JP5871456B2

JP5871456B2 - 供給チェーン管理のための方法

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Publication number: JP5871456B2
Application number: JP2010211852A
Authority: JP
Inventors: アールダンスクリストファー; ズーテルオンノ
Original assignee: Xerox Corp
Current assignee: Xerox Corp
Priority date: 2009-09-30
Filing date: 2010-09-22
Publication date: 2016-03-01
Anticipated expiration: 2030-09-22
Also published as: US8401888B2; US7958004B2; JP2011073883A; US20110077991A1; US20110202434A1

Description

本実施形態は、確率的統合補充問題（ＳＪＲＰ）についての在庫管理ポリシー、具体的には、費用が最適ポリシーの費用の３倍を超えないポリシーに向けられる。

在庫の補充と関連する費用を最小にしようと試みる多くの方法がある。在庫は、例えば、衣類、予備部品、様々な品質のオイル、事務用品等、任意の数及び種類の製品又は品目を含むことができる。適切な在庫ポリシーを定めようと試みるとき、例えば、外注費用、保有（ｈｏｌｄｉｎｇ）費用、受注残費用等の種々の費用要素を考慮しなければならない。また、在庫管理ポリシーを定める場合、例えば、在庫品目に対する需要が独立しているか、又は、発注時に１対１の品目の補充があるといった、種々の仮定を用いなければならない。

１つの特定の種類の在庫補充問題は、確率的統合補充問題（ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｊｏｉｎｔｒｅｐｌｅｎｉｓｈｍｅｎｔｐｒｏｂｌｅｍ、ＳＪＲＰ）と呼ばれる。ＳＪＲＰは、発注、在庫保有、及び受注残需要の連結原価を最小にするように、ランダム（確率的）需要の対象である幾つかの組の品目を発注する方法を定めることに向けられる。本明細書において、「統合（ｊｏｉｎｔ）」という用語は、複数の品目が同時に注文されたときに、費用が結合され、規模の経済が生じることを示すために用いられる。

種々の発見的ポリシーがＳＪＲＰ（例えば、キャンオーダー、定期的見直し、Ｑ（ｓ，Ｓ））に対して提案されたが、これらのポリシーは、恣意的で最適状態には及ばないものである場合がある。ポリシー及び値反復のような最適ポリシーを定めるための方法は、一つには法外な計算能力が必要になるために、７より多い品目が考慮されるときに、実用的でなくなることがある。決定論的統合補充に対する２のべき乗ポリシー、及び、単一品目及び複数階層補充に対する費用平衡ポリシーといった、密接に関連した問題における最適に近いポリシーを保証する発見的ポリシーを定めるための有意義な研究があった。しかしながら、これらの発見的ポリシーのＳＪＲＰへの適用については明らかになっていない。従って、従来技術に関連するこれら及びその他の問題を克服し、ＳＪＲＰにかかる費用をより最適に最小にすることができる在庫ポリシーを提供する必要性がある。

種々の実施形態によれば、本教示は、閾値Ω及び補充点（ｏｒｄｅｒ−ｕｐ−ｔｏｐｏｉｎｔ）Ｓを含む、総費用率の関数に関して定義される在庫管理ポリシーを含む。

本教示による実施形態は、複数の品目についての運転費用パラメータ及び補充点Ｓを提供することを含む、方法を含む。本方法はまた、各々が、プロセッサにおいて所定の期間にわたって複数の品目のうちの少なくとも１つに対する少なくとも１つのランダム需要を含む、該複数の品目についての複数の需要シナリオをサンプリングする。少なくとも１つのサンプリングされた需要シナリオ、少なくとも１つの費用率閾値、及び補充点Ｓの少なくとも１つの組み合わせについての総費用及び総時間が求められる。求められた総費用及び求められた総時間に基づいて、平均運転費用率が求められ、求められた平均運転費用率に基づいて、在庫システムについての単一の費用率閾値Ωが選択される。在庫システムの平均運転費用率についての最小値又は適度に低い値を達成するように、選択された単一の費用率閾値を選択することができる。本方法はまた、総費用率が選択された費用率閾値Ωと等しいか又はこれを上回る場合に、Ｓを満たすように品目を発注することも含む。

本教示の在庫ポリシーを適用することができる在庫システムの例示的な実施形態である。本教示による種々の閾値ポリシーを評価するために用いることができる、一般的コンピュータを含むことができる、図１の在庫管理システムの例である。図２の在庫管理システムにより実行することができる、図１の在庫システムを管理するためのステップを示すフローチャートである。本教示による、費用率閾値ポリシー（Ω_cＳ）を評価するためのステップを示すフローチャートである。本教示による、ペナルティ率閾値ポリシー（Ω_pＳ）を評価するためのステップを示すフローチャートである。

本実施形態は、確率的統合補充問題（ＳＪＲＰ）を解決するための新しい方法を提示する。ＳＪＲＰは、例えば、発注毎の段取り費用、保有費用率、固定ペナルティ費用、及び比例ペナルティ費用率などの費用及び費用率が、需要が確率的である場合に、在庫における各品目種別の水準（又は、量）によって決まる、品目の組で構成される在庫についての最適発注ポリシーを決定することに関する。本教示は、ＳＪＲＰに対する最適解決法に近く、実際には、最適解決法の有限範囲内にとどまる、新しい組の発見的手法の説明を含む。

本明細書に用いられる「ポリシー」という用語は、システムの状態を発注の決定にマッピングする機能を指し、「在庫」という用語は、保管し、発注し、要求することなどが可能なあらゆる製品を含む。本明細書に用いられる「製品」とは、例えば、営業上の信用、発注、研究プロジェクト等の抽象的な品目、並びに、例えば、衣類、株、予備部品、事務用品等の有形の品目を含むことができる。例えば、「研究プロジェクト」の在庫等の抽象的製品を用いる場合、保有費用は、プロジェクトの結果を利用するために知識を維持することに対応することができ、ペナルティ費用は、特定の分野において新しい結果を実証できなかったことに対応することができ、また、研究テーマ間の相乗効果により、発注における規模の経済があり得る。また、本明細書に用いられる「ポリシー」、「在庫ポリシー」、「補充ポリシー」等は交換可能であり、システムの状態を発注の決定にマッピングする機能を指す。

図１は、以下に説明される在庫ポリシーを用いることができる例示的な在庫システム１００を示す。在庫システム１００は、複数の品目１１０、１２０、１３０．．．、Ｎの物理的在庫１０５を含むことができ、この物理的在庫１０５に、各々の品目１１０、１２０、１３０．．．、Ｎの１つ又はそれ以上があり得る。また、在庫システム１００は、本教示による在庫ポリシーを用いて、品目１１０、１２０、１３０．．．、Ｎの少なくとも１つを、いつ追加発注するかを追跡する在庫管理システム１５０を含むことができる。在庫管理システム１５０は、供給業者１４０、１４２．．．、Ｚの少なくとも１に、補充在庫を発注することができる。各供給業者１４０、１４２．．．、Ｚは、単一の品目（例えば、１１０又は１２０）或いは品目の組み合わせ（例えば、１１０と１２０と１３０）を供給することができる。在庫システム１００はまた、顧客１６０を含むことができる。図１の矢印で示されるように、顧客１６０は、品目の組に対する需要とも呼ばれる、品目の組を発注する。この需要を、在庫管理システム１５０に送ることができ、在庫管理システムは次いで、物理的在庫１０５を確認し、要求された品目の組があるかどうか、或いは、要求された品目の組の幾つかの組み合わせを発注して物理的在庫１０５を補充し、顧客の需要を満たす必要があるかどうかを判断する。物理的在庫１０５に要求された品目の組又はその幾つかの組み合わせがある場合には、示されるように、入手可能な要求された品目を、顧客１６０に供給することができる。しかしながら、物理的在庫１０５が、要求された品目の組の全て又は一部を含んでいないか、又は、需要が物理的在庫１０５を使い尽くしてしまう場合には、在庫管理システム１５０は、供給業者１４０、１４２．．．、Ｚに補充品を発注することができる。

以下に説明されるポリシーは、少なくとも１つの品目１１０、１２０、１３０、．．．、Ｎに対する需要がランダムであるときに、在庫システム１００についての平均運転費用（ａｖｅｒａｇｅｏｐｅｒａｔｉｎｇｃｏｓｔｒａｔｅ）率を最小にするために、在庫管理システム１５０により使用することができる。図２に示すように、在庫管理システム１５０は、命令の組を実行することができ、例えば、プロセッサ２０２と、メモリ２０４と、他の周辺コンポーネント２０６と、入力／出力コンポーネント２０８とを含む一般的なコンピュータ２００又は複数のコンピュータ（図示せず）を含むことができる。また、在庫管理システム１５０は、当業者には周知であるような、付加的なメモリ２１０と、付加的な入力／出力コンポーネントと、他の周辺コンポーネント２３０（例えば、受信機、送信機、表示装置、キーボード、記憶装置等）とを含むことができる。

以下の教示は、種々の定義、仮定、及び式を含む。
ＳＪＲＰは、i＝１、．．．、ｎにより指数化されたｎ個の品目を有することができる。各々の品目の在庫持ち高（ｉｎｖｅｎｔｏｒｙｐｏｓｉｔｉｏｎ）ｘ_iは実数であり、多くの場合、整数のような部分集合により制限され得る。これらをコンパイルして、在庫持ち高ｎ−ベクトルｘを形成することができる。在庫持ち高は、手持ちの物理的在庫に、注文中の在庫を足し、そこから受注残を引いたものとして定義される。主要な発注段取り費用は、数ｋ＞０として定義され、在庫ポリシーは、常時、あらゆる品目の組の在庫持ち高を、費用ｋに対して、厳密により高い値に設定することができると解釈される。以下の説明では、あらゆる重要でない発注段取り費用（例えば、品目の組を発注する費用に加えて、特定の品目の発注と関連した固定費用）は、僅かなものであると仮定される。品目ｉについての品目費用率ｃ_i（ｘ_i）は非負であり、凸状であり、強制的である。本明細書において、「強制的（ｃｏｅｒｃｉｖｅ）」という用語は、在庫持ち高が、無限に増減する傾向があるとき、無限に増加する費用を指し、

であり、従って、あらゆる合理的ポリシーが非常に大量の発注をしないように、又は、受注残が非常に大きい値まで累積しないように強制する。品目在庫持ち高がｘ_iであるとき、ポリシーは、常に、単位時間当たり、量

を支払わなければならない。

時間ｔにおける、かつ、非負のｎ−ベクトルｘについての需要確率密度（又は分布）関数Ｐｒ（ｔ，ｄ）は、以下ように解釈される。時間〔ｔ，ｔ＋ｄｔ〕において、需要ベクトルｄが、確率Ｐｒ（ｔ，ｄ）ｄｔにより導かれ、品目ｉの在庫持ち高は、直ちに、ｘ_i−ｄ_iにジャンプする。本明細書に用いられる需要は、率λ＞０及びジャンプ・サイズ分布Ｇ（ｄ）を有する複合ポアソン過程であると仮定される。これは、

により与えられる連続時間確率過程（ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ−ｔｉｍｅｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｐｒｏｃｅｓｓ）

であり、ここで、

は、率λを有するポワソン過程であり、

は、分布Ｇ（ｄ）を有する独立同一分布ランダム変数であり、同じく、

から独立している。

ＳＪＲＰを説明する１つの方法は、ポリシー πの平均運転費用率を最小にする問題である。

このポリシーについて、ｘ_i（ｔ）は、時間ｔにおける品目ｉの在庫持ち高であり、ｎ_order（Ｔ）は、時間Ｔまでにポリシーによりなされた発注数であり、予測は、時間間隔

で、ポリシー及び需要確率密度関数により与えられたｘ_i（ｔ）の全てのサンプル経路にわたる。初期状態は、ｘ_i（０）＝０となるように選択することができる。

ＳＪＲＰについてのポリシーのサイクルは、２つの発注の間の期間である。品目保有費用率及びペナルティ率ｈ_i（ｘ_i）、ｐ_i（ｘ_i）は、ｈ（ｘ_i）＋ｐ_i（ｘ_i）＝ｃ_i（ｘ_i）を満たす品目費用率を分解したものである。両方の率は、品目在庫持ち高の凸関数であり、ｈ_iはｘ_iにおいて増加しなければならないが、ｐ_iはｘ_iにおいて減少しなければならない。卓越する保有費用率、卓越するペナルティ率及び卓越する費用率は、それぞれ

により定義される、対応する品目費用率にわたる合計である。

しばしば、保有費用及びペナルティ費用は、リードタイム分布及び固定対比例ペナルティに関して説明される。この説明は、費用率を得るのに重要であり得るが、本説明には不要であるｃ_i（ｘ_i）のような凸関数をもたらすにすぎない。本明細書において、保有費用は、在庫持ち高に伴って減少しない費用であり、ペナルティ費用は、在庫持ち高に伴って増加しない。保有費用及びペナルティ費用は、あらゆる特定の適用において、多様な構成要素を有することができる。例えば、保有費用は、買収又は他のビジネス行為を行なうために手元に資金を有するのとは対照的に、在庫に投資してある資金を有する機会費用に対応することができる。保有費用は、品目を保管するための空間を借りる又は所有する費用を含むこともできる。最後に、保有費用は、例えば、品目が盗難に遭うリスクがある場合、又は危険（例えば、爆薬、有害性化学物質、放射性物質等）と関連している場合、多数の品目を有することに関連したセキュリティ及び安全の費用に対応することもできる。ペナルティ費用は、例えば、店に在庫がないことにより販売ができなかったとき、装置を修理又は保守するための適切な部品をその場に持っていなかったために技術者が顧客のもとに別途訪問しなければならないとき、部品がないために航空機を修理又は保守できないことから航空機の顧客に補償しなければならないとき等、需要を満たすために品目を直ちに配送できない都度の固定費用を含むことができる。需要を満たすことができるまで時間と共に増加する、比例ペナルティ費用もあり得る。比例ペナルティ費用は、例えば、修理されるまで装置を用いることができない顧客に対する機会費用として、将来の顧客資産価値の減少を招く顧客満足の減少として、遅延又は休止時間に対する契約上のペナルティとして、食料が供給されない場合に引き起こされる苦痛として生じる。

再帰集合を結合させる定常マルコフ連鎖の状態のある関数の平均値は、再帰状態ｘからの任意の経路に沿った関数の予測値であり、次にその状態に戻ることは、更新理論の基本的な結果である。換言すれば、発注において常にある状態Ｓに戻る複合ポワソンＳＪＲＰに対するポリシーの平均運転費用率は、そのサイクルについての予測時間で割った、サイクルに発生した予測費用である。

最適発注ポリシーを特徴付けるために、以下の定義を用いることができる。マルコフ決定問題（ＭＤＰ）の状態ｘにおいてとられる動作の分布が状態ｘのみに依存する場合には、ポリシーは定常である。タイとは、ポリシーの価値関数を１より多い可能な次の動作によって達成することができる状態である。指数関数状態の継続時間（例えば、複合ポワソン過程により駆動されるＭＤＰ）を有するいずれの定常連続時間ＭＤＰも、離散時間ＭＤＰに対応するように、離散化及び均一化できることは、周知である。ランダム変数｛Ｘ₁，Ｘ₂，．．．｝のシーケンスに関する停止時間は、ランダム変数τであり、（ｉ）各々のｔについて、イベントτ＝１が発生するか又は発生しないかは、｛Ｘ₁，Ｘ₂，．．．，Ｘ_t｝の値にのみ依存する、及び、（ｉｉ）Ｐｒ（τ＜∞）＝１である、という特性を有する。

停止規則は、２動作ＭＤＰに対するポリシーである（換言すれば、ここでは発注する及び発注しないに対応する、停止する及び停止しないという２つの動作があるＭＤＰ）。停止規則が決定的である（すなわち、停止規則が所与の状態に対して１つの動作だけを特定する）場合、規則は、停止規則が停止するように言う、状態の停止集合σ、及び、停止規則が停止しないように言う、集合σの補集合である、状態の継続集合

に関して定義することができる。規則が停止を要求するいずれかの状態ｘにおいて、規則が、停止しないことによりｘから到達可能ないずれの状態においても停止を要求する場合、停止規則はＭＤＰに対して単調である。

ペナルティ率閾値ポリシー（Ｑ_p，Ｓ）は、卓越するペナルティ率がさもなければΩ_pと等しいか又はこれを上回るときに、補充点Ｓまで発注することとして定義される。費用率閾値ポリシー（Ω_c，Ｓ）は、卓越する費用率がさもなければΩ_cと等しいか又はこれを上回るときに、Ｓまで発注することとして定義される。マーチンゲール・スイッチ・ポリシー（Ω_c1，Ω_c2，Ｓ）は、状態ｘ_tにおける費用率ｃ（ｘ_t）が、

を満たすときに、Ｓまで発注するものとして定義される。

ポリシーの定義を考慮すると、適切な費用率閾値ポリシー及び適切なペナルティ率閾値ポリシーの継続集合

は、

が、定常である、補充点Ｓに対する最適ポリシーπ_*の継続集合であり、タイの場合には継続より発注を指向するとき、特性

を満たす。ポリシーは、ポリシー費用が決して最適ポリシーの費用のα倍より多くない場合には、α近似である。さらに、任意の補充点Ｓ及び複合ポワソン需要について、Ｓを用いて、最適ポリシーの３近似であるペナルティ率閾値ポリシー（Ω_p，Ｓ）を求めることができる。

図３は、図２の在庫管理システムにより実行することができるような、図１の在庫システムを管理するステップを示すフローチャートである。ステップＳ３００において、在庫品目について在庫持ち高が追跡される。ステップＳ３１０において、追跡された在庫持ち高に基づいて、在庫品目についての品目費用率が求められる。次にステップＳ３２０において、求められた品目費用率に基づいて、総費用率が求められる。ステップＳ３３０において、総費用率は費用率閾値と比較され、最後に、比較された総費用率が費用率閾値より大きいか又はこれと等しい場合、在庫品目について、補充点Ｓまで発注がなされる。費用率閾値は、ペナルティ率閾値とすることができ、ここで、在庫品目についての卓越するペナルティ費用率がペナルティ率閾値より大きいか又はこれと等しい場合、在庫品目が補充点Ｓまで発注される。代替的に、費用率閾値は、２つの費用率閾値を含むことができる。第１の費用率閾値は、総費用率が減少しているときに適用され、第２の費用率閾値は、総費用率が増加しているときに適用される。総費用率が第１又は第２の閾値より大きいときに、発注がなされる。

図４において、在庫システム（例えば、図１の１００）についての費用率閾値ポリシー（Ω_c，Ｓ）を決定するための方法の例示的な実施形態が示される。ステップＳ４００は、最初に、在庫システム１００についての保有費用、ペナルティ費用、主要な発注段取り費用、及び需要分布（すなわち、運転費用パラメータ）を特定する。ステップＳ４１０において、種々の周知のＳＪＲＰポリシー（例えば、ＱＳポリシー、キャンオーダー・ポリシー、定期的見直しポリシー、Ｑ（ｓ，Ｓ）ポリシー等）によって最初に特定された費用に基づいて、補充点Ｓが選択される。

次のステップにおいて、ステップＳ４２０に従って、需要シナリオがサンプリングされる。需要シナリオζは、構成要素ｄ_i（ｔ）が、時間ｔにおいて、品目ｉのうちの幾つが要求されたかを示す、需要ベクトルｄ（ｔ）のシーケンスとして表される。各々の需要シナリオζについて、在庫持ち高ｘ_i（ｔ）、卓越する費用率ｃ_ζ（ｔ）、及び総費用Ｃ_ζ（ｔ）が、以下の再帰式：

によりステージｔまで追跡される。

当業者には明らかであるように、式（６）（要求された品目のみにわたって加算することにより、総費用率を再帰的に更新する）は、全ての品目にわたって加算することと等しいが、多数の品目があり、需要が僅かである場合、典型的には、全ての品目にわたって加算するよりはるかに効率的である。卓越する費用率が、所定のシナリオについての任意の所定の閾値と初めて等しくなる又はこれを上回るのを見つけることは、簡単である。上記を、閾値にわたる検索及び平均運転費用率の決定と結合することにより、閾値の最適な選択を見積もることができる。検索する閾値の範囲は、明らかに、シナリオのいずれかにおいて観察される卓越する費用率の全ての集合に制限することができる。

同じく当業者には明らかであるように、常に検索を繰り返し行なって、卓越する費用率が所与の閾値と初めて等しくなる又はこれを上回るときを求めるのを回避し、これによりプロセスを著しく効率的にすることができる。ステップＳ４３０に示されるように、少なくとも１つのサンプリングされた需要シナリオ、少なくとも１つの費用率閾値、及び補充点Ｓの少なくとも１つの組み合わせについて、総費用及び総時間を求めることができる。例えば、各シナリオζについて、卓越する費用率の累積（すなわち、履歴）最大値ω_ζ（ｋ）のシーケンス、及び、初めて卓越する費用率がω_ζ（ｋ）に達するｋにより指数化された対応する時間ステップｔ_ζ（ｋ）を予め求めることができる。所定のシナリオζについて、時間ｔ_ζ（ｋ）までの総費用Ｃ_ζ（ｋ）を求めることもできる。対応する履歴シーケンス

は、シナリオについての費用を有益に評価できる全ての可能な別個の費用率閾値に対応する。

ステップＳ４４０において、増大するωの順番に、全ての需要シナリオにわたってシーケンスＨ_ζを辿ることにより、費用率閾値Ω_cの関数として、平均運転費用率Ｒ（Ω_c）が求められる。

式（３−７）は、時間の関数として総費用を有したが、式（８）は、

を定義することにより、卓越する費用率閾値ωの関数として、総費用及び時間を処理し、ここで、ｋは、次の卓越する費用率ω_ζ（ｋ＋１）がその閾値と等しいか又はこれを上回る、履歴シーケンスにおける第１の指数であり、すなわち

である。

このプロセスの実行時間は、勿論、問題の規模により変化するが、多数の品目、シナリオ及び費用率閾値にわたる密な検索においてさえ実用的なままである。最後のステップＳ４５０において、求められた平均運転費用率に基づいて、在庫システムについて、単一の費用率閾値Ω_cが選択される。選択された費用率閾値Ω_cは、在庫システム（例えば、１００）についての需要シナリオにわたる平均運転費用率を最小にすることができる。当業者には明らかであるように、在庫システムについての平均運転費用率を最小にするのではなく、例えば、システム要件、顧客要件、在庫の種類等に基づいて、総運転費用率についての適度に低い値を達成する費用率閾値Ω_cを代わりに選択することもできる。

以下は、図５に示すような（Ω_p，Ｓ）ポリシーを決定する方法の例示的な実施形態である。これは、卓越する費用率を閾値化するのではなく、卓越するペナルティ率を閾値化する点を除いて、上述の費用率閾値ポリシー（Ω_c，Ｓ）を決定する方法と同様に進む。ステップＳ５００は、最初に、在庫システム（例えば、在庫システム１００）についての保有費用、ペナルティ費用、主要な発注段取り費用、及び需要分布を特定する。ステップＳ５１０において、種々の周知のＳＪＲＰポリシー（例えば、ＱＳポリシー、キャンオーダー・ポリシー、定期的見直しポリシー、Ｑ（ｓ，Ｓ）ポリシー等）によって最初に特定された費用に基づいて、補充点Ｓが選択される。

次のステップにおいて、ステップＳ５２０に従って、需要シナリオがサンプリングされる。各需要シナリオζについて、卓越する費用率ｃ_ζ（ｔ）、卓越するペナルティ率ｐ_ζ（ｔ）、及び総費用Ｃ_ζ（ｔ）が、以下の再帰式：

によって、ステージｔまで追跡される。

上記を、ペナルティ率閾値にわたる検索及び平均運転費用率の決定と結合することにより、閾値の最適な選択を見積もることができる。

同じく当業者には明らかであるように、総当たりの検索を繰り返し行なって、初めて、卓越するペナルティ率が所与の閾値と初めて等しくなる又はこれを上回るときを求めるのを回避し、これによりプロセスを著しく効率的にすることができる。ステップＳ５３０に示されるように、少なくとも１つのサンプリングされた需要シナリオ、少なくとも１つのペナルティ率閾値、及び補充点Ｓの少なくとも１つの組み合わせについて、総費用及び総時間を求めることができる。例えば、各シナリオζについて、卓越するペナルティ率の累積（すなわち、履歴）最大値ω_ζ（ｋ）のシーケンス、及び、初めて卓越するペナルティ率がω_ζ（ｋ）に達する、ｋにより指数化された対応する時間ステップｔ_ζ（ｋ）とを予め求めることができる。所与のシナリオζについて、時間ｔ_ζ（ｋ）までの総費用Ｃ_ζ（ｋ）を求めることもできる。対応する履歴シーケンス

ステップＳ５４０において、増大するωの順番に、全ての需要シナリオにわたってシーケンスＨ_ζを辿ることにより、ペナルティ率閾値Ω_pの関数として、平均運転費用率Ｒ（Ω_p）が求められる。

式（１４）は、いずれの卓越するペナルティ率閾値ωについても、自然定義

を用い、ここで、ｋは、次の卓越する費用率ω_ζ（ｋ＋１）がその閾値と等しいか又はこれを上回る、履歴シーケンスにおける第１の指数であり、すなわち

である。

このプロセスの実行時間は、勿論、問題の規模により変化するが、多数の品目、シナリオ及び費用率閾値にわたる密な検索においてさえ実用的なままである。最後のステップＳ５５０において、在庫システム（例えば、１００）の閾値として、需要シナリオにわたる平均運転費用率を最小にする単一のペナルティ率閾値Ω_pが選択される。明らかに、上述のように、運転総費用率についての適度に低い値を達成するペナルティ率閾値Ω_pを代わりに選択することができる。

ここに教示されたように、ＳＪＲＰに用いられる２つの在庫管理ポリシーが決定された。第１に、費用率閾値ポリシー（Ω_c，Ｓ）は、費用率閾値Ω_c及び補充点Ｓを用い、第２に、ペナルティ率閾値ポリシー（Ω_p，Ｓ）は、ペナルティ率閾値Ω_p及び補充点Ｓを用いる。同様に、式（２）で示されるように、減少する費用率閾値Ω_cl、増大する費用率閾値Ω_c2、及び補充点Ｓを用いて、マーチンゲール・スイッチ・ポリシー（Ω_cl，Ω_c2，Ｓ）を決定することができる。

マーチンゲール・スイッチ・ポリシーの決定は、他の２つの種類のポリシーに関するものと類似のシナリオを用いて進めることができる。パラメータにわたる二次元検索が行われるが、この「総当たり」手法の詳細は、前の説明に基づいて当業者には明らかである。しかしながら、対応する二次元検索は、こうしたポリシーの決定の効率を悪くすることがある。

費用率閾値ポリシーは、マーチンゲール・スイッチ・ポリシーの部分集合である。従って、最良の費用率閾値ポリシーと少なくとも同じくらい良好なマーチンゲール・スイッチ・ポリシーを見出すことが常に可能である。幾つかの実用的な状況においては、計算速度及び簡単さに対する必要性が、さらに何パーセントか費用を削減する必要性より重要である場合がある。こうした状況においては、費用率閾値ポリシー及びペナルティ率閾値ポリシーを決定し、所与の問題又はデータセットに対して、平均的な全体の費用率によって測定されたときに、最良の性能を達成するものを用いることが好ましい。他の状況においては、さらに何パーセントか費用を削減する必要性は、計算速度及び簡単さに対する要望より重要である。これらの状況においては、マーチンゲール・スイッチ・ポリシー及びペナルティ率閾値ポリシーを決定し、平均的な全体の費用率の観点から測定されたときに、最良の性能を達成するポリシーを選択することが好ましい。どちらの場合も、費用は、最適ポリシーの費用の３倍にすぎず（例えば、典型的には、結果的に最適ポリシーの費用の１％以内になる）、これらのポリシー（費用、ペナルティ、及びマーチンゲール）は、ＳＪＲＰについての最適ポリシーに近い構造を有することが見出されている。付加的な実施形態において、マルコフ決定問題の当業者には周知の慣習であるように、費用が割引された場合には、式（６、８、１２、１４）における閾値に達するように累積費用及び時間の決定内に割引係数を含ませることにより、費用率を直接評価することができる。例えば、割引係数（又は、より正確には、総需要当たりの平均割引係数）γにおいて、平均運転費用率を、割引された平均運転費用率

と置き換えることができ、ここで、

である。

さらに付加的な実施形態においては、シナリオを利用して見積もり、これにより費用率を最適化するのではなく、畳み込みを用いることは可能であるが、これは比較的非効率である。サイクルの開始後の任意の所与の時間において、費用率は、品目にわたる費用率の合計である。合計の確率密度は、合計の個々の項の確率密度の畳み込みである。個々の品目についての費用率の確率密度関数は、その個々の品目の在庫持ち高についての確率密度から容易に得られる。現在のサイクルでいかなる発注もなされていなければ、その個々の品目の在庫持ち高についての確率密度関数は、既知の需要分布から求められることが明らかである。例えば、可能な費用率の空間の細かい離散化後に高速フーリエ変換（ＦＦＴ）を用いて、又は、関連する合計についての可能な値のソートされたリストを維持することによって、畳み込みを求めることができる。キーファー・ウォルフォビッツ法のような確率的近似法を用いる、又は、確率的プログラミングの技術分野において周知のいわゆる分岐シナリオを利用するといった、最適な卓越する費用率閾値パラメータ又はペナルティ率閾値パラメータを求めるためのさらに他の方法が、当業者には明らかであろう。最後に、線形重み付けされたこれらの組み合わせなどの、卓越する保有費用及びペナルティ費用の種々の混合は、本発明の精神から逸脱することなく、閾値の代わりに、卓越する費用率又はペナルティ率に直接利用できることが明らかである。

１００：在庫システム
１０５：在庫
１１０、１２０、１３０、Ｎ：品目
１４０、１４２、Ｚ：供給業者
１５０：在庫管理システム
１６０：顧客
ＩＴＥＭＳＯＲＤＥＲＥＤ：発注された品目
ＤＥＭＡＮＤ：需要
２００：一般的コンピュータ
２０２：プロセッサ
２０４：メモリ
２０６：周辺構成要素
２０８：入力／出力構成要素
２１０：付加的なメモリ
２３０：他の周辺構成要素

Claims

プロセッサ、メモリ及び入出力装置を備え、前記入出力装置を介して供給業者のコンピュータに接続されたコンピュータによって実行される、在庫システムについての費用率閾値を求めるための方法であって、
前記メモリは複数の品目についての運転費用パラメータ及び補充点Ｓを格納するものであり、
前記方法は、前記プロセッサが、
前記メモリに格納された複数の品目についての運転費用パラメータ及び補充点Ｓに基づいて、各々が所定の期間にわたって前記複数の品目のうちの少なくとも１つに対する少なくとも１つのランダム需要を含む、該複数の品目についての複数の需要シナリオをサンプリングし、
前記少なくとも１つのサンプリングされた需要シナリオ、２以上の費用率閾値及び補充点Ｓの少なくとも１つの組み合わせについての総費用及び総時間を求め、
前記求められた総費用及び前記求められた総時間に基づいて、平均運転費用率を求め、
前記求められた平均運転費用率に基づいて、前記在庫システムについての単一の費用率閾値を選択し、
総費用率が前記選択された費用率閾値と等しいか又はこれを上回る場合、前記入出力装置を介して前記供給業者のコンピュータに、前記補充点Ｓを満たすように品目を発注する、
ステップを含むことを特徴とする方法。
Ｒは、費用率閾値Ω_cを有する平均運転費用率であり、ｎ_ζは需要シナリオの数であり、ｋは０より大きい主要な発注段取り費用であり、Ｃ_ζは需要シナリオζの総費用であり、ｔ_ζはシナリオζのサイクル時間である場合に、前記平均運転費用率を求めるステップは、式

によって求められることを特徴とする、請求項１に記載の方法。
前記総費用及び総時間を求めるステップは、
前記所定の期間の終わり及び前記補充点までに要求された各品目の数の関数として、前記サンプリングされた需要シナリオについての総費用を再帰的に追跡し、
追跡された在庫持ち高の関数として、前記サンプリングされた需要シナリオについての累積的最大費用率を求める、
ステップをさらに含むことを特徴とする、請求項１に記載の方法。