JP2023070559A

JP2023070559A - フライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ及びその最適内外径比の決定方法

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Publication number: JP2023070559A
Application number: JP2021182821A
Authority: JP
Inventors: 智谷本; Satoshi Tanimoto; 孝中村; Takashi Nakamura
Original assignee: Nexfi Technology Inc
Current assignee: Nexfi Technology Inc
Priority date: 2021-11-09
Filing date: 2021-11-09
Publication date: 2023-05-19
Also published as: WO2023085098A1

Abstract

【課題】限界蓄積エネルギーを最大とさせるフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ及びその最適内外径比の決定方法を提供することを目的とする。【解決手段】外半径をｂ、内半径をａ、丈をｈとする、フライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ１において、外半径ｂの円を底面とし、丈をｈとする仮想中実円盤の体積πｂ２ｈを「体格」と定義するとき、回転時における、最大の体格限界蓄積エネルギー密度を達成し得る最適内外径比はλＯＰＴ＝ａ／ｂ、もしくは、該λＯＰＴ近傍の内外径比を備えている。【選択図】図１

Description

本発明は、フライホイール蓄電装置のフライホイールの主要素である中空円盤（円筒を含む）ロータの蓄積エネルギーを向上させる技術に関する。特に、円周方向の縦弾性定数と引張降伏強度が半径方向のそれらより高い直交異方性を備えたフライホイール中空円盤ロータの蓄積エネルギーを向上させる技術に関するものである。これに該当する典型的なロータとしては高強度繊維を円周方向に巻いて繊維の間隙をエポキシ樹脂などで含浸固化させた「繊維強化プラスチック」ロータがあげられるが、これに限定するものではない。以下「直交異方性中空円盤（または円筒）ロータ」を単に「ロータ」、「フライホイール」を「ＦＷ」と略記する場合がある。

ＦＷ蓄電装置は、電気エネルギーと回転運動エネルギーを相互に変換する手段を介して、外部電力をＦＷロータに回転運動エネルギーとして蓄積したり、逆に、ＦＷロータの回転運動エネルギーを外部に電力として給電したりする機能を備えた蓄電装置である。

周知の電気化学蓄電装置（所謂二次電池）と比較すると、低温環境でも高温環境でも安定して機能する。充放電を繰り返しても、充電状態で放置しても、特性や寿命の劣化がほとんど起こらない、正確な充電量を簡単に検知できる、入出力密度を自在に設計できる、内部抵抗が小さい、などの優れた特長を有している。

近年、旧来のバルク金属製ＦＷロータに替えて、高強度繊維（炭素繊維やガラス繊維、アラミド繊維など）を円周方向に沿って巻いて（マトリクス剤としての）プラスチックを含侵させた「複合プラスチック（ＦｉｂｅｒＲａｉｎｆｏｒｃｅｄＰｌａｓｔｉｃｓ）」ＦＲＰ－ＦＷロータの開発が盛んである。

その訳は、円周方向に強化したＦＲＰが「低密度」でかつ「円周方向に高強度」、というＦＷロータにとって好適な特性を備えているからである。ＦＲＰ－ＦＷロータと用いて構成したＦＷ蓄電装置は、旧来の金属製ＦＷロータＦＷ蓄電装置と比べると、蓄積エネルギーを少なくとも数倍のレベルで増大させられるだろうと期待されている。

このようなＦＲＰ－ＦＷロータは、構造上、強い直交異方性を有している。即ち、円周方向に沿って縦弾性定数（ヤング率）や引張降伏強度が非常に大きく、これに垂直な半径方向や回転軸方向ではかなり小さいという特徴を持っている。

ＦＲＰ－ＦＷロータの典型例として、例えば、下記特許文献１の図１と図５に記載されているようなＦＷの高強度炭素繊維強化プラスチック（ＣＦＲＰ）－ＦＷロータがある。

このＦＷの基本構成を述べると、当該ＦＷは、回転エネルギーを貯蔵する中空円盤ＣＦＲＰ－ＦＷロータと、前記ＣＦＲＰ－ＦＷロータの回転エネルギーを授受し発電機／モータに伝達する回転シャフトと、前記ＣＦＲＰロータと前記回転シャフトを接続するスポーク型ハブと、からなっている。

ＣＦＲＰ－ＦＷロータの高強度炭素繊維は円周方向に沿って巻回積層され、回転時、円周方向に生じる強い引張応力に十分対抗できるように引張降伏強度の強化を図っている。このような構成にするのは、破壊の原因となる回転引張応力が半径方向より円周方向に向かって非常に強く（典型的には１桁以上）発生するからである。

更に同特許文献には質量エネルギー密度（単位Ｗｈ／ｋｇ）を最大化させるようにＦＷロータを最適化すること、そのために、内直径を２ａ（ａは内半径）、外直径を２ｂ（ｂは内半径）とするとき、内外径比ａ／ｂは０．６５～０．７５の範囲に収めるべきこと（特許文献１の図３では最適値０．７）が記されている。

特開２０００－５５１３４号公報

しかしながら、特許文献１に代表される従来のＦＲＰ（ＣＦＲＰ）－ＦＷロータ（外半径ｂ）においては、達成可能な最大の限界蓄積エネルギーを実現できていない、という問題があった。これはロータの構造の最適化（具体的には内外径比λ（＝ａ／ｂ）の最適化）が考慮されてなかったこと、あるいは、不適切になされてたこと、が原因である。

ここで言う「限界蓄積エネルギー」とは、ロータの蓄電性能を評価（比較）するときの基本量であって、回転速度を上げているロータが破壊する寸前に蓄えることができた最大の回転運動エネルギーのことを指す。詳細は後述するが、ＦＲＰロータの限界蓄積エネルギーは形状（具体的には内外径比λ）に強く依存する。

本発明は、上記の点を鑑み、限界蓄積エネルギーを最大とさせるフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ及びその最適内外径比の決定方法を提供することを目的とする。なお、本発明はフライホイール蓄電装置のフライホイールの主要素であるＦＷロータに関するもので、他の主要素であるハブや回転シャフトの形態や構造に拘わらず適用できる。

かかる目的を達成するために、請求項１に係る発明は、外半径をｂ、内半径をａ、丈をｈとする、フライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、外半径ｂの円を底面とし、丈をｈとする仮想中実円盤の体積πｂ^２ｈを「体格」と定義するとき、回転時における、最大の体格限界蓄積エネルギー密度を達成し得る最適内外径比はλ_ＯＰＴ＝ａ／ｂ、もしくは、該λ_ＯＰＴ近傍の内外径比を備えていることを特徴とする。

請求項２に係る発明は、請求項１記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、前記直交異方性中空円盤ロータの直交異方性には、少なくとも、円周方向の縦弾性定数と引張降伏強度が半径方向の縦弾性定数と引張降伏強度より高くなる異方性が含まれることを特徴とする。

請求項３に係る発明は、請求項１記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、密度をρ、円周方向縦弾性率をＥ_θ、半径方向縦弾性率をＥ_ｒ、円周方向ポアソン比をν_θ、円周方向引張降伏強度をσ_ｙθ、半径方向引張降伏強度をσ_ｙｒとするとき、前記最適内外径比λ_ＯＰＴはＥ_θ、Ｅ_ｒ、ν_θ、σ_ｙθ、σ_ｙｒ、ρを用いて解析的に決定されることを特徴とする。

請求項４に係る発明は、請求項２記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、円周方向に巻層した高強度繊維の空隙をマトリクス剤で含侵させた複合材料で構成されることを特徴とする。

請求項５に係る発明は、請求項４記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、前記高強度繊維は、炭素繊維もしくはホウ素繊維、ガラス繊維、アラミド繊維、アルミナ繊維、炭化珪素繊維、各種金属繊維から選ばれた１つの繊維、または、これらを２以上組み合わせた複合繊維であることを特徴とする。

請求項６に係る発明は、請求項４記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、前記マトリクス剤はエポキシ樹脂を含む各種樹脂、あるいは、ＡｌやＭｇを含む軽量低温溶融金属であることを特徴とする。

請求項７に係る発明は、請求項１記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、前記最適内外径比λ_ＯＰＴ近傍の内外径比は、少なくともλ_ＯＰＴ－０．１～λ_ＯＰＴ＋０．１の範囲であり、望ましくはλ_ＯＰＴ－０．０５～λ_ＯＰＴ＋０．０５の範囲であることを特徴とする。

請求項８に係る発明は、請求項３記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおける最適内外径比λ_ＯＰＴの決定方法であって、少なくとも体格限界エネルギー密度Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）を内外径比λの関数として表す工程を含むこと
を特徴とする。

請求項９に係る発明は、請求項８記載の最適内外径比λ_ＯＰＴの決定方法において、
１）前記直交異方性中空円盤ロータの半径ｒ地点の回転応力σ_θ、σ_ｒ（下付き符号θは円周方向、ｒは半径方向を意味する）を、λをパラメータとするｒの関数として表式する工程と、
２）該関数σ_θ、σ_ｒの最大点σ_θＭ、σ_ｒＭをλの関数曲線σ_θＭ－λ、σ_ｒＭ－λとして求める工程と、
３）該関数曲線σ_θＭ－λ、σ_ｒＭ－λを変換して限界周速ｂω_ｙとλの関数曲線ｂω_ｙ－λを求める工程（ただしω_ｙは前記直交異方性中空円盤ロータの限界角速度）と、
４）つづいて該関数曲線ｂω_ｙ－λを体格限界エネルギー密度Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）とλの関数曲線Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λに変換する工程（ただしＵ_ｙは前記直交異方性中空円盤ロータの限界蓄積エネルギー）と、
５）該関数曲線Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λから体格限界エネルギー密度の最大値を与える内外径比の最適値λ_ＯＰＴを検出する工程と、
を備えることを特徴とする。

請求項１０に係る発明は、請求項８記載の最適内外径比λ_ＯＰＴの決定方法において、
１）前記直交異方性中空円盤ロータの半径ｒ地点の回転応力σ_θ、σ_ｒ（下付き符号θは円周方向、ｒは半径方向を意味する）を、λをパラメータとするｒの関数として表式する工程と、
２）該関数σ_θ、σ_ｒの最大点σ_θＭ、σ_ｒＭをσ_ｒＭ／σ_θＭとλの関数曲線σ_ｒＭ／σ_θＭ－λとして求める工程と、
３）こうして求めた該関数曲線σｒＭ／σ_θＭ－λからσ_ｒＭ／σ_θＭ＝σ_ｙｒ／σ_ｙθを満足するλ値、即ちλ_ＯＰＴを検出する工程と、
を備えることを特徴とする。

ＦＷロータの基本構造と構造パラメータの定義を示す図。本発明の第１実施形態を説明するためのＦＷロータの回転応力σと半径rの関係を示す図。本発明の第１実施形態を説明するためのＦＷロータの回転応力最大値σ_Ｍと内外径比λの関係を示す図。本発明の第１実施形態を説明するためのＦＷロータの周速ｂω_ｙと内外径比λの関係を示す図。本発明の第１実施形態を説明するための実際のＦＷロータの周速ｂω_ｙとλの関係を示す図。本発明の第１実施形態を説明するためのＦＷロータの正規化限界エネルギー（体格エネルギー密度）Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）とλの関係を示す図。本発明の第１実施形態を説明するためのＦＷロータの半径方向－対－円周方向最大応力比σ_ｒＭ／σ_θＭとλの関係を示す図。本発明の第１実施形態を説明するためのＦＷロータの質量限界エネルギー密度Ｄ_ｙとλの関係を示す図。本発明の第２実施形態を説明するためのＦＷロータのＵ_ｙ／（πｂ^２ｈ）とλの関係およびσ_ｒＭ／σ_θＭとλの関係を示す図。本発明の第３実施形態を説明するためのＦＷロータのＵ_ｙ／（πｂ^２ｈ）とλの関係およびσ_ｒＭ／σ_θＭとλの関係を示す図。本発明の第４実施形態を説明するためのＦＷロータのＵ_ｙ／（πｂ^２ｈ）とλの関係およびσ_ｒＭ／σ_θＭとλの関係を示す図。本発明の第５実施形態を説明するためのＦＷロータのＵ_ｙ／（πｂ^２ｈ）とλの関係およびσ_ｒＭ／σ_θＭとλの関係を示す図。

本発明者らは、前記従来技術の問題を解決するために、検討と考察を鋭意重ねたところ、遂に限界蓄積エネルギーを最大化させたＦＲＰ－ＦＷロータ構造を解析的に導くに至った。以下に本発明の詳細を説明する。

（ｒ, θ, ｚ）円筒座標系のｚ軸の周りに角速度ωで回転する外半径ｂ、内半径ａ、丈ｈの直交異方性ＦＷロータ１（図１）を考える。このようなＦＷロータ１の半径ｒ点における半径方向の平衡方程式（つり合いの式）は、

であることが知られている。ここで、単位系はＳＩ単位系、変数σ_θ、σ_ｒは円周方向、半径方向にそれぞれ生じる回転応力、ρはＦＷロータ１の材料の密度である。
この微分方程式を２つの境界条件、
ｒ＝ａのときσｒ（ａ）＝０
ｒ＝ｂのときσｒ（ｂ）＝０
を考慮して解析的に解くと、一般解、

ただし、式中のλとηは

が導かれる。Ｅ_θ、Ｅ_ｒはＦＷロータ１の、それぞれ、円周方向と半径方向のヤング率（縦弾性係数）、ν_θはロータ１のθ方向のポアソン比である。σ_ｒ、σ_θは内外径比λをパラメータとした相対半径変数ｒ／ｂの関数であることが分る。

図１の形状をしたＦＷロータ１の蓄積エネルギーＵ（＝回転運動エネルギー）は

で表され、これを変形して内外径比λを使って表記すると

になる。ここで各変数や定数は前式と共通である。（ｂω）^２は周速ｂωの２乗で増加する関数、（１－λ^４）は、λ（０＜λ＜１）が０から１に向かうとλ＝１近傍で急速に１から０（ゼロ）に減少する関数である。

つづいて、具体的な弾性定数を与えて、直交異方性ＦＲＰ－ＦＷロータ１のσ_ｒとσ_θの関数形をグラフ上で確認した後、本発明に係る限界蓄積エネルギーＵ_ｙを最大化させるＦＷロータ１の構造を実現する方法を説明する。

［第１実施形態］
炭素繊維Ｔ１０００Ｇ（東レ株式会社）は、極めて強い引張降伏強度を持った炭素繊維として業界や学界では広く知られている材料である。表１の第１列にはＴ１０００Ｇで円周方向に強化したＣＦＲＰ－ＦＷロータ１の弾性定数（ヤング率Ｅ_θ、Ｅ_ｒ、ポアソン比ν_θ）と引張降伏強度（σ_ｙθ、σ_ｙｒ）、密度ρを掲げている。

使用しているマトリクス剤はエポキシ樹脂４７０－３６Ｓ（ＡｓｈｌａｎｄＩｎｃ．）である。これら数値の根拠となる文献として、「Ｍ．Ａ．Ｃｏｎｔｅｈ，Ｅ．Ｃ．Ｎｓｏｆｏｒ，Ｊ．Ａｐｐｌ．Ｒｅｓ．Ｔｅｃｈ．，１４（２０１６），ｐｐ．１８４－１９０」（参考文献１）を挙げる。

図２は式（２）、式（３）を用いて計算した応力σ_θとσ_ｒの半径プロファイルを示している。ただしグラフの縦軸は応力σ_θとσ_ｒをρ（ｂω）^２で正規化（除）している。各曲線のパラメータは内外径比λ＝ａ／ｂである。グラフを仔細に眺めると、

１）σ_θ曲線にもσ_ｒ曲線にも最大値σ_θＭ、σ_ｒＭ（↓印）があること、
２）これら２値の関係は必ずσ_θＭ > σ_ｒＭであること、
３）λが大きくなると、σ_θＭは増大しσ_ｒＭは減少すること、
４）さらに興味深いことに、或るλでσ_θＭの位置がピークからＦＷ内端にスイッチすること、
が分る。

上記１）～４）を考慮しながら、λの刻み（増分δλ）をもっと小さくして得られる沢山のσ_θ曲線、σ_ｒ曲線の一つひとつからσ_θＭ、σ_ｒＭを都度抽出してプロットすれば、図３のようなσ_θＭ、σ_ｒＭとλの関係を示す曲線（δλ＝０．０１）が得られる。

ＦＷロータ１が降伏する条件はσ_θＭ＝σ_ｙθまたはσ_ｒＭ＝σ_ｙｒであるから、図３のデータと式（２）、式（３）を使って各λに対応した限界周速ｂω_ｙを決定すると、図４のような、円周方向で降伏が起きるときの限界周速ｂω_θｙとλとの曲線（実線）、ならびに、半径方向で降伏が起きるときの限界周速ｂω_ｒｙとλとの曲線（破線）が得られる。

ＦＷロータ１が回転角速度ω（あるいは外径周速ｂω）を次第に速め、ＦＷロータ１内部の円周方向応力最大値σ_θＭと半径方向応力の最大値σ_ｒＭが高まり、遂にどちらか一方がそれぞれの引張降伏強度であるσ_ｙθ、σ_ｙｒを超えたとき、ＦＷロータ１は降伏（破壊）する。この最大応力破壊モデルに従って、図４を再考すると、ＦＷロータの実際のｂω_ｙとλの関係は図５であることが理解される。

図５の各点（λ，ｂω_ｙ）を式（４）に代入すれは、ＦＷロータ１の限界エネルギーＵ_ｙと内外径比λの関係が求まる。こうして得たのが図６である。図６の縦軸はＵ_ｙをπｂ^２ｈで正規化した（除した）限界エネルギーである。πｂ^２ｈは半径ｂの円を底面とする高さｈの仮想の円柱の体積、即ちＦＷロータ１の体格に相当するので、縦軸Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）はＦＷロータ１の「体格限界エネルギー密度」と呼べる量である。

なお、中空部分があるＦＷロータ１の真の体積はπ（ｂ－ａ）^２ｈであるから、所謂体積限界エネルギー密度Ｕ_ｙ／（π（ｂ－ａ）^２ｈ）と体格限界エネルギー密度Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）とは異なる量である。両者を混同してはならない。

図６を見れば明らかなように、本発明第１実施形態に係るＣＦＲＰ－ＦＷロータ１の限界エネルギー最大値Ｕ_ｙＯＰＴは内外径比λ_ＯＰＴ＝０．８（最適値）のとき得られ、その値はＵ_ｙＯＰＴ／（πｂ^２ｈ）＝２００ｋＷｈ／ｍ^３である。限界周速は、図５の周速の最大値より、ｂω_ｙＯＰＴ＝１７１９ｍ／ｓとなる。

例えば、ＦＷロータ１の体格が外径ｂ＝０．１５ｍ、丈ｈ＝１ｍの円筒の場合には、同体格において最大の限界エネルギーＵ_ｙＯＰＴ＝１４．１ｋＷｈが実現できる。そのＦＷロータ１の内外径比はλ_ＯＰＴ＝０．８、よって内径はａ＝０．１２ｍである。

上記のような経過を辿って最適内外径比λ_ＯＰＴを得る方法（第１方法と称する）のほかに、より簡便にλ_ＯＰＴを求める方法（これを第２方法と称する）があるので説明する。

図４を参照すると、λ_ＯＰＴは曲線ｂω_θｙと曲線ｂω_ｒｙが交差（一致）する点であることが分る。このλ点では円周方向の降伏と半径方向の降伏が同時に起こるから、

かつ

である。このとき、式（５）／式（６）を実行することで

なる関係があるのが分る。

図３の段階で、σ_ｒＭとσ_θＭを個別にプロットする替りに、σ_ｒＭ／σ_θＭをプロットすると、図７のようになる。ここで式（７）の関係があるから、図７にσ_ｙｒ／σ_ｙθ（＝一定）の水平線を引くと、σ_ｒＭ／σ_θＭ－λ曲線と交点を生じる。この交点のλ値がλ_ＯＰＴである。

つぎに本発明第１実施形態の効果を説明する。特許文献１にはλ＝０．７がＣＦＲＰ－ＦＷロータの最適内外径比であること（特許文献１の図３参照）が記されている。しかしながら、本発明で得た図６を参照すると、λ＝０．７のときの従来のＦＷロータの限界蓄積エネルギー（ここでは正規化限界蓄積エネルギー）は最大ではなく、Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）＝１２８ｋＷｈ／ｍ^３であって、本発明の前記２００ｋＷｈ／ｍ^３と比べるとずっと低い。

本発明のＦＷロータ１（λ_ＯＰＴ＝０．８）が特許文献１による従来のＦＷロータより明らかに優れている。即ち、本発明第１実施形態のＦＷロータ１は特許文献１に代表される従来のＦＷロータの問題であった「達成可能な最大の限界蓄積エネルギーを実現できていない」という問題を解決していると言うことができる。

なお、ＦＷロータ１の体格を決める外半径ｂと丈ｈが与えられれば、πｂ^２ｈ倍したものが実際の限界蓄積エネルギーであるから、正規化限界蓄積エネルギー（＝体格限界蓄積エネルギー密度）ではなく限界蓄積エネルギー（Ｗｈ）で考察してもこの結論が変わらないことを付言しておきたい。

なぜこのような結果になるのか明らかにするために、特許文献１における従来のＦＷロータの構造の最適化手法を検証すると、特許文献１においては質量限界エネルギー密度（Ｗｈ／ｋｇ）を最大化させるという観念と試行錯誤的手法に基づいている。

図１で定義した中空円盤ＦＷロータの質量限界エネルギー密度Ｄ_ｙ（Ｗｈ／ｋｇ）は、

のように表される。

第１実施例のＦＷロータ１のＤ_ｙをλの関数としてプロットした結果が図８である。ここでは図５の縦軸ｂω_ｙをＤ_ｙに変換している。Ｄ_ｙは、図８を見れば明らかなように、内外径比の有効区間０＜λ＜１において一貫して単調増加し続ける関数である。ｂ－ａがゼロに近いほどＤ_ｙが高くなる。

つまり、特許文献１が述べているλ＝０．７には、（また、区間０．６５＜λ＜０．７５にも）Ｄ_ｙの最大値は存在しない。これは特許文献１が主張しているλ値やλ区間には実は合理的な意味がない、と言うことである。

本願発明者が鋭意研究したところによると、このようなＤ_ｙの単調増加性はなにも第１実施形態のＦＲＰ材料に限定されたものではなく、（後述の各実施の形態のＦＲＰ材料を含む）他のＦＲＰ材料でも広く認められることから、特許文献１の質量限界エネルギー密度を最大化させる構造最適化設計法は、現実に製作されるＦＲＰ－ＦＷロータにおいては、ほとんど成立しないと言うべきである。

さて、製品としてのフライホイール蓄電装置（図示省略する）では製造原価を低減することが重要であることは言うまでもないが、そのユニットであるＦＷの設計においても、安価なＦＷを実現するために、現有部品（すでに製品化されている蓄電装置ＦＷのハブや回転シャフト）を用いてＦＷを構成したいというデマンドが常に起こる。このデマンド（たとえば現有のハブを使用する）に応えようとすると、ＦＷロータの内外径比を上述最適値λ_ＯＰＴに精密に合わせることがしばしば困難になる。

このデマンドに応えるための妥協点について述べる。内外径比最適λ_ＯＰＴと妥協の結果の外径比設計値λ_ＤＳＮの偏差の絶対値をΔλ（＝｜λ_ＯＰＴ－λ_ＤＳＮ｜）と定義して、前図６を参照すると、Δλが大きくなると体格限界エネルギー密度は下降して行くが、Δλ＝０．０５のときは約２０％減に留まり、Δλ＝０．１のときは約４０％減に収まる。

しかし、Δλが０．１を大きく上回るようになると体格限界エネルギー密度の減少度はひどくなってもはや許容できない。したがって現実的な偏差の妥協点は、Δλ＝０．１、望ましくは、Δλ＝０．０５と言うことができる。この見解は以下第２実施形態以降の実施形態でも同様である。

［第２実施形態］
従来より、ＣＦＲＰ－ＦＷロータ１の内径ａを小さくする動機のもと、円周方向に強く強化するだけでなく、半径方向にも若干の強化を施したＦＷロータが試作されている。これを示す文献として、「Ｈ．Ｈｉｒｏｓｈｉｍａｅｔａｌ，ＣｏｍｐｏｓｉｔｅＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，Ｖｏｌ．１３１，（２０１５）ｐｐ．３０４－３１１」（参考文献２）を挙げる。

表１の第２列には、このＦＷロータの材料の弾性定数（Ｅ_θ、Ｅ_ｒ、ν_θ）と引張降伏強度（σ_ｙθ、σ_ｙｒ）、密度ρを掲げている。炭素繊維はＴ１０００Ｇ、マトリクス剤はＥｐｏｘｙ樹脂である。

第２実施形態は、このＦＷロータの材料において限界蓄積エネルギーを最大にするよう成したＣＦＲＰ－ＦＷロータ１（図１）の場合である。

最適なＦＷロータ１の構造を導く方法（第１方法ならびに第２方法）は第１実施形態とまったく同じであるから、同じ説明は省略し、最後の結果のみ示す。これは第３以降の実施形態でも同様である。

図９には、第１方法で求めた体格エネルギー密度Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λ曲線と、第２方法で求めたσ_ｒＭ／σ_θＭ－λ曲線を示している。どちらの方法からも最適値λ_ＯＰＴ＝０．５３が得られる。このとき、最大の正規化限界蓄積エネルギーはＵ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λ曲線から１９５ｋＷｈ／ｍ^３になる。この値は第１実施形態とほぼ同じである。

第１実施形態と第２実施形態の結果から既に明らかなように、内外径比の最適値λ_ＯＰＴはＦＷロータ材料の物性値（Ｅ_θ、Ｅ_ｒ、ν_θ、σ_ｙθ、σ_ｙｒ、ρ）によって決まり、変化するものであって、特許文献１が主張しているような区間０．６５＜λ＜０．７５に局在するものではない。

［第３実施形態］
本発明はＣＦＲＰに限定されるものではなく、すべてのＦＲＰに適用可能である。本発明の第３実施形態は、ボロン繊維Ｂ（４）（製造者不明）とエポキシ樹脂５５０５（ＳＩＣＯＭＩＮ社）からなるＢＦＲＰ－ＦＷロータ１の構造の最適化の例である。表１の第３列にこの円周方向強化ＢＦＲＰ材料の材料物性を示した。この材料物性を示す文献として、「三木光範, 材料３０（１９８１）ｐｐ．９４３－９４８」（参考文献３）を挙げる。

図１０は、本発明の第１方法で求めた体格エネルギー密度Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λ曲線と、第２方法で求めたσ_ｒＭ／σ_θＭ－λ曲線である。どちらの方法からも最適値λ_OPT＝０．６６が得られた。このとき、最大の体格エネルギー密度（正規化限界蓄積エネルギー）はＵ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λ曲線から８５．７ｋＷｈ／ｍ^３になる。

［第４実施形態］
本発明の第４実施形態は、ガラス繊維Ｓｃｏｔｃｈｐｌｙ（３Ｍ社）とエポキシ樹脂１００２（３Ｍ社）からなるＧＦＲＰ－ＦＷロータ１の構造の最適化の例である。表１第４列にこの円周方向強化ＧＦＲＰ材料の材料物性（前記参考文献３による）を示した。

図１１は、本発明の第１方法で求めたＧＦＲＰ－ＦＷロータ１の体格エネルギー密度Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λ曲線と、第２方法で求めたσ_ｒＭ／σ_θＭ－λ曲線である。どちらの方法でも最適値λ_ＯＰＴ＝０．７４が得らる。このとき、最大の体格エネルギー密度（正規化限界蓄積エネルギー）はＵ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λ曲線から５６．６ｋＷｈ／ｍ^３になる。

［第５実施形態］
本発明の第５実施形態はアラミド繊維Ｋｅｖｌａｒ４９（ＤｕＰｏｎｔ社）とエポキシ樹脂からなるＡＦＲＰ－ＦＷロータ１の構造の最適化の例である。表１第５列にこの円周方向強化ＡＦＲＰ材料の物性（前記参考文献３による）を示した。

図１２は、前記第１方法で求めた体格エネルギー密度Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λ曲線と、前記第２方法で求めたσ_ｒＭ／σ_θＭ－λ曲線である。どちらの方法でも最適値λ_ＯＰＴ＝０．８６が得られる。このとき、最大の体格エネルギー密度（正規化限界蓄積エネルギー）はＵ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λ曲線から４６．３ｋＷｈ／ｍ^３になる。

［その他の実施形態］
本発明に係るＦＷ直交異方性中空円盤ロータ１は、前記各実施の形態の材料に限られるものではなく、様々な直交異方性材料を用いたロータに適用することができる。たとえば、高強度繊維材にはアルミナ繊維、炭化珪素繊維、各種金属繊維を用いることができる。

また、前記実施形態の各種繊維やこれら繊維の中から２以上を組み合わせた複合繊維を用いてもよい。

マトリクス剤にはエポキシ樹脂以外のその他樹脂のほか、ＡｌやＭｇのような軽量低温溶融金属を用いることもできる。

１…フライホイール直交異方性中空円盤ロータ（ＦＷロータ）
ｂ…ＦＷロータの外半径
ａ…ＦＷロータの内半径
ｈ…ＦＷロータの丈
ｒ…半径（変数）
θ…方位角（変数）
ｚ…中心軸

Claims

外半径をｂ、内半径をａ、丈をｈとする、フライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、
外半径ｂの円を底面とし、丈をｈとする仮想中実円盤の体積πｂ^２ｈを「体格」と定義するとき、回転時における、最大の体格限界蓄積エネルギー密度を達成し得る最適内外径比はλ_ＯＰＴ＝ａ／ｂ、もしくは、該λ_ＯＰＴ近傍の内外径比を備えていること
を特徴とするフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ。
請求項１記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、
前記直交異方性中空円盤ロータの直交異方性には、少なくとも、円周方向の縦弾性定数と引張降伏強度が半径方向の縦弾性定数と引張降伏強度より高くなる異方性が含まれること
を特徴とするフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ。
請求項１記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、
密度をρ、円周方向縦弾性率をＥ_θ、半径方向縦弾性率をＥ_ｒ、円周方向ポアソン比をν_θ、円周方向引張降伏強度をσ_ｙθ、半径方向引張降伏強度をσ_ｙｒとするとき、前記最適内外径比λ_ＯＰＴはＥ_θ、Ｅ_ｒ、ν_θ、σ_ｙθ、σ_ｙｒ、ρを用いて解析的に決定されること
を特徴とするフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ。
請求項２記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、
円周方向に巻層した高強度繊維の空隙をマトリクス剤で含侵させた複合材料で構成されること
を特徴とするフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ。
請求項４記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、
前記高強度繊維は、炭素繊維もしくはホウ素繊維、ガラス繊維、アラミド繊維、アルミナ繊維、炭化珪素繊維、各種金属繊維から選ばれた１つの繊維、または、これらを２以上組み合わせた複合繊維であること
を特徴とするフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ。
請求項４記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、
前記マトリクス剤はエポキシ樹脂を含む各種樹脂、あるいは、ＡｌやＭｇを含む軽量低温溶融金属であること
を特徴とするフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ。
請求項１記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおいて、
前記最適内外径比λ_ＯＰＴ近傍の内外径比は、少なくともλ_ＯＰＴ－０．１～λ_ＯＰＴ＋０．１の範囲であり、望ましくはλ_ＯＰＴ－０．０５～λ_ＯＰＴ＋０．０５の範囲であること
を特徴とするフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータ。
請求項３記載のフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータにおける最適内外径比λ_ＯＰＴの決定方法であって、
少なくとも体格限界エネルギー密度Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）を内外径比λの関数として表す工程を含むこと
を特徴とするフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータの最適内外径比の決定方法。
請求項８記載の最適内外径比の決定方法において、
１）前記直交異方性中空円盤ロータの半径ｒ地点の回転応力σ_θ、σ_ｒ（下付き符号θは円周方向、ｒは半径方向を意味する）を、λをパラメータとするｒの関数として表式する工程と、
２）該関数σ_θ、σ_ｒの最大点σ_θＭ、σ_ｒＭをλの関数曲線σ_θＭ－λ、σ_ｒＭ－λとして求める工程と、
３）該関数曲線σ_θＭ－λ、σ_ｒＭ－λを変換して限界周速ｂω_ｙとλの関数曲線ｂω_ｙ－λを求める工程（ただしω_ｙは前記直交異方性中空円盤ロータの限界角速度）と、
４）つづいて該関数曲線ｂω_ｙ－λを体格限界エネルギー密度Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）とλの関数曲線Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λに変換する工程（ただしＵ_ｙは前記直交異方性中空円盤ロータの限界蓄積エネルギー）と、
５）該関数曲線Ｕ_ｙ／（πｂ^２ｈ）－λから体格限界エネルギー密度の最大値を与える内外径比の最適値λ_ＯＰＴを検出する工程と、
を備えることを特徴とするフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータの最適内外径比の決定方法。
請求項８記載の最適内外径比の決定方法において、
１）前記直交異方性中空円盤ロータの半径ｒ地点の回転応力σ_θ、σ_ｒ（下付き符号θは円周方向、ｒは半径方向を意味する）を、λをパラメータとするｒの関数として表式する工程と、
２）該関数σ_θ、σ_ｒの最大点σ_θＭ、σ_ｒＭをσ_ｒＭ／σ_θＭとλの関数曲線σ_ｒＭ／σ_θＭ－λとして求める工程と、
３）こうして求めた該関数曲線σｒＭ／σ_θＭ－λからσ_ｒＭ／σ_θＭ＝σ_ｙｒ／σ_ｙθを満足するλ値、即ちλ_ＯＰＴを検出する工程と、
を備えることを特徴とするフライホイール蓄電装置用フライホイールの直交異方性中空円盤ロータの最適内外径比の決定方法。