JP7271792B2

JP7271792B2 - 復号方法、装置およびコンピュータプログラム

Info

Publication number: JP7271792B2
Application number: JP2022523506A
Authority: JP
Inventors: マドゥー・ペリンガーサリー・クリシュナン; シン・ジャオ; シャン・リュウ
Original assignee: テンセント・アメリカ・エルエルシー
Priority date: 2020-05-12
Filing date: 2020-12-04
Publication date: 2023-05-11
Anticipated expiration: 2040-12-04
Also published as: CN114450721A; US20220132166A1; US20210360288A1; US11863790B2; KR20220038455A; EP3991094A1; US11272212B2; KR20240014608A; WO2021230908A1; JP2023500061A; US20240089502A1; EP3991094A4; KR102628799B1

Description

優先権情報
本出願は、2020年5月12日に出願された米国仮特許出願第63／023，697号、および2020年11月27日に出願された米国特許出願第17／105，809号の優先権を主張し、その全体が本明細書に組み込まれる。

本開示は、高度ビデオコーデックにおけるビデオ圧縮技術ならびにインター予測およびイントラ予測に関する。特に、本開示は、多用途ビデオ符号化（VVC）、AOMedia Video 1（AV1）およびその後続技術などの、高効率ビデオ符号化（HEVC）を超えるビデオ符号化／復号技術などの、ビデオデータの効率的な圧縮のために設計された一セットの高度なビデオ符号化技術に関する。

動き補償を伴うインターピクチャ予測またはイントラピクチャ予測を使用するビデオの符号化および復号は、数十年にわたって知られている。非圧縮デジタルビデオは、一連のピクチャから成ることができ、各ピクチャは、例えば1920×1080の輝度サンプルおよび関連する色差サンプルの空間次元を有する。一連のピクチャは、例えば、毎秒60ピクチャまたは60ヘルツ（Hz）の固定または可変ピクチャレート（非公式にはフレームレートとしても知られる）を有することができる。非圧縮ビデオは、膨大なビットレートの要件を有する。例えば、サンプルあたり8ビットの1080p60 4：2：0ビデオ（60Hzのフレームレートで1920×1080の輝度サンプル解像度）は、1．5Gbit／sに近い帯域幅を必要とする。そのようなビデオの1時間は、600GByteを超える記憶空間を必要とする場合がある。

ビデオの符号化および復号の目的の1つは、圧縮による入力ビデオ信号の冗長性の低減であり得る。圧縮は、前述の帯域幅または記憶領域の要件を、場合によっては2桁以上削減するのに役立ち得る。可逆圧縮と非可逆圧縮の両方、およびそれらの組み合わせを使用できる。可逆圧縮とは、原信号の正確な複製を圧縮された原信号から再構築することができる技術を指す。非可逆圧縮を使用する場合、再構築された信号は原信号と同一ではないことがあるが、原信号と再構築された信号との間の歪みは、再構築された信号を意図した用途に役立てるのに十分小さい。ビデオの場合、非可逆圧縮が広く採用されている。許容される歪みの量は用途に依存し、例えば、特定の消費者ストリーミング用途のユーザは、テレビ配信用途のユーザよりも高い歪みを許容することがある。達成可能な圧縮比は、より高い許容可能／容認可能な歪みがより高い圧縮比をもたらすことができることを反映することができる。

当業者は、一般に、ビデオ圧縮／解凍技術を理解している。一般に、ビデオまたは画像データを圧縮するために、圧縮されたビデオまたは画像ファイルをもたらすために一連の機能ステップが実行される。360°画像（例えば、360°カメラによって捕捉された）などの画像が圧縮に適する場合もあるが、読み取りを容易にするために、ビデオファイルの圧縮について説明する。圧縮されたビデオファイルを生成するために、従来の規格（例えば、H．264、H．265）では、ビデオソースから受信された非圧縮のビデオサンプルストリームが分割または解析されてよく、これは、2つ以上の参照ピクチャのサンプルのブロックをもたらす。

双方向予測は、2つ以上の参照ピクチャのサンプルの2つの動き補償されたブロックから、サンプルの予測ブロックなどの予測ユニット（PU）を予測することができる技術に関連し得る。双方向予測は、最初にMPEG－1のビデオ符号化規格に導入され、MPEG－2Part2（またはH．262）、H．264、およびH．265などの他のビデオ符号化技術および規格にも同様に含まれている。

圧縮されたビデオファイルを解凍する場合、双方向予測されたPUのサンプルの再構築中、各参照ブロックから動き補償され、かつ補間された入力サンプルは、各参照ブロックごとに異なり得る重み付け係数によって乗算することができ、2つの参照ブロックのこのような重み付けされたサンプル値は、再構築中のサンプルを生成するために加算することができる。そのようなサンプルは、ループフィルタリングなどの機構によってさらに処理することができる。

MPEG－1およびMPEG－2において、重み付け係数は、再構築中のPUが属するピクチャと2つの参照ピクチャとの間の相対的な時間的距離に基づいて決定することができる。これは、MPEG－1およびMPEG－2において、2つの参照IピクチャまたはPピクチャのうちの一方が再構築中のBピクチャの「過去」にあり、他方が（提示順序の観点から）「未来」にあったため、ならびにMPEG－1およびMPEG－2において、その参照ピクチャに関連して再構築中の任意のピクチャに対して確立された明確なタイミング関係があったために可能である。

H．264から開始して、双方向予測されたピクチャの参照ピクチャ選択概念は緩和されたため、参照ピクチャは提示順ではなく、復号順で先になることのみが必要とされた。さらに、時間の概念もまた、H．264もH．265のいずれも時間領域において制約された／固定されたピクチャ間隔を必要としないという点において緩和された。したがって、デコーダは、ビットストリーム内で利用可能なタイミング情報に基づいて重み付け係数をもはや計算することができない。代わりに、H．264およびH．265は、双方向予測ピクチャの参照サンプルの重み付け係数として0．5の「デフォルト」を含む。このデフォルトは、pred＿weight＿table（）として知られるスライスヘッダにおいて利用可能なシンタックスによって上書きすることができる。デフォルトの0．5またはpred＿weight＿table内の情報は、所与のスライス内の全ての双方向予測されたPUに適用されてよい。

AOMedia Video1（AV1）は、VP9の後継として、2015年に設立されたAlliance for Open Media（AOMedia）コンソーシアムによって開発され、これには、半導体会社、ビデオオンデマンドプロバイダ、ビデオ・コンテンツプロデューサ、ソフトウェア開発会社、およびウェブブラウザベンダーが含まれる。AV1プロジェクトの構成品の多くは、Allianceのメンバによる以前の研究努力から調達された。数年前に実験的な技術プラットフォームを開始した個人の貢献者、Xiph／MozillaのDaalaは2010年にコードをすでに公開しており、Googleの実験的なVP9進化プロジェクトVP10は2014年9月12日に発表され、CiscoのThorは2015年8月11日に公開された。VP9のコードベースの構築に基づいて、AV1は追加の技術を組み込んでおり、そのうちのいくつかはこれらの実験フォーマットにおいて開発された。AV1基準コーデックの第1のバージョン0．1．0は、2016年4月7日に公開された。Alliance社は、参照用のソフトウェアベースのエンコーダおよびデコーダと共に、2018年3月28日にAV1ビットストリーム仕様のリリースを発表した。2018年6月25日に、仕様の有効なバージョン1．0．0が公開された。2019年1月8日に、仕様の正誤表1を含む有効なバージョン1．0．0がリリースされた。AV1ビットストリーム仕様は、参照ビデオコーデックを含む。

AOMedia Video 2（AV2）は現在開発中であり、提案されている8ビット／10ビット変換コアはそのために設計されている。

H．E．Egilmez，E．Pavez，A．Ortega，’’Graph learning from data under Laplacian and structure constraints’’、IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing．，vol．11，no．6，Sept．2017． H．E．Egilmez，Y．H．Chao，A．Ortega，B．Lee，and S．Yea，「GBST：：Separable transforms based on line graphs for predictive video coding」2016 IEEE International Conference on Image Processing（ICIP）、Sept．2016，pp．2375－2379． H．E．Egilmez，Y．H．Chao，and A．Ortega，’’Graphbased transforms for video coding，’’CoRR，vol．abs／arXiv：1909．00952，2019． M．Zhou，Y．Hu，「CE6－related：A study of primary transforms」Joint Video Experts Team（JVET）of ITU－T SG 16 WP 3 and ISO／IEC JTC 1／SC 29／WG 11，JVET－M 0046，13 th Meeting：Marrakesh，MA，9－18 Jan．2019．

本開示は、ビデオデータの効率的な圧縮のために設計された一セットの高度なビデオ符号化技術に関する。

より具体的には、本開示の一態様は、（a）異なるサイズのライングラフ変換（LGT）を調整するための方法、（b）本方法で調整された異なるサイズ（4ポイント、8ポイント、16ポイント、32ポイント、64ポイント）の8ビットLGT変換コア、およびc）32ポイントおよび64ポイントのLGTを有効にする方法のうちの1つまたは複数を実行する方法、装置およびコンピュータ可読媒体を対象とする。

本開示の一態様によれば、復号する方法は、少なくとも1つのプロセッサによって実行されてよく、圧縮されたビデオデータを含むエントロピー符号化されたビットストリームを受信するステップと、
ビットストリームを解析するステップと、
エントロピー符号化されたビットストリームを復号するステップと、
1つまたは複数のブロックの各ブロックを逆量子化するステップと
を含むプロセスによって、1つまたは複数の逆量子化されたブロックを生成するステップと、
1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さおよび幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であるか否かを判定するステップと、
1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さまたは幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であることに応答して、調整されたライングラフ変換（LGT）コアを使用して逆量子化されたブロックを変換符号化して、1つまたは複数の逆量子化されたブロックの水平次元および垂直次元の各々に対して直接行列乗算を実行するステップと、
を含んでよい。

所定の閾値は、32および64のうちの一方に対応する値を有してよい。

所定の閾値は、4、8、16、32、64、128、および256のうちの1つに対応する値を有してよい。

復号方法は、LGTコアを使用する前に、各々が特有のそれぞれの値に事前に設定された第1の自己ループ重みまたは第2の自己ループ重みのうちの少なくとも1つを使用してLGTコアを生成するステップをさらに含んでよい。

一実施形態によれば、調整されたLGTコアは、DCT－2、DCT－8、またはDST－7の中からの離散コサイン変換（DCT）または離散サイン変換（DST）であり、これらは、特定の形式の一般化グラフラプラシアン（GGL）行列から導出される。

復号の方法は、DCT－2は、第1の自己ループ重みを0に設定することによって導出されることと、DST－7は、第1の自己ループ重みを第1の所定値に設定することによって導出されることと、DCT－8は、第2の自己ループ重みを第1の所定値に設定することによって導出されることと、DST－4は、第1の自己ループ重みを第1の所定値に2を乗じたものに設定することによって導出されることと、DCT－4は、第2の自己ループ重みを第1の所定値に2を乗じた値に設定することによって導出されることのうちの全てまたはその一部を含み得る、少なくとも1つをさらに含んでよい。

LGTコアの調整は、第1の変換コアを導出するために、第1の自己ループ重みおよび第2の自己ループ重みを使用して異なるサイズのLGTコアを調整するステップと、第2の変換コアを導出するために総当たり法によって第1の変換コアの1つまたは複数の基底ベクトルの1つまたは複数の個々の重みを調整するステップであって、第2の変換コアは調整されたLGTコアである、ステップと、を含んでよい。

復号する方法は、N－pLGTが有効にされているかどうかを判定するステップと、N－pLGTが有効にされているときに、逆量子化されたブロックのN長側に対して、変換タイプ候補として離散コサイン変換（DCT）－2およびLGTのみを使用するステップと、をさらに含んでよい。

復号する方法は、N－pLGTが有効にされているかどうかを判定するステップと、N－pLGTが有効にされているときに、逆量子化されたブロックのN長側に対して、変換タイプ候補としてDCT－2、LGT、およびフリップLGTのみを使用するステップと、をさらに含んでよい。

復号する方法は、N－pLGTが有効にされているかどうかを判定するステップと、N－pLGTが有効にされているときに、逆量子化されたブロックのN長側に対する恒等変換の使用を防止するステップと、をさらに含んでよい。

復号する方法は、N－pLGTが有効にされているかどうかを判定するステップと、N－pLGTが有効にされているときに、異なるイントラ予測残差およびインター予測残差に対してサポートされている変換タイプを使用するステップと、をさらに含んでよい。

復号する方法は、イントラ予測残差について、サポートされている変換タイプがDCT－2およびLGTを含むことをさらに含んでよい。

復号する方法は、インター予測残差について、サポートされている変換タイプが、DCT－2、LGT、およびフリップLGTを含むことをさらに含んでよい。

復号する方法は、変換された逆量子化されたブロックに少なくとも部分的に基づいて表示可能な画像を生成するステップと、表示可能な画像がディスプレイに表示されるように制御を行うステップと、をさらに含んでよい。

一実施形態によると、非一時的コンピュータ可読記憶媒体は、実行されるとき、1つまたは複数のプロセッサを備えるシステムまたはデバイスに、圧縮されたビデオデータを含むエントロピー符号化されたビットストリームを受信させ、
ビットストリームを構文解析することと、エントロピー符号化ビットストリームを復号することと、1つまたは複数のブロックの各ブロックを逆量子化することと、を含むプロセスによって1つまたは複数の逆量子化されたブロックを生成させ、
1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さおよび幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であるか否かを判定させ、
1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さまたは幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であることに応答して、調整されたライングラフ変換（LGT）コアを使用して逆量子化されたブロックを変換符号化して、1つまたは複数の逆量子化されたブロックの水平次元および垂直次元の各々に対して直接行列乗算を実行させ得る命令を記憶する。

これら命令群は、1つまたは複数のプロセッサを備えるシステムまたはデバイスに、
変換された逆量子化されたブロックに少なくとも部分的に基づいて、表示可能な画像を生成させ、表示可能な画像がディスプレイに表示されるように制御を行うようにさせるようにさらに構成されてよい。

一実施形態によれば、装置は、コンピュータプログラムコードを記憶するように構成された少なくとも1つのメモリと、少なくとも1つのメモリにアクセスし、コンピュータプログラムコードに従って動作するように構成された少なくとも1つのプロセッサとを備え、コンピュータプログラムコードは、少なくとも1つのプロセッサに、圧縮されたビデオデータを含むエントロピー符号化されたビットストリームを受信させるように構成された受信コードと、
ビットストリームを解析することと、エントロピー符号化されたビットストリームを復号することと、1つまたは複数のブロックの各ブロックを逆量子化することと、を含むプロセスによって、少なくとも1つのプロセッサに、1つまたは複数の逆量子化されたブロックを生成させるように構成された生成コードと、
少なくとも1つのプロセッサに、1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さおよび幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であるか否かを判定させるように構成された判定コードと、
少なくとも1つのプロセッサに、1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さおよび幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であることに応答して、調整されたライングラフ変換（LGT）コアを使用して逆量子化されたブロックを変換符号化して、1つまたは複数の逆量子化されたブロックの水平次元および垂直次元の各々に対して直接行列乗算を実行させるように構成された変換符号化コードと、
を含む。

装置は、ディスプレイをさらに備えてもよく、コンピュータプログラムコードは、少なくとも1つのプロセッサに、変換された逆量子化されたブロックに少なくとも部分的に基づいて、表示可能な画像を生成させ、表示可能な画像がディスプレイに表示されるように制御を行うようにさせるように構成されたディスプレイコードをさらに含んでよい。

開示内容のさらなる特徴、性質、および様々な利点は、以下の詳細な説明および添付の図面からより明らかになるであろう。

一実施形態による通信システムの簡略化されたブロック図の概略図である。一実施形態によるストリーミングシステムの簡略化されたブロック図の概略図である。一実施形態によるデコーダの簡略化されたブロック図の概略図である。一実施形態による、エンコーダおよびローカルデコーダを含むエンコードシステムの簡略ブロック図の概略図である。一実施形態による、AV1一次変換基底関数（Nポイント入力に対するDCT－2、DST－4、DST－7）を示す表1を示す図である。表2は、一実施形態による平面回転（バタフライ＆行列表現）を示す図である。一実施形態による、三角関数の値を生成するために利用され得る、AV1で使用される部分的なバタフライルックアップテーブルを示す図である。一実施形態による、三角関数の値を生成するために利用され得る、AV1で使用される部分的なバタフライルックアップテーブルを示す図である。例示的な実施形態による、自己ループ重みおよびエッジ重みによって特徴付けられた汎用LGTを示す図である。例示的な実施形態による、行列Lcを示す図である。一実施形態によるコンピュータシステムの概略図である。一実施形態による、一例の方法の概略図である。

図1は、本開示の一実施形態による通信システム（100）の簡略化されたブロック図を示している。システム（100）は、ネットワーク（150）を介して相互接続された少なくとも2つの端末（110、120）を含み得る。データの一方向送信の場合、第1の端末（110）は、ネットワーク（150）を介して他の端末（120）に送信するためにローカル位置でビデオデータを符号化し得る。第2の端末（120）は、ネットワーク（150）から他の端末の符号化されたビデオデータを受信し、符号化されたデータを復号し、復元されたビデオデータを表示し得る。一方向データ送信は、メディアサービング用途などで一般的であることがある。

図1は、例えば、ビデオ会議中に発生する可能性のある符号化されたビデオの双方向送信をサポートするために提供される端末の第2の対（130、140）を示す。データの双方向送信の場合、各端末（130、140）は、ネットワーク（150）を介して他の端末に送信するために、ローカル位置でキャプチャされたビデオデータを符号化し得る。各端末（130、140）はまた、他の端末によって送信された符号化されたビデオデータを受信し、符号化されたデータを復号し、回復されたビデオデータをローカルディスプレイデバイスに表示し得る。

図1では、端末（110～140）は、ラップトップ110、サーバ120、ならびにスマートフォン130および140として示されているが、本開示の原理はそのように限定されない。本開示の実施形態は、ラップトップコンピュータ、タブレットコンピュータ、メディアプレーヤおよび／または専用ビデオ会議機器を含むがこれらに限定されない他の機器を伴う用途を見いだす。ネットワーク（150）は、例えば、有線および／または無線通信ネットワークを含む、端末（110～140）間で符号化されたビデオデータを伝達する任意の数のネットワークを表す。通信ネットワーク（150）は、回線交換および／またはパケット交換チャネルでデータを交換し得る。代表的なネットワークには、電気通信ネットワーク、ローカルエリアネットワーク、ワイドエリアネットワーク、および／またはインターネットが含まれる。本議論の目的のために、ネットワーク（150）のアーキテクチャおよびトポロジは、本明細書で以下に説明されない限り、本開示の動作にとって重要ではないことがある。

図2は、開示された主題の用途の一例として、ストリーミング環境／ストリーミングシステム200におけるデコーダ210の配置を示す。デコーダ210は、図3および図4のデコーダ433を参照してさらに考察される。デコーダ210は、図3のデコーダ210または図4のデコーダ433に対応してよい。

開示された主題は、例えば、ビデオ会議、デジタルテレビ、CD、DVD、メモリスティックなどを含むデジタルメディアへの圧縮ビデオの保存を含む、他のビデオ対応用途に等しく適用することができる。

図2に示すように、ストリーミングシステム（200）は、非圧縮のビデオサンプルストリーム（202）を生成することができるビデオソース（201）、例えばデジタルカメラを含むことができるキャプチャサブシステム（213）を含んでよい。そのサンプルストリーム（202）は、エンコードされたビデオビットストリームと比較したときにより大量のデータ量を強調するために太線で描かれており、カメラ（201）に結合されたソースエンコーダ（203）によって処理することができる。ソースエンコーダ（203）は、以下でより詳細に説明するように、開示された主題の態様を可能にするか、または実施するために、ハードウェア（例えば、プロセッサまたは回路およびメモリ）、ソフトウェア、またはそれらの組み合わせを含むことができる。エンコードされたビデオビットストリーム（204）は、サンプルストリームと比較してより少ないデータ量を強調するために細い線として描かれており、将来の使用のためにストリーミングサーバ（205）に格納することができる。1つまたは複数のストリーミングクライアント（206、208）は、ストリーミングサーバ（205）にアクセスして、エンコードされたビデオビットストリーム（204）の複製（207、209）を取得することができる。クライアント（206）は、エンコードされたビデオビットストリーム（207）の着信複製を復号してよく、ディスプレイ（212）または他のレンダリングデバイス上でレンダリングすることができる発信ビデオサンプルストリーム（211）を作成し得るビデオデコーダ（210）を含むことができる。

図3は、本開示の一実施形態によるデコーダ（210）（例えば、ビデオデコーダ）の機能ブロック図を示す。図3に示すように、受信機（310）は、デコーダ（210）によって復号されるべき1つまたは複数のコーデックビデオシーケンスを受信してよい。同じ実施形態または別の実施形態では、一度に1つの符号化されたビデオシーケンスが受信されてよく、各符号化されたビデオシーケンスの復号は、他の符号化されたビデオシーケンスから独立している。符号化されたビデオシーケンスは、チャネル（312）から受信されてよく、チャネル（312）は、エンコードされたビデオデータを格納する記憶装置へのハードウェア／ソフトウェアリンクであり得る。受信機（310）は、それぞれの使用エンティティ（図示せず）に転送され得る他のデータ、例えば、符号化されたオーディオデータおよび／または補助データストリームと共にエンコードされたビデオデータを受信し得る。受信機（310）は、符号化されたビデオシーケンスを他のデータから分離し得る。ネットワークジッタに対抗するために、バッファメモリ（315）が、受信機（310）とエントロピーデコーダ／パーサ（320）（以下、「パーサ」）との間に結合されてよい。受信機（310）が十分な帯域幅および制御可能性の格納／転送デバイスから、またはアイソシンクロナスネットワークからデータを受信しているとき、バッファ（315）は必要ないか、または小さくてよい。インターネットなどのベストエフォートパケットネットワークで使用するために、バッファ（315）が必要とされる場合があり、これは、比較的大きくすることができ、適応サイズにすることができることが有利である。

ビデオデコーダ（210）は、エントロピー符号化されたビデオシーケンスからシンボル（321）を再構築するためのパーサ（320）を含み得る。これらのシンボルのカテゴリには、図2および図3に示すように、デコーダ（210）の動作を管理するために使用される情報と、デコーダの不可欠な部分ではないが、デコーダに結合することができるディスプレイ（212）などのレンダリングデバイスを制御するための潜在情報とが含まれる。レンダリングデバイスの制御情報は、Supplementary Enhancement Information（SEIメッセージ）またはVideo Usability Information（VUI）パラメータセットフラグメント（図示せず）の形式であることがある。パーサ（320）は、受信した符号化されたビデオシーケンスを解析／エントロピー復号し得る。符号化されたビデオシーケンスの符号化は、ビデオ符号化技術または規格に従うことができ、可変長符号化、ハフマン符号化、文脈依存の有無にかかわらず算術符号化などを含む当業者に周知の原則に従うことができる。パーサ（320）は、そのグループに対応する少なくとも1つのパラメータに基づいて、符号化されたビデオシーケンスから、ビデオデコーダ内の画素のサブグループの少なくとも1つのサブグループパラメータのセットを抽出し得る。サブグループは、ピクチャのグループ（GOP）、ピクチャ、タイル、スライス、マクロブロック、符号化ユニット（CU）、ブロック、変換ユニット（TU）、予測ユニット（PU）などを含み得る。エントロピーデコーダ／パーサ320はまた、変換係数、量子化パラメータ値、動きベクトルなどの符号化されたビデオシーケンス情報から抽出し得る。

パーサ（320）は、バッファ（315）から受信したビデオシーケンスに対してエントロピー復号／構文解析動作を実行して、シンボル（321）を作成し得る。シンボル（321）の再構築は、符号化されたビデオピクチャまたはその一部（インターピクチャおよびイントラピクチャ、インターブロックおよびイントラブロックなど）のタイプ、および他の要因に応じて、複数の異なるユニットを含むことができる。どのユニットがどのように関与するかは、パーサ（320）によって符号化されたビデオシーケンスから解析されたサブグループ制御情報によって制御することができる。パーサ（320）と以下の複数のユニットとの間のそのようなサブグループ制御情報の流れは、明確にするために描かれていない。

すでに言及した機能ブロックを超えて、デコーダ210は、以下で説明されるように、概念的にいくつかの機能ユニットに細分され得る。商業的制約の下で動作する実際の実装では、これらのユニットの多くは互いに密接に相互作用し、少なくとも部分的には互いに統合され得る。しかしながら、開示する主題を説明する目的のためには、以下の機能ユニットに概念的に再分割するのが適切である。

第1のユニットはスケーラ／逆変換ユニット（351）であってもよい。スケーラー／逆変換ユニット（351）は、量子化された変換係数、ならびに使用する変換、ブロックサイズ、量子化係数、量子化スケーリング行列などを含む制御情報を、パーサ（320）からシンボル（321）として受信し得る。それは、アグリゲータ（355）に入力され得るサンプル値を含むブロックを出力することができる。

場合によっては、スケーラ／逆変換（351）の出力サンプルは、イントラ符号化されたブロックに関係することができ、これは、以前に再構築されたピクチャからの予測情報は使用していないが、現在のピクチャの以前に再構築された部分からの予測情報を使用することができるブロックである。そのような予測情報は、イントラピクチャ予測ユニット（352）によって提供することができる。場合によっては、イントラピクチャ予測ユニット（352）は、現在の（部分的に再構築された）ピクチャ（358）からフェッチされた周囲のすでに再構築された情報を使用して、再構築中のブロックと同じサイズおよび同じ形状のブロックを生成する。アグリゲータ（355）は、場合によっては、サンプルごとに、イントラ予測ユニット（352）が生成した予測情報を、スケーラ／逆変換ユニット（351）によって提供される出力サンプル情報に追加する。

他の場合では、スケーラ／逆変換ユニット（351）の出力サンプルは、インター符号化されたブロック、および潜在的に動き補償されたブロックに関係し得る。そのような場合、動き補償予測ユニット（353）は、予測に使用されるサンプルをフェッチするために参照ピクチャメモリ（357）にアクセスすることができる。ブロックに関連するシンボル（321）に従ってフェッチされたサンプルを動き補償した後、これらのサンプルは、出力サンプル情報を生成するために、アグリゲータ（355）によって、スケーラ／逆変換ユニットの出力（この場合、残差サンプルまたは残差信号と呼ばれる）に追加することができる。動き補償ユニットが予測サンプルをフェッチする参照ピクチャメモリフォーム内のアドレスは、動きベクトルによって制御することができ、例えば、X、Y、および参照ピクチャ構成要素を有することができるシンボル（321）の形式で動き補償ユニットに利用可能である。動き補償はまた、サブサンプルの正確な動きベクトルが使用されているときに参照ピクチャメモリからフェッチされたサンプル値の補間、動きベクトル予測機構などを含むことができる。

アグリゲータ（355）の出力サンプルは、ループフィルタユニット（356）において様々なループフィルタリング技術の対象となり得る。ビデオ圧縮技術は、符号化されたビデオビットストリームに含まれるパラメータによって制御され、パーサ（320）からのシンボル（321）としてループフィルタユニット（356）に利用可能になるインループフィルタ技術を含むことができるが、符号化されたピクチャまたは符号化されたビデオシーケンスの（復号順で）前の部分の復号中に取得されたメタ情報に応答することもでき、以前に再構築およびループフィルタリングされたサンプル値に応答することもできる。

ループフィルタユニット（356）の出力は、レンダリングデバイス（212）に出力され得るだけでなく、将来のインターピクチャ予測で使用するために参照ピクチャメモリ（357）に格納され得るサンプルストリームであり得る。

特定の符号化されたピクチャは、完全に再構築されると、将来の予測のための参照ピクチャとして使用できる。符号化されたピクチャが完全に再構築され、符号化されたピクチャが（例えば、パーサ（320）によって）参照ピクチャとして識別されると、現在の参照ピクチャ（358）は、参照ピクチャバッファ（357）の一部になることができ、次の符号化されたピクチャの再構築を開始する前に、新しい現在のピクチャメモリを再割り当てすることができる。

ビデオデコーダ210は、例えばITU－T Rec．H．265などの規格において文書化され得る所定のビデオ圧縮技術に従って復号動作を実行し得る。符号化されたビデオシーケンスは、ビデオ圧縮技術のドキュメントまたは規格、特にその中のプロファイル文書に指定されているように、ビデオ圧縮技術または規格のシンタックスに準拠しているという意味で、使用されているビデオ圧縮技術または規格によって指定されているシンタックスに準拠していることがある。また、コンプライアンスのために必要なのは、符号化ビデオシーケンスの複雑さが、ビデオ圧縮技術または規格のレベルによって定義される境界内にあることであり得る。場合によっては、レベルは、最大ピクチャサイズ、最大フレームレート、最大再構築サンプルレート（例えば、毎秒当たりのメガサンプルで測定される）、および／または最大参照ピクチャサイズを制限する。レベルによって設定される制限は、場合によっては、ハイポセティカルリファレンスデコーダ（HRD）仕様と、符号化されたビデオシーケンスにおいて伝えられるHRDバッファ管理のメタデータによってさらに制限されることがある。

一実施形態では、受信機（310）は、エンコードされたビデオと共に追加の（冗長な）データを受信し得る。追加のデータは、符号化されたビデオシーケンスの一部として含まれることがある。追加のデータは、データを適切に復号するため、および／または元のビデオデータをより正確に再構築するために、ビデオデコーダ（210）によって使用され得る。追加のデータは、例えば、時間的、空間的、またはSNR強化層、冗長スライス、冗長ピクチャ、順方向エラー訂正コードなどの形式をとることができる。

図4は、本開示の一実施形態による、ビデオエンコーダ（203）であり得るソースコーダ（203）を含むエンコードシステム（400）の機能ブロック図であり得る。

エンコーダ（203）は、エンコーダ（203）によって符号化されるビデオ画像を取り込むことができるビデオソース（201）（エンコーダの一部ではない）からビデオサンプルを受信してよい。

ビデオソース（201）は、任意の適切なビット深度（例えば、8ビット、10ビット、12ビット、…）、任意の色空間（例えば、BT．601 Y CrCB、RGB、…）、および任意の適切なサンプリング構造（例えば、Y CrCb 4：2：0、Y CrCb 4：4：4）であり得るデジタルビデオサンプルストリームの形式で、エンコーダ（203）によって符号化されるソースビデオシーケンスを提供し得る。メディアサービングシステムにおいて、ビデオソース（201）は、事前に準備されたビデオを記憶する、メモリおよびプロセッサを含み得る記憶装置であってよい。ビデオ会議システムでは、ビデオソース（201）は、ビデオシーケンスとしてローカル画像情報を取り込むカメラを含んでよい。ビデオデータは、連続して見たときに動きを与える、複数の個々のピクチャとして提供されてよい。ピクチャ自体は、画素の空間配列として編成することができ、各画素は、使用中のサンプリング構造、色空間などに応じて、1つまたは複数のサンプルを含み得る。当業者は、画素とサンプルとの間の関係を容易に理解することができる。以下の説明はサンプルに焦点を当てている。

一実施形態によれば、エンコーダ（203）は、リアルタイムで、または用途によって要求される他の任意の時間制約の下で、ソースビデオシーケンスのピクチャを符号化されたビデオシーケンスに符号化および圧縮し得る。適切な符号化速度を強制することは、コントローラ（450）の1つの機能である。コントローラ450は、以下に説明するように他の機能ユニットを制御してよく、これらのユニットに機能的に結合されている。結合は、見やすくするために示されていない。コントローラ（450）によって設定されるパラメータには、レート制御関連のパラメータ（ピクチャスキップ、量子化器、レート歪み最適化手法のラムダ値など）、ピクチャサイズ、ピクチャグループ（GOP）レイアウト、最大動きベクトル検索範囲などが含まれ得る。当業者は、特定のシステム設計用に最適化されたビデオエンコーダ（203）に関係し得るので、コントローラ（450）の他の機能を容易に識別し得る。

一部のビデオエンコーダは、当業者が「符号化ループ」として容易に認識するもので動作する。過度に単純化された説明として、符号化ループは、ソースエンコーダ（430）（以下、「ソースコーダ」または「ソースエンコーダ」）のエンコード部分であって、符号化される入力ピクチャおよび参照ピクチャに基づいてシンボルを作成する役割を担う、ソースエンコーダ（430）のエンコード部分と、
リモートデコーダ210も同様に作成するサンプルデータを作成するためにシンボルを再構築する、エンコーダ（203）に埋め込まれたローカルデコーダ（433）とで構成することができる（シンボルと符号化されたビデオビットストリームとの間のいかなる圧縮も、開示された主題において考慮されるビデオ圧縮技術において可逆的であるため）。その再構築されたサンプルストリームは、参照ピクチャメモリ（434）に入力される。シンボルストリームの復号により、デコーダの位置（ローカルまたはリモート）に関係なくビットイグザクト（bit－exact）結果が得られるため、参照ピクチャバッファの内容もまたローカルエンコーダとリモートエンコーダとの間でビットイグザクトになる。換言すれば、参照ピクチャとしてエンコーダが「見る」予測部分は、復号中に予測を使用するときに、デコーダが「見る」のと全く同じサンプル値をサンプリングする。参照ピクチャの同期性（および、例えばチャネルエラーのために同期性を維持できない場合に生じるドリフト）のこの基本原理は、当業者によく知られている。

「ローカル」デコーダ（433）の動作は、「リモート」デコーダ（210）の動作と同じにすることができ、これは、図3に関連して上で詳細にすでに説明されている。しかしながら、図3も簡単に参照すると、シンボルが利用可能であり、エントロピコーダ（445）およびパーサ（320）による符号化されたビデオシーケンスへのシンボルのエンコード／復号は可逆的であり得るため、（チャネル（312）、受信機（310）、バッファ（315）およびパーサ（320）を含む）デコーダ（210）のエントロピー復号部分は、ローカルデコーダ（433）に完全に実装されていない場合がある。

この時点で行うことができる観察は、デコーダに存在する解析／エントロピー復号以外のデコーダ技術も、対応するエンコーダにおいて、実質的に同一の機能形式で必ず存在する必要があるということである。エンコーダ技術の説明は、説明したデコーダ技術の逆である。特定の領域でのみ、より詳細な説明が必要であり、以下に提供される。

動作の一部として、ソースコーダ（430）は、「参照フレーム」として指定されたビデオシーケンスからの1つまたは複数の以前に符号化されたフレームを参照して入力フレームを予測的に符号化する動作補償された予測符号化を実行し得る。このようにして、符号化エンジン（432）は、入力フレームの画素ブロックと、入力フレームへの予測参照として選択され得る参照フレームの画素ブロックとの間の差異を符号化する。

ローカルビデオデコーダ（433）は、ソースコーダ（430）によって作成されたシンボルに基づいて、参照フレームとして指定され得るフレームの符号化されたビデオデータを復号し得る。符号化エンジン（432）の動作は、有利には、非可逆プロセスであり得る。符号化されたビデオデータがビデオデコーダ（図4には示されていない）において復号され得る場合、再構築されたビデオシーケンスは、通常、いくつかのエラーを伴うソースビデオシーケンスのレプリカであり得る。ローカルビデオデコーダ（433）は、参照フレーム上でビデオデコーダによって実行され得る復号プロセスを複製し、再構築された参照フレームを参照ピクチャキャッシュ（434）に格納させてよい。このようにして、ソースエンコーダ（203）は、遠端ビデオデコーダによって取得される（送信エラーがない）再構築された参照フレームとして共通の内容を有する再構築された参照フレームの複製をローカルに格納し得る。

予測器（435）は、符号化エンジン（432）の予測検索を実行し得る。すなわち、符号化される新しいフレームに対して、予測器（435）は、サンプルデータ（候補参照画素ブロックとして）または新しいピクチャの適切な予測参照として役立ち得る参照ピクチャ動きベクトル、ブロック形状などの特定のメタデータについて、参照ピクチャメモリ（434）を検索し得る。予測器（435）は、適切な予測参照を見つけるために、画素ブロックごとに1つのサンプルブロックで動作し得る。場合によっては、予測器（435）によって取得された検索結果によって決定されるように、入力ピクチャは、参照ピクチャメモリ（434）に格納された複数の参照ピクチャから引き出された予測参照を有し得る。

コントローラ（450）は、プロセッサを含んでよく、例えば、ビデオデータを符号化するために使用されるパラメータおよびサブグループパラメータの設定を含む、ソースコーダ（203）の符号化動作を管理し得る。

前述の全ての機能ユニットの出力は、エントロピコーダ（445）でエントロピ符号化を受けることがある。エントロピコーダは、例えばハフマン符号化、可変長符号化、算術符号化などの当業者に知られている技術に従ってシンボルを無損失圧縮することにより、様々な機能ユニットによって生成された記号を符号化されたビデオシーケンスに変換し得る。

送信機（440）は、エントロピコーダ（445）によって作成された符号化されたビデオシーケンスをバッファリングして、通信チャネル（460）を介した送信のためにそれを準備し得、通信チャネル（460）は、エンコードされたビデオデータを格納する記憶装置へのハードウェア／ソフトウェアリンクであり得る。送信機（440）は、ソースコーダ（203）からの符号化されたビデオデータを、送信される他のデータ、例えば、符号化されたオーディオデータおよび／または補助データストリーム（ソースは図示せず）とマージしてよい。

コントローラ（450）は、エンコーダ（203）の動作を管理し得る。符号化中に、コントローラ（450）は、それぞれの符号化されたピクチャに特定の符号化されたピクチャタイプを割り当てることがあり、これは、それぞれのピクチャに適用され得る符号化技術に影響を及ぼし得る。例えば、ピクチャは、イントラピクチャ（Iピクチャ）、予測ピクチャ（Pピクチャ）、または双方向予測ピクチャ（Bピクチャ）の中の以下のフレームタイプのうちの1つとして割り当てられることが多い。

イントラピクチャ（Iピクチャ）は、予測のソースとしてシーケンス内の任意の他のフレームを使用せずに符号化および復号され得るものであり得る。一部のビデオコーデックは、例えば独立デコーダリフレッシュピクチャを含む、異なるタイプのイントラピクチャを可能にする。当業者は、Iピクチャの変形、ならびに、それらのそれぞれの用途および機能を認識している。

予測ピクチャ（Pピクチャ）は、各ブロックのサンプル値を予測するために、最大で1つの動きベクトルおよび参照インデックスを使用して、イントラ予測またはインター予測を用いて符号化および復号され得るものである。

双方向予測ピクチャ（Bピクチャ）は、各ブロックのサンプル値を予測するために最大で2つの動きベクトルおよび参照インデックスを使用するイントラ予測またはインター予測を使用して符号化および復号され得るものであり得る。同様に、複数予測ピクチャは、単一ブロックの再構築のために3つ以上の参照ピクチャおよび関連するメタデータを使用し得る。

ソースピクチャは、一般に、空間的に複数のサンプルブロック（例えば、それぞれ4×4、8×8、4×8、または16×16サンプルのブロック）に細分され、ブロックごとに符号化され得る。ブロックは、ブロックのそれぞれのピクチャに適用される符号化割り当てによって決定されるように、他の（すでに符号化された）ブロックを参照して予測的に符号化され得る。例えば、Iピクチャのブロックは非予測的に符号化されてもよく、またはそれらは同じピクチャのすでに符号化されたブロックを参照して予測的に符号化されてもよい（空間予測またはイントラ予測）。Pピクチャのピクセルブロックは、以前に符号化された1つの参照ピクチャを参照して、空間的予測を介して、または時間的予測を介して、予測的に符号化され得る。Bピクチャのブロックは、1つまたは2つの以前に符号化された参照ピクチャを参照して、空間予測を介して、または時間予測を介して、予測的に符号化され得る。

ソースコーダ（203）は、ITU－T Rec．H．265またはVVCなどの所定のビデオ符号化技術または規格に従って符号化動作を実行し得る。その動作において、ソースコーダ（203）は、入力ビデオシーケンスにおける時間的および空間的冗長性を利用する予測符号化動作を含む、様々な圧縮動作を実行し得る。符号化されたビデオデータはしたがって、使用されているビデオ符号化技術または規格によって指定されたシンタックスに準拠していることがある。

一実施形態では、送信機（440）は、エンコードされたビデオと共に追加のデータを送信し得る。ソースコーダ（430）は、そのようなデータを、符号化されたビデオシーケンスの一部として含み得る。追加データは、時間的／空間的／SNRエンハンスメント層、冗長ピクチャおよびスライスなどの他の形式の冗長データ、補足強化情報（SEI）メッセージ、視覚的有用性情報（VUI）パラメータセットフラグメントなどを含み得る。

上記で考察したように、符号化されたビデオシーケンスの符号化は、ビデオ符号化技術または規格に従うことができ、可変長符号化、ハフマン符号化、文脈依存の有無にかかわらず算術符号化などを含む当業者に周知の原則に従うことができる。一部のストリーミングシステムでは、ビデオビットストリーム（204、207、209）を特定のビデオ符号化／圧縮規格に従ってエンコードすることができる。これらの標準規格の一例は、H．265のITU－T HEVC Recommendationを含む。

AV1一次変換
AOMedia Video 1（AV1）における拡張符号化ブロックパーティションをサポートするために、複数の変換サイズ（各次元について4ポイントから64ポイントの範囲）および変換形状（正方形、幅／高さの比が2：1／1：2、および4：1／1：4の長方形）がAV1に導入される。

AV1では、一次（1 D）変換は、（a）DCT－2については 4ポイント（4p）、8ポイント（8p）、16ポイント（16p）、32ポイント（32p）、および64ポイント（64p）、（b）非対称DSTおよびそれらのフリップバージョンについては4p、8 p、および16p、および（c）恒等変換については4p、8p、16pおよび32pを含む。2 D変換プロセスは、ハイブリッド変換（例えば、符号化された残差ブロックの次元ごとに異なる変換）の使用を含むことができ、各次元に使用される変換の選択は、レート歪み（RD）基準に基づく。AV1で使用されるDCT－2、DST－4、およびDST－7の基底関数を表1（図5A）に列挙する。

AV1で使用されるDCT－2および非対称DSTの基底関数を表1に列挙し、これは図5Aに示される。

図5Aの表1は、AV1一次変換基底関数（Nポイント入力に対するDCT－2、DST－4、DST－7）を示す。

＜表1＞

DCT－2（4 p－64p）、DST－4（8 p、16 p）およびDST－7（4 p）変換は、対称性／逆対称性特性を示す。したがって、演算カウント数（乗算、加算／減算、シフトのうちの1つまたは複数）を減らすために、いわゆる「部分的なバタフライ」実装がサポートされる。一実施形態によれば、使用され得る部分的なバタフライ実装は、図5Bに記載されているように、様々な角度での三角関数コサインおよび正弦関数を使用する平面回転を含み得る。

図5Bは、一実施形態による平面回転（バタフライ＆行列表現）を示す。

一実施形態によれば、三角関数の値を生成するために、12ビットのルックアップテーブルが、図6Aおよび図6Bに示すように利用されてよい。図6Aは、一実施形態による、AV1で使用されるDCT－2（4 p－64p）／DST－4（8 p、16 p）部分バタフライルックアップテーブルを示す。図6Bは、一実施形態による、AV1で使用されるDST－7（4 p）部分バタフライルックアップテーブルを示す。

AV 2についての一次変換
進行中のAV2開発プロセスでは、上述の1 D DSTを置き換えることを考慮して、ライングラフ変換（LGT）が導入されている。

グラフは、頂点およびエッジのセットから成る一般的な数学的構造であり、これは、関心の対象の間の親和性関係をモデル化するために使用され得る。例えば、非特許文献1を参照されたい。実際には、（重みのセットがエッジおよび潜在的に頂点に割り当てられる）重み付けされたグラフは、信号／データのロバストなモデリングのためのスパース表現を提供し得る。LGTは、多様なブロック統計のためのより良い適応を提供することによって符号化効率を改善することができる。いくつかの例（例えば、非特許文献2および3）では、分離可能なLGTは、ブロック残差信号の基礎となる行および列ごとの統計をモデル化するデータからライングラフ（図7Aを参照）を学習することによって設計および最適化され、関連付けられた一般化グラフラプラシアン（GGL）行列がLGTを導出するために使用される。

例えば、図7Aは、自己ループ重みvc 1、vc 2およびエッジ重みwcによって特徴付けられる汎用LGTを示す。

一実施形態によれば、図7Aに示すように、重み付けされたグラフG（W，V）が与えられると、GGL行列は、以下のように定義されてよく、
L_c＝D－W＋V （式1）
ここで、Wは非負のエッジ重みw_cから成る隣接行列であり、Dは対角度行列であり、Vは重み付き自己ループv_c1，v_c2を表す対角行列である。図7Aに示すように、行列L_cは以下のように表すことができる。

次いで、LGTは、GGL L_cの固有値分解によって導出することができ、
L_c＝UΦU^T （式3）
ここで、直交行列Uの列はLGTの基底ベクトルであり、Φは対角固有値行列である。

実際、DCT－2、DCT－8およびDST－7を含むDCTおよびDSTは、例えば、以下のような特定の形態のGGLに由来するLGTであり得る。
DCT－2は、v_c1＝0 （式4）を設定することによって導出される。
DST－7は、v_c1＝w_c （式5）を設定することによって導出される。
DCT－8は、v_c2＝w_c （式6）を設定することによって導出される。
DST－4は、v_c1＝2w_c （式7）を設定することによって導出される。
DCT－4は、v_c2＝2w_c （式8）を設定することによって導出される。

AV2では、LGTは行列乗算として実装することができる。4pLGTコアは、L_cにおいてv_c1＝2w_cを設定することによって導出され、これは、それがDST－4であることを意味する。8pLGTコアはL_cにおいてv_c1＝1．5w_cを設定することによって導出され、16pおよび32pLGTコアはL_cにおいてv_c1＝w_cを設定することによって導出され、これはそれがDST－7であることを意味する。

さらなる調整
AV2では、LGTコアは、より良好な符号化効率または精度のためにさらに調整され得る。例えば、追加の符号化効率を提供するために、AV2に64ポイント（64p）LGTを導入することができる。32ポイント（32p）および64pLGTは計算集約的であるため、それらの適用に関する制約は、符号化効率に影響を与えることなく、ブロックサイズ、サポートされる変換タイプおよび／または予測モードのうちの1つまたは複数に基づいて考案することができる。

以下に提案される方法は、別々に使用されても、任意の順序で組み合わされてもよい。上記で詳述したように、自己ループ重み（例えば、自己ループ重みv_c1およびvc ₂）を特有の値に設定することによって異なるLGTコアを生成することができる。さらに、LGTコアの基底ベクトルは、直交性について調整することもできる（このプロセスは、ダイナミックレンジにわたる総当たり法によって基底ベクトルの個々の重みを調整することを含む）。したがって、一実施形態によれば、有効なLGT調整方法は、2つの自由度（例えば、自己ループ重みv_c1およびv_c2）と基底ベクトル調整プロセスとを組み合わせることができる。

一実施形態によれば、LGT調整方法は、（a）初期（第1の）変換コアに到達するように、2つの自由度（例えば、自己ループ重みvc₁およびvc₂）にわたって異なるサイズのLGTコアを調整するステップと、b）初期変換コアの基底ベクトルの個々の重みを総当たり法によってさらに調整して、最終的な（第2の）変換コアに到達させるステップと、を含んでよい。

上述の2ステップ調整プロセスは、より良好な符号化効率を達成するためにAV2に導入することができる異なるサイズの一セットの最適な変換コアを生成するために使用することができる。この方法を使用して生成された変換コアは、以下のセクションに列挙される。

LGTが使用される場合、LGTのフリップバージョン（すなわち、フリップされたLGT）も使用することができる。LGTのフリップバージョンは、LGTのフリップされた（左右、または上下のいずれか）変換行列を変換行列として使用する変換を指す。

N－pLGTの有効化
32pおよび64pLGTは、本明細書ではN－pLGTと呼ばれ、Nはそれぞれ値32および64を採ることができる。

ブロックサイズおよびサポートされる変換タイプに対するいくつかの制限を伴うN－pLGTを有効にすることが提案される。

一実施形態では、N－pLGTは、WxNおよびNxHのブロックサイズに対してのみ有効にされ、Wおよび／またはHは所与の閾値以上である。閾値の値の例は、128、64、32、16、8、および4を含む。

一実施形態では、N－pLGTが有効にされるとき、DCT－2およびLGTのみをN長側の変換タイプ候補として使用することができる。

一実施形態では、N－pLGTが有効にされるとき、DCT－2、LGTおよびフリップLGTのみをN長辺の変換タイプ候補として使用することができる。

一実施形態では、N－pLGTが有効にされるとき、N長側に恒等変換を使用することができない。

一実施形態では、N－pLGTが有効にされるとき、イントラ予測残差およびインター予測残差に対してサポートされる変換タイプは異なる。

一例では、イントラ予測残差の場合、サポートされる変換タイプは、DCT－2およびLGTを含む。インター予測残差の場合、サポートされる変換タイプは、DCT－2、LGT、およびフリップLGTを含む。

図9を参照すると、本開示の一態様による第1の簡単な例では、ビデオデータで構成されたビットストリームを復号する方法は、少なくとも1つのプロセッサによって実行されてよく、圧縮されたビデオデータを含むエントロピー符号化されたビットストリームを受信するステップ（動作601）を含んでよい。ビットストリームは、デコーダによって受信されたエンコードされたビデオまたは画像を指す場合がある。

方法は、1つまたは複数の逆量子化されたブロックを生成するステップ（動作602）をさらに含んでよい。動作602は、ビットストリームを解析するステップと、エントロピー符号化されたビットストリームを復号するステップと、各ブロックを逆量子化するステップとを含むプロセスによって、1つまたは複数の逆量子化されたブロックを生成するステップ（動作602）を含んでよい。

方法は、逆量子化されたブロックの高さおよび幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であるか否かを判定するステップ（動作603）をさらに含んでよい。

方法は、逆量子化されたブロックの高さおよび幅の少なくとも一方が所定の閾値以上であることに応答して、調整されたライングラフ変換（LGT）コアを使用して、逆量子化されたブロックの変換符号化を実行して、複雑度が低減された逆量子化されたブロックの水平次元および垂直次元の各々に対して直接行列乗算を実行するステップ（動作604）をさらに含んでよい。

方法は、逆量子化されたブロックの高さまたは幅の少なくとも一方が所定の閾値以上ではないという判定に基づいて、ライングラフ変換（LGT）コアを使用して元のブロックの変換符号化を実行して、元のブロックの水平次元および垂直次元の各々に対して直接行列乗算を実行するステップ（動作605）をさらに含んでよい。

一実施形態によれば、調整されたLGTコアは、DCT－2、DCT－8、またはDST－7の中からの離散コサイン変換（DCT）または離散サイン変換（DST）であってよく、これらは、特定の形式の一般化グラフラプラシアン（GGL）行列から導出される。

復号する方法は、N－pLGTが有効にされていか否かを決定するステップと、N－pLGTが有効にされているときに、逆量子化されたブロックのN長側に対して、変換タイプ候補として離散コサイン変換（DCT）－2およびLGTのみを使用するステップと、をさらに含んでよい。

一実施形態によると、非一時的コンピュータ可読記憶媒体は、実行されるとき、1つまたは複数のプロセッサを備えるシステムまたはデバイスに、
圧縮されたビデオデータを含むエントロピー符号化されたビットストリームを受信させ、
ビットストリームを構文解析することと、
エントロピー符号化ビットストリームを復号することと、
1つまたは複数のブロックの各ブロックを逆量子化することと、
を含むプロセスによって1つまたは複数の逆量子化されたブロックを生成させ、
1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さおよび幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であるか否かを判定させ、
1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さおよび幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であることに応答して、調整されたライングラフ変換（LGT）コアを使用して逆量子化されたブロックを変換符号化して、1つまたは複数の逆量子化されたブロックの水平次元および垂直次元の各々に対して直接行列乗算を実行させ得る命令を記憶する。

一実施形態によれば、装置は、コンピュータプログラムコードを記憶するように構成された少なくとも1つのメモリと、少なくとも1つのメモリにアクセスし、コンピュータプログラムコードに従って動作するように構成された少なくとも1つのプロセッサとを備え、コンピュータプログラムコードは、少なくとも1つのプロセッサに、圧縮されたビデオデータを含むエントロピー符号化されたビットストリームを受信させるように構成された受信コードと、
ビットストリームを解析することと、
エントロピー符号化されたビットストリームを復号することと、
1つまたは複数のブロックの各ブロックを逆量子化することと、
を含むプロセスによって、少なくとも1つのプロセッサに、1つまたは複数の逆量子化されたブロックを生成させるように構成された生成コードと、
少なくとも1つのプロセッサに、1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さおよび幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であるか否かを判定させるように構成された判定コードと、
少なくとも1つのプロセッサに、1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さおよび幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であることに応答して、調整されたライングラフ変換（LGT）コアを使用して逆量子化されたブロックを変換符号化して、1つまたは複数の逆量子化されたブロックの水平次元および垂直次元の各々に対して直接行列乗算を実行させるように構成された変換符号化コードと、
を含む。

8ビット変換コア
4pLGT：4pLGTコアは、そのセットの任意の4×4行列とすることができる。
［
41，78，105，119，
105，105，－0，－105，
119，－41，－105，78，
78，－119，105，－41，
］，
［
40，77，105，119，
103，106，2，－105，
119，－38，－105，77，
80，－119，103，－41，
］，
［
39，77，105，120，
101，108，3，－105，
120，－35，－106，76，
82，－119，102，－40，
］，
［
38，76，105，120，
99，109，5，－105，
120，－32，－107，76，
84，－118，101，－39，
］，
［
37，76，105，121，
97，111，7，－105，
121，－28，－108，75，
86，－118，100，－39，
］，
［
36，75，105，121，
96，112，8，－105，
121，－25，－109，75，
88，－118，98，－38，
］，
［
35，75，105，122，
94，113，9，－105，
121，－22，－110，75，
91，－117，97，－37，
］，
［
34，75，106，122，
92，115，11，－105，
121，－18，－111，74，
93，－117，95，－37，
］，
［
33，74，106，122，
90，116，12，－105，
120，－15，－112，74，
95，－117，94，－36，
］，
［
32，74，106，123，
88，117，13，－105，
120，－11，－114，73，
98，－116，92，－35，
］，
［
31，74，106，123，
87，118，15，－105，
119，－8，－115，73，
100，－116，91，－34，
］，
［
30，73，106，123，
85，119，16，－105，
118，－5，－116，73，
103，－115，89，－33，
］，
［
30，73，106，124，
83，120，17，－106，
118，－1，－117，73，
105，－114，87，－32，
］，
［
29，73，106，124，
82，121，18，－106，
117，2，－118，72，
108，－113，85，－32，
］，
［
28，73，106，124，
80，122，19，－106，
116，6，－119，72，
110，－113，83，－31，
］，
［
28，72，106，124，
79，122，20，－106，
114，9，－120，72，
113，－112，81，－30，
］，
［
27，72，106，125，
77，123，21，－106，
113，12，－121，72，
116，－111，79，－29，
］，
［
27，72，106，125，
75，124，22，－106，
111，15，－122，72，
118，－110，77，－28，
］，
［
26，72，106，125，
74，124，23，－106，
110，19，－124，71，
121，－109，75，－27，
］，
［
25，71，106，125，
73，125，24，－106，
108，22，－125，71，
123，－108，73，－26，
］，
［
25，71，106，126，
71，126，25，－106，
106，25，－126，71，
126，－106，71，－25
］

8 pLGT：

8pLGTコアは、そのセットの任意の8×8行列とすることができる。
［
27，48，67，85，99，110，118，122，
76，115，121，93，38，－27，－85，－118，
109，113，31，－75，－123，－78，26，111，
123，48，－95，－105，33，124，41，－100，
120，－41，－115，57，107，－72，－97，85，
103，－108，－10，117，－90，－39，124，－67，
74，－123，105，－31，－61，119，－113，46，
39，－80，110，－124，121，－101，67，－23，
］，
［
26，47，67，84，99，111，118，122，
73，114，122，95，40，－26，－84，－119，
106，115，35，－72，－123，－80，25，111，
123，53，－92，－106，30，124，42，－100，
121，－36，－116，54，108，－70，－97，85，
105，－106，－13，117，－89，－41，124，－66，
76，－123，104，－29，－62，119，－113，46，
40，－81，110，－124，121，－101，67，－23，
］，
［
25，46，66，84，99，111，119，123，
70，113，122，96，42，－25，－84，－119，
104，117，38，－70，－124，－81，25，111，
122，57，－89，－108，28，124，43，－99，
122，－32，－117，51，109，－68，－98，84，
107，－104，－16，118，－87，－42，124，－66，
79，－123，103，－27，－63，119，－112，45，
42，－82，111，－124，121，－100，66，－23，
］，
［
24，46，66，84，99，111，119，123，
68，112，123，98，43，－24，－84，－119，
102，118，42，－68，－124，－82，24，111，
121，61，－86，－110，25，124，44，－99，
123，－27，－118，48，110，－67，－98，84，
109，－102，－19，119，－85，－43，124，－66，
81，－124，101，－25，－64，119，－112，45，
43，－83，111，－124，120，－100，66，－23，
］，
［
23，45，65，84，99，111，119，124，
65，111，124，99，45，－23，－84，－119，
99，119，45，－65，－124，－84，23，111，
119，65，－84，－111，23，124，45，－99，
124，－23，－119，45，111，－65，－99，84，
111，－99，－23，119，－84，－45，124，－65，
84，－124，99，－23，－65，119，－111，45，
45，－84，111，－124，119，－99，65，－23，
］，
［
22，44，65，83，99，111，120，124，
63，110，124，100，46，－22，－83，－120，
97，121，48，－63，－124，－85，22，111，
118，69，－81，－113，20，124，46，－99，
124，－18，－120，42，112，－64，－100，83，
113，－96，－26，120，－82，－46，124，－65，
86，－124，97，－21，－67，120，－111，45，
47，－85，112，－123，119，－98，65，－23，
］，
［
21，44，65，83，99，111，120，124，
61，110，125，101，47，－21，－83，－120，
94，122，51，－61，－124，－86，21，111，
116，73，－78，－114，18，124，47，－99，
124，－13，－121，39，113，－62，－100，83，
115，－93，－30，121，－80，－48，124，－65，
89，－124，95，－18，－68，120，－110，44，
49，－86，112，－123，118，－98，64，－22，
］，
［
20，43，64，83，99，112，120，125，
59，109，125，103，49，－20，－83，－120，
92，123，53，－59，－124，－87，21，111，
115，76，－75，－115，16，123，48，－99，
124，－9，－122，36，114，－61，－101，83，
117，－90，－34，121，－78，－50，124，－64，
92，－123，93，－15，－70，120，－109，44，
51，－87，112，－123，117，－97，64，－22，
］，
［
20，42，64，83，99，112，120，125，
57，108，125，104，50，－20，－83，－120，
90，123，56，－58，－124，－88，20，112，
113，80，－73，－117，14，123，49，－99，
124，－4，－123，32，115，－59，－102，83，
118，－87，－38，122，－76，－51，124，－64，
95，－123，90，－13，－71，120，－109，43，
53，－88，113，－122，117，－96，63，－22，
］，
［
19，42，64，83，99，112，121，125，
55，107，126，104，51，－19，－83，－121，
87，124，58，－56，－124，－89，19，112，
111，83，－70，－118，12，123，50，－99，
123，1，－124，29，116，－58，－103，82，
120，－83，－42，122，－74，－53，124，－64，
97，－123，88，－10，－73，120，－108，43，
55，－90，113，－122，116，－95，62，－22，
］，
［
18，42，63，83，99，112，121，125，
54，107，126，105，52，－18，－83，－121，
85，125，60，－54，－124，－90，19，112，
109，86，－67，－119，9，123，51，－99，
123，6，－124，26，117，－56，－103，82，
121，－79，－46，123，－71，－55，124，－63，
100，－122，85，－7，－75，120，－107，43，
58，－91，113，－122，115，－94，61，－21，
］，
［
18，41，63，82，99，112，121，126，
52，106，126，106，52，－18，－82，－121，
83，125，62，－53，－124，－91，18，112，
107，89，－65，－120，7，123，51，－99，
122，10，－125，23，118，－54，－104，82，
122，－75，－50，123，－69，－56，124，－63，
103，－121，82，－3，－77，120，－107，42，
61，－93，114，－121，114，－93，60，－21，
］，
［
17，41，63，82，99，112，121，126，
51，105，126，107，53，－17，－82，－121，
81，126，64，－51，－123，－92，17，112，
105，91，－62，－121，6，123，52，－99，
121，15，－125，20，119，－53，－105，82，
123，－71，－54，124，－67，－58，124，－63，
106，－120，78，0，－79，120，－106，42，
64，－95，114，－120，113，－91，60，－21，
］，
［
17，40，62，82，99，112，121，126，
49，105，126，108，54，－17，－82，－121，
79，126，66，－50，－123，－93，17，112，
103，94，－60，－122，4，123，53，－99，
120，19，－125，17，120，－51，－105，82，
124，－67，－58，124，－65，－60，124，－62，
109，－119，75，4，－81，121，－105，41，
67，－96，115，－120，111，－90，58，－20，
］，
［
16，40，62，82，99，112，121，126，
48，104，127，108，55，－16，－82，－121，
77，126，68，－48，－123，－93，16，112，
101，96，－57，－122，2，123，54，－99，
118，24，－125，14，121，－50，－106，82，
124，－62，－62，124，－62，－62，124，－62，
112，－118，71，8，－83，121，－104，41，
71，－98，115，－119，110，－88，57，－20，
］，
［
16，40，62，82，99，112，122，126，
46，103，127，109，56，－16，－82，－122，
75，127，70，－47，－123，－94，16，112，
99，98，－55，－123，0，123，55，－99，
117，28，－125，11，122，－49，－107，82，
124，－57，－66，124，－60，－64，124，－62，
115，－116，66，12，－86，121，－104，40，
75，－100，115，－118，108，－87，56，－19，
］，
［
15，39，62，82，99，112，122，126，
45，103，127，109，56，－15，－82，－122，
73，127，71，－46，－123，－95，16，112，
97，101，－53，－124，－1，123，55，－99，
115，32，－125，8，123，－47，－108，82，
124，－53，－70，124，－57，－66，125，－62，
117，－114，62，17，－88，122，－103，40，
79，－103，116，－117，106，－85，55，－19，
］，
［
15，39，62，82，99，113，122，127，
44，102，127，110，57，－15，－82，－122，
71，127，73，－44，－123，－95，15，112，
95，102，－51，－124，－3，123，56，－99，
113，36，－125，5，123，－46，－108，82，
124，－48，－74，124，－55，－68，125，－61，
119，－111，57，22，－91，122，－102，40，
84，－105，116，－116，104，－83，53，－18，
］，
［
15，39，61，82，99，113，122，127，
43，102，127，110，57，－15，－82，－122，
69，127，74，－43，－123，－96，15，112，
93，104，－48，－125，－5，123，57，－99，
111，40，－125，2，124，－44，－109，81，
123，－43，－78，124，－52，－70，125，－61，
121，－108，51，27，－94，123，－102，39，
89，－107，116，－114，102，－80，51，－18，
］，
［
14，38，61，82，99，113，122，127，
42，101，127，111，58，－14，－82，－122，
68，127，76，－42，－123，－96，14，113，
91，106，－46，－125，－6，123，57，－99，
109，44，－125，－0，125，－43，－110，81，
122，－38，－82，124，－50，－72，126，－61，
123，－105，46，32，－97，123，－101，39，
94，－110，116，－112，99，－78，49，－17，
］，
［
14，38，61，82，99，113，122，127，
41，101，127，111，58，－14，－82，－122，
66，127，77，－41，－123，－97，14，113，
89，108，－44，－126，－7，123，58，－99，
107，47，－124，－3，125，－42，－110，81，
120，－32，－86，124，－47，－74，126，－61，
124，－101，39，37，－100，124，－101，38，
100，－112，116，－110，96，－75，47，－16，
］

16 pLGT：

16 pLGTコアは、そのセットの任意の16×16行列とすることができる。
［
22，33，43，53，63，72，81，88，96，102，108，113，116，119，121，122，
61，88，108，120，123，117，103，82，54，23，－10，－43，－72，－96，－113，－122，
92，119，122，101，59，6，－49，－94，－120，－122，－99，－56，－2，53，96，121，
111，123，86，16，－61，－114，－122，－82，－9，67，116，120，77，3，－72，－118，
122，104，19，－78，－125，－92，1，93，125，77，－21，－105，－122，－60，41，115，
126，70，－52，－125，－79，41，123，88，－30，－120，－97，18，115，104，－6，－110，
125，27，－106，－102，33，126，57，－85，－117，2，119，83，－60，－125，－30，104，
120，－19，－127，－25，118，65，－96，－98，62，119，－21，－127，－23，119，64，－97，
113，－61，－110，65，108，－69，－105，73，102，－77，－99，81，96，－85，－92，89，
103，－95，－63，121，12，－126，42，108，－88，－71，118，22，－127，32，113，－80，
91，－117，2，116，－93，－42，127，－58，－81，122，－15，－110，102，29，－125，70，
78，－127，65，53，－125，88，25，－117，107，－3，－103，120，－32，－83，126，－59，
64，－123，111，－36，－60，121，－113，40，56，－120，115，－44，－52，119，－117，48，
49，－105，127，－107，52，21，－86，124，－120，77，－8，－63，114，－126，98，－37，
33，－77，110，－126，124，－103，67，－20，－29，74，－107，125，－125，105，－70，25，
16，－41，63，－83，100，－114，123，－127，127，－121，112，－98，80，－59，37，－12，
］，
［
20，31，42，52，62，71，80，88，96，102，108，113，117，120，122，123，
57，85，106，119，123，119，105，84，57，25，－9，－42，－71，－96，－113，－122，
87，117，123，104，64，10，－46，－92，－119，－122，－100，－58，－3，52，96，121，
108，124，91，22，－56，－112，－123，－85，－13，64，115，121，78，4，－71，－118，
120，108，26，－73，－125，－95，－4，90，125，79，－19，－104，－122，－61，40，115，
125，75，－47，－124，－83，37，122，91，－26，－119，－98，16，115，104，－5，－110，
126，32，－103，－105，29，125，60，－83，－118，－1，118，84，－58，－125，－30，104，
122，－14，－126，－29，116，68，－93，－100，59，120，－19，－126，－24，118，64，－97，
115，－57，－112，62，109，－66，－106，71，103，－76，－100，80，96，－84，－93，89，
105，－92，－66，120，15，－126，39，109，－86，－73，117，23，－127，31，114，－80，
93，－116，－1，117，－92，－44，127，－56，－82，121，－14，－110，102，30，－125，70，
80，－127，63，55，－126，87，27，－118，106，－2，－103，119，－32，－84，126，－59，
66，－123，110，－34，－61，122，－113，39，57，－120，115，－44，－53，119，－117，48，
50，－106，127，－106，51，22，－87，124，－120，76，－8，－63，114，－126，97，－36，
34，－78，110，－126，123，－102，66，－20，－29，74，－108，125，－124，105，－70，25，
17，－41，63，－84，100，－114，123，－127，126，－121，111，－98，80，－59，37，－12，
］，
［
19，30，41，51，61，71，80，88，96，102，108，113，117，120，122，123，
54，82，104，119，124，120，107，86，59，27，－7，－41，－71，－96，－114，－123，
83，115，124，107，67，14，－42，－90，－119，－123，－102，－59，－5，51，96，121，
104，125，95，27，－52，－110，－124，－88，－16，61，115，121，79，5，－71，－118，
118，111，32，－68，－124，－98，－8，87，125，81，－16，－103，－122，－62，40，115，
125，80，－41，－123，－87，32，121，93，－23，－118，－99，14，114，105，－5，－110，
126，38，－99，－108，24，124，63，－80，－119，－4，117，85，－57，－125，－31，104，
123，－8，－126，－34，115，72，－91，－102，57，121，－17，－126，－25，118，64，－97，
117，－52，－114，58，111，－64，－108，69，105，－74，－101，79，97，－84，－93，88，
107，－89，－69，119，18，－126，37，111，－84，－74，116，24，－127，30，114，－79，
96，－115，－4，118，－90，－47，127，－54，－83，121，－13，－111，101，30，－125，70，
82，－126，61，57，－126，85，29，－118，105，－1，－104，119，－31，－84，126，－59，
68，－124，109，－32，－63，122，－112，38，58，－120，114，－43，－53，119，－117，48，
52，－107，127，－106，49，23，－88，124，－119，75，－7，－64，114，－126，97，－36，
35，－78，110，－126，123，－102，65，－19，－30，74，－108，125，－124，105，－70，24，
18，－41，64，－84，101，－114，123，－127，126，－121，111，－97，80，－59，36，－12，
］，
［
18，29，40，50，61，70，79，88，96，102，108，114，118，121，123，124，
51，80，103，118，124，121，108，88，60，28，－6，－40，－70，－96，－114，－123，
79，114，125，109，71，18，－39，－88，－118，－123，－103，－61，－6，50，96，121，
101，125，99，32，－47，－108，－124，－90，－19，59，114，122，81，6，－70，－118，
115，114，37，－64，－123，－101，－12，85，125，83，－14，－102，－123，－62，39，115，
123，85，－36，－122，－90，28，119，96，－20，－117，－101，12，113，105，－4，－110，
126，43，－96，－110，19，124，66，－77，－120，－6，116，87，－56，－125，－32，103，
124，－3，－125，－38，113，75，－88，－104，54，121，－15，－126，－26，118，65，－96，
118，－48，－116，54，113，－60，－109，66，106，－72，－102，78，98，－83，－93，88，
109，－86，－72，117，21，－126，34，112，－83，－76，116，25，－127，30，114，－79，
98，－113，－8，119，－88，－49，127，－52，－85，120，－12，－111，100，31，－125，69，
85，－126，58，59，－126，84，31，－119，104，0，－105，119，－30，－84，126，－59，
70，－124，108，－30，－64，122，－111，36，59，－121，114，－42，－53，119，－116，48，
53，－108，127，－105，48，24，－89，124，－119，75，－6，－64，114，－126，97，－36，
36，－79，111，－126，123，－101，65，－19，－30，75，－108，125，－124，105，－70，24，
18，－42，64，－84，101，－114，123，－127，126，－121，111，－97，80，－59，36，－12，
］，
［
16，28，39，50，60，70，79，88，96，102，109，114，118，121，123，124，
48，78，101，117，124，122，110，89，62，30，－5，－39，－70，－96，－114，－123，
75，112，125，111，74，21，－36，－86，－117，－124，－104，－62，－7，50，96，121，
97，125，102，37，－43，－106，－125，－92，－22，57，113，122，82，7，－70，－119，
113，116，43，－59，－122，－103，－16，82，125，85，－11，－101，－123，－63，38，115，
122，89，－30，－120，－94，23，118，98，－17，－115，－102，10，113，106，－3，－109，
126，49，－92，－112，15，123，70，－75，－121，－9，115，88，－54，－125，－32，103，
125，3，－124，－42，111，78，－86，－105，52，122，－13，－126，－28，117，65，－96，
120，－43，－117，50，114，－57，－111，64，107，－70，－103，76，98，－82，－93，88，
112，－83，－75，116，24，－126，31，113，－81，－77，115，27，－127，29，114，－79，
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87，－125，56，62，－126，82，33，－119，103，2，－105，118，－29，－85，126，－59，
72，－124，106，－28，－66，123，－110，35，60，－121，113，－41，－54，119，－116，48，
55，－109，127，－104，47，26，－89，124，－118，74，－6，－65，114，－126，97，－36，
37，－80，111，－126，122，－100，64，－18，－31，75，－108，125，－124，104，－69，24，
19，－43，65，－84，101，－114，123，－127，126，－121，111，－97，79，－59，36，－12，
］，
［
15，27，38，49，60，70，79，88，95，103，109，114，118，121，124，125，
45，76，100，117，124，122，111，90，63，31，－4，－38，－70，－96，－114，－124，
72，110，125，113，77，24，－34，－84，－117，－124，－105，－63，－8，49，96，122，
94，125，105，41，－40，－104，－125，－95，－25，55，112，123，83，8，－70，－119，
110，118，48，－55，－121，－106，－20，79，125，87，－9，－100，－123，－64，38，115，
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125，54，－88，－115，10，121，73，－72，－122，－11，114，89，－53，－125，－33，103，
126，8，－123，－47，108，81，－83，－107，49，122，－11，－126，－29，117，66，－96，
122，－38，－119，46，116，－54，－112，61，108，－68，－104，75，99，－82，－94，88，
114，－79，－79，114，28，－126，28，114，－79，－79，114，28，－126，28，114，－79，
103，－109，－15，121，－83，－54，127，－48，－88，119，－9，－112，99，32，－125，69，
90，－125，53，64，－126，80，35，－120，102，3，－106，118，－29，－85，126，－59，
74，－125，105，－26，－68，123，－109，33，61，－121，113，－41，－55，119，－116，48，
57，－110，127，－103，45，27，－90，124，－118，73，－5，－65，114，－126，97，－36，
39，－81，112，－126，122，－100，63，－17，－31，75，－108，125，－124，104，－69，24，
19，－43，65，－85，101，－114，123，－127，126，－120，111，－97，79，－59，36，－12，
］，
［
15，26，38，49，59，69，79，87，95，103，109，114，118，122，124，125，
43，74，99，116，125，123，112，92，64，32，－3，－38，－69，－95，－114，－124，
69，109，125，115，79，27，－31，－83，－116，－125，－106，－65，－9，48，95，122，
90，125，107，45，－36，－102，－125，－96，－27，53，112，123，84，9，－69，－119，
107，120，53，－51，－120，－108，－23，77，125，89，－7，－99，－124，－65，37，115，
118，97，－19，－117，－100，15，115，102，－11，－113，－105，6，111，107，－2，－109，
125，59，－84，－117，5，120，76，－69，－123，－14，113，91，－52，－126，－33，103，
126，14，－122，－51，106，84，－80，－109，46，123，－8，－126，－30，116，66，－96，
123，－33，－120，42，117，－50，－114，58，110，－66，－105，74，100，－81，－94，88，
116，－75，－82，112，32，－126，25，115，－77，－80，113，29，－126，27，114，－79，
105，－107，－19，122，－80，－57，126，－46，－89，118，－7，－112，98，33，－125，69，
92，－124，50，67，－126，78，37，－120，101，5，－106，117，－28，－85，125，－58，
76，－125，103，－24，－70，124，－108，32，62，－121，112，－40，－55，119，－116，47，
59，－110，126，－101，43，28，－91，124，－117，72，－4，－66，114，－126，96，－36，
40，－82，112，－126，121，－99，62，－16，－32，76，－108，125，－123，104，－69，24，
20，－44，66，－85，102，－114，123，－126，126，－120，110，－96，79，－59，36，－12，
］，
［
14，26，37，48，59，69，78，87，95，103，109，114，119，122，124，125，
41，72，98，116，125，124，113，93，65，33，－2，－37，－69，－95，－114，－124，
66，107，125，116，82，29，－29，－81，－116，－125，－107，－66，－10，48，95，122，
87，124，109，49，－33，－100，－126，－98，－30，51，111，124，85，10，－69，－119，
104，122，57，－47，－118，－110，－27，75，125，91，－5，－98，－124，－66，37，115，
116，100，－14，－115，－102，11，114，104，－8，－112，－106，5，111，108，－2，－109，
124，64，－80，－118，1，119，79，－66，－123，－17，112，92，－50，－126，－34，103，
126，19，－120，－56，103，87，－77，－110，44，123，－6，－125，－32，116，67，－96，
124，－28，－122，38，119，－47，－115，56，111，－64，－106，72，100，－80，－94，87，
118，－71，－85，110，35，－126，22，116，－75，－82，112，31，－126，27，114，－78，
108，－104，－23，123，－78，－59，126，－44，－90，117，－5，－113，98，33，－125，69，
95，－123，47，69，－126，76，39，－121，100，6，－107，117，－27，－86，125，－58，
79，－125，102，－21，－72，124，－107，30，64，－122，111，－39，－56，119，－115，47，
61，－111，126，－100，42，30，－92，124，－117，71，－3，－66，114，－125，96，－36，
42，－83，113，－126，121，－98，61，－15，－33，76，－109，125，－123，104，－69，24，
21，－44，66，－86，102，－114，123，－126，125，－120，110，－96，79，－58，36，－12，
］，
［
13，25，36，48，58，69，78，87，95，103，109，114，119，122，124，125，
39，71，97，115，125，124，113，94，66，34，－1，－36，－69，－95，－114，－124，
63，105，125，117，84，32，－27，－80，－115，－125，－108，－67，－11，48，95，122，
84，124，111，52，－30，－98，－126，－100，－32，50，110，124，85，11，－69，－119，
101，123，61，－43，－117，－112，－30，72，125，92，－3，－97，－124，－67，36，115，
114，104，－9，－113，－105，7，112，106，－5，－111，－107，3，110，108，－1，－109，
122，69，－76，－120，－3，118，82，－63，－124，－19，111，93，－49，－126，－34，103，
126，25，－119，－60，101，90，－74，－112，41，124，－4，－125，－33，115，67，－95，
125，－23，－123，33，120，－43，－117，53，112，－62，－107，71，101，－79，－95，87，
119，－67，－89，108，39，－126，19，117，－73，－84，111，32，－126，26，114，－78，
110，－101，－27，123，－75，－62，126，－41，－92，117，－4，－114，97，34，－125，69，
97，－122，43，72，－126，73，42，－121，98，8，－108，116，－26，－86，125，－58，
81，－126，100，－18，－74，124，－106，28，65，－122，111，－38，－56，119，－115，47，
63，－113，126，－99，40，32，－93，125，－116，70，－2，－67，114，－125，96，－36，
43，－84，113，－126，120，－97，60，－14，－34，77，－109，125，－123，103，－69，24，
22，－45，67，－86，102，－114，123，－126，125，－120，110，－96，78，－58，36，－12，
］，
［
13，24，36，47，58，68，78，87，95，103，109，115，119，122，125，126，
37，69，96，115，125，124，114，94，67，35，－1，－36，－68，－95，－115，－125，
60，104，125，118，85，34，－26，－79，－115，－126，－109，－67，－11，47，95，122，
81，123，113，55，－27，－97，－126，－101，－34，48，110，124，86，11，－68，－119，
98，124，65，－39，－116，－113，－33，70，125，94，－2，－96，－124，－67，36，115，
112，107，－5，－111，－107，4，111，108，－3，－110，－108，2，110，109，－1，－109，
121，74，－72，－121，－8，116，84，－60，－124，－22，110，94，－48，－126，－35，103，
125，30，－117，－64，98，93，－71，－113，38，124，－2，－125，－34，115，68，－95，
126，－17，－124，29，121，－39，－118，50，113，－60，－108，70，102，－79，－95，87，
121，－62，－92，105，43，－125，15，118，－70，－85，110，34，－126，25，114，－78，
112，－98，－31，124，－71，－65，125，－38，－94，116，－2，－114，96，35，－125，68，
100，－121，39，75，－126，71，44，－122，97，10，－108，115，－25，－87，125，－58，
84，－126，98，－15，－76，124，－104，26，67，－122，110，－37，－57，119，－115，47，
66，－114，125，－97，38，34，－94，125，－115，69，－1，－67，115，－125，96，－36，
45，－86，114，－126，120，－96，59，－13，－35，77，－109，125，－123，103，－68，24，
23，－46，67，－86，102，－115，123，－126，125，－119，110，－96，78，－58，36，－12，
］，
［
12，24，36，47，58，68，78，87，95，103，109，115，119，122，125，126，
36，68，95，115，125，125，115，95，68，36，0，－36，－68，－95，－115，－125，
58，103，125，119，87，36，－24，－78，－115，－126，－109，－68，－12，47，95，122，
78，122，115，58，－24，－95，－126，－103，－36，47，109，125，87，12，－68，－119，
95，125，68，－36，－115，－115，－36，68，125，95，－0，－95，－125，－68，36，115，
109，109，0，－109，－109，－0，109，109，0，－109，－109，－0，109，109，0，－109，
119，78，－68，－122，－12，115，87，－58，－125，－24，109，95，－47，－126，－36，103，
125，36，－115，－68，95，95，－68，－115，36，125，－0，－125，－36，115，68，－95，
126，－12，－125，24，122，－36，－119，47，115，－58，－109，68，103，－78，－95，87，
122，－58，－95，103，47，－125，12，119，－68，－87，109，36，－126，24，115，－78，
115，－95，－36，125，－68，－68，125，－36，－95，115，－0，－115，95，36，－125，68，
103，－119，36，78，－126，68，47，－122，95，12，－109，115，－24，－87，125，－58，
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68，－115，125，－95，36，36，－95，125，－115，68，0，－68，115，－125，95，－36，
47，－87，115，－126，119，－95，58，－12，－36，78，－109，125，－122，103，－68，24，
24，－47，68，－87，103，－115，122，－126，125，－119，109，－95，78，－58，36，－12，
］，
［
11，23，35，47，57，68，78，87，95，103，109，115，119，123，125，126，
34，67，94，114，125，125，115，96，69，36，1，－35，－68，－95，－115，－125，
56，101，125，120，88，37，－22，－77，－114，－126，－110，－69，－13，47，95，123，
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105，－117，31，81，－126，65，50，－123，94，14，－110，114，－23，－87，125，－58，
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］，
［
11，23，35，46，57，68，78，87，95，103，109，115，119，123，125，126，
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］，
［
11，23，34，46，57，68，78，87，95，103，109，115，119，123，125，126，
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］，
［
10，22，34，46，57，67，77，87，95，103，109，115，120，123，125，127，
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］，
［
10，22，34，45，57，67，77，87，95，103，109，115，120，123，125，127，
29，63，92，113，125，126，117，98，71，38，2，－34，－67，－95，－115，－125，
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］，
［
9，22，34，45，56，67，77，87，95，103，109，115，120，123，126，127，
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］，
［
9，21，33，45，56，67，77，86，95，103，109，115，120，123，126，127，
27，62，91，112，125，126，118，99，72，39，3，－33，－67，－95，－115，－126，
45，95，123，123，95，45，－15，－72，－112，－127，－113，－72，－15，45，95，123，
62，118，122，72，－9，－86，－126，－109，－45，39，106，126，91，15，－67，－120，
77，127，86，－16，－106，－122，－51，56，123，103，9，－91，－126，－72，33，115，
92，121，26，－96，－119，－21，99，117，15，－103，－115，－9，106，112，3，－109，
104，101，－41，－127，－37，104，102，－41，－127，－38，103，102，－40，－127，－39，103，
114，68，－98，－92，75，111，－48，－122，18，127，14，－123，－44，112，72，－95，
122，26，－125，－9，126，－8，－125，26，122，－42，－116，58，108，－73，－98，86，
126，－21，－115，80，74，－118，－14，125，－50，－99，101，47，－125，17，116，－77，
125，－65，－69，125，－40，－90，118，－13，－107，106，15，－119，89，42，－125，67，
120，－101，1，100，－121，44，69，－125，81，29，－115，109，－15，－91，124，－56，
109，－122，71，17，－97，125，－88，4，82，－124，101，－25，－65，120，－112，45，
91，－122，117，－77，13，54，－105，125，－107，57，11，－75，116，－123，92，－34，
66，－99，120，－124，111，－84，45，0，－45，84，－111，124，－120，99，－65，23，
35，－56，75，－92，106，－116，122，－124，122，－116，105，－92，75，－55，34，－11，
］，
［
9，21，33，45，56，67，77，86，95，103，110，115，120，123，126，127，
26，61，90，112，125，127，118，100，73，40，4，－33，－67，－95，－115，－126，
43，94，123，124，96，46，－14，－71，－112，－127，－113，－73，－16，45，95，123，
60，117，122，74，－7，－85，－126，－110，－46，38，106，127，91，16，－67，－120，
75，127，88，－13，－105，－122，－52，55，123，103，10，－90，－126，－72，33，115，
89，122，29，－94，－120，－23，98，118，16，－102，－115，－10，106，113，3，－109，
102，103，－38，－127，－40，102，103，－38，－127，－40，102，103，－39，－127，－39，103，
112，72，－95，－95，72，112，－45，－123，15，127，15，－123，－45，112，72，－95，
120，31，－125，－13，126，－5，－126，23，123，－40，－117，57，109，－72，－98，86，
125，－15，－117，76，78，－116，－18，125，－48，－101，100，49，－125，16，117，－77，
126，－60，－73，124，－35，－93，117，－9，－109，105，17，－120，88，43，－125，67，
122，－97，－5，103，－119，39，72，－126，79，31，－116，108，－13，－92，124，－56，
112，－120，66，23，－100，125，－85，0，84，－125，100，－23，－66，120，－112，45，
95，－123，115，－73，9，58，－107，125，－105，54，13，－76，117，－122，92，－34，
69，－102，120，－123，110，－81，42，3，－47，85，－112，124，－119，99，－65，23，
37，－58，77，－93，106，－116，122，－124，121，－115，105，－91，74，－55，34，－11，
］，
［
9，21，33，45，56，67，77，86，95，103，110，115，120，124，126，127，
25，60，90，112，125，127，118，100，73，40，4，－33，－67，－95，－115，－126，
42，93，123，124，97，47，－13，－71，－112，－127，－113，－73，－16，45，95，123，
58，116，123，75，－6，－84，－125，－111，－47，38，106，127，92，16，－67，－120，
73，127，90，－11，－104，－123，－54，54，123，104，11，－90，－127，－73，33，115，
87，123，32，－92，－121，－25，97，119，18，－101，－116，－11，106，113，4，－109，
99，106，－35，－127，－43，100，105，－36，－127，－41，102，104，－38，－127，－40，103，
110，76，－92，－97，69，114，－42，－124，13，127，17，－123，－46，112，72，－95，
118，36，－124，－18，126，－1，－126，20，123，－38，－118，55，109，－72，－99，86，
124，－9，－119，72，81，－115，－21，126，－45，－102，99，50，－125，15，117，－77，
126，－54，－78，123，－31，－96，116，－6，－111，103，20，－120，87，44，－125，67，
123，－93，－11，107，－117，35，75，－126，76，34，－117，107，－12，－93，124，－56，
115，－119，61，28，－103，124，－81，－4，87，－125，98，－21，－67，121，－112，45，
99，－124，113，－68，4，62，－109，124，－103，52，15，－77，117，－122，91，－34，
73，－104，121，－122，107，－78，39，5，－49，86，－112，124，－118，98，－64，22，
40，－60，78，－94，107，－116，122，－123，121，－114，104，－90，73，－54，33，－11，
］，
［
8，21，33，44，56，67，77，86，95，103，110，115，120，124，126，127，
25，59，89，112，125，127，119，100，73，41，4，－33，－67，－95，－115，－126，
41，92，123，124，98，48，－12，－70，－112，－127，－113，－73，－16，44，95，124，
56，115，123，76，－4，－83，－125，－111，－48，37，105，127，92，16，－67，－120，
71，127，91，－9，－103，－123，－55，53，123，105，12，－89，－127，－73，33，115，
85，124，35，－90，－122，－27，96，119，20，－101，－117，－12，105，113，4，－109，
97，108，－31，－127，－46，99，106，－34，－127，－43，101，104，－37，－127，－40，103，
108，79，－90，－100，66，115，－40，－124，11，127，19，－123，－47，112，73，－95，
117，40，－123，－22，126，2，－127，17，124，－36，－118，54，110，－71，－99，86，
123，－4，－121，68，85，－113，－25，126，－42，－104，97，52，－125，14，117，－77，
126，－49，－83，122，－26，－99，114，－2，－112，102，22，－121，86，45，－126，67，
125，－89，－17，110，－115，30，79，－126，73，37，－118，106，－10，－94，123，－56，
118，－116，55，34，－106，123，－78，－8，89，－125，97，－19，－69，121，－111，45，
103，－124，110，－63，－1，66，－111，124，－101，49，18，－79，117，－122，91，－33，
78，－107，122，－121，105，－75，35，9，－52，88，－113，123，－118，97，－64，22，
43，－62，80，－96，108，－117，122，－123，120，－113，103，－89，72，－53，33，－11，
］

32pLGT：

32pLGTコアは、そのセットの任意の32×32行列とすることができる。
［
25，30，35，40，45，50，55，59，64，68，72，76，80，84，88，91，94，97，100，103，106，108，110，112，114，115，117，118，119，119，120，120，
68，81，92，102，110，116，120，122，121，119，115，109，101，91，80，67，53，39，23，8，－8，－24，－39，－54，－68，－80，－92，－101，－109，－115，－119，－122，
96，111，120，124，121，112，98，80，57，32，5，－23，－49，－72，－93，－108，－119，－123，－122，－115，－102，－84，－62，－37，－11，17，43，67，89，105，117，123，
112，124，123，111，87，55，18，－21，－58，－89，－112，－124，－123，－111，－88，－56，－19，20，58，89，112，124，123，111，88，56，19，－20，－57，－89，－111，－124，
121，125，109，75，28，－23，－70，－106，－124，－122，－100，－62，－13，38，82，113，126，118，90，48，－2，－52，－93，－119，－126，－111，－79，－33，18，66，103，123，
125，119，83，27，－36，－90，－122，－123，－94，－42，21，79，117，126，104，56，－6，－66，－110，－127，－112，－69，－9，53，102，125，118，81，24，－39，－92，－123，
127，108，51，－23，－90，－125，－116，－67，5，76，120，122，82，13，－61，－113，－126，－95，－31，44，104，127，106，48，－27，－92，－125，－115，－64，9，79，121，
127，93，16，－69，－121，－117，－59，27，100，127，94，18，－67，－121，－118，－61，25，99，127，96，20，－65，－120，－119，－62，23，98，127，97，22，－64，－120，
126，76，－19，－103，－125，－73，24，106，125，69，－28，－108，－124，－66，32，110，123，62，－36，－112，－122，－59，40，114，120，55，－43，－116，－119，－51，47，117，
124，57，－53，－123，－102，－5，96，126，62，－47，－122，－106，－11，91，127，68，－41，－120，－109，－18，87，127，73，－36，－118，－112，－24，83，127，78，－30，－115，
122，37，－82，－127，－58，63，127，77，－43，－124，－94，21，117，107，2，－106，－118，－24，91，125，46，－74，－127，－66，55，126，84，－34，－121，－100，11，112，
119，16，－105，－113，－1，112，106，－13，－119，－97，28，123，87，－42，－126，－76，56，128，63，－69，－127，－50，80，125，36，－91，－121，－22，101，116，7，－109，
116，－5，－120，－86，55，127，41，－96，－114，10，122，82，－60，－127，－36，100，111，－16，－123，－78，65，126，31，－103，－109，21，124，73，－69，－126，－26，106，
113，－26，－127，－47，100，104，－41，－128，－32，109，95，－55，－126，－17，116，84，－69，－123，－2，122，71，－81，－118，14，126，58，－92，－111，29，127，44，－102，
109，－45，－126，－3，125，50，－106，－91，71，118，－26，－128，－23，119，68，－93，－104，53，124，－6，－126，－42，110，84，－78，－114，34，127，14，－122，－61，99，
104，－64，－116，42，124，－18，－128，－6，127，29，－121，－52，111，73，－97，－92，80，107，－60，－118，38，125，－14，－128，－10，126，34，－120，－56，109，77，－95，
100，－80，－99，81，99，－82，－98，82，97，－83，－97，84，96，－84，－96，85，95，－86，－94，86，94，－87，－93，88，93，－88，－92，89，91，－90，－91，90，
95，－95，－76，110，53，－121，－29，127，3，－127，23，123，－48，－113，70，99，－90，－81，107，59，－119，－35，126，10，－128，16，124，－41，－116，65，103，－86，
90，－107，－47，126，－3，－125，52，104，－93，－67，120，20，－128，31，116，－76，－85，110，42，－127，8，123，－57，－101，97，62，－122，－14，127，－36，－113，81，
84，－117，－16，126，－58，－92，112，27，－127，48，99，－106，－37，128，－38，－106，100，48，－127，27，112，－92，－57，126，－16，－116，85，67，－124，5，121，－76，
79，－123，16，111，－102，－33，127，－65，－77，124，－19，－110，103，30，－126，67，75，－124，21，108，－104，－28，126，－69，－73，125，－23，－107，106，26，－125，71，
73，－127，47，82，－125，36，91，－122，25，99，－118，13，106，－113，2，112，－107，－10，117，－101，－22，121，－93，－33，124，－85，－44，127，－75，－55，128，－66，
67，－128，76，44，－124，95，19，－115，110，－7，－102，121，－33，－84，127，－57，－63，128，－79，－40，123，－97，－15，114，－112，11，100，－122，36，82，－127，60，
61，－125，99，－0，－99，126，－61，－48，122，－107，14，89，－127，73，35，－117，114，－28，－78，128，－84，－21，111，－120，42，67，－127，94，7，－103，124，－55，
54，－120，116，－44，－54，120，－116，45，53，－120，117，－45，－52，119，－117，46，52，－119，117，－47，－51，119，－117，47，50，－119，118，－48，－50，118，－118，49，
48，－112，126，－82，2，80，－125，114，－51，－35，105，－128，93，－16，－68，121，－120，64，21，－96，128，－102，30，56，－116，124，－75，－7，86，－127，110，－43，
41，－101，128，－111，57，16，－84，123，－121，79，－10，－63，114，－127，97，－35，－39，100，－127，112，－59，－14，82，－123，122，－80，12，61，－113，127，－99，37，
34，－88，121，－126，101，－52，－9，68，－111，128，－115，74，－17，－45，96，－124，124，－94，42，20，－77，116，－128，109，－65，6，55，－103，127，－120，86，－31，
28，－73，108，－126，125，－105，69，－23，－27，73，－107，126，－125，105，－70，24，26，－72，107，－126，125，－106，70，－24，－26，72，－107，126，－125，106，－71，25，
21，－56，87，－111，124，－128，120，－102，75，－42，5，32，－67，96，－116，127，－126，115，－94，65，－30，－7，44，－77，103，－121，128，－124，110，－86，55，－19，
14，－38，61，－82，100，－113，123，－127，127，－122，112，－98，80，－60，36，－12，－13，38，－61，82，－99，113，－123，127，－127，122，－113，99，－81，60，－37，13，
7，－19，32，－44，55，－66，77，－86，95，－103，110，－116，121，－124，127，－128，128，－126，124，－120，116，－110，103，－95，86，－76，66，－55，43，－31，19，－6，
］，
［
18，24，29，35，40，45，50，55，60，65，69，74，78，82，86，90，94，97，101，104，107，109，112，114，116，118，119，120，121，122，122，123，
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79，98，113，122，124，120，110，94，73，49，22，－6，－34，－60，－83，－102，－115，－123，－124，－119，－107，－91，－69，－44，－17，11，39，65，87，105，117，123，
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］，
［
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68，－127，94，7，－103，124，－55，－54，123，－104，9，93，－127，69，39，－119，112，－24，－81，128，－82，－24，112，－119，40，68，－127，93，8，－103，124，－54，
61，－122，113，－38，－59，122，－114，39，58，－121，114，－41，－56，121，－115，43，55，－120，116，－44，－53，120，－116，46，52，－119，117，－47，－50，118，－118，49，
53，－115，124，－78，－3，83，－126，111，－47，－39，107，－127，90，－12，－71，122，－118，61，23，－98，128，－100，28，57，－117，123，－75，－8，87，－126，109，－43，
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31，－76，109，－126，124，－103，67，－20，－29，75，－109，126，－124，104，－68，22，28，－73，108，－126，125，－105，69，－23，－26，72，－107，125，－125，106，－71，25，
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8，－20，32，－44，56，－67，77，－87，95，－103，110，－116，121，－124，126，－128，128，－126，124，－120，115，－109，102，－94，86，－76，65，－54，43，－31，19，－6，
］，
［
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］，
［
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52，－108，128，－105，47，26，－91，125，－118，72，－2，－69，117，－126，93，－29，－45，103，－127，109，－55，－18，85，－123，121，－78，10，62，－113，127，－98，37，
44，－95，124，－124，95，－44，－17，74，－114，128，－111，69，－11，－50，99，－125，122，－90，38，24，－80，117，－127，108，－63，4，57，－104，126，－120，85，－31，
35，－79，111，－127，123，－101，64，－17，－33，77，－110，126，－124，102，－66，19，30，－75，109，－126，124，－104，68，－22，－27，73，－107，125，－125，106，－70，25，
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18，－42，64，－85，101，－115，123，－127，127，－121，111，－96，78，－57，34，－10，－15，39，－62，83，－100，113，－123，127，－127，122，－112，98，－80，60，－37，12，
9，－21，33，－45，57，－67，78，－87，96，－104，110，－116，121，－124，126，－127，127，－126，123，－120，115，－109，102，－94，85，－76，65，－54，43，－31，19，－6，
］，
［
9，15，21，26，32，38，44，49，55，60，65，71，75，80，85，89，93，97，101，104，108，111，113，116，118，120，122，123，124，125，126，126，
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］，
［
8，14，20，26，32，37，43，49，54，60，65，70，75，80，85，89，93，97，101，104，108，111，114，116，118，120，122，124，125，126，126，126，
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121，－52，－109，77，92，－98，－69，114，43，－124，－15，127，－15，－124，43，114，－69，－98，92，77，－109，－52，121，24，－127，5，126，－34，－118，61，104，－85，
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107，－106，－23，124，－75，－65，126，－34，－99，112，10，－121，85，54，－127，47，90，－118，3，116，－94，－41，127，－59，－81，122，－16，－110，102，29，－125，70，
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78，－126，102，－20，－74，125，－105，24，71，－125，107，－28，－67，124，－109，32，63，－123，111，－36，－60，121，－113，40，56，－120，115，－44，－52，119，－117，48，
69，－121，119，－64，－19，94，－127，104，－34，－51，113，－125，81，－2，－79，124，－114，54，31，－102，127，－96，22，61，－118，122，－72，－10，88，－126，108，－42，
60，－112，127，－100，40，33，－95，126，－115，66，4，－74，119，－124，89，－24，－48，105，－127，107，－52，－21，86，－124，120，－77，8，63，－114，126，－98，37，
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10，－23，35，－46，58，－68，78，－88，96，－104，111，－116，121，－124，126，－127，127，－126，123，－119，114，－109，102，－94，85，－75，65，－54，42，－31，18，－6，
］，
［
7，13，19，25，31，37，43，48，54，59，65，70，75，80，84，89，93，97，101，104，108，111，114，116，119，121，122，124，125，126，126，127，
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］，
［
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97，－125，64，42，－119，111，－24，－80，127，－84，－18，108，－121，48，59，－124，101，－6，－93，126，－70，－36，116，－114，30，75，－127，89，12，－105，123，－54，
89，－127，93，－6，－84，127，－97，12，80，－126，101，－18，－75，125，－105，24，70，－124，108，－30，－64，123，－111，36，59，－121，114，－42，－54，119，－116，48，
80，－124，114，－54，－30，101，－127，97，－24，－59，116，－123，75，6，－84，125，－111，48，36，－105，127，－93，18，64，－119，121，－70，－12，89，－126，108，－42，
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24，－48，70，－89，105，－116，124，－127，125，－119，108，－93，75，－54，30，－6，－18，42，－64，84，－101，114，－123，127，－126，121，－111，97，－80，59，－36，12，
12，－24，36，－48，59，－70，80，－89，97，－105，111，－116，121，－124，126，－127，127，－125，123，－119，114，－108，101，－93，84，－75，64，－54，42，－30，18，－6，
］，
［
6，12，18，24，30，36，42，48，53，59，64，69，74，79，84，89，93，97，101，105，108，111，114，117，119，121，123，124，125，126，127，127，
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27，－50，72，－90，106，－117，124，－127，125，－118，107，－92，73，－52，29，－5，－20，43，－65，85，－101，114，－123，127，－126，120，－111，97，－79，59，－36，12，
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］，
［
5，11，17，24，30，36，42，47，53，59，64，69，74，79，84，89，93，97，101，105，108，111，114，117，119，121，123，124，126，126，127，127，
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26，55，81，102，117，126，127，120，107，87，62，34，3，－28，－57，－82，－103，－118，－126，－127，－120，－106，－86，－60，－32，－1，30，59，84，105，119，126，
36，74，105，123，127，117，93，58，17，－26，－66，－98，－120，－127，－120，－100，－67，－28，15，57，91，116，127，123，106，76，38，－5，－47，－84，－111，－125，
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127，－7，－125，38，115，－68，－98，92，75，－111，－46，123，15，－127，17，123，－48，－111，76，91，－99，－66，116，37，－125，－5，127，－27，－120，57，105，－84，
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126，－54，－92，112，21，－126，58，89，－114，－18，125，－61，－86，116，14，－124，65，83，－117，－10，123，－68，－80，119，6，－122，71，77，－120，－2，121，－74，
124，－76，－63，126，－40，－94，116，0，－116，94，40，－126，62，76，－124，24，104，－108，－16，122，－82，－55，127，－48，－88，119，－8，－113，99，32，－125，69，
120，－94，－28，122，－91，－32，123，－89，－35，124，－86，－39，124，－83，－43，125，－80，－46，126，－77，－50，126，－74，－54，127，－71，－57，127，－67，－61，127，－64，
115，－109，10，98，－122，42，74，－127，71，46，－123，95，14，－111，114，－19，－92，124，－50，－67，127，－78，－37，121，－101，－5，107，－117，28，85，－126，59，
109，－120，46，60，－124，101，－7，－92，126，－72，－33，114，－116，36，69，－126，94，4，－99，125，－63，－43，119，－111，25，78，－127，86，15，－105，122，－53，
102，－126，79，12，－96，127，－86，－3，90，－127，92，－6，－84，126，－98，14，77，－125，103，－23，－70，124，－108，31，63，－122，112，－39，－55，119，－116，48，
93，－126，105，－38，－45，109，－125，87，－11，－70，121，－119，65，17，－91，126，－106，40，44，－108，126，－89，13，68，－120，119，－67，－15，90，－126，107，－42，
82，－121，121，－82，17，54，－108，127，－104，49，23，－87，123，－119，77，－10，－60，111，－126，101，－42，－30，92，－125，117，－72，3，66，－114，126，－96，36，
71，－111，127，－113，75，－19，－41，92，－122，124，－99，51，8，－66，108，－126，116，－79，25，36，－88，120，－125，102，－56，－3，61，－105，126，－118，83，－30，
58，－96，120，－126，115，－86，45，3，－50，90，－117，127，－118，92，－53，6，41，－83，113，－126，121，－98，61，－15，－33，76，－109，125，－123，104，－69，24，
44，－76，102，－119，126，－123，110，－88，59，－24，－12，47，－79，104，－120，126，－123，109，－86，56，－21，－15，50，－81，105，－121，127，－122，107，－83，53，－18，
30，－53，74，－92，107，－118，124，－127，124，－117，105，－90，71，－50，27，－3，－21，45，－66，86，－102，114，－123，126，－125，120，－110，96，－79，58，－36，12，
15，－27，39，－50，61，－71，81，－90，98，－105，112，－117，121，－124，126，－127，126，－124，122，－118，113，－107，100，－92，83，－74，64，－53，42，－30，18，－6，
］，

64p LGT：

64pLGTコアは、そのセットの任意の64 x 64行列とすることができる。
［
25，28，30，33，35，37，40，42，45，47，49，52，54，56，59，61，63，65，67，69，71，74，76，77，79，81，83，85，87，89，90，92，94，95，97，98，100，101，102，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，115，116，117，117，118，118，119，119，119，119，120，120，120，
67，74，80，86，91，96，101，105，109，112，115，117，119，120，121，122，121，121，120，118，116，113，110，106，102，98，93，87，82，76，69，63，56，49，41，34，26，18，10，3，－5，－13，－21，－29，－36，－44，－51，－58，－65，－72，－78，－84，－89，－94，－99，－104，－107，－111，－114，－116，－118，－120，－121，－122，
94，102，109，115，119，122，124，123，122，119，114，108，101，93，83，73，61，49，36，23，9，－4，－18，－31，－44，－56，－68，－79，－89，－98，－106，－112，－117，－121，－123，－124，－123，－121，－117，－112，－105，－97，－88，－78，－67，－56，－43，－30，－17，－3，10，24，37，50，62，73，84，93，102，109，115，119，122，123，
109，117，123，125，124，121，114，104，92，78，62，44，26，6，－13，－33，－51，－68，－84，－97，－108，－117，－122，－125，－124，－121，－115，－105，－93，－79，－63，－46，－27，－8，12，31，50，67，83，96，108，116，122，125，125，121，115，106，94，80，65，47，28，9，－11，－30，－48，－66，－82，－95，－107，－116，－122，－125，
117，124，126，122，114，101，83，62，39，14，－12，－37，－61，－82，－99，－113，－122，－126，－125，－118，－107，－91，－71，－49，－24，1，27，51，73，92，108，119，125，126，121，112，98，80，59，35，10，－16，－41，－64，－85，－102，－115，－123，－126，－124，－117，－104，－88，－68，－45，－20，5，31，55，77，95，110，120，125，
122，127，123，112，94，70，41，10，－22，－52，－79，－101，－117，－125，－126，－118，－103，－82，－55，－25，6，38，67，91，110，122，127，123，112，93，69，40，9，－23，－53，－80，－102，－117，－125，－126，－118，－103，－81，－55，－24，7，39，67，92，111，123，127，123，111，93，68，39，8，－24，－54，－81，－102，－118，－126，
125，126，116，96，67，32，－5，－43，－76，－103，－120，－127，－122，－107，－82，－50，－13，25，61，91，113，125，126，116，95，66，31，－7，－44，－77，－104，－121，－127，－122，－106，－81，－48，－11，26，62，92，114，125，126，115，94，65，29，－8，－45，－78，－104，－121，－127，－122，－105，－80，－47，－10，28，63，93，114，126，
126，124，106，76，37，－7，－50，－87，－113，－126，－124，－107，－77，－38，6，49，86，113，126，124，108，78，39，－5，－48，－85，－112，－126，－124，－108，－79，－40，4，47，84，112，126，125，109，80，41，－3，－46，－84，－111，－126，－125，－109，－80，－42，2，45，83，111，125，125，110，81，43，－1，－44，－82，－110，－125，
127，120，94，54，5，－44，－87，－116，－127，－119，－92，－50，－1，48，90，118，127，117，89，47，－3，－52，－93，－119，－127，－116，－86，－43，7，56，95，121，127，114，83，39，－11，－59，－98，－122，－127，－112，－80，－35，15，63，101，123，126，110，76，31，－19，－66，－103，－124，－126，－108，－73，－27，23，70，105，125，
127，115，81，30，－26，－77，－113，－127，－117，－83，－33，23，75，112，127，118，85，36，－20，－72，－110，－127，－119，－88，－39，17，70，109，127，120，90，42，－14，－67，－107，－126，－121，－92，－45，11，64，106，126，122，94，48，－8，－62，－104，－126，－123，－96，－51，5，59，102，125，124，98，54，－2，－56，－100，－124，
127，110，66，6，－55，－103，－126，－119，－84，－28，34，88，121，125，100，50，－12，－71，－113，－128，－112，－70，－11，51，100，126，121，87，33，－29，－85，－120，－126，－102，－54，7，67，110，128，114，74，15，－46，－97，－125，－122，－91，－38，25，81，118，127，105，58，－2，－63，－108，－127，－116，－77，－20，42，94，124，
127，103，50，－18，－81，－120，－125，－94，－36，33，92，124，121，83，21，－47，－101，－127，－116，－72，－7，60，110，128，109，59，－8，－73，－116，－127，－101，－46，23，84，122，124，91，31，－37，－95，－125，－120，－80，－17，51，104，127，114，68，2，－64，－112，－128，－107，－55，12，76，118，126，98，41，－27，－88，－123，
127，96，33，－41，－102，－127，－110，－55，19，86，124，120，75，5，－67，－116，－126，－93，－28，46，105，128，107，50，－24，－90，－125，－118，－71，1，72，119，125，89，22，－51，－108，－128，－104，－45，29，94，126，116，66，－6，－76，－120，－124，－85，－17，56，111，127，101，40，－35，－97，－127，－113，－61，12，81，122，
126，89，16，－63，－117，－125，－83，－8，70，120，123，77，0，－76，－122，－120，－70，7，82，124，117，64，－15，－88，－126，－114，－57，23，93，127，110，50，－31，－99，－128，－106，－42，38，103，128，101，35，－46，－108，－127，－96，－27，53，112，127，91，20，－60，－115，－125，－85，－12，67，119，123，79，4，－73，－121，
125，81，－1，－82，－126，－112，－47，39，108，127，88，9，－74，－123，－116，－56，30，102，128，95，19，－66，－120，－120，－65，20，96，128，101，29，－57，－117，－123，－73，10，89，127，107，38，－48，－112，－125，－81，0，82，125，112，48，－39，－107，－127，－88，－10，74，123，117，57，－29，－102，－128，－95，－19，65，120，
124，72，－18，－98，－128，－90，－6，81，127，106，30，－62，－121，－117，－53，40，111，125，73，－16，－97，－128，－92，－8，80，126，107，31，－60，－120，－118，－54，38，110，125，75，－15，－96，－128，－93，－9，79，126，108，33，－59，－120，－119，－56，36，109，125，76，－13，－95，－128，－94，－11，77，126，108，35，－57，－119，
123，63，－34，－111，－123，－62，35，112，123，61，－36，－112，－122，－60，37，113，122，60，－38，－113，－122，－59，39，114，122，58，－40，－114，－121，－57，41，115，121，56，－42，－115，－121，－55，43，116，120，54，－44，－116，－120，－53，45，116，120，52，－46，－117，－119，－51，47，117，119，50，－48，－118，－118，－49，49，118，
122，54，－50，－121，－112，－29，73，127，97，3，－93，－127，－78，23，108，123，56，－47，－120，－113，－32，71，126，99，6，－91，－128，－80，20，107，124，59，－45，－119，－114，－35，68，126，101，9，－89，－128，－83，17，105，124，61，－42，－118，－116，－37，66，125，102，12，－87，－128，－85，14，104，125，64，－40，－117，
121，44，－65，－126，－95，6，103，124，54，－55，－124，－102，－5，96，126，64，－45，－121，－108，－16，88，128，73，－35，－117，－114，－27，80，128，82，－24，－112，－118，－38，71，127，90，－13，－107，－122，－48，61，126，98，－2，－100，－125，－58，52，123，104，9，－93，－127，－68，41，120，110，20，－85，－128，－77，31，116，
120，35，－78，－128，－73，40，122，104，2，－102，－123，－44，70，128，82，－30，－118，－110，－13，95，125，54，－61，－127，－90，20，114，115，23，－88，－127，－63，52，125，97，－10，－108，－119，－33，80，128，72，－42，－122，－103，－1，102，122，43，－71，－128，－81，32，119，109，11，－96，－125，－53，62，127，89，－22，－114，
118，25，－91，－125，－48，72，128，70，－50，－126，－89，27，119，105，－3，－108，－117，－22，93，125，45，－75，－128，－67，53，126，87，－30，－120，－103，6，110，116，18，－95，－124，－42，77，128，64，－56，－127，－84，33，121，101，－9，－111，－114，－15，97，123，39，－80，－127，－62，59，127，82，－36，－122，－99，12，113，
117，15，－102，－119，－20，98，121，26，－94，－123，－32，90，124，37，－86，－125，－42，82，126，48，－77，－127，－53，73，128，58，－68，－128，－63，63，128，68，－58，－128，－73，53，127，78，－47，－126，－82，42，125，86，－37，－124，－91，31，122，94，－26，－121，－98，20，119，102，－14，－116，－105，9，114，108，－3，－111，
115，5，－111，－109，8，117，101，－21，－121，－93，34，125，83，－47，－127，－73，59，128，62，－70，－127，－50，80，126，38，－90，－122，－25，99，118，12，－107，－112，1，113，106，－14，－119，－98，27，123，89，－40，－126，－79，52，128，68，－63，－128，－57，74，127，45，－85，－124，－32，94，121，20，－102，－116，－7，110，
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112，－15，－123，－79，63，127，34，－101，－111，17，124，78，－64，－127，－33，102，110，－18，－124，－77，65，127，31，－103，－110，19，124，76，－66，－126，－30，103，109，－20，－124，－75，67，126，29，－104，－108，21，125，74，－69，－126，－28，105，108，－23，－125，－73，70，126，26，－106，－107，24，125，72，－71，－126，－25，106，
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］，
［
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［
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］，
［
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［
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］，
［
5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44，47，50，52，55，58，61，63，66，69，71，74，76，78，81，83，85，88，90，92，94，96，98，100，102，104，105，107，109，110，112，113，114，116，117，118，119，120，121，122，123，124，124，125，125，126，126，126，127，127，127，
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70，103，123，126，114，86，48，3，－42，－82，－111，－126，－124，－106，－75，－34，12，56，92，117，127，120，98，63，20，－26，－68，－102，－122，－127，－115，－88，－50，－5，40，80，110，125，125，108，77，36，－9，－54，－91，－116，－127，－121，－99，－65，－22，24，66，100，121，127，116，89，52，7，－38，－78，－109，－125，
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18，－42，65，－85，102，－115，124，－128，127，－121，111，－96，78，－56，33，－8，－16，41，－64，84，－101，114，－123，127，－127，121，－111，97，－79，58，－34，10，15，－40，62，－83，100，－114，123，－127，127，－122，112，－98，80，－59，36，－11，－14，38，－61，82，－99，113，－123，127，－127，122，－112，99，－81，60，－37，12，
13，－32，50，－66，82，－95，107，－116，122，－126，128，－126，122，－115，106，－95，81，－66，49，－31，13，6，－24，42，－60，76，－90，102，－112，120，－125，128，－127，124，－119，110，－100，87，－72，56，－39，20，－2，－17，35，－53，69，－84，97，－108，117，－123，127，－128，126，－121，114，－104，92，－78，63，－46，28，－9，
9，－21，34，－45，57，－68，78，－88，96，－104，111，－116，121，－124，127，－128，128，－126，123，－120，115，－109，102，－94，85，－75，64，－53，42，－30，17，－5，－8，20，－32，44，－56，67，－77，87，－95，103，－110，116，－121，124，－127，128，－128，126，－124，120，－115，109，－102，94，－86，76，－65，54，－43，31，－19，6，
4，－11，17，－23，29，－35，41，－47，53，－58，64，－69，74，－79，84，－89，93，－97，101，－105，108，－112，115，－117，120，－122，123，－125，126，－127，127，－128，128，－127，127，－126，125，－123，121，－119，117，－114，111，－108，104，－101，97，－92，88，－83，78，－73，68，－63，57，－52，46，－40，34，－28，22，－16，9，－3，
］，
［
4，7，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，43，46，49，52，55，58，60，63，66，68，71，73，76，78，81，83，85，88，90，92，94，96，98，100，102，104，105，107，109，110，112，113，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，124，125，126，126，126，127，127，127，127，
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22，37，51，65，78，89，99，108，115，121，125，127，127，125，122，116，109，101，90，79，66，53，39，24，8，－7，－22，－37，－52，－65，－78，－89，－100，－108，－116，－121，－125，－127，－127，－125，－121，－116，－109，－100，－90，－79，－66，－52，－38，－23，－8，7，23，38，52，66，78，90，100，109，116，121，125，127，
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］，
［
4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，57，60，63，65，68，71，73，76，78，81，83，85，87，90，92，94，96，98，100，102，104，105，107，109，110，112，113，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，125，126，126，126，127，127，127，127，
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21，－45，67，－87，103，－116，124，－128，126，－120，109，－94，76，－54，31，－6，－19，43，－65，85，－102，115，－124，127，－126，121，－110，96，－77，56，－33，8，17，－41，64，－84，101，－114，123，－127，127，－121，111，－97，79，－58，35，－10，－15，39，－62，82，－100，113，－123，127，－127，122，－112，98，－81，60，－37，12，
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］，
［
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［
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［
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111，－114，17，95，－124，45，73，－127，70，49，－125，92，21，－116，109，－7，－101，121，－35，－81，127，－61，－58，126，－85，－31，120，－104，－3，107，－117，25，89，－125，52，67，－127，77，41，－123，97，13，－112，113，－15，－96，123，－43，－75，127，－68，－50，125，－90，－23，117，－108，5，102，－120，33，83，－127，60，
108，－119，36，76，－127，78，34，－119，109，－13，－94，125，－58，－56，125，－95，－11，108，－119，36，76，－127，77，34，－119，109，－12，－94，125，－57，－56，125，－95，－11，108，－119，35，76，－127，77，35，－119，109，－12，－94，125，－57，－57，125，－94，－12，108，－119，35，77，－127，77，35，－119，108，－12，－94，125，－57，
104，－123，54，55，－123，104，－9，－92，127，－71，－36，117，－114，29，77，－127，86，17，－108，121，－48，－60，125，－100，3，96，－126，65，42，－119，111，－23，－82，127，－81，－23，111，－119，42，66，－126，96，3，－100，125，－60，－48，121，－107，16，87，－127，76，29，－114，117，－36，－71，127，－91，－10，104，－123，54，
100，－126，70，31，－112，121，－52，－51，120，－112，32，69，－126，101，－11，－86，127，－87，－10，100，－126，70，31，－112，121，－51，－51，120，－112，32，69，－126，101，－11，－86，127，－86，－10，100，－126，70，31，－112，121，－51，－51，120，－112，31，70，－126，101，－11，－86，127，－86，－10，101，－126，70，31，－112，121，－51，
96，－127，85，6，－94，127，－88，－2，91，－127，91，－1，－88，127，－93，5，86，－127，96，－9，－83，127，－98，13，80，－127，100，－16，－77，126，－103，20，74，－126，105，－24，－71，125，－107，27，68，－124，109，－31，－65，123，－111，34，62，－122，112，－38，－58，121，－114，41，55，－120，116，－45，－52，119，－117，48，
92，－127，98，－19，－70，123，－114，47，44，－113，124，－72，－17，97，－127，93，－12，－76，125，－110，40，51，－116，122，－66，－24，101，－127，88，－4，－82，126，－106，33，58，－119，119，－59，－31，106，－126，83，3，－87，127，－102，25，64，－121，116，－52，－38，110，－125，77，11，－92，127，－97，18，71，－123，113，－45，
87，－126，109，－44，－41，108，－126，89，－11，－71，122，－118，62，22，－96，127，－102，31，54，－115，124，－78，－2，82，－125，112，－49，－35，105，－127，93，－17，－66，120，－120，67，16，－92，127，－105，37，48，－112，125，－83，4，77，－124，115，－55，－29，101，－127，97，－23，－61，118，－122，72，10，－88，126，－109，43，
82，－124，118，－66，－11，84，－124，117，－64，－13，85，－125，116，－62，－16，87，－125，115，－60，－18，89，－126，114，－58，－20，91，－126，113，－56，－23，93，－126，111，－53，－25，94，－127，110，－51，－28，96，－127，109，－49，－30，97，－127，108，－47，－33，99，－127，106，－44，－35，101，－127，105，－42，－37，102，－127，104，－40，
76，－120，124，－87，21，52，－107，127，－105，48，25，－90，125，－119，73，－4，－67，116，－126，94，－32，－42，101，－127，111，－58，－14，81，－122，122，－82，15，57，－111，127，－102，42，31，－94，126，－116，68，3，－72，118，－125，90，－26，－47，105，－127，108，－53，－20，86，－124，120，－77，9，63，－114，127，－98，37，
71，－115，127，－103，51，16，－78，118，－126，98，－43，－24，85，－121，124，－92，35，33，－91，124，－122，86，－26，－41，97，－125，119，－80，18，49，－102，127，－116，73，－9，－57，107，－127，112，－65，1，65，－112，127，－108，58，8，－72，115，－127，103，－50，－17，79，－119，126，－97，42，25，－85，122，－124，92，－34，
65，－109，127，－116，78，－22，－39，91，－122，125，－98，49，11，－69，111，－127，114，－74，17，44，－95，124，－124，95，－45，－16，73，－114，127，－112，70，－12，－48，98，－125，123，－92，40，21，－77，116，－127，109，－66，7，53，－101，126，－121，88，－35，－26，81，－118，127，－107，62，－2，－57，104，－126，119，－85，31，
59，－102，125，－124，100，－58，4，50，－95，122，－126，106，－66，14，41，－88，119，－127，111，－75，24，32，－81，115，－127，116，－82，33，22，－73，110，－127，120，－90，43，12，－65，105，－126，123，－97，52，2，－56，99，－124，125，－103，61，－8，－47，93，－121，127，－108，70，－18，－37，85，－117，127，－113，78，－28，
53，－93，119，－127，117，－88，47，2，－50，91，－118，127，－118，91，－50，2，46，－88，116，－127，119，－94，54，－6，－43，85，－115，127，－121，96，－57，10，39，－82，113，－127，122，－99，61，－13，－36，79，－111，126，－123，101，－64，17，32，－76，109，－126，124，－103，67，－21，－28，73，－107，125，－125，105，－70，25，
47，－84，111，－126，126，－111，84，－47，5，38，－76，106，－123，127，－116，91，－57，15，28，－68，100，－121，127，－120，98，－65，25，18，－59，93，－117，127，－123，104，－74，35，8，－50，86，－113，126，－125，110，－82，44，－2，－41，79，－108，124，－127，114，－89，53，－12，－31，71，－102，122，－127，118，－96，62，－22，
41，－74，100，－119，127，－125，112，－89，59，－24，－13，49，－80，105，－122，127，－122，107，－83，52，－16，－21，56，－87，110，－124，127，－120，102，－76，44，－7，－30，64，－93，114，－126，126，－117，97，－69，35，1，－38，71，－99，118，－127，125，－113，91，－62，27，10，－46，78，－104，121，－127，123，－109，85，－54，19，
34，－63，87，－107，121，－127，126，－117，102，－80，54，－25，－6，36，－65，89，－108，121，－127，125，－116，100，－79，52，－23，－8，39，－67，91，－110，122，－127，125，－115，99，－77，50，－20，－11，41，－69，93，－111，123，－127，124，－114，97，－75，48，－18，－13，43，－71，94，－112，123，－127，124，－113，96，－73，45，－15，
27，－51，72，－91，107，－118，125，－127，125，－118，106，－90，71，－49，26，－1，－24，47，－69，89，－105，117，－124，127，－126，119，－108，93，－74，53，－29，5，20，－44，66，－86，102，－115，124，－127，126，－120，110，－95，77，－56，33，－9，－16，40，－63，83，－100，114，－123，127，－127，121，－112，98，－80，60，－37，12，
21，－39，56，－72，86，－99，110，－118，124，－127，127，－125，120，－113，103，－91，77，－61，44，－26，8，11，－29，47，－63，79，－93，104，－114，121，－125，127，－127，123，－117，108，－97，84，－70，53，－36，18，1，－19，37，－55，71，－85，98，－109，117，－123，127，－127，125，－120，113，－103，92，－78，62，－45，28，－9，
14，－26，38，－50，61，－71，81，－90，99，－106，112，－118，122，－125，127，－127，127，－125，122，－118，113，－107，99，－91，82，－72，62，－51，39，－27，15，－2，－10，22，－34，46，－57，68，－78，88，－96，104，－111，116，－121，124，－126，127，－127，126，－123，119，－115，109，－102，94，－85，75，－65，54，－43，31，－19，6，
7，－13，19，－25，31，－37，43，－49，55，－60，66，－71，76，－81，85，－90，94，－98，102，－106，109，－112，115，－117，120，－122，123，－125，126，－127，127，－127，127，－127，126，－125，124，－122，120，－118，116，－113，110，－107，103，－100，96，－92，87，－83，78，－73，68，－62，57，－51，45，－40，34，－28，22，－15，9，－3，
］，

エンコード／復号のための技術は、1つまたは複数のコンピュータ可読媒体（例えば、ハードディスクドライブ）に物理的に記憶され得るコンピュータ可読命令を有するコンピュータソフトウェアを実行することができる1つまたは複数のプロセッサによって実施することができる。例えば、図8は、開示された主題の特定の実施形態を実施するのに適したコンピュータシステム700を示している。

コンピュータソフトウェアは、アセンブリ、コンパイル、リンク、または同様のメカニズムの対象となる可能性のある任意の適切な機械語またはコンピュータ言語を使用して符号化して、直接または、コンピュータ中央処理装置（CPU）、グラフィック処理装置（GPU）などによって変換、マイクロコード実行などを介して実行できる命令を含むコードを作成できる。

命令は、例えば、パーソナルコンピュータ、タブレットコンピュータ、サーバ、スマートフォン、ゲームデバイス、IoTデバイスなどを含む様々な種類のコンピュータまたはその構成要素上で実行され得る。

コンピュータシステム700について図8に示される構成要素は、本質的に例示的なものであり、本開示の実施形態を実施するコンピュータソフトウェアの使用範囲または機能に関する制限を示唆することを意図するものではない。構成要素の構成は、コンピュータシステム700の例示的な実施形態に示されている構成要素のいずれか1つまたは組み合わせに関連する依存性または要件を有すると解釈されるべきではない。

コンピュータシステム700は、特定のヒューマンインターフェース入力デバイスを含み得る。そのようなヒューマンインターフェース入力デバイスは、例えば、触知入力（キーストローク、スワイプ、データグローブの動きなど）、オーディオ入力（声、拍手など）、視覚入力（ジェスチャなど）、嗅覚入力（図示されていない）を介した1人以上の人間ユーザによる入力に応答し得る。ヒューマンインターフェースデバイスは、オーディオ（例えば、音声、音楽、周囲音）、画像（例えば、走査画像、写真画像は静止画像カメラから取得）、ビデオ（2次元映像、立体映像を含む3次元映像など）など、必ずしも人間による意識的な入力に直接関連しない特定の媒体を取り込むために使用され得る。

入力ヒューマンインターフェースデバイスは、キーボード701、マウス702、トラックパッド703、タッチスクリーン710、データグローブ704、ジョイスティック705、マイクロフォン706、スキャナ707、カメラ708のうちの1つまたは複数（各々の1つだけが図示されている）を含み得る。

コンピュータシステム700はまた、特定のヒューマンインターフェース出力デバイスも含み得る。そのようなヒューマンインターフェース出力デバイスは、例えば、触知出力、音、光、および匂い／味によって1人または複数の人間ユーザの感覚を刺激し得る。そのようなヒューマンインターフェース出力デバイスには、触知出力デバイス（例えば、タッチスクリーン710、データグローブ704、またはジョイスティック705による触覚フィードバックであるが、入力デバイスとして機能しない触覚フィードバックデバイスもあり得る）、オーディオ出力デバイス（スピーカ709、ヘッドホン（図示されていない）など）、視覚出力デバイス（CRT画面、LCD画面、プラズマ画面、OLED画面を含むスクリーン710など、各々タッチスクリーン入力機能ありまたはなし、各々触覚フィードバック機能ありまたはなし、その一部は2次元視覚出力または立体出力などの手段を介して3次元を超える出力を出力できる場合もある、仮想現実メガネ（図示されていない）、ホログラフィックディスプレイ、およびスモークタンク（図示されていない）など）、ならびにプリンタ（図示されていない）が含まれ得る。

コンピュータシステム700はまた、人間がアクセス可能な記憶デバイスと、CD／DVDなどの媒体721を有するCD／DVD ROM／RW720、サムドライブ722、リムーバブルハードドライブまたはソリッドステートドライブ723、テープやフロッピーディスク（図示されていない）などのレガシー磁気媒体、セキュリティドングル（図示されていない）などの専用ROM／ASIC／PLDベースのデバイスなどを含む光媒体などの記憶デバイスと関連付けられた媒体も含むことができる。

当業者はまた、目下開示される主題に関連して使用される際の「複数のコンピュータ可読媒体」または「コンピュータ媒体」という用語は、伝送媒体、搬送波、または他の一時的信号を包含しないことを理解すべきである。

コンピュータシステム700はまた、1つまたは複数の通信ネットワークへのインターフェースも含むことができる。ネットワークは、例えば、無線、有線、光であり得る。ネットワークはさらに、ローカル、広域、メトロポリタン、車両および産業、リアルタイム、遅延耐性などにすることができる。ネットワークの例には、イーサネット、無線LANなどのローカルエリアネットワーク、GSM、3G、4G、5G、LTEなどを含むセルラーネットワーク、ケーブルテレビ、衛星テレビ、および地上波放送テレビを含むテレビ有線または無線広域デジタルネットワーク、CANBusを含む車両および産業などが含まれる。特定のネットワークは、一般に、特定の汎用データポートまたは周辺バス（749）（例えば、コンピュータシステム700のUSBポートなどに接続された外部ネットワークインターフェースアダプタを必要とし、その他のネットワークは、一般に、以下で説明されるようにシステムバスへの接続（例えば、PCコンピュータシステムへのイーサネットインターフェースやスマートフォンコンピュータシステムへのセルラーネットワークインターフェース）によってコンピュータシステム700のコアに統合される。これらのネットワークのいずれかを使用して、コンピュータシステム700は他のエンティティと通信することができる。そのような通信は、単方向、受信のみ（例えば、テレビ放送）、単方向送信専用（例えば、特定のCANbusデバイスへのCANbus）、または例えば、ローカルもしくは広域デジタルネットワークを使用する他のコンピュータシステムへの双方向であり得る。特定のプロトコルおよびプロトコルスタックは、上述したように、それらのネットワークおよびネットワークインターフェースのそれぞれで使用し得る。

前述のヒューマンインターフェースデバイス、人間がアクセス可能な記憶デバイス、およびネットワークインターフェースを、コンピュータシステム700のコア740に接続することができる。

コア740は、1つまたは複数の中央処理装置（CPU）741、グラフィックス処理装置（GPU）742、フィールドプログラマブルゲートエリア（FPGA）743の形態の特殊なプログラマブル処理装置、特定のタスクのためのハードウェアアクセラレータ744などを含むことができる。これらのデバイスは、読み出し専用メモリ（ROM）745、ランダムアクセスメモリ746、内部の非ユーザアクセス可能ハードドライブ、SSDなど747の内部大容量記憶部と共に、システムバス748を介して接続され得る。いくつかのコンピュータシステムでは、システムバス748は、追加のCPU、GPUなどによる拡張を可能にするために、1つまたは複数の物理プラグの形態でアクセス可能であり得る。周辺デバイスは、コアのシステムバス748に直接取り付けることも、周辺バス749を介して取り付けることもできる。周辺バスのアーキテクチャには、PCI、USBなどが含まれる。

CPU741、GPU742、FPGA743、およびアクセラレータ744は、組み合わさって前述のコンピュータコードを構成することができる特定の命令を実行することができる。そのコンピュータコードを、ROM745またはRAM746に格納することができる。過渡的なデータをRAM746に格納することもでき、一方永続的なデータを、例えば、内部大容量記憶部747に格納することができる。メモリデバイスのいずれかへの高速記憶および取得を、1つまたは複数のCPU741、GPU742、大容量記憶部747、ROM745、RAM746などと密接に関連付けることができるキャッシュメモリの使用によって可能にすることができる。

コンピュータ可読媒体は、様々なコンピュータ実装動作を実行するためのコンピュータコードを有し得る。媒体およびコンピュータコードは、本開示の目的のために特別に設計および構築されたものであってもよく、またはコンピュータソフトウェア技術の当業者に、良く知られた利用可能な種類のものであってもよい。

限定ではなく例として、アーキテクチャを有するコンピュータシステム700、具体的にはコア740は、（1つまたは複数の）プロセッサ（CPU、GPU、FPGA、アクセラレータなどを含む）が1つまたは複数の有形のコンピュータ可読媒体において具体化されたソフトウェアを実行した結果として機能を提供することができる。そのようなコンピュータ可読媒体は、上述したようなユーザアクセス可能な大容量記憶、ならびにコア内部大容量記憶部747やROM745などの非一時的な性質のものであるコア740の特定の記憶と関連付けられた媒体とすることができる。本開示の様々な実施形態を実施するソフトウェアを、そのようなデバイスに格納し、コア740によって実行することができる。コンピュータ可読媒体は、特定の必要性に応じて、1つまたは複数のメモリデバイスまたはチップを含むことができる。ソフトウェアは、コア740、具体的にはコア中のプロセッサ（CPU、GPU、FPGAなどを含む）に、RAM746に格納されたデータ構造を定義すること、およびソフトウェアによって定義されたプロセスに従ってそのようなデータ構造を変更することを含む、本明細書に記載される特定のプロセスまたは特定のプロセスの特定の部分を実行させることができる。

加えて、または代替として、コンピュータシステム700は、回路（例えば、アクセラレータ（744）にハードワイヤードされた、または他の方法で具現化された論理の結果として機能性を提供してもよく、この回路はソフトウェアの代わりに、またはソフトウェアとともに動作して、本明細書に記載される特定プロセスまたは特定プロセスの特定の部分を実行することができる。ソフトウェアへの参照は、論理回路を包含することができ、適切な場合には逆もまた同様である。コンピュータ可読媒体への参照は、適切な場合には、実行のためにソフトウェアを格納する回路（集積回路（IC）など）、実行のための論理回路を具現化する回路、またはその両方を包含することができる。本開示は、ハードウェアとソフトウェアの任意の適切な組み合わせを包含する。

本開示は、いくつかの例示的な実施形態を記載しているが、本開示の範囲内にある変更、置換、および様々な代替の均等物が存在する。したがって、当業者は、本明細書に明示的に示されていないまたは記載されていないが、本開示の原理を具体化し、したがってその精神および範囲内にある、多数のシステムおよび方法を考案し得ることが理解されよう。

100 通信システム
110 第1の端末
120 第2の端末
130、140 第2の対の端末
150 ネットワーク
200 ストリーミングシステム
201 ビデオソース
202 サンプルストリーム
203 ソースエンコーダ
204 ビデオビットストリーム
205 ストリーミングサーバ
206、208 ストリーミングクライアント
207、209 符号化されたビデオビットストリームの複製
210 デコーダ
211 発信ビデオサンプルストリーム
212 ディスプレイ
213 キャプチャサブシステム
310 受信機
312 チャネル
315 バッファメモリ
320 パーサ
321 シンボル
351 スケーラ／逆変換
352 イントラ予測
353 動き補償予測
355 アグリゲータ
356 ループフィルタ
357 参照ピクチャバッファ
358 現在のピクチャ
400 エンコードシステム
430 ソースコーダ
432 符号化エンジン
433 デコーダ
434 参照ピクチャメモリ
435 予測器
440 送信機
445 エントロピーコーダ
450 コントローラ
460 チャネル
601 ビットストリームを受信する
602 1つまたは複数の逆量子化されたブロックを生成する
603 ブロックの高さおよび幅が閾値を超えるか？
604 調整されたLGTを使用してブロックの変換符号化を実行する
605 LGTを使用してブロックの変換符号化を実行する
700 コンピュータシステム
701 キーボード
702 マウス
703 トラックパッド
704 データグローブ
705 ジョイスティック
706 マイクロフォン
707 スキャナ
708 カメラ
709 スピーカー
710 タッチスクリーン
720 ROM／RW
721 媒体
722 サムドライブ
723 リムーバブルハードドライブまたはソリッドステートドライブ
740 コア
741 CPU
742 GPU
743 FPGA
744 アクセラレータ
745 ROM
746 ランダムアクセスメモリ
747 内部大容量記憶部
748 システムバス
749 周辺バス
750 グラフィックアダプタ
754 ネットワークインターフェース
1248 システムバス

Claims

1つまたは複数のプロセッサが実行する、復号方法であって、
圧縮されたビデオデータを含むエントロピー符号化されたビットストリームを受信するステップと、
前記ビットストリームを解析するステップと、
前記エントロピー符号化されたビットストリームを復号するステップと、
1つまたは複数のブロックの各ブロックを逆量子化するステップと
を含むプロセスによって、前記1つまたは複数の逆量子化されたブロックを生成するステップと、
前記1つまたは複数の逆量子化されたブロックの高さおよび幅のうちの少なくとも一方が所定の閾値以上であるか否かを判定するステップと、
前記1つまたは複数の逆量子化されたブロックの前記高さまたは前記幅のうちの前記少なくとも一方が前記所定の閾値以上であることに応答して、調整されたライングラフ変換（LGT）コアを使用して逆量子化されたブロックを変換符号化して、前記1つまたは複数の逆量子化されたブロックの水平次元および垂直次元の各々に対して直接行列乗算を実行するステップと、
を含む、復号方法。

前記所定の閾値は、32および64のうちの1つに対応する値を有する、請求項1に記載の方法。

前記所定の閾値は、4、8、16、32、64、128、および256のうちの1つに対応する値を有する、請求項1に記載の方法。

前記LGTコアを使用する前に、各々が特有のそれぞれの値に事前に設定された第1の自己ループ重みまたは第2の自己ループ重みのうちの少なくとも1つを使用して前記LGTコアを生成するステップをさらに含む、請求項1に記載の方法。

前記調整されたLGTコアは、DCT－2、DCT－8、またはDST－7の中からの離散コサイン変換（DCT）または離散サイン変換（DST）であり、これらは、特定の形式の一般化グラフラプラシアン（GGL）行列から導出される、請求項4に記載の方法。

前記方法は、
DCT－2は、前記第1の自己ループ重みを0に設定することによって導出されることと、DST－7は、前記第1の自己ループ重みを第1の所定値に設定することによって導出されることと、
DCT－8は、前記第2の自己ループ重みを前記第1の所定値に設定することによって導出されることと、
DST－4は、前記第1の自己ループ重みを前記第1の所定値に2を乗じたものに設定することによって導出されることと、
DCT－4は、前記第2の自己ループ重みを前記第1の所定値に2を乗じた値に設定することによって導出されること
のうちの少なくとも1つをさらに含む、請求項5に記載の方法。

前記LGTコアを生成する前記ステップは、
第1の変換コアを導出するために、前記第1の自己ループ重みおよび前記第2の自己ループ重みを使用して異なるサイズのLGTコアを調整するステップと、
第2の変換コアを導出するために、総当たり法によって前記第1の変換コアの1つまたは複数の基底ベクトルの1つまたは複数の個々の重みを調整するステップであって、前記第2の変換コアは前記調整されたLGTコアである、ステップと、
を含む、請求項4に記載の方法。

N－pLGTが有効にされているかどうかを判定するステップと、
N－pLGTが有効にされているときに、前記逆量子化されたブロックのN長側に対して、変換タイプ候補として離散コサイン変換（DCT）－2およびLGTのみを使用するステップと、
をさらに含む、請求項1に記載の方法。

N－pLGTが有効にされているかどうかを判定するステップと、
N－pLGTが有効にされているときに、前記逆量子化されたブロックのN長側に対して、変換タイプ候補として離散コサイン変換（DCT）－2、LGT、およびフリップLGTのみを使用するステップと、
をさらに含む、請求項1に記載の方法。

N－pLGTが有効にされているかどうかを判定するステップと、
N－pLGTが有効にされているときに、前記逆量子化されたブロックのN長側に対する恒等変換の使用を防止するステップと、
をさらに含む、請求項1に記載の方法。

N－pLGTが有効にされているかどうかを判定するステップと、
N－pLGTが有効にされているときに、異なるイントラ予測残差およびインター予測残差に対してサポートされている変換タイプを使用するステップと、
をさらに含む、請求項1に記載の方法。

前記イントラ予測残差について、前記サポートされている変換タイプが離散コサイン変換（DCT－2）およびLGTを含む、請求項11に記載の方法。

前記インター予測残差について、前記サポートされている変換タイプが、離散コサイン変換（DCT－2）、LGT、およびフリップLGTを含む、請求項11に記載の方法。

前記変換符号化された逆量子化されたブロックに少なくとも部分的に基づいて、表示可能な画像を生成するステップと、
前記表示可能な画像がディスプレイに表示されるように制御を行うステップと、
をさらに含む、請求項1に記載の方法。

1つまたは複数のプロセッサを備えるシステムまたはデバイスに、請求項1～14のいずれか一項に記載の方法を実行させるためのコンピュータプログラム。

コンピュータプログラムコードを記憶するように構成された少なくとも1つのメモリと、
前記少なくとも1つのメモリにアクセスし、前記コンピュータプログラムコードに従って動作するように構成された少なくとも1つのプロセッサと
を備え、前記コンピュータプログラムコードは、
前記少なくとも1つのプロセッサに、請求項1～14のいずれか一項に記載の方法を実行させるためのコードを含む、装置。