JP7126612B1 - 物理的プロセスのシミュレーションのための空き空間ドメイン・デコンポジション - Google Patents

Abstract

ソースから生成された場を決定するためのコンピュータ・シミュレーションのためのシステム及び方法であって、場が１つ又は複数の構造と相互作用する、システム及び方法。システム及び方法は、ドメインをサブドメインに分割することと、サブドメインのサブセット内の各サブドメインの周りの拡張されたサブドメイン内の残差場について解くことによって、サブセット中の場について反復的に解くこととを含む。サブドメインが構造を備える場合、構造の境界は、拡張されたサブドメインの境界を越えて第２の拡張されたサブドメインまで拡張する。

Description

本開示は、一般に、コンピュータ・シミュレーションの分野に関する。詳細には、本開示は、ドメイン・デコンポジション（ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）に関する。

物理的物体又は物理的場の数学的モデリング又はシミュレーションの分野では、科学及びエンジニアリングにおいて重要な偏微分方程式を解くために使用される数個の基本的方法がある。マクスウェルの方程式、応力ひずみ方程式、熱伝達方程式及び流体流れ微分方程式はすべて、その厳密な解におけるある類似度を時間ドメイン、周波数ドメイン、又は静的事例のいずれかにおいて有し、関心（ｉｎｔｅｒｅｓｔ）の多くの状況については、見つけられないことがある。一般に行うことは、関心の連続する場又は他の物理量を、比較的一様な離間したポイントのセットに変換し（有限差分法）、或いはより一般的な三角形又は４面体形状に変換し（有限要素法）、それにより、関心の偏微分方程式を離散（通常、線形）方程式のセットに変換することである。これらの線形方程式は、次いで、コンピュータを使用して解かれるか又は反復され、それにより、関心のドメイン及び構造のセットについて、元の偏微分方程式についての近似解が与えられ得る。

有限差分手法と有限要素手法の両方が、通常、極めて大きい数の変数をもつ行列方程式の生成を伴う。変数の数は、数千万を超過するか又はさらにはそれ以上になることがある。各変数は、一般に、モデル又はシミュレーション中のポイントにおける力、電磁場、電圧、又は他の物理的属性に対応する。さらに、一般に、境界条件が、物理的モデル又はシミュレーション・ドメインのエッジに現れるポイントに、場合によっては、他の制約の場合に他の場所にも、課される。これらの行列方程式は、次いで、いくつかの方法のいずれか１つによって解かれ、いくつかの場合には、行列方程式は直接解かれ、又はいくつかの場合には、反復手法が使用され得る。プリコンディショナーも使用され得、プリコンディショナーは、反復行列ソルバーについての変換の速度を上げるために使用される数学的技法である。すべての場合において、より大きい行列方程式を解くことは、より多数の変数の場合、ますます困難になり、基本的に、使用され得るドメイン・サイズと、算出が進み得る速度とを制限する。さらに、通常、解ベクトルの複数のコピーが記憶される必要があり、それも、より多数の変数、したがって、有限差分値又は有限要素値を使用することをより難しくする。

物理的物体又は物理的場の数学的モデリング又はシミュレーションの分野では、線形行列方程式の解を必要としない数個の方法がある。１つの実例は、有限差分時間ドメイン（ＦＤＴＤ：ｆｉｎｉｔｅ－ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｔｉｍｅ ｄｏｍａｉｎ）法である。この方法は、行列解が小さい時間増分だけ解ベクトルを進めることを必要としないという特性を有する、ほんの少数の方法のうちの１つである。実際は、解ベクトルの単一のコピーのみがなお、メモリに記憶される必要がある。しかしながら、ＦＤＴＤ法は、通常、時間ドメイン解よりも有用である、定常状態解（ｓｔｅａｄｙ－ｓｔａｔｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ）を直接与えない。通常、ＦＤＴＤ解の時間ドメイン・フーリエ・フィルタ処理を実施することによって、許容できる精度の近似定常状態解を復元することができる。この手法、フーリエ・フィルタ処理と組み合わせられたＦＤＴＤは、光学レジームの大部分において使用される設計手法についての現況技術である。定常状態解の欠如にもかかわらず、ＦＤＴＤは、ＦＤＴＤが行列方程式の解を必要とせず、それにより、シミュレーションにおいて使用され得るポイントの数を非常に増加させるので、有限要素よりも選好される。光学レジームにおいて、関心の多くのシミュレーションが、所与の領域中の放射の分散関係の正確なモデリングを必要とする。必要とされる精度は、十分な数のポイントを使用することによってのみ得られ得、したがって、光学レジームにおけるＦＤＴＤの選好がある。いくつかの無線周波数（ＲＦ：ｒａｄｉｏｆｒｅｑｕｅｎｃｙ）レジーム問題の場合、同様の考慮事項により、ＦＤＴＤが選好されることになるが、関与する波長が通常、構造サイズと比較してはるかに長いので、より高い頻度で有限要素が使用される。

定常状態解を有する場合、システムにおける非線形性が、時々、定常状態解の連続を使用することによって扱われることがあることは注目に値し、ここでは、基礎をなす偏微分方程式の非線形部分が、線形「刺激（ｓｔｉｍｕｌｕｓ）」項として使用され得る。自己矛盾がなくなるまで解を繰り返すことは、次いで、解くことが困難なことで有名な非線形偏微分方程式にさえ任意の精度の解を与えることができる。ＦＤＴＤの特有の弱点は、多くの場合、それが実際には非線形問題にまったく対処することができないことである。ＦＤＴＤの非線形フォーミュレーションは存在するが、一般に、数値誤差及び不十分なダイナミック・レンジが、しばしば、ＦＤＴＤが非線形問題にうまく適用されることを妨げる。

光学レジームにおける定常状態問題を解くことの基本的限界、詳細には、解ベクトルのサイズを必要とされるサイズにスケーリングすることができないことに対処するために、様々なドメイン・デコンポジション手法が長年にわたって提案された。これらの方法について説明するためにいくつかの用語が使用される。１つの広く使用されている用語は、反復多領域（ＩＭＲ：Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｍｕｌｔｉｒｅｇｉｏｎ）技法又は反復多領域法である。

ＩＭＲ技法について説明する出版物は、Ａｌ Ｓｈａｒｋａｗｙら（Ｐｌａｎｅ Ｗａｖｅ Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ Ｆｒｏｍ Ｔｈｒｅｅ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｏｂｊｅｃｔｓ Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｍｕｌｔｉｒｅｇｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ＦＤＦＤ Ｍｅｔｈｏｄ、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｎｔｅｎｎａｓ ａｎｄ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ、Ｖｏｌ．５４、Ｎｏ．２、２００６年２月、６６６～６７２頁）を含む。Ａｌ Ｓｈａｒｋａｗｙらは、大きい３次元電磁散乱体からの散乱（ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ）の問題を解くために、提示される有限差分周波数ドメイン法を使用する反復手法を開示している。反復多領域技法は、１つの算出ドメインをより小さいサブ領域に分割し、各サブ領域を別々に解くために導入される。次いで、サブ領域解は、完全なドメインについての解を得るために反復的に組み合わせられる。その結果、算出時間及びメモリにおけるかなりの低減が達成されている。

ＩＭＲ技法について説明する別の出版物は、Ｆａｔｉｈ Ｋａｂｕｒｃｕｋら（ＩＭＲ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ａｎｔｅｎｎａ ａｎｄ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｕｓｉｎｇ ｈｙｂｒｉｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ＭｏＭ ａｎｄ ＦＤＴＤ ｍｅｔｈｏｄ、２０１４ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓ ｉｎ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ（ＩＣＥＡＡ）、ＩＥＥＥ Ｘｐｌｏｒｅにおいてオンラインで出版：２０１４年９月２２日、ＤＯＩ：１０．１１０９／ＩＣＥＡＡ．２０１４．６９０３８６６）によるものである。Ｋａｂｕｒｃｕｋらは、モーメント法（ＭｏＭ：ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔｓ）及び有限差分時間ドメイン法（ＦＤＴＤ）の統合を反復多領域（ＩＭＲ）技法に組み合わせている。この手法は、大規模アンテナ及び散乱問題を解くために、ＭｏＭ及びＦＤＴＤの有利な特徴を活用する。元の問題ドメインは、接続されていないサブ領域に分割され、適切な方法が各サブ領域中で使用される。

概して、ＩＭＲ技法は、問題ドメインをいくつかのサブドメインに分割する。各サブドメインは、外向き波吸収境界条件（ＡＢＣ：ａｂｓｏｒｂｉｎｇ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）を用いて解かれ、ＡＢＣは、いくつかの場合には完全一致層（ＰＭＬ：ｐｅｒｆｅｃｔｌｙ ｍａｔｃｈｅｄ ｌａｙｅｒ）である。得られた場は、次いで、ソース電流に変換され、ソース電流は、場を近隣のサブドメインに再出射するために使用され得る。このプロセスは、次いで、各サブドメインに対して順に繰り返され得る。最終的に、真のグローバル解が収束することになる。時間ドメイン変形態も、Ｋａｂｕｒｃｕｋらによって示されている。

これらのドメイン・デコンポジション法にもかかわらず、ＩＭＲなどのドメイン・デコンポジション技法に依拠する、光学レジームにおけるマクスウェルの方程式を解く汎用シミュレーション・ツールがない。通常、技術者は、光学レジームにおいてＦＤＴＤのみを使用し、しばしば、ＲＦレジームにおいてＦＤＴＤ又は有限要素を使用する。少なくともドメイン・デコンポジション法が一般的に実装されるとき、これらのドメイン・デコンポジション法に関して基本的弱点がある。

周波数ドメインのドメイン・デコンポジション法の場合、各反復が、境界条件領域からの不可避的誤差の累積を伴う。最終的な定常状態解が得られる場合でも、補正され得ない又は補正されるものとして識別さえされ得ない境界条件領域からの累積誤差は、得られた解を、しばしば使用可能でないポイントまでしばしば損なう。ＩＭＲ法などの技法は、これらの技法が、境界条件を用いて適切に扱うことができないことにより、普及していない。実装方法に応じて、線形システム全体を一度に解くことから得られるであろう理想的な解と比較して、最終的な解に投入されるさらなるタイプの誤差があり得る。さらに、ＩＭＲなどの方法は、誤差のこの内因性ソースを処理するための機構を欠く。別の考慮事項は、ドメイン・デコンポジションが、単独で、問題に対する解の速度を自動的に上げないことである。たとえば、Ａｌ Ｓｈａｒｋａｗｙらは、非ドメイン・デコンポジション法と比較して、解く時間におけるわずか２倍の速度向上を報告しており、これは、ＩＭＲを実装することの困難と、次いでシミュレーションに導入される追加される内因性の、補正不可能な（及びしばしば検出不可能な）誤差とを考慮すると、あまり魅力的でない。

時間ドメインのドメイン・デコンポジション手法も、この限界を有し、ドメイン・スティッチングにおける追加の誤差という欠点がさらにある。主要な問題は、周波数ドメイン法とは対照的に、少なくとも境界条件を含まず、解が正しいことを検証するために適用され得る単一の自己矛盾のない行列方程式がないことである。

低減された精度のドメイン・デコンポジション法として説明され得る、いくつかのシミュレーション手法がある。たとえば、高速多重極法（ＦＭＭ：ｆａｓｔ ｍｕｌｔｉｐｏｌｅ ｍｅｔｈｏｄ）は、いくつかの場合には、複雑な電磁問題を、サブドメインのセットについて解くことに低減するために使用され、サブドメインの各々は、他のドメインの観点からより単純な機能的形式（たとえば、モノポール又はダイポール）に近づくことができる。ドメイン間の「リンケージ」のこの低減は、問題を簡略化することができる。この方法の変形態が、たとえば、アンテナ設計においてしばしば使用される。しかしながら、これらの方法は、最終的に、ＦＤＴＤ又は有限要素法が与えるであろう厳密な離散解をマクスウェルの方程式に与えず、したがって、多くの場合、有用性が低減される。

Ｇｉｂｓｏｎ，Ｗ．Ｃ．（Ｔｈｅ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｍｏｍｅｎｔｓ ｉｎ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓ，２^ｎｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ、ＣＲＣ Ｐｒｅｓｓ、２０１４（２０１５）年７月１０日出版、ＩＳＢＮ９７８１４８２２３５７９１）は、ＦＭＭについて説明し、モーメント法（ＭＯＭ）を介する電磁積分方程式の解を開示する。本開示は、導電性及び誘電体領域に関する問題を扱うために使用され得る表面積分方程式の一般化されたセットを導出する。本開示は、さらに、細いワイヤ、回転体、並びに２次元及び３次元体に関与する、漸進的により困難な問題についてのこれらの積分方程式を解く。

米国特許第１０，０８９，４２４号（Ｔａｒｍａｎら）は、そのバランスで貯留層モデル（ｒｅｓｅｒｖｏｉｒ ｍｏｄｅｌ）におけるアクティブ・セルのバランスがとれている、並列貯留層シミュレーション中の２Ｄドメイン・デコンポジションのためのシステム及び方法を開示している。この方法は、貯留層モデルにおける所定の数のデコンポジション・ドメインのための各組合せを計算するステップと、組合せのうちの１つについて、Ｘ方向のデコンポジション・ドメインの数とＹ方向のデコンポジション・ドメインの数とを識別するステップと、上記数のＸ方向のデコンポジション・ドメインと上記数のＹ方向のデコンポジション・ドメインとについて、所定の順序で１つ又は複数のデコンポジション境界を計算するステップと、所定の数のデコンポジション・ドメインの各々についてのアクティブ・セルの理想的な数とアクティブ・セルの実際の数とに基づいてオフセット・サイズを計算するステップと、上記数のＸ方向のデコンポジション・ドメインと上記数のＹ方向のデコンポジション・ドメインとについて、別の所定の順序で１つ又は複数のデコンポジション境界を計算するステップと、所定の数のデコンポジション・ドメインの各々についてのアクティブ・セルの理想的な数とアクティブ・セルの別の実際の数とに基づいて、別のオフセット・サイズを計算するステップと、第１のステップにおいて計算された各組合せについて、ステップ２～６を繰り返すステップと、オフセット・サイズ及び別のオフセット・サイズのうちの最も小さいサイズを伴う、組合せのうちの１つを選択するステップとを含む。

ＷＯ２０１７６２５３１Ａ２（Ｂｒａｔｖｅｄｔ Ｋら）は、貯留層シミュレーションを実施するためのシステム、コンピュータ可読媒体、及び方法を開示している。貯留層データ及びシミュレーション・パラメータが得られ、その後にシミュレーション・パラメータに基づく偏微分方程式の決定が続く。適応された偏微分方程式を与えるために、偏微分方程式から高いコントラストをもつ長いコヒーレント構造（たとえば、裂け、断層、高透水性及び低透水性チャネル、又は頁岩層）の影響を除去することによって、貯留層データ及び偏微分方程式に基づいて、貯留層シミュレーションの時間ステップが実施される。その後、適応された偏微分方程式に対して、代数マルチスケール法が、近似された解を生成するために実施される。

米国公開第２０１０／００８２７２４Ａ１号（Ｄｉｙａｎｋｏｖら）は、反復的に一次連立方程式を解くために並列算出を使用して処理される、プリコンディショナーを使用する並列算出反復ソルバーを開示している。そのような方程式の実例は、石油又はガス貯留層の３Ｄモデリングを含む。元の行列は、区分され、縁付きブロック対角形式（ｂｌｏｃｋ ｂｏｒｄｅｒｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌ ｆｏｒｍ）に変換される。さらに、一次連立方程式の並列反復解において使用するためのプリコンディショナーを導出するための手法が、与えられる。特に、並列算出反復ソルバーが、並列処理を介して一次連立方程式を解く際に使用するためにそのようなプリコンディショナーを導出及び／又は適用する。

ドメイン・デコンポジションを使用する現在の手法は、境界誤差問題を適切に扱わない。さらに、そのような手法は、実質的な速度向上を与えない。したがって、ドメイン・デコンポジション法は、電気力学の分野（マクスウェルの方程式）、熱伝達方程式、流体流れ、及び応力ひずみ方程式を含む、科学及びエンジニアリングの基本的偏微分方程式に対する実際の厳密な離散解を得るために、めったに使用されない。そのような解は、莫大な実際的価値がある。

米国特許第１０，０８９，４２４号 ＷＯ２０１７６２５３１Ａ２ 米国公開第２０１０／００８２７２４Ａ１号

Ａｌ Ｓｈａｒｋａｗｙら（Ｐｌａｎｅ Ｗａｖｅ Ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ Ｆｒｏｍ Ｔｈｒｅｅ Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｏｂｊｅｃｔｓ Ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｍｕｌｔｉｒｅｇｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ＦＤＦＤ Ｍｅｔｈｏｄ、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ａｎｔｅｎｎａｓ ａｎｄ Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ、Ｖｏｌ．５４、Ｎｏ．２、２００６年２月、６６６～６７２頁） Ｆａｔｉｈ Ｋａｂｕｒｃｕｋら（ＩＭＲ ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ａｎｔｅｎｎａ ａｎｄ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｕｓｉｎｇ ｈｙｂｒｉｄ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ＭｏＭ ａｎｄ ＦＤＴＤ ｍｅｔｈｏｄ、２０１４ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓ ｉｎ Ａｄｖａｎｃｅｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ（ＩＣＥＡＡ）、ＩＥＥＥ Ｘｐｌｏｒｅにおいてオンラインで出版：２０１４年９月２２日、ＤＯＩ：１０．１１０９／ＩＣＥＡＡ．２０１４．６９０３８６６） Ｇｉｂｓｏｎ，Ｗ．Ｃ．（Ｔｈｅ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ Ｍｏｍｅｎｔｓ ｉｎ Ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓ，２ｎｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ、ＣＲＣ Ｐｒｅｓｓ、２０１４（２０１５）年７月１０日出版、ＩＳＢＮ９７８１４８２２３５７９１）

一態様では、ソースから生成された場を決定するためのコンピュータ実装方法が開示され、場は１つ又は複数の構造と相互作用し、本方法は、ソースと１つ又は複数の構造とを含んでいるドメインを備えるシミュレーション空間を与えるステップと、コンピュータによって、場に作用する演算子に少なくとも部分的に基づいてドメイン内の場をシミュレートするステップとを含み、シミュレートするステップが、ドメインを複数のサブドメインに分割するステップと、場の第１の反復を指定するステップと、ドメイン全体にわたって場の第１の反復に作用する演算子に基づいてグローバル残差ソースを決定するステップと、各反復においてサブドメインのサブセット中の残差場挙動について解くことによって、場について反復的に解くステップとをさらに含み、サブセットのサブドメイン中の残差場挙動について解くことは、演算子が、サブドメインの周りの拡張されたサブドメイン内のローカル残差場に作用することと、サブドメインが構造を備える場合、拡張されたサブドメインの境界に位置する構造の境界を、拡張されたサブドメインの境界を越えて第２の拡張されたサブドメインまで拡張することとを含む。

別の態様では、ソースから生成された場を決定するためのコンピュータ・プログラム命令で符号化された非一時的コンピュータ記憶媒体が提供され、場は１つ又は複数の構造と相互作用し、コンピュータ・プログラム命令は、１つ又は複数のコンピュータによって実行されたとき、１つ又は複数のコンピュータに、ソースと１つ又は複数の構造とを含んでいるドメインを備えるシミュレーション空間を与えることと、場に作用する演算子に少なくとも部分的に基づいてドメイン内の場をシミュレートすることと、ドメインを複数のサブドメインに分割することと、場の第１の反復を指定することと、ドメイン全体にわたって場の第１の反復に作用する演算子に基づいて残差ソースを決定することと、サブドメインのサブセット中の残差場挙動について解くことによって、場について反復的に解くこととを行わせ、サブセットのサブドメイン中の残差場挙動について解くことは、演算子が、サブドメインの周りの拡張されたサブドメイン内の残差場に作用することと、サブドメインが構造を備える場合、拡張されたサブドメインの境界に位置する構造の境界を、拡張されたサブドメインの境界を越えて第２の拡張されたサブドメインまで拡張することとを含む。

また別の態様では、ソースから生成された場をシミュレートするためのコンピュータ・システムが提供され、場は１つ又は複数の構造と相互作用し、本システムは、ソースと１つ又は複数の構造とを含んでいるドメインを備えるシミュレーション空間を与えることと、場に作用する演算子に少なくとも部分的に基づいてドメイン内の場をシミュレートすることと、ドメインを複数のサブドメインに分割することと、場の第１の反復を指定することと、ドメイン全体にわたって場の第１の反復に作用する演算子に基づいて残差ソースを決定することと、サブドメインのサブセット中の残差場挙動について解くことによって、場について反復的に解くこととを行うように構成され、サブセットのサブドメイン中の残差場挙動について解くことは、演算子が、サブドメインの周りの拡張されたサブドメイン内の残差場に作用することと、サブドメインが構造を備える場合、拡張されたサブドメインの境界に位置する構造の境界を、拡張されたサブドメインの境界を越えて第２の拡張されたサブドメインまで拡張することとを含む。

いくつかの実施例では、演算子は、損失を含むように変更され得、シミュレーションは、変更された演算子が変更された残差場に作用する１つ又は複数の収束サイクルをさらに含み得る。

さらに、シミュレーションは、サブドメインが一様な空間で埋められるとき、ローカル残差場について解くためにグリーン関数法を使用することと、サブドメインが１次元非対称性（ａｓｙｍｍｅｔｒｙ）を有するとき、ローカル残差場について解くためにスラブ反復法を使用することと、サブドメインが、一様な空間で埋められず、１次元非対称性をも有しないとき、ローカル残差場について解くために、吸収境界条件をもつ定常状態法又は時間停止法のいずれかを使用することとをさらに含み得る。いくつかの実施例では、シミュレーションは、サブドメインがボーダー・サブドメインであるとき、時間停止法を適用することと、サブドメインが内部サブドメインであるとき、吸収境界条件をもつ定常状態法を適用することとをさらに含み得る。

いくつかの実施例では、場は、電磁場、流体流れ場、熱伝導場、拡散場又は静電場であり得る。いくつかの実施例では、場は、変更された形式のマクスウェルの方程式

を満たす電磁場であり、１つ又は複数の構造は、少なくとも１つの導波路又は少なくとも１つの伝送線路を含むことができる。ここで、

及び

は、シミュレーションのための場のソースを与えるように働くソース電流を示す。これらは、たとえば、１つの界面上の入射導波路モードを生成するために使用され得る。

いくつかの実施例では、シミュレーションは、ａ）場の現在の反復に対する演算子の動作に基づいて新しいソースを決定するステップと、ｂ）新しいソースとソースとの間の差に基づいてグローバル残差ソースを決定するステップと、ｃ）グローバル残差ソースの大きさが第１の事前設定されたしきい値よりも小さい場合、シミュレーションを終了し、場を場の現在の反復に等しく設定するステップと、ｄ）グローバル残差ソースの大きさが第１の事前設定されたしきい値よりも大きい場合、サブドメインのサブセットを決定するために複数のサブドメインを走査するステップであって、サブセット内の各サブドメインが、第２の事前設定されたしきい値よりも大きいローカル残差ソース大きさを有する、走査するステップと、ｅ）サブドメインの周りの拡張されたサブドメインを構築するステップと、ｆ）拡張されたサブドメイン内のローカル残差場について解くステップと、ｇ）場の新しい推定値を与えるために、サブセットからのローカル残差場のすべてを加算するステップと、ｈ）場の現在の反復を場の新しい推定値に等しく設定するステップと、ｉ）残差ソースの大きさが、第１の事前設定されたしきい値よりも小さくなるまで、ステップ（ａ）～（ｈ）を繰り返すステップとをさらに含むことができる。

本方法の追加の態様、利点、及び実施例は、実施例の以下の説明、図面及び特許請求の範囲から当業者に明らかになろう。

実施例は、添付の図面を参照しながら以下で説明され、図面において、同様の要素が同様の参照番号で参照される。

任意の特定の要素又は行為の説明を容易に識別するために、参照番号における最上位の１つ又は複数の桁は、その要素が最初に導入された図の番号を指す。

一実施例による、解かれる関心の問題を示す図である。 一実施例によるフローチャートである。 一実施例による、表３００を示す図である。 一実施例における空き空間ドメイン・デコンポジション（ＶＳＤＤ：ｖｏｉｄ－ｓｐａｃｅ ｄｏｍａｉｎ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）法の第１のフェーズを示す図である。 一実施例による、同等ＶＳＤＤ問題を示す図である。 一実施例による、サブドメイン残差場について解くためのフローチャートである。 一実施例による、時間停止法を示す図である。 一実施例による、グリーン関数法を示す図である。 一実施例による、スラブ反復法を示す図である。 別の実施例による、スラブ反復法を示す図である。 一実施例による、アダプティブ・メッシングを示す図である。 一実施例による、サブドメイン合併（ａｍａｌｇａｍａｔｉｏｎ）を示す図である。 一実施例による、複数の解法の使用を示す図である。 コンピュータ上にＶＳＤＤ法を実装するためのシステムの実施例のブロック図である。 ２つの導波路の存在下の電磁場のシミュレーションを示す図である。 ランタイムの２０分後の図１５に示されている構成のシミュレーションを示す図である。

主題が説明され、ただし、説明自体は、方法の範囲を限定するものではない。したがって、主題は、他の技術とともに、本明細書で説明されるものとは異なるステップ、又は本明細書で説明されるものと同様のステップの組合せを含めるために、他のやり方でも具現され得る。その上、「ステップ」という用語は、採用される方法の異なる要素を説明するために本明細書で使用され得るが、この用語は、説明によって特定の順序に明示的に限定される場合を除いて、本明細書で開示される様々なステップ間の特定の順序を暗示するものとして解釈されるべきでない。

空き空間ドメイン・デコンポジション（以下「ＶＳＤＤ」と呼ばれる）法は、科学又はエンジニアリングにおけるモデル問題又はシミュレーションについての解を見つける目的で、（２次元又は３次元における）関心のドメインを分割する。

ＶＳＤＤ法は、物理的プロセスを説明するいくつかの異なる方程式に、関与する変数及び方程式が異なる形式を有するとしても、適用され得る。たとえば、光レジーム又はＲＦレジームのいずれかの、（電気力学における）マクスウェルの方程式の解は、２つのカール演算（ｃｕｒｌ ｏｐｅｒａｔｉｏｎ）を含む演算子とともに、６つの変数、すなわち、電場の３つの成分（Ｅ_ｘ，Ｅ_ｙ，Ｅ_ｚ）及び磁場の３つの成分（Ｈ_ｘ，Ｈ_ｙ，Ｈ_ｚ）の方程式の解を必要とする。しかしながら、静電学の方程式の解は、ラプラシアンの適用とともに、単一のスカラー・ポテンシャルの解を必要とする。異方性システムなど、いくつかの材料システムでは、これらの方程式は、わずかに異なる形式をとり得る。しかしながら、ＶＳＤＤ法は、関心の物理的プロセスを説明する方程式の特定の形式に依存せず、ＶＳＤＤ法は、全体としてのシステムについての解が、本明細書で説明される様式で各サブドメインについての「空き空間同等問題」の解を通して反復することによって得られ得るという原理に依拠する。

定常状態解又は静的解は、ＶＳＤＤ法を一連のサブドメインに反復的に適用することによって得られ得る。従来技術とは対照的に、モデル又はシミュレーションにおいて得られる解に対するはるかに少ない回復不能な誤差に寄与することができる様式で、グローバル・ドメインのボーダーに位置するサブドメインにおける解を得るためのいくつかの技法が、本明細書で説明される。したがって、ＶＳＤＤ法において使用される反復プロシージャの収束のとき、最終解は、従来のドメイン・デコンポジション手法よりもはるかに正確である。また、ＶＳＤＤ法によって得られた解は、多くの状況におけるより大きい適用可能性を有する。その上、本明細書で説明されるいくつかの技法は、シミュレーション・プロセスの速度を著しく上げる。

全体として、ＶＳＤＤ法は、物理的プロセスを説明するために科学及びエンジニアリングにおいて使用される多くの厳密な離散解を得るための実際的方法を与える。さらに、ＶＳＤＤ法は、分散算出にとって好都合な様式でスケーリングされ得る。ＶＳＤＤ法は、同等大規模線形システムを解くこと、又はＦＤＴＤなどの明示的反復法までも実施することと比較して、優れた様式でスケーリングする。したがって、ＶＳＤＤ法は、科学及びエンジニアリング・モデルの方程式に対する厳密な離散解を得るための有利な手法を与える。

ＶＳＤＤ法は、有限要素手法又は有限差分手法のいずれかとともに使用され得る。ＶＳＤＤ法は、構造化されたメッシュがある場合、有限差分、又は有限要素のいずれにとっても最も有用である。本明細書でＶＳＤＤ法について説明されるいくつかの解技法が、一様な間隔で生じるメッシュ・ポイントとともに動作することに留意されたい。すなわち、一般化された有限要素メッシュは、それが一様なポイント離間（ｓｐａｃｉｎｇ）を有するように構築されなければ、そのような特定の場合に使用され得ない。

有限要素が使用されている場合でも、ポイントが、各次元において一様な離間をもつ格子（ｌａｔｔｉｃｅ）を形成する限り、常にグリーン関数法又はスラブ反復法などの手法を使用することができ、グリーン関数法とスラブ反復法の両方が以下で説明される。格子は、離散並進対称性を有する。

要約すれば、ボーダー・サブドメインへのＶＳＤＤ法の適用は、回復不能な誤差を最小限に抑える。内部サブドメインは、ＶＳＤＤ法が、回復不能な誤差を回避することを必要としないが、内部サブドメインは依然として、ＶＳＤＤ法が、全体としての反復について収束することを必要とし得る。したがって、ＶＳＤＤ同等問題を解くことは、少なくとも２つの利点、すなわち、グローバル・ドメインの境界上の誤差を最小限に抑えることと、全体としての問題についての収束を可能にし、又は収束の速度を上げることとを与える。

様々な物理的現象を説明する偏微分方程式が、以下の一般的な形式を有する。

ここで、

は、偏微分演算子であり、χは場であり、βはソースである。一実例として、電気力学の場では、電（Ｅ）場及び磁（Ｈ）場を説明するマクスウェルの方程式の変更された形式は、以下のように書かれる。

この実例では、以下の通りである。

ここで、

は、電場ベクトルの３つの成分を含み、

は、磁場ベクトルの３つの成分を含み、

は、ソース電流の３つの成分を含み、

は、ソース磁気電流の３つの成分を含む。エンティティ

（磁気「電流」）及びσ_ｈ（磁気「伝導率」）は、変更されたマクスウェルの方程式の一部として当技術分野で頻繁に使用されるが、いずれも物理的エンティティでないと理解されることに留意されたい。ソース電流は、単位において実際の物理電流（たとえば、

の場合のσ

）に類似する項を指すが、それは、上述のように、関心の問題についての場のセットを生成するために選択された。たとえば、導波路界面において特定の入力モードを出射するであろう、β値を選択することができる。

場χ及びソースβは各々、式２においてベクトルであるが、各々が他の物理方程式においてスカラーであり得る。たとえば、定常状態熱伝導では、場χは温度（スカラー）であり、ソースβは熱ソース（同じくスカラー）である。

シミュレーションが、式１について解くために実施されるとき、演算子

、場χ、及びソースβは離散化され、したがって、式１は以下の形式をとる。

ここで、

図１では、１００は、解が求められる関心の問題を表す。ソース１０２は刺激を与える。たとえば、電気力学では、ソース１０２はソース電流である。ソース場１０４は、たとえば、外乱の結果としての場、弾性変位、又は他の現象の伝搬を示す。図１では、３つの構造、すなわち、構造１０６と、構造１０８と、構造１１０とが示されている。

一般的な式１は、式３に示されているように離散化された形式に変換される。求められるものは、式３に対する解であり、様々な構造が境界条件を表す。

図２は、一実施例による、図１に示されている問題に対する解を得るために使用されるフローチャート２００を示す。

ステップ２０２において、演算子Ａ及びソースＢが、シミュレーション・プログラムにロードされる。問題ドメインが、一連のサブドメインに分割される。

ステップ２０４において、

についての初期推測が入力され、それが新しいソースＢ_１になる。

一実例として、初期推測は、

であり得る。この段階において、シミュレーション・ドメイン全体のまさに境界におけるグリッド・ポイントの最外層が、

についてゼロ化され得る。さらに、演算子

の離散化された線形バージョンが、定義される。

残差ソース、

は、新しいソース

と元のソース

との間の差として定義され得る。

ステップ２０６において、残差ソースのノルム（又は大きさ）、Ｎ_１が、算出され、グローバルしきい値と比較される。

答えがはいである場合、

の現在の推測（又は反復）が収束し、十分に正確な解が見つけられ、ステップ２０８において算出は停止する。解は、記録され、表示され、又は後で使用するために別のプロセスに与えられ得、反復プロセスは終了する。

ステップ２０６において答えが「いいえ」である場合、ステップ２１０において、サブドメインのうちのいずれが、サブドメインしきい値よりも大きいローカル残差ソースの大きさ、Ｎ_１を有するかを識別するために、各サブドメインが走査される。次いで、これらの識別されたサブドメインについて解かれる。

ステップ２１０において識別された各サブドメインについて、ステップ２１２において、残差場

について解くためにＶＳＤＤ法が使用され、それは、ローカル残差ソース

を生じる。

ステップ２１４において、

の次の反復が、（ステップ２１２において得られた）残差場のすべてを

の現在の反復に加算することによって得られる。以下で詳細に説明されるように、残差場

は、問題ドメイン全体にわたって拡張するが、わずかにサブドメインを越えて拡張する

の部分のみが、

の反復を更新するために使用される。

たとえば、ステップ２１０において、合計「ｍ」個のサブドメインが識別された場合、解の次の反復

は、以下の通りである。

上の上付き文字（ｉ）は、ドメイン「ｉ」における残差場を示し、

の下付き文字「１」は、反復回数を示す。次いで、ステップ２０４において、新しい反復、

が再び入力され、新しい残差ソースが算出される。

ステップ２０６において、残差ソースのノルムが算出され、グローバルしきい値と比較される。

この条件が満たされた場合、ステップ２０８において、算出は終了し、反復解

がしきい値内にあり、この条件が満たされない場合、ステップ２１０において、サブドメインしきい値を超えるローカル残差ソースを有するサブドメインを識別するために、サブドメインのすべてがもう一度走査され、ステップ２１２～ステップ２１４が繰り返され、

についての新しい反復が得られ、ステップ２０４において入力される。このループは、残差ソースの反復のノルムがグローバルしきい値よりも小さくなるまで繰り返され、ステップ２０８において、算出が終了する。

グローバル収束に達する前に実施されるサブドメインごとの反復の回数は、任意の数であり得る。いくつかの実施例では、反復の回数は、２から２００まで、又は５から１５０まで、又は１０から１０１までであり得る。いくつかの実施例では、解くプロセス全体にわたってそのようなサブドメイン中に最小の非ゼロ残差ソースがある場合、いくつかのサブドメインについてはるかに少ない反復が必要とされるか、さらには反復が必要とされないことがある。ただし、サブドメインごとの反復の回数は、いくつかの高Ｑ共振の場合、増加し得、いくつかの実施例では、反復の回数は減少し得る。他の手法では、ＦＤＴＤなどの方法は、非常に増加された算出時間を必要とし、問題全体を解くことを試みる反復行列法は、サブドメイン・デコンポジションなしの場合、同様に、増加された算出時間を必要とすることに留意されたい。

フローチャート２００の多くの変形形態が可能である。たとえば、異なる実施例では、サブドメインしきい値は、シミュレーションが進行するにつれて変化し得る。各サブドメインに対するサブドメイン解（ｓｕｂｄｏｍａｉｎ ｓｏｌｖｅ）プロセスを、独立して進むようにすることも可能であり、それにより、ベクトル

は継続的に走査され、新しい残差ソース

が計算され、その値が事前設定されたしきい値を上回るときはいつでも、（１つ又は複数の）対応する１サブドメインが解かれる。事前設定されたしきい値は、許容可能に小さい誤差値であると見なされる誤差の値として理解され得る。算出が所定のしきい値よりも小さい誤差を与えると、反復解ベクトル

は許容可能と見なされ、算出は終結される。

使用され得る別の技法は、離散化された演算子Ａに小さい損失項を人工的に追加し、変更された演算子Ａ_Ｍを生じることである。一実例として、電気力学の場合、この損失は、シミュレーションにおいて材料にわずかな人工的な伝導率を追加することになり、電磁放射の吸収を生じることになり得る。変更された演算子Ａ_Ｍを使用することによって、解は、より迅速に収束することができるが、わずかな不正確さが導入され得る（とはいえ、それはしばしば関心の最終解値における小さい割合の変化である）。次いで、この反復を繰り返し、損失項に対する補正を周期的に追加することによって、この追加された損失項により固有の誤差のない厳密な解への収束が、達成され得る。

図３中の表３００は、解に達するために、いくつかの収束サイクル（括弧［Ｎ］は、「第Ｎの」収束サイクルを表す）にわたって、変更された演算子Ａ_Ｍを使用する実例を与える。これは、元の離散化された演算子Ａを使用することとは対照的であり、ここでは、１つの収束サイクルのみが実施される。（「演算子Ａを使用する」と標示された）列に示されているように、離散化された演算子Ａは、１つのサイクルの過程にわたって使用され、その間に、「ｎ」回の反復の後に収束が起こり、解Ｘ_ｎが得られる。

たとえば、収束サイクルにかかわらず、元の離散化された演算子Ａは、残差ソースδＢ_１［Ｎ］を見つけるために第１の反復中に使用されるにすぎない。
δＢ_１［Ｎ］＝Ｂ－Ａ^＊Ｘ_１［Ｎ］ 式１１

第１の反復中に、残差場Ｙ_ｉ［Ｎ］は、変更された演算子Ａ_Ｍの適用に対する解である。たとえば、第１の収束サイクル中に、以下の通りである。
Ａ_Ｍ ^＊Ｙ_１［１］＝δＢ_１［１］ 式１２

第２の反復では、次の推測Ｘ_２［１］は、残差場の和であり、初期推測Ｘ_１［１］を含まない。
Ｘ_２［１］＝Ｙ_１ ^（１）［１］＋Ｙ_１ ^（２）［１］＋．．． 式１３

しかしながら、第３の反復において、前の解が使用される。
Ｘ_３［１］＝Ｘ_２［１］＋Ｙ_２ ^（１）［１］＋Ｙ_２ ^（２）［１］＋．．． 式１４

反復は、残差ソース・ノルムが事前設定されたしきい値「Ｔ」よりも小さくなるまで継続される。しかしながら、プロセスはここで終了しない。第２の収束サイクルが始動され、ここで、初期推測は、第１の収束サイクルにおける初期推測（Ｘ_１［１］）と第１の収束サイクルの終了時の解（Ｘ_ｎ［１］）とを含む。
Ｘ_１［２］＝Ｘ_１［１］＋Ｘ_ｎ［１］ 式１４

この段階において、δＢ_１［２］のノルムが評価され、それがしきい値「Ｔ」よりも小さい場合、第２の収束サイクル中にさらなる反復は行われず、解は式１４によって与えられる。ノルムがしきい値「Ｔ」よりも大きい場合、反復は、第２の収束サイクル内の収束が得られるまで進む。プロセスは、残差ソースの第１の反復のノルムがしきい値「Ｔ」よりも小さくなるまで、繰り返される。実際には、収束サイクルの回数は、およそ２又は３であり、いくつかの場合には、１つの収束サイクルのみが必要とされることがある。すなわち、いくつかの実施例では、（表３００に示されているように）Ｋ≦３である。

ＶＳＤＤ法は、クラウド算出のための複数のコンピュータにわたるスケーリングに関して、大いに有利である。各サブドメイン解プロセスの開始時及び終了時に１度、算出ノード間で広範なデータが交換される必要があるにすぎないことがある。これは、ＦＤＴＤ、及び単一の大きい行列方程式を解くことに関与する他の方法と対照的であり、ここで、多くのデータが、あらゆる時間ステップ（ＦＤＴＤ）について、又は、通常、完全なシステムについての行列方程式の解に関与する、あらゆる反復についてノード間で伝搬しなければならない。通常、ＦＤＴＤ、又は大きい行列方程式を解くことに関与する他の方法に関連付けられた、少なくとも数千、場合によっては数万、又はより多くの反復がある。さらに、サブドメイン解ステップ２１２は、並列に複数の算出ノード上を進むことができる。それゆえに、ＶＳＤＤ法は、多数の並列コンピュータ上で動作することができる実施例のためのスケーリングに一意に適している。すなわち、ＶＳＤＤ法とともに使用される並列処理が、シミュレーション・ランタイムの速度を上げる。

次のセクションは、サブドメインへのドメイン・デコンポジションと、ＶＳＤＤ法の実施例とについて説明する。

図４は、一実施例における空き空間ドメイン・デコンポジション（ＶＳＤＤ）法の第１のフェーズを示す。この段階において、残差ソースは、図２のステップ２０６におけるグローバルしきい値を超える大きさを有する。一実例として、ＶＳＤＤは、図１に示されているシナリオに適用される。

ＶＳＤＤ法における第１のステップは、２次元又は３次元であり得る問題ドメインを選択し、問題ドメインを一連のサブドメインに分割することである。

図４において、４０２は、図１に示されているシナリオを示し、４０４は、ＶＳＤＤ法において使用されるサブドメインへの、図１に示されている問題ドメインのデコンポジションを示す。これは、２次元（２Ｄ）シミュレーション、又は３次元（３Ｄ）シミュレーションの２Ｄ断面図であり得る。これらのサブドメインは、ＶＳＤＤドメイン・デコンポジション・プロセスの一部として作成される。ＶＳＤＤ法は、１次元問題にも適用され得る。

ほとんどすべてのシナリオが、問題内に何らか形式の非一様性を有する。たとえば、電気力学に関与する一実施例では、非一様性は、オプティカル・フローを妨害する誘電体領域であり得る。構造力学に関与する一実施例では、非一様性は、変動する弾性定数をもつ領域であり得る。様々な構造の厳密な特徴（又は非一様性）にかかわらず、問題は、各サブドメインがサブドメイン内のローカル残差刺激について解かれ得るという点で、反復的に解かれ得る。得られた残差場は、ＶＳＤＤ法を介して得られ、近隣のサブドメインに拡張され、この残差場は、近隣のサブドメインに対する新しい刺激（又はソース）に変換され、プロセスは、図２で概説される計算の新しいサイクルを通して反復的に継続する。

明快のために、ほんのいくつかのサブドメイン、すなわち、サブドメイン４１０、サブドメイン４０６、サブドメイン４０８、サブドメイン４１６、サブドメイン４１８及びサブドメイン４２０が、図４中で標示されている。サブドメイン４１０は構造１０６の一部分を囲み、サブドメイン４１６は構造１０６の一部分と構造１１０の一部分を囲み、サブドメイン４１８は構造１０８の一部分を囲むことに留意されたい。一方、サブドメイン４０６及びサブドメイン４０８は、空であり、いずれも構造を囲まない。さらに、サブドメイン４０６、サブドメイン４１６、サブドメイン４１８、及びサブドメイン４２０は各々、ボーダー・サブドメインとして指定され、サブドメイン４０８及びサブドメイン４１０は各々、内部サブドメインとして指定される。

この段階において、ＶＳＤＤ法は、残差ソースが事前設定されたサブドメインしきい値よりも大きい大きさを有するサブドメインのみに適用される。図４において、４１４は、この方法の実施例において使用するためのサブドメインのさらなる操作を示す。一実例として、サブドメイン４１０が、サブドメインしきい値よりも大きいローカル残差ソースの大きさを有するものとして識別されたと仮定する。サブドメイン４１０は、ＶＳＤＤ法の一部としての反復法において使用される（破線ボックスによって示された）拡張されたサブドメイン４１２によって取り囲まれる。

サブドメインへの（完全なドメインの）分割は、収束が得られると、最終解ベクトルに対して最小の影響を有するか又はまったく影響を有せず、これは、ＶＳＤＤ法が十分な数の反復のために適用されるときに起こる。言い換えれば、最終収束が得られるとき、サブドメインのロケーションの証拠を示さない平滑に変動する解を予想することができる。

サブドメインの使用は、従来の単一ドメイン手法に勝る固有の算出利点を与え得る。たとえば、３０００×３０００×３０００個のグリッド・ポイントの３Ｄ一様ドメインが使用され、浮動小数点精度が使用される場合、約０．６テラバイトが、解ベクトルの単一のコピーを単独で記憶するために必要とされる。このサイズの行列方程式に関与する定常状態方程式を解くことは、実際的でない。また、そのようなドメインは、たいていの場合、ＦＤＴＤ、有限要素法又は他の従来の方法の能力を越えている。

代わりに、このドメインが５０×５０×５０個のサブドメインに分割され（約１２５，０００個のサブドメインを生じる）場合、解プロセスは、およそ１００個のコンピュータ・ノードに分散され得、収束のためにサブドメインごとに１０回の反復が必要とされ、サブドメイン解ごとに５秒が必要とされる場合、この大きいドメインのためのシミュレーション時間は約１日のみである。いくつかの実施例では、１００個以上のコンピュータが効率的に使用され、それにより、問題を解くために必要とされる時間をさらに低下させ得る。

ＶＳＤＤ法の一実施例では、サブドメインは、「空き空間同等」問題と呼ばれるものを使用して解かれ得る。すなわち、個々のサブドメイン３０６内の厳密な問題を解く代わりに、同等問題が解かれ、それの解が、新しい反復を編成するために使用される。これは、従来技術の方法とは異なり、解収束を与え、ボーダー・サブドメインに対して適用されたとき、ＶＳＤＤ法は、回復不能な誤差を非常に低減する。

空き空間同等問題は、サブドメインとこのサブドメイン内の残差刺激とをとることと、サブドメインの限界をわずかに越えて解を拡張することと伴う。サブドメインが構造（又は構造の一部）を含む場合、残差場について解くために構造が（人工的に）拡張される追加の条件がある。この手法が図５に示されている。

図５は、図４に示されたサブドメイン４１０についての同等ＶＳＤＤ問題５０２のセットアップ５００を示す。図５は、２ｄにおける図又は３ｄドメイン・セットの断面図のいずれかとして解釈され得る。拡張されたサブドメイン４１２は、構造１０６の一部を形成するがサブドメイン４１０内にない、構造部分５１０を含む。電気力学に関与する一実施例では、構造１０６は、誘電体領域又はバックグラウンド材料と比較して向上された伝導率をもつ領域を備えるか、或いはそれによって表され得る。

同等ＶＳＤＤ問題５０２において、サブドメイン５０４は元の問題におけるサブドメイン４１０と同等であり、拡張されたサブドメイン５０６は元の問題における拡張されたサブドメイン４１２と同等である。たとえば、拡張されたサブドメイン５０６は、構造１０６の構造部分５１０をも含む。拡張されたサブドメイン５０６（したがって、拡張されたサブドメイン４１２）は、少なくとも１つのピクセル層（又は３次元におけるボクセル層）によってサブドメイン５０４を囲み得る。ボクセルは、１ピクセル×１ピクセル×１ピクセルの寸法をもつ単位立方体である。ピクセル層は、有限差分ポイント又は有限要素ポイントの単一行として定義され、ボクセル層は、有限差分ポイント又は有限要素ポイントの３次元の矩形として定義される。

サブドメイン５０４内の残差ソースは、拡張されたサブドメイン５０６内の場パターンを生成するために解かれる。ＶＳＤＤ反復の一部として、追加の拡張されたサブドメイン５０８が作成される。拡張されたサブドメイン５０８内で、構造１０６が、矢印５１２及び５１４を用いて示されるように一様に外に拡張される。空き空間同等問題を厳密に解くためには、拡張されたサブドメイン５０８は、無限に外に拡張されることになる。限定された算出リソースにより、これは可能でない。代わりに、（「ＡＢＣ」と呼ばれる）吸収境界条件が、拡張されたサブドメイン５０８に関して追加され得る。そのような条件の実例は、電気力学の場合、完全一致層（ＰＭＬ）又はＭｕｒ境界条件を含む。又は、（以下で説明される）時間停止法が使用され得、これにより、拡張されたサブドメイン５０８の境界が無限大に拡張された場合に得られる解に極めて一致する解を生じる。しばしば、時間停止法は、より良い近似を空き空間同等問題に与え得る。しかしながら、ＡＢＣを（拡張されたサブドメイン５０６から離れた）拡張されたサブドメイン５０８の十分に長い拡張とともに使用することにより、厳密なＶＳＤＤ解に近似することができる。

同等ＶＳＤＤ問題５０２において、拡張されたサブドメイン５０６の外側境界にある構造１０６のエッジは、（矢印５１２及び５１４によって示されるように）通常、外側に無限に拡張される。とはいえ、実際には、拡張されたサブドメイン５０８の境界が、「カットオフ」境界として設定され得る。

同等ＶＳＤＤ問題５０２についての方程式は、したがって、以下の通りである。

解

は、拡張されたサブドメイン５０６のすべての内部で保持され、拡張されたサブドメイン５０６の外側境界において切り捨てられ得る。解

がどのように得られるかに関する詳細が、以下で説明される。

図４に戻ると、ドメイン・デコンポジション図４１４において、解

は、拡張されたサブドメイン４１２のすべての上に重ねられる（

は、拡張されたサブドメイン４１２内のみに存在し、拡張されたサブドメイン４１２の外部ではゼロに等しいことに留意されたい）。この解

は、現在の反復（又は、推測）

に追加される。元のサブドメイン４１０内では以下であることに留意されたい。

すなわち、

は、（近隣のサブドメインが解かれていないという条件で）サブドメイン４１０内の式１に対する解である。

サブドメイン４１０が、ＶＳＤＤ同等問題が解かれる唯一のサブドメインである（すなわち、処理すべき他のいかなるサブドメインもない）場合、次の反復は単に以下の通りである。

新しい反復は、図２におけるステップ２０４において入力され、ステップ２０８が得られるまで、残りのステップが繰り返される。

実数スケール・ファクタ「α」によって追加をスケーリングすることを選び得、「α」は、１のオーダー又はそれよりもいくぶん小さくなり得る（たとえば、α＝０．２～１．５、又はα＝０．４～１、又はα＝０．７である）。

また、いくつかの実施例では、解ベクトルのエッジは、ガウスなどの空間関数によって「平滑化」され得る。これらの技法（すなわち、スケーリングと平滑化）の両方が、いくつかの場合には、特に任意の種類の共鳴又は内反射がある場合には、収束を助けることができる。

一方、サブドメイン４１０が、処理されるべき唯一のサブドメインでない場合、各識別されたサブドメイン内部で、同等ＶＳＤＤ問題について解かれ、「ｋ番目の」サブドメインの解

が解かれ、新しい反復は、第１の反復におけるすべての「ｍ」個の識別されたサブドメインについて、式８において定義されたものである。

識別されたサブドメインのすべてを処理することは、互いに独立しており、たとえば、別個のコンピュータ上で、並列に進むことができることに注意されたい。これは、ドメイン・デコンポジションを使用しない手法と比較して、ＶＳＤＤ法の重要な利点を与える。

同等ＶＳＤＤ問題５０２は、以下で説明されるように、サブドメイン５０４内の構造の特色に応じて解かれ得る。

図６は、一実施例による、サブドメイン残差場について解くためのフローチャートを示す。

ステップ６０４において、サブドメイン内の構造の特色が決定される。一連の評価が行われる。ステップ６０６において、サブドメインが一様な構造で完全に埋められている場合、（ステップ６０８において）同等ＶＳＤＤ問題においてサブドメイン残差場について解くために、グリーン関数法が使用される。これは、サブドメインが構造を内部に有しない場合も、サブドメイン内の空間が一様であるので、適用される。

一方、サブドメイン内の構造が１次元非対称性を有する場合（ステップ６１０）、（ステップ６１２において）同等ＶＳＤＤ問題においてサブドメイン残差場について解くために、スラブ反復法が使用され得る。

最後に、サブドメインが、１Ｄ非対称性なしの一様でない構造を有する場合、同等ＶＳＤＤ問題においてサブドメイン残差場について解くために、時間停止法又はＡＢＣをもつ定常状態が使用され得る（ステップ６１４）。

以下のプロシージャの各々、すなわち、ＡＢＣをもつ定常状態、時間停止、スラブ反復及びグリーン関数が、以下で手短に説明される。

図６の変形形態では、サブドメインが全体にわたって一様であるか又は１次元非対称性を有する場合、定常状態法又は時間停止法を使用することが依然として可能である。しかしながら、グリーン関数及びスラブ反復法の使用は、より低い算出コストを有する。

図５に示されている問題を近似的に解くために、吸収境界条件（ＡＢＣ）をもつ定常状態解を使用し得る。サブドメイン４１０が構造１０６の一部分を含んでおり、したがって、サブドメイン４１０が図６中の条件６１４を満たすので、この方法が使用され得る。多くの実施例では、ＡＢＣロケーションは、残差場がそこで捕捉されるべきである拡張されたサブドメイン５０６の外部の、拡張されたサブドメイン５０８の外側境界において選定され得る。拡張されたサブドメイン５０８が拡張されたサブドメイン５０６をはるかに越える場合、ＡＢＣの使用は、ＶＳＤＤ問題のはるかに良い近似につながり得、しかしながら、それにより、計算量的により費用がかかり得る。

「ボーダー」サブドメイン（たとえば図４中のサブドメイン４０６又はサブドメイン４１６）について解くためにＡＢＣベースの方法を使用すると、回復不能な誤差がシミュレーションに導入され得る。「ボーダー」サブドメインの場合、同等ＶＳＤＤ問題は、このセクションに続いて説明される、時間停止技法を使用して解かれ得る。以下で説明されるように、時間停止技法はいくらかの誤差を与えるが、それにもかかわらず、その誤差は（ＡＢＣによって導入される誤差と比較して）大幅に低減される。

サブドメイン４１０が「内部」サブドメインであるので、同等ＶＳＤＤ問題５０２はＡＢＣ法に適している。一実施例では、無限の空間をシミュレートするＡＢＣの単純なセットが適用され、空き空間同等問題をただ近似的に解き得る。ＡＢＣをもつ小さいサブ領域に対して解を実施することは、扱いやすい問題である。たとえば、反復行列ソルバーがうまく使用され得る。ＶＳＤＤ法は、所与の時間における解を、基礎をなす線形演算子と継続的に比較し、経時的にこの残差を最小限に抑える。したがって、内部サブドメインについての中間解が、回復不能な誤差を生成することなしに、直近の解全体に追加され得る。グローバル反復が収束する限り、完全空き空間同等問題を内部的に解く必要がない。

ボーダー・サブドメインの場合、通常、空き空間同等問題を解くためにより良い近似が使用される。１つのそのような方法が時間停止法であり、それは以下で説明される。ボーダー・サブドメイン内で解くためにいくつかの方法が使用され、選定する方法がサブドメイン内の構造に依存し得ることに留意されたい。選定された方法にかかわらず、サブドメインの最外エッジにある最終的な残差ソース・ピクセル層（又は３次元におけるボクセル層）は、計算の過程中に廃棄される。これは、最小量の誤差を導入し得るが、導入される誤差は、従来の手法における誤差ほど大きくない。

時間停止法

「時間停止」サブドメイン解法は、ＶＳＤＤ反復法の構成要素である。ボーダー・サブドメインが非一様構造構成を有する状況において、グリーン関数法又はスラブ反復法は使用され得ない。その上、（ＩＭＲ法において行われるものである）ＡＢＣを適用することは、空き空間同等問題をあまり十分には近似しないが、拡張されたサブドメイン５０６から拡張されたサブドメイン５０８までの距離を大幅に拡大することによって、精度を改善することが可能であり得る。時間停止サブドメイン解法は、空き空間同等問題の挙動を模倣するためのフィルタとして、時間を使用する。

図７は、非一様構造を有するボーダー・サブドメインについての空き空間同等問題を解くために「時間停止」法が使用され得る実施例を示す概略図７００である。したがって、グリーン関数法もスラブ反復法も、そのようなサブドメインに関して使用され得ない。一連の「時間停止」が、連続図７１６及び７１４に示されている。

図７１６において、初期時間Ｔ＝Ｔ１において、ソース７０２が、（ソースによる）励起７０４を元のサブドメイン７０６に出射する。時間停止法において適用されるべき刺激は、サブドメイン７０６内に完全に含まれている。励起７０４は、様々な実施例において、電磁波、音響波、熱パルス、又は関心の他の摂動又は励起であり得る。実例として、ソース７０２は、電気力学シミュレーションにおけるポイント放射ソースであり得る。元のサブドメイン７０６を囲んでいるのは、拡張されたサブドメイン７０８であり、拡張されたサブドメイン７０８は、解ベクトルがそこから得られるべきである領域を囲む。

最後に、かなり離れたところにある、ボーダー７１０は、ＡＢＣをも含んでいることになる時間ドメイン・シミュレーションの最外限度を示す。構造要素７１２が存在し、それは、前に説明された空き空間同等様式で最外ボーダー７１０まで拡張される。

短い時間の後、Ｔ＝Ｔ２において、図７１４は、７１６に対する「時間停止」法の発展を示す。図７１４において、励起７０４は、ソース７０２から離れて動いた。様々な時点において、距離と、場合によってはサブドメイン中の領域のコンテンツの関連する物理的特性とに基づいて、励起７０４は、サブドメイン７０６を通って「流れ」、様々な構造に当たるか又はサブドメインの境界に達する。図７１４において、流れる励起は７１８によって示されている。Ｔ＝Ｔ２において、元の励起７０４が構造要素７１２に達し、反射７２４を生成したことに留意されたい。

パネル７１６及びパネル７１４は、時間停止法の原理を示す。まず、解かれている定常状態又は静的偏微分方程式に関連付けられた同等時間ドメイン問題をとる。マクスウェルの方程式の場合、これは単に、時間ドメインのマクスウェルの方程式であろう。静電学などの静的問題の場合、手法は、時間依存拡散問題と同様の様式で、（電磁波によって表される）電圧の伝搬をモデル化する分散方程式の導入を伴う。次いで、サブドメインとして、空き空間同等問題への元のサブドメインの拡張を使用し、この場合、明示的に解ドメインを拡張することが考慮される。ＡＢＣが追加され得るが、これらの有用性は限定され、なぜならそれらは、元のサブドメインから遠く離れて離間した場合でも、外向き放射を完全に吸収することが予想されないからである。いずれの場合にも、解の進行は、元のサブドメイン７０６中にのみ位置するソース７０２から外に伝搬する、ある種の波面に関与することになる。波面は、ＡＢＣがある場合でも、最終的にボーダー７１０に達し、反射し始めることになる。その間、定常状態タイプの解の場合、フーリエ・フィルタ処理を実施して、元のサブドメイン内の、場合によっては、それの周りに拡張する小さい領域内の、時間ドメイン解から、周波数ドメインにおける解パターンを抽出し得る。静的タイプの解の場合、単に、シミュレーション・ランタイムの終了時に解ベクトルを観測することができる。次いで、時間ドメイン・シミュレーションは、拡張されたサブドメイン境界からの外乱が、解ベクトルが導出されている領域に達する前に、この拡張されたサブドメインついて終結され得る。その場合、この方法から捕捉された解ベクトルは、それが所与の刺激について厳密には解かない場合でも、厳密な空き空間解と同等である。

この洞察は、単独では、空き空間同等問題を解くために十分でない。問題点は、そのように捕捉された解ベクトルは、ほぼ確実に、所与の刺激についての解でないことになることである。時間停止法を完了するために、次いで、新しい残差電流をとり、再び時間ドメイン・シミュレーションを再実施し、もう一度、拡張されたサブ領域ボーダーからの反射が解ベクトル捕捉の領域を乱す前に反復を終結しなければならない。このプロセスは繰り返されなければならず、各ポイントにおいて、算出されたすべてのサブドメイン解ベクトルのベクトル空間をとり、所与の時間における刺激をもつ残差を最小限に抑える最良適合サブドメイン解を見つけることができる。また、空き空間同等問題境界条件を個々に満たす解ベクトルの線形結合が、合計されたとき、同じ条件を満たすことになる。このプロセスを繰り返すことは、最終的に、厳密な空き空間同等問題解につながる。実際には、数回の反復が必要とされ、たとえば、１５よりも小さいか、又は２～１５の間、又は通常およそ３～４である。

７２０は、時間ドメイン・シミュレーションの結果として捕捉され得る、得られた定常状態解ベクトル・パターンを示す。捕捉された定常状態パターン７２２が示されている。電気力学の場合など、一実施例では、ＦＤＴＤを使用することがあり、定常状態場パターンは、フーリエ・フィルタ処理を使用して捕捉される。ＦＤＴＤの場合、時間発展が休止されたとき、波面のうちの数個がサブドメインの内側に残り得るので、また、フーリエ・フィルタ処理における内因性誤差により、このようにしてＦＤＴＤによって捕捉された解は、このサブドメイン内の線形化された微分方程式の基礎をなす不変式を厳密には満たさないことになる。しかしながら、前に説明されたように、解は、ボーダー７１０においてＡＢＣからの反射が起こり得る前の、適切な時間において時間発展が休止されるという条件で、空き空間境界条件を満たすことになる。したがって、この反復は、複数回実施され、最終的に結果を組み合わせ、最良適合方法を使用して、このサブドメインについての真の空き空間同等問題への優れた近似を得ることができる。

グリーン関数法

グリーン関数は、場の量子論、空気力学、航空音響学、電気力学、地震学及び統計的場の理論に関与する実施例では、物理学において使用され、しばしば、様々なタイプの相関関数、数学的定義に適合しないものさえも指す。たとえば、場の量子論では、グリーン関数は伝搬関数として働く。

図８は、グリーン関数法を使用して空の空間同等問題の解が得られる方法の実施例を示す。そのような方法は、内部が完全に一様であるサブドメインに適用され得る。たとえば、（図４中の）サブドメイン４０８は、内部に構造を有せず、したがって内部が一様である。同様に、（図４中の）サブドメイン４２０は、一様な構造１０６の一部分で完全に埋められている。これらのサブドメインの各々に適用されるＶＳＤＤ法は、各サブドメイン内の残差ソースについて解くためにグリーン関数法を使用し得る。これらは、解の対応する刺激として単一のグリッド・ポイント刺激を有する解である。したがって、その場合、単一の畳み込みによって、サブドメイン全体について解くことができ、単一の畳み込みは、２Ｄ又は３Ｄにおいて高速フーリエ変換（ＦＦＴ：ｆａｓｔ－Ｆｏｕｒｉｅｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ）を使用して迅速に行われ得る。また、計算されるグリーン関数は、すべての可能な刺激について同一であり、定常状態方程式の場合に関与する周波数、及び関与する構造のみに依存する。

一様なサブドメイン８０８についての同等ＶＳＤＤ問題は、以下のようにセット・アップされ、すなわち、同等ＶＳＤＤ問題のサブドメイン８０４が、元のサブドメイン４０８と同等であり、同等ＶＳＤＤ問題の拡張されたサブドメイン８０６が、元の拡張されたサブドメイン８０２と同等である。図５の場合のように、残差ソースは、サブドメイン８０４からとられる。拡張されたサブドメイン８０６は、サブドメイン８０４を囲む。拡張されたサブドメイン８０６のすべての内部で、残差場成分について解かれることになる。さらに、拡張されたサブドメイン８０６は、少なくとも１つのピクセル層（又は３次元におけるボクセル層）によってサブドメイン８０４を囲む。この場合、無限境界条件グリーン関数が最小誤差で解かれたという条件で、グリーン関数畳み込みが、無限境界を暗黙的に与えるので、吸収境界条件は必要とされない。

上述のように、グリーン関数法は、一様な空間からなるサブドメインに適用され、ここで、有限差分を使用しているか又は構造化されたメッシュをもつ有限要素を使用しているかのいずれかのために、一様なグリッドが使用される。一様なグリッド要件は、解かれているローカル・サブドメインについてのみ成り立ち、グリッドが問題ドメイン全体中の他の場所で一様でないかどうかは、まったく重要でない。また、グリッドは、グリッドがすべての次元において一様な離散化を有する限り、特定の次元についての離散化値が異なる場合でも、依然として一様と見なされる。

ＶＳＤＤ反復が進むとき、同じグリーン関数が、再計算なしに所与のサブドメインのために再使用され得、したがって、単一の解反復は、２つのみの２Ｄ又は３Ｄ ＦＦＴ演算、及び他のあまり費用がかからない演算をとる。グリーン関数解も、空き空間同等問題に対する解である。したがって、ボーダー・サブドメイン（たとえば図４中のサブドメイン４２０）が一様な空間を有する事例では、ＶＳＤＤ反復について空き空間同等解を達成するためにグリーン関数手法を使用し得る。

グリーン関数は、いくつかの実施例では以下のように解かれ得る。３Ｄ（２Ｄ）において、何らかの大きい周期の場合、ｋ空間のすべてを包含するように２Ｄ（１Ｄ）平面（行）の変数を拡大し、いくつかの実施例では、その周期は、しばしば、各次元において１０００回以上の周期的繰返しである。たとえば、たとえば関係式－５０^＊ｄｘ≦ｘ≦５０^＊ｄｘ、－５０^＊ｄｙ≦ｙ≦５０^＊ｄｙ、－５０^＊ｄｚ≦５０^＊ｄｚ（ここでｄｘ、ｄｙ、ｄｚは、各次元における離散化である）によって定義される領域について有効な３Ｄグリーン関数を解くことは、Ｎｘ＝１０００、ｋｘ＝ｎｘ^＊２π／（Ｎｘ^＊ｄｘ）、－Ｎｘ／２＜ｎｘ≦Ｎｘ／２、及びｋｙ＝ｎｙ^＊２π／（Ｎｙ^＊ｄｙ）、－Ｎｙ＜ｎｙ≦Ｎｙドメイン（ここで、Ｎｘ、Ｎｙは、算出において使用されるべきｋ空間グリッド・ポイントの数である）に関してｋ空間について解くことを伴うことができる。いくつかの実施例では、実空間グリッド・ポイントと比較して、はるかに多くのｋ空間グリッド・ポイントが使用される。いくつかの実施例では、厳密な解のために無限に細かい範囲にわたって変動させるようにｋｘ、ｋｙを拡張する（すなわち、Ｎｘ→無限大を可能にする）ことができるが、これは必要ではない。いくつかの実施例では、ほぼ１０００に拡張すすることは、十分であり得、現代のコンピュータ上で数十秒のオーダー又はそれ以下の解時間を生じ得る。次いで、このドメイン中の各ポイントについて、各場合においてすべてのモード及びｋｚベクトルを生成する、固有の問題（ｅｉｇｅｎｐｒｏｂｌｅｍ）を解くことができる。モードは、順方向伝搬又は逆方向伝搬として分類され得る。各モードについての係数を得るために、原点において単一変数のフーリエ変換を使用することができる。次いで、モードは掃引され、グリーン関数を生成することができる。

離散バージョンに極めて近くなり得るが、解の残りと自己矛盾があり得る分析式を使用することとは対照的に、この手法を使用し、厳密な離散グリーン関数について解くことは、有利である。いくつかの実施例では、グリーンの関数を解くときに背景構造に極めて小さい散逸項を追加することが、有用であり得、これは、共振状態によって解が不安定になることを妨げる減衰項として考えられ得る。使用される値が極めて小さいという条件で、最終解ベクトルはひずんでいないが、関与する式はより安定する。グリーン関数法を用いて所与のサブドメインについて計算された最終解ベクトルは、ドメイン全体についての解ベクトルに加算される。いくつかの実施例では、計算及び加算された最終解は、初期刺激が与えられたレジームをわずかに越えて拡張することになる。

スラブ反復法

図９は、スラブ反復法を使用した空き空間同等問題の解を示す。この場合、サブドメイン内の背景構造は、図９中の矢印によって示されるように、１次元非対称性のみを有する。そのようなサブドメインの一実例は、図４中のサブドメイン４１６である。

図９では、問題サブドメイン４１６は、異なるタイプの少なくとも２つ構造、すなわち、構造１０６と構造１１０とを有する。たとえば、電気力学に関与する実施例では、異なるタイプは、２つの異なる誘電体値であり得る。いくつかの実施例では、異なるタイプの特性は、光学的特性、音響特性、機械的特性又は関心の他の物理的特性など、他の物理的特性であり得る。サブドメイン４１６内に２つの「スラブ」（すなわち構造１０６及び構造１１０）が示されているが、より少ない又はより多いスラブがあり得ることを理解されたい。さらに、スラブは、同一の材料特性を有するか、又はそれらのそれぞれの材料特性が異なり得る。

図９００は、２Ｄサブドメイン又は３Ｄサブドメインの断面図として解釈され得る。

スラブ反復法についての条件は、１次元においてのみ非対称性が存在することである。さらに、たいていの実施例では、サブドメイン内部で（ただし、必ずしも他の場所に限らない）、メッシュは、一様であり、すなわち、非対称次元以外のすべての次元において離散並進対称性を有する。これらは、使用されるべきスラブ反復ソルバーのために必要とされる条件である。

同等ＶＳＤＤ問題９０４は、前述のようにセット・アップされる。サブドメイン９０６は元のサブドメイン４１６と同等であり、拡張されたサブドメイン９０８は元の拡張されたサブドメイン９０２と同等である。残差ソースは８０６内にあり、拡張されたサブドメイン９０８のすべての内部で、残差場について解かれることになる。スラブ反復法では、スラブ反復法の適用により、拡張されたサブドメイン９０８の境界が無限であったかのように問題が解かれることになるので、吸収境界条件が必要ない。

グリーン関数法と同様に、スラブ反復法は、３Ｄ問題又は２Ｄ問題について、それぞれ、２Ｄ ｋ空間におけるモード係数又は１Ｄ ｋ空間におけるモード係数を計算することによって開始する。グリーン関数法と同様に、ｋ空間中の大きい領域が使用され得る。サブドメイン９０６の別個の構造領域の各々中で、係数のセットについて解かれる。しかしながら、畳み込みはもはや使用されない。３Ｄ（２Ｄ）問題のためのピクセルの各平面（行）に対する刺激についてのフーリエ変換が、使用され得る。これらのモード係数は、高度であり、各構造界面から反復的に反射され得る。ほとんどすべての状況では、収束が得られる。また、一様な構造以外に何もない場合でも、スラブ反復法を使用することが可能であるが、グリーン関数法がより有利である。

１つの課題は、電気力学に関与する実施例など、いくつかの問題の場合、非対称性（ｎｏｎ－ｓｙｍｍｅｔｒｙ）の方向に直角な刺激成分のみが、モード係数を生成することである。非対称性の方向に対して平行な刺激を扱うために、グリーン関数を使用して、各一様な領域内にこれらの成分を投影し、次いで演算子Ａを再適用し、解かれるべき垂直成分のみを生じることができる。

スラブ反復解は、サブドメインについての厳密な離散解であるが、それは空の空間同等問題をも解く。すでに、スラブ反復とグリーン関数反復との間に、空き空間同等問題要件を満たす２つの反復があり、補正不可能な誤差を解反復に投入することなしに、ボーダー・サブドメインに関して使用され得る。グリーン関数法と同様に、（スラブ反復法を使用して）サブドメインについて計算された残差場は、グローバル解ベクトルに加算され、しばしば、元のサブドメインのために使用される残差ソースの領域をわずかに越えて拡張する。

図１０は、一連のパネルにおいてスラブ反復法の実施例を示し、ここでは、非対称性の方向はＸ軸に平行である。他の２つの次元は継続的に対称である。サブドメイン１０２２が残差ソース１０１８を含んでおり、、拡張されたサブドメイン１０２４内部で、場について解かれることになる。サブドメイン１０２２と拡張されたサブドメイン１０２４の両方が、一様な構造１０２０を含んでおり、構造１０２０は、ＶＳＤＤ法において非対称性の方向以外のすべての方向に無限に拡張することが暗黙的に仮定される。したがって、スラブ反復法は、厳密な空き空間同等に対する非常に良好な近似を与える。図１０は、あるポイントに位置する残差ソース１０１８を示すが、それは、サブドメイン１０２２全体にわたって拡張し得る。

全体的シミュレーション次元が、２次元又は３次元におけるものである場合、横方向ｋ空間は、それぞれ、１次元の次元性又は２次元の次元性を有する。基本的手法は、スナップショット・パネル１００２～パネル１０１６に示されているように、各横方向ｋベクトルについて、ｘにおける順方向及び逆方向伝搬モードについて解くことである。モード表面１０２６が、矢印によって示されている方向に、シミュレーション・ドメインにわたって掃引する。＋ｘ方向での、第１の掃引において、順方向モードのみが掃引されるべきである。各ピクセル層（又は３次元におけるボクセル層）において、場が生成され、ｋ空間から後退する場を投射するために逆ＦＦがとられる。このようにして導出された場は、拡張されたサブドメイン１０２４内に累積される。

パネル１００４において、モード表面１０２６は、残差ソース１０１８に遭遇する。一実例として、マクスウェルの方程式の場合、ｘ方向の側方にある４つの電流成分の可能な現在の構成が、順方向及び逆方向モードに投影され得る。（Ｊ及びＪ_ｈ）。前記されたように、２つの通常の電流成分は畳み込みによって横方向成分に変換され得、それらの成分は、各一様な領域においてグリーン関数を用いて畳み込まれ、得られた場は、Ａ演算子が適用され、ボーダー上に横方向電流のみを残す。残りは、任意の一般的物理的方程式に適用される。パネル１００４において、残差ソース１０１８によって生成された順方向モードは、モード表面に加算される。モード表面１０２６は継続的に伝搬され、モード表面１０２６がパネル１００６において一様な構造１０２０に達するとき、構造１０２０の界面にわたる伝達及び反射が計算される。パネル１００８において、順方向伝搬モデル表面１０２６が今度は一様な構造１０２０を過ぎたとき、反射された表面１０３０及び表面１０３２が、構造１０２０の右ボーダー及び左ボーダー上に作成される。パネル１０１０において、モード表面１０２６は、今度は、拡張されたサブドメイン１０２４の終端に達した。新しい表面１０３０及び表面１０３２は、この界面に対する反射による最終解に加算されるべきｋ空間中の逆方向伝搬モード振幅のセットを含んでいる。

次に、逆方向伝搬モード係数の新しいセットが、－Ｘ方向で掃引されなければならず、これは、パネル１０１０～パネル１０１６に示されている。パネル１０１４において、逆方向伝搬モード表面１０２８は、構造１０２０によって占有された領域中に掃引され、そのプロセスにおいて、表面１０２８が通過したとき、前に反射された逆方向表面１０３０が表面１０２８に加算される。今度は順方向伝搬モードを含んでいる反射された表面１０３４も、作成される。最後に、パネル１０１６において、逆方向伝搬モード表面１０２８は、拡張されたサブドメイン１０２４にわたってずっと掃引される。表面１０３２が、モード表面１０２８が通過したときにモード表面１０２８に加算され、したがって、また、消去される間に、構造１０２０の内部に対する反射モードをもつ新しいモード表面１０３６が、作成される。しかし、元の残差ソース１０１８について、完全に解かれる。そのプロセスは、継続することができ、モード係数表面のノルムがあらかじめ選択されたしきい値を下回るまで、第１の順方向及び逆方向モード表面がスラブ反復ドメインにわたって伝搬する。

拡張されたサブドメイン１０２４内に１つの構造界面があるか又は構造界面がないかのいずれかである一実例では、単一の順方向及び逆方向掃引が、常に、厳密な解を生じることになる。

ＶＳＤＤ法の変形形態がある。

たとえば、図１１は、一実施例による、アダプティブ・メッシングを示す。たとえば、概略図アダプティブ・メッシング１１００は、アダプティブ・メッシングが存在するサブドメインの選択を示す。図１１では、１１０４は、領域１１０２よりも高いメッシュ密度をもつ領域を示す。図１１は一定の縮尺でないが、領域１１０４内のサブドメインは、領域１１０２中のサブドメインのおよそ１／４サイズである。サブドメインへの完全なドメイン１１０６の区分は、より高いメッシュ密度をもつ領域のロケーションとは無関係に進むことができる。

別の変形形態では、１つ又は複数のサブドメインが、単一の大きいサブドメインに組み合わせられ得る。図１２は、一様な空間の大きいエリア又は単に１Ｄ非対称性をもつ領域の場合など、いくつかの実施例では、複数のサブドメインが、合併されたサブドメイン１２０２にどのように組み合わせられ得るかを示す。一方、サブドメイン１２０４及びサブドメイン１２０６は、変更されないままである。

いくつかの実施例では、合併されたサブドメイン１２０２は、著しく増加された速度で、グリーン関数手法又はスラブ反復手法を用いて解かれ得る。いくつかの実施例では、図１２に示されているように、アダプティブ・メッシュ領域の存在を無視する様式で、単に、合併のためのサブドメインを選択することができる。算出プロセスをより一様にするために、サブドメインのうちのいくつかのサイズを調整することが可能である。ただし、メッシュ密度の変化の存在は、各サブドメインについて同等空き空間問題を解くことの要件を変えない。より細かいメッシュをもつ領域とより粗いメッシュをもつ領域との間のボーダーにおいて、基礎をなす有限差分式が、単一のグリッド・ポイント値の代わりに、単に近隣の解ベクトルのボリュメトリック近似を利用するように作り直され得る。

いくつかのシミュレーション実施例では、一様な空間又は１次元のみにおける非対称性をもつ一連の構造のいずれかである、広範なエリアがある（そのような領域は、スラブ反復法とともに使用され得る）。これらの領域が、さもなければいくつかの独立したサブドメインであるであろう領域にわたって拡張する実施例では、それらのサブドメインを単一の合併されたサブドメインに組み合わせ、それによりシミュレーション性能を大幅に改善することができ、なぜなら、スラブ反復法及びグリーン関数法のために使用されるサブドメイン解法が、しばしば、サブドメイン・サイズに応じたサブ線形様式でスケーリングするからである。すなわち、グリーン関数又はスラブ反復法の場合、グリッド・ポイントの量の２倍（２×）をもつサブドメインを解くために、時間量の２倍（２×）かからないことになる。さらに、不変式Ａ^＊Ｘ＝Ｂがこの領域内で維持されるので、この領域内でＸ、Ｂ又はδＢを記憶する必要がないことさえあり、したがって、解ベクトルＸがこの領域における出力として必要とされる実施例を除いて、メモリ要件を著しく減少させ得る。

別の変形形態では、図１３は、各々が別個の構造をもつ２つの領域が、２つの領域の間に介在する領域においてスラブ反復法又はグリーン関数法を使用することによって、どのように単一のＶＳＤＤシミュレーションに組み合わせられ得るかを示す。ソース１３０２が励起１３０４を放出し、励起１３０４は完全なドメイン１３０６全体にわたって拡張する。領域１３０８及び領域１３１０内に、非対称構造（すなわち構造１３１２及び構造１３１４）がある。したがって、領域１３０８又は領域１３１０のいずれも、グリーン関数法又はスラブ反復のいずれにも従わない。これらの領域は、大きくなり得、複数のサブドメインに分割され得る。ただし、一般的なサブドメインよりもはるかに大きくなり得る領域１３１６は、矢印によって示される方向で単に１ｄ非対称性を有する。領域１３１６は、単一の大きいサブドメイン、及びスラブ反復が使用されるものとして扱われ得る。一方、領域１３１６中の構造が一様であった場合、グリーン関数法が使用され得る。

図１４は、コンピュータ上にＶＳＤＤ法を実装するためのシステム１４００の実施例のブロック図を示す。システム１４００は、コンピューティング・ユニット１４０２（又はコンピューティング・システム）を備え得る。コンピューティング・ユニット１４０２は、メモリ１４０４と、１つ又は複数のアプリケーション・プログラム又はモジュール１４０６と、処理ユニット１４０８と、ユーザ・インターフェース１４１０とを備えることができる。コンピューティング・ユニット１４０２は、コンピューティング環境の一実例にすぎず、ＶＳＤＤ法の使用又は機能性の範囲に関するいかなる限定をも示唆するものではない。

メモリ１４０４は、ＶＳＤＤ法を実装するためにコンピューティング・ユニット１４０２によって実行される、コンピュータ実行可能命令を含んでいる１つ又は複数のアプリケーション・プログラム（又はプログラム・モジュール）１４０６を記憶することができる。メモリ１４０４は、図２及び図６で概説された方法を可能にするいくつかのモジュール１４０６を含むことができる。

コンピューティング・ユニット１４０２は汎用メモリ１４０４を有するものとして示されているが、コンピューティング・ユニット１４０２は異なるタイプのコンピュータ可読媒体をも含み得る。限定ではなく実例として、コンピュータ可読媒体は、コンピュータ記憶媒体を備え得る。コンピューティング・システム・メモリ１４０４は、読取り専用メモリ（ＲＯＭ：ｒｅａｄ ｏｎｌｙ ｍｅｍｏｒｙ）及びランダム・アクセス・メモリ（ＲＡＭ：ｒａｎｄｏｍ ａｃｃｅｓｓ ｍｅｍｏｒｙ）などの揮発性及び／又は不揮発性メモリの形式のコンピュータ記憶媒体を含み得る。スタートアップ中になど、コンピューティング・ユニット内の要素間で情報を転送するのを助ける基本ルーチンを含んでいる、基本入出力システム（ＢＩＯＳ：ｂａｓｉｃ ｉｎｐｕｔ／ｏｕｔｐｕｔ ｓｙｓｔｅｍ）が、一般に、ＲＯＭに記憶される。ＲＡＭは一般に、処理ユニットにとって直ちにアクセス可能であり、及び／又は処理ユニットによってその上で現在動作されている、データ及び／又はプログラム・モジュールを含んでいる。限定ではなく実例として、コンピューティング・ユニットは、オペレーティング・システム、アプリケーション・プログラム、他のプログラム・モジュール、及びプログラム・データを含む。メモリ１４０４に示されている構成要素は、他のリムーバブル／非リムーバブル、揮発性／不揮発性コンピュータ記憶媒体中にも含まれ得るか、又は、それらの構成要素は、コンピュータ・システム又はネットワークを通して接続された別個のコンピューティング・ユニット上に常駐し得る、アプリケーション・プログラム・インターフェース（「ＡＰＩ：ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｐｒｏｇｒａｍ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ」）を通してコンピューティング・ユニットにおいて実装され得る。単に実例として、ハード・ディスク・ドライブは、非リムーバブル、不揮発性磁気媒体から読み取るか又はそれに書き込み得、磁気ディスク・ドライブは、リムーバブル、不揮発性磁気ディスクから読み取るか又はそれに書き込み得、光ディスク・ドライブは、ＣＤ ＲＯＭ又は他の光媒体などのリムーバブル、不揮発性光ディスクから読み取るか又はそれに書き込み得る。例示的な動作環境において使用され得る他のリムーバブル／非リムーバブル、揮発性／不揮発性コンピュータ記憶媒体は、限定はしないが、磁気テープ・カセット、フラッシュ・メモリ・カード、デジタル多用途ディスク、デジタル・ビデオ・テープ、ソリッド・ステートＲＡＭ、ソリッド・ステートＲＯＭなどを含み得る。上記で説明されたドライブ及びそれらの関連付けられたコンピュータ記憶媒体は、コンピューティング・ユニットに、コンピュータ可読命令、データ構造、プログラム・モジュール及び他のデータのストレージを与える。ユーザは、キーボード及びポインティング・デバイス（たとえば、マウス、トラックボール、タッチ・パッドなど）などの入力デバイスを含み得る、ユーザ・インターフェース１４１０を通してコンピューティング・ユニット１４０２にコマンド及び情報を入力し得る。入力デバイスは、マイクロフォン、ジョイスティック、サテライト・ディッシュ、スキャナなどを含み得る。これら及び他の入力デバイスは、しばしば、システム・バスを通して処理ユニット１４０８に接続されるが、パラレル・ポート又はユニバーサル・シリアル・バス（ＵＳＢ：ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｓｅｒｉａｌ ｂｕｓ）など、他のインターフェース及びバス構造によって接続され得る。モニタ又は他のタイプのディスプレイ・デバイスが、ビデオ・インターフェースなど、インターフェース１４１２を介してシステム・バスに接続され得る。また、グラフィカル・ユーザ・インターフェース（「ＧＵＩ：ｇｒａｐｈｉｃａｌ ｕｓｅｒ ｉｎｔｅｒｆａｃｅ」）が、ユーザ・インターフェース１４１０から命令を受信し、処理ユニット１４０８に命令を送信するために、インターフェース１４１２とともに使用され得る。モニタに加えて、コンピュータは、出力周辺インターフェースを通して接続され得る、スピーカ及びプリンタなどの他の周辺出力デバイスをも含み得る。コンピューティング・ユニット１４０２の多くの他の内部構成要素が示されていないが、そのような構成要素及びそれらの相互接続がよく知られていることを、当業者は諒解されよう。

図１５は、ソース１５１４をもつ、２つの導波路（導波路１５１０及び導波路１５１２）の存在下の電磁場のシミュレーションを示す。各導波路は、幅５００ｎｍ及び高さ２００ｎｍのＳｉ導波路である。導波路は１５０ｎｍだけ分離されている。導波路は、シリコンから作られ、二酸化ケイ素（ＳｉＯ_２）で覆われている。パネル１５０２に示されている構成は、しばしば、集積光学において使用される。

図１５では、誘導導波路モード（ｇｕｉｄｅｄ ｗａｖｅｇｕｉｄｅ ｍｏｄｅ）が、１．５５μｍの自由空間波長に対応する周波数において、導波路１５１０中のソース１５１４によって出射される。すなわち、このソース１５１４の周波数は、近赤外レジーム中にある、ほぼ１９２ＴＨｚである。グリッドは、０．０２μｍ／ピクセルの離散化をもつ３００×２００×４００ピクセルであり、約３７５個のサブドメインを生じる。シミュレーションは、ＶＳＤＤ法を使用する２つのＧＰＵカードを用いた並列処理を使用して行われた。時間停止法とグリーン関数法とＡＢＣをもつ定常状態法との組合せが、この反復においてサブドメインを解くために使用された。

ランタイムの約５分後のパネル１５０４が示されている。誘導モードは、導波路１５１０に沿って伝搬し始めたが、まだ導波路１５１２に結合されていない。

ランタイムの約１０分後のパネル１５０６が示されている。誘導モードは、今度は導波路１５１０に沿って著しく遠くに伝搬されたが、依然として、導波路１５１２にまだ著しくは結合されていない。

ランタイムの１５分後のパネル１５０８が示されている。今度は、当初導波路１５１０中にあった誘導モードのかなりの部分が、導波路１５１２に結合された。シミュレーションはまだ完全には収束されていないが、すでにシステムの挙動に関する重要な情報が決定され得る。

パネル１５０２～パネル１５０８の進行に示されているように、ＶＳＤＤアルゴリズムの収束のプロセスにおいて、初期電流ソース１５１４が、導波路１５１０中で誘導モードを出射し、誘導モードは、次いで、方向性結合を介して導波路１５１２に結合することがわかる。

図１６は、ランタイムの２０分後の図１５に示されている構成のシミュレーションを示す。示されているシミュレーションは、およそ２０回の全体的反復において、４０００個のサブドメイン解をもち、すなわち、反復ごとに平均約２００個のサブドメイン解をもつ。ランタイムは、そのシミュレーションがクラスタに対して実施されるときよりも速い。図１６では、黒い線は、サブドメイン１６０２のロケーションを示す。図１５では、サブドメイン・ロケーションの明らかな証拠が場発展において存在せず、グローバルに正しい解を与えることにおけるこの方法の成功を強調することに留意されたい。

本方法は、現在好ましい実施例に関して説明されたが、それらの実施例に本発明を限定するものでないことが、当業者によって理解されよう。したがって、添付の特許請求の範囲及びそれの等価物によって定義される本発明の趣旨及び範囲から逸脱することなく、様々な代替実施例及び変更が、開示された実施例に対して行われ得ることが企図される。

Claims (20)

1. ソースから生成された場を決定するためのコンピュータ実装方法であって、前記場が１つ又は複数の構造と相互作用し、前記方法は、
   前記ソースと前記１つ又は複数の構造とを含んでいるドメインを備えるシミュレーション空間を与えるステップと、
   コンピュータによって、前記場に作用する演算子に少なくとも部分的に基づいて前記ドメイン内の前記場をシミュレートするステップとを含み、シミュレートするステップが、
   前記ドメインを複数のサブドメインに分割するステップと、
   前記場の第１の反復を指定するステップと、
   前記ドメイン全体にわたって前記場の前記第１の反復に作用する前記演算子に基づいてグローバル残差ソースを決定するステップと、
   各反復において前記サブドメインのサブセット中の残差場挙動について解くことによって、前記場について反復的に解くステップと
   をさらに含み、
   前記サブセットのサブドメイン中の残差場挙動について解くことは、
   前記演算子が、前記サブドメインの周りの拡張されたサブドメイン内のローカル残差場に作用することと、
   前記サブドメインが構造を備える場合、前記拡張されたサブドメインの境界に位置する前記構造の境界を、前記拡張されたサブドメインの前記境界を越えて第２の拡張されたサブドメインまで拡張することと
   を含む、
   コンピュータ実装方法。
2. 前記演算子が、損失を含むように変更され、
   シミュレートするステップは、前記変更された演算子が変更された残差場に作用する１つ又は複数の収束サイクルをさらに含む、
   請求項１に記載のコンピュータ実装方法。
3. シミュレートするステップが、
   前記サブドメインが一様な空間で埋められるとき、前記ローカル残差場について解くためにグリーン関数法を使用するステップと、
   前記サブドメインが１次元非対称性を有するとき、前記ローカル残差場について解くためにスラブ反復法を使用するステップと、
   前記サブドメインが、一様な空間で埋められず、前記１次元非対称性をも有しないとき、前記ローカル残差場について解くために、吸収境界条件をもつ定常状態法又は時間停止法のいずれかを使用するステップと
   をさらに含む、請求項１に記載の方法。
4. シミュレートするステップは、前記サブドメインがボーダー・サブドメインであるとき、前記時間停止法を適用するステップと、前記サブドメインが内部サブドメインであるとき、吸収境界条件をもつ前記定常状態法を適用するステップとをさらに含む、請求項３に記載の方法。
5. 前記場が、電磁場、流体流れ場、熱伝導場、拡散場又は静電場である、請求項１に記載のコンピュータ実装方法。
6. 前記場が、変更されたマクスウェルの方程式
   

   

   
   を満たす電磁場であり、
   前記１つ又は複数の構造が、少なくとも１つの導波路又は少なくとも１つの伝送線路を含む、
   請求項１に記載のコンピュータ実装方法。
7. シミュレートするステップが、
   ａ）前記場の現在の反復に対する前記演算子の動作に基づいて新しいソースを決定するステップと、
   ｂ）前記新しいソースと前記ソースとの間の差に基づいて前記グローバル残差ソースを決定するステップと、
   ｃ）前記グローバル残差ソースの大きさが第１の事前設定されたしきい値よりも小さい場合、シミュレーションを終了し、前記場を前記場の前記現在の反復に等しく設定するステップと、
   ｄ）前記グローバル残差ソースの前記大きさが前記第１の事前設定されたしきい値よりも大きい場合、サブドメインの前記サブセットを決定するために前記複数のサブドメインを走査するステップであって、前記サブセット内の各サブドメインが、第２の事前設定されたしきい値よりも大きいローカル残差ソース大きさを有する、走査するステップと、
   ｅ）前記サブドメインの周りの前記拡張されたサブドメインを構築するステップと、
   ｆ）前記拡張されたサブドメイン内のローカル残差場について解くステップと、
   ｇ）前記場の新しい推定値を与えるために、前記サブセットからの前記ローカル残差場のすべてを加算するステップと、
   ｈ）前記場の前記現在の反復を前記場の前記新しい推定値に等しく設定するステップと、
   ｉ）前記残差ソースの前記大きさが、前記第１の事前設定されたしきい値よりも小さくなるまで、ステップ（ａ）～（ｈ）を繰り返すステップと
   をさらに含む、請求項１に記載の方法。
8. ソースから生成された場を決定するためのコンピュータ・プログラム命令で符号化された、非一時的コンピュータ記憶媒体であって、前記場が１つ又は複数の構造と相互作用し、前記コンピュータ・プログラム命令は、１つ又は複数のコンピュータによって実行されたとき、前記１つ又は複数のコンピュータに、
   前記ソースと前記１つ又は複数の構造とを含んでいるドメインを備えるシミュレーション空間を与えることと、
   前記場に作用する演算子に少なくとも部分的に基づいて前記ドメイン内の前記場をシミュレートすることと、
   前記ドメインを複数のサブドメインに分割することと、
   前記場の第１の反復を指定することと、
   前記ドメイン全体にわたって前記場の前記第１の反復に作用する前記演算子に基づいて残差ソースを決定することと、
   前記サブドメインのサブセット中の残差場挙動について解くことによって、前記場について反復的に解くことと
   を行わせ、
   前記サブセットのサブドメイン中の残差場挙動について解くことは、
   前記演算子が、前記サブドメインの周りの拡張されたサブドメイン内の前記残差場に作用することと、
   前記サブドメインが構造を備える場合、前記拡張されたサブドメインの境界に位置する前記構造の境界を、前記拡張されたサブドメインの前記境界を越えて第２の拡張されたサブドメインまで拡張することと
   を含む、
   非一時的コンピュータ記憶媒体。
9. 前記残差場に作用する前記演算子が、損失を含むように変更され、
   前記コンピュータに前記ドメイン内の前記場をシミュレートさせることが、前記コンピュータに、前記変更された演算子が変更された残差場に作用する１つ又は複数の収束サイクルをシミュレートさせることを含む、
   請求項８に記載の非一時的コンピュータ記憶媒体。
10. 前記コンピュータに前記ドメイン内の前記場をシミュレートさせることは、前記コンピュータに、
    前記サブドメインが一様な空間で埋められるとき、前記残差場について解くためにグリーン関数法を使用することと、
    前記サブドメインが１次元非対称性を有するとき、前記残差場について解くためにスラブ反復法を使用することと、
    前記サブドメインが、一様な空間で埋められず、１次元非対称性をも有しないとき、前記残差場について解くために、吸収境界条件をもつ定常状態法又は時間停止法のいずれかを使用することと
    を行わせることを含む、請求項８に記載の非一時的コンピュータ記憶媒体。
11. 前記コンピュータに前記ドメイン内の前記場をシミュレートさせることは、前記コンピュータに、
    前記サブドメインがボーダー・サブドメインであるとき、前記時間停止法を適用することと、前記サブドメインが内部サブドメインであるとき、吸収境界条件をもつ前記定常状態法を適用することと
    を行わせることを含む、請求項１０に記載の非一時的コンピュータ記憶媒体。
12. 前記場が、電磁場、流体流れ場、熱伝導場、拡散場又は静電場である、請求項８に記載の非一時的コンピュータ記憶媒体。
13. 前記場が、変更されたマクスウェルの方程式
    

    

    
    を満たす電磁場であり、
    前記１つ又は複数の構造が、少なくとも１つの導波路又は少なくとも１つの伝送線路を含む、
    請求項８に記載の非一時的コンピュータ記憶媒体。
14. 前記コンピュータに前記ドメイン内の前記場をシミュレートさせることは、前記コンピュータに、
    ａ）前記場の現在の反復上の前記演算子の動作に基づいて新しいソースを決定することと、
    ｂ）前記新しいソースと前記ソースとの間の差に基づいてグローバル残差ソースを決定することと、
    ｃ）前記グローバル残差ソースの大きさが第１の事前設定されたしきい値よりも小さい場合、シミュレーションを終了し、前記場を前記場の前記現在の反復に等しく設定することと、
    ｄ）前記グローバル残差ソースの前記大きさが前記第１の事前設定されたしきい値よりも大きい場合、サブドメインの前記サブセットを決定するために前記複数のサブドメインを走査することであって、前記サブセット内の各サブドメインが、第２の事前設定されたしきい値よりも大きいローカル残差ソース大きさを有する、走査することと、
    ｅ）前記サブドメインの周りの前記拡張されたサブドメインを構築することと、
    ｆ）前記拡張されたサブドメイン内のローカル残差場について解くことと、
    ｇ）前記場の新しい推定値を与えるために、前記サブセットからの前記ローカル残差場のすべてを加算することと、
    ｈ）前記場の前記現在の反復を前記場の前記新しい推定値に等しく設定することと、
    ｉ）前記残差ソースの前記大きさが、前記第１の事前設定されたしきい値よりも小さくなるまで、ステップ（ａ）～（ｈ）を繰り返すことと
    を行わせることを含む、請求項８に記載の非一時的コンピュータ記憶媒体。
15. ソースから生成された場をシミュレートするためのコンピュータ・システムであって、前記場が１つ又は複数の構造と相互作用し、前記システムは、
    前記ソースと前記１つ又は複数の構造とを含んでいるドメインを備えるシミュレーション空間を与えることと、
    前記場に作用する演算子に少なくとも部分的に基づいて前記ドメイン内の前記場をシミュレートすることと、
    前記ドメインを複数のサブドメインに分割することと、
    前記場の第１の反復を指定することと、
    前記ドメイン全体にわたって前記場の前記第１の反復に作用する前記演算子に基づいて残差ソースを決定することと、
    前記サブドメインのサブセット中の残差場挙動について解くことによって、前記場について反復的に解くことと
    を行うように構成され、
    前記サブセットのサブドメイン中の残差場挙動について解くことは、
    前記演算子が、前記サブドメインの周りの拡張されたサブドメイン内の前記残差場に作用することと、
    前記サブドメインが構造を備える場合、前記拡張されたサブドメインの境界に位置する前記構造の境界を、前記拡張されたサブドメインの前記境界を越えて第２の拡張されたサブドメインまで拡張することと
    を含む、
    コンピュータ・システム。
16. 前記場をシミュレートするときに、前記システムは、
    損失を含むように前記演算子を変更することと、
    前記変更された演算子が変更された残差場に作用する１つ又は複数の収束サイクルを実施することと
    を行うようにさらに構成された、請求項１５に記載のコンピュータ・システム。
17. 前記場をシミュレートするときに、前記システムは、
    前記サブドメインが一様な空間で埋められるとき、ローカル残差場について解くためにグリーン関数法を使用することと、
    前記サブドメインが１次元非対称性を有するとき、前記ローカル残差場について解くためにスラブ反復法を使用することと、
    前記サブドメインが、一様な空間で埋められず、前記１次元非対称性をも有しないとき、前記ローカル残差場について解くために、吸収境界条件をもつ定常状態法又は時間停止法のいずれかを使用することと
    を行うようにさらに構成された、請求項１５に記載のコンピュータ・システム。
18. 前記場をシミュレートするときに、前記システムは、
    前記サブドメインがボーダー・サブドメインであるとき、前記時間停止法を適用することと、
    前記サブドメインが内部サブドメインであるとき、吸収境界条件をもつ前記定常状態法を適用することと
    を行うようにさらに構成された、請求項１７に記載のコンピュータ・システム。
19. 前記場が、変更されたマクスウェルの方程式
    

    

    
    を満たす電磁場であり、
    前記１つ又は複数の構造が、少なくとも１つの導波路又は少なくとも１つの伝送線路を含む、
    請求項１５に記載のコンピュータ・システム。
20. 前記場をシミュレートするときに、前記システムは、
    ａ）前記場の現在の反復上の前記演算子の動作に基づいて新しいソースを決定することと、
    ｂ）前記新しいソースと前記ソースとの間の差に基づいてグローバル残差ソースを決定することと、
    ｃ）前記グローバル残差ソースの大きさが第１の事前設定されたしきい値よりも小さい場合、シミュレーションを終了し、前記場を前記場の前記現在の反復に等しく設定することと、
    ｄ）前記グローバル残差ソースの前記大きさが前記第１の事前設定されたしきい値よりも大きい場合、サブドメインの前記サブセットを決定するために前記複数のサブドメインを走査することであって、前記サブセット内の各サブドメインが、第２の事前設定されたしきい値よりも大きいローカル残差ソース大きさを有する、走査することと、
    ｅ）前記サブドメインの周りの前記拡張されたサブドメインを構築することと、
    ｆ）前記拡張されたサブドメイン内のローカル残差場について解くことと、
    ｇ）前記場の新しい推定値を与えるために、前記サブセットからの前記ローカル残差場のすべてを加算することと、
    ｈ）前記場の前記現在の反復を前記場の前記新しい推定値に等しく設定することと、
    ｉ）前記残差ソースの前記大きさが、前記第１の事前設定されたしきい値よりも小さくなるまで、ステップ（ａ）～（ｈ）を繰り返すことと
    を行うようにさらに構成された、請求項１５に記載のコンピュータ・システム。

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