JP4729767B2 - 直交基底気泡関数要素数値解析方法、直交基底気泡関数要素数値解析プログラムおよび直交基底気泡関数要素数値解析装置 - Google Patents
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Description
201 データ格納部
202 第1の取得部
203 第2の取得部
204 生成部
205 第1の算出部
206 第2の算出部
207 解析部
この実施の形態にかかる数値解析装置のハードウェア構成について説明する。図1は、この発明の実施の形態にかかる数値解析装置のハードウェア構成を示すブロック図である。数値解析装置は、CPU101と、ROM102と、RAM103と、HDD(ハードディスクドライブ)104と、HD(ハードディスク)105と、FDD(フレキシブルディスクドライブ)106と、着脱可能な記録媒体の一例としてFD(フレキシブルディスク)107と、ディスプレイ108と、I/F(インターフェース)109と、キーボード110と、マウス111と、スキャナ112と、プリンタ113と、を備えている。また、各構成部は、バス100によってそれぞれ接続されている。
この発明の実施の形態にかかる数値解析装置の機能的構成について説明する。図2はこの発明の実施の形態にかかる数値解析装置の機能構成を示すブロック図である。図2に示すように、数値解析装置200は、データ格納部201と、第1の取得部202と、第2の取得部203と、生成部204と、第1の算出部205と、第2の算出部206と、解析部207と、から構成されている。
<1.直交基底気泡関数要素>
質量行列Mは、有限要素法による解析(有限要素解析)について、ある解析物理量を補間した関数に重み関数を掛け、対象領域で積分を行った場合に現れる。気泡関数要素を使用した場合には、解析対象となる任意領域を区分的に三角形(四面体)形状にて要素数Neで分割した要素群を全体系に重ね合せる作業によって形成され、要素領域での積分を用いて下記式(16)のようにあらわすことができる。
式(18)、式(20)を満たすことができる気泡関数として下記式(22)で表される気泡関数を提案する。
直交基底を形成する具体的な気泡関数について説明する。図5は、2次元の気泡関数要素を示す説明図であり、図6は、3次元の気泡関数要素を示す説明図である。
下記式(41)〜式(46)に、2次元(三角形)、3次元(四面体)における通常の気泡関数要素の要素レベルの整合質量行列、集中質量行列、直交基底気泡関数要素の要素レベルの質量行列(対角質量行列)を示す。
気泡関数について説明する。図11は、2次元の気泡関数を示す説明図であり、図12は、3次元の気泡関数を示す説明図である。気泡関数φBは、形状関数の定義(重心点が1、その他の点では0となる関数)を満たせば任意の関数を選択することができる。検証の比較計算として、最も多く使用されている以下に示す二つの気泡関数および直交基底を形成する気泡関数を用いる。図11および図12に示したアイソパラメトリック座標系{r,s}({r,s,t})を用いて、式(47)〜式(52)のように定義される。
発明手法の検証計算として、数値解析手法の性能を比較検討するための有名なベンチマーク問題であるRotating Cone問題(物質濃度の移流問題)の解析をおこなう(非特許文献4参照)。図13は、Rotating Cone問題の解析における計算領域を示す説明図であり、図14は、Rotating Cone問題の解析における解析モデルのメッシュ(節点数:4921、要素数:9600)を示す説明図であり、図15は、Rotating Cone問題の解析における解析モデルの流速(流況)を示す説明図である。
発明手法の3次元解析の検証として、2次元と同様にRotating Cone問題(物質濃度の移流問題)の解析をおこなう(非特許文献4参照)。図28は、Rotating Cone問題の解析における解析モデルのメッシュ(節点数:438413、要素数:2539200)を示す説明図である。図28は、図13の2次元解析モデルに鉛直長さ=2(−1〜1)を持たせたモデルである。解析モデルの流速(流況)および濃度分布は、鉛直方向には変化がなく2次元解析モデルの場合と同様である。
以上、2次元、3次元の直交基底気泡関数要素を発明し、その効果を示した。有限要素法の数値計算では、実用上、問題となる解析は、殆どの場合、2次元と3次元であるが、直交基底気泡関数要素は、1次元でも定義することができる。ここでは、1次元の気泡関数要素、ξ乗気泡関数を示し、直交条件式(14)(または式(21))を1次元〜3次元まで空間次元数Nを用いて統一的に記述する。また、一次元(線気泡関数要素)の要素レベルの質量行列を示す。
気泡関数要素を使用した流体解析、構造解析、固有値解析などでは、一般に一次要素の形状関数Ψαの積分値に加えて、下記式(64)〜(66)の気泡関数の積分値が必要になる。
式(71)からわかるように、式(56)、(27)、(28)のξ乗気泡関数を使用して直交基底気泡関数を形成した式(66)の積分値は、変数ξ1、ξ2、ξ3の値によって決まる。本特許では、拡張された直交基底気泡関数要素の条件式(80)を満足するような変数ξ1、ξ2、ξ3を考え、そのような変数が実際に存在することを示す。変数はξ1、ξ2、ξ3の三つあるが、その内の2変数を下記式(81)のように固定し、ξ1の1変数の問題として、拡張された直交基底気泡関数要素の条件を満足する気泡関数を求めることを考える。
通常の気泡関数、直交基底気泡関数要素の数値解析において式(66)が必要になる要素レベルの粘性項(拡散項)の行列を下記式(101)〜(103)に示す。
式(1)は、下記式(107)、(108)のように変形することができる。
気泡関数要素の持つ数値不安定性を緩和させるために、下記式(114)の気泡関数の粘性項(安定化作用制御項)を用いて解析精度を向上させる方法がある。
正規化気泡関数を使用した場合にも安定化作用制御項は導入することが出来、下記式(136)によって表される。
式(107)の表現形式を用いた気泡関数要素の重心点の自由度uB’は、静的縮約という操作によって要素ごとに消去できる。その結果得られる有限要素方程式は、安定化有限要素法で導かれる有限要素方程式と密接な関係がある(非特許文献2参照)。静的縮約によって得られる気泡関数の安定化作用行列は、一般的に下記式(143)の形式によって表される。
式(108)の表現形式を用いた気泡関数要素の重心点の自由度uS’は、静的縮約という操作によって要素ごとに消去できる。静的縮約によって得られる正規化気泡関数の安定化作用行列は、一般的に下記式(170)の形式によって表される。
直交基底気泡関数要素で、式(1)、(107)の表現形式を採用した場合には、式(70)、(65)、(66)の積分を使用して、式(150)、(156)、(159)、(163)、(166)、(169)のいずれかを採用し、式(108)の表現形式を採用した場合には、式(111)〜(113)各第一項の積分を使用して、式(176)、(182)、(185)、(189)、(192)、(195)のいずれかを採用すれば安定化作用制御パラメータを計算することが出来る。いま、式(176)、(182)、(185)、(189)、(192)、(195)を、式(70)、(65)、(66)の積分を使用して記述すると下記式(196)〜(201)のようになる。
Claims (9)
- 生成手段と解析手段とを備えたコンピュータが、
前記生成手段が、解析対象範囲に分割形成されたメッシュごとに、当該メッシュの解析対象となる有限要素方程式内の整合質量行列に対して、気泡関数要素の基底が直交する条件を満たす気泡関数を求め、前記整合質量行列に、前記気泡関数の積分値を代入することによって、前記整合質量行列を対角化した対角質量行列を生成する生成工程と、
前記解析手段が、前記解析対象となる物理量の物性を表す既知物性値および前記解析対象となる物理量の解析条件を表す境界解析物理量からなる既知解析物理量を、前記生成工程によって生成されたメッシュごとの対角質量行列に代入することによって、前記解析対象となる物理量の変化を解析する解析工程と、
を実行することを特徴とする直交基底気泡関数要素数値解析方法。 - 前記解析手段が、前記既知物性値、前記境界解析物理量および前記解析対象となる物理量の解析開始時の値を表す初期解析物理量からなる既知解析物理量を、前記生成工程によって生成されたメッシュごとに対角質量行列に代入することによって、前記解析対象となる物理量の微少時間における変化を解析することを特徴とする請求項1に記載の直交基底気泡関数要素数値解析方法。
- 前記コンピュータは、さらに、第1の算出手段と第2の算出手段とを備え、
前記第1の算出手段が、前記生成工程によって生成された前記解析対象範囲のメッシュごとの対角質量行列の総和を求めることによって、前記解析対象範囲全域の対角質量行列を算出する第1の算出工程と、
前記第2の算出手段が、前記第1の算出工程によって算出された前記解析対象範囲全域の対角質量行列の逆行列を算出する第2の算出工程と、を実行し、
前記解析工程は、
前記解析対象範囲全域についての前記既知解析物理量と前記第2の算出工程によって算出された前記対角質量行列の逆行列とを乗算することによって、前記解析対象となる物理量の変化を解析することを特徴とする請求項1または3に記載の直交基底気泡関数要素数値解析方法。 - 請求項1〜4のいずれか一つに記載の直交基底気泡関数要素数値解析方法を前記コンピュータに実行させることを特徴とする直交基底気泡関数要素数値解析プログラム。
- 解析対象範囲に分割形成されたメッシュごとに、当該メッシュの解析対象となる有限要素方程式内の整合質量行列に対して、気泡関数要素の基底が直交する条件を満たす気泡関数を求め、前記整合質量行列に、前記気泡関数の積分値を代入することによって、前記整合質量行列を対角化した対角質量行列を生成する生成手段と、
前記解析対象となる物理量の物性を表す既知物性値および前記解析対象となる物理量の解析条件を表す境界解析物理量からなる既知解析物理量を、前記生成工程によって生成されたメッシュごとの対角質量行列に代入することによって、前記解析対象となる物理量の変化を解析する解析手段と、
を備えることを特徴とする直交基底気泡関数要素数値解析装置。 - 前記解析手段は、
前記既知物性値、前記境界解析物理量および前記解析対象となる物理量の解析開始時の値を表す初期解析物理量からなる既知解析物理量を、前記生成工程によって生成されたメッシュごとに対角質量行列に代入することによって、前記解析対象となる物理量の微少時間における変化を解析することを特徴とする請求項6に記載の直交基底気泡関数要素数値解析装置。 - 前記生成手段によって生成された前記解析対象範囲のメッシュごとの対角質量行列の総和を求めることによって、前記解析対象範囲全域の対角質量行列を算出する第1の算出手段と、
前記第1の算出手段によって算出された前記解析対象範囲全域の対角質量行列の逆行列を算出する第2の算出手段と、を備え、
前記解析手段は、
前記解析対象範囲全域についての前記既知解析物理量と前記第2の算出手段によって算出された前記対角質量行列の逆行列とを乗算することによって、前記解析対象となる物理量の変化を解析することを特徴とする請求項6または8に記載の直交基底気泡関数要素数値解析装置。
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