JP7260783B2 - 最適化システム、最適化支援装置、最適化支援方法、および最適化支援プログラム - Google Patents

Description

本発明は、最適化システム、最適化支援装置、最適化支援方法、および最適化支援プログラムに関する。

製造業・流通業等において、所定の需要を満たすために複数の設備を運転することがある。例えば、所定の電力需要に対応するため、複数の発電機が稼動される。また、所定の鋼材の需要に対応するため、複数の加熱炉が稼動される。

設備の稼動条件は、設備ごとに異なり得る。例えば、単位時間あたりの処理量、処理による生成物の品質、運転に要する費用、運転により生じる二酸化炭素排出量等の値が、設備ごとに異なっている場合がある。

このような複数の設備の運転により所定の需要を満たす場合、複数の設備全体における稼動コスト、品質、納期といった評価指標は、どの設備をどのような順序で稼動させるか、また、稼動された設備でどの程度の処理を行うかによって変動する。そのため、このような運転を行う場合、これらの評価指標が最適（指標に応じて最小または最大）になるよう、稼動させる設備（運転パターン）や各設備での処理量を設定することが重要となる。

評価指標は、各設備の運転パターンや処理順といった２値変数と、各設備の処理量や稼働率といった連続変数とを用いた目的関数として表される場合がある。このように２値変数と連続変数とが混在する最適化問題は、混合整数計画問題（Mixed Integer Programming, ＭＩＰ）と称される。

例えば、所定の時間範囲における任意の時刻の電力需要を満たし、かつ、発電コストが最小となるような、複数の発電機の稼動パターンを決定する問題は、混合整数計画問題として問題設定され得る。また、処理の順序によって温度、流量、圧力といったプロセス量が変動し、プロセス量の変動が二酸化炭素排出量に影響する生産設備において、二酸化炭素排出量を最小にする問題も、混合整数計画問題として問題設定され得る。

特許文献１には、混合整数計画法により複合熱源システムの最適運転スケジュールを決定する熱源運転支援制御方法が記載されている。特許文献１に記載の熱源運転支援制御方法では、熱源システムを構成する各機器の運転・停止状態を表す変数の一部を予め連続変数に設定し、熱源システムの負荷を予測し、負荷予測値と目的関数と運転・停止状態を表す変数とに基づき最適運転スケジュールを決定する。

特開２００４－３１７０４９号公報

混合整数計画問題の最適解は、２値変数の組み合わせごとに、連続変数の問題を解くことにより求めることができる。２値変数の組み合わせの数は、用いられる２値変数の数が増加するにつれて膨大となる。そのため、大規模な混合整数計画問題の解を求めるには計算機の処理能力や処理時間といった資源が大量に必要となり、容易ではなかった。

この問題を少しでも改善するために、特許文献１に記載の熱源運転支援制御方法では、２値変数である運転・停止状態を表す変数の一部を連続変数に設定することにより組み合わせの数を減少させている。

しかし、２値変数の一部を連続変数に設定すると、残りの２値変数の取り得る組み合わせが限定されるため、このような問題を解いたとしても、２値変数の一部を連続変数に設定する前の元の混合整数計画問題の最適解が得られる保証はない。

一方、近年、量子力学的な状態の共存を動作原理として用いる量子計算機（例えば、超伝導量子ビットを用いた量子アニーリングマシン）の開発が進んでいる。量子計算機で用いられる演算単位（量子ビット）は、０／１以外の複数の状態に対応する。このような量子計算機は、特に多数の組み合わせの候補（選択肢）の中から最適な組み合わせを求める組合せ最適化問題（最適解を求める際に各組み合わせの候補に対して同一の処理が行われる）を、ノイマン型コンピュータ等の従来型計算機（以下、「汎用計算機」ともいう）よりも効率的に処理することができる。

ただし、現時点の量子アニーリングマシンは、目的関数が２値変数の二次形式で表された問題（以下、「イジングモデル」という）しか求解することができない。したがって、現時点の量子アニーリングマシンは、連続変数を扱うことができず、量子アニーリングマシンを用いて混合整数計画問題を求解するには、混合整数計画問題を連続変数が含まれていないイジングモデルで表す必要がある。

そこで、本発明は、汎用計算機と量子計算機とを使い分けるハイブリッド方式により混合整数計画問題を効率よく求解する最適化システム、最適化支援装置、最適化支援方法、および最適化支援プログラムを提供することを目的とする。

本発明にかかる最適化システムは、汎用計算機と量子計算機とが通信可能に接続され、２値変数および連続変数により表される混合整数計画問題の目的関数を最適化する２値変数および連続変数の組み合わせである最適解を求める最適化システムであって、汎用計算機は、混合整数計画問題における２値変数に暫定２値変数解を代入することで混合整数計画問題から線形計画問題を作成し、線形計画問題を双対問題に変換し、双対問題を求解し、双対問題の解が有界であり、かつ、双対問題の目的関数の値が、混合整数計画問題の目的関数に最適解を代入して得られる最適値以上であることが分かっている最小の値である上界値よりも小さい場合、双対問題の目的関数の値により上界値を更新するとともに、線形計画問題を求解することで得られた連続変数解と暫定２値変数解とを暫定最適解とし、量子計算機は、双対問題の解に基づき設定される制約条件を満たすように混合整数計画問題から作成された０－１計画問題を求解し、得られた２値変数解に対応する目的関数の値を求め、汎用計算機は、２値変数解を暫定２値変数解として混合整数計画問題における２値変数に改めて代入して線形計画問題を作成するとともに暫定２値変数解に対応する目的関数の値により、最適値以下であることが分かっている最大の値である下界値を更新し、汎用計算機および量子計算機は、下界値と上界値とが所定の終了条件を満たすまで線形計画問題の双対問題の求解および０－１計画問題の求解を繰り返し、汎用計算機は、下界値と上界値とが終了条件を満たした場合、暫定最適解を混合整数計画問題の最適解として出力する。

本発明にかかる最適化支援装置は、量子計算機と通信可能に構成され、２値変数および連続変数により表される混合整数計画問題の目的関数を最適化する２値変数および前記連続変数の組み合わせである最適解を求めるための量子計算機の演算を支援する最適化支援装置であって、混合整数計画問題における２値変数に暫定２値変数解を代入することで混合整数計画問題から線形計画問題を作成し、線形計画問題を双対問題に変換し、双対問題を求解し、双対問題の解が有界であり、かつ、双対問題の目的関数の値が、混合整数計画問題の目的関数に最適解を代入して得られる最適値以上であることが分かっている最小の値である上界値よりも小さい場合、双対問題の目的関数の値により上界値を更新するとともに、線形計画問題を求解することで得られた連続変数解と暫定２値変数解とを暫定最適解とする線形計画問題求解部と、双対問題の解に基づいて、混合整数計画問題から生成される０－１計画問題の解の制約条件を定める制約条件設定部と、制約条件を満たすように混合整数計画問題から０－１計画問題を作成し、量子計算機に出力する０－１計画問題作成部と、を備え、線形計画問題求解部は、量子計算機から０－１計画問題の２値変数解および２値変数解に対応する目的関数の値が入力された場合、２値変数解を暫定２値変数解として混合整数計画問題における２値変数に改めて代入して線形計画問題を作成するとともに暫定２値変数解に対応する目的関数に値により、最適値以下であることが分かっている最大の値である下界値を更新し、下界値と上界値とが所定の終了条件を満たした場合、暫定最適解を混合整数計画問題の最適解として出力する。

本発明にかかる最適化支援装置では、０－１計画問題作成部は、暫定２値変数解の複数の近傍解について目的関数に基づいて作成された評価関数の値を求め、複数の近傍解と対応する評価関数の値とに基づく重回帰分析により求められた係数を用いて０－１計画問題を作成することが好ましい。

本発明にかかる最適化支援装置では、制約条件設定部は、線形計画問題が実行可能であるか否かを判定し、実行可能でない場合、連続変数を規定する第１制約条件を設定し、実行可能である場合、評価関数を規定する第２制約条件を設定することが好ましい。

本発明にかかる最適化支援装置では、０－１計画問題作成部は、複数の近傍解のうち第１制約条件を満足する近傍解に対応する評価関数の値を、第２制約条件から算出される評価関数の最大値とすることが好ましい。

本発明にかかる最適化支援装置では、０－１計画問題作成部は、複数の近傍解のうち第１制約条件を満足しない近傍解に対応する評価関数の値を無限大とすることが好ましい。

本発明にかかる最適化支援方法は、量子計算機と通信可能に構成された汎用計算機により実行され、２値変数および連続変数により表される混合整数計画問題の目的関数を最適化する２値変数および連続変数の組み合わせである最適解を求めるための量子計算機による演算を支援する最適化支援方法であって、混合整数計画問題における２値変数に暫定２値変数解を代入することで混合整数計画問題から線形計画問題を作成し、線形計画問題を双対問題に変換し、双対問題を求解し、双対問題の解が有界であり、かつ、双対問題の目的関数の値が、混合整数計画問題の目的関数に最適解を代入して得られる最適値以上であることが分かっている最小の値である上界値よりも小さい場合、双対問題の目的関数の値により上界値を更新するとともに、線形計画問題を求解することで得られた連続変数解と暫定２値変数解とを暫定最適解とし、双対問題の解に基づいて、混合整数計画問題から生成される０－１計画問題の解の制約条件を設定し、制約条件を満たすように混合整数計画問題から０－１計画問題を作成し、量子計算機に出力し、量子計算機から０－１計画問題の２値変数解および２値変数解に対応する目的関数の値が入力された場合、２値変数解を暫定２値変数解として混合整数計画問題における２値変数に改めて代入して線形計画問題を作成するとともに暫定２値変数解に対応する目的関数の値により、最適値以下であることが分かっている最大の値である下界値を更新し、下界値と上界値とが掌底の終了条件を満たした場合、暫定最適解を混合整数計画問題の最適解として出力する。

本発明にかかる最適化支援プログラムは、量子計算機と通信可能に構成された汎用計算機により実行され、２値変数および連続変数により表される混合整数計画問題の目的関数を最適化する２値変数および連続変数の組み合わせである最適解を求めるための量子計算機による演算を支援する最適化支援プログラムであって、汎用計算機に、混合整数計画問題における２値変数に暫定２値変数解を代入することで混合整数計画問題から線形計画問題を作成し、線形計画問題を双対問題に変換し、双対問題を求解し、双対問題の解が有界であり、かつ、双対問題の目的関数の値が、混合整数計画問題の目的関数に最適解を代入して得られる最適値以上であることが分かっている上界値よりも小さい場合、双対問題の目的関数の値により上界値を更新するとともに、線形計画問題を求解することで得られた連続変数解と暫定２値変数解とを暫定最適解とし、双対問題の解に基づいて、混合整数計画問題から生成される０－１計画問題の解の制約条件を定め、制約条件を満たすように混合整数計画問題から０－１計画問題を作成し、量子計算機に出力し、量子計算機から０－１計画問題の２値変数解および２値変数解に対応する目的関数の値が入力された場合、２値変数解を暫定２値変数解として混合整数計画問題における２値変数に代入して線形計画問題を作成するとともに暫定２値変数解に対応する目的関数の値により、最適値以下であることが分かっている最大の値である下界値を更新し、下界値と上界値とが所定の終了条件を満たした場合、暫定最適解を混合整数計画問題の最適解として出力する。

本発明によると、汎用計算機と量子計算機とを使い分けるハイブリッド方式により混合整数計画問題を効率よく求解することができる。

最適化システムの動作概要を示す模式図である。 汎用計算機の概略構成を示す模式図である。 量子計算機の概略構成を示す模式図である。 超伝導を用いた量子ビットの動作原理を説明する図である。 量子ビットノードおよび結合器の配置模式図である。 汎用計算機の処理フローチャートである。 ０－１計画問題作成処理のフローチャートである。 制約条件を説明する図である。

以下、図面を参照して最適化システム、最適化支援装置、最適化支援方法、および最適化支援プログラムについて詳細に説明する。ただし、本発明は図面または以下に記載される実施形態には限定されないことを理解されたい。

本開示の最適化システムは、通信可能に接続される汎用計算機と量子計算機とにより構成される。最適化システムは、２値変数と連続変数とが混在する混合整数計画問題の解を求める。そのために、最適化システムでは、汎用計算機が、混合整数計画問題の２値変数に暫定２値変数解を代入することで線形計画問題を作成し、線形計画問題の双対問題を求解する。また、汎用計算機は、双対問題の解に基づいて制約条件を設定する。量子計算機は、制約条件を満たすように混合整数計画問題から生成された０－１計画問題を求解する。汎用計算機は、量子計算機により求解された０－１計画問題の２値変数解を暫定２値変数解として混合整数計画問題し、新たな線形計画問題を作成する。このように、最適化システムでは汎用計算機による線形計画問題の双対問題の求解と量子計算機による０－１計画問題の求解とが繰り返される。このため、本開示の最適化システムは、汎用計算機と量子計算機とを使い分けるハイブリッド方式により混合整数計画問題を効率よく求解することができる。

図１は、最適化システムの動作概要を示す模式図である。

最適化システム１は、ｎ個の設備（設備１から設備ｎ）の評価指標の最適化を実行する。時間単位ごとの各設備の評価値の合計を対象となる時間範囲にわたって合計した値を最小とする問題が、最適化システム１の解くべき複数機械運転計画問題（Multiple Machine Operation Planning, ＭＭＯＰ）として設定されている。ＭＭＯＰは、混合整数計画問題の一例である。ＭＭＯＰは、例えば各設備を稼動させるか否か（２値変数）、および、稼動させる時の処理量（連続変数である評価値）を変数とする目的関数を用いて設定される。ＭＭＯＰは最適化システム１に入力され、最適化システム１はＭＭＯＰを求解し、目的関数を最小化する最適解を出力する。

最適化システム１は、汎用計算機２と量子計算機３とを有する。汎用計算機２と量子計算機３とは、通信可能に接続される。汎用計算機２は、最適化支援装置の一例である。

汎用計算機２は、原問題であるＭＭＯＰから、ＭＭＯＰの２値変数に所定の暫定２値変数解を代入することにより、連続変数のみで定式化された線形計画問題を作成する。汎用計算機２は、作成された線形計画問題の双対問題を求解する。そして、汎用計算機２は、線形計画問題の双対問題の解に基づいて、原問題であるＭＭＯＰを０－１計画問題に変形する。汎用計算機２は、ＭＭＯＰを０－１計画問題に変形する際、連続変数に関わる項を２値変数に置き換えたために必要となった制約条件を設定する。

双対問題の解が有界である場合、その双対問題の原問題である線形計画問題は実行可能解を有する。双対問題の解が有界である場合、汎用計算機２は、双対問題の目的関数の値と上界値とを比較する。上界値は、ＭＭＯＰの目的関数に最適解を代入して得られる最適値以上であることが分かっている最小の値である。双対問題の解が有界であり、かつ、双対問題の目的関数の値が上界値よりも小さい場合、汎用計算機２は、その双対問題の目的関数の値により上界値を更新する。また、汎用計算機２は、線形計画問題の解（連続変数解）を求め、当該線形計画問題を作成するときに用いた暫定２値変数解とあわせて暫定最適解として記憶する。続いて、汎用計算機２は、設定した制約条件に基づいて０－１計画問題を作成し、量子計算機３に出力する。

量子計算機３は、汎用計算機２により作成された０－１計画問題を求解し、０－１計画問題の目的関数を最適化する２値変数解および対応する目的関数値を汎用計算機２に出力する。量子計算機３が求解した０－１計画問題は、ＭＭＯＰが満たすべき制約条件を反映していないことがある。そのため、量子計算機３が求めた０－１計画問題の２値変数解を代入することにより求められる目的関数値は最適値以下となり、最適値と一致する場合を除いてＭＭＯＰの実行可能な解ではない。汎用計算機２は、最適値以下であることが分かっている最大の値である下界値を当該目的関数値により更新し、量子計算機３から入力された０－１計画問題の解を暫定２値解x^*とし、所定の終了条件を満たすまで後述する一連の処理を繰り返す。汎用計算機２は、所定の終了条件を満たすと判断した場合、暫定最適解をＭＭＯＰの最適解として出力する。

このように動作することにより、本実施形態にかかる最適化支援装置を含む最適化システム１は、汎用計算機２と量子計算機３とを使い分けるハイブリッド方式により混合整数計画問題を効率よく求解することができる。

図２は、汎用計算機の概略構成を示す模式図である。

汎用計算機２は、量子計算機３と接続し、混合整数計画問題に基づいて作成した０－１計画問題を量子計算機３に出力し、量子計算機３から０－１計画問題の解の入力を受ける。そのために、汎用計算機２は、通信インタフェース２１と、メモリ２２と、入力デバイス２３と、プロセッサ２４とを備える。

通信インタフェース２１は、汎用計算機２を通信ネットワークに接続するための通信インタフェース回路を有する。通信インタフェース２１は、プロセッサ２４により供給される０－１計画問題を量子計算機３に送信し、量子計算機３から受信した０－１計画問題の解をプロセッサ２４に供給する。

メモリ２２は、例えば、半導体メモリ、磁気ディスク装置および光ディスク装置のうちの少なくとも１つを有する。メモリ２２は、プロセッサ２４による処理に用いられるドライバプログラム、オペレーティングシステムプログラム、アプリケーションプログラム、データ等を記憶する。例えば、メモリ２２は、ドライバプログラムとして、通信インタフェース２１を制御する通信デバイスドライバプログラム等を記憶する。各種プログラムは、コンピュータ読み取り可能な可搬型記録媒体から、公知のセットアッププログラム等を用いてメモリ２２にインストールされてよい。コンピュータ読み取り可能な可搬型記録媒体とは、例えばＣＤ－ＲＯＭ（Compact Disc Read-Only Memory）、ＤＶＤ－ＲＯＭ（DVD Read-Only Memory）等である。

入力デバイス２３は、汎用計算機２の操作が可能であればどのようなデバイスでもよく、例えば、キーボードやマウス等である。ユーザは、入力デバイス２３を用いて、文字や数字、記号等を入力することができる。入力デバイス２３は、ユーザにより操作されると、その操作に対応する信号を発生する。そして、発生した信号は、ユーザの指示としてプロセッサ２４に供給される。

プロセッサ２４は、１以上のプロセッサおよびその周辺回路を備える。プロセッサ２４は、汎用計算機２の全体的な動作を統括的に制御する処理回路であり、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）である。プロセッサ２４は、汎用計算機２の各種処理がメモリ２２に記憶されているプログラム等に基づいて適切な手段で実行されるように、通信インタフェース２１等の動作を制御する。プロセッサ２４は、メモリ２２に記憶されているプログラム（オペレーティングシステムプログラム、ドライバプログラム、アプリケーションプログラム等）に基づいて処理を実行する。また、プロセッサ２４は、複数のプログラム（アプリケーションプログラム等）を並列に実行することができる。

プロセッサ２４は、線形計画問題求解部２４１と、制約条件設定部２４２と、０－１計画問題作成部２４３とを有する。プロセッサ２４が有するこれらの各部は、プロセッサ２４が有するプロセッサ上で実行されるプログラムによって実装される機能モジュールである。あるいは、プロセッサ２４が有するこれらの各部は、独立した集積回路、マイクロプロセッサ、またはファームウェアとして汎用計算機２に実装されてもよい。

図３は、量子計算機の概略構成を示す模式図である。

量子計算機３は、量子力学の法則を用いた処理を実行する計算機である。量子力学の法則を用いて組み合わせ最適化問題を求解する量子アニーリングマシンは、量子計算機３の一例である。

量子計算機３は、複数の量子ビットノード３１と、各量子ビットノード３１を制御する量子ビット制御部３２とを備える。また、量子計算機３は、各量子ビットノード３１の間を結合する複数の結合器３３と、各結合器３３を制御する結合器制御部３４とを備える。また、量子計算機３は、各量子ビットノード３１の値を測定して出力する読出部３５を備える。また、量子計算機３は、量子計算機３を通信ネットワークに接続するための通信インタフェース回路を有する通信部３６を備える。

本実施形態の量子ビットノード３１は、例えばニオブなどの金属を極低温に冷却したときに電気抵抗がゼロになる現象である超伝導を動作原理として用いた超伝導リングにより実現される。なお、量子ビットノード３１は、シリコン基板上の電子のスピンを動作原理として用いたシリコン量子ビットチップなどの他の技術によっても実現可能である。

図４は、超伝導を用いた量子ビットの動作原理を説明する図である。

図４に示す量子ビットは、超伝導リング内に発生する磁束の性質を用いた磁束量子ビットである。磁束量子ビットの超伝導リングでは、一方向の電流と逆方向の電流とが所定の比率で同時に存在することができ、超伝導リングに対して垂直な方向の磁束が生成される。このような超伝導リングの近傍に配置された回路を流れる交流電流により生ずる磁場に対して、超伝導リングの磁束が磁気共鳴する。この超伝導リングの磁束の変動を、磁束量子ビットの周囲に配置される不図示の超伝導量子干渉計（Superconducting Quantum Interference Device, ＳＱＵＩＤ）により検出する。

図５は、量子ビットノードおよび結合器の配置模式図である。

結合器３３－１５～３３－４８は、縦長の量子ビットノード３１－１～３１－４に重ねて配置される。また、横長の量子ビットノード３１－５～３１－８は、結合器３３－１５～３３－４８に重ねて配置される。縦型の量子ビットノード３１－１～３１－４と横型の量子ビットノード３１－５～３１－８とは、格子状に配置される。なお、図５では量子ビットノード３１が縦横に４個ずつ配置された例を示しているが、量子ビットノード３１が配置される個数はこの例に限定されない。

結合器３３－１５～３３－４８は、上述した超伝導リングで構成されている。なお、量子ビットノード３１がシリコン量子ビットチップで構成されている場合、結合器３３もシリコン量子ビットチップで構成することができる。

一の量子ビットノード３１（図５において例えば量子ビットノード３１－１）と他の量子ビットノード（図５において例えば量子ビットノード３１－５）とは、結合器３３（図５において例えば結合器３３－１５）を介して結合されている。

量子ビット制御部３２は、量子ビットノード３１を所定の状態に設定する。これにより、量子ビットノード３１は０と１（または－１と＋１）とが重ね合わせられた状態を有する。また、結合器制御部３４は、結合器３３を所定の状態に設定する。結合器３３および結合器３３により結合される複数の量子ビットノード３１は相互作用し、量子ビットノード３１の状態が変化する。読出部３５は量子ビットノード３１の状態を読み取り、出力する。

ここで、最適化システム１の処理対象となる問題について説明する。本実施形態において、最適化システム１は、複数の設備により処理を行うプロセスによる処理コストを最小化する運転計画問題を解くことができる。運転計画において、複数の設備による処理量の合計は、単位時間ごとに定められた需要量を満たす必要がある。

設備の集合をＮ={1, 2, …, i, …, n}とし、処理時刻の集合をＴ={t1, t2, …, t, …, t_n}とする。設備iの起動されているときにおける処理量は、P_iL以上P_iU以下である。設備iの処理コストは、起動されている単位時間について発生する固定費F_iと、処理量に比例して発生する変動費V_iとからなる。

このような運転計画問題は、以下に示す混合整数計画問題として定式化することができる。

上述の運転計画問題では、上記式（１）、（２）は、以下に示すＭＭＯＰとして表現できる。式（１）、（２）のd、c、A、B、bは解くべき問題に応じて適宜設定される定数ベクトルあるいは行列で、dはn×1、cはm×1、Aは制約数×m、Bは制約数×n、bは制約数×1のサイズを持つ。なお、以下の説明では、説明の便宜上、混合整数計画問題の形式で表現された式とＭＭＯＰの形式で表現された式とを併用するが、処理される問題自体は共通である。

式（３）～（６）のx[i][t]は、設備iが時刻tにおいて起動する場合に値「１」を取り、起動せず停止している場合に値「０」を取る２値変数であり、y[i][t]は、時刻tにおける処理量を示す連続変数である。式（３）～式（６）で示すＭＭＯＰのうち、式（３）は目的関数を示している。式（３）の第１項は固定費であり、第２項は変動費である。式（４）および式（５）は制約条件を示している。式（４）は時刻tにおける需要D_tを満たす処理量を供給するという制約であり、式（５）は各設備の処理量にそれぞれの上限P_iLおよび下限P_iUがあるという制約である。

図６は、汎用計算機の処理フローチャートである。

プロセッサ２４は、混合整数計画問題の一例として式（３）～（６）に示すＭＭＯＰを与えられると、まずＭＭＯＰの変数を初期化する（ステップＳ１）。初期化される変数は、上述のＭＭＯＰにおける２値変数であるx[i][t]の暫定２値変数解x^*と、式（３）の目的関数の上界値Z_UBおよび下界値Z_LBである。暫定２値変数解x^*、上界値Z_UB、および下界値Z_LBの初期値は、メモリ２２に予め記憶される。暫定２値変数解x^*は、一般には、元の問題の制約式である式（２）のうち、２値変数であるxのみに関する制約であるx∈X、x∈{0,1}を満たす適当な解を選択する。ＭＭＯＰにおいては、x∈Xとして、例えば連続して運転可能な時間に制限がある場合にはそれを満たすような解とする。２値変数であるxについてそのような単独での制約がない場合、x∈{0,1}を満たす任意の解を選択してよい。上界値Z_UBは∞（無限大）で初期化され、下界値Z_LBは問題に応じて０または－∞（負の無限大）で初期化される。なお、暫定２値変数解x^*により初期化されたＭＭＯＰは、式（４）、（５）の連続変数であるy[i][t]に関する制約条件を満たしていなくてもよい。

次に、プロセッサ２４は、終了条件を満たしているか否かを判定する（ステップＳ２）。終了条件は、上界値Z_UBと下界値Z_LBとの差が予め定められた定数ε以下となること（Z_UB - Z_LB ≦ ε）である。上述したように、上界値Z_UBは最適値以上であることが分かっている最小の値であり、ＭＭＯＰの実行可能な解に対応する。下界値Z_LBは最適値以下であることが分かっている最大の値であり、最適値と一致する場合を除いてＭＭＯＰの実行可能でない解に対応する。最適化システム１が一連の処理を実行することにより、上界値Z_UBと下界値Z_LBとの差が減少する。上界値Z_UBと下界値Z_LBとの差が定数ε以下となったことを終了条件とすることで、最適化システム１は十分正確に特定された解を出力し、処理を終了する。定数εは問題に応じて適宜設定され、例えば0.01である。

ＭＭＯＰの解が終了条件を満たしていないと判定された場合（ステップＳ２：Ｎ）、線形計画問題求解部２４１は、ＭＭＯＰに暫定２値変数解x^*を代入して得られる線形計画問題を双対問題に変換し、線形計画問題の双対問題を求解する（ステップＳ３）。

線形計画問題求解部２４１は、混合整数計画問題の式（１）に暫定変数解x^*を代入することにより、下記式（７）、（８）の連続変数yのみの線形計画問題であるＳＰ（Sub Problem）を求め、双対問題（The Dual of SP）に変換する。

上記ＳＰの双対問題（The Dual of SP）は、以下の式（９）、（１０）で表現される。なお、式（９）では、求解に影響しない定数成分の記載を省略している。

線形計画問題求解部２４１は、上記ＳＰの双対問題に対応するＭＭＯＰの式として、式９に対応する以下の式（１１）と、式（１０）に対応する式（１２）～（１５）を求める。

線形計画問題求解部２４１は、式（１１）～式（１５）に示すＳＰの双対問題を解き、双対問題の解u^*(ρ^*,ν^*,ω^*)を求める。

また、線形計画問題求解部２４１は、以下の式（１６）または式（１７）に従って、双対問題の解が有界であり、かつ、求めた双対問題の目的関数の値がメモリ２２に記憶されている上界値よりも小さい場合、その双対問題の目的関数の値により上界値を更新する。

式（１６）に示す上界値Z_UBの更新は、ＭＭＯＰでは以下の式（１７）で表現される。

また、線形計画問題求解部２４１は、式（１６）または（１７）により上界値Z_UBが更新された場合、式（７）、（８）に示すＳＰを解き、連続変数解y~を求める。そして、線形計画問題求解部２４１は、その計算で用いた暫定２値変数解x^*をx~とし、y~と合わせた(x~,y~)を上界値Z_UBに対応する暫定最適解としてメモリ２２に記憶する。

次に、制約条件設定部２４２は、双対問題の解u^*に基づいて、０－１計画問題の２値変数解の制約条件を定める（ステップＳ４）。本実施形態において、制約条件設定部２４２は、まず、双対問題の解u^*(ρ^*,ν^*,ω^*)が有界（bounded）であるか非有界（unbounded）であるかを判定する。

なお、双対問題の解u^*(ρ^*,ν^*,ω^*)が有界であるか非有界であるかを判定するために、制約条件設定部２４２は、上記ＳＰの双対問題ではなく、ＳＰ自体を解いてもよい。ＳＰが実行可能であれば双対問題の解u^*(ρ^*,ν^*,ω^*)は有界であり、ＳＰが実行不可能であれば双対問題の解u^*(ρ^*,ν^*,ω^*)は非有界となる。

双対問題の解u^*(ρ^*,ν^*,ω^*)が有界でない場合、すなわちＳＰが実行不可能な場合、制約条件設定部２４２は、双対問題の解の組をベクトルとみた場合にその方向のみを保存し所定のノルムを有する以下のベクトルを作成する。そして、制約条件設定部２４２は、このベクトルを用いた以下の連続変数yに関する実行可能領域を２値変数xにより制限した制約条件を作成する。

式（１８）に示す制約条件は、ＭＭＯＰでは以下の式（１９）で表現される。

式（１８）、（１９）に示すFeasible Cutは、第１制約条件の例である。

双対問題の解u^*(ρ^*,ν^*,ω^*)が有界である場合、すなわちＳＰが実行可能な場合、制約条件設定部２４２は、双対問題の解を用いた以下の連続変数yに関する目的関数値の下限条件を２値変数xにより記述した制約条件（式（２０））を作成する。式（２０）において、θは式（１）におけるc^T・yを置き換えた変数である。なお、双対問題の解u^*(ρ^*,ν^*,ω^*)が非有界である場合、すなわちＳＰが実行不可能な場合、後述する制約条件の作成は行われない。

式（２０）に示す制約条件は、ＭＭＯＰでは以下の式（２１）で表現される。

式（２０）、（２１）に示すOptimal Cutは、第２制約条件の例である。

制約条件設定部２４２は、双対問題の解u^*(ρ^*,ν^*,ω^*)が有界であるか否かに応じて作成した制約条件を、ＭＰ（Master Problem、本実施形態では後述する式（２２）、（２３））である０－１計画問題の２値変数解が満たすべき制約条件の集合であるCutに追加する。Cutを用いた２値変数解の制約については後述する。

次に、０－１計画問題作成部２４３は、制約条件に基づいて０－１計画問題を作成し、量子計算機３に出力する０－１計画問題作成処理を実行する（ステップＳ５）。０－１計画問題作成処理の詳細は後述する。

次に、プロセッサ２４は、０－１計画問題の２値変数解および対応する目的関数の値を量子計算機３から取得する（ステップＳ６）。プロセッサ２４は、ＭＭＯＰの目的関数の下界値Z_LBを、ここで取得した目的関数値により更新する。また、プロセッサ２４は、ここで取得した０－１計画問題の２値変数解を、その下界値Z_LBに対応する暫定２値変数解としてメモリ２２に記憶する。ステップＳ２に戻り、プロセッサ２４は、終了条件を満たしているか否かを判定する。上界値Z_UBと下界値Z_LBとの差が予め定められた定数ε以下となる場合、終了条件を満たしていると判定される。上界値Z_UBは、０－１計画問題の２値変数解の制約条件を定めるステップＳ４において更新された値である。終了条件の判定は、更新された上界値Z_UBおよび下界値Z_LBに基づいて行われる。

図７は、０－１計画問題作成処理のフローチャートである。

０－１計画問題作成処理が開始されると、０－１計画問題作成部２４３は、下界値Z_LBに対応する暫定２値変数解x^*の近傍解を抽出する（ステップＳ５１）。より詳細には、０－１計画問題作成部２４３は、『x∈X(変数x単独の実行可能域), x∈｛0,1｝ⁿ』を満たすxのうち、下界値Z_LBに対応する暫定２値変数解x^*の近傍にあるxの集合を、X_nb ^*として抽出する。

０－１計画問題作成部２４３は、ＭＭＯＰから線形計画問題を作成するときに用いた暫定２値変数解x^*の要素のうち一つを反転（1を0、または0を1に変更）して得られるxを、近傍解として抽出する。また、xが順序変数である場合、０－１計画問題作成部２４３は、挿入近傍、交換近傍、λ-opt近傍(λ≧2)、Or-opt近傍といった手法により、近傍解を抽出してもよい。

また、０－１計画問題作成部２４３は、下界値Z_LBに対応する暫定２値変数解自体を用いることなく、近傍解を抽出してもよい。例えば、０－１計画問題作成部２４３は、以下の式（２２）～（２３）に示すＭＰ（Master Problem）の連続緩和問題として定義した式（２４）～（２５）に示すＬＭＰを解き、線形最適解x_c ^*を求め、その点を中心に半径R_n内に存在するx単独の実行可能域をX_nb ^*として抽出する。このように、x_c ^*を中心とする半径R_n内を近傍と定義する場合、０－１計画問題作成部２４３は、最適解の範囲が不明確な処理開始時は大きめな値に設定した半径R_nを、一連の処理の繰り返しが進むにつれて減少するように設定するのが好ましい。

次に、０－１計画問題作成部２４３は、制約条件を満たす近傍解について、関数テーブルを作成する（ステップＳ５２）。関数テーブルでは、近傍解として抽出された集合X_nb ^*に含まれるすべての近傍解x_nb ^*と、以下の式（２６）、（２７）に示す評価関数O(x_nb ^*)の値とが関係づけられる。

式（２６）は、ある近傍解x_nb ^*について、これまで設定されたFeasible Cut（式（１６）に対応）を計算したときに、一つでも０以下のものがある場合の評価関数O(x_nb ^*)の値を示している。式（２６）に当てはまる近傍解x_nb ^*は、Feasible Cutの制約条件を満たしているため実行可能である。このような近傍解x_nb ^*に対する評価関数O(x_nb ^*)の値として、これまで設定されたOptimal Cut（式（２０）に対応）から算出される目的関数の最大値が設定される。

式（２７）は、ある近傍解x_nb ^*について、これまで設定されたFeasible Cutを計算したときに、一つでも０より大きくなるものがある場合の評価関数O(x_nb ^*)の値を示している。式（２７）に当てはまる近傍解x_nb ^*は、Feasible Cutの制約条件を満たしていないため実行可能ではない。このような近傍解x_nb ^*に対する評価関数O(x_nb ^*)の値として、無限大が設定される。なお、この場合に設定される値は無限大に限られず、十分に大きな値であれば足りる。

次に、０－１関数作成部２４３は、関数テーブルに基づく回帰分析により、係数パラメータを求める（ステップＳ５３）。具体的には、０－１関数作成部２４３は、関数テーブルを以下の式（２８）に示す重回帰モデルに適用したときの係数パラメータJ_ijおよびh_iを、回帰分析により求める。

関数テーブルの近傍解x_nb ^*は式（２８）のx[i]に対応し、関数テーブルの評価関数O(x_nb ^*)の値は式（２８）のE(x)に対応する。ここで、x[i]、x[j]は変数ベクトルxのi番目、j番目の要素をそれぞれ示す。Mは、量子計算機３の仕様上、評価可能な範囲で設定される。十分な数の(i,j)を計算対象とすることができない場合、J_ijが比較的小さい値となる(i,j)を除外したE(x)を構成するようにしてもよい。

次に、０－１計画問題作成部２４３は、係数パラメータを用いて０－１計画問題を作成し（ステップＳ５４）、０－１計画問題作成処理を終了する。具体的には、０－１計画問題作成部２４３は、ステップＳ５３で求めた係数パラメータJ_ijおよびh_iを用いて、以下の式（２９）に示す０－１計画問題を作成する。本実施形態において、０－１計画問題はイジングモデルＭＰＳ最小化問題である。

ステップＳ２において、上界値および下界値が終了条件を満たしていると判定された場合（ステップＳ２：Ｙ）、プロセッサ２４は、ステップＳ４にて上界値が更新された場合に計算した上界値に対応する暫定最適解(x~,y~)を混合整数計画問題の最適解として出力し、一連の処理を終了する。

このように、本実施形態の最適化システム１では、汎用計算機２が、ＭＭＯＰにおける２値変数に暫定２値変数解を代入することでＭＭＯＰから線形計画問題を作成し、作成された線形計画問題の双対問題を求解する。そして、本実施形態の最適化システム１では、量子計算機３が、線形計画問題の双対問題の解に基づき定められる制約条件を満たすように、ＭＭＯＰから０－１計画問題に変形された問題を求解する。量子計算機３が求解した０－１計画問題の解は暫定２値変数解として汎用計算機２に渡される。汎用計算機２は、この暫定解をＭＭＯＰに代入することで混合整数計画問題から新たな線形計画問題を作成し、作成された線形計画問題の双対問題を求解し、上界値に対応する暫定最適解を得る。

本実施形態の最適化システム１は、このように汎用計算機２と量子計算機３とが相互に他方の求めた解を用いて問題を繰り返し求解することで、混合整数計画問題を効率よく求解することができる。

図８は、制約条件を説明する図である。

図８に示すグラフ１００において、横軸は離散変数xの定義域を表し、縦軸はxに対応する目的関数f(x,y)の最小値を表す。また、横軸上のハッチング部分は、原問題（本実施形態では式（３））におけるxの実行可能領域を示す。すなわち、ハッチング部分に含まれるxは原問題について実行可能であり、含まれないxは原問題について実行不可能である。

まず、変数x単独の実行可能域であるXで得られた暫定２値変数解をx₀とする。暫定２値変数解x₀は横軸上のハッチング部分に含まれず、原問題の実行可能解ではない。すなわち、暫定２値変数解x₀による双対問題（式（９）、（１０））の解は非有界である。そこで、制約条件設定部２４２は、式（１８）に従ってFeasible Cutである制約条件FC₁を作成し、制約条件の集合Cutに追加する。

制約条件FC₁を含む制約条件の集合Cutに基づいて得られた変数xの暫定２値変数解をx₁とする。暫定２値変数解x₁は横軸上のハッチング部分に含まれており、原問題の実行可能解である。すなわち、暫定２値変数解x₁による双対問題（式（９）、（１０））の最適解u^*は有界である。そこで、制約条件設定部２４２は、連続変数解u^*を式（２０）に代入してOptimal Cutを作成する。具体的には、制約条件設定部２４２は、制約条件OC₁を作成し、制約条件の集合Cutに追加する。制約条件OC₁は、x₁における目的関数に対する接平面に対応する。

制約条件FC₁およびOC₁を含む制約条件の集合Cutに基づいて得られた変数xの暫定２値変数解をx₂とする。暫定２値変数解x₂は横軸上のハッチング部分に含まれず、原問題の実行可能解ではない。そこで、制約条件設定部２４２は、式（１８）に従ってFeasible Cutである制約条件FC₂を作成し、制約条件の集合Cutに追加する。

このような処理を繰り返すことにより、最適化システム１は、２値変数xだけの問題（ＭＰ）において、Feasible Cutである制約条件によりＭＭＯＰの実行可能領域を任意のxに対し徐々に正確に特定できる。また、最適化システム１は、Optimal Cutである制約条件によりＭＭＯＰの目的関数値を任意のxに対し徐々に正確に特定することができる。最適化システム１では、このようにＭＭＯＰを２値変数xの問題に変形することにより、ＭＭＯＰを２値変数xのみからなる０－１計画問題として量子計算機３に求解させることができる。

当業者は、本発明の精神および範囲から外れることなく、種々の変更、置換および修正をこれに加えることが可能であることを理解されたい。

１ 最適化システム
２ 汎用計算機
２４１ 線形計画問題求解部
２４２ 制約条件設定部
２４３ ０－１計画問題作成部
３ 量子計算機

Claims (8)

1. 汎用計算機と量子計算機とが通信可能に接続され、２値変数および連続変数により表される混合整数計画問題の目的関数を最適化する前記２値変数および前記連続変数の組み合わせである最適解を求める最適化システムであって、
   前記汎用計算機は、前記混合整数計画問題における前記２値変数に暫定２値変数解を代入することで前記混合整数計画問題から線形計画問題を作成し、前記線形計画問題を双対問題に変換し、前記双対問題を求解し、前記双対問題の解が有界であり、かつ、前記双対問題の目的関数の値が、前記混合整数計画問題の目的関数に前記最適解を代入して得られる最適値以上であることが分かっている最小の値である上界値よりも小さい場合、前記双対問題の目的関数の値により前記上界値を更新するとともに、前記線形計画問題を求解することで得られた連続変数解と前記暫定２値変数解とを暫定最適解とし、
   前記量子計算機は、前記双対問題の解に基づき設定される制約条件を満たすように前記混合整数計画問題から作成された０－１計画問題を求解し、得られた２値変数解に対応する前記目的関数の値を求め、
   前記汎用計算機は、前記２値変数解を、前記暫定２値変数解として前記混合整数計画問題における前記２値変数に改めて代入して線形計画問題を作成するとともに前記暫定２値変数解に対応する前記目的関数の値により、前記最適値以下であることが分かっている最大の値である下界値を更新し、
   前記汎用計算機および前記量子計算機は、前記下界値と前記上界値とが所定の終了条件を満たすまで前記線形計画問題の双対問題の求解および前記０－１計画問題の求解を繰り返し、
   前記汎用計算機は、前記下界値と前記上界値とが前記終了条件を満たした場合、前記暫定最適解を前記混合整数計画問題の最適解として出力する、
   最適化システム。
2. 量子計算機と通信可能に構成され、２値変数および連続変数により表される混合整数計画問題の目的関数を最適化する前記２値変数および前記連続変数の組み合わせである最適解を求めるための前記量子計算機の演算を支援する最適化支援装置であって、
   前記混合整数計画問題における前記２値変数に暫定２値変数解を代入することで前記混合整数計画問題から線形計画問題を作成し、前記線形計画問題を双対問題に変換し、前記双対問題を求解し、前記双対問題の解が有界であり、かつ、前記双対問題の目的関数の値が、前記混合整数計画問題の目的関数に前記最適解を代入して得られる最適値以上であることが分かっている最小の値である上界値よりも小さい場合、前記双対問題の目的関数の値により前記上界値を更新するとともに、前記線形計画問題を求解することで得られた連続変数解と前記暫定２値変数解とを暫定最適解とする線形計画問題求解部と、
   前記双対問題の解に基づいて、前記混合整数計画問題から生成される０－１計画問題の解の制約条件を設定する制約条件設定部と、
   前記制約条件を満たすように前記混合整数計画問題から０－１計画問題を作成し、前記量子計算機に出力する０－１計画問題作成部と、を備え、
   前記線形計画問題求解部は、前記量子計算機から前記０－１計画問題の２値変数解および前記２値変数解に対応する前記目的関数の値が入力された場合、前記２値変数解を前記暫定２値変数解として前記混合整数計画問題における前記２値変数に改めて代入して線形計画問題を作成するとともに前記暫定２値変数解に対応する前記目的関数の値により、前記最適値以下であることが分かっている最大の値である下界値を更新し、前記下界値と前記上界値とが所定の終了条件を満たした場合、前記暫定最適解を前記混合整数計画問題の最適解として出力する、最適化支援装置。
3. 前記０－１計画問題作成部は、前記暫定２値変数解の複数の近傍解について前記目的関数に基づいて作成された評価関数の値を求め、前記複数の近傍解と対応する前記評価関数の値とに基づく重回帰分析により求められた係数を用いて前記０－１計画問題を作成する、請求項２に記載の最適化支援装置。
4. 前記制約条件設定部は、前記線形計画問題が実行可能であるか否かを判定し、
   実行可能でない場合、前記連続変数を規定する第１制約条件を設定し、
   実行可能である場合、前記評価関数を規定する第２制約条件を設定する、請求項３に記載の最適化支援装置。
5. 前記０－１計画問題作成部は、前記複数の近傍解のうち前記第１制約条件を満足する近傍解に対応する前記評価関数の値を、前記第２制約条件から算出される前記評価関数の最大値とする、請求項４に記載の最適化支援装置。
6. 前記０－１計画問題作成部は、前記複数の近傍解のうち前記第１制約条件を満足しない近傍解に対応する前記評価関数の値を無限大とする、請求項４または５に記載の最適化支援装置。
7. 量子計算機と通信可能に構成された汎用計算機により実行され、２値変数および連続変数により表される混合整数計画問題の目的関数を最適化する前記２値変数および前記連続変数の組み合わせである最適解を求めるための前記量子計算機による演算を支援する最適化支援方法であって、
   前記混合整数計画問題における前記２値変数に暫定２値変数解を代入することで前記混合整数計画問題から線形計画問題を作成し、前記線形計画問題を双対問題に変換し、前記双対問題を求解し、前記双対問題の解が有界であり、かつ、前記双対問題の目的関数の値が、前記混合整数計画問題の目的関数に前記最適解を代入して得られる最適値以上であることが分かっている最小の値である上界値よりも小さい場合、前記双対問題の目的関数の値により前記上界値を更新するとともに、前記線形計画問題を求解することで得られた連続変数解と前記暫定２値変数解とを暫定最適解とし、
   前記双対問題の解に基づいて、前記混合整数計画問題から生成される０－１計画問題の解の制約条件を設定し、
   前記制約条件を満たすように前記混合整数計画問題から０－１計画問題を作成し、前記量子計算機に出力し、
   前記量子計算機から前記０－１計画問題の２値変数解および前記２値変数解に対応する前記目的関数の値が入力された場合、前記２値変数解を前記暫定２値変数解として前記混合整数計画問題における前記２値変数に改めて代入して線形計画問題を作成するとともに前記暫定２値変数解に対応する前記目的関数の値により、前記最適値以下であることが分かっている最大の値である下界値を更新し、前記下界値と前記上界値とが所定の終了条件を満たした場合、前記暫定最適解を前記混合整数計画問題の最適解として出力する、
   ことを含む最適化支援方法。
8. 量子計算機と通信可能に構成された汎用計算機により実行され、２値変数および連続変数により表される混合整数計画問題の目的関数を最適化する前記２値変数および前記連続変数の組み合わせである最適解を求めるための前記量子計算機の演算を支援する最適化支援プログラムであって、
   前記汎用計算機に、
   前記混合整数計画問題における前記２値変数に暫定２値変数解を代入することで前記混合整数計画問題から線形計画問題を作成し、前記線形計画問題を双対問題に変換し、前記双対問題を求解し、前記双対問題の解が有界であり、かつ、前記双対問題の目的関数の値が、前記混合整数計画問題の目的関数に前記最適解を代入して得られる最適値以上であることが分かっている最小の値である上界値よりも小さい場合、前記双対問題の目的関数の値により前記上界値を更新するとともに、前記線形計画問題を求解することで得られた連続変数解と前記暫定２値変数解とを暫定最適解とし、
   前記双対問題の解に基づいて、前記混合整数計画問題から生成される０－１計画問題の解の制約条件を設定し、
   前記制約条件を満たすように前記混合整数計画問題から０－１計画問題を作成し、前記量子計算機に出力し、
   前記量子計算機から前記０－１計画問題の２値変数解および前記２値変数解に対応する前記目的関数の値が入力された場合、前記２値変数解を前記暫定２値変数解として前記混合整数計画問題における前記２値変数に改めて代入して線形計画問題を作成するとともに前記暫定２値変数解に対応する前記目的関数の値により、前記最適値以下であることが分かっている最大の値である下界値を更新し、前記下界値と前記上界値とが所定の終了条件を満たした場合、前記暫定最適解を前記混合整数計画問題の最適解として出力する、
   処理を実行させる最適化支援プログラム。

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