JP4607421B2

JP4607421B2 - Parameter extraction method and parameter extraction program

Info

Publication number: JP4607421B2
Application number: JP2002348996A
Authority: JP
Inventors: 工宮下
Original assignee: Fujitsu Ltd
Current assignee: Fujitsu Ltd
Priority date: 2002-11-29
Filing date: 2002-11-29
Publication date: 2011-01-05
Anticipated expiration: 2022-11-29
Also published as: JP2004186258A

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、システムの多数の測定データを再現するモデルの複数のパラメタを抽出するパラメタ抽出方法およびパラメタ抽出プログラムに関し、特に半導体素子開発の分野においてシミュレーションモデルを構築するために必要なパラメタを抽出するパラメタ抽出方法およびパラメタ抽出プログラムに関する。
【０００２】
近時、電子計算機の能力が向上し、それによって、より複雑なシステムをモデル化し、そのシステムの挙動を予測することが可能になっている。ある系をモデル化して多くの測定値を再現することにより、その系をよりよく制御することや、その系をより深く定量的に理解してその挙動を推定することや、モデルを評価してより適切なモデルを作成することや、その系を改良したり新しい系を創造することなどが可能となる。実際の系に合致するモデルを作成するためには、その系を特徴づける多数のモデルパラメタを決定したり、推定することが重要である。
【０００３】
特に半導体素子開発の分野においては、素子動作の高速化に伴い、素子の散乱パラメタを測定し、これを再現する等価回路パラメタを決定することが求められている。また、半導体素子の微細化に伴い、三次元効果、量子効果およびキャリア走行速度のオーバシュート等をシミュレーションモデルを使って再現する必要が生じているが、大信号回路モデルの構築とそのパラメタの抽出は、今のところ、極めて困難である。
【０００４】
【従来の技術】
従来より、ある系の測定値にモデル出力が一致するようにパラメタを求める際には、測定値に対するモデル出力の誤差の自乗和を最小化するＬＭＳ（ｌｅａｓｔｍｅａｎｓｑｕａｒｅ）法が用いられている。また、ＬＭＳ法を改良して収束性を高めるようにしたＮｅｗｔｏｎ法やＭａｒｑｕａｒｄｔＬｅｖｅｎｂｅｒｇ法が用いられることもある。
【０００５】
ＬＭＳ法を改良したＭＬ（ｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｌｉｈｏｏｄ）法は、もっともらしいモデル出力が得られるようにパラメタを求める方法である。ＭＬ法では、もっともらしさを決めるための評価関数をあらかじめ定め、その値を最小化する処理がおこなわれる。
【０００６】
ところで、現実課題の多くは多目的最適化問題であり、同時に複数の目標を最小化または最大化することが求められる。従来、多目的最適化問題を解く場合には、それぞれの目標に対応したモデル出力の各誤差の自乗和を評価関数とすることにより、多目的最適化問題を単一目的の最適化問題に置き換えて、上述した方法を用いている（たとえば、非特許文献１参照。）。
【０００７】
一方、線形適応信号処理において、ディジタル・フィルタ係数を更新するのに、Ｗｉｄｒｏｗ−ＨｏｆｆのＬＭＳアルゴリズムが用いられる。これは、モデルパラメタの数が複数あり、モデル出力が一つの場合に相当する。モデルパラメタ(フィルタ係数)の更新値ΔＰｍは、ｍ個のモデルパラメタをＰ₁〜Ｐ_mとし、誤差ベクトルをＥとし、利得をｃとすると、つぎの（１）式で表される。
【０００８】
【数１】

【０００９】
また、パラメタ数が多くなると、その抽出が困難となる。そのため、従来は、半導体素子の小信号パラメタを求める場合に、外部パラメタについては、素子のオフ状態での測定値を用いてあらかじめ決定しておき、ＬＭＳ法を基にした繰り返し手法により内部パラメタのみを抽出するという処理がおこなわれている（たとえば、非特許文献２参照。）。
【００１０】
【非特許文献１】
柏村孝義、外１名、「実験計画法による非線形問題の最適化」、朝倉書店、１９９８年１０月２５日、ｐ．３０−３１
【非特許文献２】
アグネス・マイラス（Agnes Miras）、外１名、「ベリーハイ・フリークウァンシィスモール−シグナルイクウィバラントサーキットフォアショートゲート・レングスＩｎＰＨＥＭＴ（Very High-Frequency Small-Signal Equivalent Circuit for Short Gate-Length InP HEMT's）」、アイ・トリプル・イートランザクションマイクロウェーブアンドセオリーテクノロジー（IEEE Trans. Microwave and Theory Tech）、（米国）、１９９７年７月、第４５巻、第７号、ｐ．１０１８−１０２６
【００１１】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、上述した従来の方法では、いずれも、誤差の自乗和を評価関数とし、モデル出力以外にも、この関数を収束させるための条件を設けているため、モデルパラメタを一意に定めることは困難である。また、ローカル・ミニマ（極小値）に収束してしまうこともある。また、ある程度の精度で測定値を再現することができるパラメタ・セットが求まっても、そのパラメタ・セット内の個々のパラメタの値が保証されるわけではないという問題点がある。
【００１２】
上述したＬＭＳ法では、測定値に正規分布（ガウシアン分布）でないノイズが含まれる場合、たとえばノイズに何らかの傾向がある場合や、大きなノイズが混在する場合に、十分に満足する結果は得られない。また、モデルが測定値の一部にのみ有効である場合も同様である。
【００１３】
上述したＭＬ法では、測定値に正規分布でないノイズが含まれる場合でも有効であるが、測定値に含まれる特定のノイズ分布を仮定し、そのノイズ分布に基づいて評価関数を定式化する必要がある。そのため、プログラムの作成が困難であるだけでなく、完成したプログラムの信頼性と汎用性が十分でないという問題点がある。
【００１４】
また、半導体素子の外部パラメタをあらかじめ決めておき、ＬＭＳ法により内部パラメタのみを抽出する方法では、外部パラメタが素子のバイアス条件により変化するため、内部パラメタを適正に抽出することは困難であるという問題点がある。
【００１５】
また、実デバイスの特性を回路モデルとデバイスモデルでより正確に再現しようとすると、これらのモデルが複雑化するとともに、パラメタの物理的意味が不明確となってしまう。このため、回路特性から、素子特性の改良指針として回路モデルパラメタの改良が提示されても、デバイスの構造をどのように変更すればよいのか推定することが困難である。
【００１６】
本発明は、上記問題点に鑑みてなされたものであって、ローカル・ミニマに囚われることなく、効率よく複数のモデルパラメタを一意に定めることができるパラメタ抽出方法を提供することを目的とする。また、本発明の他の目的は、半導体素子開発の分野において、より実用的な小信号等価回路パラメタの抽出および大信号パラメタの抽出を可能とするパラメタ抽出方法およびパラメタ抽出プログラムを提供することにある。
【００１７】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するため、本発明は、収束させるための制限等を設けずに、モデルのみを用いてパラメタの抽出をおこなうものであり、Ｗｉｄｒｏｗ−ＨｏｆｆのＬＭＳアルゴリズムを、測定値とモデル出力がともに多次元のベクトルで表される多目的に拡張して、多目的最適化問題を直接解くことを特徴とする。その際、前記（１）式右辺の値を、誤差是正への各パラメタの寄与の度合として用いる。
【００１８】
そして、多目的問題に最急降下法を用いて誤差の自乗和を小さくしていく際に、ステップゲインをεとして、ｋ番目のパラメタＰ_kをつぎの(２)式および（３）式のように更新する。ただし、ｍはパラメタの数、ｎは測定値の数である。また、１≦ｌ≦ｎ、１≦ｋ≦ｍであり、Ｐ_k ⁽¹⁾は、更新されたｋ番目のパラメタである。
【００１９】
【数２】

【数３】

【００２０】
上記（３）式の第二項目は、ｋ番目のパラメタの誤差補正への寄与を意味している。高次の微分を使えば、さらに早い収束が期待できる。誤差の計算および誤差の微分の計算が短時間で済む場合には、上記（３）式の計算をそのまま繰り返せばよい。
【００２１】
具体的には、たとえば半導体素子開発の分野において、素子の散乱パラメタを測定し、これを再現する等価回路パラメタを求める場合、まず散乱パラメタの誤差（幾何）ベクトルＥｎを求める。ついで、等価回路パラメタＰｍによる誤差ベクトルＥｎの微分Δ_mnを求める。そして、ＥｎとΔ_mnの相関ΔＰｍ＝Ｅ’Δ_mnを求め、これを用いて等価回路パラメタを更新することを繰り返す。ここで、Ｅ’はＥの転置ベクトルである。
【００２２】
この発明によれば、各測定点ごとの誤差と、各測定点ごとの誤差に関する各パラメタの寄与を各パラメタごとの更新値にまとめることにより、モデルに忠実にパラメタの更新をおこなうことが可能となる。
【００２３】
【発明の実施の形態】
以下に、本発明の実施の形態について図面を参照しつつ詳細に説明する。ここでは、図２に示す構成の等価回路モデルを用いて、５６２ＧＨｚのＩｎＰｐｓｅｕｄｏｍｏｒｐｈｉｃＨＥＭＴ（高電子移動トランジスタ）の散乱パラメタの測定値からモデルパラメタを抽出する場合を例にして、説明するが、本発明はこれに限定されるものではない。
【００２４】
まず、等価回路モデルの構成について説明する。等価回路モデルは、６個のキャパシタ１，２，３，４，５，６と３個のインダクタ７，８，９と６個の抵抗１０，１１，１２，１３，１４，１５と電流源１６を備えている。ゲート端子（Ｇ）は、第１のキャパシタ（容量値：Ｃｇ）１を介して接地されている。また、ゲート端子（Ｇ）は、第１のインダクタ（インダクタンス：Ｌｇ）７を介して、第１の抵抗（抵抗値：Ｒｇ）１０の一端に接続されている。
【００２５】
第１の抵抗１０の他端は、第２の抵抗（抵抗値：Ｒｇｃ）１２に第２のキャパシタ（容量値：Ｃｇｃ）４が並列に接続された並列接続体の一端に接続されている。この並列接続体の他端は、第３の抵抗（抵抗値：Ｒｃｓ）１３の一端に接続されている。第３の抵抗１３の他端は、ソースを構成する第４の抵抗（抵抗値：Ｒｓ）１５の一端に接続されている。第４の抵抗１５の他端は、第２のインダクタ（インダクタンス：Ｌｓ）９を介して接地されている。
【００２６】
ドレイン端子（Ｄ）は、第３のキャパシタ（容量値：Ｃｄ）２を介して接地されている。また、ドレイン端子（Ｄ）は、第３のインダクタ（インダクタンス：Ｌｄ）８を介して、第５の抵抗（抵抗値：Ｒｄ）１１の一端に接続されている。第５の抵抗１１の他端は、第６の抵抗（抵抗値：Ｒｄｓ）１４に第４のキャパシタ（容量値：Ｃｄｓ）６および電流源（ｇｍ、ｔａｕ）１６が並列に接続された並列接続体の一端に接続されている。この並列接続体の他端は、第４の抵抗１５の前記一端に接続されている。
【００２７】
第１の抵抗１０の前記他端と、第５の抵抗１１の前記他端との間には、第５のキャパシタ（容量値：Ｃｄｇ０）３が接続されている。また、第５の抵抗１１の前記他端と、第２の抵抗１２および第２のキャパシタ４よりなる並列接続体の前記他端との間には、第６のキャパシタ（容量値：Ｃｄｃ）５が接続されている。
【００２８】
上述した構成の等価回路モデルでは、ゲート端子（Ｇ）、第１のインダクタ７、第１のキャパシタ１の順に接続される。また、ドレイン端子（Ｄ）、第３のインダクタ８、第３のキャパシタ２の順に接続される。第１のキャパシタ１は、ゲートのパッド容量であり、第３のキャパシタ２は、ドレインのパッド容量である。第１のインダクタ７および第３のインダクタ８は、ボンディングワイヤのインダクタンスに相当するが、ここではウェハ上での測定値を用い、プローブヘッドで校正してあるので、ボンディングワイヤはなく、短い配線のインダクタンスである。
【００２９】
また、モデルパラメタの抽出にあたっては、第３のインダクタ８のインダクタンスＬｄ、第５の抵抗１１の抵抗値Ｒｄ、第４の抵抗１５の抵抗値Ｒｓおよび第２のインダクタ９のインダクタンスＬｓは小さい値であるので、第４のキャパシタ６と第３のキャパシタ２の独立性（直交性）は低い。したがって、第３のキャパシタ２の容量値Ｃｄだけは固定することが望ましい。そこで、この容量値Ｃｄを、モニタパターンから別途測定した既知の値に固定する。
【００３０】
残りの１６個のパラメタ、すなわちＣｇ、Ｌｇ、Ｒｇ、Ｒｇｃ、Ｃｇｃ、Ｒｃｓ、Ｒｓ、Ｌｓ、Ｌｄ、Ｒｄ、Ｒｄｓ、Ｃｄｓ、Ｃｄｇ０、Ｃｄｃ、ｇｍおよびｔａｕは、以下に説明するパラメタ抽出方法において２００〜１００００回程度の繰り返しにより、求められる。なお、これらの事柄は、パラメタ抽出をおこなう過程で、モデルの適切化をおこなうことにより明らかになった。
【００３１】
つぎに、パラメタ抽出方法の手順について説明する。図１は、本発明にかかるパラメタ抽出方法の手順を示すフローチャートである。パラメタ抽出処理が開始されると、まず、図３に示す散乱パラメタＳ１１，Ｓ１２，Ｓ２１，Ｓ２２の測定値（Ｓ＿ｏｂｊ）を読み込む（ステップＳ１）。ついで、上述した１６個の回路パラメタ（ＣＰ）の初期値を設定する（ステップＳ２）。そして、ステップＳ１で設定した回路パラメタ（ＣＰ）の初期値を用いてモデル計算をおこない、散乱パラメタＳ１１，Ｓ１２，Ｓ２１，Ｓ２２のモデル出力（Ｓ）を得る。
【００３２】
ここで、散乱パラメタＳ１１，Ｓ１２，Ｓ２１，Ｓ２２の測定およびモデル計算は、ともに同じ周波数のセットでおこなう。たとえば、周波数を、２５０ＭＨｚから５０．２５ＧＨｚまで、２５０ＭＨｚ刻みで２０１点とする。そして、４つの散乱パラメタＳ１１，Ｓ１２，Ｓ２１，Ｓ２２のそれぞれ２０１点ずつの測定値を連結して測定値Ｓ＿ｏｂｊとする。モデル出力についても同様に、４つの散乱パラメタＳ１１，Ｓ１２，Ｓ２１，Ｓ２２のそれぞれ２０１点ずつのモデル出力を連結してモデル出力Ｓとする。
【００３３】
ついで、モデル出力Ｓから測定値Ｓ＿ｏｂｊを減算して、誤差ベクトルＥ１を求める（ステップＳ３）。ついで、誤差ベクトルＥ１を１６個の回路パラメタ（ＣＰ）のそれぞれで微分し、つぎの式（４）に示す勾配行列Δ_mnを求める（ステップＳ４）。このとき、各回路パラメタ（ＣＰ）による微分を定式化しにくい場合には、各回路パラメタ（ＣＰ）を一つずつ変化させてモデル計算をおこない、モデル出力Ｓの変化を読み取ることにより、勾配行列Δ_mnを求める。
【００３４】
【数４】

【００３５】
ついで、回路パラメタ（ＣＰ）の更新量（ＣＰＵ）の初期値を設定する（ステップＳ５）。そして、ステップＳ３で求めた誤差ベクトルＥ１に、ステップＳ４で求めた勾配行列Δ_mnとステップＳ５で設定した回路パラメタの更新量（ＣＰＵ）との相関、ここでは積を加算して、新たなな誤差ベクトルＥ２を求める（ステップＳ６）。
【００３６】
ついで、（５）式に示すように、ステップＳ６で求めた誤差ベクトルＥ２の転置ベクトルＥ２’とステップＳ４で求めた勾配行列Δ_mnとの相関ΔＰｍを求める。ここでは、ΔＰｍは、たとえばＥ２’およびΔ_mnの各実部同士の相関と、各虚部同士の相関との和である。なお、（５）式において、（Ｅ₁ Ｅ₂ ・・・Ｅ_n）がＥ２’であり、Ｅ₁、Ｅ₂、・・・、Ｅ_nはＥ２’の要素である。
【００３７】
【数５】

【００３８】
得られたΔＰｍにステップゲインεを乗じたものを、ステップＳ５で設定した回路パラメタの更新量（ＣＰＵ）から減算し、これをあらたな回路パラメタの更新量（ＣＰＵ）とする（ステップＳ７）。そして、ステップＳ６ヘ戻り、あらたな回路パラメタの更新量（ＣＰＵ）を用いて、再び誤差ベクトルＥ２を求め、ステップＳ７で、ステップゲインεを調整しながら、再びあらたな回路パラメタの更新量（ＣＰＵ）を求める。
【００３９】
ステップＳ６およびステップＳ７の繰り返しを、あらかじめ設定された充分な回数ｋ回、たとえば２００〜１００００回程度おこなう。その際、Δ_mnの変化量は小さく無視できる程度であるので、Δ_mnは一定であるとして近似している。この繰り返し演算に要する時間は、各パラメタごとのモデル計算に要する時間と同じ程度である。このように、低次の微係数Δ_mnを求める内部ループの中で、回路パラメタの更新量（ＣＰＵ）を繰り返しにより求めることにより、時間のかかるモデル計算の回数が減り、高速化が図れる。なお、内部ループを多重にしてもよい。
【００４０】
ついで、ステップＳ６およびステップＳ７の規定回数（ｋ回）の繰り返し（ステップＳ８）により得られた回路パラメタの更新量（ＣＰＵ）の転置ベクトルに１を加算し、これとステップＳ１で設定した回路パラメタ（ＣＰ）の初期値との要素ごとの積を求める。そして、その積の絶対値をあらたな回路パラメタ（ＣＰ）とする（ステップＳ９）。ついで、ステップＳ９で求めた回路パラメタ（ＣＰ）の変化量が微小であるか否かを判定する（ステップＳ１０）。
【００４１】
回路パラメタ（ＣＰ）の変化量が微小にならない場合（ステップＳ１０：Ｎｏ）には、ステップＳ３へ戻り、ステップＳ９で更新された回路パラメタ（ＣＰ）を用いて、ステップＳ３〜ステップＳ９をおこなう。この繰り返しを、回路パラメタ（ＣＰ）の変化量が微小になるまでおこなう。ステップＳ３〜ステップＳ９の繰り返し処理において、ステップ５では、一サイクル前のステップＳ７で得られた回路パラメタの更新量（ＣＰＵ）を設定する。そして、回路パラメタ（ＣＰ）の変化量が微小になった時点で収束したと判断して（ステップＳ１０：Ｙｅｓ）、パラメタ抽出処理を終了する。収束の判断基準としては、ステップＳ７で回路パラメタの更新量を算出する際に用いる虚部の相関と実部の相関の総和もしくはそれらの自乗和、誤差の自乗和、誤差の絶対値の和、またはそれらの組み合わせなどを用いることができる。
【００４２】
図３は、５６２ＧＨｚのＩｎＰｐｓｅｕｄｏｍｏｒｐｈｉｃＨＥＭＴの散乱パラメタの測定値（一点鎖線で示す）と、図２に示す等価回路モデルに対して、上述したパラメタ抽出処理により得られた回路パラメタを用いた場合の散乱パラメタのモデル出力（実線で示す）とを示すスミスチャートである。図３より、モデル出力が測定値にほぼ一致していることがわかる。なお、図３において、散乱パラメタＳ２１については、１０分の１の値を示している。
【００４３】
図４は、本発明にかかるパラメタ抽出方法を適用して得られた散乱パラメタのモデル出力の評価値と、前記Ｃｇｃおよび前記Ｒｃｓとの関係を示す図である。図４では、残りの１４個のパラメタ（Ｃｇ、Ｌｇ、Ｒｇ、Ｒｇｃ、Ｒｓ、Ｌｓ、Ｌｄ、Ｒｄ、Ｒｃｓ、Ｃｄｓ、Ｃｄｇ０、Ｃｄｃ、ｇｍ、ｔａｕ）については、抽出値を用いている。また、図４では、特に限定しないが、評価値として、散乱パラメタのモデル出力の測定値に対する誤差の絶対値の総和を用いている。
【００４４】
図４と同様に、１６個のパラメタ中の任意のパラメタに関して、抽出値付近で誤差が最小になることを示すことができる。したがって、多目的最適化の結果、１６個のパラメタの抽出値付近で誤差が最小になることがわかる。同様に、誤差の自乗の総和も、１６個のパラメタの抽出値付近で最小になる。
【００４５】
上述したパラメタ抽出方法をコンピュータに実行させるためのプログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録され、コンピュータにより実現される。また、パラメタ抽出プログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体を介して、インターネットなどのネットワークを介して配布することができる。図５は、上述したパラメタ抽出方法の実施に供されるコンピュータの一例の構成を示すブロック図である。
【００４６】
コンピュータは、たとえばＣＰＵ１０１、ＲＯＭ１０２、ＲＡＭ１０３、ＨＤＤ（ハードディスクドライブ）１０４、ＦＤＤ（フレキシブルディスクドライブ）１０６、ディスプレイ１０８、キーボード１０９、マウス等（種々のポインティング・デバイスを含む）１１０、プリンタ１１１およびＣＤ−ＲＯＭドライブ１１２がバス１００を介して相互に接続された構成となっている。上述したパラメタ抽出方法をコンピュータに実行させるためのプログラムは、ＦＤ１０７やＣＤ−ＲＯＭ１１３に記録される。また、ＦＤ１０７やＣＤ−ＲＯＭ１１３に記録されたプログラムはＨＤ１０５に格納されて実行される。
【００４７】
上述した実施の形態によれば、各測定点ごとの誤差と、各測定点ごとの誤差に関する各パラメタの寄与を各パラメタごとの更新値にまとめることにより、モデルに忠実にパラメタの更新をおこなうことができるので、パラメタを一意に定めることが可能となる。したがって、ローカル・ミニマへの収束や、想定外のノイズの影響を回避することができる。
【００４８】
また、実施の形態によれば、パラメタが一意に定まることにより、モデルの適切性を確認しながらより適切なモデルに作り変えることが可能となる。また、従来不可能であったより複雑な逆問題の利用が可能となる。また、半導体素子開発の分野においては、デバイス特性とデバイス構造との関係が明確になるので、デバイス特性を改善するための指針を得ることが可能となる。
【００４９】
以上において本発明は、上述した実施の形態に限らず、種々変更可能である。たとえば、前記ステップＳ７で、誤差ベクトルＥ２の転置ベクトルＥ２’と勾配行列Δ_mnとの相関ΔＰｍを、絶対値と位相を用いて求めるようにしてもよい。その際、位相に２πのジャンプなどの不連続が生じる場合には、その処理が必要となる。
【００５０】
また、本発明は、半導体素子開発分野に限らず、モデルパラメタの値を推定することにより未知のシステムの構造を明らかにすることを目的とする逆問題に広く利用することができる。たとえば、地質探査、トモグラフィ、ＭＲＩ（核磁気共鳴）やスクイド素子による脳内電流の検出などの分野において利用することができる。
【００５１】
【発明の効果】
本発明によれば、各測定点ごとの誤差と、各測定点ごとの誤差に関する各パラメタの寄与を各パラメタごとの更新値にまとめることにより、モデルに忠実にパラメタの更新をおこなうことが可能となる。したがって、パラメタを一意に定めることが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明にかかるパラメタ抽出方法の手順を示すフローチャートである。
【図２】本発明にかかるパラメタ抽出方法の実施に用いたＩｎＰＨＥＭＴの等価回路モデルを示す等価回路図である。
【図３】本発明にかかるパラメタ抽出方法を図２に示す等価回路モデルに適用した結果を示す図である。
【図４】本発明にかかるパラメタ抽出方法を図２に示す等価回路モデルに適用した結果を示す図である。
【図５】本発明にかかるパラメタ抽出方法の実行に供せられるコンピュータのハードウェア構成を示すブロック図である。
【符号の説明】
Ｓ１１，Ｓ１２，Ｓ２１，Ｓ２２散乱パラメタ[0001]
BACKGROUND OF THE INVENTION
The present invention relates to a parameter extraction method and a parameter extraction program for extracting a plurality of parameters of a model that reproduces a large number of measurement data of a system, and more particularly to extracting parameters necessary for building a simulation model in the field of semiconductor device development. The present invention relates to a parameter extraction method and a parameter extraction program.
[0002]
Recently, the capabilities of electronic computers have improved, thereby making it possible to model more complex systems and predict the behavior of those systems. By modeling a system and reproducing many measurements, you can better control the system, understand the system more deeply and quantitatively and estimate its behavior, or evaluate the model It is possible to create a more appropriate model, improve the system, and create a new system. In order to create a model that matches an actual system, it is important to determine or estimate a number of model parameters that characterize the system.
[0003]
In particular, in the field of semiconductor element development, with the speeding up of element operation, it is required to measure the scattering parameter of the element and determine an equivalent circuit parameter for reproducing it. In addition, with the miniaturization of semiconductor devices, it is necessary to reproduce three-dimensional effects, quantum effects, carrier travel speed overshoots, etc. using simulation models. Construction of large-signal circuit models and extraction of their parameters Is extremely difficult so far.
[0004]
[Prior art]
Conventionally, when obtaining a parameter so that a model output matches a measured value of a certain system, an LMS (least mean square) method that minimizes a square sum of errors of the model output with respect to the measured value is used. In addition, a Newton method or a Marquardt Levenberg method that improves the LMS method to improve convergence may be used.
[0005]
The ML (maximum liklihood) method, which is an improvement of the LMS method, is a method for obtaining parameters so that a plausible model output can be obtained. In the ML method, an evaluation function for determining plausibility is determined in advance, and processing for minimizing the value is performed.
[0006]
By the way, many of the real problems are multi-objective optimization problems, and it is required to simultaneously minimize or maximize a plurality of targets. Conventionally, when solving a multi-objective optimization problem, the multi-objective optimization problem is replaced with a single-purpose optimization problem by using the square sum of each error of the model output corresponding to each target as an evaluation function. The method described above is used (for example, see Non-Patent Document 1).
[0007]
On the other hand, a Widrow-Hoff LMS algorithm is used to update the digital filter coefficients in linear adaptive signal processing. This corresponds to the case where there are a plurality of model parameters and the number of model outputs is one. The updated value ΔPm of the model parameter (filter coefficient) is expressed by the following equation (1), where m model parameters are P _{1 to} P _m , the error vector is E, and the gain is c.
[0008]
[Expression 1]

[0009]
In addition, when the number of parameters increases, the extraction becomes difficult. Therefore, conventionally, when obtaining a small signal parameter of a semiconductor element, the external parameter is determined in advance using the measured value in the off state of the element, and only the internal parameter is determined by an iterative method based on the LMS method. Is extracted (for example, see Non-Patent Document 2).
[0010]
[Non-Patent Document 1]
Takayoshi Tsujimura, 1 other, “Optimization of nonlinear problems by experimental design”, Asakura Shoten, October 25, 1998, p. 30-31
[Non-Patent Document 2]
Agnes Miras, 1 other person, “Very High-Frequency Small-Signal Equivalent Circuit for Short Gate-Length InP HEMT's” I. Triple E Transaction Microwave and Theory Tech, (USA), July 1997, Vol. 45, No. 7, p. 1018-1026
[0011]
[Problems to be solved by the invention]
However, in any of the conventional methods described above, it is difficult to uniquely define model parameters because the sum of squares of errors is used as an evaluation function, and conditions other than the model output are provided for convergence of this function. It is. Moreover, it may converge to a local minimum (minimum value). In addition, there is a problem that even if a parameter set that can reproduce a measurement value with a certain degree of accuracy is obtained, the value of each parameter in the parameter set is not guaranteed.
[0012]
In the above-described LMS method, a sufficiently satisfactory result cannot be obtained when noise that is not a normal distribution (Gaussian distribution) is included in the measured value, for example, when there is some tendency in noise or when large noise is mixed. The same applies when the model is valid only for a part of the measured values.
[0013]
The ML method described above is effective even when the measurement value includes noise that is not a normal distribution, but it is necessary to formulate an evaluation function based on the noise distribution assuming a specific noise distribution included in the measurement value. is there. Therefore, there is a problem that not only is it difficult to create a program, but also the reliability and versatility of the completed program is not sufficient.
[0014]
In addition, in the method in which the external parameters of the semiconductor element are determined in advance and only the internal parameters are extracted by the LMS method, it is difficult to properly extract the internal parameters because the external parameters change depending on the bias conditions of the elements. There is a problem.
[0015]
In addition, if the characteristics of an actual device are to be reproduced more accurately by a circuit model and a device model, these models become complicated and the physical meaning of parameters becomes unclear. For this reason, it is difficult to estimate how the device structure should be changed even if the improvement of the circuit model parameter is presented as an improvement guideline of the element characteristic from the circuit characteristic.
[0016]
The present invention has been made in view of the above problems, and an object of the present invention is to provide a parameter extraction method that can uniquely determine a plurality of model parameters efficiently without being bound by a local minimum. Another object of the present invention is to provide a parameter extraction method and a parameter extraction program that enable more practical extraction of small signal equivalent circuit parameters and extraction of large signal parameters in the field of semiconductor device development. is there.
[0017]
[Means for Solving the Problems]
In order to achieve the above object, the present invention performs parameter extraction using only a model without providing a restriction for convergence, etc., and uses a Widrow-Hoff LMS algorithm with measured values and model outputs. Both are extended to multi-objects expressed by multi-dimensional vectors, and are characterized by directly solving multi-objective optimization problems. At that time, the value on the right side of the equation (1) is used as the degree of contribution of each parameter to error correction.
[0018]
Then, when using the steepest descent method to reduce the square sum of errors for a multipurpose problem, the step gain is ε, and the kth parameter P _k is expressed by the following equations (2) and (3). Update. Here, m is the number of parameters, and n is the number of measured values. Further, 1 ≦ l ≦ n, 1 ≦ k ≦ m, and P _k ⁽¹⁾ is the updated k-th parameter.
[0019]
[Expression 2]

[Equation 3]

[0020]
The second item of the above equation (3) means contribution to error correction of the kth parameter. If higher-order differentiation is used, faster convergence can be expected. When the calculation of error and the calculation of differential of the error can be completed in a short time, the calculation of the above equation (3) may be repeated as it is.
[0021]
Specifically, for example, in the field of semiconductor element development, when measuring the scattering parameter of an element and obtaining an equivalent circuit parameter for reproducing it, an error (geometric) vector En of the scattering parameter is first obtained. Then, determine the differential delta _mn of error vectors En by the equivalent circuit parameters Pm. Then, the correlation ΔPm = E'Δ _mn of En and delta _mn, repeatedly updating the equivalent circuit parameters by using this. Here, E ′ is a transposed vector of E.
[0022]
According to the present invention, it is possible to update the parameters faithfully to the model by collecting the error at each measurement point and the contribution of each parameter related to the error at each measurement point into an update value for each parameter. Become.
[0023]
DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION
Hereinafter, embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the drawings. Here, a case where model parameters are extracted from measured values of scattering parameters of a 562 GHz InP pseudomorphic HEMT (high electron transfer transistor) using the equivalent circuit model having the configuration shown in FIG. 2 will be described as an example. The invention is not limited to this.
[0024]
First, the configuration of the equivalent circuit model will be described. The equivalent circuit model has six

capacitors

1, 2, 3, 4, 5, 6 and three

inductors

7, 8, 9 and six

resistors

10, 11, 12, 13, 14, 15 and a current source 16. It has. The gate terminal (G) is grounded via a first capacitor (capacitance value: Cg) 1. The gate terminal (G) is connected to one end of a first resistor (resistance value: Rg) 10 via a first inductor (inductance: Lg) 7.
[0025]
The other end of the first resistor 10 is connected to one end of a parallel connection body in which a second capacitor (capacitance value: Cgc) 4 is connected in parallel to a second resistor (resistance value: Rgc) 12. The other end of the parallel connection body is connected to one end of a third resistor (resistance value: Rcs) 13. The other end of the third resistor 13 is connected to one end of a fourth resistor (resistance value: Rs) 15 constituting the source. The other end of the fourth resistor 15 is grounded via a second inductor (inductance: Ls) 9.
[0026]
The drain terminal (D) is grounded via a third capacitor (capacitance value: Cd) 2. The drain terminal (D) is connected to one end of a fifth resistor (resistance value: Rd) 11 via a third inductor (inductance: Ld) 8. The other end of the fifth resistor 11 is connected in parallel, in which a fourth capacitor (capacitance value: Cds) 6 and a current source (gm, tau) 16 are connected in parallel to a sixth resistor (resistance value: Rds) 14. Connected to one end of the body. The other end of the parallel connection body is connected to the one end of the fourth resistor 15.
[0027]
A fifth capacitor (capacitance value: Cdg0) 3 is connected between the other end of the first resistor 10 and the other end of the fifth resistor 11. A sixth capacitor (capacitance value: Cdc) 5 is provided between the other end of the fifth resistor 11 and the other end of the parallel connection body including the second resistor 12 and the second capacitor 4. Is connected.
[0028]
In the equivalent circuit model configured as described above, the gate terminal (G), the first inductor 7, and the first capacitor 1 are connected in this order. Further, the drain terminal (D), the third inductor 8 and the third capacitor 2 are connected in this order. The first capacitor 1 is a gate pad capacitance, and the third capacitor 2 is a drain pad capacitance. The first inductor 7 and the third inductor 8 correspond to the inductance of the bonding wire, but here, the measured value on the wafer is used and calibrated by the probe head, so there is no bonding wire and a short wiring. Inductance.
[0029]
In extracting the model parameters, the inductance Ld of the third inductor 8, the resistance value Rd of the fifth resistor 11, the resistance value Rs of the fourth resistor 15, and the inductance Ls of the second inductor 9 are small values. Therefore, the independence (orthogonality) of the fourth capacitor 6 and the third capacitor 2 is low. Therefore, it is desirable to fix only the capacitance value Cd of the third capacitor 2. Therefore, the capacitance value Cd is fixed to a known value separately measured from the monitor pattern.
[0030]
The remaining 16 parameters, namely Cg, Lg, Rg, Rgc, Cgc, Rcs, Rs, Ls, Ld, Rd, Rds, Cds, Cdg0, Cdc, gm, and tau are 200 in the parameter extraction method described below. It is calculated | required by repeating about 10000 times. In addition, these matters were clarified by optimizing the model in the process of parameter extraction.
[0031]
Next, the procedure of the parameter extraction method will be described. FIG. 1 is a flowchart showing a procedure of a parameter extraction method according to the present invention. When the parameter extraction process is started, first, the measured values (S_obj) of the scattering parameters S11, S12, S21, and S22 shown in FIG. 3 are read (step S1). Next, initial values of the 16 circuit parameters (CP) described above are set (step S2). Then, model calculation is performed using the initial value of the circuit parameter (CP) set in step S1, and model outputs (S) of the scattering parameters S11, S12, S21, and S22 are obtained.
[0032]
Here, the measurement of the scattering parameters S11, S12, S21, and S22 and the model calculation are performed with the same set of frequencies. For example, the frequency is set to 201 points in increments of 250 MHz from 250 MHz to 50.25 GHz. Then, 201 measured values of each of the four scattering parameters S11, S12, S21, and S22 are connected to obtain a measured value S_obj. Similarly, the model output of 201 points of each of the four scattering parameters S11, S12, S21, and S22 is connected to form the model output S.
[0033]
Next, the measured value S_obj is subtracted from the model output S to obtain an error vector E1 (step S3). Next, the error vector E1 is differentiated by each of the 16 circuit parameters (CP) to obtain a gradient matrix Δ _mn shown in the following equation (4) (step S4). At this time, if it is difficult to formulate the differentiation by each circuit parameter (CP), the model calculation is performed by changing each circuit parameter (CP) one by one, and the change in the model output S is read to obtain the gradient matrix Δ _Ask for _mn .
[0034]
[Expression 4]

[0035]
Next, an initial value of the update amount (CPU) of the circuit parameter (CP) is set (step S5). Then, a correlation between the gradient matrix Δ _mn obtained in step S4 and the circuit parameter update amount (CPU) set in step S5, here the product, is added to the error vector E1 obtained in step S3, and a new An error vector E2 is obtained (step S6).
[0036]
Next, as shown in the equation (5), a correlation ΔPm between the transposed vector E2 ′ of the error vector E2 obtained in step S6 and the gradient matrix _Δmn obtained in step S4 is obtained. Here, ΔPm is, for example, the sum of the correlation between the real parts of E2 ′ and _Δmn and the correlation between the imaginary parts. Note that in equation (5) is an element _{_{_{(E 1 E 2 ··· E n}}} ) ' _{_{is, E 1, E 2, ···}} , E n is E2' is E2.
[0037]
[Equation 5]

[0038]
A value obtained by multiplying the obtained ΔPm by the step gain ε is subtracted from the circuit parameter update amount (CPU) set in step S5 to obtain a new circuit parameter update amount (CPU) (step S7). Then, returning to step S6, the error vector E2 is obtained again using the new update amount (CPU) of the circuit parameter, and the new update amount (CPU) of the new circuit parameter is adjusted again while adjusting the step gain ε in step S7. )
[0039]
Steps S6 and S7 are repeated k times set in advance, for example, about 200 to 10,000 times. At this time, since the change amount of Δ _mn is small and negligible, Δ _mn is approximated as being constant. The time required for this repetitive calculation is about the same as the time required for model calculation for each parameter. In this way, by repeatedly obtaining the update amount (CPU) of the circuit parameter in the inner loop for _obtaining the low-order differential coefficient _Δmn , the number of time-consuming model calculations can be reduced and the speed can be increased. The inner loop may be multiplexed.
[0040]
Next, 1 is added to the transposition vector of the update amount (CPU) of the circuit parameter obtained by repeating the specified number of times (k times) of step S6 and step S7 (step S8), and the circuit parameter set in step S1. The product of each element with the initial value of (CP) is obtained. Then, the absolute value of the product is set as a new circuit parameter (CP) (step S9). Next, it is determined whether or not the change amount of the circuit parameter (CP) obtained in step S9 is very small (step S10).
[0041]
If the change amount of the circuit parameter (CP) does not become minute (step S10: No), the process returns to step S3, and steps S3 to S9 are performed using the circuit parameter (CP) updated in step S9. This process is repeated until the change amount of the circuit parameter (CP) becomes small. In the repetitive processing from step S3 to step S9, in step 5, the update amount (CPU) of the circuit parameter obtained in step S7 one cycle before is set. Then, it is determined that the circuit parameter (CP) has converged when the change amount becomes small (step S10: Yes), and the parameter extraction process is terminated. As a criterion for convergence, the sum of the correlation between the imaginary part and the real part used when calculating the update amount of the circuit parameter in step S7 or the sum of squares thereof, the sum of squares of errors, the sum of absolute values of errors, Or a combination thereof can be used.
[0042]
FIG. 3 shows a case where the measured values of the 562 GHz InP pseudomorphic HEMT scattering parameter (indicated by a one-dot chain line) and the circuit parameters obtained by the parameter extraction process described above are used for the equivalent circuit model shown in FIG. It is a Smith chart which shows the model output (it shows with a continuous line) of a scattering parameter. FIG. 3 shows that the model output almost coincides with the measured value. In FIG. 3, the scattering parameter S21 has a value of 1/10.
[0043]
FIG. 4 is a diagram showing the relationship between the evaluation value of the model output of the scattering parameter obtained by applying the parameter extraction method according to the present invention, and the Cgc and the Rcs. In FIG. 4, the extracted values are used for the remaining 14 parameters (Cg, Lg, Rg, Rgc, Rs, Ls, Ld, Rd, Rcs, Cds, Cdg0, Cdc, gm, tau). In FIG. 4, although not particularly limited, the total sum of absolute values of errors with respect to the measured value of the model output of the scattering parameter is used as the evaluation value.
[0044]
Similar to FIG. 4, it can be shown that the error is minimized in the vicinity of the extracted value for any of the 16 parameters. Therefore, it can be seen that the error is minimized in the vicinity of the extracted values of the 16 parameters as a result of the multi-objective optimization. Similarly, the sum of the squares of errors is minimized in the vicinity of the extracted values of the 16 parameters.
[0045]
A program for causing a computer to execute the parameter extraction method described above is recorded on a computer-readable recording medium and realized by the computer. The parameter extraction program can be distributed via a network such as the Internet via a computer-readable recording medium. FIG. 5 is a block diagram illustrating a configuration of an example of a computer that is used to implement the parameter extraction method described above.
[0046]
The computer includes, for example, CPU 101, ROM 102, RAM 103, HDD (hard disk drive) 104, FDD (flexible disk drive) 106, display 108, keyboard 109, mouse and the like (including various pointing devices) 110, printer 111, and CD-ROM. Drives 112 are connected to each other via a bus 100. A program for causing a computer to execute the parameter extraction method described above is recorded in the FD 107 or the CD-ROM 113. A program recorded on the FD 107 or the CD-ROM 113 is stored in the HD 105 and executed.
[0047]
According to the above-described embodiment, the parameters are updated faithfully to the model by combining the error at each measurement point and the contribution of each parameter related to the error at each measurement point into an update value for each parameter. Therefore, it is possible to uniquely define the parameters. Therefore, it is possible to avoid the convergence to the local minimum and the influence of unexpected noise.
[0048]
In addition, according to the embodiment, since the parameters are uniquely determined, it is possible to make a more appropriate model while confirming the appropriateness of the model. In addition, it is possible to use a more complicated inverse problem that was impossible in the past. Further, in the field of semiconductor element development, the relationship between device characteristics and device structure is clarified, so that guidelines for improving device characteristics can be obtained.
[0049]
As described above, the present invention is not limited to the above-described embodiment, and various modifications can be made. For example, in the step S7, the correlation ΔPm the transposed vector E2 'gradient matrix delta _mn of the error vector E2, may be obtained by using the absolute value and phase. At that time, if a discontinuity such as a 2π jump occurs in the phase, the processing is necessary.
[0050]
The present invention is not limited to the field of semiconductor element development, and can be widely used for inverse problems aimed at clarifying the structure of an unknown system by estimating the value of a model parameter. For example, the present invention can be used in fields such as geological exploration, tomography, MRI (nuclear magnetic resonance) and detection of brain current using a squid element.
[0051]
【The invention's effect】
According to the present invention, it is possible to update the parameters faithfully to the model by combining the error for each measurement point and the contribution of each parameter related to the error for each measurement point into the update value for each parameter. Become. Therefore, it is possible to uniquely determine the parameter.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a flowchart showing a procedure of a parameter extraction method according to the present invention.
FIG. 2 is an equivalent circuit diagram showing an equivalent circuit model of the InP HEMT used for carrying out the parameter extraction method according to the present invention.
3 is a diagram showing a result of applying the parameter extraction method according to the present invention to the equivalent circuit model shown in FIG. 2; FIG.
4 is a diagram showing a result of applying the parameter extraction method according to the present invention to the equivalent circuit model shown in FIG. 2; FIG.
FIG. 5 is a block diagram showing a hardware configuration of a computer used for executing a parameter extraction method according to the present invention.
[Explanation of symbols]
S11, S12, S21, S22 Scattering parameters

Claims

Acquisition means, setting means, calculating means, updating means, and a computer comprising a determination hand stage,
An acquisition step of acquiring a measurement value vector of a specific behavior in the measurement target by the acquisition means;
A first setting step of setting an initial value of the parameter in the measurement target model expressed by using the characteristic of the component of the measurement target as a parameter by the setting unit;
By setting the initial value of the parameter in the first setting step by the calculation means, the measurement value vector acquired in the acquisition step and the specific behavior in the measurement target model are represented by the parameter. A first calculation step of calculating an error vector from the output value vector;
A second calculation step of calculating a gradient matrix that is a change amount of each element in the error vector by differentiating the error vector calculated in the first calculation step by each of the parameters by the calculation means. When,
A first update step of updating the error vector based on a product of the gradient matrix calculated by the second calculation step and the update amount of the parameter by the update unit;
The setting means sets an initial value of the parameter update amount at the start, and when the updated error vector is obtained by the first update process, the updated error vector is transposed. A second setting step of newly setting a result of subtracting a product of the transposed vector and the gradient matrix from an update amount of the parameter that is an update source of the updated error vector as an update amount of the parameter;
As a result of repeating the first updating step and the second setting step until the predetermined number of times is exceeded, the first updating step is executed by the updating unit by the second setting step by the predetermined number of times. A second update step of updating the update amount of the parameter based on the transposed vector of the update amount of the parameter and the initial value of the parameter,
A determination step of determining whether or not a change amount of the parameter before and after the update by the second update step is a predetermined value or less by the determination unit ;
The first calculation step, the second calculation step, the first update step, the second setting step, and the second update step until the determination step determines that the value is equal to or less than the predetermined value. And when the determination step is repeatedly executed as one cycle, and the first update step is executed in the current cycle, the parameter set newly by the second setting step in the previous cycle Calculate the error vector using the update amount,
The parameter extraction method characterized by having converged when it determines with it being below the said predetermined value by the said determination process .

The measurement object is a semiconductor device, the measurement object model is an equivalent circuit model of the semiconductor device, the parameter is a characteristic value of a semiconductor element in the semiconductor device, and the measurement value vector is measured from the semiconductor device. The parameter extraction method according to claim 1, wherein the parameter is a scattering parameter when the output value vector gives an initial value of the parameter to the equivalent circuit model.

An acquisition step of acquiring a measurement vector of a specific behavior in the measurement target;
In a measurement target model expressed using the characteristics of the measurement target component as a parameter, a first setting step of setting an initial value of the parameter;
By setting an initial value of the parameter in the first setting step, a measurement value vector acquired by the acquisition step, and an output value vector representing the specific behavior in the measurement target model by the parameter, A first calculation step of calculating an error vector of
A second calculation step of calculating a gradient matrix that is a change amount of each element in the error vector by differentiating the error vector calculated by the first calculation step with each of the parameters;
A first update step of updating the error vector based on a product of the gradient matrix calculated by the second calculation step and the update amount of the parameter;
At the start, the initial value of the parameter update amount is set, and when the updated error vector is obtained by the first update step, the transposed vector obtained by transposing the updated error vector and the A second setting step of newly setting the result of subtracting the product of the gradient matrix from the update amount of the parameter that is the update source of the updated error vector as the update amount of the parameter;
As a result of repeating the first updating step and the second setting step until the predetermined number of times is exceeded, the first setting step is set when the first updating step is executed the predetermined number of times by the second setting step. A second update step of updating the update amount of the parameter based on a transposed vector of the update amount of the parameter and an initial value of the parameter;
A determination step of determining whether or not a change amount of the parameter before and after the update by the second update step is equal to or less than a predetermined value ;
The first calculation step, the second calculation step, the first update step, the second setting step, and the second update step until the determination step determines that the value is equal to or less than the predetermined value. When the first update process is executed in the current cycle, the determination process is newly set by the second setting process in the previous cycle. Calculate the error vector using the update amount of the parameter,
The parameter extraction program characterized by having converged when it determines with it being below the said predetermined value by the said determination process .

The measurement object is a semiconductor device, the measurement object model is an equivalent circuit model of the semiconductor device, the parameter is a characteristic value of a semiconductor element in the semiconductor device, and the measurement value vector is measured from the semiconductor device. The parameter extraction program according to claim 3, wherein the parameter is a scattering parameter when the output value vector gives an initial value of the parameter to the equivalent circuit model.