JP6395224B2

JP6395224B2 - 量子演算方法

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Publication number: JP6395224B2
Application number: JP2015134149A
Authority: JP
Inventors: 東　浩司; 浩司東; 哲哉向井; 山本　俊; 俊山本; 力三生田; 信之井元
Original assignee: Nippon Telegraph and Telephone Corp; Osaka University NUC
Current assignee: Nippon Telegraph and Telephone Corp; Osaka University NUC
Priority date: 2015-07-03
Filing date: 2015-07-03
Publication date: 2018-09-26
Anticipated expiration: 2035-07-03
Also published as: JP2017016008A

Description

本発明は、複数の光の周波数モードに対して線形光学演算を施す量子演算方法に関する。

量子計算および量子通信を行うためには、複数の量子系に対して任意の量子演算を施す技術が重要となる。代表的な量子系の一つとして、周波数モード上に存在する単一光子をキュービット（qubit）に見立て、量子演算を施す枠組みがある。この方法について以下で説明する。

まず、周波数多重化による多次元ヒルベルト空間を考える。この中の任意に選んだ２次元ヒルベルト空間は、キュービットとみなせる。このキュービットは、例えば、古典的な電子計算機のビットに対応させることができる。キュービットの状態を「｜Ｑ〉＝α｜ω_g〉＋β｜ω_e〉」と定義する。ここで、αとβは｜α｜²＋｜β｜²＝１を満たす複素数で、｜ω_g〉は角周波数ωgを持つ単一光子が存在する状態、｜ω_e〉は角周波数ω_eを持つ単一光子が存在する状態を表し、状態｜ω_g〉と状態｜ω_e〉はそれぞれ規格化され、互いに直交する。各光周波数のラベルをｊ（ｊ＝ｇ，ｅ）として、消滅演算子をa_jとすると、「｜ω_j〉＝a_j ^†｜ｖａｃ〉」を満たす。｜ｖａｃ〉は、真空状態である。

光周波数状態間の遷移は、二次の非線形光学結晶で行う。励起光の角周波数をω_pとし、エネルギー保存則「ω_e−ω_g＝ω_p」が満たされているとする。また、非線形媒質内での運動量関係「ｋ_e−ｋ_g−ｋ_p＝Δｋ」は、Δｋ＝０となる位相整合条件を満たすとする。

系のハミルトニアンＨは、励起光が十分強いとき、以下の式により表される（非特許文献１参照）。

結合定数ξは、励起光の複素振幅に比例する量であり、Ｈ．ｃ．は、エルミート共役である。

ここで、以下の式に示すようにユニタリー演算Ｕを定義する。

上記式の定義のもとに、ハイゼンベルク描像に基づいて各モードの消滅演算子の時間発展を解くと、以下の式で示すものとなる。

なお、τは、光が非線形光学結晶を通過する伝播時間である。また、φは、励起光の位相によって変化する（非特許文献１参照）。これを元にした入力光子の光周波数変換は、実験的に示されている（非特許文献２）。

入力状態「｜Ｑ〉＝α｜ω_g〉＋β｜ω_e〉」に対して上記の操作を行うことで、任意の１キュービット操作を行うことが可能である。入力状態に対して、適切な位相関係を保って、上記変換過程が実現することは、非特許文献３〜９において実験的に示されている。状態｜ω_g〉と｜ω_e〉を判別するための測定は、これらの光周波数を分離する光周波数フィルタを用いて分離した後、光子検出器で検出し、光子検出事象の有無を確認することで実現可能と考えられる。この測定と上記のユニタリー演算Ｕとを組み合わせることで、任意の１キュービット演算が可能である。

P. Kumar, "Quantum frequency conversion", Optics Letters, vol.15, no.24, pp.1476-1478, 1990. C Langrock et al., "Highly efficient single-photon detection at communication wavelengths by use of upconversion in reverse-proton-exchanged periodically poled LiNbO3 waveguides", Optics Letters, vol.30, no.13, pp.1725-1727, 2005. S. Tanzilli et al., "A photonic quantum information interface", Nature, vol.437, pp.116-120, 2005. Y. O. Dudin et al., "Entanglement of Light-Shift Compensated Atomic SpinWaves with Telecom Light", Physical Review Letters, vol.105, no.16, 260502, 2010. R. Ikuta et al., "Wide-band quantum interface for visible-totelecommunication wavelength conversion", Nature Communications, vol.2, 537, 2011. S. Ramelow et al., "Polarization-entanglement-conserving frequency conversion of photons", Physical Review A, vol.85, no.1, 013845, 2012. R. Ikuta et al., "High-fidelity conversion of photonic quantum information to telecommunication wavelength with superconducting single-photon detectors", Physical Review A, vol.97, no.1, 010301, 2013. G. Giorgi et al., "Frequency Hopping in Quantum Interferometry: Efficient Up-Down Conversion for Qubits and Ebits", Physical Review Letters, vol.90, no.2, 027902, 2003. Rikizo Ikuta et al., "Observation of two output light pulses from a partial wavelength converter preserving phase of an input light at a single-photon level", Optics Express, vol.21, no.23, pp.27865-27872, 2013.

上述したように、２つの周波数モードから成るキュービットに対して、任意の１キュービット演算はこれまで可能となっているが、周波数モード上の複数キュービットに対する複数キュービット演算技術はこれまでない。例えば、量子通信、量子中継や量子コンピューターに用いられるベル（Bell）測定と呼ばれる基本的な量子測定の技術は存在しない。

本発明は、以上のような問題点を解消するためになされたものであり、光の周波数モード上に存在する複数キュービットに対し、複数キュービット演算を可能にすることを目的とする。

本発明に係る量子演算方法は、強度と位相が制御された励起光と、４つの周波数モードの光とを同時に非線形光学媒質に入射することで、４つの周波数モードに対して線形光学演算を施し、線形光学演算後の４つの周波数モードを出力するためになされたものである。

本発明に係る量子演算方法は、第１周波数モードおよび第２周波数モードより定義される第１光子キュービットと、第３周波数モードおよび第４周波数モードより定義される第２光子キュービットと、強度および位相が制御された励起光とを同時に非線形光学媒質に入射するステップを備え、第３周波数モードは、非線形光学媒質により第１周波数モードと励起光とから生成され、第１周波数モードは、非線形光学媒質により第３周波数モードと励起光とから生成され、第４周波数モードは、非線形光学媒質により第２周波数モードと励起光とから生成され、第２周波数モードは、非線形光学媒質により第４周波数モードと励起光とから生成され、線形光学演算が施された４つの周波数モードで構成される光子キュービットを出力する。

上記量子演算方法において、非線形光学媒質により第１周波数モードまたは第３周波数モードを生成するための励起光のエネルギーと第３周波数モードのエネルギーとの和が、第１周波数モードのエネルギーとされていればよい。

上記量子演算方法において、非線形光学媒質により第２周波数モードまたは第４周波数モードを生成するための励起光のエネルギーと第４周波数モードのエネルギーとの和が、第２周波数モードのエネルギーとされていればよい。

上記量子演算方法において、非線形光学媒質により第１周波数モードまたは第３周波数モードを生成するための励起光と、非線形光学媒質により第２周波数モードまたは第４周波数モードを生成するための励起光とは、同じ周波数とされていればよい。

以上説明したことにより、本発明によれば、光の周波数モード上に存在する複数キュービットに対し、複数キュービット演算が可能になるという優れた効果が得られる。

図１は、本発明の実施の形態における量子演算方法を説明するためのフローチャートである。図２は、本発明の実施の形態における光周波数変換の状態を説明するための説明図である。

以下、本発明の実施の形態について説明する。本発明の実施の形態は、４つの周波数モードの消滅演算子｛ｂ_k｝［ｋ＝０，１，２，３］に対して線形光学演算を施すために、以下の式で示される変換を起こすために（ここで［Ｕ_jk］はユニタリー行列）、強度と位相が制御された励起光と、４つの周波数モードの光を同時に非線形光学媒質に入射する。

より具体的に、本発明の実施の形態について図を参照して説明する。図１は、本発明の実施の形態における量子演算方法を説明するためのフローチャートである。まず第１光子キュービットと、第２光子キュービットと、強度が制御された励起光とを同時に非線形光学結晶に入射する（ステップＳ１０１）。第１光子キュービットは、角周波数ω_1gで定義される第２周波数モードおよび角周波数ω_1eで定義される第２周波数モードより定義され、例えば、その状態は「｜Ｑ₁〉＝α₁｜ω_1g〉＋β₁｜ω_1e〉」と表現される。第２光子キュービットは、角周波数ω_0gで定義される第４周波数モードおよび角周波数ω_0eで定義される第３周波数モードより定義され、例えば、その状態は「｜Ｑ₀〉＝α₀｜ω_0g〉＋β₀｜ω_0e〉」と表現される。非線形光学結晶は、例えば、周期分極反転ニオブ酸リチウム（ＰＰＬＮ）である。

ここで、角周波数ω_0gで定義される第４周波数モードは、非線形光学結晶により角周波数ω_1gで定義される第２周波数モードと励起光とから生成される。また、角周波数ω_1gで定義される第２周波数モードは、非線形光学結晶により角周波数ω_0gで定義される第４周波数モードと励起光とから生成される。また、角周波数ω_0eで定義される第３周波数モードは、非線形光学結晶により角周波数ω_1eで定義される第１周波数モードと励起光とから生成される。また、角周波数ω_1eで定義される第２周波数モードは、非線形光学結晶により角周波数ω_0eで定義される第３周波数モードと励起光とから生成される。各励起光は、例えば、同じ周波数とされている。

上述したことにより、４つの周波数モードに線形光学演算が施され、光の周波数モード上に存在する複数キュービットに対し、複数キュービット演算を施せることになる。

以下、より詳細に説明する。本発明では、非線形光学結晶における２次の非線形光学効果による光周波数変換過程を用いて、光の周波数モード上に存在する複数キュービットに対する複数キュービット演算を実現する。

まず、ヒルベルト空間が４次元の場合を考える。光の角周波数をω_1e（第１周波数モード），ω_1g（第２周波数モード），ω_0e（第３周波数モード），ω_0g（第４周波数モード）とし、ω_1e＞ω_1g＞ω_0e＞ω_0gの関係があるとする。また、キュービットｉの状態は「｜Ｑ_i〉＝α_i｜ω_ig〉＋β_i｜ω_ie〉」と表現され、ここではｉ＝０，１の場合について説明する。ここで、α_iとβ_iは｜α_i｜² + ｜β_i｜² ＝１を満たす複素数で、｜ω_ig〉は角周波数ω_igを持つ単一光子が存在する状態、｜ω_ie〉は角周波数ω_ieを持つ単一光子が存在する状態を表し、状態｜ω_ig〉と状態｜ω_ie〉はそれぞれ規格化され、互いに直交する。また、準位ｊ＝ｇ，ｅとして、各ｉ，ｊの状態に対応する消滅演算子をａ_ijとする。上述した非線形光学結晶により、４つの周波数モードに対して、２キュービット演算のための線形光学演算が施される。

またここでは、励起光の角周波数をω_pとして、エネルギー保存則「ω_1g−ω_0g＝ω_1e−ω_0e＝ω_p」が満たされているとする。これより、「ω_0e−ω_0g＝ω_1e−ω_1g」とすることができるので、実施の形態における非線形光学結晶による周波数変換過程では、各キュービットの状態間のエネルギー差が等しくなるように設定されている。言い換えると、非線形光学結晶によりω_1eまたはω_0eを生成するための励起光のエネルギーとω_0eのエネルギーとの和が、ω_1eのエネルギーとされ、非線形光学結晶によりω_1gまたはω_0gを生成するための励起光のエネルギーとω_0gのエネルギーとの和が、ω_1gのエネルギーとされている。

以下では、準位ｊ（ｊ＝ｇ，ｅ）についての位相（不）整合を、「ｋ_1j−ｋ_0j−ｋ_p＝Δｋ_j」として、「Δｋ_j＝０」が成り立っているとする。

エネルギー保存の式から、実施の形態における光周波数変換過程が、キュービットの識別ラベルｉ＝０，１を混ぜ、キュービット内の準位ｊ＝ｇ，ｅは混ぜない変換になっていることが分かる。従って、準位ｊについてのハミルトニアンをＨ_jとすると、系のハミルトニアンは「Ｈ＝Ｈ_g＋Ｈ_e」と書ける。ハミルトニアンの中身は、励起光が十分強いとき、以下の式で示されるものとなる。

τは光が非線形光学結晶を通過する伝播時間、φは励起光の位相である。この時間発展演算Ｕは、周波数モードａ_0jとａ_1jとの間の線形光学演算となっている。これによる周波数変換の例として、図２にあるような４つの変換プロセスが可能である。一般には、τとφを制御することで周波数モードａ_0jとａ_1jとの間の線形光学演算Ｕを制御し、この仕組みを組み合わせることにより、光の周波数モード上に存在する複数キュービットに対する複数キュービット演算が実現可能である。

以下では、本発明の実施の形態を利用し、量子通信、量子中継や量子コンピューターで必要とされるベル（Bell）測定と呼ばれる基本的な量子測定が実装可能であることを例示する。

まず、キュービット１（第１光子キュービット）およびキュービット０（第２光子キュービット）のベル（Bell）状態を、以下に示す式で定義する。

実施の形態で得られる上記の線形光学演算Ｕにおいて｜ξ｜τ＝π／４とすると、初期状態がベル状態だったキュービット１とキュービット０は非線形光学結晶を通じて、次のように変換される。

上述した式により、キュービット１とキュービット０とを区別できる光周波数フィルタを用い、キュービット１およびキュービット０の各々のモードに１つずつ光子が来たときを事後選択すれば、入力状態が｜ψ^-〉であったと見出される。

また、キュービット１とキュービット０のどちらかでも良いので、準位を区別できる波長フィルタを用いて準位ｇと準位ｅに１つずつ光子が来たときを事後選択すれば、｜ψ⁺〉を事後選択できる。これによりベル測定が実現する。

この測定においては、励起光の光源と、非線形光学結晶と、角周波数ω_1eで定義される第１周波数モードまたは角周波数ω_1gで定義される第２周波数モードを透過する第１周波数フィルタと、角周波数ω_1eで定義される第１周波数モードまたは角周波数ω_1gで定義される第２周波数モードの光子を検出する第１検出器と、角周波数ω_0eで定義される第３周波数モードまたは角周波数ω_0gで定義される第４周波数モードを透過する第２周波数フィルタと、角周波数ω_0eで定義される第３周波数モードまたは角周波数ω_0gで定義される第４周波数モードの光子を検出する第２検出器とを用いる。この場合、非線形光学媒質により第１周波数モードまたは第３周波数モードを生成するための励起光と、非線形光学媒質により第２周波数モードまたは第４周波数モードを生成するための励起光とは、同じ光源から得られるものであり、同じ周波数とされているものとなる。

角周波数ω_1eで定義される第１周波数モードおよび角周波数ω_1gで定義される第２周波数モードで構成されるキュービット１と、角周波数ω_0eで定義される第３周波数モードおよび角周波数ω_0gで定義される第４周波数モードで構成されるキュービット０を、励起光とともに、非線形光学結晶に入射させる。この結果、非線形光学結晶が出射した光から、第１周波数フィルタを通過した光子を第１検出器で検出し、同時に、非線形光学結晶が出射した光より第２周波数フィルタを透過した光子を第２検出器で検出する。この検出結果は、入力の励起光の強度を調整（制御）することで、キュービット０とキュービット１に対するベル測定の結果を与えることになる。

以上で説明したように、本発明の実施の形態によって得られる複数の光の周波数モードに対する線形光学演算を用いれば、光の周波数モード上に存在する複数キュービットに対する複数キュービット演算が実装できる。また、実施例として述べたようにベル測定が可能となる。この実施例の応用の１例は、量子テレポーテーションである。例えば、６つの周波数モードを考える。２次元ヒルベルト空間をキュービットとすると、キュービットが３つある。各々を、キュービット１,キュービット２,キュービット３とする。

予めキュービット２とキュービット３が量子もつれ状態にある場合に、キュービット１とキュービット２に対して実施例に基づくベル測定を行うと、キュービット３にキュービット１の量子状態が転送できる。キュービット１からキュービット３への直接転送には、別の高いエネルギーの励起光が必要となる可能性があるが、この量子テレポーテーションを利用すれば、その必要がなくなり、省エネルギーな状態遷移が可能である。また、直接遷移が不可能な状態でも、状態遷移が可能となる。

なお、本発明は以上に説明した実施の形態に限定されるものではなく、本発明の技術的思想内で、当分野において通常の知識を有する者により、多くの変形および組み合わせが実施可能であることは明白である。

Claims

第１周波数モードおよび第２周波数モードより定義される第１光子キュービットと、第３周波数モードおよび第４周波数モードより定義される第２光子キュービットと、強度および位相が制御された励起光とを同時に非線形光学媒質に入射するステップを備え、
前記第３周波数モードは、前記非線形光学媒質により前記第１周波数モードと励起光とから生成され、
前記第１周波数モードは、前記非線形光学媒質により前記第３周波数モードと励起光とから生成され、
前記第４周波数モードは、前記非線形光学媒質により前記第２周波数モードと励起光とから生成され、
前記第２周波数モードは、前記非線形光学媒質により前記第４周波数モードと励起光とから生成され、
線形光学演算が施された４つの周波数モードで構成される光子キュービットを出力することを特徴とする量子演算方法。
請求項１記載の量子演算方法において、
前記非線形光学媒質により前記第１周波数モードまたは前記第３周波数モードを生成するための励起光のエネルギーと前記第３周波数モードのエネルギーとの和が、前記第１周波数モードのエネルギーとされている
ことを特徴とする量子演算方法。
請求項１記載の量子演算方法において、
前記非線形光学媒質により前記第２周波数モードまたは前記第４周波数モードを生成するための励起光のエネルギーと前記第４周波数モードのエネルギーとの和が、前記第２周波数モードのエネルギーとされている
ことを特徴とする量子演算方法。
請求項１〜３のいずれか１つに記載の量子演算方法において、
前記非線形光学媒質により前記第１周波数モードまたは前記第３周波数モードを生成するための励起光と、前記非線形光学媒質により前記第２周波数モードまたは前記第４周波数モードを生成するための励起光とは、同じ周波数とされている
ことを特徴とする量子演算方法。