JP7346239B2

JP7346239B2 - 解析方法及び解析システム

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Publication number: JP7346239B2
Application number: JP2019194370A
Authority: JP
Inventors: 怜佐久間; 悟史中村; ジェヒョンべ
Original assignee: Samsung Electronics Co Ltd
Current assignee: Samsung Electronics Co Ltd
Priority date: 2019-10-25
Filing date: 2019-10-25
Publication date: 2023-09-19
Anticipated expiration: 2039-10-25
Also published as: JP2021068281A; KR20210049663A

Description

本発明は解析方法及び解析システムに関し、特に、物質の電子状態の解析のための解析方法及び解析システムに関する。

量子コンピュータにより、物質の電子状態を解析する技術が提案されている。例えば、非特許文献１は、量子コンピュータを用いた、グリーン関数に基づく電子状態の計算方法について開示している。この文献に記載された方法では、時間ベースのグリーン関数を計算し、得られた時間ベースのグリーン関数にフーリエ変換を行うことで周波数ベースのグリーン関数を得ている。また、非特許文献２は、量子コンピュータを用いてグリーン関数を計算する技術について開示している。

Pierre-Luc Dallaire-Demers and Frank K. Wilhelm, "Method to efficiently simulate the thermodynamic properties of the Fermi-Hubbard model on a quantum computer", PHYSICAL REVIEW A 93, 032303 (2016) Taichi Kosugi and Yu-ichiro Matsushita, "Construction of Green’s functions on a quantum computer: applications to molecular systems", arXiv:1908.03902, August 13, 2019 A. Peruzzo et al., "A variational eigenvalue solver on a photonic quantum processor", Nature Communications, 5:4213 (2014) A. Szabo and N. S. Ostlund, "Modern Quantum Chemistry", Dover Publications (1996) A. G. Taube and R. J. Bartlett, "New perspectives on unitary coupled-cluster theory", International Journal of Quantum Chemistry, Vol 106, 3393-3401 (2006) G. Ortiz, J. E. Gubernatis, E. Knill, and R. Laflamme, "Quantum algorithms for fermionic simulations", Phys. Rev. A 64, 022319 (2001) S. Bravyi and A. Kitaev, "Fermionic quantum computation", Annals of Physics, Vol. 298, 210-226 (2002) J. C. Spall, "Multivariate stochastic approximation using a simultaneous perturbation gradient approximation", IEEE Transactions on Automatic Control 37, 332-341 (1992)

しかし、非特許文献１の手法ではトロッター（Trotter）分解という量子演算の分割を行うために、多数の量子ゲートを必要とする。このため、現在の量子コンピュータでは実現が困難である。

本発明はかかる問題点を解決するためになされたものであり、量子コンピュータによる計算で必要とされる量子ゲート数を抑制しつつ、グリーン関数を計算することができる解析方法及び解析システムを提供することを目的とする。

本発明にかかる解析方法では、
古典コンピュータが、電子数がＮ（Ｎは自然数）である解析対象の物質についてのＮ±１電子系を表わす基底関数に対応する部分系のハミルトニアン演算子と、前記基底関数の重なり行列に対応する演算子とを、スピン演算子に変換し、
量子コンピュータが、前記スピン演算子の期待値を計算し、
前記古典コンピュータが、
前記期待値に基づいて、前記ハミルトニアン演算子に相当するハミルトニアン行列の要素及び前記重なり行列の要素を計算し、
前記ハミルトニアン行列及び前記重なり行列に基づいて、一電子グリーン関数を計算する。

本発明にかかる解析システムは、
古典コンピュータと、量子コンピュータとを備え、
前記古典コンピュータは、電子数がＮ（Ｎは自然数）である解析対象の物質についてのＮ±１電子系を表わす基底関数に対応する部分系のハミルトニアン演算子と、前記基底関数の重なり行列に対応する演算子とを、スピン演算子に変換し、
前記量子コンピュータは、前記スピン演算子の期待値を計算し、
前記古典コンピュータは、
前記期待値に基づいて、前記ハミルトニアン演算子に相当するハミルトニアン行列の要素及び前記重なり行列の要素を計算し、
前記ハミルトニアン行列及び前記重なり行列に基づいて、一電子グリーン関数を計算する。

本発明によれば、量子コンピュータによる計算で必要とされる量子ゲート数を抑制しつつ、グリーン関数を計算することができる解析方法及び解析システムを提供することができる。

実施の形態にかかる解析システムの構成を示すブロック図である。電子数がＮである物質の基底状態について計算する処理の流れを示すフローチャートである。グリーン関数を計算する処理の流れを示すフローチャートである。古典コンピュータによって行なわれるステップＳ３０５の処理の流れを示すフローチャートである。水素分子の電子状態の計算結果を示すグラフである。水素分子の電子状態の計算結果を示すグラフである。水素分子の電子状態の計算結果を示すグラフである。水素分子の電子状態の計算結果を示すグラフである。エネルギー状態密度から計算された最低占有エネルギーと最高占有エネルギーの差を示す表である。

以下、本発明を適用した具体的な実施の形態について、図面を参照しながら詳細に説明する。

図１は、実施の形態にかかる解析システム１０の構成を示すブロック図である。図１に示すように、解析システム１０は、古典コンピュータ１００と、量子コンピュータ２００とを備える。解析システム１０は、解析対象の物質の電子状態を解析するシステムである。ここで、解析対象の物質の電子数をＮ（Ｎは自然数）とする。

古典コンピュータ１００は、パーソナルコンピュータ、サーバなどの任意のノイマン型コンピュータであり、プロセッサとメモリを含み、プロセッサがメモリに格納された命令（コンピュータプログラム）を実行することにより処理を行う。コンピュータプログラムは、様々なタイプの非一時的なコンピュータ可読媒体（ｎｏｎ－ｔｒａｎｓｉｔｏｒｙｃｏｍｐｕｔｅｒｒｅａｄａｂｌｅｍｅｄｉｕｍ）を用いて格納され、コンピュータに供給することができる。非一時的なコンピュータ可読媒体は、様々なタイプの実体のある記録媒体（ｔａｎｇｉｂｌｅｓｔｏｒａｇｅｍｅｄｉｕｍ）を含む。非一時的なコンピュータ可読媒体の例は、磁気記録媒体（例えばフレキシブルディスク、磁気テープ、ハードディスクドライブ）、光磁気記録媒体（例えば光磁気ディスク）、ＣＤ－ＲＯＭ（ＲｅａｄＯｎｌｙＭｅｍｏｒｙ）、ＣＤ－Ｒ、ＣＤ－Ｒ／Ｗ、半導体メモリ（例えば、マスクＲＯＭ、ＰＲＯＭ（ＰｒｏｇｒａｍｍａｂｌｅＲＯＭ）、ＥＰＲＯＭ（ＥｒａｓａｂｌｅＰＲＯＭ）、フラッシュＲＯＭ、ＲＡＭ（ｒａｎｄｏｍａｃｃｅｓｓｍｅｍｏｒｙ））を含む。また、プログラムは、様々なタイプの一時的なコンピュータ可読媒体（ｔｒａｎｓｉｔｏｒｙｃｏｍｐｕｔｅｒｒｅａｄａｂｌｅｍｅｄｉｕｍ）によってコンピュータに供給されてもよい。一時的なコンピュータ可読媒体の例は、電気信号、光信号、及び電磁波を含む。一時的なコンピュータ可読媒体は、電線及び光ファイバ等の有線通信路、又は無線通信路を介して、プログラムをコンピュータに供給できる。

量子コンピュータ２００は、ゲート型量子コンピュータである。すなわち、量子コンピュータ２００は、量子ゲートを含み、量子ゲートを用いて量子計算を行なうコンピュータである。古典コンピュータ１００と量子コンピュータ２００とは、有線又は無線のネットワークを介して通信可能に接続されており、データを双方向に転送可能である。

図２から図４は、解析システム１０による処理の流れを示すフローチャートである。以下、図２から図４を参照しつつ、解析システム１０の処理について説明する。本実施の形態で示される解析方法は、主に、物質の基底状態のエネルギー及び波動関数を計算する第１の処理（図２）と、第１の処理で得られた結果を用いてグリーン関数（より詳細には、一電子グリーン関数）を計算する第２の処理とを含む。なお、基底状態のエネルギー及び基底状態の波動関数が既知である場合には、第１の処理を省略することができる。

まず、第１の処理について説明する。図２は、電子数がＮである物質の基底状態について計算する処理の流れを示すフローチャートである。本実施の形態では、図２に示すように、ＶＱＥ（Variational Quantum Eigensolver）法に従って、古典コンピュータ１００及び量子コンピュータ２００によって、基底状態が計算される。具体的には、例えば、非特許文献３に記載されたＶＱＥ法に従って、基底状態が計算される。

まず、ステップＳ２０１において、古典コンピュータ１００は、解析対象である物質の構造情報および電子数Ｎに対応するハミルトニアン演算子Ｈを構成する展開係数を計算する。

ここで、ハミルトニアン演算子Ｈは、以下の式（１）で表わされ、式（１）の右辺に示されるｈ_ｉｊ及びＶ_ｉｊｋｌが展開係数である。

なお、式（１）に現れるｃ_ｉ，ｃ_ｊ，ｃ_ｋ，ｃ_ｌは電子の消滅演算子であり、ｃ_ｉ ^†，ｃ_ｊ ^†は電子の生成演算子である。また、添え字ｉ，ｊ，ｋ，ｌは、用いる基底関数のインデックス番号を表す。通常、基底関数としてはHartree-Fock法（非特許文献４）の一電子波動関数（正準軌道）などが用いられるが、別な関数が用いられてもよい。

展開係数ｈ_ｉｊ及びＶ_ｉｊｋｌはそれぞれ原子単位系において次のような形式で与えられ、ステップＳ２０１において、古典コンピュータ１００で計算される。

この２つの式において、φ_ｉ（ｒ，σ）は、用いられる基底関数を表し、ｒは空間座標、σはスピン座標である。上付き添え字の＊は複素共役を示す。また、式（２）のｖ（ｒ）は一般的なポテンシャルであり、物質中の原子核が作るクーロンポテンシャルなどを含む。Ｖ_ｉｊｋｌは電子の間に働くクーロンポテンシャルである。

次に、ステップＳ２０２において、古典コンピュータ１００は、Ｎ電子系の基底状態の波動関数｜Ｎ，０＞についての試行波動関数のパラメータを初期化する。すなわち、古典コンピュータ１００は、試行波動関数｜Ｎ，０＞のパラメータの初期値を設定する。なお、波動関数｜Ｎ，ｎ＞は、Ｎ電子系のｎ（ただし、ｎは０以上の整数）番目のエネルギー準位の波動関数を表わす。したがって、ｎ＝０の場合、｜Ｎ，ｎ＞は、基底状態の波動関数を表わし、ｎ＞１の場合、｜Ｎ，ｎ＞は、励起状態の波動関数を表わす。

ここで、Ｎ電子系の基底状態の波動関数｜Ｎ，０＞は、以下の式（４）のように、パラメータの組｛θ｝を含んだ形で表わされるものとする。

ここで、｜ＨＦ＞は、Hartree-Fock法で表される電子の基底状態の波動関数である。また、Ｕ（θ）はパラメータθを含むユニタリ演算子であり、具体的な関数形はたとえば非特許文献５のunitary coupled cluster法などを用いる。

本実施の形態では、解析システム１０は、試行波動関数｜Ｎ，０＞を用いてハミルトニアン演算子の期待値であるエネルギー期待値＜Ｎ，０｜Ｈ｜Ｎ，０＞を計算する。このために、まず、ステップＳ２０３において、古典コンピュータ１００は、ハミルトニアン演算子をスピン演算子へ変換する。古典コンピュータ１００は、ハミルトニアン演算子ＨをJordan-Wigner変換（非特許文献６）又はBravyi-Kitaev変換（非特許文献７）などを用いてスピン演算子の組に変換する。具体的には、古典コンピュータ１００は、以下の式（５）に示されるように変換する。

ここで、αは、スピン演算子へ展開したときの展開項を表す添え字である。また、ｈ_αは展開係数である。Ｐ_αはスピン自由度を含んだ基底関数の数をＭとして、以下の式（６）に示すように、Ｍ個のスピン演算子ｐ_ｉαの直積で表される。なお、各スピン演算子ｐ_ｉαは、スピン演算子Ｘ、Ｙ、Ｚまたは恒等演算子Ｉのいずれかの値をとりうる。

次に、ステップＳ２０４において、量子コンピュータ２００は、設定されたパラメータで与えられる試行波動関数を用いて、各スピン演算子の期待値を計算する。具体的には、量子コンピュータ２００は、各スピン演算子Ｐ_αの期待値＜Ｎ，０｜Ｐ_α｜Ｎ，０＞の計算を行う。

次に、ステップＳ２０５において、古典コンピュータ１００は、ステップＳ２０４で得られたＰ_αの期待値＜Ｎ，０｜Ｐ_α｜Ｎ，０＞から、Ｎ電子系の基底状態のエネルギー期待値Ｅ_０ ^Ｎを計算する。具体的には、古典コンピュータ１００は、以下の式（７）を計算する。

このようにして得られるエネルギー期待値が最小となるようなパラメータθの値を、反復計算により決定する。具体的には、上述したステップＳ２０４、及び後述するステップＳ２０５からステップＳ２０７の処理が繰り返される。なお、この繰り返し処理においては、既存の最小化ルーチン、たとえばSimultaneous perturbation stochastic approximation法（非特許文献８）などを用いる。

ステップＳ２０６では、古典コンピュータ１００は、ステップＳ２０５で算出されたエネルギー期待値が収束したか否かを判定する。たとえば、古典コンピュータ１００は、繰り返し処理のｔ回目においてステップＳ２０５で算出されたエネルギー期待値と、ｔ＋１回目においてステップＳ２０５で算出されたエネルギー期待値との差が所定の差分以下である場合、エネルギー期待値が収束したと判定する。

エネルギー期待値が収束していない場合（ステップＳ２０６でＮｏ）、処理はステップＳ２０７へ移行する。ステップＳ２０７では、古典コンピュータ１００は、試行波動関数のパラメータθの値を更新する。古典コンピュータ１００は、たとえば、所定の変更規則に従って、パラメータθの値を変更することにより更新する。ステップＳ２０７の後、処理はステップＳ２０４に戻る。すなわち、量子コンピュータ２００によって、更新されたパラメータで与えられる試行波動関数を用いて、スピン演算子の期待値を計算する。

エネルギー期待値が収束した場合（ステップＳ２０６でＹｅｓ）、ステップＳ２０８において、古典コンピュータ１００は、Ｎ電子系の基底状態の波動関数のパラメータを決定する。すなわち、古典コンピュータ１００は、現在のパラメータの値をＮ電子系の基底状態の波動関数のパラメータの値として確定する。これにより、確定したパラメータで与えられる波動関数が、解析対象の物質のＮ電子系の基底状態の波動関数とされる。なお、収束したエネルギー期待値は、解析対象の物質のＮ電子系の基底状態のエネルギー期待値である。したがって、解析システム１０による図２に示す処理により、Ｎ電子系の基底状態の波動関数及びエネルギー期待値が計算される。

次に、第２の処理、すなわち、第１の処理（図２）で得られた結果を用いてグリーン関数を計算する処理について説明する。図３は、グリーン関数を計算する処理の流れを示すフローチャートである。以下、図３に沿って説明する。

ステップＳ３０１において、古典コンピュータ１００は、解析対象の物質のＮ＋１電子系の部分系を表現する基底関数｜Ｂ_Ｉ ^Ｎ＋１＞及び解析対象の物質のＮ－１電子系の部分系を表現する基底関数｜Ｂ_Ｉ ^Ｎ－１＞を、第１の処理で計算された基底状態の波動関数｜Ｎ，０＞を用いて、以下の式（８）及び式（９）に示すように定義する。すなわち、古典コンピュータ１００は、Ｎ＋１電子系の部分系を表現する基底関数及びＮ－１電子系の部分系を表現する基底関数を、Ｎ電子系の基底状態の波動関数に電子の生成消滅演算子を作用させて構築する。

ここで、Ｃ_Ｉは一般化された消滅演算子を表わし、Ｃ_Ｉ ^†は一般化された生成演算子を表わす。一般化された消滅演算子とは、１以上の生成消滅演算子の組み合わせにより、電子を１つ消滅させる演算子であり、一般化された生成演算子とは、１以上の生成消滅演算子の組み合わせにより、電子を１つ生成させる演算子である。具体的には、Ｃ_Ｉ、Ｃ_Ｉ ^†は、以下の（１）、（２）のような演算子を含み得る。なお、Ｃ_Ｉ、Ｃ_Ｉ ^†は、（１）で示される演算子のみを含んでもよいし、（２）で示される演算子のみを含んでもよいし、（１）で示される演算子及び（２）で示される演算子を含んでもよい。

（１）１つの生成消滅演算子（すなわち、式（１）においてハミルトニアン演算子を展開する際に用いたいずれか１つの生成消滅演算子）からなる演算子：
この場合、Ｃ_Ｉ、Ｃ_Ｉ ^†は、次のように表わされる。

（２）複数の生成消滅演算子により表わされる演算子（すなわち、式（１）においてハミルトニアン演算子を展開する際に用いた生成消滅演算子の組み合わせ（生成消滅演算子の積）により表わされる演算子）：
この場合、Ｃ_Ｉは、ｑ（ｑは１以上の整数）個の生成演算子とｑ＋１個の消滅演算子とが組み合わされた演算子である。また、Ｃ_Ｉ ^†は、ｑ（ｑは１以上の整数）個の消滅演算子とｑ＋１個の生成演算子とが組み合わされた演算子である。たとえば、一例として、合計３個の生成消滅演算子が組み合わされた演算子を示すと、次のように表わされる。

すなわち、この場合、Ｃ_Ｉは２個の消滅演算子と１個の生成演算子の組み合わせとなっており、Ｃ_Ｉ ^†は２個の生成演算子と１個の消滅演算子の組み合わせとなっている。
なお、組み合わせる生成消滅演算子の数は、３個に限らず、５個、７個など、任意の奇数個の生成消滅演算子を組み合わせてもよい。どの組み合わせを用いるかは、ユーザーがあらかじめ指定する。

上述した（１）で説明した演算子と（２）で説明した演算子とをまとめて言及すると、Ｃ_Ｉはｑ（ｑは０以上の整数）個の生成演算子とｑ＋１個の消滅演算子とが組み合わされた演算子であり、Ｃ_Ｉ ^†は、ｑ（ｑは０以上の整数）個の消滅演算子とｑ＋１個の生成演算子とが組み合わされた演算子である、と言うこともできる。

解析システム１０は、上述の通り定義された基底関数｜Ｂ_Ｉ ^Ｎ＋１＞及び｜Ｂ_Ｉ ^Ｎ－１＞を用いて表されるＮ＋１電子系及びＮ－１電子系の部分系の行列表示されたハミルトニアンＨ^Ｎ＋１及びＨ^Ｎ－１と、これらハミルトニアンの基底関数の重なりを表す行列、すなわち、重なり行列Ｓ^Ｎ＋１及びＳ^Ｎ－１とを、以下のように計算する。

まず、ステップＳ３０２において、古典コンピュータ１００は、Ｎ＋１電子系およびＮ－１電子系の部分系のハミルトニアン行列（ハミルトニアン演算子に相当する行列）の要素と、このハミルトニアン行列に対応する重なり行列の要素とを計算するための演算子をスピン演算子の組に変換する。

上記の基底関数系｜Ｂ_Ｉ ^Ｎ＋１＞及び｜Ｂ_Ｉ ^Ｎ－１＞を用いると、Ｎ＋１電子系及びＮ－１電子系の部分系のハミルトニアン行列Ｈ^Ｎ＋１及びＨ^Ｎ－１のＩ行Ｊ列の成分（すなわち、（Ｉ，Ｊ）行列要素）であるＨ_ＩＪ ^Ｎ＋１及びＨ_ＩＪ ^Ｎ－１は以下の式（１２）、式（１３）のように与えられる。また、これらハミルトニアン行列に対応する重なり行列Ｓ^Ｎ＋１及びＳ^Ｎ－１のＩ行Ｊ列の成分（すなわち、（Ｉ，Ｊ）行列要素）であるＳ_ＩＪ ^Ｎ＋１及びＳ_ＩＪ ^Ｎ－１は以下の式（１４）、式（１５）のように与えられる。

ステップＳ３０２において、古典コンピュータ１００は、上記４つの式において、＜Ｎ，０｜と｜Ｎ，０＞の中に現れる演算子Ｃ_ＩＨＣ_Ｊ ^†、Ｃ_Ｉ ^†ＨＣ_Ｊ、Ｃ_ＩＣ_Ｊ ^†、及びＣ_Ｉ ^†Ｃ_Ｊのそれぞれを、Jordan-Wigner変換（非特許文献６）又はBravyi-Kitaev変換（非特許文献７）などを用いてスピン演算子の組に変換する。すなわち、ステップＳ３０２では、古典コンピュータ１００は、電子数がＮである解析対象の物質についてのＮ±１電子系を表わす基底関数に対応する部分系のハミルトニアン演算子（Ｃ_ＩＨＣ_Ｊ ^†及びＣ_Ｉ ^†ＨＣ_Ｊ）と、基底関数の重なり行列に対応する演算子（Ｃ_ＩＣ_Ｊ ^†、及びＣ_Ｉ ^†Ｃ_Ｊ）とを、スピン演算子に変換する。つまり、古典コンピュータ１００は、消滅演算子とハミルトニアン演算子と生成演算子の積で表わされる演算子（Ｃ_ＩＨＣ_Ｊ ^†）、生成演算子とハミルトニアン演算子と消滅演算子の積で表わされる演算子（Ｃ_Ｉ ^†ＨＣ_Ｊ）、消滅演算子と生成演算子の積で表わされる演算子（Ｃ_ＩＣ_Ｊ ^†）、及び、生成演算子と消滅演算子の積で表わされる演算子（Ｃ_Ｉ ^†Ｃ_Ｊ）を、それぞれスピン演算子に変換する。具体的には、古典コンピュータ１００は、以下の式（１６）、式（１７）、式（１８）、及び式（１９）に示されるように変換する。

ここで、αは、スピン演算子へ展開したときの展開項を表す添え字である。また、ｈ_ＩＪ，α ^Ｎ＋１、ｈ_ＩＪ，α ^Ｎ－１、ｓ_ＩＪ，α ^Ｎ＋１、及びｓ_ＩＪ，α ^Ｎ－１は展開係数である。Ｐ_αはスピン自由度を含んだ基底関数の数をＭとして、以下の式（２０）に示すように、Ｍ個のスピン演算子ｐ_ｉαの直積で表される。なお、各スピン演算子ｐ_ｉαは、スピン演算子Ｘ、Ｙ、Ｚまたは恒等演算子Ｉのいずれかの値をとりうる。

次に、ステップＳ３０３において、量子コンピュータ２００は、第１の処理で計算された基底状態の波動関数｜Ｎ，０＞を用いて、各スピン演算子の期待値を計算する。具体的には、量子コンピュータ２００は、各スピン演算子Ｐ_αの期待値＜Ｎ，０｜Ｐ_α｜Ｎ，０＞の計算を行う。

次に、ステップＳ３０４において、古典コンピュータ１００は、ステップＳ３０３で得られたＰ_αの期待値＜Ｎ，０｜Ｐ_α｜Ｎ，０＞から、各行列要素Ｈ_ＩＪ ^Ｎ＋１、Ｈ_ＩＪ ^Ｎ－１、Ｓ_ＩＪ ^Ｎ＋１、及びＳ_ＩＪ ^Ｎ－１を計算する。具体的には、古典コンピュータ１００は、以下の式（２１）、式（２２）、式（２３）、及び式（２４）を計算する。

その後、古典コンピュータ１００は、要素が計算されたハミルトニアン行列及び重なり行列に基づいて、一電子グリーン関数を計算する。具体的には、古典コンピュータ１００は、以下に説明する処理を行なう。

まず、ステップＳ３０５において、古典コンピュータ１００は、基底関数｜Ｂ_Ｉ ^Ｎ＋１＞及び｜Ｂ_Ｉ ^Ｎ－１＞の線形従属性に由来する重なり行列Ｓ^Ｎ＋１及びＳ^Ｎ－１の非正則性を取り除く。すなわち、古典コンピュータ１００は、ハミルトニアン行列および重なり行列の縮約を行う。そして、古典コンピュータ１００は、縮約されたハミルトニアン行列および重なり行列についての一般化固有値問題を計算する。

図４は、古典コンピュータ１００によって行なわれるステップＳ３０５の処理の流れを示すフローチャートである。以下、図４に沿ってステップＳ３０５について具体的に説明する。

ステップＳ４０１において、古典コンピュータ１００は、重なり行列Ｓ^Ｎ＋１及びＳ^Ｎ－１を対角化し、それぞれの固有値及び固有ベクトルを計算する。

次に、ステップＳ４０２において、古典コンピュータ１００は、それぞれの行列について、得られた固有値のうち、０よりも大きい固有値を選択し、選択された固有値に対応する固有ベクトルを列にもつ行列Ｒ^Ｎ＋１及びＲ^Ｎ－１を生成する。すなわち、行列Ｒ^Ｎ＋１は、各列が、重なり行列Ｓ^Ｎ＋１の０より大きい固有値に対応する固有ベクトルによって構成された行列である。同様に、行列Ｒ^Ｎ－１は、各列が、重なり行列Ｓ^Ｎ－１の０より大きい固有値に対応する固有ベクトルによって構成された行列である。なお、古典コンピュータ１００は、たとえば、あらかじめユーザーによって指定された閾値以上の固有値を選択することにより、０よりも大きい固有値を選択してもよい。

次に、ステップＳ４０３において、古典コンピュータ１００は、行列Ｒ^Ｎ＋１及びＲ^Ｎ－１を用いて、ハミルトニアン行列Ｈ^Ｎ＋１、Ｈ^Ｎ－１、及び、重なり行列Ｓ^Ｎ＋１、Ｓ^Ｎ－１を以下のように変形する。なお、†は複素転置行列(エルミート行列)を表す。

上記の式（２５）において、左辺の行列Ｈ^～Ｎ＋１は、行列Ｈ^Ｎ＋１の変形後の行列を表わす。また、上記の式（２６）において、左辺の行列Ｈ^～Ｎ－１は、行列Ｈ^Ｎ－１の変形後の行列を表わす。また、上記の式（２７）において、左辺の行列Ｓ^～Ｎ＋１は、行列Ｓ^Ｎ＋１の変形後の行列を表わす。また、上記の式（２８）において、左辺の行列Ｓ^～Ｎ－１は、行列Ｓ^Ｎ－１の変形後の行列を表わす。

次に、ステップＳ４０４において、古典コンピュータ１００は、上述した操作で得られた変形された行列Ｈ^～Ｎ＋１、Ｈ^～Ｎ－１、Ｓ^～Ｎ＋１、及びＳ^～Ｎ－１を用い、以下の式（２９）及び式（３０）で表わされる一般化固有値問題を解く。これにより、古典コンピュータ１００は、Ｎ＋１電子系のエネルギー固有値Ｅ_ν ^Ｎ＋１と、この固有値に対応する固有ベクトルＺ_Ｊν ^Ｎ＋１と、Ｎ－１電子系のエネルギー固有値Ｅ_ν ^Ｎ－１と、この固有値に対応する固有ベクトルＺ_Ｊν ^Ｎ－１とを計算する。ここでνはエネルギー準位を表す添字である。なお、各行列について、下付き文字を付けて表記することにより、行列要素を表わす。たとえば、Ｈ^～ _ＩＪ ^Ｎ＋１は、行列Ｈ^～Ｎ＋１の（Ｉ，Ｊ）成分を表わす。他の行列についても同様である。

再び、図３を参照し、以降の処理について説明する。
ステップＳ３０５の後、ステップＳ３０６において、古典コンピュータ１００は、グリーン関数（一電子グリーン関数）を計算する。具体的には、古典コンピュータ１００は、エネルギー期待値Ｅ_０ ^Ｎ、エネルギー固有値Ｅ_ν ^Ｎ＋１、Ｅ_ν ^Ｎ－１、波動関数｜Ｎ，０＞、電子の消滅演算子ｃ_ｉ、基底関数｜Ｂ_Ｉ ^Ｎ＋１＞、｜Ｂ_Ｉ ^Ｎ－１＞、行列Ｒ^Ｎ＋１、Ｒ^Ｎ－１、固有ベクトルＺ_Ｊν ^Ｎ＋１、Ｚ_Ｊν ^Ｎ－１の値を用い、周波数またはエネルギーωにおけるグリーン関数の（ｉ，ｊ）成分であるＧ_ｉｊ（ω）を以下のように計算する（式（３１）から式（３５）参照）。なお、ｉ、ｊは、ハミルトニアン演算子を展開する基底関数の上述した添字と同じものである。また、＊は複素共役をを表す。また、ηは正の無限小の数であり、計算上、有限の正の数として近似されることもある。ηとともに記載されているｉは虚数単位である。また、Ｚ^Ｎ＋１は、Ｚ_Ｊν ^Ｎ＋１を成分としてもつ行列であり、Ｚ^Ｎ－１は、Ｚ_Ｊν ^Ｎ－１を成分としてもつ行列である。式（３４）、式（３５）において、（Ｒ^Ｎ±１Ｚ^Ｎ±１）_Ｉνは、「行列Ｒ^Ｎ±１と行列Ｚ^Ｎ±１の積である行列Ｒ^Ｎ±１Ｚ^Ｎ±１の（Ｉ，ν）成分を表す。

これにより、物質の電子状態を解析するためのグリーン関数を得ることができる。このように、本実施の形態では、時間ベースのグリーン関数の計算ではなく、周波数ベースのグリーン関数の計算を、古典コンピュータ１００と量子コンピュータ２００とを用いて行なう。本実施の形態によれば、量子コンピュータ２００をスピン演算子の期待値の計算のみに用いるため、従来の提案されている計算手法に比べ、必要な量子ゲートを抑制することができる。すなわち、本実施の形態によれば、量子コンピュータによる計算で必要とされる量子ゲート数を抑制しつつ、グリーン関数を計算することができる。

このようにして得られたグリーン関数Ｇを用い、物質のさまざまな電子状態に関する物理量を計算することが可能である。したがって、古典コンピュータ１００は、ステップＳ３０６の計算結果を用いて、電子状態の計算を行なってもよい。
つまり、ステップＳ３０７として、古典コンピュータ１００は、ステップＳ３０６で計算された一電子グリーン関数を用いて、物質の電子状態を計算してもよい。これにより、量子コンピュータによる計算で必要とされる量子ゲート数を抑制しつつ、電子状態を計算することができる。

以下、グリーン関数を用いた電子状態の計算の一例について説明する。たとえば、エネルギー状態密度Ｄ（ω）は以下の式（３６）に示される計算を行なうことにより得られる。

なお、上式において、πは円周率、Ｉｍは虚数部分、δはデルタ関数、｜｜は絶対値を表す。実用上は、デルタ関数は有限の幅をもつ関数として近似されることがある。

図５及び図６は、上述したグリーン関数の計算を、古典コンピュータを用いた疑似的な量子計算により行ない、水素分子の電子状態を計算した結果を示す。ここでは、水素原子間の距離が１．４ａｕの場合（図５Ａ、図５Ｂ参照）と３．０ａｕ場合（図５Ｃ、図５Ｄ参照）の２つの結果を示している。なお、１ａｕ≒５．２９×１０^－１１ｍである。この計算においては、第１の処理の基底状態の計算においてunitary coupled cluster法を用いた。また、ハミルトニアン演算子を展開する基底関数としてHartree-Fock法の正準軌道を用いた。また、Hartree-Fock法の正準軌道を展開する関数としては、STO-3Gという関数系を用いた。

図５Ａから図５Ｄは、縦軸を、式（３６）のデルタ関数の係数である｜ｆ_ｉν ^Ｎ＋１｜^２、｜ｆ_ｉν ^Ｎ－１｜^２とし、横軸を、エネルギー（単位はｅＶ）としてプロットしたものである。図５Ａから図５Ｄに示す結果は、上述した一般化された生成消滅演算子として、１つの生成消滅演算子（ｃ_ｉ又はｃ_ｉ ^†）を用いた場合の結果である。また、図５Ａ及び図５Ｃは、上述したステップＳ４０２において、１つの固有値を選択した場合の結果を示し、図５Ｂ及び図５Ｄは、上述したステップＳ４０２において、２つの固有値を選択した場合の結果を示す。

また、図６は、エネルギー状態密度から計算された最低占有エネルギーと最高占有エネルギーの差を表にしたものである。なお、表内の数値の単位はｅＶである。図６では、比較のため、Hartree-Fock法による結果と、厳密解も併記している。図６から、本実施の形態による電子状態の計算の精度が高いことがわかる。

以上、実施の形態について説明した。なお、本発明は上記実施の形態に限られたものではなく、趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更することが可能である。

例えば、上述の実施の形態では、基底状態を、ＶＱＥ（Variational Quantum Eigensolver）法に従って、古典コンピュータ１００及び量子コンピュータ２００によって計算したが、他の方法により計算してもよい。すなわち、上述した第１の処理は、一例に過ぎず、他の処理によって基底状態の計算が行われてもよい。また、基底状態があらかじめ特定されている場合には、第１の処理は省略されてもよい。

１０解析システム
１００古典コンピュータ
２００量子コンピュータ

Claims

古典コンピュータが、電子数がＮ（Ｎは自然数）である解析対象の物質についてのＮ±１電子系を表わす基底関数に対応する部分系のハミルトニアン演算子と、前記基底関数の重なり行列に対応する演算子とを、スピン演算子に変換し、
量子コンピュータが、前記スピン演算子の期待値を計算し、
前記古典コンピュータが、
前記期待値に基づいて、前記ハミルトニアン演算子に相当するハミルトニアン行列の要素及び前記重なり行列の要素を計算し、
前記ハミルトニアン行列及び前記重なり行列に基づいて、一電子グリーン関数を計算する
解析方法。
前記古典コンピュータが、前記一電子グリーン関数を用いて、前記物質の電子状態を計算する
請求項１に記載の解析方法。
前記基底関数は、Ｎ電子系の基底状態の波動関数に電子の生成演算子及び消滅演算子を作用させて構築されたものである
請求項１又は２に記載の解析方法。
前記波動関数は、ＶＱＥ（Variational Quantum Eigensolver）法に従って、前記古典コンピュータ及び前記量子コンピュータによって計算される
請求項３に記載の解析方法。
前記古典コンピュータが、Jordan-Wigner変換又はBravyi-Kitaev変換により、前記ハミルトニアン演算子と、前記基底関数の重なり行列に対応する演算子とを、前記スピン演算子に変換する
請求項１乃至４のいずれか１項に記載の解析方法。
古典コンピュータと、量子コンピュータとを備え、
前記古典コンピュータは、電子数がＮ（Ｎは自然数）である解析対象の物質についてのＮ±１電子系を表わす基底関数に対応する部分系のハミルトニアン演算子と、前記基底関数の重なり行列に対応する演算子とを、スピン演算子に変換し、
前記量子コンピュータは、前記スピン演算子の期待値を計算し、
前記古典コンピュータは、
前記期待値に基づいて、前記ハミルトニアン演算子に相当するハミルトニアン行列の要素及び前記重なり行列の要素を計算し、
前記ハミルトニアン行列及び前記重なり行列に基づいて、一電子グリーン関数を計算する
解析システム。
前記古典コンピュータは、前記一電子グリーン関数を用いて、前記物質の電子状態を計算する
請求項６に記載の解析システム。
前記基底関数は、Ｎ電子系の基底状態の波動関数に電子の生成演算子及び消滅演算子を作用させて構築されたものである
請求項６又は７に記載の解析システム。
前記波動関数は、ＶＱＥ（Variational Quantum Eigensolver）法に従って、前記古典コンピュータ及び前記量子コンピュータによって計算される
請求項８に記載の解析システム。
前記古典コンピュータは、Jordan-Wigner変換又はBravyi-Kitaev変換により、前記ハミルトニアン演算子と、前記基底関数の重なり行列に対応する演算子とを、前記スピン演算子に変換する
請求項６乃至９のいずれか１項に記載の解析システム。