JP4341889B2 - Elliptical product-sum operation calculation method, elliptic product-sum operation calculation device, program, and recording medium - Google Patents

Elliptical product-sum operation calculation method, elliptic product-sum operation calculation device, program, and recording medium Download PDF

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【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、暗号技術などに用いられる、素体Ｆp上の３次関数の複数の点の楕円積和演算を高速に実現する方法及び装置、プログラム、並びに、そのプログラムを記録した記録媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】
楕円暗号では、素体（有限体）上の楕円曲線ＥP
Ｅｐ：ｙ２≡ｘ３＋αｘ＋β（mod ｐ），α，β∈Ｆｐ，４α３＋２７β２≠０
上の整数点（ｘ，ｙ）の解集合をメッセージ空間とみなす。つまり、楕円曲線上の点を有限の整数値（０以上ｐ未満）に限定し、演算はこの上限値ｐで割った余りとする（mod演算）。
【０００３】
いま、素体ＦP上の楕円曲線ＥP上の２点をＰ（ｘ1，ｙ1），Ｑ（ｘ2，ｙ2）とし、Ｔ＝ａＰ＋ｂＱを求める値とする。Ｔ（ｘ3，ｙ3）も楕円曲線ＥP上の点である。図１２に、従来の算出手順のフローチャートを示す。ただし、ａとｂは
【０００４】
【数１０】

Figure 0004341889
【０００５】
のように２進表現し、ａ，ｂの第ｉビット目の係数を各々ｃI,ｄi(∈｛０,１｝)とする。ｋはａk≠０、またはｂk≠０となる最大の整数である。また、楕円曲線上の各種演算の定義を以下の通りとする。
【０００６】
楕円２倍演算Ｔ＝２Ｐは、
１．Ｐ＝（０，０）の場合は、ｘ3＝０，ｙ3＝０
２．Ｐ≠（０，０）の場合は、
【０００７】
【数１１】
Figure 0004341889
とする。
【０００８】
また、楕円加算演算Ｔ＝Ｐ＋Ｑは、
３．Ｐ＝（０，０）の場合は、ｘ3＝ｘ2，ｙ3＝ｙ2
４．Ｐ≠（０，０）、かつＱ＝（０，０）の場合は、ｘ3＝ｘ1，ｙ3＝ｙ1
５．Ｐ≠（０，０）、かつＱ＝（０，０）、かつＰ＋Ｑ＝（０，０）の場合は、ｘ3＝０，ｙ3＝０
６．Ｐ≠（０，０）、かつＱ≠（０，０）かつＰ＋Ｑ≠（０，０）の場合は、
【０００９】
【数１２】
Figure 0004341889
とする。
【００１０】
図１２のフローチャートは、次の処理を実行するものである。
Ｔ←０
for（ｉ＝ｋ；ｉ≧０；ｉ−−）｛
if（(ｃi＝＝０)＆＆(ｄi＝＝０)）then｛Ｔ←２Ｔ｝
if（(ｃi＝＝１)＆＆(ｄi＝＝０)）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←Ｔ＋Ｐ｝
if（(ｃi＝＝０)＆＆(ｄi＝＝１)）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←Ｔ＋Ｑ｝
if（(ｃi＝＝１)＆＆(ｄi＝＝１)）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←Ｔ＋(Ｐ＋Ｑ)｝
｝
Ｒeturn Ｔ
初期値としてＴに０を設定し、ｉ＝ｋ，ｋ−１，…，２，１，０の順番に、（ａi，ｂi）の値（００）、（０１）、（１０）、（１１）にしたがって所定の演算を繰り返し実行し、最終結果のＴを求める。
【００１１】
図１２に示した処理手順にしたがって、上記で定義したｋを用いて、従来の算出手順に必要な楕円加減算と楕円２倍算の必要回数を示すと、図１３のようになる。楕円曲線上の対象点が増加すると、この必要回数は更に増大する。
【００１２】
【発明が解決しようとする課題】
本発明の目的は、素体（有限体）上の楕円曲線上の相異なる複数の点を各々整数倍し、かつ、該整数倍した結果を加算する楕円積和演算を、従来技術に比べて高速に行うことを可能とする方法及び装置、プログラム並びに、そのプログラムを記録した記録媒体を提供することにある。
【００１３】
【課題を解決するための手段】
本発明では、ｐを素数とする素体Ｆpとし、
Ｅｐ：ｙ２≡ｘ３＋αｘ＋β（mod ｐ），α，β∈Ｆｐ，４α３＋２７β２≠０
で定義される素体Ｆｐ上の楕円曲線Ｅｐ上の相異なるｎ個の点をＰ１〜Ｐｎとし、互いに独立なｎ組の整数ｍｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）として場合、ｎ組の整数ｍｉを、
【数１３】
Figure 0004341889
のように２進数表現して、任意のｉ（１≦ｉ≦ｎ）に対して、
ｍｉ ２ｋ＋１＋ｍｉ ２ｋ＋ｍｉ ２ｋ−１≠０，
となるような最大のｋを定義して、楕円積和演算計算
【数１４】
Figure 0004341889
を、制御回路、記憶回路及び演算回路を含むコンピュータ等により以下のようにして自動的に計算する。
いま、 Ｍｉ 2 ｊ＋ 1＝４ｍｉ 2 ｊ＋ 1＋２ｍｉ 2 ｊ＋ｍｉ 2 ｊ− 1（ｊ≧０）として、ｕｉとｖｉを次のように定義する。
【数１５】
Figure 0004341889
【数１６】
Figure 0004341889
【００１４】
最初、ｊ＝ｋにおいて、
【数１７】
Figure 0004341889
引続き、
【数１８】
Figure 0004341889
を実行する。以後、同様に前記式（4）と（5）の演算をｊ＝ｋ−1，ｋ−2，…，０の順番で繰り返し、実行して得られた演算結果のＴを求める解とする。
ここで、式（4）と（5）の楕円２倍算、楕円加減算等の演算パターンはＭ１ 2 ｊ＋ 1，Ｍ２ 2 ｊ＋ 1，…，Ｍｎ 2 ｊ＋ 1の各値の組み合せで一義的に定まる。そこでＭ１ 2 ｊ＋ 1，Ｍ２ 2 ｊ＋ 1，…，Ｍｎ 2 ｊ＋ 1の値と式（4）、（5）の演算パターンの取り得る組み合せをあらかじめ決めておく。
制御回路は、パラメータＰ１〜Ｐｎ、演算結果Ｔの初期値としてＴ＝０を記憶回路に格納し、ｎ組の整数ｍ1〜ｍnから、ｊ＝ｋ，ｋ−1，ｋ−2，１…，０の順番に、順次、２ビットずつシフトして、（Ｍ１ 2 ｊ＋ 1，Ｍ２ 2 ｊ＋ 1，…，Ｍｎ 2 ｊ＋ 1）を選択し、その値により、式（4）、（5）の演算パターンを演算回路に指示する。
演算回路は、前記制御回路からの指示にもとづき、記憶回路からＰ１〜Ｐｎ、Ｔを読み出して、指示された演算パターンの演算を実行し、演算結果のＴを記憶回路に戻すようにする。
【００１５】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の一実施の形態について説明する。
ここでは、ｐを素数とする素体（有限体）上の楕円曲線ＥP
Ｅｐ：ｙ２≡ｘ３＋αｘ＋β （mod p）
上の３点をＰ（ｘ1，ｙ1）、Ｑ（ｘ2，ｙ2）、Ｒ（ｘ３，ｙ３）とし、楕円積和演算
Ｔ＝ａＰ＋ｂＱ＋ｃＲ
を求める値とする。Ｔ（ｘ４，ｙ４）も楕円曲線ＥP上の点である。ただし、ａ，ｂ，ｃは
【００１６】
【数１９】
Figure 0004341889
【００１７】
のように２進表現し、ａ，ｂ，ｃの第ｉビット目の係数ａｉ，ｂｉ，ｃｉを、ｉ≧０の場合、ａｉ，ｂｉ，ｃｉ∈｛０,１｝とする。また、ａ-1＝ｂ-1＝ｃ-1＝０とする。ｋはａ2k+1＋ａ2k＋ａ2k-1≠０、またはｂ2k+1＋ｂ2k＋ｂ2k-1≠０、またはｃ2k+1＋ｃ2k＋ｃ2k-1≠０となるような最大の整数とする。更に、Ａ２ｉ＋１＝４ａ2 ｉ +1＋２ａ２ｉ＋ａ2 ｉ -1、Ｂ２ｉ＋１＝４ｂ2 ｉ +1＋２ｂ２ｉ＋ｂ2 ｉ -1、Ｃ２ｉ＋１＝４ｃ2 ｉ +1＋２ｃ２ｉ＋ｃ2 ｉ -1（ｉ≧０）とする。
【００１８】
図１に本楕円積和演算計算装置の構成例を示す。図１において、制御回路（ＣＰＵ）１００は全体の動作の制御を司る。この制御回路１００は、ａとｂとｃを保持するレジスタ、変数ｉをカウントするカウンタなどを内蔵し、整数ａ，ｂ，ｃから、ｉ＝ｋ，ｋ−１，…，２，１，０の順番に２ビットずつシフトして、順次、Ａ２ｉ＋１，Ｂ２ｉ＋１，Ｃ２ｉ＋１を選択し、その値に応じて、記憶回路１１０に対して所定データの読出しを指示し、演算回路１２０に対して演算の種類と実行順序（演算パターン）を指示する。記憶回路１１０は、Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｔ（初期値は０）のデータなどを格納しており、制御回路１００の指示されたデータを読み出して演算回路１２０に与える。演算回路１２０は２倍演算、加算、減算などの演算を行う機能を有し、記憶回路１１０から与えられたデータを入力として、制御回路１００の指示された演算を、指示された順序で実行し、演算結果のＴを記憶回路１１０に戻す。
【００１９】
図２に、本楕円積和演算計算装置の概略処理フローチャートを示す。制御回路１００の制御下で、パラメータＰ，Ｑ，Ｒ，ａ，ｂ，ｃなどを入力し、Ｐ，Ｑ，Ｒは記憶回路１１０に格納し、ａ，ｂ，ｃは制御回路１００の内部レジスタに設定する（ステップ２１０）。次に、制御回路１００により記憶回路１１０、演算回路１２０の動作を制御してＴ＝ａＰ＋ｂＱ＋ｃＲの計算を実行し（ステップ２２０）、その計算結果Ｔを出力する（ステップ２３０）。
【００２０】
図３乃至図７は、図２のＴ＝ａＰ＋ｂＱ＋ｃＲの計算部分（ステップ２２０）の詳細処理フローチャートである。また、図８乃至図１０は、図３〜図７中のケース（Ｃase）１〜１２５の内容を示している。図８乃至図１０において、例えば、ケース１は、Ａ2 ｉ＋ 1が０または７、Ｂ2 ｉ＋ 1が０または７、同じくＣ2 ｉ＋ 1が０または７の場合、まず、Ｔ＝２Ｔを演算し、引き続いて、またＴ＝２Ｔを演算することを意味する。他のケースについても同様である。
【００２１】
図３〜図７のフローチャートは、次の処理を実行するものである。なお、実際の演算の実行にあたっては、２倍算と加減算が含まれる場合には、まず、２倍算を行い、次に加減算を行うことになる。
Ｔ←０
for（ｉ＝ｋ；ｉ≧０；ｉ−−）｛
if（Ｃase 1）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 2）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋Ｒ｝
else if（Ｃase 3）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｒ；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 4）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｒ；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 5）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−Ｒ｝
else if（Ｃase 6）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋Ｑ｝
else if（Ｃase 7）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase 8）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｒ；Ｔ←２Ｔ＋Ｑ｝
else if（Ｃase 9）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｒ；Ｔ←２Ｔ＋Ｑ｝
else if（Ｃase 10）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 11）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｑ；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 12）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｑ；Ｔ←２Ｔ＋Ｒ｝
else if（Ｃase 13）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 14）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 15）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｑ)；Ｔ←２Ｔ−Ｒ｝
else if（Ｃase 16）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｑ；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 17）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｑ；Ｔ←２Ｔ＋Ｒ｝
else if（Ｃase 18）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 19）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 20）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｑ；Ｔ←２Ｔ−Ｒ｝
else if（Ｃase 21）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−Ｑ｝
else if（Ｃase 22）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 23）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｒ；Ｔ←２Ｔ−Ｑ｝
else if（Ｃase 24）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｒ；Ｔ←２Ｔ−Ｑ｝
else if（Ｃase 25）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase 26）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋Ｐ｝
else if（Ｃase 27）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase 28）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｒ；Ｔ←２Ｔ＋Ｐ｝
else if（Ｃase 29）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｒ；Ｔ←２Ｔ＋Ｐ｝
else if（Ｃase 30）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 31）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）｝
else if（Ｃase 32）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase 33）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｒ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）｝
else if（Ｃase 34）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｒ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）｝
else if（Ｃase 35）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 36）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｑ；Ｔ←２Ｔ＋Ｐ｝
else if（Ｃase 37）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｑ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase 38）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｐ｝
else if（Ｃase 39）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｐ｝
else if（Ｃase 40）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｑ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 41）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｑ；Ｔ←２Ｔ＋Ｐ｝
else if（Ｃase 42）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｑ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase 43）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｐ｝
else if（Ｃase 44）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｐ｝
else if（Ｃase 45）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｑ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 46）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）｝
else if（Ｃase 47）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase 48）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｒ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）｝
else if（Ｃase 49）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｒ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）｝
else if（Ｃase 50）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 51）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｐ；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 52）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｐ；Ｔ←２Ｔ＋Ｒ｝
else if（Ｃase 53）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 54）then｛Ｔ←２Ｔ（Ｐ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 55）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｐ；Ｔ←２Ｔ−Ｒ｝
else if（Ｃase 56）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｐ；Ｔ←２Ｔ＋Ｑ｝
else if（Ｃase 57）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｐ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase 58）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｑ｝
else if（Ｃase 59）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｑ｝
else if（Ｃase 60）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｐ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 61）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 62）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｒ｝
else if（Ｃase 63）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 64）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 65）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）；Ｔ←２Ｔ−Ｒ｝
else if（Ｃase 66）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 67）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｒ｝
else if（Ｃase 68）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 69）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 70）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）；Ｔ←２Ｔ−Ｒ｝
else if（Ｃase 71）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｐ；Ｔ←２Ｔ−Ｑ｝
else if（Ｃase 72）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｐ；Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 73）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ−Ｑ｝
else if（Ｃase 74）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ−Ｑ｝
else if（Ｃase 75）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｐ；Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase 76）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｐ；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 77）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｐ；Ｔ←２Ｔ＋Ｒ｝
else if（Ｃase 78）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 79）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 80）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｐ；Ｔ←２Ｔ−Ｒ｝
else if（Ｃase 81）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｐ；Ｔ←２Ｔ＋Ｑ｝
else if（Ｃase 82）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｐ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase 83）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｑ｝
else if（Ｃase 84）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｑ｝
else if（Ｃase 85）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｐ；Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 86）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 87）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｒ｝
else if（Ｃase 88）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 89）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 90）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）；Ｔ←２Ｔ−Ｒ｝
else if（Ｃase 91）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 92）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）；Ｔ←２Ｔ＋Ｒ｝
else if（Ｃase 93）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 94）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ｝
else if（Ｃase 95）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）；Ｔ←２Ｔ−Ｒ｝
else if（Ｃase 96）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｐ；Ｔ←２Ｔ−Ｑ｝
else if（Ｃase 97）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｐ；Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）｝
else if（Ｃase 98）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ−Ｑ｝
else if（Ｃase 99）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ−Ｑ｝
else if（Ｃase100）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｐ；Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase101）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−Ｐ｝
else if（Ｃase102）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）｝
else if（Ｃase103）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｒ；Ｔ←２Ｔ−Ｐ｝
else if（Ｃase104）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｒ；Ｔ←２Ｔ−Ｐ｝
else if（Ｃase105）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase106）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）｝
else if（Ｃase107）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ−Ｒ）｝
else if（Ｃase108）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｒ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）｝
else if（Ｃase109）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｒ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）｝
else if（Ｃase110）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase111）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｑ；Ｔ←２Ｔ−Ｐ｝
else if（Ｃase112）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｑ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）｝
else if（Ｃase113）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ−Ｐ｝
else if（Ｃase114）then｛Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ−Ｐ｝
else if（Ｃase115）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｑ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase116）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｑ；Ｔ←２Ｔ−Ｐ｝
else if（Ｃase117）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｑ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）｝
else if（Ｃase118）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）；Ｔ←２Ｔ−Ｐ｝
else if（Ｃase119）then｛Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）；Ｔ←２Ｔ−Ｐ｝
else if（Ｃase120）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｑ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）｝
else if（Ｃase121）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）｝
else if（Ｃase122）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）｝
else if（Ｃase123）then｛Ｔ←２Ｔ＋Ｒ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）｝
else if（Ｃase124）then｛Ｔ←２Ｔ−Ｒ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）｝
else if（Ｃase125）then｛Ｔ←２Ｔ；Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）｝
｝
【００２２】
上記処理手順のプログラム（これを楕円積和演算計算プログラムと称す）は、コンピュータが読み取り可能な記録媒体、例えばＦＤやメモリカード、コンパクトディスク（ＣＤ−ＲＯＭ）などに記録して提供することが可能である。制御回路１００が、この記録媒体に記録されたの楕円積和演算計算プログラムを読み込み実行することで、図３〜図７の処理フローが実現する。なお、制御回路１００は、この楕円積和演算計算プログラムを記録したＲＯＭをあらかじめ保持しておくことでもよい。
【００２３】
なお、図３〜図７に示した処理手順において、Ｐ＋Ｑ，Ｐ−Ｑ，Ｐ＋Ｒ，Ｐ−Ｒ，Ｑ＋Ｒ，Ｑ−Ｒ，Ｐ＋Ｑ＋Ｒ，Ｐ＋Ｑ−Ｒ，Ｐ−Ｑ＋Ｒ，Ｐ−Ｑ−Ｒは予め計算して記憶回路１１０に記憶しておき、それを使用することでもよい。この場合、Ｔは楕円２倍算と楕円加減算の２ステップで実施できる。
【００２４】
図１１は、制御回路１００の別の実施形態であり、図３〜図７の処理をハードウェアロックで実現した構成例を示したものである。図１１において、１０１はａ，ｂ，ｃを格納したシフトレジスタであり、シフトロックにより２ビットずつシフトし、ｉ＝ｋ、ｋ−１，…，２，１，０の順番に、順次、Ａ２ｉ＋１，Ｂ２ｉ＋１，Ｃ２ｉ＋１を読み出すことを実現する。デコーダ１０２−１〜１０２−１２５は図８〜図１０のケース１〜１２５に対応し、シフトレジスタ１０１の出力Ａ２ｉ＋１，Ｂ２ｉ＋１，Ｃ２ｉ＋１を並列にデコードし、いずれかで一致した場合、該当デコーダが一致信号を出力する。演算制御テーブル１０３は、ケース１−１２５に対応した演算パターンの演算コマンド群を保持しており、デコーダ１０２−１〜１０２−１２５のデコード出力にもとづいて、対応する演算コマンド群の制御下で、記憶回路１１０に対して所望データの読出しを指示し、演算回路１２０に対しては演算の種類とその実行順序を指示する。
【００２５】
図１１の構成によれば、図３〜図７のケース１〜１２５の場合分けが並列に処理でき、さらに高速化が実現する。また、ハードロジックとすることにより、制御回路１００と記憶回路１１０と演算回路１２０とを一体構成にした半導体集積回路が実現可能である。
【００２６】
以上、本発明の一実施形態を説明したが、本発明は、先の式（1）〜（5）のアルコリズムを適用して、一般に楕円曲線上の相異なる複数の点を対象に楕円積和を実現できることは云うまでもない。例えば、図１１のハードロジックの場合には、シフトレジスタ１０１が一般にｎ個となり、デコーダ１０２と演算制御テーブル１０３は演算パターンの場合分けが増加する分、追加すればよい。
【００２７】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、素体ＦP上の楕円曲線ＥP上の相異なる複数の点を各々整数倍し、かつ整数倍した結果を加算する楕円積和演算を、高速に実施できる利点がある。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の一実施形態の楕円積和演算装置の構成例を示すブロック図である。
【図２】図１の楕円積和演算装置の全体的処理フローチャートである。
【図３】図２の積和演算計算部分の詳細処理フローチャートである。
【図４】図３のつづきのフローチャートである。
【図５】図４のつづきのフローチャートである。
【図６】図５のつづきのフローチャートである。
【図７】図６のつづきのフローチャートである。
【図８】図３〜図７の演算種別、実行順序の場合分けを示す図である。
【図９】同じく図３〜図７の演算種別、実行順序の場合わけを示す図である。
【図１０】同じく図３〜図７の演算種別、実行順序の場合わけを示す図である。
【図１１】図１の制御回路の機能をハードロジックで実現した構成例を示す図である。
【図１２】従来手法による楕円積和演の処理フローチャートである。
【図１３】図１２の従来手法の算出処理に必要な楕円加算演算と楕円２倍演算の回数を示す図である。
【符号の説明】
１００ 制御回路
１１０ 記憶回路
１２０ 演算回路[0001]
BACKGROUND OF THE INVENTION
The present invention relates to a method and apparatus, a program, and a recording medium on which the program is recorded that realizes high-speed elliptic product-sum operation of a plurality of points of a cubic function on a prime field F p used in encryption technology and the like. .
[0002]
[Prior art]
In elliptic cryptography, an elliptic curve E P on a prime field (finite field)
E p : y 2 ≡x 3 + αx + β (mod p), α, β∈F p , 4α 3 + 27β 2 ≠ 0
The solution set of the upper integer points (x, y) is regarded as the message space. That is, the points on the elliptic curve are limited to a finite integer value (0 or more and less than p), and the calculation is the remainder divided by this upper limit value p (mod calculation).
[0003]
Now, let P (x 1 , y 1 ) and Q (x 2 , y 2 ) be two points on the elliptic curve E P on the prime field F P , and let T = aP + bQ be a value to be obtained. T (x 3 , y 3 ) is also a point on the elliptic curve E P. FIG. 12 shows a flowchart of a conventional calculation procedure. However, a and b are [0004]
[Expression 10]
Figure 0004341889
[0005]
And the coefficients of the i-th bit of a and b are c I and d i (∈ {0,1}), respectively. k is the largest integer that satisfies a k ≠ 0 or b k ≠ 0. The definitions of various operations on the elliptic curve are as follows.
[0006]
Ellipse doubling operation T = 2P is
1. When P = (0, 0), x 3 = 0, y 3 = 0
2. If P ≠ (0,0),
[0007]
[Expression 11]
Figure 0004341889
And
[0008]
The ellipse addition operation T = P + Q is
3. When P = (0,0), x 3 = x 2 , y 3 = y 2
4). When P ≠ (0,0) and Q = (0,0), x 3 = x 1 , y 3 = y 1
5. If P ≠ (0,0), Q = (0,0), and P + Q = (0,0), x 3 = 0, y 3 = 0
6). If P ≠ (0,0), Q ≠ (0,0) and P + Q ≠ (0,0),
[0009]
[Expression 12]
Figure 0004341889
And
[0010]
The flowchart of FIG. 12 performs the following processing.
T ← 0
for (i = k; i ≧ 0; i −−) {
if ((c i == 0) && (d i == 0)) then {T ← 2T}
if ((c i == 1) && (d i == 0)) then {T ← 2T; T ← T + P}
if ((c i == 0) && (d i == 1)) then {T ← 2T; T ← T + Q}
if ((c i == 1) && (d i == 1)) then {T ← 2T; T ← T + (P + Q)}
}
Return T
As an initial value, T is set to 0, and the values (00), (01), (10), (a i , b i ) in the order of i = k, k−1,. A predetermined calculation is repeatedly executed according to (11), and the final result T is obtained.
[0011]
FIG. 13 shows the required number of elliptical addition / subtraction and elliptical doubling required for the conventional calculation procedure using k defined above according to the processing procedure shown in FIG. As the number of target points on the elliptic curve increases, this required number further increases.
[0012]
[Problems to be solved by the invention]
An object of the present invention is to perform an elliptic product sum operation in which a plurality of different points on an elliptic curve on a prime field (finite field) are each multiplied by an integer, and the result obtained by multiplying the integer is added compared to the prior art. It is an object of the present invention to provide a method and apparatus that can be performed at high speed, a program, and a recording medium that records the program.
[0013]
[Means for Solving the Problems]
In the present invention, a prime field F p in which p is a prime number,
E p : y 2 ≡x 3 + αx + β (mod p), α, β∈F p , 4α 3 + 27β 2 ≠ 0
In defined as different n points on an elliptic curve over the prime field Fp Ep and P 1 to P n, mutually independent n sets integer m i (i = 1,2, ... , n) When a , N sets of integers m i
[Formula 13]
Figure 0004341889
For any i (1 ≦ i ≦ n)
m i 2k + 1 + m i 2k + m i 2k−1 ≠ 0,
Define the maximum k that gives
Figure 0004341889
Is automatically calculated as follows by a computer or the like including a control circuit, a storage circuit, and an arithmetic circuit.
Now, u i and v i are defined as follows, where M i 2 j + 1 = 4m i 2 j + 1 +2 m i 2 j + m i 2 j− 1 (j ≧ 0).
[Expression 15]
Figure 0004341889
[Expression 16]
Figure 0004341889
[0014]
First, at j = k,
[Expression 17]
Figure 0004341889
Continue,
[Formula 18]
Figure 0004341889
Execute. Thereafter, similarly, the operations of the equations (4) and (5) are repeated in the order of j = k−1, k−2,.
Here, the calculation patterns such as elliptical doubling and elliptical addition / subtraction in equations (4) and (5) are unambiguous by combinations of the values of M 1 2 j + 1 , M 2 2 j + 1 ,..., M n 2 j + 1. Is determined. Therefore, possible combinations of the values of M 1 2 j + 1 , M 2 2 j + 1 ,..., M n 2 j + 1 and the calculation patterns of equations (4) and (5) are determined in advance.
The control circuit stores parameters P 1 to P n and T = 0 as the initial value of the operation result T in the memory circuit, and j = k, k−1, k−2 from n sets of integers m 1 to mn. , 1..., 0, and sequentially shifting by 2 bits to select (M 1 2 j + 1 , M 2 2 j + 1 ,..., M n 2 j + 1 ). ) And (5) are instructed to the arithmetic circuit.
The arithmetic circuit reads P 1 to P n , T from the storage circuit based on the instruction from the control circuit, executes the operation of the instructed operation pattern, and returns the operation result T to the storage circuit. .
[0015]
DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION
Hereinafter, an embodiment of the present invention will be described.
Here, an elliptic curve E P on a prime field (finite field) where p is a prime number
E p : y 2 ≡x 3 + αx + β (mod p)
The upper three points are P (x 1 , y 1 ), Q (x 2 , y 2 ), and R (x 3 , y 3 ), and the elliptic product-sum operation T = aP + bQ + cR
Is a value to be obtained. T (x 4 , y 4 ) is also a point on the elliptic curve E P. However, a, b and c are [0016]
[Equation 19]
Figure 0004341889
[0017]
And when the coefficients a i , b i , and c i of the i-th bits of a, b, and c are i ≧ 0, a i , b i , c i ∈ {0, 1} And Also, a −1 = b −1 = c −1 = 0. k is the largest integer such that a 2k + 1 + a 2k + a 2k-1 ≠ 0, or b 2k + 1 + b 2k + b 2k-1 ≠ 0, or c 2k + 1 + c 2k + c 2k-1 ≠ 0 To do. Furthermore, A 2i + 1 = 4a 2 i +1 + 2a 2i + a 2 i -1 , B 2i + 1 = 4b 2 i +1 + 2b 2i + b 2 i -1 , C 2i + 1 = 4c 2 i +1 + 2c 2i + c 2 i -1 ( i ≧ 0).
[0018]
FIG. 1 shows a configuration example of the elliptic product-sum operation calculation apparatus. In FIG. 1, a control circuit (CPU) 100 controls the overall operation. The control circuit 100 includes a register for holding a, b, and c, a counter for counting a variable i, and the like, and from integers a, b, and c, i = k, k−1,. Are sequentially shifted by 2 bits, A 2i + 1 , B 2i + 1 , and C 2i + 1 are sequentially selected, and in accordance with the values, the memory circuit 110 is instructed to read predetermined data, and the arithmetic circuit 120 is instructed. Specifies the type of operation and the execution order (operation pattern). The memory circuit 110 stores data such as P, Q, R, and T (initial value is 0), and reads out the data instructed by the control circuit 100 and supplies it to the arithmetic circuit 120. The arithmetic circuit 120 has a function of performing arithmetic operations such as double operation, addition, and subtraction, and executes the operation specified by the control circuit 100 in the specified order with the data supplied from the storage circuit 110 as an input. The result T is returned to the memory circuit 110.
[0019]
FIG. 2 shows a schematic processing flowchart of the elliptical product-sum operation calculation apparatus. Under the control of the control circuit 100, parameters P, Q, R, a, b, c, etc. are input, P, Q, R are stored in the memory circuit 110, and a, b, c are internal registers of the control circuit 100. (Step 210). Next, the control circuit 100 controls the operation of the memory circuit 110 and the arithmetic circuit 120 to execute the calculation of T = aP + bQ + cR (step 220), and outputs the calculation result T (step 230).
[0020]
3 to 7 are detailed processing flowcharts of the calculation part (step 220) of T = aP + bQ + cR in FIG. 8 to 10 show the contents of cases 1 to 125 in FIGS. 8 to 10, for example, in case 1, when A 2 i + 1 is 0 or 7, B 2 i + 1 is 0 or 7, and C 2 i + 1 is 0 or 7, first, T = 2T is calculated. This means that T = 2T is calculated again. The same applies to the other cases.
[0021]
The flowcharts of FIGS. 3 to 7 execute the following processing. In the actual execution of the calculation, if doubling and addition / subtraction are included, the doubling is performed first, and then the addition / subtraction is performed.
T ← 0
for (i = k; i ≧ 0; i −−) {
if (Case 1) then {T ← 2T; T ← 2T}
else if (Case 2) then {T ← 2T; T ← 2T + R}
else if (Case 3) then {T ← 2T + R; T ← 2T}
else if (Case 4) then {T ← 2T-R; T ← 2T}
else if (Case 5) then {T ← 2T; T ← 2T-R}
else if (Case 6) then {T ← 2T; T ← 2T + Q}
else if (Case 7) then {T ← 2T; T ← 2T + (Q + R)}
else if (Case 8) then {T ← 2T + R; T ← 2T + Q}
else if (Case 9) then {T ← 2T-R; T ← 2T + Q}
else if (Case 10) then {T ← 2T; T ← 2T + (Q−R)}
else if (Case 11) then {T ← 2T + Q; T ← 2T}
else if (Case 12) then {T ← 2T + Q; T ← 2T + R}
else if (Case 13) then {T ← 2T + (Q + R); T ← 2T}
else if (Case 14) then {T ← 2T + (Q−R); T ← 2T}
else if (Case 15) then {T ← 2T + Q); T ← 2T-R}
else if (Case 16) then {T ← 2TQ; T ← 2T}
else if (Case 17) then {T ← 2TQ; T ← 2T + R}
else if (Case 18) then {T ← 2T- (QR); T ← 2T}
else if (Case 19) then {T ← 2T− (Q + R); T ← 2T}
else if (Case 20) then {T ← 2T-Q; T ← 2T-R}
else if (Case 21) then {T ← 2T; T ← 2TQ}
else if (Case 22) then {T ← 2T; T ← 2T- (QR)}
else if (Case 23) then {T ← 2T + R; T ← 2TQ}
else if (Case 24) then {T ← 2T-R; T ← 2T-Q}
else if (Case 25) then {T ← 2T; T ← 2T− (Q + R)}
else if (Case 26) then {T ← 2T; T ← 2T + P}
else if (Case 27) then {T ← 2T; T ← 2T + (P + R)}
else if (Case 28) then {T ← 2T + R; T ← 2T + P}
else if (Case 29) then {T ← 2T-R; T ← 2T + P}
else if (Case 30) then {T ← 2T; T ← 2T- (PR)}
else if (Case 31) then {T ← 2T; T ← 2T + (P + Q)}
else if (Case 32) then {T ← 2T; T ← 2T + (P + Q + R)}
else if (Case 33) then {T ← 2T + R; T ← 2T + (P + Q)}
else if (Case 34) then {T ← 2T−R; T ← 2T + (P + Q)}
else if (Case 35) then {T ← 2T; T ← 2T + (P + Q-R)}
else if (Case 36) then {T ← 2T + Q; T ← 2T + P}
else if (Case 37) then {T ← 2T + Q; T ← 2T + (P + R)}
else if (Case 38) then {T ← 2T + (Q + R); T ← 2T + P}
else if (Case 39) then {T ← 2T + (Q−R); T ← 2T + P}
else if (Case 40) then {T ← 2T + Q; T ← 2T + (PR)}
else if (Case 41) then {T ← 2TQ; T ← 2T + P}
else if (Case 42) then {T ← 2TQ; T ← 2T + (P + R)}
else if (Case 43) then {T ← 2T− (Q−R); T ← 2T + P}
else if (Case 44) then {T ← 2T− (Q + R); T ← 2T + P}
else if (Case 45) then {T ← 2TQ; T ← 2T + (PR)}
else if (Case 46) then {T ← 2T; T ← 2T + (PQ)}
else if (Case 47) then {T ← 2T; T ← 2T + (PQ + R)}
else if (Case 48) then {T ← 2T + R; T ← 2T + (PQ)}
else if (Case 49) then {T ← 2T−R; T ← 2T + (P−Q)}
else if (Case 50) then {T ← 2T; T ← 2T + (PQR)}
else if (Case 51) then {T ← 2T + P; T ← 2T}
else if (Case 52) then {T ← 2T + P; T ← 2T + R}
else if (Case 53) then {T ← 2T + (P + R); T ← 2T}
else if (Case 54) then {T ← 2T (PR); T ← 2T}
else if (Case 55) then {T ← 2T + P; T ← 2T−R}
else if (Case 56) then {T ← 2T + P; T ← 2T + Q}
else if (Case 57) then {T ← 2T + P; T ← 2T + (Q + R)}
else if (Case 58) then {T ← 2T + (P + R); T ← 2T + Q}
else if (Case 59) then {T ← 2T + (PR); T ← 2T + Q}
else if (Case 60) then {T ← 2T + P; T ← 2T + (Q−R)}
else if (Case 61) then {T ← 2T + (P + Q); T ← 2T}
else if (Case 62) then {T ← 2T + (P + Q); T ← 2T + R}
else if (Case 63) then {T ← 2T + (P + Q + R); T ← 2T}
else if (Case 64) then {T ← 2T + (P + Q−R); T ← 2T}
else if (Case 65) then {T ← 2T + (P + Q); T ← 2T−R}
else if (Case 66) then {T ← 2T + (PQ); T ← 2T}
else if (Case 67) then {T ← 2T + (PQ); T ← 2T + R}
else if (Case 68) then {T ← 2T + (P-Q + R); T ← 2T}
else if (Case 69) then {T ← 2T + (PQR); T ← 2T}
else if (Case 70) then {T ← 2T + (PQ); T ← 2T−R}
else if (Case 71) then {T ← 2T + P; T ← 2TQ}
else if (Case 72) then {T ← 2T + P; T ← 2T− (Q−R)}
else if (Case 73) then {T ← 2T + (P + R); T ← 2TQ}
else if (Case 74) then {T ← 2T + (PR); T ← 2TQ}
else if (Case 75) then {T ← 2T + P; T ← 2T− (Q + R)}
else if (Case 76) then {T ← 2TP; T ← 2T}
else if (Case 77) then {T ← 2T-P; T ← 2T + R}
else if (Case 78) then {T ← 2T- (PR); T ← 2T}
else if (Case 79) then {T ← 2T− (P + R); T ← 2T}
else if (Case 80) then {T ← 2TP; T ← 2T-R}
else if (Case 81) then {T ← 2TP; T ← 2T + Q}
else if (Case 82) then {T ← 2TP; T ← 2T + (Q + R)}
else if (Case 83) then {T ← 2T− (PR); T ← 2T + Q}
else if (Case 84) then {T ← 2T− (P + R); T ← 2T + Q}
else if (Case 85) then {T ← 2T−P; T ← 2T + (Q−R)}
else if (Case 86) then {T ← 2T- (PQ); T ← 2T}
else if (Case 87) then {T ← 2T− (PQ); T ← 2T + R}
else if (Case 88) then {T ← 2T- (PQR); T ← 2T}
else if (Case 89) then {T ← 2T− (PQ + R); T ← 2T}
else if (Case 90) then {T ← 2T- (PQ); T ← 2T-R}
else if (Case 91) then {T ← 2T− (P + Q); T ← 2T}
else if (Case 92) then {T ← 2T− (P + Q); T ← 2T + R}
else if (Case 93) then {T ← 2T− (P + Q−R); T ← 2T}
else if (Case 94) then {T ← 2T− (P + Q + R); T ← 2T}
else if (Case 95) then {T ← 2T− (P + Q); T ← 2T−R}
else if (Case 96) then {T ← 2TP; T ← 2TQ}
else if (Case 97) then {T ← 2TP; T ← 2T- (QR)}
else if (Case 98) then {T ← 2T- (PR); T ← 2TQ}
else if (Case 99) then {T ← 2T− (P + R); T ← 2T−Q}
else if (Case100) then {T ← 2TP; T ← 2T− (Q + R)}
else if (Case101) then {T ← 2T; T ← 2TP}
else if (Case102) then {T ← 2T; T ← 2T- (PR)}
else if (Case 103) then {T ← 2T + R; T ← 2TP−P}
else if (Case 104) then {T ← 2T-R; T ← 2T-P}
else if (Case 105) then {T ← 2T; T ← 2T− (P + R)}
else if (Case 106) then {T ← 2T; T ← 2T- (PQ)}
else if (Case 107) then {T ← 2T; T ← 2T- (PQR)}
else if (Case 108) then {T ← 2T + R; T ← 2T− (PQ)}
else if (Case109) then {T ← 2T-R; T ← 2T- (PQ)}
else if (Case 110) then {T ← 2T; T ← 2T− (PQ + R)}
else if (Case111) then {T ← 2T + Q; T ← 2TP−P}
else if (Case112) then {T ← 2T + Q; T ← 2T− (PR)}
else if (Case113) then {T ← 2T + (Q + R); T ← 2T−P}
else if (Case 114) then {T ← 2T + (Q−R); T ← 2T−P}
else if (Case115) then {T ← 2T + Q; T ← 2T− (P + R)}
else if (Case116) then {T ← 2TQ; T ← 2TP}
else if (Case 117) then {T ← 2T-Q; T ← 2T- (PR)}
else if (Case 118) then {T ← 2T- (QR); T ← 2TP}
else if (Case119) then {T ← 2T− (Q + R); T ← 2T−P}
else if (Case 120) then {T ← 2TQ; T ← 2T− (P + R)}
else if (Case 121) then {T ← 2T; T ← 2T− (P + Q)}
else if (Case122) then {T ← 2T; T ← 2T− (P + Q−R)}
else if (Case123) then {T ← 2T + R; T ← 2T− (P + Q)}
else if (Case124) then {T ← 2T−R; T ← 2T− (P + Q)}
else if (Case 125) then {T ← 2T; T ← 2T− (P + Q + R)}
}
[0022]
The above-described processing procedure program (referred to as an elliptic product-sum operation calculation program) can be provided by being recorded on a computer-readable recording medium, such as an FD, a memory card, or a compact disk (CD-ROM). It is. The control circuit 100 reads and executes the elliptic product-sum operation calculation program recorded on the recording medium, thereby realizing the processing flows of FIGS. Note that the control circuit 100 may hold in advance a ROM in which the elliptic product-sum calculation program is recorded.
[0023]
3-7, P + Q, P-Q, P + R, P-R, Q + R, Q-R, P + Q + R, P + Q-R, P-Q + R, and P-Q-R are calculated in advance. Then, it may be stored in the storage circuit 110 and used. In this case, T can be implemented in two steps of ellipse doubling and ellipse addition / subtraction.
[0024]
FIG. 11 shows another embodiment of the control circuit 100, and shows a configuration example in which the processing of FIGS. 3 to 7 is realized by hardware lock. In FIG. 11, reference numeral 101 denotes a shift register storing a, b, and c. The shift register 101 shifts by 2 bits by a shift lock, and in order of i = k, k−1,. 2i + 1, B 2i + 1 , to achieve a reading of C 2i + 1. The decoders 102-1 to 102-125 correspond to cases 1 to 125 of FIGS. 8 to 10, and when the outputs A 2i + 1 , B 2i + 1 , and C 2i + 1 of the shift register 101 are decoded in parallel, The decoder outputs a coincidence signal. The calculation control table 103 holds a calculation command group of calculation patterns corresponding to the case 1-125, and under the control of the corresponding calculation command group based on the decode output of the decoders 102-1 to 102-125, The storage circuit 110 is instructed to read desired data, and the arithmetic circuit 120 is instructed on the type of operation and the execution order.
[0025]
According to the configuration of FIG. 11, cases 1 to 125 of FIGS. 3 to 7 can be processed in parallel, and higher speed is realized. In addition, by using hard logic, a semiconductor integrated circuit in which the control circuit 100, the memory circuit 110, and the arithmetic circuit 120 are integrated can be realized.
[0026]
In the above, one embodiment of the present invention has been described. However, the present invention applies the algorithm of the above formulas (1) to (5), and generally applies an elliptic product to a plurality of different points on an elliptic curve. Needless to say, the sum can be realized. For example, in the case of the hard logic shown in FIG. 11, the number of shift registers 101 is generally n, and the decoder 102 and the calculation control table 103 may be added as the number of calculation patterns increases.
[0027]
【The invention's effect】
As described above, according to the present invention, the elliptic product-sum operation for multiplying each of a plurality of different points on the elliptic curve E P on the prime field F P by an integer and adding the results of the integer multiplication is performed at high speed. There are advantages that can be implemented.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a block diagram illustrating a configuration example of an elliptic product-sum operation apparatus according to an embodiment of the present invention.
2 is an overall process flowchart of the elliptic product-sum operation apparatus of FIG. 1; FIG.
3 is a detailed process flowchart of a product-sum operation calculation part of FIG. 2;
FIG. 4 is a flowchart continued from FIG. 3;
FIG. 5 is a flowchart continued from FIG. 4;
FIG. 6 is a flowchart continued from FIG. 5;
FIG. 7 is a flowchart continued from FIG. 6;
FIG. 8 is a diagram illustrating a case classification of an operation type and an execution order in FIGS. 3 to 7;
FIG. 9 is also a diagram showing the cases of calculation types and execution orders in FIGS. 3 to 7;
FIG. 10 is a diagram similarly showing the cases of calculation types and execution orders in FIGS. 3 to 7;
FIG. 11 is a diagram illustrating a configuration example in which the function of the control circuit in FIG.
FIG. 12 is a processing flowchart of elliptic product summation according to a conventional method.
13 is a diagram showing the number of ellipse addition calculations and ellipse doubling calculations necessary for the calculation process of the conventional method of FIG.
[Explanation of symbols]
100 control circuit 110 memory circuit 120 arithmetic circuit

Claims (5)

ｐを素数とする素体Ｆpとし、
Ｅｐ：ｙ２≡ｘ３＋αｘ＋β（mod ｐ），α，β∈Ｆｐ，４α３＋２７β２≠０
で定義される素体Ｆｐ上の楕円曲線Ｅｐ上の相異なるｎ個（ｎ≧３）の点をＰ1〜Ｐnとし、互いに独立なｎ組の整数ｍi（ｉ＝１，２，・・・，ｎ）とした場合、
ｎ組の整数ｍiを
Figure 0004341889
のように２進数表現して、任意のｉ（１≦ｉ≦ｎ）に対して
ｍｉ 2 ｋ＋ 1＋ｍｉ 2 ｋ＋ｍｉ 2 ｋ− 1≠０なるような最大のｋを定義して、
楕円積和演算計算
Figure 0004341889
を、制御回路、記憶回路及び演算回路を含むコンピュータにより自動的に計算する方法において、
Ｍｉ 2 ｊ＋ 1＝４ｍｉ 2 ｊ＋ 1＋２ｍｉ 2 ｊ＋ｍｉ 2 ｊ− 1（ｊ≧０）として、ｕｉとｖｉを
Figure 0004341889
Figure 0004341889
のように定義し、
ｊ＝ｋにおいて、
Figure 0004341889
引続き、
Figure 0004341889
を実行し、更に前記式（4）と（5）の演算をｊ＝ｋ−1，ｋ−2，…，０の順番で繰り返し、実行することで、前記式（1）を計算する楕円積和演算方法であって、
制御回路は、パラメータＰ１〜Ｐｎ、演算結果Ｔの初期値としてＴ＝０を記憶回路に格納し、ｎ組の整数ｍ1〜ｍnから、ｊ＝ｋ，ｋ−1，ｋ−2，１…，０の順番に、順次、２ビットずつシフトして、（Ｍ１ 2 ｊ＋ 1，Ｍ２ 2 ｊ＋ 1，…，Ｍｎ 2 ｊ＋ 1）を選択し、該選択した（Ｍ１ 2 ｊ＋ 1，Ｍ２ 2 ｊ＋ 1，…，Ｍｎ 2 ｊ＋ 1）の値に応じて、前記式（2），（3）で定まる前記式（4），（5）の演算パターンを演算回路に指示し、
演算回路は、前記制御回路からの指示にもとづき、記憶回路からＰ１〜Ｐｎ、Ｔを読み出して、前記指示された演算パターンの演算を実行し、演算結果のＴを記憶回路に戻す、
ことを特徴とする楕円積和演算計算方法。Let p be a prime field F p ,
E p : y 2 ≡x 3 + αx + β (mod p), α, β∈F p , 4α 3 + 27β 2 ≠ 0
N different points (n ≧ 3) on the elliptic curve Ep defined on the prime field Fp defined as follows: P 1 to P n and n sets of integers m i (i = 1, 2,.・ ・, N)
n sets of integers m i
Figure 0004341889
 By defining the maximum k such that m i 2 k + 1 + m i 2 k + m i 2 k− 1 ≠ 0 for any i (1 ≦ i ≦ n),
Elliptical product-sum calculation
Figure 0004341889
 In a method of automatically calculating by a computer including a control circuit, a storage circuit and an arithmetic circuit,
M i 2 j + 1 = 4 m i 2 j + 1 +2 m i 2 j + m i 2 j− 1 (j ≧ 0) and u i and v i are
Figure 0004341889
Figure 0004341889
 Defined as
At j = k
Figure 0004341889
 Continue,
Figure 0004341889
 , And the operations of the equations (4) and (5) are repeated in the order of j = k−1, k−2,..., 0, thereby executing the elliptic product for calculating the equation (1). A sum operation method,
The control circuit stores parameters P 1 to P n and T = 0 as the initial value of the operation result T in the memory circuit, and j = k, k−1, k−2 from n sets of integers m 1 to mn. , 1..., 0, sequentially shifting by 2 bits, selecting (M 1 2 j + 1 , M 2 2 j + 1 ,..., M n 2 j + 1 ) and selecting the selected (M 1 2 j + 1, M 2 2 j + 1, ..., depending on the value of M n 2 j + 1), the formula (2), (formula determined by 3) (4), the arithmetic circuit operation pattern (5) Direct,
The arithmetic circuit reads P 1 to P n , T from the storage circuit based on an instruction from the control circuit, executes the operation of the instructed operation pattern, and returns the operation result T to the storage circuit.
An elliptic product-sum operation calculation method characterized by the above. ｐを素数とする素体Ｆpとし、
Ｅｐ：ｙ２≡ｘ３＋αｘ＋β（mod ｐ），α，β∈Ｆｐ，４α３＋２７β２≠０
で定義される素体Ｆｐ上の楕円曲線Ｅｐ上の相異なる３点をＰ，Ｑ，Ｒとし、互いに独立な３組の整数ａ，ｂ，ｃを、
Figure 0004341889
のように２進数表現し（ｉ≧０の場合、ａｉ，ｂｉ，ｃｉ∈｛０，１｝，ａ−１＝ｂ−１＝ｃ−１＝０）、
ａ2 ｋ＋ 1＋ａ2 ｋ＋ａ2 ｋ -1≠０，ｂ2 ｋ＋ 1＋ｂ2 ｋ＋ｂ2 ｋ -1≠０，
ｃ2 ｋ＋ 1＋ｃ2 ｋ＋ｃ2 ｋ -1≠０
となるような最大のｋを定義して、楕円積和演算計算
Ｔ＝ａＰ＋ｂＱ＋ｃＲ
を、制御回路、記憶回路及び演算回路を含むコンピュータにより自動的に計算する方法であって、
制御回路は、パラメータＰ，Ｑ，Ｒ、及び、演算結果Ｔの初期値としてＴ＝０を記憶回路に格納し、３組の整数ａ，ｂ，ｃから、ｉ＝ｋ，ｋ−１，…，２，１，０の順番に、順次、２ビットずつシフトして、
Ａ2 ｉ＋ 1＝４ａ2 ｉ＋ 1＋２ａ2 ｉ＋ａ2 ｉ− 1、Ｂ2 ｉ＋ 1＝４ｂ2 ｉ＋ 1＋２ｂ2 ｉ＋ｂ2 ｉ− 1、Ｃ2 ｉ＋ 1＝４ｃ2 ｉ＋ 1＋２ｃ2 ｉ＋ｃ2 ｉ− 1を選択し、前記選択したＡ2 ｉ＋ 1、Ｂ2 ｉ＋ 1、Ｃ2 ｉ＋ 1の値が、
(１) （０，７）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(２) （０，７）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(３) （０，７）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(４) （０，７）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(５) （０，７）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(６) （０，７）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(７) （０，７）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(８) （０，７）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(９) （０，７）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(10) （０，７）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(11) （０，７）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(12) （０，７）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(13) （０，７）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(14) （０，７）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(15) （０，７）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(16) （０，７）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(17) （０，７）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(18) （０，７）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(19) （０，７）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(20) （０，７）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(21) （０，７）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(22) （０，７）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(23) （０，７）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(24) （０，７）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(25) （０，７）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(26) （１，２）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(27) （１，２）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(28) （１，２）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(29) （１，２）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(30) （１，２）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(31) （１，２）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(32) （１，２）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(33) （１，２）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(34) （１，２）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(35) （１，２）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(36) （１，２）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(37) （１，２）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(38) （１，２）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(39) （１，２）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(40) （１，２）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(41) （１，２）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(42) （１，２）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(43) （１，２）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(44) （１，２）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(45) （１，２）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ-Ｒ）の順に実行される演算、
(46) （１，２）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(47) （１，２）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(48) （１，２）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(49) （１，２）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(50) （１，２）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(51) （３）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(52) （３）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(53) （３）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(54) （３）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(55) （３）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(56) （３）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(57) （３）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(58) （３）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(59) （３）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(60) （３）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(61) （３）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(62) （３）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(63) （３）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(64) （３）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(65) （３）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(66) （３）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(67) （３）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(68) （３）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(69) （３）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(70) （３）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(71) （３）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(72) （３）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(73) （３）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(74) （３）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(75) （３）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(76) （４）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(77) （４）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(78) （４）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(79) （４）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(80) （４）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(81) （４）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(82) （４）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(83) （４）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(84) （４）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(85) （４）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(86) （４）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(87) （４）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(88) （４）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(89) （４）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(90) （４）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(91) （４）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(92) （４）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(93) （４）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(94) （４）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(95) （４）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(96) （４）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(97) （４）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(98) （４）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(99) （４）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(100) （４）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(101) （５，６）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(102) （５，６）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(103) （５，６）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(104) （５，６）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(105) （５，６）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(106) （５，６）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(107) （５，６）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(108) （５，６）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(109) （５，６）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(110) （５，６）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(111) （５，６）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(112) （５，６）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(113) （５，６）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(114) （５，６）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(115) （５，６）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(116) （５，６）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(117) （５，６）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(118) （５，６）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(119) （５，６）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(120) （５，６）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(121) （５，６）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(122) （５，６）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(123) （５，６）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(124) （５，６）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ-Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(125) （５，６）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
のいずれかの演算を演算回路に指示し、
演算回路は、前記制御回路からの指示にもとづき、記憶回路からＰ，Ｑ，Ｒ，Ｔを入力して、前記指示された（1）〜（125）のいずれかの演算を実行し、演算結果のＴを記憶回路に戻す、
ことを特徴とする楕円積和演算計算方法。Let p be a prime field F p ,
E p : y 2 ≡x 3 + αx + β (mod p), α, β∈F p , 4α 3 + 27β 2 ≠ 0
P, Q, and R are three different points on the elliptic curve E p on the elementary field F p defined by, and three independent integers a, b, c are
Figure 0004341889
 (When i ≧ 0, a i , b i , c i ∈ {0, 1}, a −1 = b −1 = c −1 = 0)
a 2 k + 1 + a 2 k + a 2 k -1 ≠ 0, b 2 k + 1 + b 2 k + b 2 k -1 ≠ 0,
c 2 k + 1 + c 2 k + c 2 k −1 ≠ 0
The maximum k is defined such that the elliptic product sum calculation T = aP + bQ + cR
Is automatically calculated by a computer including a control circuit, a storage circuit, and an arithmetic circuit,
The control circuit stores T = 0 as an initial value of the parameters P, Q, R and the calculation result T in the memory circuit, and from three sets of integers a, b, c, i = k, k−1,. , 2, 1, 0 sequentially, shifting by 2 bits,
A 2 i + 1 = 4a 2 i + 1 + 2a 2 i + a 2 i- 1, B 2 i + 1 = 4b 2 i + 1 + 2b 2 i + b 2 i- 1, C 2 i + 1 = 4c 2 i + 1 + 2c 2 i + c 2 i- 1 is selected, and the selected values of A 2 i + 1 , B 2 i + 1 , and C 2 i + 1 are
(1) In the case of (0,7), (0,7), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T,
(2) In the case of (0, 7), (0, 7), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + R,
(3) In the case of (0, 7), (0, 7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T,
(4) In the case of (0,7), (0,7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T,
(5) In the case of (0, 7), (0, 7), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T and T ← 2T-R.
(6) In the case of (0,7), (1,2), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + Q,
(7) In the case of (0,7), (1,2), (1,2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (Q + R),
(8) In the case of (0, 7), (1, 2), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + Q,
(9) In the case of (0, 7), (1, 2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + Q,
(10) In the case of (0,7), (1,2), (5,6), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (Q−R),
(11) In the case of (0,7), (3), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T,
(12) In the case of (0, 7), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + R,
(13) In the case of (0, 7), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q + R), T ← 2T,
(14) In the case of (0, 7), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q−R), T ← 2T,
(15) In the case of (0, 7), (3), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T−R,
(16) In the case of (0,7), (4), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T,
(17) In the case of (0, 7), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + R,
(18) In the case of (0, 7), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q−R) and T ← 2T,
(19) In the case of (0, 7), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q + R), T ← 2T,
(20) In the case of (0, 7), (4), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T-R,
(21) In the case of (0,7), (5,6), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T-Q,
(22) In the case of (0, 7), (5, 6), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (Q−R),
(23) In the case of (0,7), (5,6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R and T ← 2TQ,
(24) In the case of (0, 7), (5, 6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2TQ,
(25) In the case of (0, 7), (5, 6), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (Q + R),
(26) In the case of (1,2), (0,7), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + P,
(27) In the case of (1,2), (0,7), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + R),
(28) In the case of (1,2), (0,7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + P,
(29) In the case of (1,2), (0,7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + P,
(30) In the case of (1,2), (0,7), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (PR),
(31) In the case of (1,2), (1,2), (0,7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + Q),
(32) In the case of (1,2), (1,2), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + Q + R),
(33) In the case of (1,2), (1,2), (3), operations executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + (P + Q),
(34) In the case of (1,2), (1,2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + (P + Q),
(35) In the case of (1,2), (1,2), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + Q−R),
(36) In the case of (1,2), (3), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + P,
(37) In the case of (1,2), (3), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + (P + R),
(38) In the case of (1,2), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q + R), T ← 2T + P,
(39) In the case of (1, 2), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q−R), T ← 2T + P,
(40) In the case of (1, 2), (3), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + (PR),
(41) In the case of (1, 2), (4), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + P,
(42) In the case of (1,2), (4), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + (P + R),
(43) In the case of (1,2), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q−R) and T ← 2T + P,
(44) In the case of (1,2), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q + R), T ← 2T + P,
(45) In the case of (1, 2), (4), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + (PR),
(46) In the case of (1,2), (5,6), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P−Q),
(47) In the case of (1,2), (5,6), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P−Q + R),
(48) In the case of (1,2), (5,6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + (P−Q),
(49) In the case of (1,2), (5,6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + (P−Q),
(50) In the case of (1,2), (5,6), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (PQR),
(51) In the case of (3), (0, 7), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T,
(52) In the case of (3), (0, 7), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + P and T ← 2T + R;
(53) In the case of (3), (0, 7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + R), T ← 2T,
(54) In the case of (3), (0, 7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PR), T ← 2T,
(55) In the case of (3), (0, 7), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T−R,
(56) In the case of (3), (1,2), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T + Q,
(57) In the case of (3), (1,2), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T + (Q + R),
(58) In the case of (3), (1,2), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + R), T ← 2T + Q,
(59) In the case of (3), (1,2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PR), T ← 2T + Q,
(60) In the case of (3), (1,2), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T + (Q−R),
(61) In the case of (3), (3), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q), T ← 2T,
(62) In the case of (3), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q), T ← 2T + R,
(63) In the case of (3), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q + R), T ← 2T,
(64) In the case of (3), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q−R), T ← 2T,
(65) In the case of (3), (3), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q), T ← 2T−R,
(66) In the case of (3), (4), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q), T ← 2T,
(67) In the case of (3), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q), T ← 2T + R,
(68) In the case of (3), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q + R), T ← 2T,
(69) In the case of (3), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PQR), T ← 2T,
(70) In the case of (3), (4), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q) and T ← 2T−R,
(71) In the case of (3), (5, 6), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T-Q,
(72) In the case of (3), (5, 6), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T− (Q−R),
(73) In the case of (3), (5, 6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + R), T ← 2T−Q,
(74) In the case of (3), (5, 6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PR), T ← 2T-Q,
(75) In the case of (3), (5, 6), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T− (Q + R),
(76) In the case of (4), (0, 7), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T,
(77) In the case of (4), (0, 7), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T + R,
(78) In the case of (4), (0, 7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PR) and T ← 2T,
(79) In the case of (4), (0, 7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + R), T ← 2T,
(80) In the case of (4), (0, 7), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T−R,
(81) In the case of (4), (1,2), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T−P and T ← 2T + Q,
(82) In the case of (4), (1,2), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T + (Q + R),
(83) In the case of (4), (1,2), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PR), T ← 2T + Q,
(84) In the case of (4), (1,2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + R), T ← 2T + Q,
(85) In the case of (4), (1,2), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T + (Q−R),
(86) In the case of (4), (3), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T− (PQ) and T ← 2T,
(87) In the case of (4), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T− (P−Q) and T ← 2T + R;
(88) In the case of (4), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PQR) and T ← 2T,
(89) In the case of (4), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P−Q + R) and T ← 2T,
(90) In the case of (4), (3), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T− (P−Q) and T ← 2T−R;
(91) In the case of (4), (4), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q), T ← 2T,
(92) In the case of (4), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q), T ← 2T + R,
(93) In the case of (4), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q−R), T ← 2T,
(94) In the case of (4), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q + R), T ← 2T,
(95) In the case of (4), (4), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q) and T ← 2T−R;
(96) In the case of (4), (5, 6), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T-P, T ← 2T-Q,
(97) In the case of (4), (5, 6), (1, 2), operations executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T− (Q−R),
(98) In the case of (4), (5, 6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PR) and T ← 2TQ,
(99) In the case of (4), (5, 6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + R) and T ← 2T−Q,
(100) In the case of (4), (5, 6), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T− (Q + R),
(101) In the case of (5, 6), (0, 7), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T-P,
(102) In the case of (5, 6), (0, 7), (1, 2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PR),
(103) In the case of (5, 6), (0, 7), (3), operations executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T−P,
(104) In the case of (5, 6), (0, 7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T−P,
(105) In the case of (5, 6), (0, 7), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + R),
(106) In the case of (5, 6), (1, 2), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PQ),
(107) In the case of (5, 6), (1, 2), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PQR),
(108) In the case of (5, 6), (1, 2), (3), operations executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T− (P−Q),
(109) In the case of (5, 6), (1, 2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T− (PQ),
(110) In the case of (5, 6), (1, 2), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PQ + R),
(111) In the case of (5, 6), (3), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T−P,
(112) In the case of (5, 6), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T− (PR),
(113) In the case of (5, 6), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q + R), T ← 2T−P,
(114) In the case of (5, 6), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q−R), T ← 2T−P,
(115) In the case of (5, 6), (3), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T− (P + R),
(116) In the case of (5, 6), (4), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T-P,
(117) In the case of (5, 6), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T- (PR),
(118) In the case of (5, 6), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q−R) and T ← 2T−P,
(119) In the case of (5, 6), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q + R) and T ← 2T−P,
(120) In the case of (5, 6), (4), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T− (P + R),
(121) In the case of (5, 6), (5, 6), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + R),
(122) In the case of (5, 6), (5, 6), (1, 2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + Q−R),
(123) In the case of (5, 6), (5, 6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T− (P + Q),
(124) In the case of (5, 6), (5, 6), (4), operations executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T− (P + Q),
(125) In the case of (5, 6), (5, 6), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + Q + R),
Instruct the arithmetic circuit to perform any of the operations
The arithmetic circuit inputs P, Q, R, and T from the storage circuit based on the instruction from the control circuit, executes any one of the instructed (1) to (125), and obtains an operation result. Return T to the memory circuit,
An elliptic product-sum operation calculation method characterized by the above. ｐを素数とする素体Ｆpとし、
Ｅｐ：ｙ２≡ｘ３＋αｘ＋β（mod ｐ），α，β∈Ｆｐ，４α３＋２７β２≠０
で定義される素体Ｆｐ上の楕円曲線Ｅｐ上の相異なる３点をＰ，Ｑ，Ｒとし、互いに独立な３組の整数ａ，ｂ，ｃを、
Figure 0004341889
のように２進数表現し（ｉ≧０の場合、ａｉ，ｂｉ，ｃｉ∈｛０，１｝，ａ−１＝ｂ−１＝ｃ−１＝０）、
ａ2 ｋ＋ 1＋ａ2 ｋ＋ａ2 ｋ -1≠０，ｂ2 ｋ＋ 1＋ｂ2 ｋ＋ｂ2 ｋ -1≠０，
ｃ2 ｋ＋ 1＋ｃ2 ｋ＋ｃ2 ｋ -1≠０
となるような最大のｋを定義して、楕円積和演算計算
Ｔ＝ａＰ＋ｂＱ＋ｃＲ
を計算する楕円積和演算装置において、
パラメータＰ，Ｑ，Ｒ、演算結果Ｔを格納する記憶手段と、
３組の整数ａ，ｂ，ｃを格納する記憶手段と、
Ａ2 ｉ＋ 1＝４ａ2 ｉ＋ 1＋２ａ2 ｉ＋ａ2 ｉ− 1、Ｂ2 ｉ＋ 1＝４ｂ2 ｉ＋ 1＋２ｂ2 ｉ＋ｂ2 ｉ− 1、Ｃ2 ｉ＋ 1＝４ｃ2 ｉ＋ 1＋２ｃ2 ｉ＋ｃ2 ｉ− 1を選択し、前記選択したＡ2 ｉ＋ 1、Ｂ2 ｉ＋ 1、Ｃ2 ｉ＋ 1の値が、
(１) （０，７）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(２) （０，７）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(３) （０，７）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(４) （０，７）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(５) （０，７）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(６) （０，７）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(７) （０，７）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(８) （０，７）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(９) （０，７）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(10) （０，７）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(11) （０，７）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(12) （０，７）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(13) （０，７）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(14) （０，７）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(15) （０，７）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(16) （０，７）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(17) （０，７）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(18) （０，７）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(19) （０，７）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(20) （０，７）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(21) （０，７）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(22) （０，７）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(23) （０，７）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(24) （０，７）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(25) （０，７）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(26) （１，２）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(27) （１，２）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(28) （１，２）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(29) （１，２）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(30) （１，２）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(31) （１，２）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(32) （１，２）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(33) （１，２）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(34) （１，２）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(35) （１，２）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(36) （１，２）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(37) （１，２）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(38) （１，２）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(39) （１，２）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(40) （１，２）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(41) （１，２）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(42) （１，２）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(43) （１，２）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(44) （１，２）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(45) （１，２）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ-Ｒ）の順に実行される演算、
(46) （１，２）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(47) （１，２）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(48) （１，２）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(49) （１，２）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(50) （１，２）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(51) （３）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(52) （３）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(53) （３）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(54) （３）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(55) （３）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(56) （３）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(57) （３）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(58) （３）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(59) （３）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(60) （３）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(61) （３）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(62) （３）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(63) （３）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(64) （３）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(65) （３）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(66) （３）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(67) （３）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(68) （３）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(69) （３）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(70) （３）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(71) （３）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(72) （３）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(73) （３）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(74) （３）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(75) （３）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(76) （４）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(77) （４）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(78) （４）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(79) （４）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(80) （４）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(81) （４）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(82) （４）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(83) （４）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(84) （４）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(85) （４）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(86) （４）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(87) （４）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(88) （４）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(89) （４）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(90) （４）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(91) （４）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(92) （４）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(93) （４）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(94) （４）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(95) （４）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(96) （４）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(97) （４）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(98) （４）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(99) （４）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(100) （４）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(101) （５，６）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(102) （５，６）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(103) （５，６）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(104) （５，６）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(105) （５，６）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(106) （５，６）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(107) （５，６）、（１，２）、（１，２ ）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(108) （５，６）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(109) （５，６）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(110) （５，６）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(111) （５，６）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(112) （５，６）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(113) （５，６）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(114) （５，６）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(115) （５，６）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(116) （５，６）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(117) （５，６）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(118) （５，６）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(119) （５，６）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(120) （５，６）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(121) （５，６）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(122) （５，６）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(123) （５，６）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(124) （５，６）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ-Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(125) （５，６）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
を定義した手段と、
最初、Ｔ＝０を記憶手段に初期設定し、以後、前記３組の整数ａ，ｂ，ｃから、ｉ＝ｋ，ｋ−１，…，２，１，０の順番に、順次、２ビットずつシフトして、Ａ2 ｉ＋ 1、Ｂ2 ｉ＋ 1、Ｃ2 ｉ＋ 1を選択し、その値に応じて、上記定義された(1)〜(125)の演算の該当する演算を演算手段に指示する制御手段と、
前記制御手段からの指示にもとづき、記憶手段からＰ，Ｑ，Ｒ，Ｔを入力して、前記指示された演算を実行し、演算結果のＴを記憶手段に戻す演算手段と、
を有することを特徴とする楕円積和演算計算装置。Let p be a prime field F p ,
E p : y 2 ≡x 3 + αx + β (mod p), α, β∈F p , 4α 3 + 27β 2 ≠ 0
P, Q, and R are three different points on the elliptic curve E p on the elementary field F p defined by, and three independent integers a, b, c are
Figure 0004341889
 (When i ≧ 0, a i , b i , c i ∈ {0, 1}, a −1 = b −1 = c −1 = 0)
a 2 k + 1 + a 2 k + a 2 k -1 ≠ 0, b 2 k + 1 + b 2 k + b 2 k -1 ≠ 0,
c 2 k + 1 + c 2 k + c 2 k −1 ≠ 0
The maximum k is defined such that the elliptic product sum calculation T = aP + bQ + cR
In the elliptic product-sum operation unit for calculating
Storage means for storing parameters P, Q, R, and operation result T;
Storage means for storing three sets of integers a, b, c;
A 2 i + 1 = 4a 2 i + 1 + 2a 2 i + a 2 i- 1, B 2 i + 1 = 4b 2 i + 1 + 2b 2 i + b 2 i- 1, C 2 i + 1 = 4c 2 i + 1 + 2c 2 i + c 2 i- 1 is selected, and the selected values of A 2 i + 1 , B 2 i + 1 , and C 2 i + 1 are
(1) In the case of (0,7), (0,7), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T,
(2) In the case of (0, 7), (0, 7), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + R,
(3) In the case of (0, 7), (0, 7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T,
(4) In the case of (0,7), (0,7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T,
(5) In the case of (0, 7), (0, 7), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T and T ← 2T-R.
(6) In the case of (0,7), (1,2), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + Q,
(7) In the case of (0,7), (1,2), (1,2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (Q + R),
(8) In the case of (0, 7), (1, 2), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + Q,
(9) In the case of (0, 7), (1, 2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + Q,
(10) In the case of (0,7), (1,2), (5,6), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (Q−R),
(11) In the case of (0,7), (3), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T,
(12) In the case of (0, 7), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + R,
(13) In the case of (0, 7), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q + R), T ← 2T,
(14) In the case of (0, 7), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q−R), T ← 2T,
(15) In the case of (0, 7), (3), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T−R,
(16) In the case of (0,7), (4), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T,
(17) In the case of (0, 7), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + R,
(18) In the case of (0, 7), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q−R) and T ← 2T,
(19) In the case of (0, 7), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q + R), T ← 2T,
(20) In the case of (0, 7), (4), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T-R,
(21) In the case of (0,7), (5,6), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T-Q,
(22) In the case of (0, 7), (5, 6), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (Q−R),
(23) In the case of (0,7), (5,6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R and T ← 2TQ,
(24) In the case of (0, 7), (5, 6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2TQ,
(25) In the case of (0, 7), (5, 6), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (Q + R),
(26) In the case of (1,2), (0,7), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + P,
(27) In the case of (1,2), (0,7), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + R),
(28) In the case of (1,2), (0,7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + P,
(29) In the case of (1,2), (0,7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + P,
(30) In the case of (1,2), (0,7), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (PR),
(31) In the case of (1,2), (1,2), (0,7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + Q),
(32) In the case of (1,2), (1,2), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + Q + R),
(33) In the case of (1,2), (1,2), (3), operations executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + (P + Q),
(34) In the case of (1,2), (1,2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + (P + Q),
(35) In the case of (1,2), (1,2), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + Q−R),
(36) In the case of (1,2), (3), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + P,
(37) In the case of (1,2), (3), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + (P + R),
(38) In the case of (1,2), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q + R), T ← 2T + P,
(39) In the case of (1, 2), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q−R), T ← 2T + P,
(40) In the case of (1, 2), (3), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + (PR),
(41) In the case of (1, 2), (4), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + P,
(42) In the case of (1,2), (4), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + (P + R),
(43) In the case of (1,2), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q−R) and T ← 2T + P,
(44) In the case of (1,2), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q + R), T ← 2T + P,
(45) In the case of (1, 2), (4), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + (PR),
(46) In the case of (1,2), (5,6), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P−Q),
(47) In the case of (1,2), (5,6), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P−Q + R),
(48) In the case of (1,2), (5,6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + (P−Q),
(49) In the case of (1,2), (5,6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + (P−Q),
(50) In the case of (1,2), (5,6), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (PQR),
(51) In the case of (3), (0, 7), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T,
(52) In the case of (3), (0, 7), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + P and T ← 2T + R;
(53) In the case of (3), (0, 7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + R), T ← 2T,
(54) In the case of (3), (0, 7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PR), T ← 2T,
(55) In the case of (3), (0, 7), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T−R,
(56) In the case of (3), (1,2), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T + Q,
(57) In the case of (3), (1,2), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T + (Q + R),
(58) In the case of (3), (1,2), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + R), T ← 2T + Q,
(59) In the case of (3), (1,2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PR), T ← 2T + Q,
(60) In the case of (3), (1,2), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T + (Q−R),
(61) In the case of (3), (3), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q), T ← 2T,
(62) In the case of (3), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q), T ← 2T + R,
(63) In the case of (3), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q + R), T ← 2T,
(64) In the case of (3), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q−R), T ← 2T,
(65) In the case of (3), (3), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q), T ← 2T−R,
(66) In the case of (3), (4), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q), T ← 2T,
(67) In the case of (3), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q), T ← 2T + R,
(68) In the case of (3), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q + R), T ← 2T,
(69) In the case of (3), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PQR), T ← 2T,
(70) In the case of (3), (4), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q) and T ← 2T−R,
(71) In the case of (3), (5, 6), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T-Q,
(72) In the case of (3), (5, 6), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T− (Q−R),
(73) In the case of (3), (5, 6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + R), T ← 2T−Q,
(74) In the case of (3), (5, 6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PR), T ← 2T-Q,
(75) In the case of (3), (5, 6), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T− (Q + R),
(76) In the case of (4), (0, 7), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T,
(77) In the case of (4), (0, 7), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T + R,
(78) In the case of (4), (0, 7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PR) and T ← 2T,
(79) In the case of (4), (0, 7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + R), T ← 2T,
(80) In the case of (4), (0, 7), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T−R,
(81) In the case of (4), (1,2), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T−P and T ← 2T + Q,
(82) In the case of (4), (1,2), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T + (Q + R),
(83) In the case of (4), (1,2), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PR), T ← 2T + Q,
(84) In the case of (4), (1,2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + R), T ← 2T + Q,
(85) In the case of (4), (1,2), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T + (Q−R),
(86) In the case of (4), (3), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T− (PQ) and T ← 2T,
(87) In the case of (4), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T− (P−Q) and T ← 2T + R;
(88) In the case of (4), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PQR) and T ← 2T,
(89) In the case of (4), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P−Q + R) and T ← 2T,
(90) In the case of (4), (3), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T− (P−Q) and T ← 2T−R;
(91) In the case of (4), (4), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q), T ← 2T,
(92) In the case of (4), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q), T ← 2T + R,
(93) In the case of (4), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q−R), T ← 2T,
(94) In the case of (4), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q + R), T ← 2T,
(95) In the case of (4), (4), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q) and T ← 2T−R;
(96) In the case of (4), (5, 6), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T-P, T ← 2T-Q,
(97) In the case of (4), (5, 6), (1, 2), operations executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T− (Q−R),
(98) In the case of (4), (5, 6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PR) and T ← 2TQ,
(99) In the case of (4), (5, 6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + R) and T ← 2T−Q,
(100) In the case of (4), (5, 6), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T− (Q + R),
(101) In the case of (5, 6), (0, 7), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T-P,
(102) In the case of (5, 6), (0, 7), (1, 2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PR),
(103) In the case of (5, 6), (0, 7), (3), operations executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T−P,
(104) In the case of (5, 6), (0, 7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T−P,
(105) In the case of (5, 6), (0, 7), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + R),
(106) In the case of (5, 6), (1, 2), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PQ),
(107) In the case of (5, 6), (1, 2), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PQR),
(108) In the case of (5, 6), (1, 2), (3), operations executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T− (P−Q),
(109) In the case of (5, 6), (1, 2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T− (PQ),
(110) In the case of (5, 6), (1, 2), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PQ + R),
(111) In the case of (5, 6), (3), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T−P,
(112) In the case of (5, 6), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T− (PR),
(113) In the case of (5, 6), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q + R), T ← 2T−P,
(114) In the case of (5, 6), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q−R), T ← 2T−P,
(115) In the case of (5, 6), (3), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T− (P + R),
(116) In the case of (5, 6), (4), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T-P,
(117) In the case of (5, 6), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T- (PR),
(118) In the case of (5, 6), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q−R) and T ← 2T−P,
(119) In the case of (5, 6), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q + R) and T ← 2T−P,
(120) In the case of (5, 6), (4), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T− (P + R),
(121) In the case of (5, 6), (5, 6), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + R),
(122) In the case of (5, 6), (5, 6), (1, 2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + Q−R),
(123) In the case of (5, 6), (5, 6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T− (P + Q),
(124) In the case of (5, 6), (5, 6), (4), operations executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T− (P + Q),
(125) In the case of (5, 6), (5, 6), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + Q + R),
Means to define
Initially, T = 0 is initially set in the storage means, and thereafter, from the three sets of integers a, b, c, i = k, k−1,... Shift A by 1 and select A 2 i + 1 , B 2 i + 1 , C 2 i + 1 , and depending on the value, the corresponding calculation of the above-defined calculations (1) to (125) is used as the calculation means. Control means to direct;
Based on instructions from the control means, P, Q, R, T are inputted from the storage means, the designated computation is executed, and T of the computation result is returned to the storage means;
An elliptic product-sum calculation and calculation device characterized by comprising: ｐを素数とする素体Ｆpとし、
Ｅｐ：ｙ２≡ｘ３＋αｘ＋β（mod ｐ），α，β∈Ｆｐ，４α３＋２７β２≠０
で定義される素体Ｆｐ上の楕円曲線Ｅｐ上の相異なる３点をＰ，Ｑ，Ｒとし、互いに独立な３組の整数ａ，ｂ，ｃを、
Figure 0004341889
のように２進数表現し（ｉ≧０の場合、ａｉ，ｂｉ，ｃｉ∈｛０，１｝，ａ−１＝ｂ−１＝ｃ−１＝０）、
ａ2 ｋ＋ 1＋ａ2 ｋ＋ａ2 ｋ -1≠０，ｂ2 ｋ＋ 1＋ｂ2 ｋ＋ｂ2 ｋ -1≠０，
ｃ2 ｋ＋ 1＋ｃ2 ｋ＋ｃ2 ｋ -1≠０
となるような最大のｋを定義して、楕円積和演算計算
Ｔ＝ａＰ＋ｂＱ＋ｃＲ
を、制御回路、記憶回路及び演算回路を含むコンピュータにより自動的に計算するためのプログラムであって、
制御回路が、最初、パラメータＰ，Ｑ，Ｒ、及び、演算結果Ｔの初期値としてＴ＝０を記憶回路に格納し、以後、３組の整数ａ，ｂ，ｃから、ｉ＝ｋ，ｋ−１，…，２，１，０の順番に、順次、２ビットずつシフトして、
Ａ2 ｉ＋ 1＝４ａ2 ｉ＋ 1＋２ａ2 ｉ＋ａ2 ｉ− 1、Ｂ2 ｉ＋ 1＝４ｂ2 ｉ＋ 1＋２ｂ2 ｉ＋ｂ2 ｉ− 1、Ｃ2 ｉ＋ 1＝４ｃ2 ｉ＋ 1＋２ｃ2 ｉ＋ｃ2 ｉ− 1を選択し、前記選択したＡ2 ｉ＋ 1、Ｂ2 ｉ＋ 1、Ｃ2 ｉ＋ 1の値が、
(１) （０，７）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(２) （０，７）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(３) （０，７）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(４) （０，７）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(５) （０，７）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(６) （０，７）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(７) （０，７）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(８) （０，７）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(９) （０，７）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(10) （０，７）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(11) （０，７）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(12) （０，７）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(13) （０，７）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(14) （０，７）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(15) （０，７）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(16) （０，７）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(17) （０，７）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(18) （０，７）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(19) （０，７）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(20) （０，７）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(21) （０，７）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(22) （０，７）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(23) （０，７）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(24) （０，７）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(25) （０，７）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(26) （１，２）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(27) （１，２）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(28) （１，２）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(29) （１，２）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(30) （１，２）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(31) （１，２）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(32) （１，２）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(33) （１，２）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(34) （１，２）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(35) （１，２）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(36) （１，２）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(37) （１，２）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(38) （１，２）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(39) （１，２）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(40) （１，２）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(41) （１，２）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(42) （１，２）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(43) （１，２）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(44) （１，２）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｐの順に実行される演算、
(45) （１，２）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ-Ｒ）の順に実行される演算、
(46) （１，２）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(47) （１，２）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(48) （１，２）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(49) （１，２）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(50) （１，２）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(51) （３）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(52) （３）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(53) （３）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(54) （３）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(55) （３）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(56) （３）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(57) （３）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(58) （３）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(59) （３）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(60) （３）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(61) （３）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(62) （３）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(63) （３）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(64) （３）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(65) （３）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(66) （３）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(67) （３）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(68) （３）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(69) （３）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(70) （３）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(71) （３）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(72) （３）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(73) （３）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(74) （３）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(75) （３）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(76) （４）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(77) （４）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(78) （４）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(79) （４）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(80) （４）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(81) （４）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(82) （４）、（１，２）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(83) （４）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(84) （４）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｑの順に実行される演算、
(85) （４）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(86) （４）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(87) （４）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(88) （４）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(89) （４）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(90) （４）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(91) （４）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(92) （４）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ＋Ｒの順に実行される演算、
(93) （４）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(94) （４）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔの順に実行される演算、
(95) （４）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）、Ｔ←２Ｔ−Ｒの順に実行される演算、
(96) （４）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(97) （４）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(98) （４）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(99) （４）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｑの順に実行される演算、
(100) （４）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｐ、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(101) （５，６）、（０，７）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(102) （５，６）、（０，７）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(103) （５，６）、（０，７）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(104) （５，６）、（０，７）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(105) （５，６）、（０，７）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(106) （５，６）、（１，２）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(107) （５，６）、（１，２）、（１，２ ）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(108) （５，６）、（１，２）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(109) （５，６）、（１，２）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ）の順に実行される演算、
(110) （５，６）、（１，２）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(111) （５，６）、（３）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(112) （５，６）、（３）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(113) （５，６）、（３）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(114) （５，６）、（３）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ＋（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(115) （５，６）、（３）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(116) （５，６）、（４）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(117) （５，６）、（４）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ−Ｒ）の順に実行される演算、
(118) （５，６）、（４）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ−Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(119) （５，６）、（４）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ−（Ｑ＋Ｒ）、Ｔ←２Ｔ−Ｐの順に実行される演算、
(120) （５，６）、（４）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ−Ｑ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(121) （５，６）、（５，６）、（０，７）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｒ）の順に実行される演算、
(122) （５，６）、（５，６）、（１，２）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ−Ｒ）の順に実行される演算、
(123) （５，６）、（５，６）、（３）の場合、Ｔ←２Ｔ＋Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(124) （５，６）、（５，６）、（４）の場合、Ｔ←２Ｔ-Ｒ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ）の順に実行される演算、
(125) （５，６）、（５，６）、（５，６）の場合、Ｔ←２Ｔ、Ｔ←２Ｔ−（Ｐ＋Ｑ＋Ｒ）の順に実行される演算、
のいずれかの演算を演算回路に指示する処理プロセス、
演算回路が、前記制御回路からの指示にもとづき、順次、記憶回路からＰ，Ｑ，Ｒ，Ｔを入力して、前記指示された演算を実行し、演算結果のＴを記憶回路に戻す処理プロセス、
をコンピュータが実行するためのプログラム。Let p be a prime field F p ,
E p : y 2 ≡x 3 + αx + β (mod p), α, β∈F p , 4α 3 + 27β 2 ≠ 0
Three different points on the elliptic curve Ep on the prime field Fp defined by P, Q, and R, and three sets of integers a, b, and c independent of each other,
Figure 0004341889
 (When i ≧ 0, a i , b i , c i ∈ {0, 1}, a −1 = b −1 = c −1 = 0)
a 2 k + 1 + a 2 k + a 2 k -1 ≠ 0, b 2 k + 1 + b 2 k + b 2 k -1 ≠ 0,
c 2 k + 1 + c 2 k + c 2 k −1 ≠ 0
The maximum k is defined such that the elliptic product sum calculation T = aP + bQ + cR
Is a program for automatically calculating by a computer including a control circuit, a storage circuit and an arithmetic circuit,
The control circuit first stores T = 0 in the storage circuit as the initial value of the parameters P, Q, R and the calculation result T, and thereafter, from three sets of integers a, b, c, i = k, k In the order of -1, ..., 2,1,0, sequentially shift by 2 bits,
A 2 i + 1 = 4a 2 i + 1 + 2a 2 i + a 2 i- 1, B 2 i + 1 = 4b 2 i + 1 + 2b 2 i + b 2 i- 1, C 2 i + 1 = 4c 2 i + 1 + 2c 2 i + c 2 i- 1 is selected, and the selected values of A 2 i + 1 , B 2 i + 1 , and C 2 i + 1 are
(1) In the case of (0,7), (0,7), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T,
(2) In the case of (0, 7), (0, 7), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + R,
(3) In the case of (0, 7), (0, 7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T,
(4) In the case of (0,7), (0,7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T,
(5) In the case of (0, 7), (0, 7), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T and T ← 2T-R.
(6) In the case of (0,7), (1,2), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + Q,
(7) In the case of (0,7), (1,2), (1,2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (Q + R),
(8) In the case of (0, 7), (1, 2), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + Q,
(9) In the case of (0, 7), (1, 2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + Q,
(10) In the case of (0,7), (1,2), (5,6), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (Q−R),
(11) In the case of (0,7), (3), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T,
(12) In the case of (0, 7), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + R,
(13) In the case of (0, 7), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q + R), T ← 2T,
(14) In the case of (0, 7), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q−R), T ← 2T,
(15) In the case of (0, 7), (3), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T−R,
(16) In the case of (0,7), (4), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T,
(17) In the case of (0, 7), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + R,
(18) In the case of (0, 7), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q−R) and T ← 2T,
(19) In the case of (0, 7), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q + R), T ← 2T,
(20) In the case of (0, 7), (4), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T-R,
(21) In the case of (0,7), (5,6), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T-Q,
(22) In the case of (0, 7), (5, 6), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (Q−R),
(23) In the case of (0,7), (5,6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R and T ← 2TQ,
(24) In the case of (0, 7), (5, 6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2TQ,
(25) In the case of (0, 7), (5, 6), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (Q + R),
(26) In the case of (1,2), (0,7), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + P,
(27) In the case of (1,2), (0,7), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + R),
(28) In the case of (1,2), (0,7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + P,
(29) In the case of (1,2), (0,7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + P,
(30) In the case of (1,2), (0,7), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (PR),
(31) In the case of (1,2), (1,2), (0,7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + Q),
(32) In the case of (1,2), (1,2), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + Q + R),
(33) In the case of (1,2), (1,2), (3), operations executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + (P + Q),
(34) In the case of (1,2), (1,2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + (P + Q),
(35) In the case of (1,2), (1,2), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P + Q−R),
(36) In the case of (1,2), (3), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + P,
(37) In the case of (1,2), (3), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + (P + R),
(38) In the case of (1,2), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q + R), T ← 2T + P,
(39) In the case of (1, 2), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q−R), T ← 2T + P,
(40) In the case of (1, 2), (3), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T + (PR),
(41) In the case of (1, 2), (4), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + P,
(42) In the case of (1,2), (4), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + (P + R),
(43) In the case of (1,2), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q−R) and T ← 2T + P,
(44) In the case of (1,2), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q + R), T ← 2T + P,
(45) In the case of (1, 2), (4), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T + (PR),
(46) In the case of (1,2), (5,6), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P−Q),
(47) In the case of (1,2), (5,6), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (P−Q + R),
(48) In the case of (1,2), (5,6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T + (P−Q),
(49) In the case of (1,2), (5,6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T + (P−Q),
(50) In the case of (1,2), (5,6), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T + (PQR),
(51) In the case of (3), (0, 7), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T,
(52) In the case of (3), (0, 7), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + P and T ← 2T + R;
(53) In the case of (3), (0, 7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + R), T ← 2T,
(54) In the case of (3), (0, 7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PR), T ← 2T,
(55) In the case of (3), (0, 7), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T−R,
(56) In the case of (3), (1,2), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T + Q,
(57) In the case of (3), (1,2), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T + (Q + R),
(58) In the case of (3), (1,2), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + R), T ← 2T + Q,
(59) In the case of (3), (1,2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PR), T ← 2T + Q,
(60) In the case of (3), (1,2), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T + (Q−R),
(61) In the case of (3), (3), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q), T ← 2T,
(62) In the case of (3), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q), T ← 2T + R,
(63) In the case of (3), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q + R), T ← 2T,
(64) In the case of (3), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q−R), T ← 2T,
(65) In the case of (3), (3), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + Q), T ← 2T−R,
(66) In the case of (3), (4), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q), T ← 2T,
(67) In the case of (3), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q), T ← 2T + R,
(68) In the case of (3), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q + R), T ← 2T,
(69) In the case of (3), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PQR), T ← 2T,
(70) In the case of (3), (4), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + (P−Q) and T ← 2T−R,
(71) In the case of (3), (5, 6), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T-Q,
(72) In the case of (3), (5, 6), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T− (Q−R),
(73) In the case of (3), (5, 6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (P + R), T ← 2T−Q,
(74) In the case of (3), (5, 6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (PR), T ← 2T-Q,
(75) In the case of (3), (5, 6), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T + P, T ← 2T− (Q + R),
(76) In the case of (4), (0, 7), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T,
(77) In the case of (4), (0, 7), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T + R,
(78) In the case of (4), (0, 7), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PR) and T ← 2T,
(79) In the case of (4), (0, 7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + R), T ← 2T,
(80) In the case of (4), (0, 7), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T−R,
(81) In the case of (4), (1,2), (0,7), an operation executed in the order of T ← 2T−P and T ← 2T + Q,
(82) In the case of (4), (1,2), (1,2), operations executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T + (Q + R),
(83) In the case of (4), (1,2), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PR), T ← 2T + Q,
(84) In the case of (4), (1,2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + R), T ← 2T + Q,
(85) In the case of (4), (1,2), (5,6), operations executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T + (Q−R),
(86) In the case of (4), (3), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T− (PQ) and T ← 2T,
(87) In the case of (4), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T− (P−Q) and T ← 2T + R;
(88) In the case of (4), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PQR) and T ← 2T,
(89) In the case of (4), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P−Q + R) and T ← 2T,
(90) In the case of (4), (3), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T− (P−Q) and T ← 2T−R;
(91) In the case of (4), (4), (0, 7), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q), T ← 2T,
(92) In the case of (4), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q), T ← 2T + R,
(93) In the case of (4), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q−R), T ← 2T,
(94) In the case of (4), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q + R), T ← 2T,
(95) In the case of (4), (4), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + Q) and T ← 2T−R;
(96) In the case of (4), (5, 6), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T-P, T ← 2T-Q,
(97) In the case of (4), (5, 6), (1, 2), operations executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T− (Q−R),
(98) In the case of (4), (5, 6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (PR) and T ← 2TQ,
(99) In the case of (4), (5, 6), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (P + R) and T ← 2T−Q,
(100) In the case of (4), (5, 6), (5, 6), an operation executed in the order of T ← 2T−P, T ← 2T− (Q + R),
(101) In the case of (5, 6), (0, 7), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T-P,
(102) In the case of (5, 6), (0, 7), (1, 2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PR),
(103) In the case of (5, 6), (0, 7), (3), operations executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T−P,
(104) In the case of (5, 6), (0, 7), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T−P,
(105) In the case of (5, 6), (0, 7), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + R),
(106) In the case of (5, 6), (1, 2), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PQ),
(107) In the case of (5, 6), (1, 2), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PQR),
(108) In the case of (5, 6), (1, 2), (3), operations executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T− (P−Q),
(109) In the case of (5, 6), (1, 2), (4), an operation executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T− (PQ),
(110) In the case of (5, 6), (1, 2), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (PQ + R),
(111) In the case of (5, 6), (3), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T−P,
(112) In the case of (5, 6), (3), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T− (PR),
(113) In the case of (5, 6), (3), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q + R), T ← 2T−P,
(114) In the case of (5, 6), (3), (4), an operation executed in the order of T ← 2T + (Q−R), T ← 2T−P,
(115) In the case of (5, 6), (3), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T + Q, T ← 2T− (P + R),
(116) In the case of (5, 6), (4), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T-P,
(117) In the case of (5, 6), (4), (1, 2), an operation executed in the order of T ← 2T-Q, T ← 2T- (PR),
(118) In the case of (5, 6), (4), (3), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q−R) and T ← 2T−P,
(119) In the case of (5, 6), (4), (4), an operation executed in the order of T ← 2T− (Q + R) and T ← 2T−P,
(120) In the case of (5, 6), (4), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T−Q, T ← 2T− (P + R),
(121) In the case of (5, 6), (5, 6), (0, 7), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + R),
(122) In the case of (5, 6), (5, 6), (1, 2), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + Q−R),
(123) In the case of (5, 6), (5, 6), (3), an operation executed in the order of T ← 2T + R, T ← 2T− (P + Q),
(124) In the case of (5, 6), (5, 6), (4), operations executed in the order of T ← 2T−R, T ← 2T− (P + Q),
(125) In the case of (5, 6), (5, 6), (5, 6), operations executed in the order of T ← 2T, T ← 2T− (P + Q + R),
A process for instructing the arithmetic circuit to perform any of the operations
A processing process in which the arithmetic circuit sequentially inputs P, Q, R, and T from the storage circuit based on an instruction from the control circuit, executes the instructed arithmetic operation, and returns T of the arithmetic result to the storage circuit. ,
A program for a computer to execute. 請求項４記載のプログラムが記録されていることを特徴とするコンピュータ読み取り可能な記録媒体。A computer-readable recording medium on which the program according to claim 4 is recorded.
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