JP6273871B2 - 最適波形の演算方法、プログラム及び最適波形演算装置 - Google Patents

Description

本発明は、注入同期系（周波数引き込み）に入力する入力信号の最適波形を設計するのに好適な最適波形の演算方法、プログラム及び最適波形演算装置に関する。

近年の高速無線通信や無線電力伝送の要素技術として、注入同期方式の重要性が高まりつつある。注入同期の本質は、自励発振状態にある発振器に周期的な同期信号（以下「入力信号」ということもある）を直接入力することで、発振器の発振周波数が入力された同期信号の周波数に同調する引き込み現象である。このような注入同期は、自然界の多くの例で知られている。電気回路においても，ファン・デル・ポール(van der Pol) 振動子をはじめとして、古くから多くの例が知られている。最近では，発振器の周波数安定性の向上を念頭に、無線通信信号（搬送波）の低位相雑音化や無線電力伝送の周波数変動の安定化のための要素技術として、またＣＭＯＳ（Complementary Metal Oxide Semiconductor）リングオシレータの性能向上を目的として研究が盛んである。例えば、ミリ波・マイクロ波の分野において、注入同期系の解析には、これまで主として下記式（１）のアドラーの方程式が用いられてきた。

ここで、φは発振器の発振波形と入力波形の位相差、Δωは発振器の発振信号と入力信号の周波数差（離調）、εは発振器の回路によって定まる定数である。また発振波形と入力波形の位相差φは、φ＝ψ−Ωｔで表される。ψは発振波形の位相、Ωは入力波形の角周波数、ｔは時間である。この式（１）を用いた解析手法によって、注入同期系の引き込み周波数帯（ロックレンジ）が定まるのみならず、位相差を含む発振器の過渡状態や同期の安定性解析が可能になる。アドラーの方程式が提案された以降も発振器の弱非線形性の前提のもと、基本波／分数調波／高調波に関わる同期理論の研究が着実に進められてきた。それでもなお、入力が正弦波から大きく異なる場合や、発振器の非線形性が強い場合の取り扱いが困難である。したがって、アドラーの方程式は現在のパルス入力、非線形性が強いＣＭＯＳリングオシレータなどの解析及び設計には用いることができない。そのため、現在の注入同期系の設計の方法は、シミュレーションによる試行錯誤が主となっている。

また、現実的な制約の下で、注入同期系の能力を最大化する最適設計論は存在しなかった。現実的な制約条件とは、例えば入力信号の面積（入力信号の値の絶対値の積分）、パワー、振幅のいずれかが一定であること、あるいはこれらを組み合わせた条件といったものである。

このような背景において、最適設計論のさらなる一般化が期待される中で、発明者らは、非特許文献１，２において、最適設計論の端緒を切り拓いた。さらに、発明者らは、非特許文献３〜５において、注入同期系の物理的限界（性能限界）の存在やその最適化の可能性についての基本問題を解決できることを示唆している。

T. Harada, H.-A. Tanaka, M. J. Hankins, and I. Z. Kiss, ``Optimal waveform for the entrainment of a weakly forced oscillator," Phys. Rev. Lett. vol. 105, no. 8,088301, 2010. A. Zlotnik, Y. Chen, I. Z. Kiss, H.-A. Tanaka, and J. S. Li, ``Optimal waveform for fast entrainment of weakly forced nonlinear oscillators," Phys. Rev. Lett., vol. 111, no. 2,024102, 2013. 西山英里，吉川貴博，田中久陽，「最適注入同期とその応用」，信学技報，非線形問題研究会，社団法人電子情報通信学会，平成２５年３月１４日 田中久陽，「注入同期の物理的限界の実現について 〜理論〜」，信学技報，マイクロ波研究会，社団法人電子情報通信学会，平成２５年９月１２日 田中久陽，「注入同期の物理的限界の実現について 〜応用例〜」，信学技報，マイクロ波研究会，社団法人電子情報通信学会，平成２５年９月１２日

しかしながら、現実的な制約の下で、注入同期系の周波数引き込み性能として重要である引き込み周波数帯（ロックレンジ）を最大化するための最適な入力信号を算出する具体的なアルゴリズムは、これまで提案されていなかった。

上記の状況から、現実的な制約の下で、注入同期系における最適な入力信号を算出する具体的なアルゴリズムが求められていた。

本発明の一態様は、発振器を有する注入同期系に注入する入力信号ｆ（θ）の最適波形を演算する際に、
上記発振器の位相感受関数Ｚ（θ）（ここで、θは入力信号の位相）を取得する処理と、
上記入力信号ｆ（θ）のｐノルムのｐの値を取得する処理と、
上記入力信号ｆ（θ）の１周期の平均値が一定である第１の制約条件（１／（２π）＊〈ｆ（θ）〉＝０）（〈 〉は、θについての１周期にわたる積分）と、上記入力信号ｆ（θ）のｐノルムが一定である第２の制約条件（||ｆ||_ｐ＝Ｍ）（Ｍは正の定数）の下で、上記位相感受関数Ｚ（θ）及び上記ｐの値に基づいて、上記入力信号ｆ（θ）の最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}を、次式を用いて計算する処理と、を実行する。
ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}＝Ｍｓｉｇ［ｇ（θ）］（|ｇ（θ）|／||ｇ||_ｑ）^１／ｐ´
ただし、ｇ（θ）＝Ｚ（θ＋Δφ）−Ｚ（θ）＋λ、Δφ＝φ_＋−φ₋、φ_＋は上記発振器の位相結合関数が極小となるときの発振波形と入力波形の位相差、φ₋は上記発振器の位相結合関数が極小となるときの発振波形と入力波形の位相差、ｐ^−１＋ｑ^−１＝１、ｐ´＝ｐ−１、λはラグランジュの未定乗数である。

本発明の少なくとも一態様によれば、現実的な制約の下で、注入同期系における最適な入力信号を算出することができる。それゆえ、注入同期系の周波数引き込み性能を最大化することが可能となる。

発振器へのパルスの注入タイミング（位相）とパルスの振幅の一例を示したグラフである。 発振器の発振位相のシフト量と発振器へのパルスの注入タイミング例を、入力信号の電圧ごとに示したグラフである。 図３は位相結合関数と引き込み可能領域との関係を示すグラフである。図３左図は注入同期が成立する離調の範囲の一例を示すグラフ（アーノルドタング）であり、図３右図はある入力信号における位相結合関数の一例を示したグラフである。 ｐの値とそれに対応する入力信号ｆ（θ）のｐノルムを示した表である。 本発明の一実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムにおける入力と出力の関係を示した説明図である。 本発明の一実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムを示すフローチャートである。 図６の１＜ｐ＜∞の場合における、未知パラメータ（Δφ，λ）の最適値を算出するサブルーチン処理を示すフローチャートである。 図６のｐ＝∞の場合における、未知パラメータ（Δφ，λ）の最適値を算出するサブルーチン処理を示すフローチャートである。 図６のｐ＝１の場合における、未知パラメータΔφ_ｍａｘの最適値を算出するサブルーチン処理を示すフローチャートである。 本発明の一実施の形態に係る最適波形演算装置の概略構成を示すブロック図である。 図１０の最適波形演算装置を、注入同期型のＣＭＯＳリングオシレータに適用した場合の概略構成を示す図である。 図１２Ａは１周期が１．４３／２０πＴのパルス、図１２Ｂは１周期がπ／２０πＴのパルスの波形図である。 注入同期型のＣＭＯＳリングオシレータのロックレンジを示すグラフ（アーノルドタング）である。 注入同期型のＣＭＯＳリングオシレータにおけるロックレンジと正負のパルスの位相差の関係を示すグラフである。 図１０の最適波形演算装置を、注入同期型のＥ級発振器に適用した場合の概略構成を示す図である。 注入同期型のＥ級発振器における位相感受関数の一例を示したグラフである。 図１７Ａは発振器に入力する正弦波、図１７Ｂは矩形波、図１７Ｃはパルス波の一例を示した波形図である。 注入同期型のＥ級発振器のロックレンジを示すグラフ（アーノルドタング）である。 ベクトルを利用した任意波形の生成処理についての説明図である。 ＧＡによる評価値（ロックレンジ）の収束過程の一例を示したグラフである。 本発明の一実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムより求めた厳密解とＧＡによる探索解の一例を示したグラフである。図２１Ａは１０００世代探索時の結果、図２１Ｂは１００００世代探索時の結果、図２１Ｃは１５００００世代探索時の結果を表している。 本発明の一実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムを用いた場合とＧＡを用いた場合の、最適波形の算出にかかる時間を比較したグラフである。 ＧＡによるサンプル数別の探索解の一例を示したグラフであり、図２３Ａはサンプル数５０のときの探索解の例、図２３Ｂはサンプル数１００のときの探索解の例である。

以下、本発明を実施するための形態の例について、添付図面を参照しながら説明する。なお、各図において共通の構成要素には、同一の符号を付して重複する説明を省略する。

本発明は、背景技術とその問題点をふまえ、所与の発振器に対し、注入同期系の入力信号の波形を最適化し、注入同期性能を最大化するものである。そこで、本発明の一実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムでは、次の着想点(１)と着想点(２)によって上記問題を解決している。その詳細については、後述する[具体的なアルゴリズム]において説明する。

＜着想点（１）＞
着想点（１）は、ロックレンジの算出のために発振器の発振位相に関する方程式を用いることである。上述したように、注入同期系の解析において従来主流であったアドラーの方程式は、その適用範囲に課題が残っていた。一方で、物理の分野でも同様の研究が進み、下記の発振位相に関する方程式が得られている。

ここで、〈 〉はθについての１周期にわたる積分を示し、Γ（φ）は位相結合関数である。Ｚ(θ)は位相感受関数と呼ばれる、発振器（振動子）の非線形特性を表す周期関数である。位相感受関数Ｚ（θ）より、発振器の内部機構（発振状態）を表す特性が得られる。ｆ（θ）は入力信号である。以降の説明において、位相結合関数Γ（φ）、位相感受関数Ｚ（θ）及び入力信号ｆ（θ）をそれぞれ、Γ、Ｚ及びｆと略記することもある。

位相感受関数は、インパルス感度関数（ＩＳＦ：Impulse Sensitivity Function）とも呼ばれる。位相感受関数は、発振器に微小なインパルス電流が注入された際に、これにより引き起こされる発振位相の僅かなシフト量と、微小インパルス電流の注入のタイミングとの関係を示す関数である。よって、位相感受関数は、発振器の出力波形の１周期にわたって、微小なパルスの注入タイミング（位相）を少しずつ変えて、そのタイミング毎に位相シフト量を測定することで得られる。図１は、発振器へのパルスの注入タイミング（位相［ｒａｄ］）とパルスの振幅［Ｖ］の一例を示している。図１の例では、（２π×０．１）のパルス幅を持つパルス１に続いて、同様な波形のパルス２をタイミングをずらして発振器に入力している。同様にして、同一波形のパルスを１周期にわたり所定の位相差でタイミングをずらして発振器に入力していく。

図２は、ある発振器の発振位相のシフト量［１０^−２ｒａｄ］と発振器へのパルスの注入タイミング（位相［ｒａｄ］）との関係例を、バイアス電位Ｖｂごとに示したグラフである。ここでは、パルスを注入してから１００周期を経過後の発振位相の変化量を、注入したパルスの面積で割って正規化している。図２において３つの位相感受関数３〜５を示したように、バイアス電位Ｖｂが大きいほど、位相シフト量が大きくなることがわかる。なお、発振器の内部機構を反映した位相感受関数（インパルス感度関数）を推定する他の方法として、発明者らが提案した発振器の内部機構の推定方法（特開２０１０−１４７５９９号公報）を用いることもできる。

式(２)の入力信号ｆ（θ）は正弦波のみに限定されず任意の波形としてよい。また発振器の位相感受関数Ｚ(θ)が何らかの方法で得られるのであれば、対象とする発振器の非線形性の強さに制限はない。さらに、入力信号ｆ(θ)＝ｓｉｎ（θ）（あるいは位相感受関数Ｚ(θ)＝ｓｉｎ（θ））とすると、式(２)はアドラーの方程式である式(１)と同一の表式となる。つまり、式(２)はアドラーの方程式の自然な一般化ということができる。本発明では、この強力な方程式を、入力信号の最適波形を演算するためのアルゴリズムの土台として用いる。式(２)より、位相感受関数Ｚ（θ）の特性を持つ発振器に対し、入力信号ｆ（θ）を入力する場合のロックレンジを求める。位相感受関数Ｚ（θ）と入力信号ｆ（θ）が与えられると、位相結合関数Γ（φ）が求まる。

図３は、位相結合関数と引き込み可能領域との関係を示すグラフである。図３左図は注入同期が成立する離調の範囲の一例を示すグラフ（アーノルドタング）であり、図３右図はある入力信号における位相結合関数の一例を示したグラフである。図３左図の横軸は入力信号の強度、縦軸は発振周波数差（−Δω）であり、図３右図の横軸は発振位相差（φ）、縦軸は位相結合関数（Γ（φ））である。

注入同期が成立する必要十分条件は、『発振波形と入力波形の位相差φがｄφ／ｄｔ＝０かつΓ（φ）´＜０（図３右図の位相結合関数６の太線部）を満たす』ことであり、位相結合関数Γ（φ）の最大値Γ（φ_＋）と最小値Γ（φ₋）の範囲内に離調（−Δω）が入っていることと等価である。つまりロックレンジＲは、Ｒ＝Γ（φ_＋）−Γ（φ₋）と求まる。位相差φ_＋は位相結合関数Γ（φ）が最大（極大）となるときの位相差であり、位相差φ₋は位相結合関数Γ（φ）が最小（極小）となるときの位相差である。図３左図に示すような、ある入力信号の強度における注入同期が成立する離調の範囲を表すグラフはアーノルドタングと呼ばれ、注入同期の性能の評価に用いられる。

（ｍ：ｎ引き込み）
以上は、発振器の発振波形と入力波形の周波数比が１：１の場合であるが、同様のことがｍ：ｎ引き込み（いわゆる高調波分数調波同期ないし逓倍・分周動作）の場合にも成立する。その場合には式（２）は、式（３）のようになる。

ロックレンジを最大化する入力信号ｆ（θ）を求める問題は、式（２）のΓ（φ）の最大値と最小値の差を最大とするような入力信号ｆ（θ）を求める問題として考えることができる。ただし、入力信号ｆ（θ）の振幅が大きいほどロックレンジが大きくなることは自明なので、公平のために入力信号ｆ（θ）に対して制約条件を課したうえで最適化を行なう必要がある。現実的な制約条件としては、例えば入力信号ｆ（θ）の面積、パワー、振幅のいずれかが一定であること、あるいはこれらの制約の２以上を組み合わせた条件などが挙げられる。

＜着想点（２）＞
着想点（２）は、ロックレンジの上界を導出するために不等式を用いることである。

式（２）式より、ある発振器に入力信号ｆ（θ）を入力したときの発振器のロックレンジＲは、下記式（４）で表すことができる。

さらに、ロックレンジＲを最大化する問題を厳密に解くために、極値問題としての定式化を行なう。その際、制約条件として入力信号ｆ（θ）の１周期の平均値が一定（式（５））と、入力信号ｆ（θ）のｐノルムが一定（式（６））であるという条件を課す。ただし、ｐ≧１であり、Ｍは正の定数とする。

以降では、簡単のため式（５）においてＣ＝０とする。これはチャージバランス制約とも呼ばれる。また式（６）においてｐの値によってＭの物理的意味は異なる。代表例として、ｐ＝１，２，無限大の場合におけるＭの物理的意味を、図４に示している。図４は、ｐの値とそれに対応する入力信号ｆ（θ）のｐノルムを示した表である。

表１より、ｐの値を変えることで、入力信号ｆ（θ）の制約条件の物理的意味を様々に変えられることがわかる。式（５），（６）の制約条件のもと、下記式（７）に示す汎関数を定義することができる。ここでλは、ラグランジュの未定乗数である。

発明者らは、式（７）の右辺をヘルダーの不等式で表せることを見出し、その等号成立条件を導くことで、汎関数Ｊ［ｆ］の上界を与える方法を考案した。ヘルダーの不等式とは、下記式（８）で表される不等式である。

ここで、ｐ^−１＋ｑ^−１＝１である。汎関数Ｊ［ｆ］は式（４）,（７）を用いて、下記式（９）のように変形できる。

式（９）の４段目の不等式の等号が成立するならば、汎関数Ｊ［ｆ］が最大になると言える。ヘルダーの不等式の等号成立条件より、汎関数Ｊ［ｆ］が最大となる際の入力関数ｆと関数ｇの関係式が導かれる。関数ｇは、発振器の発振状態を表す情報を含む関数である。ヘルダーの不等式の等号成立条件より、式（１０）が成り立つ。

上記式（１０）を、下記式（１１）のように表すことができる。ｓｉｇ［ｇ（θ）］は、ｇ（θ）が正のとき“＋１”の値をとり、ｇ（θ）が負のとき“−１”の値をとる。

ここで、下記式（１２）が成り立つことから、式（１１）の（ｓ／ｒ）^１／ｐは、下記式（１３）により与えられる。

そして、式（１１），（１３）から下記式（１４）が導かれる。

下記式（１５）は、式（１４）において、ｐ´＝ｐ−１とおいたときの式である。この式（１５）は、式（５），（６）を満たす制約条件の下、ロックレンジを最大にする最適波形を表す基本的な要素である。

式（１５）におけるｇ（θ）＝Ｚ（θ＋Δφ）−Ｚ（θ）＋λは、未知パラメータであるΔφ，λを含むので、最適波形を一意に定めるためには、Δφ，λの最適値を求める必要がある。式（９）より所与のＺ（θ）と最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}（θ）の内積は、次式となる。

Ｍ，αが正の定数であることから、関数Ｆ［ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}］が最大化するためには実質<|ｇ|_α>を考えればよい。そこで、以下の式（１７）を定義する。

一方で、式（１６）を式（５）に代入し、チャージバランス制約を意味する下記式（１８）,（１９）を定義する。

（１＜ｐ＜∞の場合）

（ｐ＝∞の場合）

以上より、関数Ｇ（Δφ，λ）＝０の制約下において関数Ｆ（Δφ，λ）を最大化するために、下記式（２０）が自然に定義される。ここで、μはラグランジュの未定乗数である。

つまり、関数Ｆ（Δφ，λ）の極値を関数Ｇ（Δφ，λ）＝０の制約下で求める問題を、関数Ｈ（Δφ，λ）の極値を求める問題に帰着させて考える。したがって、関数Ｇ（Δφ，λ）＝０とともに下記式（２１）を解けばよい。

ここで、関数Ｆ（Δφ，λ）の偏微分をとると、ｐの値が１＜ｐ＜∞のときは下記式（２２），（２３）で表される。

（１＜ｐ＜∞の場合）

また、ｐの値が無限大のときは、関数Ｆ（Δφ，λ）の偏微分は下記式（２４），（２５）で表される。

（ｐ＝∞の場合）

式（２２）〜（２５）より、Ｆ_２（Δφ，λ）＝０とＧ（Δφ，λ）＝０は等価である。したがって、Ｆ_１（Δφ，λ）＝Ｆ_２（Δφ，λ）＝０を解けば自動的にチャージバランス制約を満たすことになる。つまり、関数Ｈ（Δφ，λ）の極値を求める問題は、最終的に関数Ｆ（Δφ，λ）の極値を求める問題に簡単化される。

Ｆ_１（Δφ，λ）＝Ｆ_２（Δφ，λ）＝０を満たす（Δφ，λ）が、関数Ｈ（Δφ，λ）の極大又は極小のいずれに対応するかは、境界つきヘッセ行列Ｈ（Ｈ）のへシアン|Ｈ（Ｈ）|の符号により判定できる。ヘッセ行列Ｈ（Ｈ）とへシアン|Ｈ（Ｈ）|をそれぞれ式（２６），（３３）に示す。ヘシアンに関する式（３３）を計算し、へシアン|Ｈ（Ｈ）|＞０ならば、関数Ｈ（Δφ，λ）が極大をとることを意味する。一方、へシアン|Ｈ（Ｈ）|＜０ならば、関数Ｈ（Δφ，λ）が極小をとることを意味する。

以下は、１＜ｐ＜∞の場合における式（２６）に示したヘッセ行列の各要素である。
（１＜ｐ＜∞の場合）

以下は、ｐ＝∞の場合における式（２６）に示したヘッセ行列の各要素である。
（ｐ＝∞の場合）

ここで、式（３４）〜（３９）のθ_ｉは、ｇ（θ）＝０のｉ番目の根であり、根の数をｎとする。また、Ｚ_ｄ（θ）≡Ｚ（θ＋Δφ）−Ｚ（θ）である。

図５は、本発明の一実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムにおける入力と出力の関係を示した説明図である。最適波形演算アルゴリズムは、後述する最適波形演算装置１７（図１０参照）において実行される。最適波形演算装置１７については別途詳細に説明する。
まず、上記式（１５）を用いる最適波形演算アルゴリズムに対し、「位相感受関数Ｚ」と「ｐの値」の情報を入力する。ｐの値は、注入同期系の設計者又は利用者が選択するパラメータである。次に、最適波形演算アルゴリズムは、与えられた制約条件下（例えば、ｐ＝１，２，∞）で最適な入力波形を演算する。そして、最適波形演算アルゴリズムは、ｐの値ごとに入力信号ｆ（θ）の最適解ｆ_ｏｐｔを出力する。例えば、入力信号として、ｐ≒１の場合にはパルス波、ｐ≒２の場合には正弦波、さらにｐ≒∞の場合には矩形波が得られる。

＜具体的なアルゴリズム＞
［最適波形の生成処理_１：１同期］
次に、本発明の一実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムを、図６〜図９を参照して説明する。ここでは、１：１同期（引き込み）の場合について説明する。

図６は、本発明の一実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムを示すフローチャートである。
まず、最適波形演算アルゴリズムに、パラメータとしてｐの値を与える（ステップＳ１）。ｐの値については、利用者が注入同期系の特性に合わせて所望する入力信号の波形に基づいて決定する。またｐの物理的意味（面積一定、パワー一定、振幅一定など）から決定してもよい。ここでは、位相感受関数Ｚ（θ）が最適波形演算アルゴリズムに与えられているものとする。以降の処理は、与えられたｐの値が（i）１＜ｐ＜∞、（ii）ｐ＝∞、（iii）ｐ＝１のいずれであるかによって異なる。ｐの値が１＜ｐ＜∞の場合にはステップＳ３に進み、ｐ＝∞の場合にはステップＳ６に進み、さらにｐ＝１の場合にはステップＳ９に進む（ステップＳ２）。以下では、ノルムｐにおける入力信号ｆ（θ）の最適波形を、「ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}」のように表記する。

（（i） １＜ｐ＜∞の場合）
最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}は、式（４０）で表される。この式（４０）で表される最適波形は、連続波である。ここで、関数ｇ（θ）は式（４１）で表される。

関数ｇ（θ）に含まれる（Δφ，λ）は未知のパラメータであり、これらのパラメータが最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）をとるとき、ロックレンジが最大となる。そこで、まず真の最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）を算出する（ステップＳ３）。この最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）は、図７のフローチャートに示した手順によって算出される。

図７は、１＜ｐ＜∞の場合における、未知パラメータ（Δφ，λ）の最適値を算出するサブルーチン処理を示すフローチャートである。
まずサブルーチンは、式（２２），（２３）に基づく下記式（４２），（４３）に示す関数Ｓｐ，Ｔｐそれぞれの解曲線の交点の座標（Δφ_＊，λ_＊）を全て求め、メモリ（例えば、図１０のＲＡＭ２３）に格納する（ステップＳ２１）。これにより、パラメータ（Δφ，λ）の最適値の候補を大域的に漏れなく求めることができる。

次に、サブルーチンは、これらの交点の座標をより高精度に再取得し、メモリに格納する（ステップＳ２２）。そのための手法としては、一例としてニュートン法が適している。ニュートン法は、方程式系を数値計算によって解くための反復法による求根アルゴリズムの１つであり、接線の性質を利用している。ニュートン法について一般化して説明すると、方程式ｆ（ｘ）＝０に対して関数ｙ＝ｆ（ｘ）を考え、まず適当なｘを取ってｆ（ｘ）に対する接線を求める。接線がｘ軸の交点におけるｘの値は最初のｘよりも解に近いため、このｘについて再び接線を求めると、そのｘ軸との交点はさらに解に近づく。この操作を何度も繰り返し行なっていくと、ｘの値は解に収束していくため、回数に応じた精度の解の近似値を得ることができる。ここでは、上記説明のｘを（Δφ，λ）に置き換え、ｆ（ｘ）をＳ_ｐ（Δφ，λ），Ｔ_ｐ（Δφ，λ）に置き換えて解を求める。

次に、サブルーチンは、求めた各交点の座標（Δφ_＊，λ_＊）について、式（３３）のヘシアン|Ｈ（Ｈ）|を算出する（ステップＳ２３）。

ここで、ヘシアン|Ｈ（Ｈ）|＞０であるかどうかを判断する（ステップＳ２４）。ヘシアン|Ｈ（Ｈ）|＞０ではないならば、その座標（Δφ_＊，λ_＊）は最適値の候補から除外する（ステップＳ２８）。一方、ヘシアン|Ｈ（Ｈ）|＞０である座標（Δφ_＊，λ_＊）に対しては、それぞれに対応するロックレンジＲを式（２）より算出する（ステップＳ２５）。

そして、そのうちロックレンジＲが最大となる座標（Δφ_＊，λ_＊）を最適値と判定し、（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）とする（ステップＳ２６）。この最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）を戻り値として最適波形演算アルゴリズムのメインルーチン（図６）へ戻り（ステップＳ２７）、処理を終了する。

図６の最適波形演算アルゴリズムのメインルーチンに戻る。
次に、これら最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）を、関数ｇ（θ）についての式(４１)に代入し、関数ｇ（θ）を計算する（ステップＳ４）。

さらに、この関数ｇ（θ）を式（４０)に代入し最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}（θ）を得る（ステップＳ５）。最後に、最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}（θ）についての情報を出力し（ステップＳ１１）、処理を終了する。

（(ii) ｐ＝∞の場合）
最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}は、式（４４）で表される。この式（４４）で表される最適波形は、矩形波である。ここで、関数ｇ（θ）は式（４１）で表される。

１＜ｐ＜∞の場合と同様に、まず関数ｇ（θ）に含まれる未知パラメータ（Δφ，λ）の真の最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）を算出する（ステップＳ６）。この最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）は、図８のフローチャートに示した手順によって算出される。

図８は、ｐ＝∞の場合における、未知パラメータ（Δφ，λ）の最適値を算出するサブルーチン処理を示すフローチャートである。図８に示す処理の手順（ステップＳ３１〜Ｓ３７）は、１＜ｐ＜∞の場合（図７のステップＳ２１〜Ｓ２７）と同様であるが、計算に用いる式は異なる。

すなわち、ｐ＝∞の場合には、ステップＳ３１において、式（２４），（２５）を用いて関数Ｓｐ，Ｔｐそれぞれの解曲線の交点の座標（Δφ_＊，λ_＊）を求める。また、ステップＳ３３において、ヘッセ行列の各要素は式（３４）〜（３９）に示した内容である。

そして、ロックレンジＲが最大となる座標（Δφ_＊，λ_＊）を最適値と判定し（ステップＳ３６）、この最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）を戻り値として最適波形演算アルゴリズムのメインルーチン（図６）へ戻り（ステップＳ３７）、処理を終了する。

図６の最適波形演算アルゴリズムのメインルーチンに戻る。
次に、これら最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）を、１＜ｐ＜∞の場合と同様に、関数ｇ（θ）についての式（４１）に代入し関数ｇ（θ）を計算する（ステップＳ７）。この関数ｇ(θ)を式（４４）に代入し最適波形ｆ_{ｏｐｔ，∞}（θ）を得る（ステップＳ８）。最後に、最適波形ｆ_{ｏｐｔ，∞}（θ）についての情報を出力し（ステップＳ１１）、処理を終了する。

（(iii)ｐ＝１の場合）
最適波形は、ｐを１に限りなく近づけた場合（ｐ→１）の極限として得られる。（i）１＜ｐ＜∞の場合の最適波形は、ｐを１に近づけるに従い正負一対の鋭いパルスとなる。そのため、ここでは、（i）１＜ｐ＜∞の場合におけるｐ→１の極限として、下記式（４５）に示すチャージバランス制約（すなわちλ＝０）を満たす正負一対のパルスを考える。

式（４５）におけるΔ（θ）は、幅がゼロかつ高さが無限に漸近するパルスである。未知パラメータは、最大位相差Δφｍａｘ＝θｍａｘ−θｍｉｎのみとなる。ここで、θｍａｘ，θｍｉｎはそれぞれ、関数ｇ（θ）が最大，最小となる位相に対応する。この最大位相差Δφｍａｘは、図９のステップＳ４１〜Ｓ４４の手順により算出される。

図９は、ｐ＝１の場合における、未知パラメータΔφ_ｍａｘの最適値を算出するステップＳ９のサブルーチン処理を示すフローチャートである。
まずサブルーチンは、下記式（４６）に示す関数Γ_０（φ）の解を、Δφを変えながら算出する（ステップＳ４１）。

この関数Γ_０（φ）の最大値と最小値の差は、ｐ＝１の場合におけるロックレンジＲを表す。そのため、ロックレンジＲをΔφの関数Ｒ（Δφ）として得ることができる。そこで、関数Ｒ（Δφ）を算出する（ステップＳ４２）。

次に、関数Ｒ（Δφ）より、ロックレンジＲが最大となる位相差Δφ（≡Δφｍａｘ）を算出する（ステップＳ４３）。この最大位相差Δφｍａｘを戻り値として最適波形演算アルゴリズムのメインルーチン（図６）へ戻り（ステップＳ４４）、処理を終了する。

図６の最適波形演算アルゴリズムのメインルーチンに戻る。
次に、求めた最大位相差Δφｍａｘの値を、式（４５）のΔφｍａｘに代入し、最適波形ｆ_＊，１（θ）を得る（ステップＳ１０）。最後に、最適波形ｆ_＊，１（θ）についての情報を出力し（ステップＳ１１）、処理を終了する。

［最適波形の生成処理_ｍ：ｎ同期］
以上、発振器の発振信号と入力信号の周波数比が１：１である１：１同期の場合についての最適波形の生成処理の手順を示した。以降では、ｍ：ｎ同期の場合について最適波形の生成処理の手順を説明する。

(i) １＜ｐ＜∞，（ii） ｐ＝∞の場合
ｍ：ｎ同期の場合、Ｚ（θ）からｎ×ｊ次（ｊ：正の整数）の高調波成分のみを抽出したＺ_ｎ（θ）を用意し、これに上記の［最適波形の生成処理_１：１同期］を適用すればよい。その結果得られた最適波形ｆ_ｍ（θ）をｆ_ｍ（ｎθ）として発振器に入力することで、ロックレンジの最大化を行うことができる。なぜなら三角関数（周期関数）の直交性より、式（３）の位相結合関数において、Ｚ（ｍθ）のｎ×ｊ次の高調波成分Ｚ_ｎ（ｍθ）と、ｆ（ｎθ）のｍ×ｋ次（ｋ：正の整数）の高調波成分ｆ_ｍ（ｎθ）のみが互いに畳み込み積分に寄与するからである。
例外として、ｎ＝１（いわゆる逓倍動作）の場合の最適波形は存在しない。ｎ＝１ならば、式（４０）の最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}（θ）又は式（４４）の最適波形ｆ_{ｏｐｔ，∞}（θ）のｍ周期のうちから最初の１周期のみを抽出したクリップ波形ｆ_{ｃｌｉｐ，ｐ}（θ）を生成することによって、周波数逓倍の効果を得ることができる。

ここで、クリップ波形ｆ_{ｃｌｉｐ，ｐ}（θ）は制約条件である式（５）を満たしている。さらに、クリップ波形ｆ_{ｃｌｉｐ，ｐ}（θ）のｐノルムＭが一定であるという式（６）の制約条件を満たすように、定数Ｃ＝ｍ^１／ｐＭとする。このクリップ波形ｆ_{ｃｌｉｐ，ｐ}（θ）を発振器に入力することで得られるロックレンジは、１：１同期の場合に得られるロックレンジの最大値よりも低下するものの、パラメータ（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）の最適性は維持される。すなわち、１：１同期の場合に算出した（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）をそのまま用い、クリップ波形ｆ_{ｃｌｉｐ，ｐ}（θ）を生成すればよい。

（iii） ｐ＝１の場合
この場合、定数Ｃ＝ｍ^１／ｐＭ＝ｍＭである。よって発振器に下記式（４８）に示すクリップ波形を入力することで、１：１同期の場合と同じロックレンジを得ることができる。

［最適波形の生成処理_線形安定性の最大化］
注入同期が成立している状態における発振器の発振信号と入力信号の位相差φをφ_*とすると、Γ（φ_*）´は引き込み状態の安定性を意味する。以上では、ロックレンジＲ（＝Γ（φ_＋）−Γ（φ₋））の最大化を達成するためのアルゴリズムを示したが、同様の方法で−Γ（φ_*）´を最大化することで引き込み状態の（線形）安定性を最大化することも可能である。線形安定性の最大化により、注入同期系が引き込みに至る速度を最大化する効果を得ることができる。
具体的には、Ｚ（θ）をＺ´（θ）（Ｚ（θ）の微分）に置き換えた上で以上のアルゴリズムを実行すればよい。これにより、注入同期系の線形安定性を最大化するための入力信号を得ることができる。

＜本実施の形態による効果＞
以上説明した本実施の形態により以下の効果が得られる。
従来の変分法を用いた最適設計論では、入力信号のパワー一定の制約条件しか課すことができなかった。しかし、本実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムによれば、入力信号に対し、面積、パワー、振幅のいずれかが一定という制約条件を課すことができる。さらに、これらの２以上を組み合わせた制約条件といった広いクラスの制約条件を課すことができる。
それゆえ、入力信号に対して種々の物理的制約が課される場合においても、注入同期系の最適設計を行うことができる。
また、入力信号の最適解としてパルス、矩形波といった非線形性の強い波形が必要な場合においても、注入同期系の最適設計を行なうことができる。
このように、本実施の形態によれば、現実的な制約条件の下で、種々の注入同期系に対し、注入同期系の引き込み性能として重要である引き込み周波数帯（ロックレンジ）を最大化するための入力信号を算出することができる。すなわち、所与の発振器に対し、入力信号の波形を最適化し、注入同期系の性能を最大化すること（物理的限界）を実現できる。

さらに、本実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムでは、計算式により網羅的に最適解の候補を挙げ、かつそれらが正しいか検証する処理を含むため（図６参照）、得られる最適解（厳密解）は、真の最適解であることが保証される。
すなわち、最適波形演算アルゴリズムは、シミュレーションやランダム性を利用した探索アルゴリズムを一切要さないので、極めて少ない計算量及び計算時間によって注入同期系の最適設計を行うことができる。

＜最適波形演算装置の構成例＞
次に、上述した最適波形演算アルゴリズムを実行するための最適波形演算装置の一例を説明する。

図１０は、本発明の一実施の形態に係る最適波形演算装置の概略構成を示すブロック図である。なお、図１０は、最適波形演算装置を適用した無線通信システムの概略構成も示している。

無線通信システム１０は、図１０に示すように、注入同期系１１と、高周波変換器１５と、アンテナ１６と、最適波形演算装置１７とを備える。

注入同期系１１は、信号源１２と、入力信号生成器１３と、発振器１４とを備えている。信号源１２は、発振器３０に注入する信号（入力信号）の元になる所定周波数の交流信号を発生させるものであり、例えば電圧源が用いられる。入力信号生成器１３は、デジタル／アナログ変換器又は入力信号の波形（電圧）を生成するハードウェアである。入力信号生成器１３は、信号源１２から供給された交流信号を用い、最適波形演算装置１７より供給される制御信号及び入力データに基づいて発振器１４の内部機構に合わせて最適な入力信号を生成し、発振器１４に供給する。発振器１４は、入力信号生成器１３から供給された入力信号の周波数に同調して発振し、発振信号を高周波変換器１５に供給する。

高周波変換器１５は、発振器１４から供給された発振信号の周波数を無線通信用の高周波数に変換し、高周波信号を生成する。そして、高周波信号に応じた無線信号がアンテナ１６から空間に放射（出力）される。

最適波形演算装置１７は、図１０に示すように、演算部２１と、制御部２２と、ＲＡＭ（Random Access Memory）２３と、ＲＯＭ（Read-Only Memory）２４と、データベース２５と、２つの入出力ポート２６，２７と、入力部２８と、表示部２９とを備える。そして、最適波形演算装置１７を構成する各部は、制御信号、入力データ及び出力データを流す信号線１７ａに接続されている。ＲＡＭ２３、ＲＯＭ２４及びデータベース２５は、記憶部の一例である。

なお、信号線１７ａは、入出力ポート２６を介して出力ライン１７ｂに接続される。出力ライン１７ｂは、入力信号生成器１３の所定位置に接続され、入力信号生成器１３に制御信号及び最適波形の情報を含む入力データを出力する。また、信号線１７ａは、入出力ポート２７を介してプローブ１７ｃに接続される。プローブ１７ｃは、発振器１４内の所定位置に接続され、発振器１４の出力信号を取得する。すなわち、発振器１４の出力信号はプローブ１７ｃ及び入出力ポート２７を介して信号線１７ａに入力される。

演算部２１は、主に、入力信号生成器１３から発振器１４へ入力する入力信号ｆ（θ）の波形を算出する。具体的には、演算部２１は、ＲＯＭ２４から最適波形演算アルゴリズムが記述されたプログラムを読み出し、ＲＡＭ２３をワークエリアとして用いて演算を行う。そして、演算部２１は、読み出したプログラムをＲＡＭ２３に展開し、上述した最適波形演算アルゴリズムに従って注入同期系１１に応じて入力信号の最適波形を算出する。なお、ＲＡＭ２３には、入力部２８から入力された情報も格納される。

制御部２２は、例えばＣＰＵ（Central Processing Unit）等の演算制御装置で構成され、最適波形演算装置１７を構成する各部を制御する。例えば、演算部２１での演算動作等は、制御部２２により制御される。なお、演算部２１が、ＣＰＵ（Central Processing Unit）等の演算制御装置で構成されていてもよい。

データベース２５は、ＲＯＭ２４に接続される。また、データベース２５には、例えば、最適波形の演算で用いる各種計算式などの最適波形の演算時に必要なデータがテーブルとしてまとめられ、格納される。

入力部２８は、例えばキーボード、マウス、あるいはタッチパネル等が用いられる。入力部２８に対するユーザの入力操作に応じた操作信号が生成され、その操作信号が制御部２２に入力される。

表示部２９は、算出された最適波形や発振器１４からの出力信号の波形を表示する。なお、表示部２９としては、例えば、液晶ディスプレイ等を用いてもよい。また、表示部２９をオシロスコープ等で構成してもよい。

このように構成された最適波形演算装置１７を用いて最適波形の生成処理を行う際、ユーザは、まず最適化の対象となる発振器１４の位相感受関数Ｚ（θ）をインパルス応答関数法等により取得する。次に、ユーザは入力部２８を用いて、その位相感受関数Ｚ（θ）及びパラメータｐの値を最適波形演算装置１７に入力し、ＲＡＭ２３又はデータベース２５に保存する。そして、最適波形演算装置１７において、位相感受関数Ｚ（θ）及びパラメータｐの値に基づいて、最適波形の演算が実行され、最適波形演算装置１７から波形を生成するハードウェアである入力信号生成器１３に最適波形の情報が提供される。

ここで、位相感受関数Ｚ（θ）を、最適波形演算装置１７を用いて取得してもよい。すなわち、出力ライン１７ｂを介して、最適波形演算装置１７から入力信号生成器１３に対し、複数の微小インパルス電流を発振器１４へタイミングを少しずつ変えて入力するよう指示する。最適波形演算装置１７は、プローブ１７ｃを介して発振器１４から入力された発振信号から、複数の微小インパルス電流毎に発振位相シフト量を計算し、発振器１４のインパルス応答関数（位相感受関数Ｚ（θ））を得る。

＜最適波形演算装置をＣＭＯＳリングオシレータに適用した場合＞
以上、一般の発振器１４について、ロックレンジが最大となる入力信号を生成する最適波形演算アルゴリズム、及びこれを実行する最適波形演算装置１７を示した。すなわち、少なくとも本実施の形態により、所与の発振器及び、それに付随する入力信号を発振器に作用させるための入力段を含む注入同期系が実現しうるロックレンジの最大値を得ることができる。さらに、全体像をより明確にするため、発振器１４として３段のＣＭＯＳリングオシレータを用いた場合の例を説明する。

図１１は、最適波形演算装置１７（図６）を、注入同期型のＣＭＯＳリングオシレータに適用した場合の概略構成を示す図である。
注入同期系１１は、図１１に示すように、入力信号生成器３１と、ＣＭＯＳリングオシレータ３２とを備える。入力信号生成器３１には最適波形演算装置１７が接続されている。入力信号生成器３１は、パルスを発生させるパルス発生回路３１１と、入力信号のレベルをシフトさせるバイアス回路３２２とを備える。バイアス回路３２２から出力された入力信号は、ＣＭＯＳリングオシレータ３２の２段目と３段目のインバータの間のＡ点に接続されたトランジスタ素子３２１に入力される。注入回路であるトランジスタ素子３２１は、入力信号の注入端子として機能し、ＣＭＯＳリングオシレータ３２の２段目と３段目のインバータをつなぐスイッチの役割を果たす。このＣＭＯＳリングオシレータ３２を含む注入同期系１１の回路構成は、非特許文献５の図２と同じである。

既述の非特許文献（４）では、注入同期型ＣＭＯＳリングオシレータを無線通信の搬送波の生成に用いることを念頭に、入力信号としてパルスを用いることで発振波形のスプリアスの抑圧を行なっている。パルス入力がスプリアスの抑圧に有効である理由は、連続波を入力するよりもＣＭＯＳリングオシレータ３２のＡ−Ｂ点間の電流の変動が瞬時的となり、発振波形の歪が抑えられるからである。このように、注入同期型ＣＭＯＳリングオシレータの入力信号をパルスとすることは、本質的に重要な設定である。そのためロックレンジが最大となるパルス波形を設計することは、有用であると考えられる。

上述した最適波形演算アルゴリズムにおいて、チャージバランス制約及びｐノルム一定の制約を満たすパルス波形のうち最もロックレンジが広くなる最適波形は、ｐの値として１に近い数値を指定することで得られる。ここではｐ＝１．１とする。まず、最適波形の算出に必要となる位相感受関数Ｚ（θ）を、回路シミュレータによりインパルス応答関数法を用いて取得した。図２に示した位相感受関数Ｚ（θ）は、ＣＭＯＳリングオシレータ３２のものである。そして、最適波形演算アルゴリズムを実行した結果、未知パラメータの最適値は、（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）＝（１．４３，０．００）と求まった。

以上の最適波形の導出に加え、上述の［最適波形の生成処理_ｍ：ｎ同期］を実行し、１０：１同期（１０逓倍）のための波形を生成して入力信号とした。また、シミュレーションの簡単のために、入力信号は図１２Ａ，図１２Ｂに示すように、パルス幅が１周期Ｔの２０％の幅を持つパルスを１０周期あたり１回入力する構成とした。図１２Ａは１周期が１．４３／２０π＊Ｔであるパルス３３、図１２Ｂは１周期がπ／２０π＊Ｔであるパルス３４の波形図である。入力信号のパルスの振幅Ｍは０．２［Ｖ］、バイアス電位Ｖｂは２．０［Ｖ］としている。また、自励発振状態（Ｍ＝０、Ｖｂ＝２．０）におけるＣＭＯＳリングオシレータ３２の発振周波数は、１１６５．５ＭＨｚである。なお、ＣＭＯＳリングオシレータ３２を含む注入同期系１１内のすべてのＭＯＳトランジスタのサイズは、ゲート長Ｌ＝１．６／１．２μｍ、ゲート幅Ｗ＝２００μｍ／１００μｍ（ｐＭＯＳ／ｎＭＯＳ）に設定している。

図１３に、ＣＭＯＳリングオシレータ３２のロックレンジを表すグラフ（アーノルドタング）を示す。図１３において、横軸は発振波形（出力）の周波数［ＭＨｚ］、縦軸は入力信号の電圧［Ｖ］である。各データ点は注入同期が成立する場合と成立しない場合の境界を表しており、注入同期が成立する最大周波数と最小周波数の差がロックレンジである。ここでは、データ点３５（〇印）がパルス３３（図１２Ａ）の場合のデータ点であり、データ点３６（□印）がパルス３４（図１２Ｂ）の場合のデータ点である。実線及び破線は、式（３）から求まるロックレンジの理論値であり、実線がパルス３３の場合及び破線がパルス３４の場合である。

図１３より、正負のパルスの位相差（パルス間隔）Δφが最適値（１．４３［ｒａｄ］，１．４３／２０π＊Ｔ［ｓ］）であるパルス３３を入力する場合の方が、位相差Δφが最適でないパルス３４を入力する場合よりもロックレンジが広いことがわかる。

さらに、正負のパルスの位相差Δφがロックレンジに与える効果をより詳しく確認するために、図１４にＣＭＯＳリングオシレータ３２におけるロックレンジと正負のパルスの位相差Δφとの関係を表すグラフを示す。図１４において、横軸は位相差［ｒａｄ］、縦軸はロックレンジ［ＭＨｚ］である。図１４より、位相差Δφ＝１．４３［ｒａｄ］（最適値）のときに、確かにロックレンジが最大となることが確認できる。図１４の破線３８（シミュレーションの結果）と実線３７（理論値）はよく一致しており、式（３）と本最適波形演算アルゴリズムの有効性が示されている。

＜最適波形演算装置をＥ級発振器に適用した場合＞
上記のＣＭＯＳリングオシレータ３２以外の実施の形態例として、パワーエレクトロニクスの分野で用いられる注入同期型のＥ級発振器に対しても、上述した最適波形演算アルゴリズムの適用による最適化の効果が得られることを確認する。ここでは、それぞれ同じ振幅をもつ複数の入力信号のうち、最もロックレンジが広くなるような入力信号を設計したいという要請を想定する。この場合は、最適波形演算アルゴリズムにおいて、ｐ＝∞を指定すればよい。なぜなら、ｐ＝∞のとき入力信号のｐノルムは、下記式（４９）で表される。

そのため、ｐ＝∞という条件は、入力信号ｆ（θ）の振幅を一定値Ｍとする制約であると換言できる。つまり、ｐ＝∞とすれば、同じ振幅をもつ波形のうち最もロックレンジが広くなる最適波形を生成できる。

図１５は、最適波形演算装置１７（図６）を、注入同期型のＥ級発振器に適用した場合の概略構成を示す図である。
注入同期系１１は、図１５に示すように、入力信号生成器４１と、Ｅ級発振器４２とを備える。入力信号生成器４１には最適波形演算装置１７が接続されている。入力信号生成器４１は、信号源１２を備え、信号源１２から出力された交流信号は、抵抗素子と容量素子を介して、Ｅ級発振器４２のトランジスタ４２１のゲートに供給される。このＥ級発振器４２の回路構成は、非特許文献５の図９と同じ回路構成である。本実施の形態では、Ｅ級発振器４２の素子値を、自励発振周波数が２ＭＨｚとなるように設定している。また、トランジスタ４２１のデバイスモデルは、Ｖｉｓｈａｙ社により公開されているＩＲＦ５３０としている。

図１６は、Ｅ級発振器４２の位相感受関数の一例を示すグラフである。図１６において、横軸は入力信号の位相［ｒａｄ］、縦軸は位相シフト量［１０^−２ｒａｄ］である。

図１６の位相感受関数４３及びｐ＝∞を入力値として、最適波形演算アルゴリズムを実行した結果、未知パラメータの最適値は、（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）＝（−π，０）と求まった。この値及び位相感受関数Ｚ（θ）を、式（９）に代入すると、最適波形として図１７Ｂに示すような矩形波４５が得られる。図１７Ａは正弦波４４、図１７Ｃは正負一対のパルス４６の一例である。

次に、以上の最適波形の導出に加え、既述の［最適波形の生成処理_ｍ：ｎ同期］を実行し、２逓倍動作（２：１引き込み）の場合におけるロックレンジを求める。ここで、入力信号は、図１７Ａ〜図１７Ｃに示すように、正弦波４４、矩形波４５及びパルス４６の基本波（１周期分）を、それぞれクリップしたものとしている。

図１８は、Ｅ級発振器４２のＣＭＯＳリングオシレータ３２のロックレンジを表すグラフ（アーノルドタング）を示す。図１８において、横軸は発振波形（出力）の周波数［ＭＨｚ］、縦軸は入力信号の電圧［Ｖ］である。ここでは、データ点４７（＊印）が正弦波４４（図１７Ａ）の場合のデータ点であり、データ点４８（〇印）が矩形波４５（図１７Ｂ）の場合のデータ点であり、データ点４９（△印）がパルス４６（図１７Ｃ）の場合のデータ点である。実線及び破線は、正弦波４４、矩形波４５及びパルス４６の場合における、式（３）から求まるロックレンジの理論値である。図１８のアーノルドタングより、任意の振幅において、確かに最適波形として矩形波４５（図１７Ｂ）を入力した場合のロックレンジが、他の正弦波４４（図１７Ａ）及びパルス４６（図１７Ｃ）を入力した場合に比べて広いことがわかる。

＜変形例…遺伝的アルゴリズムを利用してロックレンジを最大化する方法＞
以上説明した本発明の一実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムは、[着想点（１）]及び[着想点（２）]に基づき、最適波形の最適性がヘルダーの不等式で裏付けられる、厳密なものである。以下では、最適波形演算アルゴリズムの変形例として、既存の探索アルゴリズムを援用し、[着想点（１）]において示した方程式(２)から得られるロックレンジを評価値として、評価値を最大化する入力信号を算出する方法を示す。この方法は、[着想点（２）]によって得られる最適性の保証はなくなるものの、もっともらしい最適波形が得られるので実用上の価値があるものと考えられる。

図１９は、ベクトルを利用した任意波形の生成処理についての説明図である。任意の波形を生成する問題として、図１９に示すような、２^ｙ×ｘのマス（サンプル）５１のうち１列あたり１マスを塗りつぶす組み合わせ問題を考える。マス５１のうち斜線が記載されたマスは、選択されたマスである。実現しうる波形のパターンは（２^ｙ）^ｘ＝２^ｘｙ通りである。波形の解像度を上げるにはパラメータ数ｘ，ｙを大きくする必要があるが、それに従って波形のパターン数も膨大となる。このような膨大な組み合わせのパターンをとりうる目的関数に対し、評価関数を最大にするようなパラメータを決定する問題（組み合わせ最適化問題）の解決には、遺伝的アルゴリズム（ＧＡ：Genetic Algorithm）が利用可能である。ＧＡは局所解に陥ることを避けるためのルーチン（突然変異）を含んでいるため、大域的な最適化の能力を持つ。つまり、上記の問題をＧＡで解くことにより、任意の形状の波形を大域的に探索し、評価関数（ロックレンジ）を最大化する波形を実現するパラメータを求めることができる。そのため、ＧＡを援用する手法は、上述した最適波形演算アルゴリズムに準ずる効果を持つと考えられる。

図１９に示すような縦方向に２^ｙサンプルの２値のベクトルを横方向にｘサンプル分配置して構成される１セットのサンプル集合体を、ＧＡにおける１個体とする。そして、この１固体に対し、式（２）から求まるロックレンジを評価値（適応度）としてＧＡによる最適解の探索を行なった。ここでは、注入同期型ＣＭＯＳリングオシレータの最適化を想定し、図２の位相感受関数Ｚ（θ）を用いｐ＝１．１とした。このような制約をかけた上で、各個体の初期値はランダムな波形とし、波形を変えて７回の試行を独立に行なった。サンプル数ｘは１００、ビット数ｙは２０である。

図２０は、その際の評価値（ロックレンジ）の収束過程を示したグラフである。図２０において、横軸は探索解の世代数、縦軸は正規化したロックレンジである。横方向の実線５２は、最適波形演算アルゴリズムから求まるロックレンジの理論値であり、その下方の破線は各試行の評価値（ロックレンジ）である。７回の試行すべてにおいて、初期値が同一の波形に対する１５万世代の探索時の評価値は０．０３５１０〜０．０３５１３の範囲にある。つまり、１５万世代において評価値のばらつきは「０．００００３／（評価値の平均）×１００＝０．００００３／０．０３５×１００＝０．１％」であり、十分に収束が得られていると考えられる。

図２１は、最適波形演算アルゴリズムより求めた厳密解とＧＡによる探索解の一例を示したグラフである。図２１Ａは１０００世代探索時の結果、図２１Ｂは１００００世代探索時の結果、図２１Ｃは１５００００世代探索時の結果を表している。これらは、７回の試行の結果を重ねてプロットしたものである。図２１Ａ〜図２１Ｃにおいて、横軸は入力信号の位相θ、縦軸は探索解ｆ（θ）である。また、各図におけるデータ点はＧＡにより得られた探索解、実線は最適波形演算アルゴリズムより求めた厳密解である。

図２１Ａ，図２１Ｂより、各世代数を探索時の探索解（データ点５４，５６）と最適波形演算アルゴリズムにより求めた（ｐ＝１．１のときの）厳密解（実線５５，５７）とは、ばらつきが大きく一致度が低い。ただし世代数が増えるとばらつきが減っている。図２１Ｃより、１５万世代探索時の探索解（データ点５８）は各試行ごとに僅かなばらつきが見られるものの、最適波形演算アルゴリズムにより求めた厳密解（実線５９）とよく一致している。すなわち、ＧＡを利用した方法により、もっともらしく最適波形が得られていることがわかる。

［最適波形の算出に係る時間の評価］
次に、最適波形の算出にかかる時間を評価する。図２２に、最適波形演算アルゴリズムを用いた場合と、ＧＡを用いた場合の最適波形の算出にかかる時間（ＣＰＵ時間）の比較を示す。また、図２３に、サンプル数ｘが５０の場合（図２３Ａ）と、サンプル数ｘが１００の場合（図２３Ｂ）の探索解の例を示す。なお、最適波形演算アルゴリズムの計算時間の内訳は、（１）解曲線の描画にかかる時間と、（２）ニュートン法の実行にかかる時間である。前者はＪａｖａ（登録商標）言語で実装したプログラムをインテル社製の２．９３ＧＨｚ×１２コアＸｅｏｎプロセッサ（ただし、アップル社のＭａｃＰｒｏ Ｘ５６７０を使用）で実行した。また、後者は数式処理システムＭａｐｌｅに実装した計算ルーチンをインテル社製の２．６７ＧＨｚ×２コアＣｏｒｅ ｉ５プロセッサ（ただし、Ｄｅｌｌ社のｖｏｓｔｒｏを使用）により実行した。ＧＡの計算はすべて２．９３ＧＨｚ×１２コアＸｅｏｎプロセッサで行なった。ＧＡの計算については、１５万世代までの解探索にかかる時間を記録し、７回の試行の平均値をとった。

図２２より、ＧＡによる計算時間は、サンプル数が５０の場合には約３００ｍｉｎであり、サンプル数が１００の場合には約５５０ｍｉｎである。よって、ＧＡの計算時間は、最適波形演算アルゴリズムの計算時間と比較すると膨大となるものの、現実的な計算時間で解探索を実行できることがわかる。また、図２２，図２３Ａ，図２３Ｂより、サンプル数を減らし、波形の解像度を犠牲にして解のパターン数を低下させれば、いくらかの計算時間の短縮を図ることができることもわかる。

上述した本実施の形態に係る最適波形演算アルゴリズムを用いた最適設計論は、ミリ波、マイクロ波、パワーエレクトロニクス等で用いられる注入同期系に適用できる。さらには、マイクロエレクトロニクス（基板（チップ）間通信）、植物工場、ナノマテリアルへの応用も期待される。

なお、本発明は上記の実施の形態例に限定されるものではなく、特許請求の範囲に記載した本発明の要旨を逸脱しない限りにおいて、他の変形例、応用例を含む。
例えば、上記した実施の形態例は本発明をわかりやすく説明するために詳細に説明したものであり、必ずしも説明した全ての構成を備えるものに限定されるものではない。また、ある実施の形態例の構成の一部を他の実施の形態例の構成に置き換えることが可能であり、また、ある実施の形態例の構成に他の実施の形態例の構成を加えることも可能である。また、各実施の形態例の構成の一部について、他の構成の追加・置換、削除をすることが可能である。

また、上記の各構成、機能、処理部、処理手段等は、それらの一部又は全部を、例えば集積回路で設計する等によりハードウェアで実現してもよい。また、上記の各構成、機能等は、プロセッサがそれぞれの機能を実現するプログラムを解釈し、実行するためのソフトウェアで実現してもよい。各機能を実現するプログラム、テーブル、ファイル等の情報は、メモリや、ハードディスク、ＳＳＤ（Solid State Drive）等の記録装置、または、ＩＣカード、ＳＤカード、光ディスク等の記録媒体に保持することができる。

また、制御線や情報線は説明上必要と考えられるものを示しており、製品上必ずしもすべての制御線や情報線を示しているとは限らない。実際には殆ど全ての構成が相互に接続されていると考えてもよい。

１，２…パルス、 ３〜５…位相感受関数、 ６…位相結合関数、 １０…無線通信装置、 １１…注入同期系、 １２…信号源、 １３…入力信号生成器、 １４…発振器、 １５…高周波変換器、 １６…アンテナ、 １７…最適波形演算装置、 １７ａ…信号線、 １７ｂ…出力ライン、１７ｃ…プローブ、 ２１…演算部、 ２２…制御部、 ２３…ＲＡＭ、 ２４…ＲＯＭ、 ２５…データベース、 ２６，２７…入出力ポート、 ２８…入力部、 ２９…表示部

Claims (5)

1. 発振器を有する注入同期系に注入する入力信号ｆ（θ）の最適波形を演算する方法であって、
   前記発振器の位相感受関数Ｚ（θ）（ここで、θは入力信号の位相）を取得する処理と、
   前記入力信号ｆ（θ）のｐノルムのｐの値を取得する処理と、
   前記入力信号ｆ（θ）の１周期の平均値が一定である第１の制約条件（１／（２π）＊〈ｆ（θ）〉＝０）（〈 〉は、θについての１周期にわたる積分）と、前記入力信号ｆ（θ）のｐノルムが一定である第２の制約条件（||ｆ||_ｐ＝Ｍ）（Ｍは正の定数）の下で、前記位相感受関数Ｚ（θ）及び前記ｐの値に基づいて、前記入力信号ｆ（θ）の最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}を、次式を用いて計算する処理と、
   を含む最適波形の演算方法。
   ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}＝Ｍｓｉｇ［ｇ（θ）］（|ｇ（θ）|／||ｇ||_ｑ）^１／ｐ´
   ただし、ｇ（θ）＝Ｚ（θ＋Δφ）−Ｚ（θ）＋λ、Δφ＝φ_＋−φ₋、φ_＋は前記発振器の位相結合関数が極小となるときの発振波形と入力波形の位相差、φ₋は前記発振器の位相結合関数が極小となるときの発振波形と入力波形の位相差、ｐ^−１＋ｑ^−１＝１、ｐ´＝ｐ−１、λはラグランジュの未定乗数。
2. 前記ｐの値が１＜ｐ＜∞である場合には、
   関数Ｓｐ（Δφ，λ）＝〈ｓｉｇ［ｇ（θ）］｜ｇ（θ）｜^βＺ´（θ＋Δφ）〉（ただしβ＝１／ｐ´）と、
   関数Ｔｐ（Δφ，λ）＝〈ｓｉｇ［ｇ（θ）］｜ｇ（θ）｜^βＺ´（θ＋Δφ）〉
   の各々の交点の座標をすべて求め、複数の前記交点の座標（Δφ_＊，λ_＊）に対しヘッセ行列のへシアン|Ｈ（Ｈ）|を算出し、|Ｈ（Ｈ）|＞０を満たす前記座標（Δφ_＊，λ_＊）を、最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）であると判断して前記ｇ（θ）の（Δφ，λ）に代入し、前記最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}を計算し、
   また、前記ｐの値がｐ＝∞である場合には、
   関数Ｓｐ（Δφ，λ）＝〈ｓｉｇ［ｇ（θ）］Ｚ´（θ＋Δφ）〉と、
   関数Ｔｐ（Δφ，λ）＝〈ｓｉｇ［ｇ（θ）］〉
   の各々の交点の座標をすべて求め、複数の前記交点の座標（Δφ_＊，λ_＊）に対しヘッセ行列のへシアン|Ｈ（Ｈ）|を算出し、|Ｈ（Ｈ）|＞０を満たす前記座標（Δφ_＊，λ_＊）を、最適値（Δφ_ｏｐｔ，λ_ｏｐｔ）であると判断して前記ｇ（θ）の（Δφ，λ）に代入し、前記最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}を計算する
   請求項１に記載の最適波形の演算方法。
3. 前記ｐの値がｐ＝１である場合には、前記入力信号ｆ（θ）の最適波形ｆ_＊，１として、次式を用い、
   ｆ_＊，１＝−Ｍ［Δ（θ＋Δφｍａｘ）−Δ（θ）］
   まず、位相結合関数Γ_０（φ）＝Ｍ[Ｚ（φ＋Δφ）−Ｚ（φ）]
   の最大値と最小値の差が最大となるΔφを求め、求めたΔφを前記Δφ_ｍａｘに代入し、前記最適波形ｆ_＊，１を計算する
   請求項１に記載の最適波形の演算方法。
4. 発振器を有する注入同期系に注入する入力信号ｆ（θ）の最適波形を演算する処理をコンピュータに実行させるプログラムであって、
   前記発振器の位相感受関数Ｚ（θ）（ここで、θは入力信号の位相）を取得する処理と、
   前記入力信号ｆ（θ）のｐノルムのｐの値を取得する処理と、
   前記入力信号ｆ（θ）の１周期の平均値が一定である第１の制約条件（１／（２π）＊〈ｆ（θ）〉＝０）（〈 〉は、θについての１周期にわたる積分）と、前記入力信号ｆ（θ）のｐノルムが一定である第２の制約条件（||ｆ||_ｐ＝Ｍ）（Ｍは正の定数）の下で、前記位相感受関数Ｚ（θ）及び前記ｐの値に基づいて、前記入力信号ｆ（θ）の最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}を、次式を用いて計算する処理と、
   をコンピュータに実行させるプログラム。
   ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}＝Ｍｓｉｇ［ｇ（θ）］（|ｇ（θ）|／||ｇ||_ｑ）^１／ｐ´
   ただし、ｇ（θ）＝Ｚ（θ＋Δφ）−Ｚ（θ）＋λ、Δφ＝φ_＋−φ₋、φ_＋は前記発振器の位相結合関数が極小となるときの発振波形と入力波形の位相差、φ₋は前記発振器の位相結合関数が極小となるときの発振波形と入力波形の位相差、ｐ^−１＋ｑ^−１＝１、ｐ´＝ｐ−１、λはラグランジュの未定乗数。
5. 発振器を有する注入同期系に注入する入力信号ｆ（θ）の最適波形を演算する最適波形演算装置であって、
   前記発振器の位相感受関数Ｚ（θ）（ここで、θは入力信号の位相）及び前記入力信号ｆ（θ）のｐノルムのｐの値を記憶する記憶部と、
   前記入力信号ｆ（θ）の１周期の平均値が一定である第１の制約条件（１／（２π）＊〈ｆ（θ）〉＝０）（〈 〉は、θについての１周期にわたる積分）と、前記入力信号ｆ（θ）のｐノルムが一定である第２の制約条件（||ｆ||_ｐ＝Ｍ）（Ｍは正の定数）の下で、前記記憶部に記憶された前記位相感受関数Ｚ（θ）及び前記ｐの値に基づいて、前記入力信号ｆ（θ）の最適波形ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}を、次式を用いて計算する演算部と、
   を備える最適波形演算装置。
   ｆ_{ｏｐｔ，ｐ}＝Ｍｓｉｇ［ｇ（θ）］（|ｇ（θ）|／||ｇ||_ｑ）^１／ｐ´
   ただし、ｇ（θ）＝Ｚ（θ＋Δφ）−Ｚ（θ）＋λ、Δφ＝φ_＋−φ₋、φ_＋は前記発振器の位相結合関数が極小となるときの発振波形と入力波形の位相差、φ₋は前記発振器の位相結合関数が極小となるときの発振波形と入力波形の位相差、ｐ^−１＋ｑ^−１＝１、ｐ´＝ｐ−１、λはラグランジュの未定乗数。

Images