JP4052490B2 - Angle transmission error correction method for wave gear reducer - Google Patents

Description

【００１２】
ここで、Ｊ_eqは駆動モータを主とした駆動側とアームを主とした被動側との等価慣性質量、Ｃ_eqは等価粘性係数、Ｋは波動歯車減速機のねじり剛性、Ｔ₀ は静摩擦トルク、Ｔはアームにかかる外部トルク、θは駆動側と被動側との相対回転角、θ_e は波動歯車減速機の無負荷時の角度伝達誤差、ｔは時間を表す。波動歯車減速機のねじり剛性Ｋは時間およびねじれ角度により変動することを考慮して、θ、ｔの関数となっている。これは１対の歯車を１自由度のねじり振動系でモデル化した手法と基本的に同様である。日高らは波動歯車減速機の無負荷時の角度伝達誤差をサーキュラスプラインおよびフレクスプラインの歯みぞの振れから推定し、剛性変動はトルク−ねじれ特性を推定し求め、式（１．１）を解くことにより、波動歯車減速機のねじり振動の主要因は、角度伝達誤差と剛性変動であることを見出した。しかし、ここでは角度伝達誤差と剛性変動との関係については言及しておらず、また負荷トルクの振動に与える影響については議論されていない。
【００１３】
波動歯車減速機の角度伝達誤差に関して、１９８４年、Ｓ．Ｎ．Ｉｓｔｏｍｉｎらは、真円状態で歯切りされたフレクスプラインが楕円形状に変形することにより、歯のピッチ角に変化が生ずることに着目し、加工誤差の無い波動歯車減速機における角度伝達誤差を求めた。１９８８年、Ｌ．Ｍ．Ｈｓｉａはサーキュラスプラインとフレクスプラインのかみあいを真円と楕円の転がりモデルに置き換え、角度伝達誤差は、入力軸とするウエーブジェネレータの１回転につき、２回の変動を持つことを示した。しかしこれらの研究では、波動歯車減速機の加工誤差や組立て誤差を考慮していない。日高らは前述の通り、サーキュラスプラインおよびフレクスプラインの歯みぞの振れから幾何学的に波動歯車減速機の角度伝達誤差を求め、角度伝達誤差には入力回転の偶数倍の成分のみが現れること、サーキュラスプラインの半径方向の変形が角度伝達誤差に大きく影響することを見出した。１９９０年矢鍋らは、波動歯車減速機の角度伝達誤差を実測し、成分分析を行うことにより、角度伝達誤差が、サーキュラスプラインおよびフレクスプラインの歯みぞ中心の累積ピッチ誤差からなることを示した。しかし、負荷トルクが角度伝達誤差に与える影響については検討されていない。１９９１年、Ｔ．Ｗ．Ｎｙｅらは組立て誤差、運転時間、温度などが波動歯車減速機の角度伝達誤差に与える影響を実験的に調べ、サーキュラスプラインとフレクスプラインの心ずれ、傾きといった組立て誤差の増大により角度伝達誤差が増大すること、運転時間、温度は角度伝達誤差にあまり影響しないことなどを示している。しかし歯車誤差との関係にはふれていない。１９９５年、石田らは組立て誤差がある場合や負荷トルクが印加された場合での角度伝達誤差を周波数解析することにより、サーキュラスプラインとフレクスプラインの心ずれ、傾き、ウエーブジェネレータの倒れといった組立て誤差により角度伝達誤差が増大する原因は、入力１回転につき２回の周波数成分が増大するためであること、負荷トルクが印加された場合ウエーブジェネレータのボールの通過周期に一致した成分が増加すること、一方向負荷で、入力回転方向を換えると角度伝達誤差の波形が異なることなどを明らかにした。また黄は歯のかみあいをばねに置き換え歯車誤差から角度伝達誤差を理論的に求めるモデルを提案し、解析した結果波動歯車減速機の角度伝達誤差はサーキュラスプラインとフレクスプラインの累積ピッチ誤差と組立て誤差によるフレクスプラインの歯の変位量の変動により生ずることを明らかにした。しかし負荷状態での角度伝達誤差と歯車誤差の関係については議論していない。
【００１４】
現在市場に出ている波動歯車減速機は一昔前に比べて格段に高精度化されており、また、先に述べたように市場の要求もますます厳しくなっている。上に述べた日高ら、矢鍋ら、Ｔ．Ｗ．Ｎｙｅらの研究は６〜７年前のもので、論じられている角度伝達誤差のレベルは、現在市場で要求されているレベルと比較して大きな差がある。また石田らの研究は歯形の改良が行われる以前の波動歯車減速機が対象とされており、改良歯形を持った波動歯車減速機については、Ｔ．Ｗ．Ｎｙｅらが角度伝達誤差の測定例を示したにとどまっている。それ故、従来の研究成果で現在の波動歯車減速機の振動問題を論じることはできない。
【００１５】
このように現在市場で最も多く使用されている新しい波動歯車減速機のねじり振動、角度伝達誤差に対し、現在市場で要求される振動のレベルでの研究はほとんどなされてはいない。従来の研究では、波動歯車減速機の歯車のかみあいが出力１回転でもとに戻ることを前提にして、振動、角度伝達誤差の評価を出力１回転分のみで行っていたが、現状および市場で要求される波動歯車減速機のねじり振動のレベルを議論するとき、従来は無視していた出力１回転ごとの再現性の問題も浮上してくる。また波動歯車減速機は取付誤差に対し大変敏感であることが指摘されているが、従来の研究では角度伝達誤差の測定とねじり振動の測定では異なった装置が使用されており、より正確に波動歯車減速機の振動特性を把握しようとしたとき、注意が必要である。さらに組立て誤差に関して、取付部材の設計上および実際の組立作業から見て、考慮されている組立て誤差の種類は十分とはいえない。
【００１６】
また、日高らが、波動歯車減速機の振動特性の研究からねじり振動の原因の一つであると指摘している波動歯車減速機のねじり剛性の変動については、議論した研究は見当たらない。
【００１７】
一方、波動歯車減速機のねじり振動問題を、制御技術により解決しようとする研究も行われてきたが、未だ市場で広く利用される手法は開発されていないのが現状である。
【００１８】
【発明が解決しようとする課題】
本発明の目的は、関連する研究および現状の波動歯車減速機の精度を踏まえ、市場で要求される低振動（目標：共振時の振幅２０ａｒｃ−ＳＥＣ（１０^-4ｒａｄ）以下）の波動歯車減速機を開発するため、現在市場で最も多く使用されている型式の波動歯車減速機に対し、従来以上の精度で振動に関する特性を把握し、波動歯車減速機の低振動化するための手段を見出すことである。
【００１９】
【課題を解決するための手段】
（角度伝達誤差の補正方法）
本発明では、サーキュラスプライン及びフレクスプラインに起因する角度伝達誤差成分より補正すべき伝達誤差量を算出する。
【００２０】
無負荷状態での角度伝達誤差は主に歯車の左右歯面の累積ピッチ誤差の平均値に依存するのに対して負荷状態の角度伝達誤差は左または右歯面の累積ピッチ誤差に依存する。従って、左及び右歯面のかみあいの時の角度伝達誤差を基準データとし、無負荷時の両歯面かみあい状態から左または右歯面かみあいに移行する過程を実験的または負荷トルクの関数で表し、任意の負荷時の角度伝達誤差を求め補正する。あらかじめ測定された歯車誤差から算出することも可能である。
【００２１】
また、この為にはフレクスプラインとサーキュラスプラインの位置関係を知るため出力軸に原点センサーを設ける必要がある。
【００２２】
（振動低減を目的とした超扁平波動歯車減速機）
次に、本発明では、波動歯車減速機の剛性、減衰、および歯車精度をそれぞれ高めることにより振動の低減を図っている。この為に、波動歯車減速機の型番を上げればもっとも効果的であることが分かるが、こうすると波動歯車減速機の特徴である軽量コンパクトの特徴が失われることになる。
【００２３】
本発明の超扁平波動歯車減速機は、外径は１型番大きくなり軸方向長さは１型番小さくなるため、歯のかみあいＰＣＤが大きくなると剛性、減衰能、歯車精度が向上するため、軽量コンパクトの特徴を維持したまま振動低減を実現することができる。
【００２４】
（歯車精度向上加工法）
次に、歯車精度は歯車加工機械の精度に大きく影響される。今後、波動歯車減速機に要求される歯車精度は現状のオープン制御の加工機械では限界が来ている。そこで加工機をクローズド制御または補正制御する。
【００２５】
クローズド制御のためには工具軸とワーク回転軸それぞれに高分解能の角度センサーを取り付けて、フィードバック制御によりそれぞれの回転軸の同期を保証する。
【００２６】
補正制御の場合はあらかじめそれぞれの軸の角度伝達誤差を測定しておき、それぞれの駆動モータに角度伝達誤差の逆位相の指令を与え回転軸の同期を保証する。
【００２７】
【発明の実施の形態】
本明細書は図２に示すように以下のような構成となっている。
【００２８】
第１章は、先に述べたように、本発明の背景、従来の研究経過などについて述べている。
【００２９】
第２章では、本発明の対象とした波動歯車減速機の諸元、歯車精度の測定方法、本発明のために開発した波動歯車減速機の角度伝達誤差を振動の指標とし取付状態の影響も考慮して波動歯車減速機を組み付けた状態で高精度に角度伝達誤差の静特性と動特性を同時に測定できる装置、実験方法について述べ、また開発した測定装置が本発明の目的に対し十分な精度を持つことを示す。
【００３０】
第３章では、この装置を使用して無負荷状態で高精度に角度伝達誤差を測定し、また得られたデータを分析した結果、波動歯車減速機の角度伝達誤差は出力１回転ごとの誤差成分の他に従来考慮されていなかったウエーブジェネレータの外輪の肉厚誤差に基づく、外輪の回転周期に一致する誤差成分を持つことを初めて明らかにした。また同時に、波動歯車減速機の構成要素であるサーキュラスプライン、フレクスプライン、ウエーブジェネレータの加工誤差から、それぞれの要素に起因する角度伝達誤差の成分が高精度に求められていることを示す。
【００３１】
第４章では、波動歯車減速機の組付誤差が角度伝達誤差に与える影響を実験的に把握し、サーキュラスプラインの取付け時の変形による影響が最も大きいことを明らかにした。さらにこの結果を踏まえ角度伝達誤差を低減するための高精度組立法を提案する。
【００３２】
第５章では、負荷状態で角度伝達誤差を測定し、得られたデータを分析した結果負荷トルクが角度伝達誤差に与える影響は負荷トルクにより、かみあいが片歯面かみあいに移行することによるものであることを初めて明らかにした。
【００３３】
第６章では、第３章、４章、５章の成果に基づき、歯溝のふれ誤差に基づく角度伝達誤差θ_d およびかみあい移行関数αを定義し、任意の負荷状態における角度伝達誤差を歯車誤差から導出する表現式を提案する。
【００３４】
第７章では、従来の研究成果を踏まえ、実験装置を１自由度振動モデルに置き換え、第６章までで得られた波動歯車減速機の正確な静特性データ、角度伝達誤差の表現式および本章で実験的に求めた剛性特性、減衰特性を用い振動解析を行った。また波動歯車減速機の動的角度伝達誤差を実測し比較検討した結果、計算と測定値がよく一致することを確認した。またシミュレーションにより、目標とする振動レベルを実現するための具体策を提示する。
【００３５】
最後に第８章で本発明で得られた成果をまとめて示す。
【００３６】
（第２章 静・動特性高精度測定装置の開発）
（２．１ はじめに）
波動歯車減速機が発生するねじり振動を低減するために波動歯車減速機の歯車加工精度向上、歯形の改良による同時かみあい歯数の増加、ねじり剛性の向上が図られてきた。しかし振動に対する市場の要求はさらに厳しくなり、現行では共振時の振幅で２０ａｒｃ−ｓｅｃ（１０^-4ｒａｄ）以下が要求されている。これを実現するためには波動歯車減速機の角度伝達誤差を従来の１／２から１／３（１０ａｒｃ−ｓｅｃ程度）にしなければならないことが予想される。このような高精度を議論するとき、従来重要視しなかった定常運転における出力１回転ごとの再現性、負荷トルクによるより詳細な特性変化および、組付けによる特性変化の把握などが新たな問題として浮上してくる。それ故目標の振動レベルを達成するためには、従来以上の精度で波動歯車減速機の振動特性を把握する必要がある。本発明では、従来の研究を踏まえ、波動歯車減速機の組立誤差に対する敏感性をも考慮し、波動歯車減速機の静・動特性を同時に高精度に測定できる測定装置を開発した。この装置を用い、現在市場で最も広く使用されている波動歯車減速機について、静特性として無負荷及び負荷状態さらに様々な組立誤差を与えた場合の角度伝達誤差、動特性として出力側にロボットアームに相当した負荷慣性をつけた状態での角度伝達誤差を測定した。本章では、対象とした波動歯車減速機の諸元および加工精度、開発した静・動特性測定装置、実験方法について述べる。
【００３７】
（２．２ 対象とする波動歯車減速機）
波動歯車減速機は形状により、カップ形、シルクハット形、フラット形、デファレンシャル形、シールド形に分けられる。これらの中でカップ形の波動歯車減速機は構造が最も簡単で、回転精度や効率が高く、歯車のかみあいにバックラッシが無いなどの特長を持ち、産業用ロボットをはじめ、様々な用途に広く使用されている。そこで本発明では最も一般的なカップ形波動歯車減速機を対象とした。
【００３８】
図３にカップ形波動歯車減速機の基本構造を示す。図中（ａ）は構成部品、（ｂ）は構成部品が組み合わされた状態を示し、（ｃ）は歯車のかみあいの様子を模式的に示している。構成部品は、厚肉の内歯車サーキュラスプライン（以後Ｃ／Ｓ）、超薄肉のカップ形状でその開口部外周に歯切りされた外歯車であるフレクスプライン（Ｆ／Ｓ）、楕円形状のカムの外周に薄肉のボールベアリングをはめた波動発生器とも呼ばれるウエーブジェネレータ（Ｗ／Ｓ）の３点である。Ｃ／Ｓの歯数はＦ／Ｓの歯数より偶数枚多く設定されるが、歯数差２枚のものが一般的である。また通常、Ｗ／Ｓのカムと回転軸の間には、Ｗ／Ｇの調心機能を持たせるためオルダム継ぎ手が設けられている。
【００３９】
図３（ｃ）に示すように、Ｗ／Ｇを挿入されたＦ／Ｓの歯部は楕円状にたわめられ、その長軸付近２箇所でＣ／Ｓとかみあう。Ｆ／Ｓのカップ部は楕円状にたわめられた歯部の回転のみを取り出すためのフレキシブルカップリングの役目を果たす。通常Ｗ／Ｇを入力、Ｃ／Ｓを固定、Ｆ／Ｓを出力として使用される。この状態でＷ／Ｇを回転させるとＦ／ＳがＷ／Ｇの楕円状カムの長軸部でＣ／Ｓの歯とかみあいながら回転することになる。いま、Ｆ／Ｓの歯数Ｚ_f をＣ／Ｓの歯数Ｚ_c に対して２枚少なくしておくと、Ｗ／Ｇが１回転する間にＣ／Ｓのピッチ円周と等しい長さの接触を保つためにはＷ／Ｇの回転方向と逆方向に２歯分回転しなけらばならない。この結果、Ｗ／Ｇが１回転するとＦ／ＳはＣ／Ｓとの歯数差分だけＷ／Ｇの回転方向とは逆方向に回転する。この場合の減速比ｉは式（２．１）で表される。
【００４０】
ｉ＝（Ｚ_c −Ｚ_f ）／Ｚ_f （２．１）
（２．２．１ 波動歯車減速機の諸元）
カップ形波動歯車減速機は近年、Ｆ／Ｓ歯部の疲労強度向上、ねじり剛性向上を目的に歯形が改良され、また小型化を目的にＦ／Ｓのカップ部の軸方向長さが短く改良されており、現在このタイプが主流となっている。本発明ではこの最も新しいカップ形波動歯車減速機で、現在市場で生産量が最も多い中型（６〜１５ｋｇ荷搬程度）垂直多関節ロボットの基本軸に使用されるサイズ、減速比を持つ、株式会社ハーモニック・ドライブ・システムズ製ＣＳＦ−４０−１６０−２Ａ−ＧＲを対象とした。
【００４１】
表１に対象とした波動歯車減速機の主な諸元を示す。ここでＩＨ歯形とは、１９８６年石川により発明された歯形で、歯の移動軌跡から求められたＣ／ＳとＦ／Ｓの歯が連続的にかみあう曲線を利用した歯形となっており、従来の歯形である圧力角３０度の歯形に対し同時かみあい歯数が実測で約２倍に改良されたものである。なお本発明で対象とした波動歯車減速機の歯形は、この歯形を更に改良したもので基準ピッチ円付近は圧力角１８度のインボリュートとなっている。図４にラック歯形形状を従来型の歯形と比較して示す。
【００４２】
図５には、歯形、外形寸法をそれぞれ従来型の波動歯車減速機と比較して示す。本発明で対象とした波動歯車減速機は従来のものと比較しＦ／Ｓ、Ｃ／Ｓの歯幅が短縮され、またＦ／Ｓの軸方向長さも大幅に短くなっている。また図５に示されているようにＷ／Ｇには入力軸取付部と楕円板の間に、調心機構であるオルダム機構が組み込まれた構造となっている。
【００４３】
【表１】

【００４４】
（２．２．２ 波動歯車減速機の加工精度と測定）
近年の波動歯車減速機は、第１章で述べた通り振動特性改善のため従来に比べ高精度化されている。ここでは対象とした波動歯車減速機の歯車の累積ピッチ誤差、およびＷ／Ｇベアリングの加工誤差の測定方法と測定結果を示す。
【００４５】
（ａ）歯車精度の測定方法と測定結果
Ｃ／ＳおよびＦ／Ｓの歯車の累積ピッチ誤差を、図６に示す大阪精密機械株式会社製歯車測定機ＣＬＰ−３５型を使用し測定した。この測定は回転テーブル上に歯車をおき、片歯面に測定子を接触させ行われる。Ｃ／Ｓの場合は試験装置に組み込まれるときに取り付けるフランジに固定した状態で測定した。Ｆ／Ｓは柔軟な歯車であるため、内径に円筒形の開き治具を挿入して測定し、同時に開き治具の真円度誤差も測定して得られた歯車誤差を補正した。またＣ／Ｓは外周面を基準として、Ｆ／Ｓは開き治具外周面を基準として回転テーブル上の心出しを２μｍ以下としている。なお測定場所はＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓとも１８度インボリュート歯形部とした。また、歯面はＦ／Ｓ開口部から見た状態で、図７に示すように右側を右歯面、左側を左歯面とし、Ｃ／Ｓは歯みぞに、Ｆ／Ｓは歯に半時計回りに番号をつけた。図８にＣ／Ｓの累積ピッチ誤差、図９にＦ／Ｓの累積ピッチ誤差の測定結果を示す。累積ピッチ誤差の幅（最大値と最小値の差）は、Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓとも約１４μｍと同じレベルであるが、Ｆ／Ｓの累積ピッチ誤差は１周に１周期の成分である偏心誤差が大きく、形状誤差はＣ／Ｓに比べ小さい。また左右歯面の累積ピッチ誤差の差もＣ／Ｓの方が顕著である。
【００４６】
（ｂ）Ｗ／Ｇベアリングの加工誤差の測定方法と測定結果
ここでは、Ｗ／Ｇベアリングの外輪軌道肉厚を測定した。測定方法は、図１０に示すようにＷ／Ｇ長軸上で外輪外周面にピックテスターを接触させ、内輪を固定し外輪のみを５度間隔で回転させ、７２箇所での値を読み取った。測定結果を図１１に示す。この測定方法では、ボール径の変化も同時に計測されてしまうが、使用しているボール径の相互誤差は、正負０．２μｍ以下であるためその影響は大変小さい。従って、図の値は外輪の肉厚変化を表すものと考えられる。図より外輪の肉厚変化は１周に２周期の成分が大きいことが特徴的である。
【００４７】
（２．３ 静・動特性測定装置）
波動歯車減速機の持つ静特性、動特性を高精度に測定することを目的とし静・動特性測定装置を開発した。図１２に本測定装置の力学系を示す。ここで静特性とは出力側の負荷慣性が小さい状態で、また低い入力回転数（５０ｒｐｍ以下）の条件で計測された準静的な角度伝達誤差を言い、動特性とはロボットアームに相当する負荷慣性を出力側に取り付けた状態でねじり振動が問題とされる入力回転数領域で計測される振動を伴う角度伝達誤差を言う。
【００４８】
波動歯車減速機は、Ｃ／Ｓを固定、Ｆ／Ｓを出力、Ｗ／Ｇを入力として組み込まれており、駆動はＡＣサーボモータを使用し、入・出力軸の角度はモータに組まれたエンコーダと出力軸に組まれた高分解能中空エンコーダにより計測される。本装置では、無負荷状態と一定の負荷トルクを与えた状態での静特性の測定が可能である。図１３に示すように一定の負荷トルクは出力軸に取り付けられたプーリに２本のワイヤをそれぞれ同方向に巻き、それらに錘を吊ることにより与えられる。動特性は、図１４に示すように出力軸に錘を付けた惰性円盤を取り付けた状態で測定される。惰性円盤に取り付けられた錘を対称位置に配置することで負荷トルクを無負荷状態にし、また片側に寄せることで垂直多関節ロボットのように出力軸角度に応じた負荷トルクを与えた状態での測定が可能である。なおここで示すように動特性測定時は、モータのサーボ特性の影響を出来るだけ小さくする目的で、駆動モータのサイズを大きな物とした。このように本装置では波動歯車減速機を組み換えることなく静・動特性の測定ができる。また波動歯車減速機そのものの特性を高精度に測定出来るようにするため、Ｆ／ＳとＣ／Ｓをそれぞれ出力軸とハウジングにフランジを１枚介して締結する構造として取付け面の精度調整を可能にし、これにより取付け部の心振れと面振れを２μｍ以下とした。出力側のエンコーダの分解能は３６０００００ｐｕｌｓｅ／ｒｅｖ．（ハイデンハイン株式会社製ＥＲＯ７２５）、入力側エンコーダの分解能は２０００ｐｕｌｓｅ／ｒｅｖ．である。表２に本装置の仕様を示す。
【００４９】
【表２】

【００５０】
また本装置では、入出力軸の角度の他に従来無視されていたＷ／Ｇの外輪の位置も合わせて計測できる。Ｗ／Ｇの外輪は外周がＦ／Ｓ内周面と滑り接触をし内周は軌道面とボールと転がり接触をしてその位置が確保されているため、その回転位置の特定はできない。そこで図１５に示すようにレーザ反射型センサーを入力型カバーに取付け、外輪の側面には黒い塗料を塗り１８０度対称位置２箇所に反射板を接着し、この部分の通過を入力側カバーに取り付けられたセンサーが検知することにより外輪の位置を確認した。
【００５１】
（２．４ 角度伝達誤差の定義と測定方法）
（２．４．１ 角度伝達誤差の定義）
ある基準位置から入力軸が回転した時の理論上の出力軸回転角度と実際の出力軸回転角度の差を角度伝達誤差とする。ここで入力軸の回転角度をθ_i 、出力軸の回転角度をθ_o 、減速比をｉとすると角度伝達誤差θ_e は式（２．２）で表される。
【００５２】
θ_e ＝θ_o −ｉθ_i （２．２）
ここで、θ_i 、θ_o は機構的に回転する方向を正とする。よってθ_e は理論上減速比により定まる回転角度に対し進んだ場合が正となる。
【００５３】
（２．４．２ 角度伝達誤差の測定方法）
測定システムのブロック図を図１６に示す。入出力軸エンコーダの信号はカウンターボードを介してパーソナルコンピュータに取り込まれ、式（２．２）の演算を行って角度伝達誤差θ_e が求められる。基準位置は、出力側エンコーダの原点信号が検出された後、最初の入力側エンコーダの原点信号が検出された位置とし、角度伝達誤差は波動歯車減速機を組み替えない限り常に同じ歯のかみあい位置から計測が開始される。図１７にはデータ取り込み及び演算部の外観を示す。波動歯車減速機は総歯数の１０〜２０％の歯が同時かみあいをするため、一般の歯車で問題となる一歯ごとのかみあいに起因する角度伝達誤差は問題とならない。そこで本発明では入力側エンコーダ１０ｐｕｌｓｅごとに測定することにし、入力１回転で２００、出力１回転で３２０００のデータ数の角度伝達誤差を計測した。
【００５４】
図１８に無負荷状態における出力軸１回転の角度伝達誤差の測定例を示す。図で（ａ）は計測値そのものを示すが、出力軸１回転の周期を持つうねりが認められる。これは出力軸に取り付けられたエンコーダスリット板に２μｍの心ずれが生じていたためで、心ずれの影響を補正した結果は（ｂ）のようになる。これより波動歯車減速機自体の出力軸１回転における角度伝達誤差には出力軸１回転の周期を持つうねりが無いことがわかる。本発明では、すべての測定においてこの心ずれ補正処理を行った。
【００５５】
（２．５ 測定装置の評価）
本試験装置の精度を評価するため、下記の試験を行った。
【００５６】
入力側のエンコーダは減速機を考慮しても出力側エンコーダよりも分解能が低い。そこで、まず低分解能である入力側エンコーダの精度を調べるため、出力側に使用したエンコーダと同じ分解能０．３６ａｒｃ−ｓｅｃ（３６０００００ｐｕｌｓｅ／ｒｅｖ．）を持つ軸付きエンコーダ（ハイデンハイン株式会社製ＲＯＤ８００）をモータに直結してモータに内蔵された入力側エンコーダの角度伝達誤差を測定した。図１９に本発明で使用した２種類のモータについて、モータ軸１回転における入力側エンコーダの角度伝達誤差測定結果を示す。本図より２種類のモータを用いた場合の誤差波形は異なるものの、最大誤差は共にプラスマイナス約４０ａｒｃ−ｓｅｃであった。ここで、入力側での４０ａｒｃ−ｓｅｃの誤差は出力軸換算では０．２５ａｒｃ−ｓｅｃ（４０ａｒｃ−ｓｅｃ×ｉ）となり、出力側エンコーダの分解能０．３６ａｒｃ−ｓｅｃに対応する精度である。
【００５７】
次に本試験装置の測定の再現性を調べるため、無負荷において、Ｗ／Ｇ外輪の位置、Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓの歯のかみあい位置を同じにし２回の測定を行った。図２０は入力軸２回転の測定値および１回目の測定値と２回目の測定値の差を示す。これより再現性はプラス・マイナス１ａｒｃ−ｓｅｃ以下であることが分かる。
【００５８】
本発明では波動歯車減速機の角度伝達誤差を約１０ａｒｃ−ｓｅｃ程度にすることを目的としている。本試験装置および測定システムの測定誤差は０．５ａｒｃ−ｓｅｃ以下であり、また測定の再現性もプラス・マイナス１ａｒｃ−ｓｅｃ以下であるため、本発明の目的に合致する。
【００５９】
（２．６ まとめ）
市場で要求される共振時の振動振幅が２０ａｒｃ−ｓｅｃ（１０^-4ｒａｄ）以下の低振動波動歯車減速機を開発するためには取付け状態の影響も考慮して精密な角度伝達誤差の静特性と動特性とを測定する必要がある。このため波動歯車減速機を同一の組付状態で高精度の静的および動的な角度伝達誤差を同時に測定できる装置を開発した。この装置により、初めて同一の組立誤差の下で波動歯車減速機の静特性および動特性を評価することが可能となった。
【００６０】
以下本章の結果をまとめて示す。
【００６１】
（１）本発明で対象とする波動歯車減速機の仕様および加工精度を示した。
【００６２】
（２）本発明のために波動歯車減速機を組み付けた状態で高精度の静特性と動特性を同時に測定出来る装置を開発した。
【００６３】
（３）開発した装置は目標とする共振時の振動振幅２０ａｒｃ−ｓｅｃ（１０^-4ｒａｄ）以下、予想角度伝達誤差１０ａｒｃ−ｓｅｃ以下を議論できる測定精度を有することを確認した。
【００６４】
（第３章：無負荷角度伝達誤差に及ぼす構成要素の誤差の影響）
（３．１ はじめに）
波動歯車減速機は、出力軸であるＦ／Ｓが１回転すると、Ｃ／ＳとＦ／Ｓの歯のかみあいが元に戻る。このため従来の波動歯車減速機のねじり振動や角度伝達誤差の研究では、出力軸１回転の特性を評価していた。しかし、目標とする高精度な波動歯車減速機を議論するとき、従来重要視しなかった定常運転における出力軸１回転ごとの再現性について評価しておくことは重要である。そこで、本章では無負荷の条件で高精度な組み付け状態において、何回転もの出力軸回転について連続的に角度伝達誤差を測定すると共に、出力軸１回転で元に戻らない部材であるＷ／Ｇの外輪位置も同時に測定する。また得られた測定結果を矢鍋らの手法を利用して成分分析し、Ｃ／ＳとＦ／Ｓの歯車誤差に加えてＷ／Ｇ外輪の加工誤差との関係について考察する。
【００６５】
（３．２ 角度伝達誤差の測定結果）
無負荷の角度伝達誤差の測定は入力軸回転速度を５０ｒｐｍで行った。図２１に測定結果を示す。図は総計約６０万個の角度伝達誤差のデータを出力軸１回転ごとに縦に並べており、丸及び三角印はそれぞれＷ／Ｇ外輪の１８０度対称位置に貼られた反射板の信号が検知された位置を表す。検出されたＷ／Ｇ外輪の位置はほぼ一定速度で移動しており、出力軸１９回転でほぼ元の位置に戻っている。従来角度伝達誤差は出力軸１回転ごとに再現するものと考えられていたが、この図より出力軸１回転ごとの角度伝達誤差には無視できない変動があり、Ｗ／Ｇ外輪の位置に関係する周期性を有していることが確認される。図２２は出力軸回転とそれぞれの出力軸回転中の角度伝達誤差最大幅（最大値と最小値の差）との関係を示す。図より出力軸回転中の角度伝達誤差最大値は出力軸１９回転でほぼ２回の変動の周期を持っていることがわかる。
【００６６】
（３．３ 角度伝達誤差の要因分析）
（３．３．１ 角度伝達誤差の成分分析手法）
低振動、すなわち高精度な波動歯車減速機を開発するためには、波動歯車減速機の持つ角度伝達誤差の原因を把握する必要がある。ここでは矢鍋らの手法を利用し角度伝達誤差の成分分析を行った。この手法は、減比（減速比の逆数）をＲ（Ｒ＝１／ｉ）とすると、出力軸１回転中にＣ／Ｓに起因する成分が入力軸１回転ごとの周期でＲ回、Ｆ／Ｓに起因する成分は入力軸Ｒ／（Ｒ＋１）回転の周期でＲ＋１回だけ現れることに着目し、出力軸１回転分の角度伝達誤差をＲ及びＲ＋１分割しその相加平均を取ることで、それぞれの周期を持つ成分を抽出する極めて巧妙な方法である。ここで、相加平均とは具体的に次のような操作を言う。角度伝達誤差は入力軸２π／ｍ回転ごとに算出されるとすると、入力軸１回転にｍ個の離散的なデータとして求まる。Ｃ／Ｓの場合について言えば、このデータは入力軸１回転（Ｃ／Ｓに対し入力軸が１回転）ごとにｍ個の同じ並びのデータとなっている。出力軸１回転のＲｍ個のデータを入力軸１回転ずつ、すなわちＲ分割し、入力軸回転ごとに１番目のデータ、２番目のデータ、・・・ｍ番目のデータと呼ぶ。次に出力軸１回転（入力軸Ｒ回転）分、すなわちＲ個のこれら１番目のデータ、２番目のデータ、・・・ｍ番目のデータをそれぞれ平均を取る。なお、Ｆ／Ｓの場合については、同様に出力軸１回転のＲｍ個のデータをＲ＋１分割して同じ操作をすれば良いが、Ｒｍ／（Ｒ＋１）が整数にならない場合は整数になるようにデータ数を変える必要がある。
【００６７】
図２１の測定結果ではＷ／Ｇ外輪の回転がほぼ定速であることから、Ｗ／Ｇ外輪に対し入力軸が１回転する周期すなわちＷ／Ｇ外輪に起因する角度伝達誤差成分の周期が決まり、上記手法が利用できる。上記手法を応用した角度伝達誤差の分析の手順について具体的に述べる。
【００６８】
（１）Ｗ／Ｇ外輪の位置がほぼ元に戻る出力軸１９回転のデータを出力軸１回転ごとに相加平均を取り、Ｗ／Ｇ外輪に起因する角度伝達誤差成分およびランダム成分を除去する。ここで出力軸ｋ回転目、入力軸ｊ回転目のｉ番目の角度伝達誤差のデータをθ_e （ｉ，ｊ，ｋ）とすると、出力軸ｋ回転分の相加平均を取った値θ′_e は次式で表される。
【００６９】
【数２】

【００７０】
（２）次に、θ′_e を入力軸１回転ごとに相加平均を取る。この操作により出力軸１回転で元の位置に戻るＦ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分が除去される。すなわち入力軸１回転ごとの周期を持つＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分Ｅ_c が得られる。ここで速比をＲとするとＥ_c は次式で表される。
【００７１】
【数３】

【００７２】
（３）θ′_e からＣ／Ｓ成分Ｅ_c を引いた値をθ″_e とする。すなわちθ″_e （ｉ，ｊ）＝θ′_e （ｉ−ｊ）−Ｅ_c （ｉ）とすると、これは入力軸１回転でのデータ数をｍとして（本発明ではｍ＝２００）入力軸Ｒ回転分、総データ数Ｒｍのデータである。
【００７３】
そこで、このデータをＦ／Ｓに対し入力軸が１回転する時にｍ個のデータ数になるように変換する。すなわち総データ数を（Ｒ＋１）ｍとする。本発明ではこの変換にフーリエ変換を利用した。このデータ数の変換はＦ／Ｓに対する入力軸１回転ごとのデータを相加平均するためである。Ｆ／Ｓに対して入力軸がｊ回転目のｉ番目となる変換されたデータをθ''' _e （ｉ，ｊ）とすると、Ｆ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分Ｅ_f は次のように求められる。
【００７４】
【数４】

【００７５】
（４）次に、Ｗ／Ｇ外輪の回転周期を特定し、Ｗ／Ｇ外輪に起因する角度伝達誤差成分を求める。本実験では図２１の出力軸１回転目から２回転目にかけて、実測上入力軸約１６８．６回転でＷ／Ｇ外輪が入力軸の逆方向に１回転した。そこでＷ／Ｇ外輪の回転速度を一定と仮定すると、Ｗ／Ｇ外輪の成分はほぼ入力軸１６８．６（１６８．６＋１）回転ごとの周期を持つことがわかる。そこで入力軸１６８．６回転分の元データθ_e からＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓに起因する成分Ｅ_c 、Ｅ_f を引いたデータθ_{e e} （データ数１６８．６ｍ＝３３７２０）を求め、これを更に（３）と同様に（１６８．６＋１）ｍ＝３３９２０のデータ数に変換する。なおθ_e からＥ_f を引く場合もデータ数の変換が必要である。このデータはＷ／Ｇ外輪に対し入力軸が１回転するときにｍ個のデータ数になるので、これをθ′_{e e} （ｉ，ｊ）と表しＷ／Ｇ外輪に起因する角度伝達誤差成分Ｅ_o を次式で求めた。
【００７６】
【数５】

【００７７】
（５）最後に、元データθ_e からＥ_c ，Ｅ_f ，Ｅ_o を引いた値をＥ_u とした。ここでＥ_u は測定誤差、計算誤差（Ｗ／Ｇ外輪の回転速度が必ずしも一定ではないため）、エンコーダの量子化誤差、Ｗ／Ｇのボールの影響等、未だ特定できない誤差を示すものと考えられ、その他の誤差成分と呼ぶことにする。
【００７８】
以上が本発明で行った角度伝達誤差の要因分析方法である。
【００７９】
（３．３．２ 減速機構成要素に起因する角度伝達誤差の成分）
図２１に示した総計６０８０００個のデータを処理して求められたＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分Ｅ_c 、Ｆ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分をＥ_f 、Ｗ／Ｇ外輪に起因する角度伝達誤差成分Ｅ_o 、その他の誤差成分Ｅ_u を各成分の１周期（Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓ、Ｗ／Ｇそれぞれに対して入力軸が１回転する周期）分について図２３に示す。ただしＥ_u については出力軸１回転目の入力軸１回転分の値を示す。図よりＥ_c 、Ｅ_f 、Ｅ_o はそれぞれの１周期に２回の周期性を持っていることがわかる。またＥ_c 、Ｅ_f 、Ｅ_o 、Ｅ_u の最大振幅の割合はほぼ５０：１８：２０：１２であり、Ｃ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分が最も大きいことがわかる。Ｅ_o の特徴は他の成分に見られる細かい周期を持つ誤差成分が見られないことである。
【００８０】
図２４にはそれぞれの成分のフーリエ解析結果を示す。図中（ａ）はＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分Ｅ_c 、（ｂ）はＦ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分Ｅ_f 、（ｃ）はＷ／Ｇ外輪に起因する角度伝達誤差成分Ｅ_o 、（ｄ）はその他の誤差成分Ｅ_u の場合である。なおここではフーリエ解析を行った誤差成分１周期の中で例えば２回の変動がある成分を２次と呼ぶこととし、図では５０次までのフーリエ係数を示す。また図２５には１３次までの各成分を比較した形で表す。
【００８１】
これらの図より、どの構成要素成分も１２次以下の低次成分が主な成分となっており、また奇数次はほとんど見られない。奇数次が見られないことについては、波動歯車減速機はＷ／Ｇの楕円の長軸近傍２箇所で歯のかみあいが行われるため、歯車誤差の持つ奇数次の成分が相殺されたためと考えられる。このためＣ／ＳとＦ／Ｓでは第２章図９の累積ピッチ誤差の最大幅には大きな差が無いにもかかわらず、それぞれの角度伝達誤差成分の大きさに差が生じているのは、Ｆ／Ｓの累積ピッチ誤差の主成分が１周期に１回の変動を持つ成分（１次成分）であるため前述のように相殺され角度伝達誤差成分として現れなかったためと考えられる。また最も大きいＣ／Ｓの成分は、２、４、６次の成分が主となっている。次いで大きいＦ／Ｓ、Ｗ／Ｇ外輪の成分に注目すると、Ｆ／Ｓの成分が多くの次数に分散しているのに対し、Ｗ／Ｇ外輪の成分は、２次の成分のみが大きく、２次数成分で見るとＷ／Ｇ外輪の方がＦ／Ｓより大きい。これは、図１１のＷ／Ｇ外輪肉厚変動の分布が比較的高次成分が少なく、また２次成分が大きいことがこの結果につながっているものと考えられる。他の要素の１３次以上の高次成分については、Ｃ／Ｓが２５次、Ｆ／Ｓが３０次成分、その他が２５次に成分が見られる。Ｃ／Ｓとその他の２５次の成分に関しては、Ｗ／Ｇの長軸上をボールが通過する回数が長軸部２箇所で入力軸１回転中約２５回であるため、この影響と思われる。またＦ／Ｓの３０次の成分は、Ｆ／Ｓの歯切り加工を行うホブ盤の主軸回転に使われているウォーム歯車の影響と考えられる。
【００８２】
最後に本データ処理の信頼性とデータ数との関係について付言する。式（３．１）で行うＷ／Ｇ外輪に起因する角度伝達誤差成分およびランダム成分の除去において相加平均する出力軸出力回転数を１、５、９、１５、１９とした場合の成分分析結果を図２６に示す。図より、Ｃ／Ｓの成分は相加平均する出力回転数に対し変化はほとんど認められないが、他の成分は出力軸９回転以下では大きく結果が異なることがわかる。本来この成分分析手法は出力軸１回転分のデータがあれば成分分離が可能なはずである。しかし本実験ではＥ_f 、Ｅ_o の周期が、それぞれ入力軸回転の１６０／１６１＝０．９９３７９倍、１６８．６／１６９．６＝０．９９４１０倍と大変近いこと、またＷ／Ｇ外輪の回転速度が必ずしも一定でないことから、このような場合、成分分離のためには多くのデータ数が必要になると考えられる。本発明では３．３．１項に示す方法で出力軸１回転で３２０００個のデータを出力軸１９回転分すなわち６０８０００個の角度伝達誤差データを分析した。
【００８３】
（３．４ 角度伝達誤差の変動に及ぼす加工誤差の影響）
ここでは３．３節で得られた角度伝達誤差の減速機構成要素に起因する成分とそれぞれの減速機構成要素の加工精度の関係を明らかにしその影響について考察する。
【００８４】
波動歯車減速機の場合、これまで歯車の累積ピッチ誤差が角度伝達誤差の主原因と考えられていた。この場合歯車の累積ピッチ誤差から角度伝達誤差を算出するに当たり、波動歯車減速機の場合Ｃ／ＳとＦ／Ｓの歯がＷ／Ｇの楕円の長軸近傍の２箇所でかみあうこと、総歯数の約２０％の歯が同時にかみあうことを考慮しなくてはならない。またカップ型波動歯車減速機では歯が３次元的にかみあっており、特に無負荷状態のかみあい歯面を特定することおよび同時かみあい歯数を特定することは困難である。黄は、Ｃ／ＳとＦ／Ｓの歯のかみあい剛性を仮定して歯のかみあいの２次元モデルを提案し、シミュレーションにより同時かみあい歯数、かみあい歯面を求めているが３次元的なかみあいは考慮していない。そこで簡便のため、本発明では、本研究では、かみあい歯数の半分である総歯数の１０％の歯が左右両歯面でかみあうと仮定して１８０度対称位置にてかみあい中心前後８枚計３４枚の歯の累積ピッチ誤差の移動平均を取り、ピッチ円半径で除することにより角度伝達誤差成分を算出する。基準位置の歯からｉ番目の右歯面及び左歯面の累積ピッチ誤差をそれぞれ、Ｃ／Ｓの場合をＰ_cR（ｉ）及びＰ_cL（ｉ）、Ｆ／Ｓの場合をＰ_fR（ｉ）及びＰ_fL（ｉ）とし、Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓの基準ピッチ円半径をそれぞれｒ_pc、ｒ_pfとすると、歯の累積ピッチ誤差から推定されるＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓの角度伝達誤差成分Ｅ_pc（ｉ）、Ｅ_pf（ｉ）を式（３．５）及び式（３．６）に示す。なおここで、Ｚ_c 、Ｚ_f はそれぞれＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓの歯数を表す。
【００８５】
【数６】

【００８６】
Ｗ／Ｇ外輪の肉厚変動の影響については、次のように求めた。この肉厚変動が誤差のないＦ／Ｓの内周に貼り付けられたとし、この内径が真円になった状態を考えると、Ｆ／Ｓのピッチ円は変形し歯にピッチ誤差が生ずる。図２７に示すように基準点からある歯までの角度をθとしたとき、ピッチ円の変形によりその歯は角度φずれることになる。角度φは、ピッチ円半径をｒ_pf、肉厚変動をθの関数としてΔｔ（θ）とすると次式で近似される。
【００８７】
【数７】

【００８８】
角度φは歯山中心のずれを表すため、左右両歯面の累積ピッチ誤差の平均値を角度に置き換えたものであるから、同様にかみあい範囲を考慮し移動平均を取った値が角度伝達誤差そのものになる。なおここでは、肉厚変動によるＷ／Ｇ外輪の曲げ剛性変動についてはＷ／Ｇ外輪の肉厚に対し肉厚変動値が約１／１０００であるため無視できるものとした。
【００８９】
以上の方法を用い、Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓの歯車の累積ピッチ誤差（図８、図９）、Ｗ／Ｇ外輪の肉厚変動（図１１）と式（３．５）、（３．６）、（３．７）より得られた角度伝達誤差成分の計算値と実験値から分析された値（図２３）の比較を図２８に示す。本図から３つの成分とも、計算値と分析値がほぼ一致していることがわかる。特にＦ／Ｓの成分では１ａｒｃ−ｓｅｃ以内の誤差となり、累積ピッチ誤差から角度伝達誤差を計算する手法は十分有効であることがわかった。またＷ／Ｇ外輪の成分もほぼ一致しており、Ｗ／Ｇ外輪の肉厚変動がＷ／Ｇ外輪の角度伝達誤差成分、すなわち出力軸１回転ごとの角度伝達誤差の変動の主な原因であることが明らかになった。また図２４、図２５に示されているその他の誤差成分の２次成分は図２３からＷ／Ｇ外輪の成分とほぼ同じ位相を持っていることがわかり、この２次成分をＷ／Ｇ外輪の成分に加えると計算値と分析値がさらに近い値となると思われる。よってその他の成分の２次成分は計算誤差によるものと推定される。次にＣ／Ｓの成分の計算値と分析値の差が他に比べ大きかった原因は、角度伝達誤差測定時と歯車誤差測定時ではＣ／Ｓの取付状態が異なるため、Ｃ／Ｓの変形が微妙に変化していたためと考えられ、Ｃ／Ｓは取付状態に対し敏感性であることが予想されるが、これについては次章で述べる。またＷ／Ｇ外輪に関してはプラス・マイナス１μｍ以下の加工誤差が性能に影響することが明らかになり、本発明では取り上げなかったボール径の相互誤差についても注意する必要があることが予想される。
【００９０】
（３．５ まとめ）
波動歯車減速機を高精度に取り付けた状態で、無負荷の角度伝達誤差を出力軸回転を何回転も連続的に測定すると共に、Ｗ／Ｇの外輪位置も同時に測定してＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓの他にＷ／Ｇも加えて、波動歯車減速機の構成要素に起因する成分の分析を行った。また波動歯車減速機の構成要素であるＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓの歯車の累積ピッチ誤差およびＷ／Ｇ外輪の肉厚変動に簡単な幾何学的計算を適用して各構成要素に起因する角度伝達誤差成分を算出し、測定値からの分析結果と比較および考察した。
【００９１】
得られた結果は次の通りである。
【００９２】
（１）合計６０８０００個の角度伝達誤差データを分析することにより波動歯車減速機の構成要素に起因する角度伝達誤差成分およびそれぞれの成分の特徴を明らかにした。
【００９３】
（２）簡単な幾何学的計算を適用してＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓの歯車の累積ピッチ誤差およびＷ／Ｇ外輪の肉厚変動の測定値から各構成要素に起因する角度伝達誤差成分が高精度に求められることを示した。これによって、無負荷の角度伝達誤差は主に左右両歯車の累積ピッチ誤差の平均値すなわち歯溝または歯中心の累積ピッチによることが確認された。
【００９４】
（３）以上から波動歯車減速機の角度伝達誤差は出力軸１回転ごとの誤差成分のほかにＷ／Ｇ外輪の肉厚変動に基づく、Ｗ／Ｇ外輪の回転周期に一致する誤差成分を持つことを初めて明らかにした。
【００９５】
第４章 無負荷角度伝達誤差の及ぼす組立誤差の影響
（４．１ はじめに）
第１章で詳述したように、波動歯車減速機の組立誤差が振動特性や角度伝達誤差に及ぼす影響については、日高ら、Ｔ．Ｗ．Ｎｙｅら、石田ら、黄の研究がある。しかし、これらの研究は、波動歯車減速機の構成要素それぞれの組立誤差を考えた時、考慮されている組立誤差の種類が十分とは言えない。また、これらの研究で高い回転精度を得るためには波動歯車減速機を高精度に組み付ける必要があることは指摘されているが、やみくもに組立誤差を高精度にすることは波動歯車減速機を取り付ける装置のコストを増大させることになるので、ポイントを押さえた装置の高精度化が必要である。従来の研究で考慮された組立誤差は、Ｃ／Ｓの半径方向の変形と倒れ、Ｗ／Ｇの倒れと心ずれ、およびＦ／Ｓの回転軸の心ずれの５種類であったが、本章では実際の使用状態を想定して後述の１１種類の組立誤差について角度伝達誤差を測定し、それぞれの組立誤差の影響度を把握し、注意すべき組立誤差を明確にする。さらに、実用上、角度伝達誤差を低減する高精度組立法を提案する。
【００９６】
（４．２ 波動歯車減速機の組立誤差の定義）
本章では波動歯車減速機の組立誤差を構成要素３部品（Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓ、Ｗ／Ｇ）に誤差が無く、その取付け時に生ずる位置ずれや弾性変形を取付誤差として定義する。まず、各取付誤差を説明するため、次の概念を定義する。
【００９７】
基本軸：Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓ、Ｗ／Ｇのいずれにも取付誤差が無い時、これら３構成要素の共通の軸線
回転軸：取付状態での減速機の入出力回転軸線（図中にも矢印で示す。）
幾何軸：取付け前の各構成要素自体の幾何学的中心線
図２９、図３０、図３１にＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓ、Ｗ／Ｇ各構成要素の取付誤差を示す。
【００９８】
図２９は、（ａ）基本軸に対してＣ／Ｓ幾何軸が偏心している場合、（ｂ）基本軸に対しＣ／Ｓの幾何軸が傾いている場合、（ｃ）Ｃ／Ｓが軸方向に変形している場合、（ｄ）Ｃ／Ｓが半径方向に変形している場合を示している。いずれも取付誤差量をδで表しているが、（ｂ）のように基本軸に対しＣ／Ｓの幾何軸が傾いている場合については、Ｃ／Ｓ取付面における最大変位量を取付誤差量とする。
【００９９】
図３０では、（ａ）基本軸に対して出力回転軸とＦ／Ｓ幾何軸が偏心している場合、（ｂ）基本軸と出力回転軸に対してＦ／Ｓの幾何軸が偏心している場合、（ｃ）基本軸と出力回転軸に対してＦ／Ｓの幾何軸が傾いている場合、（ｄ）Ｆ／Ｓの回転軸への取付部が軸方向に変形している場合を示している。取付誤差量をδについてはＣ／Ｓと同様に、（ｂ）のように基本軸と出力回転軸に対してＦ／Ｓの幾何軸が傾いている場合については、Ｆ／Ｓ取付面における最大変位量を取付誤差量とする。
【０１００】
図３１では、（ａ）基本軸に対して入力回転軸とＷ／Ｇ幾何軸が偏心している場合、（ｂ）基本軸と入力回転軸に対してＷ／Ｇの幾何軸が偏心している場合、（ｃ）基本軸に対して入力回転軸とＷ／Ｇ幾何軸が傾いている場合を示している。ここで取付誤差量として、偏心量をδ、傾きは角度φと表す。
【０１０１】
（４．３ 構成要素の取付け誤差の影響）
角度伝達誤差に及ぼす取付誤差の影響の１例として、取付誤差が無い場合と比較して角度伝達誤差測定例を図３２に示す。ここで、（ａ）は取付誤差が無い場合、（ｂ）はＣ／Ｓに半径方向にδ＝０．０１２ｍｍの変形させた場合（図２９（ｄ）参照）を示している。これから、Ｃ／Ｓの半径方向変形の取付誤差が角度伝達誤差に与える影響は非常に大きいことがわかる。
【０１０２】
（４．３．１ Ｃ／Ｓの取付誤差の影響）
図２９における（ａ）基本軸に対してＣ／Ｓ幾何軸が偏心している場合は、Ｃ／Ｓ取付フランジにＣ／Ｓを偏心させた状態で組み付け固定した。（ｂ）基本軸に対してＣ／Ｓの幾何軸が傾いている場合は、Ｃ／Ｓ取付フランジ面とハウジング面との間に薄い金属箔のシム板を挿入してＣ／Ｓ取付フランジが傾いた状態実現してＣ／Ｓを固定した。（ｃ）Ｃ／Ｓが軸方向に変形している場合についてはＣ／Ｓ取付フランジとＣ／Ｓの間にボルト締結部周辺１８０度対称位置にシム板を挿入した状態でボルトを締めＣ／Ｓに軸方向の変形を与えた。（ｄ）Ｃ／Ｓが半径方向に変形している場合は、あらかじめＣ／ＳとＦ／ＳおよびＷ／Ｇを仮組みすると、波動歯車減速機の歯のかみあい部にはプリロードがかけられるように設計されているため、そのプリロードによりＣ／Ｓが半径方向に楕円状に変形する。この状態でＣ／Ｓを固定した。変形量の調整は仮組み時のＷ／Ｇ軸方向位置を変え、歯のかみあい部にかかるプリロードを調整することによって行った。なおここで最も注意したのは、Ｃ／Ｓ取付フランジとハウジングの間に薄い金属箔のシム板を挿入してＣ／Ｓ取付フランジが傾いている状態にする時、Ｃ／Ｓ取付フランジが変形してＣ／Ｓを取付ける面の平面度が変化しない様にすることである。
【０１０３】
図３３に各種取付誤差量に対する角度伝達誤差の最大値（Ｐ−Ｐ値）の変化を示す。これより、Ｃ／Ｓに半径方向および軸方向の変形を与えると角度伝達誤差の最大値は変形量の増大にしたがって急激に大きくなること、基準軸に対する幾何軸の偏心や倒れが角度伝達誤差に与える影響は小さいことがわかる。これは、波動歯車減速機の角度伝達誤差は主としてＣ／ＳやＦ／Ｓの歯車の累積ピッチ誤差によるものであることが第３章からも明らかであるが、Ｃ／Ｓの半径方向や軸方向の変形がある場合は、この歯車誤差が敏感に変化するためと考えられる。またこの場合は、Ｃ／Ｓの歯車誤差は変化せず取付誤差の影響はＦ／Ｓの柔軟性とＷ／Ｇの調心機構により吸収されるものと考えられる。また従来の研究ではＣ／Ｓの基準軸に対する幾何軸の倒れが角度伝達誤差に与える影響が大きいと報告されているが、これらの研究はＣ／ＳおよびＦ／Ｓの歯幅が大きい従来型の波動歯車減速機を対象としていることから、本章での結果との差はこの歯幅の差によるものと考えられる。なお本章では角度伝達誤差の値を出力軸１回転で評価しており、取付誤差量と角度伝達誤差最大値の関係を求める場合Ｗ／Ｇ外輪の加工精度に起因する変動成分の影響が誤差として含まれることになるが、この影響は取付誤差による角度伝達誤差最大値の変化に比べ無視できるレベルのものである。
【０１０４】
（４．３．２ Ｆ／Ｓの取付誤差の影響）
図３０における、（ａ）基本軸に対して出力回転軸とＦ／Ｓ幾何軸が偏心している場合については、Ｃ／ＳおよびＷ／Ｇが組付けられた入力側フランジを出力回転軸に対して同方向に同量偏心させて組み付けることにより取付誤差を与えた。（ｂ）基本軸、出力回転軸に対してＦ／Ｓの幾何軸が偏心している場合については、Ｆ／Ｓと出力軸の間に取り付けられるＦ／Ｓ取付フランジを出力軸に偏心させた状態で取り付けた。（ｃ）基本軸と出力回転軸に対してＦ／Ｓの幾何軸が傾いている場合は、Ｆ／Ｓ取付フランジと出力軸の間にシム板を挿入することによりＦ／Ｓ取付フランジを傾けることによりＦ／Ｓに傾きを与えた。（ｄ）Ｆ／Ｓの回転軸への取付部が軸方向に変形している場合は、Ｆ／Ｓ取付フランジと出力軸の間にボルト締結部周辺１８０度対称位置にシム板を挿入した状態でボルトを締めＦ／Ｓ取付部に軸方向に変形を与えた。
【０１０５】
各種取付誤差量に対する角度伝達誤差の最大値の変化を図３４に示す。本図より、Ｆ／Ｓの各種取付誤差量に対する角度伝達誤差の最大値は、取付誤差の増大により増加する傾向も見られるものの、その量は極めて小さく、Ｆ／Ｓの取付誤差が角度伝達誤差に与える影響は小さいことがわかる。
【０１０６】
Ｃ／Ｓの場合大きな影響があった取付部の変形について、Ｆ／Ｓの場合他の取付誤差と同様影響は小さかった。これはＣ／Ｓの場合取付部の変形は歯車の変形となり累積ピッチ誤差を悪化させるのに対し、Ｆ／Ｓの場合角度伝達誤差に影響を与える累積ピッチ誤差は内径を基準としたものであるため、内径から歯車までの距離すなわちこの部分の肉厚が変化しない限り、累計ピッチ誤差はこと実上変化せず、取付部の変形は何らこの肉厚に変化を及ぼさないためであると考えられる。
【０１０７】
（４．３．３ Ｗ／Ｇの取付誤差の影響）
図３１において、（ａ）基本軸に対して入力回転軸とＷ／Ｇ幾何軸が偏心している場合については、Ｗ／Ｇが組み付けられた入力側フランジをハウジングに対し偏心させた状態で取り付けた。（ｂ）基本軸と入力回転軸に対してＷ／Ｇの幾何軸が偏心している場合は、入力軸径より大きな穴径を持つオルダム構成部品を使用することにより入力軸に対しＷ／Ｇオルダム機構部を偏心させた状態でそのオルダム構成部品を固定した。（ｃ）基本軸に対して入力回転軸とＷ／Ｇ幾何軸が傾いている場合は、Ｗ／Ｇが組み付けられた入力側フランジをハウジングの間にシム板を挿入することにより入力軸が傾けられた状態で組み付けた。
【０１０８】
図３５に、（ａ）の基本軸に対して入力回転軸とＷ／Ｇ幾何軸が偏心している場合および、（ｂ）の基本軸と入力回転軸に対してＷ／Ｇの幾何軸が偏心している場合の取付誤差量に対する角度伝達誤差の最大値の変化を示し、図３６に（ｃ）の基本軸に対して入力回転軸とＷ／Ｇ幾何軸が傾いている場合について示す。図３５、図３６よりＷ／Ｇの取付誤差が角度伝達誤差に及ぼす影響はほとんど無いことがわかる。これについてはＷ／Ｇのオルダム機構による調心機構が大きな役割を果たしているものと考えられる。
【０１０９】
次に、参考としてＷ／Ｇにオルダム機構が無いリジットなＷ／Ｇを使用して同様の試験を行い、オルダム機構が持つ調心機能による角度伝達誤差に対する取付誤差吸収効果について考察した。試験結果を図３７および図３８に示す。これよりリジットタイプのＷ／Ｇでは、基本軸に対して入力回転軸とＷ／Ｇ幾何軸が偏心している場合および、基本軸と入力回転軸に対してＷ／Ｇの幾何軸が偏心している場合ともに取付誤差量の増大により角度伝達誤差の最大値が増加し、Ｗ／Ｇの偏心誤差が角度伝達誤差におよぼす影響は大きいことが明らかになった。図２５の構成要素に起因する角度伝達成分のフーリエ解析の結果が示すように角度伝達誤差には入力軸１回転に対して奇数回の変動成分（奇数次成分）は現れない。これはＷ／Ｇの楕円長軸近傍の２箇所の歯のかみあいにより歯車誤差の奇数次成分が相殺されるためと考えられている。しかし、Ｗ／Ｇが調心機構を持たない場合、Ｗ／Ｇが偏心していると長軸近傍の２箇所の歯のかみあいが１箇所に集中して歯車誤差の奇数次成分を相殺できなくなり、角度伝達誤差はＷ／Ｇの偏心量の増大にともない悪化するものと考えられる。また基本軸に対して入力回転軸とＷ／Ｇの幾何軸が傾いている場合は、上記偏心誤差に比べ角度伝達誤差に及ぼす影響は小さい。これは波動歯車減速機のかみあい歯幅が大きいため、Ｗ／Ｇを傾けても歯のかみあいが１箇所へ偏ることが少ないためと考えられる。
【０１１０】
（４．４ 角度伝達誤差を低減する高精度組立て法の提案）
４．３節の結果より、Ｗ／Ｇに調心機構（オルダム機構）がある場合、波動歯車減速機の構成要素である、Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓ、Ｗ／Ｇの取付誤差の中で、Ｃ／Ｓを変形させる取付誤差が角度伝達誤差に及ぼす影響が最も大きいことが明らかになった。ここでは、波動歯車減速機を高精度の状態で使用するため、その組立て上および設計上注意すべきポイントすなわち、どのような点を注意すればＣ／Ｓを変形させずに組み立てられるかを明確にし提案する。
【０１１１】
（Ｃ／Ｓの半径方向の変形防止）
（１）取付インローの真円度および、はめあい部のクリアランスの確保
実験から明らかになったようにＣ／Ｓ幾何軸の心ずれが角度伝達誤差に及ぼす影響は小さいため、Ｃ／Ｓとその取付部材とのはめあいは、すきまばめが望ましい。
【０１１２】
（２）Ｃ／Ｓとその取付部材との締結において、ピンによる位置決めおよび固定を避ける。
【０１１３】
（３）Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓ、Ｗ／Ｇを組合せ、歯のかみあいにプリロードがかかった状態でＣ／Ｓをその取付部材に締結しない。
【０１１４】
Ｃ／Ｓをその取付部材に締結し、半径方向の剛性を確保した後、３構成要素部品を組み合わせる組立て手順とする。
【０１１５】
（Ｃ／Ｓの軸方向の変形防止）
（１）Ｃ／Ｓ取付部材の取付面平面度の確保
Ｃ／Ｓ取付部材の取付面加工時に生ずるバリ、カエリ、特にタップ加工時に生ずるネジ穴周辺の盛り上がりの除去。
【０１１６】
Ｃ／Ｓ取付部材の加工ひずみ、取付面への打痕に注意する。
【０１１７】
Ｃ／ＳとＣ／Ｓ取付部材の間への異物かみ込みを避ける。
【０１１８】
（２）取付インロー角部の面取りを十分に取る。
【０１１９】
（Ｃ／Ｓの高剛性化）
変形しにくいＣ／Ｓを設計する。ここでいたずらにＣ／Ｓの肉厚を厚くしたり、寸法を大きくすることは波動歯車減速機の持つ軽量コンパクトな利点を失う。コンパクトでかつＣ／Ｓの取付部が変形しても、歯車部分への影響が出ないような形状設計技術が望まれる。
【０１２０】
（その他設計上および組立て上の注意点）
調心機構を持たないＷ／Ｇを使用する場合は、入力軸の回転軸の偏心および入力軸の回転軸に対するＷ／Ｇの幾何軸の偏心を極力小さくすることが重要である。
【０１２１】
（４．６ まとめ）
組立誤差が波動歯車減速機の角度伝達誤差に与える影響について開発した試験機を用いて詳細な測定を行った。この結果、波動歯車減速機において、最も注意すべき取付誤差は、Ｃ／Ｓに半径方向および軸方向の変形を与える取付誤差であることが明らかになった。Ｃ／Ｓの軸方向変形が角度伝達誤差に与える影響については本章で初めて明らかになったものである。従来の研究より指摘されていた基本軸に対するＣ／Ｓの幾何軸の傾きが角度伝達誤差に与える影響については、本発明で対象とした型式の波動歯車減速機では無視できることが明らかになった。また調心機構を持たないＷ／Ｇを使用する場合はＷ／Ｇの取付誤差が角度伝達誤差に及ぼす影響が大きく特にＷ／Ｇの偏心誤差に注意すべきであることが明らかになった。以上組立誤差が波動歯車減速機の角度伝達誤差に与える影響を定量的に示し、またこれらの結果からポイントを押さえた高精度組立てに対する指針を示した。
【０１２２】
（第５章：角度伝達誤差に及ぼす負荷トルクの影響）
（５．１ はじめに）
第２章、第３章では、波動歯車減速機の回転精度の一つの指標である無負荷時の角度伝達誤差の特徴について明らかにしてきた。しかし、実用上ほとんどの場合、波動歯車減速機は負荷トルクを受けた状態で使用されるため、負荷トルクを受けた状態での角度伝達誤差を把握することは実際の使用状態での振動問題を議論する上で重要である。石田らは、ある特定の負荷状態で波動歯車減速機の角度伝達誤差を測定し、無負荷時の角度伝達誤差に対し、Ｗ／Ｇのボールの通過周期に一致した成分が増加すること、一方向負荷で、入力回転方向を変えると角度伝達誤差の波形が異なることなどを明らかにしたが、負荷トルクによる角度伝達誤差の波形変化の理由について明確にはされておらず、また負荷トルクを変化させた場合の挙動や歯車誤差との関係については検討されていない。
【０１２３】
そこで本章では、高精度な組立状態およびＣ／Ｓに変形を与えた状態で負荷トルクを変化させた場合の角度伝達誤差を測定し、成分分析を行った。またその結果から負荷トルクが角度伝達誤差に与える影響や歯車誤差との関係について考察した。
【０１２４】
（５．２ 負荷時の角度伝達誤差の特徴）
負荷トルクが角度伝達誤差に及ぼす影響を調べるために第２章で説明したように、出力軸に取り付けられたプーリにワイヤを２本それぞれ同方向に巻き、錘を吊るすことにより静的な負荷トルクを与え、このときの角度伝達誤差を測定した。
【０１２５】
負荷トルクは、定格トルクの０％、それぞれプラス・マイナス１０％、２０％、４０％、および７０％とし、入力回転数は錘の振動を避けるため３０ｒｐｍで行った。ここで負荷トルクの符号は正を錘巻き下げ、負を巻き上げ方向とする。また入力回転方向は常に一定としてワイヤを巻き付ける方向を逆にすることにより負荷方向を変えている。
【０１２６】
図３９に各負荷トルクにおける出力１回転の角度伝達誤差を示す。第３章図２１と同様に外輪の位置を丸印及び三角印で示している。図２１と比べると、各負荷トルクにおいて外輪の位置が異なるため角度伝達誤差の波形は大きく異なっているが振幅値には大きな差が認められない。一般的なインボリュート平歯車に負荷トルクが加えられる場合、かみあっている歯がたわみ、同時かみあい歯数（かみあい率）が１歯かみあい、２歯かみあいと変化する。この結果歯のかみあい剛性が変化するため、加えられた負荷トルクにより角度伝達誤差は大きく変化する。これに対し、波動歯車減速機の場合は同時かみあい歯数が多いため、このような現象が生じないためと考えられる。
【０１２７】
またこの測定結果より、外輪の移動速度は負荷トルク間や出力１回転中でかなり変化し、それに伴い角度伝達誤差が変動していることが認められる。これはＦ／Ｓ内周面と外輪外周面での滑り速度が滑り面の摩擦状態により変化するためと考えられる。このため回転速度、負荷、温度等が変化する場合、外輪の挙動を特定することは困難である。
【０１２８】
次に、負荷時の角度伝達誤差に対して成分分析を行った。図３９からわかるように外輪の移動速度が一定でないため、Ｆ／Ｓに起因する成分と外輪に起因する成分の分離は困難である。そこで、このような状態でも成分の分離が容易でかつ角度伝達誤差の主成分であるＣ／Ｓに起因する成分について考察を行った。
【０１２９】
図４０に各負荷トルクにおけるＣ／Ｓに起因する成分１周期を示す。図では、中間に示された波形が無負荷の場合を、上側が正方向負荷、下側が負方向負荷の場合を示す。図よりＣ／Ｓに起因する成分の振幅は負荷方向に関係なく大きな差は認められない。しかし波形については、無負荷の場合は１周期に２回変動する波形が比較的平坦であるのに対し、正方向負荷時は右上がりの形状、負方向負荷時は左上がりの形状となっており明確に負荷トルクによりＣ／Ｓに起因する成分が変化していることがわかる。また負荷トルクが０から定格トルクのプラス・マイナス２０％まではこの変化の度合いが大きく、それ以上のトルクでは変化が小さいように見える。これは無負荷状態では歯のかみあいが左右両歯面平均的に行われているのに対し、負荷状態では負荷方向により左右いずれかの片歯面のかみあいとなるためと考えられる。図から無負荷時の両歯面かみあい状態から片歯面かみあいへの移行は比較的低トルクで完了するものと読み取れる。
【０１３０】
（５．３ 負荷によるかみあい歯面の移動を考慮した角度伝達誤差の評価）
ここで負荷トルク時の角度伝達誤差のＣ／Ｓ成分とＣ／Ｓの累積ピッチ誤差から算出した角度伝達誤差のＣ／Ｓ成分との比較を行った。Ｃ／Ｓの累積ピッチ誤差からの角度伝達誤差の算出方法は、まず、歯のかみあいが完全に片歯面で行われ、また負荷トルクによる同時かみあい歯数の変化はないものと仮定し、式（３．５）に基づいて行う。ここで、本実験ではＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓの歯は正方向負荷の場合は右歯面がかみあい、負方向負荷の場合は左歯面がかみあう方向に荷重がかる。そこで角度伝達誤差を正方向負荷の場合Ｅ_pcR 、負方向負荷の場合Ｅ_pcL とすると、それぞれ式（５．１）、式（５．２）で表される。また、無負荷の場合は式（３．５）で表されるようにＥ_pcR とＥ_pcL を平均して求められる。
【０１３１】
【数８】

【０１３２】
Ｃ／Ｓの累積ピッチ誤差測定値に上式を適用して計算されたＣ／Ｓの角度伝達誤差成分と定格トルクの±７０％の場合の実験値から分析されたＣ／Ｓの角度伝達誤差成分の比較と図２８の無負荷の場合も合わせて図４１に示す。正方向負荷、負方向負荷とも角度伝達誤差成分波形を近似できている。これより負荷トルクが角度伝達誤差に及ぼす影響は、歯のかみあいが片歯面かみあいに移行することにより生ずることが明らかになった。よって左右歯面の累積ピッチ誤差の差、即ち歯溝の振れ誤差が大きいと負荷トルクによる角度伝達誤差の変化は大きくなることが予想される。
【０１３３】
日高らは、波動歯車減速機の振動の原因は角度伝達誤差とＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓの歯のかみあい位置によるねじり剛性の変動であると指摘しているが、このねじり剛性変動は、２負荷間でのねじれ量の差、即ち負荷状態での角度伝達誤差の差によるものであり、本実験で明らかになった負荷トルクに応じて歯のかみあい歯面が変化することが原因と考えられる。
【０１３４】
次に本章での実験では分析できなかったＦ／ＳおよびＷ／Ｇ外輪に起因する角度伝達誤差成分が負荷時にどのように変化するかを式（５．１）、（５．２）に基づき算出する。なおＷ／Ｇ外輪の肉厚変動は次のように算出する。
【０１３５】
図４２は図２７と同様にＷ／Ｇの肉厚変動によりＦ／Ｓのピッチ円が真円状態から変形し、その変形したピッチ線上に等ピッチの歯が刻まれている状態を示している。図に示すように基準点からある歯までの角度をθ、ピッチ円半径をｒ_pf、肉厚変動をθの関数としてΔｔ（θ）、その時の歯中心のずれ角をφ、ピッチ円の変形前の基準となる歯からの右歯面の累計ピッチ誤差をＰ_fR、左歯面の累計ピッチ誤差をＰ_fLとすると、Δｔ（θ）は歯溝の振れであるから式（５．３）の関係が成り立つ。
【０１３６】
【数９】

【０１３７】
ここでＺ_f はＦ／Ｓの歯数、α₀ は基準圧力角、αは累積ピッチ誤差測定点の圧力角、ｘは転位係数を示す。なお本発明で対象とした波動歯車減速機のＦ／Ｓの歯数は３２０と多く、インボリュート部の歯形はほぼ直線であるためψ＝α₀ と近似できる。
【０１３８】
また歯中心の累積ピッチ誤差ｒ_pfφは右左両歯面の累積ピッチ誤差の平均であるから次式のようになる。
【０１３９】
【数１０】

【０１４０】
式（５．３）、（５．４）から、Ｗ／Ｇの肉厚変動により生ずる右歯面の累積ピッチ誤差Ｐ_fR、左歯面の累積ピッチ誤差Ｐ_fLはそれぞれ式（５．５）、（５．６）で近似される。
【０１４１】
【数１１】

【０１４２】
これらを用い式（５．１）、（５．２）に基づき角度伝達誤差を算出する。
【０１４３】
以上により得られたＦ／ＳおよびＷ／Ｇ外輪に起因する角度伝達誤差成分の負荷時の変化を図４３および図４４に示す。図より負荷時のＦ／Ｓの角度伝達誤差成分はこの場合無負荷時と比較して振幅が大きく、また波形は大きく異なっている。負荷時のＷ／Ｇの角度伝達誤差成分は無負荷時と比較して振幅の変化はＦ／Ｓの場合に比べ少ないが、波形の位相が変化していることがわかる。
【０１４４】
（５．４ まとめ）
高精度の組み付け状態およびＣ／Ｓに変形を与えた状態で、負荷トルクを変化させた場合の角度伝達誤差を測定し、第３章で用いた角度伝達誤差の成分分析手法により分析した。また合わせて負荷状態の歯のかみあいを片歯面かみあいと仮定しその累積ピッチ誤差から角度伝達誤差を近似した。この結果、無負荷状態での角度伝達誤差は主に歯車の左右歯面の累積ピッチ誤差の平均値に依存する（第３章）のに対して負荷状態の角度伝達誤差は左または右歯面の累積ピッチ誤差に依存し、負荷トルクによる角度伝達誤差の変化は、左右歯面の累積ピッチ誤差の差、すなわち歯溝の振れの影響を大きく受けることを初めて明らかにした。
【０１４５】
（第６章：歯車誤差に基づく角度誤差の評価）
（はじめに）
波動歯車減速機の角度伝達誤差は歯車の累積ピッチ誤差によるものであるといわれている。本発明では前章までに精密な角度伝達誤差測定および歯車誤差測定にもとづき次の内容を明らかにした。第３章では無負荷時Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓは両歯面かみあい状態となっているため、左右両歯車の累積ピッチ誤差の平均値、およびＷ／Ｇの外輪肉厚変動から求められた相当ピッチ誤差（左右両歯面の累積ピッチ誤差の平均値に相当）から正確に角度伝達誤差が算出できることを確認した。第５章では負荷時の角度伝達誤差は、負荷トルクがある程度以上となると片歯面かみあいとなり、負荷トルクの方向によって左または右歯面の累積ピッチ誤差から算出できることを明らかにした。また、第４章ではＣ／Ｓの変形が角度伝達誤差に及ぼす影響は非常に大きく、これはＣ／Ｓの変形がＣ／Ｓの歯車誤差に影響しているためでるあることを推定した。
【０１４６】
本発明の目的は波動歯車減速機を低振動化するための手段を見いだすことであり、そのために、高密度に波動歯車減速機の振動に関する特性を把握し、振動モデルによるシミュレーションを行うこととした。振動シミュレーションを行うためには前章までに明らかにされた波動歯車減速機の角度伝達誤差特性を明確にして式化する必要がある。そこで本章では、まず、負荷トルクとかみあい歯面の移行（両歯面かみあいから片歯面かみあいへの変化）の関係を求め、歯車誤差から負荷時および無負荷時の角度伝達誤差を表現できる表現式を提案する。また、Ｃ／Ｓの取付けによる変形が歯車誤差に及ぼす影響について定量的に調査し、この結果を用い提案した角度伝達誤差の表現式の妥当性を検証する。
【０１４７】
（６．２ 無負荷の角度伝達誤差とピッチ誤差に基づく歯車誤差の導出）
（６．２．１ 負荷トルクとかみあい歯面移行の関係）
ここでは波動歯車減速機の負荷トルクとかみあい歯面の移行の関係を明らかにする。波動歯車減速機に取付誤差を与えると角度伝達誤差が大きくなるので、負荷トルクの影響も高精度組付けの場合より顕著となる。そこで、Ｃ／Ｓに半径方向の変形を与えて強制的に減速機の角度伝達誤差を与え、これを測定して、Ｃ／Ｓに起因する成分を分析した。この結果を図４５に示す。ここでＣ／Ｓ半径方向変形量は約１２μｍである。この場合、図４０の高精度組付けの場合と異なり、負荷トルクにより波形の遅れ進みが明確に分かる。また、この位相の遅れ進みは図４０の波形変化の様子と同様に低負荷領域で大きく、それ以上での変化は小さい。図４６にはそれぞれのデータを重ねて示す。図中、太線は無負荷、点線は正方向負荷、細線は負方向負荷でのＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分である。これにより負荷トルクによるＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分の波形の差および位相の違いがより明らかにわかる。
【０１４８】
そこで、それぞれのＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分をフーリエ解析し２次成分の位相角を求めた。この２次成分の位相角と負荷トルクとの関係を図４７に示す。ここで横軸は定格トルクに対する負荷トルクの比率で表している。位相角は無負荷時を基準としそれとの差を示す。また黒丸印は測定値のフーリエ２次成分を示す。本図より位相角は定格トルクの±２０％の低負荷領域でほぼ直線的に変化しそれ以上での変化は微少であることが分かる。これは無負荷時の両歯面かみあいから負荷トルクにより片歯面かみあいへの移行する状態を表すものであると考えられる。またこの位相変化特性の非線形性は、杉本が波動歯車減速機のねじり剛性の研究の中で指摘している負荷トルクによるＦ／Ｓの変形の非線形性によるものであると考えられる。
【０１４９】
（６．２．２ 角度伝達誤差の表現式の提案）
歯車誤差と角度伝達誤差との関係に基づき、片歯面移行後および無負荷時の角度伝達誤差を図４８に示す。ここでθ_eLは正方向負荷時でＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓの左歯面の累積ピッチ誤差に基づく角度伝達誤差であり、θ_eRは負方向負荷時でＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓの右歯面の累積ピッチ誤差に基づく角度伝達誤差、θ_eOは無負荷時でＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓの左歯面と右歯面の累積ピッチ誤差の平均値すなわち歯溝中心の累積ピッチ誤差に基づく角度伝達誤差とする。またそれぞれを入力軸回転角θ_i の関数とすると式（６．１）が成り立つことになる。
【０１５０】
次に新たに式（６．２）で定義される左歯面の角度伝達誤差と右歯面の角度伝達誤差との差の半分、すなわち歯溝のふれ誤差の基づく角度伝達誤差としてθ_d を導入するとθ_eL、θ_eRはそれぞれ式（６．３）、（６．４）で表されることになる。
【０１５１】
【数１２】

【０１５２】
さらに両歯車かみあいから片歯面かみあいへの移行過程を次のように表現することとする。第５章の負荷トルクに対する角度伝達誤差成分の位相特性に基づき図４９に示すかみあい移行関数αを次式で定義する。αは負荷トルクＴの関数である。ここでＴ_R は定格トルクである。
【０１５３】
【数１３】

【０１５４】
かみあい移行関数αを式（６．３）、（６．４）に導入して、任意の負荷トルクＴにおける正方向負荷時および負方向負荷時の角度伝達誤差を表す式（６．６）を提案する。この式により、無負荷時の角度伝達誤差θ_eOと歯溝のふれに基づく角度伝達誤差θ_d を知れば任意の負荷トルクＴにおける角度伝達誤差θ_e がわかる。
【０１５５】
【数１４】

【０１５６】
（６．３ 歯車誤差に及ぼすサーキュラスプラインの取付誤差の影響）
ここでは６．２．１項で使用した半径方向変形量１２μｍのＣ／Ｓについて累積ピッチ誤差測定を行い、Ｃ／Ｓの変形が歯車誤差に及ぼす影響について考察する。
【０１５７】
Ｃ／Ｓ外周で測定した変形状態を図５０に示す。この場合Ｃ／Ｓはほぼ楕円状に変形していることが分かる。図５１には、この状態における累積ピッチ誤差の測定結果を示す。図８と比較すると左右両歯面とも特に２次成分が増大しておりまた左右両歯の差も増大していることが分かる。
【０１５８】
次に第３章の手法および６．２節の考え方を用い、Ｃ／Ｓを添字ｃで示して、歯車誤差から導出されたＣ／Ｓに起因する歯溝中心の累積ピッチ誤差に基づく角度伝達誤差成分θ_eOc 、歯溝のふれ誤差に基づく角度伝達誤差成分θ_dcをＣ／Ｓに半径方向変形を与えた場合と与えない場合について比較して図５２に示す。（ａ）はθ_eOc 、（ｂ）はθ_dcを示す。θ_eOc 、θ_dcは式（５．１）、（５．２）と式（６．１）、（６．２）より次式で表される。
【０１５９】
【数１５】

【０１６０】
本図よりＣ／Ｓに半径方向変形を与えた場合θ_eOc 、θ_dcともに大きく増大していることが分かる。またこの場合θ_eOc とθ_dcでは位相が大きく異なっているのもこれら成分の特徴である。また累積ピッチ誤差に比べθ_eOc 、θ_dcの方が、Ｃ／Ｓの半径方向変形を与えた場合と与えない場合で差が大きい。これは累積ピッチ誤差に含まれる偏心による誤差成分すなわち１次成分に代表される奇数次の成分は、波動歯車変速機の特徴である長軸付近の２ヶ所でのかみあいにより相殺されるためと考えられる。よって歯車の累積ピッチ誤差から角度伝達誤差を評価する場合、奇数次の成分は除いて考えるべきである。
【０１６１】
（６．４ 歯車誤差に基づく角度伝達誤差評価の検証）
Ｃ／Ｓを半径方向に１２μｍ変形させた場合の負荷トルクとＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分について、測定値分析結果と歯車誤差に基づく計算結果の比較を図５３に示す。本図より測定値分析値と歯車誤差に基づく計算値の波形は負荷時に若干の位相のずれが認められるものの大変良く一致しており、本章で提案した角度伝達誤差の表現式（６．６）は十分有効であると考えられる。
【０１６２】
ここで負荷時の位相のずれについて、計算値の方が正方向負荷時は位相が進み、負方向負荷時は位相が遅れる傾向にある。これは本表現式では考慮しなかった負荷トルクによるＦ／Ｓの変形に起因するかみあい領域の移動によるものと考えられる。正方向負荷時は右歯面すなわちＷ／Ｇの回転方向と逆の歯面がかみあっているがＦ／Ｓの変形によりかみあい領域がＷ／Ｇの回転方向と逆方向に移動することを示すものであり杉本、張らの研究結果と一致しており、これを考慮すればさらに正確に近似できると思われる。
【０１６３】
（６．５ まとめ）
本章では第３章、第４章、第５章の成果に基づき、歯溝のふれ誤差に基づく角度伝達誤差θ_d およびかみあい移行関数αを導入し、任意の負荷状態における角度伝達誤差を歯車誤差から導出する表現式を提案した。またＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分について測定値分析結果と歯車誤差に基づく計算結果の比較を行い、測定値分析値と歯車誤差に基づく計算値が良く一致しており、本章で提案した角度伝達誤差の表現式（６．６）、（６．７）は十分有効であることを示した。
【０１６４】
（第７章：動的角度伝達誤差）
（７．１ はじめに）
市場で問題とされる波動歯車減速機の振動は、特定の回転数で発生するねじり共振振動である。この原因を明らかにするため、日高らは１自由度のアーム駆動装置を１自由度のねじり振動系でモデル化する方法で解析した。この結果、ねじり振動の原因は波動歯車減速機の角度伝達誤差と剛性変動であり、それぞれが加算的に作用する事を示した。しかしこの解析では波動歯車減速機の角度伝達誤差として、Ｃ／ＳおよびＦ／Ｓの歯みぞの振れから推定した値を用いており、また剛性変動は３点の歯のかみあい位置でのトルク−ねじれ特性を測定しモデル化したもので、現在求められる振動レベルを議論する場合、正確さに欠ける。
【０１６５】
そこで本章では、先ず日高らのモデル化を踏まえ、第６章までで得られた波動歯車減速機の正確な静特性データおよび本章で実験的に求めた減衰比、剛性特性を用い振動解析を行い、また本発明で対象としている波動歯車減速機の動的角度伝達誤差を実測し比較検討する。またこれらの検討に基づいて、本発明で目標とする振動レベル（共振時振幅２０ａｒｃ−ｓｅｃ以下）を実現するための具体策を提示する。
【０１６６】
（７．２ ねじり 振動のシミュレーション）
（７．２．１ 振動のモデル化）
日高らの研究を踏まえ、本発明での試験装置の振動モデルを図５４に示すように１自由度モデルとする。図５４（ｂ）は減速比ｉを考慮した図５４（ａ）の等価振動モデルである。ここでＪ_M をモータの慣性モーメント、Ｊ_C をカップリングの慣性モーメント、Ｊ_ISを入力軸の慣性モーメント、Ｊ_WGをＷ／Ｇの慣性モーメントとすると入力側慣性モーメントＪ_I は式（７．１）で表される。また、Ｊ_FSをＦ／Ｓの慣性モーメント、Ｊ_OSを出力軸の慣性モーメント、Ｊ_P をワイヤを巻き付けるプーリーの慣性モーメント、Ｊ_D を慣性円盤の慣性モーメント、Ｊ_L を錘の慣性モーメントとすると出力側慣性モーメントＪ_O は式（７．２）で表される。次にＫ_C をカップリングのねじり剛性、Ｋ_ISを入力軸のねじり剛性、Ｋ_HDを波動歯車減速機が一つのばねであると考えた時のねじり剛性、Ｋ_OSを出力軸のねじり剛性とすると減速比を考慮した等価ねじり剛性Ｋ_eqは式（７．３）で表される。
【０１６７】
【数１６】

【０１６８】
さらに図５４（ｂ）のモデルは図５４（ｃ）の１自由度系のモデルに置き換えられる。ここで等価慣性モーメントＪ_eq、回転角θはそれぞれ式（７．４）、（７．５）となる。式（７．５）の、回転角θを本研究では動的角度伝達誤差と呼ぶ。静的な測定においてはこの回転角θは角度伝達誤差θ_e に相当する。
【０１６９】
【数１７】

【０１７０】
波動歯車減速機が持つ角度伝達誤差θ_e に着目して、この等価１自由度モデルより振動方程式を導くと式（７．６）となる。ここでＣ_eqは等価粘性係数で減衰比ζより式（７．７）で表される。またＦは系に加えられる外力を表し出力軸の摩擦トルクＴ_fo、慣性円盤につけられた錘の重力によるトルクＴ_w とその位相角φ_w により式（７．８）で表される。
【０１７１】
【数１８】

【０１７２】
ここで本試験装置では表１、表２、式（７．１）よりＪ_I ＝３４６．６ｋｇｍ² 、Ｊ_O ＝２６．６ｋｇｍ² 、式（７．４）よりＪ_eq＝２４．７ｋｇｍ² である。またＴ_fo＝１．２Ｎｍ、Ｔ_w ＝０または２５０Ｎｍである。
【０１７３】
（７．２．２ 歯車誤差を考慮したねじり剛性の決定法）
波動歯車減速機のねじり剛性は負荷トルクに依存する非線型な特性を持っており、また歯車誤差のため、かみあい位置によっても変動する。ここでは負荷時の角度伝達誤差に着目し、第６章で提案した角度伝達誤差の表現式を利用してねじり剛性を求める方法について述べる。
【０１７４】
あるかみあい位置での無負荷の伝達誤差をθ_eO、負荷トルクＴがかけられた時の角度伝達誤差をθ_e 、平均ねじれ角をθ_ave （図５５）とすると、この位置における真のねじれ角はθ_e ＋θ_ave −θ_eOであるから、ねじり剛性Ｋは式（７．９）で表される。
【０１７５】
【数１９】

【０１７６】
ここで式（７．９）に第６章式（６．６）を代入すると、
【０１７７】
【数２０】

【０１７８】
となる。ここで、αはかみあい歯面移行関数、θ_d は歯溝の振れ誤差に基づく角度伝達誤差である。θ_ave はかみあい位置によって変動しない平均ねじれ角と定義されているので一定値であるが、θ_d はかみあい位置によって変動する。よってθ_d がねじり剛性の変動の原因となっていることがわかる。
【０１７９】
つぎに負荷トルクＴが平均ねじれ角θ_ave の関数Ｔ＝ｆ（θ_ave ）として表されるとして前項振動モデルにおける回転角θとねじれにより発生するトルクＴの関係を図５６に示す。灰色線▲１▼は誤差のない場合の平均ねじれ特性を示す。破線▲２▼は無負荷の角度伝達誤差のみを考慮した場合を示し、灰色線▲１▼を無負荷の角度伝達誤差θ_eOの分だけ平行移動したものである。実線▲３▼は負荷時の角度伝達誤差を考慮した場合で、破線▲２▼に対しα（Ｔ）θ_d を加算したものである。この図より回転角θの時のねじれ角θ_ave は式（７．１１）、ねじり剛性Ｋは式（７．１２）となり、この時のトルクＴは式（７．１３）で表されることになる。
【０１８０】
【数２１】

【０１８１】
次にねじれ角とトルクＴの関係を実測により求めた。測定は入力軸を固定し出力軸にトルクをかける方法としたため、波動歯車減速機と入力軸および出力軸のねじれが合わされて測定される。しかし本試験装置の入力軸と出力軸とを合わせたねじり剛性は減速比を考慮すると波動歯車減速機のねじり剛性に対し１０〜１５倍と大きいため得られたねじり特性は波動歯車減速機そのものの特性と考えても良い。
【０１８２】
本実験ではトルクのかけ方として次の２種類の方法を用い測定した。
【０１８３】
（ａ）正方向の最大トルクを加えた後ねじれ角を連続的に測定しながら負方向の最大トルクまで変化させ、次にねじれ角を連続的に測定しながら正方向の最大トルクまで変化させねじれ角を測定する方法。なお、この方法は波動歯車減速機のねじれ特性の測定として従来の研究で行われている方法である。
【０１８４】
（ｂ）まず正方向にトルクをかけねじれ角を測定し、除かした後で負方向に同じ大きさのトルクを加えてねじれ角を測定する。次に、トルクを増加させて同様の測定を行い、これを最大トルクまで繰り返す方法。
【０１８５】
この２種類の方法で測定した結果を図５７、図５８に示す。図５８は図５７の低負荷領域を拡大した図である。図中、実線で表したものが（ａ）の方法による結果で線上矢印はトルク変化の方向を示している。黒丸印は（ｂ）の方法で測定された結果で図５８に加えられたトルクの方向を矢印で示している。なお、これらの値は入力軸４５度ごとの異なったかみあい位置４箇所で測定されたデータを平均したものであり、ねじれ角は平均ねじれ角θ_ave に相当する。
【０１８６】
ここで（ａ）の方法ではトルクの増加時と減少時でねじれ角が異なるヒステリシス特性が測定されている。（ｂ）の方法は正方向、負方向ともトルク増加時のねじれ角の測定結果を示すもので、ある測定点と次の測定点間にはこのヒステリシスが存在する。すなわち（ａ）の方法で測定されたヒステリシス曲線は（ｂ）の方法で正方向の最大トルク時の測定点と負方向の最大トルク時の測定点の真のねじれ角の軌跡を表すものである。
【０１８７】
実際の振動状態での負荷トルクの変動はこの測定の最大トルクに比べ小さいため、振動中のヒステリシスは小さいことが予想されるので、ねじり剛性特性を近似する上で（ｂ）の方法による測定結果を用いることとした。
【０１８８】
図５９は図５７の（ｂ）のデータをねじれ角に対するトルクに表し直した図で、このデータを多項式近似し得られた関係式を式（７．１４）に示す。なお、トルク３００Ｎｍ以上（ねじれ角０．００１５７ｒａｄ以上）については直線関係にあると仮定した。また、ここでは考慮されていないモータと入力軸間のカップリングのねじり剛性は波動歯車減速機に対し減速比を考慮すると約２８０００倍となり事実上無視できる。よってこのトルクＴを式（７．１２）に代入して得られるねじり剛性Ｋ＝Ｋ_eqである。
【０１８９】
【数２２】

【０１９０】
図６０にはトルクＴに対するねじり剛性（式（７．１４）をθ_ave で割った値）の関係を示す。この図より第５章で両歯面かみあいが片歯面かみあいに移行する領域と仮定した定格トルクの±２０％（６０Ｎｍ）付近の領域で負荷トルクが低下するに従い、ねじれ剛性が急激に増加していることがわかる。この特性が波動歯車減速機の持つ繰り返し位置決め精度１ａｒｃ−ｓｅｃ以下という高精度位置決め特性に大きく貢献しているものと考えられる。また、この原因は波動歯車減速機の歯のかみあいにはあらかじめ与圧がかけられており、この摩擦力によりねじり特性が外乱に対して鈍感になっていることが考えられる。
【０１９１】
なお、ここで求められたねじり剛性は歯のかみあい位置に依存しない平均ねじり剛性を示すものである。
【０１９２】
以上、ここでは歯車誤差に基づくねじり剛性の決定方法を示すとともに、試験装置を含む波動歯車減速機のねじり特性を実測により詳細に近似した。
【０１９３】
（７．２．３ 減衰係数の推定）
減衰係数は振動モデルを解析する上で大きなポイントとなる。本項では実験的に試験装置の自由振動減衰波形より対数減衰比（以下減衰比）ζを求め式（７．７）より減衰係数を推定した。
【０１９４】
減衰比の負荷トルクおよび入力側の拘束条件による影響を明らかにするため以下の条件での計測を行った。なお、入力駆動モータは２．５ｋＷＡＣサーボモータを使用した。
【０１９５】
（１）負荷トルクのかけ方
負荷トルクを変化させた時も負荷慣性の条件は等しくするため次のように負荷トルクを与えた。本試験装置では出力軸に取り付けられた慣性円盤上の中心から４７０ｍｍの１８０度対称位置に錘が取り付けられるようになっている。錘は４個あり、これらを取付位置に２個ずつ取り付けると無負荷状態となり、一箇所に４個取り付けると最大負荷トルク２５０Ｎｍとなる。また、中心からの距離を同じにして、１８０度対称位置に２個ずつ取り付けると出力軸の回転位置にかかわらず無負荷状態となる。
【０１９６】
（２）入力側の拘束条件
（ａ）入力軸端を固定し、出力慣性円盤外周部に細いワイヤにより錘を吊るし、このワイヤを切断することにより出力軸に回転方向の衝撃を与え自由振動させる。
【０１９７】
（ｂ）入力駆動モータをサーボロックし、以下（ａ）と同じ。
【０１９８】
（ｃ）入力駆動モータを１００ｒｐｍにて回転させ出力慣性円盤の錘をハンマリングし出力軸に回転方向の衝撃を与え自由振動させる。
【０１９９】
以上の方法で測定された（ａ）、（ｂ）、（ｃ）それぞれの条件における負荷トルクに対する減衰比を図６１に示す。ここで三角印は入力軸固定、丸印は入力駆動モータサーボロック、四角印は入力駆動モータ回転時の値を示す。なお入力駆動モータ回転時については正方向負荷時を灰色四角印、負方向負荷時を黒色四角印としている。本図より、（ａ）、（ｂ）、（ｃ）３条件とも負荷トルクが増大するに従い減衰比が減少している。特に（ａ）の入力軸固定時では無負荷条件ではζ＝０．０６程度であるが負荷トルク２５０Ｎｍでは約４分の１のζ＝０．０１５に減少している。（ｂ）の入力駆動モータサーボロック時では６０Ｎｍよりトルクが減少するに従い減衰比は急激に増加しているが、この部分を除けば減衰比の大きさは（ｃ）の入力駆動モータ回転時が最も大きく次いで（ｂ）の入力駆動モータサーボロック時、（ａ）の入力軸固定時の順となっている。また（ｃ）の入力駆動モータ回転時では正方向負荷時と負方向負荷時では正方向負荷時の方が減衰率は低い。
【０２００】
まず減衰率に与えるトルクの影響であるが、トルクが増大するに従い減衰率が減少する原因として次のように考える。トルクが増大するに従いかみあい歯面の面圧が増大し摩擦力が大きくなるため、かみあっている歯同士の滑りが減少し相対運動が低下する。これにより摩擦、粘性流体抵抗による振動エネルギー吸収が減少し減衰率が減少する。
【０２０１】
次に入力の拘束条件が減衰率に与える影響については、入力の拘束がサーボモータで行われる場合サーボの制御部が持つ減衰特性の影響のため入力固定時に比べ減衰率が大きくなるものと予想される。サーボロック時の低負荷領域での減衰率増加現象については原因は定かではないがサーボの制御特性によるものではないかと思われるが、この現象がおきる負荷領域が第６章で論じている、かみあい歯面の移行領域と一致するのは興味深いところである。また回転時は前述の摩擦による歯の相対運動減少が少なくなるため減衰率が大ききなるものと考えられる。
【０２０２】
以上の結果から、本項で行う動的角度伝達誤差測定の試験条件に最も近い（ｃ）の入力駆動モータ回転時の減少率の値（四角印、灰色四角印、黒色四角印）を基に（ａ）、（ｂ）の負荷トルクに対する傾向を考慮して図６１に示す実線（負方向負荷時）及び破線（正方向負荷時）を本試験装置における減衰率と推定した。ここで減衰率ζは式（７．１５）、（７．１６）に示すようにトルクの関数として表す。
【０２０３】
【数２３】

【０２０４】
（７．２．４ 角度伝達誤差の導入方法）
第３章、第５章で得られた角度伝達誤差成分データを振動モデルに導入するため次のように角度伝達誤差を式化した。
【０２０５】
振動モデルに必要となる角度伝達誤差は、無負荷時の角度伝達誤差θ_eOと歯溝のふれ誤差に基づく角度伝達誤差θ_d である。θ_eO、θ_d はともにＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓ、Ｗ／Ｇ外輪、そしてこれら以外の成分からなっているため、まずそれぞれの成分を求める必要がある。
【０２０６】
まず無負荷時の角度伝達誤差θ_eOについては第３章での無負荷時の角度伝達誤差の成分分析で得られたＣ／Ｓの成分Ｅ_c 、Ｆ／Ｓの成分Ｅ_f 、Ｗ／Ｇ外輪の成分Ｅ_o 、未だ特定できないその他の誤差Ｅ_u を用いた。またＣ／Ｓに半径方向の変形を与えた場合は第６章で得られた成分分析結果を用いた。
【０２０７】
歯溝のふれ誤差に基づく角度伝達誤差θ_d については、まずＣ／Ｓの成分を第５章および第６章の負荷時の角度伝達誤差成分分析結果から得られたデータのうち、定格トルクの２０％、４０％、７０％負荷時のデータを相加平均して求めた。またＦ／Ｓの成分は歯車精度測定で得られた右および左歯面の累積ピッチ誤差より、Ｗ／Ｇ外輪の成分は肉厚誤差をＦ／Ｓの歯の累積ピッチ誤差に換算することにより求めた。なお未だ特定できないランダム誤差については、ここでは無視した。
【０２０８】
次にこれらのデータの振動モデルへの導入法について説明する。
【０２０９】
（１）それぞれの１周期（それぞれの構成要素に対して入力軸が１回転する周期）分のデータをフーリエ解析し、次のような入力軸回転角度θ_i に対するフーリエ級数の形で表す。
【０２１０】
【数２４】

【０２１１】
ここで、フーリエ級数で表されたそれぞれの成分を、無負荷時の角度伝達誤差θ_eOについてのＣ／Ｓの成分、Ｆ／Ｓの成分、Ｗ／Ｇ外輪の成分、およびその他の成分をＥ_Oc、Ｅ_Of、Ｅ_Oo、Ｅ_Ouとして、また歯溝のふれ誤差に基づく角度伝達誤差θ_d についてはＣ／Ｓの成分、Ｆ／Ｓの成分、Ｗ／Ｇ外輪の成分をＥ_dc、Ｅ_df、Ｅ_doとする。
【０２１２】
（２）入力軸は一定回転すると仮定すると、入力軸角度θ_i は角度をω、時間をｔとするとθ_i ＝ωｔで示される。そこで、それぞれの構成要素から見た入力軸の角速度は、Ｃ／Ｓの場合ω、Ｆ／Ｓの場合減速比をｉとするとω（１＋ｉ）、Ｗ／Ｇ外輪の場合入力軸ｎ_i 回転で入力軸に対し正方向に１回転したとするとω（ｎ_i −１）／ｎ、負正方向に１回転したとするとω（ｎ_i ＋１）／ｎ_i となる。またＣ／Ｓ、Ｆ／Ｓ、Ｗ／Ｇ外輪以外のその他の成分については成分分析上入力軸１回転分のデータとしたため、入力角速度はωのままとした。
【０２１３】
（３）以上からθ_e0、θ_d を式（７．１８）、（７．１９）に示す時間の関数として表し、振動モデルに導入した。
【０２１４】
【数２５】

【０２１５】
（７．３ 動的角度伝達誤差のシミュレーション結果と実験結果）
ここでは７．２．１項で作成した振動モデルの振動方程式（７．６）をルンゲクッタ法により解き回転角θすなわち動的伝達誤差を求め、実験により得られた動的角度伝達誤差と比較した。
【０２１６】
（７．３．１ 動的角度伝達誤差の実験と計算例）
ここでは本発明のための研究の実験過程でＷ／Ｇ外輪の挙動が大きく異なる事例が測定されたので、実験結果とその条件に合わせてシミュレーションした結果について紹介する。
【０２１７】
図６２はＷ／Ｇ外輪の挙動が大きく異なった２つの動的角度伝達誤差の実験例を示す。Ｗ／Ｇ外輪に１８０度対称位置に貼られた反射板をセンサーが検出した位置を丸印および三角印で示しているが、図中（ａ）と（ｂ）ではこのＷ／Ｇ外輪の移動（回転）速度が大きく異なっており、それにともない動的角度伝達誤差の様相も大きく異なり、動的角度伝達誤差におよぼすＷ／Ｇ外輪の影響は大きいことがわかる。特に角度伝達誤差の振幅の変化が静的な角度伝達誤差に比べ顕著である。図６３はこの外輪の回転速度を推定してシミュレーションした結果である。動的角度伝達誤差の振幅変化の様子、振幅値ともほぼ完全に一致した結果が得られた。なお、この時の条件は外力としての負荷が無負荷、慣性円盤につける錘ははずした状態で、入力回転数は５００ｒｐｍである。
【０２１８】
（７．３．２ 無負荷時の動的角度伝達誤差）
ここでは、慣性円盤に取り付ける錘を１８０度対称位置に置きバランスさせた状態を無負荷と呼ぶ。この状態において、波動歯車減速機を高精度に組み付けた場合とＣ／Ｓを半径方向に１２μｍ変形を与えた場合の入力回転数に対する出力軸１回転中の最大振幅値の関係を実測およびシミュレーションによって求めた。入力回転数を１００〜７００ｒｐｍの範囲で２５ｒｐｍごとに実験および計算された結果を図６４に示す。図中丸印は高精度に組み付けた場合、三角印はＣ／Ｓに変形を与えた場合を示し、白抜きがシミュレーション結果、黒抜きが測定値を示す。まず、高精度組み付け、Ｃ／Ｓに変形を与えた場合どちらも、振幅値、共振時の入力回転数が実測値とシミュレーションで非常によく一致していることがわかる。次に、静的角度伝達誤差では高精度組み付けとＣ／Ｓに変形を与えた場合で約２倍の差であったが動的角度伝達誤差では約４倍に拡大しており動的角度伝達誤差に及ぼす取付誤差の影響はより大きいことがわかる。また、実験値、シミュレーションともＣ／Ｓに変形を与えた場合の共振入力回転数は高精度組み付けのそれより２５〜５０ｒｐｍ程度低下している。これはＣ／Ｓに変形を与えたことによりねじり剛性変動が増大しこの影響ではないかと推測される。
【０２１９】
また本実験および計算から無負荷状態においては高精度組み付けを行うことにより現状の加工精度の波動減速機でも目標とする動的角度伝達誤差２０ａｒｃ−ｓｅｃに対し近い値（約３０ａｒｃ−ｓｅｃ）となることが確認された。
【０２２０】
（７．３．３ 負荷時の動的角度伝達誤差）
ここではロボットアームの負荷条件を模擬して、負荷トルクを出力軸１回転に１周期の正弦波状変動トルクとして与えたときの動的角度伝達誤差についてシミュレーションと実測値の比較について述べる。本試験装置では負荷トルクは０〜±２５０Ｎｍの範囲で変動する。図６５および図６６に実験および計算例として入力回転数４５０ｒｐｍの時の高精度組み付け、Ｃ／Ｓに変形を与えた場合それぞれの出力軸１回転における結果を示す。実測値の図の下の部分に破線状のデータが示されているが、これは、Ｗ／Ｇ外輪の位置センサの信号である。出力軸１回転に１回の大きな変動は正弦波状の負荷トルクによる波動歯車減速機のねじれ量を示すものである。高精度組み付け、Ｃ／Ｓに変形を与えた場合ともに計算と実測でよく似た波形が得られた。
【０２２１】
つぎに、負荷トルク変動によるねじれ量を含まない角度伝達誤差波形の幅が最も大きい部分での振幅を最大振幅として、その最大振幅と入力回転数との関係を図６５と同様にして図６７に示す。本図より変動負荷状態の動的角度伝達誤差においても高精度組み付けの時の低入力回転数領域に計算値と実験値に差が見られるものの、計算と実測が共振入力回転数、最大振幅値でほぼ一致することが確認された。なお高精度組み付けの時の低入力回転数領域における計算値と実験値の差については、サーボモータの制御特性が影響しているのではないかと考えている。また本実験および計算から負荷時の動的角度伝達誤差は無負荷時に比べ約２倍に増大し、高精度組み付けにおいても目標とする振動レベルのほぼ３倍の値になることが明らかになった。
【０２２２】
（７．４ シミュレーションの影響因子に着目した振動低減の具体策）
ここまでで、本章で行った振動モデルによるシミュレーションが十分有効であることが明らかになった。また動的角度伝達誤差におよぼす負荷トルクの影響、歯車誤差の影響が大きいことも明らかになった。そこでシミュレーションにより影響因子を明確にし動的角度伝達誤差すなわち振動の低減策について検討する。
（７．４．１ 負荷トルクおよび減衰比の影響に関する考察）
まず、負荷トルクの影響について述べる。負荷トルクの影響をより明確にするため、負荷トルクは一定値を与え、以下のシミュレーションを行った。
【０２２３】
まず負荷トルクの増大によって減衰比が減少することに着目し、負荷による角度伝達誤差の変化の影響を避けるためθ_d ＝０として、無負荷時、２００Ｎｍ正方向一定負荷時、および２００Ｎｍ正方向一定負荷時で減衰比ζを無負荷時と同等とした場合の３種類の条件でシミュレーションを行い比較した。ここで無負荷時の減衰比ζは約０．０９７、２００Ｎｍ正方向負荷時は約０．０５３である。図６８にシミュレーション結果を示す。これより角度伝達誤差を等しくしても負荷トルクがある時の方が共振回転数が上昇し共振時の動的角度伝達誤差の値は大きくなるが、減衰比を無負荷時と等しくすると共振回転数は上昇するものの共振時の動的角度伝達誤差の値はほとんど変化しないことから負荷時の動的角度伝達誤差の増加は負荷トルクによる減衰比の低下が主な原因となっていることが明らかになった。
【０２２４】
次に負荷トルクの大きさ、方向による影響についてシミュレーションした結果を図６９に示す。ここでは各負荷トルクにおける共振時の動的角度伝達誤差の最大値を示している。動的角度伝達誤差の最大値は負荷の大きさが増大するに従い増加するが２００Ｎｍ付近で最大となりその後は減少傾向となること、また低負荷領域では無負荷より２５Ｎｍの負荷トルク時の方が若干低い値となることが明らかになった。これは負荷の大きさが増加するに従い減衰比は低下し、ねじり剛性は増加する傾向があるため、式２ζ√ＪＫで求まる減衰係数Ｃが動的角度伝達誤差とは逆の傾向を持つためであると考えられる。なお、この現象は本シミュレーションで初めて明らかになった現象である。
【０２２５】
以上から減衰比およびねじり剛性が大きく動的角度伝達誤差に影響することがわかった。そこでねじり剛性を増加させた場合および減衰比を増加させた時の動的角度伝達誤差についてシミュレーションした。結果をそれぞれ図７０、図７１に示す。ここでシミュレーションの条件は前のシミュレーションで動的角度伝達誤差が最も大きくなった２００Ｎｍ正方向一定負荷時としている。図７０、図７１とも横軸にそれぞれの増加率（計算に使用した値／設定値）をとっている。これらの図よりねじり剛性および減衰比の増加は振動低減に効果はあるものの、それぞれの値を２倍にしても目標とする振動値にはいたらないことが明らかになった。また、ねじり剛性、減衰比の増加による動的角度伝達誤差の低減に対する定量的な効果は把握できた。
【０２２６】
（７．４．２ 歯車誤差の影響に関する考察）
ここでは動的角度伝達誤差の低減に対する歯車誤差の影響について検討する。
まず、歯車誤差に基づく角度伝達誤差θ_0eおよびθ_d に着目してそれぞれの影響についてシミュレーションした結果を図７２に示す。ここではθ_0e＝０とした場合及びθ_d ＝０とした場合について図中（ａ）の無負荷時、（ｂ）の２００Ｎｍ正方向一定負荷時についてシミュレーションを行った。その結果、歯中心の累積ピッチ誤差に基づく角度伝達誤差θ_0eを０とすると無負荷時の振動は消えるが負荷時はその効果は少なく、また歯溝のふれ誤差に基づく角度伝達誤差θ_d を０とした場合は無負荷時、負荷時とも振動低減の効果は少ないことが明らかになった。結果的には歯車誤差を歯中心の累積ピッチ誤差と歯溝のふれ誤差に分けて考えることは負荷時の振動低減に関しては意味がなくそれぞれの誤差の元である左右片歯面ごとの累積ピッチ誤差を低減することが重要であることが分かった。またこのシミュレーションによって無負荷時の角度伝達誤差が小さくても負荷時の振動が必ずしも小さくなるとは限らないことが明らかになった。
【０２２７】
つぎにこれらの歯車誤差をともに低減するとして、Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓ、Ｗ／Ｇ外輪それぞれの歯車誤差（加工誤差）低減の効果について検討する。ここではそれぞれの構成要素に起因する角度伝達誤差の２次、４次、６次成分を低減していった時の動的角度伝達誤差の値をシミュレーションした。この結果を図７３に示す。横軸は２次、４次、６次成分の低下率（計算に使用した値／設定値）を示している。これより角度伝達誤差成分の低減（加工精度向上）の効果はＣ／Ｓが最も大きいが、単独では誤差を０としても目標とする振動レベルにはいたらず、Ｃ／Ｓ、Ｆ／Ｓ、Ｗ／Ｇ外輪すべての加工精度を現状の３０％程度にするか、または、トータルしてそれに匹敵する加工精度の向上が必要であることが明らかになった。
【０２２８】
以上、本項では、ねじり剛性、減衰比の増加、構成要素の加工精度向上による動的角度伝達誤差の低減に対する定量的な効果が把握できた。
【０２２９】
（７．５ まとめ）
本章では、日高らの研究成果を踏まえ、実験装置を１自由度振動モデルに置き換え、第６章までで得られた波動歯車減速機の正確な静特性データ、角度伝達誤差の表現式および本章で実験的に求めた剛性特性、減衰特性を用い振動解析を行った。また波動歯車減速機の動的角度伝達誤差を実測し比較検討した結果、計算と測定値がよく一致することを確認した。またシミュレーションにより、目標とする振動レベルを実現するための具体策を提示した。本章の結果を要約して以下に列挙する。
【０２３０】
（１）まず振動のモデル化では、本発明で使用した実験装置を１自由度の振動モデルに置き換えた。次に第６章で提案した波動歯車減速機の静的な角度伝達誤差の表現式を用い歯車誤差を考慮したねじり剛性の決定法を示した。
【０２３１】
（２）波動歯車減速機のねじり剛性特性の測定では正確なねじり剛性表現式を示した。
【０２３２】
（３）減衰特性の測定では自由振動波形より減衰比を推定した。波動歯車減速機の減衰比は負荷トルクの増大に従い低下すること、入力軸の拘束条件によって大きく異なることを初めて明らかにした。
【０２３３】
（４）これらの結果と第６章までに得られた正確な静的角度伝達誤差、歯車誤差を用い振動シミュレーションを行うとともに動的な角度伝達誤差を実測した結果、シミュレーションと実測の結果が良く一致することを示した。また無負荷時に比べ負荷時の方が動的角度伝達誤差が増大することを明らかにした。
【０２３４】
（５）振動シミュレーションにより負荷時の動的角度伝達誤差増大は負荷トルクによる減衰比の低下が原因である事を明らかにした。また、ねじり剛性、減衰比の増加、構成要素の加工精度向上の動的角度伝達誤差の低減に対する効果を定量的に示した。これより目標とする振動振幅２０ａｒｃ−ｓｅｃを実現するには歯車誤差のみを改善した場合、歯車およびＷ／Ｇ外輪の加工誤差を現行の約３０％にする必要があることを明らかにした。
【０２３５】
【発明の効果】
（第８章：結論）
本発明によれば、現在市場で最も多く使用されている型式の波動歯車減速機に対し、従来の水準を越えた精度で振動に関する特性を把握し、波動歯車減速機を低振動化することができる。
【０２３６】
すなわち、本発明者は、第２章において、まず研究対象とした波動歯車減速機の諸元とその精度について述べ、ついで、本発明のために開発した波動歯車減速機の高精度、静・動特性測定装置について述べた。本装置は波動歯車減速機を所定の取付状態のままで、静特性と動特性とを精密に測定できるもので、本明細書で論じた研究目的に対し十分な精度を持つ。
【０２３７】
次に、本発明者は、第３章において、本装置を使用して無負荷状態で高精度に角度伝達誤差を測定し、また得られたデータの誤差要因を分析した結果について述べた。波動歯車減速機の角度伝達誤差は波動歯車減速機の構成要素であるサーキュラスプライン、フレクスプラインの歯車誤差に起因する伝達誤差成分の他に、出力軸１回転ごとの誤差成分では表せない成分があることを初めて見出し、これがウエーブジェネレータの外輪の肉厚誤差に基づく、外輪の回転周期に一致する誤差成分を持つことを明らかにした。
【０２３８】
第４章では、波動歯車減速機の組み付け誤差が角度伝達誤差に与える影響を実験的に把握し、サーキュラスプラインの取り付け時の変形による影響が最も大きいことを明らかにした。さらにこの結果を踏まえ、角度伝達誤差を低減するための高精度組立法を提案した。
【０２３９】
第５章では、負荷状態で角度伝達誤差を測定し、得られたデータを分析した結果負荷トルクが角度伝達誤差に与える影響は負荷トルクによりかみあい状態が変化し、高トルク域では片歯面かみあいに移行することによるものであることを初めて明らかにした。
【０２４０】
第６章では、第３章、第４章、第５章の成果に基づき各種歯車誤差と角度伝達誤差との関係について検討した。歯溝のふれに基づく角度伝達誤差θ_d および負荷に依存するかみあい移行関数αを新たに定義することにより、任意の負荷状態における角度伝達誤差を歯車誤差から精密に導出する表現式を提案した。
【０２４１】
第７章では、従来の研究成果を踏まえ、実験装置を１自由度振動モデルに置き換え、第６章までで得られた波動歯車減速機の正確な静特性データ、角度伝達誤差の表現式および本章で実験的に求めた剛性特性、減衰特性を用い振動解析を行った結果について述べた。また波動歯車減速機の動的角度伝達誤差を実測し比較検討した結果、シミュレーションは実験の特性を細かいところまで良く表現できることを確認した。またシミュレーションにより、目標とする振動レベルを実現するための具体策を提示した。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の対象となる波動歯車減速機の外観図である。
【図２】本明細書の全体構成を示す説明図である。
【図３】波動歯車減速機の基本構造を示す図である。
【図４】波動歯車減速機の歯形を示す説明図である。
【図５】波動歯車減速機の外形寸法を示す説明図である。
【図６】歯車測定機を示す図である。
【図７】歯面番号を示す説明図である。
【図８】Ｃ／Ｓの累積ピッチ誤差を示すグラフである。
【図９】Ｆ／Ｓの累積ピッチ誤差を示すグラフである。
【図１０】Ｗ／Ｇの外輪肉厚変動の測定方法を示す説明図である。
【図１１】Ｗ／Ｇ外輪肉厚変動を示すグラフである。
【図１２】静・動特性試験装置の力学系を示す説明図である。
【図１３】静・動特性試験装置を用いた静特性の測定方法を示す説明図である。
【図１４】静・動特性試験装置を用いた動特性の測定方法を示す説明図である。
【図１５】Ｗ／Ｇ外輪位置確認方法を示す説明図である。
【図１６】静・動特性試験装置のシステムブロック図である。
【図１７】静・動特性試験装置のデータ取り込み部および演算部の外観図である。
【図１８】角度伝達誤差の測定例を示すグラフである。
【図１９】入力側エンコーダの回転精度を示すグラフである。
【図２０】角度伝達誤差の再現性を示すグラフである。
【図２１】無負荷の角度伝達誤差の測定結果を示すグラフである。
【図２２】出力軸回転と角度伝達誤差の最大値との関係を示すグラフである。
【図２３】減速機構成要素に起因する角度伝達誤差の成分を示すグラフである。
【図２４】構成要素に起因する角度伝達誤差成分のフーリエ係数を示すグラフである。
【図２５】構成要素に起因する角度伝達誤差成分のフーリエ係数を示すグラフである。
【図２６】成分分析に使用したデータ数と分析結果を示すグラフである。
【図２７】Ｗ／Ｇ外輪の肉厚変動の影響を示す説明図である。
【図２８】角度伝達誤差成分の加工誤差からの計算値と実験分析値の比較結果を示すグラフである。
【図２９】Ｃ／Ｓの取り付け誤差を示す説明図である。
【図３０】Ｆ／Ｓの取り付け誤差を示す説明図である。
【図３１】Ｗ／Ｇの取り付け誤差を示す説明図である。
【図３２】角度伝達誤差に及ぼす取り付け誤差の影響の測定例を示す説明図である。
【図３３】Ｃ／Ｓの取り付け誤差の影響を示すグラフである。
【図３４】Ｆ／Ｓの取り付け誤差の影響を示すグラフである。
【図３５】Ｗ／Ｇの取り付け誤差の影響を示すグラフである。
【図３６】Ｗ／Ｇの取り付け誤差の影響を示すグラフである。
【図３７】リジットタイプＷ／Ｇの場合の取り付け誤差の影響を示すグラフである。
【図３８】リジットタイプＷ／Ｇの場合の取り付け誤差の影響を示すグラフである。
【図３９】負荷時の角度伝達誤差を示すグラフである。
【図４０】負荷時トルクによる角度伝達誤差Ｃ／Ｓ成分を示すグラフである。
【図４１】負荷時の角度伝達誤差Ｃ／Ｓ成分のピッチ誤差からの計算値と実験分析値の比較を示すグラフである。
【図４２】Ｗ／Ｇの肉厚変動により生ずる右歯面および左歯面の累積ピッチ誤差を説明するための説明図である。
【図４３】負荷方向によるＦ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分の変化を示すグラフである。
【図４４】負荷方向によるＷ／Ｇ外輪に起因する角度伝達誤差成分の変化を示すグラフである。
【図４５】Ｃ／Ｓ半径方向変形量が１２μｍでのＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分を示すグラフである。
【図４６】Ｃ／Ｓ半径方向変形量が１２μｍでのＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分を示すグラフである。
【図４７】Ｃ／Ｓ角度伝達誤差成分の２次成分の位相角と負荷トルクとの関係を示すグラフである。
【図４８】かみあい歯面に基づく角度伝達誤差を示す説明図である。
【図４９】かみあい移行関数αのグラフである。
【図５０】Ｃ／Ｓの変形形状を示すグラフである。
【図５１】半径方向に変形させたＣ／Ｓの累積ピッチ誤差のグラフである。
【図５２】歯溝中心の累積ピッチ誤差に基づく角度伝達誤差成分と、歯溝のふれ誤差に基づく角度伝達誤差成分を示すグラフである。
【図５３】負荷トルクとＣ／Ｓに起因する角度伝達誤差成分の関係を示すグラフである。
【図５４】実験装置の振動モデルを示す説明図である。
【図５５】平均ねじれ角の定義について示す説明図である。
【図５６】回転角とトルクの関係を示すグラフである。
【図５７】試験装置を含む波動歯車減速機のねじり特性を示すグラフである。
【図５８】図５７の試験装置を含む波動歯車減速機のねじり特性の一部を拡大して示すグラフである。
【図５９】ねじれ角とトルクとの関係を示すグラフである。
【図６０】波動歯車減速機のねじり剛性を示すグラフである。
【図６１】試験装置の減衰特性を示すグラフである。
【図６２】動的角度伝達誤差の実験例を示すグラフである。
【図６３】動的角度伝達誤差のシミュレーション結果のグラフである。
【図６４】無負荷時の動的角度伝達誤差を示すグラフである。
【図６５】変動負荷トルク時の動的角度伝達誤差を示すグラフである。
【図６６】変動負荷トルク時の動的角度伝達誤差を示すグラフである。
【図６７】変動負荷トルク時の動的角度伝達誤差を示すグラフである。
【図６８】減衰比を変えた時の動的角度伝達誤差を示すグラフである。
【図６９】負荷トルクによる動的角度伝達誤差の最大値の変化を示すグラフである。
【図７０】動的角度伝達誤差低減に対するねじり剛性向上の効果を示すグラフである。
【図７１】動的角度伝達誤差低減に対する減衰比向上の効果を示すグラフである。
【図７２】動的角度伝達誤差に及ぼすθ_0e、θ_d の影響を示すグラフである。
【図７３】動的角度伝達誤差に対する角度伝達誤差低減の効果を示すグラフである。
【符号の説明】
Ｃ／Ｓ サーキュラスプライン
Ｆ／Ｓ フレックスプライン
Ｗ／Ｇ ウェーブジェネレータ[0001]
BACKGROUND OF THE INVENTION
Mechatronics technology represented by industrial robots and NC machine tools contributes greatly to the development of current industrial technology. In this field, the power transmission device is required to have precise operation controllability along with the driving force. The drive source is generally hydraulic, pneumatic, or electric. Among these, electric motors that can achieve precise control relatively easily are the mainstream. In particular, industrial robots require a light and compact drive device, and a gear reducer is used in combination with an electric motor.
[0002]
This gear reducer is required to have performance such as small and light weight, high rotational accuracy, high load capacity, high efficiency, high reduction ratio, non-backlash, wave gear reducer (trade name harmonic drive), involute planetary reducer, Cycloid planetary reducers are widely used.
[0003]
The wave gear reducer is the smallest and lightest, has no backlash, and is suitable for precision positioning applications. However, as described later, vibration at low speed is a drawback. Involute planetary speed reducers and cycloid planetary speed reducers are small and have a high load capacity, but it is difficult to completely remove backlash, and since there are many components, it is difficult to achieve higher accuracy. On the other hand, direct drive motors that do not use a reducer are also attracting attention, but the load capacity-volume (weight) ratio is smaller than that using a reducer, and the motor directly drives a large inertial load such as a robot arm. In this case, there is a disadvantage that controllability is poor, and at present, the inertial load is small, and it is limited to a specific application in which a large installation space is allowed.
[0004]
An object of the present invention is to realize a super-precision wave gear reducer for reducing a wave gear reduction gear, which is targeted for a wave gear reducer, taking up the problem of arm vibration during steady rotation strictly required by an industrial robot. .
[0005]
[Prior art]
As shown in FIG. 1, the wave gear reducer is a reducer having a unique meshing mechanism using elastic deformation of a flexible gear cut into a thin metal cylinder. W. Invented by Musser. This reducer has a flex spline that elastically deforms with a thin external gear, a wave generator that has a ball bearing fitted outside the elliptical cam that deforms it, and a thick wall that meshes with the flexspline that is elastically deformed elliptically. It consists of three parts, the circular spline, which is an internal gear, and the input and output are concentric, providing a high reduction ratio in a single stage and being small and lightweight. In addition, since there are many simultaneous meshing teeth, the rotation angle transmission accuracy is high, and the backlash can be reduced to zero. For applications such as industrial robots that require precise positioning accuracy, NC machine tools, measuring instruments, etc. Widely used. In particular, it would be no exaggeration to say that the development of industrial robots was brought about by this reduction gear.
[0006]
(How to use wave gear reducers in industrial robot applications)
Industrial robots include horizontal articulated type, vertical articulated type, and orthogonal shaft type, and wave gear reducers are mainly used for joint drive of horizontal articulated type and vertical articulated type. The horizontal articulated type is mainly used for assembly work and conveyance work, and requires high positioning accuracy and high speed for shortening the tact time of the work. For this reason, the reduction gear is particularly required to have low backlash and high rigidity. On the other hand, the vertical articulated type is characterized by a wide operation space and three-dimensional operation, and is mainly used for welding work, painting, conveyance of large parts, and the like. In addition, it has 5 to 6 degrees of freedom to realize three-dimensional movement. Especially, the joint with basic 3 degrees of freedom has a long arm in order to obtain a wide movement space. On the other hand, the accuracy of the trajectory is regarded as important. There is also a need for a wave gear reducer with a relatively low operating speed and a high reduction ratio. In both cases, the wave gear reducer is used with a wave generator as an input and a circular spline or flexspline as a fixed or output. Usually, the input shaft is connected to the motor and the output shaft is connected to the arm. Further, the selection of the size of the wave gear reducer is usually determined by its transmission torque.
[0007]
(Resonance problem of wave gear reducer in industrial robot applications)
Industrial robots require high-accuracy positioning and high-accuracy trajectory movement, so it is necessary to reduce vibration during steady-state and non-steady movements. The vibration at the time of unsteady operation is the residual vibration when the robot is started and stopped, which is greatly improved by the development of control technology. On the other hand, a resonance phenomenon in which the vibration at the tip of the arm increases at the time of steady operation becomes a problem, and there is a particular need for a solution at present. This resonance phenomenon is caused by the torsional vibration of the wave gear reducer, and the excitation source is mainly an angle transmission error of the wave gear reducer. Since the wave gear reducer has an angle transmission error that is an even multiple (especially twice) of the rotational speed, it resonates when the even multiple of the input rotational speed approaches the natural frequency of the system. In particular, in the case of an industrial robot, the natural frequency of the system is low because the inertia of the arm is large, so that a resonance phenomenon occurs when the output rotational speed, that is, the arm speed is low. For this reason, the operation accuracy of the robot arm is lowered and vibrations are visible to the human eye, and the commercial value of the robot is also lowered. In the case of a robot, since arms of many axes are generally connected in series, the inertia always changes depending on the posture, and the natural frequency also changes. For this reason, if it is going to avoid a resonance zone, the operation | work which a robot can perform will be limited. In addition, since the resonance occurs when the arm speed is low, even if the robot's working speed is higher than that, it will pass through the resonance region when reaching that speed, and the residual vibration becomes a problem. Is inevitable. If the resonance rotational speed is increased from 2 to 3 times, the problem is reduced. For this purpose, the rigidity of the wave gear reducer must be increased by 4 times or more, which is also difficult to realize in practice. From the above, reducing the vibration amplitude at the time of resonance of the wave gear reducer has become a major issue.
[0008]
In order to reduce the torsional vibration generated by the wave gear reducer, the vibration characteristics and angle transmission errors of the wave gear reducer have been studied, the gear machining accuracy of the wave gear reducer has been improved, and the number of simultaneous meshing teeth has been increased by improving the tooth profile. As a result of improvement in torsional rigidity, the angle transmission error based on the gears is significantly improved compared to the conventional one and the torsional vibration is also reduced at present. In the market, in addition to these characteristics improvements, a thin wave gear reducer with a further reduced size has become the mainstream and used. However, as the application of industrial robots is expanded, such as high-track accuracy for laser cutting work, the market demand for vibration becomes more severe. At present, the amplitude at resonance of arm vibration is 20 arc-sec. (10 ^-Four rad) The following are required: In order to realize this, it is estimated that the angle transmission error of the wave gear reducer needs to be reduced from 1/2 to 1/3 (about 10 arc-sec).
[0009]
(Previous study on vibration problem of wave gear reducer)
Concerning the vibration of the wave gear reducer, in 1989, Hidaka et al. Manufactured a one-degree-of-freedom arm drive and experimentally studied the vibration characteristics of the wave gear reducer, and the frequency component of the vibration was an even multiple of the input rotation speed. In particular, it has been clarified that the double component is dominant, and the vibration amplitude and vibration acceleration change depending on the mounting error and load torque. Hidaka et al. Also modeled a one-degree-of-freedom arm drive device with a one-degree-of-freedom torsional vibration system and analyzed the vibration characteristics.
[0010]
The equation of motion of this model is given by
[0011]
[Expression 1]

[0012]
Where J _eq Is the equivalent inertial mass between the drive side mainly driven by the drive motor and the driven side mainly driven by the arm, C _eq Is the equivalent viscosity coefficient, K is the torsional rigidity of the wave gear reducer, T ₀ Is the static friction torque, T is the external torque applied to the arm, θ is the relative rotation angle between the drive side and the driven side, θ _e Is the angle transmission error when the wave gear reducer is unloaded, and t is the time. The torsional rigidity K of the wave gear reducer is a function of θ and t in consideration of fluctuations with time and torsion angle. This is basically the same as the method of modeling a pair of gears with a torsional vibration system with one degree of freedom. Hidaka et al. Estimated the angular transmission error of the wave gear reducer under no load from the runout of the circular spline and flexspline teeth, and the rigidity fluctuation was estimated by estimating the torque-torsion characteristics. As a result, it was found that the main factors of torsional vibration of the wave gear reducer are angle transmission error and stiffness fluctuation. However, the relationship between the angle transmission error and the rigidity variation is not mentioned here, and the influence of the load torque on the vibration is not discussed.
[0013]
Regarding the angle transmission error of the wave gear reducer, 1984, S.A. N. Istomin et al. Calculated the angle transmission error in a wave gear reducer with no machining error, focusing on the change in the pitch angle of the teeth caused by the flex spline that was cut in a perfect circle state being deformed into an elliptical shape. It was. 1988, L. M.M. Hsia replaced the circular spline and flexspline meshing with a rolling model of a perfect circle and an ellipse, and showed that the angular transmission error fluctuated twice per rotation of the wave generator as the input shaft. However, these studies do not take into account machining errors and assembly errors of wave gear reducers. As described above, Hidaka et al. Calculated the angular transmission error of the wave gear reducer geometrically from the runout of the circular spline and flexspline teeth, and only an even multiple of the input rotation appears in the angular transmission error. It was found that the radial deformation of the circular spline greatly affects the angle transmission error. 1990 Yabe et al. Measured the angle transmission error of the wave gear reducer and analyzed the components to show that the angle transmission error consists of the cumulative pitch error at the center of the teeth of the circular spline and flexspline. . However, the effect of the load torque on the angle transmission error has not been studied. 1991, T.W. W. Nye et al. Experimentally investigated the effects of assembly error, operation time, temperature, etc. on the angle transmission error of the wave gear reducer, and the angle transmission error increased due to the increase in assembly errors such as misalignment and inclination of the circular spline and flexspline. It is shown that the operating time and temperature do not significantly affect the angle transmission error. However, the relationship with gear error is not mentioned. In 1995, Ishida et al. Analyzed the angular transmission error when there was an assembly error or when a load torque was applied. The reason why the angle transmission error increases is that the frequency component is increased twice per one rotation of the input, the component corresponding to the ball passing period of the wave generator increases when the load torque is applied, It was clarified that the waveform of the angle transmission error is different when the direction of input rotation is changed under direction load. Yellow also proposed a model that theoretically calculates the angle transmission error from the gear error by replacing the tooth mesh with a spring. It was clarified that it was caused by the variation of the displacement amount of the teeth of flexspline. However, the relationship between the angle transmission error and the gear error under load is not discussed.
[0014]
The wave gear reducers currently on the market are much more accurate than they were a long time ago, and the market demands are becoming more stringent as mentioned earlier. Hidaka et al., Yanabe et al. W. The work of Nye et al. Is 6-7 years ago, and the level of angular transmission error discussed is significantly different compared to the level currently required on the market. The research of Ishida et al. Is aimed at wave gear reducers before the tooth profile was improved. W. Nye et al. Only showed examples of measurement of angle transmission errors. Therefore, the current research problem cannot discuss the vibration problem of the current wave gear reducer.
[0015]
As described above, little research has been done on the level of vibration required in the current market with respect to the torsional vibration and angular transmission error of the new wave gear reducer that is most frequently used in the current market. In previous research, vibration and angle transmission errors were evaluated only for one output on the assumption that the meshing of the wave gear reducer returned to its original state even with one output. When discussing the required level of torsional vibration of the wave gear reducer, the problem of reproducibility for each rotation of the output, which has been ignored in the past, also emerges. It has been pointed out that wave gear reducers are very sensitive to mounting errors, but in previous research, different devices were used to measure angular transmission errors and torsional vibrations. Care must be taken when trying to understand the vibration characteristics of a gear reducer. Further, regarding the assembly error, the type of assembly error considered in view of the mounting member design and the actual assembly work is not sufficient.
[0016]
In addition, there is no research that discusses the fluctuation of the torsional rigidity of the wave gear reducer that Hidaka et al. Pointed out as one of the causes of torsional vibration from the study of the vibration characteristics of the wave gear reducer.
[0017]
On the other hand, research has been conducted to solve the torsional vibration problem of the wave gear reducer by using control technology, but a method that is widely used in the market has not been developed yet.
[0018]
[Problems to be solved by the invention]
The object of the present invention is based on the related research and the accuracy of the current wave gear reducer, and requires low vibration (target: amplitude at resonance 20 arc-SEC (10 ^-Four rad) and below)) to develop the wave gear reducer of the type most commonly used on the market at present. Finding a means to vibrate.
[0019]
[Means for Solving the Problems]
(Angle transmission error correction method)
In the present invention, the transmission error amount to be corrected is calculated from the angle transmission error component caused by the circular spline and the flexspline.
[0020]
The angle transmission error in the no-load state mainly depends on the average value of the accumulated pitch errors of the left and right tooth surfaces of the gear, whereas the angle transmission error in the loaded state depends on the accumulated pitch error of the left or right tooth surface. Therefore, using the angle transmission error when engaging the left and right tooth surfaces as reference data, the process of shifting from both tooth surface meshing conditions when no load is applied to the left or right tooth surface meshing is expressed experimentally or as a function of load torque. Then, the angle transmission error at any load is obtained and corrected. It is also possible to calculate from a gear error measured in advance.
[0021]
For this purpose, it is necessary to provide an origin sensor on the output shaft in order to know the positional relationship between the flexspline and the circular spline.
[0022]
(Ultra flat wave gear reducer for vibration reduction)
Next, in the present invention, vibration is reduced by increasing the rigidity, damping, and gear accuracy of the wave gear reducer. For this reason, it can be seen that it is most effective if the model number of the wave gear reducer is increased, but in this case, the light weight and compact features that are the features of the wave gear reducer are lost.
[0023]
The super flat wave gear reducer of the present invention has an outer diameter that is one model larger and an axial length that is one model smaller. Therefore, when the tooth engagement PCD is increased, rigidity, damping capacity, and gear accuracy are improved. Vibration reduction can be achieved while maintaining the above characteristics.
[0024]
(Gear accuracy improvement processing method)
Next, gear accuracy is greatly influenced by the accuracy of the gear processing machine. In the future, the accuracy of gears required for wave gear reducers will be limited by current open-control processing machines. Therefore, the processing machine is closed or corrected.
[0025]
For closed control, high-resolution angle sensors are attached to each of the tool axis and workpiece rotation axis, and the synchronization of each rotation axis is guaranteed by feedback control.
[0026]
In the case of correction control, the angle transmission error of each axis is measured in advance, and a command of the opposite phase of the angle transmission error is given to each drive motor to guarantee the synchronization of the rotation axis.
[0027]
DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION
This specification has the following configuration as shown in FIG.
[0028]
As described above, Chapter 1 describes the background of the present invention, the past research progress, and the like.
[0029]
In Chapter 2, the specifications of the wave gear reducer targeted by the present invention, the measurement method of the gear accuracy, and the angle transmission error of the wave gear reducer developed for the present invention are used as the vibration index, and the influence of the mounting state is also discussed. Describes a device and experimental method that can simultaneously measure the static and dynamic characteristics of angular transmission errors with high accuracy with a wave gear reducer installed in consideration, and the developed measuring device has sufficient accuracy for the purpose of the present invention. Indicates that you have
[0030]
In Chapter 3, using this device, the angle transmission error was measured with high accuracy in the no-load state, and the obtained data was analyzed. As a result, the angle transmission error of the wave gear reducer is the error per output rotation. In addition to the components, it has been clarified for the first time that it has an error component that matches the rotation cycle of the outer ring based on the thickness error of the outer ring of the wave generator that has not been considered in the past. At the same time, it is shown that the components of the angular transmission error resulting from the respective elements are obtained with high accuracy from the machining errors of the circular spline, flexspline, and wave generator, which are components of the wave gear reducer.
[0031]
In Chapter 4, we experimentally grasped the effect of the assembly error of the wave gear reducer on the angle transmission error, and clarified that the influence of deformation during the installation of the circular spline is the largest. Furthermore, based on this result, we propose a high-precision assembly method to reduce the angle transmission error.
[0032]
In Chapter 5, the angle transmission error is measured in the load state, and the obtained data is analyzed. The effect of the load torque on the angle transmission error is due to the shift of the meshing to the single tooth meshing by the load torque. It was revealed for the first time.
[0033]
In Chapter 6, based on the results of Chapters 3, 4, and 5, the angle transmission error θ based on the tooth gap deflection error _d Then, we define a meshing transition function α and propose an expression that derives the angular transmission error in an arbitrary load state from the gear error.
[0034]
In Chapter 7, based on the results of previous research, the experimental device was replaced with a one-degree-of-freedom vibration model. The accurate static characteristics data of the wave gear reducer obtained up to Chapter 6, the expression for angular transmission error, and this chapter Vibration analysis was performed using the stiffness and damping characteristics obtained experimentally. In addition, as a result of actually measuring and comparing the dynamic angle transmission error of the wave gear reducer, it was confirmed that the calculation and the measured value were in good agreement. In addition, a specific measure for realizing the target vibration level is presented by simulation.
[0035]
Finally, Chapter 8 summarizes the results obtained by the present invention.
[0036]
(Chapter 2 Development of high-precision measuring equipment for static and dynamic characteristics)
(2.1 Introduction)
In order to reduce the torsional vibration generated by the wave gear reducer, the gear machining accuracy of the wave gear reducer has been improved, the number of simultaneous meshing teeth has been increased by improving the tooth profile, and the torsional rigidity has been improved. However, the market demand for vibration becomes more severe, and at present, the amplitude at resonance is 20 arc-sec (10 ^-Four rad) The following are required: In order to realize this, it is expected that the angle transmission error of the wave gear reducer must be reduced from 1/2 to 1/3 (about 10 arc-sec). When discussing such high accuracy, new issues such as reproducibility for each rotation of output in steady operation, which has not been regarded as important in the past, more detailed characteristic changes due to load torque, and grasping characteristic changes due to assembly, etc. Come up. Therefore, in order to achieve the target vibration level, it is necessary to grasp the vibration characteristics of the wave gear reducer with higher accuracy than before. In the present invention, based on conventional research, a measuring device capable of simultaneously measuring the static and dynamic characteristics of the wave gear reducer with high accuracy has been developed in consideration of the sensitivity to the assembly error of the wave gear reducer. Using this device, the most widely used wave gear reducer on the market at present is an angle transmission error when giving no load and load state as well as various assembly errors as static characteristics, and a robot arm on the output side as dynamic characteristics The angle transmission error was measured with a load inertia equivalent to. This chapter describes the specifications and machining accuracy of the target wave gear reducer, the developed static / dynamic characteristic measuring device, and the experimental method.
[0037]
(2.2 Target wave gear reducer)
Wave gear reducers are classified into cup, top hat, flat, differential, and shield types, depending on the shape. Of these, the cup-shaped wave gear reducer has the simplest structure, high rotational accuracy and efficiency, and no backlash in the meshing of the gears, and is widely used in various applications including industrial robots. Has been. Therefore, the present invention is directed to the most common cup-shaped wave gear reducer.
[0038]
FIG. 3 shows the basic structure of a cup-shaped wave gear reducer. In the figure, (a) shows component parts, (b) shows a state in which the component parts are combined, and (c) schematically shows how the gears mesh. The components are thick-walled internal gear circular spline (hereinafter C / S), ultra-thin cup-shaped flex spline (F / S) that is geared on the outer periphery of the opening, and elliptical cam These are three points of a wave generator (W / S) also called a wave generator in which a thin ball bearing is fitted on the outer periphery of the wire. The number of teeth of C / S is set to be an even number greater than the number of teeth of F / S, but a tooth number difference of two is common. In general, an Oldham coupling is provided between the W / S cam and the rotating shaft to provide a W / G alignment function.
[0039]
As shown in FIG.3 (c), the tooth | gear part of F / S in which W / G was inserted is bent elliptically, and it meshes with C / S in two places near the major axis. The cup part of F / S serves as a flexible coupling for taking out only the rotation of the tooth part bent in an elliptical shape. Normally, W / G is used as input, C / S is fixed, and F / S is used as output. When W / G is rotated in this state, F / S is rotated while meshing with the C / S teeth at the long shaft portion of the elliptical cam with W / G. The number of teeth of F / S is now Z _f C / S number of teeth Z _c In order to keep contact with the same length as the pitch circumference of C / S during one rotation of W / G, two teeth in the direction opposite to the rotation direction of W / G You have to rotate a minute. As a result, when W / G rotates once, F / S rotates in the direction opposite to the rotation direction of W / G by the difference in the number of teeth from C / S. The reduction ratio i in this case is expressed by the equation (2.1).
[0040]
i = (Z _c -Z _f ) / Z _f (2.1)
(2.2.1 Specifications of wave gear reducer)
In recent years, the cup-shaped wave gear reducer has been improved to improve the fatigue strength and torsional rigidity of the F / S teeth, and the axial length of the F / S cup has been shortened for the purpose of downsizing. This type is now mainstream. In the present invention, this newest cup-shaped wave gear reducer, which has the size and reduction ratio used for the basic axis of medium-sized (about 6 to 15 kg) vertical articulated robots with the highest production volume in the market at present. The target was CSF-40-160-2A-GR manufactured by Harmonic Drive Systems.
[0041]
Table 1 shows the main specifications of the target wave gear reducer. Here, the IH tooth profile is a tooth profile invented by Ishikawa in 1986, which is a tooth profile using a curve in which the teeth of C / S and F / S obtained continuously from the tooth movement locus mesh with each other. The number of simultaneous meshing teeth is improved to about twice that of the tooth profile with a pressure angle of 30 degrees. The tooth profile of the wave gear reducer targeted in the present invention is a further improvement of this tooth profile, and an involute with a pressure angle of 18 degrees is provided near the reference pitch circle. FIG. 4 shows the rack tooth profile in comparison with the conventional tooth profile.
[0042]
FIG. 5 shows the tooth profile and external dimensions in comparison with a conventional wave gear reducer. The wave gear speed reducer targeted in the present invention has a shorter F / S and C / S tooth width than the conventional one, and the F / S axial length is also significantly shorter. Further, as shown in FIG. 5, the W / G has a structure in which an Oldham mechanism, which is a centering mechanism, is incorporated between the input shaft mounting portion and the elliptical plate.
[0043]
[Table 1]

[0044]
(2.2.2 Machining accuracy and measurement of wave gear reducer)
As described in Chapter 1, the wave gear reducer in recent years has been improved in accuracy compared with the conventional one for improving the vibration characteristics. Here, a measurement method and measurement results of the cumulative pitch error of the gear of the wave gear reducer and the processing error of the W / G bearing are shown.
[0045]
(A) Gear accuracy measurement method and measurement results
The cumulative pitch error of the C / S and F / S gears was measured using a gear measuring machine CLP-35 type manufactured by Osaka Seimitsu Co., Ltd. shown in FIG. This measurement is performed by placing a gear on the rotary table and bringing a measuring element into contact with one tooth surface. In the case of C / S, the measurement was performed in a state of being fixed to a flange to be attached when incorporated in a test apparatus. Since F / S is a flexible gear, measurement was performed by inserting a cylindrical opening jig into the inner diameter, and at the same time, the roundness error of the opening jig was measured to correct the gear error. Further, C / S is based on the outer peripheral surface, and F / S is centered on the rotary table based on the outer surface of the opening jig, and is 2 μm or less. In addition, the measurement place made 18 degree involute tooth profile part in C / S and F / S. Further, the tooth surface is viewed from the F / S opening, as shown in FIG. 7, the right tooth surface is the right tooth surface, the left tooth surface is the left tooth surface, C / S is the tooth groove, and F / S is the half tooth. Numbered clockwise. FIG. 8 shows the measurement result of the cumulative pitch error of C / S, and FIG. 9 shows the measurement result of the cumulative pitch error of F / S. The width of the accumulated pitch error (difference between the maximum value and the minimum value) is the same level as about 14 μm for both C / S and F / S, but the accumulated pitch error of F / S is a component of one cycle per round. The eccentric error is large, and the shape error is small compared to C / S. Also, the difference in the accumulated pitch error between the left and right tooth surfaces is more remarkable in C / S.
[0046]
(B) W / G bearing machining error measurement method and measurement results
Here, the outer ring raceway wall thickness of the W / G bearing was measured. As shown in FIG. 10, the pick tester was brought into contact with the outer peripheral surface of the outer ring on the W / G major axis, the inner ring was fixed, and only the outer ring was rotated at intervals of 5 degrees as shown in FIG. The measurement results are shown in FIG. In this measuring method, a change in the ball diameter is also measured at the same time. However, the mutual error of the used ball diameter is not more than 0.2 μm, so the influence is very small. Therefore, the value in the figure is considered to represent the change in the wall thickness of the outer ring. From the figure, it is characteristic that the change in the thickness of the outer ring has a large component of two cycles per round.
[0047]
(2.3 Static and dynamic characteristic measuring device)
In order to measure the static and dynamic characteristics of wave gear reducers with high accuracy, we have developed a static and dynamic characteristic measuring device. FIG. 12 shows the dynamic system of this measuring apparatus. Here, the static characteristic means a quasi-static angle transmission error measured under a condition that the load inertia on the output side is small and under a low input rotational speed (50 rpm or less), and the dynamic characteristic corresponds to a robot arm. This refers to an angle transmission error with vibration measured in the input rotational speed region where torsional vibration is a problem with load inertia attached to the output side.
[0048]
The wave gear reducer is built with C / S fixed, F / S output and W / G as input, AC servo motor is used for driving, and the angle of input / output shaft is built into the motor It is measured by a high-resolution hollow encoder built into the encoder and output shaft. With this device, it is possible to measure static characteristics in a no-load state and a state where a constant load torque is applied. As shown in FIG. 13, a constant load torque is given by winding two wires around a pulley attached to the output shaft in the same direction and suspending a weight between them. As shown in FIG. 14, the dynamic characteristics are measured in a state where a coasting disk with a weight attached to the output shaft is attached. By placing the weight attached to the inertial disk in a symmetrical position, the load torque is made unloaded, and by moving it to one side, the load torque according to the output shaft angle is given like a vertical articulated robot Measurement is possible. As shown here, when measuring the dynamic characteristics, the size of the drive motor was made large in order to minimize the influence of the servo characteristics of the motor. As described above, the present apparatus can measure the static and dynamic characteristics without rearranging the wave gear reducer. In addition, in order to be able to measure the characteristics of the wave gear reducer itself with high accuracy, it is possible to adjust the accuracy of the mounting surface with a structure in which F / S and C / S are fastened to the output shaft and housing via a single flange, respectively. Thus, the center runout and surface runout of the mounting portion were set to 2 μm or less. The resolution of the encoder on the output side is 3600000 pulses / rev. (ERO725 manufactured by HEIDENHAIN Co., Ltd.), the resolution of the input side encoder is 2000 pulses / rev. It is. Table 2 shows the specifications of this device.
[0049]
[Table 2]

[0050]
In addition to the angle of the input / output shaft, this apparatus can also measure the position of the outer ring of W / G, which was conventionally ignored. Since the outer periphery of the W / G outer ring is in sliding contact with the F / S inner peripheral surface and the inner periphery is in rolling contact with the raceway surface and the ball, its position is secured, so the rotational position cannot be specified. Therefore, as shown in FIG. 15, a laser reflection type sensor is attached to the input type cover, and a black paint is applied to the side of the outer ring, a reflection plate is adhered to two 180 ° symmetrical positions, and the passage of this part is attached to the input side cover. The position of the outer ring was confirmed by the detected sensor.
[0051]
(2.4 Definition and measurement method of angle transmission error)
(2.4.1 Definition of angle transmission error)
The difference between the theoretical output shaft rotation angle when the input shaft rotates from a certain reference position and the actual output shaft rotation angle is defined as an angle transmission error. Where the rotation angle of the input shaft is θ _i , The output shaft rotation angle θ _o If the reduction ratio is i, the angle transmission error θ _e Is represented by Formula (2.2).
[0052]
θ _e = Θ _o −iθ _i (2.2)
Where θ _i , Θ _o Is positive in the direction of mechanical rotation. Therefore θ _e Theoretically becomes positive when the rotation angle is determined by the reduction ratio.
[0053]
(2.4.2 Measuring method of angle transmission error)
A block diagram of the measurement system is shown in FIG. The signal of the input / output axis encoder is taken into the personal computer via the counter board, and the angle transmission error θ is calculated by the calculation of the equation (2.2). _e Is required. The reference position is the position where the origin signal of the first input encoder is detected after the origin signal of the output encoder is detected, and the angle transmission error is always from the same tooth meshing position unless the wave gear reducer is reassembled. Measurement starts. FIG. 17 shows the external appearance of the data capture and calculation unit. In the wave gear reducer, teeth of 10 to 20% of the total number of teeth are engaged at the same time. Therefore, the angle transmission error caused by the engagement of each tooth, which is a problem in general gears, does not become a problem. Therefore, in the present invention, measurement is performed for every 10 pulses of the input side encoder, and the angle transmission error of the number of data of 200 at one input rotation and 32000 at one output rotation is measured.
[0054]
FIG. 18 shows a measurement example of the angle transmission error of one rotation of the output shaft in the no-load state. In the figure, (a) shows the measured value itself, but undulation with a period of one rotation of the output shaft is recognized. This is because the encoder slit plate attached to the output shaft had a misalignment of 2 μm, and the result of correcting the influence of the misalignment is as shown in (b). From this, it can be seen that the angle transmission error in one rotation of the output shaft of the wave gear reducer itself has no undulation having a cycle of one rotation of the output shaft. In the present invention, this misalignment correction processing is performed in all measurements.
[0055]
(2.5 Evaluation of measuring equipment)
In order to evaluate the accuracy of the test apparatus, the following tests were conducted.
[0056]
The encoder on the input side has a lower resolution than the encoder on the output side even if a reduction gear is taken into account. Therefore, in order to check the accuracy of the input-side encoder having a low resolution, a shaft-equipped encoder (ROD800 manufactured by HEIDENHAIN Co., Ltd.) having the same resolution 0.36 arc-sec (3600000 pulses / rev.) As the encoder used on the output side is used. We measured the angle transmission error of the input encoder directly connected to the motor. FIG. 19 shows the angle transmission error measurement results of the input encoder for one rotation of the motor shaft for the two types of motors used in the present invention. Although the error waveforms when using two types of motors are different from this figure, the maximum errors were both about plus or minus about 40 arc-sec. Here, the error of 40 arc-sec on the input side is 0.25 arc-sec (40 arc-sec × i) in terms of the output axis, and the accuracy corresponds to the resolution of the output encoder of 0.36 arc-sec.
[0057]
Next, in order to investigate the reproducibility of the measurement of this test apparatus, the measurement was performed twice with no load at the same position of the W / G outer ring and the meshing position of the C / S and F / S teeth. FIG. 20 shows the measured value of the input shaft two rotations and the difference between the first measured value and the second measured value. This shows that the reproducibility is plus or minus 1 arc-sec or less.
[0058]
The object of the present invention is to reduce the angle transmission error of the wave gear reducer to about 10 arc-sec. The measurement error of the test apparatus and the measurement system is 0.5 arc-sec or less, and the reproducibility of the measurement is plus or minus 1 arc-sec or less, which meets the object of the present invention.
[0059]
(2.6 Summary)
The vibration amplitude at resonance required in the market is 20 arc-sec (10 ^-Four rad) In order to develop the following low vibration wave gear reducer, it is necessary to measure the static characteristics and dynamic characteristics of precise angle transmission error in consideration of the influence of the mounting state. For this reason, we developed a device that can simultaneously measure high-accuracy static and dynamic angular transmission errors in the same assembly state of the wave gear reducer. This device makes it possible for the first time to evaluate the static and dynamic characteristics of a wave gear reducer with the same assembly error.
[0060]
The results of this chapter are summarized below.
[0061]
(1) The specifications and machining accuracy of the wave gear reducer targeted in the present invention are shown.
[0062]
(2) An apparatus capable of simultaneously measuring high-precision static characteristics and dynamic characteristics with a wave gear reducer assembled has been developed for the present invention.
[0063]
(3) The developed device has a target vibration amplitude at resonance of 20 arc-sec (10 ^-Four rad) Below, it has been confirmed that the measurement accuracy is such that an expected angle transmission error of 10 arc-sec or less can be discussed.
[0064]
(Chapter 3: Effect of component errors on no-load angle transmission error)
(3.1 Introduction)
In the wave gear reducer, when the F / S which is the output shaft makes one rotation, the meshing between the teeth of the C / S and the F / S is restored. For this reason, in the study of the torsional vibration and angle transmission error of the conventional wave gear reducer, the characteristics of one rotation of the output shaft were evaluated. However, when discussing the target high-accuracy wave gear reducer, it is important to evaluate the reproducibility for each rotation of the output shaft in steady operation, which has not been regarded as important in the past. Therefore, in this chapter, the angle transmission error is continuously measured for many rotations of the output shaft in the highly assembled state under no load condition, and the W / G of the member that does not return to the original state by one rotation of the output shaft. The outer ring position is also measured at the same time. In addition, component analysis is performed on the obtained measurement results using the method of Yabe et al., And the relationship between the C / S and F / S gear errors and the W / G outer ring machining error is considered.
[0065]
(3.2 Measurement result of angle transmission error)
The measurement of the unloaded angle transmission error was performed at an input shaft rotation speed of 50 rpm. FIG. 21 shows the measurement results. The figure shows a total of about 600,000 angular transmission error data arranged vertically for each rotation of the output shaft, and the circle and triangle marks are detected by the signal of the reflector attached to the 180 ° symmetrical position of the W / G outer ring. Represents the position. The detected position of the W / G outer ring moves at a substantially constant speed, and returns almost to the original position by 19 rotations of the output shaft. Conventionally, the angle transmission error was thought to be reproduced every rotation of the output shaft, but from this figure there is a non-negligible variation in the angle transmission error for each rotation of the output shaft, which is related to the position of the W / G outer ring. It is confirmed that it has periodicity. FIG. 22 shows the relationship between the output shaft rotation and the maximum angle transmission error width (difference between the maximum value and the minimum value) during each output shaft rotation. From the figure, it can be seen that the maximum value of the angle transmission error during the rotation of the output shaft has a cycle of variation of almost two times at 19 rotations of the output shaft.
[0066]
(3.3 Factor analysis of angle transmission error)
(3.3.1 Component analysis method of angle transmission error)
In order to develop a wave gear reducer with low vibration, that is, with high accuracy, it is necessary to grasp the cause of the angle transmission error of the wave gear reducer. Here, the component analysis of the angle transmission error was performed using the method of Yabe et al. In this method, assuming that the reduction ratio (reciprocal of the reduction ratio) is R (R = 1 / i), the component resulting from C / S is rotated R times in one rotation of the input shaft during one rotation of the output shaft. Focusing on the fact that the component caused by / S appears only R + 1 times in the cycle of the input shaft R / (R + 1) rotation, the angle transmission error for one rotation of the output shaft is divided into R and R + 1, and the arithmetic average is taken. This is a very clever way to extract components with their respective periods. Here, the arithmetic mean specifically refers to the following operation. If the angle transmission error is calculated every 2π / m rotation of the input shaft, it is obtained as m discrete data for one rotation of the input shaft. In the case of C / S, this data is m pieces of the same data for each rotation of the input shaft (the input shaft rotates once for C / S). Rm data of one rotation of the output shaft is divided by one rotation of the input shaft, that is, divided into R, and is called first data, second data,. Next, the output shaft is rotated once (input shaft R rotation), that is, R pieces of the first data, the second data,. In the case of F / S, similarly, Rm data of one rotation of the output shaft may be divided into R + 1 and the same operation may be performed. However, when Rm / (R + 1) does not become an integer, it becomes an integer. It is necessary to change the number of data.
[0067]
In the measurement result of FIG. 21, since the rotation of the W / G outer ring is substantially constant, the cycle of the input shaft rotating once with respect to the W / G outer ring, that is, the cycle of the angle transmission error component caused by the W / G outer ring is determined. The above method can be used. The procedure for analyzing the angle transmission error applying the above method will be specifically described.
[0068]
(1) An arithmetic average of the output shaft 19 rotation data for which the position of the W / G outer ring returns almost to the original is taken for each rotation of the output shaft, and an angle transmission error component and a random component caused by the W / G outer ring are removed. . Here, the i-th angle transmission error data of the output shaft k-th rotation and the input shaft j-th rotation is θ _e Assuming that (i, j, k), the value θ ′ obtained by calculating the arithmetic average for k rotations of the output shaft _e Is expressed by the following equation.
[0069]
[Expression 2]

[0070]
(2) Next, θ ′ _e The arithmetic average is taken for each rotation of the input shaft. By this operation, the angle transmission error component due to the F / S returning to the original position by one rotation of the output shaft is removed. That is, the angle transmission error component E caused by C / S having a period for each rotation of the input shaft. _c Is obtained. Here, if the speed ratio is R, E _c Is expressed by the following equation.
[0071]
[Equation 3]

[0072]
(3) θ ' _e To C / S component E _c Minus the value of θ ″ _e And That is, θ ″ _e (I, j) = θ ′ _e (Ij) -E _c Assuming (i), this is data of the total number of data Rm for the input shaft R rotation, where m is the number of data per rotation of the input shaft (m = 200 in the present invention).
[0073]
Therefore, this data is converted so that the number of data is m when the input shaft makes one rotation with respect to F / S. That is, the total number of data is (R + 1) m. In the present invention, Fourier transformation is used for this transformation. This conversion of the number of data is for averaging the data for each rotation of the input shaft with respect to F / S. The converted data in which the input axis is the i-th rotation of the j-th rotation with respect to F / S is θ ′ ″. _e If (i, j), the angle transmission error component E caused by F / S _f Is obtained as follows.
[0074]
[Expression 4]

[0075]
(4) Next, the rotation cycle of the W / G outer ring is specified, and an angle transmission error component caused by the W / G outer ring is obtained. In this experiment, from the first rotation to the second rotation of the output shaft in FIG. 21, the W / G outer ring was rotated once in the direction opposite to the input shaft with about 168.6 rotations of the input shaft. Therefore, assuming that the rotation speed of the W / G outer ring is constant, it can be seen that the component of the W / G outer ring has a period of almost every input shaft 168.6 (168.6 + 1) rotations. Therefore, the original data θ for 168.6 rotations of the input shaft _e To component C resulting from C / S and F / S _c , E _f Data θ minus _ee (Data number 168.6m = 33720) is obtained, and this is converted into the data number of (168.6 + 1) m = 33920 in the same manner as (3). Θ _e To E _f When subtracting, the number of data needs to be converted. This data becomes m number of data when the input shaft makes one rotation with respect to the W / G outer ring. _ee This is represented by (i, j) and an angle transmission error component E caused by the W / G outer ring. _o Was obtained by the following equation.
[0076]
[Equation 5]

[0077]
(5) Finally, the original data θ _e To E _c , E _f , E _o E minus the value _u It was. Where E _u Is a measurement error, calculation error (because the rotational speed of the W / G outer ring is not always constant), encoder quantization error, W / G ball influence, etc. It will be called an error component.
[0078]
The above is the method for analyzing the cause of the angle transmission error performed in the present invention.
[0079]
(3.3.2 Angle transmission error component due to reduction gear components)
An angle transmission error component E caused by C / S obtained by processing the total 608000 data shown in FIG. _c , The angle transmission error component due to F / S is represented by E _f , Angle transmission error component E caused by W / G outer ring _o , Other error components E _u Is shown in FIG. 23 for one cycle of each component (cycle in which the input shaft makes one rotation for each of C / S, F / S, and W / G). E _u Indicates the value of one rotation of the input shaft for the first rotation of the output shaft. E _c , E _f , E _o It can be seen that each has a periodicity twice. E _c , E _f , E _o , E _u The ratio of the maximum amplitude is about 50: 18: 20: 12, and it can be seen that the angle transmission error component due to C / S is the largest. E _o The feature is that an error component having a fine period seen in other components is not seen.
[0080]
FIG. 24 shows the Fourier analysis result of each component. In the figure, (a) shows an angle transmission error component E caused by C / S. _c , (B) is an angle transmission error component E caused by F / S. _f , (C) is an angle transmission error component E caused by the W / G outer ring. _o , (D) are other error components E _u This is the case. Note that, here, for example, a component having two fluctuations in one cycle of the error component subjected to Fourier analysis is called a second order, and the Fourier coefficients up to the 50th order are shown in the figure. In FIG. 25, the components up to the 13th order are shown in a comparative form.
[0081]
From these figures, each component component is mainly a low-order component of 12th order or lower, and odd-numbered orders are hardly seen. The fact that the odd-order is not seen is considered because the gear gear reducer is engaged with teeth at two locations near the long axis of the W / G ellipse, so that the odd-order component of the gear error is canceled out. . For this reason, there is a difference in the magnitude of each angle transmission error component between C / S and F / S, although there is no significant difference in the maximum cumulative pitch error width in Chapter 2 FIG. This is probably because the main component of the accumulated pitch error of F / S is a component (primary component) having a fluctuation once in one period and is canceled as described above and does not appear as an angle transmission error component. The largest C / S component is mainly the second, fourth and sixth order components. Next, paying attention to the components of the large F / S and W / G outer rings, the F / S component is dispersed in many orders, whereas the W / G outer ring component is large only in the second order component, Looking at the second order component, the W / G outer ring is larger than F / S. This is considered to be due to the fact that the distribution of the W / G outer ring wall thickness variation in FIG. 11 has a relatively small high-order component and a large secondary component. As for the higher-order components of the 13th or higher order of other elements, C / S is 25th-order, F / S is 30th-order component, and others are 25th-order components. Regarding C / S and other 25th-order components, this is considered to be due to the fact that the number of times the ball passes on the long axis of W / G is approximately 25 times during one rotation of the input shaft at two long shaft portions. . The 30th-order component of F / S is considered to be the influence of the worm gear used for the main shaft rotation of the hobbing machine that performs F / S gear cutting.
[0082]
Finally, I will add the relationship between the reliability of this data processing and the number of data. Component analysis when the output shaft output rotational speed to be arithmetically averaged in the removal of the angular transmission error component and the random component caused by the W / G outer ring in equation (3.1) is 1, 5, 9, 15, 19 The results are shown in FIG. From the figure, it can be seen that the C / S component hardly changes with respect to the output rotation speed to be arithmetically averaged, but the other components show a large difference when the output shaft is 9 rotations or less. Originally, this component analysis method should be able to separate components if there is data for one rotation of the output shaft. However, in this experiment, E _f , E _o Of the input shaft rotation is very close to 160/161 = 0.99379 times and 168.6 / 169.6 = 0.99410 times, respectively, and the rotation speed of the W / G outer ring is not necessarily constant. In such a case, it is considered that a large number of data is required for component separation. In the present invention, 32,000 pieces of data for one rotation of the output shaft were analyzed for 19 rotations of the output shaft, that is, 608,000 angle transmission error data by the method shown in Section 3.3.1.
[0083]
(3.4 Effect of machining error on fluctuation of angle transmission error)
Here, the relationship between the component of the angle transmission error obtained in Section 3.3 due to the reducer component and the machining accuracy of each reducer component will be clarified and the effect will be discussed.
[0084]
In the case of a wave gear reducer, the accumulated pitch error of the gear has been considered as the main cause of the angle transmission error. In this case, in calculating the angle transmission error from the cumulative pitch error of the gear, in the case of a wave gear reducer, the teeth of C / S and F / S mesh at two locations near the long axis of the W / G ellipse, It should be considered that about 20% of the teeth simultaneously mesh. In the cup-type wave gear reducer, teeth are meshed three-dimensionally, and it is particularly difficult to identify the meshing tooth surface in an unloaded state and the number of simultaneous meshing teeth. Yellow proposes a two-dimensional model of tooth meshing assuming C / S and F / S tooth meshing stiffness, and seeks the number of meshing teeth and meshing tooth surfaces by simulation. Is not considered. Therefore, for the sake of simplicity, in the present invention, in the present study, 8 teeth before and after the meshing center at a 180-degree symmetric position on the assumption that 10% of the total number of teeth, which are half the number of meshing teeth, mesh with both left and right tooth surfaces. An angle transmission error component is calculated by taking a moving average of accumulated pitch errors of a total of 34 teeth and dividing by a pitch circle radius. The cumulative pitch error of the i-th right tooth surface and the left tooth surface from the tooth at the reference position is P / C, respectively. _cR (I) and P _cL (I) P for F / S _fR (I) and P _fL (I) and the reference pitch circle radius of C / S and F / S is r _pc , R _pf Then, the angle transmission error component E of C / S and F / S estimated from the cumulative pitch error of the teeth _pc (I), E _pf (I) is shown in Formula (3.5) and Formula (3.6). Where Z _c , Z _f Represents the number of teeth of C / S and F / S, respectively.
[0085]
[Formula 6]

[0086]
About the influence of the wall thickness fluctuation | variation of a W / G outer ring | wheel, it calculated | required as follows. Assuming that the wall thickness variation is pasted on the inner circumference of the F / S with no error, and considering the state where the inner diameter is a perfect circle, the pitch circle of the F / S is deformed and a pitch error occurs in the teeth. As shown in FIG. 27, when the angle from the reference point to a certain tooth is θ, the tooth is shifted by the angle φ due to the deformation of the pitch circle. The angle φ is the pitch circle radius r _pf When the thickness variation is Δt (θ) as a function of θ, it is approximated by the following equation.
[0087]
[Expression 7]

[0088]
Since the angle φ represents the deviation of the tooth center, the average value of the cumulative pitch error on both the left and right tooth surfaces is replaced with the angle. Similarly, the value obtained by taking the moving range in consideration of the meshing range is the angle transmission error. It will be. Here, the bending rigidity fluctuation of the W / G outer ring due to the fluctuation of the wall thickness can be ignored because the wall thickness fluctuation value is about 1/1000 of the wall thickness of the W / G outer ring.
[0089]
Using the above method, the cumulative pitch error of the C / S and F / S gears (FIGS. 8 and 9), the wall thickness variation of the W / G outer ring (FIG. 11), and equations (3.5) and (3. FIG. 28 shows a comparison between the calculated value of the angle transmission error component obtained from 6) and (3.7) and the value analyzed from the experimental value (FIG. 23). From this figure, it can be seen that the calculated values and the analyzed values are almost the same for the three components. In particular, the F / S component has an error within 1 arc-sec, and it has been found that the method of calculating the angle transmission error from the accumulated pitch error is sufficiently effective. Also, the components of the W / G outer ring are almost the same, and the wall thickness fluctuation of the W / G outer ring is the main cause of the fluctuation of the angle transmission error component of the W / G outer ring, that is, the angle transmission error every rotation of the output shaft. It became clear that there was. In addition, it can be seen from FIG. 23 that the secondary components of the other error components shown in FIGS. 24 and 25 have substantially the same phase as the components of the W / G outer ring. It seems that the calculated value and the analytical value are closer to each other when added to the above components. Therefore, it is estimated that secondary components of other components are caused by calculation errors. Next, the reason why the difference between the calculated value and the analyzed value of the C / S component is larger than the other is that the C / S mounting state is different between the angle transmission error measurement and the gear error measurement. The C / S is expected to be sensitive to the mounting state, which will be described in the next chapter. Further, regarding the W / G outer ring, it becomes clear that a machining error of plus or minus 1 μm or less affects the performance, and it is expected that it is necessary to pay attention to a mutual error of the ball diameter which is not taken up in the present invention.
[0090]
(3.5 Summary)
With the wave gear reducer attached with high precision, the unloaded angular transmission error is measured continuously for the number of rotations of the output shaft, and the W / G outer ring position is also measured at the same time to obtain C / S, F In addition to / S, W / G was also added to analyze the components attributable to the components of the wave gear reducer. The angle resulting from each component by applying simple geometrical calculations to the accumulated pitch error of the C / S and F / S gears and the wall thickness variation of the W / G outer ring, which are components of the wave gear reducer The transmission error component was calculated and compared with the analysis results from the measured values.
[0091]
The results obtained are as follows.
[0092]
(1) By analyzing a total of 608,000 angular transmission error data, the angular transmission error components caused by the components of the wave gear reducer and the characteristics of each component were clarified.
[0093]
(2) Applying a simple geometric calculation, the angular transmission error component caused by each component is obtained from the measured values of the cumulative pitch error of the C / S and F / S gears and the wall thickness variation of the W / G outer ring. It was shown that it is required with high accuracy. As a result, it was confirmed that the unloaded angle transmission error mainly depends on the average value of the accumulated pitch errors of the left and right gears, that is, the accumulated pitch of the tooth gap or tooth center.
[0094]
(3) From the above, the angle transmission error of the wave gear reducer has an error component that matches the rotation period of the W / G outer ring based on the wall thickness variation of the W / G outer ring in addition to the error component for each rotation of the output shaft. I made it clear for the first time.
[0095]
Chapter 4 Effect of assembly error on no-load angle transmission error
(4.1 Introduction)
As detailed in Chapter 1, the effects of assembly errors of wave gear reducers on vibration characteristics and angular transmission errors are discussed in Hidaka et al. W. Nye et al., Ishida et al. However, when these studies consider the assembly error of each component of the wave gear reducer, the types of assembly errors considered are not sufficient. In addition, it has been pointed out that it is necessary to assemble a wave gear reducer with high precision in order to obtain high rotational accuracy in these studies. Since this increases the cost of the device to be attached, it is necessary to increase the accuracy of the device that holds down the point. There are five types of assembly errors considered in the conventional research: C / S radial deformation and tilt, W / G tilt and misalignment, and F / S rotation axis misalignment. Then, assuming actual use conditions, angle transmission errors are measured for the following 11 types of assembly errors, the degree of influence of each assembly error is grasped, and assembly errors to be noted are clarified. Furthermore, we propose a high-precision assembly method that reduces the angle transmission error practically.
[0096]
(4.2 Definition of assembly error of wave gear reducer)
In this chapter, the assembly error of the wave gear reducer is defined as the mounting error because there is no error in the three components (C / S, F / S, W / G), and the displacement and elastic deformation that occur during the mounting. First, in order to explain each attachment error, the following concept is defined.
[0097]
Basic axis: When there is no mounting error in any of C / S, F / S, and W / G, the common axis of these three components
Rotation axis: Input / output rotation axis of the reducer in the mounted state (indicated by arrows in the figure)
Geometric axis: geometric centerline of each component itself before installation
FIG. 29, FIG. 30, and FIG. 31 show attachment errors of C / S, F / S, and W / G components.
[0098]
FIG. 29 shows (a) when the C / S geometric axis is eccentric with respect to the basic axis, (b) when the C / S geometric axis is tilted with respect to the basic axis, and (c) when C / S is the axis In the case of deformation in the direction, (d) the case where C / S is deformed in the radial direction is shown. In both cases, the mounting error amount is represented by δ, but when the C / S geometric axis is inclined with respect to the basic axis as shown in (b), the maximum displacement amount on the C / S mounting surface is set as the mounting error amount. And
[0099]
In FIG. 30, (a) the output rotation axis and the F / S geometric axis are eccentric with respect to the basic axis, and (b) the F / S geometric axis is eccentric with respect to the basic axis and the output rotation axis. (C) The case where the F / S geometric axis is inclined with respect to the basic axis and the output rotation axis, and (d) the case where the mounting portion of the F / S on the rotation axis is deformed in the axial direction. Yes. As in the case of C / S, with respect to the mounting error amount δ, when the F / S geometric axis is inclined with respect to the basic axis and the output rotation axis as shown in (b), the maximum on the F / S mounting surface. The amount of displacement is the amount of mounting error.
[0100]
In FIG. 31, (a) the input rotation axis and the W / G geometric axis are eccentric with respect to the basic axis, (b) the W / G geometric axis is eccentric with respect to the basic axis and the input rotation axis. (C) The case where the input rotation axis and the W / G geometric axis are inclined with respect to the basic axis is shown. Here, the amount of eccentricity is represented by δ, and the inclination is represented by angle φ.
[0101]
(4.3 Effects of component installation errors)
As an example of the influence of the mounting error on the angle transmission error, FIG. 32 shows an example of the angle transmission error measurement compared to the case where there is no mounting error. Here, (a) shows the case where there is no mounting error, and (b) shows the case where C / S is deformed by δ = 0.012 mm in the radial direction (see FIG. 29D). From this, it can be seen that the influence of the attachment error of the C / S radial deformation on the angle transmission error is very large.
[0102]
(4.3.1 Effect of C / S mounting error)
When the C / S geometric axis is eccentric with respect to the basic axis in FIG. 29 (a), the C / S mounting flange is assembled and fixed with the C / S being eccentric. (B) If the C / S geometric axis is inclined with respect to the basic axis, insert a thin metal foil shim plate between the C / S mounting flange surface and the housing surface to The tilted state was realized and C / S was fixed. (C) For the case where C / S is deformed in the axial direction, tighten the bolt with the shim plate inserted at a 180-degree symmetrical position around the bolt fastening portion between the C / S mounting flange and C / S. S was given axial deformation. (D) If C / S is deformed in the radial direction, preload is applied to the meshing portion of the wave gear reducer if C / S, F / S and W / G are temporarily assembled. Therefore, C / S is deformed in an elliptical shape in the radial direction by the preload. C / S was fixed in this state. The amount of deformation was adjusted by changing the position in the W / G axis direction during temporary assembly and adjusting the preload applied to the tooth meshing portion. The most important point here is that when a thin metal foil shim plate is inserted between the C / S mounting flange and the housing so that the C / S mounting flange is tilted, the C / S mounting flange is deformed. Thus, the flatness of the surface on which the C / S is attached is not changed.
[0103]
FIG. 33 shows changes in the maximum value (PP value) of the angle transmission error with respect to various attachment error amounts. Thus, when the radial direction and axial direction deformation is applied to C / S, the maximum value of the angle transmission error increases rapidly as the deformation amount increases, and the eccentricity or tilt of the geometric axis with respect to the reference axis causes the angle transmission error. It can be seen that the effect is small. It is clear from Chapter 3 that the angle transmission error of the wave gear reducer is mainly due to the cumulative pitch error of the C / S and F / S gears. If there is a change in direction, this gear error is considered to change sensitively. In this case, the C / S gear error does not change, and the influence of the mounting error is considered to be absorbed by the F / S flexibility and the W / G alignment mechanism. Further, in the conventional research, it has been reported that the tilt of the geometric axis with respect to the reference axis of C / S has a great influence on the angle transmission error. However, these studies are related to the conventional type in which the tooth widths of C / S and F / S are large. Therefore, the difference from the results in this chapter is considered to be due to the difference in tooth width. In this chapter, the value of the angle transmission error is evaluated by one rotation of the output shaft, and when determining the relationship between the amount of mounting error and the maximum value of the angle transmission error, the influence of the fluctuation component due to the processing accuracy of the W / G outer ring is regarded as an error. Although included, this effect is of a level that can be ignored compared to the change in the maximum value of the angle transmission error due to the mounting error.
[0104]
(4.3.2 Effect of F / S mounting error)
In FIG. 30, (a) when the output rotation axis and the F / S geometric axis are eccentric with respect to the basic axis, the input side flange assembled with C / S and W / G is connected to the output rotation axis. Mounting errors were given by assembling with the same amount of eccentricity in the same direction. (B) In the case where the F / S geometric axis is eccentric with respect to the basic axis and the output rotation axis, the F / S mounting flange mounted between the F / S and the output shaft is eccentric to the output shaft. Attach with. (C) When the F / S geometric axis is tilted with respect to the basic shaft and the output rotation shaft, the F / S mounting flange is tilted by inserting a shim plate between the F / S mounting flange and the output shaft. This gave an inclination to F / S. (D) When the mounting portion of the F / S on the rotating shaft is deformed in the axial direction, a shim plate is inserted at a 180-degree symmetrical position around the bolt fastening portion between the F / S mounting flange and the output shaft. Then, the bolt was tightened to deform the F / S mounting portion in the axial direction.
[0105]
FIG. 34 shows a change in the maximum value of the angle transmission error with respect to various attachment error amounts. From this figure, the maximum value of the angle transmission error with respect to various F / S mounting error amounts tends to increase as the mounting error increases, but the amount is extremely small, and the F / S mounting error is the angle transmission error. It can be seen that the effect on is small.
[0106]
In the case of F / S, the influence of the deformation of the mounting portion having a great influence in the case of C / S was small as in the case of other attachment errors. In the case of C / S, the deformation of the mounting portion becomes the deformation of the gear and deteriorates the cumulative pitch error, whereas in the case of F / S, the cumulative pitch error that affects the angle transmission error is based on the inner diameter. Therefore, as long as the distance from the inner diameter to the gear, that is, the thickness of this portion does not change, the cumulative pitch error does not actually change, and the deformation of the mounting portion does not change the thickness at all. .
[0107]
(4.3.3 Effect of W / G mounting error)
In FIG. 31, (a) when the input rotation axis and the W / G geometric axis are eccentric with respect to the basic axis, the input side flange assembled with W / G is attached in a state of being eccentric with respect to the housing. . (B) If the W / G geometric axis is eccentric with respect to the basic axis and the input rotation axis, use the Oldham component with a hole diameter larger than the input shaft diameter to make the W / G Oldham relative to the input axis. The Oldham component was fixed with the mechanism part eccentric. (C) When the input rotation axis and the W / G geometric axis are inclined with respect to the basic axis, the input shaft is inclined by inserting a shim plate between the input side flange with the W / G assembled between the housings. It was assembled in the state that was made.
[0108]
In FIG. 35, when the input rotation axis and the W / G geometric axis are decentered with respect to the basic axis of (a), and when the W / G geometric axis is deviated from the basic axis and input rotation axis of (b). FIG. 36 shows a case where the input rotation axis and the W / G geometric axis are inclined with respect to the basic axis in FIG. 36C. 35 and 36, it can be seen that the W / G mounting error has almost no effect on the angle transmission error. In this regard, it is considered that the alignment mechanism by the Oldham mechanism of W / G plays a major role.
[0109]
Next, as a reference, the same test was performed using a rigid W / G without an Oldham mechanism in W / G, and the effect of absorbing the mounting error with respect to the angle transmission error due to the alignment function of the Oldham mechanism was considered. The test results are shown in FIGS. Accordingly, in the rigid type W / G, the input rotation axis and the W / G geometric axis are eccentric with respect to the basic axis, and the W / G geometric axis is eccentric with respect to the basic axis and the input rotation axis. In both cases, the maximum value of the angle transmission error increased with an increase in the amount of attachment error, and it became clear that the W / G eccentricity error had a great influence on the angle transmission error. As shown in the result of Fourier analysis of the angle transmission component caused by the components in FIG. 25, the angle transmission error does not include an odd number of fluctuation components (odd order component) for one rotation of the input shaft. This is thought to be because the odd-order component of the gear error is canceled out by the meshing of the two teeth near the elliptical long axis of W / G. However, if W / G does not have a centering mechanism, if W / G is decentered, the meshing of the two teeth near the long axis is concentrated in one place and the odd order component of the gear error cannot be canceled. The angle transmission error is considered to worsen with an increase in the amount of eccentricity of W / G. Further, when the input rotation axis and the W / G geometric axis are inclined with respect to the basic axis, the influence on the angle transmission error is small compared to the eccentricity error. This is presumably because the meshing tooth width of the wave gear reducer is large, so that even if W / G is tilted, the tooth meshing is less likely to be biased to one location.
[0110]
(4.4 Proposal of high-precision assembly method to reduce angle transmission error)
From the results in Section 4.3, when there is a centering mechanism (Oldham mechanism) in W / G, among the installation errors of C / S, F / S, and W / G, which are components of the wave gear reducer It has become clear that the mounting error that deforms C / S has the greatest influence on the angle transmission error. Here, since the wave gear reducer is used in a highly accurate state, it is clear that there are points to be careful in assembling and designing, that is, what points should be taken into consideration without deformation of the C / S. To suggest.
[0111]
(C / S radial deformation prevention)
(1) Securing the roundness of the mounting spigot and the clearance of the fitting part
As apparent from the experiment, since the influence of the misalignment of the C / S geometric axis on the angle transmission error is small, a clearance fit is desirable for the fit between the C / S and its mounting member.
[0112]
(2) When fastening C / S and its mounting member, avoid positioning and fixing with pins.
[0113]
(3) C / S, F / S, and W / G are combined, and the C / S is not fastened to the mounting member in a state where the preload is applied to the teeth.
[0114]
After the C / S is fastened to the mounting member and the rigidity in the radial direction is ensured, the assembly procedure is to combine the three component parts.
[0115]
(C / S axial deformation prevention)
(1) Ensuring the flatness of the mounting surface of the C / S mounting member
Removal of burrs and burrs that occur during machining of the mounting surface of C / S mounting members, especially bulges around screw holes that occur during tapping.
[0116]
Pay attention to the processing strain of the C / S mounting member and the dents on the mounting surface.
[0117]
Avoid entrapment of foreign matter between C / S and C / S mounting member.
[0118]
(2) Thoroughly chamfer the mounting spigot corner.
[0119]
(C / S high rigidity)
Design C / S that is difficult to deform. Here, unnecessarily thickening the C / S thickness or increasing the dimensions loses the light and compact advantage of the wave gear reducer. A shape design technique is desired that is compact and does not affect the gear portion even if the C / S mounting portion is deformed.
[0120]
(Other design and assembly precautions)
When W / G having no alignment mechanism is used, it is important to minimize the eccentricity of the rotation axis of the input shaft and the eccentricity of the geometric axis of W / G with respect to the rotation axis of the input shaft.
[0121]
(4.6 Summary)
The effect of assembly error on the angle transmission error of the wave gear reducer was measured in detail using a developed testing machine. As a result, it has been clarified that in the wave gear reducer, the most notable attachment error is an attachment error that causes the radial / axial deformation of C / S. The effect of the C / S axial deformation on the angle transmission error was first clarified in this chapter. It has been clarified that the influence of the inclination of the C / S geometric axis relative to the basic axis, which has been pointed out in the conventional research, on the angle transmission error can be ignored in the wave gear reducer of the type targeted in the present invention. In addition, when using a W / G that does not have a centering mechanism, it has become clear that the W / G mounting error has a great influence on the angle transmission error, and that the W / G eccentricity error should be particularly noted. The effects of the assembly error on the angle transmission error of the wave gear reducer have been quantitatively shown above, and a guideline for high-precision assembly has been presented based on these results.
[0122]
(Chapter 5: Effect of load torque on angle transmission error)
(5.1 Introduction)
Chapters 2 and 3 have clarified the characteristics of the angular transmission error under no load, which is one index of the rotational accuracy of the wave gear reducer. However, in most practical cases, the wave gear reducer is used under a load torque condition. Therefore, grasping the angle transmission error under the load torque condition causes a vibration problem in the actual use condition. It is important for discussion. Ishida et al. Measured the angle transmission error of a wave gear reducer under a specific load condition, and increased the component corresponding to the W / G ball passing period with respect to the angle transmission error at no load. It has been clarified that the waveform of the angle transmission error changes when the input rotation direction is changed with the direction load, but the reason for the change in the waveform of the angle transmission error due to the load torque is not clarified, and the load torque is changed. The relationship between the behavior and the gear error in the case of being made is not studied.
[0123]
Therefore, in this chapter, the angle transmission error when the load torque is changed in a highly accurate assembly state and a state where the C / S is deformed is measured, and the component analysis is performed. From the results, the effect of load torque on angle transmission error and the relationship with gear error were discussed.
[0124]
(5.2 Features of angular transmission error under load)
As described in Chapter 2 to investigate the effect of load torque on angle transmission error, static load torque can be obtained by winding two wires in the same direction around a pulley attached to the output shaft and hanging weights. The angle transmission error at this time was measured.
[0125]
The load torque was 0% of the rated torque, plus / minus 10%, 20%, 40% and 70%, respectively, and the input rotation speed was 30 rpm in order to avoid vibration of the weight. Here, as for the sign of the load torque, positive is the weight lowering and negative is the winding direction. Also, the input rotation direction is always constant, and the load direction is changed by reversing the wire winding direction.
[0126]
FIG. 39 shows an angle transmission error of one output rotation at each load torque. The position of the outer ring is indicated by a circle and a triangle as in Chapter 3 FIG. Compared with FIG. 21, the position of the outer ring is different for each load torque, so that the waveform of the angle transmission error is greatly different, but a large difference is not recognized in the amplitude value. When a load torque is applied to a general involute spur gear, the meshing teeth are deflected, and the number of simultaneous meshing teeth (meshing ratio) is changed to 1 tooth meshing and 2 tooth meshing. As a result, the meshing rigidity of the teeth changes, and the angle transmission error changes greatly depending on the applied load torque. On the other hand, in the case of a wave gear reducer, it is considered that this phenomenon does not occur because the number of simultaneous meshing teeth is large.
[0127]
From this measurement result, it is recognized that the moving speed of the outer ring changes considerably between load torques and during one rotation of the output, and the angle transmission error fluctuates accordingly. This is presumably because the sliding speed between the F / S inner peripheral surface and the outer ring outer peripheral surface changes depending on the frictional state of the sliding surface. For this reason, it is difficult to specify the behavior of the outer ring when the rotational speed, load, temperature, and the like change.
[0128]
Next, component analysis was performed on the angle transmission error during loading. As can be seen from FIG. 39, since the moving speed of the outer ring is not constant, it is difficult to separate the component caused by F / S and the component caused by the outer ring. In view of this, the components caused by C / S, which is easy to separate components in such a state and is the main component of the angle transmission error, were examined.
[0129]
FIG. 40 shows one component period resulting from C / S at each load torque. In the figure, the waveform shown in the middle shows no load, the upper side shows a positive load, and the lower side shows a negative load. From the figure, there is no significant difference in the amplitude of the component due to C / S regardless of the load direction. However, the waveform, which changes twice in one cycle in the case of no load, is relatively flat, while the waveform rises to the right when loaded in the positive direction and rises to the left when loaded in the negative direction. It can be clearly seen that the component resulting from C / S changes due to the load torque. The degree of this change is large when the load torque is 0 to plus or minus 20% of the rated torque, and it appears that the change is small when the torque is higher. This is thought to be because tooth engagement is performed on both the left and right tooth surfaces in an unloaded state, whereas in the loaded state, one of the left and right tooth surfaces is engaged depending on the load direction. From the figure, it can be read that the transition from the state of meshing both tooth surfaces at no load to the meshing of one tooth surface is completed with a relatively low torque.
[0130]
(5.3 Evaluation of angle transmission error considering the movement of meshing tooth surface due to load)
Here, a comparison was made between the C / S component of the angle transmission error during load torque and the C / S component of the angle transmission error calculated from the accumulated pitch error of C / S. The calculation method of the angle transmission error from the cumulative pitch error of C / S is based on the assumption that the tooth meshing is performed completely on one tooth surface and the number of simultaneous meshing teeth does not change due to the load torque. Perform based on (3.5). Here, in this experiment, the C / S and F / S teeth are loaded in the direction in which the right tooth surface is engaged when the load is positive and the left tooth surface is engaged when the load is negative. Therefore, when the angle transmission error is positive load, _pcR In case of negative load E _pcL Then, they are represented by the formula (5.1) and the formula (5.2), respectively. Further, in the case of no load, E is expressed as expressed by the formula (3.5). _pcR And E _pcL Is obtained by averaging.
[0131]
[Equation 8]

[0132]
Angular transmission error of C / S analyzed from C / S angular transmission error component calculated by applying the above formula to C / S cumulative pitch error measurement value and experimental value in case of ± 70% of rated torque FIG. 41 shows the comparison of the components and the case of no load shown in FIG. The angle transmission error component waveform can be approximated for both the positive load and the negative load. From this, it became clear that the effect of load torque on the angle transmission error is caused by the shift of tooth meshing to single tooth meshing. Therefore, if the difference in the accumulated pitch error between the left and right tooth surfaces, that is, the deviation error of the tooth gap is large, the change in the angle transmission error due to the load torque is expected to increase.
[0133]
Hidaka et al. Pointed out that the cause of the vibration of the wave gear reducer is the fluctuation of the torsional rigidity due to the angular transmission error and the meshing position of the teeth of C / S and F / S. This is due to the difference in torsion between the two loads, that is, the difference in the angle transmission error in the loaded state, which is thought to be caused by the tooth meshing tooth surface changing according to the load torque clarified in this experiment. It is done.
[0134]
Next, how the angular transmission error component due to the F / S and W / G outer rings, which could not be analyzed in the experiments in this chapter, changes during loading based on equations (5.1) and (5.2). calculate. The wall thickness variation of the W / G outer ring is calculated as follows.
[0135]
FIG. 42 shows a state where the pitch circle of the F / S is deformed from the perfect circle state due to the wall thickness variation of W / G, as in FIG. 27, and teeth of equal pitch are carved on the deformed pitch line. . As shown in the figure, the angle from the reference point to a certain tooth is θ, and the pitch circle radius is r. _pf , Δt (θ) as a function of wall thickness variation as a function of θ, the deviation angle of the tooth center at that time is φ, and the cumulative pitch error of the right tooth surface from the reference tooth before deformation of the pitch circle is P _fR , P is the cumulative pitch error of the left tooth surface _fL Then, since Δt (θ) is a vibration of the tooth gap, the relationship of Expression (5.3) is established.
[0136]
[Equation 9]

[0137]
Where Z _f Is the number of teeth of F / S, α ₀ Is the reference pressure angle, α is the pressure angle at the cumulative pitch error measurement point, and x is the dislocation coefficient. Note that the wave gear speed reducer targeted in the present invention has a large number of F / S teeth of 320, and the tooth profile of the involute portion is substantially straight, so ψ = α ₀ Can be approximated.
[0138]
Also, the cumulative pitch error r at the tooth center _pf Since φ is the average of the accumulated pitch errors of the right and left tooth surfaces, the following equation is obtained.
[0139]
[Expression 10]

[0140]
From equations (5.3) and (5.4), the accumulated pitch error P of the right tooth surface caused by the wall thickness variation of W / G _fR , Cumulative pitch error P of the left tooth surface _fL Are approximated by equations (5.5) and (5.6), respectively.
[0141]
[Expression 11]

[0142]
Using these, the angle transmission error is calculated based on the equations (5.1) and (5.2).
[0143]
FIGS. 43 and 44 show changes in the angular transmission error component caused by the F / S and W / G outer rings obtained as described above when loaded. From the figure, the F / S angle transmission error component under load is larger in amplitude and greatly different in waveform in this case as compared with no load. It can be seen that the angle transmission error component of W / G at the time of loading is smaller than that at the time of no loading compared to the case of no loading, but the waveform phase is changed.
[0144]
(5.4 Summary)
The angle transmission error when the load torque was changed in a highly accurate assembled state and a state where C / S was deformed was measured and analyzed by the component analysis method of the angle transmission error used in Chapter 3. At the same time, assuming that the tooth engagement in the loaded state is a one-tooth engagement, the angle transmission error was approximated from the accumulated pitch error. As a result, the angle transmission error in the unloaded state mainly depends on the average value of the accumulated pitch errors of the left and right tooth surfaces of the gear (Chapter 3), whereas the angle transmission error in the loaded state is the left or right tooth surface. It was clarified for the first time that the change in the angle transmission error due to the load torque is greatly affected by the difference in the cumulative pitch error between the left and right tooth surfaces, that is, the tooth gap run-out.
[0145]
(Chapter 6: Evaluation of angular error based on gear error)
(Introduction)
It is said that the angle transmission error of the wave gear reducer is due to the cumulative pitch error of the gear. In the present invention, the following contents have been clarified based on precise angle transmission error measurement and gear error measurement until the previous chapter. In Chapter 3, C / S and F / S at no load are in meshed state with both tooth surfaces, and were obtained from the average value of the cumulative pitch error of both left and right gears and the outer ring wall thickness variation of W / G. It was confirmed that the angle transmission error can be accurately calculated from the equivalent pitch error (corresponding to the average value of the cumulative pitch errors of the left and right tooth surfaces). Chapter 5 clarifies that the angle transmission error during loading is one tooth contact when the load torque exceeds a certain level and can be calculated from the cumulative pitch error of the left or right tooth surface depending on the direction of the load torque. In Chapter 4, it is estimated that the C / S deformation has an extremely large influence on the angle transmission error because the C / S deformation affects the C / S gear error.
[0146]
The object of the present invention is to find a means for reducing the vibration of the wave gear reducer, and for that purpose, the characteristics relating to the vibration of the wave gear reducer are grasped at high density and a simulation using a vibration model is performed. . In order to perform vibration simulation, it is necessary to clarify and formulate the angle transmission error characteristics of the wave gear reducer clarified up to the previous chapter. Therefore, in this chapter, the relationship between load torque and meshing tooth surface transition (change from both tooth surface meshing to single tooth surface meshing) is first obtained, and an expression that can express angular transmission errors under load and no load from gear errors. Suggest a formula. In addition, the effect of deformation due to C / S attachment on the gear error will be quantitatively investigated, and the validity of the proposed expression for angle transmission error will be verified using this result.
[0147]
(6.2 Derivation of gear error based on unloaded angular transmission error and pitch error)
(6.2.1 Relationship between load torque and meshing tooth transition)
Here, the relationship between the load torque of the wave gear reducer and the transition of the meshing tooth surface is clarified. If an attachment error is given to the wave gear reducer, the angle transmission error increases, so the influence of the load torque becomes more conspicuous than in the case of high-precision assembly. Therefore, the C / S was deformed in the radial direction to forcibly give an angular transmission error of the reduction gear, and this was measured to analyze the component resulting from C / S. The result is shown in FIG. Here, the amount of deformation in the C / S radial direction is about 12 μm. In this case, unlike the case of the high-precision assembly shown in FIG. 40, the delay and advance of the waveform can be clearly seen by the load torque. In addition, the phase delay advance is large in the low load region as in the waveform change in FIG. 40, and the change beyond that is small. FIG. 46 shows the respective data in an overlapping manner. In the figure, the thick line is the no-load, the dotted line is the positive direction load, and the thin line is the angle transmission error component due to C / S under the negative direction load. Thereby, the difference in the waveform and the phase of the angle transmission error component caused by C / S due to the load torque can be clearly understood.
[0148]
Therefore, the phase transmission error component resulting from each C / S was Fourier analyzed to obtain the phase angle of the secondary component. The relationship between the phase angle of the secondary component and the load torque is shown in FIG. Here, the horizontal axis represents the ratio of the load torque to the rated torque. The phase angle indicates the difference from the reference when no load is applied. The black circles indicate the Fourier secondary components of the measured values. From this figure, it can be seen that the phase angle changes almost linearly in a low load region of ± 20% of the rated torque, and the change beyond that is slight. This is considered to represent a state in which both tooth surface meshing at no load is shifted to one tooth surface meshing by load torque. The nonlinearity of this phase change characteristic is considered to be due to the nonlinearity of F / S deformation due to the load torque pointed out by Sugimoto in the study of the torsional rigidity of the wave gear reducer.
[0149]
(6.2.2 Proposal of expression of angle transmission error)
Based on the relationship between the gear error and the angle transmission error, FIG. 48 shows the angle transmission error after shifting to one tooth surface and when there is no load. Where θ _eL Is an angle transmission error based on the accumulated pitch error of the left tooth surfaces of C / S and F / S when loaded in the positive direction. _eR Is the angle transmission error based on the accumulated pitch error of the right tooth surface of C / S and F / S under negative direction load, θ _eO Is an angle transmission error based on the average value of the accumulated pitch errors of the left and right tooth surfaces of C / S and F / S at the time of no load, that is, the accumulated pitch error of the tooth gap center. In addition, the input shaft rotation angle θ _i Equation (6.1) holds if the function is.
[0150]
Next, half of the difference between the angle transmission error of the left tooth surface and the angle transmission error of the right tooth surface, which is newly defined by the equation (6.2), that is, the angle transmission error based on the tooth gap error is θ _d Introduces θ _eL , Θ _eR Are represented by the equations (6.3) and (6.4), respectively.
[0151]
[Expression 12]

[0152]
Furthermore, the transition process from meshing between both gears to meshing with one tooth is expressed as follows. Based on the phase characteristic of the angle transmission error component with respect to the load torque in Chapter 5, the meshing transfer function α shown in FIG. 49 is defined by the following equation. α is a function of the load torque T. Where T _R Is the rated torque.
[0153]
[Formula 13]

[0154]
The mesh transfer function α is introduced into the equations (6.3) and (6.4), and the equation (6.6) representing the angle transmission error at the time of positive load and negative load at an arbitrary load torque T is obtained. suggest. From this equation, the angle transmission error θ _eO And angle transmission error θ _d Knows the angle transmission error θ at any load torque T _e I understand.
[0155]
[Expression 14]

[0156]
(6.3 Effects of circular spline mounting errors on gear errors)
Here, the cumulative pitch error measurement is performed on the C / S having a radial deformation amount of 12 μm used in Section 6.2.1, and the influence of the C / S deformation on the gear error is considered.
[0157]
The deformation state measured on the C / S outer periphery is shown in FIG. In this case, it can be seen that C / S is deformed into an almost elliptical shape. FIG. 51 shows the measurement result of the accumulated pitch error in this state. Compared to FIG. 8, it can be seen that the secondary component is particularly increased on both the left and right tooth surfaces, and the difference between the left and right teeth is also increasing.
[0158]
Next, using the method described in Chapter 3 and the concept described in Section 6.2, C / S is indicated by the subscript c, and the angle is transmitted based on the accumulated pitch error of the tooth gap center caused by C / S derived from the gear error. Error component θ _eOc , Angle transmission error component θ based on tooth fretting error _dc FIG. 52 compares C / S with and without the radial deformation. (A) is θ _eOc , (B) is θ _dc Indicates. θ _eOc , Θ _dc Is expressed by the following equation from equations (5.1) and (5.2) and equations (6.1) and (6.2).
[0159]
[Expression 15]

[0160]
From this figure, when C / S is subjected to radial deformation, θ _eOc , Θ _dc It can be seen that both have increased greatly. Also in this case θ _eOc And θ _dc Then, it is a feature of these components that the phases are greatly different. Also, compared to the cumulative pitch error, θ _eOc , Θ _dc The difference is larger when C / S radial deformation is given and when it is not given. This is thought to be because the error component due to eccentricity included in the accumulated pitch error, that is, the odd-order component represented by the primary component is offset by the meshing at two locations near the major axis, which is a feature of the wave gear transmission. It is done. Therefore, when the angle transmission error is evaluated from the cumulative pitch error of the gear, the odd-order components should be excluded.
[0161]
(6.4 Verification of angle transmission error evaluation based on gear error)
FIG. 53 shows a comparison of the measurement result analysis result and the calculation result based on the gear error for the load torque when the C / S is deformed by 12 μm in the radial direction and the angle transmission error component due to the C / S. From this figure, the waveform of the measured value analysis value and the calculated value based on the gear error are in good agreement with each other although a slight phase shift is observed at the time of loading, and the expression of angle transmission error proposed in this chapter (6.6) Is considered to be sufficiently effective.
[0162]
Here, with respect to the phase shift at the time of loading, the calculated value tends to advance in phase when loaded in the positive direction and to be delayed when loaded in the negative direction. This is considered to be due to the movement of the meshing area caused by the deformation of F / S due to the load torque, which was not considered in this expression. Indicates that the right tooth surface, that is, the tooth surface opposite to the rotation direction of W / G, meshes when loaded in the forward direction, but the meshing area moves in the direction opposite to the rotation direction of W / G due to deformation of F / S. This is consistent with the results of Sugimoto and Zhang's research, and if this is taken into account, it can be approximated more accurately.
[0163]
(6.5 Summary)
In this chapter, based on the results of Chapters 3, 4, and 5, the angle transmission error θ based on the tooth gap deflection error _d In addition, we introduced a meshing transition function α and proposed an expression that derives the angular transmission error from any gear load error under any load condition. In addition, the measured value analysis result and the calculation result based on the gear error were compared for the angle transmission error component caused by C / S, and the measured value analysis value and the calculated value based on the gear error were in good agreement. The expressions (6.6) and (6.7) of the angle transmission error are shown to be sufficiently effective.
[0164]
(Chapter 7: Dynamic angular transmission error)
(7.1 Introduction)
The vibration of a wave gear reducer, which is a problem in the market, is a torsional resonance vibration that occurs at a specific rotational speed. In order to clarify the cause, Hidaka et al. Analyzed by a method of modeling a one-degree-of-freedom arm drive device with a one-degree-of-freedom torsional vibration system. As a result, it was shown that the cause of torsional vibration is the angle transmission error and the rigidity fluctuation of the wave gear reducer, and they act additively. However, in this analysis, the value estimated from the runout of the C / S and F / S teeth is used as the angle transmission error of the wave gear reducer, and the stiffness variation is the torque at the tooth engagement position at three points. The torsional characteristics are measured and modeled, and are not accurate when discussing currently required vibration levels.
[0165]
Therefore, in this chapter, based on the model of Hidaka et al., Vibration analysis is performed using the accurate static characteristics data of the wave gear reducer obtained up to Chapter 6 and the damping ratio and rigidity characteristics obtained experimentally in this chapter. In addition, the dynamic angle transmission error of the wave gear reducer which is the subject of the present invention is actually measured and compared. Based on these studies, a specific measure for realizing the target vibration level (resonance amplitude of 20 arc-sec or less) in the present invention is presented.
[0166]
(7.2 Torsional vibration simulation)
(7.2.1 Vibration modeling)
Based on the research by Hidaka et al., The vibration model of the test apparatus in the present invention is a one-degree-of-freedom model as shown in FIG. FIG. 54B is an equivalent vibration model of FIG. 54A in which the reduction ratio i is considered. Where J _M Motor moment of inertia, J _C The moment of inertia of the coupling, J _IS Is the moment of inertia of the input shaft, J _WG Is the moment of inertia of W / G. _I Is represented by formula (7.1). J _FS F / S moment of inertia, J _OS Is the moment of inertia of the output shaft, J _P The moment of inertia of the pulley around which the wire is wound, J _D Is the moment of inertia of the inertia disk, J _L Is the inertia moment of the weight. _O Is represented by formula (7.2). Then K _C The torsional rigidity of the coupling, K _IS The torsional rigidity of the input shaft, K _HD Torsional rigidity when the wave gear reducer is considered as one spring, K _OS Is the torsional rigidity of the output shaft, and the equivalent torsional rigidity K considering the reduction ratio _eq Is represented by Formula (7.3).
[0167]
[Expression 16]

[0168]
Further, the model shown in FIG. 54B is replaced with the one-degree-of-freedom system model shown in FIG. Where the equivalent moment of inertia J _eq , The rotation angle θ is expressed by equations (7.4) and (7.5), respectively. In the present study, the rotation angle θ of Equation (7.5) is called a dynamic angle transmission error. In static measurement, this rotation angle θ is the angular transmission error θ _e It corresponds to.
[0169]
[Expression 17]

[0170]
Angle transmission error θ of wave gear reducer _e If the vibration equation is derived from this equivalent one-degree-of-freedom model by paying attention to the above, equation (7.6) is obtained. Where C _eq Is an equivalent viscosity coefficient and is expressed by equation (7.7) from the damping ratio ζ. F represents the external force applied to the system, and the friction torque T of the output shaft _fo , Torque T due to the gravity of the weight attached to the inertia disk _w And its phase angle φ _w Is represented by the formula (7.8).
[0171]
[Formula 18]

[0172]
Here, according to Table 1, Table 2, and Equation (7.1), _I = 346.6kgm ² , J _O = 26.6kgm ² From equation (7.4), J _eq = 24.7 kgm ² It is. T _fo = 1.2 Nm, T _w = 0 or 250 Nm.
[0173]
(7.2.2 Determination of torsional rigidity considering gear errors)
The torsional rigidity of the wave gear reducer has a non-linear characteristic that depends on the load torque, and also varies depending on the meshing position due to gear errors. Here, focusing on the angle transmission error during loading, a method for obtaining torsional rigidity using the expression for angle transmission error proposed in Chapter 6 will be described.
[0174]
The no-load transmission error at a certain meshing position is θ _eO , The angle transmission error when the load torque T is applied is θ _e , The average twist angle is θ _ave (FIG. 55), the true twist angle at this position is θ _e + Θ _ave −θ _eO Therefore, the torsional rigidity K is expressed by the formula (7.9).
[0175]
[Equation 19]

[0176]
Here, when substituting equation (6.6) in Chapter 6 into equation (7.9),
[0177]
[Expression 20]

[0178]
It becomes. Where α is the meshing tooth surface transfer function, θ _d Is an angle transmission error based on the tooth groove runout error. θ _ave It is a constant value because it is defined as the average twist angle that does not vary depending on the meshing position, but θ _d It varies depending on the meshing position. Therefore θ _d It can be seen that this causes fluctuations in torsional rigidity.
[0179]
Next, the load torque T is the average torsion angle θ _ave Function T = f (θ _ave FIG. 56 shows the relationship between the rotation angle θ and the torque T generated by torsion in the previous vibration model. The gray line (1) indicates the average torsional characteristic when there is no error. A broken line (2) indicates a case where only an unloaded angle transmission error is considered, and a gray line (1) indicates an unloaded angle transmission error θ. _eO Is translated by the amount of. Solid line {circle over (3)} represents the angle transmission error under load, and α (T) θ for broken line {circle around (2)}. _d Is added. From this figure, the twist angle θ at the rotation angle θ _ave Is the equation (7.11), the torsional rigidity K is the equation (7.12), and the torque T at this time is expressed by the equation (7.13).
[0180]
[Expression 21]

[0181]
Next, the relationship between the twist angle and the torque T was obtained by actual measurement. Since the measurement is performed by fixing the input shaft and applying torque to the output shaft, the wave gear reducer, the input shaft and the output shaft are twisted together and measured. However, since the torsional rigidity of the input and output shafts of this test device is 10 to 15 times greater than that of the wave gear reducer considering the reduction ratio, the torsional characteristics obtained are the same as those of the wave gear reducer itself. It may be considered a characteristic.
[0182]
In this experiment, the following two types of methods were used for measuring torque.
[0183]
(A) After adding the maximum torque in the positive direction, change the torsion angle to the maximum torque in the negative direction while continuously measuring it, and then change the torsion angle to the maximum torque in the positive direction while measuring the torsion angle continuously. How to measure corners. This method is a method that has been used in conventional research to measure the torsional characteristics of a wave gear reducer.
[0184]
(B) First, torque is applied in the positive direction and the torsion angle is measured. After removing the torque, the same amount of torque is applied in the negative direction to measure the torsion angle. Next, increase the torque, perform the same measurement, and repeat this until the maximum torque is reached.
[0185]
The results measured by these two methods are shown in FIGS. 58 is an enlarged view of the low load region of FIG. In the figure, the solid line represents the result of the method (a), and the arrow on the line indicates the direction of torque change. The black circles indicate the direction of torque applied to FIG. 58 by arrows as a result of measurement by the method (b). These values are obtained by averaging the data measured at four different engagement positions for each 45 degrees of the input shaft, and the twist angle is the average twist angle θ. _ave It corresponds to.
[0186]
Here, in the method (a), a hysteresis characteristic in which the torsion angle is different between when the torque is increased and when the torque is decreased is measured. The method (b) shows the measurement result of the torsion angle when the torque is increased in both the positive direction and the negative direction, and this hysteresis exists between one measurement point and the next measurement point. That is, the hysteresis curve measured by the method (a) represents the locus of the true twist angle between the measurement point at the maximum torque in the positive direction and the measurement point at the maximum torque in the negative direction by the method (b). .
[0187]
Since the fluctuation of the load torque in the actual vibration state is smaller than the maximum torque of this measurement, the hysteresis during vibration is expected to be small. Therefore, the measurement result by the method (b) is used to approximate the torsional rigidity characteristics. It was decided to use.
[0188]
FIG. 59 is a diagram in which the data of FIG. 57 (b) is re-expressed as torque with respect to the torsion angle, and a relational expression obtained by polynomial approximation of this data is shown in Expression (7.14). Note that it was assumed that a torque of 300 Nm or more (a twist angle of 0.00157 rad or more) was in a linear relationship. Further, the torsional rigidity of the coupling between the motor and the input shaft, which is not considered here, is about 28000 times when considering the reduction ratio with respect to the wave gear reducer, and can be virtually ignored. Therefore, the torsional rigidity K = K obtained by substituting this torque T into the equation (7.12) _eq It is.
[0189]
[Expression 22]

[0190]
FIG. 60 shows the torsional rigidity (formula (7.14)) with respect to torque T. _ave (Value divided by). From this figure, as the load torque decreases in the region around ± 20% (60 Nm) of the rated torque, it is assumed that both tooth surface meshing shifts to one tooth surface meshing in Chapter 5, the torsional rigidity increases rapidly. You can see that It is considered that this characteristic greatly contributes to the high-accuracy positioning characteristic of the wave gear reducer having a repeated positioning accuracy of 1 arc-sec or less. In addition, it is considered that this is because pressure is applied in advance to the meshing of the teeth of the wave gear reducer, and the torsional characteristics are insensitive to disturbance due to this frictional force.
[0191]
The torsional rigidity obtained here represents the average torsional rigidity independent of the tooth meshing position.
[0192]
Heretofore, the method for determining the torsional rigidity based on the gear error has been described, and the torsional characteristics of the wave gear reducer including the test device were approximated in detail by actual measurement.
[0193]
(7.2.3 Estimation of attenuation coefficient)
The damping coefficient is a big point in analyzing the vibration model. In this section, the logarithmic damping ratio (hereinafter referred to as damping ratio) ζ was experimentally obtained from the free vibration damping waveform of the test apparatus, and the damping coefficient was estimated from equation (7.7).
[0194]
In order to clarify the influence of the load ratio on the damping ratio and the constraint condition on the input side, measurements were performed under the following conditions. Note that a 2.5 kW AC servo motor was used as the input drive motor.
[0195]
(1) How to apply load torque
Even when the load torque was changed, the load torque was applied as follows in order to make the load inertia condition equal. In this test apparatus, a weight is attached to a 180 degree symmetrical position of 470 mm from the center on the inertia disk attached to the output shaft. There are four weights. When two of these are attached to the attachment position, no load is applied. When four are attached at one location, the maximum load torque is 250 Nm. Further, if the distance from the center is the same and two are attached at 180 degrees symmetrical positions, no load is applied regardless of the rotational position of the output shaft.
[0196]
(2) Restriction conditions on the input side
(A) The end of the input shaft is fixed, a weight is hung on the outer periphery of the output inertia disc by a thin wire, and the wire is cut to give an impact in the rotational direction to the output shaft to freely vibrate.
[0197]
(B) The input drive motor is servo-locked and the same as (a) below.
[0198]
(C) The input drive motor is rotated at 100 rpm to hammer the weight of the output inertia disc, and the output shaft is impacted in the rotational direction to freely vibrate.
[0199]
FIG. 61 shows the damping ratio with respect to the load torque under the conditions (a), (b), and (c) measured by the above method. Here, the triangle mark indicates the input shaft fixed, the circle mark indicates the input drive motor servo lock, and the square mark indicates the value when the input drive motor rotates. When the input drive motor is rotating, a gray square mark is given when a positive load is applied, and a black square mark is given when a negative load is applied. From this figure, the damping ratio decreases as the load torque increases under the three conditions (a), (b), and (c). In particular, when the input shaft is fixed in (a), ζ = 0.06 in the no-load condition, but when the load torque is 250 Nm, ζ = 0.015, which is about a quarter. (B) When the input drive motor servo is locked, the damping ratio increases rapidly as the torque decreases from 60 Nm. Except for this part, the magnitude of the damping ratio is the same as when the input drive motor is rotated (c). Next, it is in the order of (b) when the input drive motor servo is locked and (a) when the input shaft is fixed. In addition, when the input drive motor rotates in (c), the attenuation rate is lower when the load is positive and when the load is positive.
[0200]
First, the influence of the torque on the damping rate will be considered as the reason why the damping rate decreases as the torque increases. As the torque increases, the tooth pressure on the meshing tooth surface increases and the frictional force increases, so that the sliding between the meshing teeth decreases and the relative motion decreases. As a result, vibration energy absorption due to friction and viscous fluid resistance is reduced, and the damping rate is reduced.
[0201]
Next, regarding the effect of input constraint conditions on the attenuation rate, when input constraint is performed by a servo motor, the attenuation rate is expected to be larger than when the input is fixed due to the effect of the attenuation characteristics of the servo controller. The The cause of the increase in the attenuation factor in the low load area when the servo is locked is not clear, but is thought to be due to the servo control characteristics. The load area where this phenomenon occurs is discussed in Chapter 6. It is interesting to agree with the transition area of the tooth surface. Further, during rotation, it is considered that the attenuation rate increases because the decrease in relative movement of the teeth due to the friction described above is reduced.
[0202]
Based on the above results, based on the value of the reduction rate during rotation of the input drive motor (c) (square mark, gray square mark, black square mark) that is closest to the test conditions for dynamic angle transmission error measurement performed in this section. In consideration of the tendency of (a) and (b) with respect to the load torque, the solid line (in negative direction load) and the broken line (in positive direction load) shown in FIG. Here, the damping rate ζ is expressed as a function of torque as shown in equations (7.15) and (7.16).
[0203]
[Expression 23]

[0204]
(7.2.4 Introduction method of angle transmission error)
In order to introduce the angle transmission error component data obtained in Chapter 3 and Chapter 5 into the vibration model, the angle transmission error was formulated as follows.
[0205]
The angle transmission error required for the vibration model is the angle transmission error θ at no load. _eO Transmission error θ based on tooth and tooth gap error _d It is. θ _eO , Θ _d Since both are composed of C / S, F / S, W / G outer ring, and other components, it is necessary to obtain each component first.
[0206]
First, the angle transmission error θ when there is no load _eO For C / S component E obtained by component analysis of angular transmission error at no load in Chapter 3 _c F / S component E _f , W / G outer ring component E _o Other errors E that cannot be specified yet _u Was used. In addition, when the radial deformation was applied to C / S, the component analysis result obtained in Chapter 6 was used.
[0207]
Angular transmission error θ based on tooth gap error _d As for the C / S component, among the data obtained from the angular transmission error component analysis results at the time of loading in Chapters 5 and 6, data at the time of 20%, 40% and 70% load of the rated torque Was obtained by arithmetic averaging. Also, the F / S component is obtained by converting the wall thickness error into the F / S tooth cumulative pitch error from the cumulative pitch error of the right and left tooth surfaces obtained by the gear accuracy measurement. Asked. Note that random errors that could not be identified yet were ignored here.
[0208]
Next, a method for introducing these data into the vibration model will be described.
[0209]
(1) Fourier analysis of data for one period (period in which the input shaft makes one rotation for each component), and the following input shaft rotation angle θ _i Expressed in the form of a Fourier series for.
[0210]
[Expression 24]

[0211]
Here, each component expressed by Fourier series is expressed as an angle transmission error θ at no load. _eO C / S component, F / S component, W / G outer ring component, and other components for E _Oc , E _Of , E _Oo , E _Ou As well as the angle transmission error θ _d For C / S, F / S, and W / G outer ring components _dc , E _df , E _do And
[0212]
(2) Assuming that the input shaft rotates constantly, the input shaft angle θ _i Is θ when the angle is ω and the time is t _i = Ωt. Therefore, the angular velocity of the input shaft viewed from each component is ω (1 + i) when the reduction ratio is i for C / S and ω (1 + i) for F / S, and the input shaft n for the W / G outer ring. _i If the rotation is one rotation in the positive direction with respect to the input shaft, then ω (n _i −1) / n, and assuming that one rotation is made in the negative positive direction, ω (n _i +1) / n _i It becomes. The other components other than the C / S, F / S, and W / G outer rings are data for one rotation of the input shaft in the component analysis, so the input angular velocity is kept at ω.
[0213]
(3) From the above θ _e0 , Θ _d Was expressed as a function of time shown in equations (7.18) and (7.19) and introduced into the vibration model.
[0214]
[Expression 25]

[0215]
(7.3 Simulation results and experimental results of dynamic angle transmission error)
Here, the vibration equation (7.6) of the vibration model created in Section 7.2.1 is solved by the Runge-Kutta method to determine the rotation angle θ, that is, the dynamic transmission error, and compared with the dynamic angular transmission error obtained by experiment. .
[0216]
(7.3.1 Experiment and calculation example of dynamic angle transmission error)
Here, the case where the behavior of the W / G outer ring greatly differs was measured in the experimental process of the research for the present invention, and the result of the experiment and the result of the simulation according to the conditions will be introduced.
[0217]
FIG. 62 shows an experimental example of two dynamic angle transmission errors in which the behavior of the W / G outer ring is greatly different. The position where the sensor has detected the reflector attached to the W / G outer ring at a 180-degree symmetry position is indicated by circles and triangles. In FIGS. 5A and 5B, the movement of the W / G outer ring is indicated. It can be seen that the (rotational) speed is greatly different, and the aspect of the dynamic angle transmission error is greatly different, and the influence of the W / G outer ring on the dynamic angle transmission error is large. In particular, the change in the amplitude of the angle transmission error is significant compared to the static angle transmission error. FIG. 63 shows the result of simulation by estimating the rotational speed of the outer ring. The result of the change in the amplitude of the dynamic angle transmission error and the amplitude value were almost completely the same. The condition at this time is that the load as an external force is no load, the weight attached to the inertia disk is removed, and the input rotation speed is 500 rpm.
[0218]
(7.3.2 Dynamic angular transmission error at no load)
Here, a state in which the weight attached to the inertia disk is balanced at a 180-degree symmetrical position is referred to as no load. In this state, the relationship of the maximum amplitude value during one rotation of the output shaft with respect to the input rotational speed when the wave gear reducer is assembled with high accuracy and when the C / S is deformed in the radial direction by 12 μm is measured and simulated. Asked. FIG. 64 shows the results of experiments and calculations for every 25 rpm in the range of 100 to 700 rpm. In the figure, a circle mark indicates a case where assembly is performed with high accuracy, a triangle mark indicates a case where deformation is applied to C / S, a white line indicates a simulation result, and a black line indicates a measured value. First, it can be seen that the amplitude value and the input rotational speed at resonance are in good agreement with the measured value and the simulation both in the case of high precision assembly and when the C / S is deformed. Next, the difference in static angle transmission error was about twice when high-precision assembly and C / S were deformed, but the dynamic angle transmission error was expanded by about four times. It can be seen that the influence of the mounting error on the error is larger. Further, in both experimental values and simulations, the resonance input rotational speed when the C / S is deformed is about 25 to 50 rpm lower than that of the high-precision assembly. It is presumed that this is due to an increase in torsional rigidity variation due to the deformation of C / S.
[0219]
In addition, from this experiment and calculation, in a no-load state, high-precision assembly results in a value close to the target dynamic angle transmission error of 20 arc-sec (about 30 arc-sec) even with the current reduction accuracy wave reducer. It was confirmed.
[0220]
(7.3.3 Dynamic angle transmission error under load)
Here, simulation of the load condition of the robot arm and comparison of simulation and actual measurement values for dynamic angle transmission error when load torque is given as one cycle of sinusoidal fluctuation torque for one rotation of the output shaft will be described. In this test apparatus, the load torque varies in the range of 0 to ± 250 Nm. FIG. 65 and FIG. 66 show the results of one rotation of each output shaft when high accuracy assembly at an input rotation speed of 450 rpm and deformation of C / S are given as experiments and calculation examples. The broken line data is shown in the lower part of the actual measurement value, which is a signal from the position sensor of the W / G outer ring. A large fluctuation once per rotation of the output shaft indicates the amount of twist of the wave gear reducer due to a sinusoidal load torque. Similar waveforms were obtained by calculation and actual measurement in both cases of high-precision assembly and deformation of C / S.
[0221]
Next, FIG. 67 shows the relationship between the maximum amplitude and the input rotational speed in the same way as in FIG. Show. Although there is a difference between the calculated value and the experimental value in the low input speed region when high-precision assembly is performed even in the dynamic angle transmission error in the variable load state from this figure, the calculated and measured values are the resonance input speed and the maximum amplitude value. It was confirmed that there was almost a match. The difference between the calculated value and the experimental value in the low input rotation speed region during high-precision assembly is thought to be influenced by the control characteristics of the servo motor. From this experiment and calculation, it became clear that the dynamic angle transmission error under load increased approximately twice compared with no load, and it was almost three times the target vibration level even in high-precision assembly. .
[0222]
(7.4 Specific measures for vibration reduction focusing on influencing factors of simulation)
So far, it has become clear that the simulation using the vibration model performed in this chapter is sufficiently effective. It was also clarified that the influence of load torque and gear error on dynamic angle transmission error was large. Therefore, the influencing factors are clarified by simulation and dynamic angle transmission error, that is, vibration reduction measures are studied.
(7.4.1 Consideration of effects of load torque and damping ratio)
First, the influence of load torque will be described. In order to clarify the influence of the load torque, the load torque was given a constant value and the following simulation was performed.
[0223]
First, pay attention to the fact that the damping ratio decreases with increasing load torque, and to avoid the effect of changes in angular transmission error due to the load, θ _d = 0, simulations were performed under comparison with three types of conditions: no load, 200 Nm positive direction constant load, and 200 Nm positive direction constant load, with the damping ratio ζ equal to that of no load. Here, the damping ratio ζ at no load is about 0.097, and at the time of 200 Nm positive direction load, it is about 0.053. FIG. 68 shows the simulation result. Even if the angle transmission error is made equal, the resonance rotational speed increases when the load torque is present and the value of the dynamic angle transmission error at the time of resonance increases. Although the number increases, the value of the dynamic angle transmission error during resonance hardly changes, so it is clear that the increase in the dynamic angle transmission error during loading is mainly due to the decrease in the damping ratio due to the load torque Became.
[0224]
Next, FIG. 69 shows the result of simulation of the influence of the magnitude and direction of the load torque. Here, the maximum value of the dynamic angle transmission error during resonance at each load torque is shown. The maximum value of the dynamic angle transmission error increases as the load increases, but reaches a maximum near 200 Nm and then decreases, and in the low load region, the load torque of 25 Nm is slightly higher than the no load. It became clear that it became a low value. This is because the damping ratio tends to decrease and the torsional rigidity tends to increase as the load increases, so the damping coefficient C obtained by the equation 2ζ√JK tends to be opposite to the dynamic angle transmission error. It is believed that there is. This phenomenon is the first phenomenon revealed in this simulation.
[0225]
From the above, it was found that the damping ratio and torsional rigidity greatly affect the dynamic angle transmission error. Therefore, the dynamic angle transmission error was simulated when the torsional rigidity was increased and when the damping ratio was increased. The results are shown in FIGS. 70 and 71, respectively. Here, the simulation condition is a constant load of 200 Nm in the positive direction where the dynamic angle transmission error is the largest in the previous simulation. In both FIG. 70 and FIG. 71, the horizontal axis represents the respective increase rates (values used / values used for calculation). From these figures, it has been clarified that an increase in torsional rigidity and damping ratio is effective in reducing vibration, but even if each value is doubled, it does not reach the target vibration value. In addition, the quantitative effect on the reduction of dynamic angle transmission error by increasing torsional rigidity and damping ratio could be grasped.
[0226]
(7.4.2 Consideration of the effect of gear errors)
Here, the effect of gear error on the reduction of dynamic angle transmission error is examined.
First, the angle transmission error θ based on the gear error _0e And θ _d FIG. 72 shows the result of simulation for each effect with a focus on. Here θ _0e = 0 and θ _d In the case of = 0, the simulation was performed at the time of no load in (a) in the figure and at the time of constant load of 200 Nm in the positive direction of (b). As a result, the angle transmission error θ based on the accumulated pitch error of the tooth center _0e When 0 is set to 0, the vibration at no load disappears, but the effect at the load is small, and the angle transmission error θ based on the tooth gap deflection error _d When 0 is set to 0, it has been clarified that the effect of vibration reduction is small at both no load and load. As a result, it is meaningless to separate the gear error into the cumulative pitch error at the tooth center and the run-out error of the tooth gap in terms of vibration reduction under load, and the cumulative pitch for each left and right tooth surface that is the source of each error. It has been found that it is important to reduce the error. This simulation also revealed that even when the angle transmission error under no load is small, the vibration under load is not necessarily small.
[0227]
Next, the effect of reducing the gear errors (processing errors) of the C / S, F / S, and W / G outer rings will be examined on the assumption that both of these gear errors are reduced. Here, the value of the dynamic angle transmission error when the second-order, fourth-order, and sixth-order components of the angle transmission error caused by each component were reduced was simulated. The results are shown in FIG. The abscissa indicates the rate of decrease of the second, fourth, and sixth order components (value used for calculation / set value). As a result, the effect of reducing the angle transmission error component (improving the machining accuracy) is greatest for C / S. However, even if the error is set to 0 alone, the target vibration level is not reached, and C / S, F / S, W It became clear that the machining accuracy of all / G outer rings should be about 30% of the current level, or that the machining accuracy should be comparable to the total accuracy.
[0228]
As described above, in this section, the quantitative effects on the reduction of dynamic angle transmission error by increasing the torsional rigidity, the damping ratio, and improving the machining accuracy of the components can be grasped.
[0229]
(7.5 Summary)
In this chapter, based on the research results of Hidaka et al., The experimental device was replaced with a one-degree-of-freedom vibration model, and the accurate static characteristic data of the wave gear reducer obtained up to Chapter 6, the expression of angle transmission error and this chapter Vibration analysis was performed using the stiffness and damping characteristics obtained experimentally. In addition, as a result of actually measuring and comparing the dynamic angle transmission error of the wave gear reducer, it was confirmed that the calculation and the measured value were in good agreement. Moreover, the concrete measure for realizing the target vibration level was presented by simulation. The results of this chapter are summarized and listed below.
[0230]
(1) First, in vibration modeling, the experimental apparatus used in the present invention was replaced with a one-degree-of-freedom vibration model. Next, a method for determining torsional rigidity considering the gear error using the expression of the static angle transmission error of the wave gear reducer proposed in Chapter 6 is shown.
[0231]
(2) In the measurement of the torsional rigidity characteristics of the wave gear reducer, an accurate expression of torsional rigidity was shown.
[0232]
(3) In the measurement of the damping characteristic, the damping ratio was estimated from the free vibration waveform. For the first time, it has been clarified that the damping ratio of the wave gear reducer decreases as the load torque increases and varies greatly depending on the constraint conditions of the input shaft.
[0233]
(4) Vibration simulation was performed using these results and the accurate static angle transmission error and gear error obtained up to Chapter 6, and dynamic angle transmission error was measured. Shown to match. It was also clarified that the dynamic angle transmission error increased under load compared with no load.
[0234]
(5) It was clarified from the vibration simulation that the increase in dynamic angle transmission error during loading was caused by the decrease in the damping ratio due to the load torque. In addition, the effects of increasing the torsional rigidity, damping ratio, and reducing the dynamic angle transmission error by improving the machining accuracy of the components were quantitatively demonstrated. From this, it has been clarified that when only the gear error is improved to achieve the target vibration amplitude of 20 arc-sec, the machining error of the gear and the W / G outer ring needs to be about 30% of the current.
[0235]
【The invention's effect】
(Chapter 8: Conclusion)
According to the present invention, it is possible to grasp the characteristics related to vibration with accuracy exceeding the conventional level and reduce the vibration of the wave gear reducer with respect to the wave gear reducer of the type most frequently used in the market. it can.
[0236]
That is, in the second chapter, the inventor first described the specifications and accuracy of the wave gear reducer studied, and then the high accuracy, static and dynamic of the wave gear reducer developed for the present invention. A characteristic measuring device was described. This device can accurately measure static and dynamic characteristics while the wave gear reducer is in a predetermined mounting state, and has sufficient accuracy for the research purposes discussed in this specification.
[0237]
Next, in the third chapter, the present inventor described the result of measuring the angle transmission error with high accuracy in the no-load state using this apparatus and analyzing the error factor of the obtained data. The angle transmission error of the wave gear reducer includes components that cannot be represented by the error component for each rotation of the output shaft, in addition to the transmission error component caused by the gear errors of the circular spline and flexspline that are components of the wave gear reducer. It was found for the first time that it has an error component that matches the rotation cycle of the outer ring based on the thickness error of the outer ring of the wave generator.
[0238]
In Chapter 4, we experimentally grasped the effect of the assembly error of the wave gear reducer on the angle transmission error, and clarified that the effect of deformation when installing the circular spline is the largest. Furthermore, based on this result, a high-precision assembly method was proposed to reduce the angle transmission error.
[0239]
In Chapter 5, the angle transmission error is measured in the load state, and the obtained data is analyzed. The effect of the load torque on the angle transmission error is that the meshing state changes depending on the load torque. It was revealed for the first time that it was due to the transition to.
[0240]
In Chapter 6, the relationship between various gear errors and angle transmission errors was examined based on the results of Chapters 3, 4, and 5. Angular transmission error θ based on tooth gap deflection _d In addition, we proposed a new expression that accurately derives the angle transmission error from any gear load condition by newly defining the engagement transfer function α depending on the load.
[0241]
In Chapter 7, based on the results of previous research, the experimental device was replaced with a one-degree-of-freedom vibration model. The accurate static characteristics data of the wave gear reducer obtained up to Chapter 6, the expression for angular transmission error, and this chapter This paper describes the results of vibration analysis using the stiffness and damping characteristics obtained experimentally. In addition, as a result of actually measuring and comparing the dynamic angle transmission error of the wave gear reducer, it was confirmed that the simulation can express the characteristics of the experiment finely. Moreover, the concrete measure for realizing the target vibration level was presented by simulation.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is an external view of a wave gear reducer that is an object of the present invention.
FIG. 2 is an explanatory diagram showing an overall configuration of the present specification.
FIG. 3 is a diagram showing a basic structure of a wave gear reducer.
FIG. 4 is an explanatory view showing a tooth profile of a wave gear reducer.
FIG. 5 is an explanatory view showing the external dimensions of a wave gear reducer.
FIG. 6 is a diagram showing a gear measuring machine.
FIG. 7 is an explanatory diagram showing tooth surface numbers.
FIG. 8 is a graph showing a cumulative pitch error of C / S.
FIG. 9 is a graph showing a cumulative pitch error of F / S.
FIG. 10 is an explanatory view showing a method for measuring the outer ring wall thickness variation of W / G.
FIG. 11 is a graph showing W / G outer ring wall thickness variation.
FIG. 12 is an explanatory diagram showing a dynamic system of a static / dynamic characteristic test apparatus.
FIG. 13 is an explanatory diagram showing a static characteristic measuring method using a static / dynamic characteristic test apparatus.
FIG. 14 is an explanatory diagram showing a dynamic characteristic measurement method using a static / dynamic characteristic test apparatus.
FIG. 15 is an explanatory diagram showing a W / G outer ring position confirmation method.
FIG. 16 is a system block diagram of a static / dynamic characteristic test apparatus.
FIG. 17 is an external view of a data capturing unit and a calculation unit of the static / dynamic characteristic test apparatus.
FIG. 18 is a graph showing an example of measurement of angle transmission error.
FIG. 19 is a graph showing the rotation accuracy of the input encoder.
FIG. 20 is a graph showing reproducibility of an angle transmission error.
FIG. 21 is a graph showing a measurement result of an unloaded angle transmission error.
FIG. 22 is a graph showing the relationship between output shaft rotation and the maximum value of angle transmission error.
FIG. 23 is a graph showing a component of an angle transmission error caused by a reduction gear component.
FIG. 24 is a graph showing Fourier coefficients of an angle transmission error component caused by components.
FIG. 25 is a graph showing a Fourier coefficient of an angle transmission error component caused by a component.
FIG. 26 is a graph showing the number of data used for component analysis and analysis results.
FIG. 27 is an explanatory view showing the influence of the wall thickness variation of the W / G outer ring.
FIG. 28 is a graph showing a comparison result between the calculated value from the processing error of the angle transmission error component and the experimental analysis value.
FIG. 29 is an explanatory diagram showing an attachment error of C / S.
FIG. 30 is an explanatory view showing an F / S attachment error.
FIG. 31 is an explanatory view showing a mounting error of W / G.
FIG. 32 is an explanatory diagram showing a measurement example of the influence of the attachment error on the angle transmission error.
FIG. 33 is a graph showing the influence of a C / S attachment error.
FIG. 34 is a graph showing the influence of F / S attachment error.
FIG. 35 is a graph showing the influence of a W / G attachment error.
FIG. 36 is a graph showing the influence of a W / G attachment error.
FIG. 37 is a graph showing the influence of mounting errors in the case of the rigid type W / G.
FIG. 38 is a graph showing the influence of an attachment error in the case of the rigid type W / G.
FIG. 39 is a graph showing an angle transmission error at the time of load.
FIG. 40 is a graph showing an angle transmission error C / S component due to a load torque.
FIG. 41 is a graph showing a comparison between a calculated value from a pitch error of an angular transmission error C / S component at the time of load and an experimental analysis value.
FIG. 42 is an explanatory diagram for explaining the accumulated pitch errors of the right tooth surface and the left tooth surface caused by the wall thickness variation of W / G.
FIG. 43 is a graph showing changes in angle transmission error components due to F / S depending on the load direction.
FIG. 44 is a graph showing a change in an angle transmission error component caused by a W / G outer ring according to a load direction.
FIG. 45 is a graph showing an angular transmission error component caused by C / S when the C / S radial deformation amount is 12 μm.
FIG. 46 is a graph showing an angular transmission error component caused by C / S when the amount of deformation in the C / S radial direction is 12 μm.
FIG. 47 is a graph showing the relationship between the phase angle of the secondary component of the C / S angle transmission error component and the load torque.
FIG. 48 is an explanatory diagram showing an angle transmission error based on the meshing tooth surface.
FIG. 49 is a graph of a meshing transfer function α.
FIG. 50 is a graph showing a deformed shape of C / S.
FIG. 51 is a graph of the cumulative pitch error of C / S deformed in the radial direction.
FIG. 52 is a graph showing an angle transmission error component based on a cumulative pitch error at the tooth gap center and an angle transmission error component based on a tooth gap deflection error.
FIG. 53 is a graph showing the relationship between load torque and angle transmission error components caused by C / S.
FIG. 54 is an explanatory diagram showing a vibration model of the experimental apparatus.
FIG. 55 is an explanatory diagram showing the definition of the average twist angle.
FIG. 56 is a graph showing the relationship between rotation angle and torque.
FIG. 57 is a graph showing the torsional characteristics of a wave gear reducer including a test device.
58 is an enlarged graph showing a part of torsional characteristics of a wave gear reducer including the test apparatus of FIG. 57. FIG.
FIG. 59 is a graph showing a relationship between a twist angle and a torque.
FIG. 60 is a graph showing the torsional rigidity of the wave gear reducer.
FIG. 61 is a graph showing attenuation characteristics of the test apparatus.
FIG. 62 is a graph showing an experimental example of a dynamic angle transmission error.
FIG. 63 is a graph showing a simulation result of a dynamic angle transmission error.
FIG. 64 is a graph showing a dynamic angle transmission error when there is no load;
FIG. 65 is a graph showing a dynamic angle transmission error at the time of variable load torque.
FIG. 66 is a graph showing a dynamic angle transmission error at the time of variable load torque.
FIG. 67 is a graph showing a dynamic angle transmission error at the time of variable load torque.
FIG. 68 is a graph showing a dynamic angle transmission error when the damping ratio is changed.
FIG. 69 is a graph showing changes in the maximum value of dynamic angle transmission error due to load torque.
FIG. 70 is a graph showing the effect of torsional rigidity improvement on dynamic angle transmission error reduction.
FIG. 71 is a graph showing the effect of improving the damping ratio for reducing the dynamic angle transmission error.
FIG. 72 shows the effect on dynamic angle transmission error. _0e , Θ _d It is a graph which shows the influence of.
FIG. 73 is a graph showing the effect of reducing the angle transmission error with respect to the dynamic angle transmission error.
[Explanation of symbols]
C / S Circular Spline
F / S Flexpline
W / G wave generator

Claims (4)

An angle transmission error correction method for a wave gear reducer,
For each gear of the circular spline and flexspline of the wave gear reducer,
An angle transmission error at each rotational position of each gear generated in an unloaded state is calculated in advance as a first angle transmission error,
An angle transmission error at each rotational position of each gear generated in a load state is calculated in advance as a second angle transmission error and a third angle transmission error for positive load and negative load, respectively.
During actual driving of the wave gear reducer,
When the driving state is a no-load state, the angle transmission error is corrected so that the first angle transmission error is eliminated,
When the driving state is a positive load state, the angle transmission error is corrected so that the second angle transmission error is eliminated,
An angle transmission error correction method for a wave gear reducer, wherein the angle transmission error is corrected so that the third angle transmission error is eliminated when the driving state is a negative load state. In the angle transmission error correction method of the wave gear reducer according to claim 1,
The first angle transmission error in an unloaded state is calculated based on an average value of cumulative pitch errors of the left and right tooth surfaces of each gear,
Calculating the second angle transmission error in a positive load state based on the accumulated pitch error of the left tooth surface of each gear;
An angle transmission error correction method for a wave gear reducer, wherein the third angle transmission error in a negative load state is calculated based on a cumulative pitch error of a right tooth surface of each gear. In the angle transmission error correction method of the wave gear reducer according to claim 1,
An angle transmission error correction method for a wave gear reducer, wherein the first angle transmission error, the second angle transmission error, and the third angle transmission error are obtained in advance by actual measurement. An angle transmission error correction method for a wave gear reducer,
For each gear of the circular spline and flexspline of the wave gear reducer,
Based on the average value of the cumulative pitch error between the left and right tooth surfaces when there is no load, the first angle transmission error θ _e0 To calculate
Based on the accumulated pitch error of the left tooth surface under positive load, the second angle transmission error θ _eL To calculate
Based on the cumulative pitch error of the right tooth surface under negative load, the third angle transmission error θ _eR To calculate
θ _d Is half the difference between the angle transmission error of the left tooth surface and the angle transmission error of the right tooth surface (= (θ _eR −θ _eL ) / 2), that is, the angle transmission error based on the tooth gap error,
  The meshing transition function α, which represents the transition process from the meshing state of both gears when no load is applied to the meshing of one tooth surface when loaded, is defined by the following equation as a function of the load torque T.
α = 1 (T ≧ 0.2T _R )
α = 5T _R   (-0.2T _R <T <0.2T _R )
α = -1 (T ≦ −0.2T _R )
However, T _R Is the rated torque
Angle transmission error θ of each gear at an arbitrary load torque T _e Is calculated by the formula (A),
θ _e = Θ _e0 + Α (T) θ _d             (A)
During actual driving of the wave gear reducer, the rated torque T of the wave gear reducer _R And the first angle transmission error θ when no load is calculated in advance. _e0 And angle transmission error θ _d And the angle of the wave gear reducer, wherein the angle transmission error is corrected so that the angle transmission error calculated using the equation (A) is eliminated based on the acting load torque T. Transmission error correction method.

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