JP4216578B2 - Thermophysical property estimation device - Google Patents

Description

但し、温度勾配ベクトルＤ₁＝−∇Ｔ₁、Ｄ₂＝−∇Ｔ₂、Ｄ₃＝−∇Ｔ₃である。
【００４３】
温度場を２次元関心領域において測定できる場合には、２つの独立した温度場Ｔ₁、Ｔ₂を測定することにより、次の連立偏微分方程式が成立する。
【数２】

【００４４】
尚、温度場を１次元関心領域にて測定できる場合には、１つの温度場Ｔ₁を測定することにより、次の偏微分方程式が成立する。
【数３】

【００４５】
１つの温度場のみを測定できる場合には、（１）式〜（３）式の各々において１つの偏微分方程式のみが成立する。また、複数の温度分布が測定された場合には、温度分布の数だけ連立した方程式を得ることができる。
尚、（１）式〜（３）式中の右辺の符号を変え、熱伝導率の自然対数lnｋの１階の偏微分を熱伝導率の逆数の自然対数ln(1/ｋ)の１階の偏微分に置き換えたものが、熱伝導率の逆数の自然対数そのものln(１/ｋ)を変数とする偏微分方程式として扱われることがある。以下において、(１)式〜(３)式に関しては、熱伝導率の自然対数lnｋそのものを変数とする場合に関して説明するが、熱伝導率の逆数の自然対数そのものln(１/ｋ)を変数とする場合は、同様に、熱伝導率の逆数の自然対数ln(１/ｋ)又は熱伝導率の逆数（１/ｋ）を求め、その上で、熱伝導率の自然対数lnｋ又は熱伝導率ｋを評価することがある。熱伝導率の自然対数そのものlnｋを変数とする場合は、関心領域内に断熱材などの熱伝導率の極めて低い物体を含む場合に有効である場合があり、又、熱伝導率の逆数の自然対数そのものln(１/ｋ)を変数とする場合は、関心領域内に熱伝導率の極めて高い物体を含む場合に有効である場合がある。
また、（１）式〜（３）式は、各々、両辺に熱伝導率ｋ(x,y,z)、ｋ(x,y)、ｋ(x)をかけた上で、熱伝導率そのものｋを変数とする偏微分方程式として扱われることがある。また、この場合、熱伝導率ｋの１階の偏微分を含まない項の符号を変え、全ての熱伝導率ｋを熱伝導率の逆数(１/ｋ)に置き換えたものが、熱伝導率の逆数そのもの(１/ｋ)を変数とする偏微分方程式として扱われることがある。以下においては、熱伝導率ｋを変数とする場合に関して説明するが、熱伝導率の逆数(１/ｋ)を変数とする場合は、同様に、熱伝導率の逆数（１/ｋ）又は熱伝導率の逆数の自然対数ln(１/ｋ)を求め、その上で、熱伝導率ｋ又は熱伝導率の自然対数lnｋを評価することがある。熱伝導率そのものｋを変数とする場合は、関心領域内に断熱材などの熱伝導率の極めて低い物体を含む場合に有効である場合があり、又、熱伝導率の逆数そのもの１/ｋを変数とする場合は、関心領域内に熱伝導率の極めて高い物体を含む場合に有効である場合がある。
【００４６】
一般的に、初期条件は、
【数４】

という形で、関心領域内の複数の参照領域ｗ_m（ｍ＝１〜Ｎ）において与えられるが、測定を行う関心領域の次元数と同数の独立な温度場が測定された場合には、参照値は関心領域内の１点で与えられれば良い。
【００４７】
この様な１階の空間偏微分方程式中に現れる熱伝導率分布あるいは温度勾配ベクトル分布(又は温度分布)に対し、有限要素近似（変分原理）を適用する。
以下に、Ｌ_ln及びＬを、各々、関心領域内の熱伝導率分布lnｋ及びｋをそれぞれ表すベクトルとし、ｓを関心領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i（又は、温度分布Ｔ_i）を表すベクトルとして、３次元、２次元、及び、１次元関心領域において成立する汎関数を示す。但し、ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された温度分布を指し、Ｍは測定された独立した温度分布の数（１以上）である。
【００４８】
３次元関心領域を対象とした際に、熱伝導率分布に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数５】

【００４９】
また、３次元関心領域を対象とした際に、温度勾配ベクトル分布（又は、温度分布）に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数６】

【００５０】
次に、２次元関心領域を対象とした際に、熱伝導率分布に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数７】

【００５１】
また、２次元関心領域を対象とした際に、温度勾配ベクトル分布（又は、温度分布）に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数８】

【００５２】
次に、１次元関心領域を対象とした際に、熱伝導率分布又は熱伝導率の１階微分の分布に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数９】

【００５３】
また、１次元関心領域を対象とした際に、温度勾配ベクトル分布（又は、温度分布）に変分原理を施した場合の汎関数は、次式のようになる。
【数１０】

【００５４】
（５）式〜（１０）式の汎関数は、各汎関数中に表される熱伝導率分布Ｌ_ln、熱伝導率分布Ｌ、及び、温度勾配ベクトル分布（温度分布）ｓに関して有限要素近似されるが、３次元空間においては３次元基底関数が使用され、２次元空間においては２次元基底関数が使用され、１次元空間においては１次元基底関数が使用される。以下においては、要素の節点数は省略する。
【００５５】
３次元関心領域を対象とする場合において、（５）式中の３次元熱伝導率分布lnｋ(x,y,z)は、３次元節点熱伝導率lnｋ(I,J,K)及び３次元基底関数φ_3lnk(I,J,K,x,y,z)を用いて、lnｋ(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3lnk(I,J,K,x,y,z)lnｋ(I,J,K) と内挿される。（６）式中の３次元熱伝導率分布ｋ(x,y,z)は、３次元節点熱伝導率ｋ(I,J,K)及び３次元基底関数φ_3k(I,J,K,x,y,z)を用いて、ｋ(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3k(I,J,K,x,y,z)ｋ(I,J,K)と内挿される。一方、（５）式及び（６）式中の３次元温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)は、３次元節点温度勾配ベクトル［Ｄ_ix(I,J,K), Ｄ_iy(I,J,K), Ｄ_iz(I,J,K)］^T及び基底関数φ_3D(I,J,K,x,y,z)を用いて、Ｄ_i(x,y,z) 〜 ［Σ_I,J,Kφ_3D(I,J,K,x,y,z)Ｄ_ix(I,J,K), Σ_I,J,Kφ_3D(I,J,K,x,y,z)Ｄ_iy(I,J,K), Σ_I,J,Kφ_3D(I,J,K,x,y,z)Ｄ_iz(I,J,K)］^Tと内挿される。また、（６）式中の温度分布Ｔ_i(x,y,z)は、３次元節点温度Ｔ_i(I,J,K)及び基底関数φ_3T(I,J,K,x,y,z)を用いて、Ｔ_i(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3T(I,J,K,x,y,z)Ｔ_i(I,J,K)と内挿される。
【００５６】
２次元関心領域を対象とする場合において、（７）式中の２次元熱伝導率分布lnｋ(x,y)は、２次元節点熱伝導率lnｋ(I,J)及び２次元基底関数φ_2lnk(I,J,x,y)を用いて、lnｋ(x,y) 〜 Σ_I,Jφ_2lnk(I,J,x,y)lnｋ(I,J)と内挿される。（８）式中の２次元熱伝導率分布ｋ(x,y)は、２次元節点熱伝導率ｋ(I,J)及び２次元基底関数φ_2k(I,J,x,y)を用いて、ｋ(x,y) 〜 Σ_I,Jφ_2k(I,J,x,y)ｋ(I,J)と内挿される。一方、（７）式及び（８）式中の２次元温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y)は、２次元節点温度勾配ベクトル［Ｄ_ix(I,J), Ｄ_iy(I,J)］^T及び基底関数φ_2D(I,J,x,y)を用いて、Ｄ_i(x,y) 〜［Σ_I,Jφ_2D(I,J,x,y)Ｄ_ix(I,J), Σ_I,Jφ_2D(I,J,x,y)Ｄ_iy(I,J)］^Tと内挿される。また、（８）式中の温度分布Ｔ_i(x,y)は、２次元節点温度Ｔ_i(I,J)及び基底関数φ_2T(I,J,x,y)を用いて、Ｔ_i(x,y) 〜 Σ_I,Jφ_2T(I,J,x,y)Ｔ_i(I,J)と内挿される。
【００５７】
１次元関心領域を対象とする場合において、（９）式中の１次元熱伝導率分布lnｋ(x)は、１次元節点熱伝導率lnｋ(I)及び１次元基底関数φ_1lnk(I,x)を用いて、lnｋ(x)〜Σ_Iφ_1lnk(I,x)lnｋ(I)と内挿される。（１０）式中の１次元熱伝導率分布ｋ(x)は、１次元節点熱伝導率ｋ(I)及び１次元基底関数φ_1k(I,x)を用いて、ｋ(x)〜Σ_Iφ_1k(I,x)ｋ(I) と内挿される。一方、（９）式及び（１０）式中の１次元温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x)は、１次元節点温度勾配ベクトルＤ_ix(I)及び基底関数φ_1D(I,x)を用いて、Ｄ_i(x)〜Σ_Iφ_1D(I,x)Ｄ_ix(I)と内挿される。また、（１０）式中の温度分布Ｔ_i(x)は、１次元節点温度Ｔ_i(I)及び基底関数φ_1T(I,x)を用いて、Ｔ_i(x)〜Σ_Iφ_1T(I,x)Ｔ_i(I)と内挿される。
【００５８】
但し、前述の基底関数の各々の微分可能性に関して、熱伝導率分布の近似に使用する基底関数φ_lnk及びφ_kは、１回以上偏微分可能である必要があり、一方、温度分布及び温度勾配ベクトル分布の近似に使用する基底関数φ_T及びφ_Dは、各々、２回以上及び１回以上偏微分可能である必要がある。ここで、温度勾配ベクトル分布の基底関数は、前述のφ_Dとは別に、温度分布の基底関数φ_Tを偏微分することでも得られ、一方、温度勾配ベクトルの発散の分布の基底関数は、温度勾配ベクトル分布の基底関数を偏微分することでも得られる。ここで、熱伝導率分布の基底関数φ_lnk及びφ_kに関しては、各々、参照熱伝導率(分布)値lnｋ'(x,y,z)及びｋ'(x,y,z)を表現できるものである必要があることを断っておく。また、（５）〜（１０）式中において必要となる温度分布測定データには低域通過型フィルタがかけられ、温度勾配ベクトル分布データは、その低域通過型フィルタのかけられた温度分布測定データに微分フィルタをかけるか、又は、温度分布測定データに帯域制限付微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φ_Tを用いて表された温度分布を偏微分するかのいずれかにより評価される。一方、温度勾配ベクトルの発散の分布データは、同様に、温度勾配ベクトル分布データに微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φ_Dを用いて表された温度勾配ベクトル分布を偏微分するかのいずれかにより評価される。従って、使用される基底関数は、いずれも、必要となる微分処理を少なくとも可能とするものであれば十分である。
【００５９】
具体的に、（５）式、（７）式、（９）式の汎関数が使用される際は、次式に示す汎関数（ｉ＝１〜Ｍ）のいずれかが求められる。
【数１１】

又は、
【数１２】

但し、Ｐ_iは、関心領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
【００６０】
これらをＬ_lnに関する汎関数とする。但し、(１１)式は、一つのみの温度分布が測定された場合においてのみ使用できる。（１２）式の（）内の汎関数は、正規化を施していないものである。例えば、３次元関心領域を対象とした場合において、これらの汎関数は、前述の基底関数を用いて有限要素化された上で、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)が代入された後、未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関して最小化されるか、又は、関心領域内の熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ"_lnに関して最小化された後、温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)が代入される。
【００６１】
その結果、（１１）式より、一つの温度分布Ｔ_iが測定された際の未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関する次の連立方程式が得られる。
【数１３】

さらに、（１２）式より、一つ以上の温度分布Ｔ_i(ｉ＝１〜Ｍ)が測定された際の最小二乗法に基づく未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関する次の正規方程式が得られる。
【数１４】

これらを解くことにより、推定結果としてlnｋ(x,y,z)を得る（基底関数φ_3lnkを使用する）。但し、（１３）式中のＡ_i及びａ_i、及び、（１４）式中のＡ'_i及びａ'_iは、一連の計算により導出された、使用された基底関数と、測定された温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)と、温度勾配ベクトルの発散の分布データと、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)とからなる行列及びベクトルである。２次元関心領域、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【００６２】
（１１）式及び（１２）式の汎関数を最小化する際に、Ａ_i、ａ_i、Ａ'、及び、a'は低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データ及び温度勾配ベクトルの発散の分布データで決まるが、Ａ_i及びＡ'の逆作用素は、各々、ａ_i及びａ'に含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、特に、１つの温度分布が測定された場合（Ｍ＝１）は、発熱源又は吸熱源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、Ｌ'_lnが不安定な結果となってしまう。そこで、いわゆる正則化を応用して再構成の安定化を図るようにしても良い。
【００６３】
具体的には、各温度分布Ｔ_iに対して設定されうる正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3i（正の値）を使用して、連続座標系において、次のような処罰項を考える。
【００６４】
３次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数１５】

【００６５】
２次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数１６】

【００６６】
１次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数１７】

【００６７】
即ち、一つの温度分布Ｔ_iが測定されて（１１）式の汎関数が扱われる場合に、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（５）式、（７）式、（９）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、有限要素化された熱伝導率lnｋ(I,J,K)に参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入した上で、（１１）式の汎関数II_i（Ｌ'_ln）に加え、これをＬ'_lnに関して最小化する。この場合、基底関数φ_3lnkは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（１５）式〜（１７）式の処罰項を有限差分近似して、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入した上で、同様に、（１１）式の汎関数II（Ｌ'_ln）に加え、これをＬ'_lnに関して最小化する。その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関する正則化された次の連立方程式が得られる。
【数１８】

これを解くことにより、推定結果としてlnｋ(x,y,z)を得る（基底関数φ_3lnkを使用する）。特に、Ｇ^TＧ、Ｇ^TＧＧ^TＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分(離散)近似された熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【００６８】
正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iは、（１８）式においては、同時に負の値をとり得、熱伝導率分布を表すベクトルＬ'_lnにかかる行列が数値解析的に安定化する様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の大きさに依存する各測定温度勾配ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトル分布のＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度分布そのもの（即ち、温度勾配方向、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α_2iおよびα_3iは、これらに依存して、（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α_2iおよびα_3iの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α_2iおよびα_3iの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布のＳＮ比および各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００６９】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、その測定温度分布データの平均値の２乗及びその測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（I,J,K）の温度勾配ベクトルデータから、関心領域全体の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)のＳＮ比が見積もられる。
【００７０】
また、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iは、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（１８）式においては、同時に負の値をとり得、熱伝導率分布を表すベクトルＬ'_lnの成分である各関心点の熱伝導率にかかる局所行列が数値解析的に安定化する様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α_2iおよびα_3iは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α_2iおよびα_3iの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α_2iおよびα_3iの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００７１】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、各位置において、測定温度データの平均値の２乗及び測定温度データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比の分布を評価することがある。各節点（I,J,K）の温度勾配ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の温度勾配ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における温度勾配ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
【００７２】
次に、一つ以上の温度分布Ｔ_i(ｉ＝１〜Ｍ)が測定されて（１２）式の汎関数が扱われる場合においても、同様に、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（５）式、（７）式、（９）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、有限要素化された熱伝導率lnｋ(I,J,K)に参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入した上で、（１２）式の汎関数II（Ｌ'_ln）に加え、これをＬ'_lnに関して最小化する。この場合、基底関数φ_3lnkは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（１５）式〜（１７）式の処罰項を有限差分近似して、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入した上で、同様に、（１２）式の汎関数II（Ｌ'_ln）に加え、これをＬ'_lnに関して最小化する。その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
【数１９】

これを解くことにより、推定結果としてlnｋ(x,y,z)を得る（基底関数φ_3lnkを使用する）。特に、Ｇ^TＧ、Ｇ^TＧＧ^TＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分(離散）近似された熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【００７３】
正則化パラメータα₁、α₂、α₃は、（１９）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ'_lnにかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iの値は、各温度勾配ベクトル分布の大きさに依存する各測定温度勾配ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトル分布のＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度分布そのもの（即ち、温度勾配方向、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α_2iおよびα_3iは、これらに依存して、（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α_2iおよびα_3iは、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α_2iおよびα_3iの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトル分布のＳＮ比および各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００７４】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、その測定温度分布データの平均値の２乗及びその測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（I,J,K）の温度勾配ベクトルデータから、関心領域全体の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)のＳＮ比が見積もられる。
【００７５】
また、正則化パラメータα₁、α₂、α₃は、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（１９）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ'_lnの成分である各関心点の熱伝導率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iの値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α_2iおよびα_3iは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α_2iおよびα_3iの値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α_2iおよびα_3iの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００７６】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、各位置において、測定温度データの平均値の２乗及び測定温度データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比の分布を評価することがある。各節点（I,J,K）の温度勾配ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の温度勾配ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における温度勾配ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
【００７７】
また、温度分布Ｔ_i(ｉ＝１〜Ｍ)が測定されて（１２）式の汎関数が扱われる際においては、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（５）式、（７）式、（９）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、有限要素化された熱伝導率lnｋ(I,J,K)に参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入した上で、（１２）式の２乗ノルム内において、汎関数Ｉ_i(Ｌ'_ln)に加えて、これをＬ'_lnに関して最小化した上、その２乗ノルムをＬ'_lnに関して最小化することがある。この場合、基底関数φ_3lnkは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（１５）式〜（１７）式の処罰項を有限差分近似して、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入した上で、同様に、（１２）式の２乗ノルム内において、汎関数Ｉ_i(Ｌ'_ln)に加えて、これをＬ'_lnに関して最小化した上、その２乗ノルムをＬ'_lnに関して最小化する。その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
【数２０】

これを解くことにより、推定結果としてlnｋ(x,y,z)を得る（基底関数φ_3lnkを使用する）。特に、Ｇ^TＧ、Ｇ^TＧＧ^TＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分(離散）近似された熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【００７８】
正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iは、（２０）式においては、同時に負の値をとり得、熱伝導率分布を表すベクトルＬ'_lnにかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α_2iおよびα_3iは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α_2iおよびα_3iの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α_2iおよびα_3iの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００７９】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、その測定温度分布データの平均値の２乗及びその測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（I,J,K）の温度勾配ベクトルデータから、関心領域全体の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)のＳＮ比が見積もられる。
【００８０】
また、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iは、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（２０）式においては、同時に負の値をとり得、熱伝導率分布を表すベクトルＬ'_lnの成分である各関心点の熱伝導率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、これらの絶対値は大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α_2iおよびα_3iは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α_2iおよびα_3iの絶対値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比の平方根に反比例した値とする。その際には、α_2iおよびα_3iの絶対値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔に反比例した値）、これらの絶対値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその絶対値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００８１】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、各位置において、測定温度データの平均値の２乗及び測定温度データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比の分布を評価することがある。各節点（I,J,K）の温度勾配ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の温度勾配ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における温度勾配ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
【００８２】
尚、（１）式、（２）式、（３）式の各々の両辺が、熱伝導率ｋ(x,y,z)、ｋ(x,y)、ｋ(x)がかけられた上で、関心領域内の熱伝導率分布に変分原理を施した場合(１次元関心領域を対象とした場合は、熱伝導率の１階微分の１次元分布に変分原理を施した場合もあり)の汎関数は、次のようになる。
３次元関心領域を対象とした場合は、（５’）式となる。
【数２１】

２次元関心領域を対象とした場合は、（７’）式となる。
【数２２】

１次元関心領域を対象とした場合は、（９’）式となる。
【数２３】

但し、（１１）式及び（１２）式の汎関数中のＰ_iは、関心領域内の温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)と熱伝導率ｋ(x,y,z)の勾配作用素との内積の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の発散の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。これらには、後記（２５）式〜（２７）式が正則化を行うための処罰項として使用されて、同様にして、未知熱伝導率分布Ｌ'に関する（１８）式、（１９）式、（２０）式が導出される。
【００８３】
（１８）式において、正則化パラメータは、例えば、温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の各成分とその成分と同一方向の熱伝導率ｋ(x,y,z)にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされるか、若しくは、温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)と熱伝導率ｋ(x,y,z)にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度(SN比)と温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の発散の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされることがある。
【００８４】
また、（１９）式において、正則化パラメータは、例えば、温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の各成分とその成分と同一方向の熱伝導率ｋ(x,y,z)にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされるか、若しくは、温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)と熱伝導率ｋ(x,y,z)にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度(SN比)と温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の発散の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされることがある。さらに、（２０）式において、正則化パラメータは、例えば、温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の各成分とその成分と同一方向の熱伝導率ｋ(x,y,z)にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされるか、若しくは、温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)と熱伝導率ｋ(x,y,z)にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度(SN比)と温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の発散の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比の平方根に反比例した値とされることがある。この場合、熱伝導率分布、温度勾配ベクトル分布（又は温度分布）の基底関数として、φ_k、φ_D（又は、φ_T）が使用される。
【００８５】
次に、（６）式、（８）式、（１０）式の汎関数が使用される際は、次式の汎関数(i＝１〜Ｍ)が求められる。
【数２４】

但し、Ｐ_iは、関心領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
これらを温度勾配ベクトル分布（又は、温度分布）ｓに関する汎関数とする(（２１）式の代わりにI_i(ｓ)が使用されることがある。)。例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、この汎関数は基底関数を用いて有限要素化された上で温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(I,J,K)（又は、温度分布Ｔ_i(I,J,K)）に関して最小化される。
【００８６】
その結果、各温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(I,J,K)（又は、各温度分布Ｔ_i(I,J,K)）からなるベクトルｓに関する連立方程式が得られ、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)（又は、温度分布データＴ_i(I,J,K)）及び参照熱伝導率（分布）の値ｋ'(I,J,K)が代入された上で、i＝１〜Ｍの連立方程式が全て連立されることにより、最終的に、未知熱伝導率分布ｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'に関する次の代数方程式が得られる。
【数２５】

但し、Ｂ及びｂは、使用された基底関数と、測定された温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)（ｉ＝１〜Ｍ）、又は、温度分布データＴ_i(I,J,K)（ｉ＝１〜Ｍ）と、参照熱伝導率（分布）の値ｋ'(I,J,K)とからなる行列及びベクトルである。
【００８７】
次に、この代数方程式に対して、未知の熱伝導率分布ｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'に関して最小二乗化するための次の汎関数が得られる。
【数２６】

【００８８】
この汎関数を、未知の熱伝導率分布ｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'に関して最小化することにより、次の正規方程式が得られる。
【数２７】

【００８９】
これを解くことにより、推定結果としてｋ(x,y,z)を得る（基底関数φ_3kを使用する）。尚、この正規方程式は、(２１)式の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(I,J,K)（又は、温度分布Ｔ_i(I,J,K)）に関する最小化により得られる、関心領域内の熱伝導率分布ｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ"に関する連立方程式を、Ｌ"に関して最小二乗化した後に、測定された温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値ｋ'(I,J,K)を代入しても得られる。２次元、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【００９０】
（２４）式の正規方程式を得る際に、Ｂ、ｂは低域通過フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データ又は温度分布データで決まるが、Ｂの逆作用素はｂに含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、特に、１つの温度分布が測定された場合（Ｍ＝１）においては、発熱源又は吸熱源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、Ｌ'は不安定な結果となってしまう。そこで、いわゆる正則化を応用して再構成の安定化を図るようにしても良い。
【００９１】
具体的には、各温度分布Ｔ_iに対して設定されうる正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3i（正の値）を使用して、連続座標系において、次のような処罰項を考える。
３次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数２８】

２次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数２９】

１次元関心領域を対象にした場合には、以下のようになる。
【数３０】

【００９２】
即ち、（６）式、（８）式、（１０）式の汎関数を扱う際に、（２５）式〜（２７）式において与えられる処罰項の各々を、（６）式、（８）式、（１０）式の有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とする場合には、有限要素化された熱伝導率ｋ(x,y,z)に参照熱伝導率（分布）の値ｋ'(I,J,K)を代入した上で、（２３）式の汎関数II（Ｌ'）に加え、これをＬ'に関して最小化する。この場合、基底関数φ_3kは２回偏微分可能である必要がある。あるいは、（２５）式〜（２７）式の処罰項を、有限差分近似し、参照熱伝導率（分布）の値ｋ'(I,J,K)を代入した上で、同様に、（２３）式の汎関数II（Ｌ'）に加え、これをＬ'に関して最小化する。
【００９３】
その結果、例えば、３次元関心領域を対象とした場合には、未知熱伝導率分布ｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'に関する正則化された次の正規方程式が得られる。
【数３１】

【００９４】
これを解くことにより、推定結果としてｋ(x,y,z)を得る（基底関数φ_3kを使用する）。特に、Ｇ^TＧ、Ｇ^TＧＧ^TＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分(離散)近似された熱伝導率分布ｋ(I,J,K)のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【００９５】
正則化パラメータα₁、α₂、α₃は、（２８）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ'にかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iの値は、各温度勾配ベクトル分布の大きさに依存する各測定温度勾配ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトル分布のＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度分布そのもの（即ち、温度勾配方向、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α_2iおよびα_3iは、これらに依存して、（２５）式および（２６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α_2iおよびα_3iは、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α_2iおよびα_3iの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトル分布のＳＮ比および各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００９６】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、その測定温度分布データの平均値の２乗及びその測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。各要素の節点（I,J,K）の温度勾配ベクトルデータから、関心領域全体の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)のＳＮ比が見積もられる。
【００９７】
また、正則化パラメータα₁、α₂、α₃は、（２５）式〜（２７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（２８）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ'の成分である各関心点の熱伝導率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iの値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α_2iおよびα_3iは、位置だけでなく、これらに依存して（２５）式および（２６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α_2iおよびα_3iの値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α_2iおよびα_3iの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり(例えば、データ間隔の二乗に反比例した値)、これらの値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【００９８】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、各位置において、測定温度データの平均値の２乗及び測定温度データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比の分布を評価するようにしても良い。各節点（I,J,K）の温度勾配ベクトルデータのＳＮ比、又は、各要素の節点の温度勾配ベクトルのＳＮ比より評価される各要素における温度勾配ベクトルのＳＮ比が見積もられる。
【００９９】
３次元関心領域は、複数の２次元又は１次元関心領域から、また、２次元関心領域は複数の１次元関心領域から成ることがあり、各々の場合、適宜、低次元関心領域にて前記の通り未知熱伝導率分布に関する代数方程式を導出し、最小二乗法に基づいて熱伝導率分布を決定する際には正則化を高次元関心領域又は各低次元関心領域において行うことがある。
【０１００】
次に、第２の熱物性推定方法の基本原理について説明する。
第２の熱物性推定方法の基本原理によれば、測定された温度勾配ベクトル分布によって記述される熱伝導率に関する(１)式〜(３)式の１階の空間偏微分方程式に対して、熱伝導率分布、熱伝導率の一階偏微分の分布、あるいは温度勾配ベクトル分布（又は温度分布、又は温度勾配ベクトルの発散分布）に関して有限差分近似あるいは有限要素近似（ガラーキン法）を施してモデル化する。
【０１０１】
デカルト座標系において、関心領域内にて成立する(１)式〜(３)式の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布lnｋ(x,y,z)、熱伝導率の一階偏微分の分布、あるいは低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z) (又は、低域通過型フィルタのかけられた温度分布Ｔ_i(x,y,z))[ｉ（ｉ＝１〜Ｍ）は測定された温度分布Ｔ_iを指し、Ｍは測定された独立した温度分布の数（１以上）である。]は、離散座標系：(I,J,K) 〜 (x/Δx, y/Δy, z/Δz)において有限差分(離散)近似されるか、あるいは、ガラーキン法に基づいて有限要素近似されるが、有限要素としては、（５）式〜（１０）式の有限要素近似において導入した３次元基底関数、２次元基底関数、１次元基底関数が使用される。以下、要素の節点数は省略する。
【０１０２】
(１)式〜(３)式の１階の空間偏微分方程式に有限差分(離散)近似を適用する場合、例えば、３次元関心領域を対象とする場合においては、（１）式中の３次元熱伝導率分布lnｋ(x,y,z)に有限差分近似(前方差分近似、後方差分近似など)が施され、加えて、温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)の近似は、低域通過型フィルタのかけられた温度分布データに微分フィルタをかけるか、又は、温度分布データに帯域制限付微分フィルタをかけるかのいずれかにより得られ、一方、温度勾配ベクトルの発散の分布の近似は、得られた温度勾配ベクトル分布データに微分フィルタをかけることにより得られる。２次元関心領域、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０１０３】
また、（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式にガラーキン法に基づく有限要素近似を施した場合、例えば、３次元関心領域を対象とする場合において、（１）式中の３次元熱伝導率分布lnｋ(x,y,z)は、３次元節点熱伝導率lnｋ(I,J,K)及び３次元基底関数φ_3lnk(I,J,K,x,y,z)を用いて、lnｋ(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3lnk(I,J,K,x,y,z)lnｋ(I,J,K) と内挿される。３次元温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)は、３次元節点温度勾配ベクトル［Ｄ_ix(I,J,K), Ｄ_iy(I,J,K), Ｄ_iz(I,J,K)］^T及び基底関数φ_3D(I,J,K,x,y,z)を用いて、Ｄ_i(x,y,z) 〜 ［Σ_I,J,Kφ_3D(I,J,K,x,y,z)Ｄ_ix(I,J,K), Σ_I,J,Kφ_3D(I,J,K,x,y,z)Ｄ_iy(I,J,K), Σ_I,J,Kφ_3D(I,J,K,x,y,z)Ｄ_iz(I,J,K)］^Tと内挿される。また、温度分布Ｔ_i(x,y,z)は、３次元節点温度Ｔ_i(I,J,K)及び基底関数φ_3T(I,J,K,x,y,z)を用いて、Ｔ_i(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3T(I,J,K,x,y,z)Ｔ_i(I,J,K)と内挿される。尚、これらの基底関数の微分可能性に関しては、前述の通り、熱伝導率分布lnｋ(x,y,z) の近似に使用する基底関数φ_3lnkは１回以上偏微分可能である必要があり、一方、温度分布及び温度勾配ベクトル分布の近似に使用する基底関数φ_3T及びφ_3Dは、各々、２回以上及び１回以上偏微分可能である必要がある。ここで、温度勾配ベクトル分布の基底関数は、前述のφ_3Dとは別に、温度分布の基底関数φ_3Tを偏微分することでも得られ、一方、温度勾配ベクトルの発散の分布の基底関数は、温度勾配ベクトル分布の基底関数を偏微分することでも得られる。２次元、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０１０４】
但し、これらの基底関数φ_3lnk、φ_3D、及び、φ_3Tの各々は、（４）式において与えられる参照熱伝導率（分布）値lnｋ'(x,y,z)、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データ、及び、低域通過型フィルタのかけられた温度分布を表現できるものである必要がある。尚、温度勾配ベクトル分布データは、低域通過型フィルタのかけられた温度分布データに微分フィルタをかけるか、又は、温度分布データに帯域制限付微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φ_3Tを用いて表された低域通過フィルタのかけられた温度分布データを偏微分するかのいずれかにより得られ、一方、温度勾配ベクトルの発散の分布データは、同様に、温度勾配ベクトル分布データに微分フィルタをかけるか、又は、基底関数φ_3Dを用いて表された温度勾配ベクトル分布を偏微分するかのいずれかにより得られる。
【０１０５】
温度分布Ｔ_i(ｉ＝１〜Ｍ)が測定された際に、（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式中の熱伝導率分布Ｌ_ln及び温度勾配ベクトル分布ｓに有限差分(離散)近似が施された場合において、例えば、３次元関心領域を対象としたときは、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データＤ_i（I,J,K）（ｉ＝１〜Ｍ）、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)が代入されて、未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関する次式に示す連立方程式が得られる。
【数３２】

但し、Ｃ_i及びｃ_iは、各々、温度分布Ｔ_iが測定された場合に、一連の計算により導出された、使用された偏微分の有限差分近似定数と、測定された温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)と、温度勾配ベクトルの発散の分布データと、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)とからなる行列及びベクトルである。
【０１０６】
次に、この連立方程式に対して、未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関して最小２乗化するための次の汎関数が得られる。
【数３３】

但し、Ｐ_iは、関心領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。（３０）式のカッコ内は正規化を施していないものである。
【０１０７】
この汎関数を、未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関して最小化することにより、次の正規方程式が得られる。
【数３４】

【０１０８】
これを解くことにより、推定結果として未知熱伝導率の離散分布lnｋ(I,J,K)が得られる。尚、この正規方程式は、関心領域内の熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ"_lnに関する連立方程式をＬ"_lnに関して最小二乗化した後に、測定された温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入しても得られる。２次元、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０１０９】
次に、温度分布Ｔ_i(ｉ＝１〜Ｍ)が測定された際に、ガラーキン法に基づき、（１）式〜（３）式の１階の空間偏微分方程式中に表される熱伝導率分布lnｋを表すベクトルＬ_ln又は熱伝導率ベクトル分布Ｄ_iを表すベクトルｓに関して、３次元、２次元、及び、１次元関心領域において扱う汎関数Ｉ_i(・)を示す。
３次元関心領域を対象とした場合の汎関数は、次式のようになる。
【数３５】

但し、v(x,y,z)は、任意の重み関数であり、｜v(x,y,z)｜≠０を満たす。
２次元関心領域を対象とした場合の汎関数は、次式のようになる。
【数３６】

但し、v(x,y)は、任意の重み関数であり、｜v(x,y)｜≠０を満たす。
１次元関心領域を対象とした場合の汎関数は、次式のようになる。
【数３７】

但し、v(x)は、任意の重み関数であり、｜v(x)｜≠０を満たす。
【０１１０】
具体的に、（３２）式〜（３４）式の汎関数Ｉ_i(・)が使用される際には次式に示す汎関数が求められる(i＝１〜Ｍ)。
【数３８】

但し、Ｐ_iは、関心領域内の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である(（３５）式の代わりにIi(ｓ)が使用されることがある。)。
【０１１１】
（３５）式II_i(・)中のI_i(・)内の重み関数ｖとして、熱伝導率分布Ｌ_ln、熱伝導率の１階偏微分の分布、又は、温度勾配ベクトル分布ｓ(又は、温度分布、又は、温度勾配ベクトルの発散分布)を有限要素近似する際に使用される基底関数、即ち、
【数３９】

が使用される。
【０１１２】
さらに、（３５）式のII_i(・)には、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)と、温度勾配ベクトルの発散の分布データと、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)が代入されて、その結果得られるII_i(・)が０に等しいものとすることにより、温度分布Ｔ_i(I,J,K)が測定された際の未知熱伝導率分布Ｌ'_lnに関する次式の連立方程式が得られる。
【数４０】

【０１１３】
ここで、重み関数として温度勾配ベクトル分布ｓ(又は温度分布、又は温度勾配ベクトルの発散分布)の近似に使用する基底関数φ_D（又はφ_T）を使用して、熱伝導率分布lnｋ(x,y,z)の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φ_lnkは直流でも構わない。但し、Ｄ_i及びｄ_iは、各々、温度分布Ｔ_iが測定された場合に、一連の計算により導出された、使用された基底関数と、測定された温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)と、温度勾配ベクトルの発散の分布データと、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)とからなる行列及びベクトルである。
【０１１４】
次に、この連立方程式（一つの温度分布が測定された場合）および代数方程式(Ｍ個の温度分布が測定された場合)を未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関して最小二乗化するための次の汎関数が得られる。
【数４１】

【０１１５】
この汎関数を、未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関して最小化することにより、次の正規方程式が得られる。
【数４２】

【０１１６】
これを解くことにより、推定結果として未知熱伝導率分布lnｋ(x,y,z)が得られる(基底関数φ_3lnkを使用)。尚、この正規方程式は、(３５)式の汎関数より得られる、関心領域内の熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ"_lnに関する連立方程式を、Ｌ"_lnに関して最小二乗化した後に、測定された温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、及び、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入しても得られる。２次元関心領域、及び、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０１１７】
有限差分近似を適用した際に導出される（３１）式の行列Ｃ'及びｃ'、及び、有限要素近似を適用した際に導出される（３８）式中の行列Ｄ'及びｄ'は、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトル分布データから決まるが、Ｃ'の逆作用素はｃ'に含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させ、Ｄ'の逆作用素はｄ'に含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、特に、１つの温度分布が測定された場合（Ｍ＝１）には、発熱源又は吸熱源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、L'_lnは不安定な結果となってしまう。そこで、いわゆる正則化を応用して再構成の安定化を図るようにしても良い。
【０１１８】
具体的には、各温度分布Ｔ_iに対して設定されうる正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3i（正の値）を使用して、連続座標系において、(１５)式〜（１７）式の処罰項を考える。
【０１１９】
有限差分近似を適用した場合には、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を有限差分近似し（但し、α₁＝０）、例えば、３次元関心領域を対象としたときは、処罰項中の離散化された熱伝導率lnｋ(I,J,K)に参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入した上で、これを汎関数（３０）式に加えることにより新たに導出される汎関数をベクトルＬ'_lnに関して最小化する。その結果、未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
【数４３】

【０１２０】
これを解くことにより、推定結果としてlnｋ(x,y,z)を得る（基底関数φ_3lnkを使用する）。Ｇ^TＧ、Ｇ^TＧＧ^TＧの各々は、有限差分(離散)近似された熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０１２１】
また、有限要素近似を適用した場合には、（１５）式〜（１７）式によって与えられる処罰項の各々を、（３５）式にてlnｋ(x,y,z)の有限要素近似において導入した基底関数φ_3lnkを使用して有限要素化し、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、処罰項中の有限要素化された熱伝導率lnｋ(I,J,K)に参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入した上で、これを汎関数（３７）式に加えることにより新たに導出される汎関数をベクトルＬ'_lnに関して最小化する。この場合、基底関数φ_3lnkは２回偏微分可能である必要がある。又は、（１５）式〜（１７）式を有限差分近似し、参照熱伝導率（分布）の値lnｋ'(I,J,K)を代入した上で、同様に、これを加えることにより新たに導出される汎関数をベクトルＬ'_lnに関して最小化する。いずれの場合も、下記のごとく、未知熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)からなるベクトルＬ'_lnに関する正則化された次の正規方程式が得られる。
【数４４】

【０１２２】
これを解くことにより、推定結果としてlnｋ(x,y,z)を得る（基底関数φ_3lnkを使用する）。特に、Ｇ^TＧ、Ｇ^TＧＧ^TＧの各々は、有限要素近似あるいは有限差分(離散)近似された熱伝導率分布lnｋ(I,J,K)のラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０１２３】
正則化パラメータα₁、α₂、α₃は、（３９）式及び（４０）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ'_lnにかかる行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。但し、（３９）式においては、α₁は常に零である。あるいは、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iの値は、各温度勾配ベクトル分布の大きさに依存する各測定温度勾配ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトル分布のＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度分布そのもの（即ち、温度勾配方向、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなり、α_2iおよびα_3iは、これらに依存して、（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α_2iおよびα_3iは、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α_2iおよびα_3iの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトル分布のＳＮ比および各温度勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【０１２４】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、その測定温度分布データの平均値の２乗及びその測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。
【０１２５】
有限差分近似を行った場合には離散座標（I,J,K）の温度勾配ベクトルから、また、有限要素近似を行った場合には各要素の節点（I,J,K）の温度勾配ベクトルデータから、関心領域全体の温度勾配ベクトル分布Ｄ_i(x,y,z)のＳＮ比が見積もられる。
【０１２６】
また、正則化パラメータα₁、α₂、α₃は、（１５）式〜（１７）式において空間的に変化するものとして実現されることもあり、結果的に、（３９）式及び（４０）式において、熱伝導率分布を表すベクトルＬ'の成分である各関心点の熱伝導率にかかる局所行列が数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。但し、（３９）式においてはα_1iは常に零である。あるいは、正則化パラメータα_1i、α_2i、α_3iの値は、各温度勾配ベクトル分布の各関心点の温度勾配ベクトルの大きさに依存する各測定温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により、ＳＮ比が高い位置においては小さく、ＳＮ比が低い位置においては大きくなるように調節されるようにしても良い。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価されたＳＮパワー比に反比例した値とする。尚、温度勾配ベクトルのＳＮ比は、測定された温度分布データの間隔や温度勾配方向（即ち、温度勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度勾配ベクトル分布の各関心点において、温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、α_2iおよびα_3iは、位置だけでなく、これらに依存して（１５）式および（１６）式中の偏微分の方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、α_2iおよびα_3iの値は、各温度勾配ベクトル分布の各温度勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の方向には大きくなるように調節されることがある。例えば、各温度勾配ベクトル分布の各位置において評価された成分のＳＮパワー比に反比例した値とする。その際には、α_2iおよびα_3iの値は、例えば、データ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなり（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）、これらの値は、各温度勾配ベクトルのＳＮ比およびその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価されるその値に重要度の重み付けを行った上で算出される績の値に比例するように設定される。
【０１２７】
尚、温度測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の測定を行い、各位置において、測定温度データの平均値の２乗及び測定温度データの分散値の比を評価し、ＳＮパワー比の分布を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比の分布を評価するようにしても良い。
【０１２８】
有限差分近似を行った場合には、各離散座標（I,J,K）の温度勾配ベクトルのＳＮ比が必要となり、また、有限要素近似を行った場合には、各要素の節点（I,J,K）の温度勾配ベクトルデータのＳＮ比又はこれより見積もられる要素の温度勾配ベクトルのＳＮ比が必要となる。
【０１２９】
尚、（１）式、（２）式、（３）式の各々の両辺が、熱伝導率ｋ(x,y,z)、ｋ(x,y)、ｋ(x)がかけられた上で扱われる場合は、ガラ―キン法に基づいて、同様に、熱伝導率分布、熱伝導率の一階偏微分の分布、あるいは温度勾配ベクトル分布（又は、温度分布、又は、温度勾配ベクトルの発散分布）の基底関数、即ち、
【数４５】

を重み関数として有限要素化され、さらに、（２５）式〜（２７）式が正則化を行うための処罰項として使用されて、未知熱伝導率分布Ｌ'に関する（４０）式が導出される。ここで、（３５）式の汎関数中のＰ_iは、関心領域内の温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)と熱伝導率ｋ(x,y,z)の勾配作用素との内積の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の発散の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。また、正則化パラメータは、例えば、温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の各成分とその成分と同一方向の熱伝導率ｋ(x,y,z)にかかる１階偏微分作用素との積の精度（ＳＮ比）と温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の同一成分の同一方向の１階偏微分の精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされるか、若しくは、温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)と熱伝導率ｋ(x,y,z)にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度(SN比)と温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z)の発散の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度（ＳＮ比）で決まるＳＮパワー比に反比例した値とされることがある。
【０１３０】
３次元関心領域は、複数の２次元又は１次元関心領域から、又、２次元関心領域は複数の１次元関心領域から成ることがあり、各々の場合、適宜、低次元関心領域にて前記の通り未知熱伝導率分布に関する代数方程式を導出し、最小二乗法に基づいて熱伝導率分布を決定する際には正則化を高次元関心領域又は各低次元関心領域において行うことがある。
【０１３１】
次に、第３の熱物性推定方法の基本原理について説明する。
第１及び第２の熱物性推定法の基本原理によれば、関心領域内にて測定された温度分布データＴ_i（i（＝１〜Ｍ）は測定された独立した温度分布Ｔ_iを指し、Ｍは測定された独立した温度分布の数（１以上）である。）や温度勾配ベクトル分布データＤ_i及び初期条件として参照領域内又は参照点ｗ_m（ｍ＝１〜Ｎ）にて与えられる参照熱伝導率（分布）値、即ち（４）式を用いて、３次元、２次元、１次元関心領域内の熱伝導率分布ｋを表す１階の空間偏微分方程式である（１）〜（３）式（∇（ｋＤ_i）＝０、但し、Ｄ_i＝−∇Ｔ_i）に有限要素法（変分原理又はガラ−キン法）又は有限差分法及び正則化法を用いた所定の数値解法を施すことにより、未知熱伝導率分布ｋを得る。
【０１３２】
これに対し、第３の熱伝導率推定法の基本原理によれば、熱源、吸熱源、参照領域等の位置・大きさ・状態・個数等が時間的に変化することがあり、３次元、２次元、１次元関心領域内の温度分布の時間変化がある場合の熱伝導率分布の推定法として、時間変化を伴なうことのある熱伝導率分布、密度分布、比熱分布、密度と比熱の積の分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布を計測対象とする。
【０１３３】
（I）第１及び第２の基本原理に基づいて関心領域内にて測定される温度分布の時系列、例えば、３次元関心領域を対象とする場合にはＴ_i(x,y,z,t)と、温度の時間方向の１階の偏微分の分布の時系列ｄT_i(x,y,z,t)／dt、温度勾配ベクトル分布の時系列データＤ_i(x,y,z,t)を用いて、次の１階の空間偏微分方程式が扱われることがある。
【数４６】

但し、Ｄ_i(x,y,z,t)＝−∇Ｔ_i(x,y,z,t)。
【０１３４】
また、時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる次の初期条件が扱われることがある。
k_i(x,y,z,t)=k'_i(x,y,z,t) …(42)
且つ、
(x,y,z)∈w_m(t) (m(t)=1〜N(t))
ここで、ｔは、温度分布データの取得を開始してからの時間を表し、i（＝１〜Ｍ）は、測定された独立した温度分布の時系列Ｔ_i(x,y,z,t) を表し、Ｍは、測定された独立した温度分布の時系列の数（１以上）を表す。また、ｋ_iは、熱伝導率分布の時系列ｋ_i(x,y,z,t) 、又は、熱伝導率分布ｋ_i(x,y,z) 若しくはｋ(x,y,z) を表し、ρ_iは、密度分布の時系列ρ_i(x,y,z,t)、又は、密度分布ρ_i(x,y,z) 若しくはρ(x,y,z) を表し、ｃ_iは、比熱分布の時系列ｃ_i(x,y,z,t)、又は、比熱分布ｃ_i(x,y,z) 若しくはｃ(x,y,z) を表す。
【０１３５】
（４１）式中の、関心領域内の、熱伝導率分布の時系列のｋ_i(x,y,z,t)、熱伝導率分布のｋ_i(x,y,z) 又はｋ(x,y,z) 、密度分布の時系列ρ_i(x,y,z,t)、密度分布のρ_i(x,y,z) 又はρ(x,y,z)、比熱分布の時系列のｃ_i(x,y,z,t)、比熱分布のｃ_i(x,y,z) 又はｃ(x,y,z)、密度と比熱の積の分布の時系列のρ_i(x,y,z,t)ｃ_i(x,y,z,t) 又はρ_i(x,y,z,t)ｃ_i(x,y,z) 又はρ_i(x,y,z,t)ｃ(x,y,z) 又はρ_i(x,y,z)ｃ_i(x,y,z,t) 又はρ(x,y,z)ｃ_i(x,y,z,t) （これらをρｃ_i(x,y,z,t) と表す。）と、密度と比熱の積の分布のρ_i(x,y,z)ｃ_i(x,y,z) 又はρ_i(x,y,z)ｃ(x,y,z) 又はρ(x,y,z)ｃ_i(x,y,z) （これらをρｃ_i(x,y,z) と表す。）又はρ(x,y,z)ｃ(x,y,z) （これをρｃ(x,y,z) と表す。）は、測定値、又は、典型値として与えられるか、あるいは、計測対象とされる。
【０１３６】
従って、熱拡散率分布の時系列h₀i(x,y,z,t) [ｋ_i(x,y,z,t)／ρｃ_i(x,y,z,t)、ｋ_i(x,y,z,t)／ρｃ_i(x,y,z)、ｋ_i(x,y,z,t)／ρｃ(x,y,z)、ｋ_i(x,y,z)／ρｃ_i(x,y,z,t)、ｋ(x,y,z)／ρｃ_i(x,y,z,t) ]、又は、熱拡散率分布h₀i(x,y,z) [ｋ_i(x,y,z)／ρｃ_i(x,y,z)、ｋ_i(x,y,z)／ρｃ(x,y,z)、ｋ(x,y,z)／ρｃ_i(x,y,z) ]、又は、熱拡散率分布h₀(x,y,z) [ｋ(x,y,z)／ρｃ(x,y,z)] が求められることがある。尚、（４１）式の左辺の温度の時間方向の１階の偏微分ｄT_i(x,y,z,t)／dtは、近似的に零とされることがある。
【０１３７】
また、関心領域内において密度と比熱の積の分布の時系列ρｃ_i(x,y,z,t)、又は、密度と比熱の積の分布のρｃ_i(x,y,z) 若しくはρｃ(x,y,z) が、未知ではあるが、空間的に一定であると想定される場合、即ち、各々が、密度と比熱の積の時系列ρｃ_i(t) 又は密度と比熱の積ρｃ_i若しくはρｃと表される場合には、（４１）式の代わりに、関心領域内の、熱拡散率ｈ₀（熱拡散率分布の時系列h_0i(x,y,z,t)、又は、熱拡散率分布ｈ_0i(x,y,z) 若しくはｈ₀(x,y,z)）を変数とする次の１階の空間偏微分方程式：
【数４７】

及び、（４２）式の代わりに時系列i及び時間ｔに依存しうる次の初期条件（時系列ｉ及び時間ｔに対して一定であると想定される場合もある）：
h_0i(x,y,z,t)=h'_0i(x,y,z,t) …(44)
且つ、
(x,y,z)∈w_m(t) (m(t)=1〜N(t))
が扱われることがある。尚、（４３）式の左辺の温度の時間方向の１階の偏微分ｄT_i(x,y,z,t)／dtは、近似的に零とされることがある。
【０１３８】
また、関心領域内において密度分布の時系列ρ_i(x,y,z,t)、又は、密度分布ρ_i(x,y,z) 若しくはρ(x,y,z)が、未知ではあるが、空間的に一定であると想定される場合には、（４１）式の代わりに、関心領域内の、熱伝導率と密度の比h₁（熱伝導率と密度の比の分布の時系列h_1i(x,y,z,t)、又は、熱伝導率と密度の比の分布ｈ_1i(x,y,z) 若しくはｈ₁(x,y,z)）を変数とする次の１階の空間偏微分方程式：
【数４８】

及び（４２）式の代わりに時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる次の初期条件（時系列ｉ及び時間ｔに対して一定であると想定される場合もある）：
h_1i(x,y,z,t)=h'_1i(x,y,z,t) …(46)
且つ、
(x,y,z)∈w_m(t) (m(t)=1〜N(t))
が扱われることがある。尚、（４５）式の左辺の温度の時間方向の１階の偏微分ｄT_i(x,y,z,t)／dtは、近似的に零とされることがある。
【０１３９】
また、関心領域内において比熱分布の時系列ｃ_i(x,y,z,t)、又は、比熱分布ｃ_i(x,y,z)若しくはｃ_i(x,y,z)が、未知ではあるが、空間的に一定であると想定される場合、（４１）式の代わりに、関心領域内の、熱伝導率と比熱の比h₂（熱伝導率と比熱の比の分布の時系列h_2i(x,y,z,t)、又は、熱伝導率と比熱の比の分布ｈ_2i(x,y,z) 若しくはｈ₂(x,y,z) ）を変数とする次の１階の空間偏微分方程式：
【数４９】

及び、（４２）式の代わりに時系列ｉ及び時間ｔに依存しうる次の初期条件（時系列i及び時間ｔに対して一定であると想定される場合もある）：
h_2i(x,y,z,t)=h'_2i(x,y,z,t) …(48)
且つ、
(x,y,z)∈w_m(t) (m(t)=1〜N(t))
が扱われることがある。尚、（４７）式の左辺の温度の時間方向の１階の偏微分ｄT_i(x,y,z,t)／dtは、近似的に零とされることがある。
２次元、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０１４０】
従って、以下の各物性パラメータを未知とする連続した有限領域が３次元、２次元、又は、１次元関心領域を構成することとなり（以下、この連続した有限領域を構成領域と称する）、少なくとも１つの３次元、２次元、又は、１次元の構成領域内の、熱伝導率分布の、L_ij（３次元構成領域の場合はｋ_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はｋ_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はｋ_i(x,t)）、及び、L_i（３次元構成領域の場合はｋ_i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はｋ_i(x,y)、１次元構成領域の場合はｋ_i(x)）、及び、L（３次元構成領域の場合はｋ(x,y,z)、２次元構成領域の場合はｋ(x,y)、１次元構成領域の場合はｋ(x)）、及び、密度と比熱の積の分布の、R_ij（３次元構成領域の場合はρｃ_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はρｃ_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はρｃ_i(x,t)）、及び、R_i（３次元構成領域の場合はρｃ_i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はρｃ_i(x,y)、１次元構成領域の場合はρｃ_i(x)）、及び、R（３次元構成領域の場合はρｃ(x,y,z)、２次元構成領域の場合はρｃ(x,y)、１次元構成領域の場合はρｃ(x)）、及び、密度分布の、S_ij（３次元構成領域の場合はρ_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はρ_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はρ_i(x,t)）、及び、S_i（３次元構成領域の場合はρ_i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はρ_i(x,y)、１次元構成領域の場合はρ_i(x)）、及び、S（３次元構成領域の場合はρ(x,y,z)、２次元構成領域の場合はρ(x,y)、１次元構成領域の場合はρ(x)）、及び、比熱分布の、S_ij（３次元構成領域の場合はｃ_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はｃ_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はｃ_i(x,t)）、及び、S_i（３次元構成領域の場合はｃ_i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はｃ_i(x,y)、１次元構成領域の場合はｃ_i(x)）、及び、S（３次元構成領域の場合はｃ(x,y,z)、２次元構成領域の場合はｃ(x,y)、１次元構成領域の場合はｃ(x)）、及び、熱拡散率分布の、H_0ij（３次元構成領域の場合はh_0i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はh_0i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はｈ_0i(x,t)）、及び、H_0i（３次元構成領域の場合はｈ_0i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh_0i(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ_0i(x)）、及び、H₀（３次元構成領域の場合はｈ₀(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh₀(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ₀(x)）、及び、熱伝導率と密度の比の分布の、H_1ij （３次元構成領域の場合はh_1i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はh_1i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はｈ_1i(x,t)）、及び、H_1i（３次元構成領域の場合はｈ_1i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh_1i(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ_1i(x)）、及び、H₁（３次元構成領域の場合はｈ₁(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh₁(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ₁(x)）、及び、熱伝導率と比熱の比の分布の、H_2ij（３次元構成領域の場合はh_2i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はh_2i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はｈ_2i(x,t)）、及び、H_2i （３次元構成領域の場合はｈ_2i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh_2i(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ_2i(x)）、及び、H₂（３次元構成領域の場合はｈ₂(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh₂(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ₂(x)）の内の少なくともいずれか１つが未知分布として計測対象となる。従って、設定される構成領域は、互いに同一位置の領域を含むことがあり、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものである。
【０１４１】
以下、時系列データのサンプリング間隔をΔtとして離散時間座標ｊをｊ 〜 t/Δt （j ＝ ０〜ｎ）、離散空間座標系(I,J,K,i,j) を (I,J,K,i,j) 〜 (x/Δx, y/Δy, z/Δz, i, t/Δt)）と近似する。
従って、３次元関心領域（離散座標系(I,J,K,i,j) 〜 (x/Δx, y/Δy, z/Δz, i, t/Δt)）を対象として、（４１）式及び（４２）式が扱われる場合には、３次元熱伝導率分布の時系列ｋ_i(x,y,z,t) 及び３次元熱伝導率分布のｋ_i(x,y,z) 又はｋ(x,y,z) は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、３次元節点熱伝導率の時系列ｋ_i(I,J,K,j)、３次元節点熱伝導率ｋ_i(I,J,K)、ｋ(I,J,K)、及び、前記３次元基底関数φ_3k(I,J,K,x,y,z)、又は、空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ_4k(I,J,K,j,x,y,z,t) を用いて、各々、ｋ_i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,Kφ_3k(I,J,K,x,y,z)ｋ_i(I,J,K,j)又はｋ_i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,K,jφ_4k(I,J,K,j,x,y,z,t)ｋ_i(I,J,K,j)、ｋ_i(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3k(I,J,K,x,y,z)ｋ_i(I,J,K)、ｋ(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3k(I,J,K,x,y,z)ｋ(I,J,K)と内挿され、有限差分近似される場合は、３次元節点熱伝導率の時系列ｋ_i(I,J,K,j)、３次元節点熱伝導率ｋ_i(I,J,K)、ｋ(I,J,K)により、各々、ｋ_i(x,y,z,t) 〜 ｋi(I,J,K,j)、ｋ_i(x,y,z) 〜 ｋ_i(I,J,K)、ｋ(x,y,z) 〜 ｋ(I,J,K)と近似される。ここで、４次元基底関数φ_4k(I,J,K,j,x,y,z,t)の微分可能性については、x,y,zに関しては１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、使用される３次元基底関数φ_3k(I,J,K,x,y,z)又は４次元基底関数φ_4k(I,J,K,j,x,y,z,t)は、参照熱伝導率（分布）ｋi'(I,J,K,j)、ｋ_i'(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)を表現できるものである必要がある。
【０１４２】
また、３次元密度分布の時系列ρ_i(x,y,z,t)又は３次元密度分布のρ_i(x,y,z)又はρ(x,y,z)、及び、３次元比熱分布の時系列ｃ_i(x,y,z,t)又は３次元比熱分布のｃ_i(x,y,z)又はｃ(x,y,z)、の両者が与えられる場合と両者とも与えられない場合は、密度と比熱の積の３次元分布の時系列はρｃ_i(x,y,z,t)として、又、密度と比熱の積の３次元分布はρｃ_i(x,y,z)又はρｃ(x,y,z)として、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、３次元節点密度と３次元節点比熱の積の時系列ρｃ_i(I,J,K,j)、３次元節点密度と３次元節点比熱の積ρｃ_i(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、及び、３次元基底関数φ₃ρ_c(I,J,K,x,y,z)又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ₄ρ_c(I,J,K,j,x,y,z,t) を用いて、各々、ρｃ_i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,Kφ₃ρ_c(I,J,K,x,y,z)ρｃ_i(I,J,K,j)又はρｃ_i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,K,jφ₄ρ_c(I,J,K,j,x,y,z,t)ρｃ_i(I,J,K,j)、ρｃ_i(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ₃ρ_c(I,J,K,x,y,z)ρｃ_i(I,J,K)、ρｃ(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ₃ρ_c(I,J,K,x,y,z)ρｃ(I,J,K)と内挿され、有限差分近似される場合は、３次元節点密度と３次元節点比熱の積の時系列ρｃ_i(I,J,K,j)、３次元節点密度と３次元節点比熱の積ρｃ_i(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)により、各々、ρｃ_i(x,y,z,t) 〜 ρｃ_i(I,J,K,j)、ρｃ_i(x,y,z) 〜 ρｃ_i(I,J,K)、ρｃ(x,y,z) 〜 ρｃ(I,J,K)と近似される。ここで、３次元基底関数φ₃ρ_c(I,J,K,x,y,z)及び４次元基底関数φ₄ρ_c(I,J,K,j,x,y,z,t)の微分可能性については、各々、後記のx,y,z,tに関して必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、ρｃ_i(I,J,K,j)、ρｃ_i(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)が与えられる場合には、使用される３次元基底関数φ₃ρ_c(I,J,K,x,y,z)又は４次元基底関数φ₄ρ_c(I,J,K,t,x,y,z,t)は、これらを表現できるものである必要がある。
また、３次元密度分布の時系列ρ_i(x,y,z,t)又は３次元密度分布のρ_i(x,y,z)又はρ(x,y,z)、又は、３次元比熱分布の時系列ｃ_i(x,y,z,t)又は３次元比熱分布のｃ_i(x,y,z)又はｃ(x,y,z)、のいずれか一方のみが与えられる場合は、３次元密度分布の時系列ρ_i(x,y,z,t)、３次元密度分布のρ_i(x,y,z)、ρ(x,y,z)、及び、３次元比熱分布の時系列ｃ_i(x,y,z,t)、３次元比熱分布のｃ_i(x,y,z)、ｃ(x,y,z)は、有限要素近似又は有限差分近似され、３次元密度分布の時系列ρ_i(x,y,z,t)、３次元密度分布のρ_i(x,y,z)、ρ(x,y,z)は、有限要素近似される場合は、３次元節点密度の時系列ρ_i(I,J,K,j)、３次元節点密度ρ_i(I,J,K)、及び、３次元基底関数φ₃ρ(I,J,K,x,y,z)又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ₄ρ(I,J,K,j,x,y,z,t) を用いて、各々、ρ_i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,Kφ₃ρ(I,J,K,x,y,z)ρ_i(I,J,K,j)又はρ_i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,K,jφ₄ρ(I,J,K,j,x,y,z,t)ρ_i(I,J,K,j)、ρ_i(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ₃ρ(I,J,K,x,y,z)ρ_i(I,J,K)、ρ(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ₃ρ(I,J,K,x,y,z)ρ(I,J,K)と内挿され、有限差分近似される場合は、各々、３次元節点密度の時系列ρ_i(I,J,K,j)、３次元節点密度のρ_i(I,J,K)、ρ(I,J,K)により、ρ_i(x,y,z,t) 〜 ρ_i(I,J,K,j)、ρ_i(x,y,z) 〜ρ_i(I,J,K)、ρ(x,y,z) 〜 ρ(I,J,K)と近似され、また、３次元比熱分布の時系列ｃ_i(x,y,z,t)、３次元比熱分布ｃ_i(x,y,z)、ｃ(x,y,z)は、有限要素近似される場合には、３次元節点比熱の時系列ｃ_i(I,J,K,j)、３次元節点比熱ｃ_i(I,J,K)、ｃ(I,J,K)、及び、３次元基底関数φ_3c(I,J,K,x,y,z)又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ_4c(I,J,K,j,x,y,z,t)を用いて、各々、ｃ_i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,Kφ_4c(I,J,K,x,y,z)ｃ_i(I,J,K,j)又はｃ_i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,K,jφ_4c(I,J,K,j,x,y,z,t)ｃ_i(I,J,K,j)、ｃ_i(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3c(I,J,K,x,y,z)ｃ_i(I,J,K)、ｃ(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3c(I,J,K,x,y,z)ｃ(I,J,K)と内挿され、有限差分近似される場合は、３次元節点比熱の時系列ｃ_i(I,J,K,j)、３次元節点比熱ｃ_i(I,J,K)、ｃ(I,J,K)により、各々、ｃ_i(x,y,z,t) 〜 ｃ_i(I,J,K,j)、ｃ_i(x,y,z) 〜 ｃ_i(I,J,K)、ｃ(x,y,z) 〜 ｃ(I,J,K)と近似される。
【０１４３】
ここで、３次元基底関数φ₃ρ(I,J,K,x,y,z)及び４次元基底関数φ₄ρ(I,J,K,j,x,y,z,t)の微分可能性については、各々、後記のx,y,z,tに関して必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、ρ_i(I,J,K,j)、ρ_i(I,J,K)、ρ(I,J,K)が与えられる場合には、使用される３次元基底関数φ₃ρ(I,J,K,x,y,z)又は４次元基底関数φ₄ρ(I,J,K,t,x,y,z,t)は、これらを表現できるものである必要がある。３次元基底関数φ_3c(I,J,K,x,y,z)及び４次元基底関数φ_4c(I,J,K,j,x,y,z,t)の微分可能性については、各々、後記のx,y,z,tに関して必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、ｃ_i(I,J,K,j)、ｃ_i(I,J,K)、ｃ(I,J,K)が与えられる場合には、使用される３次元基底関数φ_3c(I,J,K,x,y,z)又は４次元基底関数φ_4c(I,J,K,t,x,y,z,t)は、これらを表現できるものである必要がある。
【０１４４】
また、３次元関心領域を対象として、（４３）式及び（４４）式が扱われる場合には、３次元熱拡散率分布の時系列ｈ_0i(x,y,z,t)又は３次元熱拡散率分布のｈ_0i(x,y,z)又はｈ₀(x,y,z)は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、３次元節点熱拡散率の時系列ｈ_0i(I,J,K,j)、３次元節点熱拡散率ｈ_0i(I,J,K)、ｈ₀(I,J,K)、及び、前記３次元基底関数φ_3h(I,J,K,x,y,z)又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t) を用いて、各々、ｈ_0i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,Kφ_3h(I,J,K,x,y,z)ｈ_0i(I,J,K,j)又はｈ_0i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,K,jφ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t)ｈ_0i(I,J,K,j)、ｈ_0i(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3h(I,J,K,x,y,z)ｈ_0i(I,J,K)、ｈ₀(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3h(I,J,K,x,y,z)ｈ₀(I,J,K)と内挿され、有限差分近似される場合は、３次元節点熱拡散率の時系列ｈ_0i(I,J,K,j)、３次元節点熱拡散率ｈ_0i(I,J,K,j)、ｈ₀(I,J,K,j)により、各々、ｈ_0i(x,y,z,t) 〜 ｈ_0i(I,J,K,j)、ｈ_0i(x,y,z) 〜 ｈ_0i(I,J,K)、ｈ₀(x,y,z) 〜 ｈ₀(I,J,K)と近似される。ここで、３次元基底関数φ_3h(I,J,K,x,y,z)及び４次元基底関数φ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t)の微分可能性については、各々、x,y,zに関しては１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、使用される３次元基底関数φ_3h(I,J,K,x,y,z)又は４次元基底関数φ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t)は、参照熱拡散率（分布）ｈ_0i'(I,J,K,j)、ｈ_0i'(I,J,K)、ｈ₀'(I,J,K)を表現できるものである必要がある。
【０１４５】
また、３次元関心領域を対象として、（４５）式及び（４６）式が扱われる場合には、熱伝導率と密度の比の３次元分布の時系列ｈ_1i(x,y,z,t)又は熱伝導率と密度の比の３次元分布のｈ_1i(x,y,z)又はｈ₁(x,y,z)は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布の時系列ｈ_1i(I,J,K,j)、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布ｈ_1i(I,J,K)、ｈ₁(I,J,K)、及び、前記３次元基底関数φ_3h(I,J,K,x,y,z)又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t) を用いて、各々、ｈ_1i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,Kφ_3h(I,J,K,x,y,z)ｈ_1i(I,J,K,j)又はｈ_1i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,K,jφ_4h(I,J,K,j,x,y,z)ｈ_1i(I,J,K,j)、ｈ_1i(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3h(I,J,K,x,y,z)ｈ_1i(I,J,K)、ｈ₁(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3h(I,J,K,x,y,z)ｈ₁(I,J,K)と内挿され、有限差分近似される場合は、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布の時系列ｈ_1i(I,J,K,j)、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布ｈ_1i(I,J,K,j)、ｈ₁(I,J,K,j)により、各々、ｈ_1i(x,y,z,t) 〜 ｈ_1i(I,J,K,j)、ｈ_1i(x,y,z) 〜ｈ_1i(I,J,K)、ｈ₁(x,y,z) 〜 ｈ₁(I,J,K)と近似される。ここで、３次元基底関数φ_3h(I,J,K,x,y,z)及び４次元基底関数φ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t)の微分可能性については、各々、x,y,zに関しては１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、使用される３次元基底関数φ_3h(I,J,K,x,y,z)又は４次元基底関数φ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t)は、熱伝導率と密度の比の参照値（分布）ｈ_1i'(I,J,K,j)、ｈ_1i'(I,J,K)、ｈ₁'(I,J,K)を表現できるものである必要がある。
【０１４６】
また、３次元関心領域を対象として、（４７）式及び（４８）式が扱われる場合には、熱伝導率と比熱の比の３次元分布の時系列ｈ_2i(x,y,z,t)又は熱伝導率と比熱の比の３次元分布のｈ_2i(x,y,z)又はｈ₂(x,y,z)は、有限要素近似又は有限差分近似され、有限要素近似される場合は、熱伝導率と比熱の比の３次元節点分布の時系列ｈ_2i(I,J,K,j)、熱伝導率と比熱の比の３次元節点分布ｈ_2i(I,J,K)、ｈ₂(I,J,K)、及び、前記３次元基底関数φ_3h(I,J,K,x,y,z)又は空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t) を用いて、各々、ｈ_2i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,Kφ_3h(I,J,K,x,y,z)ｈ_2i(I,J,K,j)又はｈ_2i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,K,jφ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t)ｈ_2i(I,J,K,j)、ｈ_2i(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3h(I,J,K,x,y,z)ｈ_2i(I,J,K)、ｈ₂(x,y,z) 〜 Σ_I,J,Kφ_3h(I,J,K,x,y,z)ｈ₂(I,J,K)と内挿され、有限差分近似される場合は、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布の時系列ｈ_2i(I,J,K,j)、熱伝導率と密度の比の３次元節点分布ｈ_2i(I,J,K,j)、ｈ₂(I,J,K,j)により、各々、ｈ_2i(x,y,z,t) 〜 ｈ_2i(I,J,K,j)、ｈ_2i(x,y,z) 〜 ｈ_2i(I,J,K)、ｈ₂(x,y,z) 〜 ｈ₂(I,J,K)と近似される。ここで、３次元基底関数φ_3h(I,J,K,x,y,z)及び４次元基底関数φ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t)の微分可能性については、各々、x,y,zに関しては１回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、ｔと共に、必要となる微分処理が少なくとも可能であれば十分である。また、使用される３次元基底関数φ_3h(I,J,K,x,y,z)又は４次元基底関数φ_4h(I,J,K,j,x,y,z,t)は、熱伝導率と比熱の比の参照値（分布）ｈ_2i'(I,J,K,j)、ｈ_2i'(I,J,K)、ｈ₂'(I,J,K)を表現できるものである必要がある。
【０１４７】
次に、３次元温度分布の時系列T_i(x,y,z,t) （i（＝１〜Ｍ）は測定された独立した３次元温度分布の時系列Ｔ_i(x,y,z,t)を指し、Ｍはその温度分布の時系列の数（１以上）である。）の時間方向の１階の偏微分ｄT_i(x,y,z,t)／dt及び空間偏微分が有限要素近似(変分原理又はガラ−キン法)される場合（有限要素の節点数は省略。以下、同様。）には、３次元温度分布の時系列T_i(x,y,z,t)は、次の（ａ）〜（ｃ）のいずれかのように評価される。
【０１４８】
（ａ）測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)及び空間座標を変数とする前記３次元基底関数φ_3T(I,J,K,x,y,z)を用いて、T_i(x,y,z,t) 〜 Σ_I,J,Kφ_3T(I,J,K,x,y,z)T_i(I,J,K,j)と内挿されることにより評価される。
【０１４９】
（ｂ）測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)及び空間座標及び時間を変数とする４次元基底関数φ_4T(I,J,K,j,x,y,z,t)を用いて、T_i(x,y,z,t)〜 Σ_I,J,K,jφ_4T(I,J,K,j,x,y,z,t)T_i(I,J,K,j)と内挿されることにより評価される。ここで、４次元基底関数φ_4T(I,J,K,j,x,y,z,t)は、ｔに関しては１回以上偏微分可能である必要があり、x,y,zに関しては2回以上偏微分可能である必要があるが、実際には、必要となる微分処理を少なくとも可能とするものであれば十分である。
【０１５０】
（ｃ）３次元温度分布の時系列T_i(x,y,z,t)の時間方向の１階の偏微分ｄT_i(x,y,z,t)／dt及び空間偏微分が有限差分近似される場合には、３次元温度分布の時系列T_i(x,y,z,t)は、測定された３次元節点温度分布の時系列T_i(I,J,K,j)を用いて、T_i(x,y,z,t) 〜 T_i(I,J,K,j)）と近似される。
【０１５１】
これより、３次元温度分布の時系列T_i(x,y,z,t)の時間方向の１階の偏微分の３次元分布の時系列ｄT_i(x,y,z,t)／dtは、次のように評価される。
（ａ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に時間j方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間j方向に微分フィルタをかけて得られるｄT_i／dt(I,J,K,j)か、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に時間j方向に時間j方向又は時空間I,J,K,j方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄT_i／dt(I,J,K,j)のいずれかが、前記３次元基底関数φ_3T(I,J,K,x,y,z)を用いて内挿されることにより評価される。
【０１５２】
（ｂ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に時間j方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ_4T(I,J,K,j,x,y,z,t)を時間tに関して偏微分したもので内挿されることにより評価される。
【０１５３】
（ｃ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に時間j方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけた上で時間j方向に微分フィルタをかけて得られるｄT_i／dt(I,J,K,j)か、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に時間j方向に時間j方向又は時空間I,J,K,j方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるｄT_i／dt(I,J,K,j)のいずれかにより近似される。
【０１５４】
さらに、３次元温度勾配ベクトル分布の時系列Ｄ_i(x,y,z,t)（= ［Ｄ_ix(x,y,z,t), Ｄ_iy(x,y,z,t), Ｄ_iz(x,y,z,t)］^T）は、次のように評価される。
（ａ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけた上で各I,J,K方向に微分フィルタをかけて得られるD_i(I,J,K,j) （= ［Ｄ_ix(I,J,K,j), Ｄ_iy(I,J,K,j), Ｄ_iz(I,J,K,j)］^T）か、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に各I,J,K方向に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるD_i(I,J,K,j)のいずれかが、前記３次元基底関数φ_3T(I,J,K,x,y,z)を用いて内挿されるか、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記３次元基底関数φ_3T(I,J,K,x,y,z)を各x,y,z方向に偏微分したもので内挿されるかにより評価される。
【０１５５】
（ｂ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけた上で各I,J,K方向に微分フィルタをかけて得られるD_i(I,J,K,j)か、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に各I,J,K方向に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるD_i(I,J,K,j)のいずれかが、前記４次元基底関数φ_4T(I,J,K,j,x,y,z,t)を用いて内挿されるか、３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ_4T(I,J,K,j,x,y,z,t)を各x,y,z方向に関して偏微分したもので内挿されるかにより評価される。
【０１５６】
（ｃ）の場合には、測定された３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけた上で各I,J,K方向に微分フィルタをかけて得られるD_i(I,J,K,j)か、又は、３次元節点温度分布の時系列Ｔ_i(I,J,K,j)に各I,J,K方向に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけて得られるD_i(I,J,K,j)のいずれかにより近似される。
【０１５７】
さらに、３次元温度勾配ベクトルＤ_i(x,y,z,t)（= ［Ｄ_ix(x,y,z,t), Ｄ_iy(x,y,z,t), Ｄ_iz(x,y,z,t)］^T）の発散分布の時系列は、次のように評価される。
（ａ）の場合には、測定された３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列D_i(I,J,K,j)に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけた上で各I,J,K方向に微分フィルタをかけたものか、又は、３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列D_i(I,J,K,j)に各I,J,K方向に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけたもののいずれかが、前記３次元基底関数φ_3T(I,J,K,x,y,z)を用いて内挿されるか、又は、３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列D_i(I,J,K,j)に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記３次元基底関数φ_3T(I,J,K,x,y,z)の各x,y,z方向の２階の偏微分で内挿されるかにより評価される。
【０１５８】
（ｂ）の場合には、測定された３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列D_i(I,J,K,j)に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけた上で各I,J,K方向に微分フィルタをかけたものか、又は、３次元節点温度勾配ベクトル分布の時系列D_i(I,J,K,j)に各I,J,K方向に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけたもののいずれかが、前記４次元基底関数φ_4T(I,J,K,j,x,y,z,t)を用いて内挿されるか、３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列D_i(I,J,K,j)に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけたものが、前記４次元基底関数φ_4T(I,J,K,j,x,y,z,t)の各x,y,z方向の２階の偏微分で内挿されるかにより評価される。
【０１５９】
（ｃ）の場合には、測定された３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列D_i(I,J,K,j)に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向に低域通過型フィルタをかけた上で各I,J,K方向に微分フィルタをかけたものか、又は、３次元節点温度勾配ベクトル分布時系列D_i(I,J,K,j)に各I,J,K方向に空間I,J,K方向又は時空間I,J,K,j方向の帯域制限付きの微分フィルタをかけたもののいずれかにより近似される。
尚、２次元構成領域及び１次元構成領域を対象とする各々の場合、上記の各基底関数の空間座標系を２次元及び１次元にしたものが使用される。
【０１６０】
第１の基本原理に従い、適宜、関心領域内の各構成領域においてその領域内の未知分布を表す（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の空間偏微分方程式のいずれかの少なくとも１つに変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用して（前記（ａ）又は（ｂ））、関心領域内において導出された代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する連立方程式を導出する場合（関心領域を構成する構成領域は同一領域を含むことがあり、また、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものを表す。）、即ち、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Q、即ち、熱伝導率分布 L_ij（３次元構成領域の場合はｋ_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はｋ_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はｋ_i(x,t)）又は L_i（３次元構成領域の場合はｋ_i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はｋ_i(x,y)、１次元構成領域の場合はｋ_i(x)）又は L（３次元構成領域の場合はｋ(x,y,z)、２次元構成領域の場合はk(x,y)、１次元構成領域の場合はｋ(x)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおける汎関数I_i(L) （３次元構成領域の場合は（５’）式、２次元構成領域の場合は（７’）式、１次元構成領域の場合は（９’）式の１つ目の式、但し、式中のｋはk_iと表される。） の積分核に、
【数５０】

を加え、これより得られる汎関数I_ij(L_ij)又はI_ij(L_i)又はI_ij(L)を（４９）式とする。
【０１６１】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Q、即ち、熱伝導率 ｋ_i(x,t) 又は ｋ_i(x) 又は ｋ(x) の１階微分の１次元分布 dｋ_i(x,t)／dx 又は dｋ_i(x)／dx 又は dｋ(x)／dx に変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおける汎関数I_i(L)（（９’）式の２つ目の式、但し、式中のｋはk_iと表される）の積分核に、
【数５１】

を加え、これより得られる汎関数I_ij(・)を（５０）式とする。
【０１６２】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Q、即ち、密度と比熱の積の分布 R_ij（３次元構成領域の場合はρｃ_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はρｃ_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はρｃ_i(x,t)）又は R_i（３次元構成領域の場合はρｃ_i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はρｃ_i(x,y)、１次元構成領域の場合はρｃ_i(x)）又は R（３次元構成領域の場合はρｃ(x,y,z)、２次元構成領域の場合はρｃ(x,y)、１次元構成領域の場合はρｃ(x)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数５２】

２次元構成領域を対象とした場合には、
【数５３】

１次元構成領域を対象とした場合には、
【数５４】

を汎関数I_ij(R_ij)又はI_ij(R_i)又はI_ij(R)とする。
【０１６３】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Q、即ち、密度分布 S_ij（３次元構成領域の場合はρ_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はρ_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はρ_i(x,t)）又は S_i（３次元構成領域の場合はρ_i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はρ_i(x,y)、１次元構成領域の場合はρ_i(x)）又はS（３次元構成領域の場合はρ(x,y,z)、２次元構成領域の場合はρ(x,y)、１次元構成領域の場合はρ(x)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数５５】

２次元構成領域を対象とした場合には、
【数５６】

１次元構成領域を対象とした場合には、
【数５７】

を汎関数I_ij(S_ij)又はI_ij(S_i)又はI_ij(S)とする。
【０１６４】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Q、即ち、比熱分布 S_ij （３次元構成領域の場合はｃ_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はｃ_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はｃ_i(x,t)）又は S_i（３次元構成領域の場合はｃ_i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はｃ_i(x,y)、１次元構成領域の場合はｃ_i(x)）又はS（３次元構成領域の場合はｃ(x,y,z)、２次元構成領域の場合はｃ(x,y)、１次元構成領域の場合はｃ(x)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数５８】

２次元構成領域を対象とした場合には、
【数５９】

１次元構成領域を対象とした場合には、
【数６０】

を汎関数I_ij(S_ij)又はI_ij(S_i)又はI_ij(S)とする。
【０１６５】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４３）式中に表される分布Q、即ち、熱拡散率分布 H_0ij（３次元構成領域の場合はh_0i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はh_0i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はｈ_0i(x,t)）又は H_0i（３次元構成領域の場合はｈ_0i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh_0i(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ_0i(x)）又は H₀（３次元構成領域の場合はｈ₀(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh₀(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ₀(x)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数６１】

２次元構成領域を対象とした場合には、
【数６２】

１次元構成領域を対象とした場合には、
【数６３】

を汎関数I_ij(H_0ij)又はI_ij(H_0i)又はI_ij(H₀)とする。
【０１６６】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４３）式中に表される分布Q、即ち、熱拡散率 ｈ_0i(x,t) 又は ｈ_0i(x) 又は ｈ₀(x) の１階微分の１次元分布 dｈ_0i(x,t)／dx 又は dｈ_0i(x)／dx 又は dｈ₀(x)／dx に変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおいて、
【数６４】

を汎関数I_ij(・)とする。
【０１６７】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４５）式中に表される分布Q、即ち、熱伝導率と密度の比の分布 H_1ij（３次元構成領域の場合はh_1i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はh_1i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はｈ_1i(x,t)）又は H_1i（３次元構成領域の場合はｈ_1i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh_1i(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ_1i(x)）又は H₁（３次元構成領域の場合はｈ₁(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh₁(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ₁(x)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数６５】

２次元構成領域を対象とした場合には、
【数６６】

１次元構成領域を対象とした場合には、
【数６７】

を汎関数I_ij(H_1ij)、I_ij(H_1i)、I_ij(H₁)とする。
【０１６８】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４５）式中に表される分布Q、即ち、熱伝導率と密度の比 h_1i(x,t) 又は ｈ_1i(x) 又は ｈ₁(x) の１階微分の１次元分布 ｄh_1i(x,t)／dx 又は dｈ_1i(x)／dx 又は dｈ₁(x)／dxに関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおいて、
【数６８】

を汎関数I_ij(・)とする。
【０１６９】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４７）式中に表される分布Q、即ち、熱伝導率と比熱の比の分布H_2ij （３次元構成領域の場合はh_2i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はh_2i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はｈ_2i(x,t)）又は H_2i（３次元構成領域の場合はｈ_2i(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh_2i(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ_2i(x)）又は H₂（３次元構成領域の場合はｈ₂(x,y,z)、２次元構成領域の場合はh₂(x,y)、１次元構成領域の場合はｈ₂(x)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおいて、
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数６９】

２次元構成領域を対象とした場合には、
【数７０】

１次元構成領域を対象とした場合には、
【数７１】

を汎関数I_ij(H_2ij)、I_ij(H_2i)、I_ij(H₂)とする。
【０１７０】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４７）式中に表される分布Q、即ち、熱伝導率と比熱の比 ｈ_2i(x,t)、又は、h_2i(x)、又は、ｈ₂(x) の１階微分の１次元分布 dｈ_2i(x,t)／dx 又は ｄh_2i(x)／dx 又は dｈ₂(x)／dx に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおいて、
【数７２】

を汎関数I_ij(・)とする。
【０１７１】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布、即ち、温度分布ｓ_ij（３次元構成領域の場合はT_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はT_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はT_i(x,t)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおける汎関数I_ij(s_ij)（３次元構成領域の場合は（６）式の２つ目の式、２次元構成領域の場合は（８）式の２つ目の式、１次元構成領域の場合は（１０）式の２つ目の式）の積分核に、
【数７３】

を加え、これより得られる汎関数I_ij(S_ij)を（７２）式とする。
【０１７２】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４３）式中に表される分布Q、即ち、温度分布ｓ_ij（３次元構成領域の場合はT_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はT_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はT_i(x,t)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおける汎関数I_ij(ｓ_ij)、即ち、
３次元構成領域の場合には、
【数７４】

２次元構成領域の場合には、
【数７５】

１次元構成領域の場合には、
【数７６】

の積分核に、
【数７７】

を加え、これより得られる汎関数I_ij(ｓ_ij)を（７３）式とする。
【０１７３】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４５）式中に表される分布Q、即ち、温度分布ｓ_ij（３次元構成領域の場合はT_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はT_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はT_i(x,t)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおける汎関数I_ij(ｓ_ij)、即ち、
３次元構成領域の場合には、
【数７８】

２次元構成領域の場合には、
【数７９】

１次元構成領域の場合には、
【数８０】

の積分核に、
【数８１】

を加え、これより得られる汎関数I_ij(ｓ_ij)を（７４）式とする。
【０１７４】
あるいは、第１の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４７）式中に表される分布Q、即ち、温度分布ｓ_ij（３次元構成領域の場合はT_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はT_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はT_i(x,t)）に関して変分原理に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合（（a）又は（b））は、時間ｔにおける汎関数I_ij(ｓ_ij)、即ち、
３次元構成領域の場合には、
【数８２】

２次元構成領域の場合には、
【数８３】

１次元構成領域の場合には、
【数８４】

の積分核に、
【数８５】

を加え、これより得られる汎関数I_ij(ｓ_ij)を（７５）式とする。
【０１７５】
３次元関心領域を対象とする場合には、適宜、３次元関心領域内の３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の未知分布を表す（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の空間偏微分方程式のいずれかを用いて導出された分布Q（即ち、前記の、L_ij、L_i、L、熱伝導率の１階偏微分の分布、R_ij、R_i、R、S_ij、S_i、S、H₀ij、H₀i、H₀、熱拡散率の１階の偏微分の分布、H_1ij、H_1i、H₁、熱伝導率と密度の比の１階偏微分の分布、H_2ij、H_2i、H₂、熱伝導率と比熱の比の１階偏微分の分布、又は、ｓ_ij）に関する（４９）式〜（７５）式の汎関数I_ij(Q)のいずれかの少なくとも１つが、前述の基底関数を使用して有限要素近似又は離散近似されることにより、節点分布Ｑ''に関する汎関数I_ij(Q'')として、次に示すいずれかとなる。ここで、使用される汎関数I_ij(Q)が１つの場合には、構成領域は関心領域そのものである。
【０１７６】
（１）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点熱伝導率分布のｋ_i(I,J,K,j)、ｋ_i(I,J,j)、又は、ｋ_i(I,j)から成るベクトルL''_ijに関する汎関数I_ij(L''_ij)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点熱伝導率分布ｋ_i(I,J,K)、ｋ_i(I,J)、又は、ｋ_i(I)から成るベクトルL''_iに関する汎関数I_ij(L''_i)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点熱伝導率分布ｋ(I,J,K)、ｋ(I,J)、又は、ｋ(I)から成るベクトルL''に関する汎関数I_ij(L'')。
【０１７７】
（２）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の密度と比熱の積の節点分布ρｃ_i(I,J,K,j)、ρｃ_i(I,J,j)、ρｃ_i(I,j)から成るベクトルR''_ijに関する汎関数I_ij(R''_ij)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の密度と比熱の積の節点分布ρｃ_i(I,J,K)、ρｃ_i(I,J)、ρｃ_i(I)から成るベクトルR''_iに関する汎関数I_ij(R''_i)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の密度と比熱の積の節点分布ρｃ(I,J,K)、ρｃ(I,J)、又は、ρｃ(I)から成るベクトルR''に関する汎関数I_ij(R'')。
【０１７８】
（３）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点密度分布ρ_i(I,J,Kj)、ρ_i(I,J,j)、ρ_i(I,j)から成るベクトルS''_ijに関する汎関数I_ij(S''_ij)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点密度分布ρ_i(I,J,K)、ρ_i(I,J)、ρ_i(I)から成るベクトルS''_iに関する汎関数I_ij(S''_i)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点密度分布ρ(I,J,K)、ρ(I,J)、ρ(I)から成るベクトルS''に関する汎関数I_ij(S'')。
【０１７９】
（４）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点比熱分布ｃ_i(I,J,K,j)、ｃ_i(I,J,j)、ｃ_i(I,j)から成るベクトルS''ijに関する汎関数I_ij(S''_ij)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点比熱分布ｃ_i(I,J,K)、ｃ_i(I,J)、ｃ_i(I)から成るベクトルS''_iに関する汎関数I_ij(S''_i)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点比熱分布ｃ(I,J,K)、ｃ(I,J)、ｃ(I)から成るベクトルS''に関する汎関数I_ij(S'')。
【０１８０】
（５）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点熱拡散率分布h_0i(I,J,K,j) 、h_0i(I,J,j) 、h_0i(I,j)から成るベクトルH₀''ijに関する汎関数I_ij(H₀''_ij)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点熱拡散率分布h_0i(I,J,K)、h_0i(I,J)、h_0i(I)から成るベクトルH₀''iに関する汎関数I_ij(H₀''_i)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の構成領域内の節点熱拡散率分布h₀(I,J,K)、h₀(I,J)、h₀(I)から成るベクトルH₀''に関する汎関数I_ij(H₀'')。
【０１８１】
（６）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と密度の比の節点分布h_1i(I,J,K,j)、h_1i(I,J,j)、h_1i(I,j)から成るベクトルH₁''_ijに関する汎関数I_ij(H₁''_ij)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と密度の比の節点分布h_1i(I,J,K)、h_1i(I,J)、h_1i(I)から成るベクトルH₁''_iに関する汎関数I_ij(H₁''_i) 又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と密度の比の節点分布h₁(I,J,K)、h₁(I,J)、h₁(I)から成るベクトルH₁''に関する汎関数I_ij(H₁'')。
【０１８２】
（７）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と比熱の比の節点分布h_2i(I,J,K,j)、h_2i(I,J,,j)、h_2i(I,j)から成るベクトルH₂''ijに関する汎関数I_ij(H₂''_ij)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と比熱の比の節点分布h_2i(I,J,K)、h_2i(I,J)、h_2i(I)から成るベクトルH₂''iに関する汎関数I_ij(H₂''_i)又は３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の熱伝導率と比熱の比の節点分布h₂(I,J,K)、h₂(I,J)、h₂(I)から成るベクトルH₂''に関する汎関数I_ij(H₂'')。
【０１８３】
（８）３次元、２次元、又は、１次元構成領域内の節点温度分布T_i(I,J,K,j)、T_i(I,J,j)、T_i(I,j)から成るベクトルｓ''_ijに関する汎関数I_ij(ｓ''_ij)。
【０１８４】
これらの各々が、節点分布Q''、即ち、L''_ij、L''_i、L''、R''_ij、R''_i、R''、S''_ij、S''_i、S''、H₀''_ij、H₀''_i、H₀''、H₁''_ij、H₁''_i、H₁''、H₂''_ij、H₂''_i、H₂''、又は、ｓ''_ij に関して最小化されて得られる代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた温度T_i(I,J,K,j) の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度分布データT_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ'i(I,J,K,j)、ｋ'_i(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)、参照拡散率（分布）のh₀'_i(I,J,K,j)、h₀'_i(I,J,K)、h₀'(I,J,K)、参照熱伝導率と密度の比の分布データのh₁'_i(I,J,K,j)、h₁'_i(I,J,K)、h₁'(I,J,K)、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのh₂'_i(I,J,K,j)、h₂'_i(I,J,K)、h₂'(I,J,K)、密度と比熱の積の分布データのρｃ_i(I,J,K,j)、ρｃ_i(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、密度分布データのρ_i(I,J,K,j)、ρ_i(I,J,K)、ρ(I,J,K)、比熱分布データのｃ_i(I,J,K,j)、ｃ_i(I,J,K)、ｃ(I,J,K)）が代入される。
【０１８５】
これより、３次元関心領域を対象とする場合、３次元関心領域内にて設定された、３次元、２次元、１次元の各構成領域内の未知節点分布に関して導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした各構成領域内の未知節点分布からなる未知節点ベクトルU'に関する次の代数方程式：
E_ijU'=e_ij …(76)
が得られる。尚、関心領域を構成する構成領域は、互いに同一領域を含むことがある。
【０１８６】
但し、（４１）式（即ち、３次元、２次元、又は、１次元構成領域を対象とした（４９）式〜（５９）式、（７２）式）を用いた際に導出された代数方程式である（７６）式の未知節点ベクトルU'は、
関心領域が、熱伝導率分布のｋ_i(x,y,z,t)、ｋ_i(x,y,z)、ｋ(x,y,z)が未知である３次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点熱伝導率分布の L'_ij [ｋ_i(I,J,K,j)]、L'_i [ｋ_i(I,J,K)]、L' [ｋ(I,J,K)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、熱伝導率分布のｋ_i(x,y,t)、ｋ_i(x,y)、ｋ(x,y)が未知である２次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点熱伝導率分布の L'ij [ｋ_i(I,J,j)]、L'_i [ｋ_i(I,J)]、L' [ｋ(I,J)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、熱伝導率分布のｋ_i(x,t)、ｋ_i(x)、ｋ(x)が未知である１次元構成領域を含む各々の場合において、未知節点熱伝導率分布の L'_ij [ｋ_i(I,j)]、L'_i [ｋ_i(I)]、L' [ｋ(I)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρ_i(x,y,z,t)、ρ_i(x,y,z)、ρ(x,y,z)、及び、比熱分布のｃ_i(x,y,z,t)、ｃ_i(x,y,z)、ｃ(x,y,z)、の両者が未知の３次元構成領域を含む各々の場合において、未知である密度と比熱の積の節点分布の R'_ij [ρｃ_i(I,J,K,j)]、R'_i [ρｃ_i(I,J,K)]、Ｒ' [ρｃ(I,J,K)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρ_i(x,y,t)、ρ_i(x,y)、ρ(x,y)、及び、比熱分布のｃ_i(x,y,t)、ｃ_i(x,y)、ｃ(x,y)、の両者が未知の２次元構成領域を含む各々の場合において、未知である密度と比熱の積の節点分布の R'_ij [ρｃ_i(I,J,j)]、R'_i [ρｃ_i(I,J)]、Ｒ' [ρｃ(I,J)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρ_i(x,t)、ρ_i(x)、ρ(x)、及び、比熱分布のｃ_i(x,t)、ｃ_i(x)、ｃ(x)、の両者が未知の１次元構成領域を含む各々の場合において、未知である密度と比熱の積の節点分布の R'_ij [ρｃ_i(I,j)]、R'_i [ρｃ_i(I)]、Ｒ' [ρｃ(I)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρ_i(x,y,z,t)、ρ_i(x,y,z)、ρ(x,y,z)が未知の３次元構成領域を含む場合は、未知節点密度分布の S'_ij [ρ_i(I,J,K,j)]、S'_i [ρ_i(I,J,K)]、S' [ρ(I,J,K)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρ_i(x,y,t)、ρ_i(x,y)、ρ(x,y)が未知の２次元構成領域を含む場合は、未知節点密度分布の S'_ij [ρ_i(I,J,j)]、S'_i [ρ_i(I,J)]、S' [ρ(I,J)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、密度分布のρ_i(x,t)、ρ_i(x)、ρ(x)が未知の１次元構成領域を含む場合は、未知節点密度分布の S'_ij [ρi(I,j)]、S'_i [ρi(I)]、S' [ρ(I)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、比熱分布のｃ_i(x,y,z,t)、ｃ_i(x,y,z)、ｃ(x,y,z)が未知の３次元構成領域を含む場合は、未知節点比熱分布の S'_ij [ｃi(I,J,K,j)]、S'_i [ｃi(I,J,K)]、S' [ｃ(I,J,K)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、比熱分布のｃ_i(x,y,t)、ｃ_i(x,y)、ｃ(x,y)が未知の２次元構成領域を含む場合は、未知節点比熱分布の S'_ij [ｃ_i(I,J,j)]、S'_i [ｃ_i(I,J)]、S' [ｃ(I,J)]をベクトル成分に含み、
関心領域が、比熱分布のｃ_i(x,t)、ｃ_i(x)、ｃ(x)が未知の１次元構成領域を含む場合は、未知節点比熱分布の S'_ij [ｃ_i(I,j)]、S'_i [ｃ_i(I)]、S' [ｃ(I)]をベクトル成分に含む。
【０１８７】
あるいは、（４３）式（即ち、３次元、２次元、又は１次元構成領域を対象とした（６０）式〜（６３）式、（７３）式）を用いた際に導出された代数方程式である（７６）式の未知節点ベクトルU'は、
関心領域が３次元構成領域を含む場合は、未知節点熱拡散率分布の H'_0ij [h_0i(I,J,K,j)]、H'_0i [h_0i(I,J,K)]、H'₀ [h₀(I,J,K)]をベクトル成分に含み、
関心領域が２次元構成領域を含む場合は、未知節点熱拡散率分布の H'_0ij [h_0i(I,J,j)]、H'_0i [h_0i(I,J)]、H'₀ [h₀(I,J)]をベクトル成分に含み、
関心領域が１次元構成領域を含む場合は、未知節点熱拡散率分布の H'_0ij [h_0i(I,j)]、H'_0i [h_0i(I)]、H'₀ [h₀(I)]をベクトル成分に含む。
あるいは、（４５）式（即ち、３次元、２次元、又は、１次元構成領域を対象とした（６４）式〜（６７）式、（７４）式）を用いた際に導出された代数方程式である（７６）式の未知節点ベクトルU'は、
関心領域が３次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のH_1ij [h_1i(I,J,K,j)]、H_1ij [h_1i(I,J,K)]、H₁ [h₁(I,J,K)]をベクトル成分に含み、
関心領域が２次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のH_1ij [h_1i(I,J,j)]、H_1ij [h_1i(I,J)]、H₁ [h₁(I,J)]をベクトル成分に含み、
関心領域が１次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のH_1ij [h_1i(I,j)]、H_1ij [h_1i(I)]、H₁ [h₁(I)]をベクトル成分に含む。
あるいは、（４７）式（即ち、３次元構成領域を対象とした（６８）式〜（７１）式、（７５）式）を用いた際に導出された代数方程式である（７６）式の未知節点ベクトルU'は、
関心領域が３次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のH_2ij [h_2i(I,J,K,j)]、H_2i [h_2i(I,J,K)]、H₂ [h₂(I,J,K)]をベクトル成分に含み、
関心領域が２次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のH_2ij [h_2i(I,J,j)]、H_2i [h_2i(I,J)]、H₂ [h₂(I,J)]をベクトル成分に含み、
関心領域が１次元構成領域を含む場合は、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のH_2ij [h_2i(I,j)]、H_2i [h_2i(I)]、H₂ [h₂(I)]をベクトル成分に含むこととなる。
【０１８８】
２次元関心領域を対象とした場合には、２次元又は１次元構成領域を対象とした（４９）式、（５０）式、（５２）式、（５３）式、（５５）式、（５６）式、（５８）式、（５９）式、（６１）式〜（６３）式、（６５）式〜（６７）式、（６９）式〜（７１）式、（７２）式〜（７５）式の汎関数I_ij(Q'')のいずれかの少なくとも１つを節点分布Q''（即ち、L''_ij、L''_i、L''、R''_ij、R''_i、R''、S''_ij、S''_i、S''、H₀''_ij、H₀''_i、H₀''、H₁''_ij、H₁''_i、H₁''、H₂''_ij、H₂''_i、H₂''、又は、ｓ''_ij）に関して最小化することにより導出される代数方程式を連立することにより、又、１次元関心領域を対象とする場合には、１次元構成領域を対象とした（４９）式、（５０）式、（５３）式、（５６）式、（５９）式、（６２）式、（６３）式、（６６）式、（６７）式、（７０）式、（７１）式、（７２）式〜（７５）式のいずれかを用いた少なくとも１つの汎関数I_ij(Q'')より導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式が同様に得られる。
【０１８９】
また、第２の基本原理に従い、適宜、関心領域内の各構成領域においてその領域内の未知分布を表す（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の空間偏微分方程式のいずれかの少なくとも１つに有限差分近似を適用して（前記（ｃ））、関心領域内において導出された代数方程式を連立することにより、前記の関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式を導出する場合について、以下に説明する。ここで、関心領域を構成する構成領域は同一領域を含むことがあり、又、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものを表す。
【０１９０】
第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式にて表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率分布のL_ij又はL_i又はL、熱伝導率の１階の偏微分の分布、密度と比熱の積の分布のＲ_ij又はR_i又はR、密度分布のS_ij又はS_i又はS、比熱分布のS_ij又はS_i又はS、温度勾配ベクトル分布のs_ij（３次元構成領域の場合はＤ_i(x,y,z,t)、又は、２次元構成領域の場合はD_i(x,y,t)、又は、１次元構成領域の場合はD_i(x,t)）、温度の時間方向の１階の偏微分分布のs_ij（３次元構成領域の場合はdT_i(x,y,z,t)／dt、又は、２次元構成領域の場合はdT_i(x,y,t)／dt、又は、１次元構成領域の場合はdT_i(x,t)／dt）、また、温度分布のs_ij（３次元構成領域の場合はT_i(x,y,z,t)、２次元構成領域の場合はT_i(x,y,t)、１次元構成領域の場合はT_i(x,t)）に関して有限差分近似（離散近似）を適用して得られるこれらの節点分布Q''、即ち、節点熱伝導率分布のL''_ij又はL''_i又はL''、熱伝導率の１階の偏微分の節点分布、密度と比熱の積の節点分布のR''_ij又はR''_i又はR''、節点密度分布のS''_ij又はS''_i又はS''、節点比熱分布のS''_ij又はS''_i又はS''、節点温度勾配ベクトル分布のｓ''_ij、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ''_ij、又、節点温度分布のｓ''_ijに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ （低域通過型フィルタのかけられた前記の温度T_i(I,J,K,j)の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ'_i(I,J,K,j)、ｋ'_i(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)、参照拡散率（分布）のh₀'_i(I,J,K,j)、h₀'_i(I,J,K)、h₀'(I,J,K)、参照熱伝導率と密度の比の分布データのh₁'_i(I,J,K,j)、h₁'_i(I,J,K)、h₁'(I,J,K)、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのh₂'_i(I,J,K,j)、h₂'_i(I,J,K)、h₂'(I,J,K)、密度と比熱の積の分布データのρｃ_i(I,J,K,j)、ρｃ_i(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、密度分布データのρ_i(I,J,K,j)、ρ_i(I,J,K)、ρ(I,J,K)、比熱分布データのｃ_i(I,J,K,j)、ｃ_i(I,J,K)、ｃ(I,J,K)）が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式が得られる。
【０１９１】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４３）式にて表される分布Ｑ、即ち、熱拡散率分布のH_0ij又はH_0i又はH₀、熱拡散率の１階の偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布のｓ_ij、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓ_ij、又、温度分布のｓ_ijに関して有限差分近似（離散近似）を適用して得られるこれらの節点分布Q''、即ち、節点熱拡散率分布のH₀''_ij又はH₀''_i又はH₀''、熱拡散率の１階の偏微分の節点分布、節点温度勾配ベクトル分布のｓ''_ij、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ''_ij、又、節点温度分布のｓ''_ijに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ （低域通過型フィルタのかけられた前記の温度T_i(I,J,K,j)の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ'i(I,J,K,j)、ｋ'i(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)、参照拡散率（分布）のh₀'i(I,J,K,j)、h₀'i(I,J,K)、h₀'(I,J,K)、参照熱伝導率と密度の比の分布データのh₁'i(I,J,K,j)、h₁'i(I,J,K)、h₁'(I,J,K)、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのh₂'i(I,J,K,j)、h₂'i(I,J,K)、h₂'(I,J,K)、密度と比熱の積の分布データのρｃi(I,J,K,j)、ρｃi(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、密度分布データのρi(I,J,K,j)、ρi(I,J,K)、ρ(I,J,K)、比熱分布データのｃi(I,J,K,j)、ｃi(I,J,K)、ｃ(I,J,K)）が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式が得られる。
【０１９２】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４５）式にて表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と密度の比の分布のH₁ij又はH₁i又はH₁、熱伝導率と密度の比の１階の偏微分の分布、比熱分布のＳij又はＳi又はＳ、温度勾配ベクトル分布のｓij、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓij、又は、温度分布のｓijに関して有限差分近似（離散近似）を適用して得られるこれらの節点分布Q''、即ち、熱伝導率と密度の比の節点分布のH₁''ij又はH''₁i又はH''₁、熱伝導率と密度の比の１階の偏微分の節点分布、節点比熱分布のＳ''ij又はＳ''i又はＳ''、節点温度勾配ベクトル分布のｓ''ij、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ''ij、又、節点温度分布のｓ''ijに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ （低域通過型フィルタのかけられた前記の温度T_i(I,J,K,j)の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ'i(I,J,K,j)、ｋ'i(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)、参照拡散率（分布）のh₀'i(I,J,K,j)、h₀'i(I,J,K)、h₀'(I,J,K)、参照熱伝導率と密度の比の分布データのh₁'i(I,J,K,j)、h₁'i(I,J,K)、h₁'(I,J,K)、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのh₂'i(I,J,K,j)、h₂'i(I,J,K)、h₂'(I,J,K)、密度と比熱の積の分布データのρｃi(I,J,K,j)、ρｃi(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、密度分布データのρi(I,J,K,j)、ρi(I,J,K)、ρ(I,J,K)、比熱分布データのｃi(I,J,K,j)、ｃi(I,J,K)、ｃ(I,J,K)）が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式が得られる。
【０１９３】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式〔（４７）式〕にて表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と比熱の比の分布のH₂ij又はH₂i又はH₂、熱伝導率と比熱の比の１階の偏微分の分布、密度分布のＳij又はＳi又はＳ、温度勾配ベクトル分布のｓij、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓij、又は、温度分布のｓijに関して有限差分近似（離散近似）を適用して得られるこれらの節点分布Q''、即ち、熱伝導率と比熱の比の節点分布のH₂''ij又はH₂''i又はH₂''、熱伝導率と比熱の比の１階の偏微分の節点分布、節点密度分布のＳ''ij又はＳ''i又はＳ''、節点温度勾配ベクトル分布のｓ''ij、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ''ij、又、節点温度分布のｓ''ijに関する代数方程式に、関心領域内において与えられる全節点データ （低域通過型フィルタのかけられた前記の温度T_i(I,J,K,j)の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ'i(I,J,K,j)、ｋ'i(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)、参照拡散率（分布）のh₀'i(I,J,K,j)、h₀'i(I,J,K)、h₀'(I,J,K)、参照熱伝導率と密度の比の分布データのh₁'i(I,J,K,j)、h₁'i(I,J,K)、h₁'(I,J,K)、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのh₂'i(I,J,K,j)、h₂'i(I,J,K)、h₂'(I,J,K)、密度と比熱の積の分布データのρｃi(I,J,K,j)、ρｃi(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、密度分布データのρi(I,J,K,j)、ρi(I,J,K)、ρ(I,J,K)、比熱分布データのｃi(I,J,K,j)、ｃi(I,J,K)、ｃ(I,J,K)）が代入され、これより導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式が得られる。
【０１９４】
また、第２の基本原理に従い、適宜、関心領域内の各構成領域においてその領域内の未知分布を表す（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の空間偏微分方程式のいずれかの少なくとも１つにガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用して（前記（ａ）又は（ｂ））、関心領域内において導出された代数方程式を連立することにより、前記の関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式を導出する場合について、以下に説明する。ここで、関心領域を構成する構成領域は同一領域を含むことがあり、又、構成領域が１つの場合はその構成領域は関心領域そのものを表す。
第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４１）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率分布のLij又はLi又はL、熱伝導率の１階の偏微分の分布、密度と比熱の積の分布のＲij又はRi又はR、密度分布のSij又はSi又はS、比熱分布のSij又はSi又はS、温度勾配ベクトル分布のsij、温度勾配ベクトルの発散分布のsij、温度の時間方向の１階の偏微分分布のsij、又、温度分布のsijに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Iij(・)とする。
【０１９５】
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数８６】

２次元構成領域を対象とした場合には、
【数８７】

１次元構成領域を対象とした場合には、
【数８８】

但し、（７７）式〜（７９）式中のｖは、重み関数であり、｜v(x,y,z,t)｜≠０を満たす。
【０１９６】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４３）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱拡散率分布のH₀ij又はH₀i又はH₀、熱拡散率の１階の偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布のｓij、温度勾配ベクトルの発散分布のｓij、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓij、又、温度分布のｓijに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Iij(・)とする。
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数８９】

２次元構成領域を対象とした場合には、
【数９０】

１次元構成領域を対象とした場合には、
【数９１】

但し、（８０）式〜（８２）式中のｖは、重み関数であり、｜v(x,y,z,t)｜≠０を満たす。
【０１９７】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４５）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と密度の比の分布のH₁ij又はH₁i又はH₁、熱伝導率と密度の比の１階の偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布のｓij、温度勾配ベクトルの発散分布のｓij、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓij、又、温度分布のｓijに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Iij(・)とする。
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数９２】

２次元構成領域を対象とした場合には、
【数９３】

１次元構成領域を対象とした場合には、
【数９４】

但し、（８３）式〜（８５）式中のｖは、重み関数であり、｜v(x,y,z,t)｜≠０を満たす。
【０１９８】
あるいは、第２の基本原理に従い、測定対象物の３次元、２次元、１次元の関心領域内の構成領域において、１階の空間偏微分方程式である（４７）式中に表される分布Ｑ、即ち、熱伝導率と比熱の比の分布のH₂ij又はH₂i又はH₂、熱伝導率と比熱の比の１階の偏微分の分布、温度勾配ベクトル分布のｓij、温度勾配ベクトルの発散分布のsij、温度の時間方向の１階の偏微分分布のｓij、又、温度分布のｓijに関してガラーキン法に基づく有限要素近似又は離散近似を適用する場合は、時間ｔにおいて、次のものを汎関数Iij(・)とする。
３次元構成領域を対象とした場合には、
【数９５】

２次元構成領域を対象とした場合には、
【数９６】

１次元構成領域を対象とした場合には、
【数９７】

但し、（８６）式〜（８８）式中のｖは、重み関数であり、｜v(x,y,z,t)｜≠０を満たす。
【０１９９】
各構成領域において、適宜、（７７）式〜（８８）式のいずれかの汎関数I_i(・)が使用されるが、各汎関数の重み関数ｖとしては各構成領域内の分布Ｑのいずれかを有限要素近似するための前記基底関数が使用され、時間ｔを変数としない前記の基底関数が使用されることがある。
【０２００】
従って、（４１）式の空間偏微分方程式が使用される場合には、前記基底関数を使用して有限要素化された（７７）式〜（７９）式の汎関数Iij(・)にて表される構成領域内の節点分布Q''の、節点熱伝導率分布のL''ij又はL''i又はL''、熱伝導率の１階の偏微分の節点分布、密度と比熱の積の節点分布のR''ij又はR''i又はR''、節点密度分布のS''ij又はS''i又はS''、節点比熱分布のS''ij又はS''i又はS''、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ''ij、節点温度分布のｓ''ij、節点温度勾配ベクトル分布のｓ''ij、又、温度勾配ベクトルの発散の節点分布のｓ''ijに、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた温度の時間方向の１階の偏微分分布データdT_i(I,J,K,j)／dt、温度分布データT_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率（分布）のｋ'i(I,J,K,j)、ｋ'i(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)、参照拡散率（分布）のh₀'i(I,J,K,j)、h₀'i(I,J,K)、h₀'(I,J,K)、密度と比熱の積の分布データのρｃi(I,J,K,j)、ρｃi(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、密度分布データのρi(I,J,K,j)、ρi(I,J,K)、ρ(I,J,K)、比熱分布データのｃi(I,J,K,j)、ｃi(I,J,K)、ｃ(I,J,K)）が代入されて、その結果として得られるI_ij(・)が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φ_k以外を使用して、熱伝導率分布のLij、Li、Lの勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φ_kは直流でも構わない。
【０２０１】
また、（４３）式の空間偏微分方程式が使用される場合には、前記基底関数を使用して有限要素化された（８０）式〜（８２）式の汎関数Iij(・)にて表される構成領域内の節点分布Q''の、節点熱拡散率分布のH₀''ij又はH₀''i又はH₀''、熱拡散率の１階の偏微分の節点分布、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ''ij、節点温度分布のｓ''ij、節点温度勾配ベクトル分布のｓ''ij、又、温度勾配ベクトルの発散の節点分布のｓ''ijに、関心領域内において与えられる全節点データ （低域通過型フィルタのかけられた温度T_iの時間方向の１階の偏微分分布データdT_i(I,J,K,j)／dt、温度分布データT_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照拡散率（分布）のh₀'i(I,J,K,j)、h₀'i(I,J,K)、h₀'(I,J,K)が代入されて、その結果として得られるI_ij(・)が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φ_h以外を使用して、熱拡散率分布H₀ij、H₀i、H₀の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φ_hは直流でも構わない。
【０２０２】
また、（４５）式の空間偏微分方程式が使用される場合には、前記基底関数を使用して有限要素化された（８３）式〜（８５）式の汎関数Iij(・)にて表される構成領域内の節点分布Q''の、熱伝導率と密度の比の節点分布のH₁''ij又はH''₁i又はH''₁、熱伝導率と密度の比の１階の偏微分の節点分布、節点比熱分布のＳ''ij又はＳ''i又はＳ''、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ''ij、節点温度分布のｓ''ij、節点温度勾配ベクトル分布のｓ''ij、又、温度勾配ベクトルの発散の節点分布のｓ''ijに、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた温度の時間方向の１階の偏微分分布データdT_i(I,J,K,j)／dt、温度分布データT_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率と密度の比の分布データのh₁'i(I,J,K,j)、h₁'i(I,J,K)、h₁'(I,J,K)、比熱分布データのｃi(I,J,K,j)、ｃi(I,J,K)、ｃ(I,J,K)）が代入されて、その結果として得られるI_ij(・)が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φ_h以外を使用して、熱拡散率分布H₁ij、H₁i、H₁の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φ_hは直流でも構わない。
また、（４７）式の空間偏微分方程式が使用される場合は、前記基底関数を使用して有限要素化された（８６）式〜（８８）式の汎関数Iij(・)にて表される構成領域内の節点分布Q''の、熱伝導率と比熱の比の節点分布のH₂''ij又はH₂''i又はH₂''、熱伝導率と比熱の比の１階の偏微分の節点分布、節点密度分布のＳ''ij又はＳ''i又はＳ''、温度の時間方向の１階の偏微分の節点分布のｓ''ij、節点温度分布のｓ''ij、節点温度勾配ベクトル分布のｓ''ij、又、温度勾配ベクトルの発散の節点分布のｓ''ijに、関心領域内において与えられる全節点データ（低域通過型フィルタのかけられた温度の時間方向の１階の偏微分分布データdT_i(I,J,K,j)／dt、温度分布データT_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトル分布データＤ_i(I,J,K,j)、温度勾配ベクトルの発散の分布データ、適宜、参照熱伝導率と比熱の比の分布データのh₂'i(I,J,K,j)、h₂'i(I,J,K)、h₂'(I,J,K)、密度分布データのρi(I,J,K,j)、ρi(I,J,K)、ρ(I,J,K)が代入されて、その結果として得られるI_ij(・)が０に等しいものとすることにより各構成領域において導出される代数方程式を連立することにより、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'に関する代数方程式（７６）式が得られる。ここで、重み関数として基底関数φ_h以外を使用して、熱拡散率分布H₂ij、H₂i、H₂の勾配に部分積分を施した場合においては、基底関数φ_hは直流でも構わない。
【０２０３】
上記の通り、第１基本原理及び第２基本原理に基づいて、代数方程式（７６）式を関心領域全体を対象とする未知節点ベクトルU' に関する連立方程式として解く、あるいは、代数方程式（７６）式中にて表される、関心領域内の各構成領域内の、未知節点分布Q'、即ち、未知節点熱伝導率分布のL'ij、L'i、L'、未知である密度と比熱の積の節点分布のR'ij、R'i、R'、未知密度分布又は未知節点比熱分布のS'ij、S'i、S'、未知節点熱拡散率分布のH₀'ij、H₀'i、H₀'、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のH₁'ij、H₁'i、H₁'、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のH₂'ij、H₂'i、又は、H₂'の１つ以上から成る未知節点ベクトルV'に関する連立方程式を各構成領域において解くことにより、熱源と吸熱源及び参照領域の位置が適切であれば（温度分布データの、ｄTi／dt、Ti、Di、∇・Diが１組のみ測定された場合においても）、関心領域内の、未知熱伝導率分布のＬij（３次元関心領域を対象とした場合、ｋi(x,y,z,t)）、Li[ｋi(x,y,z)]、L[ｋ(x,y,z)]、未知熱拡散率分布のH₀ij[h_0i(x,y,z,t)]、H₀i[h_0i(x,y,z)]、H₀[h₀(x,y,z)]、未知である熱伝導率と密度の比の分布のH₁ij[h_1i(x,y,z,t)]、H₁i[h_1i(x,y,z)]、H₁[h₁(x,y,z)]、未知である熱伝導率と比熱の比の分布のH₂ij[h_2i(x,y,z,t)]、H₂i[h_2i(x,y,z)]、H₂[h₂(x,y,z)]を推定でき、又、時に、関心領域内の、未知である密度と比熱の積の分布Ｒij[ρｃi(x,y,z,t)]、Ri[ρｃi(x,y,z)]、R[ρｃ(x,y,z)]、未知比熱分布のSij[ｃi(x,y,z,t)]、Si[ｃi(x,y,z)]、S[ｃ(x,y,z)]、未知密度分布のSij[ρi(x,y,z,t)]、Si[ρi(x,y,z)]、S[ρ(x,y,z)]を同時に推定でき、又、熱源と吸熱源及び参照領域の任意の配置下において、熱伝導率分布のＬij[ｋi(x,y,z,t)]、Li[ｋi(x,y,z)]、L[ｋ(x,y,z)]又は熱拡散率分布のH₀ij[h_0i(x,y,z,t)]、H₀i[h_0i(x,y,z)]、H₀[h₀(x,y,z)]、熱伝導率と密度の比の分布のH₁ij[h_1i(x,y,z,t)]、H₁i[h_1i(x,y,z)]、H₁[h₁(x,y,z)]又は熱伝導率と比熱の比の分布のH₂ij[h_2i(x,y,z,t)]、H₂i[h_2i(x,y,z)]、H₂[h₂(x,y,z)]が与えられた場合は、関心領域内の、未知である密度と比熱の積の分布Ｒij[ρｃi(x,y,z,t)]、Ri[ρｃi(x,y,z)]、R[ρｃ(x,y,z)]、未知比熱分布のSij[ｃi(x,y,z,t)]、Si[ｃi(x,y,z)]、S[ｃ(x,y,z)]、未知密度分布のSij[ρi(x,y,z,t)]、Si[ρi(x,y,z)]、S[ρ(x,y,z)]を推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０２０４】
また、複数の独立した節点温度分布の時系列Ti(I,J,K,j)（ｉ＝１〜Ｍ、但し、ｊ＝０〜ｎ）が測定されて、関心領域全体を対象として未知節点ベクトルＵ'を求めるために使用される場合には、未知節点ベクトルU'のi,jへの依存性により、適宜、代数方程式（７６）式を用いた次に示す（８９）式〜（９７）式の汎関数II(U')のいずれかが使用される。即ち、代数方程式（７６）式中の未知節点ベクトルU'は、関心領域全体を対象とした場合の未知節点分布Uij （構成領域内のi,jに依存する未知節点分布Q'のL'ij、R'ij、S'ij、H₀'ij、H₁'ij、H₂'ijのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のiのみに依存する未知節点分布Q'や構成領域内のiとjの両者に対して不変である未知節点分布Q'のL'i、L'、R'i、R'、S'i、S'、H₀'i、H₀'、H₁'i、H₁'、H₂'i、H₂'を含むことのある分布）、未知節点分布Ui （構成領域内のiに依存する未知節点分布Q'のL'ij、L'i、R'ij、R'i、S'ij、S'i、H₀'ij、H₀'i、H₁'ij、H₁'i、H₂'ij、H₂'iのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のiとjの両者に対して不変である未知節点分布Q'のL'、R'、S'、H₀'、H₁'、H₂'を含むことのある分布）、未知節点分布U （構成領域内のiとjの両者に対して不変である未知節点分布Q'のL'、R'、S'、H₀'、H₁'、H₂'のいずれかを少なくとも１つ含む分布）、未知節点分布Uj （iに対して不変である未知節点分布Uij） のいずれかを表し、各々、Uij、Ui、U、Ujのいずれかに関して最小化される。
【０２０５】
但し、（７６）式を用いた（８９）式〜（９７）式の汎関数IIij(U')中のＰ_ijは、使用される各温度分布データTijに対して、汎関数IIij(U')中の（４９）式〜（７５）式の汎関数Iij(・)又は（７７）式〜（８８）式の汎関数Iij(・)のいずれかから導出された未知節点分布のR'ij、R'i、R'、R'jのいずれかのみに関する式においては、各汎関数Iij(・)の構成領域（積分領域）内の温度の時間方向の１階の偏微分分布dT_i(x,y,z,t)／dtの（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
【０２０６】
また、未知節点分布のS'ij、S'i、S'、S'jのいずれかのみに関する式においては、Ｐ_ijは、各汎関数Iij(・)の構成領域（積分領域）内の温度の時間方向の１階の偏微分dT_i(x,y,z,t)／dtと与えられた密度ρ又は比熱ｃとの積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
【０２０７】
また、汎関数IIij(U')中の（４９）式〜（７１）式の汎関数Iij(・)又は（７７）式〜（８８）式の汎関数Iij(・)いずれかから導出された、未知節点分布のR'ij、R'i、R'、R'j、S'ij、S'i、S'、S'jのいずれかと未知節点分布のL'ij、L'i、L'、L'j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jのいずれかとに関する式においては、Ｐ_ijは、各汎関数Iij(・)の構成領域（積分領域）内の温度の時間方向の１階の偏微分のdT_i(x,y,z,t)／dtと与えられた密度と比熱の積ρｃ又は密度ρ又は比熱ｃとの積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の温度勾配ベクトルDi(x,y,,z,t)と未知である熱伝導率ｋ又は熱伝導率と密度の比ｈ₁又は熱伝導率と比熱の比h₂にかかる勾配作用素との内積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の温度勾配ベクトルの発散の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。
【０２０８】
また、未知節点分布のL'ij、L'i、L'、L'j、H₀'_ij、H₀'_i、H₀'、H₀'_j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jのいずれかのみに関する式においては、Ｐ_ijは、各汎関数Iij(・)の構成領域（積分領域）内の温度勾配ベクトルと未知である熱伝導率ｋ又は熱拡散率ｈ₀又は熱伝導率と密度の比h₁又は熱伝導率と比熱の比h₂にかかる勾配作用素との内積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の温度勾配ベクトルの発散の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。
【０２０９】
また、汎関数IIij(U')中の（７２）式〜（７５）式のいずれかから導出された、未知節点分布のR'ij、R'i、R'、R'j、S'ij、S'i、S'、S'jのいずれかと未知節点分布のL'ij、L'i、L'、L'j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jのいずれかとに関する式においては、Ｐ_ijは、各汎関数Iij(・)の構成領域（積分領域）内の温度の時間方向の１階の偏微分のdT_i(x,y,z,t)／dtと与えられた密度と比熱の積ρｃ又は密度ρ又は比熱ｃとの積の分布の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値と構成領域内の温度勾配ベクトル分布Di(x,y,,z,t)の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値の和である。
【０２１０】
また、未知節点分布のL'ij、L'i、L'、L'j、H₀'_ij、H₀'_i、H₀'、H₀'_j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jのいずれかのみに関する式においては、Ｐ_ijは、各汎関数Iij(・)の構成領域（積分領域）内の温度勾配ベクトル分布Di(x,y,,z,t)の（可能であれば、各パワーの標準偏差をかけた）パワー値である。
この様に、通常は、汎関数中の各々の式はPijにより正規化される。
【０２１１】
未知節点分布Ｕij（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
【数９８】

但し、未知節点分布Uijは、i又はj、又は、iとjの両者に対して不変であることがあり、また、温度データｄTi／dt、Ti、Di、∇・Diの１組のみ、測定された場合にも使用できる。
【０２１２】
また、未知節点分布Uij（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
【数９９】

但し、未知節点分布Uijは、jに対して不変であることがある。
【０２１３】
また、未知節点分布Uj（ｊ＝０〜ｎ）（未知節点分布Ｕijがiに対して不変の場合）に関して、次式が成立する。
【数１００】

但し、未知節点分布Ujは、jに対して不変であることがある。
【０２１４】
また、未知節点分布Uij（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
【数１０１】

但し、未知節点分布Uijは、iに対して不変であることがある。
【０２１５】
また、未知節点分布Ui（ｉ＝１〜Ｍ）（未知節点分布Ｕijがjに対して不変の場合） に関して、次式が成立する。
【数１０２】

但し、未知節点分布Uiは、iに対して不変であることがある。
【０２１６】
また、未知節点分布Uij（ｉ＝１〜Ｍ、ｊ＝０〜ｎ）に関して、次式が成立する。
【数１０３】

【０２１７】
また、未知節点分布Ｕj（j = ０~ｎ）（未知節点分布Uijがiに対して不変である場合）に関して、次式が成立する。
【数１０４】

【０２１８】
また、未知節点分布Ｕi（i = 1~M）（未知節点分布Uijがjに対して不変である場合）に関して、次式が成立する。
【数１０５】

【０２１９】
また、未知節点分布U（未知節点分布Ｕijがiとjの両者に対して不変である場合）に関して、次式が成立する。
【数１０６】

【０２２０】
上記の（８９）式〜（９７）式の汎関数II(U')が関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'（未知節点分布Uij、Ui、U、Ujのいずれか）に関して最小化するより、以下の通り、未知節点ベクトルU'に関する正規方程式が得られる。
汎関数IIij(Uij)（（８９）式）より、未知節点分布Uij （i = 1〜M, j = ０〜ｎ） （i又はj、又は、iとjの両者に対して不変であることがあり、また、温度データdTi／dt、Ti、Di、∇・Diの１組のみ、測定された場合にも使用できる。
E'_ijU_ij=e'_ij …(98)
【数１０７】

汎関数IIj(Uij)（（９０）式）より、未知節点分布Uij （i = 1〜M, j = 0〜n) （jに対して不変であることがある） に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１０８】

但し、行列E'ij及びベクトルe'_ij(i=1〜M, j=0〜n)は、各々、正規方程式(98)式の行列E'_ij及びベクトルe'_ijである。
【０２２１】
汎関数IIj(Uj)（（９１）式）より、未知節点分布Uj（j = ０〜ｎ）（jに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
E_jU_j=e_j …(100)
但し、行列Ｅ_j及びベクトルｅ_j（ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ'_ij及びベクトルｅ'_ijを用いて、次のように表される。
【数１０９】

【０２２２】
汎関数IIi(Uij)（（９２）式）より、未知節点分布Uij（i = １〜M, j = ０〜ｎ）（iに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１１０】

但し、行列Ｅ'_ij及びベクトルｅ'_ij（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ'_ij及びベクトルｅ'_ijである。
【０２２３】
汎関数IIi(Ui)（（９３）式）より、未知節点分布Ui（i = 1〜M）（iに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
E_iU_i=e_i …(102)
但し、行列Ｅ_i及びベクトルｅ_i（ｉ＝１〜Ｍ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ'_ij及びベクトルｅ'_ijを用いて、次のように表される。
【数１１１】

【０２２４】
汎関数II(Uij)（（９４）式）より、未知節点分布Uij（i = 1〜M, j = ０〜ｎ）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１１２】

但し、行列Ｅ'_ij及びベクトルｅ'_ij（ｉ＝１〜Ｍ，ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ'_ij及びベクトルｅ'_ijである。
【０２２５】
汎関数II(Uj)（（９５）式）より、未知節点分布Uj（ｊ=０~ｎ）に関する次の正規方程式が得られる。
【数１１３】

但し、行列Ｅ_j及びベクトルｅ_j（ｊ＝０〜ｎ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ'_ij及びベクトルｅ'_ijを用いて、次のように表される。
【数１１４】

【０２２６】
汎関数II(Ui)（（９６）式）より、未知節点分布Ui（i=１~M）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１１５】

但し、行列Ｅ_i及びベクトルｅ_i（ｉ＝１〜Ｍ）は、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ'_ij及びベクトルｅ'_ijを用いて、次のように表される。
【数１１６】

【０２２７】
汎関数II(U)（（９７）式）より、未知節点分布Uに関する次の正規方程式が得られる。
EU=e …(106)
但し、行列Ｅ及びベクトルｅは、各々、正規方程式（９８）式の行列Ｅ'_ij及びベクトルｅ'_ijを用いて、次のように表される。
【数１１７】

【０２２８】
上記の正規方程式（９８）式〜（１０６）式を未知節点ベクトルＵ'に関して解くことにより、適宜、関心領域全体を対象とした場合の未知節点分布Uij、未知節点分布Ui、未知節点分布U、未知節点分布Ujのいずれかが得られる。ここで、未知節点分布Uijは、構成領域内のi,jに依存する未知節点分布Q'のL'ij、R'ij、S'ij、H₀'ij、H₁'ij、H₂'ijのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のiのみに依存する未知節点分布Q'や構成領域内のiとjの両者に対して不変である未知節点分布Q'のL'i、L'、R'i、R'、S'i、S'、H₀'i、H₀'、H₁'i、H₁'、H₂'i、H₂'を含むことがある。未知節点分布Uは、構成領域内のiに依存する未知節点分布Q'のL'ij、L'i、R'ij、R'i、S'ij、S'i、H₀'ij、H₀'i、H₁'ij、H₁'i、H₂'ij、H₂'iのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のiとjの両者に対して不変である未知節点分布Q'のL'、R'、S'、H₀'、H₁'、H₂'を含むことがある。未知節点分布Uは、構成領域内のiとjの両者に対して不変である未知節点分布Q'のL'、R'、S'、H₀'、H₁'、H₂'のいずれかを少なくとも１つ含む。未知節点分布Uj は、ｉに対して不変である未知節点分布Uijに相当する。
【０２２９】
尚、関心領域全体を対象とする未知節点ベクトルU'に関する（８９）式〜（９７）式の汎関数II(U')は、代数方程式（７６）式中にて表される、関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点ベクトルV'即ちVij、未知節点分布Vi、未知節点分布V、未知節点分布Vjのいずれかに関する連立方程式より導出される汎関数II(V')として扱われることもある。これらの各々は、未知節点ベクトルV'のi,jへの依存性により、未知節点分布Vij、Vi、V、Vjのいずれかに関して最小化され、これより導出される各構成領域内の未知節点ベクトルV'に関する（９８）式〜（１０６）式の正規方程式を解くことにより、関心領域内の未知節点分布Vij、Vi、V、Vjのいずれかが得られることがある。ここで、未知節点ベクトルVijは、構成領域内のｉ、ｊに依存する未知節点分布Q'のL'ij、R'ij、S'ij、H₀'ij、H₁'ij、H₂'ijのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のｉのみに依存する未知節点分布Q'や構成領域内のiとjの両者に対して不変である未知節点分布Q'のL'i、L'、R'i、R'、S'i、S'、H₀'i、H₀'、H₁'i、H₁'、H₂'i、H₂'を含むことがある。未知節点分布Viは、構成領域内のｉに依存する未知節点分布Q'のL'ij、L'i、R'ij、R'i、S'ij、S'i、H₀'ij、H₀'i、H₁'ij、H₁'i、H₂'ij、H₂'iのいずれかを少なくとも１つを含み、構成領域内のiとjの両者に対して不変である未知節点分布Q'のL'、R'、S'、H₀'、H₁'、H₂'を含むことがある。未知節点分布Vは、構成領域内のiとjの両者に対して不変である未知節点分布Q'のL'、R'、S'、H₀'、H₁'、H₂'のいずれかを少なくとも１つ含む。未知節点分布Vjは、ｉに対して不変である未知節点分布Vijに相当する。
【０２３０】
これより、熱源と吸熱源及び参照領域の位置が適切であれば（温度分布データの、dTi／dt、Ti、Di、∇・Diが１組のみ測定された場合においても）、関心領域内の、未知熱伝導率分布のＬij（３次元関心領域を対象とした場合には、ｋi(x,y,z,t)]、Li[ｋi(x,y,z)]、L[ｋ(x,y,z)]、Lj[ｋ(x,y,z,t)]）、未知熱拡散率分布のH₀ij[h_0i(x,y,z,t)]、H₀i[h_0i(x,y,z)]、H₀[h₀(x,y,z)]、H_0j[h₀(x,y,z,t)]、未知である熱伝導率と密度の比の分布のH₁ij[h_1i(x,y,z,t)]、H₁i[h_1i(x,y,z)]、H₁[h₁(x,y,z)]、H_1j[h₁(x,y,z,t)]、未知である熱伝導率と比熱の比の分布のH₂ij[h_2i(x,y,z,t)]、H₂i[h_2i(x,y,z)]、H₂[h₂(x,y,z)]、H_2j[h₂(x,y,z,t)]を推定できる。また、時に、関心領域内の、未知である密度と比熱の積の分布Ｒij[ρｃi(x,y,z,t)]、Ri[ρｃi(x,y,z)]、R[ρｃ(x,y,z)]、Rj[ρｃ(x,y,z,t)]、未知比熱分布のSij[ｃi(x,y,z,t)]、Si[ｃi(x,y,z)]、S[ｃ(x,y,z)]、Sj[ｃ(x,y,z,t)]、未知密度分布のSij[ρi(x,y,z,t)]、Si[ρi(x,y,z)]、S[ρ(x,y,z)]、Sj[ρ(x,y,z,t)]を同時に推定できる。また、熱源と吸熱源及び参照領域の任意の配置下において、熱伝導率分布のＬij[ｋi(x,y,z,t)]、Li[ｋi(x,y,z)]、L[ｋ(x,y,z)]、Lj[ｋ(x,y,z,t)]、又は、熱拡散率分布のH₀ij[h_0i(x,y,z,t)]、H₀i[h_0i(x,y,z)]、H₀[h₀(x,y,z)]、H_0j[h₀(x,y,z,t)]、又は、熱伝導率と密度の比の分布のH₁ij[h_1i(x,y,z,t)]、H₁i[h_1i(x,y,z)]、H₁[h₁(x,y,z)]、H_1j[h₁(x,y,z,t)]、又は、熱伝導率と比熱の比の分布のH₂ij[h_2i(x,y,z,t)]、H₂i[h_2i(x,y,z)]、H₂[h₂(x,y,z)]、H_2j[h₂(x,y,z,t)]が与えられた場合は、関心領域内の、未知である密度と比熱の積の分布Ｒij[ρｃi(x,y,z,t)]、Ri[ρｃi(x,y,z)]、R[ρｃ(x,y,z)]、Rj[ρｃ(x,y,z,t)]、未知比熱分布のSij[ｃi(x,y,z,t)]、Si[ｃi(x,y,z)]、S[ｃ(x,y,z)]、Sj[ｃ(x,y,z,t)]、未知密度分布のSij[ρi(x,y,z,t)]、Si[ρi(x,y,z)]、S[ρ(x,y,z)]、Sj[ρ(x,y,z,t)]を推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０２３１】
（８９）式〜（９７）式のU'及びV'に関する汎関数II(U')やII(V')を最小化して得られる正規方程式（９８）式〜（１０６）式中のE、E_ij、E_i、E_j、e、e_ij、e_i、及び、e_jは低域通過型フィルタのかけられた温度の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データ、及び、温度勾配ベクトルの発散の分布データで決まるが、行列E、E_ij、E_i、E_jの逆作用素は、各々、e、e_ij、e_i、及びe_jに含まれる高周波数帯域のノイズを増幅させてしまう。また、（９８）式、（９９）式、（１０１）式、（１０３）式を用いる際には、発熱源又は吸熱源と参照領域との相対的配置が不適切なものとなることがある。その結果、未知節点分布のUij、Ui、Uj、U、Vij、Vi、Vj、Vの推定が不安定となってしまう。
【０２３２】
そこで、第１の基本原理及び第２の基本原理と同様に、（９８）式〜（１０６）式の正規方程式に正則化を施して再構成の安定化を図るようにしても良い。具体的には、後記の通り、使用される各温度分布Ｔ_ijに対して設定されうる正則化パラメータα_1ij、α_2ij、α_3ij、β_1ij、β_2ij、β_3ij、χ_1ij、χ_2ij、χ_3ij、δ_1ij、δ_2ij、δ_3ij、ε_1ij、ε_2ij、ε_3ij、γ_1ij、γ_2ij、γ_3ij、η_1ij、η_2ij、η_3ij（正の値）を使用して、連続座標系において次に表されるような処罰項を使用する。
【０２３３】
即ち、未知節点ベクトルU'又はV'が未知熱伝導率分布の L'ij、L'i、L'、L'j をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、熱伝導率分布の ｋi(x,y,z,t) [ｋi(I,J,K,j)]、ｋi(x,y,z) [ｋi(I,J,K)]、ｋ(x,y,z) [ｋ(I,J,K)]、ｋ(x,y,z,t) [ｋ(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（２５）式の処罰項と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１１８】

但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋi(x,y,z,t)、ｋi(x,y,z)、ｋ(x,y,z)、k(x,y,z,t)のいずれかである。
【０２３４】
熱伝導率分布の ｋi(x,y,t) [ｋi(I,J,j)]、ｋi(x,y) [ｋi(I,J)]、ｋ(x,y) [ｋ(I,J)]、ｋ(x,y,t) [ｋ(I,J,j)] が未知である１つ以上の不連続な２次元構成領域を含む場合には、（２６）式の処罰項と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１１９】

但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋi(x,y,t)、ｋi(x,y)、ｋ(x,y)、k(x,y,t)のいずれかである。
【０２３５】
熱伝導率分布の ｋi(x,t) [ｋi(I,j)]、ｋi(x) [ｋi(I)]、ｋ(x) [ｋ(I)]、ｋ(x,t) [ｋ(I,j)] が未知である１つ以上の不連続な１次元構成領域を含む場合には、（２７）式の処罰項と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２０】

但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋi(x,t)、ｋi(x)、ｋ(x)、k(x,t)のいずれかである。２次元及び１次元関心領域を含む場合も同様である。
【０２３６】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である密度と比熱の積の分布の R'ij、R'i、R'、R'j をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、密度と比熱の積の分布の ρｃi(x,y,z,t) [ρｃi(I,J,K,j)]、ρｃi(x,y,z) [ρｃi(I,J,K)]、ρｃ(x,y,z) [ρｃ(I,J,K)]、ρｃ(x,y,z,t) [ρｃ(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２１】

但し、ρcは、各点の密度と比熱の積のρｃi(x,y,z,t)、ρｃi(x,y,z)、ρｃ(x,y,z)、ρｃ(x,y,z,t)のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２３７】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である密度の分布の S'ij、S'i、S'、S'j をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、密度分布の ρi(x,y,z,t) [ρi(I,J,K,j)]、ρi(x,y,z) [ρi(I,J,K)]、ρ(x,y,z) [ρ(I,J,K)]、ρ(x,y,z,t) [ρ(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２２】

但し、ρは、各点の密度のρi(x,y,z,t)、ρi(x,y,z)、ρ(x,y,z)、ρ(x,y,z,t)のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２３８】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である比熱の分布の S'ij、S'i、S'、S'j をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、比熱分布の ｃi(x,y,z,t) [ｃi(I,J,K,j)]、ｃi(x,y,z) [ｃi(I,J,K)]、ｃ(x,y,z) [ｃ(I,J,K)]、ｃ(x,y,z,t) [ｃ(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２３】

但し、ｃは、各点の密度のｃi(x,y,z,t)、ｃi(x,y,z)、ｃ(x,y,z)、ｃ(x,y,z,t)のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２３９】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である熱拡散率の分布の H₀'ij、H₀'i、H₀'、H₀'j をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、熱拡散率の分布のｈ₀i(x,y,z,t) [ｈ₀i(I,J,K,j)]、ｈ₀i(x,y,z) [ｈ₀i(I,J,K)]、ｈ₀(x,y,z) [ｈ₀(I,J,K)]、ｈ₀(x,y,z,t) [ｈ₀(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２４】

但し、ｈ₀は、各点の熱拡散率のh₀i(x,y,z,t)、ｈ₀i(x,y,z)、ｈ₀(x,y,z)、ｈ₀(x,y,z,t)のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２４０】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である熱伝導率と密度の比の分布の H₁'ij、H₁'i、H₁'、H₁'j をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、熱伝導率と密度の比の分布のｈ₁i(x,y,z,t) [ｈ₁i(I,J,K,j)]、ｈ₁i(x,y,z) [ｈ₁i(I,J,K)]、ｈ₁(x,y,z) [ｈ₁(I,J,K)]、ｈ₁(x,y,z,t) [ｈ₁(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２５】

但し、ｈ₁は、各点の熱伝導率と密度の比のh₁i(x,y,z,t)、ｈ₁i(x,y,z)、ｈ₁(x,y,z)、ｈ₁(x,y,z,t)のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２４１】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である熱伝導率と比熱の比の分布の H₂'ij、H₂'i、H₂'、H₂'j をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合、熱伝導率と比熱の比の分布のｈ₂i(x,y,z,t) [ｈ₂i(I,J,K,j)]、ｈ₂i(x,y,z) [ｈ₂i(I,J,K)]、ｈ₂(x,y,z) [ｈ₂(I,J,K)]、ｈ₂(x,y,z,t) [ｈ₂(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、熱伝導率の場合と同様に、その各構成領域内の積分が求められる。
【数１２６】

但し、ｈ₂は、各点の熱伝導率と比熱の比のh₂i(x,y,z,t)、ｈ₂i(x,y,z)、ｈ₂(x,y,z)、ｈ₂(x,y,z,t)のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も熱伝導率の場合と同様である。２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２４２】
（８９）式〜（９７）式の汎関数II(U')又はII(Ｖ')が有限要素近似されている場合は、（１０７）式〜（１１５）式の処罰項は、有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素近似されるか、又は、有限差分近似されるが、（８９）式〜（９７）式の汎関数II(U')又はII(Ｖ')が有限差分近似されている場合は、（１０７）式〜（１１５）式の処罰項は、有限差分近似される。
【０２４３】
（１０７）式〜（１１５）式の処罰項が、有限要素近似された場合には、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（１０７）式〜（１０９）式には参照熱伝導率（分布）のｋ'i(I,J,K,j)、ｋ'i(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)、ｋ'(I、J,K,j)が、（１１０）式には密度と比熱の積の分布データのρｃi(I,J,K,j)、ρｃi(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、ρｃ(I,J,K,j)が、（１１１）式には密度分布データのρi(I,J,K,j)、ρi(I,J,K)、ρ(I,J,K)、ρ(I,J,K,j)が、（１１２）式には比熱分布データのｃi(I,J,K,j)、ｃi(I,J,K)、ｃ(I,J,K)、ｃ(I,J,K,j)が代入され、（１１３）式には参照拡散率（分布）のh'₀i(I,J,K,j)、h'₀i(I,J,K)、h'₀(I,J,K)、ｈ'₀(I,J,K,j)が代入され、（１１４）式には参照熱伝導率と密度の比の分布データのh'₁i(I,J,K,j)、h'₁i(I,J,K)、h'₁(I,J,K)、ｈ'₁(I,J,K,j)が代入され、（１１５）式には参照熱伝導率と比熱の比の分布データのh'₂i(I,J,K,j)、h'₂i(I,J,K)、h'₂(I,J,K)、ｈ'₂(I,J,K,j)が代入された上で、適宜、（８９）式〜（９７）式のいずれかの汎関数II(U')又はII(V')に加えられ、未知節点ベクトルU'又はV'に関して最小化される。その場合に、基底関数φ₃ρ_c、φ₃ρ、φ_3c、φ_3k、φ_3hはx,y,zに関して２回偏微分可能である必要がある。
２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２４４】
また、（１０７）式〜（１１５）式の処罰項が有限差分近似された場合には、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（１０７）式〜（１０９）式（但し、α_1ij＝０）には参照熱伝導率（分布）のｋ'i(I,J,K,j)、ｋ'i(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)、ｋ'(I、J,K,j)が代入され、（１１０）式（但し、β_1ij＝０）には密度と比熱の積の分布データのρｃi(I,J,K,j)、ρｃi(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、ρｃ(I,J,K,j)が代入され、（１１１）式（χ_1ij＝０）には密度分布データのρi(I,J,K,j)、ρi(I,J,K)、ρ(I,J,K)、ρ(I,J,K,j)が代入され、（１１２）式（δ_1ij＝０）には比熱分布データのｃi(I,J,K,j)、ｃi(I,J,K)、ｃ(I,J,K)、ｃ(I,J,K,j)が代入され、（１１３）式（ε_1ij＝０）には参照拡散率（分布）のh'₀i(I,J,K,j)、h'₀i(I,J,K)、h'₀(I,J,K)、ｈ'₀(I,J,K,j)が代入され、（１１４）式（γ_1ij＝０）には参照熱伝導率と密度の比の分布データのh'₁i(I,J,K,j)、h'₁i(I,J,K)、h'₁(I,J,K)、ｈ'₁(I,J,K,j)が代入され、（１１５）式（η_1ij＝０）には参照熱伝導率と比熱の比の分布データのh'₂i(I,J,K,j)、h'₂i(I,J,K)、h'₂(I,J,K)、ｈ'₂(I,J,K,j)が代入された上で、適宜、（８９）式〜（９７）式の汎関数II(U')又はII(V')に加えられ、未知節点ベクトルU'又はV'に関して最小化される。
２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２４５】
各汎関数II(U')又はII(V')から導出される未知節点ベクトルU'又はV'に関する以下の（１１６）式〜（１２４）式の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布Uij、Ui、Uj、U、Vij、Vi、Vj、又は、Vを安定的に得られる。但し、以下の正則化された正規方程式中に表される行列Ｇ^TＧ、Ｇ^TＧＧ^TＧの各々は、適宜、関心領域内の未知節点分布のUij、Ui、Uj、U、Vij、Vi、Vj、又は、V中の各構成領域内の未知節点分布Q'にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似されたラプラシアン作用素及びラプラシアン２乗作用素を表す。ここで、未知節点分布Q'は、未知熱伝導率分布のL'ij、L'i、L'、 L'j、未知である密度と比熱の積の分布のR'ij、R'i、R'、R'j、未知密度分布又は未知比熱分布のS'ij、S'i、S'、 S'j、未知熱拡散率分布のH₀'ij、H₀'i、H₀'、H₀'j、未知である熱伝導率と密度の比の分布のH₁'ij、H₁'i、H₁'、H₁'j、未知である熱伝導率と比熱の比の分布のH₂'ij、H₂'i、H₂'、又は、H₂'jを含む。
【０２４６】
従って、式中の正則化パラメータλ_1ij、λ_2ij、λ_3ijの各々は、適宜、使用される前記の処罰項（１０７）式〜（１１５）式中の正則化パラメータα_1ij、α_2ij、α_3ijの各々、β_1ij、β_2ij、β_3ijの各々、χ_1ij、χ_2ij、χ_3ijの各々、δ_1ij、δ_2ij、δ_3ijの各々、ε_1ij、ε_2ij、ε_3ijの各々、γ_1ij、γ_2ij、γ_3ijの各々、η_1ij、η_2ij、η_3ijの各々（正の値）が、対応する処罰項成分にかかるものとして表現されたものである。
【０２４７】
汎関数IIij(Uij)（（８９）式）より、未知節点分布Uij（i = 1〜M, j = ０〜ｎ）に関する以下の正則化された正規方程式が得られる。ここで、未知節点分布Uijは、ｉ又はｊ、又は、ｉとｊの両者に対して不変であることがあり、また、温度データdTi／dt、Ti、Di、∇・Diの１組のみ、測定された場合にも使用できる。
(E'_ij+W_ij)U_ij=e'_ij …(116)
但し、行列E'_ij及びベクトルe'_ijは、各々、正規方程式(98)式の行列E'_ij=E_ij ^TE_ij、ベクトルe'_ij=E_ij ^Te_ijであり、行列W_ij=λ_1ijI+λ_2ijG^TG+λ_3ijG^TGG^TGである。
【０２４８】
汎関数IIj(Uij)（（９０）式）より、未知節点分布Uij （i = 1〜M, j = 0〜ｎ) （jに対して不変であることがある） に関する以下の正則化された正規方程式が得られる。
【数１２７】

【０２４９】
汎関数IIj(Uj)（（９１）式）より、未知節点分布Uj（j = ０〜ｎ）（ｊに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１２８】

【０２５０】
汎関数IIi(Uij)（（９２）式）より、未知節点分布Uij （i = 1〜M, j = 0〜ｎ)（ｉに対して不変であることがある）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１２９】

【０２５１】
汎関数IIi(Ui)（（９３）式）より、未知節点分布Ui（i = 1〜M）（ｉに対して不変であることがある）に関する以下の正則化された正規方程式が得られる。
【数１３０】

【０２５２】
汎関数II(Uij)［（９４）式）より、未知節点分布Uij（i = １〜M、j = ０〜ｎ）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１３１】

【０２５３】
汎関数II(Uj)（（９５）式）より、未知節点分布Uj（j = ０~ｎ）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１３２】

【０２５４】
汎関数II(Ui)（（９６）式）より、未知節点分布Ui（i = １~M）に関する以下の正規方程式が得られる。
【数１３３】

【０２５５】
汎関数II(U)（（９７）式）より、未知節点分布Uに関する以下の正規方程式が得られる。
【数１３４】

【０２５６】
上記の各正規方程式（１１６）式〜（１２４）式を未知節点ベクトルU'に関して解くことにより、適宜、関心領域全体を対象とした場合の未知節点分布Uij、未知節点分布Ui、未知節点分布U、未知節点分布Uj、関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点ベクトルV'即ちVij、未知節点分布Vi、未知節点分布V、未知節点分布Vjのいずれかが得られる。
【０２５７】
これより、関心領域内の、未知熱伝導率分布のＬij（３次元関心領域を対象とした場合には、ｋi(x,y,z,t)）、Li[ｋi(x,y,z)]、L[ｋ(x,y,z)]、Lj[ｋ(x,y,z,t)]、未知である密度と比熱の積の分布Ｒij[ρｃi(x,y,z,t)]、Ri[ρｃi(x,y,z)]、R[ρｃ(x,y,z)]、Rj[ρｃ(x,y,z,t)]、未知比熱分布のSij[ｃi(x,y,z,t)]、Si[ｃi(x,y,z)]、S[ｃ(x,y,z)]、Sj[ｃ(x,y,z,t)]、未知密度分布のSij[ρi(x,y,z,t)]、Si[ρi(x,y,z)]、S[ρ(x,y,z)]、Sj[ρ(x,y,z,t)]、未知熱拡散率分布のH₀ij[h_0i(x,y,z,t)]、H₀i[h_0i(x,y,z)]、H₀[h₀(x,y,z)]、H_0j[h₀(x,y,z,t)]、未知である熱伝導率と密度の比の分布のH₁ij[h_1i(x,y,z,t)]、H₁i[h_1i(x,y,z)]、H₁[h₁(x,y,z)]、H_1j[h₁(x,y,z,t)]、未知である熱伝導率と比熱の比の分布のH₂ij[h_2i(x,y,z,t)]、H₂i[h_2i(x,y,z)]、H₂[h₂(x,y,z)]、H_2j[h₂(x,y,z,t)]を推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる）。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。また、温度分布データの、dTi／dt、Ti、Di、∇・Diが１組のみ測定された場合においても、これらを推定できることがある。
【０２５８】
また、ｊに依存する未知節点ベクトルU'（関心領域全体を対象とした際の未知節点分布のUij又はUj）、又は、未知節点ベクトルV'（関心領域内の各構成領域内の未知節点分布のVij又はVj）に関する（９２）式、（９４）式、（９５）式の汎関数II(U')やII(V')を正則化するには、（１０７）式〜（１１５）式の処罰項の他に、（１０７）式〜（１１５）式の処罰項の各積分核に各構成領域内の未知分布の時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加えた、連続座標系において次に表されるような処罰項を使用して再構成の安定化を図るようにしても良い。その際に新たに使用される正則化パラメータα_4ij、α_5ij、β_4ij、β_5ij、χ_4ij、χ_5ij、δ_4ij、δ_5ij、ε_4ij、ε_5ij、γ_4ij、γ_5ij、η_4ij、η_5ij（正の値）は、後記の通り、使用される各温度分布Ｔ_ijに対して設定されうる。
【０２５９】
即ち、未知節点ベクトルU'又はV'が未知熱伝導率分布の L'_ij、L'_j をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、熱伝導率分布の ｋ_i(x,y,z,t) [ｋ_i(I,J,K,j)]、ｋ(x,y,z,t) [ｋ(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１０７）式の処罰項の積分核に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１３５】

但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋ_i(x,y,z,t)、k(x,y,z,t)のいずれかである。
【０２６０】
熱伝導率分布の ｋ_i(x,y,t) [ｋ_i(I,J,j)]、ｋ(x,y,t) [ｋ(I,J,j)] が未知である１つ以上の不連続な２次元構成領域を含む場合には、（１０８）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１３６】

但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋi(x,y,t)、k(x,y,t)のいずれかである。
【０２６１】
熱伝導率分布の ｋ_i(x,t) [ｋ_i(I,j)]、ｋ(x,t) [ｋ(I,j)] が未知である１つ以上の不連続な１次元構成領域を含む場合には、（１０９）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１３７】

但し、ｋは、各点の熱伝導率のｋ_i(x,t)、k(x,t)のいずれかである。
２次元及び１次元関心領域を含む場合も同様である。
【０２６２】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である密度と比熱の積の分布の R'_ij、R'_j をベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、密度と比熱の積の分布の ρｃ_i(x,y,z,t) [ρｃ_i(I,J,K,j)]、ρｃ(x,y,z,t) [ρｃ(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１０）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１３８】

但し、ρcは、各点の密度と比熱の積のρｃ_i(x,y,z,t)、ρｃ(x,y,z,t)のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６３】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である密度の分布の S'_ij、S'_jをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、密度分布のρ_i(x,y,z,t) [ρ_i(I,J,K,j)]、ρ(x,y,z,t) [ρ(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１１）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１３９】

但し、ρは、各点の密度のρ_i(x,y,z,t)、ρ(x,y,z,t)のいずれかである。１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６４】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である比熱の分布の S'_ij、S'_jをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、比熱分布のｃ_i(x,y,z,t) [ｃ_i(I,J,K,j)]、ｃ(x,y,z,t) [ｃ(I,J,K,j)]が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１２）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１４０】

但し、ｃは、各点の密度のｃ_i(x,y,z,t)、ｃ(x,y,z,t)のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６５】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である熱拡散率の分布の H₀'_ij、H₀'_jをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、熱拡散率の分布のｈ_0i(x,y,z,t) [ｈ_0i(I,J,K,j)]、ｈ₀(x,y,z,t) [ｈ₀(I,J,K,j)]が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１３）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１４１】

但し、ｈ₀は、各点の熱拡散率のh_0i(x,y,z,t)、ｈ₀(x,y,z,t)のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６６】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である熱伝導率と密度の比の分布の H₁'_ij、H₁'_jをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、熱伝導率と密度の比の分布のｈ_1i(x,y,z,t) [ｈ_1i(I,J,K,j)]、ｈ₁(x,y,z,t) [ｈ₁(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１４）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１４２】

但し、ｈ₁は、各点の熱伝導率と密度の比のh_1i(x,y,z,t)、ｈ₁(x,y,z,t)のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６７】
また、未知節点ベクトルU'又はV'が未知である熱伝導率と比熱の比の分布のH₂'_ij、H₂'_jをベクトル成分に含む場合、例えば、３次元関心領域を対象とした場合に、熱伝導率と比熱の比の分布のｈ_2i(x,y,z,t) [ｈ_2i(I,J,K,j)]、ｈ₂(x,y,z,t) [ｈ₂(I,J,K,j)] が未知である１つ以上の不連続な３次元構成領域を含む場合には、（１１５）式の処罰項に時間ｔ（ｊ）方向の１階の偏微分及び２階の偏微分を加え、その各構成領域内の積分を求める。
【数１４３】

但し、ｈ₂は、各点の熱伝導率と比熱の比のh₂i(x,y,z,t)、ｈ₂(x,y,z,t)のいずれかである。
１つ以上の不連続な２次元及び１次元構成領域を含む場合も同様である。また、２次元及び１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２６８】
（８９）式〜（９７）式の汎関数II(U')又はII(Ｖ')が有限要素近似されている場合は、（１２５）式〜（１３３）式の処罰項は、有限要素近似において導入した基底関数を使用して有限要素近似されるか、又は、有限差分近似されるが、（８９）式〜（９７）式の汎関数II(U')又はII(Ｖ')が有限差分近似されている場合は、（１２５）式〜（１３３）式の処罰項は、有限差分近似される。
【０２６９】
（１２５）式〜（１３３）式の処罰項が、有限要素近似された場合は、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（１２５）式〜（１２７）式には参照熱伝導率（分布）のｋ'_i(I,J,K,j)、k'(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)、ｋ'(I、J,K,j)が代入され、（１２８）式には密度と比熱の積の分布データのρｃ_i(I,J,K,j)、ρｃ_i(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、ρｃ(I,J,K,j)が代入され、（１２９）式には密度分布データのρ_i(I,J,K,j)、ρ_i(I,J,K)、ρ(I,J,K)、ρ(I,J,K,j)が代入され、（１３０）式には比熱分布データのｃ_i(I,J,K,j)、ｃ_i(I,J,K)、ｃ(I,J,K)、ｃ(I,J,K,j)が代入され、（１３１）式には参照拡散率（分布）のh'_0i(I,J,K,j)、h'_0i(I,J,K)、h'₀(I,J,K)、ｈ'₀(I,J,K,j)が代入され、（１３２）式には参照熱伝導率と密度の比の分布データのh'_1i(I,J,K,j)、h'_1i(I,J,K)、h'₁(I,J,K)、ｈ'₁(I,J,K,j)が代入され、（１３３）式には参照熱伝導率と比熱の比の分布データのh'_2i(I,J,K,j)、h'_2i(I,J,K)、h'₂(I,J,K)、ｈ'₂(I,J,K,j)が代入された上で、適宜、（９２）式、（９４）式、（９５）式のいずれかの汎関数II(U')又はII(V') に加えられ、未知節点ベクトルU'又はV'に関して最小化される。但し、未知節点ベクトルU'は、関心領域全体を対象とした際の未知節点分布のU_ij又はU_jであり、未知節点ベクトルV'は、関心領域内の構成領域内の未知節点分布のV_ij又はV_jである。この場合、基底関数φ₃ρ_c、φ₃ρ、φ_3c、φ_3k、φ_3hは、x,y,zに関して２回偏微分可能であると共にｔに関して２回偏微分可能である必要がある。
【０２７０】
また、（１２５）式〜（１３３）式の処罰項が有限差分近似された場合に、３次元関心領域を対象とする場合、適宜、（１２５）式〜（１２７）式（但し、α_1ij＝０）には参照熱伝導率（分布）のｋ'_i(I,J,K,j)、ｋ'_i(I,J,K)、ｋ'(I,J,K)、ｋ'(I、J,K,j)が代入され、（１２８）式（但し、β_1ij＝０）には密度と比熱の積の分布データのρｃ_i(I,J,K,j)、ρｃ_i(I,J,K)、ρｃ(I,J,K)、ρｃ(I,J,K,j)が代入され、（１２９）式（χ_1ij＝０）には密度分布データのρ_i(I,J,K,j)、ρ_i(I,J,K)、ρ(I,J,K)、ρ(I,J,K,j)が代入され、（１３０）式（δ_1ij＝０）には比熱分布データのｃ_i(I,J,K,j)、ｃ_i(I,J,K)、ｃ(I,J,K)、ｃ(I,J,K,j)が代入され、（１３１）式（ε_1ij＝０）には参照拡散率（分布）のh'_0i(I,J,K,j)、h'_0i(I,J,K)、h'₀(I,J,K)、ｈ'₀(I,J,K,j)が代入され、（１３２）式（γ_1ij＝０）には参照熱伝導率と密度の比の分布データのh'_1i(I,J,K,j)、h'_1i(I,J,K)、h'₁(I,J,K)、ｈ'₁(I,J,K,j)が代入され、（１３３）式（η_1ij＝０）には参照熱伝導率と比熱の比の分布データのh'_2i(I,J,K,j)、h'_2i(I,J,K)、h'₂(I,J,K)、ｈ'₂(I,J,K,j)が代入された上で、適宜、（９２）式、（９４）式、（９５）式の汎関数II(U')又はII(V')に加えられ、未知節点ベクトルU'又はV'に関して最小化される。
２次元、及び、１次元関心領域を対象とする場合も同様である。
【０２７１】
汎関数II(U')又はII(V')（（９２）式、（９４）式、（９５）式）から導出される未知節点ベクトルU'又はV'に関する以下の（１３４）式〜（１３６）式の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布U_ij、U_j、V_ij、V_jを安定的に得られる。尚、正規方程式の（１３４）式〜（１３６）式中の正則化パラメータλ_1ij、λ₂ij、λ_3ij、λ_4ij、λ_5ijの各々は、適宜、使用される前記の処罰項（１２５）式〜（１３３）式中の、各温度分布Ｔ_ijに対して設定されうる正則化パラメータα_1ij、α_2ij、α_3ij、α_4ij、α_5ijの各々、β_1ij、β_2ij、β_3ij、β_4ij、β_5ijの各々、χ_1ij、χ_2ij、χ_3ij、χ_4ij、χ_5ijの各々、δ_1ij、δ_2ij、δ_3ij、δ_4ij、δ_5ijの各々、ε_1ij、ε_2ij、ε_3ij、ε_4ij、ε_5ijの各々、γ_1ij、γ_2ij、γ_3ij、γ_4ij、γ_5ijの各々、η_1ij、η_2ij、η_3ij、η_4ij、η_5ij の各々（正の値)が、対応する処罰項成分にかかるものとして表現されたものである。
【０２７２】
即ち、（９２）式の関心領域全体を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルX_ij=(U_i0 ^T,U_i1 ^T,…,U_in ^T)^T（i = １〜M）又は関心領域内の構成領域を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルX_ij＝(V_i0 ^T,V_i1 ^T,…,V_in ^T)^T（i = １〜M）に関する汎関数II_i(X_ij)を用いて導出される未知節点ベクトルX_ijに関する以下の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布の時系列の(U_i0,U_i1,…,U_in) 又は(V_i0,V_i1,…,V_in) が安定的に得られる。
【数１４４】

但し、行列E'_ij及びベクトルe'_ij(i=1〜M, j=0〜n)は、各々、正規方程式(98)式の行列E'_ij及びベクトルe'_ijであり、行列W_ij=λ_1ijI+λ_2ijG^TG+λ_3ijG^TGG^TGである。
行列Ｇ^TＧ、Ｇ^TＧＧ^TＧ、Ｇt^TＧt、Ｇt^TＧtＧt^TＧtの各々は、関心領域全体を対象とした未知節点分布(U_i0,U_i1,…,U_in)又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点分布(V_i0,V_i1,…,V_in)が含む各未知節点分布Q'にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された前記ラプラシアン作用素、前記ラプラシアン２乗作用素、時間ｔ（ｊ）方向にかかる１階の偏微分作用素、及び、２階の偏微分作用素である。ここで、未知節点分布Q'は、未知節点熱伝導率分布のL'_ij、L_j'、未知である密度と比熱の積の節点分布のR'_ij、R'_j、未知節点密度分布又は未知節点比熱分布のS'_ij、S'_j、未知節点熱拡散率分布のH₀'_ij、H₀'_j、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のH₁'_ij、H₁'_j、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のH₂'_ij、H₂'_jを含む。
【０２７３】
また、（９４）式の関心領域全体を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルX_ij=（U₁₀ ^T,U₁₁ ^T,…,U_1n ^T,U₂₀ ^T,U₂₁ ^T,…,U_2n ^T,……,U_M0 ^T,U_M1 ^T,…,U_Mn ^T)^T 又は関心領域内の構成領域を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルX_ij＝（V₁₀ ^T,V₁₁ ^T,…,V_1n ^T,V₂₀ ^T,V₂₁ ^T,…,V_2n ^T,……,V_M0 ^T,V_M1 ^T,…,V_Mn ^T)^Tに関する汎関数II_i(X_ij)を用いて導出される未知節点ベクトルX_ijに関する以下の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布の時系列の（U₁₀,U₁₁,…,U_1n,U₂₀,U₂₁,…,U_2n,……,U_M0,U_M1,…,U_Mn)又は（V₁₀,V₁₁,…,V_1n,V₂₀,V₂₁,…,V_2n,……,V_M0,V_M1,…,V_Mn)が安定的に得られる。
【数１４５】

但し、行列E'_ij及びベクトルe'_ij(i=1〜M, j=0〜n)は、各々、正規方程式(98)式の行列E'_ij及びベクトルe'_ijであり、行列W_ij=λ_1ijI+λ_2ijG^TG+λ_3ijG^TGG^TGである。
行列Ｇ^TＧ、Ｇ^TＧＧ^TＧ、Ｇt^TＧt、Ｇt^TＧtＧt^TＧtの各々は、関心領域全体を対象とした未知節点分布（U₁₀,U₁₁,…,U_1n,U₂₀,U₂₁,…,U_2n,……,U_M0,U_M1,…,U_Mn) 又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点分布（V₁₀,V₁₁,…,V_1n,V₂₀,V₂₁,…,V_2n,……,V_M0,V_M1,…,V_Mn)が含む各未知節点分布Q'にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された前記ラプラシアン作用素、前記ラプラシアン２乗作用素、時間ｔ（ｊ）方向にかかる１階の偏微分作用素、及び、２階の偏微分作用素である。ここで、未知節点分布Q'は、未知節点熱伝導率分布のL'_ij、L_j'、未知である密度と比熱の積の節点分布のR'_ij、R'_j、未知節点密度分布又は未知節点比熱分布のS'_ij、S'_j、未知節点熱拡散率分布のH₀'_ij、H₀'_j、未知である熱伝導率と密度の比の節点分布のH₁'_ij、H₁'_j、未知である熱伝導率と比熱の比の節点分布のH₂'_ij、H₂'_jを含む。
【０２７４】
また、（９５）式の関心領域全体を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルX_j=（U₀ ^T,U₁ ^T,…,U_n ^T)^T 又は関心領域内の構成領域を対象とした未知節点分布の時系列からなる未知節点ベクトルX_j＝（V₀ ^T,V₁ ^T,…,V_n ^T)^Tに関する汎関数II_i(X_j)を用いて導出される未知節点ベクトルX_jに関する以下の正則化された正規方程式を解くことにより、未知節点分布の時系列の（U₀,U₁,…,U_n)又は（V₀,V₁,…,V_n)が安定的に得られる。
【数１４６】

行列Ｇ^TＧ、Ｇ^TＧＧ^TＧ、Ｇt^TＧt、Ｇt^TＧtＧt^TＧtの各々は、関心領域全体を対象とした未知節点分布（U₀,U₁,…,U_n）又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点分布（V₀,V₁,…,V_n）が含む各未知節点分布Q'にかかる有限要素近似あるいは有限差分（離散）近似された前記ラプラシアン作用素、前記ラプラシアン２乗作用素、時間ｔ（ｊ）方向にかかる１階の偏微分作用素、及び、２階の偏微分作用素である。
【０２７５】
これより、関心領域内の、未知熱伝導率分布のＬ_ij（３次元関心領域を対象とした場合には、ｋ_i(x,y,z,t)）、L_i[ｋ_i(x,y,z)]、L[ｋ(x,y,z)]、L_j[ｋ(x,y,z,t)]、未知である密度と比熱の積の分布Ｒ_ij[ρｃ_i(x,y,z,t)]、R_i[ρｃ_i(x,y,z)]、R[ρｃ(x,y,z)]、R_j[ρｃ(x,y,z,t)]、未知比熱分布のS_ij[ｃ_i(x,y,z,t)]、S_i[ｃ_i(x,y,z)]、S[ｃ(x,y,z)]、S_j[ｃ(x,y,z,t)]、未知密度分布のS_ij[ρ_i(x,y,z,t)]、S_i[ρ_i(x,y,z)]、S[ρ(x,y,z)]、S_j[ρ(x,y,z,t)]、未知熱拡散率分布のH_0ij[h_0i(x,y,z,t)]、H_0i[h_0i(x,y,z)]、H₀[h₀(x,y,z)]、H_0j[h₀(x,y,z,t)]、未知である熱伝導率と密度の比の分布のH_1ij[h_1i(x,y,z,t)]、H_1i[h_1i(x,y,z)]、H₁[h₁(x,y,z)]、H_1j[h₁(x,y,z,t)]、未知である熱伝導率と比熱の比の分布のH_2ij[h_2i(x,y,z,t)]、H_2i[h_2i(x,y,z)]、H₂[h₂(x,y,z)]、H_2j[h₂(x,y,z,t)]を推定できる。尚、有限要素近似を行った場合には、前記基底関数を用いる。２次元、１次元関心領域を対象とした場合も同様である。
【０２７６】
正則化された正規方程式（１１６）式〜（１２４）式及び（１３４）式〜（１３６）式中の正則化パラメータλ_1ij、λ_2ij、λ_3ij、λ_4ij、λ_5ijは、前記の第１基本原理にて示した正則化された正規方程式（１９）式と同様に、関心領域全体を対象とした未知節点ベクトルU'又は関心領域内の各構成領域を対象とした未知節点ベクトルV'にかかる行列が各温度データT_ijに対して数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータλ_1ij、λ_2ij、λ_3ij、λ_4ij、λ_5ijの各々を決定する正則化パラメータα_1ij、α_2ij、α_3ij、α_4ij、α_5ijの各々、β_1ij、β_2ij、β_3ij、β_4ij、β_5ijの各々、χ_1ij、χ_2ij、χ_3ij、χ_4ij、χ_5ijの各々、δ_1ij、δ_2ij、δ_3ij、δ_4ij、δ_5ijの各々、ε_1ij、ε_2ij、ε_3ij、ε_4ij、ε_5ijの各々、γ_1ij、γ_2ij、γ_3ij、γ_4ij、γ_5ijの各々、η_1ij、η_2ij、η_3ij、η_4ij、η_5ij の各々の値が、（１０７）式〜（１１５）式又は（１２５）式〜（１３３）式の各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の、各温度データT_ijに対して評価される温度時空間偏微分分布データ（温度の時間方向の１階の偏微分分布データ、温度勾配ベクトル分布データ、温度勾配ベクトルの発散分布データ）の精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２７７】
詳細には、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる未知節点分布のR'_ij、R'_i、R'、R'_jにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度の時間方向の１階の偏微分分布データの精度（ＳＮ比）により、
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれるS'_ij、S'_i、S'、S'_jにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度の時間方向の１階の偏微分データと与えられた密度データ又は比熱データとの積の分布の精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２７８】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数II_ij(U')中の（４９）式〜（７１）式の汎関数I_ij(・)か（７７）式〜（８８）式の汎関数I_ij(・)のいずれかから導出された、未知節点分布のL'_ij、L'_i、L'、L'_j、H₀'_ij、H₀'_i、H₀'、 H₀'_j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度勾配ベクトル分布データと未知である熱伝導率ｋ又は熱拡散率ｈ₀又は熱伝導率と密度の比h₁又は熱伝導率と比熱の比h₂にかかる勾配作用素との内積の分布データと温度勾配ベクトルの発散分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２７９】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数II_ij(U')中の（７２）式〜（７５）式の汎関数I_ij(・)のいずれかから導出された、未知節点分布のL'_ij、L'_i、L'、L'_j、H₀'_ij、H₀'_i、H₀'、H₀'_j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度勾配ベクトル分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２８０】
即ち、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節される。
例えば、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる未知節点分布のR'_ij、R'_i、R'、R'_jにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度の時間方向の１階の偏微分分布データのSNパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２８１】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれるS'_ij、S'_i、S'、S'_jにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度の時間方向の１階の偏微分データと与えられた密度データ又は比熱データとの積の分布のＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２８２】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数II_ij(U')中の（４９）式〜（７１）式の汎関数I_ij(・)か（７７）式〜（８８）式の汎関数I_ij(・)のいずれかから導出された、未知節点分布のL'_ij、L'_i、L'、L'_j、H₀'_ij、H₀'_i、H₀'、 H₀'_j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度勾配ベクトル分布データと未知である熱伝導率ｋ又は熱拡散率ｈ₀又は熱伝導率と密度の比h₁又は熱伝導率と比熱の比h₂にかかる勾配作用素との内積の分布データと温度勾配ベクトルの発散分布データとのSNパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２８３】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数II_ij(U')中の（７２）式〜（７５）式の汎関数Iij(・)のいずれかから導出された、未知節点分布のL'_ij、L'_i、L'、L'_j、H₀'_ij、H₀'_i、H₀'、H₀'_j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jにかかる正則化パラメータは、各処罰項の各積分領域内の温度勾配ベクトル分布データのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
尚、各温度時空間偏微分分布データや各温度時空間勾配ベクトル分布データ（各温度分布における時間方向の１階の偏微分成分と空間方向の勾配ベクトル成分から成るベクトルの分布）のＳＮ比は、測定された温度分布の時系列データの時空間方向の間隔や温度分布そのもの（即ち、温度時空間勾配方向、温度時空間勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布の時系列データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合があるため、各温度時空間勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比はその成分分布ごとに異なるものとなる。
【０２８４】
従って、正則化パラメータα_2ij、α_3ij、α_4ij、α_5ijの各々、β_2ij、β_3ij、β_4ij、β_5ijの各々、χ_2ij、χ_3ij、χ_4ij、χ_5ijの各々、δ_2ij、δ_3ij、δ_4ij、δ_5ijの各々、ε_2ij、ε_3ij、ε_4ij、ε_5ijの各々、γ_2ij、γ_3ij、γ_4ij、γ_5ijの各々、η_2ij、η_3ij、η_4ij、η_5ijの各々は、（１０７）式〜（１１５）式又は（１２５）式〜（１３３）式の処罰項成分の各々の偏微分の時空間方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の、各温度データTijに対して評価される温度時空間勾配ベクトル分布の成分分布のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の時空間方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の時空間方向には大きくなるように調節されることがある。
【０２８５】
詳細には、正則化パラメータβ_2ijとβ_3ijは、温度の時間t方向の１階偏微分の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節され、正則化パラメータχ_2ijとχ_3ijは、温度の時間j方向の１階偏微分データと与えられる比熱データとの積の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節され、正則化パラメータδ_2ijとδ_3ijは、温度の時間j方向の１階偏微分データと与えられる密度データとの積の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、正則化パラメータβ_4ijとβ_5ij、χ_4ijとχ_5ij、δ_4ijとδ_5ijは、温度の時間t方向の１階偏微分の時間j方向のΔt間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２８６】
また、正則化パラメータα_2ijとα_3ij、ε_2ijとε_3ij、γ_2ijとγ_3ij、η_2ijとη_3ijは、汎関数Iij(・)として（４９）式〜（７１）式か（７７）式〜（８８）式が使用される場合には、温度勾配ベクトルの各成分とその成分と同一方向の未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ₀、又は、熱伝導率と密度の比h₁、又は、熱伝導率と比熱の比h₂にかかる１階偏微分作用素との積の空間分布データと温度勾配ベクトルの同一成分の同一方向の１階偏微分の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、温度勾配ベクトルと未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ₀、又は、熱伝導率と密度の比h₁、又は、熱伝導率と比熱の比h₂にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量の空間分布データと温度勾配ベクトルの発散の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、汎関数Iij(・)として（７２）式〜（７５）式が使用される場合は、温度勾配ベクトルの各成分分布データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、温度勾配ベクトルの大きさの各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２８７】
また、正則化パラメータα_4ijとα_5ij、ε_4ijとε_5ij、γ_4ijとγ_5ij、η_4ijとη_5ijは、汎関数Iij(・)として（４９）式〜（７１）式か（７７）式〜（８８）式が使用される場合は、温度勾配ベクトルと未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ₀、又は、熱伝導率と密度の比h₁、又は、熱伝導率と比熱の比h₂にかかる勾配作用素との内積の時間j方向のΔt間の変化量の空間分布データと温度勾配ベクトルの発散の時間j方向のΔt間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、汎関数Iij(・)として（７２）式〜（７５）式が使用される場合は、温度勾配ベクトルの大きさの時間j方向のΔt間の変化量の空間分布データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２８８】
例えば、各処罰項の各積分領域（各構成領域）内にて評価されるＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
その際には、これらの正則化パラメータの各々の値は、例えば、各時空間方向のデータ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなる（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）。従って、これら正則化パラメータの各々の値は、各積分領域（各構成領域）内の、各温度データTijに対して評価される温度時空間偏微分分布のＳＮ比及び温度時空間勾配ベクトルの成分分布のＳＮ比を決定する各要因より評価される各値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定されることがある。
【０２８９】
尚、温度時系列測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の時系列の測定を行い、各測定温度分布データの平均値の２乗及び各測定温度分布データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価するようにしても良い。有限要素近似が行われた場合は、各要素の節点（I,J,K）の温度時空間偏微分データから、積分領域内の温度時空間偏微分分布のＳＮ比が見積もられる。
【０２９０】
また、正則化パラメータλ_1ij、λ_2ij、λ_3ij、λ_4ij、λ_5ijの各々を決定する正則化パラメータα_1ij、α_2ij、α_3ij、α_4ij、α_5ijの各々、β_1ij、β_2ij、β_3ij、β_4ij、β_5ijの各々、χ_1ij、χ_2ij、χ_3ij、χ_4ij、χ_5ijの各々、δ_1ij、δ_2ij、δ_3ij、δ_4ij、δ_5ijの各々、ε_1ij、ε_2ij、ε_3ij、ε_4ij、ε_5ijの各々、γ_1ij、γ_2ij、γ_3ij、γ_4ij、γ_5ijの各々、η_1ij、η_2ij、η_3ij、η_4ij、η_5ij の各々の値は、各々がかかる（１０７）式〜（１１５）式又は（１２５）式から（１３３）式の各処罰項の積分領域（構成領域）内において空間的に変化するものとして実現されることもある。結果的に、これらの正則化パラメータは、未知節点分布U'又はV'を構成する各関心点の未知物性値にかかる局所行列が各温度データTijに対して数値解析的に正定値となる様に、大きい値に調節される。あるいは、正則化パラメータλ_1ij、λ_2ij、λ_3ij、λ_4ij、λ_5ijの各々を決定する正則化パラメータα_1ij、α_2ij、α_3ij、α_4ij、α_5ijの各々、β_1ij、β_2ij、β_3ij、β_4ij、β_5ijの各々、χ_1ij、χ_2ij、χ_3ij、χ_4ij、χ_5ijの各々、δ_1ij、δ_2ij、δ_3ij、δ_4ij、δ_5ijの各々、ε_1ij、ε_2ij、ε_3ij、ε_4ij、ε_5ijの各々、γ_1ij、γ_2ij、γ_3ij、γ_4ij、γ_5ijの各々、η_1ij、η_2ij、η_3ij、η_4ij、η_5ij の各々の値は、（１０７）式〜（１１５）式又は（１２５）式から（１３３）式の各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の、各関心点の各温度データT_ijに対して評価される温度時空間偏微分データ（温度の時間方向の１階の偏微分データ、温度勾配ベクトルデータ、温度勾配ベクトルの発散データ）の大きさに依存する温度時空間偏微分データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２９１】
詳細には、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる未知節点分布のR'_ij、R'_i、R'、R'_jにかかる正則化パラメータは、関心点の温度の時間方向の１階の偏微分データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２９２】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれるS'_ij、S'_i、S'、S'_jにかかる正則化パラメータは、関心点の温度の時間方向の１階の偏微分データと与えられた密度データ又は比熱データとの積の精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２９３】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数II_ij(U')中の（４９）式〜（７１）式の汎関数I_ij(・)及び（７７）式〜（８８）式の汎関数Iij(・)のいずれかから導出された、未知節点分布のL'_ij、L'_i、L'、L'_j、H₀'_ij、H₀'_i、H₀'、 H₀'_j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jにかかる正則化パラメータは、関心点の温度勾配ベクトルデータと未知である熱伝導率ｋ又は熱拡散率ｈ₀又は熱伝導率と密度の比h₁又は熱伝導率と比熱の比h₂にかかる勾配作用素との内積データと温度勾配ベクトルの発散データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０２９４】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数II_ij(U')中の（７２）式〜（７５）式の汎関数I_ij(・)のいずれかから導出された、未知節点分布のL'_ij、L'_i、L'、L'_j、H₀'_ij、H₀'_i、H₀'、H₀'_j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jにかかる正則化パラメータは、関心点の温度勾配ベクトルデータの精度（ＳＮ比）により調節される。
その結果、ＳＮ比が高い場合に小さく、ＳＮ比が低い場合に大きくなるように調節される。
【０２９５】
例えば、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる未知節点分布のR'_ij、R'_i、R'、R'_jにかかる正則化パラメータは、関心点の温度の時間方向の１階の偏微分データのSNパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２９６】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれるS'_ij、S'_i、S'、S'_jにかかる正則化パラメータは、関心点の温度の時間方向の１階の偏微分データと与えられた密度データ又は比熱データとの積のＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２９７】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数II_ij(U')中の（４９）式〜（７１）式の汎関数I_ij(・)及び（７７）式〜（８８）式の汎関数I_ij(・)のいずれかから導出された、未知節点分布のL'_ij、L'_i、L'、L'_j、H₀'_ij、H₀'_i、H₀'、 H₀'_j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jにかかる正則化パラメータは、関心点の温度勾配ベクトルデータと未知である熱伝導率ｋ又は熱拡散率ｈ₀又は熱伝導率と密度の比h₁又は熱伝導率と比熱の比h₂にかかる勾配作用素との内積データと温度勾配ベクトルの発散データとのSNパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２９８】
また、未知節点ベクトルU'又はV'に含まれる、（８９）式〜（９７）式の汎関数II_ij(U')中の（７２）式〜（７５）式の汎関数I_ij(・)のいずれかから導出された、未知節点分布のL'_ij、L'_i、L'、L'_j、H₀'_ij、H₀'_i、H₀'、H₀'_j、H₁'_ij、H₁'_i、H₁'、H₁'_j、H₂'_ij、H₂'_i、H₂'、H₂'_jにかかる正則化パラメータは、関心点の温度勾配ベクトルデータのＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。
【０２９９】
尚、各温度時空間偏微分と各温度時空間勾配ベクトル（各温度分布における時間方向の１階の偏微分成分と空間方向の勾配ベクトル成分から成るベクトル）のＳＮ比は、測定された温度分布の時系列データの時空間方向の間隔や温度分布そのもの（即ち、温度時空間勾配方向、温度時空間勾配成分の大きさ）に依存し、また、測定温度分布の時系列データのＳＮ比がセンサーの開口の方向に依存する場合がある。そのため、各温度時空間勾配ベクトル分布の各関心点において、温度時空間勾配ベクトルの成分のＳＮ比はその成分ごとに異なるものとなり、正則化パラメータα_2ij、α_3ij、α_4ij、α_5ijの各々、β_2ij、β_3ij、β_4ij、β_5ijの各々、χ_2ij、χ_3ij、χ_4ij、χ_5ijの各々、δ_2ij、δ_3ij、δ_4ij、δ_5ijの各々、ε_2ij、ε_3ij、ε_4ij、ε_5ijの各々、γ_2ij、γ_3ij、γ_4ij、γ_5ijの各々、η_2ij、η_3ij、η_4ij、η_5ijの各々は、位置だけでなく、（１０７）式〜（１１５）式又は（１２５）式〜（１３３）式の処罰項成分の各々の偏微分の時空間方向によって変化するものとして実現されることがある。即ち、これらの正則化パラメータの各々の値は、各温度データTijに対して評価される温度時空間勾配ベクトル分布の関心点の温度時空間勾配ベクトルの成分のＳＮ比に依存して、ＳＮ比が高い成分の時空間方向には小さく、ＳＮ比が低い成分の時空間方向には大きくなるように調節されることがある。
【０３００】
詳細には、正則化パラメータβ_2ijとβ_3ijは、関心点の温度の時間t方向の１階偏微分の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節され、正則化パラメータχ_2ijとχ_3ijは、関心点の温度の時間j方向の１階偏微分データと与えられる比熱データとの積の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節され、正則化パラメータδ_2ijとδ_3ijは、関心点の温度の時間j方向の１階偏微分データと与えられる密度データとの積の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、正則化パラメータβ_4ijとβ_5ij、χ_4ijとχ_5ij、δ_4ijとδ_5ijは、関心点の温度の時間t方向の１階偏微分の時間j方向のΔt間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０３０１】
また、正則化パラメータα_2ijとα_3ij、ε_2ijとε_3ij、γ_2ijとγ_3ij、η_2ijとη_3ijは、汎関数Iij(・)として（４９）式〜（７１）式か（７７）式〜（８８）式が使用される場合は、関心点の温度勾配ベクトルの各成分とその成分と同一方向の未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ₀、又は、熱伝導率と密度の比h₁、又は、熱伝導率と比熱の比h₂にかかる１階偏微分作用素との積のデータと関心点の温度勾配ベクトルの同一成分の同一方向の１階偏微分データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、関心点の温度勾配ベクトルと未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ₀、又は、熱伝導率と密度の比h₁、又は、熱伝導率と比熱の比h₂にかかる１階偏微分作用素との内積の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データと関心点の温度勾配ベクトルの発散の各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、汎関数Iij(・)として（７２）式〜（７５）式が使用される場合は、関心点の温度勾配ベクトルの各成分データの精度（ＳＮ比）により調節されるか、あるいは、関心点の温度勾配ベクトルの大きさの各空間I,J,K方向のΔx、Δy、Δz間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０３０２】
また、正則化パラメータα_4ijとα_5ij、ε_4ijとε_5ij、γ_4ijとγ_5ij、η_4ijとη_5ijは、汎関数Iij(・)として（４９）式〜（７１）式か（７７）式〜（８８）式が使用される場合は、関心点の温度勾配ベクトルと未知である熱伝導率ｋ、又は、熱拡散率ｈ₀、又は、熱伝導率と密度の比h₁、又は、熱伝導率と比熱の比h₂にかかる勾配作用素との内積の時間j方向のΔt間の変化量データと関心点の温度勾配ベクトルの発散の時間j方向のΔt間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。また、汎関数Iij(・)として（７２）式〜（７５）式が使用される場合は、関心点の温度勾配ベクトルの大きさの時間j方向のΔt間の変化量データの精度（ＳＮ比）により調節される。
【０３０３】
例えば、各処罰項の各積分領域（各構成領域）内の各位置において評価されるＳＮパワー比に反比例した値とすることがある。その際には、これらの正則化パラメータの各々の値は、例えば、各時空間方向のデータ間隔が長い場合には小さく、データ間隔が短い場合には大きくなるように調節されることとなる（例えば、データ間隔の二乗に反比例した値）。従って、これら正則化パラメータの各々の値は、各温度データTijに対して評価される温度時空間偏微分のＳＮ比及びその各成分のＳＮ比を決定する各要因より評価される各値に重要度の重み付けを行った上で算出される積の値に比例するように設定される。
【０３０４】
尚、温度時系列測定データの精度（ＳＮ比）の測定に関しては、測定器の測定精度の評価を行うべく、表面が平らであり温度が一定である黒体を対象に、複数回、温度分布の時系列の測定を行い、各位置において、各測定温度データの平均値の２乗及び各測定温度データの分散値の比からＳＮパワー比を評価する。あるいは、測定器及び測定系を含めた測定精度の評価を行うべく、真の測定対象を測定する際の測定系と同一の測定系において、又は、その測定系を実現して、同様に、計測対象物そのものを対象に、又は、黒体を対象にＳＮ比を評価することがある。各節点（I,J,K）の温度時空間偏微分データのＳＮ比、又は、各要素の節点の温度時空間偏微分のＳＮ比より評価される各要素における温度時空間偏微分のＳＮ比が見積もられる。
【０３０５】
（II）あるいは、第１及び第２の基本原理に基づいて、１階の空間偏微分方程式の（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式中にて未知パラメータのスペクトラムを扱い、（I）の場合と異なって、時空間方向にだけでなく周波数方向にも正則化を施して安定的に各未知パラメータを評価することがある。
【０３０６】
例えば、３次元構成領域内の熱伝導率ｋ_i(x,,y,z,t)及び密度と比熱の積ρｃ_i(x,y,z,t)の周波数分散（スペクトラムの周波数分布及び位相の周波数分布）の空間分布を計測対象とする場合に、前記の空間座標（x,y,z,I,J,K）のみを変数とする各基底関数が使用され、熱伝導率空間分布の時系列ｋi(x,y,z,t) が、前記の熱伝導率空間分布の時系列ｋ_i(x,y,z,j) （〜Σ_I,J,Kφ_3k(I,J,K,x,y,z)ｋi(I,J,K,j)）を各位置において時間ｊ方向のFast Fourier's Transform [や Maximum Entropy Method (MEM)]等により得られるスペクトラム分布(や短時間スペクトラム分布)の各周波数ｌ成分の大きさｋi(x,y,z,l)及び位相θ_ki(x,y,z,l)を用いて、即ち、各位置の各周波数lのスペクトラムの実数成分（ｋi(x,y,z,l)cosθ_ki(x,y,z,l)）及び虚数成分（ｋi(x,y,z,l)sinθ_ki(x,y,z,l)）を用いて、次のように表される。
【数１４７】

ここで、太文字ｊは虚数単位を表し、ｉ（＝１〜Ｍ）は測定された独立した温度空間分布の時系列Ｔ_i(x,y,z,t)を表す。Ｍは測定された独立した温度空間分布の時系列の数（１以上）であり、ｌ（＝０〜ｎ）は離散周波数座標であり、周波数ｆとは周波数データの間隔Δｆを用いてｆ＝ｌΔｆの関係にある。
【０３０７】
また、密度と比熱の積の空間分布の時系列ρｃi(x,y,z,t)が、前記の密度と比熱の積の空間分布の時系列ρｃ_i(x,y,z,j) （〜Σ_I,J,Kφ₃ρ_c(I,J,K,x,y,z)ρｃi(I,J,K,j)）を各位置において時間ｊ方向のFast Fourier's Transform [や Maximum Entropy Method (MEM)]等により得られるスペクトラム分布(短時間スペクトラム分布)の各周波数ｌ成分の大きさρｃi(x,y,z,l)及び位相θρ_ci(x,y,z,l)を用いて、即ち、各位置の各周波数lのスペクトラムの実数成分（ρｃi(x,y,z,l)cosθρ_ci(x,y,z,l)）及び虚数成分（ρｃi(x,y,z,l)sinθρ_ci(x,y,z,l)）を用いて、次のように表される。
【数１４８】

ここで、太文字ｊは虚数単位を表す。
【０３０８】
１階の空間偏微分方程式（４１）式は、次のように表されるものとする。
【数１４９】

その場合には、各周波数ｌにおいて、次の１階の連立空間偏微分方程式が成立する。
【数１５０】

【０３０９】
従って、１階の連立空間偏微分方程式の（１３７'）式及び（１３７''）式を、（I)の場合の１階の空間偏微分方程式の（４１）式を各時系列i（＝１〜M)の各時間ｊ（=０〜ｎ)において扱う場合と同様に、有限要素近似（変分原理やガラーキン法に基づく)を行うことができる。
【０３１０】
その場合は、前記の各基底関数を使用して、温度空間分布の時系列T_i(x,y,z,t)を節点温度空間分布の時系列T_i(I,J,K,j)を用いて、又、温度の時間方向の１階の偏微分の空間分布の時系列dT／dt(x,y,z,t)を温度の時間方向の１階の偏微分の節点空間分布の時系列ｄT／dt(I,J,K,j)を用いて、又、温度勾配ベクトル成分の空間分布のD_ix(x,y,z,t)とD_iy(x,y,z,t)とD_iz(x,y,z,t)の各々を節点温度勾配ベクトル成分の空間分布の時系列のD_ix(I,J,K,j)とD_iy(I,J,K,j)とD_iz(I,J,K,j)を用いて、又、温度勾配ベクトルの発散の空間分布の時系列をその節点空間分布の時系列を用いて近似した上で前記のいずれかの汎関数から導出される代数方程式に、各時系列i（＝１〜M)の各時間ｊ（＝０〜ｎ）の低域通過型フィルタのかけられた節点温度空間分布データT_i(I,J,K,j)、低域通過型フィルタのかけられた温度の時間方向の１階の偏微分の節点空間分布データｄT／dt(I,J,K,j)、低域通過型フィルタのかけられた節点温度勾配ベクトル成分の空間分布データのD_ix(I,J,K,j)とD_iy(I,J,K,j)とD_iz(I,J,K,j)、及び、低域通過型フィルタのかけられた温度勾配ベクトルの発散の節点空間分布データを代入する。あるいは、有限差分近似を行う場合には、各々の空間分布の時系列を節点空間分布の時系列にて表した上で導出される有限差分方程式に、節点空間分布データを代入する。
【０３１１】
さらに、既知の各物性パラメータの時系列の各周波数ｌ（＝０〜ｎ）のスペクトラムの実数成分の節点空間分布データ及び虚数成分の節点空間分布データ（熱伝導率の時系列の各周波数ｌ（＝０〜ｎ）のスペクトラムの実数成分の節点空間分布データのｋ_i(I,J,K,l)cosθ_ki(I,J,K,l)と虚数成分の節点空間分布データのｋ_i(I,J,K,l)sinθ_ki(I,J,K,l)、及び、密度と比熱の積の時系列のスペクトラムの各周波数ｌ（＝０〜ｎ）の実数成分の節点空間分布データのρｃ_i(I,J,K,l)cosθρｃi(I,J,K,l) と虚数成分の節点空間分布データのρｃ_i(I,J,K,l)sinθρｃ_i(I,J,K,l)） を代入することにより、各時系列i（＝１〜M）の各時間ｊ（＝０〜ｎ）において、各波数ｌ（＝０〜ｎ）の、熱伝導率の時系列のスペクトラムの実数成分の節点空間分布k_i(I,J,K,l)cosθ_ki(I,J,K,l)と虚数成分の節点空間分布ki(I,J,K,l)sinθ_ki(I,J,K,l)及び密度と比熱の積のスペクトラムの実数成分の節点空間分布ρｃ_i(I,J,K,l)cosθρ_ci(I,J,K,l)とスペクトラムの虚数成分の節点空間分布ρｃ_i(I,J,K,l)sinθρ_ci(I,J,K,l)に関する代数方程式の（７６）式を２個得る。
【０３１２】
この様に、（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式のいずれの１階の空間偏微分方程式が使用される場合においても、同様に、計測対象である物性パラメータの空間分布のみが、周波数領域においてその節点空間分布のスペクトラム及び空間座標のみを変数とする基底関数を用いて近似されて代数方程式（７６）式が導出される。以下、これらの代数方程式が連立されて正則化される際には、前記の如く、Ｐijにより正規化される。
【０３１３】
（Ａ）各時系列ｉ（＝１〜Ｍ）の各時間ｊ（＝０〜ｎ）の各周波数ｌ（＝０〜ｎ）において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々について解かれることがある（（７６）式又は正規方程式の（９８）式）。
【０３１４】
（Ｂ）異なる時系列ｉ（＝１〜Ｍ）や異なる時間ｊ（＝０〜ｎ）の各々において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々に関して連立され、全ての未知パラメータの周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々について解かれることがある（正規方程式の（９９）式〜（１０６）式）。
【０３１５】
（Ｃ）異なる時系列ｉ（＝１〜Ｍ）や異なる時間ｊ（＝０〜ｎ）の各々において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数分布の空間分布の各々に関して連立され、全ての未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々を空間的に安定化させるべく、これらの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布に関する連立方程式の各々に（１０７）式〜（１１５）式の処罰項を用いた正則化が施されることがある（正規方程式の（１１６）式〜（１２４）式）。この場合、各未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量（前記の通り、例えば、未知パラメータが密度ρである場合は、比熱ｃと温度の時間方向の１階の偏微分の積ｄＴ／ｄｔ、又、未知パラメータが熱伝導率である場合は、温度勾配ベクトルと温度勾配ベクトルの発散）の周波数ｌ成分の構成領域内において使用された時間内のＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは、時間と位置に依存するものとして扱われることもある。
【０３１６】
（Ｄ）同様に、異なる時系列ｉ（＝１〜Ｍ)や異なる時間ｊ（＝０〜ｎ）の各々において導出される２個の代数方程式は、各々、１つ以上の未知パラメータの周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布に関して連立され、全ての未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々を時間方向に安定化させるべく、これらの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布に関する連立方程式の各々に（１２５）式〜（１３３）式の処罰項を用いた正則化が施されることがある（正規方程式の（１３４）式〜（１３６）式）。この場合、各未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量の周波数ｌ成分の構成領域内において使用された時間内のＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは、時間と位置に依存するものとして扱われることもある。
【０３１７】
（Ｅ）任意の時系列ｉの任意の１つの時間ｊにおいて、導出される１つ以上の未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々に関する代数方程式を全ての周波数（ｌ＝０〜ｎ)に関して連立した上で、各位置において全ての未知パラメータのスペクトラムの実数成分分布と虚数成分分布の各々を周波数方向に安定化させるべく、（１０７）式〜（１１５）式や（１２５）式〜（１３３）式の処罰項と同様に、各未知パラメータのスペクトラムの実数成分分布と虚数成分分布の各々の周波数方向の１階の偏微分と２階の偏微分（各々に正則化パラメータがかかる）の構成領域内の積分の和として定義される処罰項を用いた正則化が施されることがある。これらの各未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量の各周波数ｌのＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは位置と時間に依存するものとして扱われることもある。
【０３１８】
さらに、上記の（Ｃ）や（Ｄ）と同様に、１つ以上の未知パラメータの空間分布の各々を、空間的に、又、時間方向に安定化させるべく、異なる時系列（ｉ＝１〜Ｍ）や時間ｊ（＝０〜ｎ）において導出される全ての未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布の各々に関する代数方程式を全ての周波数（ｌ＝０〜ｎ)に関して連立した上で、上記の周波数方向に関する処罰項に（１０７）式〜（１１５）式や（１２５）式〜（１３３）式の処罰項を加えた処罰項を用いて正則化が施されることがある。これらの各未知パラメータの各周波数ｌの実数成分の空間分布と虚数成分の空間分布にかかる正則化パラメータは、（４１）式、（４３）式、（４５）式、（４７）式の１階の空間偏微分方程式中にて各未知パラメータのかかる物理量の各周波数ｌ成分の使用された時間内のＳＮパワー比に反比例する様に決定されることがある。尚、正則化パラメータは位置と時間に依存するものとして扱われることもある。
【０３１９】
以上の通り、代数方程式の（７６）式を用いた上記の（Ａ）〜（Ｅ）いずれかにより、使用された温度の時間方向の１階の偏微分分布の時系列データの時間内の各未知パラメータの周波数分散が求められる。
【０３２０】
また、節点熱伝導率空間分布の時系列は、各位置において使用された節点温度勾配ベクトルの時系列データの時間内において求められたスペクトラム分布に、各位置において、逆フーリ変換を施すことにより求められる。例えば、時間ｊ＝０〜ｎにおいて、節点熱伝導率空間分布の時系列は、
【数１５１】

であり、これより、熱伝導率空間分布の時系列k_i(x,y,z,t)が求められる。
２次元、１次元構成領域を対象とした場合も同様である。
【０３２１】
また、（I）の処理が行われた場合においては、逆に、直接的に求められる計測対象を各位置において関心時間内においてスペクトラム解析を行うことにより、その時間内の各物性パラメータの周波数分散の空間分布を評価することが可能である。各物性パラメータの周波数分散そのものを最終的な計測対象とする場合は、（I）及び（II）のいずれの場合においても、各物性パラメータの周波数分散の関心のある周波数帯域を対象とできる様に、充分に広帯域の温度分布の時系列データを生成させるべく、積極的に、熱源や吸熱源の周波数（単一）を変えながら、温度分布の測定を行う、あるいは、広帯域の熱源や吸熱源を使用して温度分布の測定を行うことがある。
【０３２２】
尚、（II）において、温度データの瞬時スペクトラムを測定した場合は、瞬時周波数を周波数ｌとして扱えばよい。また、測定される温度分布が正弦的に単一周波数にて変化する場合は、その(単一)周波数を周波数ｌとして扱えばよい。
【０３２３】
尚、（II）において、未知パラメータに関するスペクトラム解析は時間方向にではなく、空間方向に適用されて、同様に、各未知パラメータ分布が求められることがある。
【０３２４】
以上が本発明に係る熱物性推定方法の基本原理であるが、参照領域を形成するために、測定対象物以外の各種参照物質を測定対象物の関心領域内に添えて参照値を得ることも考えられる。また、測定対象物の関心領域内に温度データが欠落した場合には、その時間の点又は領域を関心領域から除外して演算を行い、その演算後において、関心領域から除外された時間の点又は領域の、熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散を、推定された熱伝導率分布、熱拡散率分布、熱伝導率と密度の比の分布、熱伝導率と比熱の比の分布、密度分布、比熱分布、これらの経時的変化や周波数分散から、関心時空間内において内挿又は外挿補間処理することにより評価することがある。
尚、同様に非等方性の計測対象が扱われることがある。
また、上記の熱伝導率、熱拡散率、密度、比熱、これらより表される高次データの計測は、計測対象の非線形特性を捉えるべく、非線形現象を微少時間内や微小空間内の線形近似を行った場合に適用されることがある。
熱材料、電気材料、超伝導体、生体・生物(組織)、構造物等の様々なものを計測対象とし、各々の計測対象に対して、熱物性推定装置は、適宜、特化されることがある(例えば、顕微鏡として使用されることがある。)。これより、物性値評価(計測環境条件として、例えば、温度依存性や荷重・圧歴の影響等の評価が可能。又、厚み変化のあるものを対象として見かけの物性値の評価を行った上で校正データを使用して厚み変化の評価を行うこと等も可能。)だけでなく、診断・モニタリング（例えば、材料成長過程、構造物構成過程、回路部品の接合、構造物修復過程、生体や生物の病変の進行、生体の病変の治療効果(薬品投与、放射線治療(強力超音波、電磁ＲＦ波、電磁マイクロ波、レーザ等の照射)、冷凍(冷却)治療、外科手術等による組織変性や炎症等)、生体の血液や造影剤として注入されたマイクロバブルの挙動等）、機能評価（例えば、回路設計、回路部品、電子回路、生体組織、培養下にある神経回路網等。）、又、探傷検査等が行われることがある。
【０３２５】
次に、本発明の第２の実施形態に係る熱物性推定装置について説明する。本発明の第１の実施形態に係る熱物性推定装置は、基本構成となっており、試料設置台の上に測定対象物を載置して測定を行うものであった。これに対し、本発明の第２の実施形態に係る熱物性推定装置は、測定対象物が試料設置台に載せられないもの、例えば寸法の大きなもの、あるいは現在存在する位置から移動のできない構築物等である場合に対応したものである。
【０３２６】
図３は、本発明の第２の実施形態に係る熱物性推定装置の構成を示すブロック図である。本実施形態に係る熱物性推定装置は、温度センサ１を測定対象物４に向け、且つ、温度センサ１と測定対象物４との相対位置の変化（走査）を行わせることのできる温度センサ保持機構２０を有している。尚、温度センサ保持機構２０と距離調整手段１４の位置を上下逆にすることも可能である。
【０３２７】
次に、本発明の第３の実施形態に係る熱物性推定装置について説明する。
図４は、本発明の第３の実施形態に係る熱物性推定装置の構成を示すブロック図である。本発明の第３の実施形態に係る熱物性推定装置は、温度センサ側に設けられた第１の走査機構１０と、試料設置台側に設けられた第２の走査機構１１とを有している。これにより、高速で自由度の高い走査が可能となる。本実施形態においては、距離調整手段１４を温度センサ側に設けているが、距離調整手段１４を測定対象物側に設けてもかまわない。また、第１の走査機構１０の位置と距離調整手段１４の位置を上下逆にすることも可能である。
【０３２８】
尚、温度センサとしては、赤外線素子以外に、他光検出素子や焦電素子や熱電対や超音波圧電素子や核磁気共鳴信号検出器やインピーダンス検出器等が使用されることがあり、固体、液体、気体、混合物、生体、生物等、様々な物体を対象として温度分布を測定するべく、これらの素子やこれらがアレイ状に配置されたセンサが使用されることがある。
【０３２９】
また、前記の熱伝導現象又は対流現象のいずれかの少なくとも１つを扱うや否やを決定する手段により、関心領域内のある領域内又はある点においては、上記の熱伝導現象の代わりに対流現象(様々な自然対流や強制対流など)を対象として熱伝導率(分布、時系列)の代わりに熱伝達率(分布、時系列)が未知変数として扱われる(対流による熱量の変化量(分布、時系列)をｄＱiとして、例えば、(４１)式はρ_iｃ_i(ｄＴi/dt)＝ｄＱiと表される。)、或いは、関心領域内のある領域内又はある点においては、熱伝導現象と共に対流現象(様々な自然対流や強制対流など)を対象として熱伝導率(分布、時系列)と熱伝達率(分布、時系列)が共に未知変数として扱われる(対流による熱量の変化量(分布、時系列)をｄＱiとして、例えば、(４１)式はρ_iｃ_i(ｄＴi/dt)＝-∇・(ｋiＤi)＋ｄＱiと表される。)ものと決定されることがある。また、各点の対流による熱量の変化量は、熱伝達率の他に移動速度や密度や比熱等により決まることがあるため、これらの分布や時系列のいずれかが未知変数として扱われることもある(例えば、生体熱輸送方程式：bio-heat transfer equation 等において。)。
【０３３０】
また、関心領域内のある領域内又はある点においては、熱源(分布、時系列)や吸熱源(分布、時系列)のデータが与えられて、上記の熱伝導現象や対流現象が扱われることがある(熱源(分布、時系列)をＱiとして、例えば、(４１)式はρ_iｃ_i(ｄＴi/dt)＝-∇・(ｋiＤi)＋Ｑiと表される。生体の放射線治療（強力超音波、電磁ＲＦ波、電磁マイクロ波、レーザ等の照射）による発熱や冷凍(冷却)治療による吸熱、生体への薬品投与による発熱・吸熱、これらの治療や外科手術後に生じる炎症等。)。また、逆に熱源(分布、時系列)や吸熱源(分布、時系列)が求められることもある。
【０３３１】
以上より、計測対象内の、不均質領域の状態や分布や体積や個数等、又、これらの変化が求められることがある（例えば、生体の病変の進行や各種の治療による組織変性そのもの、血液中の赤血球等の細胞や造影剤として注入されたマイクロバブル等）。
【０３３２】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、熱伝導率や熱伝達率が未知である測定対象物の関心領域における熱伝導率や熱伝達率を、関心領域内で測定された温度分布から求めることができる。特に、測定対象物内部に既に温度分布が存在する場合においても、その温度場を乱すことなくそのままの温度分布を測定することにより、容易に関心領域の熱伝導率や熱伝達率を推定することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の第１の実施形態に係る熱物性推定装置の構成を示すブロック図である。
【図２】本発明の第１の実施形態に係る熱物性推定方法の手順を示すフローチャートである。
【図３】本発明の第２の実施形態に係る熱物性推定装置の構成を示すブロック図である。
【図４】本発明の第３の実施形態に係る熱物性推定装置の構成を示すブロック図である。
【図５】従来の熱伝導率推定装置の構成を示すブロック図である。
【符号の説明】
１ 温度センサ
２ 駆動装置
３ 走査機構
４ 測定対象物
５ 温度場発生手段
６ 計測制御手段
７ データ記録手段
８ データ処理手段
９ ハウジング
１０ 第１の走査機構
１１ 第２の走査機構
１２ 温度検出器
１３ 熱源
１４ 距離調整手段
１５ 試料設置台
１６ データ処理手段
１７ 表示部
２０ 保持機構[0001]
BACKGROUND OF THE INVENTION
  The present invention generally provides thermophysical properties.DressIn particular, the thermophysical properties of an object or creature are estimated by non-contact temperature measurement.DressRelated to the position.
[0002]
[Prior art]
In FIG. 5, the structure of the conventional thermal conductivity estimation apparatus is shown. In this thermal conductivity estimation device, a temperature distribution is positively generated in the measurement object 4 by the heat source 13, and the temperature distribution is applied to the entire measurement object by the temperature detector 12 such as a thermocouple. taking measurement. Further, the data processing means 16 models the heat flow using the finite difference method or the finite element method, and estimates the thermal conductivity inside the region of interest based on the sensitivity theory. Here, the region of interest is a region where the thermal conductivity of the measurement object is unknown and the thermal conductivity is to be estimated.
[0003]
[Problems to be solved by the invention]
However, according to this thermal conductivity estimation apparatus, since it is necessary to provide a heat source outside the measurement object and positively generate a temperature distribution for the measurement object, the temperature distribution is already present in the measurement object. When present, there is a problem that the temperature field is disturbed.
[0004]
Moreover, since this thermal conductivity estimation apparatus is based on the sensitivity theory, the thermal conductivity distribution that matches the measurement data is determined by calculating the temperature distribution assuming the thermal conductivity distribution. For this reason, it is necessary to repeatedly update the estimated value of the thermal conductivity, resulting in a problem that the calculation amount becomes enormous. Further, since the calculation requires boundary conditions regarding temperature and heat flux, it is difficult to estimate the thermal conductivity of the region of interest based on the measurement only within the region of interest of the measurement object.
[0005]
  Therefore, in view of the above-mentioned problems of the prior art, the object of the present invention is to create a temperature field in the region of interest of the measurement object under the condition or assumption that the heat source and the heat sink exist outside the region of interest. In this case, the heat transfer coefficient can be directly estimated in addition to the thermal conductivity from the measured data of the temperature (temperature gradient) in the region of interest without artificially generating a temperature distribution by an external heat source. Thermophysical propertiesDressIs to provide a position.
[0006]
[Means for Solving the Problems]
  In order to achieve the above object, the present inventionOneOf thermophysical properties from the viewpoint ofapparatusIs the temperature of a plurality of positions in the 3D, 2D, or 1D region of interest of the measurement object.Data recording for recording temperature detection means for measuring in time series and temperature data representing the temperature measured by the temperature detection means in association with position data and time data representing the position and time at which the temperature was measured, respectively. Means, temperature data, position data, and time data recorded in the data recording means, and change over time obtained in a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional reference region set in the region of interest Possible thermal conductivity, diffusivity, heat transfer rate, ratio of thermal conductivity and density, ratio of thermal conductivity and specific heat, ratio of heat transfer rate and density, ratio of heat transfer rate and specific heat, density And a specific value of at least one first-order spatial partial differential equation using the reference value of any of the product, density, specific heat, heat source, and endothermic source, and its position data and time data. Finite difference approximation or By applying a finite element approximation or a discrete approximation, the thermal conductivity distribution, thermal diffusivity distribution, thermal conductivity distribution, thermal conductivity / density ratio distribution, thermal conductivity within the region of interest of the measurement object Distribution of the ratio of specific heat to heat, distribution of ratio of heat transfer coefficient to density, distribution of ratio of heat transfer coefficient to specific heat, distribution of product of density and specific heat, density distribution, specific heat distribution, heat source distribution, heat sink Data processing means for determining at least one of distribution, their change with time, and their frequency dispersionIt comprises.
[0007]
Here, the reference region is a region in which the thermal conductivity (distribution) and the heat transfer coefficient (distribution) are known, or a unit size value assuming that the heat conductivity and the heat transfer rate are a priori constant. It is an area that is assumed to have or has a certain distribution (distribution of values relative to unit size values). The reference point is a point where the thermal conductivity and the heat transfer coefficient are known, or a point assumed to have a unit size value. Eventually, the region of interest is a region in which the thermal conductivity distribution or the heat transfer coefficient distribution including the reference region or reference point inside and at the boundary is unknown.
[0019]
According to the present invention configured as described above, the thermal conductivity and heat transfer coefficient in the region of interest of the measurement object whose thermal conductivity and heat transfer coefficient are unknown are obtained from the temperature distribution measured in the region of interest. be able to. In particular, even when a temperature distribution already exists inside the measurement object, it is possible to easily estimate the thermal conductivity and heat transfer coefficient of the region of interest by measuring the temperature distribution without disturbing the temperature field. Can do.
[0020]
DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION
Hereinafter, embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the drawings. In addition, the same reference number is attached | subjected to the same component and description is abbreviate | omitted.
FIG. 1 is a block diagram showing the configuration of the thermophysical property estimation apparatus according to the first embodiment of the present invention. In the present embodiment, the measurement object 4 is placed on the sample mounting table 15 and measurement is performed. In order to measure the temperature of the measurement object 4 placed on the sample mounting table 15, the temperature sensor 1 is arranged to face the measurement object 4. The temperature sensor 1 has a temperature measurement function, is held by the housing 9 and is driven by the driving device 2. Therefore, the temperature sensor 1 and the drive device 2 constitute a temperature detection means.
[0021]
In the present embodiment, an infrared temperature sensor using an infrared element is used as the temperature sensor 1 in order to remotely measure the temperature distribution in the measurement object 4 without contact.
[0022]
As the infrared temperature sensor, (a) a relatively simple infrared temperature sensor using various infrared elements, (b) an infrared temperature sensor capable of setting a focal position by digitally calculating the received energy of the infrared element group, ) An infrared temperature sensor that can set the spatial resolution by digitally calculating the received light energy of the infrared element group, and (d) an infrared that can set the spatial resolution and focus position by using an infrared lens in combination with the temperature sensors (i) to (c). An infrared temperature sensor having a function of actively emitting infrared rays and a function of controlling its focal position and spatial resolution can be used as the temperature sensors (e) to (d).
[0023]
In addition, a distance adjusting means 14 is provided so that the distance between the measuring object 4 and the temperature sensor 1 can be adjusted to an appropriate distance for temperature measurement, and an in-plane orthogonal to the distance direction is used to measure the temperature distribution. The scanning mechanism 3 is provided so that the measurement object 4 can be two-dimensionally moved. The distance adjusting means and the scanning mechanism may be provided on the sample mounting table side or on the temperature sensor side. Further, the distance adjusting means and the scanning mechanism may be provided on both the sample mounting table side and the temperature sensor side. The positions of the distance adjusting means and the scanning mechanism can be turned upside down.
[0024]
In the present embodiment, a temperature field generating means 5 is provided in order to generate a temperature field in the region of interest of the measurement object 4 as necessary. The temperature field generating means 5 is constituted by, for example, a thermoelectric module including a plurality of thermoelectric elements, and heat is flowed directly into a measurement object or indirectly through a sample mounting table and / or a reference object. Can be sucked up.
[0025]
Further, in order to positively reduce the influence of convection and improve the measurement accuracy, a vacuum container capable of storing at least a measurement object may be provided to enable measurement in a vacuum. This vacuum vessel is kept in a low pressure state by a vacuum pump. In this case, the measurement control means 6 and the like may be installed outside the vacuum container. When the infrared temperature sensor 1 is installed outside the vacuum container, a cooling device may be used to lower the temperature of the infrared window attached to the container.
[0026]
When the measurement object 4 is placed on the sample mounting table 15 and measured by the temperature sensor, the distance adjustment means 14 sets the distance to the measurement object, and the scanning mechanism 3 changes the measurement point. The temperature data thus measured is recorded in the data recording means 7 in association with the position data representing the measurement position. As the data recording means 7, a memory, a hard disk, a flexible disk, a CD-ROM or the like can be used. Thereafter, the data read from the data recording unit 7 and the reference value in the reference region provided in the region of interest of the measurement object 4 are sent to the data processing unit 8. Here, the region of interest and the reference region may have any shape of three dimensions, two dimensions, or one dimension.
[0027]
The data processing means 8 may be constituted by a digital circuit, or may be constituted by a CPU and a program. For example, when only the heat conduction phenomenon is handled after determining at least one of the heat conduction phenomenon and the convection phenomenon in each local region or each point in the region of interest, in the data processing means 8 (18), (19), (20), (28), (39), (40), (116) to (124), or ( 134) to a vector L ′ representing the thermal conductivity distribution in the region of interest of the measurement object 4 based on the equations (136) to (136)._lnAlternatively, L ′ is calculated. If an absolute reference (distribution) value is given, the reference value is processed as 1.0 if it is constant, and if it is not constant, it is a relative value with respect to the unit size of 1.0. After the relative thermal conductivity distribution is evaluated, the absolute distribution may be evaluated using an absolute reference value. It should be noted that the thermal conductivity distribution, thermal diffusivity distribution, thermal conductivity / density ratio distribution, thermal conductivity / specific heat ratio distribution, density distribution, specific heat distribution, etc. over time and frequency dispersion of the measurement object In the case of evaluation, the region of interest includes a reference region regarding thermal conductivity, thermal diffusivity, ratio of thermal conductivity and density, ratio of thermal conductivity and specific heat, density, and specific heat that can change with time. Further, the data processing means 8 evaluates the temperature gradient distribution, the thermal conductivity gradient distribution, the temperature Laplacian distribution, the thermal conductivity Laplacian distribution, and the like from the measured temperature distribution and thermal conductivity distribution. From diffusivity distribution, thermal diffusivity gradient distribution, thermal diffusivity Laplacian distribution, from thermal conductivity / density ratio distribution, thermal conductivity / density ratio gradient distribution, thermal conductivity / density ratio Laplacian distribution, From the distribution of thermal conductivity and specific heat ratio, from gradient distribution of thermal conductivity to specific heat ratio, from Laplacian distribution and density distribution of thermal conductivity to specific heat ratio, from density gradient distribution, density Laplacian distribution and specific heat distribution The gradient distribution of specific heat, the Laplacian distribution of specific heat, etc. are evaluated, and the frequency dispersion, temporal change itself, absolute change (difference value) and relative change (ratio value) can also be evaluated.
[0028]
In this case, when temperature data is missing due to the presence of a defective element in the temperature sensor, the calculation is performed by excluding the point or region of time from the region of interest. After the calculation, the thermal conductivity (distribution), thermal diffusivity (distribution), thermal conductivity-density ratio (distribution), thermal conductivity-specific heat ratio of the time point or area excluded from the region of interest (Distribution), density (distribution), specific heat (distribution), their change over time and frequency dispersion, evaluated thermal conductivity (distribution), thermal diffusivity (distribution), ratio of thermal conductivity and density ( Distribution), ratio of thermal conductivity and specific heat (distribution), density (distribution), specific heat (distribution), and their temporal changes and frequency dispersion, and evaluation is performed by interpolation or extrapolation processing in the time space of interest. You may do it.
[0029]
The distribution data obtained as a result of the above measurement is sent to the data recording means 7 and recorded as necessary. Further, at least one of the distribution data obtained as a result of the above measurement may be displayed on the screen of the display unit 17 including a CRT, a liquid crystal, an LED, or the like.
[0030]
The measurement control means 6 is configured so that each of the above parts is smooth in order to obtain the thermal conductivity of the measurement object.
In other words, each part is controlled so that each part performs the function described in [Means for Solving the Problems].
[0031]
In this embodiment, the temperature gradient vector is evaluated by measuring the temperature distribution of the measurement object with a non-contact temperature sensor such as an infrared temperature sensor, and the reference heat conduction given in the reference region provided in the region of interest. Using only the rate (distribution) value, the thermal conductivity distribution relative to the reference thermal conductivity value is estimated using one of the three basic principles of the thermophysical property estimation method.
[0032]
When a temperature gradient has already occurred in the measurement object, it is possible to estimate the thermal conductivity distribution without disturbing the temperature field by appropriately providing a reference region in the region of interest. Here, the appropriate reference region means that the reference region is appropriately positioned with respect to the heat generation source or the heat absorption source, and the reference region widely intersects with the direction of the temperature gradient in the region of interest. Is. Further, when a plurality of independent temperature distributions can be measured after preparing the temperature field generating means 5 for generating or absorbing heat, that is, when performing three-dimensional measurement, at least three two-dimensional measurements are performed. Estimating a thermal conductivity distribution for a reference thermal conductivity value provided at at least one reference point in the region of interest, if at least two when performing, and at least one when performing a one-dimensional measurement. Is possible. However, it is desirable that the number of measurement of the temperature field is small. If the number of measurement of the temperature field is less than the number of dimensions to be measured, it is necessary to appropriately provide a reference region as described above.
[0033]
Furthermore, if temperature measurement data contains error (noise) data by applying a low-pass filter to the temperature measurement data and performing regularization when minimizing the functional based on the variational principle In addition, the thermal conductivity can be stably determined for a case where the reference region is narrow and the position is poor. This is described in the first-order spatial partial differential equation relating to the thermal conductivity described by the measured temperature gradient vector distribution in the Japanese patent application (Japanese Patent Application No. 2001-315064) filed earlier by the present inventor. Thermal conductivity distribution derived by applying finite element approximation (Galerkin method or variational method) or discrete (finite difference) approximation to the distribution of thermal conductivity or temperature gradient vector (or temperature distribution) It is described that all equations relating to are regularized in the same way as when solving by solving the least squares. In particular, it is described that when the variational principle is applied, regularization may be performed when the functional itself is minimized.
[0034]
When the finite element approximation is performed based on the Galerkin method, the thermal conductivity distribution lnk (x, y, z) or the low-pass filter expressed in the first-order spatial partial differential equation that holds in the region of interest Temperature gradient vector distribution D_iA basis function used when finite element approximation of (x, y, z) (or temperature distribution) is a weight basis function (Galerkin method). Where the basis function φ used to approximate the thermal conductivity distribution lnk (x, y, z)_lnkMust be capable of partial differentiation at least once, while the temperature distribution T_i(x, y, z) and temperature gradient vector distribution D_iBasis function φ used to approximate (x, y, z)_TAnd φ_DMust be partial differentiable more than once and more than once. However, temperature gradient vector distribution D as a weight function_i(x, y, z) or temperature distribution T_iBasis function φ used to approximate (x, y, z)_DOr φ_TWhen the partial integration is applied to the gradient of the thermal conductivity distribution lnk (x, y, z) using_lnkMay be direct current.
At this time, the basis function of the thermal conductivity distribution can always express the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (x, y, z), thereby making it possible to obtain a vector L ′ composed of unknown node thermal conductivity._lnSimultaneous equations HL '_ln= H (Equation 1 of Japanese Patent Application No. 2001-315064) is derived, and this is expressed as a vector L ′_ln When the regularization is performed when the least square is performed, the size (positive value) is appropriately set uniformly and spatially depending on the measurement accuracy (SN ratio) of the temperature gradient vector distribution itself. (For example, the sum of values inversely proportional to the SN power ratio of each temperature gradient vector distribution) or the magnitude (positive value) depending on the distribution of measurement accuracy (SN ratio) of temperature (gradient vector) Can be adjusted spatially appropriately (eg, a sum of values inversely proportional to the SN power ratio evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution).₁, Α₂, Α_Three(Positive value) is used to add a punishment term as in the following formula (Formula 2 of Japanese Patent Application No. 2001-315064). Here, the temperature gradient vector distribution data is obtained by applying a differential filter to the temperature distribution measurement data subjected to the low-pass filter, applying a band-limited differential filter to the temperature distribution measurement data, or using a basis function. Is obtained by either partial differentiation of the low-pass filtered temperature distribution measurement data expressed as follows, while the temperature gradient vector divergence distribution data is similarly converted to the temperature gradient vector distribution data: It is obtained either by applying a differential filter or by partial differentiation of the temperature gradient vector distribution expressed using a basis function.
e (L '_ln) = ‖H-HL '_ln‖²+ Α₁‖L '_ln‖²
+ Α₂‖GL '_ln‖²+ Α_Three‖G^TGL '_ln‖²
[0035]
By minimizing this as a functional, the vector L ′_lnThe following regularized normal equation is obtained (Equation 3 of Japanese Patent Application No. 2001-315064).
(H^TH + α₁I + α₂G^TG + α_ThreeG^TGG^TG) L '_ln= H^Th
However, G, G^TG, G^TGG^TEach of G is a gradient operator, a Laplacian operator, and a Laplacian square operator of the unknown thermal conductivity distribution lnk (x, y, z) approximated by finite element approximation or finite difference approximation, and H^TEven if H is numerically unstable (singular), I, G^TG and G^TGG^TSince G is a positive definite value, by solving this, the unknown conductivity distribution lnk (x, y, z) is obtained stably and uniquely as an estimation result (basis function is used).
For the thermal conductivity lnk (x, y, z) distribution in the region of interest (including the reference thermal conductivity (distribution)), a regularized normal equation is derived in the same way, and the low-pass Type filtered temperature gradient vector distribution D_iThe unknown thermal conductivity distribution lnk (x, y, z) may be obtained by substituting (x, y, z) and the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (x, y, z). If a finite difference approximation is performed, α₁Is always zero and the punishment term is approximated by a finite difference, and an unknown thermal conductivity distribution is stably obtained by regularization (however, a discrete distribution).
[0036]
In the present application, the basic principle of the three types of thermophysical property estimation methods is shown. In any case, when a plurality of independent temperature distributions are measured, each temperature distribution (or temperature gradient vector distribution evaluated from this) is measured. Is normalized using its norm (magnitude) and is then derived and solved for simultaneous equations or normal equations that may be regularized with respect to unknown thermal conductivity. One basic principle includes the application of a finite element approximation or a discrete approximation based on the variational principle with respect to the thermal conductivity distribution, temperature gradient vector distribution, or temperature distribution, which has been filed. The basic principles of include the application of a finite element approximation or discrete approximation based on the Galerkin method for applying a thermal conductivity distribution, temperature gradient vector distribution, or temperature distribution, or a finite difference approximation. The third basic principle of the present application is that, as a method of estimating the thermal conductivity distribution when there is a temporal change in the temperature distribution, the thermal conductivity distribution, density distribution, specific heat distribution, density and Based on the first and second basic principles, the variational principle is based on the distribution of specific heat product, thermal diffusivity distribution, thermal conductivity / density ratio distribution, and thermal conductivity / specific heat ratio distribution. And finite element approximation or discrete approximation based on the Galerkin method, or those applying finite difference approximation.
[0037]
Next, a thermal property estimation method according to the first embodiment of the present invention will be described with reference to the flowchart of FIG.
First, in step S1, it is determined whether or not the number of independent temperature fields (or temperature field time series) measured on the measurement object 4 is equal to or greater than the number of dimensions of the space to be measured. If the number of dimensions is equal to or greater than the number of dimensions of the measurement space, at least one reference point is set in step S2. On the other hand, if it is less than the number of dimensions of the measurement space, in step S3, at least one reference region widely intersecting with the direction of the temperature gradient is set.
[0038]
Next, in step S4, the region of interest is set as a measurement region, and the temperature field (or temperature field time series) is measured, that is, the temperature distribution (or temperature distribution time series) is measured.
When measuring a plurality of independent temperature distributions (or time series of independent temperature distributions), the measurement is performed as follows. Using the temperature field generating means 5 shown in FIG. 1, a first temperature field is generated in the region of interest, and the measurement is performed. Subsequently, the temperature field generating means 5 changes the heat generation or suction position to generate a different second temperature field, and performs the measurement. The same applies hereinafter.
[0039]
If the temperature field already exists, the temperature field generating means 5 may not be used, but only one of them may be measured to set the reference region.
In the measurement, the position data and the temperature data are input to the data recording means 7 while adjusting the distance adjusting means 14 and the scanning mechanism 3 to scan the measurement object.
[0040]
Next, in step S5, the data processing means 8 shown in FIG. 1 performs spatial smoothing by filtering the data read from the data recording means 7 for noise removal. Further, in step S6, (18), (19), (20), (28), (39), (40), (116) to (124), (134) The coefficient of the normal equation of formula (136) is obtained. Further, in step S7, the normal equation is solved to obtain the thermal conductivity distribution L ′ of the region of interest._lnAlternatively, L ′ is obtained.
[0041]
Hereinafter, the basic principle of the three types of thermophysical property estimation methods in the data processing in steps S6 and S7 will be described in detail.
According to the basic principle of the first thermophysical property estimation method, a first-order spatial partial differential equation for the thermal conductivity distribution described by the measured temperature gradient vector distribution is established, and this is compared with the three-dimensional, 1D of the thermal conductivity distribution or temperature gradient vector (or temperature) distribution when targeting a one-dimensional region of interest, and one-dimensional first derivative of the thermal conductivity when targeting a one-dimensional region of interest The distribution can also be modeled by applying finite element approximation or discrete approximation based on the variational principle.
[0042]
In the Cartesian coordinate system (x, y, z), if the temperature field can be measured in the three-dimensional region of interest, three independent temperature fields T₁, T₂, T_ThreeThe following simultaneous partial differential equations are established by measuring.
[Expression 1]

However, temperature gradient vector D₁= -∇T₁, D₂= -∇T₂, D_Three= -∇T_ThreeIt is.
[0043]
If the temperature field can be measured in the two-dimensional region of interest, two independent temperature fields T₁, T₂Is measured, the following simultaneous partial differential equation is established.
[Expression 2]

[0044]
If the temperature field can be measured in the one-dimensional region of interest, one temperature field T₁Is measured, the following partial differential equation is established.
[Equation 3]

[0045]
When only one temperature field can be measured, only one partial differential equation is established in each of the equations (1) to (3). Further, when a plurality of temperature distributions are measured, equations that are simultaneous by the number of temperature distributions can be obtained.
In addition, the sign of the right side in the equations (1) to (3) is changed, and the first derivative of the natural logarithm lnk of the thermal conductivity is changed to the first log of the natural logarithm ln (1 / k) of the reciprocal of the thermal conductivity May be treated as a partial differential equation with the natural logarithm of the reciprocal of the thermal conductivity itself ln (1 / k) as a variable. In the following, regarding the equations (1) to (3), the case where the natural logarithm of the thermal conductivity lnk itself is used as a variable will be described. However, the natural logarithm of the inverse of the thermal conductivity itself ln (1 / k) is a variable. In the same manner, the natural logarithm ln (1 / k) of the reciprocal of the thermal conductivity or the reciprocal of the thermal conductivity (1 / k) is obtained, and then the natural logarithm of the thermal conductivity lnk or the heat conduction The rate k may be evaluated. If the natural logarithm of the thermal conductivity itself, lnk, is used as a variable, it may be effective when the region of interest contains an object with extremely low thermal conductivity, such as a heat insulating material, and the natural number of the inverse of the thermal conductivity. Using the logarithm itself ln (1 / k) as a variable may be effective when an object of extremely high thermal conductivity is included in the region of interest.
In addition, the equations (1) to (3) are obtained by multiplying the thermal conductivity k (x, y, z), k (x, y), k (x) on both sides, respectively. It may be treated as a partial differential equation with k as a variable. In this case, the sign of the term not including the first-order partial derivative of the thermal conductivity k is changed, and all the thermal conductivities k are replaced with the inverse of the thermal conductance (1 / k). May be treated as a partial differential equation with the inverse of (1 / k) as a variable. In the following, the case where the thermal conductivity k is a variable will be described. However, when the inverse of the thermal conductivity (1 / k) is a variable, similarly, the inverse of the thermal conductivity (1 / k) or heat The natural logarithm ln (1 / k) of the reciprocal of the conductivity may be obtained, and then the thermal conductivity k or the natural logarithm lnk of the thermal conductivity may be evaluated. When the thermal conductivity itself k is a variable, it may be effective when the region of interest includes an object with extremely low thermal conductivity, such as a heat insulating material, and the reciprocal 1 / k of the thermal conductivity itself is 1 / k. The variable may be effective when an object with extremely high thermal conductivity is included in the region of interest.
[0046]
In general, the initial condition is
[Expression 4]

A plurality of reference regions w in the region of interest_m(M = 1 to N). When the same number of independent temperature fields as the number of dimensions of the region of interest to be measured are measured, the reference value may be given at one point in the region of interest.
[0047]
A finite element approximation (variation principle) is applied to the thermal conductivity distribution or temperature gradient vector distribution (or temperature distribution) appearing in such a first-order spatial partial differential equation.
Below, L_lnAnd L are vectors representing thermal conductivity distributions lnk and k, respectively, in the region of interest, and s is a temperature gradient vector distribution D in the region of interest._i(Or temperature distribution T_i) Represents a functional that holds in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional regions of interest. However, i (= 1-M) points out the measured temperature distribution, and M is the number (1 or more) of the measured independent temperature distribution.
[0048]
When a three-dimensional region of interest is targeted, the functional when the variational principle is applied to the thermal conductivity distribution is as follows.
[Equation 5]

[0049]
Further, when a three-dimensional region of interest is targeted, the functional when the variational principle is applied to the temperature gradient vector distribution (or temperature distribution) is expressed by the following equation.
[Formula 6]

[0050]
Next, when the two-dimensional region of interest is targeted, the functional when the variational principle is applied to the thermal conductivity distribution is as follows.
[Expression 7]

[0051]
When a two-dimensional region of interest is targeted, the functional when the variational principle is applied to the temperature gradient vector distribution (or temperature distribution) is expressed by the following equation.
[Equation 8]

[0052]
Next, when the one-dimensional region of interest is targeted, the functional when the variational principle is applied to the thermal conductivity distribution or the first-order differential distribution of the thermal conductivity is as follows.
[Equation 9]

[0053]
Further, when the one-dimensional region of interest is targeted, the functional when the variation principle is applied to the temperature gradient vector distribution (or temperature distribution) is expressed by the following equation.
[Expression 10]

[0054]
The functionals of the equations (5) to (10) are the thermal conductivity distribution L expressed in each functional._lnThe thermal conductivity distribution L and the temperature gradient vector distribution (temperature distribution) s are approximated by a finite element, but a three-dimensional basis function is used in a three-dimensional space, and a two-dimensional basis function is used in a two-dimensional space. In the one-dimensional space, a one-dimensional basis function is used. In the following, the number of nodes of elements is omitted.
[0055]
In the case of targeting a three-dimensional region of interest, the three-dimensional thermal conductivity distribution lnk (x, y, z) in equation (5) is the three-dimensional nodal thermal conductivity lnk (I, J, K) and three-dimensional Basis function φ_3lnkUsing (I, J, K, x, y, z), lnk (x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3lnkInterpolated as (I, J, K, x, y, z) lnk (I, J, K). The three-dimensional thermal conductivity distribution k (x, y, z) in the equation (6) is expressed by the three-dimensional nodal thermal conductivity k (I, J, K) and the three-dimensional basis function φ._3k(I, J, K, x, y, z) and k (x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3kInterpolated as (I, J, K, x, y, z) k (I, J, K). On the other hand, the three-dimensional temperature gradient vector distribution D in the equations (5) and (6)_i(x, y, z) is a three-dimensional nodal temperature gradient vector [D_ix(I, J, K), D_iy(I, J, K), D_iz(I, J, K)]^TAnd basis function φ_3DUsing (I, J, K, x, y, z), D_i(x, y, z) ~ [Σ_{I, J, K}φ_3D(I, J, K, x, y, z) D_ix(I, J, K), Σ_{I, J, K}φ_3D(I, J, K, x, y, z) D_iy(I, J, K), Σ_{I, J, K}φ_3D(I, J, K, x, y, z) D_iz(I, J, K)]^TIs interpolated. Further, the temperature distribution T in the equation (6)_i(x, y, z) is the three-dimensional node temperature T_i(I, J, K) and basis function φ_3TUsing (I, J, K, x, y, z), T_i(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3T(I, J, K, x, y, z) T_iInterpolated as (I, J, K).
[0056]
In the case of targeting a two-dimensional region of interest, the two-dimensional thermal conductivity distribution lnk (x, y) in equation (7) is expressed by the two-dimensional nodal thermal conductivity lnk (I, J) and the two-dimensional basis function φ._2lnkUsing (I, J, x, y), lnk (x, y) ~ Σ_{I, J}φ_2lnkInterpolated as (I, J, x, y) lnk (I, J). The two-dimensional thermal conductivity distribution k (x, y) in the equation (8) is expressed by the two-dimensional nodal thermal conductivity k (I, J) and the two-dimensional basis function φ._2kUsing (I, J, x, y), k (x, y) ~ Σ_{I, J}φ_2kInterpolated as (I, J, x, y) k (I, J). On the other hand, the two-dimensional temperature gradient vector distribution D in the equations (7) and (8)_i(x, y) is a two-dimensional nodal temperature gradient vector [D_ix(I, J), D_iy(I, J)]^TAnd basis function φ_2DUsing (I, J, x, y), D_i(x, y) ~ [Σ_{I, J}φ_2D(I, J, x, y) D_ix(I, J), Σ_{I, J}φ_2D(I, J, x, y) D_iy(I, J)]^TIs interpolated. Further, the temperature distribution T in the equation (8)_i(x, y) is the two-dimensional nodal temperature T_i(I, J) and basis function φ_2TUsing (I, J, x, y), T_i(x, y) ~ Σ_{I, J}φ_2T(I, J, x, y) T_iInterpolated as (I, J).
[0057]
In the case of targeting a one-dimensional region of interest, the one-dimensional thermal conductivity distribution lnk (x) in equation (9) is expressed by the one-dimensional nodal thermal conductivity lnk (I) and the one-dimensional basis function φ._1lnkUsing (I, x), lnk (x) to Σ_Iφ_1lnkInterpolated as (I, x) lnk (I). The one-dimensional thermal conductivity distribution k (x) in equation (10) is expressed by the one-dimensional nodal thermal conductivity k (I) and the one-dimensional basis function φ._1kUsing (I, x), k (x) to Σ_Iφ_1kInterpolated as (I, x) k (I). On the other hand, the one-dimensional temperature gradient vector distribution D in the equations (9) and (10)_i(x) is a one-dimensional nodal temperature gradient vector D_ix(I) and basis function φ_1DUsing (I, x), D_i(x) to Σ_Iφ_1D(I, x) D_ixInterpolated with (I). Further, the temperature distribution T in the equation (10)_i(x) is the one-dimensional nodal temperature T_i(I) and basis function φ_1TUsing (I, x), T_i(x) to Σ_Iφ_1T(I, x) T_iInterpolated with (I).
[0058]
However, with respect to the differentiability of each of the above basis functions, the basis function φ used to approximate the thermal conductivity distribution_lnkAnd φ_kMust be at least one partial differentiable, while the basis function φ used to approximate the temperature distribution and temperature gradient vector distribution_TAnd φ_DMust be partial differentiable more than once and more than once. Here, the basis function of the temperature gradient vector distribution is the aforementioned φ_DApart from the temperature distribution basis function φ_TOn the other hand, the basis function of the divergence distribution of the temperature gradient vector can also be obtained by partial differentiation of the basis function of the temperature gradient vector distribution. Here, the basis function φ of the thermal conductivity distribution_lnkAnd φ_k, It should be noted that the reference thermal conductivity (distribution) values lnk ′ (x, y, z) and k ′ (x, y, z) must be expressed respectively. Further, the low-pass filter is applied to the temperature distribution measurement data required in the equations (5) to (10), and the temperature gradient vector distribution data is measured using the low-pass filter. Apply differential filter to data, apply differential filter with band limitation to temperature distribution measurement data, or basis function φ_TIt is evaluated by either partial differentiation of the temperature distribution expressed using. On the other hand, the divergence distribution data of the temperature gradient vector similarly applies a differential filter to the temperature gradient vector distribution data or the basis function φ_DIs evaluated either by partial differentiation of the temperature gradient vector distribution expressed using. Accordingly, it is sufficient that the basis functions used are at least capable of performing the necessary differentiation process.
[0059]
Specifically, when the functionals of the expressions (5), (7), and (9) are used, one of the functionals (i = 1 to M) shown in the following expression is obtained.
## EQU11 ##

Or
[Expression 12]

However, P_iIs the temperature gradient vector distribution D in the region of interest_iThe power value of (x, y, z) (multiplying the standard deviation of each power if possible).
[0060]
These are L_lnA functional with respect to However, equation (11) can be used only when only one temperature distribution is measured. The functional in () of equation (12) is not normalized. For example, when a three-dimensional region of interest is targeted, these functionals are converted into finite elements using the above-described basis functions, and then the temperature gradient vector distribution data D subjected to low-pass filtering is applied._i(I, J, K), distribution data of divergence of temperature gradient vector, and reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (I, J, K) are substituted, and then unknown thermal conductivity distribution lnk ( I, J, K) vector L '_lnOr a vector L "consisting of the thermal conductivity distribution lnk (I, J, K) in the region of interest_lnTemperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K), the distribution data of the divergence of the temperature gradient vector, and the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (I, J, K) are substituted.
[0061]
As a result, from equation (11), one temperature distribution T_iVector L 'consisting of unknown thermal conductivity distribution lnk (I, J, K)_lnThe following simultaneous equations are obtained.
[Formula 13]

Furthermore, from equation (12), one or more temperature distributions T_iVector L ′ composed of unknown thermal conductivity distribution lnk (I, J, K) based on the least square method when (i = 1 to M) is measured_lnThe following normal equation for is obtained.
[Expression 14]

By solving these, lnk (x, y, z) is obtained as an estimation result (basis function φ_3lnkUse). However, A in the equation (13)_iAnd a_iAnd A ′ in the formula (14)_iAnd a '_iIs the basis function used and the measured temperature gradient vector distribution data D derived from a series of calculations._iThese are matrices and vectors composed of (I, J, K), distribution data of divergence of temperature gradient vectors, and reference thermal conductivity (distribution) values lnk ′ (I, J, K). The same applies to a two-dimensional region of interest and a one-dimensional region of interest.
[0062]
When minimizing the functionals of equations (11) and (12), A_i, A_i, A ′ and a ′ are determined by the low-pass filtered temperature gradient vector distribution data and the distribution data of the divergence of the temperature gradient vector._iAnd the inverse operator of A ′ is_iAnd a 'included in the high frequency band. In particular, when one temperature distribution is measured (M = 1), the relative arrangement between the heat generation source or the heat absorption source and the reference region may be inappropriate. As a result, L '_lnResults in instability. Therefore, so-called regularization may be applied to stabilize the reconstruction.
[0063]
Specifically, each temperature distribution T_iThe regularization parameter α that can be set for_1i, Α_2i, Α_3i(Positive value) is used to consider the following penalty term in a continuous coordinate system:
[0064]
When a three-dimensional region of interest is targeted, the following occurs.
[Expression 15]

[0065]
When a two-dimensional region of interest is targeted, it is as follows.
[Expression 16]

[0066]
When a one-dimensional region of interest is targeted, the following is performed.
[Expression 17]

[0067]
That is, one temperature distribution T_iIs measured and the functional of the expression (11) is treated, the punishment terms given by the expressions (15) to (17) are expressed by the expressions (5), (7), and (9), respectively. Using the basis functions introduced in the finite element approximation to make a finite element, for example, in the case of a three-dimensional region of interest, reference heat conduction to the finite element thermal conductivity lnk (I, J, K) Substituting the value lnk ′ (I, J, K) of the rate (distribution), then the functional II of equation (11)_i(L '_ln) In addition to L '_lnMinimize with respect to. In this case, the basis function φ_3lnkNeeds to be partially differentiable twice. Alternatively, the punishment term of the equations (15) to (17) is approximated by a finite difference, and the value lnk ′ (I, J, K) of the reference thermal conductivity (distribution) is substituted. ) Formula functional II (L '_ln) In addition to L '_lnMinimize with respect to. As a result, for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, a vector L ′ composed of an unknown thermal conductivity distribution lnk (I, J, K)_lnThe following system of regularized equations is obtained.
[Formula 18]

By solving this, lnk (x, y, z) is obtained as an estimation result (basis function φ_3lnkUse). In particular, G^TG, G^TGG^TEach G represents a Laplacian operator and a Laplacian square operator of a thermal conductivity distribution lnk (I, J, K) approximated by a finite element approximation or a finite difference (discrete) approximation. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0068]
Regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iIs a vector L ′ representing a thermal conductivity distribution that can simultaneously take a negative value in equation (18)._lnThese absolute values are adjusted to a large value so that the matrix according to is stabilized numerically. Alternatively, the regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iIs adjusted so that it is small when the SN ratio is high and large when the SN ratio is low, depending on the accuracy (SN ratio) of each measured temperature gradient vector distribution data depending on the size of each temperature gradient vector distribution. You may be made to do. For example, the value is inversely proportional to the square root of the SN power ratio of each temperature gradient vector distribution. Note that the SN ratio of the temperature gradient vector distribution depends on the interval of the measured temperature distribution data and the temperature distribution itself (that is, the temperature gradient direction and the magnitude of the temperature gradient component), and the SN ratio of the measured temperature distribution data. May depend on the direction of the opening of the sensor, the SN ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution differs for each component distribution, and α_2iAnd α_3iDepending on these, may be realized depending on the direction of partial differentiation in the equations (15) and (16). That is, α_2iAnd α_3iThe absolute value of is dependent on the S / N ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution, and is adjusted to be small in the direction of the component with a high S / N ratio and large in the direction of the component with a low S / N ratio. is there. For example, the value is inversely proportional to the square root of the SN power ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution. In that case, α_2iAnd α_3iFor example, the absolute value is adjusted to be small when the data interval is long and large when the data interval is short (for example, a value inversely proportional to the data interval). The absolute value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature gradient vector distribution and the SN ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution is proportional to the product value calculated by weighting the importance. Is set as follows.
[0069]
Regarding the measurement of the accuracy of temperature measurement data (SNR), the temperature distribution is measured multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. And the SN power ratio is evaluated from the ratio of the square of the average value of the measured temperature distribution data and the dispersion value of the measured temperature distribution data. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. The SN ratio may be evaluated for the object itself or for the black body. From the temperature gradient vector data of the nodes (I, J, K) of each element, the temperature gradient vector distribution D of the entire region of interest_iThe SN ratio of (x, y, z) is estimated.
[0070]
The regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iMay be realized as a spatial change in the equations (15) to (17). As a result, in the equation (18), a negative value can be taken simultaneously, and the thermal conductivity distribution is Representing vector L '_lnThese absolute values are adjusted to a large value so that the local matrix concerning the thermal conductivity of each point of interest, which is a component of, is stabilized numerically. Alternatively, the regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iOf the measured temperature gradient vector data depending on the magnitude of the temperature gradient vector at each point of interest in each temperature gradient vector distribution (SN ratio) is small at a position where the SN ratio is high, and the SN ratio is small. You may make it adjust so that it may become large in a low position. For example, the value is inversely proportional to the square root of the SN power ratio evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. The SN ratio of the temperature gradient vector depends on the measured temperature distribution data interval and the temperature gradient direction (that is, the magnitude of the temperature gradient component), and the SN ratio of the measured temperature distribution data is the sensor aperture. Since it may depend on the direction, at each point of interest in each temperature gradient vector distribution, the SN ratio of the component of the temperature gradient vector differs for each component, and α_2iAnd α_3iMay be realized depending on not only the position but also the direction of partial differentiation in the equations (15) and (16) depending on these. That is, α_2iAnd α_3iThe absolute value of is dependent on the S / N ratio of each temperature gradient vector component of each temperature gradient vector distribution, and is adjusted to be small in the direction of the component with a high S / N ratio and large in the direction of the component with a low S / N ratio. May be. For example, the value is inversely proportional to the square root of the SN power ratio of the component evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. In that case, α_2iAnd α_3iFor example, the absolute value is adjusted to be small when the data interval is long and large when the data interval is short (for example, a value inversely proportional to the data interval). It is set so as to be proportional to the product value calculated by weighting the importance to the absolute value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature gradient vector and the SN ratio of each component.
[0071]
Regarding the measurement of the accuracy of temperature measurement data (SNR), the temperature distribution is measured multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. In each position, the ratio of the square of the average value of the measured temperature data and the dispersion value of the measured temperature data is evaluated, and the distribution of the SN power ratio is evaluated. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. The SN ratio distribution may be evaluated for the object itself or for the black body. The SN ratio of the temperature gradient vector in each element evaluated from the SN ratio of the temperature gradient vector data of each node (I, J, K) or the SN ratio of the temperature gradient vector of the node of each element is estimated.
[0072]
Next, one or more temperature distributions T_iSimilarly, when (i = 1 to M) is measured and the functional of the expression (12) is handled, each of the punishment terms given by the expressions (15) to (17) is expressed by the expression (5). , (7) and (9) are converted into finite elements using the basis functions introduced in the finite element approximation. For example, when a three-dimensional region of interest is targeted, the finite element thermal conductivity lnk After substituting the value lnk ′ (I, J, K) of the reference thermal conductivity (distribution) for (I, J, K), the functional II (L ′_ln) In addition to L '_lnMinimize with respect to. In this case, the basis function φ_3lnkNeeds to be partially differentiable twice. Alternatively, the punishment terms of the equations (15) to (17) are approximated by a finite difference, and the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (I, J, K) is substituted. ) Formula functional II (L '_ln) In addition to L '_lnMinimize with respect to. As a result, for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, a vector L ′ composed of an unknown thermal conductivity distribution lnk (I, J, K)_lnThe following regularized regular equation for is obtained.
[Equation 19]

By solving this, lnk (x, y, z) is obtained as an estimation result (basis function φ_3lnkUse). In particular, G^TG, G^TGG^TEach G represents a Laplacian operator and a Laplacian square operator of a thermal conductivity distribution lnk (I, J, K) approximated by a finite element or a finite difference (discrete). The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0073]
Regularization parameter α₁, Α₂, Α_ThreeIs a vector L ′ representing the thermal conductivity distribution in the equation (19)._lnThe matrix is adjusted to a large value so that it becomes a positive definite value numerically. Alternatively, the regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iIs adjusted so that it is small when the SN ratio is high and large when the SN ratio is low, depending on the accuracy (SN ratio) of each measured temperature gradient vector distribution data depending on the size of each temperature gradient vector distribution. You may make it. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio of each temperature gradient vector distribution. Note that the SN ratio of the temperature gradient vector distribution depends on the interval of the measured temperature distribution data and the temperature distribution itself (that is, the temperature gradient direction and the magnitude of the temperature gradient component), and the SN ratio of the measured temperature distribution data. May depend on the direction of the opening of the sensor, the SN ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution differs for each component distribution, and α_2iAnd α_3iDepending on these, may be realized depending on the direction of partial differentiation in the equations (15) and (16). That is, α_2iAnd α_3iDepending on the S / N ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution, adjustment may be made so that it is small in the direction of a component with a high S / N ratio and large in the direction of a component with a low S / N ratio. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution. In that case, α_2iAnd α_3iFor example, the value is adjusted to be small when the data interval is long and large when the data interval is short (for example, a value inversely proportional to the square of the data interval). The value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature gradient vector distribution and the SN ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution is proportional to the product value calculated by weighting the importance. Set to
[0074]
Regarding the measurement of the accuracy of temperature measurement data (SNR), the temperature distribution is measured multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. And the SN power ratio is evaluated from the ratio of the square of the average value of the measured temperature distribution data and the dispersion value of the measured temperature distribution data. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. The SN ratio may be evaluated for the object itself or for the black body. From the temperature gradient vector data of the nodes (I, J, K) of each element, the temperature gradient vector distribution D of the entire region of interest_iThe SN ratio of (x, y, z) is estimated.
[0075]
The regularization parameter α₁, Α₂, Α_ThreeMay be realized as a spatial change in the equations (15) to (17). As a result, in the equation (19), the vector L ′ representing the thermal conductivity distribution_lnIt is adjusted to a large value so that the local matrix concerning the thermal conductivity of each point of interest, which is a component of, becomes a positive definite value numerically. Alternatively, the regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iOf the measured temperature gradient vector data depending on the magnitude of the temperature gradient vector at each point of interest in each temperature gradient vector distribution (SN ratio) is small at a position where the SN ratio is high, and the SN ratio is low. You may make it adjust so that it may become large in a position. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. The SN ratio of the temperature gradient vector depends on the measured temperature distribution data interval and the temperature gradient direction (that is, the magnitude of the temperature gradient component), and the SN ratio of the measured temperature distribution data is the sensor aperture. Since it may depend on the direction, at each point of interest in each temperature gradient vector distribution, the SN ratio of the component of the temperature gradient vector differs for each component, and α_2iAnd α_3iMay be realized depending on not only the position but also the direction of partial differentiation in the equations (15) and (16) depending on these. That is, α_2iAnd α_3iThe value of is dependent on the SN ratio of each temperature gradient vector component of each temperature gradient vector distribution, and is adjusted so that it is small in the direction of the component with the high SN ratio and large in the direction of the component with the low SN ratio. Sometimes. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio of the component evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. In that case, α_2iAnd α_3iFor example, the value is adjusted to be small when the data interval is long and large when the data interval is short (for example, a value inversely proportional to the square of the data interval). It is set to be proportional to the value of the product calculated by weighting the importance to the value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature gradient vector and the SN ratio of each component.
[0076]
Regarding the measurement of the accuracy of temperature measurement data (SNR), the temperature distribution is measured multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. In each position, the ratio of the square of the average value of the measured temperature data and the dispersion value of the measured temperature data is evaluated, and the distribution of the SN power ratio is evaluated. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. The SN ratio distribution may be evaluated for the object itself or for the black body. The SN ratio of the temperature gradient vector in each element evaluated from the SN ratio of the temperature gradient vector data of each node (I, J, K) or the SN ratio of the temperature gradient vector of the node of each element is estimated.
[0077]
Also, temperature distribution T_iWhen (i = 1 to M) is measured and the functional of the equation (12) is handled, each of the punishment terms given by the equations (15) to (17) is expressed by the equations (5) and (7 ) And (9) are converted into finite elements using the basis functions introduced in the finite element approximation. For example, when a three-dimensional region of interest is targeted, the thermal conductivity lnk (I, Substituting the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (I, J, K) into J, K), the functional I in the square norm of equation (12)_i(L '_ln) In addition to L '_lnAnd minimize its square norm to L '_lnMay be minimized. In this case, the basis function φ_3lnkNeeds to be partially differentiable twice. Alternatively, the punishment terms of the equations (15) to (17) are approximated by a finite difference, and the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (I, J, K) is substituted. The functional I within the square norm of_i(L '_ln) In addition to L '_lnAnd minimize its square norm to L '_lnMinimize with respect to. As a result, for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, a vector L ′ composed of an unknown thermal conductivity distribution lnk (I, J, K)_lnThe following regularized regular equation for is obtained.
[Expression 20]

By solving this, lnk (x, y, z) is obtained as an estimation result (basis function φ_3lnkUse). In particular, G^TG, G^TGG^TEach G represents a Laplacian operator and a Laplacian square operator of a thermal conductivity distribution lnk (I, J, K) approximated by a finite element or a finite difference (discrete). The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0078]
Regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iIn equation (20), a vector L ′ that can take a negative value at the same time and represents the thermal conductivity distribution._lnThese absolute values are adjusted to a large value so that the matrix according to is numerically positive. Alternatively, the regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iOf the measured temperature gradient vector data depending on the magnitude of the temperature gradient vector at each point of interest in each temperature gradient vector distribution (SN ratio) is small at a position where the SN ratio is high, and the SN ratio is small. You may make it adjust so that it may become large in a low position. For example, the value is inversely proportional to the square root of the SN power ratio evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. The SN ratio of the temperature gradient vector depends on the measured temperature distribution data interval and the temperature gradient direction (that is, the magnitude of the temperature gradient component), and the SN ratio of the measured temperature distribution data is the sensor aperture. Since it may depend on the direction, at each point of interest in each temperature gradient vector distribution, the SN ratio of the component of the temperature gradient vector differs for each component, and α_2iAnd α_3iMay be realized depending on not only the position but also the direction of partial differentiation in the equations (15) and (16) depending on these. That is, α_2iAnd α_3iThe absolute value of is dependent on the S / N ratio of each temperature gradient vector component of each temperature gradient vector distribution, and is adjusted to be small in the direction of the component with a high S / N ratio and large in the direction of the component with a low S / N ratio. May be. For example, the value is inversely proportional to the square root of the SN power ratio of the component evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. In that case, α_2iAnd α_3iFor example, the absolute value is adjusted to be small when the data interval is long and large when the data interval is short (for example, a value inversely proportional to the data interval). It is set so as to be proportional to the product value calculated by weighting the importance to the absolute value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature gradient vector and the SN ratio of each component.
[0079]
Regarding the measurement of the accuracy of temperature measurement data (SNR), the temperature distribution is measured multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. And the SN power ratio is evaluated from the ratio of the square of the average value of the measured temperature distribution data and the dispersion value of the measured temperature distribution data. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. The SN ratio may be evaluated for the object itself or for the black body. From the temperature gradient vector data of the nodes (I, J, K) of each element, the temperature gradient vector distribution D of the entire region of interest_iThe SN ratio of (x, y, z) is estimated.
[0080]
The regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iMay be realized as a spatial change in the equations (15) to (17). As a result, in the equation (20), a negative value can be taken simultaneously, and the thermal conductivity distribution is Representing vector L '_lnThese absolute values are adjusted to large values so that the local matrix concerning the thermal conductivity of each point of interest, which is a component of, becomes a positive definite value numerically. Alternatively, the regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iOf the measured temperature gradient vector data depending on the magnitude of the temperature gradient vector at each point of interest in each temperature gradient vector distribution (SN ratio) is small at a position where the SN ratio is high, and the SN ratio is small. You may make it adjust so that it may become large in a low position. For example, the value is inversely proportional to the square root of the SN power ratio evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. The SN ratio of the temperature gradient vector depends on the measured temperature distribution data interval and the temperature gradient direction (that is, the magnitude of the temperature gradient component), and the SN ratio of the measured temperature distribution data is the sensor aperture. Since it may depend on the direction, at each point of interest in each temperature gradient vector distribution, the SN ratio of the component of the temperature gradient vector differs for each component, and α_2iAnd α_3iMay be realized depending on not only the position but also the direction of partial differentiation in the equations (15) and (16) depending on these. That is, α_2iAnd α_3iThe absolute value of is dependent on the S / N ratio of each temperature gradient vector component of each temperature gradient vector distribution, and is adjusted to be small in the direction of the component with a high S / N ratio and large in the direction of the component with a low S / N ratio. May be. For example, the value is inversely proportional to the square root of the SN power ratio of the component evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. In that case, α_2iAnd α_3iFor example, the absolute value is adjusted to be small when the data interval is long and large when the data interval is short (for example, a value inversely proportional to the data interval). It is set so as to be proportional to the product value calculated by weighting the importance to the absolute value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature gradient vector and the SN ratio of each component.
[0081]
Regarding the measurement of the accuracy of temperature measurement data (SNR), the temperature distribution is measured multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. In each position, the ratio of the square of the average value of the measured temperature data and the dispersion value of the measured temperature data is evaluated, and the distribution of the SN power ratio is evaluated. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. The SN ratio distribution may be evaluated for the object itself or for the black body. The SN ratio of the temperature gradient vector in each element evaluated from the SN ratio of the temperature gradient vector data of each node (I, J, K) or the SN ratio of the temperature gradient vector of the node of each element is estimated.
[0082]
In addition, both sides of each of the equations (1), (2), and (3) are multiplied by thermal conductivity k (x, y, z), k (x, y), and k (x). When the variational principle is applied to the thermal conductivity distribution in the region of interest (if the target is a one-dimensional region of interest, the variational principle may be applied to the one-dimensional distribution of the first derivative of thermal conductivity. The functional of (with) is as follows.
When a three-dimensional region of interest is the target, equation (5 ') is obtained.
[Expression 21]

When a two-dimensional region of interest is the target, equation (7 ') is obtained.
[Expression 22]

When a one-dimensional region of interest is the target, equation (9 ') is obtained.
[Expression 23]

However, P in the functionals of the equations (11) and (12)_iIs the temperature gradient vector D in the region of interest_iThe power value of the inner product of (x, y, z) and the gradient operator of thermal conductivity k (x, y, z) (multiplying the standard deviation of each power if possible) and the temperature gradient vector D_iIt is the sum of the power values of (x, y, z) divergence (multiplying the standard deviation of each power if possible). For these, the following equations (25) to (27) are used as punishment terms for regularization, and in the same way, equations (18), (19) relating to the unknown thermal conductivity distribution L ′, Equation (20) is derived.
[0083]
In the equation (18), the regularization parameter is, for example, a temperature gradient vector D_iAccuracy of the product (SN ratio) of each component of (x, y, z) and the first-order partial differential operator on the thermal conductivity k (x, y, z) in the same direction as that component, and temperature gradient vector D_iIt is set to a value inversely proportional to the square root of the SN power ratio determined by the precision (SN ratio) of the first-order partial differentiation of the same component of (x, y, z) in the same direction, or the temperature gradient vector D_iThe amount of change data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, K direction of the inner product of (x, y, z) and the first-order partial differential operator for thermal conductivity k (x, y, z) Accuracy (SN ratio) and temperature gradient vector D_iThe value of the divergence of (x, y, z) is inversely proportional to the square root of the SN power ratio determined by the accuracy (SN ratio) of variation data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, K direction. There is.
[0084]
In the equation (19), the regularization parameter is, for example, a temperature gradient vector D_iAccuracy of the product (SN ratio) of each component of (x, y, z) and the first-order partial differential operator on the thermal conductivity k (x, y, z) in the same direction as that component, and temperature gradient vector D_iIt is set to a value inversely proportional to the SN power ratio determined by the accuracy (SN ratio) of the first-order partial differentiation in the same direction of the same component of (x, y, z), or the temperature gradient vector D_iThe amount of change data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, K direction of the inner product of (x, y, z) and the first-order partial differential operator for thermal conductivity k (x, y, z) Accuracy (SN ratio) and temperature gradient vector D_iThe value may be inversely proportional to the SN power ratio determined by the accuracy (SN ratio) of the variation data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, K direction of the divergence of (x, y, z). . Further, in the equation (20), the regularization parameter is, for example, a temperature gradient vector D_iAccuracy of the product (SN ratio) of each component of (x, y, z) and the first-order partial differential operator on the thermal conductivity k (x, y, z) in the same direction as that component, and temperature gradient vector D_iIt is set to a value inversely proportional to the square root of the SN power ratio determined by the precision (SN ratio) of the first-order partial differentiation of the same component of (x, y, z) in the same direction, or the temperature gradient vector D_iThe amount of change data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, K direction of the inner product of (x, y, z) and the first-order partial differential operator for thermal conductivity k (x, y, z) Accuracy (SN ratio) and temperature gradient vector D_iThe value of the divergence of (x, y, z) is inversely proportional to the square root of the SN power ratio determined by the accuracy (SN ratio) of variation data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, K direction. There is. In this case, as basis function of thermal conductivity distribution, temperature gradient vector distribution (or temperature distribution), φ_k, Φ_D(Or φ_T) Is used.
[0085]
Next, when the functionals of the equations (6), (8), and (10) are used, the functionals (i = 1 to M) of the following equations are obtained.
[Expression 24]

However, P_iIs the temperature gradient vector distribution D in the region of interest_iThe power value of (x, y, z) (multiplying the standard deviation of each power if possible).
These are functionals related to the temperature gradient vector distribution (or temperature distribution) s (instead of the equation (21), I_i(s) may be used. ). For example, when a three-dimensional region of interest is targeted, this functional is converted into a finite element using a basis function and then a temperature gradient vector distribution D_i(I, J, K) (or temperature distribution T_i(I, J, K)).
[0086]
As a result, each temperature gradient vector distribution D_i(I, J, K) (or each temperature distribution T_i(I, J, K)) is obtained for the vector s, and the low-pass filtered temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K) (or temperature distribution data T_i(I, J, K)) and the value k ′ (I, J, K) of the reference thermal conductivity (distribution) are substituted, and all simultaneous equations of i = 1 to M are established simultaneously, Finally, the following algebraic equation for the vector L ′ consisting of the unknown thermal conductivity distribution k (I, J, K) is obtained.
[Expression 25]

Where B and b are the basis function used and the measured temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K) (i = 1 to M) or temperature distribution data T_iIt is a matrix and a vector composed of (I, J, K) (i = 1 to M) and a reference thermal conductivity (distribution) value k ′ (I, J, K).
[0087]
Next, for this algebraic equation, the following functional is obtained for least-squares with respect to a vector L ′ composed of an unknown thermal conductivity distribution k (I, J, K).
[Equation 26]

[0088]
By minimizing this functional with respect to a vector L ′ composed of an unknown thermal conductivity distribution k (I, J, K), the following normal equation is obtained.
[Expression 27]

[0089]
By solving this, k (x, y, z) is obtained as an estimation result (basis function φ_3kUse). This normal equation is expressed by the temperature gradient vector distribution D of equation (21)._i(I, J, K) (or temperature distribution T_iAfter the simultaneous equations for the vector L ″ consisting of the thermal conductivity distribution k (I, J, K) in the region of interest obtained by minimization with respect to (I, J, K)) are least squared with respect to L ″, Measured temperature gradient vector distribution data D_iIt can also be obtained by substituting (I, J, K), the distribution data of the divergence of the temperature gradient vector, and the value k ′ (I, J, K) of the reference thermal conductivity (distribution). The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0090]
In obtaining the normal equation (24), B and b are determined by the temperature gradient vector distribution data or the temperature distribution data subjected to the low-pass filter, but the inverse operator of B is in the high frequency band included in b. It amplifies the noise. In particular, when one temperature distribution is measured (M = 1), the relative arrangement of the heat generation source or heat absorption source and the reference region may be inappropriate. As a result, L ′ has an unstable result. Therefore, so-called regularization may be applied to stabilize the reconstruction.
[0091]
Specifically, each temperature distribution T_iThe regularization parameter α that can be set for_1i, Α_2i, Α_3i(Positive value) is used to consider the following penalty term in a continuous coordinate system:
When a three-dimensional region of interest is targeted, the following occurs.
[Expression 28]

When a two-dimensional region of interest is targeted, it is as follows.
[Expression 29]

When a one-dimensional region of interest is targeted, the following is performed.
[30]

[0092]
That is, when dealing with the functionals of the expressions (6), (8), and (10), the punishment terms given in the expressions (25) to (27) are expressed by the expressions (6) and (8), respectively. The finite element is converted into a finite element by using the basis function introduced in the finite element approximation of the expression (10). For example, when a three-dimensional region of interest is targeted, the finite element thermal conductivity k (x, y , z) is substituted for the reference thermal conductivity (distribution) value k ′ (I, J, K), and is added to the functional II (L ′) in the equation (23), which is minimized with respect to L ′. To do. In this case, the basis function φ_3kNeeds to be partially differentiable twice. Alternatively, the punishment terms of the equations (25) to (27) are approximated by a finite difference, and the value k ′ (I, J, K) of the reference thermal conductivity (distribution) is substituted. In addition to the functional II (L ′) of the formula, this is minimized with respect to L ′.
[0093]
As a result, for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, the following regularized regular equation with respect to the vector L ′ composed of the unknown thermal conductivity distribution k (I, J, K) is obtained.
[31]

[0094]
By solving this, k (x, y, z) is obtained as an estimation result (basis function φ_3kUse). In particular, G^TG, G^TGG^TEach G represents a Laplacian operator and a Laplacian square operator of a thermal conductivity distribution k (I, J, K) approximated by a finite element or a finite difference (discrete). The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0095]
Regularization parameter α₁, Α₂, Α_ThreeIs adjusted to a large value in Equation (28) so that the matrix relating to the vector L ′ representing the thermal conductivity distribution becomes a positive definite value numerically. Alternatively, the regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iIs adjusted so that it is small when the SN ratio is high and large when the SN ratio is low, depending on the accuracy (SN ratio) of each measured temperature gradient vector distribution data depending on the size of each temperature gradient vector distribution. You may make it. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio of each temperature gradient vector distribution. Note that the SN ratio of the temperature gradient vector distribution depends on the interval of the measured temperature distribution data and the temperature distribution itself (that is, the temperature gradient direction and the magnitude of the temperature gradient component), and the SN ratio of the measured temperature distribution data. May depend on the direction of the opening of the sensor, the SN ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution differs for each component distribution, and α_2iAnd α_3iDepending on these, may be realized depending on the direction of partial differentiation in the equations (25) and (26). That is, α_2iAnd α_3iDepending on the S / N ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution, adjustment may be made so that it is small in the direction of a component with a high S / N ratio and large in the direction of a component with a low S / N ratio. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution. In that case, α_2iAnd α_3iFor example, the value is adjusted to be small when the data interval is long and large when the data interval is short (for example, a value inversely proportional to the square of the data interval). The value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature gradient vector distribution and the SN ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution is proportional to the product value calculated by weighting the importance. Set to
[0096]
Regarding the measurement of the accuracy of temperature measurement data (SNR), the temperature distribution is measured multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. And the SN power ratio is evaluated from the ratio of the square of the average value of the measured temperature distribution data and the dispersion value of the measured temperature distribution data. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. The SN ratio may be evaluated for the object itself or for the black body. From the temperature gradient vector data of the nodes (I, J, K) of each element, the temperature gradient vector distribution D of the entire region of interest_iThe SN ratio of (x, y, z) is estimated.
[0097]
The regularization parameter α₁, Α₂, Α_ThreeMay be realized as a spatial change in the equations (25) to (27). As a result, in the equation (28), each of the components of the vector L ′ representing the thermal conductivity distribution It is adjusted to a large value so that the local matrix related to the thermal conductivity of the point of interest becomes a positive definite value numerically. Alternatively, the regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iOf the measured temperature gradient vector data depending on the magnitude of the temperature gradient vector at each point of interest in each temperature gradient vector distribution (SN ratio) is small at a position where the SN ratio is high, and the SN ratio is low. You may make it adjust so that it may become large in a position. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. The SN ratio of the temperature gradient vector depends on the measured temperature distribution data interval and the temperature gradient direction (that is, the magnitude of the temperature gradient component), and the SN ratio of the measured temperature distribution data is the sensor aperture. Since it may depend on the direction, at each point of interest in each temperature gradient vector distribution, the SN ratio of the component of the temperature gradient vector differs for each component, and α_2iAnd α_3iMay be realized depending on not only the position but also the direction of partial differentiation in the equations (25) and (26) depending on these. That is, α_2iAnd α_3iThe value of is dependent on the SN ratio of each temperature gradient vector component of each temperature gradient vector distribution, and is adjusted so that it is small in the direction of the component with the high SN ratio and large in the direction of the component with the low SN ratio. Sometimes. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio of the component evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. In that case, α_2iAnd α_3iFor example, the value is adjusted to be small when the data interval is long and large when the data interval is short (for example, a value inversely proportional to the square of the data interval). It is set to be proportional to the value of the product calculated by weighting the importance to the value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature gradient vector and the SN ratio of each component.
[0098]
Regarding the measurement of the accuracy of temperature measurement data (SNR), the temperature distribution is measured multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. In each position, the ratio of the square of the average value of the measured temperature data and the dispersion value of the measured temperature data is evaluated, and the distribution of the SN power ratio is evaluated. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. You may make it evaluate distribution of S / N ratio for the target object itself or for black body. The SN ratio of the temperature gradient vector in each element evaluated from the SN ratio of the temperature gradient vector data of each node (I, J, K) or the SN ratio of the temperature gradient vector of the node of each element is estimated.
[0099]
A three-dimensional region of interest may consist of a plurality of two-dimensional or one-dimensional regions of interest, and a two-dimensional region of interest may consist of a plurality of one-dimensional regions of interest. When an algebraic equation regarding an unknown thermal conductivity distribution is derived and the thermal conductivity distribution is determined based on the least square method, regularization may be performed in the high-dimensional region of interest or each low-dimensional region of interest.
[0100]
Next, the basic principle of the second thermophysical property estimation method will be described.
According to the basic principle of the second thermophysical property estimation method, for the first-order spatial partial differential equations (1) to (3) relating to the thermal conductivity described by the measured temperature gradient vector distribution, Model with finite difference approximation or finite element approximation (Galarkin method) for thermal conductivity distribution, thermal partial differential distribution, or temperature gradient vector distribution (or temperature distribution, or divergence distribution of temperature gradient vector) Turn into.
[0101]
In the Cartesian coordinate system, the thermal conductivity distribution lnk (x, y, z) and thermal conductivity expressed in the first-order spatial partial differential equations of equations (1) to (3) established in the region of interest Distribution of first-order partial derivatives or temperature gradient vector distribution D with low-pass filter_i(x, y, z) (or low-pass filtered temperature distribution T_i(x, y, z)) [i (i = 1 to M) is the measured temperature distribution T_iWhere M is the number of independent temperature distributions measured (one or more). ] Is a finite difference (discrete) approximation in the discrete coordinate system: (I, J, K) to (x / Δx, y / Δy, z / Δz), or a finite element approximation based on the Galerkin method However, as the finite element, a three-dimensional basis function, a two-dimensional basis function, or a one-dimensional basis function introduced in the finite element approximation of the equations (5) to (10) is used. Hereinafter, the number of nodes of elements is omitted.
[0102]
When applying a finite difference (discrete) approximation to the first-order spatial partial differential equation of Equations (1) to (3), for example, when targeting a three-dimensional region of interest, 3 in Equation (1) A finite difference approximation (forward difference approximation, backward difference approximation, etc.) is applied to the dimensional thermal conductivity distribution lnk (x, y, z), and in addition, a temperature gradient vector distribution D_iAn approximation of (x, y, z) can be obtained either by applying a differential filter to the low-pass filtered temperature distribution data or by applying a band-limited differential filter to the temperature distribution data. On the other hand, an approximation of the divergence distribution of the temperature gradient vector is obtained by applying a differential filter to the obtained temperature gradient vector distribution data. The same applies to a two-dimensional region of interest and a one-dimensional region of interest.
[0103]
In addition, when finite element approximation based on the Galerkin method is applied to the first-order spatial partial differential equations of Equations (1) to (3), for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, The three-dimensional thermal conductivity distribution lnk (x, y, z) of the three-dimensional is the three-dimensional nodal thermal conductivity lnk (I, J, K) and the three-dimensional basis function φ_3lnkUsing (I, J, K, x, y, z), lnk (x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3lnkInterpolated as (I, J, K, x, y, z) lnk (I, J, K). 3D temperature gradient vector distribution D_i(x, y, z) is a three-dimensional nodal temperature gradient vector [D_ix(I, J, K), D_iy(I, J, K), D_iz(I, J, K)]^TAnd basis function φ_3DUsing (I, J, K, x, y, z), D_i(x, y, z) ~ [Σ_{I, J, K}φ_3D(I, J, K, x, y, z) D_ix(I, J, K), Σ_{I, J, K}φ_3D(I, J, K, x, y, z) D_iy(I, J, K), Σ_{I, J, K}φ_3D(I, J, K, x, y, z) D_iz(I, J, K)]^TIs interpolated. Also, temperature distribution T_i(x, y, z) is the three-dimensional node temperature T_i(I, J, K) and basis function φ_3TUsing (I, J, K, x, y, z), T_i(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3T(I, J, K, x, y, z) T_iInterpolated as (I, J, K). Regarding the differentiability of these basis functions, as described above, the basis function φ used to approximate the thermal conductivity distribution lnk (x, y, z)._3lnkMust be at least one partial differentiable, while the basis function φ used to approximate the temperature distribution and temperature gradient vector distribution_3TAnd φ_3DMust be partial differentiable more than once and more than once. Here, the basis function of the temperature gradient vector distribution is the aforementioned φ_3DApart from the temperature distribution basis function φ_3TOn the other hand, the basis function of the divergence distribution of the temperature gradient vector can also be obtained by partial differentiation of the basis function of the temperature gradient vector distribution. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0104]
However, these basis functions φ_3lnk, Φ_3D, And φ_3TAre the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (x, y, z) given in equation (4), the low-pass filtered temperature gradient vector distribution data, and the low-pass type It must be able to represent the filtered temperature distribution. The temperature gradient vector distribution data is obtained by applying a differential filter to the temperature distribution data subjected to the low-pass filter, or applying a band-limited differential filter to the temperature distribution data, or a basis function φ._3TIs obtained by either partial differentiation of the low-pass filtered temperature distribution data expressed using, while the divergence distribution data of the temperature gradient vector is similarly converted to the temperature gradient vector distribution data. Apply differential filter or basis function φ_3DIs obtained by partial differentiation of the temperature gradient vector distribution expressed by using.
[0105]
Temperature distribution T_iWhen (i = 1 to M) is measured, the thermal conductivity distribution L in the first-order spatial partial differential equation of equations (1) to (3)_lnWhen the finite difference (discrete) approximation is applied to the temperature gradient vector distribution s, for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, the temperature gradient vector distribution data D subjected to the low-pass filter is applied._i(I, J, K) (i = 1 to M), distribution data of divergence of temperature gradient vector, and reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (I, J, K) are substituted and unknown Vector L 'consisting of thermal conductivity distribution lnk (I, J, K)_lnThe following simultaneous equations are obtained.
[Expression 32]

However, C_iAnd c_iRespectively, the temperature distribution T_i, The partial differential finite difference approximation constant used, derived from a series of calculations, and the measured temperature gradient vector distribution data D_iThese are matrices and vectors composed of (I, J, K), distribution data of divergence of temperature gradient vectors, and reference thermal conductivity (distribution) values lnk ′ (I, J, K).
[0106]
Next, for this simultaneous equation, a vector L ′ consisting of an unknown thermal conductivity distribution lnk (I, J, K)_lnThe following functional for least squares with respect to is obtained.
[Expression 33]

However, P_iIs the temperature gradient vector distribution D in the region of interest_iThe power value of (x, y, z) (multiplying the standard deviation of each power if possible). The parentheses in equation (30) are not normalized.
[0107]
This functional is expressed as a vector L ′ composed of unknown thermal conductivity distribution lnk (I, J, K)._lnBy minimizing with respect to, the following normal equation is obtained:
[Expression 34]

[0108]
By solving this, a discrete distribution lnk (I, J, K) of unknown thermal conductivity is obtained as an estimation result. This normal equation is a vector L "consisting of thermal conductivity distribution lnk (I, J, K) in the region of interest._lnSimultaneous equations for L "_lnMeasured temperature gradient vector distribution data D after least squares with respect to_iIt can also be obtained by substituting (I, J, K), the distribution data of the divergence of the temperature gradient vector, and the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (I, J, K). The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0109]
Next, the temperature distribution T_iA vector L representing the thermal conductivity distribution lnk represented in the first-order spatial partial differential equation of equations (1) to (3) based on the Galerkin method when (i = 1 to M) is measured_lnOr thermal conductivity vector distribution D_iFor the vector s representing the functional I in the 3D, 2D and 1D regions of interest_iIndicates (•).
The functional when the three-dimensional region of interest is the target is as follows.
[Expression 35]

However, v (x, y, z) is an arbitrary weight function and satisfies | v (x, y, z) | ≠ 0.
The functional when targeting a two-dimensional region of interest is as follows:
[Expression 36]

However, v (x, y) is an arbitrary weight function and satisfies | v (x, y) | ≠ 0.
The functional for a one-dimensional region of interest is as follows:
[Expression 37]

However, v (x) is an arbitrary weight function and satisfies | v (x) | ≠ 0.
[0110]
Specifically, the functional I of the equations (32) to (34)_iWhen (·) is used, the functional shown in the following equation is obtained (i = 1 to M).
[Formula 38]

However, P_iIs the temperature gradient vector distribution D in the region of interest_iThe power value of (x, y, z) (multiplying the standard deviation of each power if possible) (Ii (s) may be used instead of the equation (35)).
[0111]
(35) Formula II_iI in (・)_iAs the weighting function v in (·), the thermal conductivity distribution L_lnA basis function used in the finite element approximation of the distribution of the first partial derivative of thermal conductivity or the temperature gradient vector distribution s (or the temperature distribution or the divergence distribution of the temperature gradient vector),
[39]

Is used.
[0112]
Furthermore, II of formula (35)_i(·) Shows low-pass filtered temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K), the distribution data of the divergence of the temperature gradient vector, and the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (I, J, K) are substituted and obtained as a result II_iBy assuming that (·) is equal to 0, the temperature distribution T_iUnknown thermal conductivity distribution L ′ when (I, J, K) is measured_lnThe following simultaneous equations are obtained.
[Formula 40]

[0113]
Here, the basis function φ used to approximate the temperature gradient vector distribution s (or the temperature distribution or the divergence distribution of the temperature gradient vector) as a weighting function._D(Or φ_T), When the partial integration is applied to the gradient of the thermal conductivity distribution lnk (x, y, z), the basis function φ_lnkMay be direct current. However, D_iAnd d_iRespectively, the temperature distribution T_iThe basis function used and the measured temperature gradient vector distribution data D derived from a series of calculations._iThese are matrices and vectors composed of (I, J, K), distribution data of divergence of temperature gradient vectors, and reference thermal conductivity (distribution) values lnk ′ (I, J, K).
[0114]
Next, the simultaneous equation (when one temperature distribution is measured) and the algebraic equation (when M temperature distributions are measured) are transformed into a vector L composed of unknown thermal conductivity distributions lnk (I, J, K). '_lnThe following functional for least squares with respect to is obtained.
[Expression 41]

[0115]
This functional is expressed as a vector L ′ composed of unknown thermal conductivity distribution lnk (I, J, K)._lnBy minimizing with respect to, the following normal equation is obtained:
[Expression 42]

[0116]
By solving this, an unknown thermal conductivity distribution lnk (x, y, z) is obtained as an estimation result (basis function φ_3lnkuse). This normal equation is a vector L "obtained from the functional of equation (35) and consisting of the thermal conductivity distribution lnk (I, J, K) in the region of interest._lnThe simultaneous equations for L "_lnMeasured temperature gradient vector distribution data D after least squares with respect to_iIt can also be obtained by substituting (I, J, K), the distribution data of the divergence of the temperature gradient vector, and the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (I, J, K). The same applies to a two-dimensional region of interest and a one-dimensional region of interest.
[0117]
The matrices C ′ and c ′ in the equation (31) derived when the finite difference approximation is applied, and the matrices D ′ and d ′ in the equation (38) derived when the finite element approximation is applied are: The inverse operator of C ′ amplifies the high frequency band noise contained in c ′, and the inverse operator of D ′ is a high frequency contained in d ′, which is determined from the low-pass filtered temperature gradient vector distribution data. It amplifies the noise in the frequency band. In particular, when one temperature distribution is measured (M = 1), the relative arrangement of the heat generation source or the heat absorption source and the reference region may be inappropriate. As a result, L '_lnResults in instability. Therefore, so-called regularization may be applied to stabilize the reconstruction.
[0118]
Specifically, each temperature distribution T_iThe regularization parameter α that can be set for_1i, Α_2i, Α_3i(Positive value) is used to consider the punishment terms of equations (15) to (17) in the continuous coordinate system.
[0119]
When the finite difference approximation is applied, each punishment term given by the equations (15) to (17) is approximated by a finite difference (provided that α₁= 0), for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, the reference thermal conductivity (distribution) value lnk ′ (I) is added to the discrete thermal conductivity lnk (I, J, K) in the punishment term. , J, K) is substituted, and this is added to the functional (30) to obtain a newly derived functional as a vector L ′._lnMinimize with respect to. As a result, the vector L ′ consisting of the unknown thermal conductivity distribution lnk (I, J, K)_lnThe following regularized regular equation for is obtained.
[Expression 43]

[0120]
By solving this, lnk (x, y, z) is obtained as an estimation result (basis function φ_3lnkUse). G^TG, G^TGG^TEach G represents a Laplacian operator and a Laplacian square operator of a thermal conductivity distribution lnk (I, J, K) approximated by a finite difference (discrete). The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0121]
When finite element approximation is applied, each of the penalties given by the equations (15) to (17) is introduced in the finite element approximation of lnk (x, y, z) by the equation (35). Basis function φ_3lnkFor example, if the target region is a three-dimensional region of interest, the value of the reference thermal conductivity (distribution) is added to the finite element thermal conductivity lnk (I, J, K) in the punishment term. Substituting lnk ′ (I, J, K) and adding this to the functional (37) gives the newly derived functional to the vector L ′_lnMinimize with respect to. In this case, the basis function φ_3lnkNeeds to be partially differentiable twice. Alternatively, the equation (15) to (17) is approximated by a finite difference, and the value of the reference thermal conductivity (distribution) lnk ′ (I, J, K) is substituted, and this is added in the same manner. The functional derived in the vector L ′_lnMinimize with respect to. In either case, the vector L ′ consisting of the unknown thermal conductivity distribution lnk (I, J, K) is as follows:_lnThe following regularized regular equation for is obtained.
(44)

[0122]
By solving this, lnk (x, y, z) is obtained as an estimation result (basis function φ_3lnkUse). In particular, G^TG, G^TGG^TEach G represents a Laplacian operator and a Laplacian square operator of a thermal conductivity distribution lnk (I, J, K) approximated by a finite element approximation or a finite difference (discrete) approximation. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0123]
Regularization parameter α₁, Α₂, Α_ThreeIs a vector L ′ representing the thermal conductivity distribution in the equations (39) and (40)._lnThe matrix is adjusted to a large value so that it becomes a positive definite value numerically. However, in the equation (39), α₁Is always zero. Alternatively, the regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iIs adjusted so that it is small when the SN ratio is high and large when the SN ratio is low, depending on the accuracy (SN ratio) of each measured temperature gradient vector distribution data depending on the size of each temperature gradient vector distribution. You may make it. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio of each temperature gradient vector distribution. Note that the SN ratio of the temperature gradient vector distribution depends on the interval of the measured temperature distribution data and the temperature distribution itself (that is, the temperature gradient direction and the magnitude of the temperature gradient component), and the SN ratio of the measured temperature distribution data. May depend on the direction of the opening of the sensor, the SN ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution differs for each component distribution, and α_2iAnd α_3iDepending on these, may be realized depending on the direction of partial differentiation in the equations (15) and (16). That is, α_2iAnd α_3iDepending on the S / N ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution, adjustment may be made so that it is small in the direction of a component with a high S / N ratio and large in the direction of a component with a low S / N ratio. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution. In that case, α_2iAnd α_3iFor example, the value is adjusted to be small when the data interval is long and large when the data interval is short (for example, a value inversely proportional to the square of the data interval). The value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature gradient vector distribution and the SN ratio of the component distribution of each temperature gradient vector distribution is proportional to the product value calculated by weighting the importance. Set to
[0124]
Regarding the measurement of the accuracy of temperature measurement data (SNR), the temperature distribution is measured multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. And the SN power ratio is evaluated from the ratio of the square of the average value of the measured temperature distribution data and the dispersion value of the measured temperature distribution data. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. The SN ratio may be evaluated for the object itself or for the black body.
[0125]
When the finite difference approximation is performed, the temperature gradient vector of discrete coordinates (I, J, K), and when the finite element approximation is performed, the temperature gradient vector of the node (I, J, K) of each element From the data, the temperature gradient vector distribution D of the entire region of interest_iThe SN ratio of (x, y, z) is estimated.
[0126]
The regularization parameter α₁, Α₂, Α_ThreeMay be realized as a spatial change in the equations (15) to (17). As a result, in the equations (39) and (40), a vector L ′ representing the thermal conductivity distribution is obtained. It is adjusted to a large value so that the local matrix concerning the thermal conductivity of each point of interest, which is a component of, becomes a positive definite value numerically. However, in the equation (39), α_1iIs always zero. Alternatively, the regularization parameter α_1i, Α_2i, Α_3iOf the measured temperature gradient vector data depending on the magnitude of the temperature gradient vector at each point of interest in each temperature gradient vector distribution (SN ratio) is small at a position where the SN ratio is high, and the SN ratio is low. You may make it adjust so that it may become large in a position. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. The SN ratio of the temperature gradient vector depends on the measured temperature distribution data interval and the temperature gradient direction (that is, the magnitude of the temperature gradient component), and the SN ratio of the measured temperature distribution data is the sensor aperture. Since it may depend on the direction, at each point of interest in each temperature gradient vector distribution, the SN ratio of the component of the temperature gradient vector differs for each component, and α_2iAnd α_3iMay be realized depending on not only the position but also the direction of partial differentiation in the equations (15) and (16) depending on these. That is, α_2iAnd α_3iThe value of is dependent on the SN ratio of each temperature gradient vector component of each temperature gradient vector distribution, and is adjusted so that it is small in the direction of the component with the high SN ratio and large in the direction of the component with the low SN ratio. Sometimes. For example, the value is inversely proportional to the SN power ratio of the component evaluated at each position of each temperature gradient vector distribution. In that case, α_2iAnd α_3iFor example, the value is adjusted to be small when the data interval is long and large when the data interval is short (for example, a value inversely proportional to the square of the data interval). It is set so as to be proportional to the value of the result calculated by weighting the importance to the value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature gradient vector and the SN ratio of each component.
[0127]
Regarding the measurement of the accuracy of temperature measurement data (SNR), the temperature distribution is measured multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. In each position, the ratio of the square of the average value of the measured temperature data and the dispersion value of the measured temperature data is evaluated, and the distribution of the SN power ratio is evaluated. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. You may make it evaluate distribution of S / N ratio for the target object itself or for black body.
[0128]
When finite difference approximation is performed, the SN ratio of the temperature gradient vector of each discrete coordinate (I, J, K) is required, and when finite element approximation is performed, the node (I, J The SN ratio of the temperature gradient vector data of J, K) or the SN ratio of the temperature gradient vector of the element estimated from this is required.
[0129]
In addition, both sides of each of the equations (1), (2), and (3) are multiplied by thermal conductivity k (x, y, z), k (x, y), and k (x). Similarly, based on the Galakin method, the thermal conductivity distribution, first-order partial differential distribution of thermal conductivity, or temperature gradient vector distribution (or temperature distribution or temperature gradient vector Divergence distribution) basis function, ie
[Equation 45]

Is used as a weighting function, and equations (25) to (27) are used as punishment terms for regularization to derive equation (40) for unknown thermal conductivity distribution L ′. . Here, P in the functional of equation (35)_iIs the temperature gradient vector D in the region of interest_iThe power value of the inner product of (x, y, z) and the gradient operator of thermal conductivity k (x, y, z) (multiplying the standard deviation of each power if possible) and the temperature gradient vector D_iIt is the sum of the power values of (x, y, z) divergence (multiplying the standard deviation of each power if possible). The regularization parameter is, for example, a temperature gradient vector D_iAccuracy of the product (SN ratio) of each component of (x, y, z) and the first-order partial differential operator on the thermal conductivity k (x, y, z) in the same direction as that component, and temperature gradient vector D_iIt is set to a value inversely proportional to the SN power ratio determined by the accuracy (SN ratio) of the first-order partial differentiation in the same direction of the same component of (x, y, z), or the temperature gradient vector D_iThe amount of change data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, K direction of the inner product of (x, y, z) and the first-order partial differential operator for thermal conductivity k (x, y, z) Accuracy (SN ratio) and temperature gradient vector D_iThe value may be inversely proportional to the SN power ratio determined by the accuracy (SN ratio) of the variation data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, K direction of the divergence of (x, y, z). .
[0130]
A three-dimensional region of interest may consist of a plurality of two-dimensional or one-dimensional regions of interest, and a two-dimensional region of interest may consist of a plurality of one-dimensional regions of interest. When an algebraic equation regarding an unknown thermal conductivity distribution is derived and the thermal conductivity distribution is determined based on the least square method, regularization may be performed in the high-dimensional region of interest or each low-dimensional region of interest.
[0131]
Next, the basic principle of the third thermophysical property estimation method will be described.
According to the basic principle of the first and second thermophysical property estimation methods, the temperature distribution data T measured in the region of interest_i(I (= 1 to M) is the measured independent temperature distribution T_iWhere M is the number of independent temperature distributions measured (one or more). ) And temperature gradient vector distribution data D_iAnd in the reference region or reference point w as an initial condition_mThe first floor representing the thermal conductivity distribution k in the three-dimensional, two-dimensional, one-dimensional region of interest using the reference thermal conductivity (distribution) value given by (m = 1 to N), that is, the equation (4). (1) to (3) (∇ (kD_i) = 0, where D_i= -∇T_i) Is subjected to a predetermined numerical method using a finite element method (variation principle or Galerkin method) or a finite difference method and a regularization method to obtain an unknown thermal conductivity distribution k.
[0132]
On the other hand, according to the basic principle of the third thermal conductivity estimation method, the position, size, state, number, etc. of the heat source, endothermic source, reference region, etc. may change over time, Thermal conductivity distribution, density distribution, specific heat distribution, density and specific heat that may change with time as a method of estimating thermal conductivity distribution when there is a temporal change in temperature distribution in a two-dimensional or one-dimensional region of interest The distribution of product, thermal diffusivity distribution, thermal conductivity / density ratio distribution, and thermal conductivity / specific heat ratio distribution are to be measured.
[0133]
(I) A time series of temperature distribution measured in the region of interest based on the first and second basic principles, for example, T for a three-dimensional region of interest._i(x, y, z, t) and time series dT of the first-order partial differential distribution in the time direction of temperature_i(x, y, z, t) / dt, temperature gradient vector time series data D_iThe following first-order spatial partial differential equation may be handled using (x, y, z, t).
[Equation 46]

However, D_i(x, y, z, t) =-∇T_i(x, y, z, t).
[0134]
Also, the following initial conditions that may depend on time series i and time t may be handled.
k_i(x, y, z, t) = k '_i(x, y, z, t)… (42)
and,
(x, y, z) ∈w_{m (t)} (m (t) = 1 ~ N (t))
Here, t represents the time since the start of the acquisition of the temperature distribution data, and i (= 1 to M) is the time series T of the measured independent temperature distribution._i(x, y, z, t) and M represents the number of time series of the measured independent temperature distribution (1 or more). And k_iIs the time series k of thermal conductivity distribution_i(x, y, z, t) or thermal conductivity distribution k_irepresents (x, y, z) or k (x, y, z), and ρ_iIs the time series ρ of the density distribution_i(x, y, z, t) or density distribution ρ_irepresents (x, y, z) or ρ (x, y, z) and c_iIs the time series c of the specific heat distribution_i(x, y, z, t) or specific heat distribution c_irepresents (x, y, z) or c (x, y, z).
[0135]
(41) In the region of interest, k in the time series of thermal conductivity distribution_i(x, y, z, t), k of thermal conductivity distribution_i(x, y, z) or k (x, y, z), density distribution time series ρ_i(x, y, z, t), ρ of density distribution_i(x, y, z) or ρ (x, y, z), c of time series of specific heat distribution_i(x, y, z, t), c of specific heat distribution_i(x, y, z) or c (x, y, z), a time series ρ of the product of density and specific heat_i(x, y, z, t) c_i(x, y, z, t) or ρ_i(x, y, z, t) c_i(x, y, z) or ρ_i(x, y, z, t) c (x, y, z) or ρ_i(x, y, z) c_i(x, y, z, t) or ρ (x, y, z) c_i(x, y, z, t) (These are ρc_iIt is expressed as (x, y, z, t). ) And ρ of the product of density and specific heat_i(x, y, z) c_i(x, y, z) or ρ_i(x, y, z) c (x, y, z) or ρ (x, y, z) c_i(x, y, z) (These are ρc_iIt is expressed as (x, y, z). ) Or ρ (x, y, z) c (x, y, z) (denoted as ρc (x, y, z)) is given as a measured value or a typical value, or measured Be targeted.
[0136]
Therefore, time series h of thermal diffusivity distribution₀i (x, y, z, t) [k_i(x, y, z, t) / ρc_i(x, y, z, t), k_i(x, y, z, t) / ρc_i(x, y, z), k_i(x, y, z, t) / ρc (x, y, z), k_i(x, y, z) / ρc_i(x, y, z, t), k (x, y, z) / ρc_i(x, y, z, t)] or thermal diffusivity distribution h₀i (x, y, z) [k_i(x, y, z) / ρc_i(x, y, z), k_i(x, y, z) / ρc (x, y, z), k (x, y, z) / ρc_i(x, y, z)] or thermal diffusivity distribution h₀(x, y, z) [k (x, y, z) / ρc (x, y, z)] may be obtained. The first-order partial differential dT in the time direction of the temperature on the left side of equation (41)_i(x, y, z, t) / dt may be approximately zero.
[0137]
Also, the time series ρc of the distribution of the product of density and specific heat in the region of interest_i(x, y, z, t) or ρc of the product of density and specific heat_iIf (x, y, z) or ρc (x, y, z) is unknown but assumed to be spatially constant, that is, each is a time series ρc of the product of density and specific heat_i(t) or product of density and specific heat ρc_iOr ρc, instead of the formula (41), the thermal diffusivity h in the region of interest₀(Time series of thermal diffusivity distribution h_0i(x, y, z, t) or thermal diffusivity distribution h_0i(x, y, z) or h₀The following first-order spatial partial differential equation with (x, y, z)) as variables:
[Equation 47]

And the following initial conditions that may depend on time series i and time t instead of equation (42) (may be assumed constant for time series i and time t):
h_0i(x, y, z, t) = h '_0i(x, y, z, t)… (44)
and,
(x, y, z) ∈w_{m (t)} (m (t) = 1 ~ N (t))
May be treated. The first-order partial differential dT in the time direction of the temperature on the left side of the equation (43)_i(x, y, z, t) / dt may be approximately zero.
[0138]
In addition, the time series ρ of the density distribution in the region of interest_i(x, y, z, t) or density distribution ρ_iIf (x, y, z) or ρ (x, y, z) is unknown but assumed to be spatially constant, instead of (41), Thermal conductivity to density ratio h₁(Time series of the ratio distribution of thermal conductivity and density h_1i(x, y, z, t) or the distribution h of thermal conductivity and density ratio_1i(x, y, z) or h₁The following first-order spatial partial differential equation with (x, y, z)) as variables:
[Formula 48]

And the following initial conditions that may depend on time series i and time t instead of equation (42) (may be assumed constant for time series i and time t):
h_1i(x, y, z, t) = h '_1i(x, y, z, t)… (46)
and,
(x, y, z) ∈w_{m (t)} (m (t) = 1 ~ N (t))
May be treated. The first-order partial differential dT in the time direction of the temperature on the left side of the equation (45)_i(x, y, z, t) / dt may be approximately zero.
[0139]
In addition, the time series c of the specific heat distribution in the region of interest_i(x, y, z, t) or specific heat distribution c_i(x, y, z) or c_iIf (x, y, z) is unknown but assumed to be spatially constant, the ratio of thermal conductivity to specific heat h in the region of interest, instead of equation (41)₂(Time series of thermal conductivity and specific heat ratio distribution h_2i(x, y, z, t) or distribution h of thermal conductivity and specific heat ratio_2i(x, y, z) or h₂The first partial spatial partial differential equation with (x, y, z)) as a variable:
[Equation 49]

And the following initial conditions that may depend on time series i and time t instead of equation (42) (may be assumed constant for time series i and time t):
h_2i(x, y, z, t) = h '_2i(x, y, z, t)… (48)
and,
(x, y, z) ∈w_{m (t)} (m (t) = 1 ~ N (t))
May be treated. The first-order partial differential dT in the time direction of the temperature on the left side of equation (47)_i(x, y, z, t) / dt may be approximately zero.
The same applies when a two-dimensional or one-dimensional region of interest is targeted.
[0140]
Therefore, a continuous finite region in which the following physical property parameters are unknown constitutes a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional region of interest (hereinafter, this continuous finite region is referred to as a constituent region), and at least 1 L of the thermal conductivity distribution in one 3D, 2D, or 1D component region_ij(K in the case of a three-dimensional configuration area_i(x, y, z, t) k for a two-dimensional domain_i(x, y, t) for a one-dimensional domain, k_i(x, t)) and L_i(K in the case of a three-dimensional configuration area_i(x, y, z) k for a two-dimensional domain_i(x, y) k for a one-dimensional domain_i(x)) and L (k (x, y, z for a three-dimensional configuration region), k (x, y) for a two-dimensional configuration region, and k (x) for a one-dimensional configuration region ) And R of the product of density and specific heat_ij(In the case of a three-dimensional configuration region, ρc_i(x, y, z, t) ρc for a two-dimensional domain_i(x, y, t) ρc for a one-dimensional domain_i(x, t)) and R_i(In the case of a three-dimensional configuration region, ρc_i(x, y, z) ρc for a two-dimensional domain_i(x, y) ρc for a one-dimensional domain_i(x)) and R (ρc (x, y, z for a three-dimensional configuration region), ρc (x, y) for a two-dimensional configuration region, and ρc (x) for a one-dimensional configuration region ) And S of the density distribution_ij(Ρ in the case of a three-dimensional region_i(x, y, z, t) ρ for a two-dimensional domain_i(x, y, t) for a one-dimensional domain_i(x, t)) and S_i(Ρ in the case of a three-dimensional region_i(x, y, z) for two-dimensional domain_i(x, y) for a one-dimensional domain_i(x)) and S (ρ (x, y, z for a three-dimensional configuration region), ρ (x, y) for a two-dimensional configuration region, and ρ (x) for a one-dimensional configuration region ) And S of specific heat distribution_ij(C in the case of a three-dimensional configuration area_i(x, y, z, t) c for a two-dimensional domain_i(x, y, t) c for a one-dimensional domain_i(x, t)) and S_i(C in the case of a three-dimensional configuration area_i(x, y, z) c for a two-dimensional domain_i(x, y) c for a one-dimensional configuration region_i(x)) and S (c (x, y, z for a three-dimensional configuration region), c (x, y) for a two-dimensional configuration region, and c (x) for a one-dimensional configuration region ) And H of thermal diffusivity distribution_0ij(H for a three-dimensional domain_0i(x, y, z, t) h for a two-dimensional domain_0i(x, y, t) h for a one-dimensional domain_0i(x, t)) and H_0i(H for a three-dimensional configuration area_0i(x, y, z) h for a two-dimensional domain_0i(x, y) h for a one-dimensional domain_0i(x)) and H₀(H for a three-dimensional configuration area₀(x, y, z) h for a two-dimensional domain₀(x, y) h for a one-dimensional domain₀(x)) and H in the distribution of the ratio of thermal conductivity and density_1ij(H for a three-dimensional domain_1i(x, y, z, t) h for a two-dimensional domain_1i(x, y, t) h for a one-dimensional domain_1i(x, t)) and H_1i(H for a three-dimensional configuration area_1i(x, y, z) h for a two-dimensional domain_1i(x, y) h for a one-dimensional domain_1i(x)) and H₁(H for a three-dimensional configuration area₁(x, y, z) h for a two-dimensional domain₁(x, y) h for a one-dimensional domain₁(x)) and H in the distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat_2ij(H for a three-dimensional domain_2i(x, y, z, t) h for a two-dimensional domain_2i(x, y, t) h for a one-dimensional domain_2i(x, t)) and H_2i(H for a three-dimensional configuration area_2i(x, y, z) h for a two-dimensional domain_2i(x, y) h for a one-dimensional domain_2i(x)) and H₂(H for a three-dimensional configuration area₂(x, y, z) h for a two-dimensional domain₂(x, y) h for a one-dimensional domain₂At least one of (x)) is to be measured as an unknown distribution. Therefore, the set configuration region may include regions at the same position, and when there is one configuration region, the configuration region is the region of interest itself.
[0141]
Hereinafter, the sampling interval of the time series data is Δt, the discrete time coordinate j is j to t / Δt (j = 0 to n), and the discrete space coordinate system (I, J, K, i, j) is (I, J, K, i, j) ˜ (x / Δx, y / Δy, z / Δz, i, t / Δt)).
Therefore, for the three-dimensional region of interest (discrete coordinate system (I, J, K, i, j) to (x / Δx, y / Δy, z / Δz, i, t / Δt)), the equation (41) And when equation (42) is handled, the time series k of the three-dimensional thermal conductivity distribution_i(x, y, z, t) and k of the three-dimensional thermal conductivity distribution_i(x, y, z) or k (x, y, z) is a finite element approximation or a finite difference approximation, and in the case of a finite element approximation, the time series k of the three-dimensional nodal thermal conductivity_i(I, J, K, j) 3D node thermal conductivity k_i(I, J, K), k (I, J, K), and the three-dimensional basis function φ_3k(I, J, K, x, y, z) or a four-dimensional basis function φ with spatial coordinates and time as variables_4k(I, J, K, j, x, y, z, t)_i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K}φ_3k(I, J, K, x, y, z) k_i(I, J, K, j) or k_i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K, j}φ_4k(I, J, K, j, x, y, z, t) k_i(I, J, K, j), k_i(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3k(I, J, K, x, y, z) k_i(I, J, K), k (x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3kWhen (I, J, K, x, y, z) k (I, J, K) is interpolated and approximated by a finite difference, the time series k of the three-dimensional nodal thermal conductivity_i(I, J, K, j) 3D node thermal conductivity k_i(I, J, K), k (I, J, K)_i(x, y, z, t) to ki (I, J, K, j), k_i(x, y, z) ~ k_i(I, J, K), k (x, y, z) to k (I, J, K) are approximated. Where the four-dimensional basis function φ_4kRegarding the differentiability of (I, J, K, j, x, y, z, t), x, y, z need to be partial differentiable more than once, but in practice, with t It is sufficient if the necessary differential processing is possible at least. Also, the three-dimensional basis function φ used_3k(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ_4k(I, J, K, j, x, y, z, t) is the reference thermal conductivity (distribution) ki ′ (I, J, K, j), k_iIt must be able to express '(I, J, K), k' (I, J, K).
[0142]
In addition, time series ρ of three-dimensional density distribution_i(x, y, z, t) or ρ of 3D density distribution_i(x, y, z) or ρ (x, y, z) and the time series c of the three-dimensional specific heat distribution_i(x, y, z, t) or c of 3D specific heat distribution_iWhen both (x, y, z) or c (x, y, z) are given and when neither is given, the time series of the three-dimensional distribution of the product of density and specific heat is ρc_i(x, y, z, t) and the three-dimensional distribution of the product of density and specific heat is ρc_iWhen (x, y, z) or ρc (x, y, z) is subjected to finite element approximation or finite difference approximation and finite element approximation, the time series ρc of the product of the three-dimensional node density and the three-dimensional node specific heat_i(I, J, K, j) The product ρc of 3D node density and 3D node specific heat_i(I, J, K), ρc (I, J, K), and three-dimensional basis function φ_Threeρ_c(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ with space coordinates and time as variables_Fourρ_cUsing (I, J, K, j, x, y, z, t)_i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K}φ_Threeρ_c(I, J, K, x, y, z) ρc_i(I, J, K, j) or ρc_i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K, j}φ_Fourρ_c(I, J, K, j, x, y, z, t) ρc_i(I, J, K, j), ρc_i(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_Threeρ_c(I, J, K, x, y, z) ρc_i(I, J, K), ρc (x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_Threeρ_cWhen (I, J, K, x, y, z) ρc (I, J, K) is interpolated and approximated by a finite difference, the time series ρc of the product of the three-dimensional node density and the three-dimensional node specific heat_i(I, J, K, j) The product ρc of 3D node density and 3D node specific heat_i(I, J, K) and ρc (I, J, K)_i(x, y, z, t) ~ ρc_i(I, J, K, j), ρc_i(x, y, z) ~ ρc_i(I, J, K), ρc (x, y, z) to ρc (I, J, K) are approximated. Where the three-dimensional basis function φ_Threeρ_c(I, J, K, x, y, z) and four-dimensional basis function φ_Fourρ_cAs for the differentiability of (I, J, K, j, x, y, z, t), it is sufficient if at least the differentiation processing required for x, y, z, t described later is possible. . Ρc_i(I, J, K, j), ρc_iIf (I, J, K), ρc (I, J, K) is given, the three-dimensional basis function φ used_Threeρ_c(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ_Fourρ_c(I, J, K, t, x, y, z, t) must be able to express them.
In addition, time series ρ of three-dimensional density distribution_i(x, y, z, t) or ρ of 3D density distribution_i(x, y, z) or ρ (x, y, z), or time series c of three-dimensional specific heat distribution_i(x, y, z, t) or c of 3D specific heat distribution_iWhen only one of (x, y, z) or c (x, y, z) is given, the time series ρ of the three-dimensional density distribution_i(x, y, z, t) ρ of three-dimensional density distribution_i(x, y, z), ρ (x, y, z), and time series c of the three-dimensional specific heat distribution_i(x, y, z, t) c of the three-dimensional specific heat distribution_i(x, y, z) and c (x, y, z) are approximated by finite element approximation or finite difference approximation, and a time series ρ of a three-dimensional density distribution is obtained._i(x, y, z, t) ρ of three-dimensional density distribution_i(x, y, z) and ρ (x, y, z) are the time series ρ of the three-dimensional node density when finite element approximation is performed._i(I, J, K, j) 3D node density ρ_i(I, J, K) and the three-dimensional basis function φ_Threeρ (I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ with space coordinates and time as variables_Fourrespectively using ρ (I, J, K, j, x, y, z, t)_i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K}φ_Threeρ (I, J, K, x, y, z) ρ_i(I, J, K, j) or ρ_i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K, j}φ_Fourρ (I, J, K, j, x, y, z, t) ρ_i(I, J, K, j), ρ_i(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_Threeρ (I, J, K, x, y, z) ρ_i(I, J, K), ρ (x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_ThreeWhen interpolated with ρ (I, J, K, x, y, z) ρ (I, J, K) and approximated by a finite difference, a time series of three-dimensional node density ρ_i(I, J, K, j) 3D node density ρ_i(I, J, K), ρ (I, J, K)_i(x, y, z, t) ~ ρ_i(I, J, K, j), ρ_i(x, y, z) ~ ρ_i(I, J, K), approximated by ρ (x, y, z) to ρ (I, J, K), and the time series c of the three-dimensional specific heat distribution_i(x, y, z, t), three-dimensional specific heat distribution c_i(x, y, z) and c (x, y, z) are the time series c of the three-dimensional nodal specific heat when approximated by a finite element._i(I, J, K, j) 3D nodal specific heat c_i(I, J, K), c (I, J, K), and the three-dimensional basis function φ_3c(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ with space coordinates and time as variables_4c(I, J, K, j, x, y, z, t)_i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K}φ_4c(I, J, K, x, y, z) c_i(I, J, K, j) or c_i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K, j}φ_4c(I, J, K, j, x, y, z, t) c_i(I, J, K, j), c_i(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3c(I, J, K, x, y, z) c_i(I, J, K), c (x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3cWhen (I, J, K, x, y, z) c (I, J, K) is interpolated and approximated by a finite difference, the time series c of the three-dimensional nodal specific heat_i(I, J, K, j) 3D nodal specific heat c_i(I, J, K) and c (I, J, K)_i(x, y, z, t) ~ c_i(I, J, K, j), c_i(x, y, z) ~ c_i(I, J, K), c (x, y, z) to c (I, J, K) are approximated.
[0143]
Where the three-dimensional basis function φ_Threeρ (I, J, K, x, y, z) and four-dimensional basis function φ_FourWith respect to the differentiability of ρ (I, J, K, j, x, y, z, t), it is sufficient if at least the differentiation processing required for x, y, z, t described later is possible. is there. Ρ_i(I, J, K, j), ρ_iIf (I, J, K), ρ (I, J, K) is given, the three-dimensional basis function φ used_Threeρ (I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ_Fourρ (I, J, K, t, x, y, z, t) needs to be able to express these. Three-dimensional basis function φ_3c(I, J, K, x, y, z) and four-dimensional basis function φ_4cAs for the differentiability of (I, J, K, j, x, y, z, t), it is sufficient if at least the differentiation processing required for x, y, z, t described later is possible. . C_i(I, J, K, j), c_iIf (I, J, K), c (I, J, K) are given, the three-dimensional basis function φ to be used_3c(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ_4c(I, J, K, t, x, y, z, t) must be able to express them.
[0144]
In addition, when Equations (43) and (44) are handled for a three-dimensional region of interest, a time series h of a three-dimensional thermal diffusivity distribution is used._0i(x, y, z, t) or h of the three-dimensional thermal diffusivity distribution_0i(x, y, z) or h₀(x, y, z) is a time series h of the three-dimensional nodal thermal diffusivity when finite element approximation or finite difference approximation is performed and finite element approximation is performed._0i(I, J, K, j) 3D nodal thermal diffusivity h_0i(I, J, K), h₀(I, J, K) and the three-dimensional basis function φ_3h(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ with space coordinates and time as variables_4h(I, J, K, j, x, y, z, t) respectively, h_0i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K}φ_3h(I, J, K, x, y, z) h_0i(I, J, K, j) or h_0i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K, j}φ_4h(I, J, K, j, x, y, z, t) h_0i(I, J, K, j), h_0i(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3h(I, J, K, x, y, z) h_0i(I, J, K), h₀(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3h(I, J, K, x, y, z) h₀When interpolated as (I, J, K) and approximated by finite difference, time series h of 3D nodal thermal diffusivity_0i(I, J, K, j) 3D nodal thermal diffusivity h_0i(I, J, K, j), h₀(I, J, K, j)_0i(x, y, z, t) ~ h_0i(I, J, K, j), h_0i(x, y, z) ~ h_0i(I, J, K), h₀(x, y, z) ~ h₀It is approximated as (I, J, K). Where the three-dimensional basis function φ_3h(I, J, K, x, y, z) and four-dimensional basis function φ_4hRegarding the differentiability of (I, J, K, j, x, y, z, t), it is necessary that each of x, y, and z be partial differentiable more than once. It is sufficient if the required differentiation process is possible at least with t. Also, the three-dimensional basis function φ used_3h(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ_4h(I, J, K, j, x, y, z, t) is the reference thermal diffusivity (distribution) h_0i'(I, J, K, j), h_0i'(I, J, K), h₀It must be able to express' (I, J, K).
[0145]
In addition, when Equations (45) and (46) are handled for a three-dimensional region of interest, a time series h of a three-dimensional distribution of the ratio of thermal conductivity and density_1i(x, y, z, t) or h of the three-dimensional distribution of thermal conductivity and density ratio_1i(x, y, z) or h₁(x, y, z) is a finite element approximation or a finite difference approximation, and in the case of a finite element approximation, a time series h of a three-dimensional nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and density_1i(I, J, K, j), the three-dimensional nodal distribution h of the ratio of thermal conductivity and density_1i(I, J, K), h₁(I, J, K) and the three-dimensional basis function φ_3h(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ with space coordinates and time as variables_4h(I, J, K, j, x, y, z, t) respectively, h_1i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K}φ_3h(I, J, K, x, y, z) h_1i(I, J, K, j) or h_1i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K, j}φ_4h(I, J, K, j, x, y, z) h_1i(I, J, K, j), h_1i(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3h(I, J, K, x, y, z) h_1i(I, J, K), h₁(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3h(I, J, K, x, y, z) h₁When (I, J, K) is interpolated and approximated by a finite difference, the time series h of the three-dimensional nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and density_1i(I, J, K, j), the three-dimensional nodal distribution h of the ratio of thermal conductivity and density_1i(I, J, K, j), h₁(I, J, K, j)_1i(x, y, z, t) ~ h_1i(I, J, K, j), h_1i(x, y, z) ~ h_1i(I, J, K), h₁(x, y, z) ~ h₁It is approximated as (I, J, K). Where the three-dimensional basis function φ_3h(I, J, K, x, y, z) and four-dimensional basis function φ_4hRegarding the differentiability of (I, J, K, j, x, y, z, t), it is necessary that each of x, y, and z be partial differentiable more than once. It is sufficient if the required differentiation process is possible at least with t. Also, the three-dimensional basis function φ used_3h(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ_4h(I, J, K, j, x, y, z, t) is the reference value (distribution) h of the ratio of thermal conductivity and density_1i'(I, J, K, j), h_1i'(I, J, K), h₁It must be able to express' (I, J, K).
[0146]
Further, when the equations (47) and (48) are handled for a three-dimensional region of interest, a time series h of a three-dimensional distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat_2i(x, y, z, t) or h of the three-dimensional distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat_2i(x, y, z) or h₂(x, y, z) is a time series h of a three-dimensional nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat when finite element approximation or finite difference approximation is performed._2i(I, J, K, j), the three-dimensional nodal distribution h of the ratio of thermal conductivity and specific heat_2i(I, J, K), h₂(I, J, K) and the three-dimensional basis function φ_3h(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ with space coordinates and time as variables_4h(I, J, K, j, x, y, z, t) respectively, h_2i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K}φ_3h(I, J, K, x, y, z) h_2i(I, J, K, j) or h_2i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K, j}φ_4h(I, J, K, j, x, y, z, t) h_2i(I, J, K, j), h_2i(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3h(I, J, K, x, y, z) h_2i(I, J, K), h₂(x, y, z) ~ Σ_{I, J, K}φ_3h(I, J, K, x, y, z) h₂When (I, J, K) is interpolated and approximated by a finite difference, the time series h of the three-dimensional nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and density_2i(I, J, K, j), the three-dimensional nodal distribution h of the ratio of thermal conductivity and density_2i(I, J, K, j), h₂(I, J, K, j)_2i(x, y, z, t) ~ h_2i(I, J, K, j), h_2i(x, y, z) ~ h_2i(I, J, K), h₂(x, y, z) ~ h₂It is approximated as (I, J, K). Where the three-dimensional basis function φ_3h(I, J, K, x, y, z) and four-dimensional basis function φ_4hRegarding the differentiability of (I, J, K, j, x, y, z, t), it is necessary that each of x, y, and z be partial differentiable more than once. It is sufficient if the required differentiation process is possible at least with t. Also, the three-dimensional basis function φ used_3h(I, J, K, x, y, z) or four-dimensional basis function φ_4h(I, J, K, j, x, y, z, t) is the reference value (distribution) h of the ratio of thermal conductivity and specific heat_2i'(I, J, K, j), h_2i'(I, J, K), h₂It must be able to express' (I, J, K).
[0147]
Next, the time series T of the three-dimensional temperature distribution_i(x, y, z, t) (i (= 1 to M) is a time series T of the measured independent three-dimensional temperature distribution._i(x, y, z, t), where M is the number of time series of the temperature distribution (1 or more). ) First-order partial differential dT in the time direction_iWhen (x, y, z, t) / dt and spatial partial differentiation are approximated by a finite element (variation principle or Galerkin method) (the number of nodes of the finite element is omitted. The same applies hereinafter) 3 Time series T of temperature distribution_i(x, y, z, t) is evaluated as one of the following (a) to (c).
[0148]
(A) Time series T of measured three-dimensional nodal temperature distribution_iThe three-dimensional basis function φ with (I, J, K, j) and spatial coordinates as variables_3TUsing (I, J, K, x, y, z), T_i(x, y, z, t) ~ Σ_{I, J, K}φ_3T(I, J, K, x, y, z) T_iEvaluated by interpolation with (I, J, K, j).
[0149]
(B) Time series T of measured three-dimensional nodal temperature distribution_i(I, J, K, j) and four-dimensional basis function φ with space coordinates and time as variables_4T(I, J, K, j, x, y, z, t)_i(x, y, z, t) 〜Σ_{I, J, K, j}φ_4T(I, J, K, j, x, y, z, t) T_iEvaluated by interpolation with (I, J, K, j). Where the four-dimensional basis function φ_4T(I, J, K, j, x, y, z, t) must be partial differentiable more than once with respect to t, and must be partial differentiable more than once with respect to x, y, and z However, in practice, it is sufficient if it enables at least the necessary differential processing.
[0150]
(C) Time series T of 3D temperature distribution_iPartial differential dT of the first order in the time direction of (x, y, z, t)_iWhen (x, y, z, t) / dt and spatial partial differentiation are approximated by finite difference, the time series T of the three-dimensional temperature distribution_i(x, y, z, t) is the time series T of the measured 3D nodal temperature distribution_iUsing (I, J, K, j), T_i(x, y, z, t) ~ T_i(I, J, K, j)).
[0151]
From this, the time series T of the three-dimensional temperature distribution_iTime series dT of the three-dimensional distribution of the partial differential of the first order in the time direction of (x, y, z, t)_i(x, y, z, t) / dt is evaluated as follows.
In the case of (a), the time series T of the measured three-dimensional nodal temperature distribution_iDT obtained by applying a low-pass filter in time j direction or spatiotemporal I, J, K, j direction to (I, J, K, j) and applying a differential filter in time j direction_i/ Dt (I, J, K, j) or 3D nodal temperature distribution time series T_iDT obtained by applying (I, J, K, j) to the time j direction in the time j direction or the time-limited I, J, K, j direction band-limited differential filter_i/ Dt (I, J, K, j) is the three-dimensional basis function φ_3TEvaluated by interpolation using (I, J, K, x, y, z).
[0152]
In the case of (b), the time series T of the measured three-dimensional nodal temperature distribution_iThe four-dimensional basis function φ is obtained by applying a low-pass filter to (I, J, K, j) in time j direction or spatiotemporal I, J, K, j direction._4TEvaluation is performed by interpolating (I, J, K, j, x, y, z, t) with a partial differential of time t.
[0153]
In the case of (c), the time series T of the measured three-dimensional nodal temperature distribution_iDT obtained by applying a low-pass filter in time j direction or spatiotemporal I, J, K, j direction to (I, J, K, j) and applying a differential filter in time j direction_i/ Dt (I, J, K, j) or 3D nodal temperature distribution time series T_iDT obtained by applying (I, J, K, j) to the time j direction in the time j direction or the time-limited I, J, K, j direction band-limited differential filter_iIt is approximated by any of / dt (I, J, K, j).
[0154]
Furthermore, the time series D of the three-dimensional temperature gradient vector distribution_i(x, y, z, t) (= [D_ix(x, y, z, t), D_iy(x, y, z, t), D_iz(x, y, z, t)]^T) Is evaluated as follows.
In the case of (a), the time series T of the measured three-dimensional nodal temperature distribution_i(I, J, K, j) is applied with a low-pass filter in the space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction, and then a differential filter in each I, J, K direction. D obtained over time_i(I, J, K, j) (= [D_ix(I, J, K, j), D_iy(I, J, K, j), D_iz (I, J, K, j)]^T) Or time series T of 3D nodal temperature distribution_iD obtained by applying (I, J, K, j) to each I, J, K direction by a differential filter with band limitation in space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction_iAny one of (I, J, K, j) is the three-dimensional basis function φ_3TInterpolated using (I, J, K, x, y, z) or time series T of 3D nodal temperature distribution_iThe three-dimensional basis function φ is obtained by applying a low-pass filter to (I, J, K, j) in the space I, J, K direction or the spatiotemporal I, J, K, j direction._3TThe evaluation is based on whether or not (I, J, K, x, y, z) is interpolated by partial differentiation in the x, y, and z directions.
[0155]
In the case of (b), the time series T of the measured three-dimensional nodal temperature distribution_i(I, J, K, j) is applied with a low-pass filter in the space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction, and then a differential filter in each I, J, K direction. D obtained over time_i(I, J, K, j) or time series T of 3D nodal temperature distribution_iD obtained by applying (I, J, K, j) to each I, J, K direction by a differential filter with band limitation in space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction_iAny one of (I, J, K, j) is the four-dimensional basis function φ_4TInterpolated using (I, J, K, j, x, y, z, t) or time series T of 3D nodal temperature distribution_iThe four-dimensional basis function φ is obtained by applying a low-pass filter to (I, J, K, j) in the space I, J, K direction or the spatiotemporal I, J, K, j direction._4TThe evaluation is based on whether (I, J, K, j, x, y, z, t) is interpolated with a partial differential with respect to each x, y, z direction.
[0156]
In the case of (c), the time series T of the measured three-dimensional nodal temperature distribution_i(I, J, K, j) is applied with a low-pass filter in the space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction, and then a differential filter in each I, J, K direction. D obtained over time_i(I, J, K, j) or time series T of 3D nodal temperature distribution_iD obtained by applying (I, J, K, j) to each I, J, K direction by a differential filter with band limitation in space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction_iIt is approximated by any of (I, J, K, j).
[0157]
Furthermore, the three-dimensional temperature gradient vector D_i(x, y, z, t) (= [D_ix(x, y, z, t), D_iy(x, y, z, t), D_iz(x, y, z, t)]^T) Divergence distribution time series is evaluated as follows.
In the case of (a), the measured 3D nodal temperature gradient vector distribution time series D_i(I, J, K, j) is applied with a low-pass filter in the space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction, and then a differential filter in each I, J, K direction. Multiply or 3D nodal temperature gradient vector distribution time series D_iEither (I, J, K, j) is applied with a differential filter with band limitation in the space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction in each I, J, K direction. , The three-dimensional basis function φ_3TInterpolated using (I, J, K, x, y, z) or 3D nodal temperature gradient vector distribution time series D_iThe three-dimensional basis function φ is obtained by applying a low-pass filter to (I, J, K, j) in the space I, J, K direction or the spatiotemporal I, J, K, j direction._3TIt is evaluated based on whether it is interpolated by the second-order partial differential of (I, J, K, x, y, z) in each x, y, z direction.
[0158]
In the case of (b), the measured three-dimensional nodal temperature gradient vector distribution time series D_i(I, J, K, j) is applied with a low-pass filter in the space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction, and then a differential filter in each I, J, K direction. Multiply or time series D of 3D nodal temperature gradient vector distribution_iEither (I, J, K, j) is applied with a differential filter with band limitation in the space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction in each I, J, K direction. , The four-dimensional basis function φ_4TInterpolated using (I, J, K, j, x, y, z, t) or 3D nodal temperature gradient vector distribution time series D_iThe four-dimensional basis function φ is obtained by applying a low-pass filter to (I, J, K, j) in the space I, J, K direction or the spatiotemporal I, J, K, j direction._4TIt is evaluated by whether it is interpolated by the partial differential of the second order in each x, y, z direction of (I, J, K, j, x, y, z, t).
[0159]
In the case of (c), the measured three-dimensional nodal temperature gradient vector distribution time series D_i(I, J, K, j) is applied with a low-pass filter in the space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction, and then a differential filter in each I, J, K direction. Multiply or 3D nodal temperature gradient vector distribution time series D_iEither (I, J, K, j), with each I, J, K direction in space I, J, K direction or space-time I, J, K, j direction band limited differential filter Approximated.
In each case where a two-dimensional configuration region and a one-dimensional configuration region are targeted, a spatial coordinate system of each of the above basis functions is used in two dimensions and one dimension.
[0160]
According to the first basic principle, the spatial partial differential equations (41), (43), (45), and (47) representing the unknown distribution in each region of interest in the region of interest as appropriate. Applying a finite element approximation or discrete approximation based on the variational principle to at least one of the above (the above (a) or (b)), and combining the algebraic equations derived in the region of interest, When deriving simultaneous equations related to the unknown node vector U ′ for the whole (the constituent regions constituting the region of interest may include the same region, and if there is one constituent region, the constituent region is the region of interest itself In other words, according to the first basic principle, in the constituent area in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object, the first-order spatial partial differential equation (41) The distribution Q represented, ie Thermal conductivity distribution L_ij(K in the case of a three-dimensional configuration area_i(x, y, z, t) k for a two-dimensional domain_i(x, y, t) for a one-dimensional domain, k_i(x, t)) or L_i(K in the case of a three-dimensional configuration area_i(x, y, z) k for a two-dimensional domain_i(x, y) k for a one-dimensional domain_i(x)) or L (k (x, y, z in the case of a three-dimensional composition area), k (x, y) in the case of a two-dimensional composition area, and k (x) in the case of a one-dimensional composition area) When applying a finite element approximation or a discrete approximation based on the variational principle ((a) or (b)), the functional I at time t_i(L) (Equation (5 ') for the three-dimensional composition area, (7') expression for the two-dimensional composition area, and the first expression (9 ') for the one-dimensional composition area, provided that Where k is k_iIt is expressed. )
[Equation 50]

And the functional I obtained from this_ij(L_ijOr I_ij(L_iOr I_ijLet (L) be the expression (49).
[0161]
Alternatively, according to the first basic principle, the distribution Q expressed in the equation (41), which is the first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the one-dimensional region of interest of the measurement object, that is, the thermal conductivity. k_i(x, t) or k_ione-dimensional distribution of the first derivative of (x) or k (x) dk_i(x, t) / dx or dk_iWhen finite element approximation or discrete approximation based on the variational principle is applied to (x) / dx or dk (x) / dx ((a) or (b)), the functional I at time t_i(L) (the second equation of equation (9 '), where k is k_iTo the integral kernel)
[Equation 51]

And the functional I obtained from this_ijLet (.) Be the expression (50).
[0162]
Alternatively, according to the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (41), which is the first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, the distribution of the product of density and specific heat R_ij(In the case of a three-dimensional configuration region, ρc_i(x, y, z, t) ρc for a two-dimensional domain_i(x, y, t) ρc for a one-dimensional domain_i(x, t)) or R_i(In the case of a three-dimensional configuration region, ρc_i(x, y, z) ρc for a two-dimensional domain_i(x, y) ρc for a one-dimensional domain_i(x)) or R (ρc (x, y, z in the case of a three-dimensional configuration region), ρc (x, y) in the case of a two-dimensional configuration region, and ρc (x) in the case of a one-dimensional configuration region) When applying a finite element approximation or a discrete approximation based on the variational principle ((a) or (b)), at time t,
When targeting a three-dimensional composition area,
[Formula 52]

When targeting a two-dimensional composition area,
[Equation 53]

When targeting a one-dimensional configuration area,
[Formula 54]

The functional I_ij(R_ijOr I_ij(R_iOr I_ij(R).
[0163]
Alternatively, according to the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (41), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, density distribution S_ij(Ρ in the case of a three-dimensional region_i(x, y, z, t) ρ for a two-dimensional domain_i(x, y, t) for a one-dimensional domain_i(x, t)) or S_i(Ρ in the case of a three-dimensional region_i(x, y, z) for two-dimensional domain_i(x, y) for a one-dimensional domain_i(x)) or S (ρ (x, y, z in the case of a three-dimensional configuration region), ρ (x, y) in the case of a two-dimensional configuration region, and ρ (x) in the case of a one-dimensional configuration region When applying finite element approximation or discrete approximation based on the variational principle ((a) or (b)), at time t,
When targeting a three-dimensional composition area,
[Expression 55]

When targeting a two-dimensional composition area,
[56]

When targeting a one-dimensional configuration area,
[Equation 57]

The functional I_ij(S_ijOr I_ij(S_iOr I_ij(S).
[0164]
Alternatively, according to the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (41), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, specific heat distribution S_ij (C in the case of a three-dimensional configuration area_i(x, y, z, t) c for a two-dimensional domain_i(x, y, t) c for a one-dimensional domain_i(x, t)) or S_i(C in the case of a three-dimensional configuration area_i(x, y, z) c for a two-dimensional domain_i(x, y) c for a one-dimensional configuration region_i(x)) or S (c (x, y, z in the case of a three-dimensional composition area), c (x, y) in the case of a two-dimensional composition area, and c (x) in the case of a one-dimensional composition area) When applying finite element approximation or discrete approximation based on the variational principle ((a) or (b)), at time t,
When targeting a three-dimensional composition area,
[Formula 58]

When targeting a two-dimensional composition area,
[Formula 59]

When targeting a one-dimensional configuration area,
[Expression 60]

The functional I_ij(S_ijOr I_ij(S_iOr I_ij(S).
[0165]
Alternatively, in accordance with the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (43), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, thermal diffusivity distribution H_0ij(H for a three-dimensional domain_0i(x, y, z, t) h for a two-dimensional domain_0i(x, y, t) h for a one-dimensional domain_0i(x, t)) or H_0i(H for a three-dimensional configuration area_0i(x, y, z) h for a two-dimensional domain_0i(x, y) h for a one-dimensional domain_0i(x)) or H₀(H for a three-dimensional configuration area₀(x, y, z) h for a two-dimensional domain₀(x, y) h for a one-dimensional domain₀When applying a finite element approximation or discrete approximation based on the variational principle for (x)) ((a) or (b)), at time t
When targeting a three-dimensional composition area,
[Equation 61]

When targeting a two-dimensional composition area,
[62]

When targeting a one-dimensional configuration area,
[Equation 63]

The functional I_ij(H_0ijOr I_ij(H_0iOr I_ij(H₀).
[0166]
Alternatively, according to the first basic principle, the distribution Q expressed in the equation (43), which is the first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the one-dimensional region of interest of the measurement object, that is, the thermal diffusivity h_0i(x, t) or h_0i(x) or h₀one-dimensional distribution of the first derivative of (x) dh_0i(x, t) / dx or dh_0i(x) / dx or dh₀When applying a finite element approximation or discrete approximation based on the variational principle to (x) / dx ((a) or (b)), at time t
[Expression 64]

The functional I_ij(・).
[0167]
Alternatively, in accordance with the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (45), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, the distribution of the ratio of thermal conductivity and density H_1ij(H for a three-dimensional domain_1i(x, y, z, t) h for a two-dimensional domain_1i(x, y, t) h for a one-dimensional domain_1i(x, t)) or H_1i(H for a three-dimensional configuration area_1i(x, y, z) h for a two-dimensional domain_1i(x, y) h for a one-dimensional domain_1i(x)) or H₁(H for a three-dimensional configuration area₁(x, y, z) h for a two-dimensional domain₁(x, y) h for a one-dimensional domain₁When applying a finite element approximation or discrete approximation based on the variational principle for (x)) ((a) or (b)), at time t
When targeting a three-dimensional composition area,
[Equation 65]

When targeting a two-dimensional composition area,
[Equation 66]

When targeting a one-dimensional composition area,
[Expression 67]

The functional I_ij(H_1ij), I_ij(H_1i), I_ij(H₁).
[0168]
Alternatively, in accordance with the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (45), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, the ratio of thermal conductivity to density h_1i(x, t) or h_1i(x) or h₁1-dimensional distribution of the first derivative of (x) dh_1i(x, t) / dx or dh_1i(x) / dx or dh₁When applying a finite element approximation or a discrete approximation based on the variational principle for (x) / dx ((a) or (b)), at time t,
[Equation 68]

The functional I_ij(・).
[0169]
Alternatively, according to the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (47), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, the distribution H of the ratio of thermal conductivity and specific heat_2ij(H for a three-dimensional domain_2i(x, y, z, t) h for a two-dimensional domain_2i(x, y, t) h for a one-dimensional domain_2i(x, t)) or H_2i(H for a three-dimensional configuration area_2i(x, y, z) h for a two-dimensional domain_2i(x, y) h for a one-dimensional domain_2i(x)) or H₂(H for a three-dimensional configuration area₂(x, y, z) h for a two-dimensional domain₂(x, y) h for a one-dimensional domain₂When applying a finite element approximation or discrete approximation based on the variational principle for (x)) ((a) or (b)), at time t
When targeting a three-dimensional composition area,
[Equation 69]

When targeting a two-dimensional composition area,
[Equation 70]

When targeting a one-dimensional composition area,
[Equation 71]

The functional I_ij(H_2ij), I_ij(H_2i), I_ij(H₂).
[0170]
Alternatively, according to the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (47), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, the ratio of thermal conductivity to specific heat h_2i(x, t) or h_2i(x) or h₂one-dimensional distribution of the first derivative of (x) dh_2i(x, t) / dx or dh_2i(x) / dx or dh₂When applying the finite element approximation or the discrete approximation based on the variation principle with respect to (x) / dx ((a) or (b)), at time t,
[Equation 72]

The functional I_ij(・).
[0171]
Alternatively, according to the first basic principle, the distribution represented in the equation (41), which is a first-order spatial partial differential equation, in the configuration region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object, That is, the temperature distribution s_ij(T in the case of a three-dimensional domain_i(x, y, z, t) T for a two-dimensional domain_i(x, y, t) T for a one-dimensional domain_iWhen applying a finite element approximation or a discrete approximation based on the variational principle for (x, t)) ((a) or (b)), the functional I at time t_ij(s_ij(In the case of a three-dimensional composition area, the second expression of the expression (6) In the case of a two-dimensional composition area, the second expression of the expression (8) In the case of a one-dimensional composition area, the expression (10) In the integral kernel of the second equation)
[Equation 73]

And the functional I obtained from this_ij(S_ij) Is defined as equation (72).
[0172]
Alternatively, in accordance with the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (43), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, the temperature distribution s_ij(T in the case of a three-dimensional domain_i(x, y, z, t) T for a two-dimensional domain_i(x, y, t) T for a one-dimensional domain_iWhen applying a finite element approximation or a discrete approximation based on the variational principle for (x, t)) ((a) or (b)), the functional I at time t_ij(s_ij), That is,
In the case of a three-dimensional composition area,
[Equation 74]

In the case of a two-dimensional composition area,
[Expression 75]

In the case of a one-dimensional composition area,
[76]

To the integral kernel of
[77]

And the functional I obtained from this_ij(s_ij) Is defined as equation (73).
[0173]
Alternatively, in accordance with the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (45), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, the temperature distribution s_ij(T in the case of a three-dimensional domain_i(x, y, z, t) T for a two-dimensional domain_i(x, y, t) T for a one-dimensional domain_iWhen applying a finite element approximation or a discrete approximation based on the variational principle for (x, t)) ((a) or (b)), the functional I at time t_ij(s_ij), That is,
In the case of a three-dimensional composition area,
[Formula 78]

In the case of a two-dimensional composition area,
[79]

In the case of a one-dimensional composition area,
[80]

To the integral kernel of
[Formula 81]

And the functional I obtained from this_ij(s_ij) Is defined as equation (74).
[0174]
Alternatively, according to the first basic principle, the distribution Q represented in the equation (47), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent area in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, the temperature distribution s_ij(T in the case of a three-dimensional domain_i(x, y, z, t) T for a two-dimensional domain_i(x, y, t) T for a one-dimensional domain_iWhen applying a finite element approximation or discrete approximation based on the variational principle for (x, t)) ((a) or (b)), the functional I at time t_ij(s_ij), That is,
In the case of a three-dimensional composition area,
[Formula 82]

In the case of a two-dimensional composition area,
[Formula 83]

In the case of a one-dimensional composition area,
[Expression 84]

To the integral kernel of
[Expression 85]

And the functional I obtained from this_ij(s_ij) Is defined as equation (75).
[0175]
When a three-dimensional region of interest is a target, equations (41), (43), (45) representing an unknown distribution in a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional component region in the three-dimensional region of interest are appropriately selected. ) And distribution Q derived using any one of the spatial partial differential equations (47) (ie, L_ij, L_i, L, first-order partial differential distribution of thermal conductivity, R_ij, R_i, R, S_ij, S_i, S, H₀ij, H₀i, H₀, Distribution of partial differential of the first order of thermal diffusivity, H_1ij, H_1i, H₁, Distribution of the first-order partial derivative of the ratio of thermal conductivity and density, H_2ij, H_2i, H₂, The distribution of the first partial derivative of the ratio of thermal conductivity and specific heat, or s_ij) Of the formulas (49) to (75)_ijAt least one of (Q) is subjected to a finite element approximation or a discrete approximation using the above-described basis functions, so that the functional I relating to the nodal distribution Q ″_ij(Q '') is one of the following: Where the functional I used_ijWhen (Q) is one, the constituent area is the area of interest itself.
[0176]
(1) 3D, 2D, or k of the nodal thermal conductivity distribution in the 1D configuration region_i(I, J, K, j), k_i(I, J, j) or k_iA vector L '' consisting of (I, j)_ijFunctional I_ij(L ''_ij) Or 3D, 2D, or nodal thermal conductivity distribution k in the 1D configuration region_i(I, J, K), k_i(I, J) or k_iA vector L '' consisting of (I)_iFunctional I_ij(L ''_i) Or a vector L ″ consisting of a nodal thermal conductivity distribution k (I, J, K), k (I, J), or k (I) in a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional domain Functional I_ij(L '').
[0177]
(2) Nodal distribution ρc of the product of density and specific heat in a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional configuration region_i(I, J, K, j), ρc_i(I, J, j), ρc_iA vector R consisting of (I, j) ''_ijFunctional I_ij(R ''_ij) Or the nodal distribution ρc of the product of density and specific heat in the three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional configuration region_i(I, J, K), ρc_i(I, J), ρc_iA vector R consisting of (I) ''_iFunctional I_ij(R ''_i) Or a vector R consisting of a nodal distribution ρc (I, J, K), ρc (I, J), or ρc (I) of the product of density and specific heat in a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional constituent region Functional I for ''_ij(R '').
[0178]
(3) Three-dimensional, two-dimensional, or nodal density distribution ρ within a one-dimensional configuration region_i(I, J, Kj), ρ_i(I, J, j), ρ_iA vector S '' consisting of (I, j)_ijFunctional I_ij(S ''_ij) Or 3D, 2D, or nodal density distribution ρ within a 1D configuration region_i(I, J, K), ρ_i(I, J), ρ_iVector S '' consisting of (I)_iFunctional I_ij(S ''_i) Or a functional I related to a vector S ″ composed of nodal density distributions ρ (I, J, K), ρ (I, J), ρ (I) in a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional constituent region_ij(S '').
[0179]
(4) Three-dimensional, two-dimensional, or nodal specific heat distribution c in a one-dimensional configuration region_i(I, J, K, j), c_i(I, J, j), c_iFunctional I for the vector S''ij consisting of (I, j)_ij(S ''_ij) Or three-dimensional, two-dimensional, or nodal specific heat distribution c in the one-dimensional composition region c_i(I, J, K), c_i(I, J), c_iVector S '' consisting of (I)_iFunctional I_ij(S ''_i) Or a functional I relating to a vector S ″ composed of nodal specific heat distributions c (I, J, K), c (I, J), c (I) in a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional constituent region_ij(S '').
[0180]
(5) Three-dimensional, two-dimensional, or nodal thermal diffusivity distribution h in a one-dimensional configuration region_0i(I, J, K, j), h_0i(I, J, j), h_0iA vector H consisting of (I, j)₀Functional I on ij_ij(H₀''_ij) Or 3D, 2D, or nodal thermal diffusivity distribution in a 1D configuration area h_0i(I, J, K), h_0i(I, J), h_0iA vector H consisting of (I)₀'' The functional I for i_ij(H₀''_i) Or three-dimensional, two-dimensional, or nodal thermal diffusivity distribution h in the constituent area in the one-dimensional constituent area₀(I, J, K), h₀(I, J), h₀A vector H consisting of (I)₀Functional I for ''_ij(H₀'').
[0181]
(6) Three-dimensional, two-dimensional, or nodal distribution h of the ratio of thermal conductivity and density in a one-dimensional composition region_1i(I, J, K, j), h_1i(I, J, j), h_1iA vector H consisting of (I, j)₁''_ijFunctional I_ij(H₁''_ij) Or 3D, 2D, or nodal distribution of the ratio of thermal conductivity to density in a 1D configuration area h_1i(I, J, K), h_1i(I, J), h_1iA vector H consisting of (I)₁''_iFunctional I_ij(H₁''_iOr 3D, 2D, or nodal distribution of the ratio of thermal conductivity to density in a 1D region₁(I, J, K), h₁(I, J), h₁A vector H consisting of (I)₁Functional I for ''_ij(H₁'').
[0182]
(7) Three-dimensional, two-dimensional, or nodal distribution h of the ratio of thermal conductivity and specific heat in a one-dimensional configuration region_2i(I, J, K, j), h_2i(I, J ,, j), h_2iA vector H consisting of (I, j)₂Functional I on ij_ij(H₂''_ij) Or 3D, 2D, or nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat in the 1D region_2i(I, J, K), h_2i(I, J), h_2iA vector H consisting of (I)₂'' The functional I for i_ij(H₂''_i) Or 3D, 2D, or nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat in the 1D region₂(I, J, K), h₂(I, J), h₂A vector H consisting of (I)₂Functional I for ''_ij(H₂'').
[0183]
(8) Three-dimensional, two-dimensional, or nodal temperature distribution T in a one-dimensional configuration region_i(I, J, K, j), T_i(I, J, j), T_iA vector s '' consisting of (I, j)_ijFunctional I_ij(s ''_ij).
[0184]
Each of these is the nodal distribution Q '', i.e. L ''_ij, L ''_i, L '', R ''_ij, R ''_i, R '', S ''_ij, S ''_i, S '', H₀''_ij, H₀''_i, H₀'', H₁''_ij, H₁''_i, H₁'', H₂''_ij, H₂''_i, H₂'' Or s ''_ij The algebraic equation obtained by minimizing with respect to the all-node data given in the region of interest (the low-pass filtered temperature T_iFirst-order partial differential distribution data in the time direction of (I, J, K, j), temperature distribution data T_i(I, J, K, j), temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K, j), divergence distribution data of temperature gradient vector, k′i (I, J, K, j), k ′ of reference thermal conductivity (distribution) as appropriate_i(I, J, K), k ′ (I, J, K), h of reference diffusion rate (distribution)₀'_i(I, J, K, j), h₀'_i(I, J, K), h₀'(I, J, K), h of reference thermal conductivity and density ratio distribution data₁'_i(I, J, K, j), h₁'_i(I, J, K), h₁'(I, J, K), h of the distribution data of the ratio of reference thermal conductivity and specific heat₂'_i(I, J, K, j), h₂'_i(I, J, K), h₂'(I, J, K), ρc of the distribution data of the product of density and specific heat_i(I, J, K, j), ρc_i(I, J, K), ρc (I, J, K), ρ of density distribution data_i(I, J, K, j), ρ_i(I, J, K), ρ (I, J, K), c of specific heat distribution data_i(I, J, K, j), c_i(I, J, K), c (I, J, K)) is substituted.
[0185]
As a result, when a three-dimensional region of interest is targeted, algebraic equations derived for unknown node distributions in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional constituent regions set in the three-dimensional region of interest are coupled. Thus, the following algebraic equation for the unknown node vector U 'consisting of the distribution of unknown nodes in each component region for the entire region of interest:
E_ijU '= e_ij  … (76)
Is obtained. Note that the constituent areas constituting the region of interest may include the same area.
[0186]
However, the algebraic equation derived when using the equation (41) (that is, the equations (49) to (59) and (72) for a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional configuration region). The unknown node vector U ′ in the equation (76) is
The region of interest is k of the thermal conductivity distribution_i(x, y, z, t), k_iIn each case involving a three-dimensional domain where (x, y, z) and k (x, y, z) are unknown, L 'of the unknown node thermal conductivity distribution_ij [k_i(I, J, K, j)], L '_i [k_i(I, J, K)], L ′ [k (I, J, K)] as vector components,
The region of interest is k of the thermal conductivity distribution_i(x, y, t), k_iIn each case including a two-dimensional region in which (x, y) and k (x, y) are unknown, L′ ij [k_i(I, J, j)], L '_i [k_i(I, J)], L ′ [k (I, J)] as vector components,
The region of interest is k of the thermal conductivity distribution_i(x, t), k_iIn each case including a one-dimensional region where (x) and k (x) are unknown, L 'of the unknown node thermal conductivity distribution_ij [k_i(I, j)], L '_i [k_i(I)], L ′ [k (I)] is included in the vector component,
The region of interest is the density distribution ρ_i(x, y, z, t), ρ_i(x, y, z), ρ (x, y, z), and c of specific heat distribution_i(x, y, z, t), c_iIn each case where (x, y, z) and c (x, y, z) both contain an unknown three-dimensional domain, R 'of the nodal distribution of the product of unknown density and specific heat_ij [ρc_i(I, J, K, j)], R '_i [ρc_i(I, J, K)], R ′ [ρc (I, J, K)] as vector components,
The region of interest is the density distribution ρ_i(x, y, t), ρ_i(x, y), ρ (x, y), and c of specific heat distribution_i(x, y, t), c_iIn each case where both (x, y) and c (x, y) include an unknown two-dimensional domain, R 'of the nodal distribution of the product of unknown density and specific heat_ij [ρc_i(I, J, j)], R '_i [ρc_i(I, J)], R ′ [ρc (I, J)] as vector components,
The region of interest is the density distribution ρ_i(x, t), ρ_i(x), ρ (x), and c of specific heat distribution_i(x, t), c_iR 'of the nodal distribution of the product of unknown density and specific heat in each case where both (x) and c (x) contain unknown one-dimensional domain_ij [ρc_i(I, j)], R '_i [ρc_i(I)], R ′ [ρc (I)] is included in the vector component,
The region of interest is the density distribution ρ_i(x, y, z, t), ρ_iIf (x, y, z) and ρ (x, y, z) contain an unknown three-dimensional domain, S 'of the unknown node density distribution_ij [ρ_i(I, J, K, j)], S '_i [ρ_i(I, J, K)], S ′ [ρ (I, J, K)] as vector components,
The region of interest is the density distribution ρ_i(x, y, t), ρ_iIf (x, y) and ρ (x, y) include an unknown two-dimensional domain, S 'of the unknown node density distribution_ij [ρ_i(I, J, j)], S '_i [ρ_i(I, J)], S ′ [ρ (I, J)] as vector components,
The region of interest is the density distribution ρ_i(x, t), ρ_iIf (x), ρ (x) contains an unknown one-dimensional domain, S 'of the unknown node density distribution_ij [ρi (I, j)], S '_i [ρi (I)], S '[ρ (I)] is included in the vector component,
The region of interest is the specific heat distribution c_i(x, y, z, t), c_iIf (x, y, z) and c (x, y, z) contain an unknown three-dimensional region, S 'of the unknown node specific heat distribution_ij [ci (I, J, K, j)], S '_i [ci (I, J, K)], S ′ [c (I, J, K)] is included in the vector component,
The region of interest is the specific heat distribution c_i(x, y, t), c_iIf (x, y) and c (x, y) contain an unknown two-dimensional region, S 'of the unknown node specific heat distribution_ij [c_i(I, J, j)], S '_i [c_i(I, J)], S ′ [c (I, J)] as vector components,
The region of interest is the specific heat distribution c_i(x, t), c_iIf (x) and c (x) contain an unknown one-dimensional region, S 'of the unknown node specific heat distribution_ij [c_i(I, j)], S '_i [c_i(I)] and S ′ [c (I)] are included in the vector components.
[0187]
Alternatively, an algebraic equation derived when using the equation (43) (that is, the equations (60) to (63), (73) for a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional configuration region) An unknown node vector U ′ of an equation (76) is
If the region of interest includes a three-dimensional region, H 'of the unknown node thermal diffusivity distribution_0ij [h_0i(I, J, K, j)], H '_0i [h_0i(I, J, K)], H '₀ [h₀(I, J, K)] as a vector component,
If the region of interest includes a two-dimensional region, H 'of the unknown node thermal diffusivity distribution_0ij [h_0i(I, J, j)], H '_0i [h_0i(I, J)], H '₀ [h₀(I, J)] as a vector component,
If the region of interest includes a one-dimensional region, H 'of the unknown node thermal diffusivity distribution_0ij [h_0i(I, j)], H '_0i [h_0i(I)], H '₀ [h₀(I)] is included in the vector component.
Alternatively, an algebraic equation derived when using the expression (45) (that is, the expressions (64) to (67), (74) for a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional configuration region) The unknown node vector U ′ in the equation (76) is
If the region of interest includes a 3D component region, the unknown node distribution of the ratio of thermal conductivity and density is unknown._1ij [h_1i(I, J, K, j)], H_1ij [h_1i(I, J, K)], H₁ [h₁(I, J, K)] as a vector component,
If the region of interest includes a two-dimensional component region, the unknown nodal distribution of thermal conductivity and density ratio H_1ij [h_1i(I, J, j)], H_1ij [h_1i(I, J)], H₁ [h₁(I, J)] as a vector component,
If the region of interest includes a one-dimensional component region, the H of the nodal distribution of the ratio of unknown thermal conductivity and density_1ij [h_1i(I, j)], H_1ij [h_1i(I)], H₁ [h₁(I)] is included in the vector component.
Alternatively, an unknown algebraic equation (76) that is an algebraic equation derived when using Equation (47) (that is, Equations (68) to (71) and (75) for a three-dimensional configuration region) The node vector U 'is
If the region of interest includes a three-dimensional composition region, the H of the nodal distribution of the ratio of unknown thermal conductivity and specific heat_2ij [h_2i(I, J, K, j)], H_2i [h_2i(I, J, K)], H₂ [h₂(I, J, K)] as a vector component,
If the region of interest includes a two-dimensional region, H of the nodal distribution of the ratio of unknown thermal conductivity and specific heat_2ij [h_2i(I, J, j)], H_2i [h_2i(I, J)], H₂ [h₂(I, J)] as a vector component,
If the region of interest includes a one-dimensional component region, the H of the nodal distribution of the ratio of unknown thermal conductivity and specific heat_2ij [h_2i(I, j)], H_2i [h_2i(I)], H₂ [h₂(I)] is included in the vector component.
[0188]
When a two-dimensional region of interest is targeted, the equations (49), (50), (52), (53), (55), (56) ), (58), (59), (61) to (63), (65) to (67), (69) to (71), (72) to (75) ) Formula functional I_ijAt least one of (Q ″) is represented by a nodal distribution Q ″ (ie, L ″)_ij, L ''_i, L '', R ''_ij, R ''_i, R '', S ''_ij, S ''_i, S '', H₀''_ij, H₀''_i, H₀'', H₁''_ij, H₁''_i, H₁'', H₂''_ij, H₂''_i, H₂'' Or s ''_ij) With simultaneous algebraic equations derived by minimizing, and when targeting a one-dimensional region of interest, (49), (50), (53), (56), (59), (62), (63), (66), (67), (70), (71), (72) to (75) at least one functional I using any of the equations_ijBy aggregating the algebraic equations derived from (Q ″), the algebraic equation (76) relating to the unknown node vector U ′ for the entire region of interest can be similarly obtained.
[0189]
Further, according to the second basic principle, the spatial partial differentiation of the expressions (41), (43), (45), and (47) representing the unknown distribution in each region in the region of interest as appropriate. Applying a finite difference approximation to at least one of the equations (above (c)) and coupling the algebraic equations derived in the region of interest to provide an unknown node vector for the entire region of interest The case of deriving the algebraic equation (76) relating to U ′ will be described below. Here, the constituent regions constituting the region of interest may include the same region, and when there is one constituent region, the constituent region represents the region of interest itself.
[0190]
According to the second basic principle, the distribution Q represented by the equation (41), which is the first-order spatial partial differential equation, in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional regions of interest in the measurement object, that is, , L of thermal conductivity distribution_ijOr L_iOr L, first-order partial differential distribution of thermal conductivity, R of product of density and specific heat_ijOr R_iOr R, density distribution S_ijOr S_iOr S, S of specific heat distribution_ijOr S_iOr S, s of temperature gradient vector distribution_ij(D in the case of a three-dimensional configuration area_i(x, y, z, t), or D for a two-dimensional domain_i(x, y, t), or D for a one-dimensional domain_i(x, t)), s of the partial differential distribution of the first order in the time direction of temperature_ij(DT in the case of a three-dimensional region_i(x, y, z, t) / dt or dT for a two-dimensional domain_i(x, y, t) / dt or dT for a one-dimensional domain_i(x, t) / dt) and s of the temperature distribution_ij(T in the case of a three-dimensional domain_i(x, y, z, t) T for a two-dimensional domain_i(x, y, t) T for a one-dimensional domain_iThese nodal distributions Q ″ obtained by applying a finite difference approximation (discrete approximation) to (x, t)), that is, L ″ of the nodal thermal conductivity distribution_ijOr L ''_iOr L '', first-order partial differential nodal distribution of thermal conductivity, R '' of nodal distribution of product of density and specific heat_ijOr R ''_iOr R '', S '' of nodal density distribution_ijOr S ''_iOr S '', S '' of nodal specific heat distribution_ijOr S ''_iOr S ″, s ″ of the nodal temperature gradient vector distribution_ijS '' of the first-order partial differential node distribution in the time direction of temperature_ijS '' of the nodal temperature distribution_ijThe algebraic equation for the all-node data given in the region of interest (the temperature T filtered by the low-pass filter)_iFirst-order partial differential distribution data in the time direction of (I, J, K, j), temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K, j), distribution data of divergence of temperature gradient vector, k ′ of reference thermal conductivity (distribution) as appropriate_i(I, J, K, j), k '_i(I, J, K), k ′ (I, J, K), h of reference diffusion rate (distribution)₀'_i(I, J, K, j), h₀'_i(I, J, K), h₀'(I, J, K), h of reference thermal conductivity and density ratio distribution data₁'_i(I, J, K, j), h₁'_i(I, J, K), h₁'(I, J, K), h of the distribution data of the ratio of reference thermal conductivity and specific heat₂'_i(I, J, K, j), h₂'_i(I, J, K), h₂'(I, J, K), ρc of the distribution data of the product of density and specific heat_i(I, J, K, j), ρc_i(I, J, K), ρc (I, J, K), ρ of density distribution data_i(I, J, K, j), ρ_i(I, J, K), ρ (I, J, K), c of specific heat distribution data_i(I, J, K, j), c_i(I, J, K), c (I, J, K)) are substituted and algebraic equations relating to the unknown nodal vector U ′ for the entire region of interest ( 76) is obtained.
[0191]
Alternatively, in accordance with the second basic principle, the distribution Q represented by the equation (43) which is a first-order spatial partial differential equation in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional regions of interest in the measurement object. That is, H of the thermal diffusivity distribution_0ijOr H_0iOr H₀, First-order partial differential distribution of thermal diffusivity, s of temperature gradient vector distribution_ijS of the partial differential distribution of the first order in the time direction of temperature_ijAlso, s of the temperature distribution_ijThese nodal distributions Q ″ obtained by applying a finite difference approximation (discrete approximation) with respect to, ie, H of the nodal thermal diffusivity distribution₀''_ijOr H₀''_iOr H₀'', First-order partial differential nodal distribution of thermal diffusivity, s of nodal temperature gradient vector distribution ''_ijS '' of the first-order partial differential node distribution in the time direction of temperature_ijS '' of the nodal temperature distribution_ijThe algebraic equation for the all-node data given in the region of interest (the temperature T filtered by the low-pass filter)_iFirst-order partial differential distribution data in the time direction of (I, J, K, j), temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K, j), distribution data of divergence of temperature gradient vector, k'i (I, J, K, j), k'i (I, J, K), k ′ (I, J, K), h of reference diffusivity (distribution)₀'i (I, J, K, j), h₀'i (I, J, K), h₀'(I, J, K), h of reference thermal conductivity and density ratio distribution data₁'i (I, J, K, j), h₁'i (I, J, K), h₁'(I, J, K), h of the distribution data of the ratio of reference thermal conductivity and specific heat₂'i (I, J, K, j), h₂'i (I, J, K), h₂'(I, J, K), ρci (I, J, K, j), ρci (I, J, K), ρc (I, J, K), density distribution data of product of density and specific heat Ρi (I, J, K, j), ρi (I, J, K), ρ (I, J, K), specific heat distribution data ci (I, J, K, j), ci (I, J , K), c (I, J, K)) are substituted, and the algebraic equation (76) relating to the unknown nodal vector U ′ for the entire region of interest is obtained by simultaneous algebraic equations derived from this. can get.
[0192]
Alternatively, according to the second basic principle, the distribution Q represented by the equation (45), which is a first-order spatial partial differential equation, in the configuration region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, H in the distribution of the ratio of thermal conductivity and density₁ij or H₁i or H₁, First-order partial differential distribution of thermal conductivity to density ratio, specific heat distribution Sij or Si or S, temperature gradient vector distribution sij, temperature first-order partial differential distribution sij or temperature These nodal distributions Q ″ obtained by applying a finite difference approximation (discrete approximation) to the distribution sij, ie, the nodal distribution H of the ratio of thermal conductivity and density₁`` ij or H ''₁i or H ''₁, First-order partial differential nodal distribution of thermal conductivity and density ratio, nodal specific heat distribution S ″ ij or S ″ i or S ″, nodal temperature gradient vector distribution s ″ ij, temperature time All-node data given in the region of interest (low-pass filter applied) to the algebraic equations for the s ″ ij of the first-order partial differential nodal distribution and s ″ ij of the nodal temperature distribution Said temperature T_iFirst-order partial differential distribution data in the time direction of (I, J, K, j), temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K, j), distribution data of divergence of temperature gradient vector, k'i (I, J, K, j), k'i (I, J, K), k ′ (I, J, K), h of reference diffusivity (distribution)₀'i (I, J, K, j), h₀'i (I, J, K), h₀'(I, J, K), h of reference thermal conductivity and density ratio distribution data₁'i (I, J, K, j), h₁'i (I, J, K), h₁'(I, J, K), h of the distribution data of the ratio of reference thermal conductivity and specific heat₂'i (I, J, K, j), h₂'i (I, J, K), h₂'(I, J, K), ρci (I, J, K, j), ρci (I, J, K), ρc (I, J, K), density distribution data of product of density and specific heat Ρi (I, J, K, j), ρi (I, J, K), ρ (I, J, K), specific heat distribution data ci (I, J, K, j), ci (I, J , K), c (I, J, K)) are substituted, and the algebraic equation (76) relating to the unknown nodal vector U ′ for the entire region of interest is obtained by simultaneous algebraic equations derived from this. can get.
[0193]
Alternatively, according to the second basic principle, the distribution Q represented by the first-order spatial partial differential equation [Equation (47)] in the configuration region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, H of the distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat₂ij or H₂i or H₂, First-order partial differential distribution of thermal conductivity to specific heat ratio, density distribution Sij or Si or S, temperature gradient vector distribution sij, temperature first-order partial differential distribution sij or temperature These nodal distributions Q ″ obtained by applying a finite difference approximation (discrete approximation) to the distribution sij, ie, the nodal distribution H of the ratio of thermal conductivity and specific heat₂'' ij or H₂'' i or H₂'', First-order partial differential nodal distribution of thermal conductivity and specific heat ratio, nodal density distribution S''ij or S''i or S '', nodal temperature gradient vector distribution s''ij, temperature All node data given in the region of interest (slow-pass filter) is applied to the algebraic equation for s ″ ij of the first-order partial differential node distribution in the time direction and s ″ ij of the node temperature distribution. Said temperature T_iFirst-order partial differential distribution data in the time direction of (I, J, K, j), temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K, j), distribution data of divergence of temperature gradient vector, k'i (I, J, K, j), k'i (I, J, K), k ′ (I, J, K), h of reference diffusivity (distribution)₀'i (I, J, K, j), h₀'i (I, J, K), h₀'(I, J, K), h of reference thermal conductivity and density ratio distribution data₁'i (I, J, K, j), h₁'i (I, J, K), h₁'(I, J, K), h of the distribution data of the ratio of reference thermal conductivity and specific heat₂'i (I, J, K, j), h₂'i (I, J, K), h₂'(I, J, K), ρci (I, J, K, j), ρci (I, J, K), ρc (I, J, K), density distribution data of product of density and specific heat Ρi (I, J, K, j), ρi (I, J, K), ρ (I, J, K), specific heat distribution data ci (I, J, K, j), ci (I, J , K), c (I, J, K)) are substituted, and the algebraic equation (76) relating to the unknown nodal vector U ′ for the entire region of interest is obtained by simultaneous algebraic equations derived from this. can get.
[0194]
Further, according to the second basic principle, the spatial partial differentiation of the expressions (41), (43), (45), and (47) representing the unknown distribution in each region in the region of interest as appropriate. Applying a finite element approximation or a discrete approximation based on the Galerkin method to at least one of the equations (above (a) or (b)), and by cooperating the algebraic equations derived in the region of interest, The case where the algebraic equation (76) relating to the unknown node vector U ′ for the entire region of interest is derived will be described below. Here, the constituent regions constituting the region of interest may include the same region, and when there is one constituent region, the constituent region represents the region of interest itself.
According to the second basic principle, the distribution Q expressed in the equation (41), which is the first-order spatial partial differential equation, in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional regions of interest in the measurement object, that is, , Lij or Li or L of thermal conductivity distribution, partial differential distribution of thermal conductivity, Rij or Ri or R of product of density and specific heat, Sij or Si or S of density distribution, specific heat distribution Sij or Si or S, sij of temperature gradient vector distribution, sij of divergence distribution of temperature gradient vector, sij of first-order partial differential distribution of temperature in time direction, and finite element approximation based on Galerkin method for sij of temperature distribution Or, when applying discrete approximation, at time t, the following is the functional Iij (•).
[0195]
When targeting a three-dimensional composition area,
[86]

When targeting a two-dimensional composition area,
[Expression 87]

When targeting a one-dimensional composition area,
[Equation 88]

However, v in the equations (77) to (79) is a weighting function and satisfies | v (x, y, z, t) | ≠ 0.
[0196]
Alternatively, according to the second basic principle, the distribution Q represented in the equation (43), which is the first-order spatial partial differential equation, in the constituent area in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, H of the thermal diffusivity distribution₀ij or H₀i or H₀First-order partial differential distribution of thermal diffusivity, sij of temperature gradient vector distribution, sij of divergence distribution of temperature gradient vector, sij of first-order partial differential distribution of temperature in time direction, and sij of temperature distribution When applying finite element approximation or discrete approximation based on the Galerkin method, the following function is assumed to be functional Iij (·) at time t.
When targeting a three-dimensional composition area,
[Equation 89]

When targeting a two-dimensional composition area,
[90]

When targeting a one-dimensional composition area,
[91]

However, v in the equations (80) to (82) is a weighting function and satisfies | v (x, y, z, t) | ≠ 0.
[0197]
Alternatively, according to the second basic principle, the distribution Q represented in the equation (45), which is a first-order spatial partial differential equation, in the constituent region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, H of the distribution of the ratio of thermal conductivity and density₁ij or H₁i or H₁, First-order partial differential distribution of thermal conductivity and density ratio, sij of temperature gradient vector distribution, sij of divergence distribution of temperature gradient vector, sij of first-order partial differential distribution of temperature in time direction, temperature When finite element approximation or discrete approximation based on the Galerkin method is applied to the distribution sij, at time t, the following is the functional Iij (·).
When targeting a three-dimensional composition area,
[Equation 92]

When targeting a two-dimensional composition area,
[Equation 93]

When targeting a one-dimensional composition area,
[Equation 94]

However, v in the equations (83) to (85) is a weighting function and satisfies | v (x, y, z, t) | ≠ 0.
[0198]
Alternatively, according to the second basic principle, the distribution Q represented in the equation (47), which is a first-order spatial partial differential equation, in the configuration region in the three-dimensional, two-dimensional, and one-dimensional region of interest of the measurement object. That is, H of the distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat₂ij or H₂i or H₂, First-order partial differential distribution of thermal conductivity and specific heat ratio, sij of temperature gradient vector distribution, sij of divergence distribution of temperature gradient vector, sij of first-order partial differential distribution of temperature in time direction, temperature When finite element approximation or discrete approximation based on the Galerkin method is applied to the distribution sij, at time t, the following is the functional Iij (·).
When targeting a three-dimensional composition area,
[95]

When targeting a two-dimensional composition area,
[Equation 96]

When targeting a one-dimensional composition area,
[Equation 97]

However, v in the equations (86) to (88) is a weight function and satisfies | v (x, y, z, t) | ≠ 0.
[0199]
In each constituent region, the functional I of any one of formulas (77) to (88) is appropriately selected_i(·) Is used, but as the weight function v of each functional, the basis function for finite element approximation of one of the distributions Q in each constituent region is used, and the time t is not a variable. Basis functions may be used.
[0200]
Therefore, when the spatial partial differential equation of the equation (41) is used, it is represented by the functionals Iij (·) of the equations (77) to (79) that are finite elements using the basis functions. Of the nodal distribution Q '' in the component region, L''ij or L'' i or L '' of the nodal thermal conductivity distribution, nodal distribution of the first derivative of the thermal conductivity, density and specific heat R''ij or R''i or R '' of product nodal distribution, S''ij or S''i or S '' of nodal density distribution, S''ij or S''i of nodal specific heat distribution Or S ″, s ″ ij of the first-order partial differential of temperature in the time direction, s ″ ij of the nodal temperature distribution, s ″ ij of the nodal temperature gradient vector distribution, or the temperature gradient vector All node data given in the region of interest (first-order partial differential distribution data dT in the time direction of the low-pass filtered temperature) is added to s ″ ij of the divergence node distribution._i(I, J, K, j) / dt, temperature distribution data T_i(I, J, K, j), temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K, j), distribution data of divergence of temperature gradient vector, k'i (I, J, K, j), k'i (I, J, K), k ′ (I, J, K), h of reference diffusivity (distribution)₀'i (I, J, K, j), h₀'i (I, J, K), h₀'(I, J, K), ρci (I, J, K, j), ρci (I, J, K), ρc (I, J, K), density distribution data of product of density and specific heat Ρi (I, J, K, j), ρi (I, J, K), ρ (I, J, K), specific heat distribution data ci (I, J, K, j), ci (I, J , K), c (I, J, K)) is substituted and the resulting I_ijThe algebraic equation (76) relating to the unknown node vector U ′ for the entire region of interest can be obtained by providing algebraic equations derived in each constituent region by assuming that (•) is equal to 0. Here, the basis function φ as the weight function_kIf the partial integration is applied to the gradient of Lij, Li, and L in the thermal conductivity distribution using_kMay be direct current.
[0201]
Further, when the spatial partial differential equation of equation (43) is used, it is represented by functionals Iij (·) of equations (80) to (82) that are finite elements using the basis functions. H of the nodal thermal diffusivity distribution of the nodal distribution Q ''₀'' ij or H₀'' i or H₀'', The first-order partial differential nodal distribution of thermal diffusivity, the first-order partial differential nodal distribution s''ij in the time direction of temperature, the nodal temperature distribution s''ij, the nodal temperature gradient vector distribution s''ij, and s''ij of the divergence of the temperature gradient vector divergence, all the node data given in the region of interest (low-pass filtered temperature T_iFirst-order partial differential distribution data dT in the time direction_i(I, J, K, j) / dt, temperature distribution data T_i(I, J, K, j), temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K, j), divergence distribution data of temperature gradient vector, h of reference diffusivity (distribution) as appropriate₀'i (I, J, K, j), h₀'i (I, J, K), h₀'(I, J, K) is assigned and the resulting I_ijThe algebraic equation (76) relating to the unknown node vector U ′ for the entire region of interest can be obtained by providing algebraic equations derived in each constituent region by assuming that (•) is equal to 0. Here, the basis function φ as the weight function_hOther than the thermal diffusivity distribution H₀ij, H₀i, H₀When the partial integral is applied to the gradient of_hMay be direct current.
[0202]
Further, when the spatial partial differential equation of (45) is used, it is expressed by functionals Iij (·) of equations (83) to (85) that are finite elements using the basis functions. H of the nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and density of the nodal distribution Q ''₁`` ij or H ''₁i or H ''₁, First-order partial differential nodal distribution of thermal conductivity and density ratio, nodal specific heat distribution S ″ ij or S ″ i or S ″, first-order partial differential nodal distribution of temperature in time direction s''ij, s''ij of nodal temperature distribution, s''ij of nodal temperature gradient vector distribution, and s''ij of divergence of temperature gradient vector s''ij, all nodes given in the region of interest Data (first-order partial differential distribution data dT in the time direction of the low-pass filtered temperature)_i(I, J, K, j) / dt, temperature distribution data T_i(I, J, K, j), temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K, j), the distribution data of the divergence of the temperature gradient vector, and the distribution data of the ratio of the reference thermal conductivity and the density₁'i (I, J, K, j), h₁'i (I, J, K), h₁'(I, J, K), specific heat distribution data ci (I, J, K, j), ci (I, J, K), c (I, J, K)) are substituted, and as a result I obtained_ijThe algebraic equation (76) relating to the unknown node vector U ′ for the entire region of interest can be obtained by providing algebraic equations derived in each constituent region by assuming that (•) is equal to 0. Here, the basis function φ as the weight function_hUse other than thermal diffusivity distribution H₁ij, H₁i, H₁When partial integration is applied to the gradient of, the basis function φ_hMay be direct current.
Further, when the spatial partial differential equation of equation (47) is used, it is expressed by functionals Iij (·) of equations (86) to (88) that are finite elements using the basis functions. H of the nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat of the nodal distribution Q ''₂'' ij or H₂'' i or H₂'', First-order partial differential nodal distribution of thermal conductivity and specific heat ratio, nodal density distribution S''ij or S''i or S '', first-order partial differential nodal point in time direction of temperature The distribution s ″ ij, the nodal temperature distribution s ″ ij, the nodal temperature gradient vector distribution s ″ ij, and the divergence nodal distribution s ″ ij of the temperature gradient vector are given in the region of interest. All-node data (first-order partial differential distribution data dT in the time direction of the low-pass filtered temperature)_i(I, J, K, j) / dt, temperature distribution data T_i(I, J, K, j), temperature gradient vector distribution data D_i(I, J, K, j), divergence distribution data of temperature gradient vector, h of reference heat conductivity and specific heat ratio distribution data as appropriate₂'i (I, J, K, j), h₂'i (I, J, K), h₂'(I, J, K), ρi (I, J, K, j), ρi (I, J, K), ρ (I, J, K) of the density distribution data are substituted and obtained as a result I_ijThe algebraic equation (76) relating to the unknown node vector U ′ for the entire region of interest can be obtained by providing algebraic equations derived in each constituent region by assuming that (•) is equal to 0. Here, the basis function φ as the weight function_hUse other than thermal diffusivity distribution H₂ij, H₂i, H₂When partial integration is applied to the gradient of, the basis function φ_hMay be direct current.
[0203]
As described above, based on the first basic principle and the second basic principle, the algebraic equation (76) is solved as a simultaneous equation for the unknown node vector U ′ for the entire region of interest, or the algebraic equation (76) The unknown nodal distribution Q 'in each component region in the region of interest represented in the figure, that is, the unknown nodal thermal conductivity distribution L'ij, L'i, L', the unknown density and specific heat. Product node distribution R'ij, R'i, R ', unknown density distribution or unknown node specific heat distribution S'ij, S'i, S', unknown node thermal diffusivity distribution H₀'ij, H₀'i, H₀', H of the nodal distribution of unknown thermal conductivity and density ratio₁'ij, H₁'i, H₁', H of the nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat that is unknown₂'ij, H₂'i or H₂If the positions of the heat source, the endothermic source, and the reference region are appropriate by solving simultaneous equations relating to the unknown node vector V consisting of one or more of 'in each component region (dTi / dt, Ti, Lij of unknown thermal conductivity distribution in the region of interest (even if only one set of Di, ∇ and Di is measured), ki (x, y, z, t) ), Li [ki (x, y, z)], L [k (x, y, z)], H of unknown thermal diffusivity distribution₀ij [h_0i(x, y, z, t)], H₀i [h_0i(x, y, z)], H₀[h₀(x, y, z)], the unknown distribution of the ratio of thermal conductivity to density H₁ij [h_1i(x, y, z, t)], H₁i [h_1i(x, y, z)], H₁[h₁(x, y, z)], H of the distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat that is unknown₂ij [h_2i(x, y, z, t)], H₂i [h_2i(x, y, z)], H₂[h₂(x, y, z)] can be estimated, and sometimes the unknown density-specific heat product distributions Rij [ρci (x, y, z, t)], Ri [ρci (x , y, z)], R [ρc (x, y, z)], unknown specific heat distribution Sij [ci (x, y, z, t)], Si [ci (x, y, z)], S [c (x, y, z)], unknown density distribution Sij [ρi (x, y, z, t)], Si [ρi (x, y, z)], S [ρ (x, y, z) )] Can be estimated simultaneously, and Lij [ki (x, y, z, t)], Li [ki (x, y, z)], L [k (x, y, z)] or H of the thermal diffusivity distribution₀ij [h_0i(x, y, z, t)], H₀i [h_0i(x, y, z)], H₀[h₀(x, y, z)], H of the distribution of thermal conductivity and density ratio₁ij [h_1i(x, y, z, t)], H₁i [h_1i(x, y, z)], H₁[h₁(x, y, z)] or H in the distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat₂ij [h_2i(x, y, z, t)], H₂i [h_2i(x, y, z)], H₂[h₂(x, y, z)] is given, the unknown density-specific heat product distributions Rij [ρci (x, y, z, t)], Ri [ρci (x, y, z)], R [ρc (x, y, z)], unknown specific heat distribution Sij [ci (x, y, z, t)], Si [ci (x, y, z)], S [ c (x, y, z)], unknown density distribution Sij [ρi (x, y, z, t)], Si [ρi (x, y, z)], S [ρ (x, y, z) ] Can be estimated. When the finite element approximation is performed, the basis function is used. The same applies to the case of a two-dimensional and one-dimensional region of interest.
[0204]
A plurality of independent nodal temperature distribution time series Ti (I, J, K, j) (i = 1 to M, where j = 0 to n) are measured, and the unknown nodes for the entire region of interest. When used to determine the vector U ′, the following equations (89) to (97) using the algebraic equation (76) are appropriately used depending on the dependence of the unknown node vector U ′ on i, j. One of the functionals II (U ′) of the formula is used. That is, the unknown node vector U ′ in the algebraic equation (76) is the unknown node distribution Uij for the entire region of interest (L′ ij of the unknown node distribution Q ′ that depends on i and j in the component region). , R'ij, S'ij, H₀'ij, H₁'ij, H₂'L' of unknown node distribution Q 'that contains at least one of' ij and depends only on i in the constituent region or unknown node distribution Q 'that is invariant to both i and j in the constituent region i, L ', R'i, R', S'i, S ', H₀'i, H₀', H₁'i, H₁', H₂'i, H₂Distribution that may contain '), unknown node distribution Ui (L'ij, L'i, R'ij, R'i, S'ij, S' of unknown node distribution Q 'depending on i in the domain) i, H₀'ij, H₀'i, H₁'ij, H₁'i, H₂'ij, H₂L ', R', S ', H of unknown nodal distribution Q' that contains at least one of 'i and is invariant to both i and j in the domain₀', H₁', H₂Distribution that may contain '), unknown node distribution U (L', R ', S', H of unknown node distribution Q 'that is invariant to both i and j in the domain)₀', H₁', H₂'Distribution containing at least one of'), unknown node distribution Uj (unknown node distribution Uij that is invariant to i), and minimizing each of Uij, Ui, U, Uj Is done.
[0205]
However, P in the functional IIij (U ′) of the expressions (89) to (97) using the expression (76)_ijFor each temperature distribution data Tij to be used, the functionals Iij (·) or (77) to (88) in the expressions (49) to (75) in the functional IIij (U ′) In the formula for only one of R'ij, R'i, R ', R'j of the unknown node distribution derived from any of the functional Iij (•), the component region of each functional Iij (•) First-order partial differential distribution dT in the time direction of temperature in (integration region)_iPower value of (x, y, z, t) / dt (multiplying the standard deviation of each power if possible).
[0206]
Further, in the expression relating only to S'ij, S'i, S ', S'j of the unknown node distribution, P_ijIs the first-order partial differential dT in the time direction of the temperature in the component region (integration region) of each functional Iij (•)_iThe power value of the product distribution of (x, y, z, t) / dt and the given density ρ or specific heat c (multiplying the standard deviation of each power if possible).
[0207]
Moreover, it was derived from either the functional Iij (•) of the equations (49) to (71) or the functional Iij (•) of the equations (77) to (88) in the functional IIij (U ′). R'ij, R'i, R ', R'j, S'ij, S'i, S', S'j of unknown node distribution and L'ij, L'i, L of unknown node distribution ', L'j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jIn the formula for either_ijIs the first-order partial differential dT in the time direction of the temperature in the component region (integration region) of each functional Iij (•)_ipower value of (x, y, z, t) / dt and the product of the given density and specific heat ρc or the product of density ρ or specific heat c (multiply the standard deviation of each power if possible) And the temperature gradient vector Di (x, y ,, z, t) in the component region and the unknown thermal conductivity k or the ratio h of thermal conductivity and density h₁Or the ratio h of thermal conductivity and specific heat₂The distribution of the inner product with the gradient operator (if possible, multiplied by the standard deviation of each power) and the divergence distribution of the temperature gradient vector in the component region (if possible, the standard for each power) It is the sum of the power values (with the deviation applied).
[0208]
Also, L'ij, L'i, L ', L'j, H of unknown node distribution₀'_ij, H₀'_i, H₀', H₀'_j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jIn the formula for only one of_ijIs the temperature gradient vector in the constituent region (integration region) of each functional Iij (•) and the unknown thermal conductivity k or thermal diffusivity h₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio h of thermal conductivity and specific heat₂The distribution of the inner product with the gradient operator (if possible, multiplied by the standard deviation of each power) and the divergence distribution of the temperature gradient vector in the component region (if possible, the standard for each power) It is the sum of the power values (with the deviation applied).
[0209]
Further, the unknown node distributions R′ij, R′i, R ′, R′j, S′ij derived from any one of the equations (72) to (75) in the functional IIij (U ′) , S'i, S ', S'j and unknown node distribution L'ij, L'i, L', L'j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jIn the formula for either_ijIs the first-order partial differential dT in the time direction of the temperature in the component region (integration region) of each functional Iij (•)_ipower value of (x, y, z, t) / dt and the product of the given density and specific heat ρc or the product of density ρ or specific heat c (multiply the standard deviation of each power if possible) And the sum of the power values of the temperature gradient vector distribution Di (x, y ,, z, t) in the component region (multiplying the standard deviation of each power if possible).
[0210]
Also, L'ij, L'i, L ', L'j, H of unknown node distribution₀'_ij, H₀'_i, H₀', H₀'_j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jIn the formula for only one of_ijIs the power of the temperature gradient vector distribution Di (x, y ,, z, t) in the component region (integration region) of each functional Iij (•) (multiplying the standard deviation of each power if possible) Value.
Thus, normally, each expression in the functional is normalized by Pij.
[0211]
With respect to the unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n), the following equation is established.
[Equation 98]

However, the unknown node distribution Uij may be invariant to i or j, or both i and j, and only one set of temperature data dTi / dt, Ti, Di, and ∇ / Di is measured. Can also be used.
[0212]
Further, the following equation is established for the unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n).
[99]

However, the unknown node distribution Uij may be invariant to j.
[0213]
Further, regarding the unknown node distribution Uj (j = 0 to n) (when the unknown node distribution Uij is invariant to i), the following expression is established.
[Expression 100]

However, the unknown node distribution Uj may be invariant to j.
[0214]
Further, the following equation is established for the unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n).
## EQU1 ##

However, the unknown node distribution Uij may be invariant to i.
[0215]
Further, regarding the unknown node distribution Ui (i = 1 to M) (when the unknown node distribution Uij is invariant with respect to j), the following equation is established.
## EQU10 ##

However, the unknown node distribution Ui may be invariant to i.
[0216]
Further, the following equation is established for the unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n).
[Formula 103]

[0217]
Further, regarding the unknown node distribution Uj (j = 0 to n) (when the unknown node distribution Uij is invariant with respect to i), the following equation holds.
[Formula 104]

[0218]
Further, regarding the unknown node distribution Ui (i = 1 to M) (when the unknown node distribution Uij is invariant with respect to j), the following equation is established.
[Formula 105]

[0219]
For the unknown node distribution U (when the unknown node distribution Uij is invariant with respect to both i and j), the following equation holds.
[Formula 106]

[0220]
The functional II (U ′) in the above equations (89) to (97) is minimized with respect to the unknown node vector U ′ (any of unknown node distributions Uij, Ui, U, Uj) for the entire region of interest. Rather, the normal equation for the unknown node vector U ′ is obtained as follows.
From the functional IIij (Uij) (Equation (89)), unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n) (i or j, or both i and j must be invariant) It can also be used when only one set of temperature data dTi / dt, Ti, Di, and ∇ / Di is measured.
E '_ijU_ij= e '_ij  … (98)
[Expression 107]

From the functional IIj (Uij) (Equation (90)), the following normal equation for the unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n) (may be invariant to j) is obtained: It is done.
[Formula 108]

Where matrix E'ij and vector e '_ij(i = 1 to M, j = 0 to n) is a matrix E ′ of the normal equation (98), respectively._ijAnd vector e '_ijIt is.
[0221]
From the functional IIj (Uj) (Equation (91)), the following normal equation for the unknown node distribution Uj (j = 0 to n) (which may be invariant to j) is obtained.
E_jU_j= e_j  … (100)
However, the matrix E_jAnd vector e_j(J = 0 to n) is a matrix E ′ of the normal equation (98)._ijAnd the vector e ′_ijIs expressed as follows.
[Formula 109]

[0222]
From the functional IIi (Uij) (Equation (92)), the following normal equation for the unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n) (which may be invariant to i) is obtained: It is done.
## EQU1 ##

However, the matrix E ′_ijAnd the vector e ′_ij(I = 1 to M, j = 0 to n) is a matrix E ′ of the normal equation (98), respectively._ijAnd the vector e ′_ijIt is.
[0223]
From the functional IIi (Ui) (Equation (93)), the following normal equation for the unknown node distribution Ui (i = 1 to M) (which may be invariant to i) is obtained.
E_iU_i= e_i  … (102)
However, the matrix E_iAnd vector e_i(I = 1 to M) is a matrix E ′ of the normal equation (98)._ijAnd the vector e ′_ijIs expressed as follows.
[Formula 111]

[0224]
From the functional II (Uij) (Equation (94)), the following normal equation relating to the unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n) is obtained.
## EQU1 ##

However, the matrix E ′_ijAnd the vector e ′_ij(I = 1 to M, j = 0 to n) is a matrix E ′ of the normal equation (98), respectively._ijAnd the vector e ′_ijIt is.
[0225]
From the functional II (Uj) (equation (95)), the following normal equation relating to the unknown node distribution Uj (j = 0 to n) is obtained.
[Formula 113]

However, the matrix E_jAnd vector e_j(J = 0 to n) is a matrix E ′ of the normal equation (98)._ijAnd the vector e ′_ijIs expressed as follows.
[Formula 114]

[0226]
From the functional II (Ui) (equation (96)), the following normal equation relating to the unknown node distribution Ui (i = 1 to M) is obtained.
[Expression 115]

However, the matrix E_iAnd vector e_i(I = 1 to M) is a matrix E ′ of the normal equation (98)._ijAnd the vector e ′_ijIs expressed as follows.
[Formula 116]

[0227]
From the functional II (U) (Equation (97)), the following normal equation for the unknown node distribution U is obtained.
EU = e… (106)
However, the matrix E and the vector e are respectively the matrix E ′ of the normal equation (98)._ijAnd the vector e ′_ijIs expressed as follows.
[Expression 117]

[0228]
By solving the above normal equations (98) to (106) with respect to the unknown node vector U ′, the unknown node distribution Uij, the unknown node distribution Ui, the unknown node distribution U when the entire region of interest is targeted as appropriate, One of the unknown node distributions Uj is obtained. Here, the unknown node distribution Uij is the L'ij, R'ij, S'ij, H of the unknown node distribution Q 'that depends on i, j in the composition region.₀'ij, H₁'ij, H₂'L' of unknown node distribution Q 'that contains at least one of' ij and depends only on i in the constituent region or unknown node distribution Q 'that is invariant to both i and j in the constituent region i, L ', R'i, R', S'i, S ', H₀'i, H₀', H₁'i, H₁', H₂'i, H₂'May be included. The unknown node distribution U is represented by L'ij, L'i, R'ij, R'i, S'ij, S'i, H of the unknown node distribution Q 'depending on i in the constituent region.₀'ij, H₀'i, H₁'ij, H₁'i, H₂'ij, H₂L ', R', S ', H of unknown nodal distribution Q' that contains at least one of 'i and is invariant to both i and j in the domain₀', H₁', H₂'May be included. The unknown node distribution U is the L ′, R ′, S ′, H of the unknown node distribution Q ′ that is invariant to both i and j in the constituent region.₀', H₁', H₂Contains at least one of ' The unknown node distribution Uj corresponds to the unknown node distribution Uij that is invariant to i.
[0229]
The functional functions II (U ′) of the equations (89) to (97) relating to the unknown node vector U ′ for the entire region of interest are expressed in the algebraic equation (76). Is treated as a functional II (V ') derived from simultaneous equations related to any of the unknown node vectors V', that is, Vij, unknown node distribution Vi, unknown node distribution V, and unknown node distribution Vj. Sometimes. Each of these is minimized with respect to any of the unknown node distributions Vij, Vi, V, Vj due to the dependency of the unknown node vector V ′ on i, j, and the unknown nodes in each component region derived from this Any of the unknown node distributions Vij, Vi, V, and Vj in the region of interest may be obtained by solving the normal equations (98) to (106) related to the vector V ′. Here, the unknown node vector Vij is represented by L'ij, R'ij, S'ij, H of the unknown node distribution Q 'depending on i and j in the constituent region.₀'ij, H₁'ij, H₂L 'of an unknown node distribution Q' that contains at least one of 'ij and depends only on i in the constituent region or an unknown node distribution Q' that is invariant to both i and j in the constituent region i, L ', R'i, R', S'i, S ', H₀'i, H₀', H₁'i, H₁', H₂'i, H₂'May be included. The unknown node distribution Vi is defined as L'ij, L'i, R'ij, R'i, S'ij, S'i, H of the unknown node distribution Q 'depending on i in the constituent region.₀'ij, H₀'i, H₁'ij, H₁'i, H₂'ij, H₂L ', R', S ', H of unknown nodal distribution Q' that contains at least one of 'i and is invariant to both i and j in the domain₀', H₁', H₂'May be included. The unknown node distribution V is L ′, R ′, S ′, H of the unknown node distribution Q ′ that is invariant to both i and j in the composition domain.₀', H₁', H₂Contains at least one of ' The unknown node distribution Vj corresponds to the unknown node distribution Vij that is invariant to i.
[0230]
From this, if the positions of the heat source, heat sink, and reference region are appropriate (even if only one set of dTi / dt, Ti, Di, and ∇ / Di is measured in the temperature distribution data), Lij of unknown thermal conductivity distribution (ki (x, y, z, t)], Li [ki (x, y, z)], L [k (x , y, z)], Lj [k (x, y, z, t)]), H of unknown thermal diffusivity distribution₀ij [h_0i(x, y, z, t)], H₀i [h_0i(x, y, z)], H₀[h₀(x, y, z)], H_0j[h₀(x, y, z, t)], the unknown distribution of the ratio of thermal conductivity to density H₁ij [h_1i(x, y, z, t)], H₁i [h_1i(x, y, z)], H₁[h₁(x, y, z)], H_1j[h₁(x, y, z, t)], unknown distribution of thermal conductivity and specific heat ratio H₂ij [h_2i(x, y, z, t)], H₂i [h_2i(x, y, z)], H₂[h₂(x, y, z)], H_2j[h₂(x, y, z, t)] can be estimated. Also, sometimes the unknown density-specific heat product distributions Rij [ρci (x, y, z, t)], Ri [ρci (x, y, z)], R [ρc (x) in the region of interest , y, z)], Rj [ρc (x, y, z, t)], unknown specific heat distribution Sij [ci (x, y, z, t)], Si [ci (x, y, z)] , S [c (x, y, z)], Sj [c (x, y, z, t)], unknown density distribution Sij [ρi (x, y, z, t)], Si [ρi (x , y, z)], S [ρ (x, y, z)], Sj [ρ (x, y, z, t)] can be estimated simultaneously. Further, under any arrangement of the heat source, the heat absorption source, and the reference region, Lij [ki (x, y, z, t)], Li [ki (x, y, z)], L [k (x, y, z)], Lj [k (x, y, z, t)], or H of the thermal diffusivity distribution₀ij [h_0i(x, y, z, t)], H₀i [h_0i(x, y, z)], H₀[h₀(x, y, z)], H_0j[h₀(x, y, z, t)] or H in the distribution of the ratio of thermal conductivity and density₁ij [h_1i(x, y, z, t)], H₁i [h_1i(x, y, z)], H₁[h₁(x, y, z)], H_1j[h₁(x, y, z, t)] or H in the distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat₂ij [h_2i(x, y, z, t)], H₂i [h_2i(x, y, z)], H₂[h₂(x, y, z)], H_2j[h₂If (x, y, z, t)] is given, the unknown density-specific heat product distributions Rij [ρci (x, y, z, t)], Ri [ρci ( x, y, z)], R [ρc (x, y, z)], Rj [ρc (x, y, z, t)], Sij [ci (x, y, z, t) of unknown specific heat distribution ], Si [ci (x, y, z)], S [c (x, y, z)], Sj [c (x, y, z, t)], Sij [ρi (x, y, z, t)], Si [ρi (x, y, z)], S [ρ (x, y, z)], Sj [ρ (x, y, z, t)] can be estimated. When the finite element approximation is performed, the basis function is used. The same applies to the case of a two-dimensional and one-dimensional region of interest.
[0231]
E in the normal equations (98) to (106) obtained by minimizing the functionals II (U ′) and II (V ′) related to U ′ and V ′ in the equations (89) to (97), E_ij, E_i, E_j, E, e_ij, E_iAnd e_jIs determined by the first-order partial differential distribution data, temperature gradient vector distribution data, and divergence distribution data of the temperature gradient vector in the time direction of the low-pass filtered temperature._ij, E_i, E_jThe inverse operators of e and e are respectively_ij, E_i, And e_jAmplifies the noise in the high frequency band included in the. Further, when using the formulas (98), (99), (101), and (103), the relative arrangement of the heat generation source or heat absorption source and the reference region may be inappropriate. . As a result, the estimation of the unknown node distribution Uij, Ui, Uj, U, Vij, Vi, Vj, V becomes unstable.
[0232]
Therefore, as in the first basic principle and the second basic principle, regularization of the equations (98) to (106) may be regularized to stabilize the reconstruction. Specifically, as described later, each temperature distribution T used_ijThe regularization parameter α that can be set for_1ij, Α_2ij, Α_3ij, Β_1ij, Β_2ij, Β_3ij, Χ_1ij, Χ_2ij, Χ_3ij, Δ_1ij, Δ_2ij, Δ_3ij, Ε_1ij, Ε_2ij, Ε_3ij, Γ_1ij, Γ_2ij, Γ_3ij, Η_1ij, Η_2ij, Η_3ij(Positive value) is used to use penalties as shown below in a continuous coordinate system.
[0233]
That is, when the unknown node vector U 'or V' includes L'ij, L'i, L ', L'j of the unknown thermal conductivity distribution as vector components, for example, when targeting a three-dimensional region of interest , K (x, y, z, t) [ki (I, J, K, j)], ki (x, y, z) [ki (I, J, K)], k ( x, y, z) [k (I, J, K)], k (x, y, z, t) [k (I, J, K, j)] one or more discrete When a three-dimensional constituent area is included, the integral in each constituent area is obtained in the same manner as the punishment term in the equation (25).
[Formula 118]

However, k is the thermal conductivity ki (x, y, z, t), ki (x, y, z), k (x, y, z), k (x, y, z, t) of each point. )
[0234]
Thermal conductivity distribution ki (x, y, t) [ki (I, J, j)], ki (x, y) [ki (I, J)], k (x, y) [k (I, J)], k (x, y, t) [k (I, J, j)] includes one or more discontinuous two-dimensional constituent regions with unknown punishment terms of equation (26) Similarly, the integral in each constituent region is obtained.
[Formula 119]

Here, k is any one of ki (x, y, t), ki (x, y), k (x, y), and k (x, y, t) of the thermal conductivity of each point.
[0235]
Thermal conductivity distributions ki (x, t) [ki (I, j)], ki (x) [ki (I)], k (x) [k (I)], k (x, t) [k When one or more discontinuous one-dimensional constituent regions with unknown (I, j)] are included, the integrals in the constituent regions are obtained in the same manner as the punishment term in the equation (27).
[Expression 120]

Here, k is any one of ki (x, t), ki (x), k (x), and k (x, t) of the thermal conductivity at each point. The same applies to cases where two-dimensional and one-dimensional regions of interest are included.
[0236]
Also, when the vector component includes R'ij, R'i, R ', R'j of the distribution of the product of density and specific heat where the unknown node vector U' or V 'is unknown, for example, a three-dimensional region of interest In the case of the target, the distribution of the product of density and specific heat is ρci (x, y, z, t) [ρci (I, J, K, j)], ρci (x, y, z) [ρci (I, J, K)], ρc (x, y, z) [ρc (I, J, K)], ρc (x, y, z, t) [ρc (I, J, K, j)] are unknown When one or more discontinuous three-dimensional constituent regions are included, the integral in each constituent region is obtained as in the case of thermal conductivity.
[Equation 121]

Where ρc is the product of the density and specific heat of each point, ρci (x, y, z, t), ρci (x, y, z), ρc (x, y, z), ρc (x, y, z , t). The case of including one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions is similar to the case of thermal conductivity. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0237]
In addition, when the vector component includes S'ij, S'i, S ', S'j of density distribution where unknown node vector U' or V 'is unknown, for example, when targeting a three-dimensional region of interest , Ρi (x, y, z, t) [ρi (I, J, K, j)], ρi (x, y, z) [ρi (I, J, K)], ρ (x, y, z) [ρ (I, J, K)], ρ (x, y, z, t) [ρ (I, J, K, j)] one or more discrete three-dimensional In the case of including the constituent regions, the integrals in the respective constituent regions are obtained as in the case of the thermal conductivity.
[Equation 122]

Where ρ is the density of each point ρi (x, y, z, t), ρi (x, y, z), ρ (x, y, z), ρ (x, y, z, t) Either. The case of including one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions is similar to the case of thermal conductivity. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0238]
Also, when S'ij, S'i, S ', S'j of specific heat distribution with unknown unknown node vector U' or V 'is included in the vector component, for example, for a three-dimensional region of interest , Ci (x, y, z, t) [ci (I, J, K, j)], ci (x, y, z) [ci (I, J, K)], c (x, y, z) [c (I, J, K)], c (x, y, z, t) [c (I, J, K, j)] one or more discrete three-dimensional In the case of including the constituent regions, the integrals in the respective constituent regions are obtained as in the case of the thermal conductivity.
[Formula 123]

Where c is the density of each point, ci (x, y, z, t), ci (x, y, z), c (x, y, z), c (x, y, z, t) Either.
The case of including one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions is similar to the case of thermal conductivity. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0239]
Also, H of the thermal diffusivity distribution where the unknown node vector U 'or V' is unknown₀'ij, H₀'i, H₀', H₀When 'j is included in the vector component, for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, the thermal diffusivity distribution h₀i (x, y, z, t) [h₀i (I, J, K, j)], h₀i (x, y, z) [h₀i (I, J, K)], h₀(x, y, z) [h₀(I, J, K)], h₀(x, y, z, t) [h₀If (I, J, K, j)] contains one or more discontinuous three-dimensional constituent regions where the unknown is present, the integral within each constituent region is obtained as in the case of thermal conductivity. .
[Expression 124]

However, h₀Is the thermal diffusivity h of each point₀i (x, y, z, t), h₀i (x, y, z), h₀(x, y, z), h₀One of (x, y, z, t).
The case of including one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions is similar to the case of thermal conductivity. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0240]
In addition, the distribution of the ratio of thermal conductivity and density with unknown node vector U 'or V' is unknown.₁'ij, H₁'i, H₁', H₁When 'j is included in the vector component, for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, the distribution of the ratio of thermal conductivity and density h₁i (x, y, z, t) [h₁i (I, J, K, j)], h₁i (x, y, z) [h₁i (I, J, K)], h₁(x, y, z) [h₁(I, J, K)], h₁(x, y, z, t) [h₁If (I, J, K, j)] contains one or more discontinuous three-dimensional constituent regions where the unknown is present, the integral within each constituent region is obtained as in the case of thermal conductivity. .
[Expression 125]

However, h₁Is the ratio of thermal conductivity and density at each point h₁i (x, y, z, t), h₁i (x, y, z), h₁(x, y, z), h₁One of (x, y, z, t).
The case of including one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions is similar to the case of thermal conductivity. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0241]
In addition, the distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat whose unknown node vector U 'or V' is unknown is H₂'ij, H₂'i, H₂', H₂When 'j is included in the vector component, for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, the distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat is h₂i (x, y, z, t) [h₂i (I, J, K, j)], h₂i (x, y, z) [h₂i (I, J, K)], h₂(x, y, z) [h₂(I, J, K)], h₂(x, y, z, t) [h₂If (I, J, K, j)] contains one or more discontinuous three-dimensional constituent regions where the unknown is present, the integral within each constituent region is obtained as in the case of thermal conductivity. .
[Expression 126]

However, h₂Is the ratio of the thermal conductivity of each point to the specific heat h₂i (x, y, z, t), h₂i (x, y, z), h₂(x, y, z), h₂One of (x, y, z, t).
The case of including one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions is similar to the case of thermal conductivity. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0242]
When the functionals II (U ′) or II (V ′) in the equations (89) to (97) are approximated by finite elements, the penalty terms in the equations (107) to (115) are finite element approximations. Although the finite element approximation or the finite difference approximation is performed using the basis function introduced in the above, the functionals II (U ′) or II (V ′) of the equations (89) to (97) are finite. When the difference is approximated, the punishment terms of the expressions (107) to (115) are approximated by a finite difference.
[0243]
When the punishment terms of the equations (107) to (115) are approximated by a finite element, when the target region is a three-dimensional region of interest, the equations (107) to (109) are appropriately referred to as the reference thermal conductivity. K'i (I, J, K, j), k'i (I, J, K), k '(I, J, K), k' (I, J, K, j) , (110), ρci (I, J, K, j), ρci (I, J, K), ρc (I, J, K), ρc (I, J) of the distribution data of the product of density and specific heat , K, j) is expressed in the equation (111) as ρi (I, J, K, j), ρi (I, J, K), ρ (I, J, K), ρ (I, J, K, j) is expressed in the equation (112) as ci (I, J, K, j), ci (I, J, K), c (I, J, K), c (I , J, K, j) is substituted, and h ′ of the reference diffusion rate (distribution) is given in equation (113).₀i (I, J, K, j), h '₀i (I, J, K), h '₀(I, J, K), h '₀(I, J, K, j) is substituted, and h ′ of the distribution data of the ratio of the reference thermal conductivity and the density is expressed in (114).₁i (I, J, K, j), h '₁i (I, J, K), h '₁(I, J, K), h '₁(I, J, K, j) is substituted, and h ′ of the distribution data of the ratio of the reference thermal conductivity and the specific heat is expressed in the equation (115).₂i (I, J, K, j), h '₂i (I, J, K), h '₂(I, J, K), h '₂After (I, J, K, j) is substituted, it is added to any of the functionals II (U ') or II (V') in the equations (89) to (97) as appropriate, and the unknown node Minimized with respect to vector U ′ or V ′. In that case, the basis function φ_Threeρ_c, Φ_Threeρ, φ_3c, Φ_3k, Φ_3hMust be partially differentiable twice with respect to x, y, z.
The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0244]
Further, when the punishment terms of the expressions (107) to (115) are approximated by a finite difference, the expressions (107) to (109) (however, α_1ij= 0) for reference thermal conductivity (distribution) k'i (I, J, K, j), k'i (I, J, K), k '(I, J, K), k' ( I, J, K, j) is substituted and the expression (110) (where β_1ij= 0), the distribution data of the product of density and specific heat are ρci (I, J, K, j), ρci (I, J, K), ρc (I, J, K), ρc (I, J, K , j) is substituted and the expression (111) (χ_1ij= 0) is substituted by ρi (I, J, K, j), ρi (I, J, K), ρ (I, J, K), ρ (I, J, K, j) (112) (δ_1ij= 0) is assigned the specific heat distribution data ci (I, J, K, j), ci (I, J, K), c (I, J, K), c (I, J, K, j) (113) (ε_1ij= 0), the reference diffusion rate (distribution) h '₀i (I, J, K, j), h '₀i (I, J, K), h '₀(I, J, K), h '₀(I, J, K, j) is substituted, and the expression (114) (γ_1ij= 0) is the distribution data of the ratio of the reference thermal conductivity and density h '₁i (I, J, K, j), h '₁i (I, J, K), h '₁(I, J, K), h '₁(I, J, K, j) is substituted, and the equation (115) (η_1ij= 0), h 'of the distribution data of the ratio of the reference thermal conductivity and the specific heat₂i (I, J, K, j), h '₂i (I, J, K), h '₂(I, J, K), h '₂After (I, J, K, j) is substituted, the unknown node vector U ′ is appropriately added to the functionals II (U ′) or II (V ′) of the equations (89) to (97). Or minimized with respect to V ′.
The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0245]
By solving the regularized normal equations of the following equations (116) to (124) with respect to the unknown node vector U ′ or V ′ derived from each functional II (U ′) or II (V ′), The unknown node distribution Uij, Ui, Uj, U, Vij, Vi, Vj, or V can be stably obtained. However, the matrix G represented in the following regularized normal equation^TG, G^TGG^TEach of G is suitably a finite element approximation of the unknown node distribution Uij, Ui, Uj, U, Vij, Vi, Vj in the region of interest or the unknown node distribution Q ′ in each component region in V, or It represents a Laplacian operator and a Laplacian square operator approximated by a finite difference (discrete). Here, the unknown node distribution Q ′ is L′ ij, L′ i, L ′, L′ j of the unknown thermal conductivity distribution, R′ij, R′i of the product of the density and specific heat unknown, R ', R'j, unknown density distribution or unknown specific heat distribution S'ij, S'i, S', S'j, unknown thermal diffusivity distribution H₀'ij, H₀'i, H₀', H₀'j, H of the distribution of the ratio of thermal conductivity and density that is unknown₁'ij, H₁'i, H₁', H₁'j, H of the distribution of unknown thermal conductivity and specific heat ratio₂'ij, H₂'i, H₂'Or H₂'j is included.
[0246]
Therefore, the regularization parameter λ in the equation_1ij, Λ_2ij, Λ_3ijIs a regularization parameter α in the punishment terms (107) to (115) used as appropriate._1ij, Α_2ij, Α_3ijEach of β_1ij, Β_2ij, Β_3ijEach of χ_1ij, Χ_2ij, Χ_3ijEach of_1ij, Δ_2ij, Δ_3ijΕ_1ij, Ε_2ij, Ε_3ijEach of_1ij, Γ_2ij, Γ_3ijΗ_1ij, Η_2ij, Η_3ij(Positive values) are expressed as those relating to the corresponding punishment term component.
[0247]
The following regularized normal equation for the unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n) is obtained from the functional IIij (Uij) (Equation (89)). Here, the unknown node distribution Uij may be invariant to i or j, or both i and j, and only one set of temperature data dTi / dt, Ti, Di, ∇ · Di, It can also be used when measured.
(E '_ij+ W_ij) U_ij= e '_ij  … (116)
However, the matrix E '_ijAnd vector e '_ijIs a matrix E ′ of the normal equation (98), respectively._ij= E_ij ^TE_ijThe vector e '_ij= E_ij ^Te_ijAnd the matrix W_ij= λ_1ijI + λ_2ijG^TG + λ_3ijG^TGG^TG.
[0248]
From functional IIj (Uij) (equation (90)), the following regularization of unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n) (may be invariant to j) A normal equation is obtained.
[Expression 127]

[0249]
From the functional IIj (Uj) (Equation (91)), the following normal equation for the unknown node distribution Uj (j = 0 to n) (which may be invariant to j) is obtained.
[Expression 128]

[0250]
From the functional IIi (Uij) (Equation (92)), the following normal equation for the unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n) (which may be invariant to i) is obtained: It is done.
[Expression 129]

[0251]
From the functional IIi (Ui) (Equation (93)), the following regularized normal equation for the unknown node distribution Ui (i = 1 to M) (which may be invariant to i) is obtained.
[Expression 130]

[0252]
From the functional II (Uij) [Equation (94)], the following normal equation regarding the unknown node distribution Uij (i = 1 to M, j = 0 to n) is obtained.
[Equation 131]

[0253]
From the functional II (Uj) (Equation (95)), the following normal equation for the unknown node distribution Uj (j = 0 to n) is obtained.
[Expression 132]

[0254]
From the functional II (Ui) (equation (96)), the following normal equation relating to the unknown node distribution Ui (i = 1 to M) is obtained.
[Formula 133]

[0255]
From the functional II (U) (Equation (97)), the following normal equation for the unknown node distribution U is obtained.
[Formula 134]

[0256]
By solving the above normal equations (116) to (124) with respect to the unknown node vector U ′, the unknown node distribution Uij, the unknown node distribution Ui, and the unknown node distribution U when the entire region of interest is targeted as appropriate. The unknown node distribution Uj, the unknown node vector V ′, ie, Vij, the unknown node distribution Vi, the unknown node distribution V, and the unknown node distribution Vj for each component region in the region of interest are obtained.
[0257]
Thus, Lij of the unknown thermal conductivity distribution in the region of interest (ki (x, y, z, t) for a three-dimensional region of interest), Li [ki (x, y, z) ], L [k (x, y, z)], Lj [k (x, y, z, t)], unknown density-specific heat product distribution Rij [ρci (x, y, z, t) ], Ri [ρci (x, y, z)], R [ρc (x, y, z)], Rj [ρc (x, y, z, t)], Sij [ci (x, y, z, t)], Si [ci (x, y, z)], S [c (x, y, z)], Sj [c (x, y, z, t)], unknown density distribution Sij [ρi (x, y, z, t)], Si [ρi (x, y, z)], S [ρ (x, y, z)], Sj [ρ (x, y, z, t) ], H of unknown thermal diffusivity distribution₀ij [h_0i(x, y, z, t)], H₀i [h_0i(x, y, z)], H₀[h₀(x, y, z)], H_0j[h₀(x, y, z, t)], the unknown distribution of the ratio of thermal conductivity to density H₁ij [h_1i(x, y, z, t)], H₁i [h_1i(x, y, z)], H₁[h₁(x, y, z)], H_1j[h₁(x, y, z, t)], unknown distribution of thermal conductivity and specific heat ratio H₂ij [h_2i(x, y, z, t)], H₂i [h_2i(x, y, z)], H₂[h₂(x, y, z)], H_2j[h₂(x, y, z, t)] can be estimated. Note that the basis function is used when finite element approximation is performed). The same applies to the case of a two-dimensional and one-dimensional region of interest. Moreover, even when only one set of dTi / dt, Ti, Di, and ∇ · Di of the temperature distribution data is measured, these may be estimated.
[0258]
Also, an unknown node vector U ′ depending on j (Uij or Uj of the unknown node distribution when the entire region of interest is targeted) or an unknown node vector V ′ (an unknown node distribution in each component region in the region of interest) In order to regularize the functionals II (U ′) and II (V ′) of the expressions (92), (94), and (95) related to (Vij or Vj), the expressions (107) to (115) In addition to the punishment term, the first-order partial differential and the second-order partial differentiation of the unknown distribution in each constituent region in the time t (j) direction in each integral kernel of the punishment terms of the expressions (107) to (115) In the continuous coordinate system to which the above is added, the punishment term as shown below may be used to stabilize the reconstruction. Regularization parameter α newly used at that time_4ij, Α_5ij, Β_4ij, Β_5ij, Χ_4ij, Χ_5ij, Δ_4ij, Δ_5ij, Ε_4ij, Ε_5ij, Γ_4ij, Γ_5ij, Η_4ij, Η_5ij(Positive value) is the temperature distribution T used as described later._ijCan be set.
[0259]
That is, unknown node vector U 'or V' is L 'of unknown thermal conductivity distribution._ij, L '_j In the vector component, for example, when the target region is a three-dimensional region of interest, k of the thermal conductivity distribution_i(x, y, z, t) [k_i(I, J, K, j)], k (x, y, z, t) [k (I, J, K, j)] includes one or more discontinuous three-dimensional regions that are unknown In this case, the first-order partial differential and the second-order partial differential in the time t (j) direction are added to the integral kernel of the punishment term of the equation (107), and the integral in each constituent region is obtained.
[Expression 135]

However, k is k of the thermal conductivity of each point._iOne of (x, y, z, t) and k (x, y, z, t).
[0260]
K of thermal conductivity distribution_i(x, y, t) [k_i(I, J, j)], k (x, y, t) [k (I, J, j)] includes one or more discontinuous two-dimensional constituent regions with unknown (108 The first-order partial differential and the second-order partial differential in the direction of time t (j) are added to the punishment term of equation (1) to obtain the integral in each constituent region.
[Formula 136]

However, k is either ki (x, y, t) or k (x, y, t) of the thermal conductivity of each point.
[0261]
K of thermal conductivity distribution_i(x, t) [k_iIf (I, j)], k (x, t) [k (I, j)] contains one or more discontinuous one-dimensional regions, the punishment term in (109) The first-order partial differentiation and second-order partial differentiation in the direction of time t (j) are added, and the integral in each constituent region is obtained.
[Expression 137]

However, k is k of the thermal conductivity of each point._iEither (x, t) or k (x, t).
The same applies to cases where two-dimensional and one-dimensional regions of interest are included.
[0262]
In addition, the distribution of the product of density and specific heat with unknown node vector U 'or V' is unknown R '_ij, R '_j In the vector component, for example, in the case of a three-dimensional region of interest, ρc of the product of density and specific heat_i(x, y, z, t) [ρc_i(I, J, K, j)], ρc (x, y, z, t) [ρc (I, J, K, j)] includes one or more discontinuous three-dimensional configuration regions with unknown In this case, the first-order partial differential and the second-order partial differential in the time t (j) direction are added to the punishment term of the expression (110), and the integral in each constituent region is obtained.
[Formula 138]

However, ρc is the product of density and specific heat at each point._iOne of (x, y, z, t) and ρc (x, y, z, t). The same is true when one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions are included. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0263]
Also, S 'of the distribution of density where the unknown node vector U' or V 'is unknown_ij, S '_jIs included in the vector component, for example, when a three-dimensional region of interest is targeted, ρ of the density distribution_i(x, y, z, t) (ρ_i(I, J, K, j)], ρ (x, y, z, t) [ρ (I, J, K, j)] contains one or more discontinuous three-dimensional regions that are unknown In this case, the first-order partial differential and the second-order partial differential in the time t (j) direction are added to the punishment term of the formula (111), and the integral in each constituent region is obtained.
[Formula 139]

Where ρ is the density ρ of each point_iOne of (x, y, z, t) and ρ (x, y, z, t). The same is true when one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions are included. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0264]
In addition, the specific heat distribution S ′ with unknown node vector U ′ or V ′ is unknown._ij, S '_jIn the vector component, for example, when the target region is a three-dimensional region of interest, the specific heat distribution c_i(x, y, z, t) [c_i(I, J, K, j)], c (x, y, z, t) [c (I, J, K, j)] includes one or more discontinuous three-dimensional regions of unknown In this case, the first-order partial differential and the second-order partial differential in the time t (j) direction are added to the punishment term of the equation (112), and the integral in each constituent region is obtained.
[Formula 140]

Where c is the density c of each point_iOne of (x, y, z, t) and c (x, y, z, t).
The same is true when one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions are included. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0265]
Also, H of the thermal diffusivity distribution where the unknown node vector U 'or V' is unknown₀'_ij, H₀'_jIn the vector component, for example, when the target region is a three-dimensional region of interest, h of the thermal diffusivity distribution_0i(x, y, z, t) [h_0i(I, J, K, j)], h₀(x, y, z, t) [h₀When (I, J, K, j)] includes one or more discontinuous three-dimensional configuration regions whose unknowns are unknown, the punishment term of the equation (113) includes the deviation of the first floor in the direction of time t (j). Add the derivative and the partial differential of the second order, and find the integral in each constituent region.
[Formula 141]

However, h₀Is the thermal diffusivity h of each point_0i(x, y, z, t), h₀One of (x, y, z, t).
The same is true when one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions are included. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0266]
In addition, the distribution of the ratio of thermal conductivity and density with unknown node vector U 'or V' is unknown.₁'_ij, H₁'_jIn the vector component, for example, when the target region is a three-dimensional region of interest, h of the distribution of the ratio of thermal conductivity and density_1i(x, y, z, t) [h_1i(I, J, K, j)], h₁(x, y, z, t) [h₁When (I, J, K, j)] includes one or more discontinuous three-dimensional configuration regions whose unknowns are unknown, the punishment term of equation (114) includes the deviation of the first floor in the direction of time t (j). Add the derivative and the partial differential of the second order, and find the integral in each constituent region.
[Expression 142]

However, h₁Is the ratio of thermal conductivity and density at each point h_1i(x, y, z, t), h₁One of (x, y, z, t).
The same is true when one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions are included. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0267]
In addition, the distribution of the ratio between the thermal conductivity and the specific heat whose unknown node vector U ′ or V ′ is unknown is H₂'_ij, H₂'_jIn the vector component, for example, in the case of targeting a three-dimensional region of interest, h of the distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat_2i(x, y, z, t) [h_2i(I, J, K, j)], h₂(x, y, z, t) [h₂When (I, J, K, j)] includes one or more discontinuous three-dimensional configuration regions whose unknowns are unknown, the punishment term of (115) is included in the first-order deviation in the direction of time t (j) Add the derivative and the partial differential of the second order, and find the integral in each constituent region.
[Expression 143]

However, h₂Is the ratio of the thermal conductivity of each point to the specific heat h₂i (x, y, z, t), h₂One of (x, y, z, t).
The same is true when one or more discontinuous two-dimensional and one-dimensional constituent regions are included. The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0268]
When the functionals II (U ′) or II (V ′) in the equations (89) to (97) are approximated by finite elements, the penalties in the equations (125) to (133) are finite element approximations. Although the finite element approximation or the finite difference approximation is performed using the basis function introduced in the above, the functionals II (U ′) or II (V ′) of the equations (89) to (97) are finite. When the difference is approximated, the punishment terms of the expressions (125) to (133) are approximated by a finite difference.
[0269]
When the punishment term of the formulas (125) to (133) is approximated by a finite element, when the three-dimensional region of interest is targeted, the formulas (125) to (127) are appropriately referred to as the reference thermal conductivity ( Distribution 'k'_i(I, J, K, j), k '(I, J, K), k' (I, J, K), k '(I, J, K, j) are substituted, and Is the distribution data of the product of density and specific heat_i(I, J, K, j), ρc_i(I, J, K), ρc (I, J, K), ρc (I, J, K, j) are substituted, and ρ of the density distribution data is given in (129)._i(I, J, K, j), ρ_i(I, J, K), ρ (I, J, K), ρ (I, J, K, j) are substituted, and c in the specific heat distribution data is given in (130)._i(I, J, K, j), c_i(I, J, K), c (I, J, K), c (I, J, K, j) are substituted, and h ′ of the reference diffusion rate (distribution) is given in equation (131)._0i(I, J, K, j), h '_0i(I, J, K), h '₀(I, J, K), h '₀(I, J, K, j) is substituted, and h ′ of the distribution data of the ratio of the reference thermal conductivity and the density is expressed in the equation (132)_1i(I, J, K, j), h '_1i(I, J, K), h '₁(I, J, K), h '₁(I, J, K, j) is substituted, and in equation (133), h ′ of the distribution data of the ratio of the reference thermal conductivity and the specific heat_2i(I, J, K, j), h '_2i(I, J, K), h '₂(I, J, K), h '₂After (I, J, K, j) is substituted, the functional II (U ′) or II (V ′) in any one of the equations (92), (94), and (95) is appropriately selected. Added and minimized with respect to the unknown node vector U ′ or V ′. However, the unknown node vector U ′ is the U of the unknown node distribution when the entire region of interest is targeted._ijOr U_jThe unknown node vector V ′ is the V of the unknown node distribution in the constituent region in the region of interest._ijOr V_jIt is. In this case, the basis function φ_Threeρ_c, Φ_Threeρ, φ_3c, Φ_3k, Φ_3hMust be partially differentiable twice with respect to x, y, z and twice differentiable with respect to t.
[0270]
Further, when the punishment terms of the formulas (125) to (133) are approximated by a finite difference, when the three-dimensional region of interest is targeted, the formulas (125) to (127) (where α_1ij= 0), k ′ of the reference thermal conductivity (distribution)_i(I, J, K, j), k '_i(I, J, K), k ′ (I, J, K), k ′ (I, J, K, j) are substituted, and the expression (128) (where β_1ij= 0) is the distribution data of the product of density and specific heat._i(I, J, K, j), ρc_i(I, J, K), ρc (I, J, K), ρc (I, J, K, j) are substituted, and (129) Equation (χ_1ij= 0), the density distribution data ρ_i(I, J, K, j), ρ_i(I, J, K), ρ (I, J, K), ρ (I, J, K, j) are substituted, and the equation (130) (δ_1ij= 0), the specific heat distribution data c_i(I, J, K, j), c_i(I, J, K), c (I, J, K), c (I, J, K, j) are substituted, and the expression (131) (ε_1ij= 0), the reference diffusion rate (distribution) h '_0i(I, J, K, j), h '_0i(I, J, K), h '₀(I, J, K), h '₀(I, J, K, j) is substituted, and the expression (132) (γ_1ij= 0) is the distribution data of the ratio of the reference thermal conductivity and density h '_1i(I, J, K, j), h '_1i(I, J, K), h '₁(I, J, K), h '₁(I, J, K, j) is substituted, and the equation (133) (η_1ij= 0), h 'of the distribution data of the ratio of the reference thermal conductivity and the specific heat_2i(I, J, K, j), h '_2i(I, J, K), h '₂(I, J, K), h '₂After (I, J, K, j) is substituted, it is appropriately added to the functional II (U ′) or II (V ′) of the equations (92), (94), and (95), It is minimized with respect to the unknown node vector U ′ or V ′.
The same applies to the case of targeting two-dimensional and one-dimensional regions of interest.
[0271]
The following equations (134) to (11) relating to the unknown node vector U ′ or V ′ derived from the functional II (U ′) or II (V ′) (equation (92), equation (94), equation (95)): 136) by solving the regularized normal equation of the equation, the unknown node distribution U_ij, U_j, V_ij, V_jCan be obtained stably. The regularization parameter λ in the equations (134) to (136) of the normal equation_1ij, Λ₂ij, λ_3ij, Λ_4ij, Λ_5ijEach of the temperature distributions T in the punishment terms (125) to (133) used as appropriate._ijThe regularization parameter α that can be set for_1ij, Α_2ij, Α_3ij, Α_4ij, Α_5ijEach of β_1ij, Β_2ij, Β_3ij, Β_4ij, Β_5ijEach of χ_1ij, Χ_2ij, Χ_3ij, Χ_4ij, Χ_5ijEach of_1ij, Δ_2ij, Δ_3ij, Δ_4ij, Δ_5ijΕ_1ij, Ε_2ij, Ε_3ij, Ε_4ij, Ε_5ijEach of_1ij, Γ_2ij, Γ_3ij, Γ_4ij, Γ_5ijΗ_1ij, Η_2ij, Η_3ij, Η_4ij, Η_5ijEach (positive value) is expressed as a component relating to the corresponding punishment term component.
[0272]
That is, an unknown node vector X consisting of a time series of unknown node distributions for the entire region of interest of Equation (92)._ij= (U_i0 ^T, U_i1 ^T, ..., U_in ^T)^T(I = 1 to M) or an unknown node vector X consisting of a time series of unknown node distributions for the region of interest_ij= (V_i0 ^T, V_i1 ^T, ..., V_in ^T)^TFunctional II for (i = 1 to M)_i(X_ij) Is used to derive the unknown node vector X_ij(U) of the time series of unknown nodal distribution by solving the following regularized normal equation for_i0, U_i1, ..., U_in) Or (V_i0, V_i1, ..., V_in) Can be obtained stably.
[Expression 144]

However, the matrix E '_ijAnd vector e '_ij(i = 1 to M, j = 0 to n) is a matrix E ′ of the normal equation (98), respectively._ijAnd vector e '_ijAnd the matrix W_ij= λ_1ijI + λ_2ijG^TG + λ_3ijG^TGG^TG.
Matrix G^TG, G^TGG^TG, Gt^TGt, Gt^TGtGt^TEach Gt is an unknown node distribution (U_i0, U_i1, ..., U_in) Or unknown node distribution (V_i0, V_i1, ..., V_in), The Laplacian operator, the Laplacian square operator, the first-order partial differential operator in the direction of time t (j), and the finite element approximation or finite difference (discrete) approximation applied to each unknown node distribution Q ′ included in A second-order partial differential operator. Here, the unknown node distribution Q ′ is L ′ of the unknown node thermal conductivity distribution._ij, L_j'R' of nodal distribution of product of unknown density and specific heat_ij, R '_j, S 'of unknown node density distribution or unknown node specific heat distribution_ij, S '_j, H of unknown node thermal diffusivity distribution₀'_ij, H₀'_jH of the nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and density, which is unknown₁'_ij, H₁'_jH of the nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat, which is unknown₂'_ij, H₂'_jincluding.
[0273]
Also, an unknown node vector X consisting of a time series of unknown node distributions for the entire region of interest of the equation (94)._ij= (U_Ten ^T, U₁₁ ^T, ..., U_1n ^T, U₂₀ ^T, U_{twenty one} ^T, ..., U_2n ^T, ……, U_M0 ^T, U_M1 ^T, ..., U_Mn ^T)^T Or unknown node vector X consisting of a time series of unknown node distributions for the constituent regions in the region of interest_ij= (V_Ten ^T, V₁₁ ^T, ..., V_1n ^T, V₂₀ ^T, V_{twenty one} ^T, ..., V_2n ^T, ……, V_M0 ^T, V_M1 ^T, ..., V_Mn ^T)^TFunctional II_i(X_ij) Is used to derive the unknown node vector X_ijBy solving the following regularized normal equation for the time series of unknown nodal distribution (U_Ten, U₁₁, ..., U_1n, U₂₀, U_{twenty one}, ..., U_2n, ……, U_M0, U_M1, ..., U_Mn) Or (V_Ten, V₁₁, ..., V_1n, V₂₀, V_{twenty one}, ..., V_2n, ……, V_M0, V_M1, ..., V_Mn) Is stably obtained.
[Expression 145]

However, the matrix E '_ijAnd vector e '_ij(i = 1 to M, j = 0 to n) is a matrix E ′ of the normal equation (98), respectively._ijAnd vector e '_ijAnd the matrix W_ij= λ_1ijI + λ_2ijG^TG + λ_3ijG^TGG^TG.
Matrix G^TG, G^TGG^TG, Gt^TGt, Gt^TGtGt^TEach Gt is an unknown node distribution (U_Ten, U₁₁, ..., U_1n, U₂₀, U_{twenty one}, ..., U_2n, ……, U_M0, U_M1, ..., U_Mn) Or unknown node distribution (V_Ten, V₁₁, ..., V_1n, V₂₀, V_{twenty one}, ..., V_2n, ……, V_M0, V_M1, ..., V_Mn), The Laplacian operator, the Laplacian square operator, the first-order partial differential operator in the direction of time t (j), and the finite element approximation or finite difference (discrete) approximation applied to each unknown node distribution Q ′ included in A second-order partial differential operator. Here, the unknown node distribution Q ′ is L ′ of the unknown node thermal conductivity distribution._ij, L_j'R' of nodal distribution of product of unknown density and specific heat_ij, R '_j, S 'of unknown node density distribution or unknown node specific heat distribution_ij, S '_j, H of unknown node thermal diffusivity distribution₀'_ij, H₀'_jH of the nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and density, which is unknown₁'_ij, H₁'_jH of the nodal distribution of the ratio of thermal conductivity and specific heat, which is unknown₂'_ij, H₂'_jincluding.
[0274]
Also, an unknown node vector X consisting of a time series of unknown node distributions for the entire region of interest of equation (95)._j= (U₀ ^T, U₁ ^T, ..., U_n ^T)^T Or unknown node vector X consisting of a time series of unknown node distributions for the constituent regions in the region of interest_j= (V₀ ^T, V₁ ^T, ..., V_n ^T)^TFunctional II_i(X_j) Is used to derive the unknown node vector X_jBy solving the following regularized normal equation for the time series of unknown nodal distribution (U₀, U₁, ..., U_n) Or (V₀, V₁, ..., V_n) Is stably obtained.
146

Matrix G^TG, G^TGG^TG, Gt^TGt, Gt^TGtGt^TEach Gt is an unknown node distribution (U₀, U₁, ..., U_n) Or unknown node distribution (V₀, V₁, ..., V_n) Including the Laplacian operator, Laplacian square operator, first-order partial differential operator applied in the time t (j) direction, and finite element approximation or finite difference (discrete) approximation applied to each unknown node distribution Q ′ included in A second-order partial differential operator.
[0275]
From this, L of unknown thermal conductivity distribution in the region of interest_ij(If a 3D region of interest is targeted, k_i(x, y, z, t)), L_i[k_i(x, y, z)], L [k (x, y, z)], L_j[k (x, y, z, t)], unknown distribution of product of density and specific heat R_ij[ρc_i(x, y, z, t)], R_i[ρc_i(x, y, z)], R [ρc (x, y, z)], R_j[ρc (x, y, z, t)], S of unknown specific heat distribution_ij[c_i(x, y, z, t)], S_i[c_i(x, y, z)], S [c (x, y, z)], S_j[c (x, y, z, t)], S of unknown density distribution_ij[ρ_i(x, y, z, t)], S_i[ρ_i(x, y, z)], S [ρ (x, y, z)], S_j[ρ (x, y, z, t)], H of unknown thermal diffusivity distribution_0ij[h_0i(x, y, z, t)], H_0i[h_0i(x, y, z)], H₀[h₀(x, y, z)], H_0j[h₀(x, y, z, t)], the unknown distribution of the ratio of thermal conductivity to density H_1ij[h_1i(x, y, z, t)], H_1i[h_1i(x, y, z)], H₁[h₁(x, y, z)], H_1j[h₁(x, y, z, t)], unknown distribution of thermal conductivity and specific heat ratio H_2ij[h_2i(x, y, z, t)], H_2i[h_2i(x, y, z)], H₂[h₂(x, y, z)], H_2j[h₂(x, y, z, t)] can be estimated. When the finite element approximation is performed, the basis function is used. The same applies to the case of a two-dimensional and one-dimensional region of interest.
[0276]
Regularization parameter λ in regularized equations (116) to (124) and (134) to (136)_1ij, Λ_2ij, Λ_3ij, Λ_4ij, Λ_5ijIs the same as the regularized normal equation (19) shown in the first basic principle, but the unknown node vector U ′ for the entire region of interest or each component region in the region of interest is targeted. The matrix for the unknown node vector V ′ is the temperature data T_ijIs adjusted to a large value so as to be a positive definite value in numerical analysis. Alternatively, the regularization parameter λ_1ij, Λ_2ij, Λ_3ij, Λ_4ij, Λ_5ijA regularization parameter α that determines each of_1ij, Α_2ij, Α_3ij, Α_4ij, Α_5ijEach of β_1ij, Β_2ij, Β_3ij, Β_4ij, Β_5ijEach of χ_1ij, Χ_2ij, Χ_3ij, Χ_4ij, Χ_5ijEach of_1ij, Δ_2ij, Δ_3ij, Δ_4ij, Δ_5ijΕ_1ij, Ε_2ij, Ε_3ij, Ε_4ij, Ε_5ijEach of_1ij, Γ_2ij, Γ_3ij, Γ_4ij, Γ_5ijΗ_1ij, Η_2ij, Η_3ij, Η_4ij, Η_5ijIs the temperature data T in each integration region (each component region) of each punishment term in the equations (107) to (115) or (125) to (133)._ijIs adjusted according to the accuracy (S / N ratio) of temperature spatiotemporal partial differential distribution data (first partial differential distribution data in the time direction of temperature, temperature gradient vector distribution data, divergence distribution data of temperature gradient vector) evaluated for The
[0277]
Specifically, the unknown node distribution R ′ included in the unknown node vector U ′ or V ′._ij, R '_i, R ', R'_jThe regularization parameter according to is based on the accuracy (S / N ratio) of the first-order partial differential distribution data in the time direction of the temperature in each integration region of each punishment term,
In addition, S ′ included in the unknown node vector U ′ or V ′_ij, S '_i, S ', S'_jThe regularization parameter is adjusted by the accuracy (SN ratio) of the product distribution of the partial differential data of the first order of the temperature in the time direction and the given density data or specific heat data in each integration region of each punishment term. The
[0278]
Further, the functional II of the equations (89) to (97) included in the unknown node vector U ′ or V ′_ijFunctionals I of (49) to (71) in (U ′)_ij(·) Or functional I in formulas (77) to (88)_ijL 'of unknown node distribution derived from any of (・)_ij, L '_i, L ', L'_j, H₀'_ij, H₀'_i, H₀', H₀'_j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jThe regularization parameter according to is the temperature gradient vector distribution data in each integration region of each punishment term and the unknown thermal conductivity k or thermal diffusivity h.₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio h of thermal conductivity and specific heat₂It is adjusted by the accuracy (SN ratio) of the inner product distribution data with respect to the gradient operator and the divergence distribution data of the temperature gradient vector.
[0279]
Further, the functional II of the equations (89) to (97) included in the unknown node vector U ′ or V ′_ijFunctionals I of (72) to (75) in (U ′)_ijL 'of unknown node distribution derived from any of (・)_ij, L '_i, L ', L'_j, H₀'_ij, H₀'_i, H₀', H₀'_j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jThe regularization parameter is adjusted by the accuracy (SN ratio) of the temperature gradient vector distribution data in each integration region of each punishment term.
[0280]
That is, it is adjusted to be small when the SN ratio is high and large when the SN ratio is low.
For example, the unknown node distribution R ′ included in the unknown node vector U ′ or V ′_ij, R '_i, R ', R'_jThe regularization parameter according to may be a value inversely proportional to the SN power ratio of the first-order partial differential distribution data in the time direction of the temperature in each integration region of each punishment term.
[0281]
In addition, S ′ included in the unknown node vector U ′ or V ′_ij, S '_i, S ', S'_jThe regularization parameter is a value inversely proportional to the SN power ratio of the product distribution of the first-order partial differential data in the time direction of the temperature in each integration region of each punishment term and the given density data or specific heat data. There are things to do.
[0282]
Further, the functional II of the equations (89) to (97) included in the unknown node vector U ′ or V ′_ijFunctionals I of (49) to (71) in (U ′)_ij(·) Or functional I in formulas (77) to (88)_ijL 'of unknown node distribution derived from any of (・)_ij, L '_i, L ', L'_j, H₀'_ij, H₀'_i, H₀', H₀'_j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jThe regularization parameter according to is the temperature gradient vector distribution data in each integration region of each punishment term and the unknown thermal conductivity k or thermal diffusivity h.₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio h of thermal conductivity and specific heat₂The value may be inversely proportional to the SN power ratio between the distribution data of the inner product with the gradient operator and the divergence distribution data of the temperature gradient vector.
[0283]
Further, the functional II of the equations (89) to (97) included in the unknown node vector U ′ or V ′_ijL ′ of the unknown nodal distribution derived from any of the functionals Iij (·) of the equations (72) to (75) in (U ′)_ij, L '_i, L ', L'_j, H₀'_ij, H₀'_i, H₀', H₀'_j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jThe regularization parameter according to may be a value inversely proportional to the SN power ratio of the temperature gradient vector distribution data in each integration region of each punishment term.
Note that the SN ratio of each temperature spatiotemporal partial differential distribution data and each temperature spatiotemporal gradient vector distribution data (distribution of vectors consisting of the first-order partial differential component in the time direction and the gradient vector component in the spatial direction in each temperature distribution) is Depends on the space-time interval of the measured temperature distribution time-series data and the temperature distribution itself (that is, the temperature-space-space gradient direction, the magnitude of the temperature-space-space gradient component), and the measured temperature distribution time-series Since the SN ratio of the data may depend on the direction of the sensor opening, the SN ratio of the component distribution of each temperature spatiotemporal gradient vector distribution differs for each component distribution.
[0284]
Therefore, the regularization parameter α_2ij, Α_3ij, Α_4ij, Α_5ijEach of β_2ij, Β_3ij, Β_4ij, Β_5ijEach of χ_2ij, Χ_3ij, Χ_4ij, Χ_5ijEach of_2ij, Δ_3ij, Δ_4ij, Δ_5ijΕ_2ij, Ε_3ij, Ε_4ij, Ε_5ijEach of_2ij, Γ_3ij, Γ_4ij, Γ_5ijΗ_2ij, Η_3ij, Η_4ij, Η_5ijMay be realized depending on the spatio-temporal direction of the partial differentiation of each of the punishment term components of the expressions (107) to (115) or (125) to (133). That is, the component having a high SN ratio depends on the SN ratio of the component distribution of the temperature spatiotemporal gradient vector distribution evaluated for each temperature data Tij in each integration region (each component region) of each punishment term. It may be adjusted so as to be small in the spatio-temporal direction and large in the spatio-temporal direction of a component having a low SN ratio.
[0285]
Specifically, the regularization parameter β_2ijAnd β_3ijIs adjusted by the accuracy (S / N ratio) of the spatial distribution data of the amount of change between Δx, Δy, Δz in each space I, J, K direction of the first-order partial differential of temperature in the time t direction, and the regularization parameter χ_2ijAnd χ_3ijIs the accuracy of the spatial distribution data of the amount of change between Δx, Δy and Δz in each space I, J, K direction of the product of the first-order partial differential data in the time j direction of temperature and the given specific heat data (SN ratio) And the regularization parameter δ_2ijAnd δ_3ijIs the accuracy (SN ratio) of the spatial distribution data of the amount of change between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, K direction of the product of the first-order partial differential data in the time j direction of temperature and the given density data Adjusted by. The regularization parameter β_4ijAnd β_5ij, Χ_4ijAnd χ_5ij, Δ_4ijAnd δ_5ijIs adjusted by the accuracy (SN ratio) of the spatial distribution data of the amount of change between Δt in the time j direction of the first-order partial differentiation of the temperature in the time t direction.
[0286]
The regularization parameter α_2ijAnd α_3ij, Ε_2ijAnd ε_3ij, Γ_2ijAnd γ_3ij, Η_2ijAnd η_3ijIs the functional Iij (•), when the equations (49) to (71) or (77) to (88) are used, the components of the temperature gradient vector and unknowns in the same direction as the components Thermal conductivity k or thermal diffusivity h₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio of thermal conductivity to specific heat h₂Is adjusted by the accuracy (S / N ratio) of the spatial distribution data of the first-order partial differential in the same direction of the same component of the spatial gradient data of the product of the first-order partial differential operator and the temperature gradient vector, or the temperature gradient vector Unknown thermal conductivity k or thermal diffusivity h₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio of thermal conductivity to specific heat h₂Spatial distribution data of the amount of change between Δx, Δy, and Δz in the inner space of the first-order partial differential operator and Δx in each space I, J, and K direction of the temperature gradient vector , Δy, Δz, the amount of change is adjusted by the accuracy (SN ratio) of the spatial distribution data. Further, when the equations (72) to (75) are used as the functional Iij (•), they are adjusted according to the accuracy (SN ratio) of each component distribution data of the temperature gradient vector, or the temperature gradient vector Is adjusted by the accuracy (S / N ratio) of the spatial distribution data of the amount of change between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, K direction.
[0287]
The regularization parameter α_4ijAnd α_5ij, Ε_4ijAnd ε_5ij, Γ_4ijAnd γ_5ij, Η_4ijAnd η_5ijIs the functional gradient Iij (•), when the equations (49) to (71) or (77) to (88) are used, the temperature gradient vector and the unknown thermal conductivity k or the heat Diffusion rate h₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio of thermal conductivity to specific heat h₂Is adjusted by the accuracy (SN ratio) of the spatial distribution data of the amount of change between Δt in the time j direction of the inner product with the gradient operator and the amount of change in the spatial distribution data of Δt in the time j direction of divergence of the temperature gradient vector. The When the equations (72) to (75) are used as the functional Iij (•), the accuracy of the spatial distribution data of the amount of change in Δt in the time j direction of the magnitude of the temperature gradient vector (SN ratio) ).
[0288]
For example, the value may be inversely proportional to the SN power ratio evaluated in each integration region (each component region) of each punishment term.
In this case, the values of these regularization parameters are adjusted so that, for example, the value is small when the data interval in each spatio-temporal direction is long, and is large when the data interval is short ( For example, a value inversely proportional to the square of the data interval). Therefore, the values of these regularization parameters are the components of the SNR and temperature spatiotemporal gradient vector of the temperature spatiotemporal partial distribution evaluated for each temperature data Tij in each integration region (each component region). It may be set to be proportional to the value of the product calculated after weighting importance to each value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the distribution.
[0289]
Regarding the measurement of the accuracy (SN ratio) of temperature time-series measurement data, the temperature distribution is repeated multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. The SN power ratio is evaluated from the ratio of the square of the average value of each measured temperature distribution data and the variance value of each measured temperature distribution data. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. The SN ratio may be evaluated for the object itself or for the black body. When finite element approximation is performed, the SN ratio of the temperature spatiotemporal partial differential distribution in the integration region is estimated from the temperature spatiotemporal partial differential data of the nodes (I, J, K) of each element.
[0290]
The regularization parameter λ_1ij, Λ_2ij, Λ_3ij, Λ_4ij, Λ_5ijA regularization parameter α that determines each of_1ij, Α_2ij, Α_3ij, Α_4ij, Α_5ijEach of β_1ij, Β_2ij, Β_3ij, Β_4ij, Β_5ijEach of χ_1ij, Χ_2ij, Χ_3ij, Χ_4ij, Χ_5ijEach of_1ij, Δ_2ij, Δ_3ij, Δ_4ij, Δ_5ijΕ_1ij, Ε_2ij, Ε_3ij, Ε_4ij, Ε_5ijEach of_1ij, Γ_2ij, Γ_3ij, Γ_4ij, Γ_5ijΗ_1ij, Η_2ij, Η_3ij, Η_4ij, Η_5ijEach value of is realized as a spatial variation within the integration region (configuration region) of each punishment term from Equations (107) to (115) or (125) to (133). Sometimes. As a result, these regularization parameters are such that the local matrix for the unknown physical property values of the points of interest constituting the unknown node distribution U ′ or V ′ is numerically definite for each temperature data Tij. To a large value. Alternatively, the regularization parameter λ_1ij, Λ_2ij, Λ_3ij, Λ_4ij, Λ_5ijA regularization parameter α that determines each of_1ij, Α_2ij, Α_3ij, Α_4ij, Α_5ijEach of β_1ij, Β_2ij, Β_3ij, Β_4ij, Β_5ijEach of χ_1ij, Χ_2ij, Χ_3ij, Χ_4ij, Χ_5ijEach of_1ij, Δ_2ij, Δ_3ij, Δ_4ij, Δ_5ijΕ_1ij, Ε_2ij, Ε_3ij, Ε_4ij, Ε_5ijEach of_1ij, Γ_2ij, Γ_3ij, Γ_4ij, Γ_5ijΗ_1ij, Η_2ij, Η_3ij, Η_4ij, Η_5ijAre respectively temperature data T of each point of interest in each integration region (each component region) of each punishment term in the equations (107) to (115) or (125) to (133)._ijOf temperature spatiotemporal partial differential data depending on the magnitude of temperature spatiotemporal partial differential data (first partial differential data in the time direction of temperature, temperature gradient vector data, divergence data of temperature gradient vector) evaluated for It is adjusted by accuracy (S / N ratio).
[0291]
Specifically, the unknown node distribution R ′ included in the unknown node vector U ′ or V ′._ij, R '_i, R ', R'_jThe regularization parameter is adjusted by the accuracy (S / N ratio) of the partial differential data of the first order in the time direction of the temperature of the point of interest.
[0292]
In addition, S ′ included in the unknown node vector U ′ or V ′_ij, S '_i, S ', S'_jThe regularization parameter is adjusted by the accuracy (S / N ratio) of the product of the first-order partial differential data in the time direction of the temperature of the point of interest and the given density data or specific heat data.
[0293]
Further, the functional II of the equations (89) to (97) included in the unknown node vector U ′ or V ′_ijFunctionals I of (49) to (71) in (U ′)_ijL ′ of the unknown nodal distribution derived from one of the functionals Iij (·) in the expressions (·) and (77) to (88)_ij, L '_i, L ', L'_j, H₀'_ij, H₀'_i, H₀', H₀'_j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jThe regularization parameters for the are: temperature gradient vector data of the point of interest and unknown thermal conductivity k or thermal diffusivity h₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio h of thermal conductivity and specific heat₂Is adjusted by the accuracy (SN ratio) of the inner product data of the gradient operator and the divergence data of the temperature gradient vector.
[0294]
Further, the functional II of the equations (89) to (97) included in the unknown node vector U ′ or V ′_ijFunctionals I of (72) to (75) in (U ′)_ijL 'of unknown node distribution derived from any of (・)_ij, L '_i, L ', L'_j, H₀'_ij, H₀'_i, H₀', H₀'_j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jThe regularization parameter is adjusted according to the accuracy (S / N ratio) of the temperature gradient vector data of the point of interest.
As a result, it is adjusted so that it is small when the SN ratio is high and large when the SN ratio is low.
[0295]
For example, the unknown node distribution R ′ included in the unknown node vector U ′ or V ′_ij, R '_i, R ', R'_jThe regularization parameter may be a value that is inversely proportional to the SN power ratio of the first-order partial differential data in the time direction of the temperature of the point of interest.
[0296]
In addition, S ′ included in the unknown node vector U ′ or V ′_ij, S '_i, S ', S'_jThe regularization parameter may be a value that is inversely proportional to the SN power ratio of the product of the first-order partial differential data in the time direction of the temperature of the point of interest and the given density data or specific heat data.
[0297]
Further, the functional II of the equations (89) to (97) included in the unknown node vector U ′ or V ′_ijFunctionals I of (49) to (71) in (U ′)_ijFunctionals I of (.) And (77) to (88)_ijL 'of unknown node distribution derived from any of (・)_ij, L '_i, L ', L'_j, H₀'_ij, H₀'_i, H₀', H₀'_j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jThe regularization parameters for the are: temperature gradient vector data of the point of interest and unknown thermal conductivity k or thermal diffusivity h₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio h of thermal conductivity and specific heat₂May be a value inversely proportional to the SN power ratio between the inner product data of the gradient operator and the divergence data of the temperature gradient vector.
[0298]
Further, the functional II of the equations (89) to (97) included in the unknown node vector U ′ or V ′_ijFunctionals I of (72) to (75) in (U ′)_ijL 'of unknown node distribution derived from any of (・)_ij, L '_i, L ', L'_j, H₀'_ij, H₀'_i, H₀', H₀'_j, H₁'_ij, H₁'_i, H₁', H₁'_j, H₂'_ij, H₂'_i, H₂', H₂'_jThe regularization parameter may be a value inversely proportional to the SN power ratio of the temperature gradient vector data of the point of interest.
[0299]
The SN ratio of each temperature spatiotemporal partial differential and each temperature spatiotemporal gradient vector (a vector composed of a first partial differential component in the time direction and a gradient vector component in the spatial direction in each temperature distribution) is the measured temperature distribution. Depends on the space-time interval of the time-series data and the temperature distribution itself (that is, the temperature space-time gradient direction, the magnitude of the temperature space-time gradient component), and the SN ratio of the time-series data of the measured temperature distribution is the sensor. May depend on the direction of the opening. Therefore, at each point of interest of each temperature spatiotemporal gradient vector distribution, the SN ratio of the component of the temperature spatiotemporal gradient vector differs for each component, and the regularization parameter α_2ij, Α_3ij, Α_4ij, Α_5ijEach of β_2ij, Β_3ij, Β_4ij, Β_5ijEach of χ_2ij, Χ_3ij, Χ_4ij, Χ_5ijEach of_2ij, Δ_3ij, Δ_4ij, Δ_5ijΕ_2ij, Ε_3ij, Ε_4ij, Ε_5ijEach of_2ij, Γ_3ij, Γ_4ij, Γ_5ijΗ_2ij, Η_3ij, Η_4ij, Η_5ijIs realized not only as a position but also as a thing that changes according to the spatio-temporal direction of each partial derivative of the punishment term component of the expressions (107) to (115) or (125) to (133). There is. That is, the value of each of these regularization parameters depends on the SN ratio of the component of the temperature spatiotemporal gradient vector of the point of interest of the temperature spatiotemporal gradient vector distribution evaluated for each temperature data Tij. May be adjusted to be small in the spatio-temporal direction of a high component and large in the spatio-temporal direction of a component having a low S / N ratio.
[0300]
Specifically, the regularization parameter β_2ijAnd β_3ijIs adjusted by the accuracy (SN ratio) of variation data between Δx, Δy, and Δz in the first-order partial differentials in the time t direction of the temperature of the point of interest in the directions I, J, and K, and the regularization parameter χ_2ijAnd χ_3ijIs the accuracy (SN ratio) of the variation data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, and K directions of the product of the first-order partial differential data in the time j direction and the given specific heat data of the temperature of the point of interest And the regularization parameter δ_2ijAnd δ_3ijIs the accuracy (SN ratio) of the variation data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, and K directions of the product of the first-order partial differential data in the time j direction and the given density data of the temperature of the point of interest Adjusted by. The regularization parameter β_4ijAnd β_5ij, Χ_4ijAnd χ_5ij, Δ_4ijAnd δ_5ijIs adjusted by the accuracy (SN ratio) of change amount data between Δt in the time j direction of the first-order partial differentiation of the temperature of the point of interest in the time t direction.
[0301]
The regularization parameter α_2ijAnd α_3ij, Ε_2ijAnd ε_3ij, Γ_2ijAnd γ_3ij, Η_2ijAnd η_3ijIs the same direction as each component of the temperature gradient vector of the point of interest and the component when the equations (49) to (71) or (77) to (88) are used as the functional Iij (·) Unknown thermal conductivity k or thermal diffusivity h₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio of thermal conductivity to specific heat h₂Is adjusted by the accuracy (SN ratio) of the first partial differential data in the same direction of the same component of the data of the product of the first partial differential operator and the temperature gradient vector of the point of interest, or the temperature gradient of the point of interest Vector and unknown thermal conductivity k or thermal diffusivity h₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio of thermal conductivity to specific heat h₂Δx in each space I, J, K direction of the divergence of Δx, Δy, Δz of the inner product with the first-order partial differential operator for each , Δy, Δz, the amount of change is adjusted according to the accuracy (SN ratio). Further, when the equations (72) to (75) are used as the functional Iij (•), they are adjusted depending on the accuracy (S / N ratio) of each component data of the temperature gradient vector of the point of interest, or The temperature gradient vector of the point is adjusted by the accuracy (SN ratio) of the variation data between Δx, Δy, and Δz in each space I, J, and K directions.
[0302]
The regularization parameter α_4ijAnd α_5ij, Ε_4ijAnd ε_5ij, Γ_4ijAnd γ_5ij, Η_4ijAnd η_5ijIs the functional gradient Iij (·), when the equations (49) to (71) or (77) to (88) are used, the temperature gradient vector of the point of interest and the unknown thermal conductivity k, Or thermal diffusivity h₀Or the ratio of thermal conductivity to density h₁Or the ratio of thermal conductivity to specific heat h₂Is adjusted by the accuracy (SN ratio) of the variation data between Δt in the time j direction of the inner product with the gradient operator and Δt in the time j direction of the divergence of the temperature gradient vector of the point of interest. When the equations (72) to (75) are used as the functional Iij (•), the accuracy (SN ratio) of the variation data between Δt in the time j direction of the magnitude of the temperature gradient vector of the point of interest. ).
[0303]
For example, the value may be inversely proportional to the SN power ratio evaluated at each position in each integration region (each component region) of each punishment term. In this case, the values of these regularization parameters are adjusted so that, for example, the value is small when the data interval in each spatio-temporal direction is long, and is large when the data interval is short ( For example, a value inversely proportional to the square of the data interval). Therefore, each value of these regularization parameters is important for each value evaluated by each factor that determines the SN ratio of the temperature spatiotemporal partial derivative evaluated for each temperature data Tij and the SN ratio of each component. It is set to be proportional to the value of the product calculated after weighting.
[0304]
Regarding the measurement of the accuracy (SN ratio) of temperature time-series measurement data, the temperature distribution is repeated multiple times for a black body with a flat surface and constant temperature in order to evaluate the measurement accuracy of the measuring instrument. The SN power ratio is evaluated from the ratio of the square of the average value of each measured temperature data and the dispersion value of each measured temperature data at each position. Alternatively, in order to evaluate the measurement accuracy including the measuring instrument and the measurement system, the measurement system is the same as the measurement system used to measure the true measurement object, or the measurement system is realized and the measurement is performed in the same manner. The SN ratio may be evaluated for the object itself or for the black body. SN ratio of temperature spatiotemporal partial differential data of each node (I, J, K), or SN ratio of temperature spatiotemporal partial differential in each element evaluated from the SN ratio of temperature spatiotemporal partial differential of each node Is estimated.
[0305]
(II) Or, based on the first and second basic principles, the unknown parameters in the first-order spatial partial differential equations (41), (43), (45), and (47) Unlike the case of (I), the spectrum is handled, and each unknown parameter may be evaluated stably by regularizing not only in the spatio-temporal direction but also in the frequency direction.
[0306]
For example, the thermal conductivity k in the three-dimensional composition region_i(x, y, z, t) and the product of density and specific heat ρc_iWhen the spatial distribution of the frequency dispersion (spectrum frequency distribution and phase frequency distribution) of (x, y, z, t) is to be measured, the spatial coordinates (x, y, z, I, J, K) ) Only as variables, and the time series k i (x, y, z, t) of the thermal conductivity spatial distribution is the time series k of the thermal conductivity spatial distribution._i(x, y, z, j) (~ Σ_{I, J, K}φ_3k(I, J, K, x, y, z) ki (I, J, K, j)) at each position, spectrum distribution obtained by Fast Fourier's Transform [and Maximum Entropy Method (MEM)] etc. in time j direction (Or short time spectrum distribution) of each frequency l component magnitude ki (x, y, z, l) and phase θ_ki(x, y, z, l), that is, the real component of the spectrum of each frequency l at each position (ki (x, y, z, l) cosθ_ki(x, y, z, l)) and imaginary components (ki (x, y, z, l) sinθ_ki(x, y, z, l)) is expressed as follows.
[Expression 147]

Here, the bold letter j represents an imaginary unit, and i (= 1 to M) is a time series T of the measured independent temperature space distribution._irepresents (x, y, z, t). M is the number of time series of the measured independent temperature space distribution (1 or more), l (= 0 to n) is a discrete frequency coordinate, and the frequency f is f = using the frequency data interval Δf. The relationship is lΔf.
[0307]
Also, the time series ρci (x, y, z, t) of the spatial distribution of the product of density and specific heat is the time series ρc of the spatial distribution of the product of density and specific heat._i(x, y, z, j) (~ Σ_{I, J, K}φ_Threeρ_c(I, J, K, x, y, z) ρci (I, J, K, j)) is obtained at each position by Fast Fourier's Transform [and Maximum Entropy Method (MEM)] etc. in time j direction The size ρci (x, y, z, l) and phase θρ of each frequency l component of (short-time spectrum distribution)_ci(x, y, z, l), that is, the real component of the spectrum of each frequency l at each position (ρci (x, y, z, l) cosθρ_ci(x, y, z, l)) and imaginary component (ρci (x, y, z, l) sinθρ_ci(x, y, z, l)) is expressed as follows.
[Formula 148]

Here, the bold letter j represents an imaginary unit.
[0308]
It is assumed that the first-order spatial partial differential equation (41) is expressed as follows.
149

In that case, the following first-order simultaneous spatial partial differential equations are established at each frequency l.
[Expression 150]

[0309]
Therefore, the equations (137 ′) and (137 ″) of the first-order simultaneous partial differential equations are expressed as the time series i (= 1 to M), the finite element approximation (based on the variational principle or the Galerkin method) can be performed as in the case of handling each time j (= 0 to n).
[0310]
In that case, using each of the above basis functions, the time series T of the temperature space distribution_i(x, y, z, t) is the time series T of the nodal temperature space distribution_iUsing (I, J, K, j), the time series dT / dt (x, y, z, t) of the first-order partial differential spatial distribution in the time direction of temperature is expressed as 1 in the time direction of temperature. Using the time series dT / dt (I, J, K, j) of the nodal spatial distribution of the partial differential of the floor and D of the spatial distribution of the temperature gradient vector component_ix(x, y, z, t) and D_iy(x, y, z, t) and D_izEach of (x, y, z, t) is the time series D of the spatial distribution of the nodal temperature gradient vector components_ix(I, J, K, j) and D_iy(I, J, K, j) and D_izUsing (I, J, K, j) and deriving from one of the functionals above after approximating the time series of the divergence of the temperature gradient vector using the time series of the nodal spatial distribution To the algebraic equation, the nodal temperature space distribution data T subjected to the low-pass filter at each time j (= 0 to n) of each time series i (= 1 to M)._i(I, J, K, j), first-order partial differential nodal space distribution data dT / dt (I, J, K, j) in the time direction of the low-pass filtered temperature, low-pass D of spatial distribution data of nodal temperature gradient vector components filtered by type filter_ix(I, J, K, j) and D_iy(I, J, K, j) and D_izSubstituting (I, J, K, j) and the nodal space distribution data of the divergence of the low-pass filtered temperature gradient vector. Alternatively, in the case of performing finite difference approximation, the node space distribution data is substituted into a finite difference equation that is derived after representing the time series of each spatial distribution as the time series of the node space distribution.
[0311]
Furthermore, the real component nodal space distribution data and the imaginary component nodal space distribution data (thermal conductivity time series frequencies l ( = 0 to n) k of the nodal space distribution data of the real component of the spectrum_i(I, J, K, l) cosθ_ki(I, J, K, l) and k of node space distribution data of imaginary component_i(I, J, K, l) sinθ_ki(I, J, K, l) and ρc of the nodal space distribution data of the real component of each frequency l (= 0 to n) of the time-series spectrum of the product of density and specific heat_i(I, J, K, l) cosθρci (I, J, K, l) and ρc of nodal space distribution data of imaginary components_i(I, J, K, l) sinθρc_iSubstituting (I, J, K, l)) for each wave number l (= 0 to n) at each time j (= 0 to n) of each time series i (= 1 to M). K-space distribution of real components of time series spectrum of conductivity_i(I, J, K, l) cosθ_ki(I, J, K, l) and nodal space distribution of imaginary components ki (I, J, K, l) sinθ_ki(I, J, K, l) and the nodal space distribution ρc of the real component of the spectrum of the product of density and specific heat_i(I, J, K, l) cosθρ_ci(I, J, K, l) and the nodal space distribution ρc of the imaginary component of the spectrum_i(I, J, K, l) sinθρ_ciTwo (76) equations of the algebraic equation regarding (I, J, K, l) are obtained.
[0312]
In this way, even when any one of the first-order spatial partial differential equations (41), (43), (45), and (47) is used, the physical property parameters to be measured are similarly measured. Is approximated using a basis function having only the spectrum of the nodal spatial distribution and the spatial coordinates as variables in the frequency domain, and the algebraic equation (76) is derived. Hereinafter, when these algebraic equations are coupled and regularized, they are normalized by Pij as described above.
[0313]
(A) Two algebraic equations derived at each frequency l (= 0 to n) of each time j (= 0 to n) of each time series i (= 1 to M) are each one or more It may be solved for each of the spatial distribution of the real component and the imaginary component of the frequency l of the unknown parameter (Equation (76) or (98) of the normal equation).
[0314]
(B) Two algebraic equations derived at different time series i (= 1 to M) and different time j (= 0 to n) are respectively real components of frequency 1 of one or more unknown parameters. The spatial distribution of the real number component and the spatial distribution of the imaginary number component are simultaneous, and the spatial distribution of the real number component and the spatial distribution of the imaginary number component of all unknown parameters may be solved (Equation (99) of the normal equation) (106)).
[0315]
(C) Two algebraic equations derived at different time series i (= 1 to M) and different time j (= 0 to n) are respectively real components of frequency 1 of one or more unknown parameters. In order to stabilize each of the spatial distribution of the real component and the imaginary component of each frequency l of all unknown parameters in order to spatially stabilize each of the real distribution and the imaginary distribution May be subjected to regularization using the punishment terms of the equations (107) to (115) (Equation (116) to (124 of the normal equation). )formula). In this case, the regularization parameters relating to the spatial distribution of the real component and the imaginary component of each frequency l of each unknown parameter are 1 in the equations (41), (43), (45), and (47). The physical quantity of each unknown parameter in the spatial partial differential equation of the floor (for example, if the unknown parameter is the density ρ as described above, the product dT / dt of the partial differential of the first floor in the time direction of the specific heat c and temperature) If the unknown parameter is thermal conductivity, it is determined so as to be inversely proportional to the SN power ratio in time used in the component region of the frequency l component of the temperature gradient vector and the divergence of the temperature gradient vector. Sometimes. Note that the regularization parameter may be treated as dependent on time and position.
[0316]
(D) Similarly, two algebraic equations derived at different time series i (= 1 to M) and different times j (= 0 to n) are respectively represented by frequencies l of one or more unknown parameters. In order to stabilize each of the spatial distribution of the real component and the imaginary component of each frequency l of all the unknown parameters in the time direction, these real numbers are simultaneous with respect to the spatial distribution of the real component and the imaginary component. Each of the simultaneous equations related to the spatial distribution of the components and the spatial distribution of the imaginary component may be regularized using the punishment terms of the equations (125) to (133) (the equations (134) to ( 136) Formula). In this case, the regularization parameters relating to the spatial distribution of the real component and the imaginary component of each frequency l of each unknown parameter are 1 in the equations (41), (43), (45), and (47). It may be determined to be inversely proportional to the SN power ratio in time used in the component region of the frequency l component of such a physical quantity of each unknown parameter in the spatial partial differential equation of the floor. Note that the regularization parameter may be treated as dependent on time and position.
[0317]
(E) At any one time j in any time series i, the algebraic equations for each of the spatial distribution of the real component and the spatial distribution of the imaginary component of each frequency l of one or more unknown parameters to be derived are In order to stabilize each of the real number component distribution and the imaginary number component distribution of the spectrum of all unknown parameters at each position in the frequency direction after being simultaneous with respect to the frequency (l = 0 to n), the equations (107) to (115) Similar to the punishment terms of the equations (125) to (133), the first-order partial differential and the second-order partial differential (each of the frequency components of the real and imaginary component distributions of the spectrum of each unknown parameter) Regularization using a punishment term defined as the sum of integrals in the component domain). The regularization parameters relating to the spatial distribution of the real component and the imaginary component of each frequency l of each unknown parameter are the first floors of the equations (41), (43), (45), and (47). May be determined so as to be inversely proportional to the SN power ratio of each frequency l of the physical quantity of each unknown parameter. Note that regularization parameters may be treated as position and time dependent.
[0318]
Further, similarly to the above (C) and (D), in order to stabilize the spatial distribution of one or more unknown parameters spatially and in the time direction, different time series (i = 1 to 1). M) and the algebraic equations relating to the spatial distribution of the real component and the imaginary component of each frequency l of all unknown parameters derived at time j (= 0 to n) are expressed at all frequencies (l = 0 to n). ), And regularization is performed using a punishment term obtained by adding the punishment terms of formulas (107) to (115) and (125) to (133) to the punishment terms for the frequency direction. Sometimes. The regularization parameters relating to the spatial distribution of the real component and the imaginary component of each frequency l of each unknown parameter are the first floors of the equations (41), (43), (45), and (47). In such a spatial partial differential equation, the unknown parameter may be determined to be inversely proportional to the SN power ratio within the used time of each frequency l component of such a physical quantity. Note that regularization parameters may be treated as position and time dependent.
[0319]
As described above, each of the time series data in the time series data of the first-order partial differential distribution in the time direction of the used temperature is obtained by any one of the above (A) to (E) using the equation (76) of the algebraic equation. The frequency dispersion of unknown parameters is determined.
[0320]
In addition, the time series of the spatial distribution of nodal thermal conductivity is obtained by performing inverse Fourier transformation at each position on the spectrum distribution obtained within the time series data of the nodal temperature gradient vector used at each position. It is done. For example, at time j = 0 to n, the time series of the nodal thermal conductivity spatial distribution is
[Formula 151]

From this, the time series k of the thermal conductivity spatial distribution_i(x, y, z, t) is obtained.
The same applies to a case where a two-dimensional and one-dimensional configuration area is targeted.
[0321]
In addition, when the processing of (I) is performed, conversely, by performing spectrum analysis within the time of interest at each position for the measurement object directly obtained, the frequency dispersion of each physical property parameter within that time It is possible to evaluate the spatial distribution of When the frequency dispersion of each physical property parameter itself is the final measurement target, in both cases (I) and (II), the frequency band of interest of the frequency dispersion of each physical property parameter can be targeted. Measure the temperature distribution while actively changing the frequency (single) of the heat source or heat sink to generate time-series data of a sufficiently wide band temperature distribution, or use a broadband heat source or heat sink May be used to measure temperature distribution.
[0322]
In (II), when the instantaneous spectrum of temperature data is measured, the instantaneous frequency may be handled as the frequency l. Further, when the measured temperature distribution changes sinusoidally at a single frequency, the (single) frequency may be treated as the frequency l.
[0323]
In (II), spectrum analysis concerning unknown parameters is applied not in the time direction but in the spatial direction, and similarly, each unknown parameter distribution may be obtained.
[0324]
The above is the basic principle of the thermophysical property estimation method according to the present invention. In order to form a reference area, various reference substances other than the measurement object can be attached to the region of interest of the measurement object to obtain a reference value. Conceivable. In addition, when temperature data is missing in the region of interest of the measurement object, the time point or region is excluded from the region of interest for calculation, and after the calculation, the point of time excluded from the region of interest is calculated. Or, the region's thermal conductivity distribution, thermal diffusivity distribution, thermal conductivity / density ratio distribution, thermal conductivity / specific heat ratio distribution, density distribution, specific heat distribution, these changes over time and frequency dispersion, From the estimated thermal conductivity distribution, thermal diffusivity distribution, thermal conductivity / density ratio distribution, thermal conductivity / specific heat ratio distribution, density distribution, specific heat distribution, their temporal changes and frequency dispersion, Evaluation may be performed by performing interpolation or extrapolation processing in the space-time.
Similarly, an anisotropic measurement target may be handled.
In addition, the above-mentioned measurement of thermal conductivity, thermal diffusivity, density, specific heat, and higher-order data can be performed by approximating nonlinear phenomena within a minute time or in a minute space in order to capture the nonlinear characteristics of the measurement target. May be applied when
Various materials such as thermal materials, electrical materials, superconductors, living organisms (organizations), structures, etc. are to be measured, and the thermophysical property estimation device should be specialized as appropriate for each measurement target. (For example, it may be used as a microscope.) From this, it is possible to evaluate physical property values (measurement environment conditions such as temperature dependence and influence of load / pressure history, etc. In addition, after evaluating apparent physical property values for those with thickness changes, In addition to diagnosing and monitoring (for example, material growth process, structure construction process, circuit component joining, structure repair process, living body Progression of biological lesions, therapeutic effects of biological lesions (drug administration, radiation therapy (irradiation with intense ultrasound, electromagnetic RF waves, electromagnetic microwaves, lasers, etc.), freezing (cooling) treatment, tissue degeneration due to surgery, etc. Inflammation, etc.), biological blood, behavior of microbubbles injected as a contrast agent, etc.), functional evaluation (eg, circuit design, circuit components, electronic circuit, biological tissue, neural network in culture, etc.), , Flaw detection may be conducted That.
[0325]
Next, a thermophysical property estimation apparatus according to the second embodiment of the present invention will be described. The thermophysical property estimation apparatus according to the first embodiment of the present invention has a basic configuration, and performs measurement by placing an object to be measured on a sample mounting table. On the other hand, the thermophysical property estimation apparatus according to the second embodiment of the present invention is such that the object to be measured cannot be placed on the sample mounting table, for example, a large-sized object, or a structure that cannot be moved from the current position This corresponds to the case of.
[0326]
FIG. 3 is a block diagram showing the configuration of the thermophysical property estimation apparatus according to the second embodiment of the present invention. The thermophysical property estimation apparatus according to the present embodiment holds the temperature sensor that can point the temperature sensor 1 toward the measurement object 4 and change (scan) the relative position between the temperature sensor 1 and the measurement object 4. A mechanism 20 is included. It should be noted that the positions of the temperature sensor holding mechanism 20 and the distance adjusting means 14 can be turned upside down.
[0327]
Next, a thermophysical property estimation apparatus according to the third embodiment of the present invention will be described.
FIG. 4 is a block diagram showing a configuration of a thermophysical property estimation apparatus according to the third embodiment of the present invention. The thermophysical property estimation apparatus according to the third embodiment of the present invention includes a first scanning mechanism 10 provided on the temperature sensor side, and a second scanning mechanism 11 provided on the sample setting table side. Yes. As a result, high-speed scanning with a high degree of freedom is possible. In the present embodiment, the distance adjusting unit 14 is provided on the temperature sensor side, but the distance adjusting unit 14 may be provided on the measurement object side. In addition, the position of the first scanning mechanism 10 and the position of the distance adjusting unit 14 can be reversed upside down.
[0328]
As the temperature sensor, in addition to the infrared element, other light detection elements, pyroelectric elements, thermocouples, ultrasonic piezoelectric elements, nuclear magnetic resonance signal detectors, impedance detectors, and the like may be used. In order to measure the temperature distribution of various objects such as liquids, gases, mixtures, living bodies, and living things, these elements and sensors in which these elements are arranged in an array may be used.
[0329]
Further, by means of determining at least one of the heat conduction phenomenon and the convection phenomenon, the convection phenomenon may be used instead of the heat conduction phenomenon in a certain region in the region of interest or at a certain point. Heat transfer coefficient (distribution, time series) is treated as an unknown variable instead of thermal conductivity (distribution, time series) for various natural convections and forced convections. (Time series) as dQi, for example, equation (41) is ρ_ic_i(dTi / dt) = dQi. ) Or, in a certain region or point within the region of interest, thermal conductivity (distribution, time series) and heat transfer coefficient (with various natural convections and forced convections) as well as heat conduction phenomena ( (Distribution, time series) are both treated as unknown variables (the amount of change in heat due to convection (distribution, time series) as dQi._ic_i(dTi / dt) = − ∇ · (kiDi) + dQi. ) May be determined. In addition, the amount of change in the amount of heat due to convection at each point may be determined by the moving speed, density, specific heat, etc. in addition to the heat transfer coefficient, so either of these distributions or time series may be treated as an unknown variable. (For example, in bio-heat transfer equation etc.)
[0330]
Also, in a certain region or point within the region of interest, heat source (distribution, time series) and endothermic source (distribution, time series) data is given to handle the above heat conduction phenomenon and convection phenomenon. (Heat source (distribution, time series) as Qi, for example, equation (41) is ρ_ic_i(dTi / dt) = − ∇ · (kiDi) + Qi Fever due to radiation treatment (irradiation of intense ultrasonic waves, electromagnetic RF waves, electromagnetic microwaves, lasers, etc.) or endotherm due to freezing (cooling) treatment, fever and endotherm due to administration of chemicals to the body, after these treatments or surgery Inflammation that occurs. ). Conversely, a heat source (distribution, time series) or an endothermic source (distribution, time series) may be required.
[0331]
From the above, the state, distribution, volume, number, etc. of the inhomogeneous region in the measurement target, and changes thereof may be required (for example, progression of pathological lesions, tissue degeneration due to various treatments, blood, etc. Cells such as red blood cells, microbubbles injected as a contrast agent, etc.).
[0332]
【The invention's effect】
As described above, according to the present invention, the thermal conductivity and heat transfer coefficient in the region of interest of the measurement object whose heat conductivity and heat transfer rate are unknown are obtained from the temperature distribution measured in the region of interest. be able to. In particular, even when a temperature distribution already exists inside the measurement object, it is possible to easily estimate the thermal conductivity and heat transfer coefficient of the region of interest by measuring the temperature distribution without disturbing the temperature field. Can do.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a block diagram showing a configuration of a thermophysical property estimation apparatus according to a first embodiment of the present invention.
FIG. 2 is a flowchart showing a procedure of a thermophysical property estimation method according to the first embodiment of the present invention.
FIG. 3 is a block diagram showing a configuration of a thermophysical property estimation apparatus according to a second embodiment of the present invention.
FIG. 4 is a block diagram showing a configuration of a thermophysical property estimation apparatus according to a third embodiment of the present invention.
FIG. 5 is a block diagram showing a configuration of a conventional thermal conductivity estimation device.
[Explanation of symbols]
1 Temperature sensor
2 Drive unit
3 Scanning mechanism
4 Measurement object
5 Temperature field generation means
6 Measurement control means
7 Data recording means
8 Data processing means
9 Housing
10 First scanning mechanism
11 Second scanning mechanism
12 Temperature detector
13 Heat source
14 Distance adjustment means
15 Sample mounting table
16 Data processing means
17 Display
20 Holding mechanism

Claims (4)

Temperature detection means for measuring the temperature of a plurality of positions in a three-dimensional, two-dimensional, or one-dimensional region of interest of the measurement object in time series ;
The temperature data representative of the measured temperature by the previous SL temperature detection means, and a data recording means for recording in association the temperature measured position and time to the position data and time data representing each
And temperature data and the position data and time data are recorded before Symbol data recording means, three-dimensional set in the ROI, two-dimensional, or may change over time obtained in a one-dimensional reference area thermal conductivity, expansion Chiritsu, heat transfer coefficient, the ratio between the thermal conductivity and density, the ratio between the thermal conductivity and specific heat, the ratio of the thermal conductivity and density, the ratio of the thermal conductivity and specific heat, and density the product of the specific heat, density, specific heat, heat source, and any of reference values of the heat sink, and, by using the position data and time data, at least one predetermined first floor space partial derivative finite difference approximation or finite element approximation or discrete approximation by to Rukoto applied to equations, the thermal conductivity distribution in the ROI of the object to be measured, the thermal diffusivity distribution, heat transfer coefficient distribution, and the thermal conductivity and density the ratio distribution, distribution of the ratio of the thermal conductivity and specific heat, thermal conductivity and density and the Distribution, distribution of the ratio of the heat transfer coefficient and specific heat, of the product of the density and specific heat distribution, density distribution, specific heat distribution, heat distribution, heat sink distribution, these changes over time, and, of these frequency dispersion and data processing means for determining at least one of,
Thermal property estimation apparatus comprising. In addition to the estimated thermal conductivity distribution or heat transfer distribution or temperature distribution, temperature gradient distribution, thermal conductivity gradient distribution, temperature Laplacian distribution, thermal conductivity Laplacian distribution, thermal diffusivity distribution, a thermal diffusivity gradient distribution, and thermal diffusivity Laplacian distribution, and the heat transfer coefficient distribution, and the heat transfer index gradient distribution, and the heat transfer coefficient Laplacian distribution, the distribution of the ratio of the thermal conductivity and density, the thermal conductivity and slope distribution of the ratio of the density, and the Laplacian distribution of the ratio of the thermal conductivity and density, the distribution of the ratio of the thermal conductivity and specific heat, and slope distribution of the ratio of the thermal conductivity and specific heat, thermal conductivity and a Laplacian distribution of the ratio of the specific heats, and the distribution of the ratio of the thermal conductivity and density, and gradient distribution of the ratio of the thermal conductivity and density, and Laplacian distribution of the ratio of the thermal conductivity and density, heat transfer the distribution of the ratio of the rate and specific heat, and slope distribution of the ratio of the heat transfer coefficient and specific heat, thermal And Laplacian distribution of the ratio of the Itaruritsu and specific heat, the distribution of the product of the density and specific heat, and slope distribution of the product of the density and specific heat, the Laplacian distribution of the product of the density and specific heat, and density distribution, the density of Gradient distribution, density Laplacian distribution, specific heat distribution, specific heat gradient distribution, specific heat Laplacian distribution, heat source or endothermic source distribution, heat source or endothermic source gradient distribution, heat source or endothermic source Laplacian distribution When, with these frequency dispersion or time changes, further comprising a display unit for displaying at least one screen among these absolute change (difference value) or a relative change (the value of the ratio), claim 1. The thermophysical property estimation apparatus according to 1. It said temperature detecting means, wherein comprises the measurement object to those of a non-contact, thermal property estimation apparatus according to claim 1. The data processing means includes a thermal conductivity distribution, a thermal diffusivity distribution, a heat transfer coefficient distribution, a thermal conductivity / density ratio distribution, a thermal conductivity / specific heat ratio in the region of interest of the measurement object. Distribution, distribution of ratio of heat transfer coefficient and density, distribution of ratio of heat transfer coefficient and specific heat, distribution of product of density and specific heat, density distribution, specific heat distribution, heat source distribution, endothermic source distribution, these over time The thermophysical property estimation apparatus according to claim 1, wherein at least one of the change and the frequency dispersion is regularized.

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