JP7440795B2 - Ｘｙモデルの計算装置および組合せ最適化問題計算装置 - Google Patents

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Description

本技術は、ＸＹモデルを光パルスによってシミュレーションするＸＹモデルの計算装置に関し、詳細には、光パラメトリック発振器（ＯＰＯ：Ｏｐｔｉｃａｌ Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ）を用いたＸＹモデルの計算装置に関する。
従来から知られているノイマン型のコンピュータではＮＰ問題に分類される組み合わせ最適化問題を効率よく解くことができない。組み合わせ最適化問題を解く手法として、磁性材料を、格子点の各サイトに配置されたスピンの相互作用、として統計力学的に解析した格子模型であるイジングモデルを用いた手法が提案されている。このイジングモデルを光パラメトリック発振パルスによりシミュレートして効率よく計算するコヒーレントイジングマシン(ＣＩＭ：Ｃｏｈｅｒｅｎｔ Ｉｓｉｎｇ Ｍａｃｈｉｎｅ)が提案されている[特許文献１]、[非特許文献１]。
また、非縮退光パラメトリック発振（Ｎｏｎ-ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ ＯＰＯ）パルス１つを使ってＸＹモデルの計算を行うことが提案されている[非特許文献２]。
ＸＹモデルとはイジングモデルと同様に、磁性体のモデルとして提案されたものであり、２次元のベクトルが各格子点上に配置されている状態を表現している。
ここでＸＹモデルとは、イジングモデルなどと同様、単純化されたスピン模型の一つである。格子点上のスピンを、２次元の古典ベクトルであらわしたものであり、下記のように表現がされる。
Figure 0007440795000001
Figure 0007440795000002
は、i番目（iは自然数）のスピンの位相を示す。
Figure 0007440795000003
は、ｊ番目（ｊは自然数）のスピンの位相を示す。
このＸＹモデルは、ヘリウム４の超流動薄膜などにおけるコスタリッツ・サウレス転移を説明するモデルとして良く知られている。このモデルの解を効率よく求めることができれば、タンパク質などの高分子物質の構造解析や、分光学分野、またコミュニティー検出等の最適化問題に応用する事が出来る。
スパイキングニューロンによりニューラルネットワークを構成したモデルはスパイキングニューラルネットワークと呼ばれ、ニューラルネットワークをより生物学的な脳の働きに近づけるため、活動電位（スパイク）を重視して作られた人工的なニューラルネットワークモデルである。スパイキングニューラルネットワークでは、スパイクが発生するタイミングを情報と考えるため、扱えるパラメータが多くなるので、ディープラーニングよりも扱える問題の範囲が広い次世代技術と言われている。一般にニューラルネットワークの処理を逐次処理のノイマン型コンピュータに実装する場合は処理効率が低くなり、さらにスパイキングニューラルネットワークの場合は活動電位まで模倣する必要があるため処理効率がさらに低下する。したがって、ニューラルネットワークをシミュレーションする際には専用プロセッサとして実装される場合が多い [非特許文献３]。
国際公開第２０１５／１５６１２６号パンフレット
T. Inagaki, Y. Haribara, etal, "A coherent ising machine for 2000-node optimization problems", Science, (2016), 354, 603-606. Y. Takeda, S. Tamate, Y. Yamamoto, H. Takesue, T. Inagaki and S. Utsunomiya, "Boltzmann sampling for an XY model using a non-degenerate optical parametric oscillator network", Quantum Science and Technology, (2018), Volume 3, 014004. P. A. Merolla et al., "A million spiking-neuron integrated circuit with a scalable communication network and interface", Science, (2014), 345 (6197): 668, doi:10.1126/science.1254642. PMID 25104385.
従来の技術である、コヒーレントイジングマシンでは、イジング問題、すなわち整数の組み合わせ最適化問題を解くことに特化しているが、実数で記述される組み合わせ最適化への応用が困難であった。
また、従来の技術においては、パルス光の２つの成分（ｉｎ－ｐｈａｓｅ およびｑｕａｄｒａｔｕｒｅ 成分）の測定が必須であり装置構成が複雑になるという課題があった。また、同じ装置でスパイキングニューロンモデルやイジングモデルの計算を行いたい場合には、装置構成を大幅に変える必要があり、計算可能なモデルの幅が狭い、という課題があった。[非特許文献２]
本技術はかかる従来の問題に鑑みなされたものであって、本技術の目的は、装置構成を単純化し、ほぼ同じ装置構成でスパイキングニューロンモデルやイジングモデルの計算が可能なＸＹモデルの計算装置を提供することにある。
上記の課題を解決するために、ＸＹモデルの計算装置の一態様は、複数の光パルスを増幅するための共振器部と、該複数の光パルスの位相および振幅を測定して測定結果を得る測定部と、該測定結果に基づいてある光パルスにかかわる相互作用をイジングモデルの結合係数を用いて演算してフィードバックするフィードバック構成とを備えたＸＹモデルの計算装置であって、前記フィードバック構成は、前記複数の光パルスのうちの２つの光パルスの結合係数で決まる相関関係をフィードバック入力するように構成され、かつ、前記イジングモデルの前記結合係数は、前記２つの光パルスの振幅を軸とする平面上の偏角として与えられる実数θを用いて記述されることを特徴とする。
本技術の発明ＸＹモデルの計算装置では、装置構成を単純化し、ほぼ同じ装置構成でスパイキングニューロンモデルやイジングモデルの計算が可能である、という有利な効果が得られる。
は、コヒーレントイジングマシンの基本構成を示す図である。 は、スパイキングニューロンの実装について説明する図である。 （ａ）は、振幅補正を行っていない場合の２つのパルスの振幅ｖ－ｗ平面の軌跡を示す。（ｂ）は、振幅補正を行った場合の２つのパルスの振幅ｖ－ｗ平面の軌跡を示す。 （ａ）は、複素ＸＹモデルにおいて、振幅補正を行っていない場合のステップ数（時間）とエネルギーとの関係を示す図である。（ｂ）は、複素ＸＹモデルにおいて、振幅補正を行った場合のステップ数（時間）とエネルギーとの関係を示す図である。
以下、本発明の実施形態について、詳細に説明がされる。
本実施形態のＸＹモデルの計算装置は、コヒーレントイジングマシンの２つのＯＰＯパルスに１つのスパイキングニューロンの状態を実装する。ＸＹモデルの計算装置は、複数の光パルス（ＯＰＯパルス）を増幅するための共振器部と、複数の光パルスの位相および振幅を測定して測定結果を得る測定部と、測定結果に基づいてある光パルスにかかわる相互作用をイジングモデルの結合係数を用いて演算してフィードバックするフィードバック構成とを備えている。ここで本実施形態のスパイキングニューロン装置を実現するコヒーレントイジングマシンについて説明がされる。
（実施形態１）
ＤＯＰＯ（Ｄｅｇｅｎｅｒａｔｅ Ｏｐｔｉｃａｌ Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ）スパイキングニューロン装置におけるフィードバック信号を記述する結合行列Jijを後述の（式１０）で与えられるものに設定がされる。
ＸＹモデル（下記ハミルトニアン）を解くことが出来る計算装置を、ＤＯＰＯスパイキングニューロン装置(ＤＯＰＯ-ＳＮＮ)を拡張して構成する。従来のＤＯＰＯ-ＳＮＮ（Ｓｐｉｋｉｎｇ Ｎｅｕｒａｌ Ｎｅｔｗｏｒｋ）やコヒーレントイジングマシン(ＣＩＭ：Ｃｏｈｅｒｅｎｔ Ｉｓｉｎｇ Ｍａｃｈｉｎｅ)、ポッツモデルの計算装置では、整数の組み合わせ最適化問題を解くことに特化しているが、実数で記述される組み合わせ最適化問題に応用できる。
そのＸＹモデルの計算装置により、結合行列を用いた実数θで変数が記述されるＸＹモデルの低エネルギー状態を計算する装置を構成する。実数θは、スパイキングニューロンを構成する２つの光パルス（ＤＯＰＯパルス）の振幅を軸とする平面上の偏角θで与える。スパイキングニューロンの発火状態を本技術によって制御することで、偏角θは０～２πまで回転するように連続に変化する。そのため、偏角は実数の変数θを得ることができる。
[コヒーレントイジングマシン]
従来から知られているノイマン型のコンピュータでは、ＮＰ問題に分類される組合せ最適化問題を効率よく解くことができない。組合せ最適化問題を解く手法として、磁性材料を格子点の各サイトに配置されたスピンの相互作用として統計力学的に解析した格子模型であるイジングモデルを用いた手法が提案されている。
イジングモデルの系のエネルギー関数であるハミルトニアンＨｘｙは、以下の式（１）に表わされることが知られている。
Figure 0007440795000004
また、複素（数系）のハミルトニアンＨｃｘｙは、
Figure 0007440795000005
式（１）～（２）中、Ｋijは結合行列であり、イジングモデルを構成する各サイトの相関関係を示している。
ＸＹモデルの計算装置の演算器で生成したフィードバック信号を入れれば、ＸＹモデルの低エネルギー状態が計算できる。
図１は、コヒーレントイジングマシンの基本構成を示す図である。コヒーレントイジングマシンは、図１に示すように、リング共振器１として機能するリング状の光ファイバ内に設けられた位相感応増幅器（ＰＳＡ：Ｐｈａｓｅ Ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ Ａｍｐｌｉｆｉｅｒ）２に対して、ポンプ光パルス（ｐｕｍｐ）を注入することによりイジングモデルのサイト数に対応する数の光パルスの列を生成するように構成している（２値化ＯＰＯ：Ｏｐｔｉｃａｌ Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ：０またはπ位相の光パラメトリック発振器）。このリング共振器１と位相感応増幅器２とにより共振器部を構成している。
コヒーレントイジングマシンは、さらに図１に示すように、光パルスの列を測定する測定部３と測定結果に基づいて光パルスにフィードバックを与える演算器４と外部光パルス入力部５を備えている。
リング共振器１に入力された光パルス列が１周して再びＰＳＡ２に到達すると、再びＰＳＡ２にポンプ光が入力されることにより光パルス列が増幅される。最初のポンプ光の注入により発生する光パルス列は位相が定まらない微弱な光のパルスであり、リング共振器１内を周回するたびにＰＳＡ２で増幅されることによって、次第にその位相状態が定まる。ＰＳＡ２は各光パルスをポンプ光源の位相に対し０またはπの位相で増幅するので、これらのいずれかの位相状態に定まることになる。
コヒーレントイジングマシンでは、イジングモデルにおけるスピンの１、－１を、光パルスの位相０、πに対応させて実装している。光パルスの周回ごとに、リング共振器１の外部の測定部３で光パルス列の位相および振幅の測定を行ない、その測定結果を、予め結合係数Ｋijを与えた演算器４に入力して、これらを用いてｉ番目の光パルスに対する結合信号（フィードバック入力する信号）
Figure 0007440795000006
Figure 0007440795000007
（ｖj：ｊ番目のサイトの光パルスｖの振幅、ｗj：ｊ番目のサイトの光パルスｗの振幅）を演算がされる。さらに、外部光パルス入力部５により演算した結合信号に応じた外部光パルスを生成してリング共振器１内に入力するフィードバックループ制御により、光パルス列を構成する各光パルス間で位相に相関関係を付与することができる。
コヒーレントイジングマシンでは、上述した相関関係を付与しながら光パルス列をリング共振器１内で周回増幅させて、安定状態となったときの光パルス列を構成する各光パルスの位相０、πを測定することにより、イジングモデルの解を求めることができる。
図１に示すコヒーレントイジングマシンの構成は一例であり、例えば図１ではフィードバック構成は演算器４と外部光パルス入力部５とにより構成されていた。その他、外部光パルス入力部５によらず、リング共振器１内に変調器を設けてリング共振器１内を周回伝搬する光パルスに変調する構成とすることもできる。本実施形態のＸＹモデルの計算装置において用いることができるコヒーレントイジングマシンは、図１に示す構成に限らず、その他、共振器部と測定部とフィードバック構成とを備えた既知の構成とすることができる。
[スパイキングニューロンのシミュレーション]
図２は、スパイキングニューロンの実装について説明する図である。本実施形態のスパイキングニューロン装置では、コヒーレントイジングマシンを構成する２つのＯＰＯパルス（光パルス）に対して２つの結合係数によって決まる相関関係をフィードバック入力する。本実施形態では、２Ｎ（Ｎは自然数）個の光パルス列Ｃｊ（ｊは１以上２Ｎ以下の整数）の前半分をｖi（ｉは１以上Ｎ以下の整数）、後ろ半分をｗiと定義する。図２に示すように、同じｉに属する光パルス（Ｐｕｌｓｅ）ｖと光パルスｗとの結合係数としてＪvwとＪwv（＝－Ｊvw）とを用いたときに計算される光パルスｖと光パルスｗにおいて、両光パルスｖ、ｗの値により１つのスパイキングニューロンの状態がシミュレートされる。つまり、２Ｎ個の光パルスで、Ｎ個のニューロンをシミュレートする。
図１に示すコヒーレントイジングマシンを用いて構成する場合、測定器３でコヒーレント測定した光パルスＣｊの測定結果を用いて演算器４において以下の式（５）により演算が行われる。
Figure 0007440795000008
上述の式（５）においてＦiは磁場項である。Ｊｉｊは結合係数によって決まる相関関係（結合行列）であり、具体的には以下のように与えられることになる。
Figure 0007440795000009
上述の行列により光パルスｖiとｗiとのペアがｉ番目のスパイキングニューロンの状態を示していることになる。 このときのｉ番目のｖ、ｗのペアが従う方程式は、下記の式（７）、（８）のように与えられる（式（７）、（８）では添え字ｉは省略する）。本装置でのスパイキングニューロンの動作は、この式で特徴づけられる。ＤＯＰＯスパイキングニューロン装置の動作が下記の式（７）、（８）のように記述できる場合、ＸＹモデルの計算装置となる。
Figure 0007440795000010
Figure 0007440795000011
式（７）、（８）において、ｐは、ポンプ光の強度を表し、ｐ＝１が発振閾値になるように規格化してある。便宜上、Ｐ＝ｐ－１と置くことができる。
なお、複素ＸＹモデルの場合は、ｉ番目の光パルスに対する結合信号（フィードバック入力する信号）を式（９）、式（１０）
Figure 0007440795000012
Figure 0007440795000013
ｖj：ｊ番目のサイトの光パルスｖの振幅、ｗj：ｊ番目のサイトの光パルスｗの振幅を演算がされる。また、結合行列は、式（１１）のようにする。
Figure 0007440795000014
 ＸＹモデルの変数
Figure 0007440795000015
は
Figure 0007440795000016
とする。これは、ＤＯＰＯスパイキングニューロンを形成する２つのパルスの振幅
Figure 0007440795000017
が作る平面上の偏角となる。発火状態のスパイキングニューロンにおいては
Figure 0007440795000018
は０から２πまで回転するように連続に変化する。
本実施形態の複数の光パルスを増幅するための共振器部と、該複数の光パルスの位相および振幅を測定して測定結果を得る測定部と、該測定結果に基づいてある光パルスにかかわる相互作用をイジングモデルの結合係数を用いて演算してフィードバックするフィードバック構成とを備えたＸＹモデルの計算装置において、フィードバック構成は、複数の光パルスのうちの２つの光パルスの結合係数で決まる相関関係をフィードバック入力するように構成され、かつ、イジングモデルの結合係数は、２つの光パルスの振幅を軸とする平面上の偏角として与えられる実数θを用いて記述される。従来のコヒーレントイジングマシン装置と同一の構成の装置を用いることが可能である。ここで、実数θで変数が記述され、ＸＹモデルのエネルギーの式（１）
Figure 0007440795000019
が式（６）の結合行列
Figure 0007440795000020
を満たし、
Figure 0007440795000021
かつ、複素ＸＹモデルのエネルギーの式（２）
Figure 0007440795000022
が式（１１）の結合行列を満たすことにより、
Figure 0007440795000023
低エネルギー状態を計算する装置が構成される。実数θは、スパイキングニューロンを構成する２つの（ＤＯＰＯパルス）の振幅を軸とする平面上の偏角で与える。スパイキングニューロンの発火状態を本実施形態に記載された方法によって制御することで、偏角θは０～２πまで回転するように連続に変化する。そのため、実数の変数θを得ることができ、変数θを用いてＸＹモデルの低エネルギー状態の探索を行うことができる。
（実施形態２）
装置の発火状態をうまく制御するために、フィードバック信号（式１３）を入力することで、計算精度が格段に向上する方法を説明する。フィードバック信号以外は、実施形態１と同様の装置を用いることができる。
[振幅制御フィードバック]
光振幅がiに依存して変化してしまい、精度が出ないことがあり、特定のケースを除いてＸＹモデルソルバーとして機能しない場合があるので、実施形態１の式（９）、式（１０）の
Figure 0007440795000024
を用いて、フィードバック信号を以下のように拡張する。
Figure 0007440795000025
Figure 0007440795000026
の場合、フィードバック信号は拡張前のフィードバック信号となる。
式（１２）は、従来の装置のフィードバック信号
Figure 0007440795000027
において、
Figure 0007440795000028
と置いたものである。
フィードバック信号として
Figure 0007440795000029
を用い、フィードバック信号を拡張すれば、振幅の大きさが調整されることが可能である。振幅の大きさが調整されることが可能であることが数値シミュレーションで確かめられた結果を次に示す。
数値シミュレーションにおいて、スピンＮ＝１００ の複素ＸＹモデル、複素数の行列である結合定数Ｋｉｊはランダムに生成された。
他にも、準Ｎｅｗｔｏｎ法を用いて解を求める。小さいＮである数十程度のサイズでは、準Ｎｅｗｔｏｎと同程度の解しか得られなかった。
Ｎ＝３００程度で、スコアがＳＮＮの方が良くなる傾向がある。ただし、ステップ数は一定とする。
結合定数Ｋｉｊの密度にもスコアは依存する。ＳＮＮは、高密度の方が強い傾向がある。
２つのパルスの振幅であるｖ－ｗ平面（iは省略）の軌跡を図３に示す。この軌跡上の点での偏角が、ＸＹ模型の変数θになる。
図３（ａ）は、振幅補正を行っていない場合の２つのパルスの振幅ｖ－ｗ平面の軌跡を示す。図３（ａ）の横軸は、ｖの振幅であり、縦軸は、ｗの振幅である。図３（ａ）より、振幅が不均一化し、且つ円でなくなる結果が得られた。
図３（ｂ）は、振幅補正を行った場合の２つのパルスの振幅ｖ－ｗ平面の軌跡を示す。振幅補正を行った場合、振幅が均一で、且つ、真円に近い結果が得られた。振幅が均一で、且つ、真円に近いほど、精度良い答えが得られた。このときの偏角は、測定精度で、実数の値を得ることができる。
複素ＸＹモデルのエネルギーについて、スピン数Ｎ＝１００のＸＹモデルを採用し、図４を用いて説明がされる。図４（ａ）は、複素ＸＹモデルにおいて、振幅補正を行っていない場合のステップ数（時間）とエネルギーとの関係を示す。振幅補正を行っていない場合、ステップ数（時間）が増えるにつれてエネルギーは一時的に下がる。しかしながら、エネルギーの値は不安定に振動することが多い。エネルギーＥの下限の値は、－２４８０．４５であった。
図４（ｂ）は、複素ＸＹモデルにおいて、振幅補正を行った場合のステップ数（時間）とエネルギーとの関係を示す。エネルギーＥの下限の値は、－２５７７．８８であった。ステップ数（時間）が増えるにつれてエネルギーの値は安定的に振動する。
なお、実施形態１～２で採用したＸＹモデルの計算装置は、そのＸＹモデルの計算装置を適用し上述の組み合わせ最適化問題を解く組合せ最適化問題計算装置に応用することができる。

Claims (5)

  1. 複数の光パルスを増幅するための共振器部と、
    該複数の光パルスの位相および振幅を測定して測定結果を得る測定部と、
    該測定結果に基づいてある光パルスにかかわる相互作用をイジングモデルの結合係数を用いて演算してフィードバックするフィードバック構成と、
    を備え、
    前記フィードバック構成は、前記複数の光パルスのうちの２つの光パルスの結合係数で決まる相関関係をフィードバック入力するように構成され、かつ、
    前記イジングモデルの前記結合係数は、前記２つの光パルスの振幅を軸とする平面上の偏角として与えられる実数θを用いて記述されることを特徴とするＸＹモデルの計算装置。
  2. 前記光パルスの成分は、同相成分であることを特徴とする請求項１に記載のＸＹモデルの計算装置。
  3. ＸＹモデルのハミルトニアンの式（１）において、
    Figure 0007440795000030
     が、
    Figure 0007440795000031
     をi番目（iは自然数）のスピンの位相、
    Figure 0007440795000032
     をｊ番目（ｊは自然数）のスピンの位相、
    Figure 0007440795000033
     は実対称行列とし、かつ、式（６）の結合行列
    Figure 0007440795000034
     を満たし、
    Figure 0007440795000035
    Figure 0007440795000036
     をi番目（iは自然数i）のスピンの位相、
    Figure 0007440795000037
     ｊ番目（ｊは自然数）のスピンの位相とし、
    Figure 0007440795000038
     はエルミート行列とし、かつ、複素（数系）ＸＹモデルのハミルトニアンの式（２）において、
    Figure 0007440795000039
     が、
    Figure 0007440795000040
     をi番目（iは自然数i）のスピンの位相、
    Figure 0007440795000041
     をｊ番目（ｊは自然数）のスピンの位相
    Figure 0007440795000042
     はエルミート行列とし、かつ、式（１１）の結合行列を満たすことにより、
    Figure 0007440795000043
     前記偏角は０～２πまで回転するように連続に変化することを特徴とする請求項１に記載のＸＹモデルの計算装置。
  4. i,jは自然数、ｖjを前記２つの光パルスのうち一方のｊ番目のサイトの光パルスｖの振幅、ｗjを前記２つの光パルスのうち他方のｊ番目のサイトの光パルスｗの振幅とし、複素数の行列Ｋijを結合係数とし、
    Figure 0007440795000044
     をKijの実数部分、
    Figure 0007440795000045
     をKijの虚数部分とし、前記フィードバック入力で用いられるフィードバック信号
    Figure 0007440795000046
     が、
    Figure 0007440795000047
    Figure 0007440795000048
    Figure 0007440795000049
     の関係を満たすように、前記フィードバック入力で用いられるフィードバック信号
    Figure 0007440795000050
     が決定されることを特徴とする請求項１に記載のＸＹモデルの計算装置。
  5. 請求項１乃至４いずれか一項に記載のＸＹモデルの計算装置を適用した組合せ最適化問題計算装置。
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