JP6194747B2 - 写像処理プログラム、方法及び装置 - Google Patents

Description

本発明は、第１のモデルを第２のモデルに写像するための技術に関する。

ＣＧ（Computer Graphics）の分野において、三角形メッシュで表現された２形状モデル間の対応を得る様々な手法がある。なお、部分的な点の対応を得るものや、全点の対応を取るものもある。

Surface parameterizationとは、三次元空間のサーフェースを、ある領域（平面や球など）へ写像（すなわち全単射）するＣＧ分野の手法であり、ＣＧの分野ではテクスチャマッピングや、リメッシングするために利用される。一般的には平面空間への写像を求めるものが多いが、球面空間上への写像を求めるものも存在している。

例えば、三角形メッシュで表現された２つの形状（サーフェース）を、surface parameterizationでそれぞれ球面空間へ写像し、同一の球面空間上で対応点を求めることによって２形状間の写像を行う場合を考える。

この時、２つの形状は、形状毎に定義される各領域にラベル情報を持っているものとする。このラベル情報を正しく写像するために、ラベル情報が異なる領域間の境界が写像した球面上で重なる（すなわち一致する）ようにする。しかし従来のsurface parameterizationによる球面写像では、正しく写像できない場合がある。

ここで、図１に示すような手モデルＡを、図２に示すような手モデルＢへ写像する場合を考える。ここで、手モデルＡと手モデルＢの指には、指ラベル、手のひらには手のひらラベルが付与されている。そして、手モデルＡを、図３に示すような球面に写像して球面モデルＡを生成し、手モデルＢを、図４に示すような球面に写像して球面モデルＢを生成する。その後、球面モデルＡを球面モデルＢへ写像するが、指ラベルが付与された領域の境界が、球面モデルＡと球面モデルＢとで一致するように写像する。

従来のsurface parameterization では、サーフェースから球面の写像を取り扱っている。ここでは、節点ｘ_iと節点ｘ_j間のバネ定数がｗ_ijとなるバネモデルに従って下記のエネルギーを最小化するように、ノードｘ_i∈Ｘの位置を算出する。

ところで、球面自体もサーフェースであるから、球面から他の球面への写像についても同じような手法を用いることができる。但し、節点を球面上に配置するエネルギーを考慮し、球面モデルＡの各領域の境界を、球面モデルＢの対応する領域の境界に固定するという制約条件の下、バネモデルに従ったエネルギーを最小化するノードｘ_i∈Ｘの位置を算出する。

そうすると、図５に示すようにおおよそ適切な処理結果を得られたように見えるが、微視的には図６に示すように親指と手のひらの境界部分に白くなっている部分が生じ、図７に示すように小指と手のひらの境界部分に白くなっている部分が生じている。これは、このような境界部分において、三角形メッシュが裏返っている状態を示している。

図８は、正常な状態の三角形メッシュを示しているが、図９は、裏返った状態を示しており、ノード１０００が三角形要素２０００上に配置されてしまっている。

このように、従来技術におけるエネルギーは、バネモデルに従ったものであるため、バネが裏返ったところで安定してしまう場合がある。しかしながら、図９のような状態では、全単射が得られないので、ラベルを写像できない場合が生ずる。

XIANFENG GU and SHING-TUNG YAU, "COMPUTING CONFORMAL STRUCTURES OF SURFACES", COMMUNICATIONS IN INFORMATION AND SYSTEMS, Vol. 2, pp. 121-146, December 2002 Shadi Saba, Irad Yavneh, Craig Gotsman and Alla Sheffer, "Practical Spherical Embedding of Manifold Triangle Meshes", Proceedings of the International Conference on Shape Modeling and Applications (SMI'05), 2005

従って、本発明の目的は、一側面によれば、第１のモデルを第２のモデルへ全単射が得られるように写像するための技術を提供することである。

本発明に係る写像処理方法は、（Ａ）１又は複数の領域を含み且つ第１の多角形メッシュで表された第１のモデルを、第１の球面に写像し、（Ｂ）第１のモデルと同じ数の領域を含み且つ第２の多角形メッシュで表された第２のモデルを、第２の球面に写像し、（Ｃ）第１の球面に写像された上記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、上記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、曲線近似に応じて移動させ、（Ｄ）第２の球面に写像された上記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、上記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、曲線近似に応じて移動させ、（Ｅ）第１の球面に写像された上記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の節点を、第２の球面に写像された上記１又は複数の領域の境界上の点に対応付け、（Ｆ）第１の球面に写像された上記１又は複数の領域の境界上の節点の位置を、対応付けられた第２の球面上の点に相当する、第１の球面上の位置に配置するという条件の下、第１の多角形メッシュに含まれる多角形の形状の変化及び面積の変化を抑制させるための項を含む第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、上記１又は複数の領域の境界上の節点以外の節点の位置を移動させ、（Ｇ）第１のモデルにおける各節点について、第１の球面における移動後の対応する節点と、当該節点に対応する第２の球面上の多角形とから、第２のモデルにおける点を算出する処理を含む。

第１のモデルを第２のモデルへ全単射が得られるように写像できるようになる。

図１は、第１のモデル（手モデルＡ）の一例を示す図である。 図２は、第２のモデル（手モデルＢ）の一例を示す図である。 図３は、第１の球面モデル（球面モデルＡ）の一例を示す図である。 図４は、第２の球面モデル（球面モデルＢ）の一例を示す図である。 図５は、従来技術による写像後の球面モデルの一例を示す図である。 図６は、従来技術の問題点を示す図である。 図７は、従来技術の問題点を示す図である。 図８は、正常な三角形メッシュの一例を示す図である。 図９は、裏返りが発生した三角形メッシュの一例を示す図である。 図１０は、実施の形態に係る写像処理装置の機能ブロック図である。 図１１は、第１のモデル（手モデルＡ）の一例を示す図である。 図１２は、第２のモデル（手モデルＢ）の一例を示す図である。 図１３は、本実施の形態に係るメインの処理フローを示す図である。 図１４は、球面写像処理の処理フローを示す図である。 図１５は、初期的な第１の球面モデルの一例を示す図である。 図１６は、エネルギー最小化による節点移動の処理フローを示す図である。 図１７は、球面写像処理後の第１の球面モデルの一例を示す図である。 図１８は、移動処理の処理フローを示す図である。 図１９は、線モデルにおける節点の関係を説明するための図である。 図２０は、近傍点特定処理の処理フローを示す図である。 図２１は、最近傍点を説明するための図である。 図２２は、最近傍点を説明するための図である。 図２３は、第１の球面モデルの境界線上の節点と第２の球面モデルの境界線上の最近傍点との対応付けを表す図である。 図２４は、境界線上の節点のみを移動させた状態の第１の球面モデルを示す図である。 図２５は、図２４の後に境界線上の節点以外の節点を移動させた状態の第１の球面モデルを示す図である。 図２６は、写像処理の処理フローを示す図である。 図２７は、第２の球面モデルにおける三角形要素と第１のモデルにおける節点に対応する点との関係を表す図である。 図２８は、第２のモデルへ写像した後の第１のモデルを示す図である。 図２９は、第２のモデルへ写像した後の第１のモデルにおけるラベル設定状態を示す図である。 図３０は、第２のモデルへのラベルのマッピング結果を表す図である。 図３１は、コンピュータの機能ブロック図である。

図１０に、本実施の形態に係る写像処理装置の機能ブロック図を示す。本実施の形態に係る写像処理装置１００は、第１モデルデータ格納部１０１と、第２モデルデータ格納部１０２と、球面写像処理部１０３と、第１球面モデルデータ格納部１０４と、第２球面モデルデータ格納部１０５と、最適化処理部１０６と、移動処理部１０７と、第３球面モデルデータ格納部１０８と、写像処理部１０９と、第３モデルデータ格納部１１０と、ラベルマッピング部１１１と、第４モデルデータ格納部１１２とを有する。

第１モデルデータ格納部１０１は、図１に示すような第１のモデルデータ（手モデルＡのデータ）（指領域と手のひら領域のいずれかを表すラベルがノードに設定されている）が格納されている。なお、本実施の形態では、図１１に示すように、手モデルＡは、三角形メッシュで分割されており、さらに、指領域と手のひら領域との境界には境界点（白丸）が設定されている。

また、第２モデルデータ格納部１０２は、図２に示すような第２のモデルデータ（手モデルＢのデータ）（指領域と手のひら領域のいずれかを表すラベルがノードに設定されている）が格納されている。なお、本実施の形態では、図１２に示すように、手モデルＢも、三角形メッシュで分割されており、さらに、指領域と手のひら領域との境界には境界点（白丸）が設定されている。

球面写像処理部１０３は、第１モデルデータ格納部１０１に格納されている手モデルＡを球面に写像することで第１の球面モデル（すなわち球面モデルＡ）を生成し、第１球面モデルデータ格納部１０４に格納する。さらに、球面写像処理部１０３は、第２モデルデータ格納部１０２に格納されている手モデルＢを球面に写像することで第２の球面モデル（すなわち球面モデルＢ）を生成し、第２球面モデルデータ格納部１０５に格納する。

移動処理部１０７は、第１の球面モデルの各境界線上の節点を、第２の球面モデルの対応する境界線上に移動させるための処理を実行する。最適化処理部１０６は、境界線上の節点を固定した上で、他の節点の位置を、以下で述べるエネルギーを最小化することで最適化するための処理を実行する。

第３球面モデルデータ格納部１０８は、移動処理部１０７及び最適化処理部１０６の処理結果である処理後の第１の球面モデルのデータを格納する。

写像処理部１０９は、第１モデルデータ格納部１０１に格納されている手モデルＡのデータと、第２モデルデータ格納部１０２に格納されている手モデルＢのデータと、第２球面モデルデータ格納部１０５に格納されている第２の球面モデルのデータと、第３球面モデルデータ格納部１０８に格納されている第１の球面モデルのデータとから、手モデルＡを手モデルＢへ写像する処理を実行し、第３モデルデータ格納部１１０に格納する。

ラベルマッピング部１１１は、手モデルＡの節点に設定されているラベルを、手モデルＢの節点に設定するための処理を実行し、第４モデルデータ格納部１１２に格納する。

次に、図１３乃至図３０を用いて、本実施の形態に係る写像処理装置１００の処理内容について説明する。

まず、球面写像処理部１０３は、第１及び第２のモデル（手モデルＡ及び手モデルＢ）の各々に対して球面写像処理を実行し、第１の球面モデル（球面モデルＡ）のデータを第１球面モデルデータ格納部１０４に格納し、第２の球面モデル（球面モデルＢ）のデータを第２球面モデルデータ格納部１０５に格納する（図１３：ステップＳ１）。この球面写像処理については、図１４乃至図１７を用いて説明する。なお、第１の球面モデル（球面モデルＡ）を生成する場合について説明するが、第２の球面モデル（球面モデルＢ）についても、同様の処理を実行する。

まず、球面写像処理部１０３は、第１のモデル（手モデルＡ）に対して、半径１の球面への等角写像を実行する（図１４：ステップＳ１１）。初期的な写像であるから、従来の手法を用いればよい。例えば、図１５に示すような初期的な球面モデルＡが得られる。白丸は、指領域と手のひら領域との境界線上の節点を表す。

次に、球面写像処理部１０３は、初期的な球面モデルＡにおける境界線上の節点を、例えば３次スプライン関数による曲線で近似する（ステップＳ１３）。３次スプライン曲線以外の滑らかな曲線であっても良い。ここでは、３次スプライン関数をＢ（ｘ）とし、境界線上の節点ｘ_k(j)とすると、曲線上の点ｐ_jは、Ｂ（ｘ_k(j)）となる。そして、ｘ_k(j)は、ｐ_jに移動される。

そして、球面写像処理部１０３は、最適化処理部１０６に、エネルギー最小化による節点移動を実行させる（ステップＳ１５）。そして処理は呼び出し元の処理に戻る。この処理については、図１６及び図１７を用いて説明する。

具体的な処理の前に、本実施の形態に係るエネルギーについて説明しておく。

まず、Ωは連続領域（サーフェース）であり、Ωを離散化したものを三角形メッシュＭとする。三角形メッシュとは節点、辺及び三角形要素からなる。そうすると、Ｍ＝（Ｘ，Ｅ，Ｔ）と表される。なお、Ｘは接点の集合、Ｅは辺の集合、Ｔは三角形の集合である。ここで辺ｅ∈Ｅは、接続されている２つの節点を示しており、三角形要素ｔ∈Ｔは、三角形要素を成している３つの節点を示す。

また、ｉ番目の辺に対する２つの節点のインデックスをμ_i(1)、μ_i(2)と表し、ｉ番目の三角形要素に対する３つの節点のインデックスをλ_i(1)、λ_i(2)、λ_i(3)とする。

本実施の形態では、問題を解決するために次のようなエネルギーを導入する。
１．安定状態が球になるようにするためのエネルギー

ここで、Ｖ（ｘ）は、サーフェースΩを覆う体積、Ｖ₀は半径１の球の体積を表す。このエネルギーは、シャボン玉が最終的に球状になることを数理的にエネルギーの形で表したもので、体積を一定に保った状態で表面積を最小にするエネルギーである。

２．三角形要素がつぶれたり、大きくひしゃげたりしないようにするエネルギー

ここで、ａ（ｔ）は三角形要素ｔのアスペクト比を表し、ｓ（ｔ）は面積を表す。また、ａ'_iはアスペクト比の初期値（節点移動前の値）を表し、ｓ'_iは初期面積（節点移動前の値）を表す。また、γ及びκは係数である。

本実施の形態では、２つのエネルギーの和を用いる。ここで、（２）式のＥ_s（Ｍ）を離散化したＥ_sd（Ｍ）を用いる。すなわち、以下のように表される。
Ｅ（Ｍ）＝Ｅ_sd（Ｍ）＋Ｅ_tri（Ｍ） （４）

Ｅ_sd（Ｍ）については、以下で述べる手法で離散化すると共に、Ｅ_triについても、節点ｘ_iの式に変形する。

すなわち、アスペクト比はヘロンの公式によって以下のように表される。

三角形の面積は以下のように表される。

また、体積はガウスの発散定理によって以下のような式になる。

ここでｎ（ｘ）はｘでの法線を表す。さらに、有限要素法によって離散化されたＶ_dは、以下のように表される。

以上の式から、（４）式は、以下のように表される。

本実施の形態では、（８）式を最小化すべきエネルギーとして用いる。このようなエネルギーを使用することで、バネモデルで発生する裏返りやねじれといった問題が生じなくなる。

次に、エネルギー最小化による節点移動のための処理フローを図１６を用いて説明する。

まず、球面写像処理部１０３から処理の指示を受けた最適化処理部１０６は、球面上の三角形メッシュＭのアスペクト比及び面積の初期値ａ'_i及びｓ'_iを算出する（図１６：ステップＳ２１）。

また、最適化処理部１０６は、境界線上の節点ｘ_k(j)を近似曲線上の点ｐ_jに固定するという制約条件を設定する（ステップＳ２３）。

そして、最適化処理部１０６は、降下方向ｄ（ベクトル）を算出する（ステップＳ２５）。すなわち、例えば最急降下法により、以下の式を解く。
ｄ＝−∇Ｅ_d（Ｘ）

また、最適化処理部１０６は、降下方向ｄでエネルギーＥ_d（Ｍ）が最小となるステップサイズα^*を算出する（ステップＳ２７）。

以下の式を、例えば黄金比分割法を用いて解く。

そうすると、最適化処理部１０６は、境界線上の節点（すなわち固定点）以外の節点位置を更新する（ステップＳ２９）。

具体的には、ｘ_k(j)以外のｘ_iについて、ｘ_i＝ｘ_i＋α^*ｄ_iによって節点位置を更新する。

ここで、最適化処理部１０６は、節点位置の移動が収束したか判断する（ステップＳ３１）。例えば、前回位置と今回位置との間の距離の総和が所定値（例えば１^-10）になったか否かを判断する。

収束していないと判断された場合には、処理はステップＳ２５に戻る。一方、収束したと判断された場合には、処理は呼び出し元の処理に戻る。

なお、ステップＳ１５の場合には、処理結果を球面写像処理部１０３に出力し、球面写像処理部１０３は、第１のモデル（手モデルＡ）の場合には処理結果を第１球面モデルデータ格納部１０４に格納し、球面写像処理部１０３は、第２のモデル（手モデルＢ）の場合には処理結果を第２球面モデルデータ格納部１０５に格納する。

なお、例えば図１５で示した球面モデルＡに対して上で述べた処理を実行すれば、球面モデルＡは、図１７に示すような状態に変化する。これによって、裏返り等が存在しない初期的な三角形メッシュが球面モデル上に形成される。

図１３の処理の説明に戻って、移動処理部１０７は、第１球面モデルデータ格納部１０４及び第２球面モデルデータ格納部１０５に格納されているデータを用いて、第１の球面モデル（球面モデルＡ）の境界線上の節点を第２の球面モデル（球面モデルＢ）の境界線上へ移動させる移動処理を実行する（ステップＳ３）。この移動処理については、図１８乃至図２３を用いて説明する。

まず、移動処理部１０７は、第１の球面モデル及び第２の球面モデルについて、境界線毎に当該境界線上の節点の重心を算出する（図１８：ステップＳ４１）。

そして、移動処理部１０７は、対応する境界線について算出された重心間の距離の総和が最も短くなるように、第１の球面モデルを回転させる（ステップＳ４３）。これによって、対応する領域が近づき、以下の処理が適切に行われるようになる。

その後、移動処理部１０７は、回転後の第１の球面モデルについて未処理の境界線を特定する（ステップＳ４５）。そして、移動処理部１０７は、第１の球面モデルについて特定された境界線上の節点に対する、第２の球面モデルにおける対応境界線の線モデルＬ２上の近傍点を特定する（ステップＳ４７）。

ここで線モデルはＬ＝（Ｘ，Ｅ）となる。すなわち、節点の集合Ｘと２つの節点からなる辺の集合Ｅからなる曲線を離散化したモデルである。そして、ｎ個の節点からなるＬは、以下のように表される。
Ｌ＝（｛ｘ_i｝_i=1,...,n，｛ｅ_i＝（ｘ_i，ｘ_i+1）｝_i=1,...,n）

また、ｘ^init _iは線モデルＬ₁の節点の初期位置である。そして、境界線は閉ループになっているので、図１９に示すように、ｎ＋１番目の節点は１番目の節点である。

また、ｄｉｓｔ（ｘ，Ｌ）は、節点ｘから線モデルＬ間の最短距離である。そして、ｐ_iは、ｘ_L1,iに対応するＬ₂上の最近傍点である。このような各最近傍点を特定するための処理を、図２０に示す。

まず、移動処理部１０７は、第１の球面モデルにおける特定の線モデルＬ₁の節点ｘ_L1,iから最も近い、第２の球面モデルの対応する線モデルＬ₂の節点ｘ_L2,idを特定する（図２０：ステップＳ６１）。すなわち、以下のようなｉｄを特定する。

そして、移動処理部１０７は、係数ａ及びｂを以下のように算出する（ステップＳ６３）。

そして、移動処理部１０７は、ａ＞０であるか否かを判断する（ステップＳ６５）。ａ＞０であれば、係数ａを用いて以下のように節点ｘ_L1,iの最近傍点ｐ_iを算出する（ステップＳ６７）。
ｐ_i＝ａ（ｘ_L1,i−ｘ_L2,id）＋ｘ_L2,id

一方、ａ≦０であれば、移動処理部１０７は、係数ｂを用いて以下のように節点ｘ_L1,iの最近傍点ｐ_iを算出する（ステップＳ６９）。そして処理は呼び出し元の処理に戻る。
ｐ_i＝ｂ（ｘ_L2,id-1−ｘ_L2,id）＋ｘ_L2,id

ステップＳ６７では、図２１に示すように、ｘ_{L2, id}とｘ_L2,id+1の間にｘ_L1,iが存在しており、上記の計算により、ｘ_L1,iをＬ₂上に投影した点ｐ_iが得られる。

また、ステップＳ６９では、図２２に示すように、ｘ_L2,id-1とｘ_L2,idの間にｘ_L1,iが存在しており、以下の計算により、ｘ_L1,iをＬ₂上に投影した点ｐ_iが得られる。

ステップＳ４７においては、各ｘ_L1,i（ｎ＝１，．．．，ｎ）についてｐ_iが特定される。

そして、以下のようなエネルギーＥ_Lを最小化する。

αは、１より非常に大きい所定の係数である。また、線モデルＬ₁上の節点数はｎ₁であり、線モデルＬ₂上の節点数はｎ₂である。

このｌ'_iは、（Ｌ２の長さ）＊（Ｌ１におけるｘ_iを始点とする辺要素の長さ）／（Ｌ１の長さ）を表す。すなわち、Ｌ１がＬ２上に移動した場合における、Ｌ１におけるｘ_iを始点とする辺の長さを表す。但し、以下の関係がある点に留意する。

（１２）式における第１項及び第２項はＬ１の初期の辺要素の長さの比を保つためのエネルギーであり、第３項は、線モデルＬ２との距離に相当するエネルギーである。

そして、移動処理部１０７は、降下方向ｄ（ベクトル）を算出する（ステップＳ４９）。すなわち、例えば最急降下法により、以下の式を解く。
ｄ＝−∇Ｅ_L（Ｘ_L1，｛ｐ｝）

また、移動処理部１０７は、降下方向ｄでエネルギーＥ_Lが最小となるステップサイズα^*を算出する（ステップＳ５１）。

以下の式を、例えば黄金比分割法を用いて解く。

そうすると、移動処理部１０７は、第１の球面モデルにおいて特定された境界線上の節点の位置を更新する（ステップＳ５３）。

具体的には、Ｘ_L1＝Ｘ_L1＋α^*ｄによって節点位置を更新する。このようなデータについては、他の節点のデータと共に、第３球面モデルデータ格納部１０８に格納される。

ここで、移動処理部１０７は、節点位置の移動が収束したか判断する（ステップＳ５５）。例えば、前回位置と今回位置との間の距離の総和が所定値（例えば１^-10）になったか否かを判断する。

収束していないと判断された場合には、処理はステップＳ４７に戻る。一方、収束したと判断された場合には、移動処理部１０７は、未処理の境界線が存在しているか否かを判断する（ステップＳ５７）。未処理の境界線が存在している場合には、処理はステップＳ４５に戻る。一方、未処理の境界線が存在していない場合には、処理は呼び出し元の処理に戻る。

このような処理を実行することで、図２３に示すように、第１の球面モデルにおける境界線上の節点（白点）の移動先の点（第２の球面モデルにおける境界線上の最近傍点。黒点）が得られる。

図１３の処理の説明に戻って、最適化処理部１０６は、第１の球面モデルにおける境界線上の節点以外の節点をエネルギー最小化によって移動させる（ステップＳ５）。第１の球面モデルにおける境界線上の節点については、ステップＳ３で特定された移動先の点に固定した上で、図１６の処理を実行する。ここでも本実施の形態に係るエネルギーＥ_d（Ｍ）が用いられて、裏返り等の不都合な三角形要素が生成されないようになる。

なお、図１６の処理において、所定の面積以下の三角形要素の節点については固定点として扱い、移動させないようにしても良い。これによって、節点が球面から飛び出たりする事態を回避することができる。

ステップＳ５を実行すると、第１の球面モデルのデータが、第３球面モデルデータ格納部１０８に格納される。そして、図１５に示した第１の球面モデルは、境界線上の節点のみ移動させると図２４に示すような状態になるが、ステップＳ５を実行すれば、図２５に示すような、裏返りやねじれのない球面モデルが得られるようになる。

その後、写像処理部１０９は、第１のモデル（手モデルＡ）から第２のモデル（手モデルＢ）への写像処理を実行する（ステップＳ７）。この写像処理については、図２６乃至図２８を用いて説明する。

まず、写像処理部１０９は、第１モデルデータ格納部１０１に格納されている第１のモデル（手モデルＡ）における未処理の節点ｘ_i ^handAを１つ特定する（図２６：ステップＳ７１）。また、写像処理部１０９は、第３球面モデルデータ格納部１０８に格納されている第１の球面モデルにおいて対応する節点ｘ_i ^sphereAを特定する（ステップＳ７３）。

さらに、写像処理部１０９は、特定された節点ｘ_i ^sphereAに対応する、第２の球面モデル（球面モデルＢ）における点ｐを特定する（ステップＳ７５）。そして、写像処理部１０９は、第２の球面モデル（球面モデルＢ）において点ｐを含む三角形要素に係る係数ｓ，ｔ，ｒを算出する（ステップＳ７７）。

図２７に示すように、ｐを含む三角形要素の頂点であるｘ_λi(1) ^sphereB、ｘ_λi(2) ^sphereB、ｘ_λi(3) ^sphereBから、点ｐは以下のように表される。
ｐ＝ｓｘ_λi(1) ^sphereB＋ｔｘ_λi(2) ^sphereB＋ｒｘ_λi(3) ^sphereB
この式における係数ｓ，ｔ，ｒを算出する。なお、ｓ＋ｔ＋ｒ＝１である。

そうすると、写像処理部１０９は、第２の球面モデルにおける三角形要素に対応する、第２のモデル（手モデルＢ）における三角形要素を特定し、当該三角形要素と係数ｓ、ｔ、ｒから、第２のモデルにおいて対応する点ｐ’を算出し、第３モデルデータ格納部１１０に格納する（ステップＳ７９）。

第２のモデル（手モデルＢ）における対応三角要素は、ｘ_λi(1) ^handB、ｘ_λi(2) ^handB、ｘ_λi(3) ^handBであることは、λi(1)、λi(2)、λi(3)から分かるので、下記の式にて第2のモデルにおいて対応する点ｐ’を算出する。
ｐ’＝ｓｘ_λi(1) ^handB＋ｔｘ_λi(2) ^handB＋ｒｘ_λi(3) ^handB

そして、写像処理部１０９は、第１のモデルにおいて未処理の節点が存在しているか否かを判断する（ステップＳ８１）。未処理の節点が存在する場合には、処理はステップＳ７１に戻る。一方、未処理の節点が存在しない場合には、処理は呼び出し元の処理に戻る。

以上のような処理を実行することで、図１１に示した手モデルＡは、図１２に示した手モデルＢ上に写像されて、図２８に示すような手モデルＣが得られるようになる。

なお、図１に示すように、手モデルＡの各節点に属性としてラベル（指又は手のひら）が設定されており、それらのラベルをも写像させる場合には、ラベルマッピング部１１１は、ラベルのマッピング処理を実行し、処理結果を第４モデルデータ格納部１１２に格納する（ステップＳ９）。そして処理を終了する。

ラベルのマッピング処理は、図１のような手モデルＡの各節点に手のひらラベル及び指ラベルが付与されていれば、ステップＳ７までの処理によって、図２９に示すように、手モデルＣにラベルもそのままマッピングされる。従って、手モデルＣにおける各節点に対応する、手モデルＢにおける三角形要素を特定し、当該三角形要素に、手モデルＣにおける各節点にマッピングされているラベルを、マッピングする。このようにすれば、図３０に示すような手モデルＣへのラベルのマッピング処理結果が得られる。このように、手モデルＢがラベル情報を有しない場合には、ラベルのマッピングをも行うことができるようになる。なお、図２の手モデルＢと比較すると、親指の根本付近に違いが現れている。

以上のような処理を実行することで、裏返ったりねじれたりすることなく、全単射となる写像を行うことができるようになる。

以上本発明の実施の形態を説明したが、本発明はこの実施の形態に限定されるものではない。例えば、最適化処理部１０６等で採用するアルゴリズムについては、他のよく知られた方法を用いるようにしても良い。

また、図１０に示した機能ブロック構成についても、プログラムモジュール構成とは一致しない場合もある。さらに、処理フローについても、処理結果が変わらない限り、ステップの順番を入れ替えたり、複数ステップを並列実行するようにしても良い。

三角形メッシュではなく、他の多角形のメッシュを採用する場合もある。

さらに、上では１台の写像処理装置１００によって処理を行う例を示したが、例えば複数台のコンピュータで機能分散を行っても良い。さらに、クライアントサーバシステムで実装するようにしても良い。各データ格納部に格納されているデータは、写像処理装置１００の表示装置に表示したり、他のコンピュータに送信される場合もある。

なお、上で述べた写像処理装置１００は、コンュータ装置であって、図３１に示すように、メモリ２５０１とＣＰＵ（Central Processing Unit）２５０３とハードディスク・ドライブ（ＨＤＤ：Hard Disk Drive）２５０５と表示装置２５０９に接続される表示制御部２５０７とリムーバブル・ディスク２５１１用のドライブ装置２５１３と入力装置２５１５とネットワークに接続するための通信制御部２５１７とがバス２５１９で接続されている。オペレーティング・システム（ＯＳ：Operating System）及び本実施例における処理を実施するためのアプリケーション・プログラムは、ＨＤＤ２５０５に格納されており、ＣＰＵ２５０３により実行される際にはＨＤＤ２５０５からメモリ２５０１に読み出される。ＣＰＵ２５０３は、アプリケーション・プログラムの処理内容に応じて表示制御部２５０７、通信制御部２５１７、ドライブ装置２５１３を制御して、所定の動作を行わせる。また、処理途中のデータについては、主としてメモリ２５０１に格納されるが、ＨＤＤ２５０５に格納されるようにしてもよい。本技術の実施例では、上で述べた処理を実施するためのアプリケーション・プログラムはコンピュータ読み取り可能なリムーバブル・ディスク２５１１に格納されて頒布され、ドライブ装置２５１３からＨＤＤ２５０５にインストールされる。インターネットなどのネットワーク及び通信制御部２５１７を経由して、ＨＤＤ２５０５にインストールされる場合もある。このようなコンピュータ装置は、上で述べたＣＰＵ２５０３、メモリ２５０１などのハードウエアとＯＳ及びアプリケーション・プログラムなどのプログラムとが有機的に協働することにより、上で述べたような各種機能を実現する。

以上述べた本実施の形態をまとめると、以下のようになる。

本実施の形態に係る写像処理方法は、（Ａ）１又は複数の領域を含み且つ第１の多角形メッシュで表された第１のモデルを、第１の球面に写像し、（Ｂ）第１のモデルと同じ数の領域を含み且つ第２の多角形メッシュで表された第２のモデルを、第２の球面に写像し、（Ｃ）第１の球面に写像された上記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、上記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、曲線近似に応じて移動させ、（Ｄ）第２の球面に写像された上記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、上記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、曲線近似に応じて移動させ、（Ｅ）第１の球面に写像された上記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の節点を、第２の球面に写像された上記１又は複数の領域の境界上の点に対応付け、（Ｆ）第１の球面に写像された上記１又は複数の領域の境界上の節点の位置を、対応付けられた第２の球面上の点に相当する、第１の球面上の位置に配置するという条件の下、第１の多角形メッシュに含まれる多角形要素の形状の変化及び面積の変化を抑制させるための項を含む第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、上記１又は複数の領域の境界上の節点以外の節点の位置を移動させ、（Ｇ）第１のモデルにおける各節点について、第１の球面における移動後の対応する節点と、当該節点に対応する第２の球面上の多角形要素とから、第２のモデルにおける点を算出する処理を含む。

このように第１の評価式を採用することで、裏返り等の不都合が発生しなくなり、第１のモデルを第２のモデルへ全単射が得られるようになる。

また、上で述べた曲線近似に応じて移動させる処理が、第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、上記１又は複数の境界以外の節点の位置を移動させるようにしても良い。このようにすれば裏返り等の不都合をさらに回避できるようになる。

さらに、上で述べた対応付ける処理が、（ｅ１）第１の球面に写像された上記１又は複数の領域の各々について算出される、当該領域の境界上の節点の重心と、第２の球面に写像された上記１又は複数の領域の対応する各領域について算出される、当該領域の境界上の節点の重心との距離が最小となるように、第１の球面を回転させ、（ｅ２）第１の球面に写像された上記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の各節点について、第２の球面に写像された対応領域の最近傍の点との距離に関する項と当該領域の境界における節点間の線要素の初期的な長さの比を保持するための項とを含む第２の評価式で算出される評価値を最小化するように、最近傍の点を特定する処理を含むようにしても良い。

このようにすれば、第１の球面の境界線における線要素の初期的な長さの比が可能な限り保持されるため、第１の球面の境界線上の節点が適切に対応付けられるようになる。

また、上で述べた第１の評価式が、体積を保ちつつ表面積を最小にするための項をさらに含むようにしても良い。安定的に球面上に節点が配置されるようになる。

さらに、本写像処理方法は、（Ｈ）第２のモデルへの写像後における第１のモデルにおける各節点について、当該節点について算出された第２のモデルにおける点を包含する、第２の多角形メッシュにおける多角形を特定し、（Ｉ）特定された多角形に対して、第２のモデルへの写像後における第１のモデルにおける対応節点の属性データを付与する処理をさらに含むようにしても良い。

このようにすれば、第２のモデルに属性データが付与されていない場合においても、第１のモデルに付与されている属性データをマッピングできるようになる。

なお、上で述べたような処理をコンピュータに実行させるためのプログラムを作成することができ、当該プログラムは、例えばフレキシブル・ディスク、ＣＤ−ＲＯＭなどの光ディスク、光磁気ディスク、半導体メモリ（例えばＲＯＭ）、ハードディスク等のコンピュータ読み取り可能な記憶媒体又は記憶装置に格納される。なお、処理途中のデータについては、ＲＡＭ等の記憶装置に一時保管される。

以上の実施例を含む実施形態に関し、さらに以下の付記を開示する。

（付記１）
１又は複数の領域を含み且つ第１の多角形メッシュで表された第１のモデルを、第１の球面に写像し、
前記第１のモデルと同じ数の領域を含み且つ第２の多角形メッシュで表された第２のモデルを、第２の球面に写像し、
前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させ、
前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させ、
前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の節点を、前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の点に対応付け、
前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の節点の位置を、対応付けられた前記第２の球面上の点に相当する、前記第１の球面上の位置に配置するという条件の下、前記第１の多角形メッシュに含まれる多角形要素の形状の変化及び面積の変化を抑制させるための項を含む第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、前記１又は複数の領域の境界上の節点以外の節点の位置を移動させ、
前記第１のモデルにおける各節点について、前記第１の球面における移動後の対応する節点と、当該節点に対応する前記第２の球面上の多角形要素とから、前記第２のモデルにおける点を算出する
処理をコンピュータに実行させるためのプログラム。

（付記２）
前記曲線近似に応じて移動させる処理が、
前記第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、前記１又は複数の境界以外の節点の位置を移動させる
付記１記載のプログラム。

（付記３）
前記対応付ける処理が、
前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の各々について算出される、当該領域の境界上の節点の重心と、前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の対応する各領域について算出される、当該領域の境界上の節点の重心との距離が最小となるように、前記第１の球面を回転させ、
前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の各節点について、前記第２の球面に写像された対応領域の最近傍の点との距離に関する項と当該領域の境界における節点間の線要素の初期的な長さの比を保持するための項とを含む第２の評価式で算出される評価値を最小化するように、前記最近傍の点を特定する
処理を含む付記１又は２記載のプログラム。

（付記４）
前記第１の評価式が、体積を保ちつつ表面積を最小にするための項をさらに含む
付記１乃至３のいずれか１つ記載のプログラム。

（付記５）
前記第２のモデルへの写像後における前記第１のモデルにおける各節点について、当該節点について算出された前記第２のモデルにおける点を包含する、前記第２の多角形メッシュにおける多角形要素を特定し、
特定された前記多角形要素に対して、前記第２のモデルへの写像後における前記第１のモデルにおける対応節点の属性データを付与する
処理をさらに前記コンピュータに実行させるための付記１乃至４記載のプログラム。

（付記６）
１又は複数の領域を含み且つ第１の多角形メッシュで表された第１のモデルを、第１の球面に写像し、
前記第１のモデルと同じ数の領域を含み且つ第２の多角形メッシュで表された第２のモデルを、第２の球面に写像し、
前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させ、
前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させ、
前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の節点を、前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の点に対応付け、
前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の節点の位置を、対応付けられた前記第２の球面上の点に相当する、前記第１の球面上の位置に配置するという条件の下、前記第１の多角形メッシュに含まれる多角形要素の形状の変化及び面積の変化を抑制させるための項を含む第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、前記１又は複数の領域の境界上の節点以外の節点の位置を移動させ、
前記第１のモデルにおける各節点について、前記第１の球面における移動後の対応する節点と、当該節点に対応する前記第２の球面上の多角形要素とから、前記第２のモデルにおける点を算出する
処理を含み、コンピュータにより実行される写像処理方法。

（付記７）
１又は複数の領域を含み且つ第１の多角形メッシュで表された第１のモデルを、第１の球面に写像し、前記第１のモデルと同じ数の領域を含み且つ第２の多角形メッシュで表された第２のモデルを、第２の球面に写像し、前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させ、前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させる第１の処理部と、
前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の節点を、前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の点に対応付ける第２の処理部と、
前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の節点の位置を、対応付けられた前記第２の球面上の点に相当する、前記第１の球面上の位置に配置するという条件の下、前記第１の多角形メッシュに含まれる多角形要素の形状の変化及び面積の変化を抑制させるための項を含む第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、前記１又は複数の領域の境界上の節点以外の節点の位置を移動させる第３の処理部と、
前記第１のモデルにおける各節点について、前記第１の球面における移動後の対応する節点と、当該節点に対応する前記第２の球面上の多角形要素とから、前記第２のモデルにおける点を算出する第４の処理部と、
を有する写像処理装置。

１００ 写像処理装置
１０１ 第１モデルデータ格納部
１０２ 第２モデルデータ格納部
１０３ 球面写像処理部
１０４ 第１球面モデルデータ格納部
１０５ 第２球面モデルデータ格納部
１０６ 最適化処理部
１０７ 移動処理部
１０８ 第３球面モデルデータ格納部
１０９ 写像処理部
１１０ 第３モデルデータ格納部
１１１ ラベルマッピング部
１１２ 第４モデルデータ格納部

Claims (7)

1. １又は複数の領域を含み且つ第１の多角形メッシュで表された第１のモデルを、第１の球面に写像し、
   前記第１のモデルと同じ数の領域を含み且つ第２の多角形メッシュで表された第２のモデルを、第２の球面に写像し、
   前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させ、
   前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させ、
   前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の節点を、前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の点に対応付け、
   前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の節点の位置を、対応付けられた前記第２の球面上の点に相当する、前記第１の球面上の位置に配置するという条件の下、前記第１の多角形メッシュに含まれる多角形要素の形状の変化及び面積の変化を抑制させるための項を含む第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、前記１又は複数の領域の境界上の節点以外の節点の位置を移動させ、
   前記第１のモデルにおける各節点について、前記第１の球面における移動後の対応する節点と、当該節点に対応する前記第２の球面上の多角形要素とから、前記第２のモデルにおける点を算出する
   処理をコンピュータに実行させるためのプログラム。
2. 前記曲線近似に応じて移動させる処理が、
   前記第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、前記１又は複数の境界以外の節点の位置を移動させる
   請求項１記載のプログラム。
3. 前記対応付ける処理が、
   前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の各々について算出される、当該領域の境界上の節点の重心と、前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の対応する各領域について算出される、当該領域の境界上の節点の重心との距離が最小となるように、前記第１の球面を回転させ、
   前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の各節点について、前記第２の球面に写像された対応領域の最近傍の点との距離に関する項と当該領域の境界における節点間の線要素の初期的な長さの比を保持するための項とを含む第２の評価式で算出される評価値を最小化するように、前記最近傍の点を特定する
   処理を含む請求項１又は２記載のプログラム。
4. 前記第１の評価式が、体積を保ちつつ表面積を最小にするための項をさらに含む
   請求項１乃至３のいずれか１つ記載のプログラム。
5. 前記第２のモデルへの写像後における前記第１のモデルにおける各節点について、当該節点について算出された前記第２のモデルにおける点を包含する、前記第２の多角形メッシュにおける多角形要素を特定し、
   特定された前記多角形要素に対して、前記第２のモデルへの写像後における前記第１のモデルにおける対応節点の属性データを付与する
   処理をさらに前記コンピュータに実行させるための請求項１乃至４記載のプログラム。
6. １又は複数の領域を含み且つ第１の多角形メッシュで表された第１のモデルを、第１の球面に写像し、
   前記第１のモデルと同じ数の領域を含み且つ第２の多角形メッシュで表された第２のモデルを、第２の球面に写像し、
   前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させ、
   前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させ、
   前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の節点を、前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の点に対応付け、
   前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の節点の位置を、対応付けられた前記第２の球面上の点に相当する、前記第１の球面上の位置に配置するという条件の下、前記第１の多角形メッシュに含まれる多角形要素の形状の変化及び面積の変化を抑制させるための項を含む第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、前記１又は複数の領域の境界上の節点以外の節点の位置を移動させ、
   前記第１のモデルにおける各節点について、前記第１の球面における移動後の対応する節点と、当該節点に対応する前記第２の球面上の多角形要素とから、前記第２のモデルにおける点を算出する
   処理を含み、コンピュータにより実行される写像処理方法。
7. １又は複数の領域を含み且つ第１の多角形メッシュで表された第１のモデルを、第１の球面に写像し、前記第１のモデルと同じ数の領域を含み且つ第２の多角形メッシュで表された第２のモデルを、第２の球面に写像し、前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させ、前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界を曲線近似した上で、前記１又は複数の領域の境界以外の節点の位置を、前記曲線近似に応じて移動させる第１の処理部と、
   前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の各々について、当該領域の境界上の節点を、前記第２の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の点に対応付ける第２の処理部と、
   前記第１の球面に写像された前記１又は複数の領域の境界上の節点の位置を、対応付けられた前記第２の球面上の点に相当する、前記第１の球面上の位置に配置するという条件の下、前記第１の多角形メッシュに含まれる多角形要素の形状の変化及び面積の変化を抑制させるための項を含む第１の評価式で算出される評価値を最小化するように、前記１又は複数の領域の境界上の節点以外の節点の位置を移動させる第３の処理部と、
   前記第１のモデルにおける各節点について、前記第１の球面における移動後の対応する節点と、当該節点に対応する前記第２の球面上の多角形要素とから、前記第２のモデルにおける点を算出する第４の処理部と、
   を有する写像処理装置。