JP4881055B2 - 連続弾性体変形シミュレーション方法、プログラム、および記録媒体 - Google Patents
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しかし、骨格系と異なり、弾性体である舌や唇の三次元運動は複雑に配置された筋によって組み立てられており、限られた数の代表点や筋電図信号で理解することは難しく、またMRI動画も細やかな筋の動きを観察するためには空間・時間分解能がまだ十分ではない。
Y.Lee、D.Terzopoulos and K.Waters,"Realistic modeling for facial animation,"Proc.SIGGRAPH95,ACM SIGGRAPH,pp.55−62,LosAngeles,CA,U.S.A.,Aug.1995. R.Grzeszczuk and D.Terzopoulos,"Automated learnimg of muscle−actuated locomotion through contorol abstraction,"Proc.SIGGRAPH95,ACM SIGGRAPH,pp.63−70,LosAngeles,CA,U.S.A.,Aug.1995. J.Dang and K.Honda,"Construction and control of a physiological articulatory model,"J.of Acoust.Soc.Am.,115(2),pp.853−870,Feb.2004. 野添潤一,五味裕章,党建武,本多清志,"リアルな発話運動を実現する生理学的唇力学モデルの構築,"信学論(D−II),vol.J88−D−II,no.9,pp.1944−1953,Sep.2005.
この発明のハードウェア構成例を図1に示す。この実施例において、使用者がシミュレーションを所望する対象物を連続弾性体と定義する。入力手段2は連続弾性体入力手段4と荷重入力手段6とで構成されている。
まず使用者が連続弾性体を連続弾性体入力手段4により、入力し、荷重入力手段6に連続弾性体に与えたい荷重fcを入力する。連続弾性体入力手段4への入力は、例えば、ステレオカメラなどの、光学計測装置などで、対象である連続弾性体を読み取る手法や、図面がある場合、図面から直接読み取る手法などで、得た情報を数値化したデータとしてコンピュータに入力する。連続弾性体入力手段4は対象の連続弾性体の大きさ、形状が離散的な点として入力される。この離散的な点は従来の離散的質量点に網状の離散要素を張った離散要素近似力学系モデルにおけるノード、つまり離散質量点と対応している。入力された連続弾性体を示す情報、つまり各質量点を表す情報は、単位キューブ分割手段8に入力され、対象の連続弾性体が単位キューブに分割される。ここで、単位キューブとは、図2に示すようにx、y、z軸上で考える6面体であり、本発明では、この単位キューブを最小単位と考え、連続弾性体は単位キューブが集合したものとして考える。連続弾性体の形状が複雑な部分はその複雑さに比例して小さい単位キューブとされ、形状が単純な部分は大きな単位キューブとされる。つまり、各単位キューブはそれ自体が6面体の連続弾性体として、各直交3軸の各方向の荷重を受けた時に、その荷重に基づくその対向の弾性体面変位をフックの法則により、計算できる程度の大きさ、形状とする。また、連続弾性体を複数の離散質量点に網の離散要素を張った従来の離散要素近似力学系モデルにおける隣接している8個の質量点をそれぞれ頂点とする6面体は、離散要素近似力学系における単位キューブとなる。
離散モデルにおける単位キューブはx、y、z軸上に質量点1〜8と、1つの質量点から他の7つの質量点とを繋ぎ合わされている28本の離散要素から構成されており、各々の離散要素の剛性は弾性係数kである。離散モデルの構成情報は剛性マトリクス生成手段12に入力されて離散モデルの剛性マトリクスKが生成される。剛性マトリクス(Stiffness Matrix)とは、いわば、複数の弾性要素で構成した力学系において、単体の弾性要素における弾性係数と同じ役割を示すものであり、離散要素力学系を構成する弾性要素xの弾性係数kx及びその方向性によって作られる。また剛性マトリクスKは、2つ以上の要素(部材)を連結して、構築した構造物の外部荷重に対する挙動をマトリクス変位法もしくは剛性マトリクス法を用いて、解析する場合、フックの法則における変位の係数項としてでてくるマトリクスのことである。
図4に示すように離散要素力学系(トラス構造)は4個のノード(質量点)1〜4及びある1つのノードから他の3つのノードへ繋がっている6個の弾性要素(離散要素)A〜Fで構成している。図4の力学系に対応する剛性マトリクスにおける、例えば弾性要素Aの寄与分は、式(1)のように剛性マトリクスの中で展開される。以下の式(1)のマトリクスに付けておいた行番号及び列番号は、図4におけるノード番号に対応するものである。
eA=(x2−x1)/rA・・・(3)
fA=(y2−y1)/rA・・・(4)
rA={(x2−x1)+(y2−y1)}1/2・・・(5)
ここで、rAを弾性要素Aの長さ、要素Aの両端を構成するノード1及びノード2の座標をそれぞれ(x1、y1)、(x2、y2)とする。
頂点変位計算手段14では、図3に示す離散モデルにおけるx軸、y軸、z軸方向それぞれの変位ベクトルδ→ x、δ→ y、δ→ zを求める。ここで、A→はベクトルAを示すものとし、具体的計算方法を以下に示す。
荷重入力手段6よりの荷重fcが入力されると、成分分解手段20でx軸、y軸、z軸方向の成分、fcx、fcy、fczに分解される。従って、x軸方向成分の荷重ベクトルをfxxとする。ここで、添え字「xx」の、1つめのxはx軸と垂直な断面(以下、x軸断面という)を示し、2つめのxはx軸方向を示すものとする。このfxx →の各構成要素は次式で表せる。
離散要素近似力学系では、図3中の質量点1〜4の変位を考える場合、質量点5〜8を固定されているものとし、各質量点1〜4は、荷重fcのx軸方向の成分fcxを4等分したx軸方向の集中荷重が印加されるとする。つまり、fcxは離散要素近似力学系において、以下の式(9)で表す1×12のベクトルfxx →と等価的に表すことが出来る。
fxx →=[fcx/4、0、0、fcx/4、0、0、fcx/4、0、0、fcx/4、0、0]T・・・(9)
また離散要素近似力学系における荷重による弾性変形は、マトリクス変位法によって、求めることが知られている。マトリクス変位法の適用で、各質量点の変位を表すベクトルδ→は剛性マトリクスKの逆行列に各質量点に印加される変位力ベクトルfとの積、つまり、以下の式(10)のような線形連立方程式で求めることができる。
δ→=K−1・f→・・・(10)
δx → 1234=[δx(1)、0、0、δx(2)、0、0、δx(3)、0、0、δx(4)]T・・・(11)
なお、ベクトルの構成要素であるδi(m)は質量点m(m=1、...、8)のi軸方向(i=x、y、z)の変位を示し、ATはベクトルAの転置行列を示す。
δy → 2358=[0、δy(2)、0、0、δy(3)、0、0、δy(5)、0、0、δy(8)0]T・・・(12)
δz→ 3478=[0、0、δz (3)、0、0、δz (4)、0、0、δz (7)、0、0、δz (8)]T・・・(13)
δx=1/4・Σ4 k=1δx(k)・・・(14)
よって式(11)、式(14)からδxは式(15)に示すように、
δx=1/4(δx(1)+δx(2)+δx(3)+δx(4))・・・(15)
となる。以下、同様の処理で同様にδy、δzを求めることが出来る。そしてδx、δy、δzはそれぞれ近似面変位記憶手段24に記憶される。
δci=fci・rci/E・Aci・・・・(16)
│δcx−δx│+│δcy−δy│+│δcz−δz│≦ε・・・(17)
ただし、εは使用者が任意に設定した誤差の範囲である。
また式(17)の代わりに、以下の式(18)に示す、変位偏差の2乗を用いても、同様な効果をもたらす離散要素近似力学系が求められる。
c1(δcx−δx)2+c2(δcy−δy)2+c3(δcz−δz)2≦ε・・・(18)
この発明の実施例2では、また、実施例1で示したハードウェア構成に対し、破線で示すように共有要素平均手段30が付加され、出力手段28に修正値頂点変位計算手段34が含まれる。その他の部分は実施例1と同様の処理を行う。
また、調整手段26による調整終了後の離散モデルの弾性要素を連続体適合弾性要素として定義し、連続体適合弾性要素で構成した単位キューブを連続体適合単位キューブと定義し、連続体適合単位キューブの組み合わせで構成した全体系を連続体適合離散要素近似力学系として定義する。また調整手段26により調整された剛性マトリクスを第1の剛性マトリクスK’と定義する。
適合単位キューブAのa1とa6とを結ぶ離散要素a1a6と、適合単位キューブBのa2とa7とを結ぶ離散要素a2a7と適合単位キューブCのa3とa8とを結ぶ離散要素a3a8と適合単位キューブDのa4とa9とを結ぶ離散要素a4a9とは互いに共有関係にある。よって、離散要素a1a6の弾性係数k16と離散要素a2a7の弾性係数k27と離散要素a3a8の弾性係数k38と離散要素a4a9の弾性係数k49との平均値、つまり(k16+k27+k38+k49)/4を取る。
これら、各共有離散要素に対し求めた修正弾性係数と、共有されずに変更されない弾性係数を用いて構成された剛性マトリクスを第2の剛性マトリクスK’’とすると、第2の剛性マトリクスK’’は連続体適合離散要素近似力学系の剛性マトリクスである。第2の剛性マトリクスK’’は修正値頂点変位手段34に入力され、修正値頂点変位手段34で、連続体適合離散要素近似力学系に対する頂点変位を計算する。
単純な幾何学的形状を持つ連続弾性体に対して、調整手段26による調整と共有要素平均手段30による修正がされた連続体適合離散要素近似力学系を適用した結果を以下に説明する。図7A、Bは立方体の連続弾性体を4個の同一寸法の単位キューブで構成した離散要素近似力学系に対する静的変形の結果であり、図7Aは従来の技術の変形結果であり、図7Bはこの発明を適用した変形結果である。なお、両者とも連続弾性体の寸法は0.1×0.1×0.1(m3)で、その縦弾性係数(ヤング率)は100(kPa)として設定した。荷重条件としては、+x軸断面上における12(kPa)の一様引張り応力分布を適用した。この発明の適用に当たっては誤差εを10−4(m)とした。直線で示されているのは離散モデルでの単位キューブの変形を示し、2点鎖線で示されているのは、連続弾性体の変形を示している。
一方、図7Bにおいては、2点鎖線と直線が重なっており、(離散モデルでの単位キューブの変形と連続弾性体の変形が等しい)、離散モデルでの単位キューブの変形、つまり+x軸断面上の全質量点の変位が連続弾性体の変位を近似しており適合性が取れていることが分かる。つまり、この図面に示す大きさで表すと、この発明を適用することにより誤差がほぼ0になっていることが分かる。
Claims (4)
- 連続弾性体を複数の離散質量点に網状の離散要素を張った離散要素近似力学系モデルのコンピュータによる連続弾性体変形シミュレーション方法において、
前記コンピュータが、隣接している8つの上記離散質量点をそれぞれ頂点とする6面体を単位キューブとし、各単位キューブに対し、連続体としての直交する3軸の各軸方向の荷重に対する連続体面変位を計算する連続体面変異計算過程と、
前記コンピュータが、各単位キューブに対し、上記離散要素近似力学系における各軸方向の荷重ベクトルに対する各頂点の変位を剛性マトリクスを用いて計算する頂点変位計算過程と、
前記コンピュータが、各単位キューブごとに、同一面内の上記頂点変位を平均して近似面変位を求める近似面変位計算過程と、
前記コンピュータが、各単位キューブごとに対応軸面の上記連続体面変位と上記近似面変位との差の絶対値が予め決められた誤差以下になるように、最適化手法を適用することにより、上記剛性マトリクスの要素を調整する調整過程と、を実行し、
上記荷重ベクトルは上記連続体面変位計算過程における対応する単位キューブの同一軸方向の荷重が、各質量点に分割されて印加される構成とされていることを特徴とする連続弾性体変形シミュレーション方法。 - 請求項1記載の連続弾性体変形シミュレーション方法において、
前記コンピュータが、上記単位キューブの共有される離散要素に対し、これらの単位キューブごとの上記調整手段により調整された弾性係数を平均して、上記離散要素の弾性係数として、上記剛性マトリクスの対応する構成要素を修正する共有要素平均過程と、
前記コンピュータが、上記各単位キューブに対し、上記離散要素近似力学系における各軸方向の荷重ベクトルに対する各頂点の変位を上記修正剛性マトリクスを用いて計算する修正値頂点変位計算過程と、
前記コンピュータが、各単位キューブごとに、上記修正剛性マトリクスを用いて計算された同一面内の上記頂点変位を平均して修正面変位を求める修正面変位計算過程とを、実行することを特徴とする連続弾性体変形シミュレーション方法。 - 請求項1または2の何れかに記載した連続弾性体変形シミュレーション方法の各過程をコンピュータに実行させるための連続弾性体変形シミュレーションプログラム。
- 請求項3記載の連続弾性体変形シミュレーションプログラムを記録したコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
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