように、第１の実施の形態の具体例にかかる情報処理システム２００は、条件付確率計算装置２と、入力装置２１と、出力装置２５とを有する。

条件付確率計算装置２は、パーソナルコンピュータ等のコンピュータとしての機能を有する。条件付確率計算装置２は、ハードウェア構成として、ＣＰＵ２０１（プロセッサ）、メモリ２０２、ネットワークインターフェース２０３（ＩＦ）、及び、記憶装置２４（ストレージ）を有する。なお、条件付確率計算装置２は、ハードウェア構成として、入力装置２１及び出力装置２５を有してもよい。なお、ハードウェア構成については、他の実施の形態についても適用可能である。

また、条件付確率計算装置２は、変換部２２と、計算部２３とを有する。変換部２２は、入力装置２１及び記憶装置２４と通信可能に接続されている。計算部２３は、変換部２２と、記憶装置２４と、出力装置２５とに接続されている。計算部２３は真偽判定部２３１を含んでいる。ここで、変換部２２および計算部２３は、コンピュータによって構成可能である。記憶装置２４は、フレキシブルディスク又はＣＤ－ＲＯＭ（Compact Disc Read Only Memory）等のコンピュータで読み取り可能な、読み取り装置又は磁気記憶装置を備えてもよい。

ＣＰＵ２０１は、ネットワークインターフェース２０３から受信したプログラムコードをメモリ２０２上に展開してもよい。あるいは、ＣＰＵ２０１は、記憶装置２４（ＣＤ－ＲＯＭまたは磁気記憶装置など）に記憶されたプログラムコードを読み出してメモリ２０２上に展開してもよい。そして、ＣＰＵ２０１が、メモリ２０２に展開されたプログラムコードを解釈し実行することで、図３に示すような変換部２２及び真偽判定部２３１を含む計算部２３として各種機能が実現され得る。また、必要なプログラムを任意の不揮発性記録媒体に記録しておき、必要に応じてインストールすることで、各構成要素（変換部２２及び計算部２３）を実現するようにしてもよい。あるいは、各構成要素は、プログラムによるソフトウェアで実現することに限ることなく、ハードウェア、ファームウェア、及びソフトウェアのうちのいずれかの組み合わせ等により実現してもよい。また、各構成要素は、例えばＦＰＧＡ（field-programmable gate array）又はマイコン（Micro Computer）等の、ユーザがプログラミング可能な集積回路を用いて実現してもよい。この場合、この集積回路を用いて、上記の各構成要素から構成されるプログラムを実現してもよい。

真偽判定部２３１は、本実施例では、ＲｅｄｕｃｅのＱＥツールであるＲｅｄｌｏｇのｒｌｑｅコマンドによって実現され得る。ｒｌｑｅコマンドは、実数の一階述語論理の量化子除去（ＱＥ（Quantifier Elimination））のアルゴリズムを実現する。ｒｌｑｅコマンドは、自由変数を含まない閉論理式に対しては、その真偽を返す。

記憶装置２４は、少なくともネットワークインターフェースおよび磁気記憶装置を備える。記憶装置２４は、条件付確率の定義式群、確率情報を表す論理式群、命題変数群および評価精度のパラメータを記憶している。本実施例においては、条件付確率の定義式群として以下の論理式ＰＦ１～ＰＦ６が記憶されているものとする（非特許文献３のｐ．３３７参照）。なお、条件付確率の定義を表す条件付確率の論理式群であれば、以下のＰＦ１～ＰＦ６以外の論理式群でも適用可能である。
ＰＦ１：
（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（∀ｙ：ｆｏｒｍ）（∃ｘ’：ｆｏｒｍ）（∃ｙ’：ｆｏｒｍ）ｐ（ｘ｜ｙ）≠ｐ（ｘ’｜ｙ’）
ＰＦ２：
（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（∀ｙ：ｆｏｒｍ）［（（∀ｚ：ｆｏｒｍ）ｐ（ｘ｜ｚ）＝ｐ（ｙ｜ｚ））→（（∀ｗ：ｆｏｒｍ）ｐ（ｗ｜ｘ）＝ｐ（ｗ｜ｙ））］
ＰＦ３：
（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（∀ｙ：ｆｏｒｍ）ｐ（ｘ｜ｘ）＝ｐ（ｙ｜ｙ）
ＰＦ４：
（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（∀ｙ：ｆｏｒｍ）（∀ｚ：ｆｏｒｍ）ｐ（ｘ∧ｙ｜ｚ）≦ｐ（ｘ｜ｚ）
ＰＦ５：
（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（∀ｙ：ｆｏｒｍ）（∀ｚ：ｆｏｒｍ）ｐ（ｘ∧ｙ｜ｚ）＝ｐ（ｘ｜ｙ∧ｚ）ｐ（ｙ｜ｚ）
ＰＦ６：
（∀ｘ：ｆｏｒｍ）（∀ｙ：ｆｏｒｍ）［（￢（∀ｚ：ｆｏｒｍ）ｐ（ｙ｜ｙ）＝ｐ（ｚ｜ｙ））→ｐ（ｘ｜ｙ）＋ｐ（￢ｘ｜ｙ）＝ｐ（ｙ｜ｙ）］

ＰＦ１～ＰＦ３は、∧にも￢にも関係のない性質を示す論理式である。ＰＦ４及びＰＦ５は、∧に関する性質を示す論理式である。ＰＦ６は、￢に関する性質を示す論理式である。ＰＦ１は、すべての引数で同じ値を取る自明な（たとえば、任意の引数で値１を取るような）確率は存在しないことを示す。ＰＦ２は、任意の条件ｚでのｘとｙの確率ｐ（ｘ｜ｚ）とｐ（ｙ｜ｚ）の値が同じならば、ｘとｙは確率的な観点からは同一視でき、ｘで条件付けることとｙで条件付けることは同値であること、つまり任意のｗに対して条件確率ｐ（ｗ｜ｘ）とｐ（ｗ｜ｙ）は同じ値になること、を示す。ＰＦ３は、結局はこれらの６つの公理から最終的にｐ（ｘ｜ｘ）＝１であることが証明されるものである。なお、初めから１と書かないのは、非特許文献３の著者Ｐｏｐｐｅｒが、確率値が実数であることは、この６つの公理（＝定義）から独立であることを証明するために、これらの６つの公理を実数に依存しないように記述したためである（非特許文献３のｐ．３４７参照）。

ＰＦ４は、条件ｚ付きで、ｘ∧ｙの確率がｘの確率より小さいということを示す。ＰＦ５は、条件付確率と非条件付確率との間の関係を示している。実際、ｚという条件を無視すればｐ（ｘ∧ｙ）＝ｐ（ｘ｜ｙ）ｐ（ｙ）であり、これは一般的な条件付確率の定義ｐ（ｘ｜ｙ）＝ｐ（ｘ∧ｙ）／ｐ（ｙ）に対して分母ｐ（ｙ）を払ったものである。ＰＦ６は、「すべてのｚでｐ（ｚ｜ｙ）＝１」でない（すべてのｙでｐ（ｚ｜ｙ）＝１であるとき、ｙはＦａｌｓｅとみなせるので、これはｙがＦａｌｓｅでないことを意味する）ならばその条件ｙのもとで、ｘの確率と￢ｘの確率の和は１であることを示す。

また、確率情報を表す論理式群として、ｐ（胃がん｜大腸がん）＝１／２とｐ（肺がん｜大腸がん）＝１／３が記憶されているとする。また、命題変数群として、「胃がん」、「肺がん」、「大腸がん」が記憶されているものとする。さらに、評価精度のパラメータとして、「１０」という自然数が記憶されているとする。

（動作の説明）
図４Ａ及び図４Ｂは、第１の実施の形態の具体例にかかる情報処理システム２００の動作を示すフローチャートある。なお、以下、図４Ａ及び図４Ｂを総称して、単に図４と称することがある。まず、入力装置２１は、求めたい条件付確率を表す閉項ｐ（胃がん∧肺がん｜大腸がん）を受け付ける（ステップＢ１）。

次に、変換部２２は、上述した変換Ｔを適用して、以下に示すように、変換を行う（ステップＢ２）。具体的には、変換部２２は、入力された条件付確率を表す閉項ｐ（胃がん∧肺がん｜大腸がん）を実数の変数Ｖ（［胃がん∧肺がん］｜［大腸がん］）に変換する。また、変換部２２は、記憶装置２４に記憶されている条件付確率の定義式群ＰＦ１，・・・，ＰＦ６を実数の一階述語論理式群Ｔ（ＰＦ１），・・・，Ｔ（ＰＦ６）に変換する。また、変換部２２は、ｐ（胃がん｜大腸がん）＝１／２とｐ（肺がん｜大腸がん）＝１／３をそれぞれＶ（［胃がん］｜［大腸がん］）＝１／２とＶ（［肺がん］｜［大腸がん］）＝１／３に変換する。

ここで、Ｌｉｎｄｅｎｂａｕｍ－Ｔａｒｓｋｉ代数の元は、記憶装置２４に記憶されている命題変数群「胃がん」、「肺がん」、「大腸がん」を用いて以下のように記述される。命題変数「胃がん」、「肺がん」、「大腸がん」に対する真偽の割り当ては、（胃がん：真，肺がん：真，大腸がん：真），・・・，（胃がん：偽，肺がん：偽，大腸がん：偽）の８通りある。これらの割り当てについて、真ならそのまま、偽ならその否定とした連言、すなわち（胃がん∧肺がん∧大腸がん），・・・，（￢胃がん∧￢肺がん∧￢大腸がん）、をとる。

また、任意の論理式Ｘに対して、［Ｘ］を、Ｘが真となる割り当ての連言の選言と対応させる。例えば、「胃がん∧肺がん」は、ちょうど（胃がん：真、肺がん：真、大腸がん：真）と（胃がん：真、肺がん：真、大腸がん：偽）で真であるので、［胃がん∧肺がん］は（胃がん∧肺がん∧大腸がん）∨（胃がん∧肺がん∧￢大腸がん）と記述される。同様に、［大腸がん］は、（胃がん∧肺がん∧大腸がん）∨（胃がん∧￢肺がん∧大腸がん）∨（￢胃がん∧肺がん∧大腸がん）∨（￢胃がん∧￢肺がん∧大腸がん）と記述される。

この記法を用いて、変換部２２は、ｐ（胃がん∧肺がん｜大腸がん）を実数の変数Ｖ（［胃がん∧肺がん］｜［大腸がん］）に変換する。さらに、変換部２２は、条件付確率の定義式群と確率情報を表す論理式群を以下のように変換する。すなわち、変換部２２は、ｐ（胃がん｜大腸がん）＝１／２をＶ（［胃がん］｜［大腸がん］）＝１／２に変換し、ｐ（肺がん｜大腸がん）＝１／３をＶ（［肺がん］｜［大腸がん］）＝１／３と変換する。なお、論理式ＰＦ１，・・・，ＰＦ６に関しては、「第１の実施の形態」の「動作の説明」を参照されたい。また、ＰＦ３は式１に変換される。

次に、計算部２３は、評価精度パラメータとして記憶されている自然数１０に対して、［０，１］を［０，１／１０］，・・・，［９／１０，１］に１０等分し、変数ｎに１を代入する（ステップＢ３）。なお、このｎは、グリッド［（ｎ－１）／１０，ｎ／１０］を表すパラメータである。

計算部２３は、この変数ｎに対して、以下のループ処理を行う（ステップＢ４～Ｂ６）。まず、真偽判定部２３１は、以下の式７の真偽を判定する（ステップＢ４）。

次に、真偽判定部２３１は、以下の式８の真偽を判定する（ステップＢ５）。

なお、上記の式７及び式８の真偽の判定には、上述のＱＥのアルゴリズムが用いられ得る。

計算部２３は、閉区間［（ｎ－１）／１０，ｎ／１０］に対して、式７が真ならば「内部」、式７が偽で式８が真なら「境界」、式７も式８も偽なら「外部」と判定する（ステップＢ６）。計算部２３は、ｎ＝１０ならばループを終了し、ｎ＜１０ならばｎにｎ＋１を代入して再度同じ処理（Ｂ４～Ｂ６）を行う（ステップＢ７）。

出力装置２５は、ステップＢ６で得られたすべての判定結果を出力する（ステップＢ８）。つまり、出力装置２５は、各閉区間が「内部」、「境界」及び「外部」のいずれに対応するかを出力する。

図５は、第１の実施の形態の具体例にかかる出力装置２５によって表示される判定結果（ステップＢ８）を例示する図である。出力装置２５は、［（ｎ－１）／１０，ｎ／１０］（ｎ＝１，・・・，１０）に対して、「内部」であれば黒、「境界」であれば灰色、「外部」であれば白として位置関係を保ちつつ出力する。図５の各四角がグリッド（閉区間）に対応する。グリッド（閉区間）［０，１／１０］、［１／１０，２／１０］及び［２／１０，３／１０］については「内部」と判定されたので黒色で表示されている。［３／１０，４／１０］については「境界」と判定されたので灰色で表示されている。［４／１０，５／１０］、［５／１０，６／１０］、［６／１０，７／１０］、［７／１０，８／１０］、［８／１０，９／１０］及び［９／１０，１０／１０］については「外部」と判定されたので白色で表示されている。なお、実際に、Ｐ（肺がん∧胃がん｜大腸がん）が取りうる値の範囲は、０≦Ｐ（肺がん∧胃がん｜大腸がん）≦１／３、すなわち０％≦Ｐ（肺がん∧胃がん｜大腸がん）≦３３．３３・・・％、である。

（効果の説明）
以上より、Ｐ（胃がん｜大腸がん）＝１／２とＰ（肺がん｜大腸がん）＝１／３という確率情報から、大腸がんであることが分かっている場合に「肺がん且つ胃がん」である確率が取りうる値の範囲は、内側（内部グリッド全体）からは０％以上３０％以下、外側（内部および境界グリッド全体）からは０％以上４０％以下であることがわかる。さらにこの評価は、評価精度を本実施例の１０から１００又は１０００などと増やすことで、任意に高精度にすることができる。たとえば、評価精度が１００であれば、「胃がん且つ肺がん」である確率が取りうる値の範囲の、内側からの評価は０％以上３３％以下であり、外側からの評価は０％以上３４％以下であることがわかる。

［第２の実施の形態］
（構成の説明）
次に、本開示の第２の実施の形態について図面を参照して説明する。
図６は、第２の実施の形態にかかる情報処理システム３００を示すブロック図である。図６に示されるように、第２の実施の形態にかかる情報処理システム３００は、条件付確率計算装置３と、入力装置３１と、出力装置３５とを有する。また、第２の実施の形態にかかる条件付確率計算装置３は、変換部３２と、計算部３３と、記憶装置３４とを有する。変換部３２は、入力装置３１と、計算部３３と、記憶装置３４とに接続されている。計算部３３は、変換部３２と、記憶装置３４と、出力装置３５とに接続されている。計算部３３は、量化子除去部３３１及び論理式簡略化部３３２を含んでいる。図６を参照すると、第２の実施の形態にかかる計算部３３が、第１の実施の形態にかかる計算部１３と異なる。計算部３３は、量化子除去部３３１と論理式簡略化部３３２を含み、真偽判定部１３１を含まない。第２の実施の形態のそれ以外の構成要素については、第１の実施の形態にかかる構成要素と実質的に同様である。

条件付確率計算装置３の各構成要素はそれぞれ概略つぎのように動作する。まず、入力装置３１および変換部３２は、入力装置１１および変換部１２と同一のものであり、同一の動作を行う。つまり、計算部３３以外の構成要素の動作については、第２の実施の形態にかかる構成要素と実質的に同様である。

計算部３３がはじめに構成する実数の論理式は、以下の式９である。

この式９は、条件付確率の定義式群及び確率情報を表す論理式群が変換された実数の論理式群を制約条件として実数の変数群が取りうる値の範囲を定義する。なお、式９は、入力装置３１に入力される閉項群が表す条件付確率群の正確な領域を与え得るが、人間にとって理解し難く、可読性に乏しい。

量化子除去部３３１は、この式９を、量化子を一切含まない同値な実数の論理式に変換する。論理式簡略化部３３２は、この実数の論理式を簡略化する。その結果、計算部３３が出力する実数の論理式は、変数群（Ｖ（［Ａ１］｜［Ｂ１］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］））が条件Ｔ（ＰＦｊ）（ｊ＝１，・・・，Ｊ）およびＴ（Ｃｏｎｋ）（ｋ＝１，・・・，Ｋ）の制約のもとで取りうる値の範囲を定義している。さらに、この範囲は、条件付確率（Ｐ（Ａ１｜Ｂ１），・・・，Ｐ（ＡＩ｜ＢＩ））が、論理式Ｃｏｎｋ（ｋ＝１，・・・，Ｋ）で表された制約のもとで、取りうる値の範囲である。

（動作の説明）
図７は、第２の実施の形態にかかる情報処理システム３００の動作を示すフローチャートある。まず、入力装置３１及び変換部３２は、それぞれ図１に示した第１の実施の形態おける入力装置１１及び変換部１２と実質的に同一のものである。したがって、入力装置３１及び変換部３２は、それぞれステップＡ１，Ａ２と実質的に同一の処理を行う（ステップＣ１，Ｃ２）。

次に、計算部３３は、式９の量化子を含まない同値な実数の論理式ψを計算する（ステップＣ３）。具体的には、計算部３３の量化子除去部３３１は、変換部３２で出力された実数の変数群Ｖ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）と、実数の論理式群Ｔ（ＰＦｊ）（ｊ＝１，・・・，Ｊ）及びＴ（Ｃｏｎｋ）（ｋ＝１，・・・，Ｋ）と、記憶装置３４に記憶された命題変数群とを用いて、式９を構成する。量化子除去部３３１は、ＱＥのアルゴリズムなどを用いて、この論理式（式９）と同値であり、かつ量化子を含まない実数の論理式ψを計算する。言い換えると、量化子除去部３３１は、式９を、式９と同値であり且つ量化子を一切含まない同値な実数の論理式に変換する。

論理式簡略化部３３２は、論理式ψと同値で、より簡略化された論理式ψ’を計算する（ステップＣ４）。具体的には、この論理式ψは冗長な表現になっていることがあるため、論理式簡略化部３３２は、この量化子を含まない論理式ψを、この論理式ψと同値であり且つより簡略な論理式ψ’に変換する。簡略な論理式への変換方法は、例えば、ＱＥのアルゴリズムを拡張することで行われてもよい。なお、Ｃ４の処理は行われなくてもよい。最後に、出力装置３５は、この簡略化された論理式ψ’を出力する（ステップＣ５）。

（効果の説明）
次に、第２の実施の形態の効果について説明する。第２の実施の形態にかかる計算部３３は、入力装置３１に入力される閉項群が表す条件付確率群の取りうる正確な範囲を定義する、量化子を含まない簡略化された実数の論理式を計算できる。このように、量化子除去及び簡約化という２つの変換を行うことで、複雑な論理式で記述された「取りうる値の正確な範囲」を、より単純で理解しやすい（つまり人間にとって可読性が向上した）形に変形することができる。これにより、入力装置３１に入力される閉項群が表す条件付確率群の取りうる範囲が、例えば、０≦Ｐ（Ａ｜Ｂ）≦１／３といった、単純な形に変形され得る。

なお、計算部３３は、論理式簡略化部３３２を含まなくてもよい。この場合、計算部３３は、簡略化されていないが、量化子を含まない実数の論理式を出力する。このように、量化子除去という変換のみであっても、複雑な論理式で記述された「取りうる値の正確な範囲」を、より単純で理解しやすい（つまり人間にとって可読性が向上した）形に変形することができる。

なお、第１の実施の形態の出力は、条件付確率群の取り得る範囲の「評価」であったため、取りうる値の範囲が「内側」及び「外側」からの「評価」であった。つまり、第１の実施の形態では、条件付確率群の取り得る範囲の正確な範囲が得られるわけではない。これに対し、第２の実施の形態では、０≦ｐ（肺がん｜大腸がん）≦１／３のように正確な領域が与えられる。

なお、その領域が、例えば、以下の式１０で示すような、多項式間の不等式で表現される場合もある。

この場合は、直観的な理解のしやすさという点で、第１の実施の形態にかかる方法の方が有利であり得る。

なお、上述したように、量化子除去をする前の段階の論理式（式９）は、入力装置３１に入力される閉項群が表す条件付確率群の正確な領域を与え得る。その上で、量化子除去及び簡約化という２つの変換が、式９に対して同値な変形を行うため、最終結果も、条件付確率群の取り得る値の範囲の正確な領域を与え得る。

なお、上述したように、式９は、条件付確率群の正確な領域（範囲）を与え得る一方で、人間にとって理解し難く、可読性に乏しい。これに対し、第１の実施の形態にかかる方法は、任意の精度で条件付確率群の取りうる値の範囲を評価することで、「評価」という点で数学的に正しく、任意の精度という前提で真の値が分かるように構成されている。言い換えると、第１の実施の形態では、条件付確率群の取りうる値の領域（範囲）の正確性を前提としているわけではない。これに対し、第２の実施の形態では、式９に対して同値な変形を行うため、条件付確率群の取り得る値の範囲の正確さを保ちつつ、できる限り人間にとって可読な結果を得ることができる。

［第３の実施の形態］
次に、本開示の第３の実施の形態について図面を参照して説明する。第３の実施の形態は、第２の実施の形態で出力される多項式間の不等式（のブール結合、すなわちブール結合子による結合）をさらに処理し、その不等式（のブール結合）が定義する領域を図示するものである。

（構成の説明）
図８は、第３の実施の形態にかかる情報処理システム４００を示すブロック図である。図８に示されるように、第３の実施の形態にかかる情報処理システム４００は、条件付確率計算装置４と、入力装置４１と、出力装置４５とを有する。また、第３の実施の形態にかかる条件付確率計算装置４は、変換部４２と、計算部４３と、記憶装置４４とを有する。変換部４２は、入力装置４１と、計算部４３と、記憶装置４４とに接続されている。計算部４３は、変換部４２と、記憶装置４４と、出力装置４５とに接続されている。計算部４３は、量化子除去部４３１及び近似グラフ作成部４３２を含んでいる。図８を参照すると、第３の実施の形態にかかる計算部４３が、第２の実施の形態にかかる計算部３３と異なる。計算部４３は、量化子除去部４３１と近似グラフ作成部４３２を含み、論理式簡略化部３３２を含まない。第３の実施の形態のそれ以外の構成要素については、第２の実施の形態にかかる構成要素と実質的に同様である。

条件付確率計算装置４の各構成要素はそれぞれ概略つぎのように動作する。まず、入力装置４１および変換部４２は、入力装置１１および変換部１２と同一のものであり、同一の動作を行う。つまり、計算部４３以外の構成要素の動作については、第１の実施の形態にかかる構成要素と実質的に同様である。近似グラフ作成部４３２は、条件付確率群の取りうる値の範囲をグラフィカルに表示する近似グラフを作成する。近似グラフは、条件付確率の定義式群及び確率情報を表す論理式群が変換された実数の論理式群を制約条件として実数の変数群が取りうる値の範囲を表す。

（動作の説明）
図９は、第３の実施の形態にかかる情報処理システム４００の動作を示すフローチャートある。まず、入力装置４１は、値を得たい１つ以上３つ以下の条件付確率を表す閉項ｐ（Ａｉ｜Ｂｉ）（ｉ＝１，・・・，Ｉ）の入力を受け付ける（ステップＤ１）。すなわち、１≦Ｉ≦３である。Ｉは、条件付確率群の取りうる値の範囲をグラフィカルに表示する際の次元数に対応している。つまり、１≦Ｉ≦３（３次元以下）とすることで、条件付確率群の取りうる値の範囲のグラフィクス表示が可能となる。

変換部４２は、第１の実施の形態における変換部１２と実質的に同一のものであるので、ステップＡ２と実質的に同一の処理を行う（ステップＤ２）。次に、量化子除去部４３１は、第２の実施の形態における量化子除去部３３１と同一のものであるので、ステップＣ３と実質的に同一の処理を行う（ステップＤ３）。

ステップＤ３で出力される論理式は、たとえば、

のように、入力した条件付確率を表す閉項群を変換した実数の変数群に関する多項式間の等式又は不等式を、∧又は￢といったブール結合子で結合した論理式である。なお、条件付確率を表す閉項群を変換した実数の変数群は、式１１では、ｐ（Ａ｜Ｂ）及びｐ（Ｃ｜Ｂ）をそれぞれ変換した「Ｖ（［Ａ］｜［Ｂ］）」及び「Ｖ（［Ｃ］｜［Ｂ］）」に対応する。

次に、近似グラフ作成部４３２は、この論理式で定められる領域をグラフィカルに出力できるよう近似グラフを作成する（ステップＤ４）。つまり、近似グラフ作成部４３２は、ψの条件の下で変数群（Ｖ（［Ａｉ］｜［Ｂｉ］），・・・，Ｖ（［ＡＩ］｜［ＢＩ］）の取りうる値の範囲を示す近似グラフを作成する。次に、出力装置４５は、得られた近似グラフをグラフィカルに出力する（ステップＤ５）。

図１０は、第３の実施の形態にかかる近似グラフを例示する図である。図１０は、式１１の境界を折れ線で近似した例であり、境界を含むハッチングされた領域（矢印Ａで示す）が式１１で定義される領域である。また、矢印Ｂで示す下側の曲線は、「Ｖ（［Ｃ］｜［Ｂ］）＝Ｖ（［Ａ］｜［Ｂ］）^２」に対応する。したがって、式１１の１つ目の不等式は、この下側の曲線より上の領域を定義する。一方、矢印Ｃで示す上側の直線は、Ｖ（［Ｃ］｜［Ｂ］）＝Ｖ（［Ａ］｜［Ｂ］）に対応する。したがって、式１１の２つ目の不等式は、この上側の直線より下側の領域を定義する。そして、これらの前半の不等式と後半の不等式との連言である式１１は、これら２つの領域の共通部分を定義している。

（効果の説明）
次に、第３の実施の形態の効果について説明する。第３の実施の形態にかかる計算部４３は、入力された閉項群が表す条件付確率群の取りうる値の範囲を示す近似グラフを得ることができる。これにより、入力された閉項群が表す条件付確率群の取りうる値の範囲の概略（近似）を視覚的に把握することが可能となる。なお、視覚的に把握可能とするために、第３の実施の形態にかかる条件付確率群の取りうる値の範囲は、第２の実施の形態にかかる条件付確率群の取りうる値の範囲よりも正確性が劣り得る。

図１１は、第３の実施の形態かかる計算部４３の変形例を示す図である。第３の実施の形態において、図１１に示すように、計算部４３は、論理式簡略化部４６１をさらに備える構成であってもよい。この場合、量化子除去部４３１が、式９を量化子を含まない同値な論理式に変形し（ステップＤ３）、さらに論理式簡略化部４６１がその論理式を簡略化する（ステップＣ４参照）。近似グラフ作成部４３２は、その簡略化された論理式で定められる領域の近似グラフを作成する。ただし、簡略化された論理式と簡略化前の量化子を含まない論理式とは同値であるため、計算部４３が論理式簡略化部４６１を含む場合（図１１）も含まない場合（図８）も、出力される領域（範囲）は互いに同一である。

［第４の実施の形態］
次に、第４の実施の形態について説明する。
図１２は、第４の実施の形態にかかる情報処理装置５００を示す図である。情報処理装置５００は、コンピュータとしての機能を有する。情報処理装置５００は、変換手段として機能する変換部５１０と、計算手段として機能する計算部５２０とを有する。変換部５１０は、上述した各実施の形態の変換部が有している機能と実質的に同様の機能によって実現できる。また、計算部５２０は、上述した各実施の形態の計算部が有している機能と実質的に同様の機能によって実現できる。

なお、情報処理装置５００は、記憶手段として機能する記憶部５３０を有してもよい。記憶部５３０は、変換で使用される命題変数群を記憶してもよい。また、上述した実施の形態のように、変換部５１０、計算部５２０及び記憶部５３０は、情報処理装置５００が備えるＣＰＵがプログラムを実行することで、実現されてもよい。

図１３は、第４の実施の形態にかかる情報処理装置５００によって実行される情報処理方法を示すフローチャートである。変換部５１０は、取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群を、実数の変数群に変換する（ステップＳ１０２）。ここで、「取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群」とは、上述したステップＡ１等における、「値を得たい条件付確率群（を表す閉項群）」に対応する。

計算部５２０は、第１の一階述語論理式群と第２の一階述語論理式群とが変換された実数の一階述語論理式群を制約条件として、Ｓ１０２で変換された実数の変数群が取り得る値の範囲を計算する（ステップＳ１０４）。ここで、「第１の一階述語論理式群」は、上述した「条件付確率の定義式群」に対応する。したがって、第１の一階述語論理式群は、命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数を特徴づける。また、「第２の一階述語論理式群」は、上述した「確率情報を表す論理式群」に対応する。したがって、第２の一階述語論理式群は、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表す。

また、「変換された実数の一階述語論理式群」は、上述した変換後の実数の論理式群に対応する。ここで、「変換された実数の一階述語論理式群」は、上述した実施の形態と同様に、変換部５１０が第１の一階述語論理式群及び第２の一階述語論理式群を変換することによって取得されてもよい。あるいは、「変換された実数の一階述語論理式群」は、予め記憶部５３０に記憶されていてもよい。つまり、処理が実行されるごとに、第１の一階述語論理式群及び第２の一階述語論理式群を実数の一階述語論理式群に変換する必要はない。このことは、上述した実施の形態においても同様である。

計算部５２０は、第１の実施の形態にかかる計算部１３と実質的に同様の方法によって、実数の変数群が取り得る値の範囲を計算してもよい。したがって、計算部５２０は、実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの実数の変数群が取りうる値の範囲を、指定された精度で評価してもよい。このとき、計算部５２０は、実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの実数の変数群が取りうる値の範囲に関する実数の閉論理式の真偽を判定することで、前記範囲の評価を行ってもよい。

また、計算部５２０は、第２の実施の形態にかかる計算部３３と実質的に同様の方法によって、実数の変数群が取り得る値の範囲を計算してもよい。したがって、計算部５２０は、実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの実数の変数群が取りうる値の範囲を定義する実数の論理式から、量化子を含まず実数の論理式よりも簡略化された実数の一階述語論理式を計算してもよい。また、計算部５２０は、第３の実施の形態にかかる計算部４３と実質的に同様の方法によって、実数の変数群が取り得る値の範囲を計算してもよい。したがって、計算部５２０は、実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの実数の変数群が取りうる値の範囲を表すグラフ（近似グラフ）を作成してもよい。

第４の実施の形態にかかる情報処理装置５００は、上記のように構成されているので、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方から、指定された条件付確率群の取りうる値の範囲を確実に計算することが可能となる。なお、情報処理装置５００によって実行される情報処理方法、及び、情報処理方法を実行するプログラムを用いても、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方から、指定された条件付確率群の取りうる値の範囲を確実に計算することが可能となる。

（変形例）
なお、本発明は上記実施の形態に限られたものではなく、趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更することが可能である。例えば、上述したフローチャートの各ステップの処理の１つ以上は、省略され得る。また、上述したフローチャートの各ステップの順序は、適宜、変更可能である。例えば、図２のステップＡ４及びステップＡ５の順序は、逆でもよい。同様に、図４のステップＢ４及びステップＢ５の順序は、逆でもよい。

上述の例において、プログラムは、様々なタイプの非一時的なコンピュータ可読媒体（non-transitory computer readable medium）を用いて格納され、コンピュータに供給することができる。非一時的なコンピュータ可読媒体は、様々なタイプの実体のある記録媒体（tangible storage medium）を含む。非一時的なコンピュータ可読媒体の例は、磁気記録媒体（例えばフレキシブルディスク、磁気テープ、ハードディスクドライブ）、光磁気記録媒体（例えば光磁気ディスク）、ＣＤ－ＲＯＭ、ＣＤ－Ｒ、ＣＤ－Ｒ／Ｗ、半導体メモリ（例えば、マスクＲＯＭ、ＰＲＯＭ（Programmable ROM）、ＥＰＲＯＭ（Erasable PROM）、フラッシュＲＯＭ、ＲＡＭ）を含む。また、プログラムは、様々なタイプの一時的なコンピュータ可読媒体（transitory computer readable medium）によってコンピュータに供給されてもよい。一時的なコンピュータ可読媒体の例は、電気信号、光信号、及び電磁波を含む。一時的なコンピュータ可読媒体は、電線及び光ファイバ等の有線通信路、又は無線通信路を介して、プログラムをコンピュータに供給できる。

以上、実施の形態を参照して本願発明を説明したが、本願発明は上記によって限定されるものではない。本願発明の構成や詳細には、発明のスコープ内で当業者が理解し得る様々な変更をすることができる。

上記の実施形態の一部又は全部は、以下の付記のようにも記載されうるが、以下には限られない。
（付記１）
取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群を、実数の変数群に変換する変換手段と、
命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数を特徴づける第１の一階述語論理式群と、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表した第２の一階述語論理式群とが変換された実数の一階述語論理式群を制約条件として、前記実数の変数群が取り得る値の範囲を計算する計算手段と、
を有する情報処理装置。
（付記２）
前記第１の一階述語論理式群および第２の一階述語論理式群は、条件付確率の論理式で表現できる高次多項式間の等式および不等式に対してブール結合子および量化子を用いて表現される内容が許容されている、
付記１に記載の情報処理装置。
（付記３）
前記変換で使用される命題変数群を記憶する記憶手段
をさらに有する付記１又は２に記載の情報処理装置。
（付記４）
前記計算手段は、前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を、指定された精度で評価する、
付記１から３のいずれか１項に記載の情報処理装置。
（付記５）
前記計算手段は、前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲に関する実数の閉論理式の真偽を判定することで、前記範囲の評価を行う、
付記４に記載の情報処理装置。
（付記６）
前記計算手段は、前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を定義する実数の論理式から、量化子を含まず前記実数の論理式よりも簡略化された実数の一階述語論理式を計算する、
付記１から３のいずれか１項に記載の情報処理装置。
（付記７）
前記計算手段は、前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を表すグラフを作成する、
付記１から３のいずれか１項に記載の情報処理装置。
（付記８）
取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群を、実数の変数群に変換し、
命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数を特徴づける第１の一階述語論理式群と、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表した第２の一階述語論理式群とが変換された実数の一階述語論理式群を制約条件として、前記実数の変数群が取り得る値の範囲を計算する、
情報処理方法。
（付記９）
前記第１の一階述語論理式群および第２の一階述語論理式群は、条件付確率の論理式で表現できる高次多項式間の等式および不等式に対してブール結合子および量化子を用いて表現される内容が許容されている、
付記８に記載の情報処理方法。
（付記１０）
前記変換で使用される命題変数群が記憶されている
付記８又は９に記載の情報処理方法。
（付記１１）
前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を、指定された精度で評価する、
付記８から１０のいずれか１項に記載の情報処理方法。
（付記１２）
前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲に関する実数の閉論理式の真偽を判定することで、前記範囲の評価を行う、
付記１１に記載の情報処理方法。
（付記１３）
前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を定義する実数の論理式から、量化子を含まず前記実数の論理式よりも簡略化された実数の一階述語論理式を計算する、
付記８から１０のいずれか１項に記載の情報処理方法。
（付記１４）
前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を表すグラフを作成する、
付記８から１０のいずれか１項に記載の情報処理方法。
（付記１５）
取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群を、実数の変数群に変換する処理と、
命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数を特徴づける第１の一階述語論理式群と、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表した第２の一階述語論理式群とが変換された実数の一階述語論理式群を制約条件として、前記実数の変数群が取り得る値の範囲を計算する処理と、
をコンピュータに実行させるプログラムが格納された非一時的なコンピュータ可読媒体。
（付記１６）
前記第１の一階述語論理式群および第２の一階述語論理式群は、条件付確率の論理式で表現できる高次多項式間の等式および不等式に対してブール結合子および量化子を用いて表現される内容が許容されている、
付記１５に記載のプログラムが格納された非一時的なコンピュータ可読媒体。
（付記１７）
前記変換で使用される命題変数群が記憶されている
付記１５又は１６に記載のプログラムが格納された非一時的なコンピュータ可読媒体。
（付記１８）
前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を、指定された精度で評価する処理、
をコンピュータに実行させる付記１５から１７のいずれか１項に記載のプログラムが格納された非一時的なコンピュータ可読媒体。
（付記１９）
前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲に関する実数の閉論理式の真偽を判定することで、前記範囲の評価を行う処理、
をコンピュータに実行させる付記１８に記載のプログラムが格納された非一時的なコンピュータ可読媒体。
（付記２０）
前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を定義する実数の論理式から、量化子を含まず前記実数の論理式よりも簡略化された実数の一階述語論理式を計算する処理、
をコンピュータに実行させる付記１５から１７のいずれか１項に記載のプログラムが格納された非一時的なコンピュータ可読媒体。
（付記２１）
前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を表すグラフを作成する処理、
をコンピュータに実行させる付記１５から１７のいずれか１項に記載のプログラムが格納された非一時的なコンピュータ可読媒体。

本発明は、例えば、医療に関する分析や気象予測などに利用できる。

１００ 情報処理システム
１ 条件付確率計算装置
１１ 入力装置
１２ 変換部
１３ 計算部
１４ 記憶装置
１５ 出力装置
１３１ 真偽判定部
２００ 情報処理システム
２ 条件付確率計算装置
２１ 入力装置
２２ 変換部
２３ 計算部
２４ 記憶装置
２５ 出力装置
２３１ 真偽判定部
３００ 情報処理システム
３ 条件付確率計算装置
３１ 入力装置
３２ 変換部
３３ 計算部
３４ 記憶装置
３５ 出力装置
３３１ 量化子除去部
３３２ 論理式簡略化部
４００ 情報処理システム
４ 条件付確率計算装置
４１ 入力装置
４２ 変換部
４３ 計算部
４４ 記憶装置
４５ 出力装置
４３１ 量化子除去部
４３２ 近似グラフ作成部
４６１ 論理式簡略化部
５００ 情報処理装置
５１０ 変換部
５２０ 計算部
５３０ 記憶部

Claims (10)

1. 取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群を、実数の変数群に変換する変換手段と、
   命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数を特徴づける第１の一階述語論理式群と、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表した第２の一階述語論理式群とが変換された実数の一階述語論理式群を制約条件として、前記実数の変数群が取り得る値の範囲を計算する計算手段と、
   を有する情報処理装置。
2. 前記第１の一階述語論理式群および第２の一階述語論理式群は、条件付確率の論理式で表現できる高次多項式間の等式および不等式に対してブール結合子および量化子を用いて表現される内容が許容されている、
   請求項１に記載の情報処理装置。
3. 前記変換で使用される命題変数群を記憶する記憶手段
   をさらに有する請求項１又は２に記載の情報処理装置。
4. 前記計算手段は、前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を、指定された精度で評価する、
   請求項１から３のいずれか１項に記載の情報処理装置。
5. 前記計算手段は、前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲に関する実数の閉論理式の真偽を判定することで、前記範囲の評価を行う、
   請求項４に記載の情報処理装置。
6. 前記計算手段は、前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を定義する実数の論理式から、量化子を含まず前記実数の論理式よりも簡略化された実数の一階述語論理式を計算する、
   請求項１から３のいずれか１項に記載の情報処理装置。
7. 前記計算手段は、前記実数の一階述語論理式群を制約条件としたときの前記実数の変数群が取りうる値の範囲を表すグラフを作成する、
   請求項１から３のいずれか１項に記載の情報処理装置。
8. 取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群を、実数の変数群に変換し、
   命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数を特徴づける第１の一階述語論理式群と、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表した第２の一階述語論理式群とが変換された実数の一階述語論理式群を制約条件として、前記実数の変数群が取り得る値の範囲を計算する、
   コンピュータによって実行される情報処理方法。
9. 前記第１の一階述語論理式群および第２の一階述語論理式群は、条件付確率の論理式で表現できる高次多項式間の等式および不等式に対してブール結合子および量化子を用いて表現される内容が許容されている、
   請求項８に記載の情報処理方法。
10. 取り得る値の範囲の計算対象である条件付確率群を、実数の変数群に変換する処理と、
    命題論理式の２つの組を受け取って当該２つの組によって表される事象間の条件付確率を返す関数を特徴づける第１の一階述語論理式群と、既知の条件付確率の値及び条件付確率の相互の関係の少なくとも一方を表した第２の一階述語論理式群とが変換された実数の一階述語論理式群を制約条件として、前記実数の変数群が取り得る値の範囲を計算する処理と、
    をコンピュータに実行させるプログラム。

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