JP4430841B2 - Method and apparatus for moving a movable unit on a base - Google Patents

Description

として表される。
ここでＡ(ｓ)はサイズｐ×ｐの行列で、その要素Ａij(ｓ)は変数ｓ＝ｄ／ｄｔの多項式である。
【数１２】

ｂは大きさｐのベクトル
Ｆはモータ出力
【００２４】
工程ｂ）においては、次の操作をすることが好ましい。すなわち、上記システムの異なる変数ｘiは、ｉが１からｐであって、各々最初の式
【数１３】

を満足する必要がある。
ここで、ｙ^(j)は中間変数ｙの位数(j)の導関数、ｒは所定の整数、ｐiとｊは決定されるべきパラメータで、２番目の式は ｙ^(j)＝ｓj・ｙを代入することにより得られる。
【数１４】

【００２５】
ベクトルタイプの３番目の式は、システムの異なる変数ｘiに関連する２番目の式に基づいて決定される。
【数１５】

【００２６】
上記ベクトルＰは、以下のシステムで、Ｘを値Ｐ・ｙと入れかえることにより計算される。
【数１６】

この式において、Ｂ^Ｔはサイズｐ×(ｐ−１)のマトリックスＢの行列で、
Ｂ^Ｔｂ＝０ｐ−１
ｂｐは先に決定されたベクトルｂのｐ番目の構成要素、
０ｐ−１は寸法(ｐ−１)のゼロベクトルである。
異なるパラメータｐｉとｊの値を上記のように計算されたベクトルＰの値から演繹する。
対応する最初の式を用いる各場合において、これらの値から中間変数ｙとその導関数の関数としての変数ｘiの値を演繹する。
【００２７】
こうして、システムの変数と上記中間変数との間の関係を計算するための速くて包括的な計算方法が、時間に対する中間変数とその導関数との直接的組み合わせの形態で得られる。
【００２８】
工程ｄ）においては、中間変数ｙの多項式をこの値を決定するために用いるのが好ましい。
この場合、システムの異なる変数の最初と最後の条件が、工程ｂ）で決定された式とともに、上記多項式のバラメータを決定するために用いられる。
【００２９】
【発明の実施の形態】
発明の第１実施例では、床に対して弾性的に取り付けられており、直線及び角運動を受けるベース上に可動ユニットを移動させるためには、システムの変数が可動ユニットの直線位置ｘと、ベースの直線位置ｘＢと、ベースの角位置θｚであって、これらは次の関係を満足することが好ましい。
【数１７】

ここで、ｍは可動ユニットの質量、
ｍＢ、ｋＢ、ｋθ、ｒＢ、ｒθ、はベースの質量、直線的剛性、曲げ剛性、直線的減衰、及び曲げ減衰を示す。
Ｊは、垂直軸に対するベースの慣性、
ｄは、可動ユニットの質量中心の並進運動の軸とベースの可動ユニットの質量中心の並進運動の軸との間の距離、
ｙ^{( １ )}、ｙ^{( ２ )}、ｙ^{( ３ )}、ｙ^{( ４ )}は、各々変数ｙの第１番目から第４番目までの導関数である。
【００３０】
この第１実施例によれば、可動ユニットの移動中ベースが振動することによる上記欠点(不正確な移動)を解消できる。
【００３１】
第２実施例では、ｐ個の補助体ＭＡｉであって、ｐが１以上の整数で、ｉが１からｐまでのものが弾性的に取り付けられている可動ユニットをベース上に移動させるためには、システムの変数が可動ユニットの位置ｘとｐ個の補助体ＭＡｉの(直線的)位置ｚｉであって、次の関係を満足させることが好ましい。
【数１８】

ここで、Πは関連式の積を示し、
ｍｉ、ｚｉ、ｋｉ、ｒｉは、各々補助体ＭＡｉの質量、位置、剛性、減衰性であり、
ｍｊ、ｋｊ、ｒｊ、は、各々補助体の質量、剛性、減衰性であり、
また、ｓ＝ｄ／ｄｔである。
【００３２】
第３実施例では、床に対し弾性的に取り付けられていて、その上に補助体が弾性的に取り付けられているベースに可動ユニットを移動させるためには、システムの変数が、各々、可動ユニットの位置をｘ、ベースの位置をｘＢ、そして、補助体の位置をｚＡとしたとき、以下の関係を満足するのが好ましい。
【数１９】

ここで、Ｍ、ｍＢ、ｍＡは、各々、可動ユニット、ベースをよび補助体の質量
ｒＡ、ｒＢは、各々補助体及びベースの減衰性、
ｋＡ、ｋＢは、各々補助体及びベースの剛性であり、
ｓ＝ｄ／ｄｔである。
【００３３】
第４実施例では、床に対し弾性的に取り付けられたベース上に、補助体がその上に取り付けられている可動ユニットを移動させるには、システムの変数は、各々可動ユニットの位置をｘ、ベースの位置をｘＢ、補助体の位置をｚＣとしたとき、次の関係を満足させることが好ましい。
【数２０】

ここで、Ｍ、ｍＢ、ｍＣは、各々可動ユニット、ベース、補助体の質量、
ｒＢ、ｒＣは、各々ベースと補助対の減衰性、
ｋＢ、ｋＣは、各々ベースと補助体の剛性であり、
ｓ＝ｄ／ｄｔである。
【００３４】
本発明は、また、床上に直接あるいは間接的に取り付けられたベースと、上記ベース上に直線移動され得る可動ユニットと、上記ベース上を移動させる目的で上記可動ユニットに力を加えることのできる制御可能なアクチュエータとからなるタイプの装置に関する。
【００３５】
本発明によれば、上記装置は、更に、例えば、以下に述べるような作動を行う計算機を備えている点で顕著である。
可動ユニットに加えられると、上述の複合効果あるいは制御を得ることができる力を計算するために上述のａ)〜ｅ)を行い、
こうして計算された力を、移動中の可動ユニットに与えるよう、制御コマンドを決定して、それを上記アクチユエータに伝える。
【００３６】
よって、上記利点に加えて、本発明の装置では、追加の機械的手段を必要としないから、上記の既知の装置に較べてコストが低減できるとともに、嵩も低く実施を簡単にする。
【００３７】
添付の図面は、本発明が実施される方法を明かにする。この図において、同一符号は同一要素を示す。
図１と図２とは、それぞれ本発明を適用した装置の２つの異なる実施形態を示す概念図である。
図３から図７は、本発明を適用した第１実施例におけるシステムの変数の経時変化を示すグラフである。
図８から図１３は、本発明を適用した第２実施例におけるシステムの変数の経時変化を示すグラフである。
【００３８】
図１及び図２において、線図で示されている２つの異なる実施例による本発明の装置(１)は、例えば移動架台のような可動ユニット(４)を特にテストベンチのようなベース(２)で移動させようとするものである。この装置は、例えばマイクロエレクトロニクスにおける高速Ｘ−Ｙテーブル、工作機械、ロボット等に応用される。
【００３９】
既知の方法では、上記装置(１)は、上記ベース(２)と上記可動ユニット(４)に加えて、上記ベース(２)と床(Ｓ)との間に配置される既知のタイプの支持具(３)と、上記ベース(２)に固定された例えばレールのような手段(図示略)であって、上記可動ユニット(４)を上記ベース(２)上で直線方向に移動させ得るものと、上記ベース(２)上を移動させる目的で上記可動ユニット(４)に力(Ｆ)を加えることのできる制御可能な電気モータのようなアクチュエータからなる。
【００４０】
このような本発明では、装置(１)は、上記可動ユニット(４)が移動すると動く以下に特記する種々の要素と、本実施例による変数とから構成せられたシステムＳ１、Ｓ２とからなる。
【００４１】
本発明によれば、上記装置(１)は上記可動ユニット(４)の移動の最後に、直接以下に述べることができるように改良されている。
すなわち、上記可動ユニット(４)と上記ベース(２)とは別個のもので、例えば、床に連結されている基準枠(図示略)に可動ユニットを正確に位置決めすることと、
上記システムＳ１、Ｓ２の全ての運動要素を不動にすること。
【００４２】
これをなすため、本発明では、上記装置１は更に計算手段(６)を備える。この計算手段(６)は特定の力(Ｆ)を計算する。この力(Ｆ)は、リンク(７)によって示されているようにアクチュエータ(５)にコントロールコマンドの形で伝達され、そして、上記可動ユニット(４)に加えられると、複合効果(よって複合制御)を生じる。これは、
一方では、可動ユニット(４)については、予定していた移動を、特に所定の移動時間および移動距離について、正確に行うということと、
他方では、上記システムＳ１、Ｓ２については、その全ての運動要素が、可動ユニット４の移動の最後に不動となることである。
【００４３】
よって、上記計算手段(６)は本発明による方法を実行し、その方法によると、
ａ）可動ユニット(４)が移動すると動く異なる要素、そのうちの１つの可動ユニット(４)であるが、これらの要素から構成された上記システム(例えばＳ１あるいはＳ２)の動的モデルを示すとともに、３以上の変数、このうちの１つは上記可動ユニット(４)の位置であるが、これらの変数から方程式が決められる。
【００４４】
ｂ）上記力(Ｆ)とともに、このシステムの全ての変数を、１個の同一の中間変数ｙと、この中間変数の時間関数としての所定数の導関数の関数として表す。上記力(Ｆ)は、上記可動ユニット(４)に加えられると、この可動ユニット(４)を所定の移動に従って移動させ、上記システムの全ての要素を上記移動の最後に不動にする。
【００４５】
ｃ）全ての変数の最初と最後の変数が決定される。
ｄ）上記中間変数の時間の関数としての値が、上記工程ｂ）で決められた変数の式と上記最初と最後の条件から決定される。
【００４６】
ｅ）上記力の値が、工程ｂ）で決められた力の式と、工程ｄ）で決められた中間変数の値から計算される。
【００４７】
よって、本発明によれば、可動ユニット(４)に加えられる力(Ｆ)は、特に時間と距離との面で予定していた所定の移動を行い、この移動により動く(以下に特定する)要素を上記移動の最後で不動にするので、これらが振動せず、特に、それらと、可動ユニットとの間の相対的位置決めを乱さない。
【００４８】
更に、上記可動ユニット(４)と上記運動要素との複合効果あるいは制御により、上記ベース(２)とは別個の<例えば床Ｓに連結された基準枠内で可動ユニット(４)を非常に正確に移動できる。
【００４９】
勿論、本発明の実施は、１本の軸に沿う移動に限定されず、独立した数本の軸に沿う移動にも応用できる。
【００５０】
本発明によれば、工程ｄ）で中間変数ｙの多項式が中間変数の値を決定するのに用いられ、システムの異なる変数の最初と最後の条件が、工程ｂ）で決められた式とともに、この多項式のパラメータを決定するのに用いられる。
【００５１】
次に、本発明による方法を、運動要素の異なる４つのシステムに関し記述する。
図示を省略した第１の実施例では、上記支持具(３)は弾性的なタイプのもので、上記ベース(２)を上記床(Ｓ)から生じる振動から隔離している。上記弾性支持具(３)上のベース(２)の固有周波数は一般には数ヘルツである。さらに、力(Ｆ)で制御される可動ユニット(４)の並進運動に加えて、角運動がベース(２)と可動ユニット(４)との間に生じている。特にこの場合、可動ユニット(４)の軸はその本体中心を通らず、アクチュエータ(５)によって、生じる力は垂直軸の周りにモーメントを生じさせる。上記レールは僅かに可撓性があると思われ、よって、可動ユニット(４)に垂直軸周りに小さな回転運動を生じさせ、これが前記したベース(２)と可動ユニット(４)との間の相対的角運動に相当する。
【００５２】
従って、この第１実施例では、床に対し弾性的に取り付けられ、相対的な角運動を受けるベース(２)上の可動ユニット(４)を移動させるため、システムの変数は、可動ユニット(４)の直線位置ｘ、ベース(２)の直線位置ｘＢ、そしてベース２の角方向位置θｚであり、これらは以下の関係を満足する。
【００５３】
【数２１】

ここで、ｍは可動ユニットの質量である。
ｍＢ、ｋＢ、ｋθ、ｒＢ、ｒθは、それぞれベース(２)の質量、直線方向の剛性、曲げ剛性、直線方向の減衰性、及び曲げ減衰性である。
Ｊは垂直軸に対するベース(２)の慣性である。
ｄは、可動ユニット(４)の質量中心の並進運動軸とベースのものとの間の距離である。
ｙ^{( １ )}、ｙ^{( ２ )}、ｙ^{( ３ )}、ｙ^{( ４ )}は、各々変数ｙの第１番目から第４番目までの導関数である。
【００５４】
特に、この第１実施例では、力とモーメントのバランスが角度θｚを最初のオーダーに近似させて書いても良く、
【数２２】

となる。
【００５５】
本発明の範囲内では、α^{( β )}はαに関係なく、パラメータのαの時間に関する位数βの導関数である。よって、例えば、Ｘ^{( １ )}は時間に関するｘの最初の導関数である。
【００５６】
中間変数ｙの計算は、ｓ＝ｄ／ｄｔ、ｘ＝Ｐ(ｓ)ｙ、ｘＢ＝ＰＢ(s)y、θｚ＝Ｐθ(s)ｙとし、システム(１)をこの表記法で書きなおすことにより得られる。
【数２３】

【００５７】
【数２４】

これらの式から、すぐに以下の式を演繹する。
【数２５】

【００５８】
ｘ、ｘ^{( １ )}、ｘＢ、ｘＢ^{( １ )}、θｚ及びθｚ^{( １ )}の関数としてのｙの式は、逆の方法で得られる。しかしながら、この式はｘ、ｘＢ及びθｚの軌道を計画するためには必要でない。特に、ｘ^{( １ )}(ｔ０)＝０＝ｘ^{( １ )}(ｔ１)、及びｘＢ(ｔ０)＝０＝ｘＢ(ｔ１)、ｘＢ^{( １ )}(ｔ０)＝０＝ｘＢ^{( １ )}(ｔ１)、θｚ(ｔ０)＝０＝θｚ(ｔ１)、θｚ^{( １ )}(ｔ０)＝０＝θｚ^{( １ )}(ｔ１)、さらに、Ｆ(ｔ０)＝０＝Ｆ(ｔ１)で、瞬間ｔ０のｘ０と瞬間ｔｉのｘ１との間の可動ユニット(４)の停止から停止までの移動を求めるのだから、上記の式(２)より、ｙ(ｔ０)＝ｘ０、ｙ(ｔ１)＝ｘ１及びｙ^{( １ )}(ｔｉ)＝ｙ(２)(ｔｉ)＝ｙ^{( ３ )}(ｔｉ)＝ｙ^{( ４ )}(ｔｉ)＝ｙ^{( ５ )}(ｔｉ)＝ｙ^{( ６ )}(ｔｉ)＝０、ｉ＝０.１、すなわち１４の最初と最後の条件を演繹する。
【００５９】
ｙは以下の式の時間に関する多項式として選択すればよい。
【数２６】

そして、α≧７、β≧６。こうして、標準の方法で直線システムをとくことによって、係数ａ０、……、ａβが求められ。。
【００６０】
可動ユニット(４)の移動に対する基準軌道が、式(３)でもとめたｙ(ｔ)で式(２)によって求められる。
さらに、手段(５)に加えられる時間の関数としての力(Ｆ)が、
式Ｆ(ｔ)＝Ｍ・ｘ^{( ２ )}(ｔ)において、式(３)で得られたｙの値を積分することによりえられる。
【００６１】
この第１実施例では、ｙ(ｔ)を式(３)で求めて、
【数２７】

を得る。
【００６２】
こうして、装置(１)によって、ベース(２)は移動の最後に不動にされるので、上記基準枠内における可動ユニット(４)の位置を乱されないので、上記可動ユニット(４)は、その移動が終わるとすぐに安定状態に位置しうる。さらに、その移動が正確になされるので、その位置は、上記基準枠内の捜し求めた位置にぴったし対応する。
【００６３】
図３から図７に示されているのは、特定の例に対する時間ｔ(秒:s)の関数としてのｙ(メータ:m)、ｘ(メータ:m)、ｘＢ(メータ:m)、θｚ(半径:rd)、Ｆ(ニュートン:N)各々の値である。上記の特定例では、
ｍ＝４０kg、
ｍＢ＝８００kg
ｋＢ＝５Hzの固有周波数に対応するｍＢ(５.２π)^２、
【数２８】

Ｊ＝可動ユニット(４)の慣性に対応する１２０Ｎm、
ｋθ＝１０Hzの固有回転数周波数に対応するＪ(１０.２π)^２、
【数２９】

ｄ＝可動ユニット(４)の中心ずれに対応する０．０１mm、
ｔ１−ｔ０＝０.４秒、
ｘ１−ｘ０＝２５mm、
である。
【００６４】
可動ユニット(４)は、瞬間(ｔ０)の停止位置ｘ０(ｘ０^{( １ )}＝０)から瞬間ｔ１の停止位置ｘ１(ｘ１^{( １ )}＝０)まで移動する。つまり、可動ユニット(４)は０.４秒で２５mmの距離を移動する。この移動ならびにこの移動によって生じる数々の運動の停止(上記移動の最後)を得るため、図７に示されている力(Ｆ)が上記可動ユニット(４)に加えられる。この力は、α＝７、β＝６でｙを式(３)より求めて、式(３Ａ)によってえられる。この場合、係数ａ０からａ６はａ０＝１７１６、ａ１＝−９００９、ａ２＝２００２０、ａ３＝−２４０２４、ａ４＝１６３８０、ａ５＝−６００６、ａ６＝９２４である。
【００６５】
図１に示されている第２実施例では、システムＳ１は可動ユニット(４)に加えて、ｐ個の補助体ＭＡｉからなり、ｐは１以上の整数、ｉは１からｐで、標準タイプの弾性リンク(特にバネ)ｅ１からｅｐによって、上記可動ユニット(４)に連結されている。なお、図示の場合ｐ＝３である。
【００６６】
この場合、システムの変数は可動ユニット(４)の位置ｘと、ｐ個の補助体
ＭＡｉの位置ｚｉであり、以下の関係を満足する。
【数３０】

ここで、Πは関連する式の積を示し、
ｍｉ、ｚｉ、ｋｉ、ｒｉは各々補助体ＭＡｉの質量、位置、剛性、及び減衰性であり、
ｍｊ、ｋｊ、ｒｊは補助体ＭＡｉの質量、剛性及び減衰性であり、
ｓ＝ｄ／ｄｔである。
【００６７】
特に、システムＳ１の動的モデルは以下のようになる。
【数３１】

【００６８】
このように、可動ユニット(４)の所望の移動を確保すると共に、補助体ＭＡｉ(例えば測定装置及びまたは負荷)が、可動ユニット(４)が停止するとすぐに不動となる運動法則を発見したい。
【００６９】
従って、中間変数ｙは先と同一のアプローチで計算され、可動ユニット(４)の軌道はそのアプローチで計画される。
【００７０】
上記中間変数ｙは、ｓ＝ｄ／ｄｔで、ｘ＝Ｐ(ｓ)ｙ、ｚｉ＝Ｐｉ(ｓ)ｙ、ｉ＝１……ｐを満足する必要があり、これらの関係をシステムの式(５)に代入すると、
【数３２】

となり、上記式(４)を証明する。
【００７１】
この場合、加える力(Ｆ)は次の関係を満足していることが示されている。
【数３３】

【００７２】
上記の式は、２つ及び３つの補助体ＭＡｉ各々について以下のようになる。
２つの補助体(ｐ＝２)の場合には、
【数３４】

となる。
【００７３】
ｙあるいは、より正確には、ｙ、ｙ^{( １ )}、ｙ^{( ２ )}、ｙ^{( ３ )}、ｙ^{( ４ )}、ｙ^{( ５ )}、に対する式は、ｘ、ｚ１、ｚ２、ｘ^{( １ )}、ｚ１^{( １ )}、ｚ２^{( １ )}に基づいて求められたシステムを逆にして上記式から演繹する。
【００７４】
補助体を瞬間ｔ０およびｔ１で停止させて、瞬間ｔ０でのｘ０から瞬間ｔ１でのｘ１までの移動を行うためには、最初と最後の条件ｙ(ｔ０)＝ｘ０、ｙ(ｔ１)＝ｘ１で全ての導関数ｙ^{( ｋ )}(ｔ０)＝ｙ^{( ｋ )}(ｔ１)＝０でｋが１から６あるいは、必要ならそれ以上まで変化するとして、ｙの基準軌道を構成し、それから主体及び補助体並びにモータに加えられる(Ｆ)の基準軌道を演算すれば良いと想定される。
【００７５】
この場合、力(Ｆ)は次の関係を満足する。
【数３５】

【００７６】
さらに、３つの補助体ＭＡｉ(ｐ＝３)に対するモデル(図１参照)が先のように
【数３６】

を演繹する。
【００７７】
異なる変数の、特に力(Ｆ)の時間の関数としての値を決定するには、前記のように進行し、力(Ｆ)の時間の関数は次の式を満足する。
【数３７】

【００７８】
図８から図１３に示されているのは、各々、図１に示す実施例の特定例に対する時間(ｔ)の関数としての、変数ｙ、ｘ、ｚ１、ｚ２、ｚ３、及びＦの値で、ｚ１からｚ３は各々補助体ＭＡ１、ＭＡ２、ＭＡ３の移動量である。変数ｙ、ｘ、ｚ１、ｚ２及びｚ３はそれぞれメートル(m)で表され、力(Ｆ)はニュートン(Ｎ)で表される。
【００７９】
この例は次のようなものである。
Ｍ＝５kg、
ｍ１＝０.１kg、
ｍ２＝０.０１kg、
ｍ３＝０.５kg。
ｋ１＝ｍ１(５.２π)^２、ｋ２＝ｍ２(４.２π)^２、ｋ３＝ｍ３(６.２π)^２で各々固有周波数５.４及び６Ｈz対応している。
【数３８】

ｔ１−ｔ０＝０.３４ｓ
ｘ１−ｘ０＝４０mm。
【００８０】
加えて、図２に示されている第３実施例では、システムＳ２は、可動ユニット(４)と、床(Ｓ)に弾性的に取り付けられているベース(２)と、このベース(２)に標準タイプの弾性リンクｅＡで連結されている補助体ＭＡとからなる。
【００８１】
この場合システムの変数は、可動ユニット(４)、ベース(２)、及び補助体ＭＡの位置ｘ、ｘＢ、およびｚＡであり、これらは次の関係を満足している。
【数３９】

ここで、Ｍ、ｍＢ、ｍＡは、可動ユニット(４)、ベース(２)、補助体ＭＡ各々の質量、
ｒＡ及びｒＢは、各々補助体ＭＡ及びベース(２)の減衰性、
ｋＡ及びｋＢは、各々補助対ＭＡ及びベース(２)の剛性であり、
ｓ＝ｄ／ｄｔである。
【００８２】
特に、システムＳ２の動的モデルは、
【数４０】

となり、中間変数はｓ＝ｄ／ｄｔでｘ＝Ｐ(ｓ)ｙ、ｘＢ＝ＰＢ(s)ｙ、
ｚＡ＝Ｐｚ(ｓ)ｙを満足しなければならない。
【００８３】
これらの式を式(９)に代入すると、
【数４１】

が求められる。
【００８４】
この最後の式からＰｚを削除すると、次のようになり、
【数４２】

を導出し、上記の式(８)を求めることができる。
【００８５】
そこで、異なる変数、特に力(Ｆ)の時間の関数としての値は、前述のように求められる。
この場合、上記力(Ｆ)は式
【数４３】

を満足する。
【００８６】
第４番目の最後の実施例(図示略)では、システムが可動ユニット(４)、ベース(２)及び上記可動ユニット(４)に弾性的に連結された補助体ＭＣから構成される。
この場合、システムの変数は、各々可動ユニット４、ベース(２)及び補助体ＭＣの位置ｘ、ｘＢ及びｚＣで、次の関係を満足する。
【数４４】

ここで、Ｍ、ｍＢ、ｍＣは、各々、可動ユニット(４)、ベース(２)、及び補助体ＭＣの質量、
ｒＢ及びｒＣは、各々ベース(２)と補助体ＭＣの減衰性、
ｋＢ及びｋＣは、各々ベース(２)と補助体ＭＣの剛性で、
ｓ＝ｄ／ｄｔである。
【００８７】
特に、このシステムの動的モデルは、
【数４５】

となり、上記のように変数ｓ＝ｄ／ｄｔの多項式を用いることにより、システム(10)は、
【数４６】

となる。これにより、中間変数(及びその導関数)の関数としての変数の各々についての式、ｘ＝Ｐ(ｓ)ｙ、ｘＢ＝ＰＢ(ｓ)y、ｚＣ＝Ｐｚ(ｓ)yと共に、最終的に
【数４７】

が得られる。
【００８８】
ｙ、それからｘ、ｘＢ、ｚＣ及びＦの基準軌道が前記したように形成される。
この場合、力(Ｆ)は、
【数４８】

を満足する。
【００８９】
【数４９】

の形式の直線システムに対する、本発明による方法の前期工程ｂ）で定義された式を包括的に速く決定できる本発明方法を以下に詳述する。
【００９０】
式(11)において、Ａｉ、ｊ(ｓ)は変数ｓの多項式であって、組み合わせた機械システムの場合、２以下の次数であり、係数ｂｉの少なくとも１つはゼロでない。Ｆは制御入力であって、上記の例では、アクチュエータ(５)に生じる力である。
【００９１】
したがって、本発明によれば、工程ｂ）において、以下の操作がなされる。
上記システム(例えばＳ１あるいはＳ２)の異なる変数ｘｉは、ｉが１からｐまでで、ｐは２以上の整数であり、各々次の形態の第１式を満足する必要がある。
【数５０】

ｙ^{( ｊ )}は中間変数ｙの位数ｊの導関数であり、ｒは所定の整数でｐｉとｊは決定されるべきパラメータで、次の第２式は前記第１式にｙ^{( ｊ )}＝ｓ^ｊ・ｙを入れて求められる。
【数５１】

【００９２】
ベクトルタイプの第３式はシステムの異なる変数ｘｉに関する第２式に基づいて決定され、
【数５２】

からなる。
【００９３】
上記ベクトルＰは、Ｘを値Ｐ・ｙと置き換えて、以下の式で計算される。
【数５３】

この式中、Ｂ^Ｔは、サイズｐ×(ｐ−１)、ランクｐ−１のマトリックスの行列であって、Ｂ^Ｔｂ＝０ｐ−１のようなものであり、
ｂｐはベクトルｂのｐ版目の構成要素であって、
０ｐ−１は寸法(ｐ−１)のゼロベクトルである。
【００９４】
こうして、計算されたベクトルＰの値から異なるパラメータのｐｉとｊの値が演繹される。
これらの値からこの中間変数ｙとその導関数の関数としての変数ｘｉの値が、各々対応する第１式を用いて演繹される。
これで上記方法が正しいことがわかる。
【００９５】
サイズｐ×ｐのマトリックスをＡ(ｓ)で表し、その係数を多項式Ａｉ、
ｊ(ｓ)、ｉ、Ｊ＝１、……、ｐとすると、
【数５４】

となる。
【００９６】
一般性を失わなければ、Ａ(ｓ)のランクはｐと仮定され、（そうでなければシステムを不必要な式と共に書き、従属式を削除すればよい。そして、ｂｐ≠０。
そこで、サイズｐ×(ｐ−１)でランクｐ−１のマトリックスＢ、すなわち
Ｂ^Ｔｂ＝０ｐ−１
が存在する。ここにおいて、Ｔは移項を示し、０ｐ−１はｐ−１のベクトルを示す。これらの全ての構成要素はゼロである。次いでＢ^Ｔを前もって乗じたシステム(11)は
【数５５】

となる。
【００９７】
前記のように、中間変数ｙは、ベクトルｘの全ての構成要素がｙ及びｙの有限個数の導関数の関数として、示されることを特徴としている。制御し得る直線システムに対しては、そのような出力が常に存在し、ｘの構成要素はｙとその導関数との直線的組み合わせ、すなわち
【数５６】

ここでｙ^(j)は時間に関するｙの位数ｊの導関数で、ｐｉとｊはゼロでない実際の数字、あるいは、
【数５７】

の形態で発見され得る。
【００９８】
【数５８】

を、式(12)において、Ｘをその値Ｐ(ｓ)ｙで置換して計算すると、
【数５９】

となる。
【００９９】
従って、Ｂはランクｐ−１で、Ａ(ｓ)はランクｐであるから、ｐは寸法１のマトリックスＢ^ＴＡ(ｓ)の核に属する。Ｐを計算するために、
【数６０】

によって定義されるサイズ(ｐ−１)×(ｐ−１)のマトリックス、すなわち、マトリックスＡ(ｓ)及び
【外１】

の列を記号Ａ１(ｓ)、……、Ａｐ(ｓ)で表す
【０１００】
【数６１】

で定義される寸法ｐ−１のベクトルを記号
【外２】

で表す。
【０１０１】
式(１３)を
【数６２】

の形に書きなおす。マトリックス
【外３】

は逆転可能なので、
【数６３】

となる。
【０１０２】
上記において、
【数６４】

の共通因子のマトリックスである。
【０１０３】
これから即座に
【数６５】

を選択すればよいことが推定できる。
こうして、ベクトルＰ(ｓ)の計算を完了する。
【０１０４】
Ａｉとｊ(ｓ)がｍ以下の次数の多項式であれば、Ｐの各構成要素の次数はｍｐ以下である。特にこの場合、行列式
【数６６】

は(ｐ−１)は(ｐ−１)ｍ以下で、列
【数６７】

の各々の列の次数は、多項式の積の次数が次数の合計以下である事実を用いると、(ｐ-１)ｍ＋ｍ＝ｐｍ以下、従って、上記の結果となる。
【０１０５】
全ての前記した例、すなわちモデルの機械的サブシステムは、ｍ＝２である。
この包括的な方法は、Ｐに対しては、前述の各例におけるのと同一の計算を生じることが簡単に証明される。
【０１０６】
先に示した例のいくつかに戻って、変数ｙの計算が、どのようにして弾性的モードを受動的に隔離することができるかを示す。
これら全ての例において、中間変数ｙの多項式軌道に基づいて軌道が生じており、その中間変数は、最初と最後の条件を内挿することによって、得られる。さらに、われわれに興味があるのは、特定の場合であって、その場合ではシステムが最初と最後の瞬間に停止しており、これにより多項式の次数にのみ依存する簡単で標準の式を設定することができる。
【０１０７】
もっとも簡単な場合では、ｙの最初と最後の導関数がゼロから位数４まであって、求める多項式は次数９である。
【数６８】

となり、これにより
【数６９】

が求められる。
【０１０８】
最初と最後の導関数がゼロから位数５までの多項式を求めれば、求める多項式は次数が１１であり、
【数７０】

となって、σは式(16)で定義したとおりとなる。
【０１０９】
最初と最後の導関数がゼロから位数６までの多項式を求める場合その求められた多項式は次数１３の
【数７１】

である。
【図面の簡単な説明】
【図１】 本発明を適用した装置の概念図である。
【図２】 第３実施例の概念図である。
【図３】 中間変数ｙと時間ｔとの関係を示すグラフである。
【図４】 可動ユニットの移動量ｘと時間ｔとの関係を示すグラフである。
【図５】 ベース移動量ｘＢと時間ｔとの関係を示すグラフである。
【図６】 ベース回転角θｚと時間ｔとの関係を示すグラフである。
【図７】 力Ｆと時間ｔとの関係を示すグラフである。
【図８】 中間変数ｙと時間ｔとの関係を示すグラフである。
【図９】 可動ユニットの移動量ｘと時間ｔとの関係を示すグラフである。
【図１０】 補助体ＭＡ１の移動量ｚ１と時間ｔとの関係を示すグラフである。
【図１１】 補助体ＭＡ２の移動量ｚ２と時間ｔとの関係を示すグラフである。
【図１２】 補助体ＭＡ３の移動量ｚ３と時間ｔとの関係を示すグラフである。
【図１３】 力Ｆと時間ｔとの関係を示すグラフである。[0001]
BACKGROUND OF THE INVENTION
  The present invention relates to a method and apparatus for moving a movable unit on a base.
[0002]
  This device is of the type consisting of a controllable actuator (e.g., an electric motor) that linearly moves a movable unit on the base and a system composed of a plurality of elements that move based on the movement of the movable unit. Is.
[0003]
  Within the context of the present invention, the system exhibits at least two different movements, and the moving elements include:
  A base elastically attached to the floor so as to absorb vibrations from the floor, and / or
  One or more auxiliary bodies elastically connected to the base, for example a measuring support and / or load, and / or
  One or more auxiliary bodies that are elastically connected to a movable unit such as, for example, the aforementioned measuring support and / or load
[0004]
  When the movable unit is moved, the elements of the system begin to move. However, these elements, particularly for the elastic connection described above, continue to move when the movement of the movable unit is terminated and stopped.
[0005]
  Such a sequence of operations of the system is undesirable because it involves a number of drawbacks. In particular, it disturbs the measurements made on the mobile unit or the above elements, in particular the positioning measurements.
[0006]
  The object of the invention is therefore to control the mobile unit so that all the movement elements of the system, for example the base and / or the auxiliary body, remain quietly at the end of the movement of the mobile unit.
[0007]
  When the base is elastically attached to the floor, it is known that when the movable unit is moved, the base receives a reaction force applied to the movable unit by an actuator in an accelerated or decelerated state. This reaction force load excites the base where it vibrates on its support. For this reason, the relative position of the movable unit with respect to the base is disturbed, and the accuracy of the apparatus is greatly lost.
[0008]
[Prior art]
  This relative position error continues after the move of the movable unit is complete and will not disappear until after the base has stabilized much later. Various solutions are known to eliminate this drawback, some of which provide in particular:
[0009]
  A damping system such as an electromagnetic damping system in which elastic supports are placed in parallel to prevent the base from moving during acceleration or deceleration. However, this known solution prevents the support from isolating the base from vibrations that occur in the floor during the acceleration and deceleration.
[0010]
  The effect caused by the force generated by the actuator is counteracted by providing an actuator that is arranged between the base and the floor and generates an additional force of the same amplitude as the force but in the opposite direction. Alternatively, the inertia effect is canceled by moving the additional movable unit that moves in the opposite direction in synchronization with the movement of the movable unit.
[0011]
[Problems to be solved by the invention]
  However, all of these known solutions are limited in their effectiveness and all require supplemental means such as a damping system, an additional actuator or an additional movable unit, thus complicating the device, It is not satisfactory because it is expensive and bulky.
[0012]
  Furthermore, among other things, these solutions will only work on the base, not the other elements of the system that continue to move when the mobile unit is stationary.
[0013]
[Means for Solving the Problems]
  The object of the present invention is to eliminate these drawbacks.
  The present invention relates to a method for moving a mobile unit, for example, on a base mounted on the floor, very accurately and at a limited cost, and stopping all the movements that this movement causes at the end of the movement. The movable unit moves linearly according to a predetermined movement in terms of distance and time under the action of a controllable force.
[0014]
  Therefore, the above method becomes more prominent by the following.
  a) shows a dynamic model of a multi-element system in which one element is a movable unit and the other element moves as the movable unit moves;
  Consisting of two or more variables, one of which is the position of the movable unit,
  The expression is decided,
[0015]
  b) All the variables of this system are represented as one and the same intermediate variable (y) and a specific number of derivatives as a time function of this intermediate variable, together with the force described above. , When added to the movable unit, it is moved according to a specific movement, and all elements of the system are immobile at the end of the movement,
[0016]
  c) The first and last conditions of all the above variables are determined,
[0017]
  d) the value of the intermediate variable as a function of time is determined from the variables determined in step b) and the first and last condition equations;
[0018]
  e) Calculate the value of the force as a function of time from the force determined in b) and the value of the intermediate variable.
[0019]
  f) Applying the force value thus calculated to the movable unit.
[0020]
  Thus, due to the force applied to the movable unit, the movable unit can make a predetermined movement, especially in terms of time and distance, while the elements moved by this movement are at the end of the movement. It is immobile and does not vibrate, and in particular does not disturb the relative positioning between itself and the movable unit.
[0021]
  Furthermore, the combined control of the movable unit and the movement element makes it possible to move the movable unit very accurately, for example in a reference frame connected to the floor, separate from the base.
[0022]
  Performing the method according to the invention is not limited to movement along one axis, but also applies to movement along several independent axes.
[0023]
  In step a), the following operations are preferably performed. That is, when the variable of the system is xi, i is from 1 to p, and p is an integer of 2 or more, the balance of force and moment is approximated to the first order if necessary, so-called polynomial matrix equation In the form
## EQU11 ##

Represented as:
  Here, A (s) is a matrix of size p × p, and its element Aij (s) is a polynomial of variable s = d / dt.
[Expression 12]

b is a vector of size p
F is the motor output
[0024]
  In step b), the following operation is preferably performed. That is, the different variables xi of the above system are such that i is 1 to p and each of the first equations
[Formula 13]

Need to be satisfied.
  Where y^(j)Is the derivative of the order (j) of the intermediate variable y, r is a predetermined integer, pi and j are parameters to be determined, and the second expression is y^(j)= Sj · y is obtained by substitution.
[Expression 14]

[0025]
  A third expression of vector type is determined based on the second expression associated with different variables x i of the system.
[Expression 15]

[0026]
  The vector P is calculated by replacing X with the value P · y in the following system.
[Expression 16]

  In this equation, B^TIs a matrix of matrix B of size p × (p−1),
B^Tb = 0p-1
  bp is the p th component of the previously determined vector b,
  0p-1 is a zero vector of dimension (p-1).
  The values of the different parameters pi and j are deduced from the value of the vector P calculated as described above.
  In each case using the corresponding first equation, the value of the variable xi as a function of the intermediate variable y and its derivative is deduced from these values.
[0027]
  Thus, a fast and comprehensive calculation method for calculating the relationship between the system variables and the intermediate variables is obtained in the form of a direct combination of the intermediate variables and their derivatives with respect to time.
[0028]
  In step d), a polynomial with intermediate variable y is preferably used to determine this value.
  In this case, the first and last conditions of the different variables of the system are used together with the equation determined in step b) to determine the polynomial parameters.
[0029]
DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION
  In a first embodiment of the invention, in order to move a movable unit on a base that is elastically attached to the floor and undergoes linear and angular motion, the system variable is a linear position x of the movable unit; The base linear position xB and the base angular position θz, which preferably satisfy the following relationship:
[Expression 17]

  Where m is the mass of the movable unit,
  mB, kB, kθ, rB, rθ denote the mass, linear stiffness, bending stiffness, linear damping, and bending damping of the base.
  J is the inertia of the base with respect to the vertical axis,
  d is the distance between the axis of translation of the center of mass of the movable unit and the axis of translation of the center of mass of the base movable unit;
  y^{( 1 )}, Y^{( 2 )}, Y^{( 3 )}, Y^{( 4 )}Are the first through fourth derivatives of the variable y, respectively.
[0030]
  According to the first embodiment, it is possible to eliminate the above drawback (inaccurate movement) due to the vibration of the base during movement of the movable unit.
[0031]
  In the second embodiment, in order to move a movable unit on the base, which is p auxiliary bodies MAi, where p is an integer equal to or greater than 1 and i is 1 to p. Preferably, the system variables are the position x of the movable unit and the (linear) position zi of the p auxiliary bodies MAi and satisfy the following relationship:
[Expression 18]

  Where Π is the product of related equations,
  mi, zi, ki, ri are the mass, position, rigidity, and damping of the auxiliary body MAi,
  mj, kj, rj are the mass, rigidity, and damping of the auxiliary body, respectively.
  Further, s = d / dt.
[0032]
  In the third embodiment, in order to move the movable unit to a base that is elastically attached to the floor and on which the auxiliary body is elastically attached, the system variables are respectively X is the position of the base, xB is the position of the base, and zA is the position of the auxiliary body.
[Equation 19]

  Here, M, mB, and mA are the mass of the movable unit, base, and auxiliary body, respectively.
  rA and rB are the damping characteristics of the auxiliary body and the base,
  kA and kB are the rigidity of the auxiliary body and the base, respectively.
  s = d / dt.
[0033]
  In a fourth embodiment, to move a movable unit on which an auxiliary body is mounted on a base that is elastically attached to the floor, the system variables are x, When the position of the base is xB and the position of the auxiliary body is zC, it is preferable to satisfy the following relationship.
[Expression 20]

  Here, M, mB, and mC are the mass of the movable unit, base, and auxiliary body,
  rB and rC are the attenuation of the base and auxiliary pair,
  kB and kC are the rigidity of the base and the auxiliary body,
  s = d / dt.
[0034]
  The present invention also provides a base mounted directly or indirectly on the floor, a movable unit that can be linearly moved on the base, and a control that can apply force to the movable unit for the purpose of moving on the base. It relates to a device of the type consisting of possible actuators.
[0035]
  According to the present invention, the above apparatus is remarkable in that it further includes, for example, a computer that operates as described below.
  When applied to a movable unit, perform the above a) to e) to calculate the force that can achieve the combined effect or control described above,
  The control command is determined so that the calculated force is applied to the moving movable unit, and the control command is transmitted to the actuator.
[0036]
  Thus, in addition to the advantages described above, the device of the present invention does not require additional mechanical means, thus reducing costs and reducing the bulk compared to the known devices described above and simplifying implementation.
[0037]
  The accompanying drawings illustrate the manner in which the present invention is implemented. In this figure, the same reference numerals indicate the same elements.
  1 and 2 are conceptual diagrams showing two different embodiments of an apparatus to which the present invention is applied, respectively.
  3 to 7 are graphs showing changes over time in system variables in the first embodiment to which the present invention is applied.
  FIGS. 8 to 13 are graphs showing changes over time in system variables in the second embodiment to which the present invention is applied.
[0038]
  1 and 2, the device (1) of the invention according to two different embodiments, shown diagrammatically, comprises a movable unit (4), for example a mobile gantry, in particular a base (2 ). This apparatus is applied to, for example, a high-speed XY table, a machine tool, a robot, etc. in microelectronics.
[0039]
  In a known manner, the device (1) comprises a known type of support arranged between the base (2) and the floor (S) in addition to the base (2) and the movable unit (4). A tool (3) and means (not shown) such as a rail fixed to the base (2), which can move the movable unit (4) in a linear direction on the base (2) And an actuator such as a controllable electric motor capable of applying a force (F) to the movable unit (4) for the purpose of moving on the base (2).
[0040]
  In the present invention as described above, the device (1) is composed of systems S1 and S2 composed of various elements described below that move when the movable unit (4) moves, and variables according to this embodiment. .
[0041]
  According to the invention, the device (1) has been improved as described directly below at the end of the movement of the movable unit (4).
  That is, the movable unit (4) and the base (2) are separate, for example, accurately positioning the movable unit on a reference frame (not shown) connected to the floor;
  Make all the movement elements of the systems S1, S2 immobile.
[0042]
  In order to achieve this, in the present invention, the apparatus 1 further comprises calculation means (6). This calculating means (6) calculates a specific force (F). This force (F) is transmitted in the form of a control command to the actuator (5) as indicated by the link (7), and when applied to the movable unit (4), a combined effect (and thus a combined control). ). this is,
  On the other hand, with respect to the movable unit (4), the planned movement is performed accurately, particularly for a predetermined movement time and movement distance,
  On the other hand, all the movement elements of the systems S1 and S2 are immovable at the end of the movement of the movable unit 4.
[0043]
  Thus, the calculation means (6) executes the method according to the invention, according to the method:
a) different elements that move as the movable unit (4) moves, one of which is the movable unit (4), showing a dynamic model of the system (eg S1 or S2) composed of these elements, Three or more variables, one of which is the position of the movable unit (4), from which the equation is determined.
[0044]
b) Together with the force (F), all variables of this system are represented as a function of one identical intermediate variable y and a predetermined number of derivatives as a time function of this intermediate variable. When the force (F) is applied to the movable unit (4), it moves the movable unit (4) according to a predetermined movement, making all elements of the system immobile at the end of the movement.
[0045]
c) The first and last variables of all variables are determined.
d) The value of the intermediate variable as a function of time is determined from the variable equation determined in step b) and the first and last conditions.
[0046]
  e) The force value is calculated from the force equation determined in step b) and the intermediate variable value determined in step d).
[0047]
  Therefore, according to the present invention, the force (F) applied to the movable unit (4) performs a predetermined movement that is planned in terms of time and distance, and moves by this movement (specified below). Since the elements are immobile at the end of the movement, they do not vibrate and in particular do not disturb the relative positioning between them and the movable unit.
[0048]
  Furthermore, due to the combined effect or control of the movable unit (4) and the movement element, the movable unit (4) can be made very accurate in a reference frame connected to the floor S which is separate from the base (2). Can move to.
[0049]
  Of course, the implementation of the present invention is not limited to movement along one axis, but can also be applied to movement along several independent axes.
[0050]
  According to the present invention, the polynomial of the intermediate variable y is used in step d) to determine the value of the intermediate variable, and the first and last conditions of the different variables in the system, together with the formula determined in step b), Used to determine the parameters of this polynomial.
[0051]
  The method according to the invention will now be described for four systems with different movement elements.
  In the first embodiment (not shown), the support (3) is of an elastic type and isolates the base (2) from vibrations generated from the floor (S). The natural frequency of the base (2) on the elastic support (3) is generally several hertz. Furthermore, in addition to the translational movement of the movable unit (4) controlled by force (F), an angular movement occurs between the base (2) and the movable unit (4). Particularly in this case, the axis of the movable unit (4) does not pass through the center of its body, and the force generated by the actuator (5) creates a moment about the vertical axis. The rail seems to be slightly flexible, thus causing the movable unit (4) to have a small rotational movement around the vertical axis, which is between the base (2) and the movable unit (4). Corresponds to relative angular motion.
[0052]
  Thus, in this first embodiment, the system variable is the movable unit (4) to move the movable unit (4) on the base (2) which is elastically attached to the floor and undergoes relative angular motion. ), The linear position xB of the base (2), and the angular position θz of the base 2, which satisfy the following relationship.
[0053]
[Expression 21]

  Here, m is the mass of the movable unit.
mB, kB, kθ, rB, and rθ are the mass of the base (2), linear stiffness, bending stiffness, linear damping property, and bending damping property, respectively.
J is the inertia of the base (2) with respect to the vertical axis.
d is the distance between the translational axis of the center of mass of the movable unit (4) and the base.
  y^{( 1 )}, Y^{( 2 )}, Y^{( 3 )}, Y^{( 4 )}Are the first through fourth derivatives of the variable y, respectively.
[0054]
  In particular, in this first embodiment, the balance between force and moment may be written by approximating the angle θz to the first order,
[Expression 22]

It becomes.
[0055]
  Within the scope of the present invention, α^{( β )}Is the derivative of the order β with respect to the time of the parameter α, irrespective of α. Thus, for example, X^{( 1 )}Is the first derivative of x with respect to time.
[0056]
  To calculate the intermediate variable y, s = d / dt, x = P (s) y, xB = PB (s) y, θz = Pθ (s) y, and the system (1) is rewritten in this notation. Is obtained.
[Expression 23]

[0057]
[Expression 24]

  From these equations, we immediately deduce the following equation:
[Expression 25]

[0058]
  x, x^{( 1 )}, XB, xB^{( 1 )}, Θz and θz^{( 1 )}The expression for y as a function of is obtained in the opposite way. However, this equation is not necessary for planning the trajectories of x, xB and θz. In particular, x^{( 1 )}(t0) = 0 = x^{( 1 )}(t1), and xB (t0) = 0 = xB (t1), xB^{( 1 )}(t0) = 0 = xB^{( 1 )}(t1), θz (t0) = 0 = θz (t1), θz^{( 1 )}(t0) = 0 = θz^{( 1 )}(t1) Further, since F (t0) = 0 = F (t1), the movement from the stop to the stop of the movable unit (4) between x0 at the instant t0 and x1 at the instant ti is obtained. From equation (2), y (t0) = x0, y (t1) = x1 and y^{( 1 )}(ti) = y (2) (ti) = y^{( 3 )}(ti) = y^{( 4 )}(ti) = y^{( 5 )}(ti) = y^{( 6 )}(ti) = 0, i = 0.1, that is, the first and last conditions of 14 are deduced.
[0059]
  y may be selected as a time-related polynomial in the following equation.
[Equation 26]

Α ≧ 7 and β ≧ 6. Thus, the coefficients a0,..., Aβ are determined by taking a linear system in a standard way. .
[0060]
  A reference trajectory for the movement of the movable unit (4) is obtained by equation (2) using y (t) obtained by equation (3).
  Furthermore, the force (F) as a function of time applied to the means (5) is
Formula F (t) = M · x^{( 2 )}In (t), it is obtained by integrating the value of y obtained by equation (3).
[0061]
  In this first embodiment, y (t) is obtained by equation (3),
[Expression 27]

Get.
[0062]
  Thus, since the base (2) is fixed by the device (1) at the end of the movement, the position of the movable unit (4) in the reference frame is not disturbed. As soon as is finished, it can be in a stable state. Further, since the movement is made accurately, the position corresponds to the searched position in the reference frame.
[0063]
  Shown in FIGS. 3-7 are y (meter: m), x (meter: m), xB (meter: m), θz as a function of time t (seconds: s) for a particular example. (Radius: rd) and F (Newton: N). In the specific example above,
m = 40kg,
mB = 800kg
kB = mB (5.2π) corresponding to a natural frequency of 5 Hz²,
[Expression 28]

J = 120 Nm corresponding to the inertia of the movable unit (4),
J (10.2π) corresponding to the natural rotational frequency of kθ = 10 Hz²,
[Expression 29]

d = 0.01 mm corresponding to the center deviation of the movable unit (4),
t1-t0 = 0.4 seconds,
x1-x0 = 25mm,
It is.
[0064]
  The movable unit (4) has a stop position x0 (x0) at the moment (t0).^{( 1 )}= 0) to the stop position x1 (x1) at the instant t1^{( 1 )}= 0). That is, the movable unit (4) moves a distance of 25 mm in 0.4 seconds. In order to obtain this movement as well as a number of movement stops resulting from this movement (the end of the movement), the force (F) shown in FIG. 7 is applied to the movable unit (4). This force can be obtained from equation (3A) by obtaining y from equation (3) with α = 7 and β = 6. In this case, the coefficients a0 to a6 are a0 = 1716, a1 = −9009, a2 = 20020, a3 = −24024, a4 = 16380, a5 = −6006, and a6 = 924.
[0065]
  In the second embodiment shown in FIG. 1, the system S1 is composed of p auxiliary bodies MAi in addition to the movable unit (4), p is an integer of 1 or more, i is 1 to p, and is a standard type. Are connected to the movable unit (4) by elastic links (especially springs) e1 to ep. In the illustrated case, p = 3.
[0066]
  In this case, the system variables are the position x of the movable unit (4) and p auxiliary bodies.
The position zi of MAi satisfies the following relationship.
[30]

  Where Π is the product of related expressions,
mi, zi, ki, ri are the mass, position, stiffness, and damping of the auxiliary body MAi,
mj, kj, rj are the mass, stiffness and damping of the auxiliary body MAi,
s = d / dt.
[0067]
  In particular, the dynamic model of the system S1 is as follows.
[31]

[0068]
  In this way, it is desired to secure a desired movement of the movable unit (4) and to find a law of motion in which the auxiliary body MAi (for example, a measuring device and / or a load) is immovable immediately after the movable unit (4) stops.
[0069]
  Therefore, the intermediate variable y is calculated with the same approach as before, and the trajectory of the movable unit (4) is planned with that approach.
[0070]
  The intermediate variable y must satisfy s = d / dt, x = P (s) y, zi = Pi (s) y, i = 1... Substituting for 5)
[Expression 32]

The above equation (4) is proved.
[0071]
  In this case, the applied force (F) is shown to satisfy the following relationship.
[Expression 33]

[0072]
  The above equation is as follows for each of the two and three auxiliary bodies MAi:
  In the case of two auxiliary bodies (p = 2)
[Expression 34]

It becomes.
[0073]
  y or, more precisely, y, y^{( 1 )}, Y^{( 2 )}, Y^{( 3 )}, Y^{( 4 )}, Y^{( 5 )}For x, z1, z2, x^{( 1 )}, Z1^{( 1 )}, Z2^{( 1 )}The system determined based on is reversed and deduced from the above equation.
[0074]
  In order to stop the auxiliary body at the instants t0 and t1 and move from x0 at the instant t0 to x1 at the instant t1, the first and last conditions y (t0) = x0, y (t1) = x1 All derivatives y^{( k )}(t0) = y^{( k )}If (t1) = 0 and k changes from 1 to 6 or more if necessary, construct a reference trajectory of y, and then calculate the reference trajectory of (F) applied to the main body, auxiliary body and motor. It is assumed to be good.
[0075]
  In this case, the force (F) satisfies the following relationship.
[Expression 35]

[0076]
  Furthermore, the model (see FIG. 1) for the three auxiliary bodies MAi (p = 3) is
[Expression 36]

Deductive.
[0077]
  To determine the values of different variables, in particular as a function of time of force (F), proceed as described above, and the function of time of force (F) satisfies the following equation:
[Expression 37]

[0078]
  Shown in FIGS. 8-13 are values of variables y, x, z1, z2, z3, and F, respectively, as a function of time (t) for the specific example of the embodiment shown in FIG. , Z1 to z3 are movement amounts of the auxiliary bodies MA1, MA2, and MA3, respectively. The variables y, x, z1, z2 and z3 are each expressed in meters (m) and the force (F) is expressed in Newtons (N).
[0079]
  An example of this is as follows.
M = 5kg,
m1 = 0.1kg,
m2 = 0.01 kg,
m3 = 0.5 kg.
k1 = m1 (5.2π)², K2 = m2 (4.2π)², K3 = m3 (6.2π)²These correspond to natural frequencies 5.4 and 6 Hz, respectively.
[Formula 38]

t1-t0 = 0.34s
x1-x0 = 40 mm.
[0080]
  In addition, in the third embodiment shown in FIG. 2, the system S2 comprises a movable unit (4), a base (2) elastically attached to the floor (S), and this base (2). And an auxiliary body MA connected by a standard type elastic link eA.
[0081]
  In this case, the system variables are the positions x, xB and zA of the movable unit (4), the base (2), and the auxiliary body MA, which satisfy the following relationship.
[39]

  Here, M, mB, and mA are the masses of the movable unit (4), the base (2), and the auxiliary body MA,
rA and rB are the attenuation of the auxiliary body MA and the base (2),
kA and kB are the rigidity of the auxiliary pair MA and the base (2), respectively,
s = d / dt.
[0082]
  In particular, the dynamic model of system S2 is
[Formula 40]

The intermediate variables are s = d / dt and x = P (s) y, xB = PB (s) y,
zA = Pz (s) y must be satisfied.
[0083]
  Substituting these equations into equation (9) gives
[Expression 41]

Is required.
[0084]
  Removing Pz from this last expression gives
[Expression 42]

And the above equation (8) can be obtained.
[0085]
  Thus, different variables, particularly values as a function of time for force (F), are determined as described above.
  In this case, the force (F) is given by the formula
[Equation 43]

Satisfied.
[0086]
  In the fourth and final embodiment (not shown), the system comprises a movable unit (4), a base (2) and an auxiliary body MC elastically connected to the movable unit (4).
  In this case, the system variables satisfy the following relationship at the positions x, xB and zC of the movable unit 4, the base (2) and the auxiliary body MC, respectively.
(44)

  Here, M, mB, and mC are the masses of the movable unit (4), the base (2), and the auxiliary body MC,
rB and rC are the attenuation of the base (2) and the auxiliary body MC,
kB and kC are the rigidity of the base (2) and the auxiliary body MC,
s = d / dt.
[0087]
  In particular, the dynamic model of this system is
[Equation 45]

By using the polynomial of the variable s = d / dt as described above, the system (10) becomes
[Equation 46]

It becomes. This finally yields an equation for each of the variables as a function of the intermediate variable (and its derivative), x = P (s) y, xB = PB (s) y, zC = Pz (s) y.
[Equation 47]

Is obtained.
[0088]
  Reference trajectories for y and then x, xB, zC and F are formed as described above.
  In this case, the force (F) is
[Formula 48]

Satisfied.
[0089]
[Formula 49]

In the following, the method according to the invention is described in detail which can quickly and comprehensively determine the formula defined in the previous step b) of the method according to the invention for a linear system of the form
[0090]
  In Expression (11), Ai, j (s) is a polynomial of the variable s, and in the case of the combined mechanical system, is an order of 2 or less, and at least one of the coefficients bi is not zero. F is a control input, and in the above example, is a force generated in the actuator (5).
[0091]
  Therefore, according to the present invention, the following operations are performed in step b).
  The different variables xi in the above system (for example, S1 or S2) are such that i is 1 to p and p is an integer of 2 or more, and each must satisfy the following first formula.
[Equation 50]

y^{( j )}Is the derivative of the order j of the intermediate variable y, r is a predetermined integer, pi and j are parameters to be determined, and the following second equation is expressed as y^{( j )}= S^j・ Required with y.
[Equation 51]

[0092]
  The third type of vector type is determined based on the second formula for different variables xi of the system,
[Formula 52]

Consists of.
[0093]
  The vector P is calculated by the following equation by replacing X with the value P · y.
[53]

In this formula, B^TIs a matrix of matrix of size p × (p−1), rank p−1, and B^Tb = 0p-1, and so on.
bp is a component of the p-th version of vector b,
0p-1 is a zero vector of dimension (p-1).
[0094]
  Thus, the values of pi and j of different parameters are deduced from the calculated value of vector P.
  From these values, the intermediate variable y and the value of the variable xi as a function of its derivative are deduced using the corresponding first equations.
  This shows that the above method is correct.
[0095]
  A matrix of size p × p is represented by A (s), and its coefficient is represented by a polynomial Ai,
If j (s), i, J = 1, ..., p,
[Formula 54]

It becomes.
[0096]
  If generality is not lost, the rank of A (s) is assumed to be p (otherwise the system can be written with unnecessary expressions and the dependent expressions deleted, and bp ≠ 0.
So a matrix B of size p × (p−1) and rank p−1, ie
B^Tb = 0p-1
Exists. Here, T represents a shift term, and 0p-1 represents a vector of p-1. All these components are zero. Then B^TThe system (11) multiplied in advance by
[Expression 55]

It becomes.
[0097]
  As mentioned above, the intermediate variable y is characterized in that all components of the vector x are shown as a function of y and a finite number of derivatives of y. For linear systems that can be controlled, there is always such an output and the components of x are linear combinations of y and its derivatives, ie
[Expression 56]

Where y^(j)Is the derivative of y order j with respect to time, where pi and j are non-zero actual numbers, or
[Equation 57]

Can be found in the form of
[0098]
[Formula 58]

Is calculated by substituting X with its value P (s) y in equation (12),
[Formula 59]

It becomes.
[0099]
  Therefore, since B is rank p-1 and A (s) is rank p, p is a matrix B of dimension 1^TIt belongs to the nucleus of A (s). To calculate P,
[Expression 60]

A matrix of size (p−1) × (p−1) defined by: matrix A (s) and
[Outside 1]

Is represented by the symbols A1 (s), ..., Ap (s)
[0100]
[Equation 61]

Symbol of vector of dimension p-1 defined by
[Outside 2]

Represented by
[0101]
  Equation (13)
[62]

Rewrite in the form of matrix
[Outside 3]

Is reversible,
[Equation 63]

It becomes.
[0102]
  In the above,
[Expression 64]

Is a matrix of common factors.
[0103]
  Immediately from now on
[Equation 65]

Can be estimated.
  Thus, the calculation of the vector P (s) is completed.
[0104]
  If Ai and j (s) are polynomials of order m or less, the order of each component of P is mp or less. Especially in this case, the determinant
[Equation 66]

(P-1) is less than (p-1) m and the sequence
[Equation 67]

Using the fact that the order of the product of the polynomials is less than or equal to the sum of the orders, the order of each column of (p-1) is less than or equal to m + m = pm, and thus the above result.
[0105]
  In all the above examples, i.e. the mechanical subsystem of the model, m = 2.
  This generic method is simply proved to produce the same computation for P as in the previous examples.
[0106]
  Returning to some of the previous examples, the calculation of the variable y shows how the elastic mode can be passively isolated.
  In all these examples, a trajectory is generated based on the polynomial trajectory of the intermediate variable y, which is obtained by interpolating the first and last conditions. In addition, we are interested in certain cases, in which case the system is stopped at the first and last moment, which sets up a simple standard formula that depends only on the degree of the polynomial be able to.
[0107]
  In the simplest case, the first and last derivatives of y are from zero to order 4, and the polynomial to be found is of order 9.
[Equation 68]

And this
[Equation 69]

Is required.
[0108]
  If the first and last derivatives are determined to be polynomials of zero to order 5, the polynomial to be calculated has degree 11;
[Equation 70]

Thus, σ is as defined in equation (16).
[0109]
  When a polynomial whose first and last derivatives are from zero to order 6 is obtained, the obtained polynomial is of degree 13
[Equation 71]

It is.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a conceptual diagram of an apparatus to which the present invention is applied.
FIG. 2 is a conceptual diagram of a third embodiment.
FIG. 3 is a graph showing the relationship between an intermediate variable y and time t.
FIG. 4 is a graph showing a relationship between a moving amount x of a movable unit and time t.
FIG. 5 is a graph showing a relationship between a base movement amount xB and time t.
FIG. 6 is a graph showing a relationship between a base rotation angle θz and time t.
FIG. 7 is a graph showing the relationship between force F and time t.
FIG. 8 is a graph showing the relationship between an intermediate variable y and time t.
FIG. 9 is a graph showing a relationship between a moving amount x of a movable unit and time t.
FIG. 10 is a graph showing the relationship between the amount of movement z1 of the auxiliary body MA1 and time t.
FIG. 11 is a graph showing the relationship between the amount of movement z2 of the auxiliary body MA2 and time t.
FIG. 12 is a graph showing the relationship between the amount of movement z3 of the auxiliary body MA3 and time t.
FIG. 13 is a graph showing the relationship between force F and time t.

Claims (8)

A method of moving the movable unit (4) on the base (2), wherein the movable unit (4) is linearly moved according to a predetermined movement under the action of a controllable force (F). ,
a) An equation is defined, which is composed of elements (2, 4, MA, MA1, MA2, MA3) that move as the movable unit (4) moves, one of which is the movable unit (4). Represents a dynamic model of a system and consists of two or more variables, one of which is the position of the mobile unit (4) ,
A variable of the system is represented by Xi, i is 1 to p, p is an integer of 2 or more, and force and moment, if necessary, a linear approximation, so-called polynomial matrix

In the form of
Here, A (s) is a p × p matrix, and its element Aij (s) is a polynomial of variable S = d / dt,

b is a vector of dimension p,
It is.
b) All variables of this system are represented as a function of one and the same intermediate variable y and a specific number of derivatives as a time function of this intermediate variable y, together with the force (F) When (F) is added to the movable unit (4), the movable unit (4) is moved according to the predetermined movement, and all elements of the system are immobilized at the end of the movement. there is,
F is the force generated by the means for moving the movable unit,
The variable xi of the above system needs to satisfy the following first formula when i is from 1 to p:

Where y ^{( j )} is the derivative of the order j of the intermediate variable, r is a predetermined integer, pi and j are parameters to be determined, and the second equation shown below is It is obtained by substituting y ^(j) = s ^j · y into equation 1 ,

The third vector type equation shown below is determined based on the second equation for different variables xi of the system (S1, S2):

The vector P is calculated by replacing x with the value p · y in the following system:

In this equation, B ^T is obtained by replacing the matrix of size P × (P-1),
B ^T b = 0p−1
bp is the p th component of the previously determined vector b, and
0p-1 is a zero vector of size (p-1),
The values of the different parameters pi and j are calculated from the value of the vector P calculated above,
From these values, the intermediate variable y and the value of the variable xi as its derivative are deduced in each case using the corresponding first equation,
c) The first and last conditions of all the above variables are determined,
d) the value of the intermediate variable as a function of time is determined by the variables defined in step b) and the equations for the first and last conditions;
e) The value of the force (F) as a function of time is calculated from the formula for the force defined in step b) and the intermediate variable determined in step d),
f) Such calculated force (F) value is applied to the movable unit (4). The method of claim 1, comprising:
In step d), the polynomial for the intermediate variable y is used to determine the value of this intermediate variable y. The method of claim 1, comprising:
The first and last conditions of the different variables of the system, together with the formula defined in step b), are used to determine the polynomial parameters for the intermediate variable y. Method according to claim 1, for moving the movable unit (4) on a base (2) which is elastically attached to the floor (S) and which receives linear and angular movement. And
When the variables of the system are the linear position x of the movable unit, the position xB in the linear direction of the base, and the respective direction positions θz of the base,

Satisfies the relationship.
Where m is the mass of the movable unit,
mB, kB, kθ, rB, rθ are the base mass, linear stiffness, bending stiffness, linear damping and bending damping,
J is the base inertia relative to the vertical axis,
d is the distance between the axis of translation of the center of mass in the movable unit and the base, and
y ^{( 1 )} , y ^{( 2 )} , y ^{( 3 )} , y ^{( 4 )} are the first to fourth derivatives of the variable y. 2. A method according to claim 1, for moving a movable unit (4) on which p auxiliary bodies MAi are elastically mounted thereon, wherein p is an integer greater than or equal to 1, i Is from 1 to p,
The system variables are the position x of the movable unit (4), the position zi of the p auxiliary MAi, which are

Satisfy the relationship.
Where Π indicates the product of the relational expressions,
mi, zi, ki and ri are respectively the mass, position, stiffness and damping of the auxiliary body MAi;
mj, zj, kj and rj are the mass, position, stiffness and damping of the auxiliary body MAj, respectively, and s = d / dt. The method according to claim 1, wherein the movable unit (4) is moved on a base that is elastically attached to the floor (S) and on which an auxiliary body (MA) is elastically attached. And
System variables are movable unit (4), base (2), auxiliary body (MA) positions x, xB, and zA, respectively.

Satisfy the relationship.
Here, M, mB and mA are the masses of the movable unit (4), the base (2) and the auxiliary body (MA),
rA and rB are the attenuation of the auxiliary body (MA) and the base (2),
kA and kB are the rigidity of the auxiliary body (MA) and the base (2),
And s = d / dt. The method according to claim 1, wherein the movable unit (4) on which the auxiliary body is elastically attached is moved on the base elastically attached to the floor (S).
The system variables are movable unit (4), base (2), auxiliary body positions x, xB and zC, respectively.

Satisfies the relationship.
here,
M, mB and mC are the masses of the movable unit (4), the base (2) and the auxiliary body (MA),
rA and rC are the attenuation of the auxiliary body (MA) and auxiliary body,
kA and kC are the stiffness of the auxiliary body (MA) and auxiliary body,
And s = d / dt. A force (F) can be applied to the base (2), the movable unit (4) moved linearly on the base (2), and the movable unit (4) for the purpose of moving onto the base. It consists of a controllable actuator (5),
Furthermore, in order to calculate the force (F) applied to the movable unit (4), the methods a) to e) according to claim 1 are carried out, and the force (F) thus calculated is used as the movable unit (4). ) To move the movable unit on a base configured to determine a control command to be applied to and transmit it to the actuator (5).

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