JP2023505312A - ２つの量子状態を比較する方法及びシステム - Google Patents

Abstract

２つの量子状態を比較する方法は、第１のノードで第１の量子状態を与えるステップと、第１の複数のユニタリ演算によって、第１の量子状態を変換することにより、第１の複数の変換量子状態を得るステップと、第１の一組の量子測定によって、第１の複数の変換量子状態を測定することにより、第１の一組の測定結果を得るステップと、を含む。この方法は、第２のノードで第２の量子状態を与えるステップと、第２の複数のユニタリ演算によって、第２の量子状態を変換することにより、第２の複数の変換量子状態を得るステップであり、第２の複数のユニタリ演算が、第１の複数のユニタリ演算に対応する、ステップと、第２の一組の量子測定によって、第２の複数の変換量子状態を測定することにより、第２の一組の測定結果を得るステップと、をさらに含む。この方法は、第１の一組の測定結果及び第２の一組の測定結果に関して、第１の量子状態と第２の量子状態との間の類似性測度を決定するステップをさらに含み、類似性測度が、第１の量子状態及び第２の量子状態のトレース積を含む。【選択図】 図２

Description

特許法第３０条第２項適用申請有り 掲載日 ２０１９年９月１１日 掲載アドレス ｈｔｔｐｓ：／／ａｒｘｉｖ．ｏｒｇ／ｐｄｆ／１９０９．０１２８２ｖ２．ｐｄｆ

[0001]本開示は、特に空間的及び／又は時間的に離れた異なるプラットフォーム間で量子状態を比較する技術に関する。

背景

[0002]数十個のキュービットを含む中規模の量子素子を構築する試みが進められている。原子及び光から固体系まで、様々な物理プラットフォームによって、量子コンピュータ及び量子シミュレータの工学的及び物理的実現が追求されている。従来技術においては、実装された量子プロセス又は量子状態を既知の理論的目標と比較できるように、変換周期的ベンチマーキング又は直接忠実度推定等の検証手順が開発されてきた。

[0003]Ｓ．Ｔ．Ｆｌａｍｍｉａ ａｎｄ Ｙ．－Ｋ．Ｌｉｕ，“Ｄｉｒｅｃｔ ｆｉｄｅｌｉｔｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｆｅｗ Ｐａｕｌｉ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ”，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．１０６（２０１１）２３０５０１は、特性関数に基づいて、実験的に作成された量子状態を目標純粋状態と比較する技術を開示している。それぞれの結果は、いくつかの実際に関連する量子状態について、特性関数の複数の成分が消失して比較が簡単になる、という実現形態に基づく。Ｍ．Ｐ．ｄａ Ｓｉｌｖａ ｅｔ ａｌ．，“Ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｑｕａｎｔｕｍ ｄｅｖｉｃｅｓ ｗｉｔｈｏｕｔ ｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ”，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ｌｅｔｔ．１０７（２０１１）２１０４０４によって、類似の技術も提示されている。

[0004]ただし、異なる場所及び／又は異なる時間の２つの素子で生成された未知の量子状態を直接比較することは、依然として困難である。

[0005]Ａｎｄｒｅａｓ Ｅｌｂｅｎ ｅｔ ａｌ．，“Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｌｏｃａｌｌｙ ｒａｎｄｏｍｉｚｅｄ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ： Ａ ｔｏｏｌｂｏｘ ｆｏｒ ｐｒｏｂｉｎｇ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｍａｎｙ－ｂｏｄｙ ｑｕａｎｔｕｍ ｓｔａｔｅｓ”，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ９９（２０１９）０５２３２３は、局所ユニタリ演算による変換及び射影測定に基づいて、（概略的に混合状態の）量子状態の重なりを測定する方法を開示している。

概要

[0006]本開示は、それぞれ独立請求項１及び１６に係る、２つの量子状態を比較する方法及びシステムを対象とする。従属請求項は、好適な実施形態に関する。

[0007]本開示の第１の態様において、２つの量子状態を比較する方法は、第１のノードで第１の量子状態を与えるステップと、特に第１のノードで第１の複数のユニタリ演算によって、第１の量子状態を変換することにより、第１の複数の変換量子状態を得るステップと、特に第１のノードで第１の一組の量子測定によって、第１の複数の変換量子状態をそれぞれ測定することにより、第１の一組の測定結果を得るステップと、を含む。この方法は、第２のノードで第２の量子状態を与えるステップと、特に第２のノード第２の複数のユニタリ演算によって、第２の量子状態を変換することにより、第２の複数の変換量子状態を得るステップであり、第２の複数のユニタリ演算が、第１の複数のユニタリ演算に対応する、ステップと、特に第２のノードで第２の一組の量子測定によって、第２の複数の変換量子状態をそれぞれ測定することにより、第２の一組の測定結果を得るステップと、をさらに含む。この方法は、第１の一組の測定結果及び第２の一組の測定結果に関して、第１の量子状態と第２の量子状態との間の類似性測度を決定するステップをさらに含み、類似性測度が、第１の量子状態及び第２の量子状態のトレース積を含む。

[0008]対応する第１及び第２の複数のユニタリ演算によって第１及び第２の量子状態を局所的に変換するとともに、２つの変換量子状態の局所測定をそれぞれ実行することによって、完全な量子状態トモグラフィを要することなく、２つの量子状態を確実且つ効率的に比較することができる。

[0009]これらの技術を量子プロセス又は量子チャネルの複数の異なる出力状態に適用することによって、異なる量子プロセス又は量子チャネルの比較も可能となる。

[0010]本開示の背景において、量子状態は、ヒルベルト空間Ｈ上の密度行列ρに関して表され得る。形式ρ＝｜ψ＞＜ψ｜の量子状態は、純粋状態である。一方、この形式で表せないあらゆる状態は概略的に、混合量子状態と称する。如何なる混合量子状態ρも、古典的確率分布｛ｐ_ｊ｝，ｊ＝１，・・・，Ｎ（Ｎは１より大きな整数））に対する形式ρ＝Σ_ｊｐ_ｊ｜ψ_ｊ＞＜ψ_ｊ｜において、純粋状態（その固有状態）の加重和として分解可能である。

[0011]本開示の技術は、２つの任意の量子状態の比較を可能にするが、これらは純粋状態であってもよいし、混合状態であってもよい。特に、これらの技術は、概略的に混合状態である大型の量子系の任意の下位系の比較にも採用可能である。

[0012]このため、一実施形態によれば、第１の量子状態及び／又は第２の量子状態は、混合量子状態である。

[0013]特に、第１の量子状態及び／又は第２の量子状態は、任意の混合量子状態であってもよい。

[0014]本開示の技術は、量子コンピュータ又は量子シミュレータにおける２つの量子状態等、実験的に作成された２つの量子状態の比較にも採用され得る

[0015]ただし、本開示は、これに限定されず、実験的に作成された量子状態と理論的目標状態との比較等、実験的に作成された量子状態と量子状態の理論的／数学的記述との比較にも採用され得る。

[0016]このため、一実施形態によれば、第１の量子状態を与えるステップが第１の量子状態の実験的作成を含むこと、及び／又は、第２の量子状態を与えるステップが第２の量子状態の実験的作成を含むこと、が可能である。

[0017]別の実施形態において、第１の量子状態を与えるステップは、理論的記述に関して第１の量子状態を与えることを含んでいてもよい。第１の量子状態を変換するステップは、第１の複数のユニタリ演算を第１の量子状態の理論的記述に適用することにより、第１の複数の変換量子状態を得ることを含んでいてもよい。さらに、第１の複数の変換量子状態を測定するステップは、第１の一組の量子測定に対応する第１の複数の測定演算子を第１の複数の変換量子状態に適用することを含んでいてもよい。

[0018]同様に、第２の量子状態を与えるステップは、理論的記述に関して第２の量子状態を与えることを含んでいてもよい。第２の量子状態を変換するステップは、第２の複数のユニタリ演算を第２の量子状態の理論的記述に適用することにより、第２の複数の変換量子状態を得ることを含んでいてもよい。さらに、第２の複数の変換量子状態を測定するステップは、第２の一組の量子測定に対応する第２の複数の測定演算子を第２の複数の変換量子状態に適用することを含んでいてもよい。

[0019]本開示の背景においては、用途に応じて、異なる類似性測度が採用され得る。概略的に、類似性測度は、２つの量子状態間の近さ又は距離を表すスカラー量として理解され得る。

[0020]一実施形態によれば、第１の量子状態と第２の量子状態との間の類似性測度又はトレース積は、第１の一組の測定結果及び第２の一組の測定結果の加重和に関して決定されてもよい。

[0021]特に、第１の量子状態と第２の量子状態との間の類似性測度又はトレース積は、第１の一組の測定結果及び第２の一組の測定結果の加重和に関して決定されてもよく、加重和は、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算に対して平均化される。

[0022]本開示の背景において、トレース積は、量子状態ρ_１及びρ_２に対する形式ｔｒ（ρ_１ρ_２）で表され、ｔｒが（行列）トレースを示す。

[0023]一実施形態によれば、類似性測度を決定するステップは、第１の一組の測定結果及び第２の一組の測定結果に関して、第１の量子状態及び第２の量子状態のトレース積を決定することを含む。

[0024]一実施形態において、類似性測度は、第１の量子状態の純粋度（purity）及び／又は第２の量子状態の純粋度を含む。

[0025]純粋度は、量子状態ρに対する形式ｔｒ（ρ^２）で表され、ｔｒが（行列）トレースを示す。

[0026]一実施形態によれば、類似性測度を決定するステップは、第１の一組の測定結果に関して第１の量子状態の純粋度を決定すること及び／又は第２の一組の測定結果に関して第２の量子状態の純粋度を決定することを含む。

[0027]一実施形態において、類似性測度を決定するステップは、第１の一組の測定結果の加重和に関して、第１の量子状態の純粋度を決定することを含み、加重和は、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算に対して平均化されていてもよい。

[0028]上記に対応して、一実施形態によれば、類似性測度を決定するステップは、第２の一組の測定結果の加重和に関して、第２の量子状態のトレース積を決定することを含み、加重和は、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算に対して平均化されていてもよい。

[0029]一実施形態において、類似性測度は、量子忠実度、特に、混合状態量子忠実度であるか、又は、量子忠実度、特に、混合状態量子忠実度を含む。

[0030]Ｙ．－Ｃ．Ｌｉａｎｇ ｅｔ ａｌ．，Ｒｅｐ．Ｐｒｏｇｒ．Ｐｈｙｓ．８２（２０１９）０７６００１に記載の忠実度（fidelity）を含めて、様々な忠実度測度が開発されており、特定の用途に応じて、本開示の背景において採用され得る。

[0031]本開示の背景において、第１のノード及び／又は第２のノードは、第１の量子状態及び第２の量子状態がそれぞれ与えられるとともに、変換及び／又は量子測定が後で実行され得る空間及び／又は時間中の場所を表していてもよい。

[0032]一実施形態において、第２のノードは、第１のノードから空間的に遠隔である。このため、第２のノードは、第１のノードと異なる場所を示していてもよい。したがって、第１及び第２の量子状態は、異なる場所で付与、変換、及び測定されてもよい。

[0033]これにより、２つの異なる量子コンピュータ又は量子シミュレータ等、２つの異なる場所で与えられた量子状態を比較可能となる。

[0034]代替又は追加として、第２のノードは、第１のノードから時間的に遠隔であってもよい。このため、第１の量子状態及び第２の量子状態は、異なる時間に作成、変換、及び／又は測定されてもよい。

[0035]これにより、異なる時間に与えられた２つの量子状態（例えば、１つの同じ量子コンピュータ又は量子シミュレータにおいて順次作成された２つの量子状態）を比較可能となる。

[0036]一実施形態によれば、この方法は、特に第１のノードと第２のノードとの間の従来型通信の形態において、第１の複数のユニタリ演算を特徴付ける情報を第１のノードから第２のノードに提供するステップを含んでいてもよい。

[0037]例えば、ユニタリ演算の選択が第１のノードでなされ、従来型通信によって、第１のノードから第２のノードに伝達されてもよい。このため、本開示に係る技術によれば、第１の量子状態及び第２の量子状態の変換において、同じユニタリ演算又は略同じユニタリ演算が採用され得る。

[0038]或いは、一実施形態においては、第１のノード及び第２のノードから空間的に遠隔及び／又は時間的に遠隔の第３のノードでユニタリ演算の選択がなされてもよい。その後、従来型情報チャネル等を介して、複数のユニタリ演算を特徴付ける情報が第３のノードから第１及び第２のノードに提供されてもよい。

[0039]本開示のいくつかの実施形態において、量子状態ρに対するユニタリ演算は、ユニタリ行列Ｕを用いた形式ＵρＵ^†すなわちＵ^†Ｕ＝１＝ＵＵ^†で表され得る（ここで、Ｕ^†はＵの複素共役を示す）。

[0040]本開示の背景において、第１の複数のユニタリ演算に対応する第２の複数のユニタリ演算は、予め定められた精度まで、第１の複数のユニタリ演算に類似する第２の複数のユニタリ演算を示していてもよい。

[0041]例えば、予め定められた何らかの精度まで、第２の複数のユニタリ演算のうちの（ほとんど）いずれもが第１の複数のユニタリ演算のうちの１つに一致していてもよい。

[0042]一例として、上記精度は、ユニタリ演算のノルム距離或いは類似性測度、特に、２つの量子状態のトレース積又は純粋度に関して測定されてもよい。

[0043]一実施形態によれば、第２の複数のユニタリ演算は、第１の複数のユニタリ演算に一致する。

[0044]本開示の背景において、ユニタリ演算によって第１の量子状態を変換するステップは、ユニタリ演算を第１の量子状態に適用することを含んでいてもよい。この変換は、第１の複数のユニタリ演算のうちのユニタリ演算それぞれについて、第１の量子状態のコピーに対して繰り返されてもよい。

[0045]同様に、本開示の背景において、ユニタリ演算によって第２の量子状態を変換するステップは、ユニタリ演算を第２の量子状態に適用することを含んでいてもよい。この変換は、第２の複数のユニタリ演算のうちのユニタリ演算それぞれについて、第２の量子状態のコピーに対して繰り返されてもよい。

[0046]また、一実施形態によれば、この方法は、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算を選択するステップを含んでいてもよい。

[0047]いくつかの実施形態において、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算は、特に第１の量子状態及び第２の量子状態の比較のために選択されてもよい。

[0048]他の実施形態において、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算は、予め決定及び／又は予め作成されたものであってもよく、特に、複数の異なる量子状態対の比較のために採用され得る。

[0049]一実施形態によれば、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算は、第１の量子状態及び第２の量子状態のトレース積が第１の一組の測定結果及び第２の一組の測定結果の加重和に関して決定され得るように選択可能であり、加重和は、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算に対して平均化される。

[0050]一実施形態によれば、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算は、予め定められた精度まで、第１のノード及び／又は第２のノードに対応するヒルベルト空間上の一群のユニタリ演算をサンプリングする複数の量子演算であってもよい。

[0051]一実施形態によれば、第１の複数のユニタリ演算及び第１の一組の量子測定は、第１の量子状態若しくは第２の量子状態のヒルベルト空間上のタイトフレームを一体的に構成するか、又は、第１の量子状態若しくは第２の量子状態のヒルベルト空間上のタイトフレームを近似する。

[0052]一実施形態において、第２の複数のユニタリ演算及び第２の一組の量子測定は、第１の量子状態又は第２の量子状態のヒルベルト空間上の同じタイトフレームを一体的に構成していてもよいし、近似していてもよい。

[0053]本開示の背景においては、異なるタイトフレームが採用され得る。いくつかの実施形態において、タイトフレームは、第１の量子状態及び／若しくは第２の量子状態の予備知識に又は第１の量子状態及び／若しくは第２の量子状態に関して反復的に得られる知識に基づいて、選択されてもよいし、適応的に選択されてもよい。

[0054]他の実施形態において、タイトフレームは、ユニタリ演算のランダムサンプリングにより選択されてもよい。

[0055]一実施形態において、タイトフレームは、第１の量子状態及び／又は第２の量子状態のヒルベルト空間上の一組のパウリ行列を含んでいてもよい。

[0056]一実施形態によれば、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算はそれぞれ、第１のノード及び／又は第２のノードに対応するヒルベルト空間上の一群のユニタリ演算から選択されてもよい。

[0057]特に、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算はそれぞれ、第１のノード及び／又は第２のノードに対応するヒルベルト空間上の一群のユニタリ演算からランダムに選択されてもよい。

[0058]大域ランダムユニタリ演算上での変換の実行は、限られた数のユニタリ演算によって効率的にランダム化され得る。

[0059]或いは、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算はそれぞれ、第１のノード及び／又は第２のノードに対応するテンソル積ヒルベルト空間上の複数の局所ユニタリ演算のテンソル積として選択されてもよい。

[0060]局所ユニタリ演算の積による変換の実行は、少なくともいくつかの用途において、より容易且つ正確に実現可能である点が有利と考えられる。

[0061]特に、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算はそれぞれ、第１のノード及び／又は第２のノードに対応するテンソル積ヒルベルト空間上の複数の局所ユニタリ演算のテンソル積としてランダムに選択されてもよい。

[0062]一実施形態によれば、テンソル積として選択されたユニタリ演算は、完全に因子化されるのではなく、テンソル積ヒルベルト空間の複数のテンソル因子を含む部分空間上の大域ユニタリを表すいくつかのテンソル因子を含んでいてもよい。

[0063]一実施形態によれば、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算はそれぞれ、ランダムに選択され、特に、ユニタリ群上で独立して一様に分布する。

[0064]一実施形態において、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算はそれぞれ、ユニタリ群上のハール測度に従ってランダムに選択されるか、又は、ユニタリ群上のハール測度を近似する。

[0065]別の実施形態によれば、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算はそれぞれ、１より大きな整数ｔによるユニタリ群上のユニタリｔ－デザインに従ってランダムに選択されるか、又は、ユニタリ群上のユニタリｔ－デザインを近似する。

[0066]本開示の背景において、ユニタリｔ－デザインは、次数ｔ以下の多項式に対するハール測度上の確率分布の特性を再現又は近似するユニタリ演算上の確率分布を示し得る。

[0067]一実施形態において、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算はそれぞれ、ユニタリ群上のユニタリ２－デザインに従ってランダムに選択されるか、又は、ユニタリ群上のユニタリ２－デザインを近似する。

[0068]本開示の背景において、量子測定は、量子入力状態及び古典的出力を伴う量子演算を示し得る。本開示の背景においては、用途に応じて、異なる複数組の量子測定演算が採用され得る。

[0069]本開示の背景において、量子測定は、いくつかの実施形態において、測定基準の調整又は変更等を行う量子演算、特に、ユニタリ演算を含んでいてもよい。

[0070]一実施形態によれば、第１の一組の量子測定及び／又は第２の一組の量子測定は、射影測定及び／又は直交測定である。

[0071]一実施形態によれば、第２の一組の量子測定は、第１の一組の量子測定と一致する。

[0072]他の実施形態において、第２の一組の量子測定は、第１の一組の量子測定と異なっていてもよい。

[0073]概略的に、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算は、任意の整数個のユニタリ演算を含んでいてもよい。ユニタリ演算の数は、第１の量子状態の特性及び／又は第２の量子状態の特性、特に、第１の量子状態の次元及び／又は第２の量子状態の次元に従って選定されてもよい。また、ユニタリ演算の数は、類似性測度の所望の精度又は予め定められた精度に従って選定されてもよい。

[0074]一実施形態において、ユニタリ演算の数は、第１の量子状態及び第２の量子状態それぞれの完全な量子状態トモグラフィに必要なユニタリ演算の数より少なく選定されてもよい。

[0075]一実施形態によれば、各ユニタリ変換量子状態の測定のため、複数の量子測定が採用され得る。

[0076]概略的に、第１の一組の量子測定及び／又は第２の一組の量子測定は、任意の整数個の量子測定を含んでいてもよい。量子測定の数は、第１の量子状態の特性及び／又は第２の量子状態の特性、特に、第１の量子状態の次元及び／又は第２の量子状態の次元に従って選定されてもよい。また、量子測定の数は、類似性測度の所望の精度又は予め定められた精度に従って選定されてもよい。

[0077]一実施形態において、量子測定の数は、第１の量子状態及び第２の量子状態それぞれの完全な量子状態トモグラフィに必要な量子測定の数より少なく選定されてもよい。

[0078]一実施形態において、この方法は、類似性測度の予め定められた精度、第１の量子状態、及び／又は第２の量子状態の次元に従って、第１の複数のユニタリ演算中のユニタリ演算の数及び／若しくは第２の複数のユニタリ演算中のユニタリ演算の数を選択するステップ、並びに／又は、第１の一組の量子測定中の量子測定の数及び／若しくは第２の一組の量子測定中の量子測定の数を選択するステップ、を含む。

[0079]一例として、類似性測度の予め定められた精度は、実数に関して、精度に関する絶対範囲として表され得る。別の例として、類似性測度の予め定められた精度は、目標忠実度の少なくとも７０％、目標忠実度の少なくとも８０％、特に目標忠実度の少なくとも９０％等、目標忠実度の予め定められた割合として表され得る。

[0080]一実施形態によれば、この方法は、特にブートストラッピング及び／又は再サンプリングによって反復的に、第１の一組の量子測定中の量子測定の数及び／若しくは第２の一組の量子測定中の量子測定の数を選択するステップ、並びに／又は、第１の複数のユニタリ演算中のユニタリ演算の数及び／若しくは第２の複数のユニタリ演算中のユニタリ演算の数を選択するステップ、を含む。

[0081]反復的な選択によれば、実現された類似性測度の精度及び／又はさらなる向上が予想される類似性測度の精度に従って、ユニタリ演算の数並びに／又は第１の一組の量子測定及び／若しくは第２の一組の量子測定中の量子測定の数の選択を適応させることが可能となり得る。特に、ユニタリ演算の数、第１の一組の量子測定中の量子測定の数、及び／又は第２の一組の量子測定中の量子測定の数の反復的な更新によって、類似性測度の予め定められた精度が達成されるまで、予想される統計的不確実性の低下を最大化するようにしてもよい。

[0082]第２の態様において、本開示はさらに、コンピュータ上に読み出された場合に、上述の特徴の一部又は全部を有する方法を実行するように構成されたコンピュータ可読命令を含むコンピュータプログラム又はコンピュータプログラム製品に関する。

[0083]第３の態様において、本開示はさらに、２つの量子状態を比較するシステムであって、第１のノードにおける第１の変換ユニットであり、第１の複数のユニタリ演算によって、第１の量子状態を変換することにより、第１の複数の変換量子状態を得るように構成された、第１の変換ユニットと、第１のノードにおける第１の測定ユニットであり、第１の一組の量子測定によって、第１の複数の変換量子状態それぞれを測定することにより、第１の一組の測定結果を得るように構成された、第１の測定ユニットと、を備えた、システムに関する。

[0084]このシステムは、第２のノードにおける第２の変換ユニットであり、第２の複数のユニタリ演算によって、第２の量子状態を変換することにより、第２の複数の変換量子状態を得るように構成され、第２の複数のユニタリ演算が、第１の複数のユニタリ演算に対応する、第２の変換ユニットと、第２のノードにおける第２の測定ユニットであり、第２の一組の量子測定によって、第２の複数の変換量子状態それぞれを測定することにより、第２の一組の測定結果を得るように構成された、第２の測定ユニットと、をさらに備える。

[0085]このシステムは、第１の一組の測定結果及び第２の一組の測定結果に関して、第１の量子状態と第２の量子状態との間の類似性測度を決定するように構成された決定ユニットをさらに備え、類似性測度が、第１の量子状態及び第２の量子状態のトレース積を含む。

[0086]一実施形態において、決定ユニットは、第１の測定ユニット及び／又は第２の測定ユニットから、第１の一組の測定結果及び／又は第２の一組の測定結果をそれぞれ受信するように構成されていてもよい。

[0087]いくつかの実施形態において、決定ユニットは、第１のノードに配置されていてもよいし、第２のノードに配置されていてもよい。他の実施形態において、決定ユニットは、第１のノード及び／又は第２のノードから空間的及び／又は時間的に遠隔に配置されていてもよい。

[0088]いくつかの実施形態において、第１の変換ユニット及び第１の測定ユニットは、別個のユニットとして設けられていてもよい。他の実施形態において、第１の変換ユニット及び第１の測定ユニットは、一体ユニット又は結合ユニットとして設けられていてもよい。

[0089]同様に、いくつかの実施形態において、第２の変換ユニット及び第２の測定ユニットは、別個のユニットとして設けられていてもよい。他の実施形態において、第１の変換ユニット及び第１の測定ユニットは、一体ユニット又は結合ユニットとして設けられていてもよい。

[0090]いくつかの実施形態において、第１の変換ユニットは、第２の変換ユニットと異なる。他の実施形態において、第１の変換ユニットは、第２の変換ユニットと同一又は一致する。

[0091]同様に、いくつかの実施形態において、第１の測定ユニットは、第２の測定ユニットと異なる。他の実施形態において、第１の測定ユニットは、第２の測定ユニットと同一又は一致する。

[0092]いくつかの実施形態において、第１の変換ユニット、第２の変換ユニット、第１の測定ユニット、第２の測定ユニット、及び／又は決定ユニットは、ハードウェアにて実現されていてもよいが、他の実施形態においては、これらのユニットのいずれか又はすべてがソフトウェアにて実現されていてもよいし、ファームウェアにて実現されていてもよい。さらに別の実施形態において、これらのユニットのいずれか又はすべては、一部がハードウェアにて実現され、一部がソフトウェア／ファームウェアにて実現されていてもよい。

[0093]このシステムは、第１の態様に関して上述したステップの一部又は全部を含む方法を実現するように構成されていてもよい。

[0094]一実施形態によれば、このシステムは、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算を選択するように構成されていてもよい。

[0095]一実施形態によれば、このシステムは、第１のノード及び／又は第２のノードに対応するヒルベルト空間上の一群のユニタリ演算から、第１の複数のユニタリ演算それぞれをランダムに選択するように構成されている。

[0096]一実施形態によれば、このシステムは、第１のノード及び／又は第２のノードに対応するテンソル積ヒルベルト空間上の複数の局所ユニタリ演算のテンソル積として、第１の複数のユニタリ演算それぞれを選択するように構成されており、
特に、第１のノード及び／又は第２のノードに対応するテンソル積ヒルベルト空間上の複数の局所ユニタリ演算のテンソル積として、第１の複数のユニタリ演算それぞれをランダムに選択するように構成されている。

[0097]特に、このシステムは、乱数発生器によって、第１の複数のユニタリ演算それぞれをランダムに選択するように構成されていてもよい。

[0098]いくつかの実施形態において、第１の変換ユニット又は第２の変換ユニットは、第１の複数のユニタリ演算及び／又は第２の複数のユニタリ演算を選択するように構成されていてもよい。

[0099]一実施形態によれば、第１の変換ユニットは、特に乱数発生器又は疑似乱数発生器によって、第１の複数のユニタリ演算をランダムに選択するように構成されている。

[0100]一実施形態によれば、このシステムは、特に従来型通信の形態において、第１の複数のユニタリ演算を特徴付ける情報を第１の変換ユニットから第２の変換ユニットに提供するように構成された通信ユニットをさらに備える。

[0101]いくつかの実施形態において、通信ユニットは、第１の変換ユニットの一部を構成していてもよいが、他の実施形態において、通信ユニットは、別個のユニットであってもよい。

[0102]一実施形態によれば、このシステムは、第１の複数のユニタリ演算を選択するように構成された選択ユニットを備え、この選択ユニットは、第１の変換ユニット及び第２の変換ユニットから空間的に別個又は遠隔であってもよい。

[0103]いくつかの実施形態において、選択ユニットは、乱数発生器又は疑似乱数発生器を備える。

[0104]一実施形態によれば、選択ユニットは、特に従来型通信の形態において、第１の複数のユニタリ演算を特徴付ける情報を第１の変換ユニット及び第２の変換ユニットに提供するように構成された通信ユニットを備える。

[0105]いくつかの実施形態において、選択ユニット及び／又は通信ユニットは、ハードウェアにて実現されていてもよいが、他の実施形態において、選択ユニット及び／又は通信ユニットは、ソフトウェアにて実現されていてもよいし、ファームウェアにて実現されていてもよい。さらに別の実施形態において、選択ユニット及び／又は通信ユニットは、一部がハードウェアにて実現され、一部がソフトウェア／ファームウェアにて実現されていてもよい。

[0106]一実施形態によれば、通信ユニットは、第１の複数のユニタリ演算を特徴付ける情報を格納するように構成されたメモリユニットを備える。

[0107]第１のノード及び第２のノードが時間的に遠隔である一構成において、メモリユニットは、第２の量子状態が変換されるまでの時間で、ユニタリ演算の選択を格納可能とし得る。

[0108]本開示に係る方法及びシステムの特性及び利点については、添付の図面と併せた実施形態の説明によって、最も明らかとなるであろう。
図１は、一実施形態に係る、２つの量子状態を比較するシステムの模式図である。 図２は、一実施形態に係る、局所ユニタリ演算による変換を採用した２つの量子状態を比較するシステムの模式図である。 図３は、一実施形態に係る、２つの量子状態を比較する方法を示したフロー図である。 図４ａ－４ｃは、一実施形態に係る、ユニタリ演算の数及びユニタリ演算当たりの測定の数に関して、忠実度測度のスケーリングを示した図である。 図５ａ－５ｂは、一実施形態に係る、トラップイオン量子シミュレータにおける実験－理論検証を示した図である。 図６ａ－６ｄは、一実施形態に係る、トラップイオン量子シミュレータにおける実験自己検証を示した図である。

詳細な説明

[0109]図１は、一実施形態に係る、Ｄ次元ヒルベルト空間Ｈ上の２つの量子状態ρ_１及びρ_２を比較するシステム１０の模式図である。２つの量子状態ρ_１及びρ_２はそれぞれ、形式ρ＝｜ψ＞＜ψ｜の純粋状態であってもよい。或いは、２つの量子状態ρ_１及びρ_２の一方又は両方が混合状態であってもよく、これは概略的に、古典的確率分布｛ｐ_ｊ｝，ｊ＝１，・・・，Ｎ（Ｎは１より大きな整数））に対する形式ρ＝Σ_ｊｐ_ｊ｜ψ_ｊ＞＜ψ_ｊ｜にて表される。

[0110]システム１０は、第１のノードにおける第１のプラットフォーム１２ａ及び第２のノードにおける第２のプラットフォーム１２ｂを備え、それぞれ、量子状態の操作及び測定を行う物理的な装置及び機器を表し得る。例えば、第１のプラットフォーム１２ａ及び第２のプラットフォーム１２ｂはそれぞれ、量子コンピュータを表していてもよいし、量子シミュレータを表していてもよい。一例において、量子状態ρ_１及びρ_２はそれぞれ、結合スピン系を表し、全ヒルベルト空間次元Ｄ＝ｄ＾（Ｎ_Ａ）のＮ_Ａ個のキュービットのテンソル積に対応していてもよく、ｄはキュービット系のヒルベルト空間次元を示す。

[0111]いくつかの例において、第２のプラットフォーム１２ｂは、第１のプラットフォーム１２ａから空間的に遠隔であり、これは、両プラットフォームが異なる場所に設けられていることを意味する。代替又は追加として、第２のプラットフォーム１２ｂは、第１のプラットフォーム１２ａから時間的に分離されていてもよい。一例として、第１のプラットフォーム１２ａ及び第２のプラットフォーム１２ｂは、異なる時点における１つの同じ機器を表していてもよい。

[0112]図１に示すシステム１０は、２つの量子状態ρ_１及びρ_２の完全な状態トモグラフィを実行する必要なく、各プラットフォーム１２ａ、１２ｂ上の局所量子演算及び局所測定、並びにプラットフォーム１２ａ、１２ｂ間の従来型通信のみによって、２つの量子状態ρ_１及びρ_２を比較するように構成されるのが好都合である。比較の結果は、２つの量子状態ρ_１及びρ_２間の距離又は近さの程度を特徴付ける類似性測度であってもよい。

[0113]図１をさらに参照して、第１のプラットフォーム１２ａは、複数のランダムユニタリ演算によって、第１の量子状態ρ_１を変換することにより、第１の複数の変換量子状態を得るように構成された第１の変換ユニット１４ａを備える。

[0114]例えば、第１の変換ユニット１４ａは、ユニタリ行列Ｕ（すなわち、Ｕ^†Ｕ＝１＝ＵＵ^†）を用いた形式Ｕρ_１Ｕ^†のＮ_Ｕ個のユニタリ演算の数を選択するように構成されていてもよい。ここで、Ｕ^†は、Ｕの複素共役を示し、Ｎ_Ｕは、ヒルベルト空間の次元及び／又は類似性測度の目標精度に応じて選定され得る予め定められた整数を示す。一例として、第１の変換ユニット１４ａは、乱数発生器又は疑似乱数発生器を採用することにより、ユニタリ群上のハール測度に従って独立して一様に分布された（ｉ．ｉ．ｄ）Ｎ_Ｕ個のユニタリ演算を選択するようにしてもよい。

[0115]ただし、他の例において、Ｎ_Ｕ個のユニタリ演算は、第１の変換ユニット１４ａ等によって１つに決まるか、予め定められるか、又は予め選択されている。

[0116]図１からさらに分かる通り、第１のプラットフォーム１２ａは、第１の変換ユニット１４ａから第１の複数の変換量子状態を受信するように構成され得るとともに、第１の一組の量子測定によって、第１の複数の変換量子状態を測定することにより、第１の一組の測定結果を得るようにさらに構成され得る第１の測定ユニット１６ａをさらに備える。

[0117]例えば、第１の測定ユニット１６ａは、変換量子状態それぞれについて、ヒルベルト空間Ｈの直交基底におけるＮ_Ｍ回の射影測定を実行するように構成されていてもよい。ここで、Ｎ_Ｍは、ヒルベルト空間の次元及び／又は類似性測度の目標精度に応じて選定され得る予め定められた整数を示す。

[0118]第２のプラットフォーム１２ｂは概略的に、第１のプラットフォーム１２ａに対応していてもよく、第１の量子状態ρ_１に適用されたのと同じ複数のランダムユニタリ演算によって、第２の量子状態ρ_２を変換するように構成された第２の変換ユニット１４ｂを備える。

[0119]図１に示すように、いくつかの実施形態において、第１の変換ユニット１４ａは、データネットワークリンク等の従来型情報チャネル２０を介して、複数のランダムユニタリ演算を特徴付ける情報を第１の変換ユニット１４ａから第２の変換ユニット１４ｂに提供するように構成され得る通信ユニット１８を備える。その後、第２の変換ユニット１４ｂは、従来型情報チャネル２０を介して受信した情報に従って、複数のランダムユニタリを第２の量子状態ρ_２に適用するようにしてもよい。

[0120]他の例（図１に示さず）において、複数のランダム又は非ランダムユニタリ演算は、第１のプラットフォーム１２ａ及び第２のプラットフォーム１２ｂから空間的に遠隔の異なるエンティティで選択されてもよく、また、複数のランダムユニタリ演算を特徴付ける情報は、当該エンティティから第１の変換ユニット１４ａ及び第２の変換ユニット１４ｂの両者に提供されてもよい。

[0121]図１からさらに分かる通り、第２のプラットフォーム１２ｂは、第２の一組の量子測定によって、第２の複数の変換量子状態を測定することにより、第２の一組の測定結果を得るように構成され得る第２の測定ユニット１６ｂをさらに備える。いくつかの例において、第２のプラットフォーム１２ｂで第２の測定ユニット１６ｂにより実現される第２の一組の量子測定は、第１のプラットフォーム１２ａで第１の測定ユニット１６ａにより実現される第１の一組の量子測定と一致していてもよいが、他の例においては、一組の量子測定が異なっていてもよい。

[0122]図１をさらに参照して、システム１０は、第１の測定ユニット１６ａからの第１の一組の測定結果及び第２の測定ユニット１６ｂからの第２の一組の測定結果を受信するように構成され得るとともに、第１の一組の測定結果及び第２の一組の測定結果に関して、第１の量子状態ρ_１と第２の量子状態ρ_２との間の類似性測度を決定するようにさらに構成され得る決定ユニット２２をさらに備える。

[0123]例えば、決定ユニット２２は、第１の一組の測定結果及び第２の一組の測定結果から、第１の量子状態ρ_１及び第２の量子状態ρ_２のトレース積ｔｒ（ρ_１ρ_２）のほか、第１の量子状態ρ_１及び第２の量子状態ρ_２の純粋度ｔｒ（ρ_１ρ_１）及びｔｒ（ρ_２ρ_２）をそれぞれ決定するように構成されていてもよい（ここで、ｔｒは行列トレースを示す）。決定ユニット２２は、トレース積ｔｒ（ρ_１ρ_２）並びに純粋度ｔｒ（ρ_１ρ_１）及びｔｒ（ρ_２ρ_２）から類似性測度を決定するように構成されていてもよい。

[0124]一例として、これは、トレース積ｔｒ（ρ_１ρ_２）が

を満たし、純粋度ｔｒ（ρ_１ρ_１）及びｔｒ（ρ_２ρ_２）がｉ＝１，２に関して

を満たすように可観測量ｖの集合Ｅを識別することによって実現され得る。実用上は、式（１）及び式（２）が少なくとも、何らかの予め定められた精度の範囲で近似的に成立すれば、多くの用途で十分と考えられる。

[0125]式（１）及び（２）は、可観測量の集合Ｅが可観測量のヒルベルト空間上の正規化タイトフレームを構成する場合に成立し、可観測量の集合Ｅが可観測量のヒルベルト空間上の正規化タイトフレームを近似する場合に近似的に成立する。本開示の背景においては、異なるタイトフレームが採用され得る。

[0126]例えば、一組のパウリ行列がタイトフレームとして選択されてもよい。２キュービット以上の場合は、パウリ行列のテンソル積を採用するようにしてもよい。

[0127]別の例として、Ａｎｄｒｅａｓ Ｅｌｂｅｎ ｅｔ ａｌ．，“Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｌｏｃａｌｌｙ ｒａｎｄｏｍｉｚｅｄ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ：Ａ ｔｏｏｌｂｏｘ ｆｏｒ ｐｒｏｂｉｎｇ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｍａｎｙ－ｂｏｄｙ ｑｕａｎｔｕｍ ｓｔａｔｅｓ”，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ９９（２０１９）０５２３２３に示される通り、ユニタリ演算Ｕは、ハール測度又はユニタリ２－デザイン若しくは量子２－デザインに従ってユニタリ群上でランダムに選択され、第１の測定ユニット１６ａ及び第２の測定ユニット１６ｂにおける測定はいずれも、ヒルベルト空間Ｈの直交基底｜ｓ＞＜ｓ｜における射影測定であるものと仮定する。

ここで、ｉ、ｊ＝１，２に関して

であり、
―――――は、ランダムユニタリＵに対するアンサンブル平均を示す。Ｄは、全ヒルベルト空間の次元を示し、Ｄ_Ｇ［ｓ，ｓ’］は、ｓ＝ｓ’の場合にＤ_Ｇ［ｓ，ｓ’］＝０、ｓ≠ｓ’の場合にＤ_Ｇ［ｓ，ｓ’］＝１と定義されるハミング距離を示す。

[0128]ｉ＝１，２に対する純粋度ｔｒ（ρ_ｉρ_ｉ）は、ｉ＝ｊとすることで式（３）及び（４）から導かれ、ｔｒ（ρ_１ρ_１）については第１の測定ユニット１６ａ、ｔｒ（ρ_２ρ_２）については第２の測定ユニット１６ｂによりそれぞれ提供される個々の測定結果から局所的に得られる。

[0129]決定ユニット２２は、トレース積ｔｒ（ρ_１ρ_２）並びに純粋度ｔｒ（ρ_１ρ_１）及びｔｒ（ρ_２ρ_２）を用いて、２つの量子状態ρ_１及びρ_２の最大忠実度を決定するようにしてもよいし、

２つの量子状態ρ_１及びρ_２の幾何平均忠実度を決定するようにしてもよく、

いずれも、量子状態ρ_１及びρ_２の近さを特徴付ける有意な類似性測度として機能し得る。最大忠実度及び幾何平均忠実度の特性のほか、量子状態ρ_１及びρ_２の比較測度としての適性については、Ｙ．－Ｃ．Ｌｉａｎｇ ｅｔ ａｌ．，Ｒｅｐ．Ｐｒｏｇｒ．Ｐｈｙｓ．８２（２０１９）０７６００１によってさらに詳しく論じられている。

[0130]対称的な正規化により、幾何平均忠実度は、特定種類の非干渉性に対して特に堅牢である。

[0131]最大忠実度及び幾何平均忠実度は単に、本開示の背景において採用され得る有意な類似性測度の２つの例を提供するに過ぎず、本開示はこれに限定されないことを強調する。好適な忠実度の別の例がＹ．－Ｃ．Ｌｉａｎｇ ｅｔ ａｌ．，Ｒｅｐ．Ｐｒｏｇｒ．Ｐｈｙｓ．８２（２０１９）０７６００１により示されている。

[0132]図１並びに式（３）及び（４）を参照して上述した構成において、ランダムユニタリ演算は、ヒルベルト空間Ｈから一様にサンプリングされる。ただし、多くの実用的なシナリオにおいて、ヒルベルト空間Ｈは、より小さな次元のヒルベルト空間のテンソル積として表されるため、いくつかのシナリオにおいては、局所ユニタリ演算の対応するテンソル積に対して変換を制限するのが好都合と考えられる。いくつかの状況において、局所ランダムユニタリは、大域ユニタリよりも実験での実装が容易であり得る。

[0133]局所ユニタリのテンソル積を変換に採用して２つの量子状態を比較するシステム１０’を図２に模式的に示すが、対応する構成要素については、図１と同じ参照記号により示している。

[0134]図２の背景においては、それぞれがｄ次元のＮ_Ａ個の部分系のテンソル積として表される量子系を仮定すると、第１の変換ユニット１４ａ及び第２の変換ユニット１４ｂにおいて、局所ランダムユニタリＵ_ｋの積として定義される形式

の同じランダムユニタリＵを量子状態ρ_１及びρ_２の両者に適用可能である。ここで、局所ランダムユニタリＵ_ｋは、局所ヒルベルト空間上で定義されたユニタリ２－デザインから独立して一様に分布するようにサンプリング可能である。

[0135]図１の構成とは逆に、図２の構成において、ランダムユニタリは、第１の変換ユニット１４ａにより選択されるのではなく、疑似乱数発生器（図示せず）を備え得る外部選択ユニット２４によって選択される。選択ユニット２４は、ネットワークリンク等の従来型通信リンク２６ａ、２６ｂをそれぞれ介して、ランダムユニタリを特徴付ける情報を第１の変換ユニット１４ａ及び第２の変換ユニット１４ｂに提供するようにしてもよい。

[0136]その後、変換量子状態が第１の測定ユニット１６ａ及び第２の測定ユニット１６ｂそれぞれに提供されるが、ここでは、積ベースの射影測定｜ｓ＞＝｜ｓ_１，_・・・，ｓ_ＮＡ＞が実行されてもよい。ここで、ｓは、図１を参照して上述したのと同様に、個々の量子系ｋ＝１，・・・，Ｎ_Ａに対して考え得る測定結果列を示しており、固定のユニタリ演算Ｕに対してこれらの測定を繰り返すことで確率の推定値Ｐ_Ｕ ^（ｉ）（ｓ）＝ｔｒ（Ｕρ_ｉＵ^†｜ｓ＞＜ｓ｜）が得られる。後続ステップでは、多くの異なるテンソル積ランダムユニタリＵに対して、この手順が繰り返される。

[0137]ここでも、Ａｎｄｒｅａｓ Ｅｌｂｅｎ ｅｔ ａｌ．，“Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｌｏｃａｌｌｙ ｒａｎｄｏｍｉｚｅｄ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ： Ａ ｔｏｏｌｂｏｘ ｆｏｒ ｐｒｏｂｉｎｇ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｉｎ ｍａｎｙ－ｂｏｄｙ ｑｕａｎｔｕｍ ｓｔａｔｅｓ”，Ｐｈｙｓ．Ｒｅｖ．Ａ９９（２０１９）０５２３２３に示される通り、この場合の量子状態ρ_１及びρ_２のトレース積は、以下の形式

を有する。
ここで、―――――は、式（７）の形式の局所ランダムユニタリＵのテンソル積に対するアンサンブル平均を示し、ｄは、局所ヒルベルト空間の次元を示す。Ｄ［ｓ，ｓ’］は、ｓ_ｋ≠ｓ’_ｋとなるスピンの数として定義されるハミング距離を示す。すなわち、Ｄ［ｓ，ｓ’］＝＃｛ｋ｜ｓ_ｋ≠ｓ’_ｋ｝である。

[0138]この場合も、ｉ＝１，２に対する純粋度ｔｒ（ρ_ｉρ_ｉ）は、ｉ＝ｊとすることで式（８）から導かれ、ｔｒ（ρ_１ρ_１）については第１の測定ユニット１６ａ、ｔｒ（ρ_２ρ_２）については第２の測定ユニット１６ｂによりそれぞれ提供される個々の測定結果から局所的に得られる。

[0139]決定ユニット２２は、トレース積ｔｒ（ρ_１ρ_２）並びに純粋度ｔｒ（ρ_１ρ_１）及びｔｒ（ρ_２ρ_２）を用いて、式（５）に係る最大忠実度又は式（６）に係る幾何平均忠実度等、第１の量子状態ρ_１と第２の量子状態ρ_２との間の類似性測度を決定するようにしてもよい。

[0140]図３は、一実施形態に係る、２つの量子状態を比較する方法を示したフロー図である。

[0141]ステップＳ１０においては、第１のプラットフォーム１２ａ等の第１のノードで第１の量子状態を与える。

[0142]ステップＳ１２においては、第１の複数のユニタリ演算によって、第１の量子状態を変換することにより、第１の複数の変換量子状態を得る。

[0143]ステップＳ１４においては、第１の一組の量子測定によって、第１の複数の変換量子状態を測定することにより、第１の一組の測定結果を得る。

[0144]第１のノードから空間的又は時間的に分離され得る第２のプラットフォーム１２ｂ等の第２のノードにおいても、同様の動作を実行する。

[0145]ステップＳ２０においては、第２のノードで第２の量子状態を与える。

[0146]ステップＳ２２においては、第１のノードで採用された第２の複数のユニタリ演算によって、第２の量子状態を変換することにより、第２の複数の変換量子状態を得る。ここで、第２の複数のユニタリ演算は、第１の複数のユニタリ演算に対応する。特に、第２の複数のユニタリ演算は、第１の複数のユニタリ演算と同一であってもよい。

[0147]ステップＳ２４においては、第２の一組の量子測定によって、第２の複数の変換量子状態を測定することにより、第２の一組の測定結果を得る。

[0148]最後に、ステップＳ３０においては、第２の一組の測定結果における第１の一組の測定結果に関して、第１の量子状態と第２の量子状態との間の類似性測度を決定する。ここで、類似性測度は、第１の量子状態及び第２の量子状態のトレース積を含む。

[0149]図１～図３を参照して上述したプロトコルによれば、２つの量子状態ρ_１及びρ_２の類似性又は忠実度を決定可能であり、注目すべき点としては、２つのプラットフォーム１２ａ、１２ｂ間でのランダムユニタリ及び測定結果の従来型通信さえあればよい。実験は場合により、時間及び／又は空間の非常に異なる時点において行われる。これらのプロトコルでは、量子状態に関する予備知識を必要も仮定もしない。これらの状態としては、純粋状態又は混合状態が可能であり、部分系を参照するため、様々な系サイズに対する部分系忠実度の比較が可能となる。

[0150]これらのプロトコルの使用によって、実験－理論比較の形態での既知の理論的目標状態に対する量子状態の比較も可能であるし、実験により得られた２つの異なる量子状態の比較も可能である。
実験の実行回数のスケーリング

[0151]実際のところは、ユニタリ演算ごとに実行される有限回の射影測定Ｎ_Ｍ並びにトレース積及び純粋度の推測に用いられる有限回のユニタリ演算Ｎ_Ｕによって、最大忠実度又は幾何平均忠実度等の推定類似性測度の統計誤差が生じ得る。したがって、Ｎ_Ａ個のキュービットを含む系の場合は、この統計誤差を予め定められた閾値ε未満に抑えるのに必要な総実験回数Ｎ_ＭＮ_Ｕ（測定予算）のスケーリングが実験的に重要となる。また、所与の測定予算Ｎ_ＭＮ_Ｕに対する最適なリソース配分も問題となる。

[0152]図４は、Ｎ_Ｍ及びＮ_Ｕの関数としての平均統計誤差の計算結果を示している。単純化のため、２つの量子状態ρ_１及びρ_２の目標忠実度Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）が既知であるものと仮定し、推定忠実度［Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）］_ｅの統計誤差｜［Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）］_ｅ－Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）｜のスケーリングを解析する。実験的に重要な系サイズに着目し、Ｎ_Ｕ個の局所ランダムユニタリを２つの量子状態ρ_１及びρ_２に適用して実験を模擬するとともに、各状態から独立してＮ_Ｍ個の射影測定をサンプリングする。その後、式（８）及び（５）を用いて最大忠実度Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）の推定値［Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）］_ｅを推測し、これらの数値実験の多くから、平均統計誤差（例えば、形式｜［Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）］_ｅ－Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）｜）を決定する。図４に提示の結果については、２つのプラットフォーム１２ａ、１２ｂ上の量子状態ρ_１及びρ_２が同一である場合すなわち厳密な忠実度Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）＝Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_１）＝１の場合に焦点を合わせる。

[0153]図４ａ及び図４ｂにおいては、Ｎ_Ａ＝８キュービット（ｄ＝２）の系のＮ_Ｍ及び大きく異なる２種類の状態の様々なＮ_Ｕの関数として、平均統計誤差｜［Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）］_ｅ－１｜を示している。図４ａは、純粋な積の状態の結果を示しており、図４ｂは、純粋な（もつれた）ハールランダム状態の結果を示している。解析の結果、Ｎ_Ｍ＜Ｄ且つＮ_Ｕ＞＞１の領域では、スケーリングが以下の通りである。

[0154]したがって、単位目標忠実度の場合、総測定予算Ｎ_ＭＮ_Ｕの最適な配分は、Ｎ_Ｕを小さく固定し、Ｎ_Ｍを最適化することである。

[0155]図４ｃは、予め定められた平均統計誤差｜［Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）］_ｅ－１｜≦ε＝０．０５までの最大忠実度Ｆ_ｍａｘ（ρ_１，ρ_２）の決定に必要なユニタリ当たりの射影測定の最小数Ｎ_Ｍのスケーリングを示している。この場合のスケーリングは、

であって、純粋な積の状態ではｂ＝０．８±０．１、純粋な（もつれた）ハールランダム状態ではｂ＝０．６±０．１であり、テストしたε＝０．０２，・・・，０．２に対して持続する。Ｎ_Ｍ＋３キュービットのランダム状態から３キュービットを追跡して得られる混合ランダム状態に対しても、より大きな前因子を用いた同様のスケーリングが可能である。スケーリングは、指数関数的であるにも関わらず、通常は指数がｂ＞２である完全な量子状態トモグラフィの場合よりも著しく穏やかである。

[0156]概略的に、所与の測定予算Ｎ_ＭＮ_Ｕに対するＮ_Ｍ対Ｎ_Ｕの最適な配分は、量子状態、特に、それぞれの忠実度及び所望の統計誤差εによって決まり得る。
再サンプリング技術

[0157]新たに取得したデータから測定リソースＮ_Ｍ対Ｎ_Ｕの配分が段階的に推測される反復手順が適用されてもよい。このため、再サンプリング技術を用いることにより、Ｎ_Ｕ又はＮ_Ｍを増加させた場合に予想される推定忠実度の標準誤差の低下が計算されてもよい。

[0158]例えば、標準誤差を推定するため、ランダムユニタリ全体でブートストラップ再サンプリングが採用されてもよい。通常は、それぞれのサイズがＮ_Ｕの２５０～５００個のブートストラップ再サンプルを置換して描くことができる。各再サンプルのユニタリに対応する射影測定のデータ（ユニタリ当たりＮ_Ｍ個の射影測定）を取得するとともに、再サンプルごとに忠実度を推定する。こうして、新しく推定された一組の忠実度の平均の標準誤差のみによって、標準誤差のブートストラップ推定値が与えられる。

[0159]ブートストラッピングによる標準誤差推定は、既に得られたデータに基づいて、実験におけるユニタリ当たりのランダムユニタリＮ_Ｕ及び射影測定Ｎ_Ｍへの総測定予算Ｎ_ＭＮ_Ｕの配分を反復的に選定するアルゴリズムの基本的な要素を構成していてもよい。まず、Ｎ_Ｍ＝５０＝Ｎ_Ｕ等、少数のユニタリ及びユニタリ当たり測定によって忠実度推定を実験的に実行し、ブートストラッピングを用いてその標準誤差を推測するようにしてもよい。次に、一例として、ｎ＝１０個のユニタリ又はｎ＝１０個のユニタリ当たり測定の実験データが削除され、削減された両データセットから、忠実度をさらに２回推定するようにしてもよい。削減されたデータセットに対するブートストラッピングにより得られた２つの新たな推定値の標準誤差を元の推定値の標準パワーと比較するようにしてもよい。標準誤差が最も大きくなる方向から、Ｎ_Ｍ又はＮ_Ｕがそれぞれ大きくなる場合に、最大の低下が予想され得る。その後、前回と同じユニタリの一方でＮ_Ｍを増やす場合又はユニタリＮ_Ｕを増やす一方でユニタリ当たり測定回数Ｎ_Ｍを一定に保つ場合について、さらに実験を行うようにしてもよい。この手順は、推定忠実度の標準誤差が予め定められた目標値を下回るまで反復的に繰り返されてもよい。
トラップイオンによる忠実度推定

[0160]図５及び図６を参照して、トラップイオン量子シミュレータにおいてクエンチダイナミクスにより作成された高もつれ量子状態の実験－理論忠実度及び実験－実験忠実度の決定を表現する。これらの実験に使用した生データは、Ｔ．Ｂｒｙｄｇｅｓ ｅｔ ａｌ．，Ｓｃｉｅｎｃｅ ３６４（２０１９）２６０に由来する。

[0161]ＸＹハミルトニアンによる量子クエンチ後のもつれ発生

を実験的にモニタリングした。ここで、
σ_ｉ ^ｚは、第３スピン－１／２パウリ演算子を示し、σ_ｉ ^＋は、スピン上昇演算子を示し、σ_ｉ ^－は、スピンｉに作用するスピン下降演算子を示し、Ｊ_ｉｊ≒Ｊ_０／｜ｉ－ｊ｜^αは、近似的なべき乗則の減衰を伴う結合行列である（α＝１．２４及びＪ_０＝４２０／ｓ）。Ｎ＝１０イオンの初期ニール状態ρ_Ｅ（０）≒｜ψ＞＜ψ｜、ただし｜ψ＞＝｜０，１，０，・・・，１＞は、Ｈ_ＸＹ下で時間進行により状態ρ_Ｅ（ｔ）となった。その後、変換測定を実行し、結果確率Ｐ_Ｕ，Ｅ（ｓ）の統計的自己相関から、ρ_Ｅ（ｔ）（及び、任意のサブシステンスの密度行列）の純粋度及び２次レニーエントロピーを推測した。合計でＮ_Ｕ＝５００個のランダムユニタリを使用し、ランダムユニタリ当たりＮ_Ｍ＝１５０回の射影測定を実行した。

[0162]実験を数値的に模擬して対応する理論状態ρ_Ｔ（ｔ）を得るため、厳密な対角化によってユニタリダイナミクスを模擬するようにしてもよいし、マスター方程式を厳密に解いてデコヒーレンス効果を含むようにしてもよい。その後、実験で採用したＮ_Ｕ＝５００個のランダムユニタリをρ_Ｔ（ｔ）に適用し、ランダムユニタリごとに、占有確率Ｐ_Ｕ，Ｔ（ｓ）を厳密に計算した。

[0163]図５ａ及び図５ｂは、量子クエンチ後の様々な時間にわたり、連結パーティションの縮退状態の実験－理論最大忠実度Ｆ_ｍａｘ（ρ_Ｅ，ρ_Ｔ）を系サイズＮ_Ａの関数として示している。図５ａは、ユニタリダイナミクスの模擬により計算された理論状態の結果を示している。一方、図５ｂは、状態作成（不完全な初期状態の作成、スピンフリップ、及び脱位相ノイズ）並びに測定プロセス（ランダム測定時の脱分極ノイズ）に固有のデコヒーレンス効果をさらに含む。いずれの場合も、単一キュービットの忠実度が時間的に一定で、１に近いことが分かる。部分系のサイズ及び時間の増大とともに、推定忠実度は低くなる傾向にある。驚くべきことに、系が複雑な多体系ダイナミクスを経て高もつれ状態となった場合は、遅い時間Ｔ＝５ｍｓにおいても、理論－実験忠実度が０．６以上（図５ａ）及び０．７以上（図５ｂ）であることが分かる。

[0164]以下、同じ実験において順次作成された量子状態の実験－実験忠実度について、図６を参照しつつ説明する。この解析では、実験データを（本明細書において、実験Ｅ１及び実験Ｅ２と称する）２つの部分に分けたが、それぞれ、同じＮ_Ｕ＝５００個のランダムユニタリ及びＮ_Ｍ＝７５個のランダムユニタリ当たり射影測定に対する測定結果から成る。式（８）に従ってトレース積及び純粋度を計算するとともに，これらの結果から、式（５）に従って最大忠実度を決定した。図６ａ及び図６ｂにおいては、それぞれｔ＝０ｍｓ及びｔ＝１ｍｓにおける部分系サイズの関数として、実験－実験及び理論－実験の比較を表示している。理論－実験忠実度と比較して、実験－実験忠実度は、ｔ＝０ｍｓ及びｔ＝１ｍｓの両者で高くなっている。結論として、従来型コンピュータ上のものと比較して系統的な不一致はあるものの、実験においては、ランダムユニタリが再現性よく作成されている。

[0165]最後に、図６ｃ及び図６ｄは、様々な時間で進行した２つの量子状態の実験－実験最大忠実度を示している。図６ｃは、Ｈ_ＸＹにより完全に支配された「クリーン」な系の結果を示しており、図６ｄは、付加的な乱れＨ’＝Ｈ_ＸＹ＋Σ_ｊδ_ｊσ_ｊ ^ｚをその場で追加した場合の結果を示している。δ_ｊは、区間［－３Ｊ_０，３Ｊ_０］からランダムに取り出したものである。クリーンな系では、部分系のサイズ及び時間差の関数として忠実度が急速に減衰し、相互作用する多体系における複雑でエルゴード的なダイナミクスに類似することが分かる。一方、乱れ系では、忠実度が初期に短時間減衰した後、略一定に保たれ、大きな部分系でも有限の正の値を維持する。

[0166]上述のプロトコルによれば、直接的な忠実度測定によって、量子状態又は量子素子のプラットフォーム間検証が可能となり、従来型通信さえあれば、完全な量子状態トモグラフィよりも測定回数を大幅に減らせる。これらの結果は、数十個のキュービットから成る部分系に対して、繰り返し率が高い先行技術の量子シミュレータ及びコンピュータに適用可能である。大規模な量子系では、これらのプロトコルによって、許容範囲の統計誤差及び測定予算で決まる所与のサイズまでの考え得るすべての部分系の忠実度を利用可能であるため、大規模な量子系の精密な比較が可能になる。適応サンプリング技術によれば、特に、関心量子状態に関する何らかの知識が考慮される場合、測定コストが削減され得る。

[0167]好適な実施形態及び図面の説明は単に、本開示に係る技術及びそれと関連付けられた利点を説明するためのものであり、如何なる限定をも暗示しないことが了解されるものとする。本開示の範囲は、添付の特許請求の範囲により決定されるものとする。

符号

１０、１０’ ２つの量子状態を比較するシステム
１２ａ、１２ｂ システム１０の第１及び第２のプラットフォーム
１４ａ、１４ｂ 第１及び第２のプラットフォーム１２ａ、１２ｂの第１及び第２の変換ユニット
１６ａ、１６ｂ 第１及び第２のプラットフォーム１２ａ、１２ｂの第１及び第２の測定ユニット
１８ 通信ユニット
２０ 従来型情報チャネル
２２ 決定ユニット
２４ 選択ユニット
２６ａ、２６ｂ 従来型通信リンク

Claims (20)

1. ２つの量子状態を比較する方法であって、
   第１のノード（１２ａ）で第１の量子状態を与えるステップと、
   第１の複数のユニタリ演算によって、前記第１の量子状態を変換することにより、第１の複数の変換量子状態を得るステップと、
   第１の一組の量子測定によって、前記第１の複数の変換量子状態を測定することにより、第１の一組の測定結果を得るステップと、
   第２のノード（１２ｂ）で第２の量子状態を与えるステップと、
   第２の複数のユニタリ演算によって、前記第２の量子状態を変換することにより、第２の複数の変換量子状態を得るステップであり、前記第２の複数のユニタリ演算が、前記第１の複数のユニタリ演算に対応する、ステップと、
   第２の一組の量子測定によって、前記第２の複数の変換量子状態を測定することにより、第２の一組の測定結果を得るステップと、
   前記第１の一組の測定結果及び前記第２の一組の測定結果に関して、前記第１の量子状態と前記第２の量子状態との間の類似性測度を決定するステップと、
   を含み、
   前記類似性測度が、前記第１の量子状態及び前記第２の量子状態のトレース積を含む、方法。
2. 前記第１の量子状態及び／又は前記第２の量子状態が、混合量子状態である、請求項１に記載の方法。
3. 前記類似性測度が、前記第１の量子状態の純粋度及び／又は前記第２の量子状態の純粋度を含む、請求項１又は２に記載の方法。
4. 前記類似性測度が、量子忠実度、特に、混合状態量子忠実度であるか、又は、量子忠実度、特に、混合状態量子忠実度を含む、請求項１～３のいずれか一項に記載の方法。
5. 前記第２のノード（１２ｂ）が、前記第１のノード（１２ａ）から空間的に遠隔及び／又は時間的に遠隔である、請求項１～４のいずれか一項に記載の方法。
6. 特に前記第１のノード（１２ａ）と前記第２のノード（１２ｂ）との間の従来型通信の形態において、前記第１の複数のユニタリ演算を特徴付ける情報を前記第１のノード（１２ａ）から前記第２のノード（１２ｂ）に提供するステップを含む、請求項１～５のいずれか一項に記載の方法。
7. 前記第１の複数のユニタリ演算及び前記第１の一組の量子測定が、前記第１の量子状態若しくは前記第２の量子状態のヒルベルト空間上のタイトフレームを構成するか、又は、前記第１の量子状態若しくは前記第２の量子状態のヒルベルト空間上のタイトフレームを近似する、請求項１～６のいずれか一項に記載の方法。
8. 前記第１の複数のユニタリ演算のうちのユニタリ演算それぞれが、前記第１のノード（１２ａ）及び／又は前記第２のノード（１２ｂ）に対応するヒルベルト空間上の一群のユニタリ演算からランダムに選択される、請求項１～７のいずれか一項に記載の方法。
9. 前記第１の複数のユニタリ演算のうちのユニタリ演算それぞれが、前記第１のノード（１２ａ）及び／又は前記第２のノード（１２ｂ）に対応するテンソル積ヒルベルト空間上の複数の局所ユニタリ演算のテンソル積として選択され、特に、前記第１の複数のユニタリ演算のうちのユニタリ演算それぞれが、前記第１のノード（１２ａ）及び／又は前記第２のノード（１２ｂ）に対応するテンソル積ヒルベルト空間上の複数の局所ユニタリ演算のテンソル積としてランダムに選択される、請求項１～８のいずれか一項に記載の方法。
10. 前記第１の複数のユニタリ演算のうちのユニタリ演算それぞれが、特に１より大きな整数ｔによるユニタリ群上のユニタリｔ－デザイン又はユニタリ群上のハール測度に従って、ランダムに独立して選択されるとともに一様に分布した、請求項１～９のいずれか一項に記載の方法。
11. 前記第１の一組の量子測定及び／又は前記第２の一組の量子測定が、射影測定及び／又は直交測定である、請求項１～１０のいずれか一項に記載の方法。
12. 前記第２の一組の量子測定が、前記第１の一組の量子測定と一致する、請求項１～１１のいずれか一項に記載の方法。
13. 前記類似性測度の予め定められた精度、前記第１の量子状態の次元、及び／又は前記第２の量子状態の次元に従って、前記第１の複数のユニタリ演算中の前記ユニタリ演算の数及び／若しくは前記第２の複数のユニタリ演算中の前記ユニタリ演算の数を選択するステップ、並びに／又は、前記第１の一組の量子測定中の前記量子測定の数及び／若しくは前記第２の一組の量子測定中の前記量子測定の数を選択するステップ、をさらに含む、請求項１～１２のいずれか一項に記載の方法。
14. 特にブートストラッピング及び／又は再サンプリングによって反復的に、前記第１の一組の量子測定中の前記量子測定の数及び／若しくは前記第２の一組の量子測定中の前記量子測定の数を選択するステップ、並びに／又は、前記第１の複数のユニタリ演算中の前記ユニタリ演算の数及び／若しくは前記第２の複数のユニタリ演算中の前記ユニタリ演算の数を選択するステップ、をさらに含む、請求項１～１３のいずれか一項に記載の方法。
15. コンピュータ可読命令を含むコンピュータプログラムであって、前記コンピュータ可読命令が、コンピュータ上に読み出された場合に、請求項１～１４のいずれか一項に記載の方法を実行するように構成された、コンピュータプログラム。
16. ２つの量子状態を比較するシステム（１０、１０’）であって、
    第１のノード（１２ａ）における第１の変換ユニット（１４ａ）であり、第１の複数のユニタリ演算によって、第１の量子状態を変換することにより、第１の複数の変換量子状態を得るように構成された、第１の変換ユニット（１４ａ）と、
    前記第１のノード（１２ａ）における第１の測定ユニット（１６ａ）であり、第１の一組の量子測定によって、前記第１の複数の変換量子状態を測定することにより、第１の一組の測定結果を得るように構成された、第１の測定ユニット（１６ａ）と、
    第２のノード（１２ｂ）における第２の変換ユニット（１４ｂ）であり、第２の複数のユニタリ演算によって、第２の量子状態を変換することにより、第２の複数の変換量子状態を得るように構成され、前記第２の複数のユニタリ演算が、前記第１の複数のユニタリ演算に対応する、第２の変換ユニット（１４ｂ）と、
    前記第２のノード（１２ｂ）における第２の測定ユニット（１６ｂ）であり、第２の一組の量子測定によって、前記第２の複数の変換量子状態を測定することにより、第２の一組の測定結果を得るように構成された、第２の測定ユニット（１６ｂ）と、
    前記第１の一組の測定結果及び前記第２の一組の測定結果に関して、前記第１の量子状態と前記第２の量子状態との間の類似性測度を決定するように構成された決定ユニット（２２）と、
    を備え、
    前記類似性測度が、前記第１の量子状態及び前記第２の量子状態のトレース積を含む、システム（１０、１０’）。
17. 前記第１のノード（１２ａ）及び／又は前記第２のノード（１２ｂ）に対応するヒルベルト空間上の一群のユニタリ演算から、前記第１の複数のユニタリ演算のうちのユニタリ演算それぞれをランダムに選択するように構成された、請求項１２に記載のシステム（１０、１０’）。
18. 前記第１のノード（１２ａ）及び／又は前記第２のノード（１２ｂ）に対応するテンソル積ヒルベルト空間上の複数の局所ユニタリ演算のテンソル積として、前記第１の複数のユニタリ演算のうちのユニタリ演算それぞれをランダムに選択するように構成され、
    特に、前記第１のノード（１２ａ）及び／又は前記第２のノード（１２ｂ）に対応するテンソル積ヒルベルト空間上の複数の局所ユニタリ演算のテンソル積として、前記第１の複数のユニタリ演算のうちのユニタリ演算それぞれをランダムに選択するように構成された、請求項１６又は１７に記載のシステム（１０、１０’）。
19. 特に従来型通信の形態において、前記第１の複数のユニタリ演算を特徴付ける情報を前記第１の変換ユニット（１４ａ）から前記第２の変換ユニット（１４ｂ）に提供するように構成された通信ユニット（１８）をさらに備えた、請求項１６～１８のいずれか一項に記載のシステム（１０、１０’）。
20. 前記通信ユニット（１８）が、前記第１の複数のユニタリ演算を特徴付ける前記情報を格納するように構成されたメモリユニットを備えた、請求項１９に記載のシステム（１０、１０’）。

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