JP3639153B2 - 逐次拡大を用いた楕円曲線演算装置及びプログラム記録媒体 - Google Patents

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
この発明は、楕円曲線上の演算に関わり、特に、情報セキュリティ技術（楕円曲線暗号／署名、素因数分解）を実現するために用いられる装置及びプログラム記録媒体に関する。
【０００２】
【従来の技術】
楕円曲線上で公開鍵暗号やデジタル署名を実現する場合、その処理時間のほとんどは楕円曲線上のｋ倍演算に費やされる。
一般に、暗号や署名には有減体ＧＦ（ｑ）上で定義される楕円曲線を使う。これをＥ／ＧＦ（ｑ）と表記する。ｑは素数または素数のべき乗である。従来の実装法ではｑに素数または２^m を用いることが多かったが、この発明は一般の有限体の場合を考える。
【０００３】
楕円曲線上の点Ｐに対する加算を定義できる。通常の加算と区別するためにこれを、「楕円加算」「楕円２倍演算」と呼ぶ。いずれも、有限体ＧＦ（ｑ）上の加減乗除算を組み合わせることで行うことが出来る。
通常、ｋ倍演算を構成するために、「楕円加算」「楕円２倍演算」を組み合わせて行なう方法が用いられている。
【０００４】
したがって、楕円曲線上の演算は、有限体ＧＦ（ｑ）上の加減乗除算に帰着することが出来、これらを高速化することが、楕円曲線上の演算の高速化につながる。
この発明は、有限体ＧＦ（ｑ）上の演算の高速化に関する発明である。
ｐを素数または素数のべき乗として、ｑ＝ｐ^m とし、上記有限体ＧＦ（ｑ）＝ＧＦ（ｐ^m ）の元を部分体ＧＦ（ｐ）を用いて表す場合、ＧＦ（ｐ^m ）は、ＧＦ（ｐ）上のベクトル空間であるので、ｍ対のＧＦ（ｐ）の元と基底との線形結合で表す。
【０００５】
従来、よく用いられてきた基底には、「多項式基底」および「正規基底」があり、それぞれ一長一短がある。
多項式基底を用いる方法は、ＧＦ（ｐ）上のｍ次既約多項式ｆ（ｘ）の根αを用いて、｛１，α，α² ，…，α^m-1 ｝なる基底を用い、ＧＦ（ｐ）（＝ＧＦ（ｐ）［α］）の元ａをあらわす際に、
ａ＝ａ₀ ＋ａ₁ α＋ａ₂ α² ＋…＋ａ_m-1 α^m-1
を満たすＧＦ（ｑ）の元の組（ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_m-1 ）によってあらわす。
【０００６】
正規基底を用いる方法は、ＧＦ（ｐ^m ）上の正規基底の生成元αを用いて、｛α，α^p ，（α^p ）² ，…，（α^p ）^m-1 ｝なる基底を用い、ＧＦ（ｐ）（＝ＧＦ（ｐ）［α］）の元ａをあらわす際に、
【０００７】
【数１１】

を満たすＧＦ（ｐ_i-1 ）の元の組（ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_m-1 ）によってあらわす。
なお、多項式基底と正規基底の生成元αの満たすべき条件は異なるので、必ずしも同じ値を取れるとは限らない。詳細は、平松豊一著、応用代数学、掌華房の３．３と３．６節を参照のこと。
【０００８】
楕円曲線上で定義される要素同士の２項演算である加法を実行する場合、Stinson 著、櫻井監訳、暗号理論の基礎、共立出版のｐ．１９８によれば、標数が５以上の楕円曲線
Ｅ：ｙ² ＝ｘ³ ＋ａｘ＋ｂ （ａ，ｂ∈ＧＦ（ｐ^m ））
上の２点（ｘ₁ ，ｙ₁ ）と（ｘ₂ ，ｙ₂ ）の和（ｘ₃ ，ｙ₃ ）を求める場合
ｘ₃ ＝λ² −ｘ₁ −ｘ₂
ｙ₃ ＝λ（ｘ₁ −ｘ₃ ）−ｙ₁
の演算を行なう。但し、λはｘ₁ ＝ｘ₂ かつｙ₁ ＝ｙ₂ ならば（３ｘ₁ ² ＋ａ）／（２ｙ₁ ）であり、それ以外は、（ｙ₂ −ｙ₁ ）／（ｘ₂ −ｘ₁ ）で求められる。
【０００９】
以上の様な演算が繰り返されるので、有限体ＧＦ（ｐ^m ）上での加減剰余算が繰り返し使われる。
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】
上記表現のどちらの場合でも、ＧＦ（ｐ^m ）の元の乗算を行なう場合には、ＧＦ（ｐ）の上でｍ² 回に比例する回数の乗算を行なわなくてはならなかった。また、楕円曲線上でｋ倍演算を行なう場合、ｌｏｇｋに比例する回数、ＧＦ（ｐ^m ）上の乗算を行なう必要がある。
【００１１】
一般に加算に比べて乗算の方が演算時間がかかるが、演算回数の多いためボトルネックとなっていた。
【００１２】
【課題を解決するための手段】
・３／４法
乗算を効率化するため、以下のような方法が考えられる。例として、ａ，ｂ∈ＧＦ（ｐ⁴ ）とする。通常の多項式基底を用いて、ＧＦ（ｐ）の元ａ₀ ，ａ₁ ，ａ₂ ，ａ₃ とｂ₀ ，ｂ₁ ，ｂ₂ ，ｂ₃ によってａとｂを、それぞれ
ａ＝ａ₀ ＋ａ₁ α＋ａ₂ α² ＋ａ₃ α³
ｂ＝ｂ₀ ＋ｂ₁ α＋ｂ₂ α² ＋ｂ₃ α³
と表し、ａとｂの乗算を行なう場合を考える。また、αを根に持つＧＦ（ｐ）上の最小多項式をｆ（ｘ）とする。
【００１３】
通常の乗算では、

なる演算を行なう。この場合、ＧＦ（ｐ）上の乗算が１６回必要である。ところで、この演算を

という手順で行なえば、ＧＦ（ｐ）上の乗算１２回でａｂを求めることができる。
【００１４】
上記手順は一般化することが出来、乗算を３／４に減らすことが出来る。この方法を、この明細書では「３／４法」と呼ぶ。
・逐次拡大を用いる方法
ところで、ｍが合成数の場合、逐次拡大によって有限体ＧＦ（ｐ^m ）の元を表現することができる。
【００１５】
例えばｍ＝４の場合、逐次拡大では有限体ＧＦ（ｐ² ）の元をＧＦ（ｐ）によってあらわし、有限体ＧＦ（ｐ⁴ ）の元をＧＦ（ｐ² ）によってあらわせる。この表現方法によって、乗算を高速化することが出来る。例として、ａ，ｂ∈ＧＦ（（ｐ² ）² ）とし、通常の多項式基底を用いて、ＧＦ（ｐ² ）の元Ａ₀ ，Ａ₁ とＢ₀ ，Ｂ₁ によってａとｂをそれぞれ表し、ＧＦ（ｐ）の元ａ₀₀，ａ₀₁、ａ₁₀，ａ₁₁、ｂ₀₀，ｂ₀₁、ｂ₁₀，ｂ₁₁によってＡ₀ 、Ａ₁ 、Ｂ₀ 、Ｂ₁ をそれぞれ表すこととする。
【００１６】
ａ＝Ａ₀ ＋Ａ₁ α
ｂ＝Ｂ₀ ＋Ｂ₁ α
Ａ₀ ＝ａ₀₀＋ａ₀₁α′
Ａ₁ ＝ａ₁₀＋ａ₁₁α′
Ｂ₀ ＝ｂ₀₀＋ｂ₀₁α′
Ｂ₁ ＝ｂ₁₀＋ｂ₁₁α′
と表し、ａとｂの乗算を行なう場合を考える。また、αを根に持つＧＦ（ｐ² ）上の最小多項式をｆ（ｘ）とし、α′を根に持つＧＦ（ｐ）上の最小多項式をｇ（ｘ）とする。
【００１７】
ａとｂとの乗算を行う場合、
ａｂ＝Ａ₀ Ｂ₀ ＋（Ａ₁ Ｂ₀ ＋Ａ₀ Ｂ₁ ）α＋Ａ₁ Ｂ₁ α² (modｆ（α））なる演算を行なう。この場合、ＧＦ（ｐ² ）上の乗算を４回行なうことになる。
この演算は「３／４法」で述べたものと同様な方法を適用することにより、

と置き換えることが出来る。この場合、ＧＦ（ｐ² ）上の乗算を３回行なうことになり、乗算の回数を３／４にすることが出来る。
【００１８】
逐次拡大を用いる場合、さらにＡ₀ Ｂ₀ のようなＧＦ（ｐ² ）上の演算にも上記の方法を適用することが出来る。すなわち、ＧＦ（ｐ² ）上の乗算１回に必要なＧＦ（ｐ）上の乗算の回数を４回から３回に減らすことができる。このため、ＧＦ（ｐ⁴ ）上の乗算１回に必要なＧＦ（ｐ）上の乗算回数は９回となる。

この例では、簡単のため逐次拡大を２回行なった場合を説明したが、実際には逐次拡大の回数が多いほど乗算回数削減の効果が高く、ｍが十分に大きければ、乗算の回数を約ｍのｌｏｇ₂ ³ 、つまり約ｍ^1.585 に減らすことができる（従来法ではｍ² 回であり、３／４法は３／４ｍ² 回である）。
また、乗算を行う際に必要となる、mod ｆ（α）によって多項式の次数を下げる処理に関しても、逐次拡大を用いることによって演算の効率化を行うことができる。これは、３／４法では、ｆ（ｘ）の次数がｍ次であるのに対して逐次拡大法では、ｍの任意の約数とすることができるためである。ここでは乗算について説明したが、逆元に関しても同様にして演算量を減らすことができる。
【００１９】
【発明の実施の形態】
この発明では高速演算に適した特別な逐次拡大を用いる事によって高速に演算可能な拡大体演算装置を構成する。楕円曲線の有理点群の定義体として、高速に演算可能な逐次拡大体を用いる事によって、楕円曲線の有理点のなす群上の演算の高速化を行なう。
【００２０】
有限体の拡大はＧＦ（ｑ₀ ）⊆ＧＦ（ｑ₁ ）⊆…⊆ＧＦ（ｑ_n ）と逐次的に行われる。例えば、この拡大を全て２次で行う場合（逐次２次拡大の場合）、拡大次数はｑ_i ＝（ｑ₀ ² ）ⁱ のように２の冪で大きくなる。
この発明では通常、逐次拡大体ＧＦ（ｑ_i ）上の効率的な演算装置をＧＦ（ｑ_i-1 ），ＧＦ（ｑ_i-2 ），…，ＧＦ（ｑ₀ ）上の演算装置を用いて構成する。
【００２１】
ＧＦ（ｑ₀ ）上の演算装置があれば、上記の様に構成されたＧＦ（ｑ_i ）演算装置を、図１８に示すようにＧＦ（ｑ_n ）演算器１８ＡによりＧＦ（ｑ_n-1 ）上の演算を行い、その結果を用いてＧＦ（ｑ_n-1 ）演算器１８ＢによりＧＦ（ｑ_n-2 ）上の演算を行い、以下順次、拡大演算を行って最後にＧＦ（ｑ₀ ）演算器１８ＤによりＧＦ（ｑ_n ）上の演算を行うというようにｉ＝１の場合から次々と用いて効率的なＧＦ（ｑ_n ）上の演算装置を構成する事ができる。
【００２２】
ＧＦ（ｑ₀ ）としては例えば素体ＧＦ（ｐ）（ｐは素数）を用いてよい。また素数ｐとしてMersenne素数ｐ＝２^p'−１（ｐ′はｐが素数となるような素数）あるいは擬Mersenne素数ｐ＝２^p'±Ｃ（ｐ′はｐが素数となるような整数、Ｃは２^p'/2以下の整数）を選んでも良い。そのような場合は素体上の演算は高速化できる。
【００２３】
またｐ′として演算装置の語長に近い数（例えば語長が３２の時はｐ′＝３２，３１等、語長が１６の時はｐ′＝１６，１５等、語長が８の時はｐ′＝８，７等）を選ぶことができるので、効率的な装置を構成できる。
実施例
この発明の実施例で説明を簡単にするため拡大体の表現を多項式基底または正規基底に限定する事もあるが、他の基底でも同様の方法を実現可能である。さらにＧＦ（ｑ₀ ）⊆ＧＦ（ｑ₁ ）⊆…⊆ＧＦ（ｑ_n ）と有限体を逐次的に拡大する際に、一貫して同種の基底を使わなくても良い。即ち、装置や速度などの都合と照らし併せて適切な基底を拡大の度に選んで良い。しかし、一つの装置内でのＧＦ（ｑ₀ ）⊆ＧＦ（ｑ₁ ）⊆…⊆ＧＦ（ｑ_n ）の拡大に対応する基底およびその種類の列は一貫して全て同じか、あるいは入出力の際に適切な基底に変換されるとする。
【００２４】
この発明の実装ではＧＦ（ｑ₀ ）としては例えば素体ＧＦ（ｐ）（ｐは素数）を選んでも良い。その際、素数ｐとしてMersenne素数ｐ＝２^p'−１（ｐ′はｐが素数となるような素数）あるいは擬Mersenne素数ｐ＝２^p'±Ｃ（Ｃは小さな整数）を選んで良い。そのような場合は素体上の演算は高速化できる。多項式基底の場合、逐次的に拡大する時、拡大ごとに高速演算に適した既約多項式を定義して既約多項式の列を作る。Mersenne素数ｐ＝２^p'−１による素体ＧＦ（ｐ）から拡大する場合は次のような事が云える。
【００２５】
・ＧＦ（ｐ）上でｘ² ＋１は既約、つまりｘ² ＋１を用いて拡大できる。
・ＧＦ（ｐ）上でｘ² −ｘ＋１は可約、つまりｘ² −ｘ＋１を用いて拡大できない。
・ｐ′＝２またはｐ′が奇素数でｐ′≡３（mod ４）の時ＧＦ（ｐ）上でｘ² −ｘ−１は既約、つまりｘ² −ｘ−１を用いて拡大できる。
【００２６】
ｐ′が奇素数でｐ′≡１（mod ４）の時ＧＦ（ｐ）上でｘ² −ｘ−１は可約。
・ｐ′＝２またはｐ′が奇素数でｐ′≡±３（mod ８）の時ＧＦ（ｐ）［α］／（α² ＋１）上でｘ² −ｘ±αは既約、つまりｘ² ＋１を用いて拡大でき、更にｘ² −ｘ±αを用いて拡大できる。
ｐ′が奇素数でｐ′≡±１（mod ８）の時ＧＦ（ｐ）［α］／（α² ＋１）上でｘ² −ｘ±αは可約。つまりｘ² ＋１を用いて拡大したものを、ｘ² −ｘ±αを用いて更に拡大することはできない。（但しαはｘ² ＋１＝０の解。）
例えばＧＦ（ｑ₀ ）⊆ＧＦ（ｑ₁ ）⊆ＧＦ（ｑ₂ ）と拡大を行う場合ｐ＝２^p'−１，ｐ′≡±３（mod ８）またはｐ′＝２として

（但しｑ_i ＝ｐ²ⁱ，αはｘ² ＋１＝０のＧＦ（ｑ₁ ）上での解。）とすることが出来る。
【００２７】
正規基底の場合、逐次的に拡大する時、拡大ごとに高速演算に適した正規基底の生成元が定義されることによって、全ての基底を解に持つ既約多項式を定義して既約多項式の列を作る。従って、既約多項式を作る際、その解が正規基底になるものでなくてはならないという制限がある。たとえ既約でも例えばｘ² ＋Ｃ（Ｃは定数項）の様な多項式は拡大には使えるが、その解は正規基底の基底とはならない。Mersenne素数ｐ＝２^p'−１による素体ＧＦ（ｐ）から拡大する場合は次のような事が云える。
【００２８】
・ＧＦ（ｐ）上でｘ² ±ｘ＋１は可約。
・ＧＦ（ｐ）上でｘ² ±ｘ−２は可約。
・ＧＦ（ｐ）上でｘ² ±２ｘ＋２は既約。
・ｐ′≠２の時ＧＦ（ｐ）上でｘ² ±２ｘ−２は可約。
・ｐ′＝２またはｐ′が奇素数でｐ′≡３（mod ４）の時ＧＦ（ｐ）上でｘ² ±ｘ−１は既約。
【００２９】
ｐ′が奇素数でｐ′≡１（mod ４）の時ＧＦ（ｐ）上でｘ² ±ｘ−１は可約。
・ｐ′＝３またはｐ′≡２（mod ３）の時ＧＦ（ｐ）上でｘ² ±ｘ＋２は既約。
ｐ′≡１（mod ３）の時ＧＦ（ｐ）上でｘ² ±ｘ＋２は可約。
以下に先ず一般的な楕円曲線上の演算について説明し、かつその際にこの発明をどのように適用するかを示す。
【００３０】
楕円曲線上のｋ倍演算装置１Ａ
図１の「楕円曲線上のｋ倍演算装置」に従って説明する。
装置１Ａは楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ及び整数ｋの入力に対して楕円曲線Ｅ上の有理点ｋＰを出力する装置の構成の一例を表している。
【００３１】
この実施例では簡単のため、二進加算法によるｋ倍演算を説明するが、符号付二進加算法やウインドウ法のような他の冪乗テーブル演算法でもこの発明の効果を享受出来る。
装置１Ａは
・メモリ１Ｂ
・制御装置１Ｃ
・楕円加算装置１Ｄ
・楕円倍算装置１Ｅ
からなる。
【００３２】
楕円加算装置１Ｄは図２に示すように構成され、楕円倍算装置１Ｅは図３に示すように構成される。ｋ倍演算装置１Ａの構成と応用によっては、入力や出力、計算途中結果に無限遠点や二等分点が現れない事が保証される場合がある。そのような場合は楕円加算装置１Ｄや楕円倍算装置１Ｅの代わりに、より装置の構成が単純な楕円加算器（図１２，１４，１６）や楕円倍算器（図１３，１５，１７）を使う事も出来る。この実施例では説明を簡単にするため、入力や出力、計算途中結果に無限遠点や二等分点を仮定しても良いとする。
【００３３】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図３６に示すフロー図に従って実行する。
楕円曲線の無限遠点をΟと表記する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置１Ｃは、入力ｋ，Ｐに対してｋ＝Σ _i=0 ^n-1 ｋ_i ２ⁱ を満たす最小の整数ｎと数列ｋ_i ∈｛０，１｝を求め、メモリ１Ｂに渡す。ｎは必ずしも最小でなくても良く装置を構成する際ｋの想定され得る最大値から事前に算出しておいても良い。
【００３４】
Ｓｔｅｐ２：制御装置１Ｃは、楕円曲線上の有理点ＲをＲ＝Οとしてメモリ１Ｂに渡す。
Ｓｔｅｐ３：制御装置１Ｃは、カウンター値ｉをｉ＝ｎとしてメモリ１Ｂに渡す。
Ｓｔｅｐ４：制御装置１Ｃは、メモリ１Ｂよりカウンター値ｉを受け取りｉ＝０かどうかを調べる。もしｉ＝０ならＳｔｅｐ１１へ制御転送する。
【００３５】
Ｓｔｅｐ５：制御装置１Ｃは、メモリ１ＢよりＲを受け取り、それを楕円倍算装置１Ｅに渡し、受け取った倍算結果の値を新たなＲとする。
Ｓｔｅｐ６：制御装置１Ｃは、ｉ−１を新たなカウンター値ｉとする。
Ｓｔｅｐ７：制御装置１Ｃは、カウンター値ｉに基づき、メモリ１Ｂより数ｋ_i を受け取りｋ_i ＝０かどうかを調べる。もしｋ_i ＝０ならＳｔｅｐ９へ制御転送する。
【００３６】
Ｓｔｅｐ８：制御装置１Ｃは、ＲとＰを楕円加算装置１Ｄに渡し受け取った、その加算結果の値を新たなＲとする。
Ｓｔｅｐ９：制御装置１Ｃは、Ｒとｉをメモリ１Ｂに渡す。
Ｓｔｅｐ１０：制御装置１Ｃは、Ｓｔｅｐ４へ制御転送する。
Ｓｔｅｐ１１：制御装置１Ｃは、メモリ１ＢよりＲを受け取り、それをｋＰとして出力する。
楕円曲線上の加算装置２Ａ
図２に「楕円曲線上の加算装置」を示す。
【００３７】
装置２Ａは楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ，Ｑの入力に対して楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＋Ｑを出力する装置の構成の一例を表している。
装置２Ａは
・メモリ２Ｂ
・制御装置２Ｃ
・楕円加算器２Ｄ
・楕円倍算器２Ｅ
・楕円比較装置２Ｆ
・楕円逆元器２Ｇ
からなる。
【００３８】
楕円加算器２Ｄは図１２または図１４または図１６に示すように構成され、楕円倍算器２Ｅは図１３または図１５または図１７に示すように構成され、楕円比較装置２Ｆは図８に示すように構成され、楕円逆元器２Ｇは図６または図７に示すように構成される。
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図３７に示すフロー図に従って実行する。
【００３９】
楕円曲線の無限遠点をΟと表記する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置２Ｃは、入力のＰとＯを楕円比較装置２Ｆに渡し、楕円比較装置２Ｆから論理式Ｐ＝Ｏの真偽を受け取りもし真ならＲ＝ＱとしてＳｔｅｐ６へ制御転送する。
【００４０】
Ｓｔｅｐ２：制御装置２Ｃは、入力のＱとＯを楕円比較装置２Ｆに渡し、楕円比較装置２Ｆから論理式Ｑ＝Ｏの真偽を受け取りもし真ならＲ＝ＰとしてＳｔｅｐ６へ制御転送する。
Ｓｔｅｐ３：制御装置２Ｃは、入力のＰとＱを楕円比較装置２Ｆに渡し、楕円比較装置２Ｆから論理式Ｐ＝Ｑの真偽を受け取りもし真なら、楕円倍算器２ＥにＰを渡しその出力２Ｐを用いてＲ＝２ＰとしてＳｔｅｐ６へ制御転送する。
【００４１】
Ｓｔｅｐ４：制御装置２Ｃは、入力のＱを楕円逆元器２Ｇに渡しその出力−Ｑと入力のＰとを楕円比較装置２Ｆに渡し、楕円比較装置２Ｆから論理式Ｐ＝−Ｑの真偽を受け取りもし真なら、Ｒ＝ＯとしてＳｔｅｐ６へ制御転送する。
Ｓｔｅｐ５：制御装置２Ｃは、楕円加算器２ＤにＰ，Ｑを渡しその出力Ｐ＋Ｑを用いてＲ＝Ｐ＋Ｑとする。
【００４２】
Ｓｔｅｐ６：制御装置２Ｃは、ＲをＰ＋Ｑとして出力する。
楕円曲線上の倍算装置３Ａ
図３に「楕円曲線上の倍算装置」を示す。
装置３Ａは楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐの入力に対して楕円曲線Ｅ上の有理点２Ｐを出力する装置の構成の一例を表している。
【００４３】
装置３Ａは
・メモリ３Ｂ
・制御装置３Ｃ
・楕円二等分点判定器３Ｄ
・楕円倍算器３Ｅ
・楕円比較装置３Ｆ
からなる。
【００４４】
楕円二等分点判定器３Ｄは図４または図５に示すように構成され、楕円倍算器３Ｅは図１３または図１５または図１７に示すように構成され、楕円比較装置３Ｆは図８に示すように構成される。
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図３８に示すフロー図に従って実行する。
【００４５】
楕円曲線の無限遠点をΟと表記する。楕円曲線の二等分点の集合（２Ｐ＝ΟかつＰ≠Οを満たすＰの集合）をＵと表記する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置３Ｃは、入力のＰとＯを楕円比較装置３Ｆに渡し、楕円比較装置３Ｆから論理式Ｐ＝Ｏの真偽を受け取り、もし真ならＲ＝ＯとしてＳｔｅｐ４へ制御転送する。
【００４６】
Ｓｔｅｐ２：制御装置３Ｃは、入力のＰを楕円二等分点判定器３Ｄに渡し、楕円二等分点判定器３Ｄから、論理式Ｐ∈Ｕの真偽を受け取り、もし真ならＲ＝ＯとしてＳｔｅｐ４へ制御転送する。
Ｓｔｅｐ３：制御装置３Ｃは、楕円倍算器３ＥにＰを渡しその出力２Ｐを用いてＲ＝２Ｐとする。
【００４７】
Ｓｔｅｐ４：制御装置３Ｃは、Ｒを２Ｐとして出力する。
楕円二等分点判定器４Ａ
図４に「楕円二等分点判定器」を示す。
楕円曲線の無限遠点をΟと表記する。楕円曲線の二等分点の集合（２Ｐ＝ΟかつＰ≠Οを満たすＰの集合）をＢと表記する。
【００４８】
装置４Ａは二値座標で表現された楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＝（ｘ，ｙ）の入力に対して論理式Ｐ∈Ｕの真偽を出力する装置の構成の一例を表している。
装置４Ａは
・メモリ４Ｂ
・制御装置４Ｃ
からなる。
【００４９】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図３９に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置４Ｃは、入力のｙを調べｙ＝０ならばｆ＝真とする。ｙ≠０ならばｆ＝偽とする。
【００５０】
Ｓｔｅｐ２：制御装置４Ｃは、ｆを論理式Ｐ∈Ｕの値として出力する。
楕円二等分点判定器５Ａ
図５に「楕円二等分点判定器」の他の例を示す。
楕円曲線の無限遠点をΟと表記する。楕円曲線の二等分点の集合（２Ｐ＝ΟかつＰ≠Οを満たすＰの集合）をＵと表記する。
【００５１】
装置５Ａは三値座標で表現された楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＝（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の入力に対して論理式Ｐ∈Ｕの真偽を出力する装置の構成の一例を表している。
装置５Ａは
・メモリ５Ｂ
・制御装置５Ｃ
からなる。
【００５２】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図４０に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置５Ｃは、入力のｙを調べＹ＝０ならばｆ＝真とする。Ｙ≠０ならばｆ＝偽とする。
【００５３】
Ｓｔｅｐ２：制御装置５Ｃは、ｆを論理式Ｐ∈Ｕの値として出力する。
楕円逆元器６Ａ
図６に「楕円逆元器」を示す。
装置６Ａは二値座標で表現された楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＝（ｘ，ｙ）の入力に対してＰの加法逆元−Ｐを出力する装置の構成の一例を表している。
【００５４】
装置６Ａは
・メモリ６Ｂ
・制御装置６Ｃ
からなる。
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図４１に示すフロー図に従って実行する。
【００５５】
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置６Ｃは、入力のＰ＝（ｘ，ｙ）に対してＲ＝（ｘ，−ｙ）とする。
Ｓｔｅｐ２：制御装置６Ｃは、ＲをＰの加法逆元−Ｐとして出力する。
楕円逆元器７Ａ
図７に「楕円逆元器」の他の例を示す。
【００５６】
装置７Ａは三値座標で表現された楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＝（Ｘ，Ｙ，Ｚ）の入力に対してＰの加法逆元−Ｐを出力する装置の構成の一例を表している。
装置７Ａは
・メモリ７Ｂ
・制御装置７Ｃ
からなる。
【００５７】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図４２に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置７Ｃは、入力のＰ＝（Ｘ，Ｙ，Ｚ）に対してＲ＝（Ｘ，−Ｙ，Ｚ）とする。
【００５８】
Ｓｔｅｐ２：制御装置７Ｃは、ＲをＰの加法逆元−Ｐとして出力する。
楕円比較装置８Ａ
図８に「楕円比較装置」を示す。
装置８Ａは楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ，Ｑの入力に対して論理式Ｐ＝Ｑの真偽を出力する装置の構成の一例を表している。
【００５９】
装置８Ａは
・メモリ８Ｂ
・制御装置８Ｃ
・楕円比較器８Ｄ
からなる。
【００６０】
楕円比較器８Ｄは図９または図１０または図１１に示すように構成される。
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図４３に示すフロー図に従って実行する。
楕円曲線の無限遠点をΟと表記する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
【００６１】
Ｓｔｅｐ１：制御装置８Ｃは、入力のＰに対してＰがΟと等しいかどうか調べる。
Ｓｔｅｐ２：制御装置８Ｃは、入力のＱに対してＱがΟと等しいかどうか調べる。
Ｓｔｅｐ３：制御装置８Ｃは、もしＰ＝ΟかつＱ＝Οならｆ＝真としてＳｔｅｐ７へ制御転送する。
【００６２】
Ｓｔｅｐ４：制御装置８Ｃは、もしＰ＝ΟかつＱ≠Οならｆ＝偽としてＳｔｅｐ７へ制御転送する。
Ｓｔｅｐ５：制御装置８Ｃは、もしＰ≠ΟかつＱ＝Οならｆ＝偽としてＳｔｅｐ７へ制御転送する。
Ｓｔｅｐ６：制御装置８Ｃは、Ｐ，Ｑを楕円比較器８Ｄへ渡しその結果Ｃｍｐ（Ｐ，Ｑ）を用いてｆ＝Ｃｍｐ（Ｐ，Ｑ）とする。つまりＰ＝Ｑでｆ＝真、Ｐ≠Ｑでｆ＝偽とする。
【００６３】
Ｓｔｅｐ７：制御装置８Ｃは、ｆを論理式Ｐ＝Ｑの値として出力する。
楕円比較器９Ａ
図９に「楕円比較器」を示す。
装置９Ａは二値座標における楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＝（ｘ₁ ，ｙ₁ ）およびＱ＝（ｘ₂ ，ｙ₂ ）の入力に対して論理式Ｐ＝Ｑの真偽を出力する装置の構成の一例を表している。
【００６４】
装置９Ａは
・メモリ９Ｂ
・制御装置９Ｃ
からなる。
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図４４に示すフロー図に従って実行する。
【００６５】
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置９Ｃは、入力Ｐ＝（ｘ₁ ，ｙ₁ ）およびＱ＝（ｘ₂ ，ｙ₂ ）に対してｘ₁ がｘ₂ と等しいかどうか調べる。
Ｓｔｅｐ２：制御装置９Ｃは、ｘ₁ ＝ｘ₂ であれば、入力Ｐ＝（ｘ₁ ，ｙ₁ ）およびＱ＝（ｘ₂ ，ｙ₂ ）に対してｙ₁ がｙ₂ と等しいかどうか調べる。
【００６６】
Ｓｔｅｐ３：制御装置９Ｃは、もしｘ₁ ＝ｘ₂ かつｙ₁ ＝ｙ₂ ならｆ＝真としてＳｔｅｐ５へ制御転送する。
Ｓｔｅｐ４：制御装置９Ｃは、ｘ₁ ≠ｘ₂ 又はｙ₁ ≠ｙ₂ であればｆ＝偽とする。
Ｓｔｅｐ５：制御装置９Ｃは、ｆを論理式Ｐ＝Ｑの値として出力する。
楕円比較器１０Ａ
図１０に「楕円比較器」の他の例を示す。
【００６７】
装置１０Ａは三値座標（ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ座標）における楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）およびＱ＝（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ，Ｚ₂ ）の入力に対して論理式Ｐ＝Ｑの真偽を出力する装置の構成の一例を表している。
装置１０Ａは
・メモリ１０Ｂ
・制御装置１０Ｃ
からなる。
【００６８】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図４５のフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置１０Ｃは、入力Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）およびＱ＝（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ，Ｚ₂ ）に対してＸ₁ Ｚ₂ がＸ₂ Ｚ₁ と等しいかどうか調べる。
【００６９】
Ｓｔｅｐ２：制御装置１０Ｃは、Ｘ₁ Ｚ₂ ＝Ｘ₂ Ｚ₁ であれば、入力Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）およびＱ＝（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ，Ｚ₂ ）に対してＹ₁ Ｚ₂ がＹ₂ Ｚ₁ と等しいかどうか調べる。
Ｓｔｅｐ３：制御装置１０Ｃは、もしＸ₁ Ｚ₂ ＝Ｘ₂ Ｚ₁ かつＹ₁ Ｚ₂ ＝Ｙ₂ Ｚ₁ ならｆ＝真としてＳｔｅｐ５へ制御転送する。
【００７０】
Ｓｔｅｐ４：制御装置１０Ｃは、Ｘ₁ Ｚ₂ ＝Ｘ₂ Ｚ₁ かつＹ₁ Ｚ₂ ＝Ｙ₂ Ｚ₁ でなければｆ＝偽とする。
Ｓｔｅｐ５：制御装置１０Ｃは、ｆを論理式Ｐ＝Ｑの値として出力する。
楕円比較器１１Ａ
図１１に「楕円比較器」の更に他の例を示す。
【００７１】
装置１１Ａは三値座標（Ｊａｃｏｂｉａｎ座標）における楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）およびＱ＝（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ，Ｚ₂ ）の入力に対して論理式Ｐ＝Ｑの真偽を出力する装置の構成の一例を表している。
装置１１Ａは
・メモリ１１Ｂ
・制御装置１１Ｃ
からなる。
【００７２】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図４６に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置１１Ｃは、入力Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）およびＱ＝（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ，Ｚ₂ ）に対してＸ₁ Ｚ₂ ²がＸ₂ Ｚ₁ ²と等しいかどうか調べる。
【００７３】
Ｓｔｅｐ２：制御装置１１Ｃは、Ｘ₁ Ｚ₂ ²＝Ｘ₂ Ｚ₁ ²であれば、入力Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）およびＱ＝（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ，Ｚ₂ ）に対してＹ₁ Ｚ₂ ³がＹ₂ Ｚ₁ ³と等しいかどうか調べる。
Ｓｔｅｐ３：制御装置１１Ｃは、もしＸ₁ Ｚ₂ ²＝Ｘ₂ Ｚ₁ ²かつＹ₁ Ｚ₂ ³＝Ｙ₂ Ｚ₁ ³ならｆ＝真としてＳｔｅｐ５へ制御転送する。
【００７４】
Ｓｔｅｐ４：制御装置１１Ｃは、Ｘ₁ Ｚ₂ ²＝Ｘ₂ Ｚ₁ ²でなければ、あるいはＹ₁ Ｚ₂ ³＝Ｙ₂ Ｚ₁ ³でなければｆ＝偽とする。
Ｓｔｅｐ５：制御装置１１Ｃは、ｆを論理式Ｐ＝Ｑの値として出力する。
楕円加算器１２Ａ
図１２に「楕円加算器」の例を示す。
【００７５】
装置１２Ａは二値座標における楕円曲線Ｅ：ｙ² ＝ｘ³ ＋ａｘ＋ｂ，ａ，ｂ∈ＧＦ（ｑ_n ），４ａ³ ＋２７ｂ² ≠０）上の有理点Ｐ＝（ｘ₁ ，ｙ₁ ）およびＱ＝（ｘ₂ ，ｙ₂ ）（但しＰ≠±Ｑ）の入力に対して楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＋Ｑを出力する装置の構成の一例を表している。
装置１２Ａは
・メモリ１２Ｂ
・制御装置１２Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１２Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n ）減算器１２Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１２Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n ）逆元器１２Ｇ
からなる。
【００７６】
ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１２Ｄはこの発明を適用して図２４または図２５または図２６または図２７に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１２Ｅは図２１に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１２Ｆも同様に図２２または図２３に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）逆元器１２Ｇは図２８または図２９に示すように構成される。
【００７７】
つまりＧＦ（ｑ_n ）自乗器１２ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）減算器１２ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１２ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）逆元器１２Ｇは図１９に示すＧＦ（ｑ_i ）演算器（ｉ＝ｎの場合）や図１８に示す逐次拡大演算装置の様な集積装置によって実現される。
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図４７に示すフロー図に従って実行する。
【００７８】
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置１２Ｃは、入力Ｐ＝（ｘ₁ ，ｙ₁ ）およびＱ＝（ｘ₂ ，ｙ₂ ）に対してＧＦ（ｑ_n ）減算器１２ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）逆元器１２Ｇを用いてλ＝（ｙ₂ −ｙ₁ ）／（ｘ₂ −ｘ₁ ）を計算する。
Ｓｔｅｐ２：制御装置１２Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１２ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１２Ｄを用いてｘ₃ ＝λ² −ｘ₁ −ｘ₂ を計算する。
【００７９】
Ｓｔｅｐ３：制御装置１２Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１２ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１２Ｆを用いてｙ₃ ＝λ（ｘ₁ −ｘ₃ ）−ｙ₁ を計算する。
Ｓｔｅｐ４：制御装置１２Ｃは、（ｘ₃ ，ｙ₃ ）をＰ＋Ｑとして出力する。
楕円倍算器１３Ａ
図１３に「楕円倍算器」の例を示す。
【００８０】
装置１３Ａは二値座標における楕円曲線Ｅ：ｙ² ＝ｘ³ ＋ａｘ＋ｂ（ａ，ｂ∈ＧＦ（ｑ_n ），４ａ³ ＋２７ｂ² ≠０）上の有理点Ｐ＝（ｘ₁ ，ｙ₁ ）の入力に対して楕円曲線Ｅ上の有理点２Ｐを出力する装置の構成の一例を表している。
装置１３Ａは
・メモリ１３Ｂ
・制御装置１３Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n ）加算器１３Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n ）減算器１３Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１３Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n ）逆元器１３Ｇ
・ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１３Ｈ
からなる。
【００８１】
ＧＦ（ｑ_n ）加算器１３Ｄはこの発明を適用して図２０に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１３Ｅは図２１に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１３Ｆも同様に図２２または図２３に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）逆元器１３Ｇも同様に図２８または図２９に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１３Ｈも同様に図２４または図２５または図２６または図２７に示すように構成される。
【００８２】
つまりＧＦ（ｑ_n ）加算器１３ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）減算器１３ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１３ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）逆元器１３ＧおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１３Ｈは図１９に示すＧＦ（ｑ_i ）演算器（ｉ＝ｎの場合）や図１８に示す逐次拡大演算装置の様な集積装置によって実現される。
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図４８に示すフロー図に従って実行する。
【００８３】
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置１３Ｃは、入力Ｐ＝（ｘ₁ ，ｙ₁ ）に対してＧＦ（ｑ_n ）加算器１３ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）逆元器１３ＧおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１３Ｈを用いてλ＝（３ｘ₁ ²＋ａ）／（２ｙ₁ ）を計算する。
Ｓｔｅｐ２：制御装置１３Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１３ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１３Ｄを用いてｘ₃ ＝λ² −２ｘ₁ を計算する。
【００８４】
Ｓｔｅｐ３：制御装置１３Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１３ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１３Ｄを用いてｙ₃ ＝λ（ｘ₁ −ｘ₃ ）−ｙ₁ を計算する。
Ｓｔｅｐ４：制御装置１３Ｃは、（ｘ₃ ，ｙ₃ ）を２Ｐとして出力する。
楕円加算器１４Ａ
図１４に「楕円加算器」の他の例を示す。
【００８５】
装置１４Ａは三値座標（ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ座標）における楕円曲線Ｅ（：ｙ² Ｚ＝ｘ³ ＋ａｘＺ² ＋ｂＺ³ ，ａ，ｂ∈ＧＦ（ｑ_n ），４ａ³ ＋２７ｂ² ≠０）上の有理点Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）およびＱ＝（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ，Ｚ₂ ）（但しＸ₁ Ｚ₂ ≠Ｘ₂ Ｚ₁ ）の入力に対して楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＋Ｑを出力する装置の構成の一例を表している。
【００８６】
装置１４Ａは
・メモリ１４Ｂ
・制御装置１４Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１４Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n ）減算器１４Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１４Ｆ
からなる。
【００８７】
ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１４Ｄはこの発明を適用して図２４または図２５または図２６または図２７に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１４Ｅも同様に図２１に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１４Ｆも同様に図２２または図２３に示すように構成される。
つまりＧＦ（ｑ_n ）自乗器１４ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）減算器１４ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１４Ｆは図１９に示すＧＦ（ｑ_i ）演算器（ｉ＝ｎの場合）や図１８に示す逐次拡大演算装置の様な集積装置によって実現される。
【００８８】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図４９に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置１４Ｃは、入力Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）およびＱ＝（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ，Ｚ₂ ）に対してＧＦ（ｑ_n ）減算器１４ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１４Ｆを用いてｕ＝Ｙ₂ Ｚ₁ −Ｙ₁ Ｚ₂ を計算する。
【００８９】
Ｓｔｅｐ２：制御装置１４Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１４ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１４Ｆを用いてｖ＝Ｘ₂ Ｚ₁ −Ｘ₁ Ｚ₂ を計算する。
Ｓｔｅｐ３：制御装置１４Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１４ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）減算器１４ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１４Ｆを用いてＡ＝ｕ² Ｚ₁ Ｚ₂ −ｖ³ −２ｖ² Ｘ₁ Ｚ₂ を計算する。
【００９０】
Ｓｔｅｐ４：制御装置１４Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１４Ｆを用いてＸ₃ ＝ｖＡを計算する。
Ｓｔｅｐ５：制御装置１４Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１４ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）減算器１４ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１４Ｆを用いてＹ₃ ＝ｕ（ｖ² Ｘ₁ Ｚ₂ −Ａ）−ｖ³ Ｙ₁ Ｚ₂ を計算する。
【００９１】
Ｓｔｅｐ６：制御装置１４Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１４ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１４Ｆを用いてＺ₃ ＝ｖ³ Ｚ₁ Ｚ₂ を計算する。
Ｓｔｅｐ７：制御装置１４Ｃは、（Ｘ₃ ，Ｙ₃ ，Ｚ₃ ）をＰ＋Ｑとして出力する。
楕円倍算器１５Ａ
図１５に「楕円倍算器」の他の例を示す。
【００９２】
装置１５Ａは三値座標（ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ座標）における楕円曲線Ｅ（：Ｙ² Ｚ＝ｘ³ ＋ａｘＺ² ＋ｂＺ³ ，ａ，ｂ∈ＧＦ（ｑ_n ），４ａ³ ＋２７ｂ² ≠０）上の有理点Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）の入力に対して楕円曲線Ｅ上の有理点２Ｐを出力する装置の構成の一例を表している。
装置１５Ａは
・メモリ１５Ｂ
・制御装置１５Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n ）加算器１５Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n ）減算器１５Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１５Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１５Ｇ
からなる。
【００９３】
ＧＦ（ｑ_n ）加算器１５Ｄはこの発明を適用して図２０に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１５Ｅは図２１に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１５Ｆも同様に図２２または図２３に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１５Ｇも同様に図２４または図２５または図２６または図２７に示すように構成される。
【００９４】
つまりＧＦ（ｑ_n ）加算器１５ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）減算器１５ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１５ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１５Ｇは図１９に示すＧＦ（ｑ_i ）演算器（ｉ＝ｎの場合）や図１８に示す逐次拡大演算装置の様な集積装置によって実現される。
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図５０に示すフロー図に従って実行する。
【００９５】
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置１５Ｃは、入力Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）に対してＧＦ（ｑ_n ）加算器１５ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１５Ｇを用いてｗ＝３Ｘ₁ ²＋ａＺ₁ ²を計算する。
Ｓｔｅｐ２：制御装置１５Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１５Ｆを用いてｓ＝Ｙ₁ Ｚ₁ を計算する。
【００９６】
Ｓｔｅｐ３：制御装置１５Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１５Ｆを用いてＢ＝Ｘ₁ Ｙ₁ ｓを計算する。
Ｓｔｅｐ４：制御装置１５Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１５ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１５ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１５Ｇを用いてｈ＝ｗ² −８Ｂを計算する。
【００９７】
Ｓｔｅｐ５：制御装置１５Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１５Ｆを用いてＸ₃ ＝２ｈｓを計算する。
Ｓｔｅｐ６：制御装置１５Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１５ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１５ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１５Ｇを用いてＹ₃ ＝ｗ（４Ｂ−ｈ）−８Ｙ₁ ²ｓ² を計算する。
【００９８】
Ｓｔｅｐ７：制御装置１５Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１５ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１５Ｇを用いてＺ₃ ＝８ｓ³ を計算する。
Ｓｔｅｐ８：制御装置１５Ｃは、（Ｘ₃ ，Ｙ₃ ，Ｚ₃ ）を２Ｐとして出力する。
楕円加算器１６Ａ
図１６に「楕円加算器」の他の例を示す。
【００９９】
装置１６Ａは三値座標（Ｊａｃｏｂｉａｎ座標）における楕円曲線Ｅ（：Ｙ² ＝ｘ³ ＋ａｘＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ ，ａ，ｂ∈ＧＦ（ｑ_n ），４ａ³ ＋２７ｂ² ≠０）上の有理点Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）およびＱ＝（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ，Ｚ₂ ）（但し、Ｘ₁ Ｚ₂ ≠Ｘ₂ Ｚ₁ ）の入力に対して楕円曲線Ｅ上の有理点Ｐ＋Ｑを出力する装置の構成の一例を表している。
【０１００】
装置１６Ａは
・メモリ１６Ｂ
・制御装置１６Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１６Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n ）減算器１６Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１６Ｆ
からなる。
【０１０１】
ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１６Ｄはこの発明を適用して図２４または図２５または図２６または図２７に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１６Ｅも同様に図２１に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１６Ｆも同様に図２２または図２３に示すように構成される。
つまりＧＦ（ｑ_n ）自乗器１６ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）減算器１６ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１６Ｆは図１９に示すＧＦ（ｑ_i ）演算器（ｉ＝ｎの場合）や図１８に示す逐次拡大演算装置の様な集積装置によって実現される。
【０１０２】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図５１に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置１６Ｃは、入力Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）およびＱ＝（Ｘ₂ ，Ｙ₂ ，Ｚ₂ ）に対してＧＦ（ｑ_n ）乗算器１６ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１６Ｇを用いてＵ₁ ＝Ｘ₁ Ｚ₂ ²を計算する。
【０１０３】
Ｓｔｅｐ２：制御装置１６Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１６ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１６Ｆを用いてＵ₂ ＝Ｘ₂ Ｚ₁ ²を計算する。
Ｓｔｅｐ３：制御装置１６Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１６ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１６Ｆを用いてＳ₁ ＝Ｙ₁ Ｚ₂ ³を計算する。
Ｓｔｅｐ４：制御装置１６Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１６ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１６Ｆを用いてＳ₂ ＝Ｙ₂ Ｚ₁ ³を計算する。
【０１０４】
Ｓｔｅｐ５：制御装置１６Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１６Ｅを用いてＨ＝Ｕ₂ −Ｕ₁ を計算する。
Ｓｔｅｐ６：制御装置１６Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１６Ｅを用いてｒ＝Ｓ₂ −Ｓ₁ を計算する。
Ｓｔｅｐ７：制御装置１６Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１６ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）減算器１６ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１６Ｆを用いてＸ₃ ＝ｒ² −Ｈ³ −２Ｕ₁ Ｈ² を計算する。
【０１０５】
Ｓｔｅｐ８：制御装置１６Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１６ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）減算器１６ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１６Ｆを用いてＹ₃ ＝ｒ（Ｕ₁ Ｈ² −Ｘ₃ ）−Ｓ₁ Ｈ³ を計算する。
Ｓｔｅｐ９：制御装置１６Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１６Ｆを用いてＺ₃ ＝Ｚ₁ Ｚ₂ Ｈを計算する。
【０１０６】
Ｓｔｅｐ１０：制御装置１６Ｃは、（Ｘ₃ ，Ｙ₃ ，Ｚ₃ ）をＰ＋Ｑとして出力する。
楕円倍算器１７Ａ
図１７に「楕円倍算器」の他の例を示す。
装置１７Ａは三値座標（Ｊａｃｏｂｉａｎ座標）における楕円曲線Ｅ（：Ｙ² ＝ｘ³ ＋ａｘＺ⁴ ＋ｂＺ⁶ ，ａ，ｂ∈ＧＦ（ｑ_n ），４ａ³ ＋２７ｂ² ≠０）上の有理点Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）の入力に対して楕円曲線Ｅ上の有理点２Ｐを出力する装置の構成の一例を表している。
【０１０７】
装置１７Ａは
・メモリ１７Ｂ
・制御装置１７Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n ）加算器１７Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n ）減算器１７Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１７Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１７Ｇ
からなる。
【０１０８】
ＧＦ（ｑ_n ）加算器１７Ｄはこの発明を適用して図２０に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１７Ｅも同様に図２１に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１７Ｆも同様に図２２または図２３に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n ）自乗器１７Ｇも同様に図２４または図２５または図２６または図２７に示すように構成される。
【０１０９】
つまりＧＦ（ｑ_n ）加算器１７ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）減算器１７ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１７ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１７Ｇは図１９に示すＧＦ（ｑ_i ）演算器（ｉ＝ｎの場合）や図１８に示す逐次拡大演算装置の様な集積装置によって実現される。
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図５２に示すフロー図に従って実行する。
【０１１０】
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置１７Ｃは、入力Ｐ＝（Ｘ₁ ，Ｙ₁ ，Ｚ₁ ）に対してＧＦ（ｑ_n ）加算器１７ＤおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１７ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１７Ｇを用いてＭ＝３Ｘ₁ ²＋ａＺ⁴ を計算する。
Ｓｔｅｐ２：制御装置１７Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１７ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１７Ｇを用いてＳ＝４Ｘ₁ Ｙ₁ ²を計算する。
【０１１１】
Ｓｔｅｐ３：制御装置１７Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１７ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１７ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１７Ｇを用いてＸ₃ ＝Ｍ² −２Ｓを計算する。
Ｓｔｅｐ４：制御装置１７Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）減算器１７ＥおよびＧＦ（ｑ_n ）乗算器１７ＦおよびＧＦ（ｑ_n ）自乗器１７Ｇを用いてＹ₃ ＝Ｍ（Ｓ−Ｘ₃ ）−８Ｙ₁ ⁴を計算する。
【０１１２】
Ｓｔｅｐ５：制御装置１７Ｃは、ＧＦ（ｑ_n ）乗算器１７Ｆを用いてＺ₃ ＝２Ｙ₁ Ｚ₁ を計算する。
Ｓｔｅｐ６：制御装置１７Ｃは、（Ｘ₃ ，Ｙ₃ ，Ｚ₃ ）を２Ｐとして出力する。
逐次拡大装置１８Ａ
図１８にこの発明の要部である「逐次拡大装置」を示す。
【０１１３】
装置１８ＡはＧＦ（ｑ_n ）上の有理式の列Ｒ（ｘ₀ ，ｘ₁ ，…）及びｘ₀ ，ｘ₁ ，…の値、またはその値の格納場所を入力として、Ｒ（ｘ₀ ，ｘ₁ ，…）の値の列を出力する装置の構成の一例を表している。
装置実装を簡単にするため計算可能な有理式の型に制限を設けても良い。
ＧＦ（ｑ_n-1 ）演算器１８Ｂは図１９（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-2 ）演算器１８Ｃは図１９（ｉ＝ｎ−２の場合）に示すように構成され、以下順次同様に構成される。
【０１１４】
ＧＦ（ｑ_i ）演算器においては一度にＧＦ（ｑ_i ）上演算の列を全部ＧＦ（ｑ_i-1 ）上演算の列に帰着させてからＧＦ（ｑ_i-1 ）演算器に渡す必要は無く、部分的に帰着させながら何度もＧＦ（ｑ_i-1 ）演算器に渡すように装置を構成し、また、部分的に帰着させながら得たＧＦ（ｑ_i-1 ）演算器の出力結果をＧＦ（ｑ_i-1 ）演算器の入力として利用できるよう装置を構成する。
【０１１５】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図５３に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n ）演算器１８Ａは、入力Ｒ（ｘ₀ ，ｘ₁ ，…）及びｘ₀ ，ｘ₁ ，…の値に対して、この演算の列とデータをＧＦ（ｑ_n-1 ）上の演算の列とデータに帰着させ、ＧＦ（ｑ_n-1 ）演算器１８Ｂに渡す。
【０１１６】
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）演算器１８Ｂは、入力をＧＦ（ｑ_n-2 ）上の演算の列とデータに帰着させ、ＧＦ（ｑ_n-2 ）演算器１８Ｃに渡す。
Ｓｔｅｐ３：同様にしてＧＦ（ｑ_o ）まで演算の列とデータを帰着させＧＦ（ｑ_o ）演算器１８Ｄがこれを計算する。
Ｓｔｅｐ４：計算されたＲ（ｘ₀ ，ｘ₁ ，…）の値の列を出力する。
一般的にはｑ₀ ＝ｐ，ｑ₁ ＝ｐ^s1，ｑ₂ ＝（ｐ^s1）^s2，…，ｑ_z ＝（…（（ｐ^s1）^s2）…）^sz＝ｐ^m を満すようにｍ＝ｓ₁ ｓ₂ …ｓ_z と分解し、つまりＧＦ（ｐ^m ）をＧＦ（（（（ｐ^s1）^s2）…）^szとみなし、ＧＦ（ｑ₀ ）上のｓ₁ 個の元によってＧＦ（ｑ₁ ）上の元をあらわす演算ＧＦ（ｑ₁ ）を行い、ＧＦ（ｑ₁ ）上のｓ₂ 個の元によってＧＦ（ｑ₂ ）上の元をあらわす演算ＧＦ（ｑ₂ ）を行い、以下同様にして、最終的にＧＦ（ｑ_z-1 ）＝ＧＦ（ｐ^m ）上の元をあらわす。ここで、使用される楕円曲線演算においてＧＦ（ｑ）のｑに要求される数、例えば暗号では１６０ビット程度が要求されるが、ｐ^m が１６０ビット以上になるように、ｓ₁ ，ｓ₂ ，…，ｓ_z を適度に決めればよい。
ＧＦ（ｑ_i ）演算器１９Ａ
図１９に「ＧＦ（ｑ_i ）演算器」を示す。
【０１１７】
装置１９ＡはＧＦ（ｑ_i ）上の有理式の列Ｒ（ｘ₀ ，ｘ₁ ，…）及びｘ₀ ，ｘ₁ ，…の値、またはその値の格納場所を入力として、Ｒ（ｘ₀ ，ｘ₁ ，…）の値の列を出力する装置の構成の一例を表している。
装置実装の簡単のため計算可能な有理式の型に制限を設けても良い。
ＧＦ（ｑ_i ）演算器においては一度にＧＦ（ｑ_i ）上演算の列を全部ＧＦ（ｑ_i-1 ）上演算の列に帰着させてからＧＦ（ｑ_i-1 ）演算器に渡す必要は無く、部分的に帰着させながら何度もＧＦ（ｑ_i-1 ）演算器に渡すよう装置を構成し、また、部分的に帰着させながら得たＧＦ（ｑ_i-1 ）演算器の出力結果をＧＦ（ｑ_i-1 ）演算器の入力として利用できるよう装置を構成する。
【０１１８】
装置１９Ａは
・メモリ１９Ｂ
・制御装置１９Ｃ
・ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器１９Ｄ
・ＧＦ（ｑ_i ）加算器１９Ｅ
・ＧＦ（ｑ_i ）減算器１９Ｆ
・ＧＦ（ｑ_i ）乗算器１９Ｇ
・ＧＦ（ｑ_i ）自乗器１９Ｈ
・ＧＦ（ｑ_i ）逆元器１９Ｉ
の全部又はメモリ１９Ｂ、制御装置１９Ｃを除く他の一部からなる。
【０１１９】
ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器１９Ｄは図３０または図３１または図３２または図３３または図３４または図３５に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_i ）加算器１９Ｅは図２０（ｎ＝ｉの場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_i ）減算器１９Ｆは図２１（ｎ＝ｉの場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_i ）乗算器１９Ｇは図２２（ｎ＝ｉの場合）または図２３（ｎ＝ｉの場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_i ）自乗器１９Ｈは図２４（ｎ＝ｉの場合）または図２５（ｎ＝ｉの場合）または図２６（ｎ＝ｉの場合）または図２７（ｎ＝ｉの場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_i ）逆元器１９Ｉは図２８（ｎ＝ｉの場合）または図２９（ｎ＝ｉの場合）に示すように構成される。
【０１２０】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図５４に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行される。
Ｓｔｅｐ１：制御装置１９Ｃは、入力Ｒ（ｘ₀ ，ｘ₁ ，…）及びｘ₀ ，ｘ₁ ，…の値に対して、この演算の列とデータをＧＦ（ｑ_i-1 ）上の加算、減算、乗算、自乗、逆元、定数倍演算の列とデータに帰着させる。
【０１２１】
Ｓｔｅｐ２：制御装置１９Ｃは、メモリ１９ＢおよびＧＦ（ｑ_i ）定数倍器１９ＤおよびＧＦ（ｑ_i ）加算器１９ＥおよびＧＦ（ｑ_i ）減算器１９ＦおよびＧＦ（ｑ_i ）乗算器１９ＧおよびＧＦ（ｑ_i ）自乗器１９ＨおよびＧＦ（ｑ_i ）逆元器１９Ｉを用いて帰着の結果得られたＧＦ（ｑ_i-1 ）上演算の列を実行する。
Ｓｔｅｐ３：制御装置１９Ｃは、計算されたＲ（ｘ₀ ，ｘ₁ ，…）の値の列を出力する。
ＧＦ（ｑ_n ）加算器２０Ａ
図２０に「ＧＦ（ｑ_n ）加算器」を示す。
【０１２２】
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）のｍ次拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の加算器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。この説明では簡単のためｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
この説明および、図２０におけるＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）およびＡ＋Ｂ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）等の記述はＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の元、Ａ，Ｂ，Ａ＋Ｂ等のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元Ａ₀ ，Ａ₁ ，Ｂ₀ ，Ｂ₁ ，Ｃ₀ ，Ｃ₁ 等による表現である。
【０１２３】
装置２０ＡはＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ＋Ｂを出力する装置の構成の一例を表している。
装置２０Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２０Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２０Ｃ
からなる。
【０１２４】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図５５に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０１２５】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２０Ｂは、入力のＡ₀ およびＢ₀ に対してＣ₀ ←Ａ₀ ＋Ｂ₀ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２０Ｃは、入力のＡ₁ およびＢ₁ に対してＣ₁ ←Ａ₁ ＋Ｂ₁ を計算してＣ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ＋Ｂとして出力する。
【０１２６】
一般にｓ_i 個のＧＦ（ｑ_i-1 ）の元の組であらわされたＧＦ（ｑ_i ）の元ａ＝（ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_si-1）およびｂ＝（ｂ₀ ，ｂ₁ ，…，ｂ_si-1）が入力されると、ａ＋ｂ＝（ａ₀ ＋ｂ₀ ，ａ₁ ＋ｂ₁ ，…，ａ_si-1＋ｂ_si-1）を演算して出力する。
ＧＦ（ｑ_n ）減算器２１Ａ
図２１に「ＧＦ（ｑ_n ）減算器」を示す。
【０１２７】
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）のｍ次拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の減算器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。この説明では簡単のためｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
この説明および、図２１におけるＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）およびＡ−Ｂ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）等の記述はＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の元、Ａ，Ｂ，Ａ−Ｂ等のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元Ａ₀ ，Ａ₁ ，Ｂ₀ ，Ｂ₁ ，Ｃ₀ ，Ｃ₁ 等による表現である。
【０１２８】
装置２１ＡはＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ−Ｂを出力する装置の構成の一例を表している。
装置２１Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２１Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２１Ｃ
からなる。
【０１２９】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図５６に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０１３０】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２１Ｂは、入力のＡ₀ およびＢ₀ に対してＣ₀ ←Ａ₀ −Ｂ₀ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２１Ｃは、入力のＡ₁ およびＢ₁ に対してＣ₁ ←Ａ₁ −Ｂ₁ を計算してＣ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ−Ｂとして出力する。
【０１３１】
一般にｓ_i 個のＧＦ（ｑ_i-1 ）の元の組であらわされたＧＦ（ｑ_i ）の元ａ＝（ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_si-1）およびｂ＝（ｂ₀ ，ｂ₁ ，…，ｂ_si-1）が入力されると、ａ−ｂ＝（ａ₀ −ｂ₀ ，ａ₁ −ｂ₁ ，…，ａ_si-1−ｂ_si-1）を演算して出力する。
ＧＦ（ｑ_n ）乗算器２２Ａ
図２２に「ＧＦ（ｑ_n ）乗算器」を示す。
【０１３２】
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）のｍ次既約多項式ｆ（ｘ）による拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の乗算器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。この説明では簡単のためｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
この説明および、図２２においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）およびＡ×Ｂ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は多項式基底によるＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の元のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元による表現であり、１およびα（但しｆ（α）＝０）を基底とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ ＋Ａ₁ αおよびＢ＝Ｂ₀ ＋Ｂ₁ αおよびＡ×Ｂ＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ αを意味している。
【０１３３】
装置２２ＡはＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）（ｆ（ｘ）＝ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ×Ｂを出力する装置の構成の一例を表している。
Ａ×Ｂ＝（Ａ₀ ＋Ａ₁ ）（Ｂ₀ ＋Ｂ₁ α）＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ αに対し３／４法を適用すると、
Ａ×Ｂ＝Ａ₀ Ｂ₀ ＋（（Ａ₀ ＋Ａ₁ ）（Ｂ₀ ＋Ｂ₁ ）−Ａ₀ Ｂ₀ −Ａ₁ Ｂ₁ ）α＋Ａ₁ Ｂ₁ α² となり、ｆ（α）＝０、つまりα² −ｓ_n α−ｔ_n ＝０であるからα² ＝ｓ_n α＋ｔ_n を３／４法を適用したＡ×Ｂのα² の項に代入すると、つまりｆ（α）の剰余をとることにより、
Ａ×Ｂ＝Ａ₀ Ｂ₀ ＋Ａ₁ Ｂ₁ ｔ_n ＋（（Ａ₀ ＋Ａ₁ ）（Ｂ₀ ＋Ｂ₁ ）−Ａ₀ Ｂ₀ ＋（ｓ_n −１）Ａ₁ Ｂ₁ ）α
となり、
Ｃ₀ ＝Ａ₀ Ｂ₀ ＋Ａ₁ Ｂ₁ ｔ_n
Ｃ₁ ＝（Ａ₀ ＋Ａ₁ ）（Ｂ₀ ＋Ｂ₁ ）−Ａ₀ Ｂ₀ ＋（ｓ_n −１）Ａ₁ Ｂ₁
を演算すればよい。この演算を行う装置２２Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２２Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２２Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２２Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２２Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２２Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２２Ｇ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２２Ｈ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２２Ｉ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２２Ｊ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２２Ｋ
からなる。
【０１３４】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２２Ｇは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成されＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｔ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１３５】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２２Ｉは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上の（ｓ_n −１）倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１３６】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図５７に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０１３７】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２２Ｂは入力のＡ₀ およびＢ₀ に対してＬ₀ ←Ａ₀ ×Ｂ₀ を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２２Ｄは入力のＡ₀ およびＡ₁ に対してＬ₁ ←Ａ₀ ＋Ａ₁ を計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２２Ｅは入力のＢ₀ およびＢ₁ に対してＬ₂ ←Ｂ₀ ＋Ｂ₁ を計算してＬ₂ を出力する。
【０１３８】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２２Ｃは入力のＡ₁ およびＢ₁ に対してＬ₃ ←Ａ₁ ×Ｂ₁ を計算してＬ₃ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２２Ｆは入力のＬ₁ およびＬ₂ に対してＬ₄ ←Ｌ₁ ×Ｌ₂ を計算してＬ₄ を出力する。
Ｓｔｅｐ６：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２２Ｇは入力のＬ₃ に対してＬ₅ ←ｔ_n Ｌ₃ を計算してＬ₅ を出力する。
【０１３９】
Ｓｔｅｐ７：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２２Ｈは入力のＬ₀ およびＬ₄ に対してＬ₆ ←Ｌ₄ −Ｌ₀ を計算してＬ₆ を出力する。
Ｓｔｅｐ８：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２２Ｉは入力のＬ₃ に対してＬ₇ ←（ｓ_n −１）Ｌ₃ を計算してＬ₇ を出力する。
Ｓｔｅｐ９：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２２Ｊは入力のＬ₀ およびＬ₅ に対してＣ₀ ←Ｌ₀ ＋Ｌ₅ を計算してＣ₀ を出力する。
【０１４０】
Ｓｔｅｐ１０：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２２Ｋは入力のＬ₆ およびＬ₇ に対してＣ₁ ←Ｌ₆ ＋Ｌ₇ を計算してＣ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ１１：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ×Ｂとして出力する。
なお、一般的にａ＝（ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_s-1 ）、ｂ＝（ｂ₀ ，ｂ₁ ，…，ｂ_s-1 ）が入力され、ａ（α）＝ａ₀ ＋ａ₁ α＋ａ₂ α² ＋…＋ａ_s-1 α^si-1＝Ａ₀ （α）＋Ａ₁ （α）α^s'
ｂ（α）＝ｂ₀ ＋ｂ₁ α＋ｂ₂ α² ＋…＋ｂ_s-1 α^si-1＝Ｂ₀ （α）＋Ｂ₁ （α）α^s'
ｃ（α）＝ｃ₀ ＋ｃ₁ α＋ｃ₂ α² ＋…＋ｃ_si-1α^si-1
とし、ただしｓ¹ はｓ_i ／２に近い整数でＡ_i ，Ｂ_i はｓ＋１次以下の多項式である。この時、

）を演算する。
【０１４１】
この際３／４法を適用し、かつmod ｆ（α）をとることによりα^2s' の項はα^s'の項となり、ｆ（ｘ）が２次式の場合と同様にＧＦ（ｑ_i-1 ）上の乗算回数を約３／４にすることができる。
ＧＦ（ｑ_n ）乗算器２３Ａ
図２３に「ＧＦ（ｑ_n ）乗算器」（正規基底）の例を示す。
【０１４２】
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）のｍ次拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の乗算器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。
この説明では特にｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
この説明および、図２３においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）およびＡ×Ｂ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は正規基底によるＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の元のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元による表現であり、基底をα₀ およびα₁ とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ α₀ ＋Ａ₁ α₁ およびＢ＝Ｂ₀ α₀ ＋Ｂ₁ α₁ およびＡ×Ｂ＝Ｃ₀ α₀ ＋Ｃ₁ α₁ を意味している。
【０１４３】
全ての基底を解にもつＧＦ（ｑ_n-1 ）上ｍ次既約多項式をｆ（ｘ）＝ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n とする。
装置２３ＡはＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ×Ｂを出力する装置の構成の一例を表している。
【０１４４】
装置２３Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２３Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２３Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２３Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２３Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２３Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２３Ｇ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２３Ｈ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２３Ｉ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２３Ｊ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２３Ｋ
からなる。
【０１４５】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２３ＦおよびＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２３Ｈは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｓ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１４６】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２３Ｉは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上の（ｓ_n ^-1ｔ_n ）倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１４７】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図５８に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０１４８】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２３Ｂは入力のＡ₀ およびＢ₀ に対してＬ₀ ←Ａ₀ ×Ｂ₀ を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２３Ｄは入力のＡ₀ およびＡ₁ に対してＬ₁ ←Ａ₀ −Ａ₁ を計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２３Ｅは入力のＢ₀ およびＢ₁ に対してＬ₂ ←Ｂ₀ −Ｂ₁ を計算してＬ₂ を出力する。
【０１４９】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２３Ｃは入力のＡ₁ およびＢ₁ に対してＬ₃ ←Ａ₁ ×Ｂ₁ を計算してＬ₃ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２３Ｆは入力のＬ₀ に対してＬ₄ ←ｓ_n Ｌ₀ を計算してＬ₄ を出力する。
Ｓｔｅｐ６：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２３Ｇは入力のＬ₁ およびＬ₂ に対してＬ₅ ←Ｌ₁ ×Ｌ₂ を計算してＬ₅ を出力する。
【０１５０】
Ｓｔｅｐ７：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２３Ｈは入力のＬ₃ に対してＬ₆ ←ｓ_n Ｌ₃ を計算してＬ₆ を出力する。
Ｓｔｅｐ８：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２３Ｉは入力のＬ₅ に対してＬ₇ ←（ｓ_n ^-1ｔ_n ）Ｌ₅ を計算してＬ₇ を出力する。
Ｓｔｅｐ９：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２３Ｊは入力のＬ₄ およびＬ₇ に対してＣ₀ ←Ｌ₄ ＋Ｌ₇ を計算してＣ₀ を出力する。
【０１５１】
Ｓｔｅｐ１０：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２３Ｋは入力のＬ₆ およびＬ₇ に対してＣ₁ ←Ｌ₆ ＋Ｌ₇ を計算してＣ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ１１：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ×Ｂとして出力する。
一般にａ＝（ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_si-1）、ｂ＝（ｂ₀ ，ｂ₁ ，…，ｂ_si-1）が入力された場合は、
【０１５２】
【数１２】

とし、ただしｓ’はｑ^si/2に近い整数、Ａ_i ，Ｂ_i はｓ’次以下の多項式とし、

を演算する。
【０１５３】
この場合もこの式にｆ（α）の剰余をとり、α^2s'-1 の項をα^s'の項として乗算回数を減らすことができる。
ＧＦ（ｑ_n ）自乗器２４Ａ
図２４に「ＧＦ（ｑ_n ）自乗器」の例を示す。
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｍ次既約多項式ｆ（ｘ）による拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の自乗器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。この説明では簡単のためｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
【０１５４】
この説明および、図２４においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＡ² ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は多項式基底によるＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の元のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元による表現であり、１およびα（但しｆ（α）＝０）を基底とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ ＋Ａ₁ αおよびＡ² ＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ αを意味している。
【０１５５】
装置２４ＡはＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）（ｆ（ｘ）＝ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ² を出力する装置の構成の一例を表している。Ａ² ＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ α＝Ａ₀ ²＋Ａ₁ ²α² ＋２Ａ₀ Ａ₁ α（mod ｆ（α））に対しα² ＝ｓ_n α＋ｔ_n の関係を代入するとＡ² ＝（Ａ₀ ²＋ｔ_n Ａ₁ ²）＋（２Ａ₀ Ａ₁ ＋ｓ_n Ａ₁ ²）αとなり、ＧＦ（ｑ_n-1 ）の元でＡ² を演算することができる。
【０１５６】
装置２４Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２４Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２４Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２４Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２４Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２４Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２４Ｇ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２４Ｈ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２４Ｉ
からなる。
【０１５７】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２４Ｅは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｔ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１５８】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２４Ｆは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上の２倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１５９】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２４Ｇは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｓ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１６０】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図５９に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０１６１】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２４Ｂは入力のＡ₀ に対してＬ₀ ←Ａ₀ ²を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２４Ｃは入力のＡ₀ およびＡ₁ に対してＬ₁ ←Ａ₀ ×Ａ₁ を計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２４Ｄは入力のＡ₁ に対してＬ₂ ←Ａ₁ ²を計算してＬ₂ を出力する。
【０１６２】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２４Ｅは入力のＬ₂ に対してＬ₃ ←ｔ_n Ｌ₂ を計算してＬ₃ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２４Ｆは入力のＬ₁ に対してＬ₄ ←２Ｌ₁ を計算してＬ₄ を出力する。
Ｓｔｅｐ６：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２４Ｇは入力のＬ₂ に対してＬ₅ ←ｓ_n Ｌ₂ を計算してＬ₅ を出力する。
【０１６３】
Ｓｔｅｐ７：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２４Ｈは入力のＬ₀ およびＬ₃ に対してＣ₀ ←Ｌ₀ ＋Ｌ₃ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ８：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２４Ｉは入力のＬ₄ およびＬ₅ に対してＣ₁ ←Ｌ₄ ＋Ｌ₅ を計算してＣ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ９：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ² として出力する。
【０１６４】
一般的にはａ＝（ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_si-1）が入力され、
【０１６５】
【数１３】

の演算を行ない、ｆ（α）により剰余をとることによりｃを求め、乗算装置で自乗を行なう場合にくらべて少ない回数のＧＦ（ｑ_i-1 ）上の乗算で自乗を演算することができる。
ＧＦ（ｑ_n ）自乗器２５Ａ
図２５に「ＧＦ（ｑ_n ）自乗器」（多項式規定）の例を示す。
【０１６６】
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｍ次既約多項式ｆ（ｘ）による拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の自乗器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。この説明では簡単のためｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
この説明および、図２５においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＡ² ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は多項式基底によるＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の元のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元による表現であり、１およびα（但しｆ（α）＝０）を基底とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ ＋Ａ₁ αおよびＡ² ＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ αを意味している。
【０１６７】
装置２５ＡはＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）（ｆ（ｘ）＝ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ² を出力する装置の構成の一例を表している。つまりＡ＝Ａ₀ ＋Ａ₁ αとしてＡ² ＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ αなる自乗に対し３／４法を適用し、かつα² ＝ｓ_n α＋ｔ_n の関係を用い、つまりｆ（α）の剰余演算を用いることによりこのＧＦ（ｑ_n ）自乗算器はＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器およびＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器およびＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器およびＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器のみで構成されＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器を必要としない。
【０１６８】
装置２５Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２５Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２５Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２５Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２５Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２５Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２５Ｇ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２５Ｈ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２５Ｉ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２５Ｊ
からなる。
【０１６９】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２５Ｆは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｔ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１７０】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２５Ｈは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上の（ｓ_n −１）倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１７１】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図６０に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０１７２】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２５Ｂは入力のＡ₀ に対してＬ₀ ←Ａ₀ ²を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２５Ｃは入力のＡ₀ およびＡ₁ に対してＬ₁ ←Ａ₀ ＋Ａ₁ を計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２５Ｄは入力のＡ₁ に対してＬ₂ ←Ａ₁ ²を計算してＬ₂ を出力する。
【０１７３】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２５Ｅは入力のＬ₁ に対してＬ₃ ←Ｌ₁ ²を計算してＬ₃ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２５Ｆは入力のＬ₂ に対してＬ₄ ←ｔ_n Ｌ₂ を計算してＬ₄ を出力する。
Ｓｔｅｐ６：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２５Ｇは入力のＬ₀ およびＬ₃ に対してＬ₅ ←Ｌ₃ −Ｌ₀ を計算してＬ₅ を出力する。
【０１７４】
Ｓｔｅｐ７：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２５Ｈは入力のＬ₂ に対してＬ₆ ←（ｓ_n −１）Ｌ₂ を計算してＬ₆ を出力する。
Ｓｔｅｐ８：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２５Ｉは入力のＬ₀ およびＬ₄ に対してＣ₀ ←Ｌ₀ ＋Ｌ₄ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ９：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２５Ｊは入力のＬ₅ およびＬ₆ に対してＣ₁ ←Ｌ₅ ＋Ｌ₆ を計算してＣ₁ を出力する。
【０１７５】
Ｓｔｅｐ１０：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ² として出力する。
一般的にはａ＝（ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_si-1）が入力される場合は、

とし、ただしｓ’はｓ_i ／２に近い整数で、Ａ_i はｓ’＋１次以下の多項式とし、

の演算を行い、ｆ（α）により剰余をとることによりＧＦ（ｑ_i-1 ）上の乗算の自乗におきかえ、かつ、３／４法を適用して演算回数を減少することができる。ＧＦ（ｑ_n ）自乗器２６Ａ
図２６に「ＧＦ（ｑ_n ）自乗器」（多項式基底）の他の例を示す。
【０１７６】
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｍ次既約多項式ｆ（ｘ）による拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の自乗器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。この説明ではｍ＝２の場合を記述する。
この説明および、図２６においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＡ² ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は多項式基底によるＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の元のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元による表現であり、１およびα（但しｆ（α）＝０）を基底とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ ＋Ａ₁ αおよびＡ² ＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ αを意味している。
【０１７７】
装置２６ＡはＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）（ｆ（ｘ）＝ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ² を出力する装置の構成の一例を表している。この説明ではｓ_n ＝０，ｔ_n ＝−ｕ² の場合を記述する。つまりＡ² ＝Ａ₀ ²＋２Ａ₁ Ａ₀ α＋Ａ₁ ²α² （mod ｆ（α））にα² ＝ｓ_n α＋ｔ_n ，ｓ_n ＝０，ｔ_n ＝−ｕ² の関係を代入するとＡ² ＝Ａ₀ ²−ｕ² Ａ₁ ²＋２Ａ₀ Ａ₁ α＝（Ａ₀ −ｕＡ₁ ）（Ａ₀ ＋ｕＡ₁ ）＋２Ａ₀ Ａ₁ αとなり、これを演算すればよい。
【０１７８】
装置２６Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２６Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２６Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２６Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２６Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２６Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２６Ｇ
からなる。
【０１７９】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２６Ｂは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｔ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１８０】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２６Ｇは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上の（ｓ_n −１）倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１８１】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図６１に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０１８２】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２６Ｂは入力のＡ₁ に対してＬ₀ ←ｕＡ₁ を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２６Ｃは入力のＡ₀ およびＬ₀ に対してＬ₁ ←Ａ₀ ＋Ｌ₀ を計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２６Ｄは入力のＡ₀ およびＬ₀ に対してＬ₂ ←Ａ₀ −Ｌ₀ を計算してＬ₂ を出力する。
【０１８３】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２６Ｅは入力のＡ₀ およびＡ₁ に対してＬ₃ ←Ａ₀ ×Ａ₁ を計算してＬ₃ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２６Ｆは入力のＬ₁ およびＬ₂ に対してＣ₀ ←Ｌ₁ ×Ｌ₂ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ６：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２６Ｇは入力のＬ₃ に対してＣ₁ ←２Ｌ₃ を計算してＣ₁ を出力する。
【０１８４】
Ｓｔｅｐ７：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ² として出力する。
ＧＦ（ｑ_n ）自乗器２７Ａ
図２７に「ＧＦ（ｑ_n ）自乗器」（正規基底）の他の例を示す。
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）のｍ次拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の自乗器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。
【０１８５】
この説明では特にｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
この説明および、図２７においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＡ² ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は正規基底によるＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の元のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元による表現であり、基底をα₀ およびα₁ とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ α₀ ＋Ａ₁ α₁ およびＡ² ＝Ｃ₀ α₀ ＋Ｃ₁ α₁ を意味している。
【０１８６】
全ての基底を解にもつＧＦ（ｑ_n-1 ）上ｍ次既約多項式をｆ（ｘ）＝ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n とする。
装置２７ＡはＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ² を出力する装置の構成の一例を表している。この装置は（Ａ₀ ²ｓ_n ＋（Ａ₀ −Ａ₁ ）² ｔ_n ／ｓ_n ）α₀ ＋（Ａ₁ ²ｓ_n ＋（Ａ₀ −Ａ₁ ）² ｔ_n ／ｓ_n ）α₁ を演算し、ＧＦ（ｑ_n ）自乗算器はＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器およびＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器およびＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器およびＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器のみで構成されＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器を必要としない。
【０１８７】
装置２７Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２７Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２７Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２７Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２７Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２７Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２７Ｇ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２７Ｈ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２７Ｉ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２７Ｊ
からなる。
【０１８８】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２７ＦおよびＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２７Ｈは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｓ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１８９】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２７Ｇは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上の（ｓ_n ^-1ｔ_n ）倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０１９０】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図６２に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０１９１】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２７Ｂは入力のＡ₀ に対してＬ₀ ←Ａ₀ ²を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２７Ｃは入力のＡ₀ およびＡ₁ に対してＬ₁ ←Ａ₀ −Ａ₁ を計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２７Ｄは入力のＡ₁ に対してＬ₂ ←Ａ₁ ²を計算してＬ₂ を出力する。
【０１９２】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２７Ｅは入力のＬ₁ に対してＬ₃ ←Ｌ₁ ²を計算してＬ₃ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２７Ｆは入力のＬ₀ に対してＬ₄ ←ｓ_n Ｌ₀ を計算してＬ₄ を出力する。
Ｓｔｅｐ６：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２７Ｇは入力のＬ₃ に対してＬ₅ ←（ｓ_n ^-1ｔ_n ）Ｌ₃ を計算してＬ₅ を出力する。
【０１９３】
Ｓｔｅｐ７：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２７Ｈは入力のＬ₂ に対してＬ₆ ←ｓ_n Ｌ₂ を計算してＬ₆ を出力する。
Ｓｔｅｐ８：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２７Ｉは入力のＬ₄ およびＬ₅ に対してＣ₀ ←Ｌ₄ ＋Ｌ₅ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ９：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２７Ｊは入力のＬ₅ およびＬ₆ に対してＣ₁ ←Ｌ₅ ＋Ｌ₆ を計算してＣ₁ を出力する。
【０１９４】
Ｓｔｅｐ１０：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ² として出力する。
このようにＧＦ（ｑ_i-1 ）上の自乗３回と定数倍（ｔ_n ／ｓ_n 倍およびｓ_n 倍）によってＡ² を求めることができる。
なお一般的にａ＝（ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_si-1）が入力された場合、
【０１９５】
【数１４】

とし、ただしｓ’＝ｑ^si/2に近い整数で、Ａ_i はｓ’次以下の多項式とし、

を演算して、つまりＧＦ（ｑ_i-1 ）上の乗算を自乗で置きかえることができる。
【０１９６】
ＧＦ（ｑ_n ）逆元器２８Ａ
図２８に「ＧＦ（ｑ_n ）逆元器」（多項式基底）の例を示す。
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｍ次既約多項式ｆ（ｘ）による拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の逆元器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。本説明では簡単のためｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
【０１９７】
この説明および、図２８においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＡ^-1＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は多項式基底によるＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の元のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元による表現であり、１およびα（但しｆ（α）＝０）を基底とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ ＋Ａ₁ αおよびＡ^-1＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ αを意味している。
【０１９８】
装置２８ＡはＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）（ｆ（ｘ）＝ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ^-1を出力する装置の構成の一例を表している。いま多項式基底でＧＦ（ｑ_i ）の任意の元Ｂ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）＝Ｂ₀ ＋Ｂ₁ αとし、Ａ×Ｂ＝Ｃ＝Ａ₀ Ｂ₀ ＋（Ａ₀ Ｂ₁ ＋Ａ₁ Ｂ₀ ）α＋Ａ₁ Ｂ₁ α² となり、ｆ（α）の剰余をとり、つまりα² ＝ｓ_n α＋ｔ_n を代入すると、
Ａ×Ｂ＝（Ａ₀ Ｂ₀ ＋ｔ_n Ａ₁ Ｂ₁ ）＋（Ａ₀ Ｂ₁ ＋Ａ₁ Ｂ₀ ＋ｓ_n Ａ₁ Ｂ₁ ）α
となり、
Ｃ₀ ＝Ａ₀ Ｂ₀ ＋ｔ_n Ａ₁ Ｂ₁
Ｃ₁ ＝Ａ₀ Ｂ₁ ＋Ａ₁ Ｂ₀ ＋ｓ_n Ａ₁ Ｂ₁
となる。これを行列で表わすと、
即ち

となり、

とすると、
【０１９９】
【数１５】

となり、

を計算することによりＡ^-1を求めることができる。
【０２００】
装置２８Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２８Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２８Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２８Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２８Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２８Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２８Ｇ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）逆元器２８Ｈ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２８Ｉ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２８Ｊ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２８Ｋ
からなる。
【０２０１】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２８Ｂは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｓ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０２０２】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２８Ｆは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｔ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０２０３】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２８Ｋは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上の−１倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０２０４】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図６３に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０２０５】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２８Ｂは入力のＡ₁ に対してＬ₀ ←ｓ_n Ａ₁ を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２８Ｃは入力のＡ₁ に対してＬ₁ ←Ａ₁ ²を計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器２８Ｄは入力のＡ₀ およびＬ₀ に対してＬ₂ ←Ａ₀ ＋Ｌ₀ を計算してＬ₂ を出力する。
【０２０６】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２８Ｅは入力のＡ₀ およびＬ₂ に対してＬ₃ ←Ａ₀ Ｌ₂ を計算してＬ₃ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２８Ｆは入力のＬ₁ に対してＬ₄ ←ｔ_n Ｌ₁ を計算してＬ₄ を出力する。
Ｓｔｅｐ６：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２８Ｇは入力のＬ₃ およびＬ₄ に対してＬ₅ ←Ｌ₃ −Ｌ₄ を計算してＬ₅ を出力する。
【０２０７】
Ｓｔｅｐ７：ＧＦ（ｑ_n-1 ）逆元器２８Ｈは入力のＬ₅ に対してＬ₆ ←Ｌ₅ ^-1を計算してＬ₆ を出力する。
Ｓｔｅｐ８：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２８Ｉは入力のＬ₂ およびＬ₆ に対してＣ₀ ←Ｌ₂ ×Ｌ₆ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ９：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２８Ｊは入力のＬ₆ およびＡ₁ に対してＬ₇ ←Ｌ₆ ×Ａ₁ を計算してＬ₇ を出力する。
【０２０８】
Ｓｔｅｐ１０：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２８Ｊは入力のＬ₇ に対してＣ₁ ←−Ｌ₇ を計算してＣ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ１１：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ^-1として出力する。
一般的にＡ＝（Ａ₁ ，Ａ₂ ，…，Ａ_si-1）が入力された場合は、任意のＧＦ（ｑ_i ）の元Ｂ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ，…，Ｂ_si-1）に対しＣ＝ＡＢ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ，…，Ｃ_si-1）として

意のｂに対してなりたつような行列ＧをＡおよび最小多項式ｆ（ｘ）を用いて構成し、

を演算してＡ^-1を求める。
ＧＦ（ｑ_n ）逆元器２９Ａ
図２９に「ＧＦ（ｑ_n ）逆元器」（正規基底）を示す。
【０２０９】
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）のｍ次拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の逆元器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。
この説明では特にｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
この説明および、図２９においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＡ^-1＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は正規基底によるＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の元のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元による表現であり、基底をα₀ およびα₁ とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ α₀ ＋Ａ₁ α₁ およびＡ^-1＝Ｃ₀ α₀ ＋Ｃ₁ α₁ を意味している。
【０２１０】
全ての基底を解にもつＧＦ（ｑ_n-1 ）上ｍ次既約多項式をｆ（ｘ）＝ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n とする。
装置２９ＡはＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ^-1を出力する装置の構成の一例を表している。またＡの共役元Ａ′＝Ａ₁ α₀ ＋Ａ₀ α₁ とＡの積、つまりノルムＮ＝Ａ×Ａ′を求めるとＮ＝Ａ₀ Ａ₁ α₀ ²＋（Ａ₁ ²＋Ａ₀ ²）α₀ α₁ ＋Ａ₀ Ａ₁ α₁ ²α₀ 、α₁ はｆ（ｘ）＝ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n の根であるから、α₀ ²＝ｓ_n α₀ ＋ｔ_n 、α₁ ²＝ｓ_n α₁ ＋ｔ_n の関係をＮの式に代入すると、
Ｎ＝Ａ₀ Ａ₁ （ｓ_n α₀ ＋ｓ_n α₁ ＋２ｔ_n ）＋（Ａ₁ ²＋Ａ₀ ²）α₁ α₂
ｆ（ｘ）＝（ｘ−α₁ ）（ｘ−α₀ ）の関係からｔ_n ＝α₁ α₀ であり、これをＮの式に代入すると
Ｎ＝Ａ₀ Ａ₁ ｓ_n ² −（Ａ₀ −Ａ₁ ）² ｔ_n
となる。Ａ×Ａ′＝ＮであるからＡ^-1＝Ａ′／Ｎであり、Ｎ＝（（Ａ₀ Ａ₁ ｓ_n ² ＋（Ａ₀ −Ａ₁ ）² ｔ_n ）^-1を求め、Ａ^-1＝（Ａ₁ Ｎ，Ａ₀ Ｎ）を求めればよい。
【０２１１】
装置２９Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２９Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２９Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２９Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２９Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２９Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２９Ｇ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）逆元器２９Ｈ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２９Ｉ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２９Ｊ
からなる。
【０２１２】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２９Ｄは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｓ_n ² 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０２１３】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２９Ｆは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｔ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０２１４】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図６４を示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０２１５】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２９Ｂは入力のＡ₀ およびＡ₁ に対してＬ₀ ←Ａ₀ ×Ａ₁ を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２９Ｃは入力のＡ₀ およびＡ₁ に対してＬ₁ ←Ａ₀ −Ａ₁ を計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２９Ｄは入力のＬ₀ に対してＬ₂ ←ｓ_n ² Ｌ₀ を計算してＬ₂ を出力する。
【０２１６】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_n-1 ）自乗器２９Ｅは入力のＬ₁ に対してＬ₃ ←Ｌ₁ ²を計算してＬ₃ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器２９Ｆは入力のＬ₃ に対してＬ₄ ←ｔ_n Ｌ₃ を計算してＬ₄ を出力する。
Ｓｔｅｐ６：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器２９Ｇは入力のＬ₂ およびＬ₄ に対してＬ₅ ←Ｌ₂ −Ｌ₄ を計算してＬ₅ を出力する。
【０２１７】
Ｓｔｅｐ７：ＧＦ（ｑ_n-1 ）逆元器２９Ｈは入力のＬ₅ に対してＬ₆ ←Ｌ₅ ^-1を計算してＬ₆ を出力する。
Ｓｔｅｐ８：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２９Ｉは入力のＡ₀ およびＬ₆ に対してＣ₁ ←Ａ₀ ×Ｌ₆ を計算してＣ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ９：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器２９Ｊは入力のＬ₆ およびＡ₁ に対してＣ₀ ←Ｌ₆ ×Ａ₁ を計算してＣ₀ を出力する。
【０２１８】
Ｓｔｅｐ１０：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ^-1として出力する。
一般にａ＝（ａ₀ ，ａ₁ ，…，ａ_si-1）が入力された場合はａのノルムＮ（ａ）を求めその逆数Ｎ（ａ）^-1にａの共役元
【０２１９】
【数１６】

を乗算すればａの逆元ａ ^-1が求まる。
ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３０Ａ
図３０に「ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器」を示す。
この装置はＧＦ（ｑ_i-1 ）のｍ次拡大ＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）上の定数倍器のＧＦ（ｑ_i-1 ）上演算装置による一構成例である。
【０２２０】
ＢをＧＦ（ｑ_i ）上の定数とする。
この説明では簡単のためｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
この説明および、図３０におけるＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ×Ａ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）等の記述はＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）上の元ＡおよびＢ×Ａ等のＧＦ（ｑ_i-1 ）上の元Ａ₀ ，Ａ₁ ，Ｃ₀ ，Ｃ₁ 等による表現である。
【０２２１】
装置３０ＡはＧＦ（ｑ_i ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_i ）上の元Ｂ×Ａ（但しＢ∈ＧＦ（ｑ_i-1 ））を出力する装置の構成の一例を表している。
装置３０Ａは
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３０Ｂ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３０Ｃ
からなる。
【０２２２】
ＧＦ（ｑ_i-1 ）上のＢ倍はＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３０ＢおよびＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３０Ｃによって高速に実行可能であるとする。
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図６５に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０２２３】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３０Ｂは、入力のＡ₀ に対してＣ₀ ←Ｂ×Ａ₀ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３０Ｃは、入力のＡ₁ に対してＣ₁ ←Ｂ×Ａ₁ を計算してＣ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＢ×Ａとして出力する。
ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３１Ａ
図３１に「ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器」（多項式基底）を示す。
【０２２４】
この装置はＧＦ（ｑ_i-1 ）上のｍ次既約多項式ｆ（ｘ）による拡大ＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の定数倍器のＧＦ（ｑ_i-1 ）上演算装置による一構成例である。
ＢをＧＦ（ｑ_i ）上の定数とする。
この説明では簡単のためｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
【０２２５】
この説明および、図３１においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ×Ａ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は多項式基底によるＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の元のＧＦ（ｑ_i-1 ）上の元による表現であり、１およびα（但しｆ（α）＝０）を基底とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ ＋Ａ₁ αおよびＢ×Ａ＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ αを意味している。
【０２２６】
装置３１ＡはＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ）〔ｘ〕／（ｘ² −ｓ_i ｘ−ｔ_i ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_i ）上の元Ｂ×Ａ（但しＢ＝α）を出力する装置の構成の一例を表している。
装置３１Ａは
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３１Ｂ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３１Ｃ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）加算器３１Ｄ
からなる。
【０２２７】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図６６に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０２２８】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３１Ｂは入力のＡ₁ に対してＬ₀ ←ｓ_i Ａ₁ を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３１Ｃは入力のＡ₁ に対してＣ₀ ←ｔ_i Ａ₁ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_i-1 ）加算器３１Ｄは入力のＡ₀ およびＬ₀ に対してＣ₁ ←Ａ₀ ＋Ｌ₀ を計算してＣ₁ を出力する。
【０２２９】
Ｓｔｅｐ４：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＢ×Ａとして出力する。
ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３２Ａ
図３２に「ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器」（多項式基底）の他の例を示す。
この装置はＧＦ（ｑ_i-1 ）上のｍ次既約多項式ｆ（ｘ）による拡大ＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の定数倍器のＧＦ（ｑ_i-1 ）上演算装置による一構成例である。
【０２３０】
ＢをＧＦ（ｑ_i ）上の定数とする。
この説明では簡単のためｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
この説明および、図３２においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ×Ａ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は多項式基底によるＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の元のＧＦ（ｑ_i-1 ）上の元による表現であり、１およびα（但しｆ（α）＝０）を基底とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ ＋Ａ₁ αおよびＢ×Ａ＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ αを意味している。
【０２３１】
装置３２ＡはＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ）〔ｘ〕／（ｘ² −ｓ_i ｘ−ｔ_i ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_i ）上の元Ｂ×Ａ（但しＢ＝α^* ；α^* はαの共役元）を出力する装置の構成の一例を表している。
装置３２Ａは
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３２Ｂ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３２Ｃ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３２Ｄ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）減算器３２Ｅ
からなる。
【０２３２】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図６７に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０２３３】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３２Ｂは入力のＡ₀ に対してＣ₁ ←−Ａ₀ を計算してＣ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３２Ｃは入力のＡ₀ に対してＬ₀ ←ｓ_i Ａ₀ を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３２Ｄは入力のＡ₁ に対してＬ₁ ←ｔ_i Ａ₁ を計算してＬ₁ を出力する。
【０２３４】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_i-1 ）減算器３２Ｄは入力のＬ₀ およびＬ₁ に対してＣ₀ ←Ｌ₀ −Ｌ₁ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＢ×Ａとして出力する。
ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３３Ａ
図３３に「ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器」（正規基底）を示す。
【０２３５】
この装置はＧＦ（ｑ_i-1 ）のｍ次拡大ＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）上の定数倍器のＧＦ（ｑ_i-1 ）上演算装置による一構成例である。
ＢをＧＦ（ｑ_i ）上の定数とする。
この説明では特にｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
【０２３６】
この説明および、図３３においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ×Ａ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は正規基底によるＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）上の元のＧＦ（ｑ_i-1 ）上の元による表現であり、基底をα₀ およびα₁ とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ α₀ ＋Ａ₁ α₁ およびＢ×Ａ＝Ｃ₀ α₀ ＋Ｃ₁ α₁ を意味している。
全ての基底を解にもつＧＦ（ｑ_i-1 ）上ｍ次既約多項式をｆ（ｘ）＝ｘ² −ｓ_i ｘ−ｔ_i とする。
【０２３７】
装置３３ＡはＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_i ）上の元Ｂ×Ａ（但しＢ＝α₀ ）を出力する装置の構成の一例を表している。
装置３３Ａは
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３３Ｂ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）減算器３３Ｃ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３３Ｄ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）加算器３３Ｅ
からなる。
【０２３８】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図６８に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０２３９】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３３Ｂは入力のＡ₀ に対してＬ₀ ←ｓ_i Ａ₀ を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_i-1 ）減算器３３Ｃは入力のＡ₀ およびＡ₁ に対してＬ₁ ←Ａ₀ −Ａ₁ を計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３３Ｄは入力のＬ₁ に対してＣ₁ ←（ｓ_i ^-1ｔ_i ）Ｌ₁ を計算してＣ₁ を出力する。
【０２４０】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_i-1 ）加算器３３Ｅは入力のＬ₀ およびＣ₁ に対してＣ₀ ←Ｌ₀ ＋Ｃ₁ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＢ×Ａとして出力する。
ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３４Ａ
図３４に「ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器」の他の例を示す。
【０２４１】
この装置はＧＦ（ｑ_i-1 ）のｍ次拡大ＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）上の定数倍器の一構成例である。
ＢをＧＦ（ｑ_i ）上の定数とする。
装置３４ＡはＧＦ（ｑ_i ）上の元Ａの入力に対してＧＦ（ｑ_i ）上の元Ｂ×Ａ（但しＢ＝Ｂ₀ ×Ｂ₁ ）を出力する装置の構成の一例を表している。
【０２４２】
装置３４Ａは
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３４Ｂ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３４Ｃ
からなる。
ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３４ＢおよびＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３４Ｃは図３０または図３１または図３２または図３３または図３４または図３５に示すように構成されており、ＧＦ（ｑ_i ）上のＢ₀ 倍およびＢ₁ 倍は高速に計算できるとする。（但し、ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３４ＢおよびＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３４Ｃの基底は全て同じか、あるいは入出力の際に適切な基底に変換されるとする。）
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図６９に示すフロー図に従って実行する。
【０２４３】
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３４Ｂは、入力のＡに対してＬ₀ ←Ｂ₀ ×Ａを計算してＬ₀ を出力する。
【０２４４】
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３４Ｃは、入力のＬ₀ に対してＣ←Ｂ₁ ×Ｌ₀ を計算してＣを出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＣをＢ×Ａとして出力する。
ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３５Ａ
図３５に「ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器」の更に他の例を示す。
【０２４５】
この装置はＧＦ（ｑ_i-1 ）のｍ次拡大ＧＦ（ｑ_i ）＝ＧＦ（ｑ_i-1 ^m ）上の定数倍器の一構成例である。
ＢをＧＦ（ｑ_i ）上の定数とする。
装置３５ＡはＧＦ（ｑ_i ）上の元Ａの入力に対してＧＦ（ｑ_i ）上の元Ｂ×Ａ（但しＢ＝Ｂ₀ ＋Ｂ₁ ）を出力する装置の構成の一例を表している。
【０２４６】
装置３５Ａは
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３５Ｂ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）定数倍器３５Ｃ
・ＧＦ（ｑ_i-1 ）加算器３５Ｄ
からなる。
【０２４７】
ＧＦ（ｑ_i-1 ）加算器３５Ｄは図２０に示すように構成されており、ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３５ＢおよびＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３５Ｃは図３０または図３１または図３２または図３３または図３４または図３５に示すように構成されており、ＧＦ（ｑ_i ）上のＢ₀ 倍およびＢ₁ 倍は高速に計算出来るとする。（但し、ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３５ＢおよびＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３５Ｃ、ＧＦ（ｑ_i ）加算器３５Ｄの各基底は全て同じか、あるいは入出力の際に適切な基底に変換されるとする。）
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図７０に示すフロー図に従って実行する。
【０２４８】
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３５Ｂは、入力のＡに対してＬ₀ ←Ｂ₀ ×Ａを計算してＬ₀ を出力する。
【０２４９】
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器３５Ｃは、入力のＡに対してＬ₁ ←Ｂ₁ ×Ａを計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_i ）加算器３５ＤがＣ←Ｌ₀ ＋Ｌ₁ を計算してＣを出力する。
Ｓｔｅｐ４：ＣをＢ×Ａとして出力する。
ＧＦ（ｑ_n ）乗算器７１Ａ
図７１に「ＧＦ（ｑ_n ）乗算器」（多項式基底）の他の例を示す。
【０２５０】
この装置はＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｍ次既約多項式ｆ（ｘ）による拡大ＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の乗算器のＧＦ（ｑ_n-1 ）上演算装置による一構成例である。この説明では簡単のためｍ＝２の場合を記述するが、同様の方法を一般のｍでも実現できる。
この説明および、図７１においてＡ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）およびＡ×Ｂ＝（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）は多項式基底によるＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ^m ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｆ（ｘ））上の元のＧＦ（ｑ_n-1 ）上の元による表現であり、１およびα（但しｆ（α）＝０）を基底とするとそれぞれＡ＝Ａ₀ ＋Ａ₁ αおよびＢ＝Ｂ₀ ＋Ｂ₁ αおよびＡ×Ｂ＝Ｃ₀ ＋Ｃ₁ αを意味している。
【０２５１】
装置７１ＡはＧＦ（ｑ_n ）＝ＧＦ（ｑ_n-1 ）〔ｘ〕／（ｘ² −ｓ_n ｘ−ｔ_n ）上の元Ａ＝（Ａ₀ ，Ａ₁ ）およびＢ＝（Ｂ₀ ，Ｂ₁ ）の入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ×Ｂを出力する装置の構成の一例を表している。
装置７１Ａは特にｓ_n ＝１の場合を記述している。
装置７１Ａは
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器７１Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器７１Ｃ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器７１Ｄ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器７１Ｅ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器７１Ｆ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器７１Ｇ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器７１Ｈ
・ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器７１Ｊ
からなる。
【０２５２】
ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器７１Ｇは図３０（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３１（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３２（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３３（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３４（ｉ＝ｎ−１の場合）または図３５（ｉ＝ｎ−１の場合）に示すように構成され、ＧＦ（ｑ_n-1 ）上のｔ_n 倍を加減算程度の速度か、それよりも高速に計算できる。
【０２５３】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図７２に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
【０２５４】
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器７１Ｂは入力のＡ₀ およびＢ₀ に対してＬ₀ ←Ａ₀ ×Ｂ₀ を計算してＬ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器７１Ｄは入力のＡ₀ およびＡ₁ に対してＬ₁ ←Ａ₀ ＋Ａ₁ を計算してＬ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器７１Ｅは入力のＢ₀ およびＢ₁ に対してＬ₂ ←Ｂ₀ ＋Ｂ₁ を計算してＬ₂ を出力する。
【０２５５】
Ｓｔｅｐ４：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器７１Ｃは入力のＡ₁ およびＢ₁ に対してＬ₃ ←Ａ₁ ×Ｂ₁ を計算してＬ₂ を出力する。
Ｓｔｅｐ５：ＧＦ（ｑ_n-1 ）乗算器７１Ｆは入力のＬ₁ およびＬ₂ に対してＬ₁ ←Ｌ₁ ×Ｌ₂ を計算してＬ₄ を出力する。
Ｓｔｅｐ６：ＧＦ（ｑ_n-1 ）定数倍器７１Ｇは入力のＬ₃ に対してＬ₅ ←ｔ_n Ｌ₃ を計算してＬ₅ を出力する。
【０２５６】
Ｓｔｅｐ７：ＧＦ（ｑ_n-1 ）減算器７１Ｈは入力のＬ₀ およびＬ₄ に対してＣ₁ ←Ｌ₄ −Ｌ₀ を計算してＣ₁ を出力する。
Ｓｔｅｐ８：ＧＦ（ｑ_n-1 ）加算器７１Ｊは入力のＬ₀ およびＬ₅ に対してＣ₀ ←Ｌ₀ ＋Ｌ₅ を計算してＣ₀ を出力する。
Ｓｔｅｐ９：（Ｃ₀ ，Ｃ₁ ）をＡ×Ｂとして出力する。
ＧＦ（ｑ_n ）除算器７３Ａ
図７３に「ＧＦ（ｑ_n ）除算器」の例を示す。
【０２５７】
この装置はＧＦ（ｑ_n ）上の除算器の一構成例である。
ＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ，Ｂの入力に対してＧＦ（ｑ_n ）上の元Ａ／Ｂを出力する装置の構成の一例を表している。
装置７３Ａは
・ＧＦ（ｑ_n ）逆元器７３Ｂ
・ＧＦ（ｑ_n ）乗算器７３Ｃ
からなる。
【０２５８】
この装置の動作をプログラムで実現する場合は、図７４に示すフロー図に従って実行する。
この装置では、以下のように演算が実行されるが、同時実行可能なステップは、並列に実行しても良い。また実行順序が交換可能なステップは実行順序を交換して良い。また同じ機能を持つ複数の装置による複数の演算は、装置を一元化して、順次演算を実行しても良い。
Ｓｔｅｐ１：ＧＦ（ｑ_n ）逆元器７３Ｂは、入力のＢに対してＬ₀ ←Ｂ^-1を計算してＬ₀ を出力する。
【０２５９】
Ｓｔｅｐ２：ＧＦ（ｑ_n ）乗算器７３Ｃは、入力のＡおよびＬ₀ に対してＣ←Ａ×Ｌ₀ を計算してＣを出力する。
Ｓｔｅｐ３：ＣをＡ／Ｂとして出力する。
上述の各実施例において、各機能をコンピュータによりプログラムを解読実行させて作用させることができる。
【０２６０】
【発明の効果】
ＧＦ（ｑ₀ ）上の加減算および定数倍演算が乗算に比べて無視できる場合は、ｍ次拡大体上の乗算を演算する場合、従来ｍ² 回のＧＦ（ｑ₀ ）上乗算が必要であったのに対して、この発明（逐次２次拡大の場合）によりｍのlog₂３乗、つまり約ｍ^1.585 回に減らす事ができた。従ってｍ＝４の場合４３．７５％、ｍ＝８の場合５７．８１％、ｍ＝１６の場合６８．３６％のＧＦ（ｑ₀ ）上乗算を削減する効果がある。また、ｍ次拡大体上の逆元を演算する場合、従来、ＧＦ（ｑ₀ ）上多項式に対する拡張Ｅｕｃｌｉｄ互除法により約２（ｍ² −１）回のＧＦ（ｑ₀ ）上乗算が必要であったのに対してこの発明（逐次２次拡大の場合）によりｍ² 回に減らす事ができた。従って約５０％のＧＦ（ｑ₀ ）上乗算を削減する効果がある。
【０２６１】
ＧＦ（ｑ₀ ）上の逆元演算が高速には実行できない場合でも、必要なＧＦ（ｑ₀ ）上の逆元演算の回数が１回で済むため、ＧＦ（ｑ₀ ）上の逆元演算の回数が約ｍ回必要なＧＦ（ｑ₀ ）上多項式に対する拡張Ｅｕｃｌｉｄ互除法と比較して約ｍ倍速である。
これらを楕円曲線上の演算に適用すれば、ｍ＝４〜１６の場合全体で約５０％のＧＦ（ｑ₀ ）上乗算の削減を見込める。
【図面の簡単な説明】
【図１】楕円曲線上のｋ倍演算装置を示す図。
【図２】楕円曲線上の加算装置を示す図。
【図３】楕円曲線上の倍算装置を示す図。
【図４】楕円二等分点判定器（２値座標）を示す図。
【図５】楕円二等分点判定器（３値座標）を示す図。
【図６】楕円逆元器（２値座標）を示す図。
【図７】楕円逆元器（３値座標）を示す図。
【図８】楕円比較装置を示す図。
【図９】楕円比較器（ａｆｆｉｎｅ座標）を示す図。
【図１０】楕円比較器（ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ座標）を示す図。
【図１１】楕円比較器（ｊａｃｏｂｉａｎ座標）を示す図。
【図１２】楕円加算器（ａｆｆｉｎｅ座標）を示す図。
【図１３】楕円倍算器（ａｆｆｉｎｅ座標）を示す図。
【図１４】楕円加算器（ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ座標）を示す図。
【図１５】楕円倍算器（ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ座標）を示す図。
【図１６】楕円加算器（ｊａｃｏｂｉａｎ座標）を示す図。
【図１７】楕円倍算器（ｊａｃｏｂｉａｎ座標）を示す図。
【図１８】この発明の要部である逐次拡大装置を示す図。
【図１９】ＧＦ（ｑ_i ）演算器の一般構成を示す図。
【図２０】ＧＦ（ｑ_n ）加算器示す図。
【図２１】ＧＦ（ｑ_n ）減算器示す図。
【図２２】ＧＦ（ｑ_n ）乗算器（多項式基底）を示す図。
【図２３】ＧＦ（ｑ_n ）乗算器（正規基底）を示す図。
【図２４】ＧＦ（ｑ_n ）自乗器（多項式基底）を示す図。
【図２５】ＧＦ（ｑ_n ）自乗器（多項式基底）の他の例を示す図。
【図２６】ＧＦ（ｑ_n ）自乗器（多項式基底）の更に他の例を示す図。
【図２７】ＧＦ（ｑ_n ）自乗器（正規基底）を示す図。
【図２８】ＧＦ（ｑ_n ）逆元器（多項式基底）を示す図。
【図２９】ＧＦ（ｑ_n ）逆元器（正規基底）を示す図。
【図３０】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器を示す図。
【図３１】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器（多項式基底）を示す図。
【図３２】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器（多項式基底）の他の例を示す図。
【図３３】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器（正規基底）の例を示す図。
【図３４】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器（直列）の例を示す図。
【図３５】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍器（並列）の例を示す図。
【図３６】楕円曲線上のｋ倍演算処理の流れ図。
【図３７】楕円曲線上の加算処理の流れ図。
【図３８】楕円曲線上の倍算処理の流れ図。
【図３９】楕円二等分点判定処理（２値座標）の流れ図。
【図４０】楕円二等分点判定処理（３値座標）の流れ図。
【図４１】楕円逆元処理（２値座標）の流れ図。
【図４２】楕円逆元処理（３値座標）の流れ図。
【図４３】楕円比較処理の流れ図。
【図４４】楕円比較処理（ａｆｆｉｎｅ座標）の流れ図。
【図４５】楕円比較処理（ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ座標）の流れ図。
【図４６】楕円比較処理（ｊａｃｏｂｉａｎ座標）の流れ図。
【図４７】楕円加算処理（ａｆｆｉｎｅ座標）の流れ図。
【図４８】楕円倍算処理（ａｆｆｉｎｅ座標）の流れ図。
【図４９】楕円加算処理（ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ座標）の流れ図。
【図５０】楕円倍算処理（ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ座標）の流れ図。
【図５１】楕円加算処理（ｊａｃｏｂｉａｎ座標）の流れ図。
【図５２】楕円倍算処理（ｊａｃｏｂｉａｎ座標）の流れ図。
【図５３】逐次拡大処理の流れ図。
【図５４】ＧＦ（ｑ_i ）演算処理の流れ図。
【図５５】ＧＦ（ｑ_n ）加算処理の流れ図。
【図５６】ＧＦ（ｑ_n ）減算処理の流れ図。
【図５７】ＧＦ（ｑ_n ）乗算処理（多項式基底）の流れ図。
【図５８】ＧＦ（ｑ_n ）乗算処理（正規基底）の流れ図。
【図５９】ＧＦ（ｑ_n ）自乗処理（多項式基底）の流れ図。
【図６０】ＧＦ（ｑ_n ）自乗処理（多項式基底）の流れ図。
【図６１】ＧＦ（ｑ_n ）自乗処理（多項式基底）の流れ図。
【図６２】ＧＦ（ｑ_n ）自乗処理（正規基底）の流れ図。
【図６３】ＧＦ（ｑ_n ）逆元処理（多項式基底）の流れ図。
【図６４】ＧＦ（ｑ_n ）逆元処理（正規基底）の流れ図。
【図６５】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍処理の流れ図。
【図６６】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍処理（多項式基底）の流れ図。
【図６７】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍処理（多項式基底）の流れ図。
【図６８】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍処理（正規基底）の流れ図。
【図６９】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍処理（直列）の流れ図。
【図７０】ＧＦ（ｑ_i ）定数倍処理（並列）の流れ図。
【図７１】ＧＦ（ｑ_n ）乗算器（ｓ_n ＝１）の構成を示す図。
【図７２】ＧＦ（ｑ_n ）乗算器（ｓ_n ＝１）の処理の流れ図。
【図７３】ＧＦ（ｑ_n ）除算器の構成を示す図。
【図７４】ＧＦ（ｑ_n ）除算器の処理の流れを示す図。

Claims (9)

1. ｐを奇素数または奇素数のべき乗とし、ｍを素数でない整数とした場合における、拡大体ＧＦ（ｐ^ｍ ）上の元が入力され、拡大体ＧＦ（ｐ^ｍ ）上の元を出力する拡大体上の演算装置であって、
   ｑ_０ ＝ｐ，ｑ_１ ＝ｐ^ｓ１，ｑ_２ ＝（ｐ^ｓ１）^ｓ２，…，ｑ_ｚ ＝（（（ｐ^ｓ１）^ｓ２）…）^ｓｚ＝ｐ ^ｍ とし、ｓ_１，ｓ_２， …，ｓ_ｚ をｍ＝ｓ _１ ｓ _２ …ｓ _ｚ を満たす値とし、ｎ＝１，２，．．．，ｚとした場合における、ＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元によって表されたＧＦ（ｑ _ｎ ）上の元の乗算又は自乗を３／４法を用いて行うＧＦ（ｑ _ｎ ）演算手段を有し、
   上記ＧＦ（ｑ _ｊ ）演算手段（ｊ＝２，３，．．．，ｚ）における乗算又は自乗結果がＧＦ（ｑ _ｊ−１ ）上の元の乗算又は自乗を含む場合に、この乗算又は自乗をさらに上記ＧＦ（ｑ _ｊ−１ ）演算手段が３／４法を用いて行う処理を繰り返す、
   ことを特徴とする逐次拡大を用いた楕円曲線演算装置。
2. 請求項１記載の演算装置であって、
   上記ＧＦ（ｑ _ｎ ）演算手段は、
   既約多項式ｘ ^２ −ｖ１ _ｎ ・ｘ−ｖ０ _ｎ ＝０（ｖ１ _ｎ 及びｖ０ _ｎ はＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元）の根αに対する多項式基底｛１，α｝を用い、ＧＦ（ｑ _ｎ ）上の元Ａ，Ｂ及びＡ×Ｂを、ＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元によって表現したものを、それぞれ（Ａ _０ ，Ａ _１ ），（Ｂ _０ ，Ｂ _１ ）及び（Ｃ _０ ，Ｃ _１ ）とした場合における、
   入力されたＡ _０ およびＢ _０ に対してＡ _０ ×Ｂ _０ を計算してその演算結果Ｌ _０ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）乗算器と、
   入力されたＡ _０ およびＡ _１ に対してＡ _０ ＋Ａ _１ を計算してその演算結果Ｌ _１ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   入力されたＢ _０ およびＢ _１ に対してＢ _０ ＋Ｂ _１ を計算してその演算結果Ｌ _２ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   入力されたＡ _１ およびＢ _１ に対してＡ _１ ×Ｂ _１ を計算してその演算結果Ｌ _３ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）乗算器と、
   入力されたＬ _１ およびＬ _２ に対してＬ _１ ×Ｌ _２ を計算してその演算結果Ｌ _４ を出力する第３のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）乗算器と、
   入力されたＬ _３ に対してｔ _ｎ ・Ｌ _３ を計算してその演算結果Ｌ _５ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _０ およびＬ _４ に対してＬ _４ −Ｌ _０ を計算してその演算結果Ｌ _６ を出力するＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）減算器と、
   入力されたＬ _３ に対して（ｓ _ｎ −１）・Ｌ _３ を計算してその演算結果Ｌ _７ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _０ およびＬ _５ に対してＬ _０ ＋Ｌ _５ を計算してその演算結果Ｃ _０ を出力する第３のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   入力されたＬ _６ およびＬ _７ に対してＬ _６ ＋Ｌ _７ を計算してその演算結果Ｃ _１ を出力する第４のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   を有するＧＦ（ｑ _ｎ ）乗算器であることを特徴とする逐次拡大を用いた楕円曲線演算装置。
3. 請求項１記載の演算装置であって、
   上記ＧＦ（ｑ _ｎ ）演算手段は、
   既約多項式ｘ ^２ −ｖ１ _ｎ ・ｘ−ｖ０ _ｎ ＝０（ｖ１ _ｎ 及びｖ０ _ｎ はＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元）の根αに対する正規基底｛α，α ^ｐ ｝を用い、ＧＦ（ｑ _ｎ ）上の元Ａ，Ｂ及びＡ×Ｂを、ＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元によって表現したものを、それぞれ（Ａ _０ ，Ａ _１ ），（Ｂ _０ ，Ｂ _１ ）及び（Ｃ _０ ，Ｃ _１ ）とした場合における、
   入力されたＡ _０ およびＢ _０ に対してＡ _０ ×Ｂ _０ を計算してその演算結果Ｌ _０ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）乗算器と、
   入力されたＡ _０ およびＡ _１ に対してＡ _０ −Ａ _１ を計算してその演算結果Ｌ _１ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）減算器と、
   入力されたＢ _０ およびＢ _１ に対してＢ _０ −Ｂ _１ を計算してその演算結果Ｌ _２ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）減算器と、
   入力されたＡ _１ およびＢ _１ に対してＡ _１ ×Ｂ _１ を計算してその演算結果Ｌ _３ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）乗算器と、
   入力されたＬ _０ に対してｓ _ｎ ・Ｌ _０ を計算してその演算結果Ｌ _４ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _１ およびＬ _２ に対してＬ _１ ×Ｌ _２ を計算してその演算結果Ｌ _５ を出力する第３のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）乗算器と、
   入力されたＬ _３ に対してｓ _ｎ ・Ｌ _３ を計算してその演算結果Ｌ _６ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _５ に対して（ｓ _ｎ ^−１ ・ｔ _ｎ ）・Ｌ _５ を計算してその演算結果Ｌ _７ を出力する第３のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _４ およびＬ _７ に対してＬ _４ ＋Ｌ _７ を計算してその演算結果Ｃ _０ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   入力されたＬ _６ およびＬ _７ に対してＬ _６ ＋Ｌ _７ を計算してその演算結果Ｃ _１ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   を有するＧＦ（ｑ _ｎ ）乗算器であることを特徴とする逐次拡大を用いた楕円曲線演算装置。
4. 請求項１記載の演算装置であって、
   上記ＧＦ（ｑ _ｎ ）演算手段は、
   既約多項式ｘ ^２ −ｖ１ _ｎ ・ｘ−ｖ０ _ｎ ＝０（ｖ１ _ｎ 及びｖ０ _ｎ はＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元）の根αに対する正規基底｛α，α ^ｐ ｝を用い、ＧＦ（ｑ _ｎ ）上の元Ａ及びＡ ^２ を、ＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元によって表現したものを、それぞれ（Ａ _０ ，Ａ _１ ）及び（Ｃ _０ ，Ｃ _１ ）とした場合における、
   入力されたＡ _０ に対してＡ _０ ^２ を計算してその演算結果Ｌ _０ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）自乗器と、
   入力されたＡ _０ およびＡ _１ に対してＡ _０ ＋Ａ _１ を計算してその演算結果Ｌ _１ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   入力されたＡ _１ に対してＡ _１ ^２ を計算してその演算結果Ｌ _２ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）自乗器と、
   入力されたＬ _１ に対してＬ _１ ^２ を計算してその演算結果Ｌ _３ を出力する第３のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）自乗器と、
   入力されたＬ _２ に対してｔ _ｎ ・Ｌ _２ を計算してその演算結果Ｌ _４ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _０ およびＬ _３ に対してＬ _３ −Ｌ _０ を計算してその演算結果Ｌ _５ を出力するＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）減算器と、
   入力されたＬ _２ に対して（ｓ _ｎ −１）・Ｌ _２ を計算してその演算結果Ｌ _６ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _０ およびＬ _４ に対してＬ _０ ＋Ｌ _４ を計算してその演算結果Ｃ _０ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   入力されたＬ _５ およびＬ _６ に対してＬ _５ ＋Ｌ _６ を計算してその演算結果Ｃ _１ を出力する第３のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   を有するＧＦ（ｑ _ｎ ）自乗器であることを特徴とする逐次拡大を用いた楕円曲線演算装置。
5. 請求項１記載の演算装置であって、
   上記ＧＦ（ｑ _ｎ ）演算手段は、
   既約多項式ｘ ^２ −ｖ１ _ｎ ・ｘ−ｖ０ _ｎ ＝０（ｖ１ _ｎ 及びｖ０ _ｎ はＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元）の根αに対する正規基底｛α，α ^ｐ ｝を用い、ＧＦ（ｑ _ｎ ）上の元Ａ及びＡ ^２ を、ＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元によって表現したものを、それぞれ（Ａ _０ ，Ａ _１ ）及び（Ｃ _０ ，Ｃ _１ ）とした場合における、
   入力されたＡ _１ に対してｕ・Ａ _１ を計算してその演算結果Ｌ _０ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＡ _０ およびＬ _０ に対してＡ _０ ＋Ｌ _０ を計算してその演算結果Ｌ _１ を出力するＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   入力されたＡ _０ およびＬ _０ に対してＡ _０ −Ｌ _０ を計算してその演算結果Ｌ _２ を出力するＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）減算器と、
   入力されたＡ _０ およびＡ _１ に対してＡ _０ ×Ａ _１ を計算してその演算結果Ｌ _３ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）乗算器と、
   入力されたＬ _１ およびＬ _２ に対してＬ _１ ×Ｌ _２ を計算してその演算結果Ｃ _０ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）乗算器と、
   入力されたＬ _３ に対して２・Ｌ _３ を計算してその演算結果Ｃ _１ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   を有するＧＦ（ｑ _ｎ ）自乗器であることを特徴とする逐次拡大を用いた楕円曲線演算装置。
6. 請求項１記載の演算装置であって、
   上記ＧＦ（ｑ _ｎ ）演算手段は、
   既約多項式ｘ ^２ −ｖ１ _ｎ ・ｘ−ｖ０ _ｎ ＝０（ｖ１ _ｎ 及びｖ０ _ｎ はＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元）の根αに対する多項式基底｛１，α｝を用い、ＧＦ（ｑ _ｎ ）上の元Ａ及びＡ ^２ を、ＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）上の元によって表現したものを、それぞれ（Ａ _０ ，Ａ _１ ）及び（Ｃ _０ ，Ｃ _１ ）とした場合における、
   入力されたＡ _０ に対してＡ _０ ^２ を計算してその演算結果Ｌ _０ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）自乗器と、
   入力されたＡ _０ およびＡ _１ に対してＡ _０ −Ａ _１ を計算してその演算結果Ｌ _１ を出力するＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）減算器と、
   入力されたＡ _１ に対してＡ _１ ^２ を計算してその演算結果Ｌ _２ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）自乗器と、
   入力されたＬ _１ に対してＬ _１ ^２ を計算してその演算結果Ｌ _３ を出力する第３のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）自乗器と、
   入力されたＬ _０ に対してｓ _ｎ ・Ｌ _０ を計算してその演算結果Ｌ _４ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _３ に対して（ｓ _ｎ ^−１ ・ｔ _ｎ ）・Ｌ _３ を計算してその演算結果Ｌ _５ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _２ に対してｓ _ｎ ・ Ｌ _２ を計算してその演算結果Ｌ _６ を出力する第３のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _４ およびＬ _５ に対してＬ _４ ＋Ｌ _５ を計算してその演算結果Ｃ _０ を出力する第１のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   入力されたＬ _５ およびＬ _６ に対してＬ _５ ＋Ｌ _６ を計算してその演算結果Ｃ _１ を出力する第２のＧＦ（ｑ _ｎ−１ ）加算器と、
   を有するＧＦ（ｑ _ｎ ）自乗器であることを特徴とする逐次拡大を用いた楕円曲線演算装置。
7. 請求項１から６の何れかに記載の演算装置であって、
   ｉ＝ｎ＋１（ｎ≠ｚ）とし、既約多項式ｘ ^２ −ｖ１ _ｉ ・ｘ−ｖ０ _ｉ ＝０（ｖ１ _ｉ 及びｖ０ _ｉ はＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）上の元）の根αに対する正規基底｛α，α ^ｐ ｝を用い、ＧＦ（ｑ _ｉ ）上の元Ａ及びＡ ^−１ を、ＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）上の元によって表現したものを、それぞれ（Ａ _０ ，Ａ _１ ）及び（Ｃ _０ ，Ｃ _１ ）とした場合における、
   入力されたＡ _１ に対してｓ _ｉ ・Ａ _１ を計算してその演算結果Ｌ _０ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＡ _１ に対してＡ _１ ^２ を計算してその演算結果Ｌ _１ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）自乗器と、
   入力されたＡ _０ およびＬ _０ に対してＡ _０ ＋Ｌ _０ を計算してその演算結果Ｌ _２ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）加算器と、
   入力されたＡ _０ およびＬ _２ に対してＡ _０ ・Ｌ _２ を計算してその演算結果Ｌ _３ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）乗算器と、
   入力されたＬ _１ に対してｔ _ｉ ・Ｌ _１ を計算してＬ _４ を出力する第６のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _３ およびＬ _４ に対してＬ _３ −Ｌ _４ を計算してその演算結果Ｌ _５ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）減算器と、
   入力されたＬ _５ に対してＬ _５ ^−１ を計算してその演算結果Ｌ _６ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）逆元器と、
   入力されたＬ _２ およびＬ _６ に対してＬ _２ ×Ｌ _６ を計算してその演算結果Ｃ _０ を出力する第６のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）乗算器と、
   入力されたＬ _６ およびＡ _１ に対してＬ _６ ×Ａ _１ を計算してその演算結果Ｌ _７ を出力する第７のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）乗算器と、
   入力されたＬ _７ に対して−Ｌ _７ を計算してその演算結果Ｃ _１ を出力する第７のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）定数倍器と、
   を有するＧＦ（ｑ _ｉ ）逆元器をさらに有し、
   上記ＧＦ（ｑ _ｎ ）演算手段は、
   上記第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）自乗器或いは上記第５から７のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）乗算器の何れかである、
   ことを特徴とする逐次拡大を用いた楕円曲線演算装置。
8. 請求項１から６の何れかに記載の演算装置であって、
   ｉ＝ｎ＋１（ｎ≠ｚ）とし、既約多項式ｘ ^２ −ｖ１ _ｉ ・ｘ−ｖ０ _ｉ ＝０（ｖ１ _ｉ 及びｖ０ _ｉ はＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）上の元）の根αに対する正規基底｛α，α ^ｐ ｝を用い、ＧＦ（ｑ _ｉ ）上の元Ａ及びＡ ^−１ を、ＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）上の元によって表現したものを、それぞれ（Ａ _０ ，Ａ _１ ）及び（Ｃ _０ ，Ｃ _１ ）とした場合における、
   入力されたＡ _０ およびＡ _１ に対してＡ _０ ×Ａ _１ を計算してその演算結果Ｌ _０ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）乗算器と、
   入力されたＡ _０ およびＡ _１ に対してＡ _０ −Ａ _１ を計算してその演算結果Ｌ _１ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）減算器と、
   入力されたＬ _０ に対してｓ _ｉ ^２ Ｌ _０ を計算してその演算結果Ｌ _２ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _１ に対してＬ _１ ^２ を計算してその演算結果Ｌ _３ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）自乗器と、
   入力されたＬ _３ に対してｔ _ｉ ・Ｌ _３ を計算してその演算結果Ｌ _４ を出力する第６のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）定数倍器と、
   入力されたＬ _２ およびＬ _４ に対してＬ _２ −Ｌ _４ を計算してその演算結果Ｌ _５ を出力する第６のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）減算器と、
   入力されたＬ _５ に対してＬ _５ ^−１ を計算してその演算結果Ｌ _６ を出力する第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）逆元器と、
   入力されたＡ _０ およびＬ _６ に対してＡ _０ ×Ｌ _６ を計算してその演算結果Ｃ _１ を出力する第６のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）乗算器と、
   入力されたＬ _６ およびＡ _１ に対してＬ _６ ×Ａ _１ を計算してその演算結果Ｃ _０ を出力する第７のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）乗算器と、
   を有するＧＦ（ｑ _ｉ ）逆元器をさらに有し、
   上記ＧＦ（ｑ _ｎ ）演算手段は、
   上記第５のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）自乗器或いは上記第５から７のＧＦ（ｑ _ｉ−１ ）乗算器の何れかである、
   ことを特徴とする逐次拡大を用いた楕円曲線演算装置。
9. 請求項１から８の何れかに記載の演算装置としてコンピュータを機能させ るためのプログラムを格納したコンピュータ読取り可能なプログラム記録媒体。

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